Когерентная и стохастическая динамика трёхуровневых атомов в поле оптического излучения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

08-3 3602

vann i i

^рбургский Государственный Университет Информационных Технологий, Механики и Оптики

На правах рукописи

Рождественский Юрий Владимирович

КОГЕРЕНТНАЯ И СТОХАСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА ТРЁХУРОВНЕВЫХ АТОМОВ В ПОЛЕ ОПТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

Специальность 01.04.05 - «Оптика»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт - Петербург 2008 г.

Работа выполнена в «Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики»

Научный консультант:

д.ф.- м.н., профессор Перлин Евгений Юрьевич

Официальные оппоненты:

д.ф,- м.н., профессор Жолнеров Вадим Степанович д.ф.- м.н., профессор Стаселько Дмитрий Иванович д.ф,- м.н., профессор Чаповский Павел Львович

Ведущая организация:

Санкт - Петербургский Государственный Университет

Защита состоится 14 октября 2008 г. в 15 часов на заседании Совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 212.227.02 при Санкт-Петербургском Государственном Университете Информационных Технологий, Механики и Оптики по адресу: 197101, Санкт - Петербург, Кронверкский пр., 49.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ ИТМО Автореферат разослан « »_2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного Совета Д 212.227.02, д.ф.- м.н., профессор

Козлов С.А.

эЛИи 1 £ N « I

--1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы данной диссертационной работы состоит в том, что вопросы, которые изучаются в представленной работе, относятся к фундаментальным проблемам такой быстроразвивающейся области исследований, как механическое действие оптического излучения на атомы. В этой области традиционно выделяют несколько основных направлений исследований -лазерное охлаждение и удержание атомов [1,2,4-6,8], когерентное рассеяние атомных волновых пакетов полем оптического излучения[1-3,5] и управление параметрами уже охлажденных атомных пучков. Отдельное место занимает физика ультрахолодных атомных ансамблей, которая включает в себя изучение конденсации Бозе-Эйнштейна и взаимодействие такого объекта с полем оптического излучения [7]. Соответственно актуальными проблемами лазерного охлаждения являются: изучение новых механизмов лазерного охлаждения, создание интенсивных пучков холодных атомов, локализация атомов на масштабах длины световой волны. В случае когерентного рассеяния волновых пакетов такими проблемами являются скоростная селекция атомов в определенных внутренних состояниях, реализация эффективных расщепителей атомных волновых пакетов при многозонном взаимодействии с полем оптического излучения. Эти и другие фундаментальные проблемы, рассматриваемые в данной работе, делают представленную диссертационную работу, безусловно, актуальной.

Научная новизна настоящей работы определяется тем, что в ней впервые представлены следующие важные научные результаты; так, посредством, рассмотренной в диссертации скоростной селекции трехуровневых атомов рамановскими л - импульсами возможно формирование узких скоростных распределений в определенных внутренних состояниях, что открывает путь к реализации глубокого охлаждения. Исследовано получение узких скоростных распределений холодных атомов в ридберговских состояниях при ступенчатом возбуждении. Показано, что когерентный перенос населенностей в многоуровневой системе эффективен для реализации расщепителей пучков в одном из внутренних состояний атома. Кроме того, рассмотрено рассеяние волновых атомных пакетов при модуляции интенсивности светового поля стоячей волны и показан параметрический характер такого рассеяния в зависимости от значений параметров модуляции. Другим примером параметрического рассеяния является рассеяние волновых пакетов трехуровневых атомов в поле четырех стоячих световых волн с различными фазовыми сдвигами.

В диссертации также представлены важные общетеоретические результаты в области лазерного охлаждения, такие как вычисление силы светового давления, в поле плоских волн, что позволило глубже понять природу градиентной силы. Впервые рассмотрены различные механизмы субдоплеровского охлаждения, связанные с проявлением в системе трехуровневых атомов эффекта когерентного пленения населенностей и различных вариантов т.н. «сизифова» охлаждения.

Наконец, впервые проведен анализ повышение эффективности лазерного охлаждения атомных пучков как в случае подстройки частоты лазерного излучения, так и изменения магнитным полем частоты резонансного перехода. Для этого введена новая величина, характеризующая ансамбль атомов в целом -энтропия Ренье, которая в случае равновесного распределения Гаусса совпадает с плотностью частиц в фазовом пространстве.

Практическая значимость. Практическая ценность проведенных исследований также высока. Так, например, на основе лазерно-охлаждённых атомных пучков созданы стандарты частоты со стабильностью на уровне 10~17 и атомные интерферометры, которые уже сейчас позволяют проводить прецизионные измерения скорости вращения, величины гравитационного ускорения и постоянной тонкой структуры. Кроме того, такие устройства перспективны и в качестве сверхчувствительных магнитометров.

Отметим также, что в последнее десятилетие активно развивается нанолито-графия на основе пучков холодных атомов. При этом уже получены атомные решётки с периодом порядка длины волны оптического излучения Я и ширинами структур А/25 = 24нм. В тоже время совершенствование техники рассеяния атомных волновых пакетов также ведёт к реализации идеально периодических решеток атомной плотности с периодом, в сотни раз меньшим длины волны оптического излучения, что представляет несомненный интерес для дальнейшего развития микроэлектроники и нанотехнологий.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. При скоростной селекции трёхуровневых атомов в различных внутренних состояниях формируются сверхузкие скоростные распределения.

2. Возбуждение четырехуровневого атома последовательностью световых импульсов в условиях адиабатического переноса населенности реализует эффективный расщепитель волнового пакета атома в одном из внутренних состояний.

3. Когерентная динамика трехуровневого атома в поле стоячих волн качественно зависит от значения относительного пространственного сдвига стоячих световых волн.

4. Градиентная и спонтанная части силы светового давления имеют общую природу и являются частями полной силы светового давления, действующей на атом в поле оптического излучения.

5. Предложен эффективный критерий оптимизации лазерного охлаждения на основе энтропии Реньи с целью получения интенсивных пучков холодных атомов.

6. При лазерном охлаждении атомов в условиях когерентного пленения насе-ленностей в поле бегущих встречных световых волн реализуются новые механизмы субдоплеровского охлаждения.

7. Охлаждение трехуровневых атомов в поле двух стоячих волн с относительным пространственным сдвигом осуществляется посредством качественно различных механизмов субдоплеровского охлаждения.

Апробация результатов работы была проведена на различных международных симпозиумах и конференциях: конференциях европейской группы по квантовой спектроскопии - 23гЛ Е.С.А.З, Торунь, Польша (1991), 251Ь Е.С.А.З, Каен, Франция (1993), 2б'ь Е.С.А.Б, Барселона, Испания (1995), 28л Е.С.А.Б, Марсель, Франция (1999); на европейских конференциях по квантовой электронике -Е<ЗЕС'93, Фирензе, Италия (1993), ЕС?ЕС'94, Амстердам, Голландия (1994), Е<ЗЕС'2000, Флоренция, Италия; на конференциях европейского научного общества по квантовой оптике (Давос, Швейцария 1994, 1995); на международных конференциях по когерентной и нелинейной оптике - КиНО'91, Ленинград, Россия, КиНО'95, С.- Петербург, Россия, КиНО'2003, Москва, Россия, Ки-Н0'2005, С.- Петербург, Россия; на международных симпозиумах в 1997 и 2004 гг. «Проблемы современной лазерной физики», Новосибирск, Россия; на научных семинарах института спектроскопии РАН г.Троицк Моск.обл. (1990 - 2000 гг.), в университетах г. Лейдена (Нидерланды) 1993 г. и штата Мичиган (США) в 1995 г., а также на семинарах и конференциях в ГОИ им. С. И. Вавилова, С.Петербург, Россия.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 32 статьях в рецензируемых отечественных и зарубежных журналах.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх основных глав и заключения. Объём диссертации составляет 256 страниц, включая 70 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении рассмотрены основные идеи и этапы развития исследований в области механического действия оптического излучения на атомы. В лазерном охлаждении атомов традиционно выделяют следующие основные этапы -доплеровское охлаждение атомов [1,2,8], механизмы субдоплеровского охлаждения атомов и глубокое охлаждение атомных ансамблей - ниже температуры, соответствующей энергии отдачи атома [4,5,8]. Здесь же рассмотрены различные типы ловушек (оптические, магнитные и магнитооптические) для нейтральных атомов, которые фактически стали одним из ключевых инструментов в

экспериментальных исследованиях, как лазерного охлаждения, так и атомной оптики [5,6]. В качестве оригинальных приложений лазерного охлаждения рассмотрены стандарты частоты на основе «атомного фонтана», нанолитогра-фия с охлаждёнными атомами и метод оптического пинцета. Причём «атомный фонтан» успешно используется как для измерения ускорения свободного падения, так и для измерения постоянной тонкой структуры, а при помощи нанолитографии с охлаждёнными атомами уже сейчас удалось получить периодические структуры атомной плотности с периодом Я/2 и характерной шириной отдельных пиков Я/25 (Я-длина световой волны) [9]. Наконец, метод оптического пинцета позволяет манипулировать с отдельными кластерами, бактериями и даже отдельными сложными молекулами [4].

Другой областью исследований, где проявляется механическое действие оптического излучения, является когерентное рассеяние атомных волновых пакетов в поле как бегущих, так и стоячих световых волн [3]. При воздействии на волновой пакет двухуровневого атома л- импульса оптического излучения одновременно с инвертированием населенности происходит передача атому импульса величиной Ьк, где к = 2/г/Я - волновое число. Данное обстоятельство привело к идее атомного интерферометра типа Маха-Зендера, что позволило провести прецизионные измерения ускорения свободного падения и постоянной тонкой структуры.

Далее рассмотрено когерентное рассеяние волновых пакетов атомов в поле пространственно-периодического потенциала, наведенного стоячей световой волной [1-3]. Основным здесь является создание новых оптических элементов для атомов, с помощью которых можно управлять когерентной динамикой волновых атомных пакетов: световых зеркал для отражения (отклонения) атомного пучка и делителя начального волнового пакета в пространстве импульсов. Последнее устройство представляет особый интерес, поскольку при импульсном расщеплении волнового пакета величиной 8р возникает периодическая решётка атомной плотности с пространственным периодом 8г=Ы 8 р . В результате, когда расщепление происходит только в две импульсные когерентные компоненты с 8р -\00fik, период пространственной решетки атомной плотности составляет Я/100, т.е. порядка 6-8 нм.

В первой главе представлено исследование трансляционной динамики атомных волновых пакетов в поле бегущих световых волн. При этом когерентное возбуждение осуществляется как рамановскими л- импульсами, так и последовательностью импульсов, реализующих адиабатический перенос населенности. В § 1.1 рассматриваются общие вопросы управления когерентной динамикой волнового пакета посредством последовательности световых импульсов. В § 1.2 вводится понятие л- импульса на примере простейшей двухуровневой системы, взаимодействующей с полем бегущей световой волны, и обсуждается «теорема площадей», а также особенности проявления действия л- импульсов при учете эффекта отдачи. В случае двухуровневой системы выражения для населенностей Ыхг полученные в результате решения нестационарного уравнения Шредингера имеют вид

^(р+1/2,г-)=|^0)(р+1/2)|2[(2р-А)+4^02со82(^/2)]/^, (1.1)

М2(р -1 / 2, г) = |а,<0)(/> +1 / 2)|2 (4Яо2 /?)*т2(4т/2), (1.2)

где ¿;г = 4g02 + (2р-Д)2, g0 = g / й)я - безразмерная частота Раби, А = /соя -расстройка и т = Ю)к — время соответственно, импульс атома р выражен в единицах Нк, а со„ = Ьк112М - частота отдачи, и мы считали, что <=я|(0)(р,г = 0) = ехр[-(р + 1/2)2/(Др)2] и ЛГ2°=а<С)(р,г = 0) = 0.

Как видно из (1.1), (1.2) полное инвертирование населенности в двухуровневом атоме N,=0, Л^ = 1 возможно только для резонансного значения атомного

импульса рга= А/2 спустя время Тп=пл1%, п = 1,2,3,... В то же время для всех остальных значений атомного импульса вероятность заселения Иг второго уровня уменьшается как р~г (1.2). Причём ширина пика атомов 8р в состоянии 12 > определяется только частотой Раби 5р = 2g0.

Рис. 1.1 (слева). Трехуровневый атом в Л - конфигурации в поле двух встречных бегущих световых волн. Волна с частотой а, резонансна оптическому переходу |1) - |3), волна с частотой а>2 - оптическому переходу |2) - |3), а переход |1) - |2) запрещен в дипольном приближении.

Рис.1.2 (справа). Скоростная селекция А- атомов во встречных волнах для £„ = I,Д = 10. Показаны импульсные распределения населенностей уровней |1) -Л^и |2) -Л^ для времени взаимодействия, которое соответствует первому я- импульсу (г = 15). Импульсное распределение населенности состояния |2) представляет собой узкий пик с шириной 8р = 0.01.

В §1.3 исследуется возбуждение трехуровневой Л - системы (рис. 1.1), взаимодействующей с полем двух бегущих световых волн, отстроенных от резонанса с верхним возбужденным уровнем (т.н. случай рамановского возбуждения). В этом случае возникает возможность когерентного обмена (т.е. без заселения промежуточного возбужденного уровня) населенностью между двумя крайними

состояниями с помощью т.н. «двухфотонных» л- импульсов. При этом не только переносится населенность, но и происходит обмен импульсом между полем и атомом, что обусловливает использование таких л- импульсов для управления атомной динамикой. Заселение состояния |2) в случае, когда изначально вся населённость находилась в |1) с импульсной шириной Ар, наиболее эффективно для значения атомного импульса рт = 1 при ширине пика импульсного распределения Sp = ^f2g02/Д (рис. 1.2). В то же время для других значений импульсарт вероятность обнаружить атом в состоянии |2) резко уменьшается, так же как это было для случая двухуровневого атома (1.2). Однако в случае трёхуровневого атома узкие ширины скоростных распределений 8р<< 1 могут быть получены при относительно больших значениях частот

Раби g0, и необходимо только выполнения условия А » #02.

Скоростная селекция в каскадной схеме атомных состояний при двухфотонном возбуждении атомов из основного состояния |1) в ридберговские состояния 12)

представлена в § 1.4. (рис. 1.3).

Рис.1.3. Трехуровневый атом в каскадной конфигурации состояний, взаимодействующий с полем двух бегущих световых волн с частотами о)т и

волновыми векторами кт , частотные расстройки и скорости спонтанных релаксаций для переходов | т) «-Н 3) обозначены как ущ (т = 1,2).

Отметим, что для обеспечения режима ра-мановского взаимодействия частотные расстройки П^соц-а^ С12=а>2)-а>2 световых полей должны удовлетворять условию |П,2 1»В,2,)',2, где у,2 - скорости спонтанных распадов и - частоты Раби световых волн. Тогда для получения ширины скоростного распределения атомов в состоянии |2), меньшей скорости отдачи уй=Н(к1 + к2)/М, необходимо

выбрать соответствующие параметры взаимодействия >1 и g1 /П<ия < 1, где соЛ=Й(Л, + к2)г/2М - частота отдачи. Применение такого метода требует, чтобы время формирования скоростного пика в состоянии |2) было меньше времени жизни ридберговского состояния у~2 . Кроме того, требуется ещё и малость населённости промежуточного состояния |3), что достигается при П»^. Например, при каскадном возбуждении атомов через состояния

325|/2 —>3гРу20/2) -> 4025|/2ширина узкого скоростного пика =1 см/с ридбергов-

ских атомов достигается за время =Ю4^|"1 (Ю"5 с) при частоте Раби g = и

к2,(02

П2

Л,

¿У)

|2>

У2

|з>

у.

расстройке П=103у, для времён жизни состояния |3)-г, =1.6х 10~8с и |2)-г2 =6х10~5с.

Далее в §1.5 обсуждаются оптические устройства для управления временной динамикой волнового пакета трехуровневого атома: атомное зеркало и делитель волнового атомного пакета на основе рамановских л- импульсов. Рассмотрим, например, реализацию делителя волнового атомного пакета. Будем считать, что начально были заселены оба нижних состояния Л- атома и ширины импульсных распределений на этих уровнях малы 5p<hk. Тогда после приложения я -импульса нижние состояния, обмениваясь населенностями, сдвигаются в импульсном пространстве на ±2hk. В результате происходит расщепление начального волнового пакета на две когерентные компоненты, одна из которых центрирована на +2hk, а другая на -2hk. Для увеличения масштаба расщепления необходимо изменить направления распространения бегущих волн на противоположные и получить увеличение относительного сдвига еще на 4hk.

Отметим, что делитель атомного волнового пакета, основанный на использовании л -импульсов, расщепляет начальный волновой пакет в состояния, которые являются ортогональными, что не позволяет явно наблюдать квантовую интерференцию.

Другим когерентным типом возбуждения трехуровневой (и, вообще говоря, многоуровневой системы) является стимулированное адиабатическое прохождение или (stimulated Raman adiabatic passage) когерентный перенос населенно-стей - §1.6. Снова рассмотрим трехуровневый атом (рис. 1.1), на который действует лазерный импульс с несущей частотой сог и частотой Раби g20) и лазерный импульс накачки с частотой cot и частотой Раби g,(t), который запаздывает относительно первого импульса на время г и частично перекрывается с этим импульсом во времени. В начальном состоянии вся населенность находится на уровне 11 >, и мы рассматриваем перенос такой последовательностью двух лазерных импульсов всей населенности на другой нижний уровень 12 >. Тогда в случае двухфотонного резонанса перенос населенности обусловлен формированием «темного» состояния - суперпозиции нижних состояний трехуровневого атома

I ,/?>= , у/г I i'P> ~(g2 +gg2y,21-Ькг >, (1-3)

где g, 2 (/) - частоты Раби световых импульсов. Из (1.3) видно, что для t ->-оо, g,(f)-*0> | vJiirll(t),p >-> | l,p > и темное состояние совпадает с начальным состоянием трехуровневой системы, а для t -> +ао, g2(t) О, \vdark(t),p>-+\2,p + hic] -hk2 > - с конечным состоянием. При этом существование в трехуровневой системе такого «темного состояния» не зависит от формы огибающих лазерных импульсов и при переходе из начального в конечное состояние для встречных волн к1«-к2=к импульс атома меняется на величину2hk.

Подчеркнём, что только величина площади перекрытия лазерных импульсов определяет эффективность переноса населенности и для g0т^»l, где g0 -амплитуда лазерных импульсов, эффективность когерентного переноса близка к 100%.

Преимуществом использования когерентного переноса населенности для управления атомной динамикой по сравнению с техникой рамановских Я -импульсов является то, что конечный результат слабо зависит от параметров взаимодействия атомной системы с полем оптического излучения. Однако проблема получения импульсного расщепления волнового пакета в одном внутреннем состоянии по-прежнему остается не решенной, что не позволяет получать решетки пространственной атомной плотности, т.е. непосредственно реализовать метод атомной нанолитографии. Данный метод состоит в осаждении интерференционной картины на подложку с целью создания периодических нано структур. Для того чтобы получить интерференционную картину материальных волн высокой видности, необходимо разделить начальный волновой пакет только на две импульсные компоненты, причем в одном и том же внутреннем состоянии. Для этого в §1.7 предложено использовать когерент -

-2 Нк

2 Ьк

Рис.1.4. Двойная Л - система атомных уровней, которая имеет три нижних 11 >, 12 >, 13 > и два возбужденных состояния 14 >, 15 >.

ный перенос населенности в двойной Л-системе атомных уровней, которая имеет три нижних 11 >, 12 >, 13 > и два возбужденных состояния (рис. 1.4). Будем считать, что в начальный момент заселен только уровень 11 > .

Основная идея состоит в том, чтобы при помощи когерентного переноса разделить (направления волновых векторов первой последовательности лазерных импульсов показаны черными стрелками) населенность в соотношении 1:1 между состояниями |2> и |3> (окружности на рис.1.4), а затем посредством оптических полей (серые стрелки) вернуть эти населенности в состояние 11 > (серые овалы). Когда вся населенность окажется в начальном состоянии, та

часть населенности, которая пришла с уровня 12 >, будет иметь импульс -ЛЬк, а та, что с уровня 13 > - импульс 4Ьк. Другими словами, после такого цикла взаимодействия населенность в состоянии 11 > будет расщеплена на две импульсные компоненты, центрированные на ±АЬк. В результате за счет квантовой интерференции в нижнем состоянии будет сформирована решетка атомной плотности с периодом А/4. Продолжая такие циклы далее, можно, в принципе, достичь высоких значений масштаба расщепления и, как следствие, крайне малого периода решетки плотности атомов.

При реализации такой идеи имеются две основные проблемы: первая состоит в том, что при когерентном переносе второй последовательностью импульсов (серые стрелки) часть атомов оказывается в состояниях 14 >, 15 > . Практически это означает, что с этих состояний идет спонтанный распад, который ведет к потере когерентности в состоянии 11 > , что, в свою очередь, приводит к подавлению интерференционных эффектов. Данная проблема решается выбором малой амплитуды импульсов второй последовательности, что ведёт к незначительному заселению этих состояний. Следующей проблемой для формирования решетки атомной плотности высокого качества является то, что вследствие ортогональности состояний |2> и |3> интерференционная картина в этих состояниях отсутствует. Последнее обстоятельство также ведет к снижению контраста атомной решетки, сформированной в 11 >, так как при осаждении пучка атомов на подложку к интерференционной картине в состоянии 11 > примешивается бесструктурный фон, который происходит из-за ортогональности состояний 12 > и 13 >. Если населенность в состояниях 12 > и 13 > составляет около половины начальной населенности, уменьшение контраста должно происходить, по крайней мере, вдвое.

500

500

500

Рис.1.5. Пространственная селекция импульсных компонент для времени взаимодействия 5'104<ая слева, пространственная решетка плотности атомов, сформированная в состоянии 11 >, после пространственной селекции с последующим отражением пучков с импульсами ±4ЛА от атомных зеркал справа.

Для того, чтобы этого избежать, можно воспользоваться тем, что для реальной схемы атомов состояние |1>обычно соответствует значению магнитного кван-

тового числа тг= 0, а состояния 12 > и |3> - с тг = т 1, соответственно. Тогда для выделения решетки атомной плотности в состоянии 11 > можно воспользоваться хорошо известным методом магнитной селекции, который часто применяют именно для пространственного разделения состояний с различным значением магнитного квантового числа.

Другим методом выделения интерференционной картины в состоянии 11 > может стать пространственная селекция состояний с последующим сведением (например, с помощью атомных зеркал) на подложке пучков атомов с нужными значениями импульсов. Действительно, поскольку после взаимодействия с полем оптических импульсов пучок атомов состоит из нескольких поперечных импульсных компонент, то при свободном распространении пучка данные компоненты пространственно разойдутся (рис. 1.5), что в принципе позволит выделить только нужные для интерференции импульсные компоненты.

Наконец, в §1.8 мы исследуем вопрос о том, как посредством когерентного переноса населённости создать когерентную суперпозицию в одном из нижних

состояний для атомов в «1прос1»-конфигурации с целью получения решетки атомной плотности высокой видности.

Рис. 1.6. Диаграмма уровней и оптических переходов для атома в «tripod»- конфигурации. Изначально заселено состояние 11,0>, которое отмечено серым овалом.

13-,-1>

|3\+1>

Представленная на рис. 1.6 схема взаимодействия атомов в «1просЬ>-конфигурации с полем трех лазерных лучей соответствует пучку атомов неона в метастабильном состоянии (2/г'3^)3Р0, который, распространяясь вдоль оси х,

взаимодействует с комбинацией трёх лазерных импульсов: пары а* и сг" поляризованных противоположно-направленных лазерных лучей, распространяющихся вдоль оси 1, и п - поляризованной лазерной волны вдоль оси у. При этом импульсы синхронизованы таким образом, чтобы атомы «видели» одновременно пару <г*и а' поляризованных лучей, перекрывающихся с ;г- поляризованным импульсом, задержанным во времени. Считаем, что ка =кя=к и, что

частоты Раби а1- поляризованных импульсов равны, а взаимодействие с оптическими импульсами резонансное, т.е. все частотные расстройки равны нулю. Разделим теперь населённость центрального уровня поровну между крайними состояниями при помощи когерентного переноса населённости, а затем, изменив направления световых лучей на противоположные, снова переведём населённость на начальный уровень |1,0>. Тогда центральное состояние окажется расщеплённой между двумя компонентами, центрированными на ± 2Лк, что даёт возможность получить пространственную решётку атомной

плотности с периодом X/ 4. При этом, однако, только половина атомов оказывается в состоянии |1,0>, а другая половина распределена между крайними состояниями. Более того, населённость в крайних состояниях также оказывается расщеплённой в пространстве импульсов. Поскольку населённость в состоянии |3+> содержит импульсные компоненты с р=Ьк,-ЪЬк, а населённость в состоянии |3~> - компоненты р=-Ьк,+ ЪНк, то импульсные компоненты, находясь в противофазе, не могут реализовать интерференционную картину. Однако известно, что при свободном распространении волнового пакета, фазы импульсных компонент меняются по-разному в зависимости от того, какое значении импульса имеет соответствующая компонента.

В результате через определённое время г=Л /(8 уд)=2тгХгМ /(8Й) свободного распространения пучка атомов, как в состоянии 11 > , так и в состояниях 13* > формируются пространственные решетки атомной плотности с периодом Я/4, что показано на рис. 1.7. При этом сплошной линией показана пространственная решетка атомной плотности сразу после взаимодействия с полем оптических импульсов для времени взаимодействия ( = 500/'', а пунктирная линия соответствует атомной решётки после времени свободного пролёта г = 130.9^"' (полное время / = 500^"' +130.9^"' =630.9^"'). Данный рисунок наглядно демонстрирует то обстоятельство, что пространственная решетка высокой видности наблюдается именно после определённого времени г свободного распространения атомного пучка (т.е. когда решётку будет образовывать не

только атомы в состоянии 11 >, но

и в состояниях

|3+>, |3">).

Рис. 1.7.Пространственная решетка атомной плотности (в относительных единицах) вдоль оси г для времени I = 500у"' (сплошная линия) и после свободного распространения за время г =130.9/ ' (штриховая линия), ширина начального распределения Др = 0,1М и остальные параметры соответствуют эксперименту.

Во второй главе исследуется когерентное рассеяние двухуровневых и трехуровневых атомов в поле стоячих световых волн. В § 2.1 мы рассматриваем различные приближения и вводим основные понятия. Когерентное рассеяние на стоячей световой волне в случае амплитудной модуляции анализируется в § 2.2. Для описания когерентного рассеяния используется система уравнений для нестационарных амплитуд вероятностей а, 2(х,0 двухуровневого атома. Наиболее часто рассматривается нерезонансное возбуждение двухуровневой системы стоячей световой волной. В этом случае используют приближение

малых населенностей возбужденного состояния, когда вследствие большой расстройки ft»g0 можно пренебречь изменением населенности возбужденного состояния |2>. Для амплитуды вероятности о,(*,/) нижнего состояния в этом случае получаем

д / J.2 2

.й= — д (je>0+д>0]2cos2{кх) (^г) (2,}

5/ 2ш П

где g0 =-(d e)E0/ 2ft - частота Раби, /(ц,Д,/) - функция модуляции и // иД- амплитуда, и частота модуляции, соответственно.

Наиболее естественным подходом к решению (2.3) является переход в импульсное представление

/Й—- = (Р + т) + —HP + 2,т) + <*,(/>- 2,Т)], (2.2)

5т 2

где =(§02/(2Псо/|))/2(ц,[Д/(ол]), A = Q/d)R,d)R = Шг !2т - частота отдачи, а значение импульса атома и время взаимодействия, измеряется в импульсах фотонов Ьк и частоте отдачи cor соответственно. При отсутствии модуляции /=1 вид решения (2.2) хорошо известен: начальный волновой пакет расщепляется в импульсном пространстве на когерентные компоненты, которые сдвинуты относительно нулевого значения импульса на величины, кратные 2Ьк. Тогда сначала, на малых временах взаимодействия, происходит эффективное расщепление начального волнового пакета на когерентные компоненты. Затем по мере роста кинетической энергии (и соответственно времени взаимодействия) происходит ограничение количества импульсных компонент, на которые разделился начальный волновой пакет. При дальнейшем увеличении времени взаимодействия количество компонент не увеличивается, а общее число когерентных

компонент равно N + . Исследуем теперь рассеяние волнового

пакета двухуровневого атома на стоячей световой волне с гармонической модуляцией амплитуды

/(ц.А,/) =1 + |icos([A/шя]т). (2.3)

При определённом выборе параметров модуляции происходит резкое увеличение (почти на порядок) амплитуд заданных когерентных компонент (в данном случае центрированных на ± 8Ьк) по сравнению со случаем немодулированной волны (рис.2.1а). В то же время резкого роста амплитуды соответствующих когерентных компонент не происходит, если не выполнены условия как на частоту модуляции А/шл«2(^о/П (оК), так и на время взаимодействия атомов с полем стоячей волны. Первое из этих условий совпадает с условием возникновения параметрического резонанса для гармонического осциллятора с периодически меняющейся частотой. Поэтому в целом можно говорить о параметриче-

ском резонансе в рассеянии атомных волновых пакетов при изменении параметров модуляции.

\Л/(р=8Д)

\Л/(р)

(а)

•16 -в о

тпульс отоиа р

(6)

1> I »

м 1 к. ш Н 81Ь

щлмгМшм

0.5 1.0 1.5

время взаимодействия

Рис.2.1. Импульсное распределение атомов \У(р) в случае гармонической амплитудной модуляции стоячей световой волны с ц = 0.2, Д/(ол=40 для времени взаимодействия /ш, = 1.82 — (а); (б) - изменение во времени компонент с р = ±%Нк без модуляции (кривая 1) и с модуляцией, как на (а) (кривая 2).

Другим интересным обстоятельством при таком параметрическом воздействии является резкая зависимость амплитуд когерентных компонент от времени взаимодействия.

о.з

0.2 0.1 о

-40 -20 0 20 40 -40 -20 0 20 40

импульс атома р импульс атома р

Рис.2.2. Когерентное рассеяние волнового пакета двухуровневого атома для времени взаимодействия Т;л1 =0.567: а) немодулированная стоячая волна для #„ = >/320; б) случай амплитудной модуляции с ц =0.8, Д / шд =29 для g„ = л/280 .

Щр)

Хк

(а)

Н

0.2

0.1

\«(р)

йы

11к.

Отличие картины рассеяния волнового пакета в случае модулированной (кривая 1) и смодулированной (кривая 2) стоячей волны представлено на рис.2.16, на котором показано изменение населённости компонент с ± 8М. Характерной особенностью такого рода параметрического рассеяния является существование при выбранных параметрах модуляции нескольких значений времён взаимодей-

ствия, для которых амплитуды выбранных компонент существенно больше, чем для немодулированного случая. Наконец, на рис.2.2 показаны высокие порядки рассеяния для практической реализации расщепителя атомного пучка в нижнем состоянии двухуровневого атома. Причём населённость импульсных компонент с ±40 Ьк существенно выше (более чем в три раза) по сравнению с другими (рис.2.26). Интересно, что для того же времени взаимодействия в отсутствие амплитудной модуляции заселение компонент с ±40 Ш вообще не происходит, даже несмотря на более высокие интенсивности световых волн (рис.2.2а).

Далее в §2.3 исследуется рассеяние трехуровневого атома в поле двух пространственно синфазных стоячих волн. В этом случае нами представлены аналитические результаты для амплитуд рассеяния, которые получены при использовании приближения малых времён взаимодействия. Основное отличие рассеяния двухуровневого атома от трёхуровневого в поле синфазных стоячих волн состоит в том, что имеется набор разных начальных условий, в зависимости от которых будет иметь место тот или иной вид рассеяния. Показано, что данное обстоятельство тесно связано с существованием в трёхуровневой системе особых суперпозиционных состояний.

В §2.4 рассматривается когерентное рассеяние волнового пакета трехуровневого атома в поле двух стоячих волн с пространственным сдвигом

Ё = ехЕ{ со&{кх2 + )ехр(/(У,/) + ёгЕг со5(к22 + $?2)ехр(йу2/) + с.е., (2.4)

где пространственные фазы стоячих волн равны =0,<рг = я72 и мы положили волновые вектора стоячих волн равными к12 = к, что накладывает определенное ограничение на поперечный размер волнового пакета. После подстановки (2.4) в нестационарное уравнение Шредингера получим систему уравнений для амплитуд вероятностей ап (п = 1 - 3) трехуровневого атома

.да1 =__

Ы ~ 2Мдх2

.да^__

5/ ~ 2М дх2

' = ТТ°] - ел С0!5(**) + Ца,.

' % = " С0!5(^) - сМкх),

д1 2 М дх

где gm и Пт(т = 1,2) - частоты Раби и расстройки стоячих волн от атомных переходов соответственно. Вводя новые переменные соотношениями

Д+=(а,+ш2Уь, В_=(а1-ш2)е1Ь (2.6)

и переходя в импульсное представление, выпишем для амплитуд В± уравнения для нестационарных амплитуд вероятностей состояний трехуровневого атома в виде

I!В_(р,0 = (Р + 1)2В_(Р,0 - ёъ(р,0 + АВ_(р,0. (2.7)

щМ = р2ъЫ - Ё[ВЛР,0 + В_(Р,0] ,

где мы считали выполненным условие двухфотонного резонанса (т.е. условие равенства частотных расстроек А„ = А = П/юд (т = 1,2)). В (2.7) время измеряется в единицах со],1, а атомный импульс в единицах Нк и частоты Раби определены соотношениями grll - >/2Ц(оя (т = 1,2). Данная система уравнений имеет точное аналитическое решение для произвольных времен взаимодействия атома с полем стоячих волн (2.4), что качественно отличает рассматриваемый случай от случая рассеяния волнового пакета трехуровневого атома в поле синфазных стоячих волн. Например, решение (2.7) в случае П = -соя имеет вид

*0(р = о,/)=К

ссиф) + (1 - С08(^/))2 + 4|^п(^)

и>±(р=±и)=К

¿с, «г;

(2.8)

щ{р = ±2,1)=\а°\г ^г(1-С08(^))2,

где !;(/>) = у1^р2 + §г и мы считали, что изначально все атомы находятся в состоянии |1> с амплитудой а°(р), т.е. а{(р)ф 0, а а°(р) = а°(р) = 0.

Из (2.8) следует, что рассеяние волнового пакета трехуровневого атома симметрично и не возникает компонент с импульсами больше чем ± 2М. При этом третье возбужденное состояние не заселяется, а каждый скоростной пик, полученный в результате рассеяния, содержит как атомы в состоянии 11 >, так и атомы в состоянии 12 >. В результате такого рассеяния в каждом из нижних состояний трёхуровневый атом оказывается расщеплённым в две когерентные импульсные компоненты. Ниже мы покажем, как эта идея может быть распространена на реализацию расщепителя со значительным масштабом импульсного расщепления в каждом из нижних состояний.

В § 2.5 представлена реализация многозонного когерентного делителя пучка атомов при рамановском возбуждении трехуровневого атома в поле стоячих волн с пространственным сдвигом (2.4), когда атом последовательно взаимодействует с зонами, в которых значения пространственных фаз изменяются на противоположные. Используя изложенный выше метод, можно получить решение задачи рассеяния для любого времени взаимодействия и для пространственных фаз =0,<р2 =я72 или = л/2,<рг =0. В результате при выполнении условия

g1 >>2рА

(2.9)

для фаз (рх = 0,#>2 = к 12 за время л -импульса происходит расщепление населённости в каждом из нижних состояний трехуровневого атома. Если, далее, атом во второй зоне взаимодействует с полем стоячих волн с фазами -л!2,(рг =0, то происходит дальнейшее увеличение масштаба расщепления (рис.2.3).

На рис.2.4 приведены результаты расчетов временной эволюции волнового пакета А -атома для трех л -импульсов в поле стоячих волн с различными значениями пространственных фаз и при выполнении условия (2.9). Видно, что начальное распределение расщепляется на два пика, центрированных на р = ±2М в момент времени г0, который соответствует длительности тг-импульса (первая зона взаимодействия на рис.2.3). Поменяв пространственные фазы стоячих волн (вторая зона взаимодействия на рис.2.3) и взяв за начальные условия значения амплитуд на предыдущем шаге, получим дальнейшее расщепление атомного пучка.

Рис.2.3. Схема многозонного взаимодействия пучка трехуровневых атомов с полем стоячих волн с пространственным сдвигом (слева). В каждой зоне взаимодействия фазы стоячих волн фиксированы, а в соседних зонах пространственные фазы стоячих волн отличаются на ж/2.

Рис.2.4. Временная эволюция суммарного распределения населенности уровней |1) и |2) (справа). В начальный момент времени вся населенность сосредоточена на уровне |1) и имеет вид гауссового распределения по скоростям с шириной 8р- 0.25, центрированного при р = 0. Расстройка и частоты Раби световых волн Д = 500 и # = 150, соответственно.

Отметим, что при этом происходит интерференционное подавление пучка с нулевым значением атомного импульса, который появляется здесь наряду с двумя пучками атомов при увеличении масштаба расщепления. В третьей зоне взаимодействия снова используем поле стоячих волн с фазами (рх =0, <рг = л!2 и после взаимодействия масштаб расщепления Ар атомного волнового пакета составит уже Ар = \2Ьк (рис.2.4). Промежуточные пики, центрированные на ±2Ьк, также интерференционно гасятся. Далее, повторяя эту процедуру нужное количество раз и меняя на каждом шаге пространственные фазы стоячих волн,

можно достичь расщепления в две импульсные компоненты с ±2nhk(n -номер зоны взаимодействия на рис.2.3). Тогда вероятности обнаружить атом в одном из нижних состояний после перехода из импульсного представления обратно в координатное в момент времени, соответствующий концу п-ого л -импульса, имеют вид

Wln(z) = |О,(0) (z) |2 cos2 (2т), W2„{z) = |я<0) (z)f sin2 (2nz), (2.10)

где n -1,2,...

Наконец, в §2.6 исследуется возможность получения эффективного расщепителя атомного пучка трехуровневого атома при рассеянии в поле четырех стоячих волн, которые имеют различные пространственные сдвиги

£0{ë,[cos(^z)exp(/cù,0 + sin(^z)exp(/cû2/)] +

е2 [cos(£jz) expO'aij/) + sin(fc4z)exp(/co40]} + к.е.,

где ё12- векторы поляризации, а кт - волновые числа стоячих волн. При этом поле (2.11) удобно представить как две пары пространственно сдвинутых на л 12 стоячих волн, причем каждая такая пара имеет зеркальную расстройку относительно верхнего возбужденного уровня системы (рис.2.5). После подстановки (2.11) в нестационарное уравнение Шредингера и перехода к импульсному представлению получим систему уравнений для нестационарных амплитуд вероятностей am{p,t) (m = 1 -3) заселения состояний трехуровневого атома

iat(p,t) = p\(p,t) + f(t)a3(p -1) + g(t)a¿p +1),

ia2(p,t) = p2a2(p,t) + f'(t)a3(p +1) + g\t)a¿p -1), (2.12)

ia,(p, í) = p2a3(p,t) + f\t)ai(p +1) + g\t)a¿p -1) + f(t)a2(p-l) + g(t)a2{p + l),

где f(t) = g(l - /)[cos(Aí) - sin(A/)]/2, Ç(f) = g(l + /)[cos(A0 + sin(A0]/2.

В (2.12) приобретаемый атомом импульс нормирован на импульс ñk отдельного фотона, расстройка А и частота Раби g выражаются в единицах частоты отдачи û)k , а время в единицах соя'.

В результате численного моделирования найдено значение модуля частотной расстройки Дм = \/2/3g, для которой расщепление атомного пучка происходит только в две импульсные когерентные компоненты. На рис.2.5 приведена картина рассеяния, полученная путем численного решения уравнений (2.12), без учета кинетической энергии атомов и для значения расстройки А = ABS, когда начальное распределение по импульсам имеет гауссовый

соз(кх)

Рис.2.5 Схема взаимодействия трехуровневого атома с полем четырех сдвинутых стоячих световых волн

профиль с шириной Дрг = 0.25Ьк, а вся начальная населенность поровну распределена между нижними состояниями трехуровневого атома

. Видно (рис.2.6), что для времён взаимодействия

Тш= (1/2,1,3/2, ...)я/йу\*5

атомный волновой пакет состоит из двух основных когерентных компонент, в которых находится порядка 80% от начального количества атомов в пучке. При этом интенсивность когерентных компонент не изменяется при увеличении времени взаимодействия атомов с полем оптического излучения, и, в принципе, для когерентного режима взаимодействия может быть достигнуто любое сколь угодно большое расщепление между двумя когерентными составляющими пучка. Физически это можно объяснить тем, что при выбранном нами значении модуля расстройки стоячих волн квазипотенциалы для состояний трехуровневого атома принимают почти треугольную форму.

Рис.2.6. Временная динамика волнового пакета трехуровневого атома в поле четырех сдвинутых стоячих волн (2.11) для специального значения модуля частотной расстройки Пв4.=л/27зс, где С = 107 Гц. В начальный момент времени вся населенность поровну распределена между нижними состояниями трехуровневой системы с импульсной шириной распределения 0.25 М . Видно, что за время взаимодействия Тш — 28.9 (в единицах частотной

расстройки) достигается расщепление 60ЛЛ: в две когерентные компоненты с суммарной интенсивностью порядка начальной интенсивности атомного пучка.

20

При этом для времен

импульс атома р

наоборот, когерентный пик в области отрицательных значений импульсов состоит из атомов в состоянии |2>, а другой пик, в области положительных импульсов, состоит из атомов в состоянии |1>. Тогда для времён взаимодействия

^=(N + 1/2)^/0}^

когерентный пик в области отрицательных значений импульса состоит из атомов в состоянии |1>, в то время как пик в области положительных значений импульсов состоит из атомов в состоянии |2>.

В третьей главе рассмотрено лазерное охлаждение двухуровневых атомов в поле оптического излучения. При этом сначала в § 3.1 рассмотрены общие вопросы стохастической динамики, а в § 3.2 представлено исследование стохастической динамики двухуровневого атома (рис.3.16) в поле двух плоских волн для произвольного значения угла между волновыми векторами (рис.3.1а).

со

2у

б

Рис.3.1. Геометрия распространения плоских волн (а) и двухуровневая схема взаимодействия атома со световым полем (6).

При этом получено общее выражение для силы светового давления Р = вуРу + , которая действует на атом:

/у2 - + £ соз( 2апЬ) + 8Ш( 2апк)]

п=\

F^=2P,kgbRe (-С.+С,).

= 2hkgalmc° Fг2~=2tikgaЫcl+{-cl_x), К?" =2ПкёаКе(с°2„+{-с1_1),

(3.1)

(3.2)

где

С°-п=(сУ и°.п=(иУ

и°0=(\ + 2Ке<20У\ Здесь 0т-бесконечные дроби (от = 0,±1,±2,...):

п = ±1,±3,.. п = ±1,±3,.. п = 0,±2,±4,..

(3.3)

(3.4)

1 + Лп+1

1 + Рт+г

1 + ...

имеющие числители

с у + щаку2___

2у + тгаЬ2 (П - ЬЬу )2 + (у + тхаЬг )2 ' в которых п, = п +1, пг = п, когда п - четное, и и, = п, п2=п + 1, когда п -нечетное, а С = 2gl / у2. Величины А, определены соотношениями

-2#0 /(2у + /оиЬ2), и = 2/и, А = 2g0(Y + шлЬг)/[( у + миАу,)1 + (О - Му,)2], и = 2/и + 1,т = 0,±1,..

где а = со8^>, Ь = ^т<р, а V - проекции полного вектора скорости на оси у,г-соответственно. Рассмотрим зависимость радиационной силы (3.1) от угла между волновыми векторами кх и к2 (рис.3.1а), имея в виду установить связь между общим соотношением (3.1) и соотношениями для радиационной силы в частных случаях бегущей и стоячей световой волны, а также в случае светового пучка.

а. Плоская бегущая волна (<р = 0)

В этом случае а = 0, Ь = 1 и ряды (3.1) сводятся к соотношениям

(з.5)

/7=1 Я=|

Суммируя ряд в (3.5), получаем

= + .у? + +...) = Нкувх /(1 + вх + (П- куу)21у2), (з.6)

где б, = 2(2#0/у)2 - параметр насыщения с амплитудой 2Е„. Соотношение (3.5) полностью совпадает с выражением для силы светового давления, действующей на атом в поле плоской бегущей световой волны [1,2].

б. Плоская стоячая волна(<р = я1/ 2)

В этом случае а = 1, Ь = 0 и ряды (3.1) сводятся к соотношениям

F\ = F° + cos(2wfe) + sin(2 nkz)], (3.7)

n—l

F?"c = 2hkg0Im(c2°„+1 ^ =2Mg0Re(cL, -<£_,),

F2° = 2^g0ImCl0,

а величины c° выражаются через бесконечные сходящиеся дроби (3.4). Сила, определяемая (3.7), совпадает с силой, действующей на атом в поле стоячей световой волны [1,2,4,5,8].

в. Световой луч (<р «л 12)

При условии <р«я/2поле плоских волн при малых значениях z(| z \«л/ка) сводится к полю гауссова светового пучка:

Ё = 2Щ e\p(-a2k2z2 /2)cos(Jty - cat). (3.8)

В этом случае продольная компонента силы ^совпадает с (3.6), в то время как поперечная компонента силы F\ с учетом условия ак \ z |<< л

F, = F" + % [F/"1 + 2 ankzF2" ]. (3.9)

л->

Суммируя ряд (3.9), получим

Fz = 2ahkg01ш(С|° + с3° -с° + с5° -с°}+...) +

4%0(b)2zRe(c,° - с,0 + 2с, - 2с3° + Зс7° -...)=>

fa (Q-Av,)G,(r)

' 9 1 + G, (z) + (Q — Avr) / x

где введен радиус пучка q = \lka и зависящий от координаты атома параметр насыщения

G,(z) = 2[2 g{z)!y]\ g(z) = dEB exp {-a2k2z2 /2)/2Й.

Сила (3.10) совпадает с градиентной силой, полученной ранее в [1,2]. Зависимости компонент силы светового давления для произвольных соотношений между расстройками и интенсивностями плоских волн представлены в § 3.3, а в § 3.4 исследуется поперечная коллимация пучка двухуровневых атомов в поле стоячей световой волны большой интенсивности G »(1 + Q2/^2)"2. В этом случае поперечная температура атомного пучка после коллимации имеет вид

4ч/2Й у(1-»3/у2)3/3 g „1П

к„ (П2/у2-1) П' (З П)

где кв - постоянная Больцмана.

Из (3.11) следует, что для расстроек П > у Iл/з поперечная температура атомного пучка соответствуетТ = (Ну/кв) 4•J2g/'iy. Для пучка атомов натрия, охлаждаемого на переходе 35-3Р, в случае £2 = = 102у поперечная температура пучка составляет Т я \0'г К при времени коллимации «510"8с. Для средней тепловой скорости пучка атомов натрия у«105см/с коллимация происходит на крайне малой длине у/^=50мкм. Поскольку для коллимации пучка атомов на длине ¡к достаточно использовать световые пучки с диаметром порядка 1к, то требуемая мощность лазерного излучения составляет 10 мВт. Сжатие атомных пучков полем высокоинтенсивных расходящихся встречных волн рассмотрено в § 3.5. В этом случае после усреднения по длине волны светового поля потенциальную часть силы светового давления можно записать как = -Му2г, где квадрат частоты колебаний

„'=___(3 12)

Мкд1д2(1+&/г2)"2 ' ^ '

а <7 суть радиусы пучков в центре поля ^ = д0(1 + 412 /Ь2)"2. Тогда можно найти среднеквадратический радиус пучка атомов после сжатия

2 к.Т

\"2

= 2 да

Ч 2 Л — + —

2/ Ь.

2у\ 1 + П 2/у2

П] (ЗП 2/у2-1)'

Согласно (3.13), минимальный радиус пучка атомов достигается при / = 1/2Ьч и частотной расстройке П = у. В этих условиях минимально возможный поперечный размер атомного пучка рк Поскольку поперечный размер лазерного луча в каустике может быть сделан порядка длины волны света <?„ =Л, то соответственно и атомный пучок может иметь радиус того же размера рк = Л. Оценка минимального размера атомного пучка после коллимации в случае сильной стоячей волны, совпадает по порядку величины с оценкой для слабой стоячей волны. Однако для стоячей световой волны большой интенсивности резко сокращается время сжатия атомного пучка. Далее, в §3.6 исследуется возможность стабильной локализации двухуровневых атомов в поле стоячей волны. Показано, что как в случае слабой, так и интенсивной стоячей волны, двухуровневые атомы могут совершать как финитное движение в минимумах периодического потенциала, так и свободное движение с периодическим изменением скорости и координаты. Если двухуровневый атом был первоначально локализован в одном из минимумов периодического потенциала, то спустя некоторое характерное время атом покинет его вследствие диффузионного нагрева, перейдя в состояние свободного движения. Поэтому, со статистической точки зрения в поле стоячей световой волны всегда происходит разделение исходного ансамбля двухуровневых атомов на две части. Одна из них включает холодные атомы, локализованные в потенциальных ямах периодического пространственного потенциала. В то время как вторая часть включает атомы,

совершающие стохастическое движение над поверхностью периодического потенциала. Между этими частями непрерывно происходит обмен атомами, причем, с одной стороны, диффузионный нагрев атомных импульсов приводит к уходу атомов из потенциальных ям, а с другой стороны, охлаждение свободно движущихся атомов полем стоячей волны приводит к непрерывному захвату атомов в потенциальные ямы. В § 3.7 дано обоснование выбору в качестве меры эффективности лазерного охлаждения энтропии Реньи R, которая может быть выражена через элементы матрицы плотности pij(r,p,t) посредством

R = Тг(рг). Для простейшей атомной системы - двухуровневого атома, который взаимодействует с полем бегущей световой волны с частотой со, энтропия Реньи может быть определена через элементы вигнеровской матрицы плотности pu(r,p,t) двухуровневого атома как

-H» +œ

R(t)= \Tr{p\p,î))dp= \{p2n+p\1+2\pnf)dp, (3.14)

—oo —œ

где p импульс атома.

Считая, что матричные элементы являются функционалами функции распределения w(p,t), на временах t»y~\ выпишем выражения для R(t) через функцию распределения w(r,p,t)

Здесь gQ- частота Раби, П = си-(о0 расстройка частоты оптического излучения от частоты атомного перехода со0 и v, есть проекция скорости на направление распространения оптической волны. Для пучка атомов с функцией распределения

^exph^l^l], (3.15)

выражение для энтропии Реньи может быть представлено в виде

•НС

(3.16)

-ос

Из (3.14) видно, что для теплового гауссовского распределения атомов (3.15) энтропия Реньи совпадает с фазовой плотностью атомов. Последнее означает, что при возрастании во времени энтропии Реньи происходит увеличение фазовой плотности частиц и соответственно уменьшается ширина скоростного распределения. Именно поэтому описание на основе энтропии Реньи позволяет естественным образом провести оптимизацию лазерного охлаждения § 3.8. Для повышения эффективности лазерного охлаждения мы провели оптимизацию на основе локального алгоритма. В случае подстройки частоты лазера под

изменение скоростей атомов «chirped laser method» для каждого отрезка времени мы нашли такие значения параметров оптического излучения (т.е. параметра насыщения G и частотной расстройки Д), которые обеспечивают максимум производной функционала R(G(t),k{t),w(p,t)):

Было установлено, что возрастание энтропии Реньи во времени действительно соответствует продольному охлаждению атомного пучка. При этом одновременно с уменьшением ширины скоростного распределения до величины ¿>утт =0.2у/к наблюдается смещение его как целого в область нулевых атомных скоростей. Для метода компенсации доплеровского сдвига при изменении частоты атомного перехода в неоднородном по направлению движения пучка магнитном поле скоростное распределение атомов зависит от пространственной координаты 2, но не зависит от времени (в отличие от рассмотренного выше случая) [8]. Результаты по оптимизации такого метода показывают, что скоростное распределение атомов достигает ширины 180 см/с уже для длины замедления всего 40 см. При этом уменьшение средней скорости атомного пучка составляет 5 раз и достигает 20 м/с.

В четвертой главе рассматривается лазерное охлаждение трехуровневых атомов в поле как бегущих, так и стоячих световых волн. Так, в § 4.1 рассмотрено проявление когерентного пленения населенностей в задачах лазерного охлаждения атомов. На рис. 4.1 представлена схема возбуждения трехуровневого А - атома двумя световыми волнами.

Известно, что в такой квантовой системе возможно явление когерентного пленения населенностей в случае, когда для атомов с проекцией скорости V,, на ось 2 выполнено условие двухфотонного резонанса

(3.17)

|1>

Рис.4.1. Оптическое возбуждение трехуровневого атома в А-конфигурации. Световая волна с частотой ш, и проекцией волнового вектора воздействует на переход

|1>->|3>, а волна с частотой ш2 и проекцией волнового вектора -к2 на переход |2>—>|3> трехуровневого Л- атома. Парциальные скорости спонтанных распадов с возбуждённого уровня 13 > по каналам |3>—>|1>,|2> обозначены у12 соответственно, а Г- обозначает скорость распада низкочастотной когерентности между нижними состояниями.

П, - Ar,v0 =П2 + ¿2v(

(4.1)

где Пт=сот-со3)П - расстройки световых волн с частотами сот от частот со3т, соответствующих резонансных переходов | /и > —»13 >, т = 1,2.

Будем сначала считать, что релаксация низкочастотной когерентности отсутствует, т.е. Г=0. Тогда известно, что населенность верхнего уровня имеет

узкий скоростной резонанс когерентного пленения с шириной 5уя£02/у£ вблизи резонансной скорости, которая определяется из условия (4.1). Поскольку сила светового давления и коэффициент импульсной диффузии в области резонанса имеют вид Fг~hkgl¡у и Ра~Т12к2 ¿Цу, соответственно, то температура атомов в области резонанса когерентного пленения может быть получена из соотношения Эйнштейна в виде

kвT~DJMV~Ьyg20/y2, (4.2)

где р / - Нк2 / М - коэффициент динамического трения. Из оценки (4.2) сразу видно, что при малых частотах Раби, т.е. при слабых интенсивностях лазерного излучения, температура может быть существенно ниже температуры однофотонного предела Т0~Ьу. Другими словами, в условиях когерентного пленения населённости может быть получено субдоплеровское охлаждение атомов.

Вывод уравнения для функции распределения трехуровневых А - атомов в поле бегущих волн для различных направлений волновых векторов представлен в §4.2. Условием применимости квазиклассического описания в данном случае является 0)2«1 (£—Щ(1у), где интенсивность оптического излучения

должна быть gl » уГ , что наряду с условием (4.1) определяет условия существования в системе когерентного пленения населённостей. При этом интенсивность светового поля, для которых когерентное пленение уже имеет место, составляет»10"3у2, так что, например, для перехода 35 -ЗРв атоме натрия условие определяет интенсивность лазерного излучения на уровне /»1(Г4 Вт/см2.

В §4.3 рассмотрено лазерное охлаждение атомов в условиях когерентного пленения населенностей для различных типов двойного оптического резонанса в трехуровневой А - системе. При этом были получены общие выражения для силы светового давления и компонент тензора импульсной диффузии. Особенностью действия светового давления на трехуровневый А - атом в случае двойного оптического резонанса (кх = к2) является то, что сила светового давления зависит от параметра Л = (У\~ Уг)! У , который определяется разностью скоростей распада по каналам |3>-|1>,|2>. Последнее обстоятельство для полностью симметричной схемы взаимодействия У\ = уг ведет к отсутствию действия силы светового давления = 0 на динамику трехуровневого атома. В тоже время компоненты тензора импульсной диффузии отличны от нуля, что позволяет, несмотря на отсутствие силы светового давления, все же

охлаждать атомы путём стохастического накопления в узкий скоростной резонанс, обусловленный когерентным пленением населенности с шириной V = Mgl|yk, в котором влияние диффузии сильно подавлено. Тогда вследствие непрерывного переизлучения резонансных фотонов, атомы случайным образом блуждают в пространстве импульсов до тех пор, пока на каком-то шаге их импульс не попадёт в область с шириной Г'. Поскольку вероятность переизлучить резонансный фотон в этой области скоростей крайне мала (и определяется отношением ТI у « 1), то атомы будут скапливаться в области резонанса когерентного пленения. На рис. 4.3 представлена эволюция импульсного распределения трёхуровневых атомов при воздействии импульсной диффузии. В качестве ширины начального распределения выбрана ширина, соответствующая охлаждению атомов до температуры доплеровского предела Тв = Ьу/кв . На рис.4.2 видно, что вследствие такого «диффузионного охлаждения» образуется интенсивный пик атомов, центрированный на

Рис.4.2. Временная эволюция импульсного распределения атомов при воздействии импульсной диффузии. Ширина начального распределения 8р"1 = Му/к соответствует температуре пучка атомов, охлажденного до доплеровского предела. Расстройки световых волн равны П,, = 0, а частоты Раби

Я,., = Я. = О-Зу И Г = I 0 1 у . Цифры у кривых соответствуют: 1 - начальное распределение; 2 - распределение после взаимодействия с полем оптического излучения. Время взаимодействия гм = 5x1 (Г4с .

нулевой скорости, с шириной значительно меньшей, чем ширина начального распределения. Зависимость силы светового давления от скорости атома в случае у,* у2 показана на рис.4.3, а эволюция скоростного распределения атомов представлена на рис. 4.4. В качестве начального распределения выбрано распределение атомов с температурой, соответствующей температуре, полученной путём доплеровского охлаждения. При этом формирование пика субдоплеровски - охлаждённых атомов происходит при нулевой скорости, а атомы с положительной скоростью ускоряются (см. рис.4.3).

Общее выражение для температуры атомов, охлаждаемых излучением, в условиях когерентного пленения населённостей имеет вид

Т = 2Т0(81+П2П2у)/(Гт}2\П\), (4.3)

кш-

170 $ ал

и ■ 1

кр,/Му

Рис.4.3. Скоростная зависимость силы светового давления для различных значений расстроек световых волн. Цифры у кривых соответствуют параметрам 1 - Д = 0; 2-Д = -у1 ;3-Д = -2у, ;4 - Д = -5у, и частотам Раби g„ = 0.3у,.

Рис.4.4. Эволюция скоростного распределения пучка атомов при поперечном охлаждении под действием силы (см. рис.4.3): 1 - начальное распределение 2 - импульсное распределение после взаимодействия с полем оптического излучения. Время взаимодействия /,„, = 3х10-5с, gl:=03yl, П,2=-2г„ »7 = 1.33, Г=10">, .

а минимальное значение температуры из (4.3) есть Т^=Т0{Аёй1гп')^12у для расстройки 10.ор, |= \j2glylT. Тогда для атомов натрия оптимальная расстройка равна|П |=4.5у в случае = 0.1^, Г = 10 V. и у = 10МГц, а мини-

мальная температура составляет 7*тт =3x10 6 К = 3 мкК, что существенно ниже доплеровского предела охлаждения Тв = Ьу/кв - 240 мК.

В § 4.4 исследуется действие светового давления на трехуровневый А- атом в поле бихроматической стоячей волны

Ё = е[£| СОБ(«У10СО5(/:|2) + Е2 СО8(«и20со8(^22 + ^)]> (4-4)

где <р определяет пространственный сдвиг между стоячими волнами. Сила светового давления и тензор импульсной диффузии получены в этом случае для любых интенсивностей стоячих световых волн методом матричной цепной дроби. На рис. 4.5 представлена сила светового давления в поле двух стоячих световых волн низкой интенсивности для значения пространственного сдвига <р = 0 и разных знаков частотных расстроек. Как видно из рис 4.6, за время взаимодействия происходит значительная деформация скоростного распределения только в области резонансов когерентного пленения, что обусловлено значительно большей величиной коэффициента динамического трения внутри узких резонансов когерентного пленения по сравнению с его значением в области нулевых скоростей. Соответственно и глубокое охлаждение А - атомов также более эффективно вблизи резонансов когерентного пленения, что делает возможным получение узких скоростных структур с эффективной температурой значительно ниже доплеровского предела, как это было для случая встречных бегущих волн в области нулевых атомных скоростей. При увеличении интенсивности стоячих волн происходит качественное изменение вида силы светового давления, действующего на трехуровневый атом в поле стоячих волн. Так, полностью исчезают резонансы когерентного пленения (рис. 4.7 кривая 1) и по мере роста интенсивности активную роль начинают играть многофотонные процессы вынужденного поглощения и испускания. В результате сила светового давления приобретает сложную многорезонансную структуру и появляется узкая дисперсионная структура вблизи нулевой скорости А - атомов (рис. 4.7).

Нерезонансное «рамановское» охлаждение, когда значения частотных расстроек стоячих волн велики представлено в §4.5. В этом случае проявляется ещё один механизм субдоплеровского охлаждения трехуровневых атомов, который имеет место в поле двух стоячих световых волн с нулевым пространственным сдвигом <р = 0. На рис.4.8 показана температура атомов в зависимости от частот Раби возбуждающих волн. Видно, что при увеличении интенсивности световых волн температура атомов хоть и повышается, но остается значительно ниже доплеровского предела в широкой области изменения интенсивностей.

В §4.6 исследуется лазерное охлаждение трехуровневых А - атомов в поле стоячих волн с относительным пространственным сдвигом. Так, на рис.4.9 показана сила светового давления, действующая на А - атом для различных значения пространственного <р в случае расстроек разных знаков. Как видно,

для пространственного сдвига <р* 0 в области нулевых атомных скоростей образуется узкая особенность дисперсионного вида.

Рис.4.5.(слева). Сила светового давления, действующая на Л-атом в случае малых интенсив-ностей синфазных стоячих волн для П,=-1, П, = 1, у, = 1, /2=0.5,

8\ ~82 =0.5, Г = 5х10"3, <р = 0. Все величины выражены в единицах?'.

Рис.4.6 (справа). Изменение скоростного распределения Л - атомов под действием силы (см. Рис. 4.5). Кривая 1 - начальное гауссовское распределение с шириной, соответствующей доп-леровскому пределу охлаждения; кривая 2-конечное распределение атомов. Время взаимодействия составляет а 10~* с. Два узких пика вблизи резонансных скоростей рис.4.6 соответствуют субдоплеровскому охлаждению атомов вследствие когерентного пленения населенно-стей. Остальные параметры и начальные те же, что и на предыдущем рисунке.

0.10 ' I' ■ I ' - '1 \'Х * —1—1—■—I—

0.05 / / уь 1

ГХ^у и1! \

5 0.00 ч 2 V ч , ■

иГ -0.05 \

-0.10 1.1. _ _. 1 . 1

0.6

-2

О

кмг/у

Рис.4.7. Изменение силы светового давления Рис. 4.8. Зависимость температуры Л-при увеличении интенсивности стоячих волн атомов от частоты Раби стоячих волн £и = 1.5 (1), ^,=5 (2). Остальные пара- gIЛ=g для П,=10,

метры те же, что и на рис.4.5.

Г и

= 1,Г = 5 X 10"

При этом уже для небольших значений пространственного сдвига <р имеет место значительное увеличение наклона силы светового давления для нулевой атомной скорости, что ведет к субдоплеровскому охлаждению атомов. Причём

знак наклона силы для (рф 0 другой, чем для случая нулевого пространственного сдвига.

Соответственно, если для <р = 0 сила имела место деколлимация пучка атомов полем, то для <рф 0 будет иметь место коллимация пучка атомов для тех же значений расстроек и интенсивностей стоячих световых волн. На рис.4.10 приведено скоростное распределение пучка атомов после взаимодействия с полем стоячих волн для различных значений пространственного сдвига. Видно, что на временах взаимодействия г а аГ^ при <р * 0 происходит образование интенсивного пика охлажденных атомов (кривая 2), а для <р = 0 наблюдается лишь слабая деколлимация атомного пучка (кривая 3). В § 4.7 изучается субдоп-леровское охлаждение в условиях когерентного пленения населенностей. Так на рис. 4.11 показана скоростная зависимость силы светового давления, действующей на А-атом, в случае равных расстроек возбуждающих полей. Видно, что в этом случае имеет место узкая дисперсионная структура вблизи нулевых скоростей Л-атомов. Причем такая структура обусловлена не пространственным сдвигом между стоячими волнами, как это было выше, а особенностями проявления в данной системе когерентного пленения населенностей. Характерно, что если, при выбранных значениях параметров, имеет место охлаждение вблизи нулевой скорости, то уже для скоростей | V, ус (мы определяем ус как скорость при которой 1^001=0) охлаждение атомов световым полем сменяется нагреванием и происходит деколлимация атомного пучка везде, кроме области | у2 |< у(. . Интересной особенностью рассматриваемого случая является также то, что при увеличении интенсивности световых волн сохраняется величина коэффициента динамического трения в области нулевых скоростей (кривая 2 на рис.4.11). Изменение вида силы при изменении пространственного сдвига показано на рис.4.12. Видно, что происходит увеличение скоростного интервала, в котором возможна коллимация пучка атомов. Относительно слабое изменение коэффициента динамического трения в области нулевых скоростей показывает, что эффективность охлаждения как для <р = 0, так и для <р* 0 приблизительно одинакова [10]. Аналитические выражения для температуры ансамбля трехуровневых атомов в поле стоячих волн в зависимости от величины относительного пространственного сдвига и для различных значений, как частотных расстроек, так и частот Раби получены в §4.8.

а). Случай разных расстроек

Будем считать, что частоты Раби равны gu = g0, а две расстройки существенно различаются по величине |П, |,|П2 |,|П, -П21» у и рассмотрим случай малых интенсивностей. Тогда в случае отличной от нуля пространственной фазы действие светового давления на трёхуровневый атом определяется двумя основными механизмами - пространственно неоднородной оптической накачкой и когерентным переносом населённости. При этом оптическая накачка является диссипативным процессом, эффективность которого зависит от локальных значений частот Раби. С другой стороны, когда атом пролетает узел одной из

стоячих волн, населённость может быть перенесена в другое нижнее состояние, которое имеет совершенно другое значение квазиэнергии.

0.04

10

£ 0.00

-0.04

-0.02

0.02

о! --■ ,.

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4

К'Г

Рис. 4.9 (справа). Зависимость силы светового давления от скорости Л-атомов для П, = 1,П2 = 2,уи = 1,Г = 5х 10°, 2 =0.5 при различных значениях пространственного сдвига <р. Цифры у кривых соответствуют значениям пространственного сдвига 1 - <р = 0; 2-(р = я!Ь\ 3-^» = я74; 4-^7 =/г/2;.

Рис. 4.10 (слева). Изменение скоростного распределения Л - атомов при взаимодействии с полем стоячих волн время взаимодействия а Ю-4 с. Цифры у кривых соответствуют 3 -<р = 0; 2 - (3 = я72;1 - начальное гауссовское распределение атомов. Остальные параметры те же, что на рис. 4.9.

Тогда при увеличении расстроек эффективность оптической накачки уменьшается, в то время как когерентный перенос населённости становится ещё более эффективным. Для температуры атомов в области нулевых скоростей получим выражение в виде

б). Равные значения расстроек

Исследуем теперь случай равных расстроек световых волн О, = П2 = Г2. Тогда аналитические результаты могут быть получены только для значения пространственной фазы <р = 0. Если теперь ввести параметр £ = а2/(а2 =£(П2 + уг) и рассмотреть случай малых £«1, то мы получим температуру охлаждённых атомов в виде

Для реалистичных значений параметров £0 = П = у, £• = 0.01, из (4.6) получаем, что Т = 0.2Ьу, что значительно ниже доплеровского предела охлаждения. На рис. 4.13 показана зависимость температуры холодных атомов от значения пространственной фазы между двумя стоячими волнами, действующими на трёхуровневый атом, для двух случаев: первый, реализуется для не равных

(4.5)

(4.6)

расстроек одного знака, а второй, для равных значений расстроек. Из рисунка видно, что в этих случаях реализуется субдоплеровское охлаждение атомов [10].

Рис. 4.11. Зависимость силы светового давления от скорости Д-атомов для равных расстроек стоячих волн П, = П2 = 1,у|2 =1,Г = 5хЮ"3 и <р = 0. Кривая 1-соответствует случаю малых интенсивностей стоячих волн gl 2 = 0.5; кривая 2-случаю больших интенсивностей

Рис. 4.12. Зависимость силы светового давления от скорости Л-атомов в случае равных расстроек стоячих волн П, = П2 = = 1,Г = 5х 10"',г, = 0.5,= 0.25для различных значений пространственного сдвига <р. Цифры у кривых соответствуют значениям пространственного сдвига \-<р = 0; 2 - <р = я I \ 0\ Ъ - <р = -я 12 .

Рис. 4.13 Зависимость температуры Л - атомов от значений пространственного сдвига р в случае неравных П, =0.5/,,П2 = ух и равных О, =П2 = у, значений расстроек стоячих волн для я, =0.5, g2 =0.25,у, = у2,Г = 5х10~3.

Наконец, в §4.9 показана возможность

стабильной локализация атомов в Ы-0 я/4 я/2 Зя/4 я ,

конфигурации на длине световой волны

^ при двухчастотном охлаждении. В этом

разделе мы анализируем стабильную локализацию четырёхуровневых атомов в периодическом потенциале стоячей волны, когда в системе имеет место субдоплеровское охлаждение, связанное с когерентным пленением населённости (см. выше). Преимуществом такой схемы взаимодействия с полем излучения является действительное разделение механизмов охлаждения и локализации. В нашем случае субдоплеровское охлаждение атомов обеспечивает взаимодействие трёхуровневого Л- атома с полем встречных бегущих волн, в то время как

стоячая волна, создающая периодический потенциал, действует, по крайней мере, в первом приближении, на двухуровневый атом. В результате создаются условия для субдоплеровского охлаждения атомов с последующей локализацией в потенциальных ямах.

ВЫВОДЫ

1. На основе рассмотрения динамики атомной трехуровневой А - системы в поле бегущих волн показана возможность реализации сверхузких скоростных распределений. Исследовано формирование узких скоростных структур при возбуждении атомов в высоколежащие ридберговские состояния в каскадной схеме уровней.

2. При адиабатическом переносе населенности последовательостью световых импульсов рассмотрена реализация эффективного расщепителя волнового пакета в пятиуровневой схеме атомных состояний и в четырехуровневом атоме в "tripod" конфигурации. Показано, что в этом случае период пространственных осцилляций атомной плотности может составлять сотые доли длины волны оптического излучения.

3. На основе параметрического вида рассеяния в поле стоячей волны с амплитудной модуляцией предложен новый расщепитель волнового атомного пакета. При этом показано, что в зависимости от амплитуды и частоты модуляции меняется характер картины рассеяния атомного пакета.

4. Доказано, что когерентная динамика трехуровневого атома в поле стоячих волн качественно зависит от относительного пространственного сдвига, и найдено линейное преобразование амплитуд вероятностей, которое позволяет аналитически решить задачу рассеяния трехуровневого атома в поле сдвинутых на я 12 стоячих волн при произвольных соотношениях между расстройками и частотами Раби возбуждающих полей.

5. Предложена схема взаимодействия трехуровневого атома с полем четырех сдвинутых стоячих волн, которая продуцирует расщепление волнового атомного пакета практически только в две когерентные компоненты, состоящие из атомов в нижних (стабильных) состояниях. При этом масштаб импульсного расщепления между этими компонентами ограничен только временем взаимодействия атомов с полем оптического излучения, что позволяет надеяться на экспериментальную реализацию расщепления волнового пакета «100А*.

6. В результате исследования динамики двухуровневых атомов в поле плоских волн получена связь между выражениями для сил светового давления, которые имеют место в различных конфигурациях светового поля, что позволяет глубже понять природу механического действия оптического излучения на квантовые объекты. Изучены эффекты коллимации и сжатия пучков атомов при использовании встречных волн большой интенсивности. При этом резко сокращается как характерное время, так и длина коллимации и сжатия атомного пучка. Показано также, что при сжатии атомных пучков высокоинтеи-

сивным полем стоячей волны минимальный диаметр пучка совпадает по порядку величины с минимальным диаметром пучка, достигаемым при малых интенсивностях.

7. Предложено новое описание процесса лазерного охлаждения атомов на основе возрастания во времени энтропии Реньи. Показано, что для гауссов-ского (равновесного) распределения атомов данная величина совпадает с плотностью частиц в фазовом пространстве. Проведена оптимизация продольного охлаждения атомного пучка как для случая изменения частоты лазерного излучения, так и для случая изменения частоты атомного перехода внешним магнитным полем. В первом случае получена модификация метода подстройки частоты, что позволило улучшить параметры скоростного распределения атомного пучка после взаимодействия. Во втором, оптимизация привела к существенному уменьшению длины взаимодействия атомов с полем оптического излучения.

8. Предложен новый механизм субдоплеровского охлаждения атомов на основе когерентного пленения населенностей в поле как бегущих, так и стоячих световых волн. В случае взаимодействия трехуровневых атомов с полем двух стоячих волн с относительным пространственным сдвигом найдены новые механизмы субдоплеровского охлаждения атомов в зависимости от значений частотных расстроек. Полученное при этом аналитическое выражение для температуры позволяет проследить изменение температуры атомного ансамбля в зависимости от значения пространственного сдвига между стоячими волнами.

9. Показана возможность стабильной локализации многоуровневых атомов в поле стоячей световой волны при субдоплеровском охлаждении встречными волнами.

ЛИТЕРАТУРА

1.В.Г. Миногин, B.C. Летохов «Давление лазерного излучения на атомы»-Москва, Наука 1986.

2. А.П. Казанцев, Г.И. Сурдутович, В.П. Яковлев «Механическое действие

света на атомы» - Москва, Наука 1991.

3. «Atom Interferometry», edited by P.R. Berman - Academic Press., N.Y. 1997

4. S. Chu «The manipulation of neutral particles» - Rev. Mod. Phys. 70, 685 (1998); C.N. Cohen-Tannoudji «Manipulating atoms with photons» - ibid. 70, 707 (1998); W. D. Phillips «Laser cooling and trapping of neutral atoms» - ibid. 70, 721 (1998).

5. C.E. Wieman, D.E. Pritchard, D. J. Wineland «Atom cooling, trapping and quantum manipulation» - Rev. Mod. Phys. 71, 328 (1999).

6. V.I. Balykin, V.G. Minogin, V.S. Letokhov «Electromagnetic trapping of cold atoms» - Rep. Prog. Phys. 63 1429 (2000).

7. E.A. Cornell, C.E. Wieman «Bose-Einstein condensation in a dilute gas, the first 70 years and some recent experiments» - Rev. Mod. Phys. 74, 1131 (2002); W. Ketterle «When atoms behave as waves: Bose-Einstein condensation and the

atom laser» - ibid. 74, 875 - 893 (2002).

8. J. Metcalf, P. van der Straten «Laser Cooling and Trapping» - Springer, Stony

Brook, N.Y. 200.

9. Special issue of atom lithography in Germany - Appl. Phys. В 70 №5 (2000).

10. R. Gupta, C. Xie, S. Padua etal. //Phys. Rev. Lett. 71, 3087 (1993).

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. В.И. Балыкин, B.C. Летохов, А.И. Сидоров, В.Г. Мииогии, Ю.В. Рождественский «Радиационная коллимация атомного пучка путём двумерного охлаждения лазерным излучением» // Письма в ЖЭТФ 40, в. 6, с.251-253 (1984).

2. V.G. Minogin, Yu.V.Rozhdestvensky «Dynamics of a Three-Level Atom in a Resonant Light Field»//Appl. Phys. В 34, p. 161-166 (1984).

3. V. Balykin, V. Letokhov, A. Sidorov, V. Minogin, Yu. Rozhdestvensky «Radiative collimation of atomic beams through two-dimensional cooling of atoms by laser radiation pressure» //J. Opt. Soc. Am. В 2, p. 1776-1786 (1985).

4. В.Г. Миногин, Ю.В.Рождественский «Когерентное пленение атомных населенностей в задачах резонансного светового давления» // ЖЭТФ 88, в. 6 с. 1950-1957(1985).

5. В.Г. Миногин, Ю.В. Рождественский «Оптическое накопительное кольцо для атомов» // Опт. и спектр. 61, в.5, с. 913-915 (1986).

6. В.Г. Миногин, Ю.В. Рождественский «Стабилизация пучка атомов давлением резонансного излучения»//Опт. и спектр. 62, в.4, 920-22 (1987).

7. В.Г. Миногин, Ю.В. Рождественский «Стохастическая динамика в поле плоских световых волн» // ЖЭТФ 93, в. 4(10), с. 1173-1187 (1987).

8. В.Г. Миногин, Ю.В. Рождественский «Стабильная локализация атомов в поле двух стоячих световых волн» // Опт. и спектр. 63, в.2, с. 234-236 (1987).

9. V. Minogin, Yu. Rozhdestvensky «Stable localization of atoms in a standing light wave field» // Opt. Commun. 64, p. 172-175 (1987).

10.М.Б. Горный, Б.Г. Матисов, Ю.В. Рождественский «Световое давление в атомных системах с метастабильным состоянием» // Письма в ЖТФ 15, в. 24, с.68-72 (1989).

11.Ю.В. Рождественский, Н. Н. Якобсон «Температурный предел для двух-частотного лазерного охлаждения трехуровневых атомов» // Опт. и спектр. 68, в.4, с. 958-960(1990).

12.В.Г. Миногин, М.Г. Ольшаный, Ю.В. Рождественский, Н.Н. Якобсон «Лазерное охлаждение атомов ниже однофотонного классического предела» // Опт. и спектр. 68, в. 1, с. 51-53 (1990).

13.В.Г. Миногин, Ю.В. Рождественский «Коллимация и сжатие атомных пучков встречными волнами большой интенсивности» // ЖТФ 60, в. 11, с. 38-46(1990).

14.Ю.В. Рождественский «Динамика трёхуровневого атома в поле двух стоячих волн»//Оптика и спектр. 69, в. 2, с. 247-251 (1990).

15.Ю.В. Рождественский, Н. Н. Якобсон «Температура А - атомов при двухчастотном охлаждении»//ЖЭТФ 99, в.6, с. 1679-1683 (1991).

16.Д.В. Косачев, Б.Г. Матисов, Ю.В. Рождественский «Коллимация и сжатие атомных пучков в условиях когерентного пленения населенностей» // Квантовая электроника 19, с. 713-717 (1992).

17.Б.Д. Агапьев, М.Б. Горный, Б.Г. Матисов, Ю.В. Рождественский «Когерентное пленение населённостей в квантовых системах» // УФН 163, в. 9, с. 1-36 (1992).

18.Е.А. Корсунский, Д.В. Косачев, Б.Г. Матисов, Ю.В. Рождественский «Рамановская селекция пучка атомов по скоростям» //Письма в ЖЭТФ 55, в. 6, с. 313-316 (1992).

19.Е.А. Корсунский, Д.В. Косачев, Б.Г. Матисов, Ю.В. Рождественский «Скоростная селекция атомов при когерентном рассеянии на бегущих световых волнах» // ЖЭТФ 103, в.2, с. 396-416 (1993).

20.Е. Korsunsky, D. Kosachiov, В. Matisov, Yu. Rozhdestvensky, L. Windholz, C.Newraiter «Quasiclassical analysis of laser cooling by velocity-selective coherent population trapping» // Phys. Rev. A 48, p. 1419-1427 (1993).

21.D. Kosachiov, L. Plimak, Yu.Rozhdestvensky, D. F. Walls «Dynamics of three-level atoms in the field of two standing waves»//Phys. Rev. A 50, 1508-1514(1994).

22. E. Korsunsky, E. Kosachiov, Yu. Rozhdestvensky «Two dimentional atomic velocity selection by a resonantly enhanced Raman transition» // Opt. Commun. 117, p. 306-310(1995).

23.E. Korsunsky, Yu. Rozhdestvensky «Subrecoil cooling of Rydberg atoms» // Phys. Rev. A 52, 3027-3032 (1995).

24.Д.С. Косачев, Ю.В. Рождественский «Стабильная локализация многоуровневых атомов в поле стоячей световой волны при двухчастотном охлаждении // Квантовая электроника, 22, в. 8, с. 859-861 (1995).

25.А.С. Пазгалев, Ю.В. Рождественский «Когерентное рассеяние трехуровневых атомов в поле бихроматической стоячей световой волны» // ЖЭТФ 82, с. 1079-185 (1996).

26.Д.С. Косачев, Ю.В. Рождественский «Новый тип субдоплеровского охлаждения трехуровневых атомов в стоячих волнах» // ЖЭТФ 109 в. 4, с. 1169-1173 (1996).

27. Е. Kosachiov, Yu. Rozhdestvensky «Raman velocity selection of a three-level atom in a modulated light field» // Quantum and Semiclass. Opt. 8, p. 599-601 (1996).

28. A. Pazgalev, Yu. Rozhdestvensky «Exact solution of the scattering problem of the three-level atom in the standing waves field with a spatial shift» // Opt. Commun. 144, p. 198-203 (1997).

29.А .С. Пазгалев, Ю.В.Рождественский «Дифракция волнового пакета трёхуровневого А-атома в поле многочастотной стоячей световой волны» // Письма в ЖЭТФ 66, в.6, 386-391 (1997).

30. A. Pazgalev, Yu. Rozhdestvensky "Optical analogy of Kapitza-Dirac effect for three-level Л-atom wave packet coherent scattering in two standing shifted waves" // Proceedings of the second international symposium on «Modern problems of Laser Physics», p. 257 Novosibirsk, Russia (1997).

31.D.V. Kosachiov, Yu.V. Rozhdestvensky, G. Nienhuis «Laser cooling of three-level atoms in two standing waves»//J. Opt. Soc. Am. В 14, p. 535-543 (1997).

32.Yu.V. Rozhdestvensky, L.I. Plimak «Atom Wave Lithograthy via Adiabatic Passage in Multilevel Systems» // in "Directions in Quantum Optics, A Collection of Papers Dedicated to the Memory of Dan Walls". H.J. Carmichael, R.J. Glauber and M.O. Scully Eds, Springer (2001).

33. L.I. Plimak, Yu.V. Rozhdestvensky, M.K.Olsen, M.J. Collet «Spatial matter-wave interference via adiabatic recombination of atomic wave packet» // Phys. Rev. A 63, 023608-023613 (2001).

34.Ю.Д. Селищева, Ю.В.Рождественский «Когерентный расщепитель атомного пучка при многозонном рамановском возбуждении» // Опт. и спектр. 98, в. 4, с.638-643 (2005).

35.Ю.В. Рождественский «Интенсивные пучки холодных атомов» // Квантовая электроника 34, в. 10, с. 603-611 (2005).

Подписано в печать 03.07.2008г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,2. Тираж 100 экз. Заказ № 865.

Отпечатано в ООО «Издательство "JIEMA"»

199004, Россия, Санкт-Петербург, В.О., Средний пр., д.24, тел./факс: 323-67-74 e-mail: izd_lema@mail.ru

2007512129

2007512129

ВВЕДЕНИЕ

Механическое действие оптического излучения на атомы - современное состояние и перспективы.

1. Лазерное охлаждение атомов.

2. Ловушки для нейтральных атомов.

3. Применения лазерного охлаждения.

4. Оптика волновых атомных пакетов.

5. Конденсация Бозе - Эйнштейна в магнитных ловушках

ГЛАВА I

КОГЕРЕНТНАЯ ДИНАМИКА АТОМНЫХ ВОЛНОВЫХ

ПАКЕТОВ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ С ИМПУЛЬСАМИ

ОПТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

§1.1 Рамановские 7Г- импульсы и адиабатический перенос населенности в трехуровневой А- системе.

§1.2 Определение 7Г - импульса. Теорема площадей.

§1.3 Рамановские 7Г - импульсы в трехуровневой А- системе скоростная селекция атомов в нижних состояниях.

§1.4 Скоростная селекция в каскадной схеме атомных состояний при получении ридберговских атомов.

§1.5 Управление когерентной динамикой атомов посредством рамановских 7Г - импульсов: атомное зеркало и когерентный делитель атомного пучка.

§1.6 Адиабатический перенос населенности в атомной оптике.

§1.7 Возможность нано-литографии при адиабатическом переносе населенностей в многоуровневой системе.

§1.8 Нанолитография с атомами в «tripod» - конфигурации.

Выводы

ГЛАВА II

РАССЕЯНИЕ АТОМНЫХ ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ НА

ПРОСТРАНСТВЕННО ПЕРИОДИЧЕСКОМ

ОПТИЧЕСКОМ ПОТЕНЦИАЛЕ

§2.1 Когерентное рассеяние атомных пакетов: основные понятия и приближения.

§2.2 Рассеяние волнового пакета двухуровневого атома в поле стоячей волны.

§2.3 Трёхуровневый атом в поле двух пространственно синфазных стоячих световых волн.

§2.4 Рассеяние трёхуровневых атомов а поле стоячих волн с пространственным сдвигом.

§2.5 Многозонный делитель волнового пакета в поле стоячих волн с пространственным сдвигом.

§2.6 Дифракция волнового пакета трёхуровневого атома в поле многочастотной стоячей световой волны.

Выводы.

ГЛАВА III

СТОХАСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА ДВУХУРОВНЕВЫХ АТОМОВ В ПОЛЕ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

§3.1 Двухуровневый атом в поле плоских волн

§3.2 Уравнение Фоккера - Планка для одночастичной функции распределения атомов.

§3.3 Световое давление на атомы в поле плоских волн

§3.4 Поперечная коллимация пучка двухуровневых атомов

§3.5 Сжатие пучков двухуровневых атомов в поле встречных волн.

§3.6 Стабильная локализация двухуровневых атомов в периодическом потенциале стоячей волны.

§3.7 Эффективность лазерного охлаждения и энтропия Реньи.

§3.8 Оптимизация продольного охлаждения пучка атомов. ^

Выводы.

ГЛАВА IV

ЛАЗЕРНОЕ ОХЛАЖДЕНИЕ ТРЁХУРОВНЕВЫХ АТОМОВ

§4.1 Когерентное пленение населенностей в задачах лазерного охлаждения атомов.

§4.2 Уравнение для функции распределения трехуровневых

А-атомов в поле бегущих волн.

§4.3 Лазерное охлаждение трехуровневых А - атомов в условиях когерентного пленения населенностей.

§4.4 Световое давление на трехуровневый А - атом в поле бихроматической стоячей волны.

§4.5 Нерезонансное «рамановское» охлаждение трехуровневых атомов.

§4.6 Субдоплеровское охлаждение трехуровневых А- атомов в поле стоячих волн с относительным пространственным 215 сдвигом.

§4.7 Субдоплеровское охлаждение трехуровневых А-атомов в поле стоячих волн с в условиях когерентного 220 пленения населенностей.

§4.8 Температура ансамбля трехуровневых атомов в поле стоячих волн.

§4.9 Стабильная локализация многоуровневых атомов в поле стоячей волны при двухчастотном охлаждении.

Выводы.

Представленная работа обобщает результаты исследований автора в области механического действия оптического излучения на атомы с начала 80-х годов прошлого века, когда автору посчастливилось быть аспирантом в Институте спектроскопии РАН в лаборатории профессора В.С.Летохова, и до настоящего времени. Автор искренне признателен сотрудникам лаборатории лазерной спектроскопии за многочисленные и позитивные обсуждения научных проблем и полученных результатов. Подобные обсуждения, а также семинары лаборатории и личное научное общение с сотрудниками института, которые окружали автора во время его формирования как исследователя, во многом определили как стиль научных исследований, так и область его научных интересов.

Актуальность темы данной диссертационной работы состоит в том, что вопросы, которые изучаются в представленной работе, относятся к фундаментальным проблемам такой быстроразвивающейся области исследований, как механическое действие оптического излучения на атомы. Такими проблемами являются новые механизмы лазерного охлаждения, создание интенсивных пучков холодных атомов, скоростная селекция атомов в определенных внутренних состояниях, реализация эффективных расщепителей атомных волновых пакетов при многозонном взаимодействии с полем оптического излучения, локализация атомов на масштабах длины световой волны. Эти и другие фундаментальные проблемы, рассматриваемые в данной работе, делают представленную диссертационную работу, безусловно, актуальной.

Научная новизна настоящей работы определяется теми важными научными результатами, которые в ней впервые представлены. Так, рассмотренные эффекты взаимодействия атомов с полем оптического излучения, такие как, например, скоростная селекция трехуровневых атомов, посредством рамановских п - импульсов позволяют формировать крайне узкие скоростные распределения в определенных внутренних состояниях, что открывает путь к реализации глубокого охлаждения атомов. В то же время в диссертации показано, что создание эффективных расщепителей атомных пучков в "tripod" конфигурации атомных состояний при когерентном переносе атомных населенностей позволяет надеяться на реализацию идеально периодических решеток атомной плотности с периодом, в сотни раз меньшим длины волны оптического возбуждения. Здесь же рассматриваются эффективные расщепители при рассеянии волновых атомных пакетов на стоячих световых волнах. При этом в работе рассмотрено рассеяние волновых пакетов при модуляции интенсивности светового поля и показан параметрический характер такого рассеяния. Другим примером параметрического рассеяния является рассеяние волновых пакетов трехуровневых атомов в поле четырех стоячих световых волн с различными фазовыми сдвигами, которое также подробно исследуется.

В диссертации представлены важные общетеоретические результаты, такие как вычисление силы светового давления, в поле плоских волн, что раскрывает сущность градиентной части силы светового давления. Рассмотрены различные механизмы субдоплеровского охлаждения, связанные с проявлением в трехуровневой системе атомных уровней эффекта когерентного пленения населенностей и различных вариантов т.н. «сизифова» охлаждения. При этом в случае трехуровневой системы получены аналитические выражения для коэффициентов силы светового давления и импульсной диффузии, которые, в конечном счете, позволили определить относительно простые выражения для температуры атомного ансамбля. Из этих выражений, в частности, видно изменение характера охлаждения при изменении пространственного сдвига между световыми волнами, что дает полную картину охлаждения как доплеровского, так и субдоплеровского для трехуровневых атомов в поле стоячих волн.

Апробация результатов работы была проведена на различных международных симпозиумах и конференциях: конференциях европейской группы по квантовой спектроскопии - 23rd E.G.A.S, Торунь, Польша (1991), 25th E.G.A.S, Каен, Франция (1993), 26th E.G.A.S, Барселона, Испания (1995), 28th E.G.A.S, Марсель, Франция (1999); на европейских конференциях по квантовой электронике - EQEC'93, Фирензе, Италия (1993), EQEC'94, Амстердам, Голландия (1994), EQEC'2000, Флоренция, Италия; на конференциях европейского научного общества по квантовой оптике (Давос, Швейцария 1994, 1995); на международных конференциях по когерентной и нелинейной оптике -ICONO'91, Ленинград, Россия, ICONO'95, С.- Петербург, Россия, ICONO'2003, Москва, Россия, ICONO'2005, Санкт-Петербург, Россия; на международных симпозиумах в 1997 и 2004 г. «Проблемы современной лазерной физики», Новосибирск, Россия; на научных семинарах Института спектроскопии РАН, в университетах г. Лейдена (Нидерланды) и штата Мичиган (США), а также на семинарах и конференциях в ГОИ им. С. И. Вавилова, С.- Петербург, Россия.

Основные результаты диссертационной работы приведены в 32 статьях, опубликованных в рецензируемых отечественных и зарубежных журналах.

Содержание диссертационной работы:

Диссертационная работа состоит из Введения, четырёх основных глав и Заключения. Во Введении рассмотрены основные идеи и этапы в становлении такой новой области исследований как механическое действие оптического излучения на атомные системы. При этом мы сначала рассматриваем механическое влияние оптического излучения на

ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. На основе рассмотрения динамики атомной трехуровневой Л -системы в поле бегущих волн показана возможность реализации сверхузких скоростных распределений. Исследовано формирование узких скоростных структур при возбуждении атомов в высоколежащие ридберговские состояния в каскадной схеме уровней.

2. При адиабатическом переносе населенности последовательностью световых импульсов рассмотрена реализация эффективного расщепителя волнового пакета в пятиуровневой схеме атомных состояний и в четырехуровневом атоме в "tripod" конфигурации. Показано, что в этом случае период пространственных осцилляций атомной плотности может составлять сотые доли длины волны оптического излучения.

3. На основе параметрического вида рассеяния в поле стоячей волны с амплитудной модуляцией предложен новый расщепитель волнового атомного пакета. При этом показано, что в зависимости от амплитуды и частоты модуляции меняется характер картины рассеяния атомного пакета.

4. Доказано, что когерентная динамика трехуровневого атома в поле стоячих волн качественно зависит от относительного пространственного сдвига, и найдено линейное преобразование амплитуд вероятностей, которое позволяет аналитически решить задачу рассеяния трехуровневого атома в поле сдвинутых на яг/2 стоячих волн при произвольных соотношениях между расстройками и частотами Раби возбуждающих полей.

5. Предложена схема взаимодействия трехуровневого атома с полем четырех сдвинутых стоячих волн, которая продуцирует расщепление волнового атомного пакета практически только в две когерентные компоненты, состоящие из атомов в нижних (стабильных) состояниях. При этом масштаб импульсного расщепления между этими компонентами ограничен только временем взаимодействия атомов с полем оптического излучения, что позволяет надеяться на экспериментальную реализацию расщепления волнового пакета иЮОЙЬ

6. В результате исследования динамики двухуровневых атомов в поле плоских волн получена связь между выражениями для сил светового давления, которые имеют место в различных конфигурациях светового поля, что позволяет глубже понять природу механического действия оптического излучения на квантовые объекты. Изучены эффекты коллимации и сжатия пучков атомов при использовании встречных волн большой интенсивности. При этом резко сокращается как характерное время, так и длина коллимации и сжатия атомного пучка. Показано также, что при сжатии атомных пучков высокоинтенсивным полем стоячей волны минимальный диаметр пучка совпадает по порядку величины с минимальным диаметром пучка, достигаемым при малых интенсивностях.

7. Предложено новое описание процесса лазерного охлаждения атомов на основе возрастания во времени энтропии Реньи. Показано, что для гауссовского (равновесного) распределения атомов данная величина совпадает с плотностью частиц в фазовом пространстве. Проведена оптимизация продольного охлаждения атомного пучка как для случая изменения частоты лазерного излучения, так и для случая изменения частоты атомного перехода внешним магнитным полем. В первом случае получена модификация метода подстройки частоты, что позволило улучшить параметры скоростного распределения атомного пучка после взаимодействия. Во втором, оптимизация привела к существенному уменьшению длины взаимодействия атомов с полем оптического излучения.

8. Предложен новый механизм субдоплеровского охлаждения атомов на основе когерентного пленения населенностей в поле как бегущих, так и стоячих световых волн. В случае взаимодействия трехуровневых атомов с полем двух стоячих волн с относительным пространственным сдвигом найдены новые механизмы субдоплеровского охлаждения атомов в зависимости от значений частотных расстроек. Полученное при этом аналитическое выражение для температуры позволяет проследить изменение температуры атомного ансамбля в зависимости от значения пространственного сдвига между стоячими волнами.

9. Показана возможность стабильной локализации многоуровневых атомов в поле стоячей световой волны при субдоплеровском охлаждении встречными волнами.

Подчеркнём, что исследование когерентной и стохастической динамики многоуровневых атомов открывает новые возможности в области механического действия оптического излучения на квантовые частицы. При этом сама область активно развивается, появляются всё новые эксперименты и интересные предложения. Например, одной из фундаментальных проблем является получение и локализация холодных молекул и кластеров в магнито-оптических ловушках, что позволит изучать пространственную геометрию таких образований.

Другой интересной возможностью является использование лазерного пинцета для изучения деления клетки, что, в конечном счёте, предполагает управление этим сложным процессом. Нельзя не отметить и возможность реализации квантовых вычислений на основе локализованных холодных атомов и ионов в ловушках. При этом здесь уже идёт речь о аппаратном воплощении квантового процессора.

Наконец, в области квантовой нанооптики, относящейся относится к механическому действию оптического излучения, удаётся реализовать новые методы получения наночастиц, что может качественно изменить уже существующие современные нанотехнологии.

В заключение автор приносит искренние благодарности всем своим соавторам за совместную работу, особенно, докторам физ.-мат. наук Миногину В.Г. и Балыкину В.И. (Институт спектроскопии РАН), кандидату физ.-мат. наук Косачеву Д.В., а также научному консультанту доктору физ.-мат. наук Перлину Е.Ю. за постоянную поддержку и интерес к работе.

1. Frish R. - Experimenteller Nachweis des Einsteinschen Strahlungsruck-stasses// Ztschr. Phys. Bd. 86 S. 42-48 (1933)

2. Летохов B.C., Чеботаев В.П. — «Нелинейная лазерная спектроскопия сверхвысокого разрешения» М., Наука 1989

3. Миногин В.Г. Летохов B.C. — «Давление лазерного излучения на атомы» М., Наука 1986

4. Казанцев А.П., Сурдутович Г.И., Яковлев В.П.— «Механическое действие света на атомы» М., Наука 1991

5. Балыкин В.И., Миногин В.Г., Летохов B.C. «Охлаждение атомов давлением лазерного излучения» — УФН 147, в.1, 117-156 (1985)

6. Стенхольм С. — «Основы лазерной спектроскопии» М., Мир 19877. «Atom Interferometry», edited by Berman P.R. Academic Press., N.Y. 1997

7. Chu S.- «The manipulation of neutral particles»// Rev. Mod. Phys. 70, 685 (1998); Cohen-Tannoudji C.N. «Manipulating atoms with photons»// ibid. 70, 707 (1998); Phillips W. D. - «Laser cooling and trapping of neutral atoms»// ibid. 70, 721 (1998).

8. Wieman C.E., Pritchard D.E., Wineland D. J. «Atom cooling, trapping and quantum manipulation»// Rev. Mod. Phys. 71, 328 (1999).

9. Balykin V.I., Minogin V.G., Letokhov V.S. «Electromagnetic trapping of cold atoms»// Rep. Prog. Phys. 63 1429 (2000).

10. Metcalf J., P. van der Straten -«Laser Cooling and Trapping» Springer, Stony Brook, N.Y. 2000.

11. Special issue on atom optics// Appl. Phys. В 54, 321 485 (1992)

12. Adams C.S., Sigel M., Mlynek J. //Phys. Rep. 240, p.143 (1994)

13. Special issue of atom lithography in Germany//Appl. Phys. В 70, №5 (2000).

14. Барду Ф., Бушо Ж.- Ф., Аспе А., Коэн Таннуджи К. - «Статистика Леви и лазерное охлаждение»- М., ФизМатЛит. 2006

15. McClelland J.J. «Nanofabrication via atom optics» in Handbook of Nanostructured Materials and Technology (ed. H. Nalwa), 1 (Cambridge: Academic Press, 1999)

16. Meystre P. «Atom Optics» (Springer Series of Atomic, Optical and Plasma Physics 33), N.Y.AIP Press/Springer, 2001)

17. Балыкин В.И. «Атомно-проекционная параллельная фабрикация нано-структур»// УФН, 177, №7, 780-785 (2007)

18. Аскарьян Г.А. «Движение частиц в луче лазера»//УФН 110, в.1, 115-116(1973)

19. Аскарьян Г. А.- «Воздействие градиента поля интенсивного электромагнитного луча на электроны и атомы» //ЖЭТФ 42, в.6, 1567-1570 (1962)

20. Letokhov V.S. «Doppler line narrowing in a standing light wave»//JETP Lett.,7,272-274(1968)

21. Letokhov V.S., Minogin V.G., Pavlik B.D. «Cooling and trapping of atoms and molecules by a resonant laser field»//Opt. Comm. 19, №1, 7275 (1976)

22. Летохов B.C., Миногин В.Г., Павлик Б.Д. «Охлаждение и пленение атомов и молекул резонансным световым полем»//ЖЭТФ 72, в.4, 1328-1341 (1977)

23. Ashkin A. «Atomic beam deflection by resonance radiation pressure»// Phys. Rev. Lett. 25, №19, 1081-1088 (1970)

24. Ashkin A. «The pressure of laser light» // Sci. Amer.v.226, 63-70 (1973)

25. Alzetta G., Gozzini A., Moi L., Orriols G. «An Experimental Method for the Observation of R.F. Transitions and Laser Beat Resonances in Oriented Na Vapor»// Nuovo Cimento 36B, 5-20 (1976)

26. Ashkin A., Gordon J.P. Cooling and trapping of atoms by resonant radiation pressure// Opt. Lett. 4, №6, 373-379 (1979)

27. Kazantsev A. P., Ryabenko G. A., Surdutovich G. I., Yakovlev V. P.-«Scattering of atoms by light»//Phys. Rep., 129, №2, 75-144 (1985)

28. Phillips W.D., Prodan J. V., Metcalf H. J. «Laser cooling and electromagnetic trapping of neutral atoms» // J. Opt. Soc. Amer. B2, №11, 1751 - 1767 (1985)

29. Stenholm S. «The semiclassical theory of laser cooling»//Rev. Mod. Phys., v. 58, N3, 699-739 ( 1986)

30. Phillips W.D., Gould P.L., Lett P.D. «Cooling, stopping and trapping atoms»// Science 239, 877-882 (1988)

31. Balykin V.I., Letokhov V.S. Minogin V.G. Laser control of the motion of neutral atoms and optical atomic traps// Phys. Scr. 22, 119-127 (1988)

32. Balykin V.I., Letokhov V.S., Ovchinnikov Yu.V., Sidorov A.V. -Focusing of atomic beam and imaging of atomic sources by means of a laser lens based on resonance radiation pressure//.!. Mod. Opt. 35, №1, 1734 (1988)

33. Phillips W., Metcalf H. Laser deceleration of atomic beam// Phys. Rev. Lett. 48, №9, 596 - 599 (1982)

34. Pearson D.B., Freeman R.R., Bjorkholm J.E., Ashkin A. Focusing and defocusing of neutral atomic beams using resonance radiation pressure// Appl. Phys. Lett. 36, №1, 99 - 101 (1980)

35. Балыкин В.И., Летохов B.C., Мишин В.И.- Наблюдение охлаждения свободных атомов натрия в резонансном лазерном поле со сканирующей частотой// Письма в ЖЭТФ 29, в. 10, 614-618 (1979)

36. Балыкин В.И., Летохов B.C., Мишин В.И. — Охлаждение атомов натрия резонансным лазерным излучением// ЖЭТФ 78, в.4, 13761385 (1980)

37. Балыкин В.И., Летохов B.C., Миногин В.Г. Радиационное перераспределение скоростей атомов натрия резонансным лазерным излучением//ЖЭТФ 80, в.5, 1779-1789(1981)

38. Андреев С.В., Балыкин В.И., Летохов B.C., Миногин В.Г.-Радиационное замедление и монохроматизация пучка атомов натрия до 1.5 К во встречном лазерном луче// Письма в ЖЭТФ 34, в.8, 463 -467(1981)

39. Андреев С.В., Балыкин В.И., Летохов B.C., Миногин В.Г.-Радиационное замедление и монохроматизация пучка атомов натрия во встречном луче лазера// ЖЭТФ 82, в.5, 1429 1441 (1982)

40. Prodan J.V., Phillips W.D., Metcalf Н. «Laser production of very slow monoenergetic atomic beam»//Phys. Rev. Lett. 49, №16, 1149-1153 (1982)

41. Kazantsev A. P., Surdutovich G.I., Chudesmkov D. O., Yakovlev V.P.-«Interference of the states of translational motion of an atom in a light field»// J. Phys. B: Atom. Mol. Phys. 18, № 9, 2619 2639 (1985)

42. Aspect A., Dalibard J., Heidmann A., Salomon C., Cohen-Tannoudji C.-«Cooling atoms with stimulated emission»//Phys. Rev. Lett. 57, № 14, 1688- 1691 (1986)

43. Dalibard J., Aspect A., Metcalf H., Cohen-Tannoudji C. «Channeling atoms in a laser standing-wave»//Phys. Rev. Lett. 59, 1659—1662 (1987)

44. Early J. W. «Deflection of barium atoms by a standing-wave light field»//Opt. Commun. 65, № 4, 250 - 256. (1988)

45. Chu S., Hollberg L., Bjorkholm J.E., Cable A., Ashkin A. «Three-dimensional viscous confinement and cooling of atoms by resonance radiation pressure»//Phys. Rev. Lett. 55, № 1, 48-51 (1985)

46. Chu S., Bjorkholm J.E., Afhkin A., Cable A. «Experimental observation of optically trapped atoms»//Phys. Rev. Lett. 57, №3, 314 - 317 (1986)

47. Wineland D. J., Itano W. M. Laser cooling - Phys. Today 40, №6, 34-40, (1987)

48. Phillips W. D. «Laser cooling and trapping of neutral atoms»// Rev. Mod. Phys. 70, № 3 (1998)

49. P.L.Kapitza, Dirac P.A. «The reflection of electrons from standing light waves»// Progress Cambridge Philos.Soc. 29, 297-300 (1933)

50. S.Stenholm «Laser Manipulation of Atoms and Ions»- Proceedings of the International School of Physics "ENRICO FERMI" , 29 (1992)

51. Tanguy C., Reynaud S., Cohen-Tannoudji C. «Deflection of an atomic beam by a laser waves: transition between diffractive and diffusive regimes» // J. Phys. B: Atom. Mol. Phys. 17, № 23, 4623 - 4641 (1984)

52. Ashkin A. «Acceleration and trapping of particles by radiation pressure»//Phys. Rev. Lett. 24, №4, 156-159 (1970); Atomic-beam deflection by resonance radiation pressure // Ibid. 25, №19, 1321—1324 (1985)

53. Kazantsev A. P., Smirnov V. S., Surdutovich G. L., Chudesmkov D.O., Yakovlev V. P. «Kinetic phenomena of atomic motion in a light field»//J. Opt. Soc. Amer. B2, № 11, 1731-1742 (1985)

54. Ashkin A. «The pressure of laser light» // Sci. Amer. 226, 63-70 (1972)

55. Wong Т., Olsen K., Tan S.M., Walls D.F. «Bichromatic beam splitter for three - level atoms»// Phys. Rev. A 52, №.3, 2161-2172 (1995)

56. Bernet S., Abfalterer R., Keller C., Schmiedmayer J., Zeilinger A. -«Diffractive matter wave optics in time»//J. Opt. Soc. Am. В 15, №12, 2817-2822(1998)

57. Deuschmann R., Ertmer W. «Reflection beam splitter for multilevel atoms» //Phys. Rev. A 48, №6, R4023 R4026 (1993)

58. Deuschmann R., Ertmer W., Wallis H. «Reflection and diffraction atomic de broglie waves by an evanescent laser wave»//Phys. Rev. A 47, №6,2169-2185 (1993)

59. Grimm R., Soding J., Ovchinnikov Yu.-«Coherent beam splitter for atoms on a bichromatic standing light wave»//Optics Lett. 19 (9) 658-660 (1994)

60. Giltner D.M., McGowan R.W., Lee S.A.-«Atom Interferometer Based on Bragg Scattering from Standing Light Waves»//Phys. Rev. Lett. 75 (14), 2638-2641 (1995)

61. Band Y. B. «Chirped-light-field atomic-beam splitter for atom interferometry» Phys. Rev. A 47, № 6, 4970 4974 (1995)

62. Johnson K.S., Chu A. P., Berggren К. K., Prentiss M.- «Demonstration of a blazed grating beam splitter for two - level atoms»//Opt. Comm. 126, 326 -338(1996)

63. Chu A. P., Johnson K.S., Prentiss M.- «Atomic beam splitters with achromatic transverse-momentum transfer»//J. Opt. Soc. Am. В 13 (7), 1352-1361 (1996)

64. Ol'shanii M., Vanicek J., Prentiss M. «Atomic beamsplitter based on multiple adiabatic passage in the optical interference pattern»//Quantum Semiclass. Opt. 8, 655-663 (1996)

65. Pfau Т., Adams C.S., Mlynek J. «Proposal for a magneto-optical beam splitter for atoms»//Europhysics Lett. 21 (4), 439 - 444 (1993)

66. Pfau Т., Kurtsiefer C., Adams C.S., Sigel M., Mlynek J. «Magneto-optical beam splitter for atoms»//Phys. Rev. Lett. 71, 3427 - 3430 (1993)

67. Lawal J., Prentiss M. «Demonstration of a novel atomic beam splitter»//Phys. Rev. Lett. 72 (7), 993-996 (1994)

68. Johnson K.S., Chu A. P., Lynn T.W., Berggren К. K., Shahriar M. S., Prentiss M.- «Demonstration of a blazed grating beam splitter for two -level atoms»//Opt. Lett. 20 (11), 1311 -1312 (1995)

69. Marte P., Zoller P., Hall J. L. «Coherent atomic mirrors and beam splitters by adiabatic passage in multilevel systems»//Phys. Rev. Lett. 44, 4118-4121 (1991)

70. Glasgow S., Meystre P., Wilkens M., Wright E.M. «Theory of an atomic beam splitter based on velocity-tuned resonances»//Phys. Rev. A 43, 2455 -2463 (1991)

71. Kasevich M., Weiss D.S., Moler K., Chu S.- «Theoretical analysis of velocity-selective Raman transition»//Phys. Rev. A 45 (1), 342 348 (1992)

72. Kasevich M., Weiss D.S., Riis E., Moler K., Kasapi S., Chu S., Wright E.M.-«Atomic velocity selection using stimulated raman transition»//Phys. Rev. Lett. 66, 2297-2300 (1991)

73. Kasevich M., Chu S.-«Laser Cooling below a Photon Recoil with Three-Level Atoms»//Phys. Rev. Lett. 69 (12), 1741-1744 (1992)

74. Kasevich M., Chu S. «Atomic Interferometry Using Stimulated Raman Transitions»//Phys. Rev. Lett. 67, 181-184 (1991)

75. Davidson N., Lee N.-J., Kasevich M., Chu S.-«Raman Cooling of Atoms in Two and Three Dimensions»//Phys. Rev. Lett. 69 (12), 1741-1744 (1992)

76. Weiz M., Young B.C., Chu S. «Atomic interferometer based on adiabatic population transfer»//Phys. Rev. Lett. 73, 2563-2566 (1994)

77. Bergmann K., Theuer H., Shore B.W.-«Coherent population transfer among quantum states of atoms and molecules»// Rev. Mod. Phys. 70, p.1003 1026 (1998)

78. Theuer H., Bergmann K.-«Atomic beam deflection by coherent momentum transfer and the dependence on small magnetic fields»//Eur. Phys. J. D 2, 279 289 (1998)

79. Theuer H., Unanyan R.G., Shore B. W., Bergmann К. «А novel laser controlled variable matter wave beamsplitter»//Opt. Express. 4, 77-81 (1999)

80. Vitanov N.V.- «Adiabatic population transfer by delayed laser pulses in multistate systems»// Phys. Rev. A 58(3), p. 2295-2309 (1998)

81. Korsunsky E.-«Laser cooling during velocity-selective adiabatic population transfer»// Phys. Rev. A 54(3), R1773-R1776 (1996)

82. Esslinger Т., Sander F., Weidemuller M., Hemmerich A., Hansch T.W.-«Subrecoil Laser Cooling with Adiabatic Transfer»//Phys. Rev. Lett. 76 (14), 2432-2435 (1996)

83. Moskowitz P. E., Gould P.L., Atlas S. R., Pritchard D. E.- «Difraction of an atomic by standing wave radiation»// Phys. Rev. Lett. 51, № 5, 370— 373 (1983)

84. Moskowitz P. E., Could P. L., Pritchard D. E.-«Deflection of atoms by standing wave radiation»//J. Opt. Soc. Amer. В. v. 2, № 11, 1784 1790 (1985)

85. Martin P. J., Oldaker B.C., Miklich A.H., Pritchard D. E. «Bragg scattering of atoms from a standing light wave»// Phys. Rev. Lett. 60, №6, 515-518 (1988)

86. Gupta R., McClelland J.J., Marte P., Celotta R.J.- «Raman-Induced Avoided Crossing in Adiabatic Optical Potential: Observation of A,/8 Spatial Frequency in the Distribution of Atoms»// Phys. Rev. Lett. 76(25), p. 4689 4692 (1996)

87. Muradyan A. Zh., Poghosyan A.A., Berman P.R.-«Theory of a compound large angle atom beam splitter»// Phys. Rev. A 68, 03360 (1998)

88. Keller С., Schmiedmayer J., Zeilinger A., Nonn Т., Diirr S., Rempe G. -«Adiabatic following in standing-wave diffraction of atoms»// Appl. Phys. В 69, 303-309 (1999)

89. Kunze S., Diirr S., Rempe G. —«Bragg scattering of slow atoms from a standing light wave»//Europhys. Lett., 34 (5), p. 343-348 (1996)

90. Hardell A., Wolfi S., Ernst U., Nonn Т., Diirr S., Rempe G., Kunze S., Dieckmann K.-«Standing wave diffraction with a beam of slow atoms»// Journal of Modern Optics 44(10), 1863-1881(1997)

91. Diirr S., Rempe G.-«Acceptance angle for Bragg reflection of atoms from a standing light wave»//Phys. Rev. A 59 (2), 538-545 (1999)

92. Diirr S., Kunze S., Rempe G. «Pendell.osung oscillations in second-order Bragg scattering of atoms from a standing light wave»//Quantum Semiclass. Opt. 8, 531-539 (1996)

93. Wu S.,Ying-Ju Wang, Diot Q., Prentiss 1 M.-«Splitting matter waves using an optimized standing-wave light-pulse sequence»// Phys. Rev. A 71, 043602 (2005)

94. Haroutyunyan H.L., Nienhuis G.-«Diffraction by circular optical lattices»//Phys. Rev. A 70, 063408 (2004)

95. Turlapov A., Tonyushkin A., Sleator T.-«Talbot-Lau effect for atomic de Broglie waves manipulated with light»// Phys. Rev. A 71, 043612(2005)

96. Miitzel M., Tandler S., Haubrich D., Meschede D., Peithmann K., Flaspohler M., Buse K. -«Atom Lithography with a Holographic Light Mask»//Phys. Rev. Lett. 88 (8), 654-659 (2002)

97. Alt W., Schrader D., Kuhr S., Miiller M., Gomer V., Meschede D.-«Single atoms in a standing-wave dipole trap»//Phys. Rev. A 67, 033403 (2003)

98. Балыкин В.И., Летохов B.C., Сидоров А.И., Миногин В.Г., Рождественский Ю.В. «Радиационная коллимация атомного пучкапутём двумерного охлаждения лазерным излучением» // Письма в ЖЭТФ 40, в. 6, 251-253 (1984)

99. Minogin V.G., Rozhdestvensky Yu.V. «Dynamics of a Three-Level Atom in a Resonant Light Field»//Appl. Phys. В 34, 161-166 (1984)

100. Balykin V., Letokhov V., Sidorov A., Minogin V., Rozhdestvensky Yu. -«Radiative collimation of atomic beams through two-dimensional cooling of atoms by laser radiation pressure» // J. Opt. Soc. Am. В 2, 1776-1786 (1985)

101. Миногин В.Г., Рождественский Ю.В.-«Когерентное пленение атомных населенностей в задачах резонансного светового давления» // ЖЭТФ 88, в. 6, 1950-1957 (1985).

102. Миногин В.Г., Рождественский Ю.В. «Оптическое накопительное кольцо для атомов» // Опт. и спектр. 61, в.5, 913-915 (1986).

103. Миногин В.Г., Рождественский Ю.В. «Стабилизация пучка атомов давлением резонансного излучения»//Опт. и спектр. 62, в.4, 920-22 (1987)

104. Миногин В.Г., Рождественский Ю.В. «Стохастическая динамика в поле плоских световых волн» // ЖЭТФ 93, в. 4 (10), 1173-1187 (1987)

105. Миногин В.Г., Рождественский Ю.В.-«Стабильная локализация атомов в поле двух стоячих световых волн» // Опт. и спектр. 63, в.2, 234-236 (1987)

106. Minogin V., Rozhdestvensky Yu. «Stable localization of atoms in a standing light wave field» // Opt. Commun. 64, 172-175 (1987)

107. Горный М.Б., Матисов Б.Г., Рождественский Ю.В. -«Световое давление в атомных системах с метастабильным состоянием» // Письма в ЖТФ 15, в. 24, 68-72 (1989)

108. Рождественский Ю.В., Якобсон Н. Н. «Температурный предел для двухчастотного лазерного охлаждения трехуровневых атомов» // Опт. и спектр. 68, в.4, 958-960 (1990)

109. Миногин В.Г., Ольшаный М.Г., Рождественский Ю.В., Якобсон Н.Н.-«Лазерное охлаждение атомов ниже однофотонного классического предела» // Опт. и спектр. 68, в. 1, 51-53 (1990).

110. Миногин В.Г., Рождественский Ю.В. «Коллимация и сжатие атомных пучков встречными волнами большой интенсивности» // ЖТФ 60, в. 11, 38-46 (1990)

111. Рождественский Ю.В.- «Динамика трёхуровневого атома в поле двух стоячих волн»//Оптика и спектр. 69, в. 2, 247-251 (1990)

112. Рождественский Ю.В., Якобсон Н. Н.-«Температура А атомов при двухчастотном охлаждении»//ЖЭТФ 99, в.6, 1679-1683 (1991)

113. Косачев Д.В., Матисов Б.Г., Рождественский Ю.В. «Коллимация и сжатие атомных пучков в условиях когерентного пленения населенностей» // Квантовая электроника 19, 713-717 (1992)

114. Агапьев Б.Д., Горный М.Б., Матисов Б.Г., Рождественский Ю.В. -«Когерентное пленение населённостей в квантовых системах»// УФН 163, в. 9, 1-36(1992).

115. Корсунский Е.А., Косачев Д.В., Матисов Б.Г., Рождественский Ю.В.-«Рамановская селекция пучка атомов по скоростям» //Письма в ЖЭТФ 55, в. 6, 313-316 (1992).

116. Корсунский Е.А., Косачев Д.В., Матисов Б.Г., Рождественский Ю.В.-«Скоростная селекция атомов при когерентном рассеянии на бегущих световых волнах» // ЖЭТФ 103, в.2, 396-416 (1993).

117. Korsunsky Е., Kosachiov D., Matisov В., Rozhdestvensky Yu., Windholz L., Newraiter C.-«Quasiclassical analysis of laser cooling by velocity-selective coherent population trapping» // Phys. Rev. A 48,1419-1427 (1993).

118. Kosachiov D., Plimak L., Rozhdestvensky Yu., Walls D. F. «Dynamics of three-level atoms in the field of two standing waves»//Phys. Rev. A 50, 1508-1514(1994).

119. Korsunsky E., Kosachiov E., Rozhdestvensky Yu. «Two dimentional atomic velocity selection by a resonantly enhanced Raman transition» // Opt. Commun. 117, 306-310 (1995).

120. Korsunsky E., Rozhdestvensky Yu. «Subrecoil cooling of Rydberg atoms» // Phys. Rev. A 52, 3027-3032 (1995).

121. Косачев Д.С., Рождественский Ю.В.-«Стабильная локализация многоуровневых атомов в поле стоячей световой волны при- двухчастотном охлаждении // Квантовая электроника, 22, в. 8, 859861 (1995).

122. Пазгалев А.С., Рождественский Ю.В.-«Когерентное рассеяние трехуровневых атомов в поле бихроматической стоячей световой волны» //ЖЭТФ 82, 1079-185 (1996).

123. Косачев Д.С., Рождественский Ю.В.-«Новый тип субдоплеровского охлаждения трехуровневых атомов в стоячих волнах» // ЖЭТФ 109, в. 4,1169-1173 (1996).

124. Kosachiov Е., Rozhdestvensky Yu.-«Raman velocity selection of a three-level atom in a modulated light field» // Quantum and Semiclass. Opt. 8, 599-601 (1996).

125. Pazgalev A., Rozhdestvensky Yu.-«Exact solution of the scattering problem of the three-level atom in the standing waves field with a spatial shift»//Opt. Commun. 144, 198-203 (1997).

126. Пазгалев A.C., Рождественский Ю.В. -«Дифракция волнового пакета трёхуровневого А-атома в поле многочастотной стоячей световой волны» // Письма в ЖЭТФ 66, в.6, 386-391 (1997)

127. Kosachiov D.V., Rozhdestvensky Yu.V., Nienhuis G.-«Laser cooling of three-level atoms in two standing waves»//J. Opt. Soc. Am. В 14, 535-543 (1997)

128. Plimak L.I., Rozhdestvensky Yu.V., Olsen M.K., Collet M.J.-«Spatial matter-wave interference via adiabatic recombination of atomic wave packet» //Phys. Rev. A 63, 023608-023613 (2001)

129. Селищева Ю.Д., Рождественский Ю.В. «Когерентный расщепитель атомного пучка при многозонном рамановском возбуждении» // Опт. и спектр. 98, в. 4, 638-643 (2005)

130. Рождественский Ю.В. «Интенсивные пучки холодных атомов» // Квантовая электроника 34, в. 10, с. 603-611 (2005)

131. A.G.Truscott, M.E.J.Friese, W.K.Hensinger, H.M.Wisemann, H. Rubinsztein-Dunlop, N.R. Heckenberg «Coherent Atomic Beamsplitter Using Transients of a Chaotic System»//Phys. Rev. Lett. 84, 4023-4026 (2000)

132. Мессиа А. «Квантовая механика», т. 1,2 M., Наука 1978

133. Pritchard D. Е. «Cooling neutral atoms in a magnetic trap for precision spectroscopy»//Phys. Rev. Lett. 51, № 15, 1336-1339 (1983)

134. Arimondo E., Lew H., Oka T. «Deflection of a Na Beam by resonant standing wave radiation» - Phys. Rev. Lett. 43, № 11, 753-757 (1979)

135. Raab E. L., Prentiss M., Cable A., Chu S., Pritchard D. E. «Trapping of neutral sodium atoms with radiation pressure»//Phys. Rev. Lett. 59, № 26, 2631-2634 (1987)

136. Hall J. L., Borde C. J., Uehara K. «Direct optical resolution of the recoil effect using saturated absorber spectroscopy» //Phys. Rev. Lett. 37, N 20, 1339—1342(1976)

137. Cook R. J., Bernhardt A. F. «Deflection of atoms by a resonant standing electromagnetic wave»// Phys. Rev. A18, № 6, 2533-2537 (1978)

138. Bernhardt A. F., Shore B. W. -«Coherent atomic deflection by resonant standing waves»//Phys. Rev. A 23, № 3, 1290-1301 (1981)

139. Pritchard D. E., Gould P.L. «Experimental possibilities for observation of unidirectional momentum transfer to atoms from standing wave light»// J. Opt. Soc. Amer. B2, № 11, 1799-1804 (1985)

140. Gupta R., Xie C., Padua S. et al. //Phys. Rev. Lett. 71, 3087 (1993)

141. Aspect A., Arimondo E., Kaiser .R., Vansteenkiste N., Cohen-Tannoudji C. «Laser cooling below the one-photon recoil energy by velocity-selective coherent population trapping»//Phys. Rev. Lett. 61, № 7, 826 -829 (1988)

142. Aspect A., Arimondo E., Kaiser .R., Vansteenkiste N., Cohen-Tannoudji C. «Laser cooling below the one-photon recoil energy by velocity-selective coherent population trapping: theoretical analysis»//J. Opt.Soc. Am. В 6, 2112-2124 (1989)

143. Arimondo E.-«Relaxation processes in coherent population trapping»//Phys. Rev. A 54, 2216 2223 (1996)

144. Esslinger Т., Sander F., Weidemuller M., Hemmerich A., Hansch T.W. -«Subrecoil Laser Cooling with Adiabatic Passage»// Phys. Rev. Lett. 76, 2432-2435(1996)

145. Riis E., Adams C.S. «Laser Cooling and Trapping of Neutral Atoms»//Progress in Quantum Electronics 21, 1-79 (1997)

146. Hansch T. W, Schawlow A. L. -«Cooling of gases by laser radiation»//Opt. Commun. 13, № 1, 68—71 (1975)

147. Kyrola E., Stenholm S. -«Velosity tuned resonances as multidoppleron Processes»//Phys. Rev. Lett. 22, № 2, 123-126 (1977)

148. Wineland D. J., Itano W.H. «Laser cooling of atoms»//Phys. Rev.A20, №4, 1521-1540(1979)

149. Wineland D. J., Itano W. M., Bergquist J. C., Hulit R. G. -«Laser-cooling limits and single-ion spectroscopy»//Phys. Rev. A.36, № 5, 2220 2232 (1987)

150. Ertmer TV., Blatt R., Hall J. L., Zhu M. «Laser manipulation of atomic beam velocities: Demonstration of stopped atoms and velocity reversal»//Phys. Rev. Lett.v.54, № 10, 996 - 998 (1985)

151. Gavriluk A. P., Krasnov I. V., Sizikh D. V. «Non-selective external force in the presence of selective action of radiation on atoms cooling-effects and analogues»// Opt. Commun. 62, №1, 21-24 (1987)

152. Ashkin A., Gordon J. P. «Stability of radiation-pressure particle traps: an optical Earnshaw theorem»//Opt. Lett.8, №10, 511-513 (1983)

153. Kazantsev A., Surdutovich G., Yakovlev V. «Grating of neutral atoms in standing light waves field»// Phys. Rev. Lett. 68, № 2, 103-106 (1988)

154. Lett P.D., Watts R. N., Westbrook С. I., Phillips W.D., Gould P. L., Mefcalf H. «Observation of atoms laser cooled below the Doppler limit»// Phys. Rev. Lett., v.61, №2, 169-172 (1988)

155. Ashkin A. «Trapping of atoms by resonance radiation pressure»// Phys. Rev. Lett. 40, №12, 729-732 (1978)

156. Hendriks D. H. W., Nienhuis G. «Effects of level dcgeneracy and spontaneous emission on deflection of an atomic beam by a standing light wave»//Opt. Commun. 63, №4, 233 - 238 (1987)

157. Dalibard J. «Laser cooling of an optically thick gas: the simplest radiation pressure trap?»//Opt. Commun. 68, № 3, 203 - 208 (1988)

158. Kazantsev A. P., Surdutovich G. I., Chudesnikov D. 0., Yakovlev V. P.-«Scattering, velocity bunching, and self-localization of atoms in a light field»//J. Opt. Soc. Amer. В 6, №11, 2130 2139 (1989)

159. Santarelli C., Chang S., Luiten A.N., Salomon C. et al. «Quantum Projection Noise in an Atomic Fountain: A High Stability Cesium Frequency Standard»// Phys. Rev. Lett. 82, №23, 4619 - 4622 (1999)

160. Anderson W.R., Bradley C.C., McClelland J J., Celotta R.J.- «Minimizing feature width in atom optically fabricated chromium nanostructures»// Phys. Rev.A59 №3, 2476 (1999)

161. J.H.Thywissen, K.S.Johnson, R.Younkin, N.H.Dekker, K.K.Berggren, A.P.Chu, M.Prentiss «Nanofabrication using neutral atomic beams»// J. Vac. Sci. Technol. В 15, №6, 2093 (1997)

162. Matsu Shinji, Fujita Jun-Ichi «Material-wave nanotechnology: Nanofabrication using a de Broglie wave»// J.Vac.Sci.Tcchnol. В 16 (4), 2439(1998)

163. Keith D.W., Soave R.J., Roots M.J. «Free-standing gratings and lenses for atom optics»// J.Vac.Sci.Technol. В 9 (6), 2846 (1991)

164. Domenico G.Di., Castagna N., Mileti G., Thomann P., Taichenachev A.V., Yudin V.I., «Laser collimation of a continuous beam of cold atoms using Zeeman-shift degenerate-Raman-sideband eooling»//Phys. Rev. A 69, 063403-063410 (2004)

165. Plimmer M.D., Castagna N., Domenico G.Di., Thomann P., Taichenachev A.V., Yudin V.I., «2D laser collimation of a cold Cs beam induced by a transverse В field»// JETP Lett. 82(1),17 - 21 (2005)

166. Domenico G. Di., Castagna N., Plimmer M.D., Thomann P., Taichenachev A.V., Yudin V.I., «On the Stability of Optical Lattices»//Laser Phys. 15(12), pp. 1674 1679 (2005)

167. Hill S.B., McClelland J.J. -«Atoms on Demand: Fast, Deterministic Production of Single Cr Atoms»// Appl. Phys. Lett. 82(18), 3028-3031 (2003)

168. Clifford M. A. et al. «Realization of a Mirror Magneto-optical Trap»// J. Mod. Opt. 48(6), 1123-1128 (2001)

169. Bezverbny A.V., Prudnikov O.N., Taichenachev A.V., Tumaikin A.M., Yudin V.I. «Steady-state light-induced forces for atom lithography»//, Laser Physics 15(7), pp. 1096-1101 (2005)

170. Tannor D.J., Bartana A. «On the Interplay of Control Fields and Spontaneous Emission in Laser Cooling»//J. Phys. Chem. A 106, 10359-10363(1999)

171. Ketterle W., Pritchard D.-«Atom cooling by time-dependent potentials»// Phys. Rev.A 46, №7, 4051- 4054 (1992)