Конечноэлементная модель упругих свойств композитов неупорядоченной структуры тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.19 ВАК РФ

______ РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ОРД ПИЛ Л ГНИНА ПН (ІІ1ТУ І ХИЛНІЧГ.СКОН .¡МП II ;с и КМ И. II, П:М1;МОВЛ

РГб од

г ?. ...На правах рукопись

ТИ МАИ Сергей Аркадьевич

УДК 539.4.015.2:678.0-10

КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ УПРУГИХ СВОЙСТВ КОМПОЗИТОВ НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ СТРУКТУРЫ

01.04.19 — физика полішерон

Автореферат диссертации на соискаиие ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва 1995-

Работа выполнена в ордена Ленина Институте химической физики им Н. Н. Семенова РАН.

Научный руководитель .

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник В. Г. Ошмян

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор П. И. Перлин, доктор физико-математических наук, профессор Р. А. Турусов

Ведущая организация:

Институт машиноведения РАН им. А. А. Благонравова

Защита состоится „ --199^г. в {Ц. час

на заседании специализированного совета Д 002.26.05 при Инсти туте химической физики РАН по адресу: 117977, ГСП, Москва В-334, ул. Косыгина, 4.

С диссертацией мо^но ознакомиться в библиотеке ИХФ РАН Автореферат разослан * ___199 ^г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат химических наук

© Ордена Ленина Институт химической физики им. Н. Н. Семенова РАН

адшмюаь.радй'ш, . ■

Эффсктнпше жесткости матричных компо?игой }норяаоче.чнг/!0 роення но порядку величин рапнм упрутм модулям непрерывной ф;пм и. .проком диапазоне объёмною соотношения компонент. Олнак'о, .мшентраннонннг .чавиишосчи жёсгкскмей дчухфг/.ныл ечч.но, ¡однородных нсуноря’(очснмм.х с|>ел, таких как полимерное »ели, ?М1ИП1шнош1Ы«; материаш случайной скрукгурм, »ранулщмакжимс (СГ0М1.1. характеризуются определённым чначеипсм объёмного содержания аз, при котором происходит рсчкое п '.'лечение характера деформиропаннч, ффсктивные объёмный (А'”) и едшновмй (;/) модули изотропной среды, :ста!Ипо« т унрунш IX¡ . I, /»V ’) " ябсощотно жесткой <К¡>>Ки ^»и 1) компонент. ос1аются величинам« горялк» А', и р,. слясг'пчччто*. жа концентрация жёсткой фазы /> не превосходит некоторого порогового м'нчшя /К- и становятся порядка А% к ¡ь при />>/>?. Значение шиенграннн жёсткой фачы р(. соответствующее описанному переходу, «ичается по/югом ппептчпоапн (ПЭ).

Аналошчный переход наблюдается для авухфатнон среды, состоящей ич чгхой (А'г-9. р \ =0) и упругой 1, //;-!) компонент. В области 1нне1ггрлти утгруттаг фччм р выше ПЭ эффективные модули К Н /Л .ташпсь вемчпнамн порякка А; и сгрмтея к 0 при приближении ¿г £

. срерку.

В оо таетч конпентраннй ниже р.- норслсннс ■зффектпвпш упрутх .шетант определяется аруюурой н пи'йлвиНн апсямСлг конечных юстсроп, срелний размер которых нчитасмый хоррсляпмонной

1ИН0Й, стремится К беООИС’ЖОСТИ прн Нриб Н«же!НН! К ПпрО!у.

Причиной ¡вменения характера яефпрмнропаипя при.мерехопе череч .■»роговую коннентрашно лгляечея обра кчшкге бесконечного упругого тетера. Согласно структурной модели Шклорехок» - Дс Жеиа, ¡сконсчнмм кластер неччется сл »чайно{> сетгоч, г«*т> лшей -из уэяо», )елнигнн1.!\ макрел ¡>ч Я1',(н. При //>/•, корре.ппночнап длина .?( р) имеет шел среднею расстояния между углами саки и ряс.ходшеч при >нближсшш к норсту сверху. Деформационные свойства срслы 1рС.(Сг,а|<>гся геометрическими н механическими характеристиками гсконечнот класк-ра на масштабах порода с и.'как ппкптя’гг? ««ут.таты, 1СЛСШШЮ МОЛС НфОНаННЯ. чаВЖ'ИТ ОТ конкуренции (ИЛ, РОЧШ'КЛЮНШЧ прн нт!бг н растяжении макроепятей. • >

Важной осо*кмиюсті,ю напряжешю-,цеформнрован"ого состоя ни І!Є)ЗІОрЯДОЧЄіШОЙ ЦТСрОГСННОЙ среды В ОК)>ЄСТІ№СТИ ПЭ являете возникновение сн іьііо нгоднородных нолей напряжений к деформаций, «гг имеет болмнос значение при исследовании прочности и пластически СВОЙСТВ ПОДИМернЫХ композити.

Исследования решёточных моделей неупорядоченных цюд (кшичнымп типами погаш пакт показали. ч го. значение ПЭ затки г и детален манмодействня между узлами решётки и может не совпадать ПерКО'ШНИОННЫМ (гсометрнческим) Порогом. Я'І'Л зреуголмюй решётки потенциалом центрального взаимодействия ПЭ оказался почти в два раз выше ісометрнчеекою порога. С другой стороны, ПЭ для решеточны моделей с иотешшалом. учитывающих» как растяжение спичей, так Ц-імсненис уїла между ними, Всегда равен геометрическому порогу.

Таким обратом, мнотчисленные эксксрпмснтадьныс и теоретически исследования, проводившиеся на протяжении последних десяти леї обнаружат« ряд специфических *»еханическнх свойств, которыми обладаю неупорядоченные гетерогенные среди в окрестности ПЭ. Однако, во-первы) остается открытым вопрос об универсальности результатов, полученных рзмках н«учення модельных систем. Во-вторых, использовавшиеся ране мпкромекаки’кжкис модели основами на построении различных пружннны систем. С J04KH трения механики композитных материалов, боле реалистичной выглядит модель двухфазной неупорядоченной среды, которой случайными элементами яшіяются участки однородности соответствующими механическими свойствами. Формулировке такой модел На основе метода конечных элементов (МКЭ) п. исследованию критически улрупч свойств композиционных материалов в рамках сфпрмули|шпанно Hoitc.vi посвящена данная работа.

и&лраСшы.

*■ Формулировка и анализ модели изотропной двухфазной неупорядоченно среды на основе МКЭ. .

- Разработка проірамм дія решения конечно разнос!пых Сравнений МК‘ |клаксационныч меіошм и мел од ом трансфер матриц.

- Расчет конненграннои1<мх зависимости лффемивныч упругих консгаи

мої одой трансфер матриц для длинных лент с конечной шириной и нр конечных со1 гашениях жё'.ткостен фаз. Расчёт p«unpciHVicHi!li no.it напряжений н деф«;рмаинй для образцов Квалрптной формы. .

>пределеіше ПЭ и критических показателей консчночлсментной модели' йодом “феиоменмопччесмм _ренорм фугшы. Анализ екейлишх'вых . ІвИСИМОСТСИ :->ффеКТНПИЫ\ упругих модуле Гг лрп конечных шошошышях йсткостей фаз при р-ре. н сравнение их с рсзу.тьтагами, полученными," рн помощи друшх моделей. .

шачатшіїид, .

Сформулирована конечнолчемнтная модель плоской изотропнои . ^фазной неупорядоченной среды.

Рлчработлнм проіраммм расчета упругих модулей конечишлемеигной дели релаксационным меюаом V четком фацеф^р-мчтпиц для областей, екчипх квадратную (¡юрму и форму длинной лент Про«*менс ¡ислг^'г~: датирование упругих свойств методом Монте-Карло для систем рахітник мерой в широком диапозоне соотношения жёсткостей я при разных ъёмных содержаниях компонент. Определены порог эластичности и нтнческие показатели модулей упругости,

Скейлинговые зависимости макроскопических упругих ссоіістп уггсрядпчешіоіі среды проанализированы с точки зрения различных (хобоп осреднения модулей сиегсч конечного размера.

іруГ'ЧННЧ. р.аб<ль>.

Материалы диссертации докладывались и оТк-удлалнсь па:

Н Всесоюзная научно-іехническая конференция ‘ Высоконаьолненныс сом- позиционные полимерные материалы, рашшие их производства *; іримснсшіс в народном хозяйстве". Москва. 198.“'. •

IV Всесоюзное совещание “Магемашческие метопы чля исс (едоваиич по-ткмерои н биополимеров". Путино, КЯ5.

Международная конференция “Композиты: механика разрушения и технологии”. Чсрноюловка. 199.’. ‘

VIII Международная конференция г:о м;-ханике композитам* материачоп. Рига, 1993.

Научная конференция отдела полимеров ИХФ РАН, 1995.

С>к‘м.11£1РШУР-.> работы, ґ • .

Диссертация содержи» „¿д! страниц и состоит из введения, пяти глав, .140топ и списка литературы. Материал лнссертаинн игтюстрпровап 2.3 ісунками и ^ габлипами.

Ши'ШШШШ анализируется акзуальносгь проблемы, укатаны цель, методы ее достижения и сформулирована научная новизна работы.

В первой главе проводшся литературный обзор, кратко отражающий основные идеи и методы применяемые для оннсашг упругих евойетт гетсроіеншіх неупорядоченных сред. Основное внимание уделено:

1) Аналитическим расчётам 'эффективных упругих свойств изотропны* гетерогенные неупорядоченных сред в рамкач моделей эффективной среды мегодоч самосогласокшия.

. 2) Методам реиорм-групповых преобразований- и структурным моделяк

перко.тяшгашюго кластера.

3) Методам компьютерного моделирования упругих свойств и способач обработки результатов в рамках скешшнговых представлений.

Во второй главе обосновывается адекватность скейлшншого описати упру пт свойствам елмю неоднородных композитов неупорядоченной СТруКТурЫ.

Вариационные оценки Хашииа-Шгрнкмана эффективных модулей н:ялропных двухфазных композитов предсказывают значения равные пс порядку величин жёсткостям мяіхоіі и жёсткой фаз для ннжнеіі н верхнє! оценок. еоогтегственно, при любых ненулевых о(п.смных соотношения? компонент. В частности, для эффективного обьёмного модуля справедлив* слецуишш формула:

________________________ . ,п

- *. 1 і і{~\- р)(к2-к\),{к\ + 1/^)’ ■

где К і, - объемные модули, //(.//? - модули сдвига, (I -р) и р '■

концентрации фаз. Предложенная Хаишным полйднеиераш структурна? модель матричного пвухфазного композита позволяет точно рассчитан величину. К’, которая совпадает с ннжнеіі оценкой в случае мягкой матриць

У с верхней; если непрерывной оказывается жёсткая компонент. Такт образом,-оценки, сильно различающиеся и сиучае значительной разннць жёсткостей компонент, являются постижимыми. .

Дня сред со случайной структурой ненрерыпкх и. цтн дискретность ({за: не задается, ¡шрнгфи, .а определяется их концентрацией: сооткстсоуичца^

аза является лискрсшой, если её коииеіГфаиня мала, н непрерывной, если* лщентраціШ близка к 1. Слезовазельно. жёсткости К и р сильно :о,вдоро;>ной неупоряпоченмой срсдыГбуяут поряд*;«-К і, ріл^Ь в м;ісіш:;бе . ёстыш фазы) при малых р и порядка А%, //; (т.е. да « маеппабе шікоїі азы) при достаточно высохнх значениях р, Эю означает. чго долано , 'шествовать пороговое винчение концентрации р-г>е, называемое порогсвд ¡астнЧностн (ПЭ>, при котором ^ффекнтные жесткости сгаиопятся ¡'Личными от нуля в масштабе жесткой фази. ,

На протяжения последних ес-сячи лет различные идеи и методы теории )ЛТ!П'‘С':<г< япленпн (идеи екейлинга, теория (тротекаинч, моделирование лояом Монт Карло, ремгт^м (мыиьис преобразования) шйракЬ

ЗИМеИЯЛИСЬ ДЛЯ изу‘!еги:я ЦЛІШІИН Иеу»О}1ЯЛ0'гСНН0СТН структурі.! ЯЯ панические свойства гетерогенных сред. Эго связано с тем, что оценки [>фективных свойств макроскопически изотропных гєтероіеппих • гунорялоченмых материалов, полученные в рамках моделей эффективной «ды методом самосогласованна, например, модель Хилла п Будянского, юапетБорителыга описывают экспериментальные данные только в областях злых н больших концентраций микронсопнородиостсй и оказываются :чочными при средних концентрати*.

Согласи», скснлтновым представлениям, повеление уггрутх констант »ліпи Н*) онрсделяезся корреляционной длиной с, которач имеет смысл к-днего размера конечных жестких кластеров п облаєш р<р,, И среднего ізмер.з полостей в бесконечном кластере при р>р„. При р~*р, зрреляшгопніїя длина стремится к бесконечное»и по степенному закону: •

¿(Р) ~\Р-Р,\"" ■ (2)

еоотмясгвуютим показателем »■. •

Эффективные модули среды, состоящей ИЗ упругой (/*.'• I, //1 -1) и їеолютно жесткой (!'*'>•>А',. «?»//,) компонеігг. в облает концепзраннй <*с ПЭ. оставаясь величин,іми іт^ірял^а А'і і! р,< расходятся пб."«зч /»♦ с ¡которым показателем 6', называемым пока <агелем сунср'ласпгшоегн:

к’ -к1(рг-рг^к^'' >, р->ре ф

С другой стороны, в области /»/>, эффективные кОистаН+ы среды, 'стоящей из м.чікоіі (К,--О, ,//:-04 ч упруїой {Кг -1, компонент,

лтлшея сколь )іоаио малыми при значениях р достаточно близких к р/. 1 .

А'* К,(р~ />:= л", 4 ;, р > р', (4)

с Т - пока іатсль эластичности. " ‘ .

*

Г1рн р=р, наблюдается скснлннг по жёсткости« с ух/твегствюш.1 показателем у:

ц.

(5)

СкеЙЛННГОВМе соотношения <3}-(5) М01уг быть обобщены слспуюии образом: . ,

ЛУК, ] • • ’

РА

Д»£п(/>-Р,)1р“АГА;

при соответствующем ассимптотнческом поведении функции в:

. " ■ (К*)- 1-. л 0', ' ; .. •/ V'

• <м.х)~х Х~*0\ . , .

.• С}(Х)~ХШ''’\ ¿->00, ■" ... ■ . ' : '

причём мэ (?в) ьдоосрезстйснно следует» что у=$/(Г+Я).

щ,

(7а)

(?б)

(7в)

В третий ;лзвс описывается конечиоалементиая модель двухфазн пеупоряиоченной среди и формулируются краевые задачи для определен эффективны* упругих модулей. . :

Геометрическая структура двухфазной среди моделируется плоек квадратной решёткой, кахаая ячейка которой заполняется материал

ПСрВОЙ (МЯГКОЙ) или ВТО{ (жесткой) компоненты

КС|КК»ТКОСТЬЮ (1-/-0 И.

соответственно (Рис. 1а).

Деформационные свойс Компонент описываются основе определяю»

соотношений тсорни упруго Рис. I. (*)• [et.xftp.cie«.’» Структура 'чеу*ф.тиюЧ д-|я . однородных. ' ИЪГГроШ

л?)мор#ло,и>швй с^йм. <'■>) Псуитинбчмм мл.*чя

материалов

в

рам

утчш т »*..мрл,Ч(;/г )>гшмгс с тиг'нгп-ч.'нч ■ гезенк. • !т:г"'Сгр'л'Н'Чи 1*щг.а'Чи; 1'Л9 ПЛ'^СКОи^при ¿'СП1КЧО СОСТОЯ

*г>меч>чглсчг'.Ч1|'ОЙ ‘тлс-.ш. 'Уйм 1*'Чк'1кК И . ОНреле'бНуКЯ ЧЗД1Н1

«юлхгстъяп к.Э к<‘рт)!»з.ин>.1С й ггртплг^'и:)!? сотгеГСН^КЖШХ Ш.(Че1 с»Я1и мол.чпттт , с 13ичо:1>*1кмяи<: К ) «о отитч, ' ... „

„О яш-:. ' /'. ‘ модуля Юнга Е

•. : . . г.о^(м|шиис1на Иуиссона п:

а. яла Ьой кочипнешы. А -ч , 2.

Упругая энергия наирчлёмчп-и-^н.рмчропачпг.н' состояния ¡терогетюи средн. заполняющей ооласть чо'*с> быть записана в шше:

|| 4л(нт., + и,.,.) + Ди-Л + + и;_,.1"|с/0, (8)

)Г =

(с: Я и р * коэффнинэнты Лам&, и-(иг,м¥) - коте смещений, а занятая, «тачает частную нроизголную по соогвезскуиние» координате,

оэффициенть; Ламэ связаны с Е и <у соотношениями:

Ет Е

л, ^--5—,91

являются кусочно-постоянным!» функциями о О,

Ашфсксныаиию поля смешений. 1*ин*чк<и|1у><1пк-н1

функционал (8) в об.частп О При соспстсгпуюших

красных условиях, будем езроить .МКЭ. Разбиение области на конечные элементы (КЭ) задается ячейками квалрагкпи

реюсткг?. Эяутря птс'-^стгтп Д с. 2. (л) Ло^.гч’.мг'.я и (6) [/«обалшля сл?исныс. функция. (1^ПС. ¿3) ,ГК»ТС смешении

■ пр|1блнл;аеи:я билинейными

лиеи.иямн:

(|> ■ гг> *

1~<Р}<Х,У)

Ф;(ху)

(10)

?: Г, - смешения п узлах, <р,- локальные базисные функции КЭ:

«7(<д.\)~а,.х ( Ь,г-1-с(.чт '■(/,. • (11)

»ффчинситы «, /;. с « а определяются через координаты узлов КЭ .г», V/ из сгсмы уравнений: ■

V,> ■= 6], . (= {1,К /)}. (12)

Посг|х>енне коиечноэлементной модели поля смещений в области И ущестзяется путем связывания аппроксимации на различных КЭ:

£|!(ф, (*.>■>, ■ (13)

■: Г; - -г-екзор смс'пмиИ т. .'■■м узле решётки. Ф4 - итЗалмыс батисные-

функции» равные I в А-м узле к 0 - в остальных (Рис, 26):

I <р; (л, г), ( V, V) с А'

; Ф*(л,>ЬГ ' , (14)

10, (*,>>)*£ УД'

Подстановка (13) в выражение (8) позволяет представить упругуи энергию И' внутри области £1 в виде положительно определенно! квадратичной формы, зависящей от смещений I', в уз^1ах решсткн:

. »х1;)=1КЛ^+№+п^;), <»?>

гае: . .

' «* = I |)(А+ 2р)Ф(,гФ^ + рФ(,,.ФлУ)с/а

• ' Ч • - .

- (»6)

. П, ■ _ ■ .

Уц=- .

. ‘V ■

И«ггс1риррвзнне в (16) осуществляется по областям О,,, в которьи функции Ф/ иФ; одновременно отличны от 0. Слсдовгтельно, для каждой угпя .оказываются ненулевыми лишь коэффициенты, соответствуют» восьми соседям по сторонам и диатналям КЭ.

Согласно вариационному принципу МКЭ, минимум квадратично! формы (15) достигается на поле смешений 11. удовлетворяющем виугр! области системе линейных уравнений:

" ¿IV л л • .

—- = 0, --0. (17)

.. еЛ, . С'У, . •

Уравнения (17) являются условиями равновесия для дискретной среды < потенциалом взаимодействия между узлами (15). Производные дШ/ёХ\ I ¿¡У/дУ[, взятые со знаком минус, имскхг смысл компонент силы действующей н^/-й узел. , ^

Дискретную среду, упругие свойства которой определяю™ потенциалом. {15), будем называть коиечнозлемемтной модель«

неупорядоченной среды (КМ НС). ‘ ,

КМНС геометрически эквивалентна перколяцнонной задаче узлов № квадратной решетке с диагональными связями (Рне. 16). Узлы рстстю соответствуют КЭ, дагональиые связи моделируют взаимодействие“ К1*) п! углам» а тризонтальнме и везикальные - взаимодействие но сторонам,

Упругие модули C(t£y н для каждой конфигурашш дискретно»

»¿упорядоченна среды '«* области имеющей формуквадра та со eroponofl L (Рис. За), рассчитывались на основе решення ypanm-iim'i (¡7) при

юриодических граничных условия* на верпикальных ipammix: ,

U(0,,y) = U(/..y), у е(0,,’.), ■ (18) ,

rro соответстпуст нулевой л-он компонете среднего тензора деформации, н [шксироеэикмч смешениях «а горизонтальных границах:

|!(л,0> = 0, х е {О,Л), (10)

a{xJ. )~ X,,

хе(0.1Л,-ю формулам:

^--,уг„1.риМ (21«)

C^r - Fx/XL , ири Гг-0, . (216)

де F~(Fx,Fy) - макроскопическая сила, действующая на верхний слой "JJIOB,

Эффективные упрупв модула C,*t и /л КМНС определялись путем

«релнения величин С*',^ и по различным конфигурациям:

(20)

л>

(я)

$

/.--5

(в)

iKt 3, (я*

OCTpOfcWIrt* Ш CWJiFWiffMWi

|ьрм»кл м ? я'Г*

'ТЬртсита.ина*" спстгм размера племмлыю.

s'n

с;,-te), <»'

ЧТО COOVl.ClCTnyer (Ыр;1'1Ле Л Ь i 10 >fy

соединению квадратных областей в “гортшпачыгут ' ленту. нагружению в начраплсшш осп .»' (Рис. .Эа).

■ Гортонтл.чымч ленгя удЫта длл ■пппс/чмпшя нокатпеля лластичиостн Т при V?-Ре. поскгиько лдя достаточно ялшшоч леты всегда сущее гпует "'гстх'.'.к кластер..

сослшгяюншй длинные сторонм и ягнтх дающий ocifotrtraff «клад в зна-геш’л С,*, и р.

С другой сицмны. при pH а,. и

>',х

■V,\

(й*

WM, в

», cootretcmvei & '»/, (Рис. 30) отсутствует »CCI к lift л'.'таикычч!) cw»ui!em'!o кпллрятух клг.сгер. с:шмвд!оншГ| ленту i:

fK'fYM ‘

:одулс('{ (.

к

•<»ч

хуху

направлении octt т* *• ^наченна

определяются свойствам» мчгкой фазм. Для расчёта

L

N

а уравнения (17) решались в области ІІ. имеющей форму ленть

П{Ж периодических іріШИЧНЬІХ условия ну длинных* .

ІДл.О) =• К(лг, І4, х с- (О, Лг), (23)

и фиксированных, смещениях ка коротких сторонах;

. 1'(0.>') =а, уьМ, (24)

Х{#,у)*Хк,\ _

. У(Ы,М=УЫ, уєфЛ) і~')

Значения ('ж% (-'ту определялись через компоненті

макроскопической силы Iі=(/'"*,Р'у), действующей на короткие сторож ленты:

(-(') ^ El.IL (26)

■ I Х„ ’ *>лу 1УЫ'

Чмриулм (26) соответствуют осреднению упругих модулей квадратны областей при их носледонателыюм соединении в дямнную 'вертнкллшую ленту. Кроме того, метод ре;<іен»и краевой задачи (17), (23)-(25) гюшоляе рассчитывать свойегиа ленты практически неограниченной длины направлении оси г. Таким образом, для расчёта макроскопических упрут модулей С,*, и // я данном случае не требуется дополнительною осреднена шшчми С^; по различным конфигурациям:

Си->■■€£. ; (27)

В четвертой главе описываются используемые Еычиелиге;и.мые методы.

Сформулированные в предыдущей шее красные задачи решалис методом траіісфгр-магрнц (ігзпгіег-тпігіх), яапяюишмеа модмфнкацнеі метода Гауса дая магриц блочно-ленгочиой структуры.

Достоинством метода является возможность точного решения системі 07) для областей, имеющих т}>орму дпнняой ленты. Определение точної, решения особенно важно в области коїщенгранпй близких . х. порог эластичности р,. Дело в гом, что іпча геойетрическгм структурі образующихся жёстких клясгеров, количсстео итераинії, .необходимое до! раечега уг/рушх кокст.шг с досгагочиои точностью на основе приближенны: решений, ничучаемух іггсрацнокіїимн меч одами, резко возрастает и і ребус Значительных вычислительна». мошностсй,

Кромй того, при расчете унрушх модулей п рамках екеіілингроріх подходе существенным являете» тот факт, чго для любою значения р*р,

пожег быть достигнута длина ленты, превышающая корреляционную лишу £'(/>)•

----Рассмотрим схему решения краевой- -дазчи) !7),(23н25) ti расчёл

упругих констант í„r, С;£ъ методом rpancqicp-MaTpHii.

Для петы длиной Л' и шириной I. (Р..С. 4) уравнения ракнонеси? (17) цля iityrpeiiKHx ьергнкалыгыч слоев, с учетом краевых ус ювий (23H2S). Moiyi Cu ri. зависимы в пндс.

'л?, л,, Г’ ! ' о '

'Vsl Л« 1| • ! А„,| || 1?, 1- G

( A.v\.| Aw,vAi*av V/yamJ

где: ie{3....Л-1}, 1); ='(Л'(1, Уц, К, Л',;,,, К,Ь1] • вектор смешений

утши i-ю вертикального слоя, f*дг»i*=—Ад?*-► i lf.v*i - саш, действующие на углы Л’-го слоя со стороны (Л'+1)-го слоя.

Матрицы Л,/, поилка 2(¿+l)x2(/.+l) описывают взаимодействие узлов

внутри слоя и ялляюгея положително огт|ч еленнымн симметричными

ий i рндам,>, несколько

квадратичная форма

а; -■ г;л„г,. (29)

имеет смысл унрутй энергии системи при смстпенни мч полодення равновесия ппько умой ыо слоя. Кчк уже отмечалось выше, и уравнении равногссия для каждого умэ íMnJ ií fn uouv оппчппми от нуля

ГОЛ1.КО КПл|*фШП1СНП.!,

соответствую! ннс иосьмн соседям rm сторонам ¡i дагоналям КЭ. содержащих данный узел. Таким врачом, все машины Л, ивлячегся жеепшнатна и-нымн лпггглнтт матрицами порядка 2(L ! i)'2(f * I )

1*ИГ, 4 ll-jMv-рлШЧ «ЛОВ И rCl~i!*.ÎTb“.U\ Cl'** .¡tH’.il. C^l.pA4¿i« )Яр>Шл

\wto»i¡4 тр'тгфер-чмриц. lymep п;ип>: «vseic* ((тичегггем КЭ (£• /V). Уз-’-м î-ro ivpTintMiноге

СЛО* 'иЧфДОсии . (ну.'К’ШС rMÍSiCRD»), ГЦЛПгМ««

yn,u¡ i,\ti><v> он тяггса росгш'ямчч. I’jwk f>*;■*•? )paiwn:oi ,ni I :t> к угк< в

i;a*¿u;i cwe cp*i:%u*'<> Чтс _ ччнtenjnwf шрионплкн« цкитчн; 1м услорщм a nffitHftwtcu на'н'-тчч»!» •

При іюмошн алгоритма Гауса система уравнений (28) может бгт приведена к треугольному виду:

ßjj • ч чу ' 0

в„ в«+, V, Ä 0

’ - і . « «

\ В*лС A'Nj

где: <P;Vírti=“iBwt U/v*i, и матрацы В„ имеют треугольный вид.

Сшил f, действующие на узлы последнего слоя, и компоненты макроскопической силм F, фигурирующие в выражениях (26), расечктысйкпея но формула*?:

А + A\4|^+|Uä,1 =f, (31)

F^í/.r, (32)

■ /V» !.| ,

в которых. вектор l.Vi задан краевыми условиями, а смещения U,v ВЫЧИСЛЯЮТСЯ то последнего уравнения системы (Í0).

Таким образом, для определения сил f, о, следовательно, и упругих модулей и достаточно знать смещения двух последних слоев

ленты и нет необходимости восстанавливать ноле смещений во всей области. .

Переход к лете, имеющей длину Л-И, осущесгнляетея путем ПрПРСЛСИИЕ к треугольному виду системы уравнений:

)lK W, ” ) от

V*A'-!tf ■ ЛАМ^1А1 А<1у VNitNilJ ,

где fv.|'o¿ Л\+1А^1'л'2 имеет смысл аналогичным Tnn*i » системе уравнений (28j. После соответствующей перенумерации матриц и векторов, процепура вичис.чошя сил Г дчя более длинной ленты описывается формулой (3!).

Hi приведенной тератюнной схемы следует, что знание магрин O.v.v, лта ленты длиной Л’ почва.wer, с одной стороны, при i.iaaiiunx смешениях Ys ч расечичагь и С^’ . а с друшй - вычислить матрицы It.vn .v. i, R-4i.v.: и испей гм к лете длиной /V-г ].

И р„чioj(,Ы:и'С_оппсаны ре ¡> чьч ai ы расчетов.

i

Порог эластичкосгн р, и критческие показатели Я Т и у опред&шлнсь а рамках скейлишошх представлений о поведении упругих модулей

неупорядоченных систем конечного размера (!mite-si?e scaling, FSSt. _^____

Описание упругих свойств бесконечной неупорядоченной системы !збл!пи порога илястичностн на основе механических еазйсса систем конечного размера можег быть получено исходя нч феноменологического представления (6) е учетом асимптотического поведения функции ('< п вырзжекях (7). _

Используя определение (2) показателя v', скейлннговын закьн t6> mo*.í быть записан в терминах корреляционной длины бесконечной сие гимн

К* = К,£ v;"Cr[|L^(,4S,'-j, (И)

есля принять во внимание, тго корреляционная длина имеет различный СМЫСЛ при />>/>, Н p<pt, II

0(л) = 0'(х)~1, *-Ю (35)

ниже порога н

С(х) = 0‘(*)~*Л т-*0 (36)

выше ПЭ. • ‘

В соответешш со скейлингопой гипотезой тагиснмоси. ynpyntt моду: i ей конечной системы размера ¡>1. от /. при р-р, ewei яня (34) при замене í на

Л *( /,) ~ К, is ’ G| ~ !У'I. ' (37)

\,Л 2 / .

выражение (37) имеет следующий смысл. Если при осреднении ynpyim модулей конечной системы но конфшураииям, рассматривается тотьке конфигурации. не содержащие жёсткою кластера, тт> при Кг»К. имр.зжени1'.(37) принимает вид-

(38-

и, наоборот, если такие конфигурации не учитываются, тогда при К\ «К>: Л'Ч/Л-ДГ2Г"1'. ■ . (39)

Идея cKerimmt'or.f'Si замени <? ял ' V ь и.грпт-гнмн (34) гганотггся поннгнпм. если рассмотреть упругие сиопетла бесконечно дтеннон ленть» с конечной rmipimoiî f : Пусть ¿¡ip) г средний размер жёстких кллстерсз а такой мепи’. Очемшю, 'по <;/ tp)-- , (р). если I >*> ç г(р) п £/{р ) нрп

, (/>). Уащл: • . _

£,лр>4лр)1\ЩЛр% (40.

вд.сксашшовая функция Н(т>-I при л» $ и пропорциональна л. сслп 0<лг«"1.

Нустг» А"л-- I, К | —•*0 н лет# нагружена май длинной стороны «Ряс. За). Соцютпв.чеппе «згрузк? будет характеризоваться «молевой жесткостью, если длинные стороны скианы жёстким кластером. Такой кластер будет существовать о вероятностью ~1, если

Ь(Р>~1- (41)

В соответствии с (40), соотношение (41) справедливо при:

\х- ¿¡4,(р)~* или ¿-¿АР)- <42)

Пояггаповгл {2) г <42} мпже р, иозздляст оисштть порог зластичности р,{1) дзшшои лсИты шириной I:

р'{1.\-рг-а1.;"'г. (43)

Таким образом. (№ бесконечной ленты с конечной шириной (, меньше ПЭ бесконечной сисгемы и стремится к пему яря ¿-»оо. Если учссп», ЧТО для достаточно широко!: лпгты показатель эластичности Г не зависит от то

К’- К2(р~ 1>у(1))Т = М'г1-Т '[(р~ (44)

что совпадает со скейлинговым законом (39) прп р~ре.

■ С Другой стороны, если А' | ~ 1, А'2-»«> п леи га нагружена вдоль коротких сторон (Рис 36), то система будет облацзть нормальной ж&ггкостыо при условии, что существует мягкий распер, соединяющий гдашше стороны. Подстановка (2) в (42) выше /)« позволяет оценить порог сулерэ.’шггччнопги бесконечной ленты конечной ширины:

• Р,и.) = р^о1:{\ (45)

Порог суифэласгичноспт бесконечной ленгы шириной ¿ оказывается больше порога бесконечно!! системы и стремится к нему при -»•<» сверху. Если, аийлотчно предыдущему случаю, предположить, что жёсткость ленты расходится с .показателей & независящим от ширины ленш, то

А'* ~-А",(/;,(/.)- /') '' = ЛКХ1' ' [(/>, - р)!.{ г + а\ \ (46)

•по совпадает с выражением (38) при р-ре. .

• Определение показателей Л' г и Т>у из соотношении (38) н (39) яезмежно чншь п том случае, если известно точное значение ИЭ для бесконечной системы. Для КМ НС значение р, априори неизвестно. Поэтому был ксиользовап модифицированный метод скенднига по размерам системы (метод феноменологической рспормгругпы). основанный нз соотношениях

и

(44) н (46) н почголяюіций одновременно рассчитать ПЭ if іфтггические покалачели. Метод был вперные сформулируй П. Наітінгеііпом (Р. Nightingale) и примененМ.Caxmm и’ДжгГогортюм-іМ. Sabiroi, Ci. (îcuardi, для определения ЛЭ и кріпичссх»* кокіи.чп-'клї р зада^г- упругой

Гяг. ÍV. (я; ^ишісимпспі \ 1} і, (2) пояучит при рлгчг г- itrir'it ,г*\ “»»•«»«*ілМіоІГ

лгчты т f.fmemiv *ргериЧ ■s.v.a1:« (17*. <2’И2.М. ((îi Крит-г (!) n >'< •i.>-tv!>:pu in

"ггр!ИОІП;тн<чТ' ЛСіт.!, Ж>С (fv>cmiOJÍ t:)TÍ M rib'll l.-'H'J ï.^

керки/пт;!! tm треут/тміоіі реічітке с гслк-нтшяллч wnprriM'o.n rnnmeuostuniutf мелду уз мчи.

Іїі.ічие. темпе ко;ше>лр.личоннт ілчпснм>х:і<-и /•.' і;', f.] чиї ¡ir» мере ірех p.j ічсров і ;. l'.j (ЮЧРС.ІЧеі ПЯИГИ точку переі.еЧ'.’ЧПЧ кріТ-МЧ

hi} /; '( Р, Л ; І ' /.' '( /'. / , ) г Щ І- : ' /■ і ] ■' Ч А' ’( /’. !. -Л ■ К ' > !> .1. А 1 .' in! І > •' >■ ; ¡

Ö «ИППСТСІВНИ С ІГреасТПЯЛСІПММН (44) П (¿бі абсцисса Wts«

■г;vtnc;r:i !Г>. ерлчм-чч - (¡«м»дтглг*» '■ч* п енучзе MH'tninvtbnoñ" лентм.

Н !И 1 »' П С (V’-íU’ "'.Ч".'Ч' ’HT.І

Ня Рис'. 5а fipHPcuetiw соагасі<;і»>і.пцис ».•лтмпг-чмтхш»;. •

ічпнеимост«,' паїучеішме. при p,u*fcic модулей сдвига í; т "яертикзльчт" (iiitnimoü IM, 25 и 40 и.аяшиїіі I0\ 25*10* и 4' 10*. (.•ч»т<*.'т*,тгєі»пп. На

plie f<* Ttpi'I і,-'!'.! ,(-!.! ИЧ'ГЧМ «i* MVÜsMe. І”" ' TVfpiwamOSV

Є'Ч.7»шіішя ліеН'ч ріе.іері'п lu, 25 и -ÎO з "ігрїгі'ч'ьипме"

.¡і-» І.|. ji irr і:.і.» .»чо ' !>¡u4f|4 г'С;т\Чтт,Ч** ttf <0!»'iUWKt» і».'. 2nî<v

l.oilrf і»\ рінСі їМ

О сі

(4?)

. В результате расчетов получены следующие значения ИЭ ісригяческил покачателсй: р,-»48.7, 5'^1:02, ТУ г«0.87. Макроскопический коэффициент Пуассона рассчшмоался но формуле:

1# ■ ' ,

С',,' '

На Рис. 6 приведені концентрационные зависимости гг (р) т квадратной системі размера 40x40 прі различных соотношения; модулей сдвига фа 0-4 іц, = 101-} ()г. Крины.

имеют МОНОТОІПШІ

характер при н характсризукто

р , и наличием битс

Рис, 6. Кошкктрашюяныс «*!Ю)мост миросхопнчесхого расположенных »еэффидаеот* Н>ялоти да* системы разисрои 40>10 д-и чнишмума и максимум; мгінчнт єоотжчпешій модулей сдвиг* фді Номера »ривых ' ,

р*тыЫ^Пи1 Д1Я , соотношени»

Рг?Р\г 10 , прнчёк

МИНИМУМ достигается при концентрации приблизительно равно? ітометрическому порогу ¡ш системы размером 40<Ю. Значение

о (рг)*0,35 практически не зависит от соотношения жСсткостсй фаз прі

рз/уМікІО5.

Вытт-

. *>

1. Сформулирована попечпешемектная модель плоской щотрошюй двухфазной (1еупо|7ЯДрЧеНИОЙ срелы.

2. Разработаны профам\ш расчета упругих модулей коиечноэлсмснпюй модели итерационным методом релаксации спряжений и метолом

- траисфср-мэтриц. Показано, что в охрестоосги НЭ количество итераций, необходимое для расчета уирутх кон .¡ант с достаточной точностью, резио возрастает н Требует значительных вычислю елышх мощностей. С этой точки зретга богес прелпочгиIел ьними оказьшк'Тся методы ТОЧНОГО решения ССКНКПГСТПугсЩИХ уравМСИНЙ. п ЧЙС1Ш1СШ метод

трансфер-матриц. Кроме тоги, вблизи ПЭ оезко возрастает

- статистический разС^юс зффекшЕиил. модуле« оз дельных конфигураций.

Мезодом трансфер матриц, обоспсчиаая птиожносН- nfMUWécKH---------------------------

налраниченного увеличения длины ленды. дает oiiocix) систематического уменьшения разброса.

3. Л)шиз рассчитанных запчгимосте»! макроскоштсшн упругих .'«'¡улей ш размери еисзечы позволяет еяелап. гняи* о vom, что определение покашедей T'v и S'v имеет смысл только а рамках опрсдедеаиого способа осреднения по различным конфшуращим упруго* сис-йств гипс», KÜHU4IUUо рагмерз. 0*.'р«*»»еиче упруги* модулей кяадрлтоых областей яри их параллельном сгеяичении -и ЛчртотАЦ,*^.’’ r.stvy, нагруженную вдоль длинных сторон, приводит к определению показателя Г/г. С друзой стороны, показатель .V v характеризует завис ¡imocti укрушт модулей ДЛИННОЙ ЛС1ПЫ, НШружейной вдаль коротких С10|КН, от ширины ЛШГШ.

4. Г1Э р, и критические показатели 7'г n SSv кенечиоэлементной модели . определены метолом феноменологической рсиормфукчм. Значение

находится между неркокнтшшммн Í!*4’4«*3piwe>:uani) порогами для задачи у нов на киадратгя'Н реиччке с днапчшчш'Чн cimwim (р,<*-0 41) и .пмломгшон задачи на квадратной сочср-*amen

тон,ко першкальнче н тртонтатоае сгя -.и г0> ?<■)). '(auot гЛраюч.

подтвержден ььни'ч о гон. что ПЭ моле г pacrunaiasu'« вытие

(Д'ОТНСЗСГГЛ КЧНССо КЧ1М1 !рНЧСОС(1!0 1!П(л)1Т), р.ЗЩК'П! р,\ ДЛЧ

(-•»а мазрнраемой мои;, т.

5. Рлесчигашпч’ значение нокэзазед» S! 1«1 02 совпадает я пределах точ-

ности внчке icmtü с результатами. полученными в рампах дручих моделей, vnpyton герм» тении. i < чд.! *t.m тччетггг JP «камяось лиачптй1Шо

iiis.M lo» lee;« (nyomec- 'mí |.ме.чя. üpüó шнггс.гыю раимго !!*.

6. КО[Ще1ПрЗШКЧШЬ!Г ЗЯЯИГНМОСТИ макроскопического ГоэффИЦНСПТа

Пуассон* «г < п) при соотношениях жесткостей фаз не превмгыюши* Ь'1’ л "гг x?p»Kf«rp. íf'ia стпошрний XVK|>.№* хрише rr ip)

¡О'Сьч ярки -.i'ífi’-i..: •.(fíüiM'м к >"я. распи-к'Дегжи;'

teoMcrpHMecKoro int(f>ia. Значения a (pr) вр?кшчсекн fie ¡rt>?w,u <n u-'uitii4etimi г.л rí;> чрн /\* 4'(t !0 ' •

Основное содержание дпссергаияи изложено » пумикяшш:

I. -Тнчнн В.А., Тиман С.А., Щупак F;.H., Добрынина И.Е. Деформационные характеристики гысоконаиашенных нашилефнкоз, II Всесоюзная научно-техническая конфсргиц/ш “Высоконячсх’шсшше композиционные псушмерныс материалы, разящие их производства и применение с народном хозяйстве“. Сборник докладов. Москва, !985, с. 62.

?. Тнш» С. Д., Ошмям 8.Г., Маневич JIM, Об одной задаче теории прогскамия. IV Всссоюнюе совещание “Математические методы для исследомния полимеров н биополимеров". Тезисы докладов. Пушино. I985.C.J05.

3. Точик В.А., Тиман С.А., Щупак Е.Н. Закономерности хаотического рапгрелелення чястиц н деформационные характеристики 'полимерных ».омночнтоп. ДАН СССР, 1986. том 2'П).№1,сЛ54.

4. Berlin Л.А., Knunyantz N.N., Одатп V.d, Timan S.A., Zhuk AV.„ TopoJkaraev V.A. Mathematical simulation of adhesive failure in particle filled composites and its efleet on the strength of materials, Proceedings of the International Symposium ‘Composites: Fracture mechanics and technology", S.T.Mileiko, V.V.Tvardovski. cd., Russian Composite Society-. Ohcmopolovka, Russia. J992. p.78.

1 liman S.A.. Oshmian V O. FF,M based simulation of percolation features of disordered heterogeneous media clastic properties. Materials Research Society Prorecdmgs , Pittsbuigh. 1994,'»'bG^,f>-2.49