Классы Харди, мультипликаторы Фурье и квадратичные функции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Парилов Дмитрий Владимирович

КЛАССЫ ХАРДИ, МУЛЬТПЛИКАТОРЫ ФУРЬЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ

01 01 01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ173124

Санкт-Петербург — 2007

003173124

Работа выполнена в Санкт-Петербургском отделении Математического института им В А Стеклова Российской академии наук

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ

доктор физико-математических наук, чл -корр РАН Кисляков Сергей Витальевич

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ

доктор физико-математических наук, профессор Широков Николай Алексеевич,

кандидат физико-математических наук, доцент Васин Андрей Васильевич

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

Санкт-Петербургский Электротехнический Университет

Защита диссертации состоится 42 » ¡1 ол суэ оЧ 2007 года в 46 часов на заседании Диссертационного совета Д 002 202 01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им В А Стеклова РАН по адресу 191023, Санкт-Петербург, наб р Фонтанки, д 27, к 311

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им В А Стеклова РАН

Автореферат разослан "¿>3 " 2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

Зайцев А Ю

Общая характеристика работы

Актуальность темы В последние десятилетия 20 века в теории классов Харди был разработан новый аппарат, основанный на методах вещественного анализа и повлекший за собой значительные результаты Описание вещественных классов Нр, 0 < р < 1, в терминах различного рода максимальных операторов и атомных разложений прояснило свойства функций из этих классов и в то же время предоставило универсальные средства для оценки сингулярных интегральных операторов Это привело к новым утверждениям о мультипликаторах Фурье Отметим лишь следующий замечательный факт, имеющий прямое отношение к содержанию диссертации и обнаруженный в середине 1980-х годов Рубио де Франсиа и Бур-гейном "половина" неравенства Харди Литтлпуда (верхняя //-оценка для соответствующей квадратичной функции) сохраняется при 1 < р < 2 для любого разбиения спектра на интервалы

Возможности этих новых методов отнюдь не исчерпаны, а многие важные вопросы ожидают своего решения В упомянутой выше теореме Рубио де Франсиа и Бургейна неясно было, например, как обстоит дело при 0 < р < 1 (полный ответ дан в диссертации, при этом существенную роль в доказательстве играют атомные разложения) За пределами шкалы Нр, впрочем, и о самих атомных разложениях было известно недостаточ-его среди классов Харди-Лоренца Нр 4 при р ф г/ результат имелся лишь для р = 1, д = оо (в диссертации этот пробел до некоторой степени восполнен) Выяснилось также, что даже в таком классическом утверждении, как теорема Марцинкевича о мультипликаторах, можно получить новую информацию, относящуюся к показателю р — 1 Все сказанное свидетельствует об актуальности выбранной темы

Цели работы 1. Доказательство теоремы об атомном разложении для пространств Харди-Лоренца //''' при 1 < д < оо

2. Поиск (и доказательство) вариантов теоремы Марцинкевича о мультипликаторах Фурье в случае показателя р, равного 1

3. Доказательство аналога неравенства Литтлвуда-Пэли для произвольных интервалов в случае показателя р € (0,2]

Общая методика работы. В работе применялись методы анализа Фурье и комплексного анализа, использовалась теория интерполяции Использовались также классические результаты функционального анализа

Основные результаты работы. Впервые получено атомное разложение для пространств Харди—Лоренца Н1'4 при 1 < д < оо Впервые доказан вариант теоремы теоремы Марцинкевича для показателя р = 1, утверждающий, что оператор, рассматриваемый в классической формулировке, отображает пространство Н1(К) в пространство Я1,0°(К). Изучение вопросов, связанных с неравенством Литтлвуда-Пэли для произвольных интервалов, привело к распространению результатов Л Рубио де Франсиа и Ж Бургейна на случай произвольного показателя р £ (0,2] Доказательство основано на атомных разложениях пространств Нр и теории сингулярных интегральных операторов и позволяет рассмотреть весь указанный интервал значений р единообразно, ранее техника, применяемая при р > 1 (Рубио де Франсиа) существенно отличалась от того, что проделал в случае р = 1 Бургейн

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер Результаты и методы диссертации могут быть использованы в близких вопросах анализа Фурье Ряд утверждений также может быть применен при исследовании ограниченности сингулярных интегральных операторов на различных классах функциональных пространств

Апробация работы Результаты диссертации докладывались на семинаре по математическому анализу ПОМИ РАН и СПбГУ, а также на международной конференции "Новые тенденции в комплексном и гармониче-

ском анализе", 7-12 мая 2007 г, Восс, Норвегия

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в трех научных статьях [11, 12, 13] Две статьи опубликованы в журналах, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав

В первой главе дано точное описание классов Харди-Лоренца Н1,я (1 < 9 < с») в терминах атомных разложений Это описание обобщает известные ранее случаи классов Нр, 0 < р < 1 (см , например, [1]) и //1,0° (см [2])

Вторая глава посвящена доказательству варианта теоремы Марцин-кевича при показателе р = 1 В случае одной переменной, в условиях классической теоремы, соответствующий мультипликатор оказывается непрерывным оператором из Н1 в //1,0°

Материал третьей главы был вызван к жизни желанием понять до конца открытый в середине 80-х годов 20 века феномен - неравенство Литтлвуда-Пэли для произвольных интервалов (см [6] и [7]) Это неравенство распространено на произвольные показатели р е (0, 2] (ранее оно было известно лишь для р € [1,2]) Это потребовало изучить один класс сложно устроенных сингулярных интегральных операторов

Текст диссертации изложен на 67 страницах (исключая список литературы) Список литературы содержит 21 наименование

Содержание диссертации

Определения и предварительные сведения

Классы Харди Пространства Харди Нр возникли как пространства аналитических функций в круге или полуплоскости Аналитическая в круге

функция / принадлежит классу Н7\ если

ж

sup ~ [ \f(relt)\dt < оо 0<г<1 ¿К J

— 7Г

Аналогично, функция /, аналитическая в верхней полуплоскости, принадлежит классу Нр в верхней полуплоскости, если

оо

SUp( / |/(:С + lt)\Pdx)e < ОО

t> О J

—00

Давно и хорошо известно, что такие функции имеют почти всюду граничные значения f(elt) — hm f(erlt) на единичной окружности в первом случае и f(x) = lim f(x + it) на вещественной прямой во втором (см [8] и [1]) Классы Нр можно отождествить с соответствующими пространствами граничных значений, тогда Нр становятся замкнутыми подпространствами в LP на окружности или на прямой

Начиная со статьи [9] особую популярность приобрело описание граничных классов ReHp в терминах вещественного анализа, а именно, в терминах различных максимальных функций Такая идеология позволила естественно перенести определение классов Харди на случай многих вещественных переменных Приведем одно из возможных определений в терминах некасательной максимальной функции

Распределение / на К" принадлежит классу Hr{R"), если

ЯЫЯ(х)= SUP |iW(2/)|ebp(Kn) (l)

(y,t)e Г«(х)

где ГЛ(х) = {(у, s) \у-х\< Ns} Здесь Pt{u) = и € Rn, f > О

- это ядро Пуассона Получающийся класс функций не зависит от параметра N С технической точки зрения бывает полезно варьировать значение параметра N в пределах одного рассуждения (см , например, главу 1 дис-сертаци) Аналогичное определение можно высказать для круга (см [1])

Эти вещественные классы Харди оказались естественной областью действия для различного класса сингулярных интегральных операторов, как правило разрывных в соответствующих пространствах LP В настоящее

время существует много методов оценивать такие операторы на классах Харди, но, пожалуй, самый эффективный из них связан с использованием так называемых атомных разложений

Атомное разложение Вещественнозначная функция а, сосредоточенная на кубе /, будет называться (р, г)-атомом при 0 < р < 1 и р < г и г > 1, если

(щ J |а(а;)|г(£с);: < при г < оо i

или

||а||оо < ПРИ г = оо

и

[ a(x)xkdx = 0 при < - 1)],

J Р

R"

где fc-мультииндекс Отметим, что (р, оо)-атом всегда является (р, г)-атомом для любого г Приведем классическую формулировку теоремы об атомном разложении в пространстве Нр при 0 < р < 1

Теорема . 1) Рассмотрим распределение f 6 Нр, 0 < р < 1 Тогда существует последовательность (р,оо)-атомов (üj) и последовательность

вещественных чисел (\3), 1Лг — C\\f\\i{pp, такая что f = -\)ej

з }

сходится к f в Нр, а значит сходится и в смысле теории распределений

2) Обратное утверждение Если / = У] в смысле теории рас-

j

пределений где [А^ \р < оо и (a¿) является последовательностью (р, г)-з

атомов для некоторого фиксированного г, 1 < г < оо, то f G Нр и

|1Л|н/<С7£|А/

з

Идеология оценки операторов на классах Нр состоит в том, что часто бывает достаточно проверить равномерную ограниченность на атомах

Сингулярные интегралы За подробностями мы отсылаем читателя к [1, 4, 5] Приведем основные определения и свойства сингулярных интегральных операторов, используемые в диссертации Определения будут

приведены для пространства Кп, аналогичными определениями мы будем пользоваться и на окружности

Пусть £и Г - два гильбертовых пространства, а Т - линейный оператор, переводящий Е-значные функции в /''-значные Оператор Т называется сингулярным интегральным оператором, если он удовлетворяет следующим условиям

(1) Оператор Т ограниченно действует из пространства £2(МП, Е) в ¿2(М",

(2) Существует локально интетрируемая функция К М" хМ"\ {(г, х) х 6 К"} -> С(Е, такая что

Т/(х) = I К{х,у)Лу)йу

/

для любой ограниченной £-значной сильно измеримой ограниченной функции / с компактным носителем, при пв I вне носителя функции /

Оператор с ядром К(х,у) удовлетворяет условию Д», если

\\К(Х,У1)-К(х,т)\\<С^^

при \х — у> 2\ух -У21

Оператор удовлетворяет условию (или условию Хермандера), если \\К(х,У1)-К{х,У2)\\с1х<С <<х>

\х-У1\>2\у1-у2\

Операторы, обладающие свойством О у, действуют ограниченно на классах V при 1 <р< 2 и имеют слабый тип (1,1), те {х ||Т/(1)||^ > М < сН/Ц^^А"1 Те же выводы сохраняются (см , например, [3]) и при менее ограничительных условиях Одним из таких условий мы будем пользоваться в главе 3

Формулировка основных результатов.

Теорема об атомном разложении (см [1]) была сформулирована выше Как уже говорилось, она находит применение при изучении ограниченности операторов на пространствах Харди Нр

Во многих задачах также естественно рассматривать пространства Харди -Лоренца Нр/> Определение этих пространств полностью аналогично определению (1), только соответствующая максимальная функция должна лежать в пространстве Лоренца ЬРЧ Напомним, что функция / лежит в пространстве Лоренца если такой интеграл конечен (см , например, [Ю1)

оо

о

Здесь /* - невозрастающая перестановка функции / Отметим, чго //''' — и\ а и1'"' - это "слабое" пространство и\ состоящее из функций /, удовлетворяющих следующему неравенству | {х /(х) > а}| < Аа~р

Для пространств Харди-Лоренца тоже естественно искать характо-ризацию в терминах атомных разложений Однако результат был известен только для пространства Н1'°° (см [2]) В первой главе мы докажем теорему об атомном разложении в классах Н1,я Для простоты ограничимся случаем одной переменной

Теорема (Об атомном разложении в пространстве Н1 '(К), где 1 < д < оо ) Рассмотрим функцию / £ Н1,я Тогда существует последовательность квадратично-суммируемых функций удовлетворяющая следую-

щим требованиям

1) / — Д —» 0 в смысле теории распределений,

\k\KN

2) каждая функция Д в свою очередь может быть разложена в сумму

оо 3=1

где функции д* удовлетворяют следующим требованиям

(a) функция д^ сосредоточена на интервале 1](к),

(b) интервалы 12(к) попарно не пересекаются,

(c) I = 0, Г, (к)

(*) 115*112 < с2%(к)\1'2,

(е)

к

11/н

Н1'

Обратное утверждение Если функция / удовлетворяет условиям 1), 2), а), с) и <1), интервалы 13{к) имеют конечную кратность пересече-

ния, а также [ ^2*®

и/, (Л)

з

<Си то/еН1'" и Ц/Ця1« < С Си

где С - некоторая абсолютная константа

Отметим, что условие (

(с

и/, (Л)

3

< С1 характерно для того

случая, когда показатели рид, участвующие в определении пространств Харди-Лоренца, различны При q ~ со подобное условие появилось еще в [2]

Теорема Марцинкевича Вторая глава посвящена доказательству варианта теоремы Марцинкевича для случая р—1 Приведем формулировку георемы в классическом случае Под диадическими интервалами мы будем понимать промежутки вида [2*", или (-2~к~1, — 2~к], где к-целое число

Теорема (Марцинкевич) Пусть т - функция на К, удовлетворяющая следующим условиям

1 ЦтЦоо < с,

2 / \т'\ < с для любого диадического интервала I

I

Тогда оператор 1т, заданный равенством (Тт/)^ = тп/} отображает пространство V в пространство V при 1 < р < оо

Здесь и всюду в автореферате ~ обо значает преобразование Фурье Формулировку теоремы Марцинкевича в многомерном случае можно найти в книге [4]

Если показатель р равен 1, сказать что-то определенное про действие оператора Тт достаточно трудно даже в одномерном случае Для многих переменных ситуация еще более осложняется гем, что действие оператора представляет собой некоторую комбинацию сингулярных интегральных операторов по различным переменным Хотя в размерности 1 в доказательстве встречаются лишь однократные сингулярные интегралы, их финальная комбинация уже таковым не является, и поэтому ограниченность мультипликатора получается лишь при р > 1 (нет, вообще говоря, даже слабого типа (1, 1)) Однако, в размерности 1 все же некоторую информацию при р = 1 получить можно - именно этому и посвящена основная теорема главы 2 Мы формулируем ее в случае, когда т(£) — 0 при £ < О Общий случай мгновенно сводится к этому

Теорема . Пусть т - функция на удовлетворяющая условию теоремы о мультипликаторах

1 1М1°о < с,

2(+1

^ / < с при всех I € 1.

V

Тогда оператор Тт, заданный равенством (Т/)А = mf, отображает пространс7пво //'(К) в пространство

В доказательстве используется техника теории сингулярных интегралов и атомных разложений

Неравенство Литтлвуда-Пэли для произвольных интервалов. Отдельная глава диссертации (третья) полностью посвящена исследованию вопросов, связанных с неравенством Литтлвуда-Пэли для произвольных интервалов

Приведем классическое неравенство Литтвуда-Пэли В нашей формулировке оно фактически говорит, что норма функции / из аналитического класса Нр эквивалентна 1Лнорме некоторого квадратичного выражения

при 1 < р < оо Разумеется, то же верно и для / из Ьр, если ввести в игру еще и интервалы -

Теорема . Пусть Ак = [а^, а*.,.!), > 0 и а^-н/а*. > А > 1, где А не зависит от к Тогда следующие неравенства справедливы при любом р €

если носитель преобразования Фурье функции Д- содержится в Ак Постоянные Ср и Ор зависит только от р Здесь и далее Мд/ = (/хд)у мультипликатор Фурье, соответствующий множеству Д

Отправной точкой в исследованиях этой главы послужил замечательный факт, доказанный в 1983 году Л Рубио де Франсиа [6] Для определенности мы говорим о функциях на окружности, но все сказанное ниже имеет естественные аналоги и на прямой

Пусть {Да:} - любые попарно не пересекающиеся интервалы в Ъ Тогда при р 6 [2, оо) справедливо неравенство

Ср зависит только от р Таким образом, одна из оценок из неравенства Литтлвуда-Пэли сохраняется без всяких дополнительных условий на интервалы

Это неравенство допускает естественную двойственную переформулировку для р € (1,2]

если я'црр Д с Да- Вслед за тем Бургейн в [7] распространил это двойственное неравенство на случай р=1 Доказательство Бургейна представляет собой фейерверк различных математических приемов, и его никак

(1,оо)

и

нельзя назвать простым Более того, подход Бургейна сильно отличался от идей, использованных Рубио де Франсиа

Основной результат главы 3 гласит, что в действительности упомянутое двойственное неравенство верно для всех показателей р € (0,2] При этом доказательство проводится единообразными методами для всех р и дополнительная техника, использованная Бургейном для случая р = 1, оказывается ненужной Приведем точную формулировку

Теорема . Пусть Д^ С - попарно не пересекающиеся интервалы и пусть 0 < р < 2

(а) Если ¡к - тригонометрические полиномы такие, что Бирр/* С Дь то

к

, .......П

I//»(Т) II '/ 11£Р(Т)

(Ъ) Если дк - измеримые функции такие, что € £1(Т),

ЕмлбЯ1"!')«

2У/2!1

"(Т) и V —' ) Иь^Т)

Несколько слов о методе доказательства После стандартного в этих ¡¡опросах измельчения и регуляризации исходных промежутков (эти приемы использовались как Рубио де Франсиа, так и Бургейном) дело сводится к изучению ограниченности оператора Т, переводящего ¿2-значные функции в скалярные и действующего но такой формуле

3

где в качестве последовательности {у1']} используются тригонометрические полиномы, подчиненные неким специальным условиям Среди них есть условия на "размер" функций которые мы сейчас не воспроизводим,

а также условия структурного характера, которые удобно привести Во-первых, предполагается, что

вирр Ф^ С Г^ = [0,т} — п;], при этом отрезки [п7,тт^] С Ъ попарно не пересекаются Другое структурное ограничение выглядит так

длины всех отрезков Г, — степени двойки и

(3)

|Г,| = |Гу| => Ф, = Ф,

Как мы увидим, все вместе эти условия гарантируют, что интересующий нас оператор можно интерпретировать как сингулярный интегральный оператор типа Кальдерона-Зигмунда При этих предположениях справедливы такие результаты, достаточные для доказательства сформулированной выше теоремы

Теорема . Оператор Т непрерывно отображает в // при 1 < р < 2

и Нр(12) в 1Р при 0 < р < 1

Следствие 1 ОператорТ непрерывно отображает пространство //1,00(^2) в Я1-00

Если отвлечься от технических деталей доказательства неравенства Литтлвуда-Пэли и рассматривать операторы вида (2) сами по себе, го условие (3) выглядит неестественным и чрезмерно жестким В заключение диссертации мы приведем вариант только что сформулированной теоремы при иных, более свободных ограничениях на участвующие функции и интервалы, выраженных в терминах вторых разностей

вир |Ф;(/)| < оо,

зиР|Ф,(г +1) - 2Ф,(0 + -1)1 < с\А3\-\

3 (

при этом найдется такая постоянная М, что вторая разность Ф,(/+1)-2Ф,(/) + $,(/-!)

отлична от нуля не более, чем для М значений параметра I

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю чл -корр РАН С В Кислякову за постановку задач, всестороннюю поддержку и помощь в исследованиях и постоянное внимание к работе

Литература

[1] J. Garcia-Cuerva, J. L. Rubio de Francia // Weighted norm inequalities and related topics / -North-Holland 1986

[2] R. Fefferman and F. Soria // The space Weak Я1 / - Studia Mathematica 85, - No 1 (1986), - P 1-16

[3] F J. Ruiz and J L. Torrea// Calderon-Zygmund theory for operator-valued kernels / — Advances m mathematics 62, — No 1 (1986), — P 1-46

[4] Стейн И. // Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций /— Мир, М 1973

[5] Stein Е. М. // Harmonic Analysis Real-Variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals / —Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1993

[6] Rubio de Francia J L. // A Littlewood-Paley inequality for arbitrary intervals / — Rev Mat Iberoamer , — No 1 (1985), - P 1-13

[7] Bourgain J // On square functions on the trigonometric system / — Bull Soc Math Belg , - Vol 37, - No 1 (1985), - P 20-26

[8] Koosis, P // Introduction to Hp Spaces/

— London Mathematical Soc Lecture Notes, — Series 40, — (1980)

[9] Fefferman, C., Stein E. M // If Spaces of several variables/ — Acta Math, - T 129 (1972)

[10] Stem E. M , Weiss, G.,// Introduction to Fourier Analysis on Euclidian Spaces/ — Princeton Umv Press, Princeton N J (1971)

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[11] Кисляков С. В , Парилов Д. В // О теореме Литлвуда-Пэли для произвольных интервалов/ Записки научных семинаров ПОМИ — СПб 2005 - Т 327 - С 98-113

[12| Парилов, Д. В.// Две теоремы о классах Харди—Лоренца Я1,?/ — Записки научных семинаров ПОМИ - СПб 2005 - Т 327 - С 150167

[13] Кисляков С. В., Парилов Д В.// О сингулярных интегралах, связанных с неравенством Литлвуда-Пэли для произвольных интервалов/ —Записки научных семинаров ПОМИ — СПб 2007 — Т 345 — С 113-119

Введение

1 Атомное разложение в пространствах Я1,

2 Новое в теореме Марцинкевича

2.1 План доказательства.

2.2 Вычисления.

3 О теореме Литлвуда-Пэли для произвольных интервалов

3.1 Схема доказательства.

3.2 Доказательство теоремы 3.2.

3.3 О сингулярных интегралах в неравенстве Литтлвуда-Пэли.

Актуальность темы. В последние десятилетия 20 века в теории классов Харди был разработан новый аппарат, основанный на методах вещественного анализа и повлекший за собой значительные результаты. Описание вещественных классов Нр, 0 < р < 1, в терминах различного рода максимальных операторов и атомных разложений прояснило свойства функций из этих классов и в то же время предоставило универсальные средства для оценки сингулярных интегральных операторов. Это привело к новым утверждениям о мультипликаторах Фурье. Отметим лишь следующий замечательный факт, имеющий прямое отношение к содержанию диссертации и обнаруженный в середине 1980-х годов Рубио де Франсиа и Бургейном: "половина" неравенства Харди-Литтлвуда (верхняя /^-оценка для соответствующей квадратичной функции) сохраняется при 1 < р < 2 для любого разбиения спектра на интервалы.

Возможности этих новых методов отнюдь не исчерпаны, а многие важные вопросы ожидают своего решения. В упомянутой выше теореме Рубио де Франсиа и Бургейна неясно было, например, как обстоит дело при 0 < р < 1 (полный ответ дан в диссертации, при этом существенную роль в доказательстве играют атомные разложения). За пределами шкалы Нр, впрочем, и о самих атомных разложениях было известно недостаточно: среди классов Харди-Лоренца Нм при р Ф q результат имелся лишь для р = 1, q = оо (в диссертации этот пробел до некоторой степени восполнен). Выяснилось также, что даже в таком классическом утверждении, как теорема Марцинкевича о мультипликаторах, можно получить новую информацию, относящуюся к показателю р = 1.

Все сказанное свидетельствует об актуальности выбранной темы.

Цели работы. 1. Доказательство теоремы об атомном разложении для пространств Харди-Лоренца Я1'9 при 1 < q < оо.

2. Поиск (и доказательство) вариантов теоремы Марцинке-вича о мультипликаторах Фурье в случае показателя р, равного 1.

3. Доказательство аналога неравенства Литтлвуда-Пэли для произвольных интервалов в случае показателя р Е (0,2].

Общая методика работы. В работе применялись методы анализа Фурье и комплексного анализа, использовалась теория интерполяции. Использовались также классические результаты функционального анализа.

Основные результаты работы. Впервые получено атомное разложение для пространств Харди—Лоренца H1,q при 1 < q < оо. Впервые доказан вариант теоремы теоремы Марцинкевича для показателя р = 1, утверждающий, что оператор, рассматриваемый в классической формулировке, отображает пространство Н1(Ш) в пространство Н1'°°(Ж). Изучение вопросов, связанных с неравенством Литтлвуда-Пэли для произвольных интервалов, привело к распространению результатов Л.Рубио де Франсиа и Ж.Бургейна на случай произвольного показателя р £ (0,2]. Доказательство основано на атомных разложениях пространств Нр и теории сингулярных интегральных операторов и позволяет рассмотреть весь указанный интервал значений р единообразно, ранее техника, применяемая при р > 1 (Рубио де Франсиа) существенно отличалась от того, что проделал в случае р = 1 Бургейн.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы в близких вопросах анализа Фурье. Ряд утверждений также может быть применен при исследовании ограниченности сингулярных интегральных операторов на различных классах функциональных пространств.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по математическому анализу ПОМИ РАН и СПбГУ, а также на международной конференции "Новые тенденции в комплексном и гармоническом анализе", 7-12 мая 2007 г., Восс, Норвегия.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в трех научных статьях [19, 20, 21]. Две статьи опубликованы в журналах, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. Нумерация разделов, формул, лемм и следствий ведётся отдельно для каждой главы.

1. J. Garcia-Cuerva, J. L. Rubio de Francia // Weighted norm inequalities and related topics / -North-Holland: 1986.

2. R. Fefferman and F. Soria // The space Weak H1 / -Studia Mathematica 85, No. 1 (1986), - P. 1-16.

3. F. J. Ruiz and J. L. Torrea // Calderon-Zygmund theory for operator-valued kernels / — Advances in mathematics 62, — No. 1 (1986), P. 1-46.

4. A. Torchinsky // Real-variable methods in harmonic analysis / — Academic Press: 1986.

5. Стейн И. // Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций /— Мир, М.: 1973.

6. Stein Е. М. // Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals / —Princeton University Press, Princeton, New Jersey: 1993.

7. Rubio de Francia J. L. // A Littlewood-Paley inequality for arbitrary intervals / — Rev. Mat. Iberoamer., — No. 1 (1985), — P. 1-13.

8. Bourgain J. // On square functions on the trigonometric system / Bull. Soc. Math. Belg., - Vol. 37, - No. 1 (1985), - P. 20-26.

9. Kislyakov S. V. // Fourier coefficients of continuous functions and a class of multipliers / — Ann. Inst. Fourier, — Vol. 38, — No. 2 (1988), P. 147-184.

10. Трибель X. // Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы / — Мир, Москва: 1998.

11. S. V. Kislyakov, Q. Xu // Interpolation of weighted and vector-valued Hardy spaces / — Trans. Amer. Math. Soc., — Vol.343, No. 1 (1994), - P. 1-34.

12. Б. С. Кашин, А. А. Саакян // Ортогональные ряды / — Наука, Москва: 1984.

13. Зигмунд А. // Тригонометрические ряды / — Т. 1, Мир, Москва: 1965.

14. Bourgain J.// Vector-valued singular integrals and the #J-BMO duality./ In: Probability Theory and Harmonic Analysis, J. A. Chao and W. A. Woyczyriski (eds.) Pure and Appl. Math., M. Dekker, New York and Basel: 1983

15. Koosis, P.// Introduction to Hp Spaces/1.ndon Mathematical Soc. Lecture Notes, — Series 40, — (1980)

16. Fefferman, C., Stein E. M.// Hp Spaces of several variables/- Acta Math, T. 129 (1972)

17. Привалов И. И.// Граничные свойства аналитических функций./ М.; Л.:. ГИТТЛ, 1950. 7.

18. Stein Е. М., Weiss, G.,// Introduction to Fourier Analysis on Euclidian Spaces/ — Princeton Univ. Press, Princeton N.J. (1971)ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

19. Кисляков С. В., Парилов Д. В.// О теореме Литлвуда-Пэли для произвольных интервалов/ Записки научных семинаров ПОМИ. СПб.: 2005.- Т. 327.- С. 98-113.

20. Парилов, Д. В.// Две теоремы о классах Харди-Лоренца Я1'9/ —Записки научных семинаров ПОМИ. — СПб.: 2005 — Т. 327 С. 150-167.

21. Кисляков С. В., Парилов Д. В.// О сингулярных интегралах, связанных с неравенством Литлвуда-Пэли для произвольных интервалов/ —Записки научных семинаров ПОМИ. СПб.: 2007.- Т. 345.- С. 113-119.