Обратные геометрические задачи для упруго-жидких волноводов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Углич Павел Сергеевич

ОБРАТНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРУГО-ЖИДКИХ ВОЛНОВОДОВ

01.02.04, - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2006

Работа выполнена на кафедре теория упругости Ростовского государственного университета

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Ватульян: Александр Ованесович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Селезнев Михаил Георгиевич

кандидат физико-математических наук» доцент Зеленцов Владимир Борисович

Ведущая организация Кубанский государственный университет

Защита диссертации состоится <14» ноября 2006 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 по физико - математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу: 344090 г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова 8а, РГУ, механико-математический факультет, ауд 211.

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке РГУ по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «12» октября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Боев Н.В.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Задачи Ъ колебаниях слоистых структур с неровностями часто возникают в акустике, сейсмологии, технической диагностике и физике твердого тела.

Наиболее популярным методом для решения таких задач в случае малых неровностей является метод возмущений (известный также под названиями метод малого параметра, метод линеаризации), суть которого состоит в предположении малости амплитуды неровности по сравнению с длиной волны; также в этом случае часто используется приближение однократного рассеяния — приближение Борна.

Бели амплитуда неровности становится соизмеримой с длиной волны, метод возмущений становится неприменим. В это случае может быть использован метод граничного элемента, который для данного класса задач исследован недостаточно.

Кроме прямых задач значительный интерес представляют обратные задачи об определении формы неровной границы слоя, если известно поле перемещений на другом участке границы.

Цель работы состоит в исследовании прямых и обратных задач динамической теории упругости для слоистых структур с неровными границами раздела.

Методика исследований прямых задач основывается на сведении исходных краевых задач к граничным интегральным уравнениям на основании теоремы взаимности и фундаментальных решений для волноводов

>

с ровными границами, причем решение систем интегральных уравнений осуществлено при помощи идей метода граничных элементов.

Обратная задача об определении формы неровного участка границы волновода в рамках процедуры линеаризации сведена к'ф&йению интегрального уравнения Фредгольма с гладким ядром, для решения которого ис-

пользован метод регуляризации Тихонова.

Достоверность результатов работы основана на строгом аппарате математической теории упругости, на корректном сведении краевых задач для слоистых волноводов с неровными границами к системам граничных интегральных уравнений, на их численном анализе, сравнении результатов, полученными различными методами. Достоверность подтверждается результатами численных экспериментов, в которых варьировалась частота колебаний, форма неровности и другие параметры.

Научная новизна работы определяется разработкой методов решения, численным и асимптотическим исследованием ряда новых задач (прямых и обратных) об установившихся колебаниях упругих и упруго-жидких волноводов с неровными границами.

Практическая ценность результатов исследования состоит в развит ии методов решения задач о распространении волн в слоистых структурах с нерегулярными границами и исследовании возможностей реконструкции формы неровной границы раздела в зависимости от частоты колебания и геометрических параметров задачи.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались на:

• VII международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды.», Ростов-на-Дону, 22-24 октября 2001 г.

• III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием, г. Ростов-на-Дону-Азов, 13-16 октября 2003.

• Ш-й школе-семинаре «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика», Ростов-на-Дону, 15-19 ноября, 2004 г.

• IX международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды.» Ростов-на-Дону, 11-15 октября 2005 г.

• семинарах кафедры теории упругости Ростовского государственного университета.

Публикации. Автором опубликовано семь работ по теме диссертации, которые отражают ее основные результаты. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, двух приложений и списка литературы из 130 наименований. Объем диссертации составляет 114 страниц.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, коды проектов 02-01-01124, 05-01-00734 и гранта Президента Российской Федерации по поддержке ведущей научной школы НШ - 2113. 2003.1.

Содержание работы.

Введение содержит обзор литературы по исследованию прямых и обратных задач математической физики о распространении волн в полуограниченных с неровными границами.

Задачами математической физики о распространении волн в полуограниченных областях с неровными границами ранее занимались Бабешко В.А., Барсуков К.В., Бреховских Л.М., Буров В.А., ВатульянХО., Викторов И.А., Ворович И.И., Гандурин Ю.Н., Гетман И.П., Глушков Б.В., Глуш-кова Н.В., Гуляев Ю.В., Дунин С.З., Захаренко А.Д., Косачев В.В., Корейский С.А., Крылов В.В., Максимов Г.А., Мацыпура В.Т., Мухсихачоян А., Ляпин A.A., Плесский Б.П., Прудников И.П., Селезнев М.Г., Сироткина Н.С., Уразаков Е.И., Устинов Ю.А., Фальковский A.A., Bruno O.P., Reitich F., Greifet J.J., Baylard С., Versaevel P., Maassarani Z. и многие другие авторы. Представлены основные методы исследования волновых процессов в волноводах с неровными границами-метод возмущений, метод граничных интегральных уравнений, сформулированы основные проблемы, рассматриваемые в работе и изложено краткое содержание диссертации.

Первая глава посвящена постановкам задач о колебаниях волноводов с неровным нижним основанием. Рассматриваются вынужденные установившиеся колебания полупространства, состоящего из упругого слоя, занимающего объем 0 < е/(х1,хз) < Н и идеальной сжимаемой жидкости, занимающей объем хч < е/(хих^)> е > 0 — малый параметр. Колебания вызываются нагрузкой ф^Ъ^з)» * = 1,2,3, приложенной на верхней поверхности слоя. В дальнейшем считается, что нижняя поверхность цилиндрическая:

Считается, что функция /(х{) отлична от нуля только на отрезке [а, 6]

и обращается на концах отрезка в нуль. Производится обезразмеривание

координат по формулам: Х{ = у?г О — юН (черта в дальнейшем опуска-

£1

ется).

В зависимости от типа нагрузки и механических параметров рассматриваются три задачи;

Задача I (упруго-жидкий волновод). Для упругого слоя выполняются уравнения Ляме:

— частота колебаний, р — плотность слоя, Д = ^^ + ^^ ~ оператор Лапласа, щ — вектор перемещений, щл = г = 1,2

О:Т]

. Потенциал скоростей в жидкости удовлетворяет уравнению Гельмголь-ца: .

и функции нагрузки не зависят от переменной х$:

(1 — 2и) + Ащ + — О где V — коэффициент Пуассона, С? — модуль

(1)

Ду + «о¥> — 0 6

и

«2 = —I Со — скорость звука В ЖИДКОСТИ. Со

Краевые условия имеют следующий вид:

При %i — 1:

при Х2 = sf(x 1):

'пт

s= О

CTftn ~ -l(Jp*(p д(р m an

(4)

р* — плотность жидкости, п, г — соответственно вектор внешней нормали и касательный вектор к нижней поверхности слоя.

Задача II (упругий волновод, плоская задача). Для упругого слоя выполняются уравнения Ляме:

{

(6)

(1 - + Atij + 0 (5)

Краевые условия имеют следующий вид: При Хг = 1:

= (xi) <^22[а:а=1 — Чг{х\) при X2 = sf(xi):

^ят = сгпп — 0 (7)

Задача II может быть получена из задачи I, если в ней устремить плотность жидкости р» к нулю.

Задача III (упругий волновод, антиплоская задача). Для упругого слоя выполняются уравнения Гельмгольца:

Ди + «2й — О

(8)

и~и3

Краевые условия имеют вид:

; — О

— о

(10)

Замыкают постановки всех трех задач условия излучения волн на бесконечности, при формулировке которых использован принцип предельного поглощения.

Во второй главе предлагаются три метода решения прямой задачи о колебаниях слоистой среды с неровной границей раздела.

Первый из них основан на идеях теории потенциала и позволяет свести исходную задачу к системе интегральных уравнений по неровному участку поверхности раздела.

В параграфе 2.1 построены фундаментальные решения для системы слой-жидкость в задаче I и для упругого слоя в случае плоской и антиплоской деформаций.

Затем в параграфе 2.2 исходные задачи сведены к системе граничных интегральных уравнений при помощи стандартной процедуры, основанной на теореме взаимности и использующей фундаментальные решения уравнений Ляме и Гельмгольца. Кроме того, получены соотношения, аналогичные формулам Сомильяны и позволяющие по перемещениям и потенциалу скоростей на неровном участке нижней поверхности найти перемещения в любой точке среды.

В задаче I аналог формул Сомильяны для системы слой-жидкость имеет вид: ... '

- м*) о+«)] - мфКЧЪ „

в

где

Г/ «.{(жь^а): XI 6 [а,д],я2 - е/(®>)}

Через обозначается компонента фундаментального решения или

перемещения в точке хл возникающего под действием сосредоточенной силы единичной интенсивности, приложенной в направлении оси хтъ точке находящейся в упругом слое, — сингулярное решение, соот-

ветствующее — потенциал скоростей в жидкости, воз-

никающий под действием сосредоточенной силы в упругом слое. — эталонное поле смещений, возникающее в системе слой-жидкость с ровными границами от действия нагрузки ^(хх).

Функции Ф(т)(х,0» в (11) представлены в виде кон-

турных интегралов, причем контур интегрирования в соответствии с принципом предельного поглощения всюду совпадает с вещественной осью за исключением окрестностей особенностей подынтегральных выражений, которые он огибает, отклоняясь в комплексную плоскость.

Полученная формула позволяет найти перемещение в любой точке если & > етах/(х1).

Система граничных интегральных уравнений получена в виде:

о

чк(х)а{™\х, у)]<Их + рщ I [ф(х1)Ф^\хи 0; у)~

(12)

; /\дФ°,

с(у)ф(у) ~ -ч.р. J[гuJp*un(x)Ф0(x, у) +

Г/ -

ь

- ![ФЫЬл&ъЪу) - хЫ^^у)^

1 Г г (\ 0Ф 1

2Л) = -у [го;р^(х)Ф0(х;уи0) + (х;уи0)]<Я,-

ь (14)

- У.р.уИжОФ^ЛуьО) -х(а:х)Ф0(хьО;уьО)](гх1 .

а

-|^(Ух>0) = Я{у{) ~ ~ J [^/^(ж)!/* 0)+

ь

Г ^ 1

+ик(х)(Ты(х; уи0)]<Йх-у.р. I [^(х^Ф^хьО;г/1,0)-

а

- х(я!)Ф~0>:ьО;уьО)]<&1

1 1

— с(у) — о> если ^ регулярная точка кривой Г/.

^ а

Ф~(х,£) — соответственно поле перемещений и потенциал скоростей, возникающие в системе слой-жидкость под действием сосредоточенного источника возмущений единичной интенсивности, находящегося в жидкости,

— сингулярные решения, соответствующие

Х(®1> = <Ра{х)\хе[*Мг

оо

-00

Таким образом, получена система из пяти уравнений (12)-(15) с пятью неизвестными функциями: щ и ц> на Г/ — неровном участке нижней поверхности, а также ^{хх) и х(х1) соответственно потенциал скоростей и его производная по хз на отрезке [а, 6].

Задача II

Аналог формул Сомильяны для упругого слоя в случае плоской дефор-

ю

мации выглядит следующим образом:

«»(О = <(0 - / щ{х)о%\хА)щ<йх (16)

Г/

Система граничных уравнений приобретает вид:

Cmi(y)My) = ит(у) ~ V-P- J Uifäc^ix^njdU, У G Г/ (17)

г/

Задача III.

Аналог формул Сомильяны для упругого слоя в случае антиплоской деформации выглядит следующим образом:

u(i)«tt°(0- J (18)

' v " Г/

Система граничных уравнений имеет вид:

/QJJ0

u{x)—{x,y)dlx (19)

г,

Затем, в параграфе 2.3 все три задачи исследуются методом возмущений и выражения для волновых полей в слое построены в следующем виде: для задачи I

- <(£) - «■ / {[/(*0<2 + ~ )}ut)(x> $)+

+ (20)

~h + - /'(®i)(<p5 + w«?)] 0}dxг

для задачи II.

Mi) = «О -* / {i/(*iK2,2 - i)+ (21)

для задачи III.

ь

»(О = u°(О - J[/(xi)42(xb0) - /(x1)uf1(x1,0)]^(xl)0;i)dx1 (22)

а

Затем, в параграфе 2Л строятся формулы, аналогичные формулам приближения Борна, или приближения однократного рассеяния. Они имеют вид:

для задачи I.

и™«) =«&«)+/ {.»„(*) +

Г/ . (23)

> £max/(xi).

для задачи II.

Mi) « «¡¡.(f) - J (24)

Г/

для задачи III.

- «°(€) - j v?(x)?^-{x,z)dlx ■ (25)

Г/

В третьей главе проведено численное исследование полученных граничных интегральных уравнений (12)-(15), (17), (19) и полей перемещений на верхней границе слоя для всех трех задач. Изложены основные идеи метода граничных элементов, затем осуществлена дискретизация интегральных уравнений. В результате получены СЛАУ для определения значений неизвестных функций на неровном участке. Матрицы систем представляют собой матрицы с диагональным преобладанием, являются хорошо обусловленными и их решения устойчивы к малым вычислительным погрешностям элементов систем.

Рис. 1: ГЪриэонтальное перемещение на неровном участке границы раздела пря «а = 5»е « 0.2, /(11) в ««(та 1). Сплошной линией показана вещественная часть горизонтального перемещения, точками — его мнимая часть.

На рисунке X показан результат численного решения системы интегральных уравнений (11)-(15) при «2 — 5, е = 0.2, /(х-^) — З1п(тгх}). Сплошной линией показана вещественная часть горизонтального перемещения, точками — его мнимая часть, количество элементов N — 20.

Также приводятся результаты расчета волновых полей на поверхности слоя, полученные тремя методами (метод граничного элемента, метод возмущений, приближение Борна). Производится сравнительный анализ результатов расчетов полей, произведенных тремя разными способами.

Обозначим через д{ — и® — разность между полем перемещений на поверхности, найденным с использованием метода граничного элемента по формуле (16) и эталонным полем перемещений для ровного слоя и9 = и*'.

д!1 = — решение в первом приближении, найденное методом возмущений по формуле (21).

Введем в рассмотрение величину

11Р/11

и исследуем ее поведение в зависимости от амплитуды неровности. На рисунке 2 темным цветом показана область значений параметров «21 в которой величина не превышает одного процента. В расчетах принято, что неровность имеет форму дуги синусоиды /(х{) = евгп^Х!), [а, 6] — [с,Щ = [0,1], материал слоя — сталь, толщина слоя Н ~ I м., нагрузка принята сосредоточенной вида: = ¿(жх — 0,5).

-I I-[ I-1 1 Г"-1 II 1-II-1-Р I-! 1-Г1

см т чг от «? ^ «о а> о

К2

Рис. 2:

В четвертой главе рассматривается обратная задача: по информации о поле перемещений на конечном участке верхней границы [с, с(\ найти форму неровного участка нижней границы. Соотношения (20), (21) и (21) при заданной нагрузке представляют из себя интегральные уравнения относительно формы неровности Дхх). Кроме самой функции / в уравнения входит ее производная, однако ее можно исключить путем интегрирования по частям, и соотношения (20), (21) и (21) сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода с гладким ядром.

Кроме того, следует отметить, что интегральные уравнения для опреде-

ления формы неровного участка нижней границы также могут быть получены из линеаризации соотношений (11), (16), (18) в предположении малости амплитуды неровности. Полученные уравнения также представляют из себя интегральные уравнения Фредгольма первого рода, похожие по форме на уравнения, полученные методом линеаризации. Доказано, что уравнения, полученные двумя разными способами, совпадают друг с другом.

Задача I.

Уравнение для определения формы неровного участка нижней поверхности имеет вид:

ь

JК?(х« 9rn(tl) - 1) - 1) (26)

а

Ядро К? сокращенно записывается в виде:

КГ(хьй) = -{с4 [«Jof> + '] + 2[ФЧ, - <,£/&'] -

-р.к^фм+^г1-^!?"] Л«,»

»

Задача П.

Уравнение для определения формы неровного участка нижней поверхности имеет вид:

t

ь

J Kjl(Xl>b)f(Xl)<&l » 9т{£i) - um(iu 1) - «fc, 1) (27)

а

Задача III.

6

J Ä>«(®i,ei)/(«i)d®i = tf(fi) - «<£ь 1) ™ u°(ii, 1) (28)

Рис. 3: Численного эксперимента по восстановлению формы неровности на отрезке [а, 6] = (0,1] по

информации о величине Де{и1) на отрезке [с, <{) = {0,1) с = 0,2, /(«О = «пяхь «а 1.

t

0,01

0,006 0,004 0,002

1* ^ - 1 !

:• - /и Д. 1 1 «у г .]\

---г~\~ -"V---%Г —|-Д—

/ *1 \ 1 1 / г \

V» V- ф~ -Ь —

: /• 1 |\ А 1 Л

Ч 1_ ± л \

1 I . 1 I 1 \

I9 1 1 1 1

• 1 "Г " 1 -7 -V

1 1

0,2

0,4

0.6

0,8

х1

Рис. 4: Результат численного эксперимента по восстановлению формы неровности на отрезке [а, 6] — [0,1) по информации о величине Яе(«|) на отрезке [с,=■ [0,1] при к^ — Ь, с — 0.1, /(и) ■=■ 0,93(«»п»г11 + в»пЗях1). Сплошной линией изображена точная форма неровности, точками • восстановленная. (Задача II.) .

f

X

Рис. 5: Результат численного эксперимента по восстановлению формы неровности на отрезке [а, 6] я [0,1} по информации о величине Яе(«1) на отрезках [с,^ = [0,1] (точки) к [«,</{ » [2,4] (кресты) при = 2, г — 0,01, f(Xl) « ПП1ГХ1. Сплошной линией изображена точная форма неровности.

Рис, 6; Результат численного эксперимента по восстановлению формы неровности на отрезке [a,¿>] = [-1,2] по информации о величине Äe(«i) на отрезке [c,rf¡ при k¡ а 5, f = 0.01, f(xi) «n(trii) при x2 e [0,lj, f{x\) = 0 при xa 6 [-1,0J U [1,2], [a, 6] « (-1,2J (задача II). Сплошной линией изображена точная форма неровности, точками - восстановленная при (c,<fj = [—1,2], крестами при [c,t¡\ ■= [0,3].

На рисунке 3 показан результат расчета при амплитуде неровности е — 0,2, /(#]) = simгх\, отрезок [а> Ь) совпадает с [с, d] и равен [0,1] (задача III).

На рисунке 4 представлен результат расчета для более сложной формы неровности слоя в случае плоских колебаний (задача II) при «2 = 5, — 0,93(5г'п7ГХ1 + вгпЪшх), [а, 6] = [с,<1] = [0,1], £1=^0,01, параметр регуляризации подобран автоматически и равен а — 1,0143 * 10"а обобщенная невязка р — 1,614 * 10~п. • • /

На рисунке 5 показан результат расчета при к% — 2, /(х{) = вт^кхг) для слоя, покояц£згося на жидкости (задача I), точками показан результат расчета, произведенного по данным о вещественной части вертикального перемещения на отрезке = [0,1], крестами — результат, полученный при [с, с2] = [2,4]. Параметр регуляризации в обоих случаях подобран автоматически.

Условие?; согласно которому считается известным местоположение неровного участка,- можег являться серьезным препятствием при решении реальных задач. В следующем расчете (рис. 6) смоделирована ситуация, в которой местоположение неровного участка известно лишь приближенно.

Основные результаты

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. На основе фундаментального решения для упругого слоя, контактирующего с жидкостью, разработаны методы сведения краевых задач, описывающих установившиеся колебания Волноводов с нерегулярными границами, к системам граничных интегральных уравнений.

2. Развиты методы численного решения для систем граничных интегральных уравнений на основе метода граничного элемента.

3. Предложены приближенные методы расчета волновых полей для волноводов с нерегулярными границами. Проведено сравнение трех методов расчета волновых полей (метод граничных интегральных уравнений, метод возмущений, приближение Борна) и установлены границы их применимости.

4. Построены и решены интегральные уравнения для решения обратных геометрических задач об определении формы неровного участка границы слоя для неровностей с малой амплитудой.

Публикации автора по теме диссертации.

1. Батулъян А.О., Углич П.С. Обратная геометрическая задача для неровного упругого слоя, контактирующего с жидкой средой // Межвузовский сборник научных трудов "Интегро-дифференциальные операторы и их приложения".- г. Ростов-на-Дону, Изд. ДГТУ.- вып. 5,2001 г.- С. 50-55 ■

2. Ватулъян А.О., Углич П.С. Определение формы неровной границы раздела между упругой и жидкой средами // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский Регион.- 2001.- Спецвыпуск Математическое моделирование.- С. 44-46,

3. Ватулъян А.О., Углич П.С. Формулировка граничных интегральных уравнений для упруго-жидких волноводов с неровной границей. Современные проблемы механики сплошной среды. Труды VII международной конференции памяти академика РАН И.И. Воровича, Ростов-на-Дону, 22-24 октября 2001 г. с. 63-56.

4. Ватулъян А.О., Углич П. С. О колебаниях упругой полосы с неровной нижней границей. // Акустический журнал.- 2006.- Т. 46, №6.- С. 777783.

5. Углич U.C. О численной реализации метода граничного элемента для упруго-жидкого волновода // Труды III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием,- г.Ростов-на-Дону-Азов, 13-16 октября 2003.- С. 369-371.

6. Углич П. С. Об антиплоских колебаниях слоя с неровной нижней границей. Математическое моделирование, вычислительная механика и гео-

физика // Труды Ш-й школы-семинара.- Ростов-на-Дону, 15-19 ноября 2004.- с. 137-139.

7. Углич П. С. Обратная геометрическая задача для упругого слоя с неровной нижней границей. Современные проблемы механики сплошной среды // Труды IX международной конференции, посвященной 85-летию со дня рождения академика РАН И.И. Воровича,- г. Ростов-на-Дону, 11-15 октября 2005 г. Т. 2.- с. 223-227.

Издательство ООО «ЦВВР». Лицензия ЛР№ 65-36 от 05.08.99 г. Сдано в набор 5.10.06 г. Подписано в печать 6.10.06 г. Формат 60*84 1/ 16 Заказ № 761. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Оперативная печать. Тираж 100 экз. Печ. Лист 1,0, Усялеч.л. 1,0. Типография: Издательско-полиграфический комплекс « Биос» РГУ 344091, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 28/2, корп. 5 «В», тел (863) 247-80-51. Лицензия на полиграфическую деятельность № 65-125 от 09.02.98 г.

Введение.

1 Постановка задач о колебаниях волноводов с неровным нижним основанием.

1.1 Общая постановка задачи.

1.2 Задача I. Система упругий слой — жидкость.

1.3 Задача II. Плоская деформация упругого слоя с неровной нижней границей в случае установившихся колебаний.

1.4 Задача III. Задача об антиплоских колебаниях упругого слоя.

2 Решение прямых задач о колебаниях волноводов с неровным основанием.

2.1 Построение фундаментальных решений для волноводов.

2.1.1 Фундаментальное решение системы уравнений Ляме для неограниченной плоскости.

2.1.2 Система упругий слой — жидкость.

2.1.3 Дисперсионные свойства системы слой-жидкость.

2.1.4 Построение фундаментального решения для упругого слоя в случае плоских колебаний.

2.1.5 Построение фундаментального решения для упругого слоя в случае антиплоских колебаний.

2.2 Вывод систем граничных интегральных уравнений.

2.2.1 Задача 1.

2.2.2 Задача II.

2.2.3 Задача III.

2.3 Решение задачи методом возмущений.

2.3.1 Задача!.

2.3.2 Задача II.

2.3.3 Задача III.

2.4 Решение задач с использованием приближения Борна.

2.4.1 Задача 1.

2.4.2 Задача II.

2.4.3 Задача III.

3 Дискретизация и численное решение систем граничных интегральных уравнений.

3.1 Задача 1.

3.2 Задача II.

3.3 Задача III.

4 Обратные задачи о восстановлении формы неровности.

4.1 Постановка обратной задачи.

4.2 Вывод уравнения для решения обратной задачи из линеаризации соотношений Сомильяны.

4.2.1 Задача 1.

4.2.2 Задача II.

4.2.3 Задача III.

Задачи о колебаниях слоистых структур с неровностями часто возникают в акустике, сейсмологии, технической диагностике и физике твердого тела.

Задача рассеяния волны неровной границей впервые начала исследоваться в работах Релея [119] и Раиса [120]. Для таких задач был предложен метод малого параметра, в литературе также известный как метод малых возмущений (small perturbation method), метод Релея-Фурье (Rayleigh-Fourier method), теория Релея-Райса (Rayleigh-Rice theory), метод последовательных приближений (iterative series solution), метод разложения поля (field expansion). В дальнейшем будем использовать термин «метод возмущений».

В работах американских ученых Дэвида П. Николса (David P. Nicholls) и Фернандо Райтиха (Fernando Reitich) приведен подробный обзор работ, посвященных использованию данного метода в различных задачах математической физики в том случае, когда неровность задается на всей границе некоторой периодической функцией, в общем случае удовлетворяющей условию Липшица.

Суть данного метода состоит в предположении малости амплитуды неровности по сравнению с длиной волны. Краевые условия на неровной границе приближенно заменяются краевыми условиями на прямой. Неизвестные функции разлагаются в ряд по малому параметру, характеризующему амплитуду неровности. Исходная краевая задача сводится к последовательности краевых задач для области с прямолинейной границей. В таком виде данный метод широко применялся в задачах о распространении электромагнитных волн ([120]) и задачах акустики ([61], [60], [86], [87], [95], [ИЗ], [127]). В работах [126], [82], [84], [91], [93], [98], [101], [122] при решении задачи учитываются члены высокого порядка малости, а также обсуждается вопрос о сходимости ряда, в виде которого строится решение. В работах Оскара П. Бруно и Ф. Райтиха [71], [68], [69], [70], [67], доказывается его сходимость в случае малой амплитуды неровности, а также показано, что отраженное поле является аналитической функцией малого параметра и отмечается, что эта функция может быть аналитически продолжена для сколь угодно большой амплитуды неровности. В том случае, когда ряд расходится, для аналитического продолжения предлагается использовать аппроксимации Паде. Отмечается, что при понижении порядка гладкости кривой сходимость ряда ухудшается.

Кроме того, в [114], [115] предлагается модификация метода малого параметра, называемая методом разложения оператора (operator expantion) и использующая отображение неровной области на область с ровной границей. Принципиальное отличие данного метода от обычного метода малого параметра состоит в том, что в последовательности краевых задач уравнения становятся неоднородными. Однако такой метод значительно превосходит обычный метод возмущений в точности и он применим к более широкому классу задач.

К решению задач о распространении упругих волн метод малого параметра применялся в работах [6], [27], [28], [54], [55]. В работе [26] приводится детальный обзор исследований, в которых рассматривается влияние неровностей на амплитуды поверхностных волн в упругом полупространстве. Неровность обычно задается некоторой периодической функцией и анализируется влияние неровности на амплитуды бегущих волн и рассеяние волн на неровных поверхностях. При использовании метода малого параметра влияние неоднородности сводится к действию нагрузки, интенсивность которой прямо пропорциональна глубине выемки, на ровную границу.

В работе [20] представлены результаты натурных экспериментов по прохождению поверхностных волн Релея через «сильные» одиночные неровности, например выемки с глубиной порядка длины волны. Отмечается, что характер рассеяния волн существенно зависит от геометрии неровности и механических параметров среды, и метод малого параметра становится неприменим.

Следует отметить, что существует направление, в котором неровность моделируется при помощи случайной функции, и задача решается статистическими методами. Такой подход часто применяется в акустике, физике кристаллов [36], [34], [94], а также в задачах, связанных с моделированием ледяного покрова на поверхности воды [1], [40], [41], [42], [43].

Для решения задач о колебаниях слоистой полуограниченной среды широко используется метод граничного элемента, который позволяет уменьшить размерность задачи и свести ее к решению системы линейных алгебраических уравнений с хорошо обусловленной матрицей. Этот метод широко используется в математической физике и основан на понятии фундаментального решения и теореме взаимности. Метод подробно описывается в работах [39], [7], [33], и многих других работах.

Раннее этот метод широко применялся при исследовании колебаний слоистых сред с различными дефектами, такими как трещины, полости, включения. К задачам для сред с неровными границами метод стал применятся сравнительно недавно.

В частности, в работе [44] рассмотрена задача об антиплоских колебаниях упругого двухслойного полупространства с полостью, расположенной в верхнем слое. Как частный случай рассматривается задача с полостью, выходящей на поверхность. Последнюю задачу можно рассматривать как задачу для упругой среды с неровностью, оказывающей сильное влияние на формирование амплитуд и фаз поверхностных волн. Также метод граничного элемента использовался в работах [31], [121].

В работе [46] методом возмущений рассмотрена задача об антиплоских колебаниях слоя с неровной нижней поверхностью. Аналогичная задача рассмотрена в [77]. Следует отметить, что для задачи о колебаниях неровного слоя со значительной неровностью могут применятся и другие методы. В частности, в работе китайских ученых [97] используется метод конформных отображений для уравнения Гельмгольца.

Существует большое число работ, посвященным выводу граничного интегрального уравнения для задачи рассеяния в полупространстве с неровной границей. Неровность задается некоторой непрерывной ограниченной функцией, заданной на всей числовой оси. В работах С. Н. Чендлера-Уайлда и его учеников [62], [63], [72], [73] подробно исследуются граничные интегральные уравнения для задачи рассеяния в полуплоскости для уравнений Гельмгольца и Ляме. Формулируются и доказываются теоремы о существовании и единственности решения таких краевых задач. Кроме того, предлагаются приближенные методы их решения [103].

В работах Д. Натрошвили [108]-[112] аналогичным образом формулируются и исследуются интегральные уравнения для задачи о рассеянии на неровной границе между жидкостью и твердым телом.

В работах Р. Поттхаста [116], [117] исследуется задача Неймана для уравнения Гельмгольца. Выводится граничное интегральное уравнение и выражение для рассеянной волны. Интегральный оператор, входящий в выражение для рассеянной волны, рассматривается как нелинейный интегральный оператор относительно формы неровности, исследуются его свойства и доказывается его дифференцируемость по Фреше.

Всюду в данных работах для вывода интегральных уравнений используются фундаментальные решения для плоскости, в интегральные уравнения входят интегралы по всей неровной границе. В случае, когда неровной является только часть границы, вместо фундаментального решения для всей плоскости удобнее использовать функцию Грина, удовлетворяющую однородным краевым условиям на прямолинейной части границы.

Помимо прямых задач о расчете влияния неровности на волновое поле большой интерес представляют обратные задачи об определении характера и формы неровности по информации о поле упругих перемещений на поверхности.

Подобные задачи раннее были подробно исследованы для уравнения Гельмгольца в трехмерном случае ([78], [90], [129]). В работах [29], [30] рассматриваются прямая и обратная задачи о рассеянии волн на малых компактных неод-нородностях в морском волноводе. Амплитуда неровности считается малой по сравнению с длиной волны, а сама неровность считается заданной на компактном множестве. Для решения прямой задачи используется приближение Борна [23], Падающее и отраженное поля представляются в виде линейных комбинаций нормальных мод, и выводятся формулы, выражающие коэффициенты линейных комбинаций для отраженного поля через коэффициенты для падающего поля и функцию, характеризующую форму неровности. Полученные формулы используются для решения обратной задачи. Для решения обратной задачи получено линейное операторное уравнение первого рода. Форма неоднородности аппроксимируется линейной комбинацией некоторого набора функций, и решение операторного уравнения сводится к определению коэффициентов линейной комбинации. Для этого используется метод псевдообращения [59].

Обратные задачи для упругих сред раннее были решены в работах [14], [15], [18] в предположении небольшой амплитуды неровности. Метод малого параметра позволяет свести решение задачи об определении формы неровности к решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода с гладким ядром.

В настоящей работе исследуются три задачи.

1. Плоская задача о вынужденных установившихся колебаниях идеальной сжимаемой жидкости, ограниченной сверху упругим слоем с неровной нижней поверхностью. На верхней поверхности слоя действует нагрузка, на нижней — выполняется условие непротекания жидкости, касательное напряжение отсутствуют, а нормальное равно давлению жидкости.

2. Плоская задача о вынужденных установившихся колебаниях упругого слоя с неровной нижней поверхностью. На верхней поверхности слоя действует нагрузка, нижняя — свободна от напряжений.

3. Антиплоская задача о вынужденных установившихся колебаниях упругого слоя с неровной нижней поверхностью, причем на верхней поверхности действует касательная нагрузка.

В первой главе излагается постановка задач. Во всех трех задачах рассматриваемая область содержит бесконечно удаленную точку, поэтому постановку задачи замыкают условия излучения, при формулировке которых используется принцип предельного поглощения [22]. Также предполагается, что нижняя граница упругого слоя прямолинейная всюду, за исключением ограниченного отрезка.

Вторая глава посвящена решению прямых задач о колебаниях волноводов с неровной нижней поверхностью. Сперва строятся фундаментальные решения для жидкости, ограниченной сверху упругим слоем, для упругого слоя в случае плоских колебаний, для упругого слоя в случае антиплоских колебаний. Эти решения необходимы для построения граничных интегральных уравнений. Затем на основе теоремы взаимности [47] строятся формулы, аналогичные формулам Сомильяны и выводятся интегральные уравнения для всех трех задач. Использование фундаментального решения для волновода позволяет построить уравнения, в которых присутствуют интегралы только по неровному участку нижней поверхности. Полученные уравнения могут быть решены только численно на основе метода граничного элемента [7], [33].

Кроме того, для решения прямых задач в случае малой амплитуды неровности используется метод возмущений. При его использовании исходная краевая задача сводится к последовательности краевых задач для ровного слоя. Метод возмущений позволяет построить приближенное решение задачи в форме интегрального оператора от функций, описывающих нагрузку и форму неровности. Также следует отметить, что неровность в случае малой амплитуды может быть рассмотрена как слабый рассеиватель [23], и для решения прямой задачи может быть использовано приближение Борна, широко использующееся в акустике и известное также, как приближение однократного рассеяния. Использование метода возмущений и приближения Борна позволяет решить задачу за гораздо меньшее время по сравнению с методом граничного элемента.

В третьей главе описано численное решение прямых задач. Приводятся результаты приближенного решения граничных интегральных уравнений. Кроме того, сравниваются все три метода решения прямых задач. Также анализируется влияние, которое оказывает неровность на поле деформаций на поверхности, в частности, на амплитуды бегущих волн.

Затем в четвертой главе рассматриваются обратные задачи об определении формы неровного участка упругого волновода. При этом считается известным поле перемещений на свободной поверхности слоя, которое служит исходной информацией для решения обратной задачи. В предположении малой амплитуды неровности строятся интегральные уравнения для отыскания неизвестной формы неровности. Первый способ основан на непосредственной линеаризации соотношений Сомильяны в предположении малости амплитуды неровности. Также показано, что уравнение для решения обратной задачи может быть получено из решения прямой задачи, полученного методом возмущений. Показано, что уравнения, полученные двумя разными способами совпадают друг с другом и после элементарных преобразований сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода с гладким ядром относительно формы неровности.

Как известно, решение уравнения Фредгольма первого рода — задача некорректная и требует использования специальных численных методов. В настоящей работе используется метод регуляризации Тихонова [49], [50], сводящий уравнение первого рода к уравнению второго рода, которое затем сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений.

Матрица полученной СЛАУ является симметричной и плотно заполненной. Для решения систем используются метод квадратного корня, а также метод Воеводина. Метод квадратного корня основан на представлении матрицы в виде произведения двух треугольных и последовательном решении двух СЛАУ, с треугольной матрицей. Метод Воеводина основан на сведении системы к системе с трехдиагональной матрицей, что достигается с помощью ортогональных преобразований матрицы. Трехдиагональная система решается методом прогонки.

Использование метода Воеводина целесообразно в случае, когда требуется решить систему при каком-то фиксированном значении параметра регуляризации. Метод Воеводина используется в случае, когда требуется много раз решать систему при разных значениях параметра регуляризации для автоматического подбора его оптимального значения.

Численные результаты показывают хорошую эффективность такого подхода.

Основные результаты диссертации изложены в работах [16], [17], [18], [19], [51], [52], [53]. А.О. Ватульяну принадлежит постановка задач и основные идеи методов их решения, диссертанту принадлежит вывод интегральных уравнений для прямой и обратной задачи, а также реализация численных методов их решения.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. На основе фундаментального решения для упругого слоя, контактирующего с жидкостью, разработаны методы сведения краевых задач, описывающих установившиеся колебания волноводов с нерегулярными границами, к системам граничных интегральных уравнений.

2. Развиты методы численного решения для систем граничных интегральных уравнений на основе метода граничного элемента.

3. Предложены приближенные методы расчета волновых полей для волноводов с нерегулярными границами. Проведено сравнение трех методов расчета волновых полей (метод граничных интегральных уравнений, метод возмущений, приближение Борна) и установлены границы их применимости.

4. Построены и решены интегральные уравнения для решения обратных геометрических задач об определении формы неровного участка границы слоя для неровностей с малой амплитудой.

Заключение.

1. Александров И. А. Классификация морских льдов по характеру рельефа нижней поверхности и отражение звука от различных типов негладких льдов // Акустический журнал. - 1994. - Т. 95, №5. - С. 738-748.

2. Алифапое О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач.- М.:Наука, 1988. 288 с.

3. Бабешко В.А., Селезнева Т.Н., Селезнев М.Г., Соколов В.П. Задача об установившихся колебаниях упругого полупространства с цилиндрической выемкой. Рук. деп. в ВИНИТИ №295-82.

4. Бабешко В.А., Золотарев А.А., Ткачев Г.В. Возбуждение колебаний в двухслойной гидроупругой среде источником, находящимся на границе раздела. Материалы III республиканской конференции по прикладной гидромеханике, Киев, 1984.

5. Бабешко В.А., Золотарев А.А., Иванов А.А., Ткачев Г.В. Возбуждение колебаний в двухслойной гидроупругой среде источником, находящимся на границе раздела // Журнал ПМТФ. 1984. - №4. - С. 49-51.

6. Багдоев А.Г., Шекоян А.В., Амбарцумян В.А. Влияние рельефа земной поверхности на интенсивность сейсмических взаимодействий // Физика Земли. 2003. - №7. - С. 17-24.

7. Бенерджи ПБаттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. - 494 с.

8. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах.- М.:Наука, 1957. 342 с.

9. Бреховских Л.М. Распространение поверхностных релеевских волн вдоль границы упругого тела // Акустический журнал.- 1959,- Т. 5, №3.- С. 282289.

10. Буров В.А., Прудников И.П., Сироткипа Н.С. Обратная задача рассеяния ультразвука на граничной неоднородности в изотропном упругом теле // Акустический журнал,- 1992,- Т. 37, №6.- С. 1013-1018.

11. Буров В.А., Горюнов А.А. Оптмальное определение формы излучателя по ближнему полю в ограниченном пространстве // Вестн. Моск. ун-та, Сер. Физика, астрономия,- 1977.- Т. 18, №1.- С. 58-64.

12. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубелл Л. Методы граничных элементов.- М.: Мир, 1984. 524 с.

13. Ватулъян А.О., Кацевич А.Я. Колебания упругого ортотропного слоя с полостью // ПММ,- 1991.- М,- С. 639-646

14. Ватулъян А.О., Корейский С.А. Метод линеаризации в геометрических обратных проблемах теории упругости // ПММ.- 1997.- Т. 61, №4.- С. 639646.

15. Ватулъян А. О., Корейский С.А. О восстановлении формы приповерхностного дефекта в полупространстве // Доклады РАН.- 1995.- Т. 334, №6.- С. 753-755

16. Ватулъян А.О., Углич П.С. О колебаниях упругой полосы с неровной нижней границей. // Акустический журнал.- 2006.- Т. 46, №6.- С. 777-783.

17. Ватулъян А. О., Углич П. С. Определение формы неровной границы раздела между упругой и жидкой средами // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский Регион.- 2001.- Спецвыпуск Математическое моделирование.- С. 44-46.

18. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах,- М.: Наука, 1981. 288 с.

19. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости.- М .: Наука, 1974. 456 с.

20. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей М .: Наука, 1979. - 320 с.

21. Горюнов А.А., Сасковец А.В. Обратные задачи рассеяния в акустике. М.: Изд-во МГУ, 1989. - 152 с.

22. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.- М.: Наука, 1971. 1108 с.

23. Гринченко В. Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах.- Киев. Наукова думка, 1981.- 284 с.

24. Гуляев Ю.В., Плесский Б. П. Распространение поверхностных акустических волн в периодических структурах // Успехи физических наук. 1989. - т. 157, №1.

25. Дунин С.З., Максимов Г.А. Возбуждение и распространение волны Релея в упругом полупространстве с двумерной шероховатостью границы. Препринт МИФИ. №032-88. 1988. - 24 с.

26. Захаренко АД. Рассеяние звука на малых компактных неоднородностях в морском волноводе // Акуст. журнал.- 2000.- Т. 46, №2.- С. 200-204.

27. Захаренко А.Д. Рассеяние звука на малых компактных неоднородностях в морском волноводе: обратная задача // Акуст. журнал.- 2002.- Т. 48, №2-С. 200-204.

28. Захаров Е.В., Ильин И.В. Метод расчета электромагнитных полей в плоскопараллельной среде с локальными неоднородностями // Вычислительные методы и программирование.- М:. Изд-во МГУ, 1971. Вып. 16. - С. 103-108.

29. Карпинский И.Д., Устинов Ю.А. О критических частотах и модах и их затухании в пластине, лежащей на поверхности несжимаемой жидкости // Изд. РАН, МТТ,- 2000,- №3,- С. 179-187.

30. Колтон Д., Кресс Р. Интегральные уравнения в теории рассеяния.- М.: Мир, 1987.- 311 с.

31. Косачев В.В., Гандурин Ю.Н. Дисперсия и затухание волн Рэлея на одномерной статистической шероховатости свободной поверхности гексагонального кристалла // Физика твердого тела,- 2003.- Т. 45, №9.- С. 1722-1726.

32. Косачев В.В., Гандурин Ю.Н. Дисперсия и затухание волн Рэлея на статистически шероховатой, свободной поверхности гексагонального кристалла // Физика твердого тела.- 2003.- Т. 45, №2, С. 369-376.

33. Косачев В.В., Гандурин Ю.Н., Барсуков К.В. Дисперсия и затухание поверхностных акустических волн на свободной статистически-шероховатой поверхности гексагонального кристалла // Физика твердого тела.- 2004.- Т. 46, №10. С. 1886-1892.

34. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред.-М.: Наука, 1980.

35. Крылов В.В., Лямов В.Е. Дисперсия и поглощение релеевских волн, распространяющихся вдоль шероховатой поверхности // ЖТФ.- 1979.- Т. 49, №11.- С. 2511-2514.

36. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории установившихся колебаний // Успехи математических наук.- 1953.- Т. 8, №3(55).- С. 21-74.

37. Лапин АД. Отражение звука от тонкого ровного слоя с шероховатыми границами // Акуст. журнал.- 1994.- Т. 40, №3.- с. 417-420.

38. Лапин АД. Рассеяние поверхностных волн, распространяющихся вдоль границы жидкость-твердое тело // Акуст. журнал,- 1969,- Т. 15, №3,- с. 387-392.

39. Лапин АД. Рассеяние звуковых волн на шероховатой границе между жидкостью и твердым телом // Тр. АКИН. 1969,- вып. 15, №3.- с. 5-151.

40. Лапин АД. Резонансное отражение звука от слоя с неровными границами // Акуст. журнал,- 1969,- Т. 31, №3.- С. 399-401.

41. Ляпин А.А. О возбуждении волн в слоистой среде с локальным дефектом // Прикл. мех. и тех. физика.- 1994.- №5.- С. 87-91.

42. Мацыпура В. Т. Звуковые поля в нерегулярных волноводах // Акустичний симпоз1ум,- Кшв, 1-3 жовтня 2003.- 36ipmiK праць, С. 131-135.

43. Мухсихачоян А., Белубекян М. Распространение SH-волн в упругом слое с неровной поверхностью // Математичш проблеми мехашки неоднорвдиых структур. 36. мистить пращ. 1н-т прикл. пробл. мех. i мат. НАН Украшы.-ЛьвЗв, 2000, Т.2.- С. 212-215.

44. Новацкий В. Теория упругости.- М.: Мир, 1980.- 872 с.

45. Пешков А.А., Устинов Ю.А. Ультразвуковое просвечивание акустической среды через пластину на критической частоте // ПММ.- 2005.- Т. 69, №1-С. 84-93.

46. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.- М.: Наука, 1986.- 288 с.

47. Тихонов А.Н., Степанов В.В., Гончарский А.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач.- М.: Наука, 1990.- 232 с.

48. Углич П. С. О численной реализации метода граничного элемента для упруго-жидкого волновода // Труды III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием,- г.Ростов-на-Дону-Азов, 13-16 октября 2003,- С. 369-371.

49. Углич П. С. Об антиплоских колебаниях слоя с неровной нижней границей. Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика // Труды Ш-й школы-семинара.- Ростов-на-Дону, 15-19 ноября 2004.- с. 137139.

50. Уразаков Е.И., Фалъковский А.А. О распространении релеевской волны по шероховатой поверхности // ЖЭТФ,- 1972,- Т. 63, №6,- С. 2297-2302.

51. Уразаков Е.И. Возбуждение релеевских волн на шероховатой поверхности // Физика твердого тела,- 1976,- Т. 18, №1.- с. 47-52.

52. Устинов Ю.А. О затухании нормальных волн в упругом слое, лежащем на поверхности жидкости // Современные проблемы механики сплошной среды, Труды 4-й международной конференции.- Ростов-на-Дону, 27-28 окт., 1998.- Т. 2.

53. Уфлянд Я.С. Интегральные преоразования в задачах теории упругости. Изд. "Наука", Ленингр. отд., Л., 1967, 402 с.

54. Alleyne D.N., Lowe M.J.S., Cawley P. The reflexions of giuded waves from circumferential notches in pipes //Trans. ASME. J. Appl. Mech.- 1998.- V. 65. т.- P. 635-637.

55. Albert A. Regression and the Moore-Penrose pseudoinverce.- New York: Academic Press, 1971.

56. Anand G.V., George M.K. Normal mode sound propagation in an ocean with random narrow-band surface waves //J. Acoust. Soc. Amer.- 1986.- V. 94, P. 279-292.

57. Anand G. V., George M.K. Normal mode sound propagation in an ocean with sinusoidal surface waves // J. Acoust. Soc. Amer.- 1986.- V. 80.- P. 238-243.

58. Arens T. A new integral equation formulation for the scattering of plane elastic waves by diffraction gratings // J. Int. Equ. Appl.- 1999.- V. 11.- P. 279-297.

59. Arens Т., Chandler-Wilde S.N., Meier A. Integral equation methods for scattering by one-dimensional rough surfaces // Proceedings of the fifth international conference of mathematical and numerical aspects of wave propagation, SIAM Philadelphia, 2000.

60. Arens T. The scattering of plane elastic waves by a one-dimensional periodic surface // Math. Meth. Appl. Sci., 1999 V. 22, P. 55 72.

61. Arens T. The scattering of elastic waves by rough surfaces. A thesis for the degree of Doctor of Philosophy. Dept. of Math. Sci., Brunei University, 2000.

62. Bishop G.C., Smith J. A scattering model for non-differentiable periodic surface roughness // J. Acoust. Soc Am.- 1995.- V. 91.- P. 744-770.

63. Bruno O.P., Reitich F. Calculation of electromagnetic scattring ia boundary variation and analytic continuation // App. Comput. Electromagn. Soc. J.-1996,- V. 11(1).- P. 17-31.

64. Bruno O.P., Reitich F. Numerical solution of diffraction problems: a method of variation of boundaries // J. Opt. Soc. Am. A.- 1993.- V. 10(6).- P. 1168-1175.

65. Bruno О.P., Reitich F. Numerical solution of diffraction problems: a method of variation of boundaries, ii. finitely conducting gratings, Pade approximants and singularities // J. Opt. Soc. Am. A.- 1993,- V. 10(11).- P. 2307-2316.

66. Bruno O.P., Reitich F. Numerical solution of diffraction problems: a method of variation of boundaries, iii. doubly periodic gratings. //J. Opt. Soc. Am. A.-1993,- V. 10(12).- P. 2551-2562.

67. Bruno O.P., Reitich F. Solution of a boundary value problem for the Helmholtz equation via variation of the boundary into the complex domain // Proc. Roy. Edinbourgh Sect. A.- 1992,- V. 122(3-4).- pp. 317-340.

68. Chandler-Wilde S.N., Ross C.R. Scattering by rough surfaces: the Dirichlet problem for the Helmholtz equation in a non-locally perturbed half-plan .// Mathematical methods in the applied sciences.- 1996.- V. 19., P. 959-976.

69. Chandler-Wilde S.N., Ross C.R., Zhang B. Scattering by infinite one-dimentional rough surfaces // Proc. R. Soc. Lon. A.- 1999 V. 455.- P. 36373787.

70. Chandler-Wilde S.N., Zhang B. A uniqueness result for scattering by infinite rough surfaces // SIAM J. Appl. Math.- 1998,- V. 58,- P. 1774-1790.

71. Colton D., Kress R. Inverce acoustic and electromagnetic scattering theory. -Springer, Berlin, 1992.

72. DeSanto J.A., Martin P.A. On the derivation of boundary integral equation for scattering by infinite one-dimentional rough surface // Journal of Acoustic Society of America.- 1997.- V. 102.- P. 67-77.

73. Fang Yingyuang. Series solution for scattering of plane SH-waves by multiple shallow circular arc canyons // Xingyong shuxue he lixue.= Appl. math, and mech.- 1995.- V. 16, №7.- P. 615-624.

74. Fawcett J.A. Reconstruction of batymetry shape from remote acoustic observation // Inverce problems.- 1990.- V. 6, P. 185-191.

75. Gilbert F., Knopoff L. Seismic scattering from topographic irregularities //J. Geophys. Res.- 1966.- V. 65, №10,- P. 3437-3444.

76. Gilbert R.P., Scotti Т., Wirgin A., Xu Y.S. The unindentified object problem in shallow ocean.// J. Acoust. Soc. Amer., 1997, V. 103. p. 1320-1327.

77. Glass N.E., London R., Maradudin A.A. Propagation of Rayleigh surface waves across random grating // Phys. Rev. В.- 1987.- II, V. 36, №15.- P. 7827-7839.

78. Greffet J.J. Scattering of electromagnetic by rough dielectric surfaces / / Phys. Rev. В.- 1988.- V. 37.- P. 6436-6441.

79. Greffet J. J., Baylard C., Versaevel P. Diffraction of electromagnetic waves by crossed gratings: a series solution // Opt. Lett.- 1992.- V. 17.- P. 1740-1742.

80. Greffet J. J., Maassarani Z. Comparison of perturbation theories for rough-surface scattering 11 Opt. Lett.- 1992,- v. 17.- P. 1740-1742.

81. Hahner P., Hsiao G. Uniqueness theorems in inverse obstacle scattering of elastic waves // Inverse problems.- 1993.- V. 9.- P. 525-535.

82. Harper E.Y., Labianca P.M. Perturbation theory for scattering of sound from a point source by a moving rough surface in the presence of refraction // J. Acoust. Soc. Amer.- 1975,- V. 57, P. 1044-1051

83. Harper E. Y., Labianca F.M. Perturbation theory for scattering of sound from a point source by a moving rough surface in the presence of refraction // J. Acoust. Soc. Amer.- 1975,- V. 58.- P. 349-364

84. Haseloh K.O. On the solvability of second kind integral equations on unbounded domains with an application to an acoustic waveguide problem. MSc dissertation, Brunei University, 1998.

85. Hudson J., Knopoff L. Statistical properties of Rayleigh waves due to scattering by topography // Bull. Seism. Soc. Amer.- 1967.- V. 57, №1.- P. 83-90.

86. Ingenito F.F. Scattering from an object in stratified medium //J. Acoust. Soc. Amer.- 1987.- V. 87,- P. 2051-2059.

87. Jackson D.R., Winebrenner D.P., Ishimaru A. Comparison of perturbation teories for rough-surface scattering // J. Acoust. Soc. Amer.- 1988.- V. 83.- P. 961-969.

88. Kaczkowski P. J., Thorsos E.I. Application of the operator expantion method to scattering from one dimentional moderately rough Dirichlet random surfaces //J. Acoust. Soc. Am.- 1994.- V. 96, №2.- P. 957-972.

89. Kazandjian L. Comparison of Rayleigh-Fourier and extinction theorem methods applied to scattering and transmission at a rough solid-solid interface //J. Acoust. Soc. Amer.- 1992,- V. 92,- P. 1679-1691.

90. Kosachev V.V., Shchegrov A.V. Dispersion and attenuation of surface acoustic waves of various polarization on a stress-free randomly rough surface of a solid // Annals of physics.- 1995.- V. 240, №2,- P. 225-265.

91. Kuperman W.A., Ingenito F.F. Attenuation of the coherent of sound propagating in shallow water with rough boundaries //J. Acoust. Soc. Amer.-1977.- V. 61.- P. 1178-1187.

92. Lakhtakia A., Varadan V.K., Varadan V.V., Wall D.J.N. The T-matrix approach for scattering by a traction-free periodic rough surface //J. Acoust. Soc. Amer.- 1984.- V. 76.- P. 1836-1846.

93. Liu Diankui, Xu Yiyan. Interaction of multiple semi-cylindrical canyons by plane in anisotropic media.// Lixue xuebao = Acta mech. sin. 1993.- V. 25, №1. P. 93-102.

94. Lopez C., Yndurain F.J., Garcia N. Iterative series for calculating the scattering of waves from hard corrugated surface. // Phys. Rev. В.- 1978.- v. 18,- P. 970972.

95. Luzon F., Sanchez F.J. et al. Diffraction of P, S, and Rayleigh waves by tree-dimensional topographies // Geophys. J. Int.- 1997.- V. 129 P. 571-578.

96. Macaskill С., Cao P. A new treatment for rough surface scattering // Proceedings of the Royal Society of London.- 1996.- V. 452.- P. 2593-2612.

97. Maradudin A.A. Iterative solutions for electromagnetic scattering by gratings //J. Opt. Soc. Am.- 1983.- V. 73.- P. 759-764.

98. Maradudin A.A., Milles D.L. The attenuation of Rayleigh surface wave by surface roughness // Annals of physics 1976.- V. 100.- P. 262-309.

99. Meier A., Arens Т., Chandler-Wilde S.N., Kirsch A. A Nystrom method for a class of integral equations on the real line with applications to scattering by diffraction gratings and rough surfaces //J. Int. Equ. Appl.- 2000.- V. 12, P. 281-321.

100. Milder D.M. An improved formalism for electromagnetic scattering from a perfectly conducting rough surface // Radio Science.- 1996.- V. 31, №6.- P. 759-768.

101. Milder D.M. An improved formalism for rough-surface scattering of acoustic and electromagnetic waves, in Proc. SPIE, 1558, pp. 213-221, 1991.

102. Milder D.M. An improved formalism for wave scattering from rough surfaces // J. Acoust. Soc. Am.- 1991.- V. 98, №2,- P. 529-541.

103. Milder D.M., Sharp H.T. Efficient computation of rough surface scattering. Mathematical and numerical aspects of wave propagation phenomena. // SIAM, Philadelphia, PA, 1991,- P. 314-322.

104. Natroshvili D., Kharibegashvili S., Tediashvili Z. Direct and inverse fluid-structure interaction problems. // Rendiconti di Matematica.- 2000.- Serie VII, vol. 20.- Roma.- P. 57-92.

105. Natroshvili D. Direct and inverse problems of fluid-structure interaction // International Congress of Mathematicians (ICM 1998).- August 18-27, 1998, Berlin.- Abstracts of Short Communications and Poster Sessions.- P. 241-242.

106. Natroshvili D., Tediashvili Z. Mixed type direct and inverse scattering problems // Operator Theory: Advances and Applications.- 2001.- V. 121.- P. 366-389. (In memory of Prof S.Prossdorf)

107. Natroshvili D., Karseladze G. Uniqueness results for fluid-solid interaction problems // Bulletin of the Georgian Academy of Sciences 2001 - V. 164, №3,- P. 454-457.

108. Nayfeh A. H., Asfar O.R. Parallel-plate waveguide with sinusoidally perturbed boundaries // J. Appl. Phys.- 1974,- V. 45.- P. 4797-4800.

109. Nicholls D. P., Reitich F. Shape Deformations in Rough Surface Scattering: Cancellations, Conditioning, and Convergence // Journal of the Optical Society of America, A.- 2004.- V. 21, Issue 4.- P. 590-605.

110. Nicholls D. P., Reitich F. Shape Deformations in Rough Surface Scattering: Improved Algorithms // Journal of the Optical Society of America, A.- 2004.-V. 21, Issue 4,- P. 606-621.

111. Potthast R. Frechet differentiability of the solution to the acoustic Neumann scattering problem with respect to the domain // Journal on Inverse and Ill-posed Problems.- 1996,- V.4, M.- P. 67 84

112. Potthast R. Frechet differentiability of boundary integral operators in inverse acoustic scattering // Inverse Problems.- 1994.- v. 10.- P. 431-447

113. Predoi Mihai V.; Livesu Silviu Complex wave numbers for elastic waves at plane surfaces // ICTAM 2000: 20th international congress of theoretical and applied mechanics.- Chicago, 2 sept., 2000.- Abstract book. Urbana-Champain (III). IUTAM., P. 164.

114. Lord Rayleigh. On dynamical theory of gratings. // Proc. Roy. Soc. London A.- 1907.- 79,- P 399-416.

115. Rice S.O. Reflections of electromagnetic fields from slightly rough surfaces. // Comm. Pure Appl. Math.- 1951,- V. 4,- P. 351-378.

116. Roberts R.A. Elastodynamic scattering by a surface-breaking void // J. Acoust. Soc. Amer.- 1989. V. 85, №2. - P. 561-566.

117. Roginsky J. Derivation of closed-form expression for the T matrices of Rayleygh-Rice and extinction-theorem perturbation theories. //J. Acoust. Soc. Am.- 1991,- v. 90.- P. 1130-1137.

118. Smith R.A. The operator expantion formalism for electromagnetic scattering from rough dielectric surfaces // Radio Science 1996.- V. 31, №6.- P. 1369-1376.

119. Tenenbaum R.A., Zindeluk M. A fast algorithm to solve the inverse scattering problem in layered media with arbitrary input // The Journal of the Acoustical Society of America.- December 1992. V. 92, Issue 6.- P. 3371-3378

120. Tezuka K., Cheng C.H., Tang X.M. Modeling of low-frequency Stonely-wave propagation in irregular borehole. // Geophysics.- 1997 V. 62, №4,- P. 10471058.

121. Uretsky J.L. The scattering of plane waves from electromagnetic surfaces // Ann. Phys.- 1965.- V. 33,- P. 400-427.

122. Wait J.R. Perturbation analysis for reflection from two-dimentional periodic sea-waves // Radio. Sci.- 1971.- V. 6, P. 387-391.

123. Warnick K.F., Weng Cho Chew Numerical sumulation methods for rough surface scattering // Waves Random Media.- 2001,- V. 11, №1, R1-R30.

124. Wetton B.T.R., Fawcett J.A. Scattering from small tree-dimentional irregularities in ocean floor //J. Acoust. Soc. Amer 1989.- V. 85.- P. 14821488.

125. Xiaoming Yuan, Zhen-Pen Liao. Scattering of plane SH-waves by cylindrical boundaries of circular-arc cross-section on free surface // 19th Int. Congr. Theor. & appl. mech.- Kyoto.- Aug. 25-31, 1996,- Abstr.- P. 802.