Классификация тотальных подпространств сопряженных банаховых пространств и ее приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР і*. Б.І. ВЄРКІНА

РГБ ОД

І в ДЕН 1997

ОСТРОВСЬКИЙ Михайло Йосипович

УДК 917.948

КЛАСИФІКАЦІЯ ТОТАЛЬНИХ ПІДПРОСТОРІВ СПРЯЖЕНИХ ВАНАХОВИХ ПРОСТОРІВ ТА її ЗАСТОСУВАННЯ

01.01.01—математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

Харків—1997

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Фізико-технічному інституті низьких температур НАН України.

Офіційні опоненти: -

1. доктор фізшсо-математичних наук, доцент Годун Борис Васильович,

Херсонській державний технічний університет, професор

2. доктор фізико-математичних наук, професор •

Петунін Юрій Івановій,

Національний університет імені Тараса Шевченка, професор

3. доктор фізико-математичних наук, професор Рвачов Володимир Олексійович,

Харківський авіаційний інститут, професор

Провідна установа:

Міністерство освіти України, Львівський державний університет, кафедра математичного та функціонального аналізу, м. Львів

Захист відбудеться “ЗО.” __________А2*__________________ 199_"£р.

о _____''И - 00__________ годині на засіданні спеціалізованої вченої

ради Д 64.175.01 Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України за адресою: 310164, м. Харків, пр. Леніна,

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур, Харків, пр. Леніна, 47.

47.

Автореферат розісланий

199.5: р.

В. о. вченого секретаря спеціалізованої вченої ради доктор фізико-математичних наук

Г.М. Фельдман

Актуальність теми. Класифікація тотальних підпросторів спряжених банахових просторів є однією з частин функціонального аналізу. Перші результати, присвячені цій класифікації з’явились майже одночасно з самим функціональним аналізом. Ці результати належать С.Мазуркевичу (1930) та С.Банаху (1932). У подальшому багато фахівців працювали у цьому напрямку (Ж. Діксм’є, Ю.І.Петунін, О.К.МакДжі, Д.Сарасон, В.Девіс, И.Лінденштраус, Б.В.Годун та інші).

Висока активність у цьому напрямку досліджень пояснюється тим, ідо були встановлені його зв’язки з багатьма іншими напрямками аналізу. Йдеться про такі напрямки, як гармонійний аналіз, комплексний аналіз, теорія операторів, теорія некоректних задач та теорія просторів Фреше.

Незважаючи на високу активність, деякі природні задачи не були розв’язані. Зокрема, не було відомо:

- чи для кожного неквазірефлексивного сепарабельного банахового

простору у його спряженому є підпростори будь-якого зчисленного порядку, .

- які спряжені банахові простори містять ніде не нормуючі підпро-

стори, -

- до яких класів Бера можуть належати обернення ін’єктивних інтегральних операторів,

- чи існують підпростори спряжених банахових просторів з базисом, що € квазібазиснгаш, але не базисними.

Невирішенність цих та деяких інших задач визначила необхідність їх систематичного дослідження. Дисертація присвячена такому дослідженню. Зокрема, в ній дано відповіді на усі наведені вівце питання.

Зв’язок з науковими програмами, планами, темами. Ця

робота є складовою частішою досліджень за темою М-22-6 (номер теми за планом Фізико-технічного інституту низьких температур).

Мета і задачі дослід ження.

Метою дослідження є:

- розв’язання відомих відкритих питань про тотальні підпростори.

- подальший розвиток класифікації тотальних підпросторів, вирішення деяких природних питань у цьому напрямку.

- застосування розроблених методів до розв’язання відкритих питань з теорії просторів Фреше.

Наукова новизна одержаних результатів.

Усі результати дисертації є новими. У дисертації вперше одержано' відповідь на ряд актуальних питань щодо класифікації тотальних під-просторів га теорії просторів Фреше.

Практичне значення одержаних результатів.

Результати дисертації використовувались у роботах А.М.Плічка, П.Теренці, В.П.Фонфа, О.І.Коробова для розв’язання деяких питань теорії банахових просторів. В.Б.Москателлі застосував їх у теорії просторів Фрепіе.

Результати дисертації можуть бути використані для дослідження тих питань теорії операторів, теорії просторів Фреше та гармонійного аналізу, які зв’язані з класифікацією тотальних підпросторів.

Результат дисертації можуть бути використані для аналізу та побудови регуляризуючих алгоритмів лінійних некоректних задач.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертації одер-ясані здобувачем особисто, без співавторів.

з

Апробація результатів дисертації.

Матеріали дисертації були оприлюднені та обговорені на XII школі з теорії операторів у функціональних просторах (Тамбов, Росія, 1987 p.), Воронезькій математичній школі (Воронеж, Росія, 1988 p.), Міжнародній конференції з геометрії банахових просторів (Варна, Болгарія, 1989 p.), Міжнародній математичній конференції, присвяченій 100-річчю з дня народження С.Бана.ха (Львів, 1992 p.), Міжнародній конференції “Лінійні топологічні простори та простори аналітичних функцій” (Едірне, Туреччина, 1994 p.), семінарах з математичного аналізу Тель-Авівського Університету (Тель-Авів, Ізраїль), Паризького університету-6 (Франція), Місурійського Університету (Колумбія, США), Політехнічного Університету (Мілан, Італія), Харківського міського семінару з теорії нормованих просторів.

Публікації.

За матеріалами дисертації у фахових журналах опубліковано 17 наукових статей. Усі роботи виконано без співавторів.

Об’см та структура. Дисертація складається з вступу, п’яти розділів, висновків та списку використалих джерел, що містить 128 джерел. Обсяг дисертації 276 сторінок, обсяг списку використаних джерел 17 сторінок.

Перший розділ дисертації присвячений огляду теми. Тут наведені результати, що стимулювали дослідження, яким присвячена дисертація. Тут наведений також огляд результатів дисертації.

Другий розділ присвячений тотальним підпросторам, які є далекими від нормуючих.

Нехай X - сепарабельшш банахів простір, X* - його спряженій. Слабкою* похідною М1 підмножини М С X* називається множина усіх границь слабко* збіжних обмежених сітей із М. Як довів

С.Мазуркевігч (1930), у загальному випадку М1 може не бути слабко* замкненим. У зв’язку з цим С.Банах увів вищі, у тому числі п транс-фінітні, похідні. їх індуктивне означення для ординалу а має такий вигляд: Ма - U

Маємо М С М& С Ма для ¡3 < а, причому, якщо Ма = Ма+1, то збігаються між собою и усі вищі похідні. Найменьшші ордішал а, для якого Ма = Ма+1 називається порядком підмножини М С X*. ,

Нагадаємо, що банахів простір X називається квазірефлексивним, коли фактор-простір X*’/X скінченновимірнші.

Одним з найбільш важливих результатів другого розділу є така теорема (ми віжористовуємо таку ж нумерацію тверджень, як і у дисертації).

Теорема 2.1.1 .[1]. Якщо X - неквазірефлексіївнші сепарабельнші банахів простір, то для кожного зчнсленного ординалу а існує лінійний підпростір Г С X* порядку а + 1. '

Зіставляючи цей результат з відомими раніше результатами про те, що порядок підпростору у спряженому до сепарабельного простора є

зчіїсленшм (С.Банах) не граничним (Б.В.Годун) ординалом, ми одержуємо повну відповідь на запитання: для яких сепарабелышх банахо-вих просторів X і яких зчисл енних ордішалів а простір X* містить підпростори порядку СІЇ

Цей результат завершує багаторічне дослідження, у якому брали участь такі відомі магематшгі, як С.Мазуркевич, С.Банах, Ж.Діксм’є, Ю.І.Петунін, О.К.МакДжі, Д.Сарасон, В.Девіс, Й.Лінденштраус, Б.В.Годун.

Цей результат вже був застосований В.Б.Москателлі, А.М.Плічком та В.П.Фонфом для вирішення ряду питань про банахові простори та простори Фреше.

Ще один клас тотальних підпросторів, які є далекими від нормуючих, був уведений В.Девісом та В.Джонсоном (1973). Нагадаємо його означення.

Підпростір М спряженого банахового простору X* називається нормуючим над підпростором L С X, якщо існує таке с > 0, що

(Va eL)( sup |/(х)| > с||х||).

fZS(M)

Підпростір М С X* називається ніде не нормуючим, якщо він не є нормуючим ні над яким нескінченновимірним підпростором у X.

В.Девіс та В.Джонсон навели перші приклади тотальних ніде не нормуючих підпросторів. їх приклади будувались у спряжених до просторів побудованих Р.Джеймсом та Й.Лінденштраусом. Було невідомо, чи можливо побудувати такі підпростори у спряжених до класичних банаховіїх просторів. Це питання було досліджене автором у

роботах [4], [10], [11]. (Деякі результати роботи [4] пізніше були одер/ -N.

жані А.Альбанезе (1993).) •

Найбільш важливим результатом дисертації у цьому напрямку є такий.

Теорема 2.2.1. [10]. Нехай X - сепарабельний банахів простір. Спряжений простір X* містить тотальні ніде не нормуючі підпростори тоді й тількі тоді, коли для деякого неквазірефлексивного сепарабельного банахового простору У існує сюр’єктивний строго сингулярний оператор Т : X —> У.

А. А.Альбанезе (1993) довела, що простір І] містить тотальні підпростори, слабкі* похідні скінчених порядків якого є ніде не нормуючими. У дисертації одержано остаточний результат у цьому напрямку.

Теорема 2.3.1. [11], [13]. Нехай X - сепарабельний банахів простір, для якого існує неквазірефлексивний простір . У і строго сингулярне фактор-відображення Т : X —► У. Тоді для будь-якого зчисленного ординалу а існує підпростір М С Х*,для якого Ма+1 = X*, але для будь-якого ординалу /3 < а підпростір є ніде не нормуючим.

Ж.Сен-Ремо (1976) та А.М.Плічко (1981) знайшли зв’язки між Бо-релівсьшім (або Берівським) класом обернення лінійного неперервного ін’єктивного оператора та порядком образу його спряженого. Використовуючи ці результати та" розвиваючи методику доведення теорем 2.1.1 та 2.3.1, в дисертації доведено, що існують ін’єктивиі інтегральні оператори, обернення яких належать тількі до “далеких” класів Бо-реля (або Бера). Ми викладемо цей результат більш детально.

Нехай Г - сепарабельний банахів функціональний простір на інтервалі [0,1]. Припустимо, що і*1 неперервно та ін’єктивно вкладено у ¿і(0,1). (Усі класичні сепарабельні банахови простори на [0,1] задовольняють цю умову.) Нехай Г - обмежена відкрита підмножина у

С, для якої Г 3 [0,1]. Нехай / : Г —» С є аналітична функція, неперервна на Г. (У дійсному випадку ми розглядаємо лише функції,

г

які мають дійсні значення на В-.) Функція / породжує неперервний лінійний функціонал на £і(0,1) за формулою

(/>*) = і,1

Оскільки Г є неперервно вкладеним у £і(0,1), то / породжує неперервний функціонал на Р. Позначимо через II(Г) множину усіх функціоналів такого типу на і*1. Нехай М(Г) = с1С7(Г) С

Оскільки ґ є ін’єктивно неперервно вкладеним у Ьі(0,1), то М(Г) буде тотальним підпростором для будь-якого Г. Кожний вектор простору Г може роглядатися як неперервний функціонал на М(Г). Це відображення простору .Р у спряжений простір М(Г)* ми позначимо через Н.

Теорема 2.4.2. [14]. Нехай Р такий, що для деякого Г підпростір сЦН(Е)) має нескінченну корозмірність у М(Г)*. Нехай Є - бана-хів функціональний простір на [0,1], який містить у собі нескінченну лінійно незалежну послідовність функцій, що мають аналітичні подовження на деяку відкриту підмножину А С С (Д Э [0,1]). Тоді для будь-якого зчисленного ординалу а існує такий лінійний неперервний ін’єктившш інтегральний оператор Т : Г —► £ з аналітичним ядром, для якого Т~1 : ТЕ —*• Р не є Берівського класу а.

Цей результат є далекосяжним посиленням результатів Л.Д.Мені-хеса (1978) та А.М.Плічка (1988). Йдеться про такі результати. Л.Д.Меніхес довів, що існує інтегральний оператор з нескінченно диференційованим ядром, який діє між С(0,1) та 0,1), обернення якого не є першого класу Бера. А.М.Плічко довів, що цей результат має місце для багатьох інших пар функціональних просторів.

Третій розділ дисертації присвячено вивченню просторів, побудо-

ваних Бєллєнотом (1982). Це робиться тому, що ці простори є луже важливими дая класифікації тотальних підпросторів.

Нагадаємо означення просторів Бєллєнота.

Нехай 1 < д < оо. Нехай 2 - сепарабельний банахів простір і {/?„}£!] - зростаюча послідовність скінченновимірних підпросторів в Z, для якої с1(и“=1^п) = Е та і?о = {0}. .

Нехай є фінітна ПОСЛІДОВНІСТЬ, ДЛЯ ЯКОЇ ¿І Є Через || • |І7Л

позначимо таку норму цієї послідовності

2||{г,-}£0ІІ/,? = 8иР{£ ІК(0 ~ ^(¿+1)11? + ІІ2ч(і)ІІ?}1/?.

•:=1

де єир береться ПО МНОЖИНІ усіх послідовностей {г}{і)Уі= 1 С И, для яких 0 < т?(1) < ... < т](к). Поповнення множини усіх фінітних послідовностей відносно норми |{ • ||./і? будемо позначати через

•7(д, Позначимо через J{q,Z) клас усіх просторів, які мо-

жуть бути одержані таким чином для банаховою простору ¿Г. Простори 7(<7, і?) були уведені С.Бєллєнотом.

У дисертації доведено такі властивості просторів J(q, і?).

Лема 3.1.2. [8]. Нехай і? - сепарабельний банахів простір, X Є J(q, 2). Тоді будь-який замкнений підпростір в X містить підпростори, які є ізоморфними до Ід. '

Лема 3.1.2 є узагальненням добре відомого результату Р.Германа -Р.Уітлі про простір Джеймса.

Лема 3.1.3. [8]. Нехай 2Г - сепарабельний банахів простір, X € J(q, Z) та г > q. Тоді X** не має підпросторів, ізоморфних до Іт.

Нехай 2 = Іт (г < q) та є лінійна оболонка перших п векторів одиничного базису простору 2. Нехай X = /(д, {¿?„}£і0). .

Лема 3.1.4. [8]. Простір X** може бути представлений у віігляді X** = X ® Іг, де X ототожнений з його канонічним образом у X**.

Різниця між випадками г < г/ та г > д, яка виплпває з лем 3.1.3 та 3.1.4 є дещо несподіваною та дуже важливою. Вона дає змогу дати відповідь на одне запитання Г.Мстафуне та В.Б.Москателлі.

Нагадаємо, що простір Фреше називається квоєкцією, якщо він є ізоморфним до проективної границі послідовності банахових просторів відносно послідовності сюр’єктивних неперервних відображень.

Багато просторів, що зустрічаються у анализі є квоєкціяші, наприклад, спряжені до точних (ЬВ)— просторів. Фактор-простори та доповнювальні підпросторгг квоекціп є квоєкціямії.

Квоєкція називається скрученою, якщо вона не є ізоморфною до зчисленного добутку банахових: просторів. Перший приклад скрученої квоєкції побудував В.Б.Москателлі (1980). Його конструкція та її узагальнення виявились дуже корисними у теорії просторів Фреше. Але залишалось невідомо, чи існують скручені квоєкції, що не мають не-скінченновиміршіх банахових підпросторів. Питання про їх існування було поставлене Г.Метафуне та В.Б.Москателлі. Одним з наслідків наведених вище результатів про простори Бєллєнота є такий.

Теорема 3.2.1. [17]. Існують скручені квоєкції, що не мають нескін-ченновимірних банахових підпросторів.

Четвертий розділ дисертації присвячено дослідженню структури

/

тотальних підпросторів та структури поповнень банахових просторів відносно тотальних ненормуючих підпросторів. Ці дослідження дають змогу вирішити деякі питання про простори Фреше та про регуляри-

зов-іі оператори.

Спочатку ми сформулюємо результати щодо ізоморфної структури тотальних підпросторів. Нормуючі підпростори не мають ніяких відмітних рис - канонічний образ будь-якого банахового простору у його другому спряженому є нормуючим підпростором (над спряженим простором).

Ситуація змінюється, коли ми переходимо до класу тотальних не-нормуючих підпросторів, У дисертації одержана така характеризація цього класу.

Теорема. [9], [10]. Банахів простір М є ізоморфним до тотального не нормуючого підпростору спряженого банахового простору тоді і тількі тоді, коли М* містить замкнені нормуючі підароеіори нескінченної корозмірності. Якщо М задовольняє ці умови і є сепарабель-ним, то існує такий банахів простір X, що для будь-якого зчисленного ординалу а > 1 простір М є ізоморфним до тотального підпростору порядку а + 1 у X*. .

(Ця теорема поєднує результати теорем 2.2.8 та 4.1.13).

Нагадаємо означення поповнення банахового простору відносно тотального ненормуючого підпростору. Нехай М - тотальний ненорму-ючий підпростір спряженого банахового простору X*. Поповненням X відносно М називається поповнення X відносно норми

. І1*||* = 8ир{|/(я)| : / Є М, П/П < 1}.

Ми позначаємо таке поповнення через Хм-

Такі поповнення важливі в теорії просторів Фреше, вони мають важливе значення при дослідженні питання про регуляризовність суперпозицій.

В дисертації одержано декілька загальних результатів щодо структури таких поповнень. ■

Нагадаємо, що для іхідпросторів II і V банахового простору X нахилом простору 1] до простору V називається число

" =іп£{||и-«||:иЄЯ(І7),«Є V1}.

Теорема 4.3.1. [11], [12]. Нехай банахів простір 2 є поповненням деякого банахового простору відносно тотального ненормуючого підпро-стору. Тоді простір 2* містить такий нормуючий підпростір К і такті слабко* замкнений нескінченновимірнпй підпростір JV, що 6(К, М) > 0 та фактор-простір Z/ (Мт) є сепарабельним.

Треба відзначити, що дня сепарабельного 2 теорема 4.3.1 може бути доведена як наслідок результатів В.Джонсона та X.Розенталя (1972). '

Теорема 4.3.6. [11], [12]. Нехай банахів простір 2 є таким, що 2* містить нормуючій підпростір К і слабко* замкненші підпростір М, для яких 6(К, М) > 0 та фактор-простір 2/(ЛгТ) має сепарабельні не-скінченновимірні фактор-просторії. Тоді існує такий банахів простір X, що для будь-якого зчисленного ординалу а знайдеться такий під-простір М С X*, що Ма ф М“+1 = X* та 2 є ізоморфним до Хм-

Наслідок 4.3.8. [11], [12]. Банахів простір 2 є ізоморфним до поповнення банахового простору відносно тотального ненормуючого під-простору тоді і т£пькі тоді, коли 2* містить такі підпростори К і І\Г, що К є нормуючим, N є слабко* замкненим та нескінченновимірним, фактор-простір £/(іУт) « сепарабельним, та 6(К, N) > 0.

У дисертації доведено, що існування замкненного нормуючого під-простора нескінченної корозмірності у 2* не є достатньою умовою для того, щоб простір 2 був ізоморфним до Хм Дія деякого банахового простору X та тотального ненормуючого підпростора М С X*. Точніше, ми маємо:

Теорема 4.3.9. [11], [12]. Існує сепарабельний банахів простір спряжений до якого містить замкнені нормуючі підпростори нескінченної корозмірності, але для кожної пари (К, N) підпросторів 2*, де К є нормуючим, а N - нескінченновішірним, маємо ¿(К, Лг) = 0.

Наслідок 4.3.10. [11], [12]. Існує сепарабельний банахів простір 2, спряжений до якого містить замкнені нормуючі підпростори нескінченної корозмірності, але 2 не є ізоморфним до Хц для будь-якого банахового простору X та будь-якого тотального ненормуючого під-простору М С X*.

Останній підрозділ четвертого розділу присвячений виявленню умов, за яких суперпозиція регуляргоовних операторів є регуляргоов-ною.

Нехай X, У та 2 - сепарабельні банахові простори. Позначимо множину усіх лінійних неперервних ін’єктившіх операторів з простору X в простір У через Ьа(Х,У).

Нехай А Є Ьо(Х,У) та Б Є Ьц(У, 2). Припустимо, що А"1 та В-1 є регуляризовними. В дисертації досліджується таке питання:

В яких випадках ми можемо стверджувати, що (ВЛ)-1 також є регуляризовним?

Ю.І.Петунія та А.М.Плічко (1976) довели, що це має місце у випадку, коли У рефлексивний. В.А.Вінокуров, Є.М.Доманський, Л.Д.Меніхес га А.М.Плічко (1983) узагальнили цей результат на той випадок, коли А є слабко компактним. З іншого боку, відомо (Є.М.Доманський - М.И.Островський та А.М.Плічко) що існують ба-нахові просторії X, У, 2 та А Є Ьд{Х, У), В € Ь0(У, 2), для яких А~1 та В-1 регулярюовні, але (ВЛ)-1 не є регуляризовним.

У дисертації одержано характеризацію трійок (X, У, і?) банахових просторів, для яких існують оператори Л е ^о(Х, У). В Є ¿о(У, і?) такі, що Л”1 та В-1 регулярюовні, але (ЗА)~1 не є регуляризовшш. Якщо такі оператори існують, ми пишемо (X, У, 2) ^ і?5. Почнемо з низки простих зауважень.

Твердження 4.4.1. [6]. Нехай (X, У, ¿Г) - трійка сепарабельних банахових просторів (СВП). Для того, щоб (X, У, 2) ^ ЯЗ необхідно і достатньо, щоб існували оператор Л Є £о(Х, У) та нормуючий під-простір М С У*, для яких підпростір А*У* С X* є, а підпростір Л*Л/ не є нормуючим.

Наслідок 4.4.2. [6]. Якщо (X, У, 2) £ і?5 для деякого нескінченно-вимірного СБП 2, то (X, У, 2) £ ЯБ для будь-якого нескінченновимір-ного СБП 2.

Наслідок 4.4.3. [6]. Нехвазірефлексивність простору X є необхідною умовою дія (X, У, 2) £ Л5. ,

Наслідок 4.4.4. [6]. Існування замкнених нормуючих підпросторів

нескінченної корозмірності у У* є необхідною умовою ДЛЯ (X, У, і?) (І Д5.

Використовуючи поняття поповнення відносно тотального ненор-муючого підпростору, у дисертації доведено важливу достатню умову для (Х,У,г) £

Твердження 4.4.5. [6]. Нехай (Х,У, ¿Г) - трійка сепарабельних ба-нахових просторів (СБП), Припустимо, що X містить такий доповню-вальний підпростір II, що для деякого N С и* маємо

Аг1 ф ТУ2 = и\

та простір иє ізоморфним до деякого підпростору IV С У, для того 6іт(Х/и) < дшуіщ. Тоді (Х,У,2) І ЯЗ.

Цей результат дає змогу з’ясувати, що для багатьох трійок класичних просторів існують регуляризовні оператори з нерегуляризовною суперпозицією (дна. теорему 4.4.12 нижче). Але, як свідчить наш наступний результат, він не дає достатніх умов для (X, У, 2) Є

Теорема 4.4.8. [6]. Умови твердження 4.4.5 не є необхідними для (Х,У,2?) £ навіть, коли ми випустимо умову доповнювальності підпростору и.

Твердженая 4.4.5 пов’язує питання про регуляризовність суперпозицій з питанням про структуру поповнень простору V відносно тотальних ненормуючих підпросторів, що задовольняють умову

лг1 ф АГ2 = и\

Щоб сформулювати одержані в дисертації результати про такі поповнення, нам потрібні деякі означення.

Нехай 2 - банахів простір з базисом {е,-}^. Цей базис налітається 'безумовно монотонним, якщо збіжність ряду £¡^1 ЬіЄі укупі з нерівностями |а,-| <- |Ьі| (і Є И) тягне за собою збіжність ряду Е^?:1 а^і та нерівність

. 00 ОО

. НЕСШИМ.

1=1 1=1

Нехай-2 - банахів простір з безумовно монотонним базисом. Ми фіксуємо у 2 один з таких базисів, зберігаючи для нього позначення {є;}. Нехай {И}£і -послідовність баяахових просторів. Прямою сумою просторів {\гі}°1л відносно простору 2 (точніше, відносно пари (2, -{є,-})) називається простір усіх послідовностей (и,- Є V* ДДя будь-якого

п Є ЇМ’), для яких збігається рад

00

ЕІМІке;-‘ ¡=і

Пряма сума наділяється нормою

ОО

11М&1М1Е1ЫЫ1*

.=і

та звичайними операціями векторного простору. Пряма сума позначається

- ОО

(£®К-)г.

«=і

Нехай X - банахів простір, а Х/У - його фактор-простір. Будемо казати, що Х/У є фактор-простором нескінченної корозмірності, якщо <іітУ = оо.

Теорема 4.4.12. [4]. Нехай {К’Ші " послідовність нерефлексивних сепарабельних банахових просторів, 2 - простір з фіксованним безумовно монотонним базисом {е,}. Нехай

г=(Т:®уі)г.

І=1

Якщо сепарабельний банахів простір X має фактор-простір нескінченної корозмірності, який € ізоморфшш до У, то простір X* містить підпростір М, який задовольняє умови:

(a) Мх ф М2 = ЛЛ ■

(b) простір Хм є ізоморфшш до У.

В зв’язку з дією теоремою варто відзначити, що усі класичні не-рефлексивні сепарабельні банахові простори (йдеться про такі простори, як С7(0,1),іі(0,1), с'о, * і) ізоморфні до нескінчених прямих сум нерефлексивних просторів відносно просторів з безумовно монотонними базисами. Тому теорема 4.4.12 укупі з твердженням 4.4.5 дає нам багато прикладів трійок класичних просторів, для яких існують регуляризовні оператори з нерегуляризовною суперпозицією.

П’ятий розділ дисертації присвячений другому напрямку класифікації тотальних підпросторів, тобто порівнянню класів підпросторів, які містять біортогональні функціонали базисів різних типів. Ми називаємо цей напрямок “Дуальні питання теорії базисів”. Ці питання постали у дослідженнях, присвячених регуляризовності лінійних операторів за допомогою базисів різних типів.

Нагадаємо, що підпростір М спряженого банахового простору X* називається квазібазисним, якщо існує така послідовність скінченно-вимірних лінійних неперервних відображень

К : X - X (п Є Г*),

що

(Ух Є Х)(і1іш ||Уп(аг) — х|| = 0);

та .

(Уп Є К)(ІтУп* С М),

де V* - оператори, спряжені до У„.

Підпростір М С X* називається базисним, якщо він містить усі спряжені функціонали деякого базису в X. Він називається безумовно базисним, якщо він містить усі спряжені функціонали деякого безумовного базису в X.

Найбільш важливі результати дисертації щодо дуальних питань теорії базисів стосуються таких питань:

- у спряжених до яких банахових просторів кожний нормуючий підпростір є квазібазисним?

- у спряжених до яких банахових просторів кожний квазібазисний підпростір є базисним?

- у спряжених до яких банахових просторів кожний базисний підпростір є безумовно базисним?

Перше з цих питань досліджувалося багатьма авторами (Ф.С.Ва-хер, В.А.Вінокуров, Л.В.Гладун, Л.Д.Меніхес, А.М.Плічко). Але деякі важливі питання залишалися нез’ясованими. Не було знайдено ха-рактеризації просторів, у спряжених до яких кожний нормуючій простір є квазібазисним. Було невідомо, чи існують простори з базисом, спряжені яких містять нормуючі не квазібазисні простори, а другий спряжений яких є сепарабельним.

У дисертації доведено дві характеризації просторів, у спряжених до яких кожний нормуючий простір є квазібазисним (теореми 5.2.3 і 5.2.16). Теорема 5.2.3 має такий наслідок:

Наслідок 5/2.11. [8]. Існує сепарабельний банахів простір X з базисом, який є ізометричним до свого другого спряженого, але його спряжений містить нормуючі неквазібазисні підпростори.

Що стосується другого питання, то до роботи [5] взагалі було невідомо, чи існують банахові простори з базисом, у спряжених до яких є квазібазисні, але не базисні підпростори. У підрозділі 5.3 доведено

загальний результат (теорема 5.3.3) про простори, спряжені яких мі-

\

стять квазібазисні, але не базисні підпростори. Одним з наслідків цього результату є такий:

і '

Наслідок ,5.3.4. [5]. Нехай X - банахів простір з базисом, який має нетрівіальний котіш та містить доповнювальний підпростір ізоморфний до 1\. Тоді X* містить такий квазібазисний підпростір, який не є базисним.

Прикладами просторів, що задовольняють умови наслідку 5.3.4, є простори її,¿1(0,1).

Що стосується третього питання, то в дисертації було з’ясовано, що базисні, але не безумовно базисні підпростори існують в усіх цікавих випадках.

Теорема 5.4.2. [8]. Нехай X - нерефлексивний банахів простір з безумовним базисом. Тоді існує підпростір в X*, що є базисним, але не є безумовно базисним.

Остання частина розділу 5 присвячена застосуванню техніки, розробленої дая дуальних питань теорії базисів, до деяких інших проблем.

Підрозділ 5.5 присвячений застосуванням в теоріі некоректних задач. Тут йдеться про побудову регуляризуючих алгоритмів, множина збіжності яких збігається зі множиною, для якої існує розв’язок неко-

ректної задачи.

Підрозділ 5.6 присвячений застосуванням в теорії просторів Фреше. В ньому вирішено добре відому проблему цієї теорії. Ми маємо на увазі цроблему про доповнювальні підпростори у зчисленних топологічних добутках банахових просторів. II формулювання: чи існують доповнювальні підпростори зчисленних топологічних добутків банахових просторів, що не ізоморфні топологічним добуткам сімей банахових просторів? Ця проблема була запропонована у роботах П.Доманьскі та Г.Метафуне - В.В.Москателлі, неодноразово повторювалася у різних оглядах і добре відома фахівцям.

У дисертації доведено, що ця проблема має негативній розв’язок.

Теорема 5.6.1 (В). [16]. Існує така послідовність банахових

просторів і такий доповнювальний підпросїір Ч' С 2 = П^=і 2„, що IV не є ізоморфним до топологічного добутку сім’ї банахових просторів.

ВИСНОВКИ

У дисертації розв’язано найважливішії відкриті проблеми з класифікації тотальних підпросторів спряжених банахових просторів. Зокрема, в ній одержані таки результати:

- повна відповідь на запитання: для яких сепарабельних банахових просторів X і яких зчисленних ординалів а простір X* містить підпростори порядку а?

- характеризація класу сепарабельних банахових просторів, спряжені до яких містять тотальні ніде не нормуючі підпростори.

- доведено існування баханових просторів з базисом, спряжені до яких містять підпростори, що є квазібазисними, але не базисними.

Розвинута техніка була застосована для розв’язання двох добре відомих проблем з теорії просторів Фреше:

- проблема існування скручених квоєкцій, що не мають нескінчен-новимірних банахових підпросторів.

- проблема існування доповнювальних підпросторів зчисленних топологічних добутків, які не є ізоморфними добуткам банахових просторів.

Результати одержані за допомогою методів сучасного функціонального аналізу. -

Результати дисертації можуть розглядатися як далекосяжні поси-і . лення відомих результатів. Вони підносять розвиток відповідної галузі

функціонального аналізу на новий рівень.

Результати дисертації вже застосовувались іншими математикамі. Результати дисертації можуть бути застосовани у таких галузях:

Теорія операторів,

Аналіз на побудова регулярпзуючих алгоритмів,

Теорія банахових просторів,

Теорія просторів Фреше.

Більшість результатів дисертації було опубліковано у добре відомих журналах. Результати дисертації були оприлюднені в найбільш відомих центрах геометричного функціонального аналізу. Це підтверджує достовірність результатів дисертації.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ ч

[1] Островський М.Й- го’-похідні трансфінітного порядку підпросто-рів спряженого банахового простору // Доповіді Академії Наук Української РСР,- 1987.- N10.- С.9-12.

[2] Островский М.И. Пары регуляризуемых обратных линейных операторов с нерегуляризуемой суперпозицией // Теория функций, функциональный анализ и их приложения - Харьков, Выща школа.- 1989.- Вып. 52.- С.78-88; переклад на англ. мову: // J. Soviet Math.- 1990.- V.52.- P. 3403-3410.

[3] Островский М.И. О сплошном свойстве ограниченной аппроксимации // Сиб. матем. журн.- 1989.- Т.30, N 3.- С.180-181; переклад на англ. мову: // Siberian Math. J.- 1989.- V.30.- P.488-489.

[4] Островский М.И. О тотальных ненормирующих подпространствах сопряженного банахова пространства // Теория функций, функциональный анализ и их приложения.- Харьков, Основа.- 1990,-Вып.' 53.- С.119-123; переклад на англ. мову: // J. Soviet Math.-

1992,- V.58.- Р.577-579.

[5] Островский М.И. Базисные и квазибазисн!ые подпространства в сопряженных банаховых пространствах // Матем. заметки,-1990,- Т.47, N 6.- С.85-90; переклад на англ. мову: // Math. Notes.-1990,- V.47.- P. 584-588.

[6] Островский М.И. К вопросу о регуляризуемости суперпозиций обратных линейных операторов // Теория функций, функциональный анализ и их приложения,- Харьков, Основа.- 1991.- Вып.

55.- С.96-100; переклад на англ. мову: // J. Soviet Math.- 1992.-V.59.- Р.652-655.

[7] Островский М.И. Регулярнзуемость обратных линейных операторов в банаховых пространствах с базисом // Сиб. матем. журн.-1992.- Т.ЗЗ, N 3.- С.123-130; переклад на англ. мову: // Siberian Math. J.- 1992,- V.33.- P.470-476.

[8] Островский M.II. Подпространства, содержащие биортогональ-ные функционалы базисов различных типов // Теория функции, функциональный анализ и их приложения,- Харьков, Основа.-

1992.- Вьш. 57.- С.115-127; переклад на англ. мову: // J. Math. Sci.- 1995.- V.77.- Р.3008-3016.

[9] Островскіш М.И. Структура тотальных подпространств сопряженных банаховых пространств // Теория функций, функциональный аналш и их приложения,- Харьков, Основа.- 1992.- Вып. 58.- С.60-69.

[10] Ostrovskii M.I. Total subspaces in dual Banach spaces which are not norming over any infinite-dimensional subspace // Studia Math.-

1993.- V.105, N1.- P.37-49.'

[11] Ostrovskii M.I. On the classification of total subspaces of dual Banach spaces // C. r. Acad. bulg. Sc.- 1992.- V.45, N7.- P.9-10.

[12] Ostrovskii M.I. Characterizations of Banach spaces which are completions with respect to total nonnorming subspaces // Arch. Math.- 1993.- V.60.- P.349-358.

[13] Ostrovskii M.I. Total subspaces with long chains of nowhere norming weak* sequential closures // Note Mat.- 1993.- V.13.- P.217-227.

[14] Островский М.И. Замечание об аналитической представимости отображений, обратных к интегральным операторам // Математическая физика, анализ, геометрия.- 1994.- Т.1, N 3/4.- С.513-519.

[15] Ostrovskii M.I. On norming Markushevich bases // Математичні студії.- Львів,- 1995.- Віш. 5.- С.39-42.

[16] Ostrovskii M.I. On complemented subspaces of sums and products of Banach spaces // Proc. Amer. Math. Soc.- 1996.- V.124.- P.2005-2012.

[17] Ostrovskii M.I. Quojections without Banach subspaces // Bull. Polish Acad. Sci., Math.- 1996.- V.44.- P.143-146.

Островськш" М.Й. Класифікація тотальних підпросторів спряжених банахових просторів та її застосування.- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-мате- -матігчшіх наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз,-Фізішо-технічний інстнтут низьких температур ім. Б.І.Вєркіна НАН України, Харків, 1997.

Дисертація присвячена класифікації тотальних підпросторів спряжених банахових просторів. Ця класифікація здійснюється у двох напрямках. Перший напрямок присвячений питанню про те, наскільки далекими можуть бути тотальні підпрострп від нормуючих. Другий напрямок присвячений порівнянню класів підпросторів, які містять біортогональні функціонали базисів різних типів. Вирішені задачі про можливій порядок підпростору у спряженому до сепарабельного ба-нахового простору, про опис класу сепарабельних банахових просторів, спряжені до яких містять тотальні ніде не нормуючі підпростори. Доведено, що існують банахові простори з базисом, спряжені до яких містять квазібазисні підпростори, які не є базисними. Розвинута техніка застосовується до вирішення відомої задачі про структуру допов-нювальних підпросторів нескінчених добутків банахових просторів.

Ключові слова: банахів простір, спряжений простір, тотальній під-простір, базис банахового простору.

Островский М.И. Классификация тотальных подпространств сопряженных банаховых пространств и ее приложения.- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ.-Физико-технический институт низких температур им. Б.П.Веркина НАН Украины, Харьков, 1997.

Диссертация посвящена классификации тотальных подпространств

сопряженных банаховых пространств. Эта классификация проводится по двум направлениям. Первое направление посвящено вопросу о том, насколько далекими тотальные подпространства могут быть от нормирующих. Второе направление посвшцено сравнению классов подпространств, содержащих биортогональные функционалы базисов различных типов. Решены задачи о возможном порядке подпространства в сопряженном к сепарабельному банахову пространству, об описании класса сепарабельных банаховых пространств, сопряженные которых содержат тотальные нигде не нормирующие подпространства. Доказано, что существуют пространства с базисом, сопряженные которых содержат квазибазисные подпространства, не являющиеся базисными. Развитая техника применена для решения известной задачи о структуре дополняемых подпространств в бесконечных произведениях банаховых пространств.

Ключевые слова: банахово пространство, сопряженное пространство, тотальное подпространство, базис банахова пространства.

Ostrovskii M.I. Classification of total subspaces of dual Banach spaces and its applications.- Manuscript.

Thesis for a doctor’s degree by speciality 01.01.01- mathematical analysis.- B.I.Verkin Institute for Low Temperature Physics of National Academy of Science of Ukraine, Kharkov, 1997.

The thesis is devoted to classification of total subspaces of dual Banach spaces. This classification is developed in two directions. The first direction is devoted to the question: how far could total subspaces be from norming ones? The second direction is devoted to comparison of classes of subspaces containing biorthogonai functionals of bases of different types. The problem on possible orders of subspaces in the dual of a separable Banach space and on description of the class of separable

Banach spaces whose duals contain total nowhere norming subspaces are

solved. The existence of spaces with bases whose duals contain quasibasic

subspaces which axe not basic is proved. The developed technique is used

to solve a well-known problem on decription of complemented subspaces

in infinite products of Banach spaces.

Key words: Banach space, dual space, total subspace, basis of a Banach space.