Компоненты многообразия модулей стабильных двумерных векторных расслоений на P3 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ.

§ I. Предварительные сведения и редукционные соотношения

§ 2. Серия № (С).

§ 3. Серия

§ 4. Геометрия J4z(/f^(i))vL монады.

ГЛАВА П. СОСТАВНЫЕ РАССЛОЕНИЯ.

§ 5. Серия

Пусть С - поле комплексных чисел. Векторное расслоение над схемой X конечного типа над С есть локально-свободный когерентный пучок на X. Всюду в дальнейшем будем рассматривать случай с

X — Р3. Если Е - векторное расслоение на Р3 и ££ЖР3,Е) глобальное сечение Е, то S определяет отображение Е. Применяя функтор Но rn('f 0р3) получаем отображение 0р3, образ которого - пучок идеалов D в 0р3. Соответствующая замкнутая подсхема У в Р называется схемой нулей и обозначается (fS )о. Нас о будет интересовать информация о схеме модулей расслоений на Р3 ранга 2 с дополнительным условием стабильности, или, что эквивалентно, отсутствием глобальных сечений у нормализованного расслоения: Е) = 0, Cj(E) = 0 или -I. См. [2, 4] .

Проблема описания схемы модулей для расслоений даже на простых многообразиях остается открытой. В случае вопрос о существовании схемы модулей для стабильных расслоений ранга 2 был рассмотрен и положительно разрешен Маруямой [l3] . Явное геометрическое описание схемы модулей для стабильных расслоений в первом нетривиальном случае ^ыло Д3110 Бартом для Cj = 0 и Хулеком [12] для Cj - -I.

В случае Р0, даже при условии, что ранг расслоения 2, кроо ме примеров, демонстрирующих приводимость и несвязность многообразия модулей M^Cj, Cg), фактов о его структуре общего характера (число компонент, приведенность, рациональность и т.д.) неизвестно.

П.Вевер [Ю] и Барт [4] описали случай Mg(0, I), причем в [ю] получено точное описание схемы модулей в виде Р^ компактификацией по квадрике Плюккера, соответствующей стабильным когерентным пучкам. Хартшорн и Стрэмм-Эллинсруд описали, как выглядит схема модулей для стабильных расслоений ранга 2 в случае Cj = О и С2 = 2 и 3. Известно также описание схемы модулей для Mg(-I,2) вместе с компактификацией, Хартшорн-Солс [э] . К сожалению, методы изучения этих случаев фактически несут информацию о специфике этих конкретных примеров.

Далее, известно, что для достаточно больших Я, нуль сечения о

S^H^Pg» Е.( п)) будет в общем случае неособой алгебраической кривой в Р3. Имея определенную информацию о кривых этого класса, т.н. дробно-канонических кривых, можно переносить эту информацию на расслоения с помощью стандартных приемов [б] . К сожалению, проблема классификации кривых в Рд, в частности, выделение инвариантов, разделяющих семейства, находится в весьма неудовлетворительном состоянии - поэтому переход на язык нулей сечений есть только переформулировка проблемы. Однако, используя семейства кривых в Р, достаточно четко описываемых своей конструкцией, к прио меру: нули сечений расслоений с описанной схемой модулей, полные пересечения, их неразветвленные накрытия и т.д., можно с успехом выделять в схеме модулей стабильных расслоений на Р ранга 2 целые неприводимые компоненты. При этом важную роль играет понятие спектра для стабильного расслоения ранга 2 на Рд, введенного Бар-том-Оленсвейгом [в] для Cj = 0 и Хартшорном для Cj = -I [i] .

Предполагая для простоты Cj в 0 (хотя все сказанное ниже дословно переносится на нечетный случай с соответствующими поправками на спектр), напомним, что согласно [в] расслоение Е однозначно определяет последовательность целых чисел - спектр расслоения E:JC 00 свойствами: ы л-Кс2/г . к, С2 - четное нечетное

Эта последовательность имеет длину С2 и обладает двумя важными свойствами:

Симметрия: она выражается фактом: -/г^Х^если (Это отражает автодуальность £: £7— £"v)

Связность: ^j-ы- Kj + i для всех j^jу если С<> - четное, соответственно J-0? если С2 - нечетное. (Это отражает стабильность Е).

Основное значение спектра^ для расслоения Е заключается в следующем: если К - расслоение на Pj ранга С2: то для любого L >0 H1£(i-i)- Н°(К(-0).

Таким образом, размерности определяются спектром^. Далее всегда к будет обозначать число вхождений К в спектр, a JfS- положительную часть спектра с нулем.

Традиционная методика описания схемы модулей Mg^Cj С2) состояла в выписывании всех возможных спектров для фиксированного Сг> и тщательного анализа на языке монад или кривых каждого случая. Таким образом были составлены экспериментальные данные Барта для Cg s I f 8 [з] . Прогресс при таком подходе оказывается затрудненным из-за перемешивания различных по своей геометрической структуре случаев. Гораздо плодотворнее представляется подход, заключающийся в фиксировании конкретного спектра и изучении свойств серии расслоений с таким спектром, если последний фактически реализуется. Одна из наиболее трудных проблем классификации расслоений на Р3 заключается в описании "разрешенных" спектров. Цель этой работы заключается в попытке выявить как конструируются произвольные существующие спектры из некоторых простых (элементарных).

Имеющиеся к настоящему времени сведения, обобщающие большое количество экспериментальных данных и отдельных результатов, позволяют сформулировать следующую гипотезу:

Г) Пусть . К*** - спектр расслоения Е,

Иными словами, кратности в спектре, вообще говоря, не могут уменьшаться справа налево, за исключением серий, где они уменьшаются с некоторого места строго на I до нуля включительно;

Далее, всякое известное в настоящее время семейство стабильных расслоений определяется архитектурой своего спектра, хотя вопрос об инвариантности спектра при деформации расслоения до сих пор остается открытым. Точно также пока нет общего доказательства Сг). Примеры, опровергающие (Г) пока неизвестны.

В диссертации будут рассмотрены несколько серий, подтверждающих (Г) в ряде случаев.

Все сказанное равным образом относится и к случаю Cj = -I с соответствующими поправками на симметрию спектра. Мы формулируем и в ряде случаев доказываем аналогичные утверждения для нечетного случая.

Отметим в заключение, что размерности всех описанных к настоящему времени компонент имеют либо квадратичную, либо кубическую асимптотику по Cg, точнее по К - хвосту спектра. Линейный случай реализуется пока лишь инстантонными расслоениями, спектр

Тогда либо всегда

0< t < К , начиная с которого существует которых состоит из нулей.

Инстантонные расслоения при нашем подходе относятся к элементарным и требуют другой техники для изучения структуры многообразия модулей. Отметим только, что известные сейчас результаты о структуре таких расслоений для Cg - 2, 3, 4 можно успешно использовать для конструкции составных расслоений.

Автор выражает глубокую благодарность А.Н. Турину за внимание к работе и ценные замечания.

1. н. R.Hartshome, Stable reflexive sheaves, 1. Math. Ann. 254(1980) 121-176.1a. R.Hartshome, Stable reflexive sheaves II; Inv. Math. 66 (1982) 165-190.

2. R.Hartshome, Stable vector bundles of rank 2 on fj . Math. Ann. 238, 229-280.

3. W.Barth. Stable vector bundles on F3 . Some exp. data. Sem. Douady-Verdier (1979).

4. W.Barth. Some properties of stable rank 2 vector bundles on Pn . Math. Ann. 226. 125-150 (1977).

5. W.Barth, K.Hulek. Monads and moduli of vector bundles. Manus. math. 25(1978) 323-347.

6. R.Hartshome. On the clasification of algebraic space curves. Preprint.

7. Ellingsrud G., StrSmme S. Stable rank-2 vector bundles onP3 with C^O and C2=3. Math. Ann. 255. 129-138 (1981).

8. W.Barth, Ellencwaig G. Concernant la cohomologie des fibres algebriques stables sur Pn • Varietes analytiques com-pactes. Nice 1977. LNM 683., 1-24.

9. R.Hartshome, Sols I. Stable rank 2 vector bundles on F3 with = y CL~ 2 v Jour. Reine und Angew. Math. (1981) 145-152.

10. P.Wever. Fine moduli space for bundles on F^ with Сг=1-Nagoya M.J. 84 (9-30) (1981).

11. W.Barth Moduli of stable bundles of rank 2 on P^ . Inv. Math. 42, 63-91.

12. Hulek К. Moduli of stable rank 2 bundles wizh C^-j on Pt .Math. Ann. 241. Z4-26G (4979).

13. Maruyama M. Moduli of stable sheaves I. II. J.M.Kyoto Univ. 18(1978) 557-614.