Конечно-элементный метод контрольного объема для исследования процессов неизотермической фильтрации в областях со сложной геометрией тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

На правах рукописи

Мустафина Дарья Александровна 003491649

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТЫЙ МЕТОД КОНТРОЛЬНОГО ОБЪЕМА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ОБЛАСТЯХ СО СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ

01.04.14—Теплофизика и теоретическая теплотехника 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа-2010

1 1 ФЕ8 7010

003491649

Работа выполнена на кафедре геофизики физического факультета Башкирского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор, Валиуллин Рим Абдуллович

Научный консультант:

кандидат технических наук, Скибин Александр Петрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор, Урманчеев Сайд Федорович доктор физико-математических наук, профессор, Булгакова Гузель Талгатовна

Ведущая организация:

Защита диссертации состоится 24 февраля 2010 года в 14:00 часов на заседании Диссертационного Совета Д 212.013.04 в БашГУ по адресу: 450074, г. Уфа, ул. Заки Валиди 32, БашГУ, физический факультет, аудитория 216.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке физического факультета БашГУ.

Автореферат разослан «22» января 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.013.04

Институт проблем механики РАН

доктор физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность проблемы.

Моделирование разработки нефтегазоносных пластов осложняется значительной неоднородностью и анизотропией свойств пород, слагающих продуктивный пласт коллектора, а также тем, что при тепловой обработке коллектора среды, содержащиеся в пластах, приобретают температуру, отличную от естественной пластовой температуры. Кроме того, значительное влияние на продуктивность пласта оказывает околоскважинная зона, свойства которой обычно значительно изменены в сравнении с остальной частью пласта. Таким образом, фильтрационные процессы определяются различными характерными размерами: размер скважин, околоскважинных зон, размер контура питания. Поэтому разработка специальных численных методов, позволяющих решать разномасштабные неизотермические задачи фильтрации, является актуальной.

Цель работы.

Цель работы заключается в исследовании процессов неизотермической одно-и двухфазной фильтрации с учетом геометрических особенностей пласта, околоскважинной зоны и при наличии анизотропии теплопроводности и проницаемости на основе разработки эффективного численного метода.

Научная новизна работы:

1. Разработаны консервативные варианты конечно - элементного метода контрольного объёма для численного решения задач неизотермической однофазной фильтрации жидкости или газа и двухфазной фильтрации несмешивающихся слабосжимаемых жидкостей в двумерных областях и двухфазной смешивающейся фильтрации в трехмерных областях.

2. Разработан новый способ учета тензора проницаемости и эффективной теплопроводности для анизотропных резервуаров.

3. Разработан новый метод "неявное давление - неявная насыщенность" для задач смешивающейся двухфазной фильтрации.

4. Установлено, что неизотермичность оказывает значительное влияние на очистку пробы на начальной стадии процесса отбора пластовых флюидов и не влияет на степень загрязнения пробы на конечной стадии пробоотбора как для горизонтальной, так и для вертикальной скважин.

Научная и практическая значимость работы.

Научная и практическая значимость работы заключается в разработке консервативных вариантов конечно-элементного метода контрольного объёма, позволяющих моделировать разномасштабные задачи одно- и двухфазной фильтрации с учетом геометрических особенностей, при наличии неоднородности свойств пласта и анизотропии проницаемости и теплопроводности, используя грубые сетки с локальным неструктурированным сгущением. Предложенный для случая смешивающейся фильтрации слабосжимаемых жидкостей численный метод решения многофазных задач "неявное давление - неявная насыщенность" позволяет использовать неявную разностную схему, которая является безусловно устойчивой.

Практическая ценность заключается в создании программных комплексов на языке Fortran для численного моделирования одно- и двухфазной фильтрации. Решены прикладные задачи о процессе пробоотбора в вертикальной и горизонтальной скважинах.

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на российских и международных научно-технических конференциях и семинарах:

1. Семинар лаборатории радиационной газовой динамики Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН (Москва, 2009)

2. Заседание кафедры геофизики физического факультета Башкирского государственного университета (Уфа, 2009)

3. Вторая всероссийская конференция молодых ученых и специалистов «Будущее машиностроение России» (Москва, 2009)

4. IV-я международная научно-практическая конференция STAR-2009.: «Компьютерные технологии решения прикладных задач тепломассопереноса и прочности». (Нижний Новгород, 2009)

5. XV международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (Москва, 2009)

6. Российская техническая нефтегазовая конференция и выставка SPE 2008 (Москва, 2008)

7. X международная конференция «Тепловое поле Земли и методы его изучения» (Москва, 2008)

8. Научно-практическая конференция «Математическое моделирование и компьютерные технологии в разработке месторождений» (Уфа, 2008)

9. Выставка научно-технического творчества студентов в рамках XII

Всемирного Русского Народного Собора (Москва, 2008) Ю.Вторая студенческая научно-инженерная выставка «Политехника» (Москва, 2007)

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 6 печатных работах, список которых приводится в конце автореферата. По результатам работы подано 2 заявки на патент.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы из 134 наименований. Общий объем работы составляет 165 страниц, включающих 83 рисунка и 15 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность рассматриваемых в работе проблем, сформулированы основные цели диссертации и дано её кратное содержание по главам.

Первая глава посвящена обзору существующих математических моделей неизотермической одно- и двухфазной фильтрации, обзору существующих численных методов для моделирования фильтрации в областях со сложной геометрией, а также приведены проблемы применения коммерческого программного обеспечения для решения задач неизотермической фильтрации в областях со сложной геометрией.

При численном исследовании неизотермической фильтрации выбор математической модели определяется основными физическими закономерностями процесса. Различают два семейства моделей неизотермической фильтрации: однотемпературные и двухтемпературные. В основе однотемпературной модели лежит предпосылка о возможности пренебрежения разностью температур между флюидом и каркасом пористой среды. Если это предположение не верно для рассматриваемого процесса, то используется двухтемпературная модель. При исследовании процессов неизотермической фильтрации может возникнуть необходимость учета влияния теплопроводности, капиллярных сил, гравитации, эффекта Джоуля-Томсона, взаимосвязанности тепло- и массопереноса.

Численное решение задач тепло- и массопереноса в геологических пластах осложняется особенностями строения пласта. В этих случаях возникает

необходимость формирования расчетных сеток, обладающих возможностью адаптации к геометрическим особенностям задачи и особенностям решения. Для этих целей применяют сетки с нерегулярной структурой: как структурированные, так и неструктурированные. Для построения разностных схем на нерегулярных сетках используются следующие подходы: метод опорных операторов, метод конечных элементов и метод контрольного объёма (МКО). Общим подходом к построению дискретных аналогов, используемым для моделирования процессов в геологических пластах, является МКО, основной особенностью которого является применение для построения разностных схем локальных законов сохранения. Широко распространенным является ячейко-центрированный вариант МКО. Однако в последнее время стал применяться конечно-элементный метод контрольного объёма (МКЭКО), который можно рассматривать как вариант вершинно-центрированного МКО для многогранного контрольного объема. Этот метод объединяет основные положительные черты как метода контрольного объСма, так и метода конечных элементов. Обзор литературы показал, что в работах по решению задач фильтрации в геологических пластах при помощи МКЭКО не освещён ряд вопросов. Во многих работах не учитываются эффекты инерционного движения, которые оказывают значительное влияние на процесс фильтрации жидкости или газа с большими скоростями. При описании анизотропии чаще всего используется масштабирование координат, что не позволяет описывать сложные случаи неоднородной анизотропии.

Особенностью коммерческого программного обеспечения, применяемого для гидродинамического моделирования геологических пластов, является то, что оно предназначено для моделирования многофазной фильтрации в масштабе всего месторождения, что приводит у трудностям при решении задач более мелкого масштаба, таких как прискважинная область или образец горной породы.

Поэтому возникла необходимость разработать вариант МКЭКО для решения разномасштабных задач фильтрации, который позволит легко описывать сложную геометрию и наличие анизотропии в пористой среде, а также будет обладать консервативностью, что позволит решать нелинейные задачи одно- и двухфазной фильтрации на грубой сетке.

Во второй главе разработан вариант МКЭКО для решения задач однофазной неизотермической фильтрации жидкости или газа, программная реализация данного метода и тестирование разработанного программного обеспечения.

Контрольный объём

V- "г-ч * ^^

Чч.

Рве. 1. Дискретизация расчетной области

Для построения разностной схемы расчетная область разбивалась на треугольные элементы, на форму и размер которых не накладываются никакие ограничения. С каждым узлом расчетной области ассоциируется контрольный

объём, построенный так, как показано на рис.1.

Дискретные аналоги для каждого узла получаются из

уравнения материального баланса для контрольного объёма, связанного с этим узлом, которые затем ансамблируются в систему линейных уравнений.

На основе описанного в главе варианта МКЭКО был создан программный комплекс для решения системы уравнений неизотермической однофазной фильтрации, состоящей из уравнения неразрывности (1), обобщенного закона Дарси (2)., уравнения энергии .(3), уравнения состоянии (4). Уравнение неразрывности:

дфр

+ агьрч/ = 0,

(1)

где ф - пористость среды, р - плотность флюида, w - вектор скорости фильтрации флюида.

Закон фильтрации Форхгеймера:

V = -Бёгас1Р, (2)

где тензор V определяется как

Б = (дгЕ + рк ■ ' к, где /х - вязкость флюида, Р- давление флюида, Е- единичный тензор, р- тензор инерционных коэффициентов, к - тензор проницаемости. Уравнение энергии:

дЬ

- <1т [реж Г) = ейи (Хдтай т) + ,

(3)

где К - тензор эффективной теплопроводности пористой среды, Т - температура, {рс^ - объемная эффективная теплоемкость

(рсД =фрср+(1-ф)ргс

где рг- плотность вещества породы, с^- удельная теплоемкость породы, с -

удельная теплоемкость флюида.

Источниковый член Бт учитьтает изменение температуры системы порода-флюид, определяющееся различными факторами, такими как дроссельный эффект, эффект адиабатического охлаждения и др. Уравнение состояния:

Данная система уравнений может быть дополнена обобщенным конвективно-диффузионным уравнением сохранения для скалярной переменной Ф, в качестве которой может выступать концентрация химической компоненты

где - объемный источник, Г - коэффициент диффузии.

Разработанный метод позволяет включить в систему линейных уравнений полный тензор проницаемости и теплопроводности, причем направления главных осей анизотропии могут различаться для каждого треугольного элемента, что особенно актуально для сложных анизотропных резервуаров.

Для тестирования разработанного метода был решен ряд задач, имеющих аналитическое решение или референсное решение, полученное другими ПК: изотермическая стационарная фильтрация газа через пористый цилиндр с нелинейным законом фильтрации, стационарная фильтрация с учетом эффекта Джоуля-Томсона, фильтрация метана из резервуара в скважину, моделирование работы термостатирующего устройства.

Результаты решения одномерной радиальной задачи о нестационарной фильтрации метана из резервуара в скважину приведены на рис. 2-5. Численное решение данной задачи осложняется тем, что плотность, а также другие параметры газа (коэффициент Джоуля-Томсона, коэффициент температурного расширения, коэффициент изотермической сжимаемости) описываются уравнением состояния Ван-дер-Ваальса. На рис. 2 и 3 показано изменение давления и температуры по радиусу на момент времени 10 дней. На рис. 3 влияние эффекта Джоуля-Томсона и адиабатического расширения проявляются в значительном понижении температуры в околоскважинной области. На рис. 4 представлено изменение давления на радиусе 250 м, а на рис. 5 изменение температуры на границе скважины в зависимости от времени. Результаты, полученные с помощью МКЭКО,

(4)

были сравнены с результатами, полученными с помощью референсного кода МКО. Максимальная относительная погрешность не превышает 0,5% на неравномерной сетке, содержащей 150 контрольных объемов.

1.ЮМ7

Рис.2. Распределение давления по радиусу на момент временя 10 диен

2.МЕЮ7

Рис.3. Распределение температуры по радиусу на момент времени 10 дней

т.»

350.1 310,4 НО,2

X £ 350

? )<»,»

I Ш.4

348.2 3«

— «ЮКО • IKO

4 t

время, дни

Рис.4. Шмеаение давления на г=250м по временя

0 2 4 11

■ремя, дни

Ряс.5. Изменение температуры на стенке скважины по времени

В третьей главе представлен вариант МКЭКО для моделирования двухфазной неизотермической фильтрации с учетом эффектов теплопроводности, капиллярных и 1равитационных сил, описываемой нижеприведенной системой уравнений (5) - (10).

Уравнение неразрывности:

д(фр в) , ,

где а = о, ш представляет нефтяную и водную фазы, - насыщенность фазы. Скорость фильтрации может быть определена в следующем виде:

(7)

(5)

D,= \цЕ + кгаРаЩJw I к,

где kra - относительная фазовая проницаемость, g - ускорение свободного падения.

Уравнение переноса тепла, соответствующее однотемпературной модели для несмешивающихся жидкостей:

v + divlp с w Т + рс w Г= divlk gradT) + SI. (8)

Qi утр»« 1 г o p0 0 f \e° J T

Насыщенности нефтяной и водной фазы связаны следующим соотношением:

S.+S.= 1. (9)

Давления фаз связаны капиллярным давлением Pcow:

Р = Р +Р . (10)

о w cov¡ к '

Физические свойства флюидов являются функциями давления и температуры.

На основе разработанного метода был создан ПК. Метод протестирован на следующих задачах: задача Баклея — Леверетта, задача о закачке горячей воды в пласт, задача о закачке горячей воды при пятиточечной схеме разработки месторождения. В качестве референсного ПО использовался коммерческий гидродинамический симулятор Eclipse-100 компании Шлюмберже. Рассматривалась закачка воды при температуре 60^ С в пласт с нефтью, находящейся при температуре 25° С. Вязкости воды и нефти являлись функциями температуры. Задача решалась с учетом влияния кондуктивного теплопереноса в пласте. Результаты решения задачи о закачке горячей воды в пласт, полученные на равномерной сетке, содержащей 100 контрольных объемов, представлены на рис. 6, 7. Как видно из графиков, температурный фронт остается позади первичного фронта насыщенности (это связано с потерями энергии на нагревание окружающей пористой среды) и является причиной скачка в вязкостях нефти и воды и формировании вторичного фронта насыщенности.

Рис. 6. Распределение водонасыщеиности на Рис.7, распределение температуры па момент времени 5000 дней момент времени 5000 дней

В четвертой главе представлен вариант гибридного МКЭКО для моделирования двухфазной неизотермической фильтрации смешивающихся жидкостей, программная реализация данного метода и тестирование разработанного программного обеспечения. В данном методе дискретный аналог уравнений в плоскости ху строится на базе конечно-элементного МКО, а в направлении ъ на базе конечно-разностного МКО.

Особенностью данного метода является то, что расчетная область строится посредством перемещения плоского сечения по образующим, которые являются или параллельными прямыми или дугами концентрических окружностей (рис. 8). С каждым узлом расчетной области ассоциируется контрольный объём, построенный так, как показано на рис. 9. Построение контрольного объёма в Рве. 8. Дискретизация расчетной области плоском сечении аналогично построению контрольного объема в двумерном случае, описанном в главе 2.

Рнс.9. Построение контрольного объема для гибридного МКЭКО

На основе описанного в главе варианта МКЭКО был создан программный комплекс для решения системы уравнений неизотермической двухфазной фильтрации смешивающихся жидкостей без учёта капиллярных и гравитационных сил. При данных допущениях математическая модель неизотермической фильтрации (5) — (10) может бьггь преобразована в следующую систему уравнений для «эффективной» среды, состоящую из уравнения неразрывности (11), закона Дарси (12), уравнения энергии (13) и уравнения переноса для функции Баклея — Леверетта /(14). Особенностью этого преобразования является запись уравнений фильтрации в переменных давление и функция Баклея — Леверетта. При этом

насыщенность определяется по найденному значению функции Баклея - Леверетта в соответствии с соотношением (15). Уравнение неразрывности

дР

фр0с1гЛ += 0, (И)

где суммарная скорость фаз определяется как

= —к—¡5гас1Р

N

Уравнение энергии

дф(рс) Т . . .

+ НРШСРС^Т) = вга¿Т) +

(12)

(13)

т дЬ

/ММ1

1 + ф-1) Р.

Г.

Уравнение переноса для скалярной величины /

(14)

(1 + /(м-1))

где сжимаемость среды с^, теплоемкость среды с^, вязкость среды и эффективная объёмная теплоёмкость определяются как

Насыщенность определяется как

5 =

(15)

1 + /(м-1)'

Разработанный гибридный МКЭКО был протестирован на задачах: трехмерная задача теплопроводности оптического сканирования образца горной породы, задача фильтрации нефти и воды через образец горной породы.

Схема задачи фильтрации нефти и воды через образец горной породы представлена на рис. 10. Подвод и отвод фаз осуществляется через отверстия так, как это показано на рисунке. В начальный момент времени образец полностью заполнен нефтью.

нефть

Ряс. 10. Схема задачи фильтрации нефти и воды через образец горной породы

Результаты решения, полученные с помощью гибридного МКЭКО сравнивались с результатами, полученными при помощи

коммерческого гидродинамического симулятора ЕсНрве-ЮО. На рис.11 приведена зависимость средне-интрегральной нефтенасыщенности на выходе из образца. Максимальная относительная погрешность равна 4,9%. В пятой главе исследуется влияние неизотермичности на процесс отбора пробы пластовых флюидов из вертикальной и горизонтальной скважин.

Лабораторный анализ пробы включает в себя определение химического состава, газонефтяного фактора, плотности, вязкости, давления насыщения, температуры кипения. Важным аспектом анализа флюида является исследование свойств флюидов при пластовых условиях. Некоторые измерения такие, как измерение оптической плотности, газонефтяной фактор и химический состав до включительно могут быть проведены в скважине. Но как лабораторный, так и

« 1.2 х

0 -.-

0 5000 10000 15000 20000

воемя, с

Рис. 11. Среднеинтегральнаи нефтенасыщеяность на выходе из образца

скважинный анализ требуют наличия незагрязненной пробы. При бурении с положительным дифференциальным давлением буровой раствор внедряется в пласт, и при отборе пластового флюида проба будет обязательно загрязнена. Углеводородная проба загрязняется буровым раствором на нефтяной основе, а проба воды может быть загрязнена буровым раствором на водной основе. Определение свойств пластовой жидкости по загрязненной пробе приводит к значительным ошибкам, поэтому проблема определения «представительности» пробы является одной из важнейших проблем пробоотбора. Проба может считаться «представительной», если степень загрязнения пробы буровым раствором не будет превышать 10%.

Для отбора пластовых флюидов в нефтяной промышленности используются различные устройства. Здесь рассматривается прибор, состоящий из двух пакеров, образующих окно откачки пластовых флюидов в случае вертикальной (рис. 12а) и горизонтальной (рис.126) скважин.

Процессу пробоотбора предшествуют процесс бурения и циркуляции в скважине, а также фаза восстановления, которые и определяют температурное состояние системы пласт-скважина. Влияние неизотермичности на процесс пробоотбора связано с изменением вязкости флюидов в зависимости от температуры прискважинной области. Таким образом, решение задачи заключается в последовательном моделировании гидродинамики и теплообмена в скважине и прискважинной зоне во время процессов бурения, восстановления и пробоотбора. Целью моделирования является получение зависимости степени загрязнения отбираемой пробы от откачанного объема флюидов при совместном моделировании гидродинамики и теплообмена с учетом их взаимного влияния. Данная задача решалась с помощью вариантов МКЭКО, рассмотренных в главах 2 -4.

г

а) вертикальная скважина

б) горизонтальная скважина

Рнс. 12. Схема процесса пробоотбора

Для изотермического случая был проведен анализ влияния толщины пласта на процесс пробоотбора в вертикальной и горизонтальной скважинах. Зависимости среднеинтегральной насыщенности пробы фильтратом бурового раствора от откачанного объема флюидов для соотношения вязкостей //=1 при четырех относительных толщинах пласта (отношение толщины пласта к глубине внедрения фильтрата бурового раствора): 10, 30, 50 и 200 представлены на рис. 13а для вертикальной скважины и на рис.136 для горизонтальной скважины.

Толщина пласта оказывает существенное влияние на процесс пробоотбора, однако, для случая вертикальной скважины очистка пробы ускоряется с уменьшением относительной толщины пласта, что связано с уменьшением объёма зоны внедрения фильтрата бурового раствора, а для случая горизонтальной скважины, наоборот, замедляется, что связано с нарушением сферического характера распределения давления, которое ведет к тому, что буровой раствор поступает в пробу в области с более низким гидравлическим сопротивлением.

1 10 100 1000 откачанный объём, л

а) вертикальная скважина

1 10 100 1000 откачанный объём, л

б) горизонтальная скважина

Рис. 13. Влияние толщины пласта на процесс пробоотбора

Для того, чтобы оценить влияние неизотермичности на процесс пробоотбора сравниваются результаты расчета задачи, в которой отношение вязкостей // зависит от температуры, с результатами задачи, в которых отношение вязкостей ¡л постоянно и значение определяется при пластовой температуре, равной 413 К. Анализ результатов, приведенных на рис. 14, 15, показывает, что влияние неизотермичности на изменение степени загрязнения пробы значительно только на начальном участке пробоотбора как для вертикальной, так и для горизонтальной скважин. При степени загрязнения ниже 10% задачу можно рассматривать с постоянными свойствами флюидов, которые определяются при пластовой температуре.

) 2000 4000 6000 Я00С время, с

я) вертикальная скважина

2000

8000

4000 6000 время, с

б) горизонтальная скважина

Рис. 14. Влинние неизотермичности на средненнтегральную температуру пробы

1 10 100 1000 откачанный объем, л

а) вертикальная скважина

1 10 100 1000 откачанный объбм, л

б) горизонтальная скважина

Рис. 15. Влияние неизотермичности на степень загрязнения пробы

Результаты моделирования пробоотбора в вертикальной и горизоналыюй скважинах для случая пласта с отношением вертикальной проницаемости пласта ку к горизонтальной проницаемости пласта кн равным ку/к^0,1, а также их сравнение со случаем изотропного пласта представлены на рис. 16. Для рассмотренного анизотропного случая в вертикальной скважине среднеинтегральная температура отобранных флюидов быстрее приближается к пластовой, а кривая степени загрязнения пробы сдвигается в (ку/кд)0,5 раз. Это связано с тем, что периферическое течение преобладает над вертикальным, и в пробу попадает горячая нефть из пласта, а не холодный буровой раствор из прискважинной области. В случае горизонтальной скважины температура пробы приближается медленнее к пластовой, чем в изотропном случае, а кривая степени загрязнения пробы сдвигается в (кц/ку)0,25 раз.

Таким образом, для рассмотренного случая анизотропии проницаемости пласта для вертикальной скважины процесс очистки пробы ускоряется, а для горизонтальной скважины замедляется.

— изотропный пласт

- вертикальная скважина, 1»/кЬ=0,1

- горизонтальная скважина, ку/И1=0,1

О 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 время, с

а) средиенптегральиая температура пробы

изотропный пласт

вертикальная скважина, kvAh=0,l горизонтальная скважина, kvAh=0,l

10 100 1000 откачанный объём, л

б) степень загрязнения пробы

Рис. 16. Влняняе анизотропии пласта па процесс пробоотбора

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложены варианты конечно-элементного метода контрольного объема для решения задач одно- и двухфазной неизотермической фильтрации в областях со сложной геометрией с учетом анизотропии пласта по проницаемости и теплопроводности и с учетом инерционных эффектов.

2. Для решения задач неизотермической двухфазной смешивающейся фильтрации разработан новый метод, основанный на введении в качестве независимых переменных давления и функции Баклея — Леверетта. Данный метод позволяет использовать неявную процедуру при расчете насыщенности, которая не имеет жестких ограничений на шаг по времени.

3. На основе предложенных вариантов конечно-элементного метода контрольного объема, разработаны три программных комплекса. Сравнение результатов решения ряда тестовых задач с аналитическими и численными решениями, полученными с помощью других программных комплексов, показало высокую эффективность всех вариантов методов и расчетных алгоритмов.

4. С помощью разработанных программных комплексов решена задача пробоотбора. В частности, было проведено численное исследование влияния толщины пласта, неизотермичности и анизотропии на процесс пробоотбора в вертикальной и горизонтальной скважинах. Установлено, что влияние неизотермичности на изменение степени загрязнения пробы значительно только на малых временах пробоотбора как для вертикальной, так и для горизонтальной скважин. При степени загрязнения ниже 10% задачу можно рассматривать с постоянными свойствами флюидов, определяемыми при пластовой температуре.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В изданиях рекомендованных ВАК РФ

1. Мустафина, Д.А. Конечно-элементный метод контрольного объёма для моделирования однофазной фильтрации с равным порядком интерполяции скорости и давления / Д.А. Мустафина, А.П. Скибин // Вестник МГТУ. - 2008. — сер. Естественные науки.—N4. — с.72-88.

2. Белова, О.В. Численное моделирование процессов теплообмена в твердотельном термостатирующем устройстве / О.В. Белова, М.А. Корнеева, Д.А. Мустафниа // Научн.-техн. Вестник СПбГУ ИТМО. - 2008. -N57. - с. 3-13.

3. Мустафина, Д.А. Математическое моделирование процесса оптического сканирования образцов стандартного керна / Д.А. Мустафина, А.П. Скибин // Теплофизика высоких температур. - 2010. - N2.

В других изданиях

4. Мустафина, Д.А. Конечно — элементный метод контрольного объёма для решения задач двухфазной фильтрации несмешивающихся жидкостей / Д.А. Мустафина // VIII региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии: Сборник трудов. Т. II. Физика. Лекции и научные статьи/ отв.ред. P.M. Вахитов. — Уфа: РИЦ БашГУ, 2008.-с. 173-181.

5. Скибин, А.П. Оценка теплопроводности горных пород путем решения обратной задачи по данным метода оптического сканирования / А.П. Скибин, Д.А. Мустафина, Ю.А. Попов, В.В. Шако // Сб. науч. трудов, конф. тепловое поле Земли и методы его изучения. - М.: РИО РГГРУ, 2008. - с. 235-239.

6. Мустафина, Д.А. Численное моделирование процесса пробоотбора в прискважинной зоне / Д.А. Мустафина, А.Е. Комракова, А.П. Скибин // Пятнадцатая междунар. Науч.-техн. Конф. Студентов и аспирантов: тез. докл. В 3-х.т. Т.З. - М.: Издательский дом МЭИ, 2009. - с. 56-57.

7. Скибин, А.П. Метод измерения теплопроводности и температуропроводности твердых тел / А.П. Скибин, Ю.А. Попов, Д.А. Мустафина, В.В. Шако // заявка на патент RU NP 2008138643,30.09.2008.

8. A. Skibin, Y.Popov, D.Mustaflna, V. Shako. Method of measurement of thermal conductivity and thermal diffiisivity of solids // заявка на патент US NP 12/570811 30.09.2009

Автор выражает благодарность:

- Научному руководителю, заведующему кафедрой геофизики БГУ, проф. Валиуллину Р. А. и коллективу кафедры геофизики физического факультата БГУ за помощь, оказанную во время подготовки материалов и написания диссертации

- Сотрудникам Московского исследовательского центра компании Шлюмберже за продуктивные дискуссии и обсуждение результатов исследований

- Компании Шлюмберже за возможность проведения исследований на базе Московского исследовательского центра

Подписано в печать 21.01.2010 г. Тираж 100 экз. Заказ Л» 99 Отпечатано в типографии «АллА Принт» Тел. (495) 621-86-07, факс (495) 621-70-09 www.aUaprint.ni

ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ОБЛАСТЯХ СО СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ.- 9

1.1 Обзор математических моделей применяемых для процессов неизотермической фильтрации.- 9

1.2 Существующие численные методы для решения задач неизотермической фильтрации в областях со сложной геометрией.- 15

1.3 Проблемы применения коммерческого программного обеспечения для задач неизотермической фильтрации в областях со сложной геометрией.- 21

1.4 Выводы.-24

ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОФАЗНОЙ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ ИЛИ ГАЗА НА ОСНОВЕ МКЭКО.- 26

2.1 Постановка задачи.- 26

2.2 Метод дискретизации расчетной области.- 29

2.3 Особенности МКЭКО с равным порядком интерполяции скорости и давления.- 35

2.4 Вывод дискретного аналога для уравнения неразрывности II движения.- 37

2.5 Особенности дискретного аналога уравнения переноса и энергии.- 45

2.6 Алгоритм численного решения.- 46

2.7 Программная реализация метода.- 47

2.8 Тестирование разработанного программного обеспечения.- 49

2.9 Выводы.- 73

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУХФАЗНОЙ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ НА ОСНОВЕ МКЭКО.-743.1 Постановка задачи.-743.2 Вывод дискретного аналога уравнения для определения давления.- 76

33 Вывод дискретного аналога уравнения неразрывности нефтяной фазы.- 81

3.4 Особенности дискретного аналога уравнения энергии.- 83

3.5 Программная реализация метода.- 87

3.6 Тестирование разработанного программного обеспечения.- 90

3.7 Выводы.- 100

ГЛАВА 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ДВУХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ СМЕШИВАЮЩИХСЯ СЛАБОСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ.

4.1 Постановка задачи и особенности математической модели.

4.2 Метод дискретизации расчетной области.

4.3 Гибридный МКЭКО с равным порядком интерполяции скорости и давления.

4.4 Вывод дискретного аналога уравнения неразрывности.

4.5 Особенности дискретного аналога конвективно - диффузионного уравнения.

4.6 Алгоритм численного решения.

4.7 Тестированиеметода.

4.8 Выводы.

ГЛАВА 5. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ НЕИЗОТЕРМИЧНОСТИ В ПРИСКВАЖИННОЙ ОБЛАСТИ НА ПРОЦЕСС ПРОБООТБОРА В ИЗОТРОПНЫХ И АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТАХ.

5.1 Постановка задачи.

5.2 Анализ результатов решения изотермической задачи пробоотбора для вертикальной скважины . 1365.3 Аналнз результатов решения неизотермической задачи пробоотбора для вертикальной скважины.

5.4 Особенности постановки задачи для случая пробоотбора через горизонтальную скважину.- 141

5.5 Влияние толщины пласта на процесс пробоотбора.- 144

5.6 Влияние неизотермичностн на процесс пробоотбора.- 145

5.7 Влияние анизотропии плста на процесс пробоотбора.- 147

5.8 Выводы.-149

Актуальность. Моделирование разработки нефтегазоносных пластов осложняется значительной неоднородностью и анизотропией свойств пород, слагающих продуктивный пласт коллектора, а также тем, что при тепловой обработке коллектора среды, содержащиеся в пластах, приобретают температуру, отличную от естественной пластовой температуры. Кроме того, значительное влияние на продуктивность пласта оказывает околоскважинная зона, свойства которой обычно значительно изменены в сравнении с остальной частью пласта. Таким образом, фильтрационные процессы определяются различными характерными размерами: размер скважин - десятки сантиметров, околоскважинных зон - метры, размер контура питания - десятки или сотни метров.

Поэтому разработка специальных численных методов, позволяющих решать разномасштабные неизотермические задачи фильтрации, является актуальной.

Цель работы заключается в исследовании процессов неизотермической одно- и двухфазной фильтрации с учетом геометрических особенностей пласта, околоскважинной зоны и при наличии анизотропии теплопроводности и проницаемости на основе разработки эффективного численного метода.

Основные задачи исследования:

1. Анализ существующих численных методов и моделей для описания неизотермической многофазной фильтрации в областях со сложной геометрией.

2. Разработка вариантов конечно-элементного метода контрольного объема для решения задач неизотермической одно- и двухфазной фильтрации.

3. Разработка и тестирование программного обеспечения на основе разработанных вариантов конечно-элементного метода контрольного объема.

4. Оценка влияния неизотермичности, толщины и анизотропии свойств пласта на процесс пробоотбора пластовых флюидов. Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработаны консервативные варианты конечно - элементного метода контрольного объёма для численного решения задач неизотермической однофазной фильтрации жидкости или газа и двухфазной фильтрации несмешивающихся слабосжимаемых жидкостей в двумерных областях и двухфазной смешивающейся фильтрации в трехмерных областях.

2. Разработан новый способ учета тензора проницаемости и эффективной теплопроводности для анизотропных резервуаров.

3. Разработан новый метод "неявное давление - неявная насыщенность" для задач смешивающейся двухфазной фильтрации.

4. Установлено, что неизотермичность оказывает значительное влияние на очистку пробы на начальной стадии процесса отбора пластовых флюидов и не влияет на степень загрязнения пробы на конечной стадии пробоотбора, как для горизонтальной, так и для вертикальной скважин.

Основными защищаемыми положениями и результатами являются:

1. Варианты численного метода МКЭКО для решения задач неизотермической одно- и двухфазной фильтрации несмешивающихся жидкостей фильтрации

2. Вариант гибридного метода МКЭКО для решения задач неизотермической двухфазной фильтрации смешивающихся жидкостей

3. Метод для решения задач неизотермической двухфазной смешивающейся фильтрации, основанный на введении в качестве независимых переменных давления и функции Баклея - Леверетта.

Научная и практическая значимость. Научная и практическая значимость работы заключается в разработке консервативных вариантов конечно-элементного метода контрольного объёма, позволяющих моделировать разномасштабные задачи одно- и двухфазной фильтрации с учетом геометрических особенностей, при наличии неоднородности свойств пласта и анизотропии проницаемости и теплопроводности, используя грубые сетки с локальным неструктурированным сгущением. Предложенный для случая смешивающейся фильтрации слабосжимаемых жидкостей численный метод решения многофазных задач "неявное давление - неявная насыщенность", позволяет использовать неявную разностную схему, которая является, безусловно, устойчивой.

Практическая ценность заключается в создании трех программных комплексов на языке Fortran для численного моделирования одно- и двухфазной фильтрации. Решены прикладные задачи о процессе пробоотбора в вертикальной и горизонтальной скважинах.

Достоверность результатов диссертации основана на использовании фундаментальных законов сохранения для описания тепло- и массообмена в пористых телах, сравнении результатов с аналитическими решениями и численными решениями, полученными с помощью других программных комплексов.

Апробация работы.

1. Семинар лаборатории радиационной газовой динамики Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН (Москва, 2009)

2. Заседание кафедры геофизики физического факультета Башкирского государственного университета (Уфа, 2009)

3. Вторая всероссийская конференция молодых ученых и специалистов «Будущее машиностроение России» (Москва, 2009)

-74. 1У-я международная научно-практическая конференция БТАЯ

2009.: «Компьютерные технологии решения прикладных задач тепломассопереноса и прочности». (Нижний Новгород, 2009)

5. XV международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (Москва, 2009)

6. Российская техническая нефтегазовая конференция и выставка 8 РЕ 2008 (Москва, 2008)

7. X международная конференция «Тепловое поле Земли и методы его изучения» (Москва, 2008)

8. Научно-практическая конференция «Математическое моделирование и компьютерные технологии в разработке месторождений» (Уфа, 2008)

9. Выставка научно-технического творчества студентов в рамках XII Всемирного Русского Народного Собора (Москва, 2008)

10.Вторая студенческая научно-инженерная выставка «Политехника» (Москва, 2007)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ. По результатам работы подано 2 заявки на патент.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 165 страниц, 83 рисунка и 15 таблиц. Список литературы содержит 134 наименования.

Основные результаты исследований, выполненных в диссертационной работе, сводятся к следующему.

1. Предложены варианты конечно-элементного метода контрольного объема для решения задач одно- и двухфазной неизотермической фильтрации в областях со сложной геометрией с учетом анизотропии пласта по проницаемости и теплопроводности и с учетом инерционных эффектов.

2. Для решения задач неизотермической двухфазной смешивающейся фильтрации разработан новый метод, основанный на введении в качестве независимых переменных давления и функции Баклея — Леверетта. Данный метод позволяет использовать неявную процедуру при расчете насыщенности, которая не имеет жестких ограничений на шаг по времени.

3. На основе предложенных вариантов конечно-элементного метода контрольного объема, разработаны три программных комплекса. Сравнение результатов решения ряда тестовых задач с аналитическими и численными решениями, полученными с помощью других программных комплексов, показало высокую эффективность всех вариантов методов и расчетных алгоритмов.

4. С помощью разработанных программных комплексов решена задача пробоотбора. В частности, было проведено численное исследование влияния толщины пласта, неизотермичности и анизотропии на процесс пробоотбора в вертикальной и горизонтальной скважинах. Установлено, что влияние неизотермичности на изменение степени загрязнения пробы значительно только на малых временах пробоотбора, как для вертикальной, так и для горизонтальной скважин. При степени загрязнения ниже 10% задачу можно рассматривать с постоянными свойствами флюидов, определяемыми при пластовой температуре. Автор выражает благодарность компании «Шлюмберже» за возможность проведения исследований на базе московского исследовательского центра.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Аббасов, А. А. Гидродинамические и экспериментальные исследования вопросов, связанных с применением термического метода воздействия./ А. А. Аббасов. - Баку, Изд-во АН АзССР, 1966, 66 с.

2. Авдонин, Н. А. Расчет нефтеотдачи нефтяных пластов в неизотермических условиях фильтрации. Теория и практика добычи нефти./ Н. А. Авдонин, JI. И. Рубинштейн; Ежегодник ВНИИ. М.: Недра, 1966, с. 195-205.

3. Адамова, Н. Б. Коэффициенты сопротивления, теплоотдачи и переноса в засыпной активной зоне с шаровыми телами. Обзор/Н.Б. Адамова, P.C. Демешев, В.Н. Крымасов и др/.- М.:ИАЭ им. И.В. Курчатова, 1983. 52 с.

4. Азиз, X. Математическое моделирование пластовых систем./ X. Азиз, Э. Сеттари -Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 416с.

5. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988.-280 с.

6. Апишаев, М. Г. Неизотермическая фильтрация при разработке нефтяных месторождений/ М. Г. Алишаев, М. Д. Розенберг, Е. В. Теслюк; под ред. д-ра техн. наук Г. Г. Вахитова. М.: Недра, 1985.

7. Басниев, К. С. Подземная гидромеханика: Учебник для вузов/ К. С. Басниев, И. Н. Кочина, В. М. Максимов -М.: Недра, 1993.—416 с.

8. Баширов, В. В. Неизотермическая фильтрация жидкости и газа и задачи увеличения нефтеотдачи пластов тепловыми методами.: Учебное пособие / В. В. Баширов, Г. Т. Булгакова, Р. Ф. Шарафутдинов Уфа, 1985. - 96с.

9. Белов, С. В. Пористые металлы в машиностроении./ С. В. Белов М.: Машиностроение, 1981. - 248 с.

10. Бочаров, О. Б. Численное исследование автомодельных задач неизотермической двухфазной фильтрации. / О. Б. Бочаров, А. Е. Осокин // Сибирский журнал индустриальной математики, Январь-Март, 2002. Том V, № 1(9)

11. Брагинская, Г. С. О неизотермическом вытеснении нефти раствором активной примести / Г. С. Брагинская, В. М. Ентов //Изв. АН СССР. МЖГ. 1980ю - №6. - с.99-107.

12. Булыгин, В. Я. Математическое моделирование тепломассопереноса в нефтяных пластах / В. Я. Булыгин, В. А. Локтунин //Сб.:Динамика многофазных сред. Новосибирск. - 1981. - с. 101-107.

13. Бурже, Ж. Термические методы повышения нефтеотдачи пластов. / Ж. Бурже, П. Сурио, М. Комбарну ; пер. с франц. М.: Недра, 1989. -422 сил. - Пер. изд.: Франция, 1984

14. Васильев, В. И. Вычислительные методы в разработке месторождений нефти и газа./ В. И. Васильев, В. В. Попов, Т. С. Тимофеева -Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000 г., 126 с.

15. Глебов, С.Ф. Применение совмещенной сетки для численного решения трехмерных задач гидродинамики и теплообмена методом контрольного объёма / С.Ф. Глебов, Д.В. Макаров, А.П. Скибин, В.П. Югов // ИФЗ. Т.71. №4. 1998. С. 744 748

16. Ентов, В. М. Физико-химическая гидродинамика процессов в пористых средах (математические модели методов повышения нефтеотдачи пластов) / В. М. Ентов //Успехи механики. 1981. - Т.4-№3.-с.41-79.

17. Жуков, В. Т. Применение метода конечных суперэлементов для решения задач конвекции-диффузии. / В. Т. Жуков, Н. Д. Новикова, Л. Г. Страховская, Р. П. Федоренко, О. Б. Феодоритова // Математическое моделирование, 2002 г., т. 14, № 11, с.78-92

18. Зазовский, А. Ф. О вытеснении нефти горячей водой с учетом теплопотерь и возможности взаимной растворимости воды и нефти/ А. Ф. Зазовский // ИПМ АН СССР. -М. 1982. - 31с. - Деп.ВИНИТИ 15.07.82, № 3785-82.

19. Зазовский, А. Ф. О вытеснении нефти горячей водой с учетом теплопотерь / А. Ф. Зазовский // В сб.: Динамика многофазных сред. -Новосибирск. 1983. - с. 150-156.

20. Зазовский, А. Ф. О вытеснении нефти паром / А. Ф. Зазовский // Препринт №267. М.: ИПМ АН СССР. 1986. - 65 с.

21. Зазовский, А. Ф. О неизотермическом вытеснении нефти водой из нетеплоизолированных пластов / А. Ф. Зазовский // Изв. АН СССР.МЖГ. -1983. -№5.-с.91-98.

22. Зазовский, А. Ф. Об устойчивости фронтального вытеснения жидкостей в пористой среде при наличии межфазного массообмена и фазовых переходов / А. Ф. Зазовский //Изв.АН СССР.МЖГ,-1986. -№2.-с.98-103.

23. Зенкевич, О. Конечные методы и аппроксимация./ О. Зенкевич, К. Морган М.: Мир, 1980

24. Зубов, Н.В. К расчету процесса вытеснения нефти при нагнетании в пласт пара / Н.В.Зубов, В.Л. Шапошников. М.: ВНИИОЭНГ. - 1980. с.150-155.

25. Ислам, Р. Н. Многозначные решения задачи о термогравитационном течении во влагонасыщенных пористых средах при больших числах

26. Пекле / Р. Н. Ислам, К. Нандакумар // Теплопередача. 1986. N1. - С.119-126.

27. Карслоу, Г. Теплопроводность тевердых тел./ Г. Карслоу, Д. Егер -М.:Наука, 1964.-488 с.

28. Коллатц, Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений / Л.Коллатц. М.: ИЛ. - 1953.

29. Коновалов, А. Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости./ А. Н. Коновалов Новосибирск: Наука, 1988.

30. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров./ Г. Корн, Т. Корн — М.: Наука, 1970. — С. 575-576

31. Коршунов, Ю. М. Математические основы кибернетики./ Ю. М. Коршунов — М.: Энергоатомиздат, 1972.

32. Леви, Б. И. Математическое моделирование процесса неизотермического заводнения нефтяных месторождений с ньютоновскими и неньютоновскими нефтями/ Б. И. Леви; ОНТИ. — БашНИПИнефть. — Уфа. -1977.-37с.

33. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа./ Л. Г. Лойцянский, М.: Дрофа, 2003 - 840 с.

34. Лыков, А. В. Тепломассобмен. Справочник./ А. В. Лыков, М.: Энергия. 1978.-480 с.

35. Майоров, В. А. Теплопроводность пористых металлов / В. А. Майоров // Тепло- и массообмен в системах с пористыми элементами. Минск: ИТМО АН БССР. 1981. - С.121-130.

36. Миснар, А. Теплопроводность твердых тел, жидкостей, газов и их композиций./ А. Миснар, Москва:Мир,1968.- 464 с.

37. Мусин, М. М. Численная модель процесса паротеплового воздействия на пласт с системой скважин / М. М. Мусин // Известия вузов: Нефть и газ.-1959. №5. - с.67-69.

38. Мустафина, Д. А. Дипломная работа. Математическое моделирование процесса добычи высоковязкой нефти при закачке горячего теплоносителя в пласт / Д. А. Мустафина,- М.: МГТУ им.Баумана. 2008 г. - 148с.

39. Нигматулин, Б.И. Численный метод решения трехмерного уравнения теплопроводности в симметричной расчетной области / Б.И. Нигматулин, Д.В. Макаров, А.П. Скибин, С.Ф. Глебов // Вестник МГТУ, сер. Машиностроение. 1997. №3. с.З- 14.

40. Препарата, Ф. Вычислительная геометрия: Введение./ Ф. Препарата, М. Шеймос М.: Мир, 1989.

41. Патанкар, С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости./ С. Патанкар М.: Энергоатомиздат, 1984. - 152 с.

42. Пирвердян, А. М. Физика и гидравлика нефтяного пласта./ А. М. Пирвердян -М.: Недра, 1982 192 с.

43. Поляев, В. М. Гидродинамика и теплообмен в пористых элементах конструкций летательных аппаратов./ В. М. Поляев, В. А. Майорв, Л. Л. Васильев -М.Машиностроение, 1988. 168 с.

44. Попов Ю.А. Некоторые особенности методики массовых детальных исследований теплопроводности горных пород // Известия вузов, сер. Геология и разведка. 1984. №4. С. 72-76.

45. Розенберг, М. Д. Современные вопросы подземной гидромеханики нефти / М. Д. Розенберг, А.К. Курбанов // Теория и практика добычи нефти. -Ежегодний ВНИИ. -М.:Недра. 1968. - с.8-23.

46. Рыкалин H.H. Расчеты тепловых процессов при сварке / Н.Н Рыкалин. — М.: Машгиз, 1951. 297с.

47. Сабоннадьер, Ж. К. Метод конечных элементов и САПР / Ж. К. Сабоннадьер, Ж. JT. Кулон; пер. с франц. -М.: Мир, 1989. 190с., ил.

48. Сакун И.А. Холодильные машины / И.А. Сакун. JL: Машиностроение, 1985.-510 с.

49. Себеси Т., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен. Физические основы и вычисли- тельные методы / Пер. с англ. М.: Мир, 1987. - 592 с.

50. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд. -М.:Мир, 1979. 392 с.

51. Сивухин, Д. В. Общий курс физики./ Д. В. Сивухин — М.: Наука, 1975. — Т. И. Термодинамика и молекулярная физика. — 519 с.

52. Скворцов, А. В. Обзор алгоритмов построения триангуляции Делоне / А. В. Скворцов // Вычислительные методы и программирование, 2002, №3, с. 14-39.

53. Скибин, А. П. Метод конечных элементов, основанный на интегрировании по контрольному объему для двумерных нестационарных эллиптических задач / А. П. Скибин, В. В. Червяков, В. П. Югов //Изв. АН. Сер.Энергетика. 1995. - №1.

54. Теслюк, Е.В. О неизотермической фильтрации многофазного потока и об учете термодинамических эффектов при разработке нефтяных месторождений / Е.В.Теслюк, М.Д. Розенберг // ВНИИнефть. 1965. -вып.42.-с.281-293.

55. Федоров, К. М. Неизотермическая фильтрация нефти, воды и газа / К. М. Федоров, Р. Ф. Шарафутдинов // Тр.МИНГ. 1981. - вып.200 - с. 81-91.

56. Чарный, И.А. Нагревание призабойной зоны при закачке горячей жидкости в скважину / И.А. Чарный // Нефтяное хозяйство. 1953. - N2,3. -с. 18-24, 29-33.- 15760. Чекалюк, Э. Б. Термодинамика нефтяного пласта./ Э. Б. Чекалюк М.:1. Недра, 1965, 240 с.

57. Чернышев А.В. Разработка, расчет и проектирование пневмоэлектромеханического и электровакуумного лабораторного оборудования/ А.В. Чернышев, О.В. Белова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998.-40 с.

58. Чжань, Естественная конвекция в замкнутой полости, заполненной пористым материалом / Чжань, Айви, Бэрри // Теплопередача. 1970. N1. - С.23.

59. Шарафутдинов, Р. Ф. Теоритическое исследование процесса на математической модели. гл.2, §2 / Р. Ф. Шарафутдинов //Итоги науки и техники. - сер. Разработка нефтяных и газовых месторождений. 1987. -т. 19. - с.32-42.

60. Aavatsmark, Т. Discretization on non-orthogonal, quadrilateral grids for inhomogeneous, anisotropic media / T. Aavatsmark, О. Вое, T.Mannseth // J.of Comp.Physcis. 1996. - vol.127, -p.2-14.

61. Baliga, B.R. A new finite-element formulation for convection-diffusion problems / B.R.Baliga, S.V. Patankar // Numerical Heat Transfer. 1980. -vol.3.-p.393-409.

62. Beckermann, C. Natural convection flow and heat transfer between a fluid layer and a porous layer inside a rectangular enclosure / C. Beckermann, S. Ramadhyani, R.Viskanta // J. Heat Transfer.- 1987. vol.109, -p.363-370.

63. Cavendish, J.C. Automatic triangulation of arbitrary planar domains for the finite element method / J.C. Cavendish // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1974. - vol. 8.

64. Class, H. Numerical simulation of non-isothermal multiphase multicomponent processes in porous media. 1. An efficient solution technique / H.Class, R. Helmig, P.Bastian // Advances in Water Resources. 2002 - vol.25. - p. 533550.

65. Combarnous, M.A. Hydrothermal convection in saturated porous media / M.A. Combarnous, S.A. Bories // Adv. in hydroscience Academic Press. 1975. -vol.10.-p. 231-307.

66. Cordazzo, J. The element-based finite volume method applied to petroleum reservoir simulation / J. Cordazzo, C.R. Maliska, A.F.C. Silva, F.S.V.Hurtado // IBP29404 presented at Rio Oil & Gas Expo and Conference, Rio de Janeiro, October 4-7, 2004.

67. Dacun, Li. Modeling and simulation of Non-Darcy Flow in Porous Media / Li Dacun, T. W. Engler // Электрон.журн. SPE. - 2002. - N 75216. - Режим доступа к журн.: http://www.spe.org/elibrary/app/newSearch.do

68. Darcy, Н. Les fontaines publiques de la ville de Dijon / H. Darcy. Paris: Victor Dalmont, 1856.

69. Douglas, J. The Application of variational methods to waterflooding problems / J. Douglas, T. Dupont, H. Rachford // J. Cdn. Pet. Tech. 1969. - vol. 8. -p.79-85.

70. Durlofsky, L. Accuracy of mixed and control volume finite element approximations to Darcy velocity and related quantities / L. Durlofsky // Water resources research. 1994. -vol.30. - N4. - p. 965-973.

71. Eclipse 100 Technical Description 2001A, Schlumberger, Geoquest

72. Ettefagh, J. Natural convection in open-ended cavities with a porous obstructing medium / J.Ettefagh, K.Vafai // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1988. vol. 31. - N4. -p. 673-693.

73. Eymard, R. Mathematical and Numerical properties of control-volume, finite-element Scheme for reservoir simulation / R. Eymard, F. Sonier // SPERE. -1994-p. 283-289.

74. Forchheimer, P. Hydrolik / P. Forchheimer. Leipzig and Berlin: Teubner, 1914

75. Forsyth, P.A. A Control-Volume, Finite-element method for local mesh refinement in thermal reservoir simulation / P. A. Forsyth // SPERE. 1990-p. 561-566.

76. Fortin, M. Mixed and Hybrid Finite Elements methods / M. Fortin, F. Brezzi. -Hardcover: Springer, 1991.

77. Fung, L.S.K. Reservoir simulation with a control-volume finite element method / L.S.K. Fung, A.D. Hiebert, L.X. Nghlem // SPERE. 1992.- p. 349357.

78. Fung, L.S.K. Paraller Iterative solver for the Dual-Porosity, Dual-Permeability System in Fractured Resevoir Simulation / L.S.K. Fung, T.M. Al-Shaalan //

79. Proceedings of International Petroleum Technology Conference. 2005. -N10343.

80. Georgiadis, J.G. Dispersion in cellular thermal convection in porous layers / J.G.Georgiadis, J.Catton // Int. J. Heat Mass Transfer. 1988. - vol.31. -N5. -p.1081-1098.

81. Gottardi, G. A control-volume finite-element model for simulating oil-water reservoirs / G. Gottardi, D. Dall'Olio // J.Pet.Sci.Eng. 1992. - vol.8. - p. 2941.

82. Gunasekera, D. A Multi-Point Flux Discretization Scheme for General Polyhedral Grids / D. Gunasekera, P. Childs, J. Cox J. Herring // Электрон.журн. SPE. - 1998. - N48855. - Режим доступа к журн.: http://www.spe.org/elibrary/app/newSearch.do

83. Heinrich, С. Viscous Incompressible Flow by a Penalty Function Finite Element Method / C. Heinrich, R.S.Marshall // Comput. Fluids. 1981. -vol.1, -p.73-83.

84. Hermeline, F. Triangulation automatique d'iin polyedre en dimension N / F.Hermeline // Rairo Analyse Numerique. 1982. - vol.16. - N3.

85. Hong, J.T. Effect of non-Darcian and nonuniform porosity on vertical-plate natural convection in porous media / J.T. Hong, Y. Yamada, C.L. Tien // J. Heat Transfer. 1988. - vol.l 10. -Nl. -p.76-83.

86. Huang, H. Applicability of the Forchheimer Equation for Non-Darcy flow in porous media / H. Huang // Электрон.журн. SPE. - 2006. - N102715. -Режим доступа к журн.: http://www.spe.org/elibrary/app/newSearch.do

87. Hubbert, M.K. Entrapment of petroleum under hydrodynamic conditions / M.K. Hubbert // Bull, of the American Assoc. of Petrol. Geologists. 1953. -vol. 37. - N8. - p. 1954-2026.

88. Huber, R. Node -centered finite volume discretizations for the numerical simulation of multiphase flow in heterogeneous porous media / R.Huber, R. Helmig // Computational Geosciences. 2000 - vol.4. - p. 141-164.

89. Hunt, M.L. Non-Darcian convection in cylindrical packed beds / M.L. Hunt, C.L. Tien // J. Heat Transfer.- 1988. vol.110. - N2. -p.378-384.

90. Huyakorn, P. S. A Comparison of Various Mixed-Interpolation Finite Elements in the Velocity-Pressure Formulation of the Navier-Stokes Equations / P.S. Huyakorn, C. Taylor, R. L. Lee, P. M. Ciresho // Comput. Fluids. -1978.- vol.5, -p.25-35.

91. Huyakorn, P.S. A pressure-enthalpy Finite-Element Model for Simulating Hydrothermal Reservoirs / P.S. Huyakorn, G.F. Pinder // Advances in Computer Methods for Partial Difference Equations. 1977. - p. 284-293.

92. Kaviany, M. Boundary-layers treatment of forced convection heat transfer from a semi-infinite flat plate embedded in porous media / M. Kaviany // J. Heat Transfer. 1988. - vol.110. -Nl. - p.64-69.

93. Kazemi, H. Numerical Simulation of Water-Oil Flow in Naturally Fractured Reservoirs / H. Kazemi // Электрон.журн. SPE. - 1976. - N5719. - Режим доступа к журн.: http://www.spe.org/elibrary/app/newSearch.do

94. Lai, F. С. Natural convection in horizontal porous layers with discrete heat sources / F.C. Lai, Y.S. Choi, F.A.Kulacki // AIAA paper. 1988. - №659. - p. 1-10.

95. Brinkman-extended Darcy formulation / G. Laurat, V. Prasad // J. Heat

96. Transfer. 1988. - vol.110. - N2. - p.124-134.

97. McBride, D. A coupled finite volume method for the solution of flow processes on complex geometries / T. N. Croft, M. Cross // Int. J. Numer. Meth. Fluids. -2007. vol.53, -p.81-104.

98. McMichel, C.L. Reservoir simulation by Galerkin's method / C.L. McMichel, G.W. Thomas // Soc. Pet. Eng. J. 1973. - p. 125-138.

99. Milton-Taylor, D. Non-Darcy Gas Flow: From Laboratory Data to Field Prediction / D. Milton-Taylor // Электрон.журн. SPE. - 1993. - N26146. -Режим доступа к журн.: http://www.spe.org/elibrary/app/newSearch.do

100. Numerical Methods in Heat Transfer: vol. 3 / ed. by R.W. Lewis, K. Morgan. -Chichester, West Sussex, England: John Wiley & Sons Ltd, 1985. -294p.

101. Peric, М. Simulation of flows in complex geometries: new meshing and solution methods / M.Peric // NAFEMS Seminar; Simulation of Complex Flows (CFD)—Applications and Trends. Niedernhausen/Wiesbaden, Germany -2004.

102. Plumb, O.A. The effect of thermal dispersion on heat transfer in packed bed boundary layers / O.A. Plumb // ASME-JSME Joint Themal Conf. Proc. -1983. — vol.2. — p. 17-21.

103. Poulikakos, D. Forced convection in a duct partially filled with a porous material / D. Poulikakos, M. Kazmierczak // J. Heat Transfer. 1987. -vol.109, -p.653-662.

104. Prakash, C. A control volume-based finite-element method for solving the Navier-Stokes equations using equal-order velocity-pressure interpolation / C.Prakash, S.V. Patankar // Numerical Heat Transfer. 1985. - vol.8. - p. 259280.

105. Prakash C, Patankar S.V. A Control Volume Finite - Element Method for Predicting Flow and Heat Transfer in Ducts of Arbitrary Cross Sections - Part I: Discription of the Method // Numerical Heat Transfer - 1987 - vol. 12 -pp.389-412

106. Prasad, V. Mixed convection in horizontal porous layers heated from below / V. Prasad, F.A. Kulacki, M. Keyhani // ASME J. Heat Transfer. 1988. -vol.110. - N2.-p.395-407.

107. Sharma, R.C. The thermal instability of compressible shear flows in a porous medium / R.S. Sharma, Bakshis S. // J.Math.Phy.Sci. 1988. - vol.22. - N4. -p.533-539.

108. Shaw, D.C. The treatment of wells, faults and other singularities in a black-oil, finite-element reservoir simulator / D.C. Shaw // Электрон.журн. SPE. -1993. - N25246. - Режим доступа к жури.: http://www.spe.org/elibrarv/app/newSearch.do

109. Shneider, G.E. Finite-Element Solution Procedures for Solving the Incompressible Navier-Stokes Equations Using Equal Order Variable Interpolation / G.E.Shneider, G.D. Raithby, M.M. Yovanovich // Numer.Heat Transfer. 1978. - vol.1, -p.433-451.

110. Spivak, A. Solution of the equations for multidimensional two-phase immiscible flow by variational methods / A. Spivak, H.S. Price, A.Settari // Soc. Pet. Eng. J. 1977. - p. 27-41.

111. Temeng, K.O. The Effect of High-Pressure Gradients on Gas Flow / K.O. Temeng, R.N. Hornt, U. Stanford // Электрон.журн. SPE. - 1988. -N18269. - Режим доступа к журн.: http://www.spe.org/elibrary/app/newSearch.do

112. Tien, C.L. Boundary-layer flow and heat transfer in porous beds / C.L. Tien, M.L. Hunt// Chem. Eng. Proc. 1987. - Vol.21, - p. 53-63.-Q)1 /

113. Tong, T.W. A boundary layer analysis for natural convection in porous enclosure-use of the Brinkman-extended Darcy model / T.W. Tong, E. Subramanian // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1985. - vol.28. - p.563-571.

114. Verma, S. A Control Volume Scheme for Flexible Grids in Reservoir Simulation / S. Verma, K. Aziz // Электрон.журн. SPE. - 1997. - N37999. -Режим доступа к жури.: http://www.spe.org/elibrary/app/newSearch.do

115. Verner. Е.А. Finite Element for two-phase flow in porous media in finite element methods in flow problems / E.A.Verner, R.W. Lewis, O.C. Zienkiewics. Huntsville: University of Alabama Press, 1974.

116. Wakao, N. Heat and mass transfer in packed beds / N. Wakao, S. Kaguei. -N.Y.: Gordon and Breach, Ink., 1982.-364 p.

117. Young, L.C. A finite element method for reservoir simulation / L.C. Young // Soc. Pet. Eng. J.-1981.-p. 115-128.