Задачи сопряжения для уравнений плоской теории упругости в слоистых областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи Стехина Кристина Николаевна

Задачи сопряжения для уравнений плоской теории упругости в слоистых областях

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2009

003483297

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Казанский государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина"

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Пензенский государственный'

Защита состоится 29 октября 2009 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г.Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан 2{ сентября 2009 г.

доцент

Тумаков Дмитрий Николаевич

профессор

Даутов Рафаил Замилович

кандидат физико-математических наук, доцент

Плещинская Ирина Евгеньевна

университет

Ученый секретарь диссертационного совета канд. физ.-мат. наук, доцент

Общая характеристика работы

В диссертации исследованы граничные задачи и задачи сопряжения для систем уравнений плоской теории упругости, которые используются при описании процессов распространения и дифракции упругих волн в волноводных структурах.

Цель работы

Целью настоящей работы является исследование множества собственных волн упругой полосы и полуоткрытого упругого волновода и разработка методов решения задач дифракции на неоднородностях в упругих волноводных структурах.

Актуальность темы

К задачам сопряжения для уравнений Ламе и системы уравнений плоской динамической теории упругости приводится широкий класс задач теории распространения и дифракции упругих волн. Можно выделить как наиболее важные два направления - сейсмологию и акустоэлектронику. Исследованию граничных задач для уравнений с частными производными, описывающих процессы, протекающие в различных волноводных структурах, посвящено много публикаций. Существенно, что различные по физической природе волновые процессы описываются близкими уравнениями, а иногда даже одними и теми же.

Методы исследования

В диссертации основным методом исследования граничных задач и задач сопряжения для уравнений с частными производными яв-

з

ляется спектральный метод. Частные решения задам на собственные значения в слоистых средах построены методом разделения переменных. Для поиска корней характеристических уравнений использованы итерационный метод Ньютона и метод, основанный на теореме Коши о логарифмических вычетах. При исследовании задач дифракции упругих волн использован метод частичных областей. В численных алгоритмах решения задач дифракции использован метод усечения бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ).

Научная новизна

Подробно исследованы корни характеристических уравнений. Доказана полнота системы собственных волн плоского упругого волновода с фиксированными границами. Задачи дифракции в плоском упругом волноводе сведены к БСЛАУ. Исследованы волновые процессы в полуоткрытых волноводах, имеющих не только дискретный, но и непрерывный спектр.

Достоверность результатов работы

Все утверждения диссертации получены строгими математическими методами, для контроля рассмотрены некоторые частные случаи, в которых решения задач найдены численно с помощью простых алгоритмов.

Практическое значение

Результаты диссертации имеют в основном теоретический характер. В то же время разработанные методы и алгоритмы решения исследованных в работе граничных задач могут быть использованы на практике при расчете полей в различных волноводных структурах.

В частности, результаты, полученные для плоских и полуоткрытых упругих волноводов, могут быть применены при решении задач сей-смики и акустики.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на Международном семинаре "Супервычисления и математическое моделирование" (Са-ров, 3-7 октября 2006 г.). на Пятой молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2006" (Казань, 16-18 декабря 2006 г.), на Шестой молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2007" (Казань, 16-19 декабря 2007 г.), at the 12th International Conferences on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET) (Ode.sa, Ukraine June 29 - Jule 2, 2008), на Итоговых научных конференциях КГУ, на семинарах кафедры прикладной математики и отдела прикладной математической физики НИИММ им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 8 работ, в том числе одна статья в издании из списка ВАК.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, десяти параграфов, объединенных в две главы, и списка использованных источников. Общий объем работы - 117 страниц. В списке литературы 89 наименований.

Автор выражает благодарность научному руководителю кандидату физ.-мат. наук, доценту Д.Н. Тумакову за постановку задач и помощь при проведении исследований, а также доктору физ.-мат. наук,

заведующему отделом ПМФ, профессору Н.Б. Плещинскому за постоянное внимание к работе.

Краткое содержание работы

Во введении дан обзор литературы по теме диссертации, изложено краткое содержание работы, а также сформулированы основные результаты, выносимые на защиту.

В первой главе исследованы задачи о собственных волнах упругих волноводных структур. Рассмотрены две волноводные структуры - плоский и полуоткрытый упругие волноводы.

Первый параграф является вспомогательным и имеет, в основном, реферативный характер. Здесь сформулированы основные уравнения плоской динамической теории упругости, уравнения движения, закон Гука и следующая из них система уравнений Ламе. Вводятся понятия продольной и поперечной упругих волн. Приведены некоторые варианты возможных граничных условий. Сформулированы условия сопряжения для случая слоистых сред. Приведены формулы для вычисления плотности энергии и плотности потока энергии плоской упругой волны. Рассмотрен один из методов поиска элементарных собственных волн уравнения Гельмгольца в полосе. Даны определения положительно и отрицательно ориентированных волн.

Во втором параграфе рассмотрен плоский упругий волновод. Собственные волны (моды) плоского волновода представляют собой ненулевые решения системы уравнений Ламе

+ ри?иу = О,

удовлетворяющие граничным условиям на его стенках; для волновода с жестко закрепленными границами

Выведены характеристические уравнения для плоского волновода с различными вариантами условий на границах, в частности для волновода с жестко закрепленными границами

Установлено, что такая волноводная структура имеет дискретный набор собственных волн. Методом разделения переменных найдены моды плоского упругого волновода, их перемещения имеют вид

где А, В, С, И - произвольные постоянные (три из них определяются из граничных условий).

В третьем параграфе описаны методы вычисления корней характеристических уравнений: итерационный метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений и метод, основанный на теореме

их(х, 0) = 0, иу(х, 0) = 0, их(х, К) = 0, иу(х, Н) = 0.

(2) (3)

(а4 + 712(а)7?(а))(1 - -

+2а271(а)72(<*)(1 + е2^1(°))(1 +

-8а271(а)72(а)е^1Ы+72(«)) = 0>

1'де т3(а) = — а2, к^ - волновые числа.

их(у) = -аА ег~>1У + аВ + у2С е™ + у2В иу(у) = е^У + В е-'™ + аС е*»» - е-*™,

Коши о логарифмических вычетах. Проведен анализ найденных корней характеристического уравнения для плоского волновода с фиксированными границами. Установлено, что эти корни образуют бесконечное счетное множество. При малых частотах корни в каждом квадранте расположены по ветви, подобной параболе. При больших частотах тенденция поведения корней такова, что вблизи начала координат возникают некоторые возмущения. Старшие корни образуют "завитки" с возвратом на мнимую ось, и. начиная с некоторого номера те, располагаются по ветви, подобно параболе. Найдены частоты, при которых возникают вещественные моды.

В четвертом параграфе рассмотрен вопрос об ортогональности волноводных мод плоского упругого волновода.

Система уравнений плоской динамической теории упругости, с учетом гармонической зависимости от времени, а также выбранной зависимости от продольной координаты е~гах, преобразуется к виду

—га ах(а) + т'(а) + ри? их{а) = О, —га т(а) + &'у{а) + ри>2 иу(а) = О, ах(а) + га (А + 2ц)их{а) - Аи'у(а) = 0, (4)

с7у(а) + га Аих{а) — (А + 21л)и'у{а) — О, т(а) — ци'х(а) + га ¡1 иу{а) — 0.

Получены аналоги тождества Лагранжа и формулы Грина.

Лемма 4.1. Для функций их{у), иу{у), сгх(у), ау(у) и т(у), являющихся решением системы уравнений (4), справедливо тождество

т(а)и*х{(5) - их(а)т*(Р) + су{а)и*у{(5) - и»^/?)]'--(/?* - а) г' [их(а)а*М - ах(а)и*х((3)+ +иу(а)т*(Р) - т(а)и*(/3)] = 0.

Лемма 4.2. Для функций их(у), иу(у), сгх{у), &у(у) м т{у)) являющихся решением системы уравнений (4), удовлетворяющих гранич-

ным условиям (2), (3), справедлива формула h

J[их{а)а*х{(3) - ах(а)и*х((3) + иу(а)т*(0) - r(a)U;(/3)] dy =

о

-—pi ИаК(£) - иЛаУ(Р) + <Гу(а)иЦ(3) - иу(а)ау

(5)

Введено скалярное произведение мод плоского упругого волновода

h

< w(a), w{P) >= J \ux{a)a*xU3) - ax{a)u*x{0)+

o

+иу{а)т*(р) - r(a)uJ(/3)] dy,

здесь w(a) = (ux(a), uy(a), <rx(a), <7y(a), т(а)). При этом произведение волноводной моды на саму себя пропорционально потоку энергии, которую мода переносит через поперечное сечение волновода. Доказана

Теорема 4.1. Собственные волны, плоского упругого волновода образуют, ортогональную сист.ему волн относительно скалярного произведения (5).

В пятом параграфе доказано, что моды плоского упругого волновода с фиксированными границами образуют полную систему функций - в том смысле, что любая волна в волноводе мол<ет быть представлена линейной комбинацией собственных волн. Основным результатом параграфа является утверждение:

Теорема 5.1. Любое решение (волну) их(х,у), иу(х,у) систем,ы уравнений Ламе (1), удовлетворяющее граничным условиям, (2), (3), можно представить в виде линейной комбинации собственных функций (собственных волн) задачи (1), (2), (3), то есть

+оо +00

и*(х>y) = Ylc:уиу(х>y) = ^2CJу)

3=1 3=1

(

где & - произвольные постоянные.

В шестом параграфе рассмотрен полуоткрытый бесконечный упругий волновод. Исследована задача на собственные значения: найти значения параметра а, при которых система уравнений (1) имеет ненулевые решения, удовлетворяющие условиям сопряжения

их(х,к + 0) = их(х,к-0), иу{х, к + 0) = иу(х, к - 0),

(6)

ау{х, к + 0) = <ту(х, к — 0), т(х, к + 0) = т(х, к — 0), граничным условиям

их(х, 0) = 0, иу{х, 0) = 0 (7)

и условиям на бесконечности (при у —> +оо все компоненты решения системы уравнений (1) должны быть ограничены).

Доказана теорема о структуре спектра полуоткрытого волновода.

Теорема 6.1. Движущиеся вправо собственные волны полуоткрытого упругого волновода существуют при значениях параметра а, принадлежащих отрицательной полуоси мнимой оси, интервалам {—к\ 1,0), {—к\2, — (непрерывный, спектр) и конечном числе значений а. из интервала (—&22, —&12) (дискретный спектр). Здесь % - волновые числа, г = 1,2 — номер среды, ] = 1,2.

Найдены все моды указанной волноводной структуры, относящиеся как к дискретному, так и к непрерывному спектру. Суперпозиция всех мод представлена в виде суммы интегралов по сложному контуру на комплексной плоскости и конечной суммы мод, соответствующих дискретному спектру. Для перемещений

и.

(х,у) = ! \В2{а)йх{у\а) + В2{а)йх{у,а)} е~1аЧа+ 1

-*11 N

/ В2(а)йх(у; а)е~{ахйос + ^ В1 пихп(у\ап)е~^х,

■/ п=1

+

c,y) = J \В2(а)йу{у,а) +D2{a)ûy{y,a)}e iaxda+

-ianx

~кгп N

■ + / В2{а)йу{у\0!)е~гахв,а1 + В2пиуп(у, ап)е~

/ п=1

здесь В2{а), 02{а) - произвольные функции. В2п - произвольная постоянная. Знаком ~1 ("клюшка") обозначен сложный контур на комплексной плоскости, состоящий из мнимой отрицательной полуоси и интервала (~кп, 0).

На основе аналога формулы Грина

+00

ux(a)a*x(ß) - ax(a)ul(ß) + uy(a)T*(ß) - r(a)u*Jß)

dy =

r(a)u*x(ß) - ux(oi)T*{ß) + ay(a)u*y(ß) - uy(a)a*y(ß) — ])m г-~-z-i-

Л—»+oo а — p*

(лемма 6.1) введено скалярное произведение мод полуоткрытого упругого волновода

+ 00 |-

< w{a), w{ß) >= f ux{a)a*x{ß) - ax(a)vTx{ß)+

° L (8) uy{a)T\ß) - т(а)и*уЩ dy.

Доказана

Теорема 6.2. Собственные волны полуоткрытого упругого образуют ортогональную систему волн относительно скалярного произведения (8).

Пусть любая волна в рассматриваемой волноводной структуре представляет собой наложение мод (разлагается по собственным волнам)

:,у) = J [C{a)w(y; а) + А{а)и){у; а)] e~iaxda+

w х,

N

+ / C(a)w(y]a)e-iaxda + ^2Cnwn(y-an)e~ia^,

7 n=i

~Ч2

где Л(а), С(а) - произвольные функции, Сп - произвольная постоянная.

Во второй главе исследованы двумерные задачи дифракции упругой гармонической волны на неоднородностях в закрытых и полуоткрытых упругих волноводах. Разработаны методы решения этих задач.

В седьмом параграфе исследована задача о возбуждении плоского упругого волновода: найти положительно ориентированное поле в волноводе по заданному его значению (следу) на сечении волновода.

Показано, что ее решение эквивалентно решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения потенциальной функции по собственным волнам. Приближенное решение последней найдено методом Гаусса.

В восьмом параграфе рассмотрена задача дифракции упругой волны на стыке двух плоских упругих полубесконечных волноводов: найти решение системы уравнений Ламе (1), удовлетворяющее граничным условиям на стенках волновода (2), (3), условиям сопряжения на стыке

их(О - 0, у) = ux(0 + 0, у), иу(0 - 0, у) = иу(О + 0, у), - 0,у) = <та(0 + 0, у), т(0 - 0, у) = т(0 + 0, у),

и условию излучения. Обозначим через \v°(x, у) потенциальную вектор-функцию набегающей волны, w+(x, у), v/~(x, у) - потенциальные вектор-функции преломленного [х > 0) и отраженного (х < 0) поля, где w(х,у) = {их(х,у), иу(х,у), ах(х,у), <ту(х,у), т{х,у)},

Доказана

Теорема 8.1. Задача дифракции упругой волны на вертикальной границе раздела сред в плоском упругом волноводе эквивалентна

БСЛАУ

ОО 00

УУ+ у < ™№>У)> ™т(х>У) >< ™т(Х>У)> (ж, у) > 1к,+(аг, у) II =< у), wí+(я) у) > -

ул < \г°(ж,у), У?т{х,у) >

к К;(*,у)|| ' '

Предложен численный алгоритм решения усеченной системы уравнений, приведены результаты расчета для одного из вариантов сопряжения волноводов.

В девятом параграфе рассмотрена задача дифракции упругой волны на дефекте в плоском волноводе (на вертикальной границе раздела сред с тонким абсолютно жестким включением). Найти решение системы уравнений Ламе (1), при х > О, 0 < у < к и при х < О, О < у < /г в классе уходящих на бесконечность решений, удовлетворяющих граничным условиям на стенках волновода (2), (3) и смешанным условиям сопряжения, на жестком включении

г1*(0-0,у) = 0, иу(0 — 0, у) = О, их(0 + 0,у) = 0, 7^(0 + 0, у) = 0, уеМ,

и вне него

их{0 - 0, у) = щ{0 + 0, у), иу{Ъ - 0, у) = «¡,(0 + 0, у), ах(0-0,у) = ах(0 + 0,у), т(0 - 0, у) = т(0 + 0, у), у е N.

Основным результатом параграфа является

Теорема 9.1. Задача дифракции упругой волны на вертикальной перегородке в плоском упругом волноводе эквивалентна БСЛАУ относительно коэффициентов разложения потенциальной функции по собственным волнам.

Приведены описание численного алгоритма решения усеченной системы линейных алгебраических уравнений и результаты вычислительного эксперимента.

В десятом параграфе дана постановка задачи дифракции упругой волны на стыке полуоткрытых полубесконечных волноводов: в областях Бх, В^, найти решение системы уравнений Ламе (1) с кусочно постоянными коэффициентами р, А и ¡л, удовлетворяющее граничным условиям (7), условиям сопряжения (б) и

а также условиям па бесконечности: искомое решение должно быть ограничено при у —> +оо и распространяться (как волна) в направлениях х —> -гею их—» —оо в полуплоскостях х > 0 и х < 0 соответственно. Здесь В^ = {(х,у) : х < 0, 0 < у < Н}, В£ = {(х,у) : х > 0, 0 < у < К), £>1 = {(х,у) : —оо < х < +оо, у > к}.

В одиннадцатом параграфе задача сопряжения полуоткрытых волноводов рассмотрена в приближении волноводных мод. Доказана

Теорема 10.1. В приближении волноводных мод задача дифракции упругой волны на вертикальной границе раздела сред в полуоткрытом упругом волноводе эквивалентна СЛАУ

их(0 -0,у) = их(0 + 0, у), иу(0 -0,у) = иу(0 + 0, у) ах{0 - 0, у) = аг(0 + 0, у), т(0 - 0, у) = г(0 + 0, у),

< ™т(х,у) >< \Ут(х,у), \у+(х,у) >

тп\ 1 У]^^- "т

п=1 т=1

+Сг+ ||™+(х,у)|| =< >

Предложен алгоритм решения системы уравнений (9) построенный на основе метода Гаусса.

Основные результаты диссертации

1. Найдены собственные волны плоского упругого волновода с фиксированными границами и доказано, что система таких собственных волн является ортогональной и полной.

2. Задачи дифракции упругой волны на стыке двух плоских волноводов и на дефекте в плоском волноводе сведены к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений. Предложены численные алгоритмы их решения.

3. Найдены собственные волны дискретного и непрерывного спектра полуоткрытого упругого волновода. Доказано, что система таких собственных волн является ортогональной. Предложен приближенный метод решения задачи сопряжения полуоткрытых упругих волноводов.

Список публикаций по теме диссертации

1. Вдовина К.Н. Комплексные постоянные распространения упругого волновода для случая границы с трением / К.Н. Вдовина // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 34. Лобачевские чтения -2006. Матер. Пятой мол. науч. шк.-конф. (Казань, 28 нояб. - 2 дек., 2006 г.). - Казань: Изд-во Казанск. матем. об-ва. 2006. - С. 36-38.

2. Вдовина К.Н. О комплексных постоянных распространения упругого волновода / К.Н. Вдовина // Межд. семинар. Супервычисления и мат. моделирование: Тез. докл. (Саров, 3-7 окт., 2006 г.). - Саров:

РФЯЦ - ВНИИЭФ, 2006. - С. 32-33.

3. Вдовина К.Н. О собственных волнах упругого полуоткрытого волновода / К.Н. Вдовина // Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 36. Лобачевские чтения - 2007. Матер. Шестой мол. науч. шк.-конф. (Казань, 16-19 дек., 2007 г.). - Казань: Изд-во Казанск. матем. об-ва, 2007. - С. 41-44.

4. Вдовина К.Н. Об ортогональности собапвенных волн полуоткрытого упругого волновода / К.Н. Вдовина, Н.Б. Плещинский, Д.Н. Тумаков // Изв. вузов. Математика. - 2008. - №9. - С. 69-75.

5. Вдовина К.Н. Собственные волны полуоткрытых волноводных структур и задачи дифракциии волн на стыках волноводов / К.Н. Вдовина, И.Н. Плещинский, Н.Б. Плещинский, Д.Н. Тумаков // НИИ математики и механики Казанского университета. 2003-2007 гг. - Казань: Изд-во Казанск. гос. ун-та, 2008. - С. 248-262.

6. Стехина К.Н. Дифракция упругой волны па границе раздела сред в плоском упругом волноводе / К.Н. Стехина //' СамДиф - 2009: конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения". Тезисы докладов. (Самара, 29 июня - 2 июля, 2009 г.). - Самара: Изд-во "Универс групп" , 2009. - С. 58-59.

7. Стехина К.Н. Дифракция упругих волн на дефектах в плоском упругом волноводе / К.Н. Стехина, Д.Н. Тумаков // Препринт ПМФ-09-03. - Казань: Казанск. матем. об-во, 2009. - 34 с.

8. Vdovina K.N. Eigen waves of semi-opened waveguide structures / K.N. Vdovina, I.N. Pleshcinskii, N.B. Pleshcinskii, D.N. Tumakov // Proc. Int. Conf. Mathematical Methods in Electromagnetic Theory MMET 2008. (Odesa, Ukraine, June 29 -Jule 2, 2008). Odesa, 2008. - P. 492-494.

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии издательства Казанского государственного университета Тираж 100 экз. Заказ 70/9

420008, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел.: 233-73-59, 292-65-60

Введение.

Глава 1. Собственные волны упругих волноводов.

1. Дифференциальные уравнения и граничные условия в задачах плоской теории упругости.

2. Собственные колебания упругой полосы.

3. Вычисление корней характеристического уравнения.

4. Ортогональность собственных волн.

5. Полнота системы собственных волн.

6. Полуоткрытый упругий волновод.

Глава 2. Задачи дифракции на стыке волноводов.

7. Задача о возбуждении плоского упругого волновода.

8. Дифракция упругой волны на стыке двух плоских волноводов.

9. Дифракция упругой волны на дефекте в плоском волноводе.

10. Дифракция упругой волны на стыке двух полуоткрытых волноводов.

11. Приближение волноводных мод.

Диссертация посвящена задачам теории распространения и дифракции упругих волн в слоистых средах. Исследованы задачи о собственных волнах упругой полосы и полуоткрытого упругого волновода. Математические формулировки этих задач представляют собой краевые задачи для соответствующих систем дифференциальных уравнений с частными производными. Разработаны методы решения задач дифракции на неоднородностях в упругих волноводпых структурах.

Изучение общих закономерностей распространения волн в различных средах составляет предмет теории колебаний, получившей в настоящее время большое развитие [12], [28], [35], [55].

Использование общих результатов теории колебаний приносит несомненную пользу при рассмотрении волновых процессов в каждом разделе физики. Однако при этом возникает большое число специфических вопросов, связанных со свойствами среды, способами возбуждения колебаний, геометрией тел и так далее, решение которых имеет, несомненно, принципиальное и прикладное значение и достигается с использование различных методов.

Как правило, изучаемые тела являются идеальными. Так в теории упругости чаще всего рассматриваются упругие изотропные однородные тела, подверженные малым деформациям. Это предположение существенно ограничивает круг рассматриваемых объектов, однако позволяет получить обширную и полезную информацию о динамических процессах в реальных телах.

В различных областях физики широко используется спектральный метод исследования волновых процессов. При таком подходе существует принципиальная возможность свести анализ поведения волн в общем случае к анализу простейших гармонических волн. Интерес к исследованию гармонических процессов обусловлен тем, что уже на промежуточном этапе удается получить важные данные о таких характеристиках колебательных систем, как собственные формы колебаний и спектр собственных частот.

Круг практических вопросов, при рассмотрении которых в качестве модели среды используется идеально упругое тело, а в качестве модели процесса - гармоническая волна, чрезвычайно широк. Имея в виду специфику процессов, можно указать четыре основные области.

1. Сейсмология. Фундаментальная проблема в теории гармонических волн возникает здесь в связи с попытками определить свойства среды на пути распространения волн по наблюдениям на поверхности за свободными колебаниями Земли, вызванными землетрясениями.

Важной для сейсмологии задачей является изучение свойств неоднородных волноводов, а также исследование свободных колебаний Земли.

2. Акустоэлектроника. Основные задачи акустоэлектропики связаны с возбуждением и распространением высокочастотных волн в твердых телах, взаимодействием этих воли с электромагнитными полями. Из всех акустических волн наибольший интерес с точки зрения практических приложений представляют поверхностные акустические волны. Кроме того, важную роль волновые процессы в упругих телах играют в связи с задачами обработки сигналов, в частности в связи с созданием механических резонаторов и фильтров.

3. Прикладная механика. Это направление объединяет исследования гармонических волновых процессов, которые посвящены разработке прикладных приближенных методов анализа, анализу колебаний элементов конструкций, рассеянию и дифракции упругих волн.

4. Неразрушающий контроль. Во многих аспектах проблема неразру-шающего контроля связана с постановкой и анализом количественных данных о распространении гармонических волн. Эти задачи возникают, например, при определении формы, объема, ориентации и расположения дефектов внутри упругого тела. Особенно сложные и интересные волновые задачи появляются в связи с использованием явления акустической эмиссии для предсказания долговечности конструкций.

Процесс развития такого раздела механики, как динамическая теория упругости можно в некоторой мере проследить по обширным историческим справкам, помещенным в фундаментальных работах Ахенбаха [58], Белла [63], Пао [78] и других авторов [65], [69], [ТО]. Приведем краткий исторический обзор, показывающий некоторые важные этапы в развитии теории об упругих волнах.

Одним из важных стимулов разработки теории, описывающей сопротивление тел изменению как объема, так и формы, явилась выдвинутая Френелем (1821) гипотеза о поперечном характере световых световых колебаний, распространяющихся в гипотетической среде - эфире. На протяжении всего XIX столетия характерным было стремление физиков объяснить все световые, а впоследствии и электромагнитные явления движениями упругого эфира [23], [24], [27], [88].

Исторический интерес к вопросу о преломлении и отражении упругих волн в значительной мере стимулировался развитием теории эфира [48], [57], [68]. Особенности поведения упругих волн вблизи границы интересны для сейсмологии [5], [66], [74]. В 70-е годы прошлого столетия количественный анализ процессов преломления и отражения на границе раздела различных сред представлял большой интерес для электронной техники, дефектоскопии и т.д. Следует отметить работы Бреховских [4], Викторова [11], Дранфельда [22] и другие [56], [61].

Возникновении и развитие упругой теории света естественно привело к исследованию явления дифракции. Первые работы в этом направлении принадлежат Стоксу (1849, 1852). Он изучал прохождение упругих волн через отверстие в экране и вычислил амплитуду, поляризацию дифрагированных волн на значительном по сравнению с длиной волны расстоянии от препятствия.

По-видимому, первое строгое рассмотрение дифракции упругих (векторных) волн на препятствии принадлежит Клебшу (1863). В обширной работе он использовал уравнения теории упругости для вычисления рассеяния волн твердой сферой в безграничной упругой среде.

Большой вклад в изучение дифракции света, составление четкой физической картины явления внесли работы Рэлея (1871). В них на основе упругой теории подробно исследован вопрос о рассеянии света малыми частицами и впервые объяснена причина голубого цвета неба.

Позднее Лореиц (1890) и Лэмб (1900) рассмотрели ряд случаев рассеяния волн в упругом теле, содержащем сферическое включение, и подробно исследовали энергетические соотношения для падающей и дифрагированных волн. Однако при этом среда считалась несжимаемой, что упрощает задачу. Довольно полный обзор ранних работ по дифракции волн на сфере приведен в работе [26].

В дальнейшем исследования явлений дифракции света проводились на основе электромагнитной теории, и теория упругости в этой области долгое время не использовалась. Интерес к задачам дифракции упругих волн и тесно связанной с ними проблеме динамической концентрации напряжений значительно возрос лишь в 70-е годы двадцатого века. Можно отметить работы Гузя, Кубенко, Черевко, Головчана [19], [20], Пао [78].

Существование двух типов воли в неограниченной упругой среде вызвало большой интерес к проблеме влияния граничных поверхностей на процесс распространения гармонических волн. По существу, задача об отражении и преломлении упругих волн на границе раздела двух полупространств - одна из основных задач "упругой" теории света - раскрыла интересные проявления факта наличия двух типов волн в упругом теле. Так, оказалось, что при наклонном падении на свободную поверхность упругого полупространства продольной волны кроме отраженной под тем же углом продольной возникает и поперечная волна. Более того, при определенном угле падения продольной волны всю энергию уносит только отраженная поперечная волна.

Однако наиболее наглядная демонстрация значительного усложнения волновой картины в упругом теле при наличии границы содержится в работе Рэлея (1885). В ней указана возможность существования в полубесконечном упругом теле нового типа волн, которые впоследствии получили название поверхностных волн Рэлея. Амплитуда этих волн убывает по экспоненциальному закону при удалении от поверхности.

В дальнейшем возник интерес к задачам о волноводном распространении в слоистых упругих средах, а также к изучению вынужденных колебаний полупространства по действием периодических нагрузок. В первом направлении следует отметить работы Лява (1911) и Стоунли (1924), в которых описаны новые типы волн для упругого слоя и полупространства, лежащих на упругом полупространстве с иными свойствами. Второе направление получило название "задачи Лэмба" после фундаментальной работы Лэмба (1904). В этой работе построено аналитическое решение (в виде контурных интегралов) и частично проведен анализ общих закономерностей распространения волн в упругом полупространстве при воздействии гармонических нагрузок. Отмечена важная роль волн Рэлея, уносящих большую часть энергии, подводимой к упругому телу.

Задача о распространении гармонических воли в бесконечном круговом цилиндре представляла значительный интерес при построении приближенных одномерных теорий колебаний стержней. В работах Похгам-мера (1876) и Кри (1886) общие уравнения упругости применялись для изучения процесса распространения гармонических продольных, изгиб-ных и крутильных волн в бесконечном цилиндре кругового сечения со свободной от нагрузок боковой поверхностью. Аналогичная задача для бесконечного слоя рассмотрена Рэлеем (1889) и Лэмбом (1891, 1917).

В этих классических исследованиях не только указано на существенное усложнение картины волноводного распространения при наличии границы (появление дисперсии), но и фактически построены наборы точных решений уравнений движения. Значение последнего результата трудно переоценить, поскольку это открыло путь к рассмотрению задач о колебаниях конечных цилиндров.

Отметим, что полученные соотношения между частотой и длиной волны - дисперсионные уравнения - выглядят обманчиво просто. Однако фактический и подробный анализ уравнений Похгаммера - Кри и Рэлея - Лэмба был проведен лишь в 40-х годах прошлого столетия.

Еще сложнее оказалась задача о распространении гармонических волн в прямоугольном волноводе. Хотя Ламе (1852) удалось отыскать класс волновых движений для определенных отношений сторон волновода (эк-виволюминальные моды Ламе), общее строгое решение задачи не получено до настоящего времени.

Наряду с задачами о распространении волн в упругой среде немалый интерес представлет анализ гармонических колебаний ограниченных тел. Особое внимание уделялось аналитическому исследованию собственных частот и форм колебаний упругих тел канонического вида -сферы, кругового цилиндра, прямоугольной призмы.

Наиболее полно была изучена задача о колебаниях сферы. Задача о колебаниях замкнутой сферической оболочки рассматривалась в работах Пуассона (1828), Лэмба (1889) и Кри (1896). Были построены общие выражения для смещений, проведен численный анализ некоторых частотных уравнений.

Собственные колебания сферы с жестко закрепленной поверхностью изучались Дебаем (1912) в связи с разработкой теории удельной теплоемкости. Он нашел число собственных частот, не превышающих некоторое заданное значение.

Задача о колебаниях изотропной однородной сферы оказалась, по существу, единственным видом пространственных задач, которые имеют строгое решение.

Значительные трудности возникли при отыскании собственных колебаний конечных цилиндров. Путем набора частных решений для бескопечного цилиндра (Похгаммер (1876) и Кри (1886)) не удалось точно удовлетворить граничным условиям отсутствия нагрузок на концах цилиндра. Точные решения были получены лишь для случая скользящей заделки торцов - при отсутствии на них нормальных смещений и касательных напряжений.

Трудности анализа колебаний стержней, пластин и оболочек на основе точных решений трехмерных задач теории упругости стимулировали интенсивное развитие приближенных теорий.

Отметим, что приближенные уравнения продольных и изгибпых колебаний стержней были получены значительно раньше (Эйлер (1744), Бернулли (1751)), исходя из простейших гипотез. После этого задача заключалась в получении и уточнении этих уравнений с использованием трехмерных соотношений теории упругости, что составило предмет общей проблемы приведения. Данная задача решалась в основном двумя путями.

Первый подход заключался в разложении искомых величин смещений и напряжений в ряды по степеням вырожденной координаты, т.е. вдоль направления наименьшего характерного размера тела, и подстановке этих разложений в трехмерные уравнения. Таким способом Пуассон (1829) вывел уравнения продольных, поперечных и крутильных колебаний круглого стержня, совпадающие с элементарными. Уравнения продольных и поперечных колебаний пластины получены Коши (1828) и Пуассоном (1828).

Второй путь построения приближенных теорий заключался в введении гипотез физической природы относительно характера распределения смещений и напряжений. Использование вариационных принципов приводило к искомым уравнениям движения и граничным условиям. Таким образом были построены уточненные уравнения продольных и поперечных колебаний, учитывающие влияние инерции поперечного движения (Рэлей (1878)), теория изгибных колебаний круглой пластины (Кирхгоф

1852)), различные варианты теории цилиндрических и сферических оболочек [49]. С.П. Тимошенко (1921) показал, что учет деформации сдвига в поперечном сечении также важен при поиске адекватных моделей поперечных колебаний стержней. Отметим, что поправки на скорость распространения волн в бесконечном цилиндре, получаемые из уточненных теорий колебаний стержней, совпадали с несколькими первыми членами разложения точных решений Похгаммера - Кри.

Развитие подходов к построению уточненных динамических теорий и решение на их основе задач о колебаниях и волнах в упругих телах интенсивно продолжалось и позже [17].

Распространение волн в слое и цилиндре было предметом многочисленных теоретических и экспериментальных исследований, ведущихся уже более столетия. Возможность выразить характеристики волнового поля в цилиндре через хорошо исследованные специальные функции впервые отмечалась в работах Похгаммера [80] и Кри [64]. Для упругого слоя (двумерная задача) аналогичные результаты получены Рэлсем [82] и Лэмбом [72]. Первые численные результаты, относящиеся к некоторым характеристикам нормальных волн в слое, содержатся в работе Лэмба

73].

Последующие публикации в этой области относятся уже к 40-м годам двадцатого века. Обзор работ этого периода содержится в книгах Дейвиса [21], Кольского [25]. Общее исследование характеристического уравнения в случае слоя в широком диапазоне изменения механических свойств материалов выполнены Гоголадзе [16]. В результате многочисленных исследований, проведенных в 50-60-е годы, проблема изучения свойств волновых полей в изотропном слое и цилиндре практически полностью решена. Уровень достигнутого понимания вопроса и указания на многочисленные публикации содержатся в обзорных работах [1], [11], [15], [29], [77], [83].

Отсутствие в течение длительного времени интереса к исследованию процесса распространения волн в слое и цилиндре в рамках трехмерной теории упругости в определенной мере было связано с тем, что эффекты, для описания которых было бы недостаточно приближенных теорий пластин и стержней, не проявлялись в практически используемых элементах конструкций. За последние десятилетия, однако, ситуация существенно изменилась. Появление материалов с малым затуханием ультразвуковых волн и разработка способов эффективного возбуждения волнового поля создали условия для чрезвычайно широкого применения явления вол-новодного распространения не только в линиях задержки, но и в ряде новых радиотехнических устройств. В связи с этим сформировалась и бурно развивается новая отрасль науки и техники, получившая название акустоэлектроника. Конечно, возникающие в этой области вопросы не могут быть полностью решены на основе исследований свойств нормальных волн в изотропных цилиндрах и пластинах. Однако знание этих свойств является основой для анализа и систематизации данных, относящихся к практически используемым системам [31], [33], [67], [84]. Изучение свойств волноводных мод важно также в связи с разработкой методики использования акустической эмиссии для оценки уровня напряженности элементов конструкций [75].

Рассматривая волновые процессы в волноводе, можно выделить задачи двух типов. В задачах первого типа отсутствует источник волнового движения и ищутся лишь возможные состояния волновода, согласованные с определенными условиями на его поверхности. По сути, речь здесь идет о поиске некоторых резонансных ситуаций - таких частных решений уравнений движения для гармонических процессов, которые обеспечивают нулевые граничные условия относительно некоторого числа статических и кинематических факторов. Эти частные решения также называют нормальными модами или нормальными волнами в волноводе.

Второй тип задач связан с изучением вынужденных волновых движений в волноводе. В связи с наличием бесконечного набора возможных состояний (нормальных мод) в волноводе возникающие здесь задачи отличаются от аналогичных задач для полупространства большей сложностью.

При математической формулировке задачи о возбуждении и распространении волн в идеально упругом волноводе появляются определенные затруднения с постановкой условий на бесконечности. Ведь уже для полупространства необходимо задавать не только бегущую на бесконечность цилиндрическую волну, но и условие на приповерхностные возмущения - волну Рэлея. Сформулированные при этом требования исключали из общего представления решения стоячую волну Рэлея. Условие аналогичного типа должно ставиться и в -случае нормальных волн, с учетом дополнительных трудностей - геометрической дисперсии мод в волноводе. Постановка таких условий в упругих волноводах затрудняется в связи с тем, что в ряде случаев эти моды имеют противоположные знаки фазовой и групповой скоростей. Поэтому для выяснения смысла указанных условий целесообразно изучить вначале характеристики тех элементарных состояний волновода (нормальных мод), суперпозицией которых представляется волновое поле в общем случае. Затем на основании этих свойств определить систему условий, задающих направленность волнового процесса в упругом волноводе.

Теоретические результаты исследования свойств нормальных мод в упругих волноводах показали наличие ряда интересных особенностей, которые не имеют аналога для мод в акустических и электромагнитных волноводах. Это обстоятельство стимулировало проведение довольно большого объема экспериментальных работ, целью которых было подтверждение "реальности" характерных черт нормальных мод. Проведенные эксперименты в целом подтвердили выводы, полученные в рамках модели идеально упругого тела для свойств нормальных мод. Указание на конкретные подходы, описание техники эксперимента и обзор результатов можно найти , например, в работах Викторова [11], Речицкого [43] и других авторов [63], [89].

Первые числовые результаты при анализе уравнений Рэлея - Лэмба были получены Лэмбом [73], который вычислил вещественные корни для области низких частот. Первые работы по исследованию корней трансцендентных уравнений Рэлея - Лэмба в высокочастотной области выполнены Холденом [71] для продольных мод и вещественных волновых чисел. Он предложил эффективный метод исследования свойств корней дисперсионных уравнений. Аналогичный метод был независимо развит и широко использован в ряде работ Миндлина и Оноэ. В работе [77] приведено краткое изложение сути метода и дан обзор результатов других исследователей.

Несмотря на то, что с мнимыми и комплексными корнями дисперсионных уравнений Рэлея - Лэмба распространяющиеся моды бесконечного волновода не связаны, они играют важную роль при решении краевых задач для полубесконечных волноводов и при изучении вынужденных движений бесконечных волноводов. Конкретное определение мнимых и комплексных корней выполнено в работах [60], [76], [77].

Важная роль комплексных корней дисперсионного уравнения для построения полных наборов частных решений, дающих возможность удовлетворить граничным условиям на торцах волновода, исходя из указаний ряда авторов [29], [89], впервые была отмечена Кэртисом. Эта идея была развита в работе [59].

Отметим, что большой объем количественных данных о корнях дисперсионного уравнения [2], [81], [89] согласуется с предложенным качественным построением спектра.

Трансцендентные уравнения Рэлея - Лэмба и другие подобные уравнения, возникающие в родственных задачах о волноводном распространении, представляются не очень сложными для проведения вычислений с помощью современных ЭВМ. Однако такой процесс может быть связан с большими затратами времени, и, кроме того, представленная в такой форме информация мало полезна, поскольку она не систематизирована. В связи с этим большое значение для систематизации расчетных данных и уменьшения объема вычислений имеют методы качественного анализа дисперсионных соотношений, развитые в работах Оноэ, Макнивена, Миндлина [34], [77], Пао [79]. Структура спектра и поведение соответствующих мод в значительной мере проясняются также асимптотическим анализом, развитым в работах [13], [32].

Знание набора нормальных мод в волноводе является важным фактом при решении вопросов практического их использования. Однако не менее важным является вопрос о способах и эффективности возбуждения того или иного типа волнового движения. Здесь картина оказывается значительно сложнее, чем в задаче о вынужденных колебаниях полупространства. Это усложнение физической картины приводит к постановке ряда сложных краевых задач, не все из которых имеют к настоящему времени достаточно полное решение. Наиболее простые задачи, возникающие при моделировании реальных ситуаций, относятся к бесконечному и полубесконечному волноводам. Для бесконечного волновода задача о возбуждении волн связана с заданием на некоторой части границы системы внешних воздействий - кинематические или силовые граничные условия. Вне этой области границы волновода считаются свободными. Задачи другого типа возникают при моделировании процесса возбуждения волн путем задания внешних усилий или смещений на торце полубесконечного волновода [62], [85], [86]. Они оказываются намного сложнее для теоретического анализа.

В цилиндрических областях, заполненных средой, при определённых условиях могут распространяться без источников волны - акустические, электромагнитные, упругие или волны иной породы. Такие структуры называются волноводными или, в более узком смысле, волноводами.

В электродинамике долгое время считалось,что волноводные свойства имеют только структуры с металлическими границами - закрытые волноводы. В работе Хондроса и Дебая (начало XX века) было показано, что свободные электромагнитные волны могут существовать и в диэлектрических стержнях (в открытых волноводах).

В теории упругих волн наиболее известны именно открытые волновод-ные структуры. Классические примеры - поверхностные волны Релея в упругом полупространстве и волны Лява в упругом слое, лежащем на упругом основании (см. например, [3], [45]). Волны этих двух типов имеют важное значение в сейсмике - теории упругих волн в слоях верхней мантии Земли.

Как уже отмечалось, при исследовании волноводпой структуры в первую очередь находят все её собственные волны (моды), то есть такие волны, которые могут распространяться в слоистой среде без источников. Собственные волны волноводов образуют, как правило, параметрическое семейство. Множество всех возможных значений параметра называют спектром. Обычно для закрытых волноводных структур спектр дискретный (состоит из изолированных точек), а для открытых структур - разделяется на две части, дискретную и непрерывную.

Второй шаг - доказательство полноты системы мод, то есть возможности представить любую волну в волноводе в виде суммы (наложения) собственных волн. При этом особое значение имеет ортогональность мод относительно введенного подходящим образом скалярного произведения. Возможны два варианта рассуждений: или находится некоторое множество волновой структуры и затем доказывается, что эта система полна, или же сразу строится общее решение соответствующей однородной граничной задачи в виде линейной комбинации собственных волн. Для волноводов с дискретным спектром доказательство полноты может быть в большинстве случаев получено в рамках спектральной теории самосопряженных операторов. При наличии непрерывной части спектра такое доказательство существенно усложняется.

К актуальным задачам теории распространения и дифракции волн относится задача о стыке двух волноводов - частный случай общей задачи дифракции волны на неоднородности в волновой структуре. Математическая формулировка задачи дифракции на неоднородности в волноводе представляет собой краевую задачу для соответствующей системы уравнений с частными производными (в зависимости от того, какие волны рассматриваются — акустические, электромагнитные или упругие). При исследовании задач сопряжения волповодпых структур естественно использовать метод частичных областей [41]. В соответствии с общей идеей нужно для каждой полубесконечной части составной структуры получить общие представление волн, уходящих от стыка, и записать условия сопряжения этих представлений на общей границе с учетом волны, приходящей с бесконечности. При этом возникает вопрос: можно ли искать решение в части волновода в виде разложения по собственным волнам всего волновода. Если стык проходит в плоскости, перпендикулярной оси сопрягаемых волновых структур, то ответ положительный. Это следует из возможности продолжить волну из полубесконечного волновода через его торец в другую половину волноводной структуры. В общем случае требуется дополнительное исследование.

В работах Тумакова Д.Н [51] и [52] исследовались собственные волны упругой полосы и двух сопряженных упругих полос. Был использован метод интегрального преобразования Фурье. Оказалось, что целесообразно для решения таких задач использовать метод переопределенной задачи [36]. Переопределенные задачи Коши для упругой полуплоскости и для упругой полосы рассматривались также в [42]. Обзор публикаций, посвященных методу переопределенной граничной задачи в теории дифракции волн, дан в той же статье [36].

Задачи распространения и дифракции электромагнитных волн в слоистых средах также активно изучались. В работах Плещинского Н.Б. и Плещинского И.Н. [38], [39] методом разделения переменных были найдены собственные волны плоского диэлектрического волновода, образующие дискретный спектр, а также собственные волны полуоткрытого диэлектрического волновода, относящиеся к дискретной и к непрерывной частям спектра. Оказалось, что для полуоткрытого диэлектрического волновода значения продольной постоянной распространения (спектрального параметра) образуют на комплексной плоскости множество, состоящее из вертикальной полуоси, горизонтального отрезка и отдельных точек ("клюшка с шайбами"). Было показано, что собственные волны как плоского, так и полуоткрытого волновода ортогональны относительно введенных естественным образом скалярных произведений и образуют полную систему мод, по которой как по базису может быть разложена любая волна, распространяющаяся в соответствующем бесконечном волноводе. Более того, электромагнитное поле в этих волноводах также может быть представлено как суперпозиция мод из этой системы. На этом основании были получены необходимые и достаточные условия разрешимости вспомогательной переопределенной граничной задачи в слоистой четверти плоскости, с помощью которых задача о стыке полуоткрытых волноводов сведена к интегральным уравнениям различных типов. В работах [39], [37] на этой основе были решена задача сопряжения плоских и полуоткрытых диэлектрических волноводов. Такой подход может быть распространен на более сложную задачу о дифракции упругой волны на стыке слоистых волноводных структур.

В диссертационной работе рассмотрены две двумерные волноводные структуры - плоский и полуоткрытый упругие волноводы [8], [9]. Исследованы граничные задачи и задачи сопряжения для системы уравнений Ламе, которые используются при описании процессов распространения и дифракции упругих волн в волноводных структурах. Основная цель работы - распространить подход, примененный к задачам об излучении электромагнитных волн, на подобные задачи для упругих волноводов.

В работе использованы в качестве исходных постановок граничных задач и задач сопряжения общепринятые формулировки задач волноводной теории упругости: нужно найти решения системы уравнений Ламе, удовлетворяющие граничным условиям и условиям сопряжения на границе раздела сред, а также условиям на бесконечности в случае неограниченной области. Поэтому основное внимание уделяется не вопросам существования и единственности решений, а разработке таких методов исследования, на основе которых могут быть построены эффективные алгоритмы численного решения рассматриваемых задач.

Постановки задач таковы, что решения нужно искать в классе дважды (или трижды, в зависимости от задачи) дифференцируемых функций, непрерывно продолжимых на границу области всюду, кроме, может быть, конечного числа точек. Если использовать метод интегрального преобразования Фурье, то удобно считать, что решения являются распределениями медленного роста на бесконечности (локально интегрируемыми функциями). Поскольку в нашем случае был использован спектральный метод, и все искомые функции рассматривались в виде разложений по собственным волнам волноводных структур, то предполагается, что класс решений следующий: все искомые функции представимы в виде суммы сходящегося ряда из собственных волн, которую можно дифференцировать достаточное число раз.

Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что для всех рассмотренных граничных задач и задач сопряжения волновод-ной теории упругости получены эквивалентные им более простые с вычислительной точки зрения задачи: бесконечные (в приближенных методах решения - конечные) системы линейных алгебраических уравнений. В работе предложены численные алгоритмы для их решения. Были проведены вычислительные эксперименты, подтвердившие эффективность численных методов. В качестве параметров слоистых сред были выбраны те, которые соответствуют задачам сейсмики. Некоторые из результатов контрольных расчетов включены в текст диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка использованных источников.

1. Айнола Л.Ф. Волновые процессы деформаций упругих плит и оболочек / Л.Ф. Айнола, У.К. Нигул // Изв. АН ЭССР. - 1965. - 14,м. с. з-бз.

2. Александрова О.В. О корнях уравнения Рэлея Лэмба / О.В. Александрова, В.К. Махсма, М.А. Шленев. - Ростов-на-Дону: Рост, инж.-строит. ин-т, 1974. - 25 с.

3. Амензаде Ю.А. Теория упругости / Ю.А. Амензаде. М.: Высш. шк., 1976. - 272 с.

4. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах / Л.М. Бреховских. -М.: Наука, 1973. 343 с.

5. Буллен К.Е. Введение в теоретическую сейсмологию / К.Е. Буллен. М.: Мир, 1966. - 460 с.

6. Вдовина К.Н. О комплексных постоянных распространения упругого волновода / К.Н. Вдовина // Межд. семинар. Супервычисления и мат. моделирование: Тез. докл. (Саров, 3-7 окт., 2006 г.). Саров: РФЯЦ - ВНИИЭФ, 2006. - С. 32-33.

7. Вдовина К.Н. Об ортогональности собственных волн полуоткрытого упругого волновода / К.Н. Вдовина, Н.Б. Плещинский, Д.Н. Тумаков // Изв. вузов. Математика. 2008. - №9. - С. 69-75.

8. Викторов И.А. Ультразвуковые волны Лэмба / И.А. Викторов // Акуст. журн., 1965. №11, вып. 1. - С. 1-18.

9. Виноградова М.Б. Теория волн / М.Б. Виноградова, О.В. Руденко, А.П. Сухоруков. М: Наука, 1979. - 384 с.

10. Ворович И.И. Некоторые результаты проблемы асимптотической теории пластин и оболочек / И.И. Ворович //В кн.: Материалы I Всесоюз. школы по теории и числ, методам расчета пластин и оболочек. Тбилиси, 1975. - С. 51-150.

11. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупруго-сти / Л.А. Галин. М: Наука, 1980. - 304 с.

12. Генкин М.Д. Колебания упругой полосы / М.Д. Генкин, Ю.И. Боб-ровницкий //В кн.: Методы виброизоляции машин и присоединенных конструкций. М.: Наука, 1975. - С. 12-42.

13. Гоголадзе В.Г. Дисперсия волн Рэлея в слое / В.Г. Гоголадзе // Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР. 1947. - №119. - С. 27-38.

14. Григолюк Э.Н. Неклассические теории колебаний стерэ/сней, пластин и оболочек / Э.Н. Григолюк, И.Т. Селезов. М.: ВИНИТИ, 1973. - 272 с.

15. Гринченко В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах / В.Т. Гринченко, В.В. Мелешко. Киев: Наук, думка, 1981. - 284 с.

16. Гузь А.Н. Дифракция упругих волн / А.Н. Гузь, В.Д. Кубенко, М.А. Черевко. Киев: Наук, думка, 1978. - 307 с.

17. Гузь А.Н. Дифракция упругих волн в многосвязных телах / А.Н. Гузь, В.Т. Головчан. Киев: Наук, думка, 1972. - 254 с.

18. Дейвис P.M. Волны напряжений в твердых телах. /P.M. Дейвис. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. - 104 с.

19. Дранфельд К. Возбуждение, обнаружение и затухание высокочастотных упругих поверхностных волн / К. Дранфельд, Е. Зальц-манн // Физ. акустика: Принципы и методы. 1974. - №7. - С. 250310.

20. Кипнис Н.Ш. Механика и оптика / Н.Ш. Кипнис // В кн.: Механика и цивилизация, XVII-XIX века. М.: Наука, 1979. - С. 143-186.

21. Кирсанов B.C. Эфир и генезис классической теории поля / B.C. Кирсанов //В кн.: Механика и цивилизация, XVII-XIX века. М.: Наука, 1979. - С. 219-260.

22. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах / Г. Кольский. -М.: Изд-во иностр. лит., 1955. 192 с.

23. Логан Н. Обзор некоторых ранних работ по теории рассеяния плоских волн на сфере / Н. Логан // Тр. Ин-та инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. 1965. - 53, №8. - С. 895-908.

24. Лорентц Г.А. Теории и модели эфира / Г.А. Лорентц. М.; Л.: ОНТИ, 1939. - 68 с.

25. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. / Л.И. Мандельштам. М.: Наука, 1972. - 470 с.

26. Микер Т. Волноводное распространение в протяженных цилиндрах и пластинах / Т. Микер, А. Мейтцлер // Физ. акустика: Принципы и методы. 1966. - 1А. - С. 140-203.

27. Мышенков В.И. Численные методы. Ч. 1. / В.И. Мышенков, Е.В. Мышенков. М.: МГУЛ, 2001. - 120 с.

28. Мэй Д. Волноводные ультразвуковые линии задержки / Д. Мэй // Физ. акустика: Принципы и методы. 1966. - 1А. - С. 489-565.

29. Нигул У.К. О корнях уравнения Лэмба для деформации плиты, антисимметричной относительно срединной поверхности / У.К. Нигул // Изв. АН ЭССР. 1963. - №3. - С. 284-293.

30. Олинер Л. Волноводы для поверхностных акустических волн / Л.- Олинер // Тр. Ин-та инженеров по электронике и радиоэлектронике.- 1976. 64, №5. - С. 51-65.

31. Оное М. Дисперсия осесимметричных волн в упругих стерэюнях / М. Оное, Х.Д. Макнивен, Р.Д. Миндлин // Тр. Амер. об-ва инженеров-механиков. Прикл. механика. 1962. - 62, №4. - С. 139145.

32. Пирс Дж. Почти все о волнах / Дж. Пирс. М.: Мир, 1976. - 176 с.

33. Плещинская И.Е. Переопределенные граничные задачи для эллиптических уравнений с частными производными и их применение в теории дифракции волн / И.Е. Плещинская, Н.Б. Плещинский // Ученые записки Казанского гос. ун-та. 2005. - Т. 147, Кн. 3. -С. 4-32.

34. Плещинский И.Н. Задача сопряжения полуоткрытых диэлектрических волноводов / И.Н. Плещинский, Н.Б. Плещинский // Препринт ПМФ-06-03. Казань: Казанск. матем. об-во, 2006. - 34 с.

35. Плещинский И.Н. Интегральные уравнения задачи сопряжения полуоткрытых диэлектрических волноводов / И.Н. Плещинский, Н.Б. Плещинский // Изв. вузов. Матем. 2007. - №5. - С. 63-80.

36. Плещинский И.Н. Переопределенные граничные задачи и задачи сопряжения для уравнения Гелъмгольца и системы уравнений Максвелла: дисс. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 : защищена 23.05.07 : утв. 13.07.07 / Плещинский И.Н. Казань, 2007. - 100 с.

37. Плещинский Н.Б. Отражение, преломление и дифракция двумерных упругих волн. Метод переопределенной задачи Коши / Н.Б. Плещинский // Препринт ПМФ-04-01. Казань: Казанск. матем. об-во, 2004. - 34 с.

38. Речицкий В.Н. Приборы и устройства на акустических поверхностных волнах / В.Н. Речицкий // Зарубеж. радиоэлектроника. 1975. - №8. - С. 88-101.

39. Свешников А.Г. Теория функций комплексной переменной / А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов. М: Физматлит, 2004. - 336 с.

40. Снеддон И.Н. Классическая теория упругости / И.Н. Снеддон, Д.С. Берри. М.: ГИФМЛ, 1961. - 220 с.

41. Стехина К.Н. Дифракция упругих волн на дефектах в плоском упругом волноводе / К.Н. Стехина, Д.Н. Тумаков // Препринт ПМФ-09-03. Казань: Казанск. матем. об-во, 2009. - 34 с.

42. Стрэтт Д.В. (Лорд Рэлей) Волновая теория света / Д.В. Стрэтт. -М.: Гостехтеориздат, 1940. 208 с.

43. Стрэтт Д.В. (Лорд Рэлей) Теория звука: в 2 т. / Д.В. Стрэтт. М.: Гостехтеориздат, 1955. - 2 т.

44. Тимошенко С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. М.: Наука, 1979. - 560 с.

45. Тумаков Д.Н. Собственные колебания двух сопрямсенных полос / Д.Н. Тумаков // Препринт ПМФ-06-04. Казань: Казанск. матем. об-во, 2006. - 26 с.

46. Тумаков Д.Н. Собственные колебания упругой полосы / Д.Н. Тумаков // Препринт ПМФ-05-02. Казань: Казанск. матем. об-во, 2005. -26 с.

47. Тумаков Д.Н. Распределение энергии в плоском упругом волноводе / Д.Н. Тумаков // Препринт ПМФ-06-02. Казань: Казанск. матем. об-во, 2006. - 30 с.

48. Уайт Дж. Э. Возбуждение и распространение сейсмических волн / Дж. Э. Уайт. М.: Недра, 1986. - 261 с.

49. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны / Дж. Уизем. М.: Мир, 1977. - 622 с.

50. Фарнелл Дж. Свойства упругих поверхностных волн / Дж. Фар-нелл // Физ. акустика : Принципы и методы. 1973. - №6. - С. 137-202.

51. Шустер А. Введение в теоретическую оптику / А. Шустер. М.; Л.: ОНТИ, 1935. - 376 с.

52. Achenbach J.D. Wave propagation in elastic solids / J.D. Achenbach. -Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1973. 425 p.

53. Adem J. On the axially-symmetric steady wave propagation in elastic circular rods / J. Adem // Quart. Appl. Math. 1954. - 12, No 3. - P. 261-275.

54. Aggarwal R.R. Axially symmetric vibrations of a finite isotropic disk. 4 / R.R. Aggarwal, E.A.G. Shaw // J. Acoust. Soc. Amer. 1954. - 26, No 3. - P. 341-342.

55. Ash E.A. Microsound surface waveguides / E.A. Ash, R.M. De la Rue, R. Humphrues // IEEE Trans. Microwave Theory and Techn. 1969. -17, No 11. - P. 882.

56. Auld B.A. A variational analysis of edge resonance in a semiinfinite plate / B.A. Auld, E.D. Tsao // IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics. -1977. 24, No 5. - P. 317.

57. Bell J.F. The experimental foundations of solid mechanics / J.F. Bell // In: Handbuch der Physik. Berlin etc.: Springer, 1973. - Vol. 6a/l. - P. 1-813.

58. Chree C. Longitudinal vibrations of a circular bar / C. Chree // Quart. J. Pure and Appl. Math. 1886. - 21, No 83/84. - P. 287-298.

59. Eringen C. Elastodynamics ] C. Eringen, E.S. Suhubi. New York: Acad, press, 1975. - Vol. 2. - 660 p.

60. Ewing W.M. Elastic waves in layered media / W.M. Ewing, W.S. Jardeizky, F. Press. New York etc.: Mc Graw-Hill book, 1957. - 380 p.

61. Farneil G.W. Elastic wave propagation in thin layers / G.W. Farneil, E.L. Adler // Phys. acoustics: Principles and methods. 1972. - 9. - P. 35-127.

62. Glazebrook R.T. Report on optical theories / R.T. Glazebrook // Rep. Brit. Assoc. Adv. Sei. 1885. - 55. - P. 157-261.

63. Graff K.F. Wave motion in elastic solids / K.F. Graff. Oxford: Clarendon press, 1975. - 666 p.

64. Gurtin M.E. The linear theory of elasticity / M.E. Gurtin // In: Handbuch der Physik. Berlin etc.: Springer, 1972. - Vol. 6a/2. - P. 1-295.

65. Holden A. Longitudinal modes of elastic waves in isotropic cylindres and bars / A. Holden // Bell Syst. Tech. J. 1951. - 30, No 4. - P. 956-969.

66. Lamb H. On flexure of an elastic plate / H. Lamb // Proc. Lond. Math. Soc. 1889/1890. - 21, No 360. - P. 70-90.

67. Lamb H. On waves in an elastic plate / H. Lamb // Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1917. - 93, No 648. - P. 114-128.

68. Love A.E.H. Some problems of geodynamics / A.E.H. Love. Cambridge: Univ. press, 1911. - 180 p.

69. Lord A.E. Acoustic emission / A.E. Lord // Phys. acoustic: Principles and methods. 1975. - 11. - P. 253-310.

70. Lyon R.N. Responce of an elastic plate to localized driving forces /R.N. Lyon // J. Acoust. Soc. Amer. 1955. - 27, No 2. - P. 259-265.

71. Mindlin R.D. Waves and vibrations in isotropic elastic plates / R.D. Mindlin // In: Structural mechanics. New York: Pergamon press, 1960. - P. 199-232.

72. Pao Y.H. Diffraction of elastic waves and dynamic stress concentrations / Y.H. Pao, C.C. Mow. New York: Crane Russak, 1973. - 685 p.

73. Pao Y.H. Dispersion of flexural waves in an elastic, circular cylinder / Y.H. Pao, R.D. Mindlin // J. Appl. Mech. 1960. - 27, No 3. - P. 513-520.

74. Pochhammer L. Uber die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten Schwingungen in einem unbergrenzten isotropen Kreiscylinder / L. Pochhammer //J. reine und angew. Math. 1876. - 81, No 4. - S. 324-336.

75. Potter D. Reflection of wave trains in semiinfinite plates / D. Potter, C. Leedham //J. Acoust. Soc. Amer. 1967. - 41, No 2. - P. 346-353.

76. Rayleigh J. On the free vibration of an infinite plate of homogeneous isotropic elastic matter / J. Rayleigh // Proc. Lond. Math. Soc. -1888/1889. 20, No 357. - P. 225-234.

77. Redwood M. Mechanical waveguides: The propagation of acoustic and ultrasonic waves in fluids and solids with boundaries / M. Redwood. -London; New York: Pergamon press, 1960. 300 p.

78. Thurston R.N. Elastic waves in rods and clad rods / R.N. Thurston // J. Acoust. Soc. Amer. 1967. - 41, No 2. - P. 346-353.

79. Torvic P.J. Reflection of wave trains in semiinfinite plates / P.J. Torvic // J. Acoust. Soc. Amer. 1967. - 41, No 2. - P. 346-353.

80. Torvic P.J. Responce of an elastic plate to a cyclic longitudinal force / P.J. Torvic, J.J. McClatchey //J. Acoust. Soc. Amer. 1968. - 44, No 1. - P. 59-64.

81. Whittaker E.T. A history of the theories of aether and electricity / E.T. Whittaker. New York: Nelson, 1951. - Vol. 1.-434 p.

82. Zemanek J. An experimental and theoretical investigation of elastic wave propagation in a cylinder / J. Zemanek // J. Acous. Soc. Amer. 1972. - 51, No 1. - P. 265-283.