Распространение упругих волн в составных волноводах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

г*о

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

НИКИТИН ЮРИЙ ГЕННАДИЕВИЧ

УДК 539.3

РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН В СОСТАВНЫХ ВОЛНОВОДАХ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Краснодар - 1996

Работа выполнена в Кубанском государственном университете

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор Глушков Е.В.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор Ватульян А.О. - кандидат физико-математических наук, доцент Стоян В.П.

Ведущая организация - Кубанский государственный

технологический университет

Защита состоится "_ (X п SA Я. 1996г. в /У часов

на заседании Специализированного Совета К 063.73.02 в Кубанском государственном университете по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская 149, КубГУ, ауд. «2 3 1

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Кубанского госуниверситета

Автореферат разослан " ¡2. " ¿¿¿¿^■»»»•>¿2- 1996г.

Ученый секретарь Специализированного Совета /J /7 /7 ^^

доцент, кандидат физ.-мат. наук Евдокимов A.A.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В дефектоскопии, неразрушающем контроле, акустоэлектронике, акустике твердых тел важное место занимает задача о распространении упругих волн в волноводах. В то же время на практике волноводы редко бывают регулярными. В частности, в приложениях постоянно возникает задача о прохождении энергии через границу раздела сред в волноводе, особенно при наличии дефектов на этой границе, таких, как трещины или неравенство толщины волновода по разные стороны границы раздела.

Распространение установившихся колебаний в регулярных упругих волноводах в настоящее время изучено достаточно хорошо. Изложение математической теории волноведущих систем можно найти в работах И.И.Воровича, В.А.Бабешко, В.Т.Гринченко, В.В.Мелешко, Ю.А.Устинова, А.С.Зильберглейта, Ю.И.Копилевича, Л.М.Бреховских и др. Основным методом их изучения является метод однородных решений, заключающийся в представлении волнового поля в виде разложения по нормальным волнам (однородным решениям), зависимость которых от времени и продольной координаты выражается множителем охр[-¿(он - кх)]. Применяется также метод суперпозиции.

В то же время изучение волноводов с вертикальными границами раздела начато сравнительно недавно. Задача о распространении энергии н системе состыкопанных упругих полуполос с разными свойствами рассматривалась в работах В.Т.Гринченко. Н.С.Городецкой. И.П.Гетмана, О.Н.Лисицкого. Большое значение для развития методов решена. I этой задачи имели полученные Б.М.Нуллером и А.С.Зильберглейтом соотношения обобщенной

)ртогональности однородных решений. Метод на основе использования этих соотношений был реализован в работах И.П.Гетмана и О.НЛисицкого.

Решение задачи о вертикальной границе раздела в волноводе осложняется тем, что при определенных сочетаниях свойств материалов, либо при наличии дефектов, возникают особенности напряжений в угловых точках смены типа граничных условий, а ряды, представляющие напряжения, расходятся в конечных интервалах на границе раздела. В работе С.П.Пельца и В.М.Шихмана было предложено рассматривать обобщенные суммы расходящихся рядов; этот подход позволил получить в ней регулярное решение задачи для изолированной полуполосы с заданными на торцах перемещениями, дающее особенность только в угловых точках. В работах Г.С.Буланова и В.А.Шалдырвана к различным задачам была применена методика ускорения сходимости приближенных решений, предложенная в монографии В.Т.Гринченко.

Однако в задаче о стыке упругих полуполос особенности напряжений ранее не учитывались. Вместе с тем, как отмечалось, рядом авторов, решение этой задачи без их учета не может считаться корректным.

Задача о распространении упругих волн в волноводах с неровной границей ввиду своей сложности в настоящее время рассмотрена недостаточно. Различными авторами преимущественно рассматриваются периодически расположенные выступы малой высоты. В работах С.В.Бирюкова, Ю.В.Гуляева, В.П.Плесского, Ю.А.Тен, В.В.Крылова, Ш.Элаши, В.А.АиЫ, J.J.Gagnepain, М.Тап, ,Т.2.\УПсох, ТЛЛЛШсох, К.Н.Уеп, ЕЛЭагйсМ, А.Воз1тоет и др. рассматривается распространение сдвиговых (ЭН) и Рэлеевских

золн в полупространстве с выступами. В работах Б.А.Касаткина, И.П.Гетмана и др. предлагались способы решения задач для волноводов со ступенчатым стыком, стыком с неровной границей раздела и другими сходными дефектами, обобщающие метод, основанный на использовании соотношений обобщенной ортогональности. Однако численного исследования для этих задач не проводилось. Кроме того, предлагавшиеся методы не учитывают особенностей напряжений в угловых точках. Нерегулярные электромагнитные волноводы рассмотрены в работах Б.З.Канцеленбаума, ЛЛевина и др.

В настоящее время имеется множество работ, посвященных дифракции упругих волн на трещинах, полостях и включениях различной формы, однако в большинстве своем они относятся к безграничному пространству или полупространству. В монографии Г.Я.Попова приводится способ применения преобразавания Фурье к решению задач о трещинах и жестких линейных включениях, который может быть использован при рассмотрении волноведущих систем. Ю.А.Устиновым и М.Б.Дьяконовым рассмотрено распространение БН-волн в полуполосе с поверхностными разрезами.

Тема диссертации входит в научно-техническую программу Государственного Комитета по науке и технике "Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемых сред и конструкций".

Целью настоящей работы является теоретическое и численное исследование плоских составных упругих волноводов с уступом или трещиной на границе раздела сред, развитие и усовершенствование методов решения соответствующих краевых задач, изучение структуры потока энергии в изучаемых системах и его зависимости

от частоты колебаний и геометрических свойств. Особое внимание было уделено учету особенностей напряжений в угловых точках и, на его основе, повышению эффективности приближенных методов.

Научная новизна заключается:

- в разработке методов учета особенностей напряжений в задачах о составном волноводе, повышающих точность приближенных решений;

- в получении частотных зависимостей коэффициентов отражения и прохождения энергии для волноводов с дефектами на вертикальной границе раздела;

- в исследовании линий тока энергии в ближней зоне границы раздела составных волноводов при различных частота^ и геометрии стыка;

- в анализе блокирующих свойств энергетических вихрей и их роли в процессе отражения и прохождения энергии..

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием физически обоснованных математических моделей; применением к решению задач точных аналитических методов; контролем точности выполнения граничных условий; проверкой выполнения баланса энергии; совпадением полученных результатов с результатами других авторов для частных случаев.

Практическая ценность результатов работы. Полученные теоретические результаты могут быть применены в акустоэлектронике, дефектоскопии, неразрушающем контроле. Волноводы с вертикальными границами раздела используются в различных устройствах акустоэлектроники, в электромеханических преобразователях энергии и т.п. Изучение прохождения энергии через границу раздела с дефектами важно для разработки методов их обнаружения.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на

- IV Всесоюзной конференции 1 "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Одесса, 1989 г.)

- III региональной конференции "Динамические задачи механики сплошной среды, теоретические" и прикладные вопросы бибрационного просвечивания земли" (Геленджик, 1990 г.)

- IV региональной конференции "Динамические задачи механики сплошной среды, теоретические и прикладные вопросы вибрационного просвечивания земли" (Краснодар, 1992 г.)

- семинаре кафедры теории упругости РГУ (1995 г.)

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 работ.

Объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения, изложенных на 62 страницах машинописного текста, из которых 9 рисунков на 12 страницах и список литературы на 9 страницах ( 87 наименований).

На защиту выносятся:

- модификация метода решения смешанных задач для упругих волноводов с вертикальными границами раздела (в том числе с уступом или вертикальной трещиной), учитывающая особенности напряжений в угловых точках смены tona граничных условий;

- исследование закономерностей отражения и прохождения энергии в волноводах с дефектами на вертикальных границах раздела;

- анализ структуры линий тока энергии з волноводах с вертикальными границами раздела и роли энергетических вихрей в процессе распространения энергии.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дан краткий обзор современного состояния проблемы, сформулирована цель работы, кратко изложено ее содержание.

В первой главе, имеющей вводный характер, приводится постановка задач и решение вспомогательной задачи для изолированных полуполос. Рассматривается составной упругий волновод, состоящий из двух состыкованных полуполос ~«о < х < 0, О <-г < Л5 (1-я среда) и 0<лг<«, 0 < г < Л2 (2-я среда) с разными упругими свойствами: при х < 0 среда имеет плотность рх, коэффициенты Ламе Ли р, и коэффициент Пуассона V,, при х > О - р.,, Я2, 1'2. Рассматриваются три варианта стыка:

а) стык полуполос равной толщины Л = Л. - Л.; на границе раздела х - О, 0 < г < Л заданы условия склейки;

б) то же, но на границе раздела имеется трещина нулевой толщины Ьх < г < Ы со свободными поверхностями;

в) на стыке имеется уступ, т.е. для определенности Л. > Л,.

Источником колебаний являются набегающие волны йае '"и1, приходящие либо от поверхностной нагрузки д(х) е~'"", приложенной к поверхности г = Л;* левой полуполосы в области О, либо из бесконечности. Рассматривается два варианта граничных условий на поверхностях составной полосы: волновод свободен от напряжений, либо лежит на абсолютно жестком основании.

Двумерные задачи теории упругости, т.е. задачи, в которых компоненты вектора перемещений и - (и, г, н-> и тензора напряжений не зависят от одной из координат (в рассматриваемом случае от у)..

разделяются на две независимых: задачу относительно и, и', называемую плоской, и задачу относительно V, называемую антиплоской. Рассматриваются установившиеся гармонические колебания, поэтому множитель е~'°" всюду опущен.

Для решения поставленных задач необходимо вначале получить решение для изолированных полуполос с заданными граничными условиями на торце. Рассмотрено два подхода к получению решения вспомогательной задачи: применение преобразования Фурье или соотношений обобщенной ортогональности однородных решений.

Применение преобразования Фурье по продольной координате приводит к появлению неизвестных скачков перемещений и напряжений на торце, которые должны быть заданы в качестве граничных условий. Получается краевая задача для обыкновенного дефференциального уравнения; обращение преобразования Фурье производится по теории вычетов с использованием принципа предельного поглощения. Этот подход применен к получению решения вспомогательной задачи об антиплоских колебаниях изолированной полуполосы.

С помощью соотношений обобщенной ортогональности и метода,

; предложенного Б.М.Нуллером и А.С.Зильберглейтом, легко

)' -

Получается решение вспомогательной плоской задачи для граничных условий специального вида. А именно, когда на торце полуполосы известна 1 -я компонента перемещений и 2-я компонента напряжений, либо 2-я компонента перемещений и 1-я компонента напряжений, решение определяется точно - по формулам

й1 (Л-, г) = ]Г З^гУ^с'\ (1)

т=1

где

3=1,2 -номер среды,

б) + и0 перемещение в 1-ой среде,

й2 -перемещение во 2-ой среде,

й0 -поле перемещений падающей волны, щ -отраженное поле,

"уЛ7

где

ь

= \fgdz,

о

у(!>, -заданные на торцах граничные условия (1-1?. -номер компоненты вектора),

а ^, Ь}т -функции, выражающиеся через компоненты

матрицы Грина; либо, если заданы другие компоненты граничных условий,

В результате для плоской и антиплоской задач получены решения для изолированных полуполос, имеющие вид разложений по нормальным модам. Коэффициенты' разложений выражаются через перемещения и напряжения на торце полуполосы.

Во второй главе рассматриваются методы решения поставленных задач. Из полученных в, первой главе решений вспомогательных задач с помощью условий на границе раздела сред

выводятся интегральные уравнения, сводимые затем к бесконечным алгебраическим системам.

На примере антиплоской задачи показано применение метода коллокаций к решению задач о дефектах на границе раздела, решена задача о трещине на границе раздела состыкованных полуполос с разными свойствами. Для плоской задачи о стыке упругих полуполос равной толщины приводится обобщение метода, основанного на использовании соотношений обобщенной ортогональности. Выводятся интегральные уравнения и бесконечные системы для стыка полуполос разной толщины. Интегральные уравнения получаются приравниванием в соотношениях (2) и

(3); дальнейшая подстановка разложений неизвестных функций по нормальным модам дает бесконечные системы алгебраических линейных уравнений относительно tjmi

со ае оо

( lLSЬr>tlm^Ьjn)J -(Е^лАл'^щЬ + = (4)

/77 = 1 т=1 ТП~\

¡1, /' = 2,

О

(Иь = /[/'V1' + {Г, Юг = )\гтет +/<2У2,№.

о

Для равных по толщине полуполос задача равбивается на две независимые для каждой среды.

Основное внимание во второй главе уделяется учету особенностей напряжений в угловых точках границы раздела. Рассмотрено два метода их учета.

Звание асимптотического поведения напряжений в окрестности угловых точек дает возможность получить асимптотику неизвестных коэффициентов системы. Для этого используются интегральные представления'' неизвестных через напряжения на границе раздела, приведенные в первой главе. С использованием найденной асимптотики производится редукция системы в антиплоской задаче о трещине на границе раздела.

Далее рассматривается ! другой подход к учету структуры напряженки в окрестностях угловых точек - сведение интегральных уравнений к бесконечным системам с использованием разложений неизвестных напряжений в ряд по базисным функциям, учитывающим особенности в угловых точках. Используются полиномы Якоби, ортогональные, с весовыми функциями, имеющими подходящие особенности и равные нулю на свободной поверхности уступа. Переразложение неизвестных напряжений по новому оазису приводит к удвоению числа неизвестных констант в алгебраических системах. Соответственно, необходимо увеличить и число уравнений. Бесконечные системы получены путем подстановки в соотношения (2), (3) разложений неизвестных I функций. Этот метод позволяет существенно повысить точность-приближенных решений при наличии осЬбенностей напряжений. Особенно важное значение приобретает учеу структуры напряжений при рассмотрении дефектов на границе раздела. Так, в задаче о стыке полуполос разной толщины без учета особенностей напряжений необходимую точность получить не удалось.

Все разрабатываемые во второй главе методы дают приближенные решения, удовлетворяющие граничным условиям на

I

границе раздела в среднеквадратичном смысле, что достаточно для изучения распространения энергии в волноводе.

Третья глава посвящена применению развитых во второй главе методов к численному исследованию поставленных задач. Изучается зависимость коэффициентов отражения и прохождения энергии через границу раздела от частоты колебаний. Для стыка полуполос равной толщины получено хорошее совпадение с существующими результатами. Так, на рис. 1 показано сравнение

Ео 0,75

0,5 0,25

Рчс. I

найденных для стыка полуполос рапной толщины коэффициентов прохождения энергии ( кривые 1. Л ) первой симметричной нормальной волны с полученными В.Т.Грипченко и Н.С.Городепкой (кривые 2, 4). В случае, соответствующем кривым 1, 2 напряжении

не имеют особенностей, в случае 3, 4 имеется особенность с показателем -0,0187. i

При расчетах для получения хорошего выполнения граничных условий на стыке в случае полуполос равной толщины оказалось достаточным учесть две пары неоднородных волн. Для исследования потока энергии учитывать неоднородные волны,'; вообще необязательно: даже при полном их неучете значение коэффициен-

Рис. 2а

та отражения в рассмотренных случаях практически не менялось. Учет особенностей напряжений в случае равной толщины полуполос лишь улучшает выполнение граничных условий, не влияя на величину потока энергии.

Проводится исследование частотных зависимостей коэффициен-

тов отражения и прохождения энергии для стыка с уступом, для различных сочетаний толщин полуполос. Здесь учет неоднородных волн и особенностей напряжений имеет решающее значение.

Приводятся также численные результаты для антиплоской задачи о стыке с трещиной на границе раздела.

Далее исследуются линии тока энергии в составном волноводе, как для полуполос равной толщины, так и для уступа. Такие иссле-

Рис. 26

дования для составных волноводов ранее не проводились. Рассмотрение линий тока энергии позволяет глубже понять механизм отражения энергии на границе раздела. На частотах, близких к частотам запирания составного волновода, появляются вихри энергии, перегораживающие волновод, и они тем больше, чем

больше коэффициент отражения. Это иллюстрирует рис. 2, показывающий линии тока энергии в системе, соответствующей кривой 1 рис. 1 для разных частот, при наличии на границе раздела ступени высотой ОДЛ,. Рис. 2а соответствует безразмерной частоте ш=5,0 («А/^=2,03) для которой отражение незначительно, рис. 26 - частоте «=5,1 (шЛ/ ^,=2,07), на которой коэффициент отражения начинает расти, и рис. 2в - частоте «=5,7 (сиЛ/^ =2,31), вблизи ко-

Рис. 2в

торой он имеет максимум.

В заключении сделаны следующие выводы по результатам проведенных исследований:

1. Дано обобщение методов решения задач о составном волноводе на случай стыка с дефектами.

2. Разработаны методы учета особенностей напряжений, повышаю-

щие точность приближенных методов. Учет асимптотического поведения напряжений в окрестностях угловых точек или дефектов произведен двумя способами: путем использования асимптотик неизвестных при редукции бесконечных систем и путем переразложения неизвестных напряжений по базису, учитывающему особенности. Эти методы применены к антиплоской задаче о трещине на границе раздела полуполос и к плоской задаче о стыке полуполос разной толщины.

3. Получены частотные зависимости коэффициентов отражения и прохождения энергии для стыков с дефектами. Показано, что влияние неравенства толщин состыкованных полуполос для исследованных сочетаний сред значительно лишь в области частот, где граница раздела становится эффективно отражающей (исследования проведены для небольших высот уступа на стыке).

4. Исследованы линии тока энергии в ближней зоне границы раздела составных волноводов при различных частотах и геометрии стыка.

5. Показано, что в случаях, когда коэффициент отражения велик, вблизи границы раздела сред возникают энергетические вихри, перегораживающие волновод и препятствующие прохождению энергии.

Основные результаты работы содержатся в следующих

публикациях:

1. Глушков Е.В. и др. Распределение энергии поверхностного виброисточника в составной акустической полосе /Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Никитин Ю.Г. Кубан. гос. ун-т. - Краснодар, 1989. Деп. в ВИНИТИ 6.06.89| Н367Й~В89

2. Никитин Ю.Г. Фурманюк О.С. .Расчет энергетических харак-

теристик составных волноводов. //Смеш. задачи мех. деформируем. тела: 4 Всес. конф., 26-29 сент., 1989: Тез. докл. 4.2. -Одесса, 1989,- с.36.

3. Никитин Ю.Г. Упругие БН-волны в системе двух состыкованных полуполос с трещиной на границе раздела. Материалы докладов III региональной конференции "Динамические задачи механики сплошной среды, теоретические и прикладные вопросы вибрационного просвечивания земли". Геленджик, 1990.

4. Никитин Ю.Г. Распространение энергии в системе состыкованных упругих полуполос. Материалы докладов VI региональной конференции "Динамические задачи механики сплошной среды, теоретические и прикладные вопросы вибрационного просвечивания земли". Краснодар, 1992.

5. Никитин Ю.Г. Распространение упругих волн в составной полосе. //Вопросы прикладной математики и механики: Сб. науч. трудов. Вып. 1. Краснодар, 1994.-С.74-79.

6. Никитин Ю.Г. Выделение особенностей напряжений в задаче о состыкованных упругих полуполосах / Никитин Ю.Г. Кубан. ун-т. - Краснодар, 1994.. Деп. в ВИНИТИ 8.08.94, N2059-694

7. Никитин Ю.Г. Энергетические вихри в плоских упругих волноводах с вертикальной границей раздела/ Никитин Ю.Г. Кубан. ун-т. - Краснодар, 1995. Деп. в ВИНИТИ 30.06.95, М1934-В95.

8. Никитин Ю.Г. Распространение энергии в системе состыкованных упругих полуполос разной толщины. //Прикл. математика и механика,-1996. (Принято к печати).