Коллимирование потоков электромагнитных волн сверхширокополосных сигналов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Введение

1 Метод расчета полей, формируемых апертурными излучателями

1.1 Обоснование метода.

1.2 Вывод формулы Бореля-Помпею.

1.3 Вывод основной расчетной формулы.

1.4 Физический смысл полученных соотношений.

1.5 Излучение СШП сигналов однородно возбужденными апертурами (коротковолновое приближение).

1.6 Выводы к главе 1.

2 Исследование возможности коллимирования потоков электромагнитных волн сверхширокополосных сигналов

2.1 Сравнение результатов расчета коллимировав'ного потока электромагнитных волн в частотной и временной областях для круглой апертуры.

2.2 Определение энергетического критерия дальней границы зоны коллимирования для круглой апертуры.

2.3 Особенности коллимирования потоков электромагнитных волн сверхширокополосных сигналов вытянутыми апертурами

2.4 Определение энергетического критерия дальней границы зоны коллимирования в общем случае.

2.5 Выводы к главе 2.

3 Результаты исследований процесса излучения СШП сигналов во временной области (расчет и эксперимент)

3.1 Условия проведения эксперимента и формулировка критерия для адекватного сравнения результатов эксперимента с результатами численного моделирования

3.2 Сравнение результатов численного моделирования с экспериментом.

3.3 Выводы к главе 3.

В данной работе рассмотрена задача коллимирования потоков электромагнитных волн сверхширокополосных (СШП) сигналов. Такая задача актуальна и для узкополосных (квазикогерентных) систем, формирующих слаборас-ходящиеся пучки радиоволн. В оптике и радиооптике она позволяет резко снизить потери при распространении и технически реализуется с помощью линз, зеркал и других дифракционных приборов, имеющих размеры апертуры существенно больше средней длины волны спектра. Идеальное колли-мирование создает нерасходящийся на любом расстоянии от апертуры поток электромагнитных волн, сечение которого сравнимо с апертурой. Реальные антенны конечных электрических размеров могут создавать только слаборас-ходящиеся пучки волн в ограниченном диапазоне расстояний от коллимиру-ющего раскрыва.

В настоящее время в радиолокации, радиосвязи и измерительной технике физического эксперимента все чаще внедряются сигналы, относительная ширина спектра которых стремится к единице. Такие сигналы удобнее характеризовать относительным диапазоном частот эффективного спектра, который достигает октавы и более /в//я > 2 (/в, /я - верхняя и нижняя частоты спектра). Обычно их называют СШП сигналами. Использование таких сигналов резко расширяет возможности радиолокации и связи, а также метрологические возможности измерительных систем. А задача коллимирования потоков электромагнитных волн СШП сигналов для снижения потерь распространения еще более актуальна, чем для квазикогерентных сигналов с относительной полосой частот 2Д///ср 1 [1-3].

Решение этой задачи позволит добиться новых результатов в задачах, относящихся к радиолокации, высокому разрешению изображений и методам неразрушающего контроля. Применения коллимирования в области связи и военном деле также чрезвычайно широки. В частности, одним из важнейших применений коллимирования потоков электромагнитных волн СШП сигналов является создание образцов вооружения и военной техники, способных на большом расстоянии выводить из строя электронику противника. Кроме того, вследствие волнового характера многих процессов (не обязательно электромагнитной природы) применение решения задачи коллимирования может быть существенно расширено. Например, можно коллимировать звуковые волны в жидкости, земле и воздухе, что также представляется актуальной задачей с многочисленными применениями.

Как известно [4-10], процессу распространения волн принципиально присуще явление дифракции, вследствие чего по мере распространения любого ограниченного по сечению пучка волн в однородной среде, его поперечное сечение увеличивается. Таким образом, задача коллимирования принципиально сводится к определению условий, необходимых для создания устройств, позволяющих создать наиболее слабо расходящийся пучок волн на максимально большом расстоянии. Для СШП сигналов в настоящее время формируется математический аппарат решения таких задач, а экспериментальные э результаты - единичны [28].

В настоящей работе рассматривается задача коллимирования потока электромагнитных волн СШП сигналов апертурными излучателями для передачи их энергии на возможно большие расстояния. В литературе ее часто называют задачей пространственно-временной фокусировки. Однако в традиционном понимании (оптика, квазиоптика) термин "фокусировка" используется в смысле получения сходящегося волнового пучка и получения в фокальной плоскости максимально возможного поперечного сжатия, то есть максимальной плотности потока энергии в пределах площадки, соизмеримой с длиной волны. Но возможности реализации такой фокусировки в радиодиапазоне (СВЧ) на максимальных удалениях от источника как правило существенно ограничены расстояниями, составляющими единицы-десятки размеров апертуры [49]. Как уже упоминалось, под коллимированием здесь и далее будет пониматься возможность создания слаборасходящегося пучка, ограниченного по сечению размерами, сравнимыми с излучающей апертурой [50].

Зарубежные исследователи также предпринимали неоднократные попытки найти возможность бездифракционного распространения волн, однако большинство исследователей в своих теоретических построениях использовали заведомо физически нереализуемые условия, что ставит под большое сомнение практическую ценность их работ. Приведем, однако, краткий обзор ряда зарубежных работ, посвященных темам, связанным с коллимированием электромагнитных волн. Приведенный здесь обзор в общих чертах соответствует обзору [11] с небольшими дополнениями и сокращениями.

За прошедшее с начала исследования время за рубежом выделилось несколько основных направлений в изучении такого рода задач. К таким направлениям можно отнести следующие - Электромагнитный снаряд ("Electromagnetic missile"), Бесселевы лучи ("Bessel beams"), Последовательность электромагнитных импульсов направляемой энергии ("Electromagnetic directed energy pulse train"), Электромагнитные пули ("Electromagnetic bullets"). Существующие в настоящее время направления исследований в какой-то степени сводятся к вышеперечисленным. Поэтому приведем краткую характеристику каждого из основных направлений.

Электромагнитные пули [12-15] - решения волнового уравнения, заключенные в конечной области пространства в волновой зоне. Они представляют из себя попытку решить задачу определения функции источника по заданной в волновой зоне форме "электромагнитной пули". При решении этой задачи используется преобразование Радона.

Бесселевы лучи [16-18] - частные монохроматические решения волнового уравнения. Предполагается, что заданное на плоскости синфазное цилиндрически-симметричное распределение амплитуд поля, соответствующее функции Бесселя Jq от радиус-вектора точки плоскости будет распространяться без дифракции. Однако, для корректного воплощения этой идеи в жизнь необходима апертура бесконечных размеров, что очевидно физически нереализуемо. Как показано в [11] экспериментальные данные, полученные при попытках реализовать эту идею на конечных апертурах демонстрируют, что такие бесселевы лучи, не являются свободными от дифракции.

Последовательность электромагнитных импульсов направляемой энергии [19-24], подход, восходящий к работам, связанным с т.н. Focus Wave Modes (FWM) [25, 26] - наряду с электромагнитным снарядом является наиболее популярным направлением исследований. Рассматриваются частные решения волнового уравнения, имеющие смысл движущихся навстречу друг другу волн. Таким образом, решение волнового уравнения представляется как решение параболического уравнения, которому соответствует волна, распространяющаяся в некотором направлении, промодулированная плоской волной, распространяющейся в противоположном направлении.

Далее, из полученного представления выбираются частные решения, представляющие систему функций, с помощью которой и предполагается синтезировать сигналы. Однако, вводимые при таком подходе комплексные источники сигнала не имеют ясного физического смысла. Проведенные же Ziolkowski эксперименты с т.н. Modified Power-Spectrum Pulse (MPS) [23] не дали оснований, чтобы делать какие-либо однозначные выводы [11]. Тем не менее работы в этом направлении ведутся достаточно интенсивно [40-48].

Электромагнитный снаряд (ЭС) [27-32,36-39], имеющий непосредственное отношение к настоящей работе, представляет из себя явление направленного распространения электромагнитной энергии, происходящее при использовании достаточно короткого сигнала, заданного на апертуре. Наряду с работами по теоретическому осмыслению эффекта ЭС, имеются экспериментальные данные (например, [28]), дающие основания говорить об этом эффекте как о реально существующем. Заметим, что эффект ЭС принципиально связан с излучением СШП сигналов.

Таким образом, по нашему мнению, на сегодняшний день наиболее реальным способом коллимировения потоков электромагнитных волн СШП сигналов является использование эффекта ЭС, т.к. остальные из перечисленных подходов либо имеют дело с волновой зоной, либо используют физически нереализуемые модели, либо вводят понятия, не имеющие ясного физического смысла. В настоящей работе предлагается взгляд на процесс распространения волн, излученных апертурными антеннами, в частности предлагаемый ниже метод пригоден в том числе и для описания эффекта ЭС.

Для относительно узкополосных сигналов задача коллимирования хорошо известна и сводится к определению распределения электромагнитного поля, возбуждаемого апертурным источником, в зоне Френеля. Существуют простые соотношения для оценки дальней границы зоны Френеля (ближней границы зоны Фраунгофера):

Яф<А- (1)

Здесь Б - поперечный размер синфазной апертуры, А - длина волны, А -коэффициент порядка единицы. Они позволяют определить протяженность зоны Френеля и максимальное расстояние, на котором убывание плотности потока энергии ниже, чем Яг2(Я < Я$). Заметим, что границы зон Френеля и Фраунгофера однозначно не определены даже для монохроматических сигналов. Чаще всего количественная оценка строится на задании максимального расхождения по фазе Асрм между излучаемым волновым фронтом и плоской волной, касательной к этому фронту и выбирается на основании качественных критериев. В разных источниках можно встретить Д</?м — тг/8 , 7г/16 и даже 7г/32. Это приводит к большой неоднозначности в определении дальней границы коллимирования. Для сверхширокополосных (СШП) сигналов, когда относительный диапазон частот сигнала велик (/#//я > 2 ), даже для фиксированного Асрм{А) возникает неопределенность. Для части спектральных компонент на расстоянии Я мы можем находиться в зоне Френеля, а для другой части (более низкочастотной) - это будет зона Фраунгофера. В связи с этим в [30] при рассмотрении особенностей излучения СШП сигналов апертурными антеннами была введена условная классификация. Ближняя граница зоны Френеля Яфн(^н) определяется наибольшей длиной волны Ая эффективного спектра, а дальняя Яфв(^в) - наименьшей длиной волны в спектре Хв- Чистая зона Френеля, где для всех спектральных компонент сигнала /(£) выполняются условия для зоны Френеля соответствует < В,фн , зона Фраунгофера - В,в > Яфв , а отрезок расстояний [Д$я) Ифв] является промежуточной зоной. Характерной особенностью излучения СШП сигнала является тот факт, что в пределах чистой зоны Френеля функция передачи слоя пространства [51] является осциллирующей функцией, которая определяется рядом факторов: формой апертуры, функцией распределения поля на ней, формой спектра и расстоянием. Благодаря большой ширине спектра интегрально это слабо возмущает спектр исходного сигнала и форма его сохраняется. В зоне Фраунгофера происходит дифференцирование функции /(£). Таким образом, в промежуточной зоне происходит модификация спектра, который после этого в зоне Фраунгофера уже сохраняет свою форму, а во временной области сигнал 5в(£) соответствует производной исходного сигнала [52]. В тех случаях, когда изменения формы СШП сигнала не играют существенной роли, интерес представляют энергетические характеристики, то есть убывание суммарного потока мощности по мере удаления от источника апертуры). Именно в пределах зоны Френеля эти изменения достаточно малы, а в зоне Фраунгофера мы наблюдаем классическую зависимость ~ Я"2. Исследование закономерностей излучения СШП сигналов уже предпринималось рядом авторов [28,29,53]. Но использованные алгоритмы либо слишком громоздки (преобразование Фурье исходного сигнала, пересчет каждой спектральной компоненты в точку наблюдения и обратное преобразование Фурье), либо иллюстрируют закономерности используя классические тестовые сигналы - прямоугольный, треугольный, трапецеидальный импульсы, которые являются физически нереализуемыми. Существенным пробелом здесь является то, что все спектры тестовых сигналов заданы с нулевой фазой, что необыкновенно широко распространено в теоретических исследованиях. Не следует забывать, что для создания определенного распределения поля на апертуре обязательно применяется облучатель (диполь, рамка, рупор), который, являясь элементом преобразующим ток электрического сигнала в электромагнитное поле, имеет совершенно определенный вид амплитудно-фазовой характеристики.

В работе [53] была сделана попытка расчитать электромагнитное поле плоского тока, произвольно зависящего от времени сразу во временной области. Однако, достоверность результатов, полученных в этой работе вызывает некоторые сомнения. Так, результаты использования полученной формулы для классического случая однородного возбуждения круглой апертуры когерентным источником, приведенные на рис. 3 в [53], попросту не соответствуют физическим оценкам. Интересные результаты были получены также во временной области в [29]. Однако, иллюстрирующие графики распределения плотности потока энергии вдоль оси излучения приведены без указания электрических размеров апертуры, от которых результат зависит очень сильно. Кроме того, вызывают некоторое недоумение результаты, касающиеся возможности излучения "электромагнитного снаряда" линейными антеннами. "Электромагнитным снарядом" в [29] называется явление убывания при определенных условиях энергии излученного импульса при больших удалениях медленнее, чем квадрат обратного расстояния. По смыслу такое определение "электромагнитного снаряда" является не вполне корректным. Дело в том, что в фокусированных системах можно создать сходящийся к фокусу волновой фронт, причем по мере перемещения к фокальной плоскости поле не только не убывает в какой-либо степени от расстояния, а даже нарастает. Поскольку "электромагнитный снаряд" это частный случай пространствен-новременной фокусировки, главная задача состоит здесь в создании на наибольшем возможном удалении от источника слабо убывающего по амплитуде с ростом расстояния (в идеальном случае - неубывающего) солитона. Причем основная часть его энергии должна быть сосредоточена в объеме, поперечное сечение которого близко к площади излучающего раскрыва, а продольное (в направлении вектора Пойнтинга) - эффективной длине солитона ¿э ~ (¿2 — ¿1) ■ с [11]. Это конечно относится к случаю однородной недис-пергирующей среды распространения. Объем, в котором заключена энергия излучаемого сигнала, ограниченный указанными размерами (отсюда видимо и происхождение термина "электромагнитный снаряд"), перемещается до границы зоны коллимирования. При этом продольная длина объема уменьшается, а поперечные размеры слабо увеличиваются, что и приводит к некоторому уменьшению объемной плотности энергии.

Таким образом, по физическому смыслу термин "электромагнитный снаряд" ближе всего к фокусировке на "бесконечность" с помощью апертуры больших электрических размеров и к задаче коллимирования для СШП сигналов. Именно такой смысл вкладывается в указанный термин большинством зарубежных и российских исследователей. Поэтому постановка и решение задачи [29] об "электромагнитном снаряде", создаваемом линейным источником выглядит надуманно. Хотя формально соответствие определению Содина [29] имеется, поскольку цилиндрическая волна, создаваемая линейным источником, затухает как ~ 1/-\ДГ> т0 есть медленнее, чем ~ 1 /г. Однако линейный источник является узкополосным и не может излучать СШП сигналы, дающие возможность максимально уменьшить продольный размер объема, занимаемого электромагнитным полем. С другой стороны, механистический термин "электромагнитный снаряд" подразумевает направленное перемещение объема, где сосредоточена основная энергия сигнала. Тогда как линейный излучатель, формирующий цилиндрическую волну, распределяет энергию изотропно по всем азимутальным углам. Кроме того в работе [29] отождествляется зона Френеля и зона коллимирования. Как будет показано ниже, если для круглых апертур такая эквивалентность и является оправданной, то для вытянутых апертур - совершенно непригодна. И наконец в [29] утверждается, что дальняя граница области коллимирования для линейной антенны определяется наибольшим линейным размером антенны. На наш взгляд, это досадное упущение вызвано неоправданным отождествлением указанных выше понятий. Что же касается справедливости приводимых в [29] выкладок, хочется отметить, что на наш взгляд представляется не вполне корректным использование предельного перехода от апертурных антенн к линейному излучателю.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию возможности коллимирования потоков электромагнитных волн сверхширокополосных (СШП) сигналов апертурными излучателями.

Рассматривается математическая модель излучения СШП сигналов апертурными антеннами в коротковолновом приближении. Изучаются особенности распространения таких сигналов, а также влияние формы апертуры и сигнала на их распространение. Таким образом, целью работы является разработка нового метода расчета полей, позволяющего обобщить и уточнить результаты других авторов, изучение физического смысла полученных сотно-шений, анализ роли граничных условий, а также нахождение критерия дальней границы зоны коллимирования.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Основные результаты, полученные в данной работе можно сформулировать следующим образом:

1. Впервые, предложен метод расчета полей, излученных апертурами, основанный на введении комплексных координат и преобразовании решения волнового уравнения по известной формуле Бореля-Помпею. На основании предложенного метода получены удобные интегральные представления электромагнитных полей СШП сигналов, излученных апертур-ными антеннами как в частотной, так и непосредственно во временной области в коротковолновом приближении.

2. На основании вышеуказанного метода, предложен физически ясный взгляд на процесс распространения волн, излученных апертурами как на результат суперпозиции двух волновых процессов: распространения плоской волны внутри цилиндра, опирающегося на апертуру (цилиндра распространения), и волны, дифрагированной на крае апертуры.

3. Впервые обоснован энергетический критерий дальней границы области коллимирования потока радиоволн для СШП сигналов по спаду потока мощности внутри цилиндра распространения вдвое. Получено простое алгебраическое соотношение для определения указанной границы как для круглых, так и для вытянутых апертур с равномерным распределением. Показано принципиальное отличие зоны Френеля от определенной в данной работе зоны коллимирования при излучении СШП сигналов апертурами произвольной формы.

4. Проведено исследование влияния формы апертуры и формы сигнала на распространение потока электромагнитных волн СШП сигналов.

5. Определены условия, позволяющие адекватно сравнивать результаты численного моделирования процесса излучения СШП сигналов апер-турными антеннами с экспериментальными данными.

6. Проведено сравнение данных натурного эксперимента с расчетами полей, полученными согласно предложенному в данной работе методу. Показано их удовлетворительное совпадение.

Заключение

1. Бункин Б.В., Кашин В.А. Особенности, проблемы и перспективы суб-наносекундных видеоимпульсных PJIC // Радиотехника, №. 4-5. С. 128133. 1995.

2. Иммореев И.Я., Телятников Л.И. Эффективность использования энергии зондирующих импульсов в сверхширокополосний локации / / Радиотехника, №. 9. С. 33-37. 1997.

3. Ultra-wideband radar technology / edited by James D. Taylor, P.E. CRC Press LLC. 2001.

4. Борн M. Вольф Э. Основы оптики: Пер. с англ./Под ред. Г.П. Мотуле-вич. -М.: Наука. 1970.

5. Никольский В.В. Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн: Учеб. пособие для вузов. -М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит. 1989.

6. Стрэттон Дж.А. Теория электромагнетизма: Пер. с англ./Под ред. С.А. Элькинда. -М.: ИЛ. 1958.

7. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Электричество. -М.: Наука. 1980.

8. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика. -М.: Наука. 1980.

9. Долуханов М.П. Распространение радиоволн. -М.: Связь. 1972.

10. Альперт Я.JI. Гинзбург В.Л. Фейнберг Е.Л. Распространение радиоволн -М.: ГИТТЛ. 1953.

11. B.Hafizi and P.Sprangle Diffraction effects in directed radiation beams // J.Opt.Soc.Am.A, Vol 8. No. 5. May 1991.

12. H.E.Moses The time-dependent inverse source problem for the acoustic and electromagnetic equations in the one- and three-dimensional cases // J.Math.Phys. 25. P. 1905-1923. 1985.

13. H.E.Moses and R.T.Prosser Acoustic and electromagnetic bullets. Derivation of new exact solutions of the acoustic and Maxwell's equations /J SIAM J.Appl.Math. 50. P. 1325-1340. 1990.

14. J. Durnin Exact solutions for nondiffracting beams. I. The scalar theory // J. Opt. Soc. Am. A 4. P. 651. 1987.

15. J. Durnin, J. J. Miceli, Jr. And J. H. Eberly Diffraction free beams // Phys. Rev. Lett. 58. P. 1499. 1987.

16. J. Durnin, J. J. Miceli, Jr. And J. H. Eberly Comparison of Bessel and Gaussian beams // Opt. Lett. 13. P. 79. 1988.

17. R. W. Ziolkowski Exact solutions of the wave equation with complex source locations // J. Math. Phys. 26. P. 861. 1985.

18. R. W. Ziolkowski New electromagnetic directed energy pulses // Microwave and Particle Beam Sources and Propagation, N.Rostoker, ed., Proc. Soc. Photo-Opt. Instrum. Eng. 873. P. 312-319. 1988.

19. R. W. Ziolkowski Localized transmission of electromagnetic energy // Phys. Rev. A 39. P. 2005. 1989.

20. R. W. Ziolkowski Localized transmission of wave energy // Microwave and Particle Beam Sources and Directed Energy Concepts, H.E.Brandt, ed., Proc. Soc. Photo-Opt. Instrum. Eng. 1061. P. 395-402. 1989.

21. R. W. Ziolkowski, D. K. Lewis and B. D. Cook Evidence of localized wave transmission // Phys. Rev. Lett. 62. P. 147. 1989.

22. I. M. Besieris, A.M. Shaarawi and R. W. Ziolkowski A bidirectional traveling plane wave representation of exact solutions of the scalar wave equation // J. Math. Phys. 30. P. 1254. 1989.

23. J. N. Brittingham Focus wave modes in homogeneous Maxwell equations: Transverse electric mode // J. Appl. Phys. 54. P. 1179. 1983.

24. A. Sezginer A general formulation of focus wave modes // J. Appl. Phys. 57. (3). 1985.

25. T.T. Wu. Electromagnetic missiles // Jour. Appl. Phys. (8187). Vol. 57, №7, p.7371-2373

26. H.-M. Shen. Experimental study of electromagnetic missiles // SPIE Vol. 473. Microwave and Particle Beam Sources and Propagation, 1. 329-337

27. Содин Jl.Г. Импульсное Излучение антенны (электромагнитный снаряд) // РиЭ, 1991. Т. 76, №5, с. 1614-1082

28. Ипатов Е.Б., Кирьяшкин В.В., Чубинский Н.П. О физической реализуемости пространственно-временной фокусировки электромагнитного поля // LIV Научная сессия, посвященная дню Радио. Тез.докл.-М.: 4999. -С. 149-150.

29. Кирьяшкин В.В. Чубинский Н.П. Исследование возможности коллими-рования потоков электромагнитных волн сверхширокополосных сигналов // LVI Научная сессия, посвященная дню Радио. Тез.докл., часть 2.-М.: 2001. -С. 237-239.

30. Кирьяшкин В.В., Чубинский Н.П. Исследование возможности колли-мирования потоков электромагнитных волн сверхширокополосных сигналов // Р.Э. 2002. Т. 47. т. С. 24-32.

31. Кирьяшкин В.В., Чубинский Н.П. Коллимирование потоков электромагнитных волн сверхширокополосных сигналов вытянутыми апертурами // XLIV Научная конференция МФТИ, посвященная 50-летию создания МФТИ. Тез.докл .-Долгопрудный: 2001-. -С. 46.

32. Кирьяшкин В.В., Чубинский Н.П. Возможность коллимирования потоков электромагнитных волн сверхширокополосных сигналов // Труды XII Всероссийской школы-конференции по дифракции и распространению радиоволн. Тез.докл.-М.: 2001. Т.П. -С. 367-368.

33. Кирьяшкин В.В., Чубинский Н.П. Особенности коллимирования потоков электромагнитных волн сверхширокополосных сигналов вытянутыми апертурами // Зарубежная радиоэлектроника. 2002. № 5X35""^ •

34. Т. Т. Wu, R. W. King and Н. М. Shen Spherical lens as a launcher of electromagnetic missiles //J. Appl. Phys. 62. P. 4036. 1987.

35. R. Chengli and W. Changhua Choice of excitation in electromagnetic missiles // Electron. Lett. 25. P. 1321. 1989.

36. Т. T. Wu, R. W. King and H. M. Shen Circular cylindrical lens as a line source electromagnetic-missile launcher // IEEE Trans. Antennas Propa-gat. AP-37. P. 39. 1989.

37. Geyi Wen, Chengli Ruan and Weign Lin Unified theory of the backscatter-ing of electromagnetic missiles by a perfectly conducting target // J. Appl. Phys. 71. P. 3103. 1992.

38. E. Heyman, B. Z. Steinberg and L. B. Felsen Spectral analysis of focus wave modes // J. Opt. Soc. Am A 4. P. 2081. 1987.

39. H.-M. Lee Rise and fall of directed transient: Use of Mellin transformation in time domain problems // Radio Science. V. 22. N 6. P. 1102-1108.

40. P. Hillion Spinor focus wave modes // J. Math. Phys. 28. P. 1743. 1987.9

41. P. Hillion S. Quinnez Spinor solutions to Maxwell's equations in free space // Can. J. Phys. V. 62. P. 674-682. 1984.

42. P. Hillion Splash wave modes in homogeneous Maxwell equations // J. Electromagnetic Waves Appl. 2. P. 725. 1988.

43. P. Hillion Solution of the wave equation with boundary conditions on the hyper plane z ct = 0 // J. Math. Phys. 29. P. 1771. 1988.

44. P. Hillion Front form of electromagnetisrn // J. Math. Phys. 30. P. 1194. 1989.

45. P. Hillion The Goursat problem for Maxwell's équations // J. Math. Phys. 31. P. 3085. 1990.

46. P. Hillion Wave équation with covariant boundary conditions on a wave front // Phys. Rev. A 41. P. 3449. 1990.

47. Кинбер Б.Е. Поле в окрестности фокуса // РиЭ, 1985. Т.ЗО, №, с.1469-1482

48. Егоров А.Н. Об эффективности передачи энергии электромагнитным пучком и преобразование ее в ректенне // РиЭ, 1985. ТЗО, J04, с.805-811

49. Литвиненко O.H. Основы радиооптики-Киев.: Техника, 3374. 209 с.

50. Астанин Л.Ю., Коетылев А.А. Основы сверхширокополосных радиолокационных измерений М.,"Радио и связь", 1989

51. Самсонов А.В. Излучение плоского однородного тока при произвольном законе изменения во времени // РиЭ, 1991. Т. 31, №2, с. 399-600

52. Алешков Ю.З. Лекции по теории функций комплексного переменного. С.-Пб.: Изд. С.Пб Ун-та, 3099

53. Лаврентьев М.А. Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука. 1973

54. Тер-Крикоров А.М. Шабунин М.И. Курс математического анализа. -М.: Наука. 1988

55. Градштейн И.С. Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений. М.: ГИФМЛ, 1962

56. Майзельс E.H., Торгованов В.А. Измерение характеристик рассеяния радиолокационных целей. М: Советское Радио. 1972.

57. Каценеленбаум Б.З. Высокочастотная электродинамика. М.: Наука. 1966