Колебания и устойчивость плазменных кристаллов и кластеров тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ИНСТИТУТ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ им. А.М. ПРОХОРОВА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

Гусейн-заде Намик Гусейнага оглы

КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЕННЫХ КРИСТАЛЛОВ И КЛАСТЕРОВ

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена в Институте общей физики им. А. М. Прохорова РАН.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Б. А. Векленко

доктор физико-математических наук, профессор Н. С. Ерохин

доктор физико-математических наук, профессор В. Г. Лейман

Ведущая организация:

Объединенный институт высоких температур Российской академии наук.

Защита состоится 2006 г. в 15 часов

на заседании диссертационного совета Д 002.063.03

при Институте общей физики им. А. М. Прохорова РАН

по адресу: 119991 Москва, ул. Вавилова, 38, ИОФРАН им. А. М. Прохорова,

корп. 3, конференцзал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИОФРАН. Автореферат разослан

-/л^г^е- 2ооб г.

Ученый секретарь Диссертационного совета Д 002.063.03

кандидат физ.-мат. наук " Т. Б. Воляк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Термодинамические свойства равновесной плазмы описываются одной безразмерной величиной — параметром неидеальности, который еще часто называют коэффициентом связи или коэффициентом корреляции. Параметр неидеальности определяется как отношение характерной потенциальной энергии соседних частиц к их характерной кинетической энергии. Для чисто кулоновского взаимодействия и классической плазмы параметр неидеальности можно оценить как Г = Z2e2/aT, где о ~ Пр1^3 — среднее расстояние между частицами, пр — концентрация частиц с зарядом Ze и Т — температура в энергетических единицах. Если кулоновская потенциальная энергия меньше, чем кинетическая, т.е. параметр неидеальности меньше 1, то плазма не имеет упорядоченной структуры и ведет себя как газ. Однако в плазме с параметром неидеальности большим 1 должно проявиться некоторое пространственное упорядочение. Поскольку в такой сильно связанной плазме кулоновские силы расталкивания превалируют над тепловым движением, частицы должны быть расположены на некотором расстоянии друг от друга. При параметре неидеальности, равном примерно 2 и выше, плазма проявляет свойства жидкости. Для большинства известных примеров классической плазмы параметр Г ненамного превышает единицу.

Однако в последнее время были открыты или искусственно созданы системы заряженных частиц, для которых параметр неидеальности намного превышает единицу и может достигать значений в десятки тысяч. Примеров подобных систем довольно много. К ним относятся: ансамбли одноименно заряженных ионов или электронов, удерживаемые от расплывашш внешними полями; широко распространенная в природе пылевая плазма; заряженные коллоидные суспензии, в том числе биологические жидкости. В некотором приближении кора нейтронных звезд может рассматриваться как плазма с высоким параметром неидеальности.

С увеличением параметра Г система самоорганизуется от неупорядоченной газовой фазы к упорядоченной конденсированной фазе, так называемому классическому кулоновскому или плазменному кристаллу. Простейшей и наиболее изученной моделью является модель однокомпонентной плазмы, в которой рассматривается ансамбль одноименно заряженных частиц на компенсирующем однородном фоне противоположного знака. Известно, что в однокомпонентной плазме при Г < 2 в системе появляется ближний порядок, а при Г с* 170 однокомпонентная плазма кристаллизуется, образуя объемно центрированную кубическую кристаллическую решетку [1]. Естественно, что в реальных физических системах правильный плазменный кристалл образуется в термодинамическом пределе, то есть при достаточно большом числе частиц и в условиях отсутствия значительных внешних электромагнитных полей.

С другой стороны, во многих случаях сравнительно небольшое число (от нескольких единиц до десятков тысяч) заряженных частиц удерживается внешними полями в ограниченном объеме. В этом случае говорят о плазменных кластерах. Типы упорядочения, возникающие в плазменных кластерах, существенно отличаются от кристаллического и зачастую не имеют аналогов в физике твердого тела.

Настоящая диссертация посвящена теоретическому и численному исследованию структуры и устойчивости плазменных кристаллов и кластеров. Поскольку наибольшее развитие физика подобных систем получила за последние 10 - 15 лет в связи с открытием плазменно-пылевых кристаллов, изложение ведется в основном применительно к пылевой плазме. Тем не менее ббльшая часть полученных результатов применима и к другим физическим системам, например к ансамблям ионов в электромагнитных ловушках и накопительных кольцах или к заряженным коллоидным суспензиям.

Основными задачами диссертации являются:

1. Развитие теории колебаний и устойчивости плоских двумерных плазменно-пылевых кластеров для произвольного потенциала взаимодействия между частицами. Анализ имеющихся экспериментальных данных.

2. Исследование структуры и устойчивости двумерных плазменных кристаллов. Определение критерия разрушения плазменного кристалла. Численное моделирование динамики двумерных плазменно-пылевых облаков.

3. Исследование фазовых переходов в аксиально-симметричных квазикристаллах с геликоидальной симметрией. Построение теории колебаний геликоидальных квазикристаллов.

4. Численное моделирование равновесной структуры трехмерных плазменных кластеров. Развитие теории колебаний симметричных плазменных кластеров. Исследование, возможности восстановления потенциала межчастичного взаимодействия по экспериментально измеримым частотам колебаний.

Актуальность темы диссертации обусловлена тем, что различные типы плазменных кристаллов и кластеров в последнее время интенсивно изучаются в различных областях физики. Интерес к подобным системам обусловлен как фундаментальными, так и прикладными аспектами. К фундаментальным аспектам относится, например, возможность исследования фазовых переходов на кинетическом уровне. В пылевой плазме кристаллы и кластеры возникают в процессе плазменной обработки поверхности, что, с одной стороны, является основным препятствием на пути миниатюризации элементной базы микроэлектроники, а с другой стороны, открывает возможность синтеза новых материалов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• Построена теория колебаний планарных кластеров в виде правильных многоугольников, состоящих из частиц с произвольным потенциалом взаимодействия. Показано, что согласно имеющимся экспериментальным данным взаимодействие между макрочастицами в приэлек-тродном слое плазмы не описывается потенциалом Дебая-Хюккеля.

• Построена теория колебаний двумерных плазменных кристаллов. Определен критерий разрушения кристалла при увеличении концентрации частиц.

• Развита теория геликоидальных плазменных кристаллов. Исследованы фазовые переходы и получены спектры колебаний геликоидальных кристаллов.

• Построена теория колебаний симметричных трехмерных кластеров с произвольным межчастичпым взаимодействием. Показана возможность определения межчастичных сил исходя из экспериментально измеримых частот колебаний.

Практическая ценность работы заключается в возможности использования полученных результатов при оптимизации процесса плазменной обработки поверхностей, разработке методов синтеза новых материалов, проектировании электромагнитных ловушек ионов для создания новых стандартов частоты и хранения антивещества.

Апробация работы и публикации.

Диссертация была выполнена в Институте общей физике им.А.М.Прохорова. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [А1]-[А39], из которых 18 научных работ в виде статей в отечественных и зарубежных рецензируемых журналах [А1]-[А18].

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на всероссийских и международных конференциях по физике:

Материалы Всероссийской школы-семинара молодых ученых, аспирантов и студентов, г. Владимир (1998); Звенигородской конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (1998, 2001, 2005, 2006); ICPIG (Международная конференция по явлениям в ионизованных газах) (Варшава'1999, Эйндховен 2005); ICPDP (Международная конференция по физике пылевой плазмы) (Дурбан 2002, Орлеан 2005); Обзорный доклад ■ на 10-рабочей группе по пылевой плазме (Виргинские острова США 2003); Обзорный доклад на конференции .Европейского. Физического общества "Physics of Plasmas and Controlled Fusion Research" (С.Петербург 2003); EPS (Конференция Европейского физического общества) в Риме (2006); и 4th Workshop "Complex Systems of Charged Particles . and their Interaction with Electromagnetic Radiation. Physics of Complex Systems" (Москва, 2006).

В течение 1996-2006 г.г. полученные в. диссертации результаты докладывались на семинарах в ИОФРАН и других институтах и лабораториях, . как в России так и зарубежом.

Достоверность результатов обусловлена применяемыми математическими методами, соответствием с экспериментальными данными и в частных случаях согласием с результатами других авторов.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дана общая характеристика работы, сформулированы основные цели и задачи. Вкратце обсуждаются физические процессы в системах, в которых формируются сильноскоррелированные структуры.. Описаны примеры различных типов плазменных кристаллов и кластеров,

наблюдаемых экспериментально. Кроме того, дан обзор типов межчастичных взаимодействий в пылевой плазме, которые используются в последующих главах диссертации.

В первой главе диссертации исследуются условия формирования и устойчивость двумерных плоских кластеров. Рассмотрен случай кластеров в виде правильных многоугольников, которые формируются в комплексной плазме из заряженных макрочастиц одинакового размера. Исследование проводится для произвольного потенциала межчастичного взаимодействия и{г) = /(г2), который зависит только от расстояния между частицами.-Кроме того, предполагается, что кластер удерживается от расплывания внешним параболическим потенциалом.

Уравнения, описывающие динамику кластера, записываются в виде:

кфп

где п,к = 1... N ,тп — (хп, уп, гп),г±.п = (х„, уп, 0), а>о — частота колебаний отдельной частицы во внешнем потенциале, а т - масса макрочастицы.

Одна из возможных равновесных конфигураций системы N частиц представляет собой правильный многоугольник. В работе рассмотрены нормальные колебания такой конфигурации. Показано, что различные моды колебаний классифицируются целым числом в, лежащим в интервале 0 < в < N/2. В явном виде получены частоты колебаний и критерии устойчивости, а также нормальные смещения для произвольного потенциала взаимодействия между частицами. Нормальные смещения для 2 < N < 4 изображены на рис. 1. В частных случаях логарифмического и кулоновского потенциалов взаимодействия полученные критерии устойчивости совпадают с ранее известными.

Показано, что в случае потенциала взаимодействия Дебая-Хюккеля многоугольный кластер, состоящий из N < 4 частиц, всегда устойчив. Кластер, состоящий из 5 частиц, устойчив при условии, что его равновесный размер К удовлетворяет неравенству Е < 3,32Ад, где Ад — деба-евский радиус. Многоугольные кластеры с N > 5 в случае потенциала

взаимодействия Дебая-Хюккеля всегда неустойчивы. Полученные критерии устойчивости соответствуют экспериментальным данным.

(а) ✓ / 1

А У / У V'

(^У (е) А

1 I и^ > -ч ' V N / N / N / I (Ь) V- Ч / ^ * ' Н' \ ч / Ч У ч /

(д) А £ 1 \ \ А (1) /V < У щ ч /

*

Рис. 1: Нормальные смещения для плоских кластеров с N < 4.

Согласно экспериментальным наблюдениям и результатам моделирования, при увеличении числа частиц в кластере они группируются по нескольким концентрическим оболочкам. При этом на каждой оболочке частицы отстоят друг от друга примерно на равные расстояния и расположены примерно на одинаковом расстоянии от центра удерживающего параболического потенциала. Простейшая двухоболочечная конфигурация представляет собой правильный многоугольник с единственной частицей в центре. Были исследованы малые колебания таких равновесных конфигураций частиц. Для произвольного потенциала межчастичного взаимодействия получены частоты и поляризации колебаний.

Полученные результаты были использованы для оценки потенциала взаимодействия в экспериментах с пылевыми кластерами [2]. Исходя из предположения о том, что взаимодействие между частицами описывается потенциалом Дебая-Хюккеля и известными из эксперимента равновесным размером и частотой одной из мод колебаний кластера с N = 4, был вычислен неизвестный дебаевский радиус Ад. При помощи полученного та-

ким образом дебаевского радиуса были рассчитаны частоты колебаний других типов для кластеров с N = 3 и Аг = 4. Выяснилось, что рассчитанные частоты заметно отличаются от измеренных экспериментально — расхождение почти на порядок превышает ошибки измерений. На этом основании сделан вывод о том, что взаимодействие между пылевыми частицами в при-электродном слое плазмы описывается потенциалом, существенно отличающимся от потенциала Дебая-Хюккеля. Существует принципиальная возможность более точного восстановления зависимости межчастичных сил от расстояния, исходя из измерений частот колебаний кластеров, однако имеющихся экспериментальных данных для этого недостаточно.

Далее в этой главе рассмотрены конфигурационные изменения, возникающие в системе плоских кластеров при отсутствии внешнего потенциала удержания и при наличии малого притяжения между макрочастицами, которое предсказывается некоторыми теоретическими моделями [3, 4]. Показано, что в отсутствие внешнего удержания слабое притяжение способно обеспечить существование равновесных состояний двумерных пылевых кластеров размером порядка или меньше длины экранирования. Равновесный радиус быстро уменьшается с ростом коэффициента притяжения и с ростом числа N частиц в кластере. Энергия кластеров с одной оболочкой, содержащей N частиц в оболочке, и кластеров с N — 1 частицами в оболочке и одной частицей в центре, рассчитывались как функции коэффициента притяжения с целью поиска магических чисел, ведущих к образованию новых оболочек. Показано, что энергетически более выгоден распад кластера на несколько меньших кластеров, чем выталкивание одной частицы из кластера. Расчеты для моделей дебаевского экранирования и нелинейного экранирования показали чувствительность структур кластеров к типу экранирования.

Во второй главе исследуется устойчивость правильных двумерных решеток. Двумерные плазменные кристаллы наблюдаются в различных областях физики, например в пылевой плазме, удерживаемой потенциалом

с одномерным профилем [5], в заряженных коллоидных растворах в тонком слое между двумя электродами [6], в ионных структурах в ловушках Пеннинга [7].

Поскольку продольные колебания, для которых смещения частиц лежат в плоскости решетки, исследованы довольно подробно, в диссертации основное внимание уделяется поперечным колебаниям со смещениями, перпендикулярными плоскости решетки. Как известно из экспериментов и численного моделирования, при увеличении плотности плоская решетка становится неустойчивой, поэтому одной из целей данного исследования было получение критерия неустойчивости.

В диссертации рассмотрены два типа простых решеток с одной частицей на элементарную ячейку — гексагональная и квадратная (рис. 2). Показано, что частота поперечных колебаний выражается через решеточную сумму

где У{г) — потенциал межчастичного взаимодействия, суммирование ведется по векторам прямой решетки а волновой вектор q лежит в первой зоне Бриллюэна. При выводе соотношения (2) предполагалось, что внешний потенциал, удерживающий кристалл, имеет вид Кхг(г) = аг2/2.

Получены интегральные оценки решеточных сумм, входящих в (2). Показано, что квадрат частоты достигает своего минимума на

границе зоны Бриллюэна при q = Чтах, где для гексагональной решетки Чта* = а Аля квадратной решетки цтах — 5(1,1,0) {й — раз-

мер элементарной ячейки). Таким образом, при достаточно малом значении а квадрат минимальной частоты становится отрицательным (и>2(дтах) < 0) и развивается коротковолновая неустойчивость, которая ломает плоскость кристалла, превращая его в "стиральную доску". На рисунке 2 серым и черным цветами выделены относительные направления отклонений частиц от положения равновесия.

л

Рис. 2: Структуры гексагональной (а) и квадратной (Ь) решеток. Серым и черным цветами выделены частицы, смещающиеся в разные стороны от плоскости решетки при развитии поперечной неустойчивости.

Для кулоновского парного взаимодействия полученное в случае плотной гексагональной решетки условие развития неустойчивости сравнивалось с результатами численного моделирования, проведенного Шиффером методом молекулярной динамики [8]. Полученные результаты хорошо согласуются с результатом численного моделирования, а небольшое расхождение связано с неравномерностью распределения частиц в кристаллах конечного размера, когда плотность растет от края к центру.

Аналогичными методами рассмотрено также развитие неустойчивости для сложной решетки, когда в элементарной ячейке содержатся две частицы. Проведенные исследования показали, что в отличие от простых решеток для сложных решеток неустойчивость имеет место в длинноволновом пределе. Кроме того, в работе было показано, что чем плотнее решетка, тем она менее устойчива в продольном направлении. Поэтому неустойчивость пылевых решеток начинает развиваться в центре кристалла, где, с одной стороны, имеется наиболее плотный тип упаковки (плотная гексагональная структура), а с другой стороны, наблюдается наименьшее расстояние между частицами с1.

В некоторых экспериментах [9] при изменении параметров плазмы наблюдается образование дыры ("void") в центре двумерного кристалла. Это может произойти только благодаря каким-то дополнительным воздействиям или из-за притягивающего взаимодействия между частицами. Высказывалось предположение, что влияние проводящего электрода, расположенного вблизи плоскости кристалла, может объяснить образование дыры [10]. Потенциал взаимодействия между пылинками, учитывающий ограниченность плазмы [10], в некоторых случаях оказывается сложной знакопеременной функцией расстояния, причем при больших расстояниях он может соответствовать как отталкиванию, так и притяжению. Во второй главе диссертации обсуждаются также результаты численного моделирования динамики двумерных пылевых облаков, учитывающие наличие проводящей стенки.

т = О г = 90 т = 690

Рис. 3: Распределения 150 частиц в дозвуковом потоке в различные моменты времени. Высота левитации 4Аде

На рис. 3 показана эволюция во времени двумерного ансамбля частиц, левитирующего на достаточно большой высоте над электродом в дозвуковом ионном потоке. Потенциал взаимодействия при этом в некотором конечном интервале расстояний отрицателен, а на больших и малых расстояниях соответствует притяжению.

Второй случай также соответствует дозвуковому потоку ионов, но слой левитирует на несколько меньшей высоте. Как видно из рис. 4, начальный кластер разбивается на несколько капель, которые в процессе эволюции

т = 25 т — 30 г = 100

Рис. 4: Распределения 150 частиц в дозвуковом потоке в различные моменты времени. Высота левитации 2,7Аде

т = О г = 10 Г = 150

Рис. 5: Распределения 150 частиц в сверхзвуковом потоке в различные моменты времени.

снова сливаются в одну круглую каплю.

Третий случай соответствует сверхзвуковому потоку ионов. В этом случае между пылинками всегда имеет место отталкивание. Эволюция кластера приведена на рис. 5. Формируется круглое пылевое облако, раздувающееся со временем.

Таким образом, влияние проводящих стснок, обсуждавшееся в [10], не может объяснить возникновение дыры в пылевом кристалле! По-видимому, причина этого явления лежит в пространственной неоднородности ВЧ-поля, создающего плазму.

В третьей главе диссертации исследуются условия формирования, устойчивость и малые колебания геликоидальных кристаллов, кото-

рые формируются из одноименно заряженных частиц в аксиально-симметричном удерживающем потенциале. Подобные структуры возникают в линейных ловушках Пауля и в накопительных кольцах [11, 12]. В пылевой плазме возможны цилиндрические пылевые облака, состоящие из небольших по размеру пылинок, которые самоудерживаются за счет сходящихся к оси ионных потоков и одновременно формируют удерживающий потенциал для макрочастиц больших размеров. .

В простейшем случае внешний удерживающий потенциал можно записать в виде Уех1 = ар2/2, где р — расстояние до оси симметрии. При достаточно большом параметре удержания а одноименно заряженные частицы располагаются на оси. По мере уменьшения параметра а частицы смещаг ются с оси, образуя зигзаг. При дальнейшем уменьшении параметра а зигзаг превращается в спираль (рис. 6). Далее возможно формирование еще более сложных структур в виде АГ-заходной спирали. В этом случае частицы располагаются по вершинам правильных Лг-у голы гиков, отстоящих друг от друга на некоторое расстояние го, причем каждый многоугольник повернут на некоторый угол <р относительно предыдущего. Пример подобной структуры для N = 2 показан на рис. 7.

Рис. 6: Конфигурационные бифуркации структур при уменьшении поперечного удержания.

В диссертации проведен большой комплекс численных исследований геликоидальных структур в пылевой плазме при наличии внешнего параболического удерживающего потенциала. Предметом исследования явля-

Рис. 7: Пример двухзаходной винтовой структуры ^ = 2).

ется изучение вопроса о том, как влияют различные типы взаимодействия между макрочастицами на типы равновесных конфигураций и бифуркаций системы. Исследования проводились в рамках предположения, что взаимодействия всех макрочастиц можно описать как сумму парных взаимодействий, для чего длина свободного пробега частиц плазмы, участвующих в зарядке макрочастиц, должна быть много больше поперечного размера цилиндра винтовой структуры.

Компьютерное моделирование проводилось для двух случаев: для структуры, бесконечной вдоль оси симметрии (или замкнутой структуры в тороидальной геометрии) и для структуры конечного размера, причем удержание вдоль оси симметрии предполагалось более слабым, чем в поперечном направлении. Взаимодействие между макрочастицами рассматривалось как комбинация дебаевского экранирующего потенциала или нелинейного экранирующего потенциала, учитывалась также возможность притяжения, обусловленного теневым эффектом [3].

При плавном изменении параметра удержания наблюдаются резкие скачкообразные изменения угла закрутки винтовой линии. Наблюдаются также и структурные бифуркации: смена однозаходной винтовой линии на двузаходную, на трехзаходную и т.д. Число бифуркаций возрастает с

уменьшением параметра удержания (соответственно с увеличением радиуса винтовых структур) и с увеличением силы притяжения между частицами. Были найдены всевозможные бифуркации для всех рассмотренных потенциалов взаимодействия между частицами.

Проведены аналитические расчеты параметров равновесных структур, которые полностью соответствуют результатам численного моделирования. Пример бифуркационной диаграммы, полученой для потенциала взаимодействия Дебая-Хюкксля, показан на рис. 8. Также показано, что наличие притяжения как неколлективного, так и коллективного между макрочастицами делает возможным существование винтовых структур при параметре внешнего удержания, равном нулю, или даже при его отрицательном значении. Наличие коллективного притяжения между макрочастицами приводит, помимо увеличения числа бифуркаций, еще и к .изменению их характера.

3.0 -

2.5 -

2.0 -

1.5 -

1.0

0.5 -

VI

IV

V

—I

ю

Рис. 8: Бифуркационная диаграмма, показывающая зависимость угла закрутки <р от радиуса структуры Ло. Римскими цифрами обозначены различные ветви равновесных решений: I — зигзаг, II — однозаходная спираль, III — двухзаходная спираль, IV — трехзаходная спираль и т.д. Сполошными линиями показаны устойчивые конфигурации, пунктирными — неустойчивые.

Далее в третьей главе дана теория линейных колебаний геликоидальных структур. Исследовались малые колебания и устойчивость /У-заходной винтовой структуры, удерживаемой в аксиально-симметричной.потенциальной яме. Уравнения движения имеют вид (1). Координаты частиц в невозмущенной конфигурации полагались равными

хп,з = Но соз(тр0 +

Уп,з = Дэ 8ш(пр0 + 2^/Лг);

где 2 = 0... N — 1 , —оо < п < оо, а равновесный радиус Но связан с углом закрутки <ро и шагом го условиями силового равновесия, следующими из (1).

В случае А^-заходной винтовой спирали, возмущения координат можно представить как ёгп^ ~ е1^0"8 е>(2'г/Л');71) где волновое число в принадлежит первой зоне Бриллюэна — п/<ро < а < +тг/щ.

Полученное дисперсионное уравнение оказывается весьма громоздким, и за исключением простого случая линейной цепочки аналитически его исследовать не удается. Пример численного решения для однозаходной спирали показан на рис. 9.

Поляризации колебаний винтовых конфигураций оказываются достаточно сложными. Как правило, движение частиц существенно трехмерно, и поляризации нельзя разложить на продольные и поперечные. Исключение составляют однородные колебания с з = О, когда выделяются чисто радиальные колебания, а частоты азимутальных и продольных обращаются в нуль.

Как точки бифуркации равновесных геликоидальных структур, так и частоты колебаний оказываются весьма чувствительными к деталям межчастичного взаимодействия. Поэтому в планируемых экспериментах с пылевыми винтовыми структурами их можно использовать в качестве средства диагностики.

Zigzag

4-0,999

i

ф3-2.653 U*13.346

A íl

..........-Алд.

со

1.S •

u-1.1

Helix

го

0,04

0,03' 0.02' 0,01-

Ч>-1.784 u=13.332

------

.....-..........

Л-Ч,.. -. ....... ■,.

1 2 3 A

(0

0,05 • 0,04 . 0,03' 0,02' 0,01'

i Л л

Ч>-1.57 и» 12.732

V

\ / и/

V

Рис. 9: Спектры малых колебаний для однозаходной винтовой линии (М — 1) в случае взаимодействия Дебая-Хкжкеля.

В четвертой главе диссертации исследуются колебания и структура трехмерных кластеров. В экспериментах трехмерные кластеры, состоящие из ионов в различных ловушках, наблюдаются довольно давно [12]. Известны также трехмерные пылевые кластеры в стратифицированном тлеющем разряде [13], а недавно в наземных условиях удалось создать трехмерный пылевой кластер в ВЧ-разряде [14].

Различными численными методами в диссертации исследуются равновесные структуры трехмерных пылевых кластеров, удерживаемых в сферически-симметричной потенциальной яме. Предполагается, что взаимодействие между частицами описывается потенциалом Дебая-Хюккеля с параметром экранировки к = 1/Ад. С целью определения наиболее энергетически выгодных состояний был проведен сравнительный анализ энергий различных конфигураций, которые могут реализовываться при одинаковом числе взаимодействующих частиц.

Рассматриваются малые кластеры, в которых число частиц варьируется от N = 4 и до N = 20 включительно. В зависимости от параметра экранировки к проведена классификация равновесных конфигураций и определены наиболее энергетически выгодные из них. Установлено, что для кластеров с числом частиц до N = 8 включительно существует только одна устойчивая конфигурация без частицы в центре. Начиная с N = 9 возможно несколько равновесных состояний, а начиная с N = 11 может происходить структурный переход при изменении параметра экранировки к. Наличие управляющего параметра к, зависящего от плотности окружающей плазмы, делает рассматриваемую модель полезной как для прикладных задач, так и для интерпретации экспериментальных результатов. Полученные равновесные конфигурации с числом частиц N = 4... 12 показаны на рис. 10.

Кроме того, в этой главе построена аналитическая теория малых колебаний простейших симметричных трехмерных кластеров. В качестве равного

N=4

N=5

N=6

N=7

N=8

N=9

N=10

д

N=12

Рис. Ю: Равновесные конфигурации: а - тетраэдр;

Ь - тригональная бипирамида; с - октаэдр;

(I - пентагональная бипирамида;

- квадратная антипризма;

- треугольная призма с тремя дополнительными вершинами;

- квадратная антипризма с двумя дополнительными вершинами;

- икосаэдр;

весных выбирались конфигурации, полученные в численном эксперименте. Определены точечные группы симметрии всех конфигураций с ЛГ = 4 до N ~ 13, которые, как оказалось, совпадают с группами симметрии распределений заряженных частиц по поверхности сферы [15].

Уравнения движения N частиц массой т, взаимодействующих между собой посредством произвольного потенциала 1/(г) = /(г2) и помещенных в сферически-симметричный внешний потенциал Уе1((г) = ш2г2/2гп, разлагались по малым смещениям вблизи положений равновесия. Совокупность всех смещений частиц образует линейное пространство Ь размерности ЗЛТ, в котором действует представление Г группы симметрии исходного кластера (см.,напр., [16]). Далее находилось разложение этого представления на неприводимые и определялся базис в соответствующих инвариантных подпространствах. В общем случае разложение представления записывается в виде Г = гДе Г" обозначает известное из теории групп неприводимое представление размерности г, а целые числа вхождения п? указывают количество экземпляров этого неприводимого представления.

После перехода к новому базису в пространстве Ь уравнения движения расщепляются на несколько независимых групп. Для определенного неприводимого представления имеется г одинаковых наборов из п" линейных уравнений, т.е. каждому члену группового разложения соответствует колебаний с кратностью вырождения г. В частности, во многих симметричных случаях оказывается, что число вхождения п" = 1, и тогда частота соответствующего колебания легко определяется, а направления смещений частиц для соответствующей моды не зависят от потенциала межчастичного взаимодействия.

Некоторые частоты колебаний одинаковы для всех кластеров. Смещению кластера как целого, без изменения формы соответствует трехкратно вырожденное колебание с частотой и> = о>о> а вращениям вокруг центра тяжести — три собственных значения ш = 0. В случае кулонов-ского потенциала взаимодействия благодаря масштабной инвариантности возникает еще одно универсальное колебание с частотой и] =

(бризер), для которого смещения всех частиц пропорциональны их невозмущенным координатам.

Описанная выше процедура была аналитически проведена для всех кластеров с N = 4...8. Приведем пример колебаний кластера, состоящего из четырех частиц. В невозмущенном состоянии все частицы расположены по вершинам правильного тетраэдра на расстоянии а от центра (рис.10а). Группа симметрии кластера совпадает с группой тетраэдра Та-Равновесный размер а определяется из условия w2 = —8/'(8а2). Существует три типа колебаний: невырожденный бризер с частотой (рис. 11а)

u>i = 128а2/"(8а2), (3)

двукратно вырожденное колебание (рис. lib) с частотой

= 32а2/" (8а2) (4)

и трехкратно вырожденное колебание (рис. 11с) с частотой

¡4 - 64а2/"(8а2)'. (5)

Рис. И: Колебания тетраэдрического кластера, а — (3), Ь — (4), с — (5).

Для кластера, состоящего из восьми частиц, исследованы две равновесные конфигурации — антипризма (рис. 10е) и более симметричный куб, который обсуждался в некоторых теоретических работах. Анализ частот колебаний кубического кластера показал, что для всех используемых в теории пылевой плазмы потенциалов взаимодействия он неустойчив.

Описанная выше процедура вычислений для ббльших значений N весьма громоздка. Например, для определения поляризаций колебаний икосаэдрического кластера (рис. 10Ь) необходимо суммировать по группе Уй, состоящей из 120 элементов, определенные матрицы размером 36 х 36. Поэтому для N = 9... 13 вычисления, результаты которых приведены в приложении к диссертации, проводились методами компьютерной алгебры.

В четвертой главе обсуждается также возможность восстановления потенциала взаимодействия по экспериментально измеримым координатам отдельных частиц. Показано, что при фиксированных параметрах ловушки можно восстановить межчастичные силы и их производные для определенных фиксированных расстояний. Для определения полной зависимости силы от расстояния необходимо изменять параметры ловушки, что в некоторых экспериментальных установках вполне осуществимо. Обсуждаются оптимальные методы возбуждения колебаний, описан метод выделения нормальных колебаний при ударном возбуждении кластера. Обсуждаются наиболее пригодные для экспериментальной обработки типы колебаний.

В Заключении сформулированы основные результаты и выводы работы, а также возможные направление дальнейших исследований изучения плазменных кристаллов и кластеров.

В Приложении приведена часть результатов по колебаниям трехмерных плазменных кластеров с числом частиц от N — 9 до N = 13. Пример колебаний икосаэдрического кластера, поляризации которых не зависят от потенциала взаимодействия, показан на рис. 12. Полный список всех частот и поляризаций можно найти в препринте [А39].

Рис. 12: Нормальные колебания икосаэдрического кластера. Цифрами показаны кратности вырождения: А-3;В-3;С-4;0-5;Е-1;Р-4

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построена теория малых колебаний плоских кластеров в виде правильного многоугольника и правильного многоугольника с частицей в центре. Для произвольного потенциала межчастичного взаимодействия получены частоты и поляризации колебаний.

2. Для имеющихся экспериментальных данных по плоским двумерным пылевым кластерам с помощью разработанной теории было показано, что модель дебаевского экранирования не может объяснить наблюдаемые спектры частот колебаний.

3. Показано, что в отсутствие внешнего удержания слабое теневое притяжение способно обеспечить существование равновесных состояний двумерных пылевых кластеров размером порядка или меньше длины экранирования. Выяснено, что при изменении внешних параметров возможен структурный переход — становится энергетически выгоден распад кластера на несколько меньших кластеров. Расчеты для моделей дебаевского экранирования и нелинейного экранирования показали чувствительность структур кластеров к типу экранирования. Для различных моделей потенциалов взаимодействия найдены универсальные числа частиц в кластере, при которых кластеры становятся неустойчивыми.

4. Исследованы колебания плоского пылевого кристалла с одной и двумя частицами на элементарную ячейку. Получены критерии разрушения кристалла для произвольного сферически симметричного потенциала взаимодействия между частицами. Выяснено, что для кристалла с одной частицей на элементарную ячейку неустойчивость развивается в коротковолновом пределе, в то время как в случае двух частиц на элементарную ячейку она имеет максимальный инкремент в длинноволновой асимптотике. Показано, что для потенциала взаимодействия Дебая-Хюккеля квадратная решетка неустойчива.

5. Моделирование методом молекулярной динамики показало, что в случае аксиально-симметричной геометрии для всех типичных потенциалов взаимодействия случайное распределение макрочастиц приходит в состояние равновесия в виде геликоидальной структуры. При плавном изменении внешнего управляющего параметра наблюдаются структурные переходы. Определены виды структурных бифуркаций для различных потенциалов взаимодействия между частицами. Аналитические расчеты параметров равновесных геликоидальных структур полностью соответствуют результатам численного моделирования.

6. Построена теория колебаний квазикристаллов с геликоидальной симметрией. Для произвольного потенциала межчастичного взаимодействия рассчитаны спектры колебаний некоторых квазикристаллов.

7. С помощью численного моделирования исследована равновесная структура трехмерных кластеров, удерживаемых в сферически-симметричной потенциальной яме. Изучены структурные переходы в кластерах для случая межчастичного взаимодействия, описываемого потенциалом Дебая-Хюккеля.

8. Построена теория колебаний кластеров, удерживаемых в сферически симметричной потенциальной яме. Для произвольного потенциала межчастичного взаимодействия получены частоты и поляризации колебаний кластеров с числом частиц от четырех до тринадцати. Развит метод восстановления потенциала взаимодействия по экспериментально измеренным координатам отдельных частиц.

Список публикаций автора по теме диссертации

[А1] Ш.Г.Амиранашвили, Н.Г.Гусейн-заде, А.М.Игнатов, "Устойчивость плоских равновесных конфигураций точечных зарядов" // Краткие Сообщения по Физике, N7-8, стр.16-21 (1996)

[А2] Sh.Amiranashvili, N.Gusein-zade and A.Ignatov, "Stability of polygonal ion crystals" // Phys.Rev. A., V. 59, p.3098-3100 (1999)

[A3] Sh.G.Amiranashvili, N.G.Gousein-zade, V.N.Tsytovich, "Spectral Properties of Small Dusty Clusters" // Phys. Rev. E 64, 016407, 6p. (2001)

[A4] Н.Г.Гусейн-заде, А.М.Игнатов, "Устойчивость бесконечных структур заряженных частиц" // Краткие Сообщений по Физике, N11, стр. 13-19 (2001)

[А5] Н.Г.Гусейн-заде, А.М.Игнатов, "Колебания геликоидального плазменного квазикристалла" // Физика плазмы, Т.29, N6, стр.521-526 (2003)

[А6] V.N.Tsytovich, N.Gusein-Zade N. and G.Morfill, "Dust-Dust Interaction and Formation of Dust Helical Structures" // IEEE Trans.Plasma Sci., special issue "Dusty Plasmas", V.32, N2, p.637-652 (2004)

[A7] Н.Г.Гусейн-заде, Д.H.Клочков, "Малые трехмерные пылевые кластеры" // Краткие Сообщения по Физике, N12, стр.10-17 (2005)

[А8] Н.Г.Гусейн-заде, В.Н.Цытович, "Винтовые структуры в комплексной плазме. I Неколлективное взаимодействие" // Физика плазмы, Т.31, N5, стр.432-452 (2005)

[А9] В.Н.Цытович, Н.Г.Гусейн-заде, "Винтовые структуры в комплексной плазме. II Коллективное взаимодействие" // Физика плазмы, Т.31, N10, стр.889-908 (2005)

[А10] Н.Г.Гусейн-заде, В.Н.Цытович, "Спектральные свойства винтовой структуры, состоящей из одноименных одноразмерных пылинок" // Краткие Сообщения по Физике, N6, стр.3-13 (2005)

[All] Н.Г.Гусейн-заде, А.М.Игнатов, "Малые колебания тетраэд-рического пылевого кластера" // Краткие Сообщения по Физике, N6, стр. 14-22 .(2005)

[А12] Д.Н. Клочков, Н.Г.Гусейн-заде, А.М.Игнатов, "Двумерные пылевые кластеры вблизи проводящей стенки" // Краткие Сообщения по Физике, N11, стр.27-32 (2005)

[А13] Н.Г.Гусейн-заде, Д.Н.Клочков, "Поперечная неустойчивость плоской гексагональной пылевой решетки" //Краткие Сообщения по Физике, N3, стр.35-40 (2006)

[А14] Н.Г.Гусейн-заде, В.Н.Цытович, "Спектральные свойства многоза-ходной винтовой структуры, состоящей из одноименных одноразмерных пылинок" // Физика плазмы, Т.32, N8, стр.727-741 (2006)

[Al5] V.N.Tsytovich, N.G.Gousein-zade and G.E.Morfill, "Theory of boundary-free two-dimensional dust clusters" .// Physics of Plasmas, V.13, 033503, 8p. (2006)

[A16] Н.Г.Гусейн-заде, А.М.Игнатов, "Нормальные колебания малого пылевого кластера. Куб и квадратная антипризма" // Прикладная физика, N4, стр.42-53 (2006)

[А17] Н.Г.Гусейн-заде, В.Н.Цытович, Ш.Г.Амиранашвили, "Нормальные колебания двумерных пылевых кластеров, в виде правильного многоугольника с частицей в центре" // Краткие Сообщения по Физике, N7, стр. 11-17 (2006)

[А18] Н.Г.Гусейн-заде, А.М.Игнатов, "Спектроскопия атома Томсона" // Физика плазмы, Т.32, N10, стр.907-920 (2006)

[А19] Sh.G.Amiranashvili, N.G.Gusein-zade, A.M.Ignatov // "Group approach to clusters stability", pp.252-268 (2000) "Вопросы плазменной СВЧ-электроники и теории плазмы" Сб., Тула (2000)

[А20] Ш.Г.Амиранашвили, Н.Г.Гусейн-заде, Е.В.Петрищева, "Динамика заряженных плазменных облаков в ловушке Пенинга" // Тезисы докладов XXV Звенигородской конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу, (Р-С1-18), стр.200 Звенигород (1998)

[А21] Sh.Amiranashvili, N.Gusein-zade, A.Ignatov, "Plane Coulomb Clusters Stability" // Contr.paper, Intern.Conf. on. Phenomena in Ionized Gases. ICPIG (Международная конференция по явлениям в ионизованных газах), XXIV ICPIG, Warsaw, v.5, р.734 (1999)

[А22] Sh. G.Amiranashvili, N.G. Gousein-zade, V.N.Tsytovich, "Theory of small atomic-like 2D dust clusters" // 3rd Intern. Conf. on Phys. of Dusty Plasmas. ICPDP (Международная конференция по физике пылевой плазмы), Proceedings ICPDP-2002, Durban, South Africa, 20 - 24 May (2002)

[A23] Н.Г.Гусейн-заде, "Линейные цепочки ионов в электромагнитных ловушках" // Тезисы докладов XXVI Звенигородской конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу. Звенигород (П-С2-1) с.219 (1998)

[А24] N.Gusein-zade, E.Petrishcheva, "Linear Coulomb Chains Stability" // Contr. paper, Intern.Conf. on Phenomena in Ionized Gases. ICPIG (Международная конференция по явлениям в ионизованных газах), XXIV ICPIG, Warsaw, v.5, р.49 (1999)

[А25] Н.Г.Гусейн-заде, А.М.Игнатов, "Спектральные свойства винтовой структуры из ультрахолодных ионов" // Тезисы докладов XXVIII Звенигородской конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу,(П-С-2-7), стр.214, Звенигород, (2001)

[А26] V.N.Tsytovich, N.Gusein-Zade and G.Morfill "Dust-Dust Interaction and Formation of Dust Helical Structures" // Обзорный доклад на 10-рабочей группе по пылевой плазме (Virgin Island USA 19-22 June 2003) (2003)

[А27] N.Tsytovich, N.Gusein-Zade and G.Morfill "Helical Dust structures in Laboratory and Space" // Обзорный доклад на конференции Европейского Физического общества "Physics of Plasmas and Controlled Fusion Research" (С.Петербург 7-13 июля 2003) Опубликовано в материалах конференции в электронном виде и на компакт дисках (2003)

[А28] N.Gusein-zade, V.N.Tsytovich, "Collective Modes of Dust Helical Clusters" // 4th Intern. Conf. on Phys. of Dusty Plasmas., ICPDP (Международная конференция по физике пылевой плазмы) (15-21 June 2005, Orlcan, France) стр.577-580 (2005)

[А29] Н.Г.Гусейн-заде, А.М.Игнатов, "Колебания малого пылевого кластера" // Тезисы докладов XXXII Звенигородской конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу, (Звенигород, 14-18 февраля 2005), стр.218 (2005)

[А30] Н.Г.Гусейн-заде, Д.Н.Клочков, "Малые трехмерные пылевые кластеры" // Тезисы докладов XXXIII Звенигородской конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу. (Звенигород, 13 - 17 февраля 2006) стр.190 (2006)

[А31] V.N.Tsytovich, G.E. Morfill and N.Gusein-zade, "2D Dust Clusters in Theory and Experiments" // 4th Intern. Conf. on Phys. of Dusty Plasmas., ICPDP (Международная конференция по физике пылевой плазмы) (15-21 June 2005, Orlean, France) стр.215-218 (2005)

[А32] N.G.Gusein-zade, A.M.Ignatov, "Oscillations of small three-dimensional dust clusters" // ICPIG (Международная конференция по явлениям в ионизованных газах) ICPIG 27, (18-22 July, 2005 Eindhoven, the Netherlands), 12-190, Зр. (2005)

[АЗЗ] Д.Н.Клочков, Н.Г.Гусейн-заде, A.M. Игнатов, "Двумерные пылевые кластеры вблизи проводящей стенки" // Тезисы докладов XXXIII Звенигородской конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (Звенигород, 13 - 17 февраля 2006) стр.192 (2006)

[А34] Д.Н.Клочков, Н.Г.Гусейн-заде, "Малые колебания двумерной пылевой решетки гексагональной формы" // Тезисы докладов XXXIII Звенигородской конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу, (Звенигород, 13 - 17 февраля 2006) стр.191 (2006)

[А35] Н.Г.Гусейн-заде, А.М.Игнатов, "Нормальные колебания малых трехмерных пылевых кластеров, в виде выпуклых многогранников" // Тезисы докладов XXXIII Звенигородской конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (Звенигород, 13 - 17 февраля 2006) стр.189 (2006)

[А36] N.G.Gusein-zade, A.M.Ignatov "Oscillations of three-dimensional plasma clusters" // EPS (Конференция Европейского физического общества) (Рим, 2006)

[А37] N.G.Gusein-zade, A.M.Ignatov, "Oscillations of three-dimensional plasma clusters" // 4th Workshop "Complex Systems of Charged Particles and their Interaction with Electromagnetic Radiation. Physics of Complex Systems", Section: Complex Plasmas and their Interaction with Electromagnetic Radiation, Moscow, April 19-21 (2006)

[A38] Н.Г.Гусейн-заде, "Лазерное охлаждение плазмы и кулоновские кристаллы" // Материалы Всероссийской школы-семинара молодых ученых, аспирантов и студентов "Теплоэлектроофизические явления в атмосфере и электромагнитное поле Земли при глобальных процессах", г.Владимир, с. 18-22 (1998)

[А39] N.G.Gusein-zade, A.M.Ignatov, "Oscillations of Thomson's atom" http://www.gpi.ru/theory/clusters/clusters.htm, 136стр.

Литература

[1] S.Ishimaru "Strongly coupled plasmas: high-density classical plasmas and degenerate electron liquids" // Rev.Mod.Phys., 54, p.1017-1059, (1982)

[2] Melzer A., Klindworth M., Piel A., "Normal Modes of 2D Finite Clusters in Complex Plasmas" // Phys.Rev.Lett., V.87 , p.115002, 4p. (2001)

[3] А.И.Игнатов, "Гравитация Лессажа в пылевой плазме" // Физика плазмы Т.22, N7, стр. 648-653 (1996)

[4] Я.К.Ходатаев, Р.Бингхем, В.П.Тараканов, В.Н.Цытович, "Механизмы взаимодействия пылевых частиц в плазме" // Физика плазмы Т.22, N11, стр. 1028-1038 (1996)

[5] H.Thomas, G.E.Morfill, V.Demmel, J.Goree et al. , "Plasma Crystal: Coulomb Crystallization in a Dusty Plasma" // Phys.Rev.Lett., V.73, p.652-655 (1994)

[6] C.A. Murray and D.H. Van Winkle, "Layering transitions in colloidal crystals as observed by diffraction and direct-lattice imaging" // Phys. Rev. A, 34, p.562-573 (1986).

[7] T.B. Mitchell, J.J. Bollinger, D.H.E. Dubin, X.-P. Huang, W.M. Itano, and R.H. Baughman "Direct Observations of Structural Phase Transitions in Planar Crystallized Ion Plasmas" // Science 282, p.1290-1293 (1998).

[8] J.P. Schiffer, "Phase Transitions in Anisotropically Cofined Ionic Crystals" // Phys. Rev. Lett. 70, N6, p.818-821 (1993)

[9] Dahiya R. P., Paeva G.V., Stoffels W.W. et al., "Evolution of a Dust Void in a Radio-Frequency Plasma Sheath" // Phys. Rev. Lett., 89, 125001, 4p. (2002)

[lOj А. И. Игнатов, "Взаимодействие пылевых частиц вблизи проводящей стенки" // Физика плазмы Т.29, N4, стр.325-328 (2003)

[11] G.Birkl, S.Kassner and H.Walther, "Multiple-shell structures of laser-cooled 24Mg+ ions in a quadrupole storage ring" // Nature, 357, p.310-313 (1992)

[12] Daniel H.E.Dubin and T.M.O'Neil "Trapped nonneutral plasmas, liquids, and crystals (the thermal equilibrium states)" // Rev.Mod.Phys., V.71 ,N1, p.87-172 (1999)

[13] B.E.Фортов, А.Г.Храпак, C.A.Храпак, В.И.Молотков, О.Ф.Петров, "Пылевая плазма (Обзоры актуальных проблем)" // Успехи физических наук, Т.174, вып.5, стр.495-544 (2004)

[14] О. Arp, D. Block, A. Piel, and A. Melzer, "Dust Coulomb Balls: Thrce-Dimensional Plasma Crystals" // Phys.Rev.Lett., V.93, N16, 165004, 4p. (2004)

[15] Atiyah M. and Sutcliffe P., "Polyhedra in Physics, Chemistry and Geometry" // Milan J. Math., V.71. p.33-38 (2003)

[16] Любарский Г.Я. "Теория групп и ее применения в физике" (Физ-Мат.лит., Москва, 1958)

Подписано в печать 04.10.2006 Формат 60x84/16. заказ N96 Тираж 100 экз.

отпечатано в ОАО "ВИЗИТ" с оригинала-макета заказчика

ВВЕДЕНИЕ

1 Общая характеристика работы.

2 Плазменные кристаллы и кластеры.

2.1 Пылевая плазма.

2.2 Микроплазма.

2.3 Коллоидная плазма.

1 МАЛЫЕ ДВУМЕРНЫЕ КЛАСТЕРЫ

1.1 Малые кластеры.

1.2 Нормальные колебания двумерных пылевых кластеров в виде правильного многоугольника.

1.3 Нормальные колебания двумерных кластеров в виде правильного многоугольника с частицей в центре

1.4 Двумерные малые кластеры: теория и эксперимент.

1.5 Двумерные пылевые кластеры со свободной границей.

2 ДВУМЕРНЫЕ РЕШЕТКИ И ДВУМЕРНЫЕ КВАЗИКРИСТАЛЛЫ

2.1 Простые и сложные двумерные решетки.

2.2 Неустойчивость плоскости кристалла.

2.3 Двумерные пылевые облака вблизи проводящей стенки.

3 ВИНТОВЫЕ СТРУКТУРЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛАЗМЕ

3.1 Численное моделирование

3.2 Бифуркации винтовых структур.

3.3 Исследование малых колебаний винтовых структур

4 ТРЕХМЕРНЫЕ КЛАСТЕРЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛАЗМЕ

4.1 Трехмерные структуры и модель Томсона.

4.2 Численное моделирование равновесных конфигураций.

4.3 Колебания малых кластеров.

4.3.1 Тетраэдр.

4.3.2 Треугольная бипирамида.

4.3.3 Октаэдр.

4.3.4 Пятиугольная бипирамида.

4.3.5 Восемь частиц.

4.4 Определение потенциала взаимодействия.

1 Общая характеристика работы

Термодинамические свойства равновесной плазмы описываются одной безразмерной величиной — параметром неидеальности, который еще часто называют коэффициентом связи или коэффициентом корреляции. Параметр неидеальности определяется как отношение характерной потенциальной энергии соседних частиц к их характерной кинетической энергии. Для чисто кулоновского взаимодействия и классической плазмы параметр неидеальности можно оценить как Г = Z2e2/aT,

-1/3 где а ~ пр — среднее расстояние между частицами, пр — концентрация частиц с зарядом Ze и Т — температура в энергетических единицах. Если кулонов-ская потенциальная энергия меньше, чем кинетическая, т.е. параметр неидеальности меньше 1, то плазма не имеет упорядоченной структуры и ведет себя как газ. Однако в плазме с параметром неидеальности большим 1 должно проявиться некоторое пространственное упорядочение. Поскольку в такой сильно связанной плазме кулоновские силы расталкивания превалируют над тепловым движением, частицы должны быть расположены на некотором расстоянии друг от друга. При параметре неидеальности, равном примерно 2 и выше, плазма проявляет свойства жидкости. Для большинства известных примеров классической плазмы параметр Г ненамного превышает единицу.

Однако в последнее время были открыты или искусственно созданы системы заряженных частиц, для которых параметр неидеальности намного превышает единицу и может достигать значений в десятки тысяч. Примеров подобных систем довольно много. К ним относятся: ансамбли одноименно заряженных ионов или электронов, удерживаемые от расплывания внешними полями; широко распространенная в природе пылевая плазма; заряженные коллоидные суспензии, в том числе биологические жидкости. В некотором приближении кора нейтронных звезд может рассматриваться как плазма с высоким параметром неидеальности.

С увеличением параметра Г система самоорганизуется от неупорядоченной газовой фазы к упорядоченной конденсированной фазе, так называемому классическому кулоновскому или плазменному кристаллу. Простейшей и наиболее изученной моделью является модель однокомпонентной плазмы, в которой рассматривается ансамбль одноименно заряженных частиц на компенсирующем однородном фоне противоположного знака. Известно, что в однокомпонентной плазме при Г < 2 в системе появляется ближний порядок, а при Г ~ 170 однокомпонентная плазма кристаллизуется, образуя объемно центрированную кубическую кристаллическую решетку [1, 2, 3]. Естественно, что в реальных физических системах правильный плазменный кристалл образуется в термодинамическом пределе, то есть при достаточно большом числе частиц и в условиях отсутствия значительных внешних электромагнитных полей.

С другой стороны, во многих случаях сравнительно небольшое число (от нескольких единиц до десятков тысяч) заряженных частиц удерживается внешними полями в ограниченном объеме. В этом случае говорят о плазменных кластерах. Типы упорядочения, возникающие в плазменных кластерах, существенно отличаются от кристаллического и зачастую не имеют аналогов в физике твердого тела.

Настоящая диссертация посвящена теоретическому и численному исследованию структуры и устойчивости плазменных кристаллов и кластеров. Поскольку наибольшее развитие физика подобных систем получила за последние 10-15 лет в связи с открытием плазменно-пылевых кристаллов, изложение ведется в основном применительно к пылевой плазме. Тем не менее большая часть полученных результатов применима и к другим физическим системам, например к ансамблям ионов в электромагнитных ловушках и накопительных кольцах или к заряженным коллоидным суспензиям.

Основными задачами диссертации являются:

1. Развитие теории колебаний и устойчивости плоских двумерных плазменно-пылевых кластеров для произвольного потенциала взаимодействия между частицами. Анализ имеющихся экспериментальных данных.

2. Исследование структуры и устойчивости двумерных плазменных кристаллов. Определение критерия разрушения плазменного кристалла. Численное моделирование динамики двумерных плазменно-пылевых облаков.

3. Исследование фазовых переходов в аксиально-симметричных квазикристаллах с геликоидальной симметрией. Построение теории колебаний геликоидальных квазикристаллов.

4. Численное моделирование равновесной структуры трехмерных плазменных кластеров. Развитие теории колебаний симметричных плазменных кластеров. Исследование возможности восстановления потенциала межчастичного взаимодействия по экспериментально измеримым частотам колебаний.

Актуальность темы диссертации обусловлена тем, что различные типы плазменных кристаллов и кластеров в последнее время интенсивно изучаются в различных областях физики. Интерес к подобным системам обусловлен как фундаментальными, так и прикладными аспектами. К фундаментальным аспектам относится, например, возможность исследования фазовых переходов на кинетическом уровне. В пылевой плазме кристаллы и кластеры возникают в процессе плазменной обработки поверхности, что, с одной стороны, является основным препятствием на пути миниатюризации элементной базы микроэлектроники, а с другой стороны, открывает возможность синтеза новых материалов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• Построена теория колебаний планарных кластеров в виде правильных многоугольников, состоящих из частиц с произвольным потенциалом взаимодействия. Показано, что согласно имеющимся экспериментальным данным взаимодействие между макрочастицами в приэлектродном слое плазмы не описывается потенциалом Дебая-Хюккеля.

• Построена теория колебаний двумерных плазменных кристаллов. Определен критерий разрушения кристалла при увеличении концентрации частиц.

• Развита теория геликоидальных плазменных кристаллов. Исследованы фазовые переходы и получены спектры колебаний геликоидальных кристаллов.

• Построена теория колебаний симметричных трехмерных кластеров с произвольным межчастичным взаимодействием. Показана возможность определения межчастичных сил исходя из экспериментально измеримых частот колебаний.

Практическая ценность работы заключается в возможности использования полученных результатов при оптимизации процесса плазменной обработки поверхностей, разработке методов синтеза новых материалов, проектировании электромагнитных ловушек ионов для создания новых стандартов частоты и хранения антивещества.

Апробация работы и публикации.

Диссертация была выполнена в Институте общей физике им.A.M.Прохорова.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [42], [75] - [81], [124], [145] - [155], [173]-[191]; из которых 17 научных работ в виде статей в отечественных и зарубежных рецензируемых журналах [42, 75, 76, 78,124, 145,146,152,153, 154, 155, 173, 179, 180, 183, 187, 188, 189].

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на всероссийских и международных конференциях по физике: Материалы Всероссийской школы-семинара молодых ученых, аспирантов и студентов, г.Владимир (1998); Звенигородской конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (1998, 2001, 2005, 2006); ICPIG (Международная конференция по явлениям в ионизованных газах) (Варшава 1999, Эйндховен 2005); ICPDP (Международная конференция по физике пылевой плазмы) (Дурбан 2002, Орлеан 2005); Обзорный доклад на 10-рабочей группе по пылевой плазме (Виргинские острова США 2003); Обзорный доклад на конференции Европейского Физического общества "Physics of Plasmas and Controlled Fusion Research" (С.Петербург 2003); EPS (Конференция Европейского физического общества) в Риме (2006); и 4th Workshop "Complex Systems of Charged Particles and their Interaction with Electromagnetic Radiation. Physics of Complex Systems" (Москва, 2006).

В течение 1996-2006 г.г. полученные в диссертации результаты докладывались на семинарах в ИОФРАН и других институтах и лабораториях, как в России так и зарубежом.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Объем диссертации - 300 страниц, она содержит 100 рисунков, 10 таблиц и список литературы из 500 наименований.

Основные выводы диссертации состоят в следующем:

1. Развита теория колебаний плоских кластеров в виде правильного многоугольника и правильного многоугольника с частицей в центре для произвольного потенциала межчастичного взаимодействия. Сравнение с экспериментально измеренными частотами колебаний плоских кластеров показало, что потенциал взаимодействия между макрочастицами в приэлектродном слое плазмы заметно отличается от потенциала Дебая-Хюккеля и его модификаций, учитывающих дальнодействующее притяжение.

2. Показано, что в отсутствие внешнего удержания слабое теневое притяжение способно обеспечить существование равновесных состояний двумерных пылевых кластеров размером порядка или менее длины экранирования. Выяснено, что при изменении внешних параметров возможен структурный переход - становится энергетически выгоден распад кластера на несколько меньших кластеров. Расчеты для моделей дебаевского экранирования и нелинейного экранирования показали чувствительность структур кластеров к типу экранирования. Для различных моделей потенциалов взаимодействия найдены универсальные магические числа, при которых квазикристаллы становятся неустойчивыми.

3. Исследованы колебания плоского пылевого кристалла с одной и двумя частицами на элементарную ячейку. Получены критерии устойчивости для произвольного парного потенциала взаимодействия между частицами.

Выяснено, что для простых решеток неустойчивость развивается в коротковолновом пределе, в то время как для решеток с двумя частицами в элементарной ячейке она имеет максимальный инкремент в длинноволновой асимптотике.

4. Компьютерное моделирование методом молекулярной динамики показало, что для типичных потенциалов взаимодействия любое начальное случайное распределение макрочастиц аксиально-симметричных системах релаксирует к состоянию равновесия в виде квазикристалла с геликоидальной симметрией. Исследованы структурные фазовые переходы между различными типами геликоидальных квазикристаллов. Построена теория малых колебаний квазикристаллов с геликоидальной симметрией. Для произвольного потенциала межчастичного взаимодействия получены спектры колебаний некоторых квазикристаллов.

5. С помощью численного моделирования исследована равновесная структура трехмерных пылевых кластеров, удерживаемых в сферически-симметричной потенциальной яме. В предположении, что что взаимодействие между частицами описывается потенциалом Дебая-Хюккеля, изучены возможные структурные переходы. Исследованы нормальные колебания симметричных трехмерных конфигураций частиц, удерживаемых в сферически симметричной потенциальной яме. Для произвольного потенциала межчастичного взаимодействия получены частоты и поляризации колебаний систем с числом частиц от четырех до тринадцати. Развита методика восстановления потенциала взаимодействия по экспериментально измеренным координатам отдельных частиц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ

Диссертация посвящена исследованию плазменных кристаллов и кластеров, образованных заряженными частицами одного знака. Дана классификация равновесных конфигураций и определены конфигурации с минимальной потенциальной энергией. Исследованы структурные переходы, происходящие при изменении внешних управляющих параметров. Построена теория малых колебаний и определены условия устойчивости плазменных кристаллов и кластеров.

1. 1.himaru S. "Strongly coupled plasmas: high-density classical plasmas and degenerate electron liquids" // Rev.Mod.Phys., V.54, p.1017-1059, (1982)

2. Rahman A., Shiffer J.P. "Structure of a One-Component Plasma in an External Field: A Molecular-Dynamics Study of Particle Arrangement in a Heavy-Ion Storage Ring" // Phys. Rev. Lett., V.57, p.1133-1136 (1986)

3. Hasse R.W. and Avilov V.V. "Structure and Madelung energy of spherical Coulomb crystals" // Phys. Rev. A, V.44, p.4506-4515 (1991)

4. Ikezi H, "Coulomb solid of small particles in plasmas" // Phys. Fluids, V.29, p.1764-1766 (1986)

5. Смирнов Б.М., "Кластерная плазма (Обзоры актуальных проблем)" // Успехи физических наук, Т.170, вып.5, стр.495-534 (2000)

6. Echt О., Sattler К., Recknagel Е. "Magic Numbers for Sphere Packings: Experimental Verification in Free Xenon Clusters" // Phys.Rev.Lett, V.47, p.1121-1124 (1981)

7. Harris I.A., Kidwell R.S., Northby J.A. "Structure of Charged Argon Clusters Formed in a Free Jet Expansion" // Phys.Rev.Lett, V.53, p.2390-2393 (1984)

8. Knight W.D., Clemenger K, de Heer W., Saunders W.A., et al. "Electronic Shell Structure and Abundances of Sodium Clusters" // Phys. Rev. Lett, V.52, p.2141-2143 (1984)

9. Reist P.C. "Introduction to Aerosol Science" (New York: Macmillan Publ.Coop.) 1984

10. Smirnov B.M. "Physics of Ionized Gases" (New York: Wiley, 2000)

11. Kaplan S.A., Pikel'ner S.B. "Interstellar Medium" (Cambridge: Cambridge Univ. Press) 1982

12. Цытович В.H. "Плазменно-пылевые кристаллы, капли и облака" // Успехи физических наук, т. 167, стр.57-100 (1997)

13. Morfill G.E., Thomas Н.М., Konopka U., and Zuzic M., "The plasma condensation: Liquid and crystalline plasmas" // Phys.Plasmas, V.6, N5, p.1769-1780 (1999)

14. Tsytovich V.N. "One-dimensional Self-organised Structures in Dusty Plasmas" // Aust.J.Phys., V.51, N.5, p.763-834 (1998)

15. Нефедов А.П., Петров О.Ф., Фортов B.E. "Кристаллические структуры в плазме с сильным взаимодействием макрочастиц (Физика наших дней)"

16. Успехи физических наук, Т.167, стр.1215-1226 (1997)

17. Цытович В.Н., Морфилл Г.Е., Томас В.Х. "Комплексная плазма: I Комплексная плазма как необычное состояние вещества" // Физика Плазмы, Т.28, N.8, стр.675-707 (2002)

18. Морфилл Г.Е., Цытович В.Н., Томас В.Х. "Комплексная плазма: II Элементарные процессы в комплексной плазме" // Физика Плазмы, 2003, Т.29, N.1, стр.3-36 (2003)

19. Томас В.Х., Морфилл Г.Е., Цытович В.Н. "Комплексная плазма: III Эксперименты по сильной связи и дальним корреляциям" // Физика Плазмы, 2003, Т.29, N.11, стр.963-1030 (2003)

20. Цытович В.Н., Морфилл Г.Е., Томас В.Х. "Комплексная плазма: IV Теория комплексной плазмы. Приложения." // Физика Плазмы, 2004, Т.ЗО, N.10, стр.877-929 (2004)

21. Фортов В.Е., Храпак А.Г., Храпак С.А., Молотков В.И., Петров О.Ф., "Пылевая плазма (Обзоры актуальных проблем)" // Успехи физических наук, Т. 174, вып.5, стр.495-544 (2004)

22. Piel A., Melzer A. "Dynamical processes in complex plasmas" // Plasma Phys. Control. Fusion, V.44, R1-R26 (2002).

23. Shukla P.K., Mamun A. "Introduction to Dusty Plasma Physics" (IOP Publishing, Bristol and Phyladelphia, 2002).

24. Игнатов A.M. "Физические процессы в пылевой плазме" // Физика Плазмы, 2005, Т 31., N1, стр.52-63 (2005)

25. Chu J.H. and Lin I "Direct observation of Coulomb crystals and liquids in strongly coupled rf dusty plasmas" // Phys.Rev.Lett., V.72, p.4009-4012 (1994)

26. Thomas H., Morfill G.E., Demmel V., Goree J. et al. "Plasma Crystal: Coulomb Crystallization in a Dusty Plasma" // Phys.Rev.Lett., V.73, p.652-655 (1994)

27. Hayashi Y., Tachibana K. "Observation of Coulomb-Crystal Formation from Carbon Particles Grown in a Methane Plasma" // Jpn. J. Appl. Phys. Part2, V.33, L804-806 (1994)

28. Fortov V.E., Nefedov A.P., Petrov O.F. et al. "Emission properties and structural ordering of strongly coupled dust particles in a thermal plasma" // Phys. Let. A, V.219, p.89-94 (1996)

29. Juan W.-T., Huang Z.-H., Hsu J.-W., Lai Y.-J. and Lin I. "Observation of dust Coulomb clusters in a plasma trap" // Phys. Rev. E, V.58, R6947, 3p. (1998)

30. Фортов В.E., Нефедов А.П., Торчинский В.М. и др. "Кристаллизация пылевой плазмы в положительном столбе тлеющего разряда" // Письма в ЖЭТФ, Т.64, в.2, стр.86-91 (1996)

31. О. Arp, D. Block, A. Piel, and A. Melzer, "Dust Coulomb Balls: Three-Dimensional Plasma Crystals" // Phys.Rev.Lett., V.93, N16,165004, 4p. (2004)

32. Minghui Kong, B. Partoens, F. M. Peeters, "Structural, dynamical and melting properties of two-dimensional clusters of complex plasmas " // New J. Phys. V.5, 23, 17p.(2003)

33. Schweigert I.V., Schweigert V.A. and Peeters F.M., "Properties of two-dimensional Coulomb clusters confined in a ring" // Phys.Rev. B, V.54, p.10827-10834 (1996).

34. Melzer A., Klindworth M., Piel A., "Normal Modes of 2D Finite Clusters in Complex Plasmas" // Phys.Rev.Lett., V.87 , p.115002, 4p. (2001)

35. Melzer A. "Mode spectra of thermally excited two-dimensional dust Coulomb clusters" // Phys.Rev. E., V.67, 016411, Юр (2003)

36. Dahiya R. P., Paeva G.V., Stoffels W.W. et al., "Evolution of a Dust Void in a Radio-Frequency Plasma Sheath" // Phys. Rev. Lett., V.89, 125001, 4p. (2002)

37. Annaratone В. M., Antonova Т., Goldbeck D. D., Thomas H.M., and Morfill G.E. "Complex-plasma manipulation by radiofrequency biasing " // Plasma Phys. Control. Fusion v.46 p. B495-509 (2004)

38. Antonova Т., Annaratone B.M., GoldbeckD.D., Yaroshenko V., Thomas H.M., and Morfill G.E., "Measurement of the Interaction Force among Particles in Three-Dimensional Plasma Clusters"// Phys.Rev.Lett., V.96,115001, 4p. (2006)

39. Vladimirov S.V., Nambu M. "Attraction of charged particulates in plasmas with finite flows" // Phys.Rev. E, V.52, N3, 2172, 3p. (1995)

40. Игнатов А.И., "Взаимодействие пылевых частиц вблизи проводящей стенки" // Физика плазмы Т.29, N4, стр.325-328 (2003)

41. Цытович В.Н. "Физика коллективного притяжения отрицательно заряженных пылевых частиц" // Письма в ЖЭТФ, Т.78, Вып.12, стр.1283-1288 (2003)

42. Tsytovich V.N. , Gusein-Zade N. and Morfill G., "Dust-Dust Interaction and Formation of Dust Helical Structures" // IEEE Trans.Plasma Sci., special issue "Dusty Plasmas", V.32, N2, p.637-652 (2004)

43. Альперт Я.JI., Гуревич А.В., Питаевский Л.П. "Искусственные спутники в разреженной плазме", М.: Наука, 1964. 382 с.

44. Lafranbose J.G. and Parker L.W. "Probe design for orbit-limited current collection" // Phys.Fluids, V.16, N5, p.629-636 (1973)

45. Игнатов A.M. "Притяжение между одноименно заряженными пылевыми частицами в плазме" // Краткие Сообщения по Физике, N1-2, стр.58-64 (1995) р. 18-20 (1995)

46. Игнатов А.И., "Гравитация Лессажа в пылевой плазме" // Физика плазмы Т.22, N7, стр. 648-653 (1996)

47. Tsytovitch V., Khodataev Ya. and Bingham R., "Formation of a dust molecules in plasmas as a first step to super-chemistry" // Comments on Plasma Physics and Controlled Fusion, V.17, p.249 (1996)

48. Ходатаев Я.К., Бингхем Р., Тараканов В.П., Цытович В.Н., "Механизмы взаимодействия пылевых частиц в плазме" // Физика плазмы Т.22, N11, стр. 1028-1038 (1996)

49. Цытович В.Н. В.Н. и Морфилл Г.Е. "Коллективное притяжение одноименно заряженных пылинок в плазме" // Физика Плазмы, Т.28, N3, с.195-201 (2002)

50. Bollinger John J. and Wineland David J., "Microplasmas" // Scientific American, N1, p.124-130 (1990)

51. Birkl G., Kassner S. and Walther H., "Multiple-shell structures of laser-cooled 24Mg+ ions in a quadrupole storage ring" // Nature, 357, p.310-313 (1992)

52. Prestage J.D., Dick G.J., and Maleki L. "New ion trap for frequency standard applications " // J.Appl.Phys., V.66, N3., p.1013-1017 (1989)

53. Raizen M.G., Gilligan J.M., Bergquist J.C., Itano W.M., and Wineland D.J., "Ionic crystals in a linear Paul trap" // Phys.Rev A , V.45, p.6493-6501, (1992)

54. Gilbert S.L., Bollinger J.J., and Wineland D.J. "Shell-Structure Phase of Magnetically Confined Strongly Coupled Plasmas" // Phys.Rev. Lett., V.60, p.2022-2025 (1988)

55. Wineland D.J., Itano W.M., Bergquist J.C., and Hulet R.G. "Laser-cooling limits and single-ion spectroscopy" // Phys.Rev. A, V.36, p.2220-2232 (1987)

56. Bolinger J.J., Wineland D.J. and Dubin D.H.E. "Non-neutral ion plasmas and crystals, laser cooling, and atomic clocks" // Phys.Plasmas, V.l, N.5, p.1403-1414 (1994)

57. Anderegg F., Huang X-P., Driscoll C.F., Hollmann E.M., O'Neil T.M., and Dubin D.H.E. "Test Particle Transport due to Long Range Interactions" // Phys.Rev.Lett., V.78, p.2128-2131 (1997),

58. Schiffer J.P. "Layered structure in condensed, cold, one-component plasmas confined in external fields" // Phys. Rev. Lett. V.61, p.1843-1846 (1988)

59. Habs D. // Lab.Report, Max-Planck Institut fur Kernphysik (Heidelberg, 1987), MPI H-1987-vlO.

60. Wuerker R.F., Shelton H., Langmuir R.V. "Electrodynamic Containment of Charged Particles" // J.Appl.Phys., V.30, p.342-349, (1959)

61. Ekstrom Ph, Wineland D. "The isolated electron" 11 Scientific American, V.243, p.91-101 (1980)

62. Dubin D.H.E., O'Neil T.M. "Trapped nonneutral plasmas, liquids, and crystals (the thermal equilibrium states)" // Rev.Mod.Phys., V.71, N1, p.87-172 (1999)

63. Itano W.M. and Ramsey N.F "Accurate Measurement of Time" // Scientific American, V.269, p.56-63 (1993)

64. Prestage J.D., Dick G.J., and Malecki L. "Linear ion trap based, atomic frequency standard" // IEEE Trans.Instrum.Meas., V.40, p.132-136 (1991)

65. Cirac J.I. and Zoller P. "Quantum Computations with Cold Trapped Ions" // Phys.Rev.Lett., V.74, p.4091-4094, (1995)

66. Monroe C., Meekhof D.M., King B.E. et al. "Resolved-Sideband Raman Cooling of a Bound Atom to the 3D Zero-Point Energy" // Phys.Rev.Lett., V.75, p.4011-4014 (1995)

67. Monroe C., Meekhof D.M., King B.E. et al. "Demonstration of a Fundamental Quantum Logic Gate" // Phys.Rev.Lett., V.75, p.4714-4717 (1995)

68. Gabrielse G., Fei X., Orozco L.A., Tjoelker R.L. et al. "Thousandfold improvement in the measured antiproton mass" // Phys.Rev.Lett., V.65, p.1317-1320 (1990)

69. Greaves R.G. and Surko C.M. "Antimatter plasmas and antihydrogen" // Phys.Plasmas, V.4, p.1528-1543 (1997)

70. Paul W., Osberghaus 0., Fischer E. // Forshung Benchte des Wirthschaftsministeriums Nordrhem-Westfalen N415 (1958)

71. Fischer E. "Die dreidimensionale Stabilisierung von Ladungsträgern in einem Vierpolfeld" // Zs. Phys. A., V.156, N.l, p.1-26 (1959)

72. Dress J. and Paul W. "Beschleunigung von Elektronen in einem Plasmabetatron" // Z.Phys. A, V.180, N.4, p.340-361 (1964)

73. Church D.A. "Storage-Ring Ion Trap Derived from the Linear Quadrupole Radio-Frequency Mass Filter" // J.Appl.Phys., V.40, N8, p.3127-3134 (1969)

74. Malmberg J.H. and O'Neil T.M. "Pure Electron Plasma, Liquid, and Crystal" // Phys.Rev.Lett., V.39, p.1333-1336 (1977)

75. Амиранашвили Ш.Г., Гусейн-заде Н.Г., Игнатов A.M., "Устойчивость плоских равновесных конфигураций точечных зарядов" // Краткие Сообщения по Физике, N7-8, стр.16-21 (1996)

76. Amiranashvili Sh., Gusein-zade N. and Ignatov A., "Stability of polygonal ion crystals" // Phys.Rev. A., V. 59, p.3098-3100 (1999)

77. Amiranashvili Sh.G., Gusein-zade N.G., Ignatov A.M. "Group approach to clusters stability", pp.252-268. (2000) // "Вопросы плазменной СВЧ-электроники и теории плазмы" Сб., Тула (2000)

78. Amiranashvili Sh.G., Gousein-zade N.G., Tsytovich V.N., "Spectral Properties of Small Dusty Clusters" // Phys. Rev. E, V.64, 016407, 6p. (2001)

79. Amiranashvili Sh., Gusein-zade N., Ignatov A., "Plane Coulomb Clusters Stability" // Contr.paper, Intern.Conf. on Phenomena in Ionized Gases., XXIV ICPIG, Warsaw, v.5, p.734 (1999).

80. Lowen H. "Melting, freezing and colloidal suspensions" // Phys.Rep., V.237, N5., p.249-324 (1994)

81. Clark N.A., Hurd A.J., and Ackerson B.J., "Single colloidal crystals " // Nature, V.281, p.57-60 (1979)

82. Murray C.A., Sprenger W.O. and Weak R.A. "Comparison of melting in three and two dimensions: Microscopy of colloidal spheres" // Phys.Rev. B, V.42, p.688-703 (1990)

83. Chen L.B., Zukoski C.F., Ackerson B.J., et al. "Structural changes and orientaional order in a sheared colloidal suspension" // Phys.Rev.Lett., V.69, p.688-691 (1992)

84. Neser S., Palberg T., Blechinger C. and Leiderer P. "Direct observation of a buckling transition during the formation of thin colloidal crystals" // Progr. Colloid. Polim. Sci., V.104, N.l, p.194-197 (1997)

85. Arora A.K., Tata B.V.R. "Ordering and Phase Transitions in Charged Colloids", (VCH Publishers Inc., New York, 1996)

86. Stevens M.J., Falk M.L., Robbins M.O. "Interactions between charged spherical macroions" // J. Chem. Phys., V.104, p.5209-5219 (1996)

87. Schmitz K.S. "Macroions in Solution and Colloidal Suspension", (VCH Publishers Inc., New York, 1993)

88. Schmitz K.S. "A many-bodied interpretation of the attraction between macroions of like charge: Juxtaposition of potential fields", Langmuir, V.13, N.22, p.5849-5863 (1997)

89. Hribar B., Vlachy V., "Clustering of macroions in solutions of highly asymmetric electrolytes)" // Biophysical Journal, V.78, p.694-698 (2000)

90. Hribar B., Vlachy V. "Evidence of electrostatic attraction between equally charged macroions induced by divalent counterions" // J. Phys. Chem. B, V.101, p.3457-3459 (1997)

91. Lau A.W.C., Pincus P., Levine D., Fertig H.A. "Electrostatic Attraction of Coupled Wigner Crystals: Finite Temperature Effects" // Phys. Rev. E, V.63, 051604, 9p.(2001)

92. Pincus P., Safran S.A. "Charge fluctuations and membrane attractions" // Euro. Phys. Letters, V.42, p.103-106 (1998)

93. Allahyarov E., D'Amico I., Lowen H. "Attraction between Like-Charged Macroions by Coulomb Depletion" // Phys. Rev. Letters, V.81, p.1334-1337 (1998)

94. Linse P., "On the convergence of simulation of asymmetric electrolytes with charge asymmetry 60 : 1" // J. Chem. Phys., V.110, p.3493-3501 (1999)

95. Messina R., Holm C., Kremer K., "Strong Attraction between Charged Spheres due to Metastable Ionized States" // Phys. Rev. Lett., V.85, p.872-875 (2000)

96. Crocker J.C., Grier D.G. "When Like Charges Attract: The Effects of Geometrical Confinement on Long-Range Colloidal Interactions" // Phys. Rev. Letters, V. 77, p.1897-1900 (1996)

97. Schweigert V.A. and Peters F.M. "Spectral properties of classical two-dimensional clusters" // Phys.Rev. B, V.51, p.7700-7713 (1995)

98. Bedanov V.M. and Peeters F.M. "Ordering and phase transitions of charged particles in a classical finite two-dimensional system" // Phys. Rev. B, V.49, 2667-2676 (1994)

99. Goree J., Samsonov D., Ghatacharjie A., Thomas H., Konopka U. and Morfill G. // Proceedings of the Second International Conference on the Physics of Dusty Plasmas -ICPDP-99, edited by Y. Nakamura, (Elsevier, 2000), p.92

100. Meltzer A., Schweigert V. and Piel A. // Proc. of Second Conf. on Dusty Plasma Physycs-ICPDP-99, editted by Y.Nakamura, (Elsever, 2000), p.115

101. Tomme E.B., Law D.A., Annaratone B.M., and Allen J.E. "Parabolic Plasma Sheath Potentials and their Implications for the Charge on Levitated Dust Particles" // Phys. Rev. Lett., V.85, p.2518-2521 (2000)

102. Totsuji H., Kishimoto T., and Totsuji C., "Structure of Confined Yukawa System (Dusty Plasma)" // Phys. Rev. Lett., V.78, p.3113-3116 (1997)

103. Kelvin "Hydrodynamics and General Dynamics", Mathematical and Physical Papers Vol.4 (Cambridge University Press, Cambridge, 1910).

104. Thomson J.J. "On the Motion of Vortex Rings" (MacMillan, London, 1883), Sees.48-53

105. Morikawa G.K., Swenson E.V. "Interacting Motion of Rectilinear Geostrophic Vortices" // Phys. Fluids, V.14, N.6, p.1058-1073 (1971)

106. Bauer L., Morikawa G.K. "Stability of rectilinear geostrophic vortices in stationary equilibrium " // Phys. Fluids, V.19, N.7, p.929-942 (1976)

107. Chen Y-P., Luo H., Ye M-F., and Yu M.Y., "Static model for dusts in a plasma" // Phys. Plasmas, V.6, p.699-702 (1999).

108. Ishihara 0. "Polygon structure of plasma crystals" // Phys. Plasmas, V.5, p.357-364 (1998)

109. Ламб Г. "Гидродинамика", M.-JL, Огиз-Гостехиздат, 1947

110. Driscoll С. F. and Fine K. S. "Experiments on vortex dynamics in pure electron plasmas" // Phys. Fluids B, V.2, N.6, p.1359-13366 (1990)

111. Campbell L.J., "Transverse normal modes of finite vortex arrays" // Phys. Rev. A, V.24, p.514-534 (1981)

112. Лейман В.Г., Овсянникова О.Б.,Овчинников А.П. и др. "Дрейфовая и инерционная неустойчивости многолучевых электронных пучков" // Радиотехника и электроника, Т.31, вып.6, стр.1213-1222 (1986)

113. Wineland D.J., "Trapped Ions, Laser Cooling, and Better Clocks" // Science, V.226, p.395-400 (1984)

114. Walther H. "Phase transitions of stored laser-cooled ions " // Adv.in Atomic & Opt.Phys., V.31, p.137-182 (1993)

115. Rafac R., Schiffer J.P., Hangste J.S., Dubin D.H.E., Wales D.J. "Stable configuration of confined cold ionic systems" // Proc.Natl.Acad.Sci., V.88, p.483-486 (1991)

116. Любарский Г.Я. "Теория групп и ее применения в физике"(Физ-Мат.лит., Москва, 1958)

117. Melzer A., TYottenberg Т., Piel A. "Experimental determination of the charge on dust particles forming Coulomb lattices" // Phys.Lett. A, V.191, p.301-308 (1994)

118. Watanabe Y. and Shratani M. // Proceedings of NATO Advanced Research Workshop on Formation, Transport and Consequences of Particles in Plasmas, Chateau de Bonas, Castera-Verduzan, France (1994); Plasma Sources, Science and Technology, 3, 286 (1994)

119. Tsytovich V.N., de Angelis U., Ivlev A.V. et al. "Nonlinear drag force in dusty plasmas" // Phys.Plasmas, V.12, 112311, 9p. (2005)

120. Н.Г.Гусейн-заде, В.Н.Цытович, Ш.Г.Амиранашвили, "Нормальные колебания двумерных пылевых кластеров, в виде правильного многоугольника с частицей в центре" // Краткие Сообщения по Физике, N7, стр.11-17 (2006)

121. Murray C.A. and Van Winkle D.H. "Layering transitions in colloidal crystals as observed by diffraction and direct-lattice imaging" // Phys. Rev. A, V.34, p.562-573 (1986)

122. Mitchell T.B., Bollinger J.J., Dubin D.H.B. et.al "Direct Observations of Structural Phase Transitions in Planar Crystallized Ion Plasmas" // Science, V.282, p.1290-1293 (1998)

123. Fowler A.B. and Stern F. "Electronic properties of two-dimensional systems" // Rev. Mod. Phys., V.54, p.437-672 (1982)

124. Kalman G.J., Donko Z., and Golden K.I. "1,2, .oo: From Bilayer to Superlattice" // Contrib. Plasma Phys., V.41, N2, p.191-194 (2001)

125. Hanna C.B., Haas D., and Diaz-Ve'lez J.C. "Double-layer systems at zero magnetic field" // Phys. Rev. B, V.61, p.13882-13922 (2000).

126. Dubin D.H.E. "Theory of structural phase transitions in a trapped Coulomb crystal" // Phys. Rev. Lett., V.71, p.2753-2756 (1993)

127. Vladimirov S.V., Shevchenko P.V., and Cramer N.F. "Vibrational modes in the dust-plasma crystal" // Phys. Rev. E. V.56, R74-R76 (1997)

128. Qiao K. and Hyde T.W. "Dispersion relations for thermally excited waves in plasma crystals" // J. Phys. A, V.36, p.6109-6115 (2003)

129. Qiao K. and Hyde T.W. "Dispersion properties of the out-of-plane transverse wave in a two-dimensional Coulomb crystal" // Phys. Rev. E, V.68, 046403, 5p. (2003)

130. Qiao K. and Hyde T.W. "Numerical simulation and analysis of thermally excited waves in plasma crystals" // Adv. Space Res., V.34, p.2390-2395 (2004)

131. Qiao K., Hyde T.W. "Structural phase transitions and out-of-plane dust lattice instabilities in vertically confined plasma crystals" // Phys. Rev. E, V.71, 026406, 5p. (2005)

132. Van-Winkle D.H. and Murray C.A. "Layering transitions in colloidal crystals as observed by diffraction and direct-lattice imaging" // Phys. Rev. A, V.34, p.562-573 (1986)

133. Totsuji H., Totsuji C., Tsuruta K "Structure of finite two-dimensional Yukawa lattices: Dust crystals" // Phys. Rev. E, V.64, 066402, 7p. (2001)

134. Ансельм А.И. "Введение в теорию полупроводников", М.:1978г.-616 е.

135. Schiffer J.P. "Phase transitions in anisotropically confined ionic crystals" // Phys. Rev. Lett, V.70, p.818-821 (1993)

136. Thoma M., Konopka U., Morfill G., et al. // Phys.Rev.Lett (2006)

137. Sato N. //(oral report) 3rd Intern. Conf. on Phys. of Dusty Plasmas., ICPDP-2002, Durban, South Africa, 20 24 May (2002)

138. Pollock E.L. and Hansen J.P. "Statistical Mechanics of Dense Ionized Matter. II. Equilibrium Properties and Melting Transition of the Crystallized One-Component Plasma" // Phys.Rev.A, V.8, p.3110-3122 (1973)

139. Slattery W.L., Dooley G.D. and DeWitt H.E. "Improved equation of state for the classical one-component plasma" // Phys.Rev. A, V.21, p.2087-2095 (1980)

140. Hasse R.W. and Schiffer J.P. "The structure of the cylindrically confined Coulomb lattice" // Ann. Phys., V.203, p.419-448 (1990)

141. Гусейн-заде Н.Г., Игнатов A.M., "Устойчивость бесконечных структур заряженных частиц" // Краткие Сообщения по Физике, N11, с.13-19 (2001)

142. Гусейн-заде Н.Г., Игнатов A.M., "Колебания геликоидального плазменного квазикристалла" // Физика плазмы, Т.29, N6, с.521-526 (2003)

143. Гусейн-заде Н.Г., "Линейные цепочки ионов в электромагнитных ловушках" // Тезисы докладов XXVI Звенигородской конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу. Звенигород (П-С2-1) с.219 (1998)

144. Gusein-zade N., Petrishcheva Е., "Linear Coulomb Chains Stability" // Contr. paper, Intern.Conf. on Phenomena in Ionized Gases., XXIV ICPIG, Warsaw, v.5, p.49 (1999)

145. Гусейн-заде Н.Г., Игнатов A.M., "Спектральные свойства винтовой структуры из ультрахолодных ионов" // Тезисы докладов XXVIII Звенигородской конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу, (П-С-2-7), стр.214, Звенигород, (2001)

146. Tsytovich N., Gusein-Zade N. and Morfill G. "Helical Dust structures in Laboratory and Space" // Обзорный доклад на конференции Европейского Физического общества "Physics of Plasmas and Controlled Fusion

147. Research"(C.IIeTep6ypr 7-13 июля 2003) Опубликовано в материалах конференции в электронном виде и на компакт дисках (2003)

148. Gusein-zade N., Tsytovich V.N., "Collective Modes of Dust Helical Clusters" // 4th Intern. Conf. on Phys. of Dusty Plasmas., ICPDP (15-21 June 2005, Orlean, France) стр.577-580 (2005)

149. Гусейн-заде Н.Г., Цытович B.H., "Винтовые структуры в комплексной плазме. I Неколлективное взаимодействие" // Физика плазмы, Т.31, N5, с.432-452 (2005)

150. Цытович В.Н., Гусейн-заде Н.Г., "Винтовые структуры в комплексной плазме. II Коллективное взаимодействие" // Физика плазмы, Т.31, N10, с.889-908 (2005)

151. Гусейн-заде Н.Г., В.Н.Цытович В.Н., "Спектральные свойства винтовой структуры, состоящей из одноименных одноразмерных пылинок" // Краткие Сообщения по Физике, N6, стр.3-13 (2005)

152. Гусейн-заде Н.Г., Цытович В.Н., "Спектральные свойства многозаходной винтовой структуры, состоящей из одноименных одноразмерных пылинок" // Физика плазмы, Т.32, N8, стр.727-741 (2006)

153. Nunomura S., Misawa Т., Ohno N. and Takamura S. "Instability of Dust Particles in a Coulomb Crystal due to Delayed Charging" // Phys. Rev.Lett, V.83, p.1970-1973 (1999)

154. Майоров С.А. "О механизме набора энергии пылинкой в ионном потоке" // Краткие Сообщения по Физике, N11, стр.3-7 (2002)

155. Atiyah М. and Sutcliffe P. "Polyhedra in Physics, Chemistry and Geometry" // Milan J. Math., V.71. p.33-38 (2003)

156. Altschuler E.L. and Pérez-Garrido A. "Global minimum for Thomson's problem of charges on a sphere" // Phys.Rev.E, V.71, 047703, 4p. (2005)

157. Ludwig P., Kosse S., and Bonitz M. "Structure of spherical three-dimensional Coulomb crystals" // Phys.Rev.E., V. 71, 046403, 5p. (2005)

158. Берри P.C., Смирнов Б.М. "Фазовые переходы и сопутствующие явления в простых системах связанных атомов" // Успехи физических наук, т.175 стр.367-411 (2005)

159. Baletto F. and Ferrando R. "Structural properties of nanoclusters: Energetic, thermodynamic, and kinetic effects" // Rev. Mod. Phys., V.77, 371, 53p. (2005.)

160. Hoare M.R., Pal P. "Physical Cluster Mechanics: Statics and Energy Surfaces for Monatomic Systems" // Adv. Phys., V.20, p.161-196 (1971)

161. Hoare M.R., Pal P. "Physical cluster mechanics: statistical thermodynamics and nucleation theory for monoatomic systems" // Adv. Phys., V.24, N.5, p.645-678 (1975)

162. Hoare M.R. "Structure and dynamics of simple microclusters" // Adv. Chem. Phys., V.40, p.49-135 (1979)

163. Ball K.D., Berry R.S. "Dynamics on statistical samples of potential energy surfaces" // J. Chem. Phys., V.lll, p.2060-2070 (1999)

164. Stillinger F.H., Weber T.A. "Hidden structure in liquids" // Phys.Rev. A, V.25, p.978-989 (1982)

165. Corti D.S., Debenedetti P.G., and Sastry S. "Constraints, metastability, and inherent structures in liquids" // Phys. Rev. E, V.55, p.5522-5534 (1997)

166. Kishimoto Т., Totsuji C., Tsuruta K., Totsuji H. "On the Madelung energy of spherical Coulomb clusters" // Physics Letters A, V.281, p.256-259 (2001)

167. Totsuji H., Totsuji C., Ogawa Т., and Tsuruta K. "Ordering of dust particles in dusty plasmas under microgravity" // Phys.Rev. E, V.71, 045401, 3 p. (2005)

168. Totsuji H., Ogawa Т.,Totsuji C., and Tsuruta K. "Structure of spherical Yukawa clusters: A model for dust particles in dusty plasmas in an isotropic environment" // Phys.Rev. E, V.72, 036406, 6p. (2005)

169. Волькенштейн M.B., Грибов Jl.А., Ельяшевич M.A., Степанов Б.И. "Колебания молекул" (Наука, М., 1972).

170. Гусейн-заде Н.Г., Клочков Д.Н. "Малые трехмерные пылевые кластеры" // Краткие Сообщения по Физике, N12, стр.10-17 (2005)//

171. Гусейн-заде Н.Г., Клочков Д.Н., "Малые трехмерные пылевые кластеры" // Тезисы докладов XXXIII Звенигородской конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу. (Звенигород, 13 17 февраля 2006) стр.190 (2006)

172. Casdorff R. and Blatt R. "Ordered Structures and Statistical Properties of Ion Clouds Stored in a Paul-IYap" // Appl.Phys. B, V.45, p.175 (1988)

173. Baklanov E.V. and Chebotrev V.P. "Resonant light absorption by the ordered structures of ions stored in a trap" // Appl.Phys. B, V.39, p.179-181 (1986)

174. Гусейн-заде Н.Г., Игнатов A.M., "Малые колебания тетраэдрического пылевого кластера" // Краткие Сообщения по Физике, N6, стр.14-22 (2005)

175. Клочков Д.Н., Гусейн-заде Н.Г., Игнатов A.M., "Двумерные пылевые кластеры вблизи проводящей стенки" // Краткие Сообщения по Физике, N11, стр.27-32 (2005)

176. Tsytovich A.M., Morfill G.E. and Gusein-zade N., "2D Dust Clusters in Theory and Experiments" // 4th Intern. Conf. on Phys. of Dusty Plasmas., ICPDP (1521 June 2005, Orlean, France) стр.215-218 (2005)

177. Gusein-zade N.G., Ignatov A.M., "Oscillations of small three-dimensional dust clusters" // ICPIG 27, (18-22 July, 2005 Eindhoven, the Netherlands), 12-190, 3p. (2005)

178. Tsytovich V.N., Gousein-zade N.G. and Morfill G.E., "Theory of boundary-free two-dimensional dust clusters" // Physics of Plasmas 13, 033503, 8p. (2006)

179. Гусейн-заде Н.Г., Игнатов A.M., "Нормальные колебания малого пылевого кластера. Куб и квадратная антипризма" // Прикладная физика, N4, стр.42-53 (2006)

180. Гусейн-заде Н.Г., Клочков Д.Н., "Поперечная неустойчивость плоской гексагональной пылевой решетки" //Краткие Сообщения по Физике, N3, стр.35-40 (2006)

181. Гусейн-заде Н.Г., Игнатов A.M., "Спектроскопия атома Томсона" // Физика плазмы, Т.32, N10, стр.907-920 (2006)

182. Gusein-zade A.M., Ignatov A.M., "Oscillations of Thomson's atom" // http://www.gpi.ru/theory/clusters/clusters.htm, 136стр.