Компактификация экстремальных задач и асимптотическая достижимость тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Г 5 ОД

Государственный комитет Российской Федерации • 1 0111 ^

. О vjh> по высшему образонашио

Уральский государственный университет

На правах рукописи

МОРИНА Светлана Ивановна

КОМПАКТИФИКАЦИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ И АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ДОСТИЖИМОСТЬ

Специальность 01.Ol.02 - дифференциальные уравнения Автореферат

I

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 1995

Работа выполнена в Институте математики и механики Уралы Отделения Российской Академии Наук.

Научный руководитель — доктор физико-математических паук

профессор А.Г.ЧЕНЦОВ

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук

профессор А.II.КОРОТКИЙ

кандидат физико-математических на

доцент М.И.ЛОГИНОВ

Ведущая организация — Удмуртский государственный

университет (г.Ижевск) г

Защита состоится " /5~ - ____1995 ,

в " " чаСоп на заседании диссертационного совета К 063.7

но присуждению ученой степени кандидата физико-математических ук в Уральском ордена Трудовою Красною Знамени юсу дарствен университете имени А.М.Горько! о (020083, г.Екатеринбург. К-83. пр. Ленина 51. к. 248)

С диссертацией можно ознакомиться в бпП.пкнеке Уральскою университета.

; г.

Авторефераг разослан " /,2 " Х-С^)___________)()<

. Учены!! секретарь диссертационного сове)а кандидат физ.-мат. наук, доиеш У/'——" В.Г.Пиме

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Возможная неустойчивость экстремальной задачи делает необходимым исследование асимптотик аналогичных задач с исчезающе малыми возмущениями системы ограничений и построение аппарата корректных расширений с целью описания этих асимптотик и сравнения последних между собой.

Процедуры расширения пространства решений рассматривались многими математиками. Общим вопросам теории расширения экстремальных задач посвящены работы А.Д.Иоффе и В.М.Тихомирова, И.Экланда и Р.Темама, Т.Рубичека. В теории оптимального управления, включая игровые задачи программного управления, процедура компактифи-кации позволяет решить проблему существования оптимального решения и сформулировать необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума. Фундаментальные результаты в этой области получены в монографиях Дж.Варги, Р.В.Гамкрелидзе, Н.Н.Красовского, А.И.Субботина, Л.Янга. В теории дифференциальных игр отметим важное понятие стабильности множеств в пространстве позиций, введенное Н.Н.Красовским в терминах обобщенных элементов, а также принципиальный результат А.В.Кряжимского, использующий условие единственности движения в классе управлений-мер в связи с обобщением известной теоремы об альтернативе в позиционной дифференциальной игре. В задачах математического программирования элементы расширений были введены Р.Дж. Даффином и Е.Г.ГольштеЙном в связи с обобщенной теоремой двойственности. В теории случайных процессов процедура рас? шврепий с использованием конечио-аДдитивной версии теории вероятностей рассматривалась в работах А.Н.Жданка. '

Важную роль в конструкциях расширения традиционно играли меры. Идеи использования мер в экстремальных задачах впервые были сформулированы в работах Е.Мак-Шейпа и Л.Янга и получили дальнейшее развитие в теории оптимального управления, дифференциальных играх, вариационном исчислении. При этом мери, используемые в расшире: гаях, как правило, являлись счетно-аддитивными й регулярными. Это связано, в частности, с использованием геометрических (пангрягинских) »граничений на выбор управления и с теоремой Рисса о представлении «шейного функционала на пространстве непрерывных функций. Одна-;о в задачах, н урчовцях которых присутствуют разрывные функции,' кузннкаст ноцн'бцое^ъ в использовании коиечно-аддатштых (к.-а.) мер качестве материала для построения комнакгпфикнпиН.

Среди работ, посвященных к.-а. мерам, следует отметить работы Г.М.Фихтенгольца, Л.В.Канторовича и-Г.Гильдебрандта, где внер-' вые определен интеграл по к.-а. мере; монографию Н.Данфорда и Дж.Т.Шварца, в которой дано наиболее общее понятие интеграла по к.-а мере; работы С.Лидера , Е.Хьюитта и Иосиды, посвященных вопроса?! структуры к.-а. мер; монографию Б.Рао К.П.С. и Б.Рао М., касающуюся различных вопросов к.-а.теории меры; монографию Дж.Дистела у Дж.Ула, в которой наиболее полно излагается теория векторных мер, i том числе к.-а. векторных мер.

Использование двузначных к - а. мер в конструкциях расширен^ (работы Е.Г.Белова, А.И.Жданка, А.И.Короткого, А.Г.Ченцова) есте ственным образом примыкает к известной реализации нестандартно го анализа, связанной с эквивалентными объектами—ультрафильтрам] измеримых пространств.

'Цель работы. Построение корректных расширений экстремальны задач и исследование свойств асимптотик областей достижимости'упрг вляемых систем и их абстрактных аналогов при исчезающе малых во; мущениях 01раничений на выбор управления.

Методы решения. Используются методы теории меры и mrrerpi рования, общей топологии, функционального анализа, теории оптимал; ного управления.

Научная новизна Построены корректные расширения экстремал! ных задач, постановки которых являются новыми. Установлены cboí ства асимптотик областей достижимости при исчезающе малых возм; щениях системы ограничений на выбор решения для абстрактной задач управления и для конкретных линейных управляемых систем.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные коррек ные расширения экстремальных задач дают описание обобщенных эк тремальных элементов, что представляет самостоятельный тсоретич ский интерес и, кроме того, может быть ислольз.овано для разрабоп алгоритмов построения приближенных решений, аппроксимирующих о общенные решения. Изученные свойства множеств притяжения п клаг приближенных решений (а именно, условия устойчивости, асимптот ческой нечувствительности относительно части ограничений на ныо управления, условия реализации асимптотически достижимых э.те.мс тов в классе интегрально ограниченных управлений) могу i бы i ь исно. зованы при исследовании конкретных задач управления с ипччтра.чьи ми ограничениями.

»

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались иа семинарах отдела управляемых систем ИММ УрО РАН, совместном семинаре кафедры теоретических основ радиотехники УГТУ-УПИ и отдела управляемых систем, Конференции молодых математиков (Свердловск, январь 1986 г.), VII Всесоюзной конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Рига, 1989 г.), Всеросий-ской конференции "Алгоритмическое обеспечение процессов управления в механике и машиностроении" (Ярополец, май 1994 г.), международной конференции "Сингулярные решения и возмущения в управляемых системах" (Переславль-Залесский, июнь 1995 г.). '

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах [1—11].

Структура а объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы. Общий объем — 98 страниц машинописного текста. Библиографический список содержит 105 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описывается проблематика работы и излагается краткое содержание диссертации по главам. •

Первая глава посвящена вопросам компактификации экстремальных задач.

В §1 приводятся основные понятия и обозначения из общей топологии i конечно-аддитивной (х.-а.) теории меры, которые используются при [сследовании рассматриваемых в настоящей работе задач.

В §2 дано описание процедуры компактификации в общей форме и еречеслены основные компактификаторы, используемые при решении исследовании конкретных экстремальных задач, В настоящей работе 1атериалом для компактйфикаций служат двузначные к.-а. меры, бо-елевские регулярные меры я векторные к.-а. меры, слабо абсолютно епрерывные относительно заданной неотрицательной (к.-а.) меры.

В §3 рассматривается задача оптимизации ограниченного фушшиона а з в метрическом пространстве Л':

Vg = lim inf sía;),

te Hr — X \ Sa(r), S(¡(r) — открытый шар радиуса г, г > ü, с центром некоторой точке хп 6 X. Число Va совпадает с решением задачи

lim s(.r¡) -» min, (i,)i6Jv б А',

где X — множество всех секвенциально приближенных решений, т.е. множество сходящихся в Ft последовательностей, каждая из которых для любого г > 0 лежит во множестве Нг, начиная с некоторого момента.

Далее рассматривается более общая задача оптимизации но конусу, соответствующему поточечной упорядоченности пространства о.ценок. ' Именно, для произвольного непустого множества Q вводится целевой оператор S|: X —> такой что Vx 6 А-:

S(x) = (sq(x))qeQ,

■ где. s,— ограниченный функционал на A', q 6 Q- При этом значение соответствующей задачи минимизации совпадает с множеством

(х-ЛШУЯПсДЭДМ)], (1)

г>0

_где VG С Б9 запись (X —MIN)[G\ означает множество всех минимальных (в смысле поточечного порядка элементов G, a cl(S(Hr),Q)— замыкание образа Нг (в силу оператора 5) в топологии обозначаемой буквой в.

Для построения корректног о расширения рассматриваемой задачи используется множество Т(С) всех нормированных двузначных к.-а. (0,1)-мер, определенных на подходящей полуалгебре С подмножеств Л*. Пусть

D 4 [р е Т(£) I Vr е]о, оо|: ,.(Sb(г)) - ()}.

Доказывается, что множество D состоит из чисто к.-n. мер (термино логия соответствует известному разложению Хыоипа-Иоенды1 Теорема 1.3.1 Справедливо равенство ,

• (Ч -ЛГ/ЛГ)[П cl{S{Hr). О)] = (X -MIN)[\Y(D)} ф 0.

г> О

Здесь W : Г(£) —> определяется формулой .

?rM = (/v*,(.r)/<(rfr))ieq. /I е Т(С).

интеграл понимается в смысле2. Указана явная конструкция прпб.ш женного решения-направленности, реализующего точки множества (1)

1 Hewitt. Е., Josida К. Finitely adtlitivp measures//Ггапч ЛH)' i Мл)Ь. Sos. - I'.'-V,1 - Vol 72. ii" 1. . P. 4(3-66. .*

2 Чепцов Л.Г. К вопрос) об универсально)! им Гсгрмругмог ги ОГр.ЩИЧСИПМХ И11 nii/ j Мл сборник,- 1986. - Т. 131, N 1,- Г. 73 93.

В условиях, когда есть пространство с первой аксиомой счетно-

сти, исчерпывающая реализация экстремума (1) достигается в классе секвенциальных приближенных решений.

В §4 первой главы исследуется вопрос об аппроксимативных аналогах теоремы Радона-Никодима для векторных к.-а. мер с нормой-вариацией, соответствующей произвольной норме конечномерного пространства. Данная постановка возникла в связи с потребностью построения расширений задач оптимального управления с различными ресурсными ограничениями на управляющую вектор-функцию (в частности, с ограничением на полный импульс управления).

Для формулировки основного результата §4 (а также ряда утверждений последующих разделов) остановимся на кратком перечне обозначений и понятий, используемых в диссертации.

Фиксируем непустое множество Е и полуалгебру £ подмножеств Е. Через (а<М)+[£] обозначаем конус всех, неотрицательных вещественио-значных к.-а. мер на С, а через А(£) - линейное подпространство .порожденное этим конусом. Пусть г) 6 (а<М)+|£); (аО)*[С;г1) = {ц 6 (а<М)+(£] | У£ € £ : (т?(1) = 0) (//(¿) = 0)}. Через Ва(Е,£) обозначаем множество всех £-ступенчатых функционалов на Е с положитель-пым конусом Во (£,£). Через В(Е,£) обозначим замыкание В0(Е, С) в пространстве В(Е) всех ограниченных функционалов на Е, оснащенном аир-нормой || • ||. Тогда В(Е, С), с индуцированной из (В(Е), || • ||) нормой является банаховым пространством, а В*(ЕУ£) изометрически изоморфно А(£) с нормой вариацией. При этом, V/ € В(Е, С) через / * у обозначим неопределенный »/-интеграл функции /, который опрег деляет изометрический изоморфизм А(£) на В*(Е,£)). ^ерез г*(£) обозначим »-слабую топологию А(£). Пусть г, и тп — дискретная и естестесТвенная топологии вещественной прямой Я. Тогда А(£) можцо рассматривать как подпространство ТП (Яс,&с(т^)), ( являющегося тихоновской степенью пространства (Я, г,)) с индуцированной топологией Г„(£) = ®с{и) |д(£), и как подпространство ТП (Яс,<2>£(гй)) с индуцированной топологией т@{£) = ©с(г„) |А(Су В положительном конусе Щ1<1)+[£; 7] (слабо абсолютно непрерывных относительно г) мер) введем те топологии:

г»(£) 4 Го(£)

оторые, вообще говоря, несравнимы. Далее фиксируем г 6 Л/* (раз-юрность векторных управлений). Полагаем В£,.(Е,£) = (В^(Е,£))Г;

В„,(£?к = (ЩЕ, С)У; АГ(С) 4 (А(£)Г («<М)г+[£; V] = (М<№ ,])';

®г[т*(£)] и ®г[т®(£)] есть произведения г соответствующих экземпляров топологий; 9П = {r„(£), г0(£), г,(С)}.

Через / обозначим оператор интегрирования, который как и в скалярном случае, каждой функции / € Во^(Е, £) ставит в соответствие неопределенный rj-интеграл /*>?=(/;*

Ранее Ченцовым А.Г. была доказана теорема о всюду плотном вложении образа Вд т(Е, С) в силу оператора I в множество (add), [С; 7] как в топологии ®г[г*(£)], так и в <8>г[г®(£)|. Аналогичное свойство справедливо и для сильно ограниченного множества

S+И = {(* € (а<М)+[£; г,] : £ щ(Е) < с}, с > О,

которое было введено с целью замыкания множества обычных (ступенчатых) векторных управлений / € В^ДЕ, £), удовлетворяющих ресурсному ограничению

±IEfidv<c.

Следует отметить, что при доказательстве свойства платности (см. также случай знакопеременных векторных мер3) элементы множества Ваг(Е,£) (и, соответствено, множества (add)+[C,ij]) рассматривались как набор г независимых функционалов из В$(Е,С) (из (add)^[C, ?;]).

В §4 рассматриваются вектор-функции и, соответственно, векторные к.-а. меры со значениями в пространстве Rr с произвольной нормой II' Иг (в частности, это может быть евклидова норма). Пусть А,, г[£| — линейное подпространство Аг(£), порожденное конусом (add)}[£,»/]. В пространстве Аг(£) определим норму-вариацию:

. . m

¡=1 .

где sup берется по всевозможным разбиениям множества Е на конечное число попарно непересекающихся элементов L, € £• Для любого с > О введем множества:

'Мо.гИ = {f еВоАЕХ): jK ||/(-J')||, i/(c/.r) < с},

_«_

3Серов В.П., Ченцов А.Г. Конечноаддитвное расширение линейных залам оптимашю!о ¿правления с интегральными ограничениями/ Урал, политех». ш»-т.- Свердловск. 1089.- 59 с. - Деи. в ВИНИТИ N 6644 - В89.

MT[c\ á {}eBr(E,C): /£||/(x)||r4(dx)<c},

Erie] й {/' £ АЧ)Г|£] : V„(E) < с}.

Свойство плотности обычных векторных управлений, удовлетвори! щих некоторому ресурсному ограничению, является осповиым резул татом §4 и формулируется следующим образом.

Теорема 1.4.1 Для любой топологии г 6 ЯЛ справедливо равенств

Нг[с] = cl({f *r,: j е Л/о,г[с]}, ®ГИ) d({f *t¡: fe ВД}, ®'|rj).

В §5 рассматривается линейная управляемая система

Щ = A(t)x(t) + B(t)f{t), í£[<o,t?o], *(<о)=*о,

где х 6 R", Д( ) — п х n-матрицант с непрерывными компонентам! В(-)— п х r-матрицант с кусочно-непрерывными (к.-н.) и иепрерывнь ми справа (д.сп.) на [<о, t?o[ компонентами. На управляющую программ / € Fr([íO)^o[)i где Fr([<o,t?o[) есть множество всех кусочно-постоянны (к.-п.) и н.сп. на [ío, t?o[ r-мерных вектор-функций, накладывается р< сурсное ограничение общего вида .

(II' Иг—произвольная норма в пространстве /Г, с > 0) и интегрально ограничение

' j[S(í)/(t)díer, (í

где S(-)—т х г-матрицант с к.-н. компонентами, Y—замкнутое мцож( ство в Ят, m£j\í.

Наряду с заданными "жесткими" ограничениями рассматриваю«: возмущенные условия на выбор управления. А именно, в первом случа* соответствующем наиболее полному ослаблению условий, параметр заменяется нас+е, а множество У —на его е- окрестность Уе (в смысл Нормы, определяемой как максимум из компонент)-, е > 0. Во второ! случае параметр с остается без изменения, a Y заменяется множество!

Y? й{у€ R™ ¡Зг/еУ: (VA 6 Г0: » = Iit) к (Vi £ ТТВД:<*)

где Г.о—множество «индексов j 6 j,m, для которых соответствующая j-а; строка матрицанта 5 является к.-п. вектор-функцией. Области дости жимости системы, соответствующие заданным "жестким" ограничения!

я ослабленным ограничениям первого и второго типов, обозначим через G, G'1' и Gf соответственно. Тогда

Ait® й ft с1(СМ,®"[тй)) ¡6Ц, £>0

есть область асимптотической достижимости, состоящая из пределов сходящихся последовательностей (x/u)(tfo)b'ejV, где (/'■,')jev есть последовательность в Fr([ioi ^o[)i соблюдающая каждое e-осл'абленное ограничение для почти всех j € N (е > 0). Пусть

пй {и е Нг(с]: ./* S(t) M(dt) 6 V}, G = {*„(*„) [ р £ П},

где £,,(•)—обобщенное решение системы (2). (В данном случае в качестве тройки (Е,С,г/) берется интервал [£<ь$о[ с нолуалгеброй, образованной множеством всех интервалов [»,/}[, < а < (3 < до, и. мерой, определяемой посредством длин интервалов). В качестве Вй,г(Е,С) выступает множество Fr((to, t?o[)-) С учетом результатов §4 справедливо следующее Предложение 1.5.1 Справедливо равенство: Att(1' = At№ ~ G. Итак, асимптотика областей достижимости возмущенных задач (в обоих случаях) совпадает с областью достижимости обобщенной задачи. Область достижимости является асимптотически нечувствительной относительно ресурсного.ограничения и ограничений, определяемых ступенчатыми функционалами.

Кроме того, как следствие Леммы 9.5.14 и Теоремы 1.4.1 получаем Предложение 1.5.2 Если Г0 = 1, rrt, tno G = G. Следовательно в случае, когда все элементы матрпцапта S являются к.-п. функциями, имеет место устойчивость области достижимости системы (2).

В §6 рассматривается управляемая система

x(t) = A(t)x(t) + G(t,u), t€ >,t?o).- J('o) = *o. (4)

x е'й", u б P, P— компакт dF, n £ .V, V e -V';' A(-) и G(-, ■)— непрерывные отображения, определенные на [/o-i?o] " ('о^о] x /'соответственно. Для любого управления U 6 U, где U— множество всех к.-п. и н.сп. на [<o,^ol функций со значениями в Р. через <#/(•) обозначим движение системы, порожденное этим управлением. Введем функционал

7(1') = max (')}*■ Л/(/)), Г G U.

\ i0<(<i)0

4Ченцов А.Г, Конечно-аддитивные меры ч релаксации чксгремальных «»дач.- Гкатерим6>|я. li t ука. 1993. ' 232 с.

редставлякнций собой максимальное отклонение вектора, первых к кЬ-рдинат (к < п) фазового вектора системы от выпуклого компакта М, епрерывно меняющегося во времени. Задача состоит я отыскании зна-еиия 7° = нгё 7(17) и построении соответствующих необходимых усло-яй оптимальности для нахождения оптимального управления. Идейной основой §6 является принцип двойственности задач опти-ального, управления и математического программирования, сформу-ированный Н.Н.Красовским, и принцип максимума Л.С. Понтрягина. Ля решения задачи используются обобщенные программные управ-шия-меры. Предлагается специальная конструкция двойственности, жводяшая к бесконечномерной задаче МП. Именно, вводится фупк-1Я ф:КхПхЬ-+П

Мо)

+ / / [шужмс^^МФ, «))ч(л),

1«о,|»о]1(о,*>о1хР ... е 71— множество всех обобщенных управлений-мер, Н— множество гх вероятностных мер, определенных на «т-алгебре борелевских под-ожеств интервала [<п, г?0], Ь—множество всех измеримых по Борелю нкций £ : [<0, *?о] -» где Ь = {у 6 Я* : Цу|| < 1}. Лемма 1.6.1 Справедливо равенство:.

Лемма 1.6.2 Пусть г) £ Н, £ € Ь. Тогда справедливо соотношение

Ы / ¡¡{(ф))'{${«; ¿)С(в,н)}»Лч(Л) =

[<оА]

- ]*' тш ] {№)'Ш »)<?(*, и)}* ФЩ йз.

Мо]

:1усгь7г0 = {//0е7г.-7(//) = 70};

<° = е П х Ъ : / [«°(*)У{Ф(Мо)М* -

+ /"" шт 7 8)С(*. а)}* ,1* = 7°}.'

' и и г

и

Принцип максимума для обобщенных управлений-мер формули ся в следующем виде.

' Теорема 1.6.1 Пусть ц° 6 К0, бМ°. Тогда

I I (e(t)U4t^)G(s,u)}kr,0(dt)^(d(s,u)) =

= Лтш / «°(t))4®(i,i)G(e|iij}t40(dO^-

° [>А]

• Далее рассматривается динамический метод решения двойств« задачи для задачи последовательной оптимизации с критерием

т

представляющим собой взвешенную сумму (а,—весовые коэффицш расстояний вектора "геометрических" координат системы (4) в фик ванные моменты времени г, до заданных выпуклых компактов М;, J?*, i 6 1, т, т £ А/". В силу принципа двойственности, подоб! оптимальное значение имеет вид

m

7m = тах{Е[а,Л'(«){$(п-,<0)*oh - Ац(Л(0)1+

+ «ир(£ а,-Л'(7){Ф(Г;,т)С(г,«)}* dr},

где Л = (Л(1),..., Л(т)) 6 Lm. Для определения оптимального з иия двойственной переменной, реализующего максимум в (5), bboj управляемая система с дискретным временем, управлением в ко: является вектор Л € Lm, а оптимальный результат совпадает с 7° шение полученной задачи дискретной оптимизации находится на о дискретного варианта метода динамического программирования . водится пример численной реализации предложенного алгоритм! плоского случая задачи управления материальной точкой.

Во второй главе диссертации исследуются свойства асимптота достижимых множеств (в условиях исчезающе малых возмущений цичений на выбор управления) для абстрактного "оператора chci и для конкретных постановок задач управления.

В §1 на примере управляемой системы (2) с ограничениями аси тичеекого характера на выбор управления / 6 В$Г(Е,С) даны ог ления трех типов предельных множеств (аттракторов, согласно т полоши4 ):

'Красовскяй Я.И, Теория управления движением. - M.: Наука, 1988. - 475 с.

аттрактор сходимости Attc;

аттрактор ограниченной сходимости Attэлементы которого допус-ают Предельную реализацию в классе интегрально ограниченных приниженных решений (но при этом могут существовать и неограниченные ешения);

аттрактор ограниченной по существу сходимости Attf^, допускающий элько ограниченную реализацию в классе приближенных решений.

риводятся примеры, когда все три вида аттракторов совпадают и к<>-щ, наоборот, Attc ф АЩС. . В §2 рассматриваются условия ограниченной реализации асимпто-1чески достижимых элементов для абстрактного оператора системы, усть w—непрерывный оператор, действующий из ТП ((а<М)+[£; rj], г(г*(£)]) в произвольное ТП (в,б). Кроме того, полагаем W = w о / : fr(E, С.) —► Э (/—оператор интегрирования). Пусть 3 —непустое се-;йство подмножеств Вд г(Е,С) такое, что VA 6 3 VB 6 Э ЗС G 3 : С А П В (в случае, когда это семейство является базисом

тльтра). Далее 3; выполняет роль ограничений асимптотического ха-ктера. Пусть VgS[Q фЦ V XG {DIR)[Q} (Vw £ в

(AS)[Q, -«,«] & {p £ Bgr(E, Cf | (W € 3.3m 6 g Vg € Q :

(m -< q) (g(g) € U)) & ((Q, -<-, W о g) Л «)}; В r(Q, X) = {5 € Blr{E, Cf \3dtQ3c e]0, oo[ Vg e Q :

(d^q)^{±]E9i(q)d7,<c)}

r(Qi ■<) есть множество интегрально ограниченных по существу на-авленностей). .Определим аттракторы сходимости и ограниченной по цеству сходимости:

АС й {ш е е I Hg S[Q ф 0] 3 4€ (DTR)[Q] : (Л5)[<?; Ф 0};

ВАС = {и 6 АС | VQ S[Q ф 0] V 46 (DIR){Q]:

(ASMQ-.^wJcBriQ.'-s)}.

Георема! 2.2.1 Пусть ш Е АС. Тогда следующие условия эквива-тны: ■ .

[) ш 6 ВАС;

2) Vr S[T ф 0] V {DIR)[T} Vh £ (vlS)[T; -<; w]:

(®r[r;(£)}-ci)iT-^-,ioh}yít

(Здесь последнее выражение означает, что множество предельных точе (в топологии ®r[r¿(£)]) направленности (Т, í о h) не пусто.)

Далее рассматривается случай метрического пространства (&,в). Условие 2.2.1 6 в Va б]0,со[ 36 6 [0,оо[ V/г 6 (add)+[C; г/]:

(Ь< ¿МВ))^ (в <р(ы°, Цр))). i=i

Теорема 2.2.2 Пусть выполнено условие 2.2.1. Тогда АС = ВАС. В §3 второй главы исследуются вопроси! устойчивости области доем жимости системы (2) с ограничением на управление / £ Fq, где

Fo = ¡{/ £ Щг(Е, С) | ¿°(s(t) ■ f(t)) dt < 0},

» € ВГ(Е, £), (á(t) ■ /(í))—скалярное произведение векторов из i¡ (Здесь, как ив §1.5, в качестве [Е,£, r¡) выступаег полуинтервал [<о, полуалгеброй-!'стрелкой" и мерой—длинрой интервала). Вводится сп циальный класс функций, "цорождающих неустойчивость". Имени пусть Bf -множество всех r-мерных вектор-функций, имеющих не трицательные к.-н., н.сп. и равные 0 не более чем в конечном чис. точек интервала [<о,^о[ компоненты. Полагаем V¿o 6 Т^7 Vi, £]<Oi$o]:

(GU)r[i0]t,-o} к у е В+ | Ы*.-0) = 0) к {(Щдо,и)В(и-0)У° ^0,)

и Vio е IT? Vi. 6"(<p,do[: \ • *

(Gí7)r[¿o; 1,1 = у 6 в+ | Ыи) = 0) &с ((Ф(1?р, и)В(и)У» ¿ 0Г)};

здесь Ф(-, •)— фундаментальная матрица решений соответствующей д норрдной системы, 0Г—нулевой ректор Rr, для любой матрицы X запи Л'1 означает г-ый столбец матрицы. Через обозначив точку об л ас: достижимости системы, соответствующую управлению / = 0. Аналогично §1.5 рассматриваются возмущенные условия

£>0,

и соответствующая им область асимптотической достижимости г- А Цосгаточные условия неустойчивости области достижимости G форм Лируются в виде ¿щух утверждений.

Теорема 2.3.1 Пусть множество допустимых управлений системы (2) есть F0 и Э/„ е T7¡í Вtt б]Г0, до] : ■->€ (Gir)rl'o; U ~ 0]. Тогда G ф Ait.

Более, того,

G = {и/>}, {шп + j){w* - ш°), /i > 0} С A it, .

ide ÜJ* = + (Ф(0а, U)B(t♦ - 0))'°.

Теорема 2.3.2 Пусть множество допустимых управлении системы '2) есть F„ и Эг„ 6 T¡ñ 3f, -g [fo',i?o[: s € (С(7)г[г0; í,]. Тогда G ф Ait. Зо'геп того,

■ G = {w0}, + /3(ш' - /3 > 0}' С Att,

деш* = и°+{Ф{$0,иЩи)У\

Приводится пример задачи унравлепня материальной точкой, п ко-ором выполняются условия теоремы 2.3.1 и для которого G = {0}, Ш = [0, оо[. '

В §4 исследуются различные варианты релаксаций задач управления [атериалыюй точкой. В частности, рассматривается линейная задача б управляемой материальной точке в Ньютоновом"поле. В предположении, что управляющее воздействие таково, что движение точки про-сходит по кривой, мало отличающейся от плоской круговой орбиты с адиусом го, г0 > 0, уравнения движения представимы п виде 6

= *з(<) ■ ¿j(0 = x4(¿)

¿3(í) - -en(t)+m h(t) =' -í2ij(t) + /2(t),

le = fi/r¡| (//.—гравитационный параметр), t £ [0. тг/£], .r(0) = n,0,0.C»'q). Па управляющую программу /. являющуюся к.-п. вектор-ункцией (г =2), накладывается ресурсное ограничение

.ГИ/(0!И<е, с> 0

• || евклидова норма в R2) и интегральные ограничения

«иmm dt = -г, ¡^ smтШ) <н = п.

'Т>< jui.imeiv К).ii.. Сашшопа .'i л. О некоторых *адачах перемещения материальной точки » i part ином ном поло iflAocin// Рел^кснелинейных ?кгтр^мальиых: задач.- ('иерллопск, Н>91. О. 22. Ч '

Показывается, что заданная система ограничений несовместна и в это; случае область достижимости G = 0. Но при ослаблении условия н ресурс (замена с па с + £, £ > 0) или на первое интегральное огранич* ние области достижимости уже не пусты и соответствующие аттрактор! совпадают. Однако, задача является устойчивой по отношению ко втс рому интегральному ограничению, поскольку возмущение одного лиш этого ограничения не приводит к изменению результата.

В данном примере имеет место грубость (асимптотическая нечу! ствительиость) относительно первого интегрального ограничения, хот функция, входящая в определение этого ограничения, не является к п.. Таким образом, рассмотренный пример подтверждают тот факт, чт ступенчатость функций, входящих в интегральное ограничение вида (3 является лишь достаточным условием асимптотической нечувствител! ности (см. Предложение 1.5.1).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1 .Для задачи оптимизации ограниченного функционала на бесконе1 ности (а таюре более общей задачи оптимизации по конусу, соответстр) ющему поточечной упорядоченности пространства оценок) дано описг ние множества всех обобщенных экстремальных элементов в термина разложения Хыоитта-Иосиды. !

'¿.Установлено новое свойство плотности интегрально ограниченног множества ступенчатых вектор-функций в соответствующем множеств слабо абсолютно непрерывных конечно-аддитивных векторных мер и н основе этого построено корректное расширение задачи управления m нейной системой ,с интегральными ограничениями.

3. Для негладкой задачи оптимального управления (мнннмпзаци максимального отклонения траектории управляемой системы от непр< рывно меняющегося выпуклого компакта) получен аналог принцип максимума Л.С.Ионтрягина, краевые условия в котором находятся И решения двойственной задачи МП (в классе обобщенных управлени! мер). '. , .

•Д. Для абстрактной задачи управления установлены необходимые достаточные условия исчерпывающей реализации асимптотически Д1 стцжимых элементов в классе интегрально ограниченных приближе! иых репгений.

5, Получены достаточные условия иеустойчивосш области достшш Мости для одного класса управляемых систем с интегральными огращ ,'цсицями типа неравенства.

1С

Основные результаты диссертации изложены в следующих работах:

1. Тарасова С.И. Минимизация максимального отклонения в задаче управления собственно линейной системой на конечном промежутке времени//Конф. молодых математиков. Свердловск, 13-17 января 1986 г.: Информ. материалы - Свердловск, 1986. - С.48. (Препринт ИММ УНЦ АН СССР).

2. 'Тарасова С.И., Ченцов А.Г. Минимизация максимального отклонения от системы выпуклых множеств// Кибернетика. - 1988. - N 3. -С. 119-121

3. Морина С.И. Построение асимптотически достижимых множеств в некоторых задачах управления/Ин-т математики и мехапики УрО РАН. - Екатеринбург, 1993 - 29 с. - Деп. в ВИНИТИ N 2807-В93.

4. Морина С.И. Об устойчивости области достижимости линейной управляемой системы с интегральными ограничеииями//Всероссийская научная конференция "Алгоритмическое обеспечение процессов управления в механике и машиностроении. Ярополец, 1994 г.: Тез. докл. -Москва, 1994. - С.23-24.

5. Морина С.И., Сабирянова К.Г. Численное моделирование в одной тадаче последовательной оптимизазии// VII Всесоюзная конференция 'Качественная теория дифференциальных уравнений". Рига, 1989 г.: Гез. докл. - Рига, 1989. - С.163.

6. Морина С.И., Чепцов А.Г. Дискретное управление в задачах математического программирования, двойственных к задачам последопа--ельной оптимизации// АиТ. - 1989. - N 3. - С. 47-56!

7. Морина С.И., Серов В.П., Ченцов А.Г. К вопросу о построении функции Беллмана в некоторых задачах оптимального управления с юмбинированными ограш1чениями//МТТ. Известия АН СССР- 1989. -■I4.-C.9-16.

8. Морипа С.II., Чепцов А.Г. Об одной задаче асимптотической опти-' 1изащш//Вест. Челябинского ун-та. Сер. 3, математика и механика. 1994. - N 1. - С.80-86.

9. Морина С.И., Ченцов А.Г. Ограниченная реализация аснмптоти-ескн достижимых элеменгов//ПММ. - 1995. - Т 59, вьпт.6.

10. Chentsov A. and Morina S. Asymptotically attainable elements îuler perturbation of functional constraints and conditions of their bounded ■alization// Functional differential equations. - 1994. - Vol. 2. - P. 23- 37.

11. Clientsov A.G. and Morina S.I. An extension of abstract control

problems with integral constraints in the class of finitely additive measures, Proc. of International Workshop on Singular solutions and perturbations control systems. - Pereslavl-Zalessky, 1995. - P.25 25.