Колебания составных упругих тел с неровными границами раздела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

1.1. Общие соображения.

1.2. Основная краевая задача.

1.3. Случай локализованной неровности границы раздела

1.4. Случай периодической неровности.

1.5. Контактная задача для штампа, жестко сцепленного с упругим слоем.

1.6. Метод гармонического анализа. Связь с задачей об установившихся колебаниях.

Глава 2. ВЫВОД РАЗРЕШАЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ

2.1. Установившиеся колебаниях штампа, сцепленного с упругой полосой с неровным основанием.

2.1.1. Уравнения и граничные условия.

2.1.2. Вспомогательная задача.

2.1.3. Случай малой амплитуды неровностей основания

2.1.4. Случай периодической неровности.

2.1.5. Формулировка интегральных уравнений.

2.2. Сведение уравнений контактной задачи со сцеплением к системе интегральных уравнений второго рода.

2.2.1. Методика преобразования системы уравнений первого рода.

2.2.2. Частный случай понижения порядка системы

2.2.3. Свойства решений системы интегральных уравнений (частный случай).

Глава 3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

3.1. Вопросы факторизации функций и матриц-функций

3.1.1. Общие положения.

3.1.2. Методы приближенной факторизации функций и матриц-функций.

3.2. Метод неопределенных коэффициентов для факторизации полиномиальных матриц-функций.

3.2.1. Методы факторизации полиномиальных матриц-функций.

3.2.2. Метод неопределенных коэффициентов.

3.2.3. Обоснование принципов построения линейных систем

3.2.4. Правила построения систем линейных уравнений для определения коэффициентов.

3.2.5. Вопросы практической реализации метода неопределенных коэффициентов.

3.2.6. Метод неопределенных коэффициентов и свойства матриц факторизаций.

3.3. Приближенное и асимптотическое решение динамических контактных задач со сцеплением

3.3.1. Решение системы уравнений.

3.3.2. Определение напряжений и перемещений.

3.4. Алгоритм расчета и основные результаты численного анализа

Глава 4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРЯМЫХ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

4.1. Численные методы решения задач теории упругости

4.2. Общая схема проведения исследований методом конечных элементов.

4.3. Основные результаты численного эксперимента.

Основой большинства технических наук до недавнего времени были эмпирические или полуэмпирические теории, которые строились на основе обобщения результатов физического моделирования. Однако к последней трети XX века процесс математизации науки, постоянное совершенствование теоретического аппарата и практически неограниченные возможности вычислительной техники вывели на первый план математическое моделирование. Ценность этого подхода определяется тем, что он при относительно малых (материальных, временных и трудовых) затратах дает достоверную и детальную информацию о поведении весьма сложных объектов, получение которой другими способами затруднено или невозможно.

Общедоступность высокопроизводительной компьютерной техники послужила катализатором повышенного интереса к разработке, совершенствованию и более широкому применению численных методов решения задач. Не случайно, что качественно новые возможности последнего поколения вычислительных устройств привели к переосмыслению роли и соотношения аналитических и численных методов исследования. Если рассматривать этот процесс в приложении к задачам механики твердого деформируемого тела, то его результатом стала возможность изучать структуры со сложным спектром физико-механических и геометрических характеристик.

Действительно, многие проблемы, неподдающиеся пока аналитическому исследованию, были успешно решены с помощью современных численных методов. Однако, несмотря на очевидные достоинства вычислительного подхода, существует достаточно много задач, для которых получение решений и проверка их достоверности на основе одних только численных схем затруднены. Часто только сопоставительный анализ решений тестовых задач, полученных двумя способами (аналитически и численно), позволяет сделать окончательный вывод о корректности применения выбранного численного метода. Кроме того, при аналитическом подходе имеется возможность эффективно проводить качественный анализ решений. Поэтому с большой долей уверенности можно предположить, что разумное сочетание аналитических и численных подходов останется одним из важнейших направлений научного исследования объектов с нетривиальными свойствами.

К числу сложных для исследования проблем относятся задачи возбуждения и распространения волн в упругих средах со сложным строением, которые имеют многочисленные технические приложения. Реальное взаимодействие элементов конструкций и механизмов происходит через их контакт. Экономические потери от преждевременного разрушения контактирующих элементов остаются все еще чрезвычайно большими, а последствия этих разрушений могут быть катастрофическими. Это объясняет постоянное внимание исследователей к постановке и решению динамических и статических контактных задач механики деформируемого твердого тела.

Наряду с проблемами контактной прочности и жесткости в машиностроении, необходимость решения задач этого типа возникает при расчетах оснований и фундаментов, при обосновании методов вибрационной сейсморазведки, бесфундаментной установки промышленного оборудования, при проектировании и расчете конструкций дорожных одежд, в разработке средств и методов неразрушающего экспресс контроля состояния и качества элементов конструкций. К указанным проблемам примыкают задачи дефектоскопии клеевых соединений и фундаментов, целью которых является определение характера контакта с соответствующим основанием.

Новые задачи механики контактного взаимодействия постоянно возникают не только в технике, но и в других областях знаний. В качестве примера можно привести проблемы взаимодействия опорных элементов интраокулярных линз с капсулой глаза, взаимодействие поверхностей разломов в земной коре и даже взаимодействие человека и среды его обитания — все это контактные задачи, которые расширяют традиционные представления о границах этой области [47].

Многообразие методов решения контактных задач связано с сложностью проблематики и определяется существенным отличием свойств операторов интегральных уравнений и систем, к которым приводятся задачи различного типа. При анализе методов решения динамических контактных задач можно выделить три основных случая, каждый из которых определяет методику решения. Это случаи штампов малого, среднего и большого размера по отношению к длине волны в исследуемой области.

Контактные задачи теории упругости относятся классу смешанных задач, когда на части граничной поверхности задаются нормальные и касательные перемещения, а на остальной части границы известны нормальные и касательные напряжения. Первые исследования в этой области, отсчет которых идет с классических работ Г.Герца, были направлены на изучение статического контакта идеально упругих тел при отсутствии трения на поверхности контакта.

Прогресс механики контактного взаимодействия во второй половине нынешнего столетия связан главным образом с отказом от этих ограничений и переходом к более реалистическому моделированию процессов: учету трения, проскальзывания и сцепления, неопределенности границ контакта, неупругого контакта, многослойности и неоднородности сред, неклассической геометрии областей и т.п.

Несмотря на давно осознанную практическую важность предмета исследования, первые обобщающие исследования, относящиеся к нему, появились на только рубеже 40-х— 50-х годов. Заметным явлением стала книга^ JI.A. Галина (1953 г.), который подытожил основополагающие труды Н.И.Мусхелишвили в области контактного взаимодействия. В последующие годы, по мере расширения круга ученых, вовлеченных в проблематику исследования контактного взаимодействия, количество фундаментальных исследований начало заметно расти. Глубокие исследования в области контактных задач проведены в работах В.М Александрова, В.А.Бабешко, А.В.Белоконя, Н.И.Бородачева, А.О.Ватульяна, И.И.Воровича, И.Н.Векуа, Л.А.Галина, Н.И.Глаголева, Р.В.Гольдштейна, В.Т.Гринченко, Я.М.Кизымы, В.И.Моссаковского, Н.И.Мусхелишвили, Б.М.Нуллера, В.З.Партона, Г.Я.Попова, В.Л.Рвачева, Н.А.Ростовцева, В.М.Сеймова, М.Г.Селезнева, А.Ф.Улитко, Ю.А.Устинова, Я.С.Уфлянда и других авторов. К настоящему времени издано значительное число монографий, которые охватывают различные аспекты теории и практики решения контактных задач [1, 2, 3, б, 28, 29, 37, 45, 78, 73, 74] и др.

Кам уже указывалось, первые исследования в области контактных задач теории упругости относились к решению задач в статической постановке. Однако реально статические модели имеют довольно ограниченное применение, так как большинство конструкций работает в условиях динамического нагружения. Переход от статической постановки к динамической значительное усложняет задачу, потому что в исходных уравнениях необходимо учитывать дополнительные инерционные члены и возможную диссипацию энергии, а также увеличивается число рассматриваемых параметров. Кроме того, уточнения требуют вопросы существования и единственности решений. Для аналитического исследования такие задачи трудны даже в плоской постановке, а успешному изучению поддаются в основном лишь некоторые характерные особенности решений (резонансные режимы, краевые эффекты и т. п.). Но и для этого требуется использовать нетривиальные математические методы, причем в комплексе.

С другой стороны, переход к исследованию динамики процессов, как правило, приводит к более глубоким и полезным с точки зрения практики результатам. По существу методы решения статических задач позволяют определять лишь осредненные характеристики и с этой точки зрения динамические методы (акустические, вибрационные, сейсмические) более информативны [52]. Например, эффективный анализ состояния конструкций методом неразрушающего контроля возможен только при анализе уровня колебаний в них, исходящих от некоторого источника.

Для решения задач механики твердого деформируемого тела со смешанными граничными условиями применяются в сочетании различные аналитические методы — метод интегральных преобразований, методы ортогональных полиномов и собственных функций, метод факторизации, метод фиктивного поглощения, различные асимптотические методы. Математическая сложность рассматриваемого класса задач заключается в наличии у ядер интегральных уравнений особенностей и осцилляций.

В динамической постановке новую глубину приобретает проблема единственности решения. Известно [97], что решение уравнений эллиптического типа, заданных в неограниченном пространстве, без дополнительных условий на бесконечности неоднозначно. Аналогичная ситуация возникает в динамических контактных задачах теории упругости для полуограниченных областей типа слоя [29].

Для решения вопросов излучения волн в задачах о колебаниях в неограниченных и полуограниченных средах привлекаются физические принципы предельного поглощения и предельной амплитуды, которые были исследованы еще в 50-х годах И.Н.Векуа и А.Г.Свешниковым, а позже в работах И.И.Воровича [26, 27], Б.Г.Вайнберга [20] и других авторов [29, 8, 21, 51]. Большой вклад в исследование проблем распространения волн в упругих средах внесли В.М.Бабич, В.С.Булдырев, А.Н.Гузь, И.А.Молотков, Г.И.Петрашень и др.

С практической точки зрения при решении задач о динамических нагружениях важное значение играет исследование частотных характеристик возмущений и анализ резонансных явлений. В числе работ, посвященных изучению спектральных характеристик решений разных динамических задач, можно отметить труды И.И.Воровича, В.А.Бабеш-ко и их учеников [29, 35, 8, 13, 10, 53, 71] и др. В частности, ими были исследованы условия возникновения ограниченных резонансов в полубесконечных средах типа слоя.

Другим относительно новым и важным для практики направлением исследований в контактных задачах является изучение сред с усложненными свойствами и, в частности, слоистых сред. Действительно, в машиностроении доля слоистых конструкционных материалов постояно растет. Модель многослойной среды является важной при изучении различных задач геофизики, фундаментостроения и других смежных областей, потому что многослойность структуры и наличие неоднородностей естественного или искусственного происхождения являются неотъемлемыми свойствами строения реального грунта.

Изучению процессов возбуждения и распространения колебаний в многослойных односвязных структурах посвящены работы Л.А.Молот-кова, Г.И.Петрашеня, Г.Я.Попова, В.М.Сеймова, А.Н.Трофимчука, В.А.Бабешко, Е.В.Глушкова, О.Д.Пряхиной [9, 30, 49, 67, 93, 104, 95, 110, 43, 118, 114, 125] и др. В ряде работ изучаеются различные задачи для модели упругих слоистых сред периодической структуры [100, 122, 54]. Имеются исследования задач для упругих слоев с тонкими покрытиями [2, 111, 117, 66, 40]. Ограниченное количество публикаций относится к решению задач для слоистых сред при наличии дефектов произвольной формы и различного положения.

Круг эффективно решаемых проблем заметно расширился, когда в руках исследователей оказались мощные вычислительные системы. Поэтому особое место начинают занимать проблемы разработки и использования численных методов решения контактных задач.

Среди них наибольшей популярностью пользуется метод конечных элементов (МКЭ), развитый в последние десятилетия на основе идей метода Галеркина-Ритца.

Конкурирующим и весьма перспективным направлением является метод граничных интегральных уравнений (ГИУ) и его дискретный аналог — метод граничных элементов (МГЭ). Фундаментом теории ГИУ являются основополагающие работы Фредгольма, Грина, Вейля, Бэтти, Сомильяно и др. Окончательное оформление метода в отдельную теорию связано с исследованиями по развитию теории потенциала, многомерных сингулярных уравнений, доказательству теорем существования и единственности, эквивалентности ГИУ исходным краевым задачам, выполненными В.Д.Купрадзе, С.Г.Михлиным и Н.И.Мусхелишвили.

Различные прикладные аспекты реализации метода ГИУ рассмотрены в работах [14, 15, 98]. Важнейшие исследования с привлечением метода ГИУ относятся к задачам для сред со сложными физико-механическими свойствами: для слоистых областей, учет связанности механических, электромагнитных и тепловых полей при различных способах возбуждения среды, наличие включений и полостей [21, 62] и др.

Классические исследования в области механики деформируемого тела, как правило, проводились для тел с правильными границами (прямолинейными, дугами окружностей и т.п.). С математической точки зрения это упрощает удовлетворение граничных условий, так как выбором подходящей координатной системы можно добиться, чтобы граничная поверхность стала координатной. Поэтому появление в однородной или слоистой среде неровной границы произвольной формы существенно усложняет построение решения. Задачи этого типа возникают в различных областях техники. Например, локализованные неровности весьма актуальны в задачах вибросейсморазведки, относительно малые периодические неровности основания слоя при определенных условиях могут моделировать технологические отклонения от конструктивной геометрии, а периодические неровности, сравнимые с толщиной слоя, могут появиться при изучении прочности тонких покрытий.

Исследование некоторых задач этого типа является основной целью данной работы. По данной тематике имеется ограниченное число публикаций.

Статические задачи для слоя с неровным основанием изучались в работах И.И.Воровича и О.М.Пенина [31] - [34]. В статьях [31] и [32] рассматривалась постановка смешанной задачи для бесконечной полосы переменной высоты и решались задачи о равновесии в условиях сдвига упругого слоя с неровным основанием, жестко скрепленного с неде-формируе^мым основанием. Для рассматриваемой задачи была построена функция Грина, которая была представлена в виде разложения по степеням малого параметра (отношения амплитуды неровности к толщине слоя). С ее помощью было выведено интегральное уравнение контактной задачи при дополнительном предположении, что форма неровности определяется косинусоидой.

В работах [33, 34] предлагается решение и результаты численного анализа контактной задачи при наличии второго малого параметра — отношения полуширины основания штампа к толщине слоя.

Помимо указанных работ, имеется небольшое число статей других авторов. В статье [120] в основу используемой модели положена техническая проблема, связанная с тем, что реальные формы сварных пластинчатых структур несколько отклоняются от конструктивной геометрии из-за несовершенств, порождаемых, главным образом, сваркой. Исследуется поле напряжений в плоской задаче со слабо волнистой поверхностью, для чего применяется метод возмущений. В работе [19] исследован контакт жесткой и упругой полуплоскостей при наличии периодической системы неровностей.

Основным инструментом аналитического исследования систем интегральных уравнений, к которым сводятся изучаемые в настоящей работе краевые задачи, является метод факторизации, предложенный Н.Винером и Э.Хопфом. Проблемам использования этого метода для решения различных классов задач посвящены монографии Б.Нобла [69], Р.Митра и С.Ли [65]/ Ф.Д.Гахова и Ю.И.Черского [39], И.Ц.Гохберга и И.А.Фельдмана [44], а также в работ Л.А.Вайнштейна, М.Г.Крейна, И.М.Рапопорта, В.А.Фока и др.

Однако применение метода к решению реальных технических проблем сдерживается сложностью выполнения точной факторизации. В 1954 г. У.Т.Койтером для решения уравнений Винера-Хопфа был предложен метод приближенной факторизации. В шестидесятые-семидесятые годы метод приближенной факторизации был значительно развит в работах В.М.Александрова, В.А.Бабешко, И.И.Воровича, Г.Я.Попова и других ученых.

Целью настоящей работы является развитие методов решения динамических контактных задач со сцеплением для упругого слоя на жестком основании или упугой слоистой среды при наличии неровного основания или неровных границ раздела сред, а также обоснование и практическая реализация комплекса аналитических и аналитико-численных методов исследования волновых полей в упругой среде при установившихся и неустановившихся режимах колебаний штампа. В рассматриваемой постановке указанные задачи ставятся и решаются впервые.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списков использованных обозначений и цитированных источников.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В работе развит метод решения ранее не изученных задач о вибрации штампа, сцепленного с многослойной упругой средой при наличии неровной границы раздела. Рассмотрены случаи периодической и локализованной неровностей.

2. Для решения интегральных уравнений контактных задач для слоя с периодической неровностью нижней границы относительно малой амплитуды использовалась методика факторизации функций и матриц-функций. Одним из центральных моментов ее практической реализации является новый прием факторизации полиномиальных матриц.

В общем виде дано полное обоснование предложенного метода, сводящего задачу факторизации к решению системы линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами. Для полиномиальных матриц со свойствами, вытекающими из особенностей решаемой контактной задачи, выявлены свойства факторизации, которые позволяют существенно снизить требуемый объем вычислений при численных расчетах.

3. Проведен обширный численный анализ решения задачи в широком диапазоне изменения основных параметров. Для выполнения компьютерных расчетов разработаны эффективные алгоритмы факторизации матриц-функций и расчетов контактных напряжений и волновых полей, а также программный комплекс, реализующий их. Численно проанализированы и оценены эффекты влияния различных параметров задачи на характер динамического напряженно-деформированного состояния.

4. Для решения контактной задачи с локализованной неровностью границы раздела сред при нестационарном нагружении применен метод конечных элементов.

В ходе численного эксперимента выявлены диапазоны изменения основных параметров задачи, в которых влияние локализованной неровности на контактные напряжения и волновые поля существенно. На основании анализа расчетов описана качественная картина этих влияний.

1. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. — М.: Наука, 1986. — 334 с.

2. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. — М.: Наука, 1983. — 457 с.

3. Александров В.М., Пожарский Д.А. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел. — М.: Факториал, 1998. — 388 с.

4. Бабешко В.А. Эффективный метод приближенной факторизации матриц-функций //ДАН СССР, 1979, т.247, №5. — С. 442-447.

5. Бабешко В.А. К теории смешанных задач в произвольных областях

6. ДАН СССР. — 1981. — 256, №3. — С. 552-556.

7. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. — М.: Наука, 1984. — 256 с.

8. Бабешко В.А. Новый метод решения краевых задач механики сплошной среды и математической физики для неклассических областей //ДАН СССР. — 1985. — 284, №1 — С. 73-76.

9. Бабешко В.А. Новая форма метода "фиктивного поглощения" // Совр. пробл. мех. сплош. среды: Междунар. науч. конф. — Ростов-н/Д, 1995. — С. 24-30.

10. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.В. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. — М.: Наука, 1989. — 344 с.

11. Бабешко В.А., Зинченко Ж.Ф., Смирнова A.B. Нестационарное взаимодействие штампа с упругой средой // Изв.АН СССР. МТТ. — 1982. — т. — С. 139-140.

12. Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Метод фиктивного поглощения в плоских динамических задачах. //ПММ. — 1980. — 44, №3. — С. 477484.

13. Бабешко В.А., Румянцев А.Н. Колебания штампа, частью поверхности сцепленного с упругим слоем //ПММ, т.41, в.4, 1977. — С. 716-726.

14. Бабешко В.А,, Селезнев М.Г., Шагинян A.C. Способ определения параметров смещения упругой среды при гармоническом воздействии

15. М.: Недра, Прикладная геофизика, в. 106, 1983. — С. 32-39.

16. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. — М.:Мир, 1984, 494 с.

17. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел JI. Методы граничных элементов.1. М.: Мир, 1987. — 524 с.

18. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. — М.: Мир, 1982, 248 с.

19. Бреховских JI.M. Волны в слоистых средах. — М.: Физматгиз, 1973.343 с.

20. Буч Г. Объектно-ориентированный анализ и проектирование м примерами приложений на С++. — СПб: "Невский диалект", 1998. — 560 с.

21. Бурмистров А.Н. Контакт жесткой и упругой полуплоскостей при наличии периодической системы неровностей // Вопросы динам, неустойчивостей. Моск. физ.-тех. ин-т. — М., 1995. — С. 81-92.

22. Вайнберг Б. Г. Принципы излучения, предельного поглощения и предельной амплитуды в общей теории уравнений с частными производными // Успехи математических наук. 1966. Т.21. №3.— С. 115-194.

23. Ватульян А.О. Метод граничных интегральных уравнений в динамических задачах анизотропной теории упругости и электроупругости. Авторефер. дисс. докт. физ.-мат. наук. — Ростов-н/Д: РГУ, 1993. — 24 с.

24. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1967. — 436 с.

25. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1977. — 304 с.

26. Вопилкин А.Х. Волны дифракции и их применение в ультразвуковом неразрушающем контроле. Физические закономерности волн дифракции // Дефектоскопия. 1985, №1. — С. 20-34.

27. Ворович И.И. Спектральные свойства краевой задачи теории упругости для неоднородной полосы // ДАН СССР, 1979, т. 245, №4.

28. Ворович И.И. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы. // ДАН СССР, 1979, т. 245, №5.

29. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. — 456 с.

30. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. — М.: Наука, 1979. — 319 с.

31. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах . — М.: Научный мир, 1999. — 246 с.

32. Ворович И.И., Пенин О.М. Смешанная задача для бесконечной полосы переменной высоты // МТТ, 1968, №4. — С. 63-69.

33. Ворович И.И., Пенин О.М. Сдвиг слоя с неровным основанием // МТТ, 1968, №6. — С. 52-59.

34. Ворович И.П., Пенин О.М. Контактная задача для бесконечной полосы переменной высоты // МТТ, 1971, №5. — С. 112-121.

35. Ворович И.П., Пенин О.М., Пенина Г.Г. Сдвиг слоя с неровным основанием // МТТ, 1970, №6. — С. 121-129.

36. Ворович И.И., Пряхина О.Д. Изолированные резонансы при контактном взаимодействии // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. н. — 1995. №2. — С. 23 - 27.

37. Высшая алгебра. — М.: Наука, 1965. — 300 с. — (Справочная математическая библиотека.)

38. Галин JI.A. Контактные задачи теории упругости и вязкоупруго-сти. — М.: Наука, 1980. — 304 с.

39. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1976. — 567 с.

40. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. — М.: Наука, 1978. — 326 с.

41. Генералова Н.В., Коваленко Е.В. О контактном взаимодействии полосового штампа с линейно-деформируемым основанием через покрытие переменной толщины //Прикл. мат. и мех. (Москва). — 1994. — 58, №6. — С. 126-135.

42. Голо^внин A.A. Применение гармонического анализа к описанию деформационного движения. // Изв. вузов. Машиностр. — 1998. — С. 8-12.

43. Гомешок С.И., Толок В.А. Инструментальная система анализа задач механики деформируемого твердого тела // Придншр. наук. BicH. — 1997. — №4. — С. 21-31.

44. Глушков Е.В., Кириллова Е.В. Динамическая смешанная задача для пакета упругих слоев //Прикл. мат. и мех. (Москва). — 1998. — 62, №3. — С. 455 461.

45. Гохберг И.Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. — М.: Наука, 1971. — 321 с.

46. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. — Киев: Наукова думка. — 1981. — 283 с.

47. Деклу Ж. Метод конечных элементов. — М.: Мир, 1976. — 95 с.

48. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. — М.: Мир, 1989. — 510 с.

49. Деннинг A. ActiveX для профессионалов. — СПб.: Питер. — 1998. -624 с.

50. Дорохов И.В., Пряхина О.Д., Фрейгейт М.Р. О действии нестационарной нагрузки на систему: массивный штамп слоистое основание // ПММ. -1992. -Т.56. -Вып.2. -С.306-312.

51. Жермен-Лакур П., Жорж П.Л., Пистр Ф., Безье П. Математика и САПР: в 2-х кн. Кн.2. — М.: Мир, 1989. — 264 с.

52. Зиберглейт A.C., Нуллер Б.М. Обобщенная ортогональность однородных решений в динамических задачах теории упругости // ДАН СССР, 1977, т. 234, №2.

53. Иллиополов С.К., Селезнев М.Г. Уточненный расчет напряженно-деформированного состояния системы "дорожная одежда грунт" — Ростов-на-Дону: Рос, гос. строит, ун-т, 1997. — 125 с.

54. Калинчук В.В., Полякова И.Б. О возбуждении волн в слое с начальными напряжениями. — //ПММ. — 1980. — 44, №2. — С. 320-326.

55. Каримов A.M. Распространение нестационарных волн в упругом слоистом полупространстве периодической структуры //Анал., числ. и эксперим. методы в мех. МГУ. — 1995. — С. 81-84.

56. Коллатц JI., Альбрехт Ю. Задачи по прикладной математике. — М.: Мир, 1978 — 167 с.

57. Князев П.Н. Интегральные преобразования. — Мн: Вышейшая шк., 1969. — 198 с.

58. Корн Г., Корн Т. Справочник по высшей математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1968. — 720 с.

59. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. — М.: Мир, 1972. — 274 с.

60. Краснов МЛ. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1975. — 304 с.

61. Краснушкин П.Е. О возбуждении нормальных и присоединенных волн в бесконечной слоистой упругой полосе. //ПММ, 1979, т.43, №5. — С. 877-886.

62. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. — М.: Мир, 1987. — 328 с.

63. Ляпин A.A. Динамика слоистых сред с произвольно расположенными неоднородностями. Авторефер. дисс. докт. физ.-мат. наук. — Ростов-н/Д: РГУ, 1999. — 32 с.

64. Ляпин A.A., Селезнев М.Г., Собисевич А.Л., Собисевич Л.Е. Механико-математические модели в задачах активной сейсмологии. — М., 1999. — 290 с.

65. Метод граничных интегральных уравнений. Вычислительные аспекты и приложения в механике. — Серия: Механика. Новое в зарубежной науке. — М.: Мир, 1978. — 210 с.

66. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. — М.: Мир, 1974.

67. Мкртчян К.Ш. Распространение колебаний от точечного источника в анизотропной плоскости и полуплоскости с тонким покрытием. //Прикл. мат. и мех. (Москва). — 1996. — 60, №2. — С. 299 308.

68. Молотков Л.А. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых средах. — Л.: Наука, 1984. — 202 с.

69. Морс П.М., Фешбах X. Методы теоретической физики, т. 1. — М.: ИЛ, 1958. — 930 с.

70. Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. — М.: Иностр. лит., 1962. — 279 с.

71. Новацкий В. Теория упругости. — М.: Мир, 1975. — 872 с.

72. Образцов И.Ф., Бабешко В.А. О некоторых особенностях колебаний полуограниченных областей. // ДАН ССР. — 1989. т.305, №2 — С. 306-309.

73. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. — М.: Мир, 1976. — 464 с.

74. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. — М.: Наука, 1977. — 312 с.

75. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. — М.: Наука, 1981. — 658 с.

76. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. — М.: Наука, 1986. — 328 с.

77. Пряхина О.Д., Фрейгейт М.р. О связи решений нестационарных контактных задач с резонансными свойствами исследуемых систем. //Докл. РАН. — 1998 — №3.— С. 346 — 348.

78. Развитие теории контактных задач в СССР. — М.: Наука, 1976. — 493 с.

79. Рвачев B.JL, Проценко B.C. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. — Киев: Наукова думка, 1977. — 236 с.

80. Рекач В.Г. Руководство к решению задач теории упругости. — М.: Высшая школа. 1977. — 215 с.

81. Рубанчик В.Б. Равновесие полосы с неровной верхней границей. //Изв. СКНЦ ВШ. Сер. Естеств. науки. — 1976. — №4. — С. 108

82. Рубанчик В.Б. Колебания штампа на слое с неровным основанием.

83. Тез. докл. конф. "Смешанные задачи механики деформируемого тела". — Ростов-н/Дону. — 1977. — С. 160.

84. Рубанчик В.Б. К теории вибрации штампов, жестко скрепленных со слоем, имеющим неровные границы. //Интенсификация и контроль технологических параметров в сельскохозяйственном машиностроении. Межвуз. сб. РИСХМ, Ростов /Д. — 1977. — С. 41-48

85. Рубанчик В.Б. Одна динамическая контактная задача для слоя с неровной границей. //Интенсификация и контроль технологических параметров в сельскохозяйственном машиностроении. Межвуз. сб. РИСХМ, Ростов /Д. — 1978. — С. 113-117.

86. Рубанчик В.Б. К теории динамических контактных задач со сцеплением для слоя с неровной нижней границей. //Тез. докл. конф.

87. Смешанные задачи механики деформируемого тела". — Днепропетровск. — 1981. — С. 134.

88. Рубанчик В.Б. Численный метод факторизации полиномиальных матриц. //Исследования по расчету пластин и оболочек. Межвуз. сб. — Ростов н/Д. — 1982. — С. 85-91.

89. Рубанчик В.Б. Метод приближенной факторизации и динамические контактные задачи для слоя с неровным основанием. //Тез. докл. конф. "Смешанные задачи механики деформируемого тела". — Харьков. — 1985. — С. 223.

90. Рубанчик В.Б. О построении решений динамических контактных задач в случае штампа, сцепленного с упругой полосой. //Механика деформируемого тела. Межвуз. сб. — Ростов н/Д. — 1987. — С.138.144.

91. Рубанчик В.Б. К вопросу практической реализации метода приближенной факторизации для систем уравнений в свертках. //Интегро-дифференциальные операторы и их приложения. Межвуз. сб. — 1996. — С. 117-123.

92. Рубанчик В.Б., Соболь Б.В. Динамика составных упругих областей с неровной границей раздела. — Деп. в ВИНИТИ, 19.08.98, №2606-В98. — 14 с.

93. Саббонадьер Ж.-К., Кулон Ж.Л. Метод конечных элементов и САПР. — М.: Мир, 1989. — 190 с.

94. Свекло В.А. Смешанная задача для упругой анизотропной полуплоскости. //ПММ. — 1962. — 25, №5. — С. 896-905.

95. Сеймов В.М., Трофимчук А.Н., Савицкий O.A. Колебания и волны в слоистых средах. — Киев: Наук, думка, 1990. — 224 с.

96. Страуструп Б., Эллис М. Справочное руководство по языку программирования С++ с комментариями. — М.: Мир, 1992. — 445 с.

97. Терехов А.Г. SH-волны в слоистой среде, распространяющиеся в в направлении слоистости //Анал., числ. и эксперим. методы в мех. /МГУ. — 1995. — С. 77-80.

98. Терещенко В.Я. О взаимосвязи формулировок метода граничных элементов. // Прикл. мат. и мех. (Москва). — 1996. — 60, №4.— С. 621-628.

99. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972. — 724 с.

100. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого тела. — Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1986. — 295 с.

101. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. — Л.: Наука. 1967. — 402 с.

102. Чебаков М.И. Возбуждение и распространение колебаний в двуслойной периодической полосе. // Совр. пробл. мех. сплош. среды: Меж-дунар. науч. конф. — Ростов-н/Д, 1995. — С. 56.

103. Хан X. Теория упругости: Основы линейной теории и ее применения. — М.: Мир, 1988. — 344 с.

104. Численное решение задач динамики упругих тел./ Ред. Кириллов П.Л. — Обнинск, 1995. — 288 с.

105. Чичинин И.С. Вибрационное излучение сейсмических волн. — М.: Недра, 1984. — 220 с.

106. Шульга Н.А. Основы механики слоистых сред периодической структуры. — Киев: Наук, думка, 1981. — 200 с.

107. Элджер Дж. С++: библиотека программиста. — СПб: Питер, 1999.320 с.

108. Alekseyeva L., Didabayev Sh., Zakiryanova G., Zhanbyrbayev A. Boundary Integral Equations Method in two- and three-dimensional problems of elastodynamics. //Comput. Mech. — 1996. — 18, №2. — p. 147-157.

109. Brepta R. The influence of boundary conditions upon exactness of FEM calculations in nonstationary dynamics // Acta techn. CSAV. — 1993.1. C. 265-271.

110. Fenner R.T. Integral Equation and Other Methods for Solid Mechanics Applications. —http://www.me.ic.ac.uk/department/review94/es/esrr32.html .

111. Huang Sh., Nakai S., Katakura H., Natori M. An object-oriented architecture for finite element method knowledge-based system. // Int. J. Numer. Meth. Eng. — 1996. — 39, №20. — p. 3497-3517.

112. Jemielita Gz. Governing equations and boundary conditions of generalized model of elastic foundation. // Mech. teor. i stosow. — 1994. — 32, №4. — p. 887-901.

113. Kaplunov J. Dynamics of thin elastic layer in matrix of a high rigidity. // Z. angew. Math, and Mech. — 1995. —75, Suppl. nl. — p. 157-158.

114. Kawamura Y., Sumi Y. A review of the methods for automatic mesh generation of finite element method //Bull. Fac. Eng./ Yokohama Nat. Univ. — 47. — 1998. — C. 21 41.

115. Kotulski J. Wave pulses in two-dimensional randomly stratified elastic media. // Arch. Mech. — 1995. — 47, №1. — C. 125-139.

116. Muraskami S., Watanabe K. Transmission of wave enrgy through an imperfectly bonded interface between a layer and a half-space of dissimilar elastic solids. //JSME Int. J.A. — 1995. — 38, №2. — C. 152-162.

117. Nelissen G., Driesens Th. Object-oriented implementationof finite and boundary element methods. — 1995. — http://wwwtw.vub.ac.be/ond/etec/ceg/vlaams/gert/ECCS.htm.

118. Nishi Y., Ben G., Aoyama K. FEM preprocessor by user agent. // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. — 1998. — 64, №618. — p. 367-372.

119. Oda J., Kubota T., Abe S. Approximate solution of elastic contact problem between film-coated bodies // Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. — 1993. — 59, 567, — C. 2581 2586.

120. Razin A.V. Elastic wave propagation in a randomly stratified solid medium. // Waves Random Med. — 1995. — 5, №5. — C. 137-143.

121. Rozin L. Combination of the finite elements method and Stocks formula for the solution of the problems of solid mechanics. // 19th Int. Congr. Theor. and Appl. Mech., Kyoto — 1996. — C. 358.160

122. Sumi Y. A second-order perturbation method for the stress analysis of solids with slightly wavy or irregular surfaces. // JSME Int. J.A. — 1995. — 38. №. -C. 433-439.

123. Terpugov V.N. FEM algorythms for linear elasticity dynamical problems. //Rakenteid. mek. — 1994. — 27, №1. — C. 26-35.

124. Wezovski Z. Harmonic wave in distributed system of periodic layers // Emg. Trans. Rospr. inz. — 1997. 45, №3-4. — p. 471-496.

125. Wolf J.P., Song Ch. Finite-Element Modelling of unbounded media. — Wiley & Sons, 1997. — 331 c.

126. Yang P., Chen X. The method of solving the special elastic contact problems by mixed finite element method. //J. XianJiaotong Univ. — 1995 . — 28, №. — C. 92-97.

127. Zhang B., Yu M., Lan C.Q., Xiong W. Elastic wave and excitation mechanism of surface waves in multilayered media //J. Accoust. Soc .Amer. — 1996. — 100, m. — p. 3527 3538.