Структурное моделирование процессов деформирования и разрушения дисперсно наполненных эластомерных композитов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 539.32:539.4

Гаришин Олег Константинович

СТРУКТУРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ ДИСПЕРСНО НАПОЛНЕННЫХ ЭЛАСТОМЕРНЫХ

КОМПОЗИТОВ

01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Пермь — 2003

Диссертационная работа выполнена в Институте механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук

Научный консультант: заслуженный деятель науки и техники

РСФСР, доктор технических наук, профессор В.В. Мошев

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Б.Д. Аннин

доктор физико-математических наук, профессор Ю.В. Соколкин

доктор физико-математических наук, профессор В.В. Стружанов

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН

(Москва)

Защита состоится 15 мая 2003 г. в 14 часов на заседании Диссертационного совета Д 004.012.01 в Институте механики сплошных сред УрО РАН по адресу: 614013, Россия, Пермь, ул. Академика Королева 1, Институт механики сплошных сред УрО РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН.

Автореферат разослан ^ апреля 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук ,

И.К. Березин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Одним из наиболее значительных достижений последней научно-технической революции можно по праву считать появление и широкое распространение в промышленности различных типов композиционных материалов. Особенно эффективным оказалось их использование в тех областях, где традиционные материалы уже практически исчерпали свой возможности, и не могут обеспечить должных темпов технического прогресса.

Рассматриваемые в работе дисперсно наполненные эластомерные композиты представляют собой структурно-неоднородные системы, состоящие из смеси жестких зернистых частиц, случайно расположенных в мягкой полимерной матрице. Их промышленными аналогами можно считать резины различного назначения, полимеры с зерйистым наполнителем, твердые ракетные топлива и т. д. Подобные материалы характеризуются сложным механическим поведением, которое обусловлено различными по природе обратимыми и необратимыми структурными изменениями, происходящими при деформировании.

До последнего времени исследователи описывали поведение таких сред в основном с феноменологических позиций, не вдаваясь в особенности того, что делается на микроструктурном уровне. Вполне удовлетворяя конструкторов, этот подход неприемлем для материаловедов. Для них понимание сути внутренних механизмов, формирующих эффективное поведение композита, является неотъемлемой частью работы. Особую значимость эта проблема приобретает для средних и высоких наполнений, когда взаимодействие между соседними близкорасположенными частицами (т. е. структура) начинает существенно сказываться на макросвойствах. Высокое случайное наполнение плюс сильная механическая неоднородность фаз серьезно затрудняет описание подобных материалов классическими методами механики микронеоднородных сред (самосогласование, регуляризация, вариационные, статистические методы и т.д.). В связи с этим был разработан новый структурный подход к решению таких задач.

Цель работы состояла в создании структурной модели зернистого композита, которая позволила бы объяснить его деформационное и прочностное поведение исходя из внутреннего строения материала и свойств компонентов. Рассматривались только упругие системы, так как именно они являются той базой, на основе которой можно в дальнейшем учесть и другие эффекты, связанные, например,факторов, диффузией пластификатора и т. д. Ос ювнаВивяа)еМ№в1ал сделан на те

С. Петербург

структурные механизмы, которые (с точки зрения автора) должны наиболее сильно сказываться на формировании макросвойств именно высокона-нолненных существенно механически неоднородных сред: 1) случайное расположение частиц наполнителя в матрице, учитывающее появление ближнего порядка в концентрированных стохастических структурах; 2) развитие внутренней поврежденности в виде межфазных отслоений и микроразрывов матрицы; 3) перестройка геометрии композитной структуры при деформировании.

Научная новизна. Предложен новый подход к структурному моделированию деформационных и прочностных свойств дисперсно наполненных эластомерных композитов. Его основное достоинство заключается в том, что он позволяет напрямую учесть структуру гетерогенного материала без привлечения дополнительных феноменологических гипотез о его внутреннем строении. При этом с ростом степени наполнения точность модели возрастает (по сравнению с другими известными методиками), что немаловажно, так как основным объектом данных исследований были именно высоконаполненные системы.

В основу подхода положен принцип физической дискретизации, согласно которому сложные полевые взаимодействия между структурными неоднородностями заменяются эквивалентными реакциями в соответствующих дискретно-механических аналогах. Иначе говоря, исходя из знания каких-то присущих исследуемой системе физических закономерностей, производится переход от сплошного континуума к более простой для расчетов дискретной системе. При построении такой модели были решены три следующие ключевые проблемы: 1) разработан способ моделирования случайных геометрических систем, адекватно отображающих структуру зернистого композита; 2) получена связь эквивалентных механических характеристик дискретного аналога с напряженным состоянием в отображаемой им области структурно-неоднородного континуума и ее геометрией; 3) разработана процедура перехода от усилий и деформаций, действующих в элементах модельной конструкции, на макроуровень.

На защиту выносятся следующие научные результаты:

1. Предложен алгоритм компьютерного синтеза моно- и полифракционных случайных систем из частиц круглой формы, ч. 2. Дано описание метода физической дискретизации в применении к моделированию механических свойств дисперсно наполненного композита со слабоэластичной несжимаемой матрицей. Разработана соответствующая структурно-механическая модель.

3. Получено численно-аналитическое решение краевой задачи об осесимметричном нагружении двух жестких сфер в несжимаемой линейно-упругой матрице, что позволило определить механические характеристики элементов аппроксимирующей реальный композит модельной системы.

4. Для композитный материалов с бидисперсной структурой рассчитаны зависимости эффективного модуля от концентрации дисперсной фазы, фракционного состава и соотношения размеров частиц наполнителя.

5. Исследованы закономерности возникновения и развития повреж-денности в дисперсно 'наполненных композитах со слабоэластичным полимерным связующим для случаев сильной и слабой адгезионной связи между матрицей'и включениями.

6. Предложен новый алгоритм, предназначенный для решения задач о нагружении нелинейно-упругих конечно деформируемых стержневых систем, — метод локальных итераций.

7. Со структурных позиций проведены исследования по моделированию деформационного и прочностного поведения ненаполненного высокоэластичного полимера в зависимости от тополоГйи молекулярной сетки и неоднородности свойств составляющих ее молекулярных цепочек.

8. Предложена структурно-статистическая модель дисперсно наполненного композита с высокоэластичной матрйцей, предназначенная для быстрых оценочных расчетов.

9. Разработана структурно-механическая Модель дисперсно наполненного эластомерного композита, способного испытывать большие упругие деформации.

Достоверность полученных научных результатов базируется на использовании хорошо известных численных и аналитических! методов, применяемых в механике деформируемого твердого тела,' и подтверждена сравнением проведенных расчетов с данными теоретическйх и экспериментальных работ других исследователей. Обоснованнбсть сформулированных в диссертации выводов и рекомендаций обусловлена тем, что они полностью вытекают из результатов, полученных автором, без привлечения каких-то дополнительных непроверенных гипотез и утверждений.

Практическая ценность. Разработанная и доведенная до уровня пакета прикладных программ структурно-механическая модель дисперсно наполненного эластомерного композита позволяет на основе данных о внутренней структуре материала и свойствах компонентов прогнозировать его эффективное деформационное и прочностное поведение. Это может оказаться полезным при разработке новых композиционных материалов с

заранее заданными свойствами, так как позволяет существенно снизить затраты на дорогостоящие экспериментальные исследования.

Результаты работы используются в практических исследованиях в ФГУП "Научно-исследовательский институт шинной промышленности" (Москва) и ФГУП "Научно-исследовательский институт полимерных материалов" (Пермь). Разработанные автором методики могут быть рекомендованы к применению в научно-исследовательских и проектно-конструк-торских организациях, связанных с решением прикладных задач механики композиционных материалов, а также при разработке курсов лекций по механике структурно-неоднородных сред.

Авторский вклад. Все изложенные в диссертации результаты получены автором лично, либо при его определяющем личном участии.

Апробация. Результаты, вошедшие в данную диссертационную работу, докладывались и обсуждались на 42 научно-технических конференциях и научных семинарах. В том числе: VIII Всесоюзная конференция по прочности и пластичности (Пермь, 1983); Межинститутский научный семинар Института синтетических полимерных материалов РАН им. Н.С. Ениколопова (Москва, 1985); Всесоюзная школа-семинар "Математическое моделирование в науке и технике" (Пермь, 1986); IV, V и VI Всесоюзные Научно-технические конференции по методам расчета изделий из высокоэластичных материалов (Рига, 1986, 1989, 1992); Научный семинар Института химии высокомолекулярных соединений АН Украины (Киев, 1990); Международный симпозиум "Advances in Structured and Heterogeneous Continua" (Москва, 1993); V, IX, XI, ХП и XIII Симпозиумы "Проблемы шин и резинокордных композитов" (Москва, 1993, 1998, 2000, 2001, 2002); Международная конференция по каучуку и резинам "IRC-94" (Москва, 1994); Международный симпозиум по механике эластомеров "МЭ-94" (Украина, Севастополь, 1994); International Conference "PROBAMAT — 21st CENTURY: Probabilities and Materials" (Perm, 1997); International Conference "Mesomechanics-98" (Tel Aviv, 1998); XI и XII Международные зимние школы по механике сплошных сред (Пермь, 1997, 1999); VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001); XXX Summer school "Advanced problems in mechanics" (Санкт-Петербург, 2002); Euromech Colloquium 438 "Constitutive equations for polymer microcomposites: on the border of mechanics and chemistry" (Vienna, 2002).

Публикаций. По теме диссертации опубликовано 50 печатных работ. Основные научные результаты отражены в монографии и 11 статьях в отечественных и зарубежных журналах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Она содержит 320 страниц, 67 рисунков и 5 таблиц. Список литературы насчитывает 275 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Введение. Дано обоснование актуальности темы диссертации, сформулированы цель работы, ее научная новизна и практическая ценность, кратко изложено содержание проведенных исследований по главам.

Глава I посвящена проблемам математического синтеза и исследования случайных геометрических структур, адекватно отображающих внутреннее строение"Зернистых композитов. Дан обзор основных методов теоретического и экспериментального изучения морфологии случайно упорядоченных структур из частиц круглой формы. Предложен алгоритм компьютерного моделирования моно- и полифракциошшх плотных случайных упаковок из частиц круглой формы, а на их базе и разреженных структур с заранее заданной объемной концентрацией и фракционным составом. В основе подхода лежит идея о возможности численного синтеза таких систем под действием сил, имитирующих радиально расширяющееся гравитационное поле.

Плоские и объемные геометрические структуры генерировали по одной программе. На рис. 1 приведены фрагменты плоских плотной и разреженной бинарных структур. Однако все дальнейшие расчеты по моделированию свойств композитов проводили только на трехмерных системах.

Рис. 1 Плотная (ф=85%, Х^=65%) и разреженная (ср=54%, Хк=58%) бинарные структуры. \}/ =3

Надежность разработанных алгоритмов подтверждается сравнением модельных структурных характеристик с известными из литературы опытными данными. Сравнивали радиальные распределения степени наполнения плотных упаковок ср, статистические распределения координационного числа и некоторые другие параметры. Было установлено, что для синтезированных на компьютере структур выполняется условие статистической макрооднородности и макроизотропности. Построенные для них многоточечные корреляционные функции (вплоть до пятого порядка включительно) зависели лишь от расстояния между расчетными точками, но не от их взаимного расположения, а начальная моментная функция была постоянна и равнялась концентрации частиц.

В качестве количественной меры стохастичности использовали энтропийный критерий Н (геометрический аналог информационной энтро-нии), вычисляемый по распределению зазоров между частицами. При прочих равных условиях для дальнейших расчетов выбирали структуры с максимальным значением Я, считая их наиболее вероятными и близкими к действительности.

Одно из достаточно часто предъявляемых к зернистым композитам требований заключается в сочетании высокого наполнения с достаточной эластичностью системы в целом. С точки зрения геометрии оптимальные в этом отношении структуры должны иметь фракционный состав, при котором число контактов и малых зазоров между включениями было бы по возможности минимальным. Такие геомстричсскис исследования были проведены для случайных бинарных систем из частиц круглой формы с соотношением размеров частиц от 1 до 5. Установлено, что наиболее эластичные (для заданного наполнения) структуры должны иметь объемную долю крупной фракции Хк от 70 до 90%, причем изменение ф и \[/ довольно слабо влияет на положение оптимума. Справедливость этого вывода подтверждена дальнейшими расчетами на структурной модели и сравнением с известными опытными данными.

В главе П рассмотрены вопросы, связанные с разработкой основных теоретических положений и обоснований, необходимых для построения структурно-механической модели дисперсно наполненного эластомерного композита. Приведен обзор и анализ (с позиций структурного моделирования) современных методов расчета структурно-неоднородных материалов. Дано описание основных постулатов, лежащих в основе метода физической дискретизации.

Физическую дискретизацию композитной системы типа "мягкая полимерная матрица — жесткий дисперсный наполнитель" производили на основании общеизвестного факта, что при деформировании столь неоднородных материалов наибольшие нагрузки испытывают матричные прослойки между частицами. Можно сказать, что они являются как бы "пружинами", распределяющими внешнее усилие от включения к включению, в то время как остальная часть матрицы нагружена несравнимо слабее.

а б в

Рис. 2 Физическая дискретизация дисперсно наполненного композита

При построении модели реальный композит (рис. 2а) представляли в виде ограниченной области, содержащей конечное число жестких сфер, произвольно расположенных в упругой несжимаемой матрице. Эту область разбивали па структурные континуальные элементы типа "включение — матричная прослойка — включение" (рис. 26) и рассматривали деформирование материала как процесс их взаимодействия. Каждый континуальный элемент заменяли соответствующим дискретным аналогом в виде упругого стержня с узлами в центрах включений. Его механические характеристики определяли из условия эквивалентности энергии деформации в аппроксимируемой и аппроксимирующей системах. В результате получали пространственную стержневую конструкцию (рис. 2в), на базе которой и производились все дальнейшие расчеты.

Континуальные элементы могли различаться толщиной прослоек, размерами включений, наличием или отсутствием в них повреждений и т. д. Соответственно было различным и их механическое поведение. Кроме того, свойства элемента в какой-то мере должны зависеть и от расположения близлежащих частиц. Из анализа решений плоских краевых задач о на-гружении различных ансамблей из жестких дисков в упругой матрице установлено, что НДС непосредственно в зазоре слабо зависит от располо-

жения соседей (хотя в целом по области распределение напряжений, конечно, тесно связано с ее конфигурацией). Исходя из плоской аналогии считали, что схожая ситуация будёт наблюдаться и для сферических включений (там она даже усугубится, так как возмущающие напряжения в трехмерном случае убывают при удалении от поверхности частицы намного быстрее, чем в плоском). Поэтому при построении модели влияние соседей не учитывали, оставаясь в рамках двухчастичной аппроксимации.

В полной постановке механическое поведение стержневого аналога описывается с помощью трех параметров (рис. За): Ос — жесткость на растяжение-сжатие, ^ и — изгибная и крутильная жесткости. Показано, что для достаточно малых зазоров Си является доминирующим по отношению к и 71 параметром. Поэтому при расчетах использовали схержневые элементы с шарнирными узлами.

Рис. 3 Схема определения эквивалентных механических характеристик дискретного стержневого аналога (а) и зависимость его податливости 1 /С/, от 5 и у в континуальном элементе (б). Ет — модуль Юнга матрицы

• Для того чтобы получить зависимость 0[. от геометрии континуального элемента и механических свойств составляющих его компонентов была решена краевая задача об осесимметричном нагружении двух жестких сфер в линейно-упругой несжимаемой матрице. Решение искали в виде представления Папковича-Нейбера с разложением неизвестных функций в ряд по полиномам Лежандра. Для этого использовали итерационно-аналитический метод, специально разработанный для определения НДС в

а

б

О 0.5 1.0 1.5 5/г„

линейно-упругих механически неоднородных системах типа "мягкая матрица с внедренными в нее жесткими дисперсными включениями". Полученные зависимости G¿ от 5 и у=гк/гы представлены на рис 36.

Расчет эффективных характеристик композита в рамках структурно-механической модели производили следующим образом: В случайной геометрической системе из жестких сфер "вырезали" представительный объем в виде параллелепипеда с перпендикулярными к координатным осям сторонами и производили физическую дискретизацию этой области, переходя к эквивалентной стержневой конструкции. Нижнюю грань неподвижно закрепляли, а противоположную ей смещали вверх, имитируя тем самым макрооднородное поле растягивающих напряжений. Рассматривали два варианта внешней нагрузки: 1) боковые поверхности "образца" оставались свободными; 2) чтобы как-то учесть несжимаемость композита в модельной стержневой конструкции, ее боковым граням навязывали такие перемещения, чтобы выполнялось условие неизменности объема "образца". Решив конечно-элементную стержневую задачу, определяли усилия и деформации, действующие в элементах модельной конструкции. Осредняя их проекции на координатные оси, и, зная размеры области, вычисляли значения компонент эффективных тензоров е и о.

Расчеты показали, что второй вариант приложения нагрузки давал некоторое возрастание общей жесткости системы, хотя в целом картина изменялась не очень существенно (примерно на 10+15%). Было также установлено, что случайные структуры, содержащие порядка 300 частиц, являются вполне представительными для определения эффективных характеристик композита. В дальнейшем, для большей надежности рассматривали системы не менее чем из 600-йООО включений.

В главе Ш представлены результаты по структурному' моделированию деформационного и прочностного поведения дисперсно наполненного композита в зависимости от его внутреннего строения и свойств компонентов. Все приведенные здесь расчеты делали в рамках теории малых упругих деформаций (т. е. без геометрической перестройки структуры).

Для зернистых композитов с моно- и бидисперсной структурой были построены зависимости макромодуля от наполнения и фракционного со-сгава. Для бинарных структур варьировали наполнение ф, объемную долю крупной фракции Хк и соотношение размеров частиц у. Полученные результаты оказались в удовлетворительном соответствии с известными опытными данными и теоретическими оценками (рис. 4).

Было установлено, что увеличение степени наполнения (при прочих равных условиях) ведет к возрастанию эффективного модуля композита (см. рис. 4а). Эта тенденция резко усиливается по мере приближения концентрации к предельному для данного фракционного состава значению, что объясняется появлением в структуре значительного числа близко расположенных и соприкасающихся включений.

а б

Рис. 4 а) Деформационные зависимости эффективного модуля для композитов с бинарным наполнением: пунктир —ЗБ гексагональная решетка; штриховая линия— нижняя оценка модуля по Рейссу; штрих-пунктир — по Хашину-Штрикману (Ет — модуль матрицы), б) Зависимость Ес/Ет от объемной доли крупной фракции Хк

Расчеты показали, что при малых и средних <р упругие характеристики композита довольно слабо зависят от фракционного состава. Однако при концентрациях, близких к предельным, ситуация меняется и ввод второй фракции позволяет существенно снизить макромодуль при том же наполнении (см. рис. 46). Это обстоятельство весьма важно для технологов, так как позволяет выбрать оптимальные режимы производства и переработки таких материалов.

Проведенные исследования подтвердили предположение Чонга и Байера о том, что если перестроить концентрационные зависимости Ес1Ет как функцию отношения ф к ее максимальному для данного фракционного состава значению фга, то все они будут лежать в довольно узком диапазоне вблизи кривой, соответствующей монофракционной системе (рис. 5). (Во всяком случае, для рассматриваемых гранулометрических составов.)

4

2

Рис. 5 Зависимость ЕС1Е„, от относительной концентрации <р/<рт: Затененная область— зона экспериментальных значений, сплошная линия — ^ обобщенная расчетная кривая ^ ф/ф«

Непосредственное численное моделирование распределения усилий по структурным элементам показало, что основную роль в формировании сопротивления внешнему усилию играют не более 10-^20% структурных элементов, образующих в объеме материала редкий, но жесткий пространственный каркас. Остальные же практически не нагружены и включаются в работу лишь при появлении локальных повреждений в системе, принимая на себя освободившуюся в результате этого нагрузку.

В той же III главе были исследованы закономерности развития по-вреждснности в зернистых композитах со слабоэластичной полимерной матрицей (в рамках теории линейно-упругих деформаций и без геометрической перестройки структуры). Приведен обзор наиболее характерных типов разрушения для таких композитных систем.

При моделировании процесса разрушения рассматривали только монофракционные системы с сильной и слабой адгезией между фазами. Жесткие включения считались неразрушаемыми элементами композитной системы, т. е. повреждаться могла только матрица. При этом предполагали, что возникшее в структурном элементе повреждение там же и локализуется, не затрагивая соседние участки.

В случае сильной адгезии (прочность скрепления матрицы и частиц выше прочности связующего) локальное повреждение моделировали в виде поперечного разрыва в толще матричной прослойки, что сразу приводило к нолной потере несущей способности структурного элемента. Его возникновение задавали по критерию максимума главных растягивающих деформаций в наиболее опасной точке А (рис. 6) в центре зазора ej4

е?>С - (1)

где е* — предельная деформация чистой матрицы, полученная из эксперимента на одноосное растяжение. Формула (2) определяет деформацию

аппроксимирующего стержневого элемента егна момент выполнения условия локального разрыва (1).

/'Я У"

= , (2)

где К0 — длина стержневого структурного элемента в ненагруженном состоянии; /? — его текущая длина.

«Ч

Рис. 6 Схема расчета опасных точек в континуальном структурном элементе с сильной адгезионной связью между фазами

На рис. 7а представлены модельные кривые растяжения для ф = 40, 50 и 60%, а на рис. 76 показаны сопутствующие зависимости степени по-врежденности С (С— это отношение числа разрушенных элементов к их общему количеству).

от.

С%

0.2 е/в:

0

0.1

0.2 в/в*

Рис. 7 Деформационные зависимости п (а) и С (б) для композитов с сильной межфазной адгезией

Все кривые по мере растяжения сначала испытывали плавный загиб в сторону уменьшения текущих значений Ес (диффузное накопление по-врежденности с более-менее равномерным распределением микроповреж-

дений по объему структуры). При достижении некоторой критической точки происходил резкий скачок вниз, что квалифицировалось как глобальное разрушение модельного "образца" из-за потери им макрооднородности. Накопленная поврежденность на этот момент составляла от 5% (Ф = 40%) до 18% (ф=60%).

В композитах со слабой межфазной адгезией локальное разрушение носило многостадийный характер. Сначала происходили межфазные отслоения (рис. 8). В качестве "критерия отслоения" матрицы от одной из частиц (первая стадия) было принято условие максимума нормальных отрывных напряжений на ее поверхности в наиболее опасной точке й в полюсе > о£р. Связь между еь и в°р задавали по формуле (3), полученной из аналитического решения краевой задачи о двух сферах в несжимаемой матрице

. \1.65 о

к

0.87Г 8

Е,

У' г рр

0.858--0.148 г

Рис. 8 Схема расчета механических свойств стержневого аналога, эквивалентного континуальному структурному элементу с отслоением

♦у ♦

»V

«э; ! ----' а?

»Л

Х5> \ >

Отслоение сразу разгружало матричную прослойку. GL дискретного аналога резко падала (но не до нуля) и становилась практически независимой от геометрии аппроксимируемого континуального элемента. Появление второго отслоения в том же элементе (вторая стадия) вызывало дополнительное уменьшение йц но уже незначительное — общая картина менялась слабо. Окончательное разрушение континуального элемента (третья стадия) моделировали з виде поперечного разрыва в его матрице (Сг,—► 0).

Условия перехода на 2 и 3-ю стадии локального разрушения задавали в виде соотношения

Ч>г\>г1>г\\Ет,Ь1г,^р), (4)

где е', —- предельная деформация стержня, соответствующая переходу на ¡-й этап повреждения, причем е2с и е[ уже не зависели от Ет, аь9р и 8/г. При моделировании значения , г\ и е] подбирали так, чтобы наиболее полно выявить влияние каждого из этапов развития локальной поврежденно-сти в структурных элементах на общую картину поведения столь сложного структурно неоднородного материала в целом.

Сц стержня, отображающего континуальный элемент с отслоением, определяли из решения конечно-элементной краевой задачи о двух жестких сферах в упругой матрице с различными условиями скрепления на границе раздела фаз.

Рис. 9 Зависимости с-£ (а) и кривые развития поврежденности (б) и (в) для композитов со слабой адгезией между фазами

На рис. 9а представлены кривые растяжения для систем со слабой межфазной адгезией, а на рис. 96 и 9в — сопутствующие зависимости развития поврежденности для ср=50% и 60%. С,- — доля структурных элементов, находящихся на 1-й стадии разрушения (С=С1+С2+С3).

Расчеты показали, что появляющиеся отслоения разгружали самые напряженные участки структуры, так как возникали они преимущественно в более жестких элементах. Механическая однородность моделируемой композитной системы повышалась. Это в определенной степени препятст-

вовало развитию глобальной макротрещиньт, так что композит мог еще некоторое время "сопротивляться" внешней нагрузке без заметной потери

В главе IV дано описание нового подхода к расчету нелинейно-упругих конечно деформируемых стержневых систем с неоднородной произвольно сформированной структурой.

Линейно-упругая модель позволила описать связь между микро- и макрохарактеристиками зернистых композитов, работающих в области малых деформаций. Однако, значительный научный и практический интерес представляют также дисперсно наполненные системы, способные испытывать большие упругие деформации с геометрической перестройкой структуры и развитием внутренней поврежденности. Предлагаемый подход позволил исследовать и такие материалы, но для этого пришлось значительно модернизировать модель.

Главная проблема состояла в разработке алгоритма поиска равновесия нелинейно-упругих стержневых систем с перестраиваемой при больших деформациях структурой. Разработанный автором специально для этого случая метод локальных итераций позволил достаточно эффективно решать задачи данного класса. В его основе лежит идея о возможности линеаризации физического уравнения локального равновесия для каждого узла структуры и сходимости итерационного процесса поиска равновесия всей системы при последовательном обходе узлов. Под локальным равновесием понимали такое положение узла (см. рис. 10), при котором суммы всех сил и моментов в сходящихся в нем структурных элементах равны нулю при условии, что соседние узлы считаются неподвижно закрепленными. Таким образом, на каждом шаге итераций задачу локального уравновешивания отдельно взятого узла можно свести к решению всего двух векторных уравнений: главного вектора сил (5) и главного момента. Если узел шарнирный, то достаточно одного уравнения (5), так как моментные усилия при таком сочленении не передаются.

где Г'{и1) — усилие, действующее в _/-м структурном элементе; к„ и j — направляющие векторы я-й координатной оси и _/-го элемента соответственно; ^/(и') — проекция усилия в у'-м стержневом элементе на п-ю ось координат; 11'=«'^ —искомый вектор перемещений.

эксплуатационных свойств.

N

N

(5)

Рис. 10 Расчетная схема поиска локального равновесия 1-го узла стержневой системы

Если считать, что 1-й узел находится достаточно близко от положения равновесия, то, разлагая Рп'(и') в ряд Тейлора по компонентам и'т, и, отбрасывая нелинейные члены, можно получить систему уже линейных уравнений

ди'

«с=-£*>')

н

или в матричном виде АП1Ли'т = Вп. Если выразить как функцию от относительного удлинения элемента Х[-КЧ то коэффициенты Апт и Вп примут вид

1 Эя'

™ит / ] '«я

I к

Я1 ЩЩ.

, Процедуру поиска локального равновесия производили поочередно для всех узлов модельной конструкции до тех пор, пока ее общая энергия деформации (при данном уровне внешней нагрузки) достигала своего минимума.

Возможности метода были проверены на конкретных задачах по моделированию развития разрушения в конечно деформируемых линейно и нелинейно-упругих сетчатых системах. Так как основным компонентом, определяющим деформационное и прочностное поведение рассматриваемых в работе композитов, несомненно, является матрица, то было интересно с механических позиций оценить влияние неоднородности молекулярной структуры на свойства чистого эластомера. Для этого были разра-

ботаны две имитационные компьютерные модели (рис. 11), позволившие (пусть и в весьма грубой форме) учесть неоднородность и сложный топологический характер полимерной молекулярной сетки и дать некоторые количественные оценки их влияния на макросвойства.

Рис. 11 Модельная разупорядоченная сетчатая структура в нерастянутом и растянутом состоянии

В линейно-упругой структурной модели эластомера его молекулярную сетку имитировали в виде плоских или пространственных систем из линейно-упругих нитей (аналогов молекулярных цепочек), способных работать только на растяжение. Все они имели одинаковые жесткости и предельные разрывные деформации е'. Соответственно, одинаковыми были и усилия разрыва ^ = С ¿с,. Различие между структурами заключалось только в топологии исходной решетки (в смысле функциональности узлов) и диапазоне разброса длин нитей Я0, который задавали по равномерному закону распределения от до /?0тм. Чтобы было ясно, на базе какой регулярной сетки синтезирована та или иная случайная система, в ее название добавляли приставку "псевдо-", псевдокубическая, пссвдотреуголь-ная и т. д. Степень поврежденности структуры С вычисляли как отношение числа разорванных нитей к их общему количеству.

На рис. 12а представлены типичные кривые растяжения для псевдокубических линейно-упругих сеток, а на рис. 126— сопутствующие зависимости роста поврежденности С. Оказалось, что если зависимости о-е

строить в координатных осях о • (^С"') /Р* - е/е', то 1рафики для структур, различающихся только значениями ^"и е', совпадают— рассматриваемые системы оказались масштабно инварианты по этим параметрам. Чем больше неоднородность, тем менее прочной была сетка, причем при 10-кратном разбросе длин нитей разрывные напряжения станови-

лись практически независящими от дальнейшего роста этого соотношения, достигая значений примерно в половину от прочности регулярной системы. Окончательное разрушение происходило при весьма малых значениях накопленной поврежденности С* (4-НЗ% для всех типов рассматриваемых сеток как плоских, так и пространственных).

ст-(ЛГ)

К 0.6 0.4 0.2

0

С 0.06

0.04

0.02

0

0.8 1.6 Б/е*,

Рис. 12 Зависимости а (а) и С (б) от е для псевдокубических линейно-упругих конечно деформируемых ссток: 7 — регулярная сетка, 2 — длины нитей различаются в 2 раза, 3 — в 5 раз, 4— в 10 раз, 5 — в 15 раз, б — в 20 раз

Нелинейно-упругая модель полимерной сетки была более "физична". Известно, что для свободно сочлененной полимерной цепи зависимость расстояния между ее концами Я и величиной действующих на них сил реакции Р описывается формулой Ланжевена: /г/1о=сЙ1(^/р)-1/(^/р), где ¿о=М — контурная длина полимерной цепи из N "куновских" сегментов размером / каждый ($=кТ/Г). Именно это соотношение было взято в качестве жесткостной характеристики структурного элемента /"¿(А.)

а

а-и1

-+Р

з X (к/К?

. К 1-АД.

где

а=(1-А,,)т

3+-

Первое слагаемое отвечает за силы отталкивания (условие исключенного объема), а второе — аппроксимация обратной формулы Ланжевена относительно АД„, = Я/Ц.

Нелинейно-упругое поведение каждого структурного элемента описывали следующими параметрами (рис. 13): й0— его начальная длина,

1

I

I

равная исходному расстоянию между концами молекулярной цепи в момент полимеризации (т. е. межузловому расстоянию в недеформированной сетке); ¿0 — контурная длина молекулярной цепи, моделируемой данным структурным элементом; Я, = Х,Я0 — минимальное расстояние, на которое силы межмолекулярного отталкивания допускают схождение концов полимерной цепи. Элемент считался разорванным, если расстояние между узлами становилось больше 95% от

Рис. 13 Зависимость силы реакции ¥ь в нелинейно-упругом структурном элементе, моделирующем полимерную цепь от кратности X

Неоднородность нелинейно-упругой сетки задавали двумя способами: 1) За счет случайного разброса контурных длин молекулярных цепей С" < < ^Г" > привязанных к упорядочение расположенным узлам. В соответствии с известными из литературы опытными данными наибольший разброс ¿о задавали от 2 до 15. Фактически это "хаотизация" структуры по жесткостным и прочностным характеристикам элементов. 2) За счет геометрической "хаотизации", когда вокруг каждого узла изначально регулярной сетки (с межузловым расстоянием £>о) выделяли "область случайных подвижек" размером в пределах которой производили его случайное смещение. При к0=0 структура оставалась геометрически регулярной, а при к&= 1 — максимально разупорядоченной. Все случайные величины моделировали по равномерному закону распределения.

На рис. 14а представлены кривые с-£, полученные на псевдоквадратных сетках с разной степенью разупорядоченности, а на рис. 146 — сопутствующие зависимости роста поврежденности С. Критические значения С* для плоских систем доходили до 9%, а для трехмерных — до 15%, т. е. были выше, чем в линейной модели. Для всех типов исследованных нелинейно-упругих сеток ввод неоднородности позволил добиться не более чем в 4ч-5-кратного разупрочнения по сравнению с регулярными. В то же время известно, что прочность реальных полимеров обычно на порядок

и более отличается от рассчитанной, исходя из предположения об их идеальном строении. Напрашивается вывод, что в них имеется значительно большая дефектность, т. е. она должна носить многоуровневый иерархический характер.

Рис. 14 Зависимости ст (а) и С (б) от г для нелинейно-упругих псевдоквадратных сеток: 1 — регулярная сетка = 8, к0 =0), 2 — геометрическая неупорядоченность (Щт = =8, ки-\), 3 — полная разупорядоченность (Ьотт=2, £ота*=15, к0=1).

V— объемная концентрация полимерных цепочек, к— константа Больцмана, Г— абсолютная температура

В главе V сделано обобщение метода физической дискретизации на случай моделирования механического поведения дисперсно наполненных эластомеров, способных испытывать большие нелинейно-упругие деформации (со значительной геометрической перестройкой структуры). Для определения деформационных и прочностных характеристик высокоэластичного стержневого элемента использовали решение нелинейно-упругой краевой задачи о растяжении структурной ячейки композита в виде цилиндра из неогуковой матрицы с жесткой сферой в центре (рисЛ 5а). Высота цилиндра равнялась его диаметру, а разность диаметров ячейки и включения — зазору между соседними частицами. Из соображений симметрии, нетрудно убедиться, что континуальный элемент из частиц одного размера и структурная ячейка должны быть идентичны по своему механическому поведению. Геометрию ячейки характеризовали ее локальной концентрацией фь равной отношению объемов сферы V, и цилиндра У„ умноженному на коэффициент 0.907 (для учета дополнительного материала матрицы между цилиндрами)

Ф,, = 0.907 - Ц/Ц = 0.605/(1 + 0.55/г)3.

)

Рис. 15 Схема перехода от структурной ячейки композита к дискретному аналогу (а) и различные стадии "жизненного цикла" ячейки при растяжении (б)

fc

Считали, что "жизненный цикл" высокоэластичного структурного элемента при его деформировании можно разделить на три стадии: Изначально поверхность частицы полностью скреплена с матрицей (I стадия). При растяжении напряжения в системе нарастают и какой-то критический момент в районе полюсов сферы (точка "Л" на рис. 156) образуются межфазные отслоения (П стадия). Появление вакуолей вызывает ослабление действующих в матричных прослойках градиентов напряжений. Жесткость структурного элемента падает, но он продолжает сопротивляться дальнейшему растяжению вплоть до возникновения в нем вторичного повреждения в виде поперечных разрывов матрицы в наиболее деформированной * зоне (точка "ß" на рис. 156) — Ш заключительная стадия.

Расчеты по одноосному растяжению композитной ячейки в условиях больших деформаций на всех стадиях ее "жизненного цикла" были проделаны В.В. Мошевым и JI.JI. Кожевниковой на основе разработанного A.A. Роговым и JI.JI. Кожевниковой комплекса конечно-элементных программ. Рассматривали только равновесные стационарные процессы. Начальную жесткость стержневого аналога GL определяли из условия эквивалентности энергии деформации в континуальной и дискретной системах

Gt=19.87£mr2(5/r)015,n<8'rH,°8.

Для повреждаемой деформированием эластомерной матрицы задавали две критические характеристики: 1) предельное среднее растягивающее напряжение <т'',, как мера гидростатического сопротивления порообразова-

нию (первичные повреждения); 2) разрывная деформация матрицы при одноосном растяжении как критерий возникновения в ней поперечных разрывов (вторичные повреждения).

В соответствии с опытами Джента было принято, что отслоение произойдет в момент, когда гидростатическое напряжение в полюсе частицы (точка "Л" на рис. 156) превысит модуль Юнга матрицы огидр Ет. Соответствующая критическая деформация стержня вычислялась как

£с >г[ = 0.59ехр(~3.55ф,,)-0.065.

При этом жесткость элемента уменьшали до некоторого нового значения рассчитанного в соответствии с изменившимся напряженно-деформированным состоянием в континуальном элементе,

,= (1-0.97ф"м)

£ /• ч 2 £ *

Г, , 1-25фл )

^ 1-^/0.605^

В качестве критерия окончательного локального разрушения было принято условие максимума главных растягивающих деформаций в наиболее нагруженной части матрицы (точка "В" на рис. 156) ет >е', или

£„, =(1.5 + 6.53ф[ + 2ф, [1 -ехр(-Ф.5Е,.)])• е, ><.

На базе данной ячейки были разработаны два взаимодополняющих подхода к структурному моделированию свойств зернистых эластомерных композитов — структурно-статистический (для быстрых оценочных расче-юв) и структурно-механический (для углубленных исследований).

В структурно-статистической модели композит представляли как систему из Ыс последовательно соединенных пакетов ("ссчсний"), содержащих наборы из N1 произвольно ориентированных стержневых элементов с реальным распределением б/., которое получали численно генерируя случайные пространственные системы из жестких сфер и производя их физическую дискретизацию. Эти данные представляли в виде статистических распределений и эмпирических формул, которые затем использовали при синтезе модельного "образца" (рис. 16). (Отсюда, кстати, и название данного подхода.)

К

Рис. 16 Расчетная схема структурно статистической модели

'—

__

_ -

- —_

, —

—"

.....'

При вытяжке структурные элементы могли поворачиваться, ориентируясь вдоль оси нагрузки, и, тем самым, изменять свой вклад в формирование общей упругой реакции. Стержни с текущим углом наклона > 60° считали сжатыми (проверено на трехмерной модели) и при расчетах общей жесткости сечения не учитывали. Таким образом, моделировали изменение эффективных свойств композита при переходе из макроизотропного в ориентированное состояние.

50%

0.4

0.8 в

0.8 е О

0.4

0.8 е

Рис. 17 Зависимости о (а), С\ (б) и С2 (в) от е, полученные на структурно-статистической модели

На рис. 17 представлены кривые растяжения о-8 (условные напряжения) и сопутствующие им зависимости первичной (С|) и вторичной (Сг) повреждснности для случая гь„, - 200%, Ыс = 100, А^ = 500. Интересно, что в системах, где стержни могли менять только свою ориентацию (но не взаимное расположение), наблюдалась почти 100%-я отслоенность. Так как отслоенные структурные элементы с различной геометрией имели значительно более близкие жесткости (чем не отслоенные), то это приводило к такому росту механической однородности системы, что для ее окончательного разрушения было достаточно появления всего 2-е-3% окончательно разрушенных элементов.

Нелинейная структурно-механическая модель высокоэластичного композита (рис. 18) является дальнейшим развитием линейно-упругой мо-

дели. Ее основные отличия состояли в следующем: 1) жесткостные характеристики структурных элементов были нелинейными; 2) деформирование стержневой системы сопровождалось значительной геометрической перестройкой ее структуры (с учетом условия исключенного объема и развитием внутренней поврежденности); 3) поиск глобального равновесия модельной конструкции осуществляли методом локальных итераций.

а б

Рис. 18 Структура высокоэластичного композита в свободном (а) и растянутом (б) состоянии

Для отдельно взятого стержневого аналога условие исключенного объема означало, что его узлы не могли сближаться на расстояние, меньшее суммы радиусов частиц, входящих в отображаемый им континуальный элемент. Поэтому, если величина зазора становилась равной примерно (0.1-5-0.2) от исходного, то в действие вступали мощные "штрафные" силы, препятствующие взаимопроникновению включений. Это ограничение, конечно, не решает полностью проблему исключенного объема, так как в возможны также пересечения и "несоседних" включений, т. е. не входящих в один элемент, но оказавшихся поблизости в процессе перестройки всей системы. Однако непосредственная проверка показала, что в растягиваемой структуре число таких пересечений относительно невелико и их можно не учитывать. При малых и средних деформациях их появление маловероятно из-за того, что перестройка геометрии системы еще не достигла уровня, когда рядом могут оказаться изначально далекие друг от друга включения. При больших деформациях структура становится настолько вытянутой, что в ней вообще мало близко расположенных частиц.

С помощью нелинейной модели были исследованы процессы развития поврежденности в зернистых высокоэластичных композитах (вплоть до полного разрушения). Рассматривали структуры с наполнением ср от 20

до 60% и деформативной прочностью матрицы е?„ от 200 до 500%. На рис. 19 показаны осредненные (не менее чем по 10 независимым реализациям каждая) деформационные зависимости условных напряжений о, а также сопутствующих первичной (С)) и вторичной (С2) поврежденное™ для композитов с ф от 20 до 50% и е* =200%, а на рис. 20 для = 400%. Аналогичные зависимости для высоконаполненных систем (ф=60%) с разными г''т приведены на рис. 21,

В отличие от структурно-статистаческой модели, где допускалась только переориентация элементов в процессе вытяжки "образца", в данном случае происходило также и изменение взаимного расположения частац. В результате этого предельная накопленная отслоепность С,6 в таких системах колебалась от 20% (£* =200%) до 55% (е^, =500%) и никогда не достигала 100%-го уровня. Значения предельной вторичной поврежденное™ на момент глобального разрушения были выше, доходя примерно до 10^12% (что говорит о включении дополнительных компенсационных механизмов, связанных с перераспределением усилий на ранее слабо нагруженные структурные элементы). Таким образом, можно утверждать, что геометрическая перестройка структуры самым существенным образом сказывается на формировании эффективного поведения дисперсно наполненных эластомеров, работающих в условиях больших деформаций.

С ростом концентрации частиц эффективная жесткость модельных "образцов" возрастала, а разрывные деформации еА падали. Для наполненных систем по сравнению с чистым эластомером они уменьшались примерно в 2.5-г4 раза (рис. 22а).

Для модельных "образцов" с одинаковой гьт и ф, изменявшейся от 20 до 50%, значения аь (на момент глобального разрыва) оказались довольно близки (рис. 226), что не противоречит известным экспериментальным результатам. Для концентраций, стремящихся к предельно возможным значениям (ф = 60%), напряжения разрыва оказались выше. Это объясняется наличием в таких системах большого числа контактов и малых зазоров между частицами. В результате структура получается очень жесткая и неоднородная, — она плохо деформируется и разрушается при весьма малых вытяжках, даже если в качестве связующего используется прочный высокоэластичный материал. Вид кривых нагружения также вполне соответствует известным опытным зависимостям.

Рис. 19 Зависимости а, С1 и С% от е и ф (в* =200%): 7 — <р = 50%, 2 — 40%, 3 — 30%, 4 — 20%

Рис. 20 Зависимости <т, С, и С2 от е и (р (е® =400%): 1 — ф = 50%, 2 — 40%, 5 — 30%, 4 — 20%

Рис. 21 Зависимости о, С1 и С2 от £ и е* (<р = 60%): 1 — Еьт = 200%, 2 — 300%, 3 — 400%, 4 — 500%

I

27

Рис. 22 Зависимости еь (а) и аь (б) от ф для разных е*: 1 — е* = 200%, 2 — 300%, 3 — 400%, 4 — 500%

На базе имеющихся расчетных данных определены диапазоны разброса прочностных характеристик. Было установлено, что он зависел в основном от степени наполнения, причем, чем больше наполнение, тем сильнее был разброс. Деформативная прочность на его величину влияла значительно слабее. На рис. 23 показаны кривые разброса зависимостей ое для случая =300%, ф = 30, 40 и 50%. Для других значений этих параметров они имели аналогичный вид. На начальных стадиях растяжения (до появления локальных повреждений) различные по геометрии случайные реализации композитной структуры с одинаковыми исходными характеристиками давали практически одни и те же результаты, что говорит о хорошей представительности исследуемых случайных выборок. В дальнейшем расхождение увеличивалось и в предразрывном состоянии достигало максимума (как по напряжениям, так и по деформациям).

оь/Ет 1.5

1.0

Рис.23 Кривые разброса ст-е для 0.5 композитов с е* = 300%: сплошные линии — осредненные кривые; затенение — разброс О

Заключение. Сформулированы основные результаты выполненных исследований и сделаны обобщающие выводы, вытекающие из их анализа. Определены перспективные пути развития данного научного направления.

В приложении представлены справки о практическом использовании результатов диссертационной работы в ФГУП "Научно-исследовательский институт шинной промышленности" (Москва) и в ФГУП "Научно-исследовательский институт полимерных материалов" (Пермь).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработан алгоритм компьютерного синтеза моно- и полифракционных случайных структур из частиц круглой формы (как плотно упакованных, так и разреженных) — метод "радиального гравитационного поля". Показано, что эти структуры вполне адекватно отображают геометрию внутреннего строения дисперсно наполненных композитов.

2. Сформулировано представление о структурном элементе зернистого эластомерного композита, состоящем из двух близкорасположенных жестких сферических частиц, помещенных в упругую несжимаемую матрицу. Получено численно-аналитическое решение краевой задачи об осе-симметричном нагружении двух жестких сфер в несжимаемой линейно-упругой матрице, что позволило определить механические характеристики элементов аппроксимирующей композит модельной стержневой системы.

' 3. Построена структурно-механическая модель дисперсно наполненного композита с сильно выраженной механической неоднородностью свойств матрицы и включений, позволяющая в явном виде исследовать эффективное деформационное и прочностное поведение таких материалов в зависимости от их структуры и свойств компонентов.

4. Рассчитаны концентрационные зависимости эффективного модуля для композитов с моно- и бидисперсным наполнением. Определены оптимальные (с точки зрения соотношения жесткости и степени наполнения) фракционные составы. Показано, что модельные результаты находятся в удовлетворительном соответствии с известными опытными данными.

5. Исследованы закономерности возникновения и развития повреж-денности в монофракционных зернистых композитах со слабоэластичным связующим в случае сильной и слабой адгезионной связи между матрицей и включениями.

6. Разработан алгоритм, предназначенный для решения задач о нагружении нелинейно-упругих конечно деформируемых стержневых систем с неоднородной произвольно сформированной структурой,— метод ло-

кальных итераций. На примере расчетов по растяжению и разрушению линейно и нелинейно-упругих сетчатых систем показана практическая эффективность и надежность метода, особенно когда структура сеток неоднородна, а макродеформация может достигать сотен процентов.

7. Разработаны линейно и нелинейно-упругие структурные модели, предназначенные для описания механического поведения высокоэластичной молекулярной сетки. Исследовано деформационное и прочностное поведение полимера в зависимости от топологии структуры его молекулярной сетки и ее неоднородности.

8. Предложена структурно-статистическая модель зернистого композита с высокоэластичной матрицей, предназначенная для проведения быстрых оценочных расчетов. С ее помощью исследованы зависимости предельных напряжений и деформаций от концентрации наполнителя и размеров модельного "образца".

9. Сделано обобщение структурно-механической модели дисперсно наполненного эластомерного композита на случай больших упругих деформаций. Для композитных систем с различным наполнением и деформа-тивной прочностью матрицы исследованы процессы развития поврежден-ности, определены эффективные разрывные напряжения и деформации, установлены диапазоны их разброса.

ВАЖНЕЙШИЕ ПУБЛИКАЦИИ

Содержание диссертации изложено в монографии "Мошев В.В., Свистков A.JL, Гаришин O.K., и др. Структурные механизмы формирования механических свойств и прочности зернистых полимерных компози-* тов. — Екатеринбург: УрО РАН, 1997. — 508 с." и в приведенных ниже

печатных работах.

»• Статьи в российских периодических научных изданиях, рекомендо-

ванных ВАК для публикации основных результатов диссертационных исследований на соискание ученой степени доктора наук:

1. Гаришин O.K. Структурное моделирование упругих свойств наполненных эластомеров // Каучук и резина. — 1998. — № 6. — С. 35-39.

2. Свистков A.JI., Гаришин O.K., ЕвламгшеваС.Е., Лебедев С.Н. Итерационный метод расчета напряженно-деформированного состояния в ансамблях включений // Механика композиционных материалов и конструкций.— 1999. — Т. 5, № 2. — С. 17-28.

3. Гаришин O.K. Структурно-статистическая модель наполненного композита и се применение для исследования процессов разрушения // Каучук и резина. — 2000. — № 6. — С. 16-18.

4. Гаришин O.K. Математическое моделирование процессов разрушения в высокоэластичных разупорядоченных сетках .// Высокомолек. соед.— Сер. А. 2001. — Т. 43, № 8. — С. 1407-1415.

5. Гаришин O.K., Лебедев С.Н. Математическое моделирование механических свойств разупорядоченных сетчатых структур // Каучук и резина. — 2001. — №5. — С. 26-30.

6. Гаришин O.K. Структурно-механическая модель зернистого композита с высокоэластичной повреждаемой деформированием матрицей И Высокомолек. соед. — Сер. А. — 2002. — Т. 44, № 4. —- С. 666^-674. I

7. Комар Л.А., Гаришин O.K., Свистков А.Л. Моделирование процессов возникновения микроповреждений в зернистых эластомерных композитах с учетом размеров частиц наполнителя и скорости нагружения // Механика композиционных материалов и конструкций.— 2002.— Т. 8, №3.— С. 358-364. '

Прочие публикации по теме диссертации:

1. Гаришин O.K. Моделирование структуры двухфракционных высоконапол-ненных композитов // Структурно-механическое исследование материалов и конструкций. — Свердловск: УНЦ АН СССР, 1984. — С. 23-26.

2. Гаришин O.K. Оптимизация двухфракционных упаковок из частиц круглой формы // Деформирование и разрушение композитов. — Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. —С. 14-17.

3. Гаришин O.K. Структурный подход к пространственной модели высокона-полненных зернистых композитов И Механика микронеоднородных структур. — Свердловск: УрО АН СССР, 1988. — С. 23-37.

4. Гаришин O.K. Исследование упругих свойств высоконаполненных зернистых композитов с помощью структурно-механической модели// Деформирование и разрушение структурно-неоднородных материалов и конструкций. — Свердловск: УрО АН СССР, 1989. — С. 86-91.

5. Гаришин O.K. Структурное моделирование процессов разрушения в наполненных зернистых композитах // Деформирование и разрушение структурно-неоднородных материалов.— Свердловск: УрО АН СССР, 1992.— С. 32-40.

6. Гаришин O.K. Обобщение структурно-механической модели наполненных зернистых композитов на случай конечных упругих деформаций (дельта-метод) // V Симпозиум "Проблемы шин и резинокордных композитов.: Труды. — Москва, 1993. — С. 34-38.

7. Гаришин O.K. Структурное моделирование механических свойств высоко-наполненных зернистых эластомеров с учетом перестройки структуры при их деформировании // Международная конференция по каучуку и резинам "IR.C'94": Труды. — Москва, 1994. — Т. 4. — С. 400-407.

8. Гаришин O.K. Структурное моделирование эффективных упругих свойств наполненных зернистых композитов с несжимаемой эластомерной матрицей // Международная конференция по внутрикамерным процессам и горению "ICOC-96": Труды. — Ижевск, 1997. — Т. 2. — С. 383-389.

9. Гарипшн O.K. Структурно-статистическая модель наполненного композита и ее применение для исследования процессов разрушения // IX Симпозиум "Проблемы шин и резинокордных композитов ": Труды.— Москва, 1998. —Т. 1. —С. 67-74.

10. Гаришин O.K., Лебедев С.Н. Структурное моделирование прочностных свойств упругих сетчатых систем в зависимости от их разупорядоченности // XI Симпозиум "Проблемы шин и резинокордных композитов": Труды. — Москва, 2000. — Т. 1. — С. 184-188.

11. Гаришин O.K. Компьютерное моделирование развития поврежденности в высокоэластичных наполненных эластомерах // ХП Симпозиум "Проблемы шин и резинокордных композитов": Труды.— Москва, 2001.— Т. 1.— С.139-146.

12. Комар Л.А., Гаришин O.K., Свистков А.Л. Компьютерное моделирование развития поврежденности в высокоэластичных наполненных эластомерах // ХП Симпозиум "Проблемы шин и резинокордных композитов": Труды. — Москва, 2001. — Т. 1. — С. 219-226.

13. Гаришин O.K., Комар Л.А. Масштабный эффект прочности в дисперсно наполненных полимерных композитах // ХШ Симпозиум "Проблемы шин и резинокордных композитов": Труды. — Москва, 2002. — Т. 1. — С. 92-98.

14. Moshev V.V., GarishinO.C. Physical discretization approach to evaluation of elastic module of highly filled granular composites // Int. J. Solids and Structures. — 1993. — V. 30, № 17. — P. 2347-2355.

15. Moshev V.V., GolotinaL.A., GarishinO.C., KozhevnikovaL.L. Structural approach in continuum modeling damageable particulate composites // PROBAMAT - 21st CENTURY: Probabilities and Materials. NATO ASI series: Proceedings. — Perm, 1997.— Dordrecht, Netherlands, 1998.— V. 3/46.— P. 311-316.

16. Moshev V.V., Golotina L.A., Garishin O.C. Continuum models for damageable particulate composites based on structural formulations // J. Adhesion.— 1998. — V. 65. — P. 207-216.

17. GarishinO.C., MoshevV.V. Computer modeling of mechanical behavior of damageable particulate composites // J. Theoretical and Applied Fracture Mechanics. — 1999. — V. 31. — P. 61-66.

18. Garishin O.C., Moshev V.V. Damage model of elastic rubber particulate composites // J. Theoretical and Applied Fracture Mechanics. — 2002. — V. 38. — P. 63-69.

Сдано в печать 26,03.03 г. Формат 60x64/16,

i

Объем 2,0 п.л. Тираж ICO. Заказ 1536. Ротапринт ПГТУ. (

!

*

Ь

»

0 V

J

i

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ КОМПОЗИТОВ СО СЛУЧАЙНЫМ ДИСПЕРСНЫМ НАПОЛНЕНИЕМ

1.1. Обзор основных методов исследования случайных структур

1.2. Метод "радиального гравитационного поля"

1.3. Статистические оценки случайных структур

1.3.1. Пористость и степень наполнения

1.3.2. Координационное число

1.3.3. Моментные функции распределения.

1.3.4. Геометрическая энтропия как мера стохастичности композитной структуры

1.4. Бинарные случайные структуры с минимальным количеством концентраторов напряжений

Выводы по главе

2. СТРУКТУРНО-МЕХАНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИСПЕРСНО -НАПОЛНЕННОГО КОМПОЗИТА

2.1. Обзор основных методов расчета эффективных свойств композиционных материалов.

2.2. Физическая дискретизация и ее место в механике структурно-неоднородных сред.

2.3. Физическая дискретизация в применении к дисперсно ^ наполненным композитным системам типа "мягкая матрица — жесткие включения"

2.3.1. Выбор аппроксимирующего структурного элемента, переход к конечно-элементной стержневой системе как объекту модельных исследований

V9 2.3.2. Задача о двух сферах в бесконечной линейно-упругой матрице. Механические свойства аппроксимирующего стержня

2.4. Схема расчета эффективных характеристик композитной системы по ее структуре и свойствам компонент

2.4.1. Осреднение и оценка представительности размеров модельного "образца".

2.4.2. Обобщение структурной модели композита на случай

0 малых концентраций дисперсной фазы.

Выводы но главе

3. СТРУКТУРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИОННЫХ И ПРОЧНОСТНЫХ СВОЙСТВ ДИСПЕРСНО НАПОЛНЕННЫХ КОМПОЗИТОВ СО СЛАБОЭЛАСТИЧНОЙ МАТРИЦЕЙ

3.1. Эффективные упругие свойства дисперсно наполненных композитов со слабоэластичной полимерной матрицей.

3.1.1. Зависимость эффективного модуля Юнга композита с ^ моно- и бидисперсным наполнением от концентрации и фракционного состава

3.1.2. Распределение усилий по структурным элементам в условиях макрооднородного поля растягивающих деформаций.

3.1.3. Моделирование механических свойств зернистых композитов с учетом несжимаемости структуры

3.2. Моделирование процессов разрушения в композитных системах со слабоэластичной матрицей

3.2.1. Анализ наиболее характерных типов разрушения для композитов, не способных к большим деформациям

3.2.2. Критерии возникновения локальных повреждений в отдельных структурных элементах. Расчетная схема моделирования процессов накопления поврежденности в композите со слабоэластичной матрицей

3.2.3. Моделирование процессов разрушения в композитах с сильной адгезионной связью на границе раздела фаз

3.2.4. Моделирование процессов разрушения в композитах со слабой адгезией между матрицей и наполнителем

3.3. Моделирование перестройки структуры композита при его растяжении в рамках линейной теории упругости

Выводы по главе

4. ДЕФОРМИРОВАНИЕ ВЫСОКОЭЛАСТИЧНЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ С НЕОДНОРОДНОЙ СТРУКТУРОЙ

4.1. Метод локальных итераций

4.2. Моделирование процессов разрушения в конечно деформируемых сетчатых системах, имитирующих молекулярную структуру ненаполненного эластомера

4.2.1. Разрушение в конечно деформируемых линейно-упругих сетках

4.2.2. Разрушение в высокоэластичных нелинейно-упругих сетках

Выводы по главе.

5. СТРУКТУРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИОННЫХ И ПРОЧНОСТНЫХ СВОЙСТВ ДИСПЕРСНО НАПОЛНЕННЫХ КОМПОЗИТОВ С ВЫСОКОЭЛАСТИЧНОЙ МАТРИЦЕЙ.

5.1. Структурная ячейка дисперсно наполненного композита с высокоэластичной матрицей

5.2. Структурно-статистическая модель дисперсно наполненного высокоэластичного композита

5.2.1. Основные положения структурно-статистического подхода к моделированию эффективных свойств композитов с высокоэластичной матрицей.

5.2.2. Исследование деформационных и прочностных свойств дисперсно наполненных эластомеров с помощью структурно-статистической модели

5.3. Обобщение структурно-механической модели композита на случай конечных деформаций

5.3.1. Основные положения структурно-механического ^ подхода к моделированию эффективных свойств композитов с высокоэластичной матрицей.

5.3.2. Исследование деформационных и прочностных свойств дисперсно наполненных композитов при конечных деформациях

Выводы по главе

Актуальность темы

Одним из наиболее значительных достижений последней научно-технической революции можно по праву считать появление и широкое распространение в промышленности различных типов композиционных материалов. Особенно эффективным оказалось их использование в тех областях, где традиционные материалы уже практически исчерпали свои возможности, и не могут обеспечить должных темпов технического прогресса.

В настоящее время под термином "композиционный материал" (или "композит") обычно понимают структурно-неоднородные системы, полученные в результате смешения нескольких разнородных компонентов и обладающие свойствами, отсутствующими у исходных материалов. По этому определению к композитам можно отнести все гетерогенные системы, представляющие собой сочетания не менее чем двух химических веществ — фаз, когда между этими фазами наблюдаются достаточно четко обозначенные границы. Композитами являются наполненные полимеры, дисперсионно упрочненные сплавы, бетоны, дерево, кость, слоистые материалы, поликристаллические тела (если рассматривать кристаллы с различной ориентацией как разные фазы) и т. п.

Если в строении композита можно выделить дисперсную (наполнитель, включения, армирующие элементы) и непрерывную (матрица, связующее) фазы, то подобные материалы называют матричными. Их обычно классифицируют по типу включений. Самыми распространенными являются зерна (гранулы), короткие волокна, длинные волокна (нити), а также слои. Композиты, армированные элементами, у которых все характерные размеры имеют величину примерно одного порядка, называют дисперсно наполненными (а также зернистыми или гранулированными). Материалы, содержащие включения в виде нитей, носят название волокнистых композитов. И, наконец, если у армирующего элемента одно измерение значительно меньше двух других, то это слоистые или плоско текстуированные композиционные материалы. Системы, в которых вместо частиц имеются поры или пустоты (пенопла-сты, губки и т. п.), тоже можно отнести к матричным композитам.

Учитывая огромное многообразие существующих на сегодня композиционных материалов, совершенно очевидно, что создать одну всеобъемлющую теорию, описывающую их механическое поведение, в принципе невозможно. В предлагаемой диссертационной работе рассматривали лишь один тип структурно-неоднородных материалов — это дисперсно наполненные эластомерные композиты, представляющие собой комбинацию относительно мягкой, повреждаемой при деформировании полимерной матрицы и значительно более жестких и прочных включений сфероидальной формы. При этом рассматривали системы, в которых объемная концентрация наполнителя достигала таких значений, что взаимное влияние между соседними частицами существенно сказывалось на макросвойствах материала.

Дисперсное наполнение — прием, часто используемый в современной технике с целью модификации свойств (повышенная прочность, износостойкость и т.п.) или удешевления (когда часть ценного полимерного продукта заменяется более дешевым наполнителем) конструкционного материала.

Высоконаполненные зернистые композиты широко применяются в производстве твердотопливных ракетных двигателей, износостойких резин и во многих других случаях. И хотя промышленное значение этих материалов не вызывает сомнения, для них еще не разработано достаточно надежных теоретических методов по прогнозированию эффективных деформационных и прочностных характеристик в зависимости от свойств компонентов и внутренней структуры композита. Это сдерживает разработки новых композиционных материалов с заранее заданными свойствами.

Хорошо известно, что в высоконаполненных системах можно добиться значительного изменения их свойств за счет варьирования фракционного состава наполнителя, размеров и формы включений. Следовательно, структура в таких материалах определяющим образом влияет на их эффективное поведенис, и не учитывать данное обстоятельство уже нельзя. Поэтому разработка средств и методов, позволяющих при прогнозировании деформационного и прочностного поведения композита в явном виде учесть его структуру, является на сегодняшний день одной из наиболее важных и актуальных проблем современной механики структурно-неоднородных сред. Один из возможных подходов к ее решению и полученные при этом результаты представлены в данной диссертации.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с планами НИР Института механики сплошных сред УрО РАН по темам:

ГР № 81003219 "Исследование взаимосвязи структуры высоконапол-ненных эластомерных композитов с их механическим поведением и прочностью" (1981-1985);

ГР № 01860129574 "Разработка и исследование структурной модели композитов на эластомерной основе с целью оптимизации их свойств" (1986— 1990);

ГР № 01910049042 "Исследование специфических структурных механизмов, формирующих механическое поведение дисперсно наполненных эластомерных композитов, включая переход от микроповреждений к макроразрушению" (1991-1993);

ГР № 01940003789 "Исследование механизмов структурных повреждений в высоконаполненных зернистых полимерных композитах и их влияния на макроскопическое сдвиговое и объемное сопротивление, включая стадию разрушения" (1994-1996);

ГР № 01960011297 "Изучение структурных механизмов упрочнения каучуков твердыми частицами микронных размеров" (1997-1999);

ГР № 01960011299 "Разработка моделей и методов расчета высоконаполненных зернистых композитов с эластомерным связующим, учитывающих структурные механизмы формирования эффективных свойств" (19971999);

ГР № 01960011299 "Исследование механики межфазных процессов в зернистых эластомерных композитах при их деформировании" (2000-2003).

Исследования проводились при поддержке грантов Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №94-01-00465, №95-01-00412, № 98-01-00265, № 01-01-96486, № 01-01-96492).

Цель работы

Основная цель проведенных исследований заключалась в создании численной структурно-механической модели дисперсно наполненного эла-стомерного композита, которая позволила бы связать его эффективное деформационное поведение и прочностные характеристики непосредственно с внутренней структурой материала и свойствами компонентов. При этом рассматривали композитные системы, с высоко- и со слабоэластичной упругой матрицей, способной повреждаться при деформировании.

Научная новизна

Предложен новый подход к структурному моделированию деформационных и прочностных свойств дисперсно наполненных эластомерных композитов. Его основное достоинство заключается в том, что он позволяет напрямую учесть структуру гетерогенного материала без привлечения дополнительных феноменологических гипотез о его внутреннем строении. При этом с ростом степени наполнения точность предлагаемой структурной модели возрастает (по сравнению с другими известными методиками), что немаловажно, так как основным объектом данных исследований были именно высо-конаполненные композитные системы.

На защиту выносятся следующие научные результаты, полученные с помощью данного подхода:

1. Предложен алгоритм компьютерного синтеза моно- и полифракционных случайных систем из частиц круглой формы, адекватно отображающих реальную геометрию внутреннего строения дисперсно наполненных композитов. Исследована морфология моно- и бифракционных случайных структур с разными фракционными составами.

2. Введено понятие среднего относительного зазора как параметра оптимизации фракционного состава бидисперсных случайных систем по минимуму возможных концентраторов напряжений. Определены наиболее подходящие в этом смысле структуры.

3. Дано описание метода физической дискретизации в применении к моделированию механических свойств дисперсно наполненного композита со слабоэластичной несжимаемой матрицей. Разработана соответствующая структурно-механическая модель.

4. Получено численно-аналитическое решение краевой задачи об осе-симметричном нагружепии двух жестких сфер в несжимаемой линейно-унругой матрице, что позволило определить механические характеристики элементов аппроксимирующей реальный композит модельной системы.

5. Для композитных материалов с бидисперсной структурой рассчитаны зависимости эффективного модуля от концентрации дисперсной фазы, фракционного состава и соотношения размеров частиц наполнителя. Определены оптимальные (с точки зрения соотношения жесткости и степени наполнения) фракционные составы.

6. Исследованы закономерности возникновения и развития повреж-денности в дисперсно наполненных композитах со слабоэластичным полимерным связующим для случаев сильной и слабой адгезионной связи между матрицей и включениями.

7. Предложен специальный алгоритм, предназначенный для решения задач о нагружении нелинейно-упругих конечно деформируемых стержневых систем с неоднородной произвольно упорядоченной структурой, — метод локальных итераций.

8. Со структурных позиций проведены исследования по моделированию деформационного и прочностного поведения ненаполненного высокоэластичного полимера в зависимости от топологии молекулярной сетки и неоднородности свойств составляющих ее молекулярных цепочек.

9. Предложена структурно-статистическая модель дисперсно наполненного композита с высокоэластичной матрицей, предназначенная для проведения быстрых оценочных расчетов. С ее помощью рассчитаны предельные разрушающие напряжения и деформации для высокоэластичных зернистых композитов в зависимости от концентрации наполнителя и размеров модельного "образца".

10. Разработана структурно-механическая модель дисперсно наполненного эластомерного композита, способного испытывать большие упругие деформации. Для композитных систем с различным наполнением и деформа-тивной прочностью матрицы исследовано развитие внутренней поврежден-ности в процессе деформирования. Определены эффективные разрывные напряжения и деформации, установлены диапазоны их разброса.

Достоверность

Достоверность полученных научных результатов базируется на использовании хорошо известных численных и аналитических методов, применяемых в механике деформируемого твердого тела, и подтверждена сравнением проведенных расчетов с данными теоретических и экспериментальных работ других исследователей. Обоснованность сформулированных в диссертации выводов и рекомендаций обусловлена тем, что они полностью вытекают из результатов, полученных автором, без привлечения каких-то дополнительных непроверенных гипотез и утверждений.

Практическая ценность

Разработанная и доведенная до уровня пакета прикладных программ структурно-механическая модель дисперсно наполненного эластомерного композита позволяет на основе данных о внутренней структуре материала и свойствах компонентов прогнозировать его эффективное деформационное и прочностное поведение. Это может оказаться полезным при разработке новых структурно-неоднородных материалов с заранее заданными свойствами, так как позволяет существенно снизить затраты на дорогостоящие экспериментальные исследования.

Результаты диссертационной работы используются в практических исследованиях в ФГУП "Научно-исследовательский институт шинной промышленности" (Москва) и ФГУП "Научно-исследовательский институт полимерных материалов" (Пермь). Разработанные автором методики могут быть рекомендованы к применению в научно-исследовательских и проектно-конструкторских организациях, связанных с решением прикладных задач механики композитов, а также при разработке курсов лекций по механике структурно-неоднородных сред.

Апробация

Результаты, вошедшие в данную диссертационную работу, докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях и научных семинарах:

-VIII Всесоюзная конференция по прочности и пластичности (Пермь, 1983);

- Меж институтский научный семинар Института синтетических полимерных материалов РАН им. Н.С. Ениколопова (Москва, 1985);

- IV Научно-техническая конференция по методам расчета изделий из высокоэластичных материалов (Рига, 1986);

- Всесоюзная школа-семинар "Математическое моделирование в науке и технике" (Пермь, 1986);

- Уральская научно-техническая конференция "Геометрическое моделирование и начертательная геометрия" (Пермь, 1987);

- Научный семинар Отраслевой лаборатории прикладных методов расчета резинотехнических изделий Рижского политехнического института (Рига, 1988);

- Научный семинар Центрального научно-исследовательского института химии и механики (Москва, 1988, 1991);

-V Научно-техническая конференция по методам расчета изделий из высокоэластичных материалов (Рига, 1989);

- Научный семинар Института химии высокомолекулярных соединений ЛН Украины (Киев, 1990);

- Международная научно-техническая конференция "Elastomers-92" (Рига, 1992);

- Научный семинар Регионального научно-технического центра порошкового материаловедения (Пермь, 1992);

-Международный симпозиум "Advances in Structured and Heterogeneous Continua": (Москва, 1993);

- V Симпозиум "Проблемы шин и резинокордных композитов. Качество — конструирование и технология" (Москва, 1993);

- Международная конференция но композитам (Москва, 1994);

- Международная конференция по каучуку и резинам "IRC-94" (Москва, 1994);

-1 Международный симпозиум по механике эластомеров "МЭ-94" (Украина, Севастополь, 1994);

- Международная конференция "Математическое моделирование процессов обработки материалов" (Пермь, 1994);

- Международная конференция по внутрикамерным процессам и горению "ICOC-96" (Ижевск, 1997);

- XI International Winter School on Continuum Mechanics (Perm, 1997);

- IX International Conference on Fracture "Advances in fracture research" (Sydney, 1997);

- International Conference EURO-F1LLERS-97 (Manchester, 1997);

- International Conference "PROBAMAT — 21st CENTURY: Probabilities and Materials" (Perm, 1997);

- International Conference "Mesomechanics-98" (Tel Aviv, 1998);

- IX Симпозиум "Проблемы шин и резинокордных композитов. Надежность, стабильность, качество" (Москва, 1998);

-XII Международная зимняя школа по механике сплошных сред. (Пермь, 1999);

- II Всероссийский семинар памяти С.Д. Волкова "Механика микронеоднородных материалов и разрушение" (Пермь, 2000);

-XI Симпозиум "Проблемы шин и резинокордных композитов" (Москва, 2000);

- VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001);

- XII Симпозиум "Проблемы шин и резинокордных композитов" (Москва, 2001);

- Научный семинар Института механики сплошных сред УрО РАН (руководитель— член-корр. РАН В.П. Матвеенко, 1985, 1988, 1992, 2001, 2002, 2003).

-XXX Summer school "Advanced problems in mechanics" (Санкт-Петербург, Репино, 2002);

- Euromech Colloquium 438 "Constitutive equations for polymer microcomposites: on the border of mechanics and chemistry" (Vienna, 2002);

-XIII Симпозиум "Проблемы шин и резинокордных композитов" (Москва, 2002).

- Научный семинар кафедры математического моделирования систем и процессов Пермского государственного технического университета (руководитель — профессор П.В. Трусов, 2002).

- Научный семинар кафедры механики композиционных материалов и конструкций Пермского государственного технического университета (руководитель— профессор Ю.В. Соколкин, 2002, 2003).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 50 печатных работ и 14 отчетов о НИР ИМСС УрО РАН. Основные научные результаты отражены в монографии [Мошев, Свистков, Гаришин и др., 1997] и в 11 статьях в рецензируемых отечественных и зарубежных журналах. В конце каждой главы диссертации в разделе "Выводы по главе") приведен библиографический список ссылок на печатные работы, опубликованные автором по данной тематике.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Она содержит 320 страниц, включая 67 рисунков и 5 таблиц. Общий библиографический список насчитывает 275 наименований.

Основные выводы и результаты, изложенные в пятой главе диссертационной работы, заключаются в следующем:

1. Предложен структурный элемент высокоэластичного дисперсно наполненного композита, представляющий собой пару твердых сферических включений, помещенных в упругую несжимаемую матрицу из неогукового материала. Из решения соответствующих нелинейно-упругих краевых задач о растяжении структурного элемента определены условия возникновения в нем межфазных отслоений и окончательного разрушения уже имеющей отслоения системы, а также жесткостные характеристики аппроксимирующего стержня до и после возникновения отслоения.

2. Разработана одномерная структурно-статистическая модель наполненного эластомерного композита, предназначенная для проведения быстрых оценочных расчетов. Композит моделировали как систему из нескольких последовательно соединенных пакетов— "сечений", содержащих наборы из произвольно ориентированных стержневых элементов, способных к поворотам при вытяжке. Информацию о структуре композита получали, синтезируя на компьютере случайные трехмерные геометрические структуры из сферических частиц (см. раздел 1.2), а затем, в виде соответствующих статистических распределений использовали в одномерной модели.

3. С помощью структурно-статистической модели рассчитаны предельные разрушающие напряжения и деформации для высокоэластичных зернистых композитов как функции концентрации наполнителя и размеров модельного "образца". Построены деформационные кривые накопления локальной отслоенности и поврежденности. Установлено, что увеличение числа элементов в поперечном сечении "образца" ведет к повышению его макрооднородности и, соответственно, улучшению прочностных характеристик. Определен диапазон разброса предельных прочностных характеристик зернистого композита в зависимости от наполнения.

4. Проведено обобщение структурно-механической модели дисперсно наполненного эластомерного композита на случай больших упругих деформаций, что позволило в явном виде исследовать процессы возникновения и развития иоврежденности в таких материалах (вплоть до их полного разрушения) с учетом происходящей при этом перестройке структуры.

5. Для зернистых эластомерных композитов с различным наполнением и деформативной прочностью высокоэластичной матрицы, построены зависимости напряжений от деформации. Установлено, что разрушение таких материалов развивается в виде потери упругой устойчивости системы. Это выражается в появлении и преимущественной деформации наиболее ослабленного локальными повреждениями участка структуры, в котором и появляется глобальная макротрещина. Рассчитаны соответствующие деформационные зависимости степени отслоенности и поврежденности.

6. Определены эффективные предельные напряжения и деформации для композитных систем с различной концентрацией наполнителя и деформативной прочностью связующего. По результатам большого количества независимых численных экспериментов установлен диапазон их разброса. На начальных стадиях растяжения различные по геометрии случайные реализации композитной структуры с одними и теми же макрохарактеристиками давали практически одинаковые результаты. В дальнейшем расхождение увеличивалось и в предразрывном состоянии достигало максимума, причем для более высоких концентраций наблюдалась тенденция увеличения разброса, как по напряжениям, так и по деформациям.

7. Для композитов с различным наполнением и деформативной прочностью матрицы установлены предельные значения концентрации локальных отслоений и микротрещин, соответствующие моменту возникновения макроразрушения, а также величины их разброса на всем диапазоне приложения внешней нагрузки.

8. Проведено сравнение расчетных результатов, полученных с помощью одномерной структурно-статистической и структурно-механической (трехмерной) моделей. Показано, что они качественно не противоречат друг другу. Сравнение этих подходов позволило оценить, насколько влияет именно перестройка взаимного расположения частиц наполнителя на прочность и механические характеристики композита при больших деформациях, так как трехмерная модель это учитывала, а одномерная нет.

9. Сравнение с имеющимися в литературе экспериментальными данными показало, что предложенные структурные модели достаточно правильно описывают поведение реальных композитных систем на макроуровне. Следовательно, можно считать, что данный подход вполне адекватен и выдвинутые в работе предположения и выводы о связи микро- и макрострук-турных характеристик композита не противоречат действительности.

Основные научные результаты, приведенные в данной главе диссертации, опубликованы в работах [Гаришин, 1992b, 1998b, 1999, 2000b, 2001b, 2001c, 2002; Гаришин, Комар, Лебедев, 2002; Мошев, Гаришин и др., 2002; Garishin, 2002а, 2002b, 2002с; Garishin, Moshev, 1998, 1999, 2002; Moshev, Golotina, Garishin, 1998; Moshev, Golotina, Garishin, Kozhevnikova, 1998; Гаришин, Комар, Лебедев, 2002; Мошев, Гаришин и др., 2002; и др.].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подробные заключения по основным разделам диссертации приведены в конце каждой из ее глав. Здесь же представлены обобщающие итоговые выводы по результатам, изложенным в данной работе. Они сводятся к следующему:

1. Разработан алгоритм компьютерного синтеза моно- и полифракционных случайных структур из частиц круглой формы (как плотно упакованных, так и разреженных) — метод "радиального гравитационного поля". Показано, что эти структуры вполне адекватно отображают геометрию внутреннего строения дисперсно наполненных композитов, и их можно использовать для моделирования взаимосвязи процессов и явлений, происходящих на микроуровне, с эффективными свойствами гетерогенного материала.

2. Сформулировано представление о структурном элементе зернистого эластомерного композита, состоящем из двух близкорасположенных жестких сферических частиц, помещенных в упругую несжимаемую матрицу. Получено численно-аналитическое решение краевой задачи об осесимметричном нагружении двух жестких сфер в несжимаемой линейно-упругой матрице, что позволило определить механические характеристики элементов аппроксимирующей композит модельной стержневой системы.

3. Построена структурно-механическая модель дисперсно наполненного композита с сильно выраженной механической неоднородностью свойств матрицы и включений, позволяющая в явном виде исследовать эффективное деформационное и прочностное поведение таких материалов в зависимости от их структуры и свойств компонентов. В основу модели положен принцип физической дискретизации, предполагающий (исходя из физических особенностей рассматриваемой системы) замену сложных "полевых" взаимодействий между структурными неоднородностями на эквивалентные реакции в соответствующих дискретно-механических аналогах, аппроксимирующих исследуемый объект.

4. С помощью структурно-механической модели рассчитаны концентрационные зависимости эффективного модуля для композиционных материалов с моно- и бидисперсным наполнением. Определены оптимальные (с точки зрения соотношения жесткости и степени наполнения) фракционные составы. Исследованы распределения усилий в структурных элементах. Показано, что модельные результаты находятся в удовлетворительном соответствии с известными опытными данными.

5. Исследованы закономерности возникновения и развития повреж-денности в дисперсно наполненных композитах со слабоэластичным полимерным связующим (в рамках теории малых линейно-упругих деформаций). При этом рассматривали монофракционные системы с сильной и слабой адгезионной связью между матрицей и включениями при различных концентрациях дисперсной фазы. Проверен ряд гипотез о возможных критериях появления локальных повреждений в структуре. Показано, что выбор этого критерия существенно влияет на результаты численного моделирования деформационного и прочностного поведения композитного материала на макроуровне.

6. Разработан алгоритм, предназначенный для решения задач о нагру-жении нелинейно-упругих конечно деформируемых стержневых систем с неоднородной произвольно сформированной структурой, — метод локальных итераций. На примере расчетов по растяжению и разрушению линейно и нелинейно-упругих сетчатых систем показана практическая эффективность и надежность метода, особенно когда структура сеток неоднородна, а макродеформация может достигать сотен процентов.

7. Разработана структурная модель линейно-упругой сетчатой системы, имитирующая механическое поведение молекулярной полимерной сетки в условиях конечных деформаций. Численно исследованы процессы накопления и развития поврежденности в зависимости от топологии сетки и разброса длин составляющих ее элементов.

8. Разработана нелинейно-упругая структурная модель, предназначенная для описания механического поведения полимерной молекулярной сетки, находящейся в высокоэластичном состоянии. По сравнению с линейно-упругим вариантом она основана на более реальных физических представлениях о свойствах молекулярных цепей и их взаимодействии. Исследованы деформационные и прочностные свойства эластомера в зависимости от структуры его молекулярной сетки и ее неоднородности (как с точки зрения геометрии, так и разброса жесткостных характеристик отдельных элементов).

9. Предложена структурно-статистическая модель дисперсно наполненного композита с высокоэластичной матрицей, предназначенная для проведения быстрых оценочных расчетов. С ее помощью рассчитаны предельные разрушающие напряжения и деформации в зависимости от концентрации наполнителя и размеров модельного "образца". Построены деформационные кривые развития поврежденности. Определены диапазоны разброса прочностных характеристик зернистых композитов для различных степеней наполнения.

10. Сделано обобщение структурно-механической модели дисперсно наполненного эластомерного композита на случай больших упругих деформаций. Для композитных систем с различным наполнением и деформативной прочностью матрицы исследованы процессы развития внутренней поврежденности, определены эффективные разрывные напряжения и деформации, установлены диапазоны их разброса. Рассчитаны предельные значения концентрации межфазных отслоений и микроразрывов матрицы, соответствующие моменту возникновения макроразрушения, а также величины их разброса на всем диапазоне приложения внешней нагрузки.

Сравнение с имеющимися в литературе экспериментальными данными показало, что предложенные структурные модели достаточно правильно описывают поведение реальных композитных систем. Следовательно, можно считать, что данный подход вполне адекватен и выдвинутые в работе предположения и выводы о связи микро- и макроструктурных характеристик композита не противоречат действительности.

Представленные в диссертационной работе результаты далеко не исчерпывают возможности развития структурно-механической модели. В принципе, с помощью данного подхода можно получить зависимости эффективных свойств механически неоднородной среды от самых разнообразных процессов и явлений, имеющих место на уровне структурной неоднородности. Для этого достаточно знать, как данный фактор влияет на механическое поведение отдельно взятого структурного элемента, а это уже гораздо более простая для решения задача. Таким образом, основанная на физической дискретизации структурная модель является тем мостиком, что связывает микро и макросвойства композита, напрямую учитывая особенности внутреннего строения материала. Это особенно важно для существенно неоднородных высоконаполненных систем, так как именно них структура играет определяющую роль в формировании как деформационных, так и прочностных макрохарактеристик.

В настоящее время ведется работа по развитию следующих перспективных направлений в применении представленного в диссертации структурного подхода.

В рамках Федеральной целевой программой "Интеграция науки и высшего образования России на 2002-2006 годы", совместно с Государственным научным учреждением "Научный центр порошкового материаловедения" и Пермским государственным техническим университетом, разрабатывается тема "Исследование теплопроводности порошковых материалов в зависимости от их структуры и технологии изготовления". Для решения этой проблемы создана и развивается новая структурная модель металлического порошкового композита, описывающая изменения его эффективных механических и теплопроводных свойств в зависимости от особенностей технологии изготовления: величины упруго пластического сжатия которому подвергается материал при изготовлении, режима спекания и ряда других факторов. И хотя рассматриваемые в этой работе материалы весьма далеки от дисперсно наполненных эластомеров, базовые идеи лежащие в основе обоих подходов очень похожи. (Сложная неоднородная структура материала разбивается на простые элементы, они заменяются дискретными стержневыми аналогами с эквивалентными механическими и теплопроводными свойствами и т. д.).

В соответствии с Грантом РФФИ "Урал-2001" № 01-01-96486 (Руководитель O.K. Гаришин) " Математическое моделирование микроструктурных процессов развития поврежденности в наполненных эластомерах и исследование их влияния на макропрочность" ведется работа по дальнейшему развитию структурно-механической модели дисперсно наполненного эластомер-ного композита путем введения в нее вероятностных критериев возникновения локальных структурных повреждений. Применение этих критериев, базирующихся на совместном использовании термофлуктуационного и статистического подходов к появлению внутренней поврежденности, позволило бы со структурных позиций смоделировать, как влияют на прочность композита такие важные с практической точки зрения факторы, как масштабный эффект и скорость приложения внешней нагрузки [Гаришин, Комар, 2002; Комар, Гаришин, Свистков, 2001, 2002; Свистков, 1994; Свистков, Комар, 1991, 1997; Свистков, Комар, Лебедев, 1998].

1. Александров А.П., Лазуркин Ю.С. Прочность аморфных и кристаллизующихся каучукоподобных полимеров // ДАН СССР, Техническая физика. — 1944. — Т. 45, № 7. — С. 308-311.

2. Аннин Б.Д., Каламкаров А.Л., Колпаков А.Г., Партон В.З. Расчет и проектирование композиционных материалов и элементов конструкций. — Новосибирск: Наука, 1993. — 256 с.

3. Бахвалов Н.С. Осреднение нелинейных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами // ДАН СССР. — 1975b. — Т. 225, № 2. — С. 249-252.

4. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. — М.: Наука, 1984. — 352 с.

5. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. — М.: Наука, 1983. —336 с.

6. Берлин A.A., РотенбургЛ., БасэртР. Особенности деформации неупорядоченных полимерных и неполимерных тел // Высокомолек. соед. — Сер. А. — 1992. — Т. 34, № 7. — С. 6-32.

7. Болотин В.В., Москаленко В.Н. К расчету макроскопических постоянных сильно изотропных композиционных материалов // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. — 1969. — № 3. — С. 46-54.

8. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. — М.: Наука, 1980. — 375 с.

9. Вавакин A.C., Салганик P.JI. Об эффективных характеристиках неоднородных сред с изолированными неоднородностями // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. — 1975. — № 3. — С. 46-54.

10. Вавакин A.C., Салганик P.JI. Эффективные упругие характеристики тел с изолированными трещинами, полостями и жесткими неоднородностями // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. — 1978. — № 2. — С. 95107.

11. Ван Фо Фы Г.А., Клявлин В.В., Гордиенко В.П. Исследование распределения волокон в ориентированных стеклопластиках // Механика полимеров. — 1969. — № 2. — С. 282-287.

12. Ванин Г.А. Микромеханика композиционных материалов. — Киев: Наук. думка, 1985. — 304 с.

13. Валуйских В.П. Метод стохастического имитационного моделирования структуры, расчета и оптимизации физико-механических характеристик пенопластов // Механика композиционных материалов.— 1989.— № 4. — С. 593-599.

14. Валуйских В.П. Имитационные модели конструкционных пенопластов открытой полиэдрической структуры // Механика композиционных материалов. — 1987. — № 5. — С. 808-812.

15. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. — М.: Наука, 1988. — 208 с.

16. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов A.A. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов / Под ред. Ю.В. Соколкина. — М.: Наука, Физматлит, 1997. — 288 с.

17. Вентцель Е.С., Овчаров JI.A. Теория вероятностей и ее инженерное приложение. — М.: Наука, 1988. —480 с.

18. Волков С.Д., Ставров В.П. Статистическая механика композитных материалов. — Минск: Изд-во Белорус, ун-та, 1977. — 208 с.

19. Волькенштейн М.В. Конфигурационная статистика полимерных цепей. — М.: Изд-во АН СССР, 1959. — 466 с.

20. Волченок В.Ф. Моделирование свойств полидисперсных структур. — Минск: Навука i тэхшка, 1991. — 192 с.

21. Воробьев В.А. Применение физико-математических методов в исследовании свойств бетона. — М.: Высшая школа, 1977. — 300 с.

22. Гаришин O.K. Моделирование структуры двухфракционных высокона-иолненных композитов // Структурно-механическое исследование материалов и конструкций. — Свердловск: УНЦ АН СССР, 1984. — С. 2326.

23. Гаришин O.K. Оптимизация случайных двухфракционных упаковок из частиц круглой формы // Деформирование и разрушение композитов. — Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. — С. 14-17.

24. Гаришин O.K. Структурная модель высоконаполненных зернистых композитов // Всесоюзная школа-семинар "Математическое моделирование в науке и технике": Тез. докл. — Пермь, 1986а. — С. 88-89.

25. Гаришин O.K. Определение упругих эффективных характеристик высоконаполненных зернистых композитов с помощью ЭВМ // IV Научно-техническая конференция по методам расчета изделий из высокоэластичных материалов: Тез. докл. — Рига, 1986b. — С. 42-43.

26. Гаришин O.K. Структурный подход к исследованию механического поведения высоконаполненных зернистых композитов // Уральская научно-техническая конференция "Геометрическое моделирование и начертательная геометрия": Тез. докл. — Пермь, 1987. — С. 28.

27. Гаришин O.K. Структурный подход к пространственной модели высо-конаполненных зернистых композитов // Механика микронеоднородных структур. — Свердловск: УрО АН СССР, 1988. — С. 23-37.

28. Гаришин O.K. Исследование упругих свойств высоконаполненных зернистых композитов с помощью структурно-механической модели // Деформирование и разрушение структурно-неоднородных материалов и конструкций. — Свердловск: УрО АН СССР, 1989а. — С. 86-91.

29. Гаришин O.K. Моделирование процессов разрушения наполненных зернистых композитов с помощью ЭВМ // V Научно-техническая конференция по методам расчета изделий из высокоэластичных материалов: Тез. докл. — Рига, 1989Ь. — С. 30-31.

30. Гаришин O.K. Структурное моделирование процессов разрушения в наполненных зернистых композитах // Деформирование и разрушение структурно-неоднородных материалов. — Свердловск: УрО АН СССР, 1992а. —С. 32-40.

31. Гаришин O.K. Структурно-статистическая модель зернистого эластомера // Международная научно-техническая конференция "Elastomers": Тез. докл. — Рига, 1992b. — С. 33-34.

32. Гаришин O.K. Оценка стохастичности структуры наполненных композитов с помощью энтропийного критерия // Международная конференция "Математическое моделирование процессов обработки материалов": Тез. докл. — Пермь, 1994а. — С. 16.

33. Гаришин O.K. Структурное моделирование эффективных упругих свойств наполненных эластомеров // Каучук и резина.— 1998а.— № 6. — С. 35-39.

34. Гаришин O.K. Структурно-статистическое моделирование процессов накопления поврежденности в наполненных эластомерах // XII Международная зимняя школа по механике сплошных сред: Тез. докл. — Пермь, 1999. —С. 125.

35. Гаришин O.K. Моделирование разрушения разупорядоченных упругих сеток // II Всероссийский семинар памяти С. Д. Волкова "Механика микронеоднородных материалов и разрушение": Тез. докл. — Пермь, 2000а. —С. 16.

36. Гаришин O.K. Структурно-статистическая модель наполненного композита и ее применение для исследования процессов разрушения // Каучук и резина. — 2000b. — № 6. — С. 16-18.

37. Гаришин O.K. Математическое моделирование процессов разрушения в высокоэластичных разупорядоченных сетках // Высокомолек. соед. — Сер. Л. — 2001а. — Т. 43, № 8. — С. 1407-1415.

38. Гаришин O.K. Исследование механического и прочностного поведения наполненных эластомеров при больших упругих деформациях // VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике: Тез. докл. — Пермь, 2001b. — С. 176.

39. Гаришин O.K. Компьютерное моделирование развития поврежденности в высокоэластичных наполненных эластомерах // XII Симпозиум "Проблемы шин и резинокордных композитов": Труды. — Москва, 2001с. — Т. 1. —С. 139-146.

40. Гаришин O.K. Структурно-механическая модель зернистого композита с высокоэластичной повреждаемой деформированием матрицей // Высокомолек. соед. — Сер. А. — 2002. — Т. 44, № 4. — С. 666-674.

41. Гаришин O.K., Комар JI.A. Масштабный эффект прочности в дисперсно наполненных полимерных композитах // XIII Симпозиум "Проблемы шин и резинокордных композитов": Труды. — Москва, 2002. — Т. 1. — С. 92-98.

42. Гаришин O.K., Лебедев С.Н. Структурное моделирование прочностных свойств упругих сетчатых систем в зависимости от их разупорядоченно-сти // XI Симпозиум "Проблемы шин и резинокордных композитов": Труды. — Москва, 2000. — Т. 1. — С. 184-188.

43. Гаришин O.K., Лебедев С.Н. Математическое моделирование механических свойств разупорядоченных сетчатых структур // Каучук и резина. — 2001. — № 5. — С. 26-30.

44. Гаришин O.K., Ташкинов A.A. Построение на ЭВМ моментных функций разупорядоченных композитов // VIII Всесоюзная конференция по прочности и пластичности: Тез. докл. — Пермь, 1983. — С. 39.

45. Гаришин O.K., Хаит Г.И. Математический синтез двухфракционных случайных упаковок из частиц сферической формы // Структурная механика композиционных материалов. — Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. —С. 49-52.

46. Голденблат И.И., Копнов В.А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. — М.: Машиностроение, 1968. — 192 с.

47. Готлиб Ю.Я., Даринский A.A., Светлов Ю.Е. Физическая кинетика макромолекул. — Ленинград: Химия, 1986. — 272 с.

48. Григолюк Э.И., Куршин Л.М., Фильштинский Л.А. Об одном методе решения двоякопериодических задач теории упругости // Прикл. механика. — 1965. — Т. 1, № 1. — С. 22-31.

49. Гросберг А.Ю., Хохлов А.Р. Статистическая физика макромолекул. — М.: Наука, 1989. —344 с.

50. Гуль В.Е., Кулезнев В.Н. Структура и механические свойства полимеров. — М.: Высшая школа, 1972. — 320 с.

51. ДжорджА., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. — М.: Мир, 1984. — 333 с.

52. Дымников С.И., Лавендел Э.Э., Павловские А.-М.А., Сниегс М.И. Прикладные методы расчета изделий из высокоэластичных материалов / Под ред. Э.Э. Лавендела. — Рига: Зинатне, 1980. — 238 с.

53. Евлампиева С.Е. Напряженное состояние упругой матрицы при регулярном заполнении объема композита круглыми жесткими включениями (плоская задача) // Структурная механика неоднородных сред. — Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982. — С. 69-71.

54. Евламииева С.Е. Напряженное состояние упругой матрицы при хаотичном и регулярном заполнении объема композита круглыми жесткими включениями // Деформирование и разрушение композитов. — Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. — С. 8-10.

55. Евлампиева С.Е. Определение эффективных характеристик на ансамблях включений // Механика микронеоднородных структур. — Свердловск: УрО АН СССР, 1988. — С. 65-67.

56. Займан Дж. Модели беспорядка. Теоретическая физика однородно неупорядоченных систем. — М.: Мир, 1982. — 592 с.

57. Згаевский В.Э., Гамлицкий Ю.А. Вычисление упругих постоянных полимеров, наполненных жесткими частицами двух сортов по размерам / Институт хим. физики АН СССР.— М., 1972.— 32 с.— Деп. в ВИНИТИ 20.11.72, № 5427-73.

58. Згаевский В.Э., Савин В.В. Вычисление упругих постоянных наполненных полимерных систем при средних и больших наполнениях / Институт хим. физики АН СССР. — М., 1969.— 22 с.— Деп. в ВИНИТИ 12.06.69, №844-69.

59. Иржак В.И., Розенберг Б.А., Ениколопян Н.С. Сетчатые полимеры (синтез, структура, свойства). — М.: Наука, 1979. — 248 с.

60. Кауш Г. Разрушение полимеров. — М.: Мир, 1981. — 440 с.

61. Карпинос Д.М. Композиционные материалы: Справочник. — Киев: Наук. думка, 1985. — 592 с.

62. Кивран В.К., Наац И.Э., Парватов Г.Н., Сесь В.И. Цифровое моделирование в задачах радиационной дефектоскопии тел с неоднородной структурой // Изв. ТПИ. — 1972. — Т. 213. — С. 105-107.

63. Комар JI.A., Гаришин O.K., Свистков A.JI. Компьютерное моделироващние развития поврежденности в высокоэластичных наполненных эластомерах // XII Симпозиум "Проблемы шин и резинокордных композитов": Труды. — Москва, 2001. — Т. 1. — С. 219-226.

64. Композиционные материалы. Т. 2. Механика композиционных материалов / Под ред. Дж. Сендецки. — М.: Мир, 1978а. — 564 с.

65. Композиционные материалы. Т. 5. Разрушение и усталость / Под ред. JI. Браутмана. — М.: Мир,1978Ь. — 486 с.

66. Кравчук A.C., Майборода В.П., Уржумцев Ю.С. Механика полимерных и композиционных материалов. — М.: Наука, 1985. — 304 с.

67. Кристенсен Р. Введение в механику композитов.— М.: Мир, 1982.— 336 с.

68. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. 4.1. — М.: Наука, 1976. —583 с.

69. Липатов Ю.С. Физическая химия наполненных полимеров.— М.: Химия, 1977. —304 с.

70. Лифшиц И.М., Розенцвейг Л.Н. К теории упругих поликристаллов // ЖЭТФ. — 1946. — Т. 16, вып. 11. — С. 967-980.

71. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. — М.: Наука, 1970. — 139 с.

72. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных сред. — М.: Изд-во МГУ, 1976. —367 с.

73. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. — М.: Гостех-издат, 1955, —492 с.

74. Лурье А.И. Теория упругости. — М.: Наука, 1970. — 940 с.

75. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на ФОРТРАНе. — М.: Мир, 1977. — 584 с.

76. Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тстсрс Г.А. Сопротивление полимерных и композиционных материалов. — Рига: Зинатне, 1980. — 572 с.

77. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. — М.: Наука. — 1980. — 256 с.

78. Мошев В.В., Иванов В.И. Реологическое поведение концентрированных неныотоновских суспензий. — М.: Наука, 1990. — 89 с.

79. Мошев В.В., Хаит Г.И. Построение модели и исследование упругих свойств композиционных материалов // Структурная механика неоднородных сред. — Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982. — С. 3-7.

80. Мэнсон Дж., СперлингЛ. Полимерные смеси и композиты.— М.: Химия, 1979. —440 с.

81. Мяченков В.И., Мальцев В.П. Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ ЕС.— М.: Машиностроение, 1984.— 277 с.

82. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. — М.: Наука,1978. —336 с.

83. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. 4.1.— М.: Наука, 1987.-464 с.

84. Новацкий В. Теория упругости. — М.: Мир, 1975. — 872 с.

85. Новожилов В.В. О перспективах феноменологического подхода к проблеме разрушения // Механика деформируемых тел и конструкций. — М.: Машиностроение, 1975. — С. 349-359.

86. Овчинский A.C. Процессы разрушения композиционных материалов. Имитация микро- и макромеханизмов на ЭВМ.— М.: Наука, 1988.— 278 с.

87. Овчинский A.C., Гусев Ю.С. Моделирование на ЭВМ процессов образования, роста и слияния микродефектов в структурно-неоднородных материалах // Механика композитных материалов. — 1982. — № 4. С. 585592.

88. Овчинский A.C., Немцова С.А., Копьев И.М. Математическое моделирование процессов разрушения композитных материалов, армированных хрупкими волокнами // Механика полимеров. — 1976. — № 5. — С. 800-808.

89. Печковская К.А. Сажа как усилитель каучука.— М.: Химия, 1968.— 215 с.

90. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. — М.: Изд-во МГУ, 1984. —336 с.

91. Рабинович И.М. Основы строительной механики стержневых систем. — М.: Гос. издат. по строительству и архитектуре, 1954. — 544 с.

92. Работнов Ю.Н. О механизме длительного разрушения // Вопросы прочности материалов и конструкций.— М.: Машиностроение, 1959.— С. 5-7.

93. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука,1979. —744 с.

94. Радушксвич Л.Б. Попытки статистического описания пористых сред // Основные проблемы теории физической адсорбции. I Всесоюзная конференция по теоретическим вопросам адсорбции: Труды. — М.: Наука, 1970. —С. 270-286.

95. Разрушение: Т. 7. Разрушение неметаллов и композитных материалов. Ч. 2. Органические материалы / Под ред. Г. Либовица. — М.: Мир, 1976. —472 с.

96. Реология / Под общ. ред. Ф. Эйриха. — М.: ИЛ, 1962. — 824 с.

97. Розин Л.А. Об аппроксимации сплошных оснований дискретными опорами // Известия ВНИИГ. — 1970. — Т. 92. — С. 55-60.

98. Розин Л.А. Стержневые системы как системы конечных элементов.— Ленинград: Изд-во Ленингр. ун-та, 1976. — 237 с.

99. Самарский A.A. Введение в численные методы. — М.: Наука, 1982. — 272 с.

100. Свистков А.Л. Итерационный метод решения задачи о нагружении бесконечного пространства, содержащего сферические включения // Структурная механика неоднородных сред. — Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982. —С. 51-55.

101. Свистков А.Л. Влияние поверхностных слоев вокруг включений на микроструктурные напряжения композиционного материала // Структурная механика композиционных материалов. — Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. —С. 77-81.

102. Свистков А. Л. Моделирование разрушения эластомера с твердым наполнителем зернистого типа с учетом характерных размеров включений // Высокомолек. соед. — Сер. А. — 1994. — Т. 36, № 3. — С. 412-418.

103. Свистков A.JI., Комар JI.A. Моделирование роста отслоенности и формирования кластеров поврежденности в наполненных эластомерах // Высокомолек. соед. — Сер. А. — 1997. — Т. 39, № 11. — С. 1839-1846.

104. Свистков A.JL, Свисткова JI.A. Полуэмпирический потенциал свободной энергии полимерной сетки, учитывающий конечность длин полимерных цепей // Высокомолек. соед. — Сер. А. — 1998. — Т. 40, № 5. — С. 835-840.

105. Свистков A.JL, Комар JI.A. Лебедев С.Н. Термофлуктуационная точка зрения на процессы разрушения наполненных эластомерных материалов // Каучук и резина. — 1998. — № 6. С. 19-23.

106. Свистков А.Л., Гаришин O.K., Евлампиева С.Е., Лебедев С.Н. Итерационный метод расчета напряженно-деформированного состояния в ансамблях включений // Механика композиционных материалов и конструкций. — 1999. — Т. 5, № 2. — С. 17-28.

107. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. — М.: Мир. — 1979, —392 с.

108. Седракян Л.Г. Элементы статистической теории деформирования и разрушения хрупких материалов. — Ереван: Айастан, 1968. — 247 с.

109. Соколкин Ю.В., Ташкинов A.A. Механика деформирования и разрушения структурно-неоднородных материалов. — М.: Наука, 1984. — 115 с.

110. Соломко В.П. Наполненные кристаллизующиеся полимеры.— Киев: Наук, думка, 1980. — 264 с.

111. Ставров В.П., Волков С.Д. О моментных функциях, описывающих свойства стеклопластиков // Механика полимеров.— 1968.— № 1.— С. 86-89.

112. Ставров В.П., Фомина Т.С. Об упругих постоянных стеклопластиков анизотропной структуры // Механика полимеров. — 1968. — № 4. — С.631-637.

113. Тамуж В.П., Тетере Г.Л. Проблемы механики композиционных материалов // Механика композиционных материалов.— 1979.— № 1.— С. 34-45.

114. Трилор JI. Введение в науку о полимерах. — М.: Мир, 1973. — 240 с.

115. Финкель В.М. Физические основы торможения разрушения. — М.: Металлургия, 1977. — 360 с.

116. Флор и П. Статистическая механика цепных молекул.— М.: Мир, 1971.—432 с.

117. Форсайт Дж., Малкольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. — М.: Мир, 1980. — 280 с.

118. Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушения композиционных материалов. — М.: Мир, 1982. — 232 с.

119. Хаит Г.И. Структурно-механические исследования композитов с сильно выраженной механической неоднородностью: Дис. канд. тех. наук. — Пермь, 1982. — 185 с.

120. Хан X. Теория упругости. Основы линейной теории и ее применения. — М.: Мир, 1988. —344 с.

121. Хаппель Д., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольд-ца. — М.: Мир, 1976. — 630 с.

122. ХиллР. Упругие свойства составных сред: некоторые теоретические принципы // Механика: Сб. переводов. — 1964. — Т. 87, № 5. — С.127-143.

123. ХиллР. Новые доказательства некоторых экстремальных принципов теории упругости // Механика: Сб. переводов. — 1965. — Т. 90, № 2. — С.130-136.

124. Хорошун Л.П., Маслов В.П. Методы автоматизированного расчета физико-механических постоянных композиционных материалов. — Киев: Наук, думка, 1980. — 156 с.

125. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных материалов. — М.: Наука, 1977. —400 с.

126. Шермергор Т.Д. Эффективные модули упругости микронеоднородных материалов // Структура и свойства неоднородных материалов. — Рига: Зинатне, 1979. — С.119-127.

127. Шишкин В.А. Структурный механизм внутреннего трения и упругости концентрированных дисперсий жестких частиц // Структурная механика композиционных материалов.— Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983.— С. 58-73.

128. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций.— М.: ИЛ, 1963.— 248 с.

129. Absi Е. La Theorie des equivalences et son application a l'etude des ouvrages d'art // Ann. Inst. Techn. Batim. Trav. Publics. — 1972. — № 298. — P. 5880.

130. Absi E. Differences finies, elements finies et equivalences dans le cas de l'elasticite plane // Ann. Inst. Techn. Batim. Trav. Publics. — 1977. — №351. —P. 43-46.

131. Absi E., Prager W. A comparison of equivalencies and finite element methods // Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. — 1975. — № 6. — P. 59-64.

132. Adams D.J., Matheson A.J. Computation of dense random packings of hard spheres // J. Chem. Phys. — 1972. — V. 53, №. 5. — P. 1989-1994.

133. Ahmed S, Jones F.R. A review of particulate reinforcement theories for polymer composites // J. Mater. Sci. — 1990. — V. 25. — P. 4933-4942.

134. Anderson Vratsanos L., Farris R.J. A predictive model of the mechanical behavior of particulate composites. Part I: Model derivation // Polym. Eng. Sci. — 1993a. — V. 33. — P. 1458-1465.

135. Anderson Vratsanos L., Farris R.J. A predictive model of the mechanical behavior of particulate composites. Part II: Comparison of model predictions to literature data // Polym. Eng. Sci. — 1993b. — V. 33. — P. 1466-1474.

136. Andersson H. Analysis of a model for void growth and coalescence ahead of a moving crack tip // J. Mech. Phys. Solids. — 1977. — V. 25. — P. 217233.

137. Asahiro A. Evaluation of chain scission during mixing of filled compounds // Rubber Chemistry and Technology. — 1996. — V. 69, № 5. — P. 742-751.

138. Backman B.F., Brown C.B., Jowitt P.W., Munro J. Statistical mechanics of granular materials // Adv. Mech. and Flow Granular Mater. — 1983. — V. 1. —P. 259-272.

139. Bazant Z.P., Tabbara M.R., Kazemi M.T., Pijaudier-Cabot G. Random particle model for fracture of aggregate or fibre composites // J. Eng. Mech. — 1990. — V. 116, № 8. — P. 1686-1705.

140. Benenati R.F., Brosilow C.B. Void fraction distribution in beds of spheres // A. I. Chem. Eng. J. — 1962. — V. 8, № 3. — P. 359-361.

141. BeranM. Statistical continuum theories.— New York: Intersci. Publ., 1968.-493 p.

142. Bernal J.D., Finney J.L. Random close-packed hard hard-sphere model. II. Geometry of random packing of hard spheres // Discussions of the Faraday Society. — 1967. — V. 43. — P. 62-69.

143. Bernal J.D., King S.V. Random close-packed hard hard-sphere model. I. Effect of introducing holes // Discussions of the Faraday Society. — 1967. — V. 43. — P. 60-62.

144. Bernal J.D., Mason G. Co-ordination of randomly packed spheres // Nature. — 1960. — V. 188, № 10. —P. 910-911.

145. Bolander J. Jr., Saito S. Fracture analysis using spring networks with random geometry // Eng. Fracture Mechanics. — 1998. — V. 61. — P. 569-591.

146. Bolander J. Jr., Yoshitake K., Thomure J. Stress analysis using elastically homogeneous rigid-body-spring networks // Structural Eng./Earthquake Eng. JSCE. — 1999. — V. 16, № 2. — P. 125s-132s.

147. Broberg K.B. The cell model of materials // Computational Mechanics.— 1997. v. 19. p. 447-452.

148. Brown C.B. The use of maximum entropy in the characteristics of granular media // US-Japan Seminar "Continuum-mechanical and statistical approaches in the mechanics of granular materials": Proceedings. — Sendai, 1978. —P. 98-108.

149. Buckler E.J. The foundation lecture: The tangled web // Plastics and Rubber Int. — 1980. — V. 4, № 6. — P. 255-263.

150. Cantin G. An equation solver of very large capacity // Int. J. Num. Meth. Eng. — 1971. — № 3. — P. 379-388.

151. Chen H.S., Acrivos A. The solution of the equations of linear elasticity for an infinite region containing two spherical inclusions // Int. J. Solids and Structures. — 1978. — V. 14, № 15. — P. 331-348.

152. Cho K., Gent A.N. Cavitation in model elastomeric composites // J. Mater. Sci. — 1988. — V. 23, № 1. — P. 141-144.

153. Chong J.S., Christiansen E.B., Baer A.D. Reology of concentrated suspensions // J. Appl. Polym. Sci. — 1971. — V. 15. — P. 2007-2021.

154. Cundall P.A., Strack O.D.L. A discrete numerical model for granular assemblies // Geotechnique. — 1979. — V. 29, № 1. — P. 47-65.

155. Farris R.J. Prediction of the viscosity of multimodal suspensions from unimodal viscosity data // Trans. Soc. Rheology. — 1968a. — V. 12. — P. 281301.

156. Farris R.J. The character of the stress-strain function for highly filled elastomers // Trans. Soc. Rheology. — 1968b. — V. 12. — P. 303-314.

157. Farris R.J. The influence of vacuole formation on the response and failure of filled elastomers // Trans. Soc. Rheology. — 1968c. — V. 12. — P. 315-334.

158. Fedors R.F., Landel R.F. Mechanical behavior of SBR-glass Bead Composites I I J. Polym. Sci., Polym. Phys. Ed. — 1975. — V. 13. — P. 579-597.

159. Flory P.J. Principles of polymer chemistry.— New York: Cornell Univ. Press, 1953. —672 p.

160. Frankel N.A., Acrivos A. On the viscosity of a concentrated suspension of solid spheres // Chem. Eng. Sci. — 1967. — V. 22. — P. 847-853.

161. Garishin O.C. Structural modelling of damage accumulation in highly filled particulate composites // XI International Winter School on Continuum Mechanics: Abstracts. — Perm, 1997. — P. 21.

162. Garishin O.C. Mathematical simulation of degradation processes in topological^ disordered rubbery polymer networks // Polymer Science. — Ser. A. — 2001. — V. 43, № 8. — P. 892-898.

163. Garishin O.C. Structural mechanical model of a grain composite with a damageable rubbery matrix // Polymer Science. — Ser. A. — 2002a. — V. 44, № 4. — P. 417^423.

164. Garishin O.C. Computer simulation of damage accumulation and structure rearrangement in highly filled elastomeric composites // XXX Summer school "Advanced problems in mechanics": Abstracts. — St. Petersburg (Repino), 2002b. — P. 45.

165. Garishin O.C., Moshev V.V. Computer modelling of mechanical behaviour of damageable particulate composites // Mesomechanics'98: Abstracts. — Tel Aviv, 1998. —P. 123.

166. Garishin O.C., Moshev V.V. Computer modeling of mechanical behavior of damageable particulate composites // J. Theoretical and Applied Fracture Mechanics. — 1999. — V. 31. — P. 61-66.

167. Garishin O.C., Moshev V.V. Damage model of elastic rubber particulate composites // J. Theoretical and Applied Fracture Mechanics. — 2002. — V. 38. — P. 63-69.

168. Gasparini D.A., Bonacuse P., Powers L., Romeo A. Stochastic parallel-brit-tlle networks for modeling materials // J. of Engineering Mechanics. — 1996. — V. 122, № 2. — P. 130-137.

169. Gent A.N. Detachment of an elastic matrix from a rigid spherical inclusion // J. Mater. Sci. — 1980. — V. 15. — P. 2884-2888.

170. Gent A.N. Cavitation in rubber: Cautionary tale // Rub. Chem. Tech.—1990. — V. 63 — P. G49-G52.

171. Gent A.N., Lindley P.B. Internal rupture of bonded rubber cylinders in tension // Proc. Roy. Soc. (London). — 1968. — V. 249, ser. A. — P. 195-204.

172. Gent A.N., Park B. Failure process in elastomers at/or near rigid spherical inclusion // J. Mater. Sci. — 1984. — V. 19, № 6. — P. 1947-1956.

173. Gent A.N., ParkB. Compression of rubber layers bonded between two parallel rigid cylinders or between two rigid spheres // Rub. Chem. Tech. — 1986. —V. 59, № 1. —P. 77-83.

174. Gent A.N., Tobias R.H. Threshold tear strength of elastomers // J. Polym. Sci., Polym. Phys. Ed. — 1982. — V. 20. — P. 2051-2058.

175. Ghosh S., Mukhopadhayay S.N. A two dimensional mesh generator for finite element analysis for random composites //Computers and Structures. —1991. — V. 41. — P. 245-256.

176. Ghosh S., Mallet R.L. Voronoi cell finite elements // Computers and Structures. — 1994a. — V. 50. — P. 33-46.

177. Ghosh S., Moorthy S. A Voronoi cell finite element model for random heterogeneous media // Probabilities an Materials (ed. Breysse). — Netherlands: Kluwer Acad. Publishers, 1994b. — P. 273-284.

178. Guon E., Roux S. Les matériaux heterogenes // La Recherche. — 1987. — V. 18, № 191. —P. 1050-1058.

179. Gusev A.A. Representative volume element size for elastic composites: a numerical study// J. Mech. Phys. Solids — 1997. — V. 45, № 9. — P. 14491459.

180. Hashin Z. Theory of mechanical behaviour of heterogeneous media // Appl. Mech. Rev. — 1964. — V. 17, № 1. — P. 1-17.

181. Hashin Z. Variational principles of elasticity in terms of polarization tensor // J. Mech. Phys. Solids. — 1967. — V. 5, № 2. — P. 213-233.

182. Hashin Z., ShtrikmanS. On some variational principles in anisotropic and nonhomogeneous elasticity // J. Mech. Phys. Solids.— 1962.— V. 10, № 4. — P. 335-349.

183. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the theory of elastic behaviour of multiphase materials // J. Mech. Phys. Solids. — 1963. — V. 11, №2. —P. 127-142.

184. Hill R. A self-consistent mechanics of composite materials // J. Mech. Phys. Solids. — 1965. —V. 13, №4. — P. 213-222.

185. Inagaki S., Onouchi Yu., Okamoto H., Furukava J. Rubber elasticity at large deformation (XI). Stress-strain behaviour of oil-extended rubber vulcanizates // J. Soc. Rub. Ind. Japan. — 1982. — V. 55, № 1. — P. 68-72.

186. Jagota A., Bennison S.J. Element breaking rules in computational models for brittle fracture // Modelling Simul. Mater. Sci. Eng.— 1995.— V. 3.— P. 485-501.

187. Jaynes E.T. Information theory and statistical mechanics I // Phys. Rev. — 1957a. — V. 106. — P. 620-630.

188. Jaynes E.T. Information theory and statistical mechanics II // Phys. Rev. — 1957b. —V. 108. —P. 171-190.

189. Jirasek M., Bazant Z. Macroscopic fracture characteristics of random particle systems // Int. Journal of Fracture. — 1995. — V. 69. — P. 201-228.

190. Jodrey W.S., Tory E.M. Simulation of random packing of spheres // Simulation. — 1979. — № 1. —P. 1-12.

191. Joe B. Delaunay triangular meshes in convex polygons // SI AM J. Sci. Stat. Comput. — 1986. — V. 7. — P. 514-539.

192. Kawai T. A new discrete model for analysis of solid mechanics problems // Seisan Kenkyu. Mon. J. Inst. Ind. Sci. Tokyo.— 1977.— V. 29, №4.— P. 208-210.

193. Kendall K. The adhesion and surface energy of elastic bodies // J. Phys. D: Appl. Phys. — 1971. — V. 4. — P. 1186-1195.

194. Kishino Y. A generalised relationship between the stress and the dilatancy in granular materials // Mechanics of granular materials: New models and constitutive relations. US/Jap. Semin.: Proceedings.— New York, 1982.— P. 117-126.

195. Kozhevnikova L.L., Moshev V.V., RogovoyA.A. A continuum model for finite void growth around spherical inclusion // Int. J. Solids and Structures. — 1993. — V. 30, № 2. — P. 237-248.

196. Kruyt N.P., Rothenburg L. Micromechanical definition of the strain tensor for granular materials (Transactions of the ASME) // J. Appl. Mech. —1996. — V. 63. — P. 706-711.

197. Kruyt N.P., Rothenburg L. Micromechanical bounds for the effective elastic moduli of granular materials // Int. J. Solids and Structures. — 2002. — y. 39. p. 311-324.

198. Kuhn M.R. Deformation measures for granular materials // Mechanics of deformation and flow of particulate materials: Proceedings. — USA, Evanston,1997. —P. 91-104.

199. Kuhn M.R. Structured deformation in granular materials // Int. J. Mechanics of Materials. — 1999. — V. 31. — P. 407-429.

200. Liu Y., Kageyama Y., Murakami S. Creep fracture modeling by use of continuum damage variable based on Voronoi simulation of grain boundary cavity // Int. J. Mech. Sci. — 1998. — V. 40. — P. 147-158.

201. Mason G. General Discussions // Discussions of the Faraday Society. — 1967. —V. 43. —P. 75-76.

202. Mason G. Radial distribution function from small packings of spheres // Nature. — 1968. — V. 217. — P. 733-735.

203. Mark J.E. Improved elastomers through control of network chain-length distributions // Rubber Chem. Technol. — 1999. — V. 72. — P. 465-483.

204. Mier J.G.M. Fracture processes in concrete: assessment of material parameters for fracture models. — New York: CRC Press, 1997. — 448 p.

205. Mogami T. A statistical theory of mechanics of granular materials // J. Fac. Eng. Univ. Tokyo. — Ser. B. — 1965. — V. 28. — P. 65-79.

206. Morgenstern N.R. Maximum entropy of granular materials // Nature. — 1963. — V. 200. — P. 559-560.

207. Moshev V.V., Garishin O.C. Physical discretization approach to evaluation of elastic module of highly filled granular composites // Int. J. Solids and Structures. — 1993. — V. 30, №. 17. — P. 2347-2355.

208. Moshev V.V., Golotina L.A. Nonlinear mechanical models for particulate elastomeric composites. III. Macrocrack initiation from randomly scattered microdamages // Ukrainian Polymer J. — 1995. — V.4, № 1-2. — P. 70-84.

209. Moshev V.V., Golotina L.A., Garishin O.C. Continuum models for damageable particulate composites based on structural formulations // J. Adhesion. — 1998. — V. 65. — P. 207-216.

210. Moshev V.V., Kozhevnikova L.L. Unit cell evolution in structurally damageable particulate-filled elastomeric composites under simple tension // J. Adhesion. — 1996. — V. 55. — P. 209-219.

211. Moshev V.V., Kozhevnikova L.L. Highly predictive structural cell for particulate polymeric composites // J. Adhesion. — 1997. — V. 62. — P. 169186.

212. Moshev V.V., Kozhevnikova L.L. Predictive potentialities of a cylindricalistructural cell for particulate elastomeric composites // Int. J. Solids and Structures. — 2000. — V. 37. — P. 1079-1097.

213. Mullins L.J. Effect of stretching on the properties of rubbers // J. Rubber Res. — 1947. — V. 16. — P. 275-289.

214. Mullins L.J. Softening of rubber by deformation // Rub. Chem. Techn. — 1969. —V. 42, № 1. —P. 165-185.

215. Murakami S., Liu Y. Local approach of fracture based on continuum damage mechanics and the related problems // Material Science Research Interna' tional.— 1996. —V. 2. —P. 131-142.

216. Oberth A.E., Bruenner R.S. Tear phenomena around solid inclusions in castable elastomers // Trans. Soc. Rheology.— 1965.— V. 9, №2.— P. 165-185.

217. Oda M. Co-ordination number and its relation to shear strength of granular material // Soils and Foundations. — 1977. — V. 17, № 2. — P. 547-559.

218. Okamoto H., Furukava J., Inagaki S. Rubber elasticity at large deformation (II). Stress-strain behavior of natural rubber vulcanizates // J. Soc. Rub. Ind.

219. Japan. — 1976. — V. 49, № 8. — P. 620-627.

220. Oxlorough R.J., Bowden P.B. A general critical-strain criterion for crazing in amorphous glass polymers // Phil. Mag. — 1973. — V. 28, № 3. — P. 547559.

221. Probstein R.F., Sengun M.Z., Tseng T-S. Bimodalmodel of concentrated suspension viscosity for distributed particle sizes // J. Rheol. — 1994. — V. 38, №4. — P. 811-829.

222. Ramsteiner F., Theysohn R. On the tensile behaviour of filled composites // Composites. — 1984. — V. 15, № 2. — P. 121-128.

223. Raos G., Allegra G. Mesoscopic bead-and-spring model of hard spherical particles in rubber matrix. 1. Hydrodynamic reinforcement // J. Chem. Phys. — 2000. — V. 113, № 17. — P. 7554-7563.

224. Reuss A. Berechnung der Fliebgrenze von Mischkristallen auf Grund der Plastizitatsbedingung fur Einkristalle // Z. Angew. Math. Mech.— 1929.— V. 9, № 4. — S. 49-64.

225. Ridgway K., Tarbuck K.J. Voidage fluctuations in randomly-packed beds of spheres adjacent to a containing wall // Chem. Eng. Sei. — 1968. — V. 23. — P. 1147-1155.

226. Satake M. A discrete mechanical approach to granular materials // Int. J. Engineering and Sei. — 1992. — V. 30, № 10. — P. 1525-1533.

227. Satake M. New formulation of graph-theoretical approachin the mechanics of granular materials // Int. J. Mechanics of Materials.— 1993.— V. 16.— P. 65-72.

228. Scott G.D. Radial distribution of the random close packing of equal spheres // Nature. — 1962. — V. 194, № 9. — P. 956-958.

229. Scott G.D., Kilgour D.M. The density of random close packing of spheres // Brit. J. Appl. Phys. — Ser. 2. — 1969. — V. 2. — P. 863-866.

230. Sekhar N., Van der Hoff B.M.E. Cavity formation on elongation in filled elastomers // J. Appl. Polym. Sei. — 1971. — V. 15. — P. 169-182.

231. Shannon C.E. The mathematical theory of communications // Bell Syst. Tech. Journal. — 1948. — V. 27. — P. 379-423.

232. Smit R.J.M. Toughness of heterogeneous polymeric systems. A modeling approach: Proefschrift. — Technische Universiteit Eindhoven, 1998. — 107 p.

233. Smith W.O., Foote P.D., Busang P.F. Packing of homogeneous spheres // Phys. Rev. — 1929. — V. 34. — P. 1271-1274.

234. Smith L.N., Midha P.S. A computer model for relating powder density to composition, employing simulations of dense random packings of monosized and bimodal spherical particles // J. Materials Processing Technology. — 1997a. — V. 72. — P. 277-282.

235. Smith L.N., Midha P.S. Computer simulation of morphology and packing behaviour of irregular particles, for predicting apparent powder densities // Computational Material Sei. — 1997b. — № 7. — P. 377-383.

236. Steele J.H. A nonoverlap model for dispersion of spherical particles // Metallurgical Transactions. — Ser. A. — 1976. — V. 7A. — P. 1325-1332.

237. Struik C.E., Bree H.W., Schwarzl F.R. Mechanical properties of highly filled elastomers // Int. Rubber Conf.: Proceedings. — London, 1968. — P. 205231.

238. Szilard L. Uber die Entropievermindrung in einem Thermodynamischen System bei Eingriffen intelligenter Wesen // Zeit, fur Physik. — 1929. — V. 53. — S. 840-856.

239. Tianbai H. An estimate of strength of polymers // Polymer.— 1986.— V. 27, №2. —P. 253-255.

240. Toresan W.Jr., Tomagna A. Discrete modeling of continuum solids by three dimensional truss-like space structures // Computational Mechanics. New trends and applications. CIMNE: Proceedings. — Barcelona, Spain, 1998. — P. 1-10.

241. Torquato S., Gibiansky L.V., Silva M.J., Gibson L.J. Effective mechanical and transport properties of cellular solids // Int. J. Mech. Sei. — 1998. — V. 40, № 1. —P. 71-82.

242. Tory E.M., Church B.H., Tarn M.K., Ratner M. Simulated random packing of equal spheres// Can. J. Chem. Eng. — 1973. — V. 51. — P. 484-493.

243. Voight W. Lehrbuch der Kristallphysik. — Berlin: Teubner, 1928. — 962 s.

244. Wang T.T., Matsko M., Kwei T.K. Criteria of craze initiation in glassy polymers // J. Appl. Phys. — 1971. — V. 42, № 11. — P. 4188-4196.

245. Weng G.J. Some elastic properties of reinforced solids with special reference to isotropic ones containing spherical inclusions // Int. J. Eng.— 1984.— V. 22, № 7. — P. 845-856.

246. Wieckowski A., Strek F. Porowatosc mieszanin cial sypkich. Mieszaniny dwuskladnikowe // Chemia stosowana. — 1966a. — № IB. — P. 95-127.

247. Wieckowski A., Strek F. Porowatosc mieszanin cial sypkich. Mieszaniny wieloskladnikowe // Chemia stosowana. — 1966b. — № 4B. — P. 431-447.

248. Wilson E.L., Bathe K.J., Doherty W.P. Direct solution of large systems of linear equations // Computers and Structures. — 1974. — V. 4. — P. 363372.

249. Xia L., Shih C.F. Ductile crack growth — II. Void nucleation and geometry effects on macroscopic fracture behavior// J. Mech. Phys. Solids. — 1995. — V. 43. —P. 1953-1981.

250. Yagh K., Lim C. K., Okuama M., Tschoegl N.W. The effect of pressure on the mechanical and ultimate properties of a glass bead filled elastomers // Int. Colloc. Du CNRS: Proceedings. — Paris, 1975. — № 231. — P. 289-295.

251. Yeh R. H. T. Variational principles of elastic moduli of composite materials // J. Appl. Phys. — 1970. — V. 41, № 8. — P. 3353-3356.

252. Yeh R. H. T. Variational bounds of elastic moduli of twofase materials // J. Appl. Phys. — 1971. — V. 42, № 3. — P. 1101-1103.

253. Yeh R. H. T. Variational principles of indirectional fibre-reinforced composites // J. Appl. Phys. — 1973. — V. 44, № 2. — P. 662-665.

254. Zgaevsky V.E. Elastic and viscoelastic properties of polymer filled with solid particles // Int. J. Polymer. Mater. — 1977. — V. 6. — P. 109-124.

255. Zubelewich A., Mroz Z. Numerical simulation of rockburst processes treated as problems of dynamic instability // Rock Mech. Eng. — 1983. — V. 16. — P. 253-274.