Консервативные динамические системы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

о ;

п 'Г 1

--■ •.. 1

ИОСКОВСКИЯ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ, ОГДЕНА

/

ОКТЯБРЬСКОЙ РЁВОЛШИИ ГОСУДАРСТВЕШШЯ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ н.в.локоиосопл

МЕХА-НИКО -.МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

Д.УДОЛАДОВ Сергея Леонидович

УДК 331.01 317.925.42

КОНСЕРВАТИВНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИ С Т'ЕМЫ

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1992 г.

Работа выполнена на кафедра теоретической махааики мвханнко-мзтаматического факультета Московского государственного университета км. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук.

профессор В. В. Козлов. Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук.

А. И. неаштздт; - кандидат физико-математических наук А. В. Буров.

Ведущая организация - Институт проблей механики РАН.

Зашита диссертации, состоится & и-О^Я^ 1932 г. в 16 ч. на заседании специализированного Совета Д.053.05.ОГ <№1 по механика} при Московском государственном университете ем. М.й. Ломоносова по адресу: 119823, Москва, Ленинские горы, МГУ. механико-математический факультет, ауд. 16-10.

Автореферат разослан « 1332 г.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке мехашко-матема-матического факультета МГУ (14 этаж).

Учений секретарь специализированного Совета Д. 053.05.01 при МГУ Д. ф. м. н.

Д. В. Трещев

РОССИЙСКАЯ ГОСУД... , • Т:ЧНАЯ /

• БИЬлииГЕКА 0БЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. В 1893 г. А. М. Ляпунов показал, что равновё-сия типа "центр" характерны для двух классов динамических систем на плоскости: консервативных и обратимых. Немного позднее им же был доказан один из основных результатов теории малых колебаний нелинейных консервативных систем, ныне носящий название "теорема 'Ляпунова о центре". В 70-х годах текущего столетия стараниями многих авторов получены многочисленные результаты, касающиеся свойств периодических решений и общих динамических свойств решений гамильто-новых систем (которые являются частным случаем консервативных систем) вблизи резонансного положения равновесия - случай, не предусмотренный теоремой Ляпунова о центре. В это же время начинается тщательное изучение обратимых систем, завершившееся к середине 80-х годов созданием подробной теории малых колебаний данного класса систем.Оставались неизученными только свойства консервативных систем. которые в общем случае не являются гамильтоновыми.

Данная диссертация ставит своей целью заполнить существующий пробел, и.тем самым, внести вклад в создание теории малых колебаний консервативных систем. В ней комбинируются методы, применяемые как к гамильтоновым. так и к обратимым системам.

Цель работы. Изучение свойств резонансных (и близких к ним) консервативных систем вблизи положения равновесия. Основной упор при этом делается на'изучение свойств периодических решений.

Научная новизна. Основные результаты диссертации таковы, о

1. Создана теория нормальных форм консервативных динамических систем вблизи особой точки, полностью учитывающая нх специфику.

2.^зучены свойства периодических решений вблизи резонансного положения равновесия резонансных (и близких к ним) консервативных

систем.

3. В случае четырехмерного фазового пространства получены критерии устойчивости и неустойчивости резонансного положения равновесия.

4. На модельных системах в случае четырехмерного фазового пространства изучены бифуркации фазовых портретов и многообразия периодических решения при прохождении малого параметра через резонансное значение 0.

Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты можно использовать при изучении консервативных систем, не являющихся гамильтоновыми и встречающихся в приложениях в различных разделах механики и физики. Таковыми, например, являются натуральные механические системы, на которые наложены неголономные связи (системы Чаплыгина).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на заседаниях семинара "Динамические системы классической механики" под руководством В.В.Козлова и С. В. Болотина в 1991 и 1992 гг.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах, перечисленных в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 103 страницах, и состоит из введения и 10 параграфов основного текста. Библиография содержит 27 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении даются определения консервативных динамических систем с непрерывным и дискретным временем, приводится краткий обзор работ, относящихся к теме диссертации, объясняются некоторые обозначения.

Определение 1. Обыкновенное дифференциальное уравнение у

с фазовым пространством ис.^* и задающее это уравнение векторное поле эЪс называются консервативными.если существует отличная от постоянной функция У (л), называемая первым интегралом.производная которой вдоль поля тождественно равна нулю. т. е. сдгаЛУ, у>= - = 0 . где - стандартное скалярное произведение в й*.

Понятие консервативности переносится на динамические системы с дискретным временем, или отображения, следующим образом.

Определение 2. Биективное отображение множества на себя называется консервативным, если существует отличная от постоянной функция V: "(/—•£ .также называемая первым интегралом.обладающая

СВОЙСТВОМ: У "б = V

Первый параграф посвящен теории нормальных форм консервативных динамических систем вблизи положения равновесия (для векторных полей) и вблизи неподвижной точки (для отображений). Основные результаты этого параграфа таковы (здесь они излагаются только для векторных полей). • •

Пусть х*0 с - положение равновесия гладкого векторного поля . тогда разложение в ряд Тейлора этого векторного

поля имеет вид:

~1Л*> - ^ а +........... < 1 >

где - (КхЮ-матрица или линейный оператор Ш — Ш . а многоточие

обозначает члены выше первого порядка. Пусть положение равновесия невырождено, т.е. . Допустим, что поле (1) консервативно,

тогда существует гладкая непостоянная функция V. удовлетворяющая условию ^ха</V,У> = с? .Для определенности будем считать.что У(с)-0. Нетрудно показать, что разложение V в ряд Тейлора в окрестности невырожденного положения равновесия не может содержать линейные члены. Если векторное поде допускает первый интеграл, разложение которого начинается с невырожденной квадратичной формы, то такое поле называется консервативным полем общего положения. В дальнейшем. в основном, рассматриваются только такие векторные поля.

Из результата, принадлежащего В. Козлову, известно, что линейное дифференциальное уравнение сс-^сс- , /<;<? У^ о. обладающее первым интегралом У(-х)- < где е)*^ . является га-

мильтоновым. причем V в подходящих канонических переменных является гамильтонианом. Следствием этого являются следующие факты. Во-первых. размерность фазового пространства N -четно, во-вторых.если X - собственное число М . то -X и X. также являются собственнными чис-влами . причем строение жордановых клеток соответствующих Л. -Л и Л одинаково. Следствием этого является то . что в линейном случав понятия консервативных, обратимых относительно инволюции (%.%) и гамильтоновых систем совпадают, а также то. что наличие чисто мнимых собственных чисел является типичной, устойчиво реализующейся возможностью. В последующих параграфах изучаются только такие поло-• жения равновесия консервативных систем.

Известно, что функция + ¿¿1

после некоторой заменой переменных приводится к виду "ЬГ^)* ("лемма Морса"). В первом параграфе доказывается существование таких морсовских замен координат (т.е. сохраняющих у первого интеграла вид квадратичной формы), которые приводят векторное поле к

нормальной форме Пуанкаро-Дшака любого конечного порядка. Заметим, что наличие первого интеграла накладывает некоторые ограничения на коэффициенты в нормальной форме.

В 82 доказываются некоторые вспомогательные утверждения. Последний раздел этого параграфа посвящен периодическим траекториям (циклам) консервативных векторных полей в случав четырехмерного фазового пространства. Хорошо известно, что из-за наличия первого интеграла у любого такого цикла два мультипликатора всегда равны 1. Произведение д двух остальных мультипликаторов jj1 иfi цикла У . называемых нами в дальнейшем нетривиальными, можно вычислить по формуле

Д = еур J о1>с У Л

D

где цикл У параметризован временем ¿ .Теперь, чтобы определить у, и .надо знать Sp= г- след оператора Флоке цикла У .который можно вычислить, если известен фазовый поток поля У .

Определение 3. Цикл консервативного поля на четырехмерном многообразии назовем:

1)циклом седлового типа.если его нетривиальные мультипликаторы лежат по разные стороны единичного круга;

2) циклом устойчивого (неустойчивого) фокусного типа.если оба его нетривиальных мультипликатора по модулю меньше 1 (больше 1 ).

Циклы седлового и неустойчивого фокусного типа орбитально неустойчивы. Циклы устойчивого фокусного типа орбитально устойчивы, а если их рассматривать как циклы поля.получаемого сужением исходного векторного поля на соответствующую поверхность уровня первого интеграла, то - орбитально асимптотически устойчивы. В последующих параграфах показывается, что наличие асимптотически устойчивых или неустойчивых циклов характерно для четырехмерных консервативных

векторных полей. В этом - основное отличие консервативных систем от гамильтоновых и обратимых.

В 83 даются основные определения.

Определение 4. Пусть векторное поле У в (К 0). Т(о)=о. допускает первый интеграл V . где V Ш - гладкая функция, разложение которой в ряд Тейлора в нуле начинается с невырожденной квадратичной формы. Пусть собственные числа линеаризации этого поля

в 0 равны ±1ро.±'ца).±1±.....где натуральные взаимно

простые числа. 1»>о и при всех % .а %6Г/ .Тогда поле V на-

зывается (р: ч)-резонансным. Говорят.что в системе«уравнений, заданной консервативным полем Т . имеет место резонанс р: ч. если поле является (р:ч)-резонансным. Резонанс называется целым (или антиля-пуновским). если р-1 и субгармоническим, если ч > р> 2.

В соответствии с общими идеями теории особенностей, восходящими к Пуанкаре, мы предполагаем, что исходное векторное поле включено в гладкое однопараметрическое семейство 7£ консервативных векторных полей общего положения в

допускающее гладкое семейство первых интегралов .которое можно считать независящим от малого параметра г и имеющим вид невырожденной квадратичной формы. В последующих параграфах изучаются семейства циклов поля Ус с периодами.близкими к гг/и .к ^«(если ч > 1) и близкими к ^ (если р > .1 >.

При резонансе 1:1 для малых £ через обозначим .инвариантную двумерную поверхность поля вблизи 0 . заполненную циклами, период которых близок к .Два мультипликатора циклов, составляющих поверхность равны 1,два других близки к 1.1. а остальные 2Н мультипликатора близки к аыЫ.

. При резовансах 1:ч,ч>2,для малых £ обозначим через и инвариантные, двумерные поверхности поля вблизи 0. заполненные

циклами.период которых близок к 2Т/ы (долгопериодические циклы) и к (короткопериодические циклы). Два мультипликатора долгоперио-дических (короткопериодических) циклов поля У£ равны 1. два других близки к 1.1 (соответственно к Оу^-*^)). а остальные мультипликатора близки к е?1>(±Я)сы'1 (соответственно к 1 Согласно теореме Ляпунова о центре поверхность М^ при прохождении г через резонансное значение О не бифурцирует и представляет собой гладко зависящий от £ гладкий двумерный диск, расслоенный на циклы векторного поля % (аналогично траекториям вблизи особой точки "центр" на плоскости).

При резонансах р: д. ч>рг 2. для малых £ обозначим через М/ . и м1 инвариантные двумерные поверхности поля % вблизи 0 . заполненные циклами, период которых близок к 2м/ы (сверхдолгопе-риодические циклы), к (дохгопериодические циклы) и к (короткоперидические циклы). Два мультипликатора долгопериодических (короткопериодических) циклов поля Ус равны 1. два других близки к (соответственно к £>), а остальные 2К мультипликатора

близки к (соответственно к е//>(*г^ ¿1).

Поверхности ^ . при прохождении £ через резонансное значение 0 не бифурцируют (согласно теореме Ляпунова о центре) и представляют собой гладко зависящие от I гладкие двумерные диски, расслоенные на циклы векторного поля . Оказывается, что для консервативных полей в общем случае при субгармонических резонансах при всех достаточно малых г поверхность сводится к началу координат (другими словами, она отсутствует). Такое явление также отличает консервативные системы от гамильтоновых и обратимых - в послодних поверхность «И/ может существовать.

Изложим результаты 88 4-9. Здесь мы ограничиваемся рассмотрением четырехмерного фазового пространства.

Пусть (3£1(2г)- комплексные координаты в Первый интеграл (р: ц)-резонансного векторного поля можно привести к одному из следующих двух ВОЗМОЖНЫХ ВИДОВ:

У± = ± /гг/г; ( г± )

Тогда„систему дифференциальных уравнений, соответствующих (р:ч>--резонансному векторному полю, запишем в виде:

I ( 3 )

[ ¿2 = Ц гг * Мг (0« '2,/г+ <?„ ад/Г

где (¡¿у . . 8,- - действительные коэффициенты. -1.2. В уравнении (3) остальные члены нормальной формы порядка р+д. а также члены более высокого порядка считаются отброшенными - это не влияет на общность результатов. Из-за наличия первого интеграла (2) коэффициенты Б^, должны удовлетворять соотношениям:

5 01 =0 < 4± )

верхний знак в этих формулах относитися к случаю интеграла нижний - к случаю интеграла У. . Чтобы рассматривать семейство консервативных векторных полей, достаточно считать, что коэффициенты Оу^.

|> . Ь: зависят от £ . но. по-прежнему, удовлетворяют (4). а член J о

во втором из уравнений (3) надо заменить на .Имен-

но к такому виду приводится семейство векторных полей, если выполнено общее условие транверсального прохождения через резонанс (в диссертации - условие невырожденности .Н1).Другими общими условиями невыровденнсти являются: 1) 0 - условие Н2. и 2) Ь1-Вг^О

- условие НЗ. Именно наличие членов с коэффициентами й, и Ог отличает резонансные консервативные поля от гамильтоновых и обратимых.

Результаты, касающиеся поведения семейств долгопериодических циклов при £=0 в (1: чЬрезонансных векторных полях, qi-2, показаны в таб. I. Под листами понимаются двумерные топологические диски, расслоенные на циклы. Тип режима в случав резонанса 1:2 определяется типом первого интеграла: в случае интеграла VI - режим эллиптический. в случае интеграла Y* - режим гиперболический. Условие невырожденности Н4 в случае резонанса 1:3 заключается в том. что полином

P(S) = i3 + * ъ'м-ъы'м.-*,)

не имеет кратных корней. Если полином РШ имеет один вещественный корень, то режим эллиптический, если три - то гиперболический.

Резонанс количество листов поверхности Mi> класс х'ладкости в 0 выполнение условий невырожденности

1:2 эллипт. режим: 0 гиперб. режим: 2 с° Н2. НЗ

1:3 эллипт. режим: 0 гиперб. режим: 2 с° Н2. НЗ. Н4

l:q. q>4 1 С*'5 Н2. НЗ

Таб. I.

Данные результаты остаются в силе и в случае произвольной четной < > 4) размерности фазового пространства.

В следующей таблице показаны возможные типы долгопериодических циклов при ¿-»(т.е. циклов.составляющих поверхность ) при резонансах 1: ц. чг-2. Здесь и далее приняты следующие сокращения: СТ - седловой тип; УФТ - устойчивый фокусный тип: НФТ - неустойчивый фокусный тип. Дополнительное условие невырожденности Е5 в случае резонанса 1:3 заключается в том. что 1

где У-ъй, - 0 и . С=3

Резонанс Тип долгопериодических циклов ьыполнение условий невырожденности

1:2 гиперб. режим: 0г<.0 - уфт Ог уО - нфт Н2. НЗ

1:3 эллипт. режим: тип циклов опра-3-струей поля У0 Н2, НЗ. Н4. Н5

гиперб. режим: тип циклов опре-3-струей поля Т,,. причем количество листов с циклами седло-вого типа либо 1. либо 2

l:q.q»4 рг<0 - УФТ. Ог>0- НФТ Н2. НЗ

Таб II.

В таб. III показаны типы циклов, заполняющих поверхность для целых резонансов. и поверхности и М* для

субгармонических резонансов. т.е. циклов, лежащих на дяпуновских многообразиях.

Резонанс Тип циклов на поверхностях ^ шполнение условии невырожденности

1:2 На расстоянии порядка «1 на поверхности м\ расположен цикл У« , среди муль-пликаторов которого есть -1. От этого цикла ответвляются додгспериодичес-кие циклы.Короткопериодические циклы на М1 внутри Ч< : УФТ при О^о . НФТ при О^о. а вне Ч*- СТ. В частности, поверхность м1 состоит из циклов СТ. Hl. Н2. НЗ

l:q.q>3 Поверхность <М£ . Ь'-О - УФТ. о^о- НФТ Н2

р: q. q>P>/2 Поверхность м/. Поверхность Mf . Н2

D2t0 _ УФТ DitO- уфх Di>0- НФТ

Таб III.

В §8 исследуется вопрос об устойчивости положения равновесия. V.

В случае интеграла решение этого вопроса известно - первый интеграл является функцией Ляпунова, следовательно,положение равновесия . устойчиво. Поэтому интерес представляет случай интеграла 1С . В

таб. IV показаны в случае этого интеграла критерии устойчивости и неустойчивости. Устойчивое равновесие обозначается знаком © . неустойчивое - О •

Резонанс Устойчивость/ неустойчивость Критерии

1:2 ©

1:3 0 0*>о мш 16(01-&1)+(А*с)г<0

© О^-со V (Л'СУ>0

Р:Ч.Р+Ч* 5 ©

© 0^0

Таб IV.

В §9 изучаются бифуркации многообразий и фазовых портретов в модельных (р: чЬрезонансных системах (системах вида (3). только отброшенные члены считаются отсутствующими).

Резонансу 1:1 полностью посвящен §10. Как и в гамильтоновом и обратимом случаях наличие у линеаризации консервативного векторного поля четырех жордановых клеток (Д ы) (Л ^ является устранимой особенностью, поэтому в качестве условия невырожденности Н1 предполагается наличие у линеаризации двух жордановых клеток IX 1 ¡ы)1 . Тогда первый интеграл (1: 1)-резонансного консервативного векторного поля можно привести к виду Т/*= Я е. (212г) .

Соответствующие дифференциальные уравнения запишем в виде ■

2*= ¿2! * 12г + />2*-/г</г

( 5 )

¿2 = + 02,-12^ ,

где Я . О - действительные коэффициенты; остальные члены нормальной формы третьего порядка и члены болео высоких порядков но существенны для рассматриваемого нами круга вопросов. Если выполняется

условие транвврсального прохождения через резонанс (в диссертации - условие невырожденности Н2).то. чтобы рассмотреть наиболее общий класс семейств, во второе из уравнений (5> надо добавить . а

коэффициенты А и £> считать зависящими от £ . Условия невыровден-сти Н2 и НЗ для резонанса 1:1 заключаются в том. что А*о и 0*о соответственно.

Полученные для резонанса 1:1 результаты таковы. Если А *о ,то поверхность Мс свбдится к началу координат. Если >о . то поверхность Ме обладает в нуле гладкостью класса С1, но не сг . циклы на этих листах УФТ при 0<о . и НФТ при 0*0 . Если А<о. то положение равновесия системы (5) неустойчиво. Если . то положение равновесия системы (5) устойчиво, если 0<о . и неустойчиво, если 0>о.

В заключении автор приносит благодарность своему научному руководителю профессору В.В.Козлову за внимание к работе, за замечания и многочисленные обсуждения.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Дудоладов С. Л. Нормальные формы динамических систем, допускающих первый интеграл.//Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. .мех. -1992. --11.2.-е. 62-66.

2. Дудоладов С.Л.Периодические решения вблизи резонансного равновесия консервативных систем. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем.. мех.-1992.-(в печати). •