Конструктивные методы исследования периодических и многоточечных краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ГАЦИОНАЯЬНДЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКТАШ1М ИНСТИТУТ МАТВМА'ГРКИ

Ня ирявак рукоппсгг

КЕНЖЕБАЕВ Кенжегпли

КОН СТРУКТИВНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАН И Я ПЕРИОДИЧЕСКИХ И МНОГОТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

01.01.02 —дпс^ференцлллмше урАвнсппв

Автореферат диссертации па соискание учоиой степени доктора фпояжо-математипрсиях илу*

Кикв * 1095

Длссор-шшя есть рукопись.

РвЗата вытлиева в Кдавсхт уяиЕврситите на. Tapact Шавлекко, iK.ibiJafKKcjM педагоги feежом института im. Х.Кубадаш,.

Шучшй консулмаят - члан-корреспондент Hi if Украина ■

доктор фиаико-матема.ичвеких höjk, профессор САЦОЙЛЫКО Л.М. .

Офнцнзлышв огагашшж: доктар физико-иагеы д'?аческих ва^к, яро/рессор ГРБШШОй В.А., .

член-корреспондент ЫН РК, . доктор физико'матемгггачаских наук,

. прсфзссор УШШЛНШ Д.У.

доктор фяаюса-мьтемтпггаских наук,' ' ¡фэфессор ХУОАШк)В Д.й.

Ведмцая оргвнкзацая - Санкт-Петербургский государстеаншй ушноретет.

Эагяита дитссвртацт состоится " gt * t.-apva____________.t955 r.

в >5 час- яя заседании спнгшалкзаравяниаго Огч?йтя Л О* .б^.Г’й прт йготитута математики НАН Укрятеч по эдз«;-";: г*Г*Р}?, г.Кяев, ул.Терещетасвокяя, 3.

f? диссертйЦЯзЛ Мотнп ездчкоиятьая ч er.'SMmese тестгг?*е

ipripefepTiT рячогтсп ” " . *v vr’-n f годч.

УчрщЛ '^’кр^терх rWfPW'.WnRp >Я'»Т?ИОГ<’> Oow>

~>ЛЭТК,Л Л-Гг.

Актуальность таїш, Каучно-тешнчеокиЯ іірогреоо адзвал значительный интерес к разработке мнтематичэсю«. методов решения разнообразных конкретных задач. Изучение кногмх задач соврэмен-Еоа іаіашші, фізики, техники связано о исследованием колебательных систем. ПОСЛЭДШЮ три десятилетия ОСОСОИНО Ш1Т6НСИБЫ) проводятся исследования колебательных процессов, р.озииквкщах в системах влактро и радиотехники, робототехники, динамики космических полетов и других разделах современной науки и техники.

Теории колебаний посвящена обширная литература. ОссЬоє ввшвние удвлявтся периодическим рвшеїшкм ОбНКНОЬвШЩХ дифференциальных уравнений, описыващах нэлияейще нолеинния. Хороша известно, что наиболее ввмшш для практики являются гврмони-ческиэ колебагаїя. Оки ввиш прежде всего потому, что многие встречающиеся в природе и техник© колебания с очень хорошим приближением оггипываются синусоидальным законом.

Благодаря успехам многих математиков и механиков создана общие метода исследования задач нежнэйш« колебаний. Здесь следует отметить классические метода Ляпунопа-Пуашмрэ, Пуанка-ре-Еандансона, Крилова-БогалябоЕа-Нитрошлызного. В последние года многих исаводоввталей привлекает конструктивная теория ко* лебаний. Значителышй вклад а создание методов конструктивного анализа периодических колэйателышх систем внесли В.Я.Зубов, Е. А. Гребешков, Ю.А.Рябов, А.И.Оаяойленко, Н.А.Перестс, Н.И.Ронто, А.А.Бойчук, Д.У.Умбетканов, О.Н.Шпманов, В.А.Якубович, Л.Чваари, Ды.Квйл а др. ■

Несмотря на большое количество публикация, некоторцэ вэа йые вопроси конструктивной теории периодических решений вели-иейнн* дифференциальных систем в общей постановке на получили в современной математической литератур; своего решения.Правде все

го, его вощисы здцчстаоиания, отыскания шриодичэсжих решений, вопроси их уптоЗуивости, (^устойчивости и ^таОили^ируемоста для w-nepvj ірдичоскіП1. систзй диффвреяциелі ;шх уравнений, не охваты-каетіх регулирчой или сингулярной теорией возмущения*

Актуальні <VTk иосдадовзнип этих вопросов обусловлена va гаор^тичэт ой и практической взкносіью.

О.заошым оАьелтом чссяедования является задяча об ш-пэриоди-чэекиэ; рог!Р.”.ях -ліст^чи нелинейных дифф^^-пнциалі-ммх урввн?ішй ґа *.

-— = fa,*), f(U4,îi*f(t,.s), X ( К ; fi; .

:л т&квд оСо6іі»ішя на случпй многоточечной крз? вой задачи, ¿одача с5 устойчивости и • •тоЛтллэацил аналоги ншх урекнмтй с периода-2СКГМ j прэглэнием.

Ці гс/г і юм;ледогшніш. Оо.чоыш' результата роботи полудиш с t;o'toJ! * мвтодоя качэстгэт.тй и впачиИГ'чокэ-!» тсорлг олчют энных доЭДэренциэлыгах уррвючай, ютодо veapvu гст/3.-:яиа, теории ФУНКЦИЙ от ШТ|:»Ц И фарКЦИСЯВШМГО ЯНЛЧЭЧ

• Гчучняя новизна результатов ди^с^ртлііитчиїй работа т'-'Л"' в r.JÆny»mi?MÎ

- /.»я перяодич&окой задачи »элдй«-йгои слотам jpvjifnpt нигмип»' Л:япя9Шв разрпботаиы новые вэрипнгч чксленю-гнз.'иїтвчмскзі > методо А.М.СВМОЙЛ9НКО, изучено овя?ь итого метод? С метол- К уерчщииив 1\Р< попа-Ноголк'Зовп-Иитрояолюхсго и »»»толп» F.pyrmr: тп^іртетіч **т:рипл м^нодроиуп лт°йн;'й ги^чн;

-.клі много тчшнт крзчвчх згтч лкн^йікх й я?таппЛччт ср,-т?ч

... з _

дифферйнциалышх уравнений рр.ярзботан navofl н&ри&ции параметра, получены алгоритм! построй мл решения задач и дани оценки скорости юг сходимости;

-продложеи новий СПОСОО ИССЛЕ-,^™'™3 устэГвдвссгн М1Нв1ШХ ОТ-рмодачесюп систем, основаны«! на митодэ интегн;-Функциона>гь~ пнх преобразований и po.itum задаче о стабилизации периодических систем управления.

Теоретически.1! а практическая значимость. Работа носит, г основном, теореттескиЯ xej!Fi4Tt*p. На оснопе применен.!.) метод! вариации napawevi а и мето;.'1 интегрт-функцишвльннх 'г .где о те разработаны новыэ конструктив*™ метода аявлчва слабсмплинайшх я нелинейных нулевых ¡задгч. В теоретическом еопекчч) полученные результата супеотненно углубляют и обогащают соотаетствугаие исследования V, области качественной и эиалкчичиской теории обыкновегошх д'лййренцийлшкх уравнений, а ь psrn случаев оии тсспостттн, мввду отсутствия аналогов. РазряЗот гйные метода могут бить использованы в тех областях лауяи и техники, которые связвш с пр.мевеяием теории нраевих задач (Теория нелинейных колебаний, теория устойчивости движений, теория управления я т. д.). Некоторые лэ яолучэннах результате« приданеш для решения эадачй сТабшш дции периодических систем управления: в качеств« иллюстрации рассмотрена задача стабиливгщии враиатвльинх движений динамически симмвтричиого спутнйкй.

Результата диссертации могут б*< г-ь положены в основу спецкурсов для студент ой и аспирантов fio вспрс эм конструктивной теории нелинейна* .»(йфзрпренциаяьнмх урчяиенкйк

Достоверность результатов. Результата диссертации сформулиро?« ни в виде ленч и теорем, основіше на которых полностью доказанн. Эффективность прсуушгеншк алгоритмов подтверждается примерами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на: III Мевдународной конференции "Дйїференциальннз уравнения" (Руссо, Бодаария,1935); II Международной конференции по дифференциальным уравнениям (Пловдив, Болгария, 199)); ІИ Уральской региональной конференции "ФДУ и их приложения" (Пермь ,Фэврвль,19с&); II Сэввро-Кввказской региональной конференции "ФДУ" (Махачкала,19ЄЙ); VII Всесоюзной конференции "Качественная теории дифференциальных уравнений (Рига, 1989); Рее-туйли^да.той я&учяо-техкиадской конференции "Интегральные ураензям в прикладном моделировании" (Киев, 1983); IX Республиканской молвуэовской научной конференций по математике я механике (А.вдтгн,1999); Украинской конференции "Моделирование й исследована э устойчивости систем" (Киев,1993,'994); Î Украинской конференции "Автоматикв-94-" (Киев,1994); Мвкдуиародной конференции ''Проблема математики V информатики* (Гомель, 19'М); ни семтарвх.: по математической физике и теория нелинейных колебаний (руководитель - академик Ю.І.Митропольский); по дифферчщя-алимм уравнениям (руководитель - члвн-норрептгжяент НШ Украй-нк’ А.М.Самойлеико, Институт математики ШИ Уярданн); по ДИфф?р<ШЦИПЛЫ)НМ yp3RH9WHM НйеВЮСТ'С унИ№фСИТ97П им.їорчев Шевченко (руководитель - профессор Н.Л.Пчрестюк); по функцію-нально-ді!фІ»рр№^алЕ-ним уравнениям (руководитель - проф'Ч'Г'ір

H. Р,Абе.я?я,П<?рмст?пР лапитошг'ї’сг'ПЧ *нпм»тут); но «new» тлз-%іт (рурсюпит?.^ •• Щ'О'Т'ctc?d. «ля -wweото«рє»гг Л*Ч Грузин !' ■»' кивдяузе Ті5”лисч'

Публикации. Основные из г;с.т;;ршнних в циссврмции розулычт.'ов опубликованы в 23 рьбо'гах, 'г.лоок кот ojiar, шшв'дон в чолцэ £.втореф1эратг). ,

Структур* и обьем работ. Д'пеертация холov.i из введения, пятиглав, ьа)июченвл и сггао; i литературы. Ом зодоржкт Í40 атрзгащ мвшшдаютсй’О текста, <к,твчай гийлиогрвф)' юкий опи'.'ск из 200 рвбот,

Основное co.'f рявние рпботн. fío ввело гш ortocHoi? -iia вктупльюст v высрвняого ням .вд'зния т.От^ул ания, ¿км краткий скЗзор ли геррту -ры ПО теме ря у артнщы, ! рЯПЕ'ДеНЗ RHMDÍ »ЦЙЯ ТО.лучнч)«! рЭРУЛЪТЯ -Tön.

Первая ггялй пЬоВяпияа периодической кряекс.й задаче для то теми тлиэдамг гМФ^ретямлытх урпет.анчй игт ’

&г

--— = х&п, (I)

dt

в которой прэдпэ/агойтоя, «то ьу~ тарюдотдскяя ttö t функция f(t,x}~ непрврьИ'яй no tiх и имеет достаточное колттест производи« гго i, непрврыиш* пе t ti t в «^которой области D

O ^ t t,í: -» ( t ( «, t)í| < p) .

В §1.1 развита методика получения ИНТЭГрбЛЬИНХ уравнений, бКШВЧЛвНТЙЙХ 08ДЧЧ0 К.ОПМ, НврИОЯЙ''ПГКОЙ Краевой П9ДПЧ9 для Систем Явлкняйяых диффярэнцйяльннх урчвнвнйй общегл рвдя. По-КЯЭВИО, ЧТО В jnmefMDM случйй Г)Т8 методика позволяет получить форМулу ^"‘Г'Г 0(?щBto р<шкйя линейной неоднородной даф£*]»НЦИ-

- є -

альной системи, формулу для единственного решения периодам с-ксй краевой эадэчи. Доказана следущая

Теореме I. Пусть для нэкоторнх натуральних чисел ш,к выполнено у слои!«

сіеі #^(4,.г; і> О, (¡іІО.к'), {а! « ґ < р).

Тогда задача ой ш-периодвческих решения? г(Ц уравнения (I) рквиваленгнв интегральному уравнении

1 Ы І и

(фад^і,.Г(Ч).3(іг + JVj.ft.rn І8'('і!Ст,.т(т,).№, + )

І щ

—Ф;

О <

!ґ.ї), фрп,з! определяются из ур^вяегегй:

і

Ь*Ігг,...; 9с^іс-о.

В §1.2 при помощи разработанной методики получеш уравнения первого и второго приближений в методе усреднэния Кршюва-Вэго-любова-Митроиольского. В линейном случае из ьтоЯ кв методики слздвт алгоритм построения матрицы монодромим, отличный 'от метода Ерутсша. в отличив от указанных методов здесь строится преобразование новях пространоттшшх пьременннх чврез старые. Приведен приближенный метод интегрирования, обьединявдий в собч йдеи метода А.М.Самойленко и метода преобразований.

В (И-3 рассматривается матричное уравнения 1кпа Риккягд

гда АЦ), Й((), <?(£)> Р(() суть нэпрврнвяиэ <п*я) - матрица, имвтоме пвряод у.

Изложенная в 51*1 йэтодака применена к яселеДован**п однозначной разрешимости п разработка алгоритмов построения и-■пор.чг»-гНИ ккого радения уравнения (2).

Ётадем Н9о|4ходт!мм9 обозначения: а » яаг |Д(0|» Р -■ ЦЯС^Л. б * чйг рОсгЛ-

с»

t

?! - *хг |т)Ъ -г * Иг*!.

ггю) •* - [йП.Ии, а

*>4^. $ .. ,гг(тч#??чЛ пиаритор‘ ФХ - С(Ы)Х - ХР(’±1!).

- а -

Доказал дог пгочии*» признак сушитвования и единственности

■ - Н^рИОДИЧ'-СК'Л ■> рэшэвил уравнения (2) в обляоти

Ь ■■ (г,К: -<о < Г. < ®, Щ 5 р ).

Теорема 2. Прэднжжпм, что вишлненч условия: .

I) Маврины 0¡и), >>(и) не ииеит о<1щих ирактяриотичвских ЧЧСеЛ(

1 - 9 1 з * 1 *

~ 7 (сне)е,гр + - Кй+0 >0ь.'-р + 7&.47 + - 7Са^б>|) Н *

| * чШ < р,

3? - 71а+р?г1ог * тГа*(3(0<>:‘’^ ■» ?7^а.р < 1,

' у

Тогда урлрнмшв <2) икает в оЛласгя Р вдш»с’г1;«ио1» и-пэрис-

.С'>Ч'?Г(СОа рГ'К.пиич, СГфеД0ЛЯ6Ч!С№ Ь ГППг'ЩЬ» сходяшегссй Е В ктерр-

ш:ср»ог з ’ГОСцо-гге:

| [ ^[л<0 )Х^(о }П>(0)В1в) )С}Га }*Р{с1 ¡ул^Р'-ъУьС-.

От- '

О

В ьгт пвриграфэ основное вшюшяш уделяется конструировании вычислительных аналитических алгоритмов, вопросам сходамос-ти и оценкам отклонения точного решения от его приближений.' Эти оценки виражайся через коэффициента исходного уравнения.

Во второй главе изложены метода отыскания периодических решений линяИных и слабо нелинейных систем дифференциальных уравнений, основаним« йа янтегро-диффврвнцяальных преобразованиях. 0 {2.1 рассмотрена «елянейнпй дифференциальная система

(¡X -

— « f(t.x), ХіШп, (3)

dz

ГД9 ‘

/ í 0[°'ягі й / - апериодическая tío í.

Предполагается, что выполнено условие

f0(t,x) • О, t0(t,s) - f(t.t) - f(tt0),

где черта сверху означает усреднение по явно ¡зходящему врамэ-ЙЯ t € (0,<d].

Краевая збдма для (3) о омгарюдаюсйй* условием сведена и эквивалентному интегральному уравнения

ь> t і t

r rr eg(a,y(^j)

Jgf'Wj/ft.Udfr * jd% J --------——- в(ііУСі)№ -

o 0 0

ü u . (4)

г, r 88(0,y(-V) t . .

- dt-------------------gft.yftjJdcJ,

J J dy

f t

где функция g(t,y) получена й явном вида на основе функции

- Й0ол‘>;и-я рвзрвямость уравнения (4) с ломощыз применэния теории 1№яп\1щ:; ^ужций, принципа сжатых отобрэяэний, получены консгрукткч№* условия существования и елкштгввннобти ш - периодической рокния сиз1«мы (3). Дан итвреии<«вдй алгоритм построения ото!?- [-чтения.

Б |2. Й йг-зледойана йздвча о тгерйодлческиг решениях пиггемм

вида

Тогда о! - периодическое -тто системы (3) существует и единственно и монет быть представлено как предел равномерно сходящейся последовательности ы - периодических функций, делязмих рекуррентными интегральными соотношениями

сМ

(5)

Где / £ и удовлетворяет Г-условии Липшиц..

Теории* 3. Пусть 8ШЮЛН9НВ условия: гЗе\ В(ы) * О,

* 7сж/(а^£.1 * 7< 1.

(6)

•Г,,, ;х7[вК,тлГт^/Г'1,л:||1_,Г'1л]«Зт-;В_'гчо|/(':.11.Гт I >'*т,

О О

■ Рг-1, !7)

О

а = тгх. , г с |0"'^)!1. та ■ О,

+.

сс, » ~в~4ь>) |/гс,ОМI,

В-'(и>]Л?<1) а(зг

о

и

~В"'('и},)|.4Га )Ю, •*

Показано, что скорость сходимости аЛгоригмз (М г^чкмрй-Ьувтся неравенством ■ ' '

В (Я) йринятц обозначений

<?, ж~ и,‘г ’ Г 4 + 92 *

®» “ Я-**1 *1 ,г{^0 •

в, « - 7агЪг77йл1, 7„= - та1</. В * 2 .

В §2.3 для исследования задачи о перясдалесжих решают система вида (5)с, условием

В(и) -0 (9)

К’зпсльровяиа лдаЯнвя измена пчремчшпяг

.т = (ехр В(1))у.

По.яучрцчпя система

,, да ¡у 4 ли. й* ь

И2СЛ9дуется !'й ПС.ГОВР МвГ'ДГОт. рЗЯрэЗоТВНТЮЙ В Предадут"*" ТП-ПИ'Р'афе. ПГ* »"‘•ЭЧ М5ТГ11ЦЯ £?({,' Гр-"Г»1*«'?!»Ч уСЛ*!!»*»

и’

|т гД1Г г! О, (НП

п

)

¡зги = |п еасГ-\)Р'П)140

о

грг 1,у; - ехр(~ва))/(Ь,ехр 8Ц]у)>

с?вг

(.4 - Р1 /№ - 8/) .

- ІЗ -

Эти результати оформулировааа в виде тьсрмм, ы1&.пс>гцчной теореме 3.

В втом «а параі’рафї на основе разрабогякнога немдв исолэ-дуется задача о периодических решениях литйнйй сиагеми шдн

йх ,

-----=»ЛИ,'* + /ГО. (П)

т

подчиненной условиям (9), (10).

Получены КО8Ф1ИЦИ9Я7НЫ0 УСЛОВИЙ СУЩвСТ.вС6йнМк И Р^М(Н'ТЦЙ.«-

1 , , '

вости ш-периодаческого решения еистеш (11 ) М ДНИ КОИсІруКІ^Й-ЯнЙ метод отыскания этого решения.

В §2.4 Катод Преобразований применим к ісс.і;ец.?нп?0іи пвци&- > дячаских решёнмй систем вида (5), (11 > в аі^Чпй, ккг.ч^ зчпй.ічіі*~ „ йо условие (9) я условия 1

■ ай < /* <іеЬ $(ь}) ¿Оі

РДб ш

ФШ) * - ^В(і)А(і){$ - ятг'аі .■

б

Третья главя посвящена Исследованию вопрос >> с.ущ$ст,чопчИА?і И ЄДЙНГ?РЄЙНОСТЙ, а также резря^огке АЛГОРИТМОМ ПйсТ^оеніїй !Н~ рйбДОМРСКИХ реййітий лвдчйшх и гл»6о «злинай»!*, 'Истей & Й»р*- , Й9ЙЯНЛ Й.ЯуЧ&ДЖ,

б $3. < ПоЛучеш/ ИМвктййда йроверяеМйе усАорії;! суг^с^егУягт« й 9Дияг‘тебкнобгй ^-шрйодачвекого рвения с?йгнр.ми <11 > с л?фі-№ётроМ X Ігри А[і) в блУчае, ютг.дэ аіПгі.’Ш&'ю поломі® \<і\ я условий

(0

т |р<*х)ііі * о, (і?)

о

где

Pit) п

leopeuB 4. Щоть выполнены условия (9), (12). Тогда при О < |.к| < 1/С| W - гориодическов решение системы

с!х

-----* U(t)x f f(t)

lit

существует и едиь ;гввото. Это решение представлено в виде

to

/ f r-.i.

ffft,).) * * т^ги f *• + у Леси,

JUO

где w- 11“ ртОДГЧЙСКИв фуКК'ЯИ x. , !=*~P,-f ,0,1,2,. . . гфЮЧКГГЯНО С!ф?,Д0ЛЯ1СТСЯ не основа рекуррадтим интегральных if' сттчнп»; зчмсь

- w

(/ .. ^ у,«'’w7 ( 7,3 ( ? М I. Р (W * |ж.)с1т.Ь

О

В YJ.S нолучвт условия однсйяачнов разрвммостя и дано яня-ЛИТИЧвСКОВ Представление Ы - ПврКОДИЧЧС’ЮГЙ реИАЧИЯ M9Tpffm?rt AKffriр -ищив.чьрого уравнения «

-----* U(t)XK + F(t), ЯЗ

dt

гд5 Л,Р - • w - пэриодаааскив (п«п; - катриим, К - поет?.*»т« > ншрицч, к - скалярный параметр.

Т^орама 5. Пусть выполнено усотие (6) и условие (let К и О.

Icrrn п очр“с»ногтя

О < |Ч < ~-.rU; .

•уа'пыг

и) - периодическая рашвш.) урвшыия (13) суиёмвцэт и единотв&шю. Это рэпюниэ представимо в вида

И

XI х п) + Т '

н.~о

где 1-0,1 .В,... ыпв риодлесккв ывгрицц, и'рвдвлячкые'юа

естественный се разом. • ,

В §3.3 по,-учены вф^жтивко Проверяем!« уамвчн сущветиоЕянйя й еданстввткг’и «-периодического решения систем« (5).

Теореив 6. ПуеН ПЙПОЛ!№НЫ условия 1,9), (V,?) )!

? < К —-—>® « р • (1

I - Г}

Тогда й области

I) * £ < |/| < *>, |.г| < р)

у •* дарябдачЭск з9 решите мютбми (5) существует й лдяногвеняо й чо*®* Оить проДстявлена как преД&Л равномерно йходящейпя 1то(;.!1едо^ятв.пы>0-тП!» сятрчлвляемой алгоритмом

«о

■г tt) ¡=

. о

1г^ гт; * /гг,* Гт.).)

к- I *

г|Т -

(15)

« (а

¡> *-1

Р См) I 8С1:.Н’(Ч*^ Гт!.|г^ + Р Гм1 /<Ч,т (Х).!г1с, Л *_» I А

О д

л - г, д,**. ,

- Iß

гдд яачалышг приближения хр, xf конструктив? >о определяются ЙЗ ОООТЖЛШ.ЧСЯ 1ЙЛ0 (15) ПрШШТН ОІЇОЗНІ.Ч9НИЧЇ

V 1 г(и0) *•

г э

5 =» 3 í,0 w * j 7,« I и + j 7,а L и í ■}tl ú,

. 2 1. ¿

*ощ + 9 Tfa *o'J 4

rV.)jPfoJtíb,

O <£ а < t , u,

АЛгсрнтм (15) основан яа неявно;. внчнплиТвльноЯ схеме.

чзть прилягання « явном вида

W

В S3.4 изложен модифицированные алгоритм, позволяющий полу-[я « явном вида

W

f Ви,Ч)ШХ)я (Г) + f(t,J (t. (Men -

і I * J ае>

tl) h!

~~r r r

P fwj SftJ/ft.r (tj.icft a F fu)> I f(t,T (x))rft,

J fe-; і k

X (t) к♦ (

fe -

їде

x0 --- r'(b!)jf(x,omf

Ы ,

*,(*) -1 ва,т)А(ч)*0 т - ? си; ]" ягг;/гт,<шт + о и о

+ Р М | /(х,х0)(П .

о .

Доказано, что при выполнения условий теорехи б, построенная последовательность сходится равномерно относи-

тельно ((в! им - периодическому рвочгаш x(t) систем* (5). При ято* справедлива оцчякЯ

|г - ¿VI < —я Г р в ♦ р гО + Й ) *■ р (Ь 4 Ъ + 0.) 1,

в в 1-а »■ 1 л-1 2 »-а к-) з л-э , к-г к-1-1

1 3 3

р я -------- у а ы + ^ Г Щ(

» 3 ' 1

f * р„ 7 в Ь» ,

г ? '

} г э р , 7 в Ь ы .

з г ' .

В четвертой глв-ве рассматривается Крйевяя зялатч

<и

------- * A(t)X + ?(Х) , ЛГ<В?\ (17)

<к

£ »,*<4^ » О, СМ,<^=-м, (1В)

|>»

гяе т, / - вектора п - мерного пространства К"*,

ла.1, *, - ведественннэ квадратные мвтрицн порядка п; Я^стШ.

Вводится йспомогательнвя краевая задача с параметром вц *

' ■ (19)

*

£ * °-<»0

где '

чта,к) » иш + 1па,\), т*о,1,г..............

1ла,к) - ~ита,*.фп*' (1,ц)[ла),ртп)]ип(1,11)ф Ъ?п,к),

о

1 t t

Р0П) = ]а(%№, , Рг+/г; - |[А(ч),Рг(*)ух, г*0,1,

о о

матрица и а,к), и. (0,\)=Е, ямявтся фундаментальной матрицей

1Л п *

для урчвкеиия (19) И определяете» кай репеш» эпяачя

ВЗ V

— * Р(1,\)Ё, 8П,0) - е,

б\ * •

»

Рмс^А>^Г \kP}г(t)^ Х.?К( Ё - «данячняя матрйЦа. ь**о

[•»■]" знэк коммутатора матриц. .

В пррдгго/окейда, что для язксторого '-а/иго 0 > О &тс.ттт

УСЛСВЯР .

г?р? К, ? О,

к

•

лолушно &КЕЯВаЛ9НТН09 ЭЯДВЧ9 (17), (19) ИЯТ9ГрПЛЬН09 урзтЗТСИ'.!

* t

1(1)=- ип(и1)Ит'У 1Г,ит(Ч(л;| и~,(1,1)1пм,1)х{'(№ 4^1'),

’ и» «, ' (20)

где ' ' I

* 1

<К(Х) “

■ \*1 1{

В ¡4.1 получэин аффективные достатс’илга условия однознзчясЯ рвзрешимости задачи (17),(18), а гакм шриорнче оценки р*г«ч тя. Разработан и исследован приблтэнныП метод тгостроечия решения, приредевд его модификации, УДобННЙ ДЛЯ 1ТраКТЯЧеСкЬгг> применения.

Доказана

Теорема 7. Пусть дня некоторого целого т вшюдивпы услошм Н * О, ий Н е:гр(?р ) < т2.

Я1 Л Щ ' 1*т

Тогда задача (17), (18) однозначно рйзрешпма и для рччгэиия т*г(() задачи пмэет место оценка

. ехр(г?щ)

,г|с < ----------------

< - Я ,

ГДй

1

д е------(,„3 & ехр(2Р ) .

т? п п п

б ~ б(и (1,1)1 - СОПЯ!",

’К Т7

*' m£K'

h - mat I /a; |.

В аналогичном щіанч рассматривается задача для уравнешя (17) о функциональным условием

• w .

j[et(x)]x(i) * О, (2Î )

О

где - (гы.,)-матрица, &лемвнты которой суть функции

Ограниченной вариации.

В §4.2 указанный выше подход применен к всследовайим квазй-яшмййой системы

/ dx

------ = A(t)t + g(t,x) , Х(№п, (Йй)

ai

t Kpmmomt условиями ()S},(21).

■ Пусть функция g(tiS) (g(t,0)s0) Определена и непрчрччйй S '

0 .< i « w, |i| « p )

* t'Hoinc îfiopWT относительно t - услййіііо ЛШшща,

ОЗозт'ачіпі через Xft J фундамекталь^у* матрицу урартн«*

сіх

------- Â{t).r .

rit.

Iov;i3 aim ся? ду

Теорема в. Пусть в) d9t fl(w) * О;

б) ня to.w] оущчотвует производная cJSft) _

dt ’

1 „ •

F ) рддашш * » afrfßw I удовлетворяет нерякеистрям

2

1 „

» < 1, - airyßorf? i (1~t)o,

г *

Г'ДЗ

lö

flrw.1 = JcnfT)X(t), а * mar | iff.) J,

0

b -• rnr |.r'(t,4 , h = чаг Igit.OîJ,

« * *

■ ti^f t ) | .

p - öup j—-------X(t)\, 7 - |B' ('i'.)| -

t * dt *

Тсгдо сув.аствудт 0ДШ1СТБЯПИО° В 0, рольни«3 ,Т~Т( t ) ЙЧЛ?Ч1!

u:i), (22).

В Ü1.3 ручается задача для урзетнич (1Т) с крч°гам уст?-

(П!-?Ч

*,т(0)*ПçX(t,y) = 0. (23)

ц-.клг'П--', m ltjttf внполя«тги уплсвгя ,

V

с^И /- 0 ( В(’О) =- [¿п.Ит },

кррвраа задача (17),(23) эквивалентна интегральному уравнению и ы

где

9П,%)

О О

%

' * '

©-' £ Н) 1к^А(о)<к})] , О < 1 * 1 « и,

О

ш

-Ф~'£ Мг*М^А(а)Оэ)], < ич

ш,1) - ъа ч &й/&\ + ажи, ф ~и^мР+иРв(и) .

и%ч ш ш)Г~гт~г

Ж*8с>* М9С¥0

^Гёореиа в. При выполнении условий

и

<Ы ® * О, тах Ькгмл*: < 1

ОШш 1

0«^<ш

, I' ' 0 '

решение аадачи (17), (23) существует и единственно.

Алл квйащшнейногй уравнения (22) с краевым условием (23) Ьрй fвi *8 ограничениях нй функцию g(t^x), что й в Й-2, доказана

♦еорема №. Пусть выполнены условия: ’

(Ш «/О,' сигр < I.

Тогда ревэяив задачи (22), <23) существует и единственно; д/ш втого рвадния справедлива оценка

ЯЯ9С* М

а » mz \\K(t,x)ldxt Oit<w J

О

ft = йог lg(t,0)\.

K OÇtiw

Получены ДОСТаТОЧНН9 К03фрйШ9НТПН? условия ОДНОЗНЕтСЙ разрешимости и априорные оценки реиетшй рассматриваемой задч-iv

В РЧВЛТГИ’ШИХ ГГрИВ9Д?ППГ"у Щ-19ДП0Л0ЖЧЯИЯХ.

В J4.4 рассматргв?птся краевая задача для тфЕярэшшалг-вше урчрнзттй

dr ■

— - V(t)x + Q(t)ü * f(t),

(It

(24)

dx

.----- ’ R(t)x + S(t)y f g('U.

cft

T(O) = 1(4), M,l/(0) * tsy(w) = 0 (2Б)

ma F, G, Я, S -- матрицы ссотвчгстваипг) размерностей ( к *■ к). (ft » я), ( m « iî), ( щ » m), х, f - il -векторч, y, g - т-в°и-Т'зрн; ï,, U9 - вещостватше псстояншо f n « n)- матрячн, nrn-ч»м det f *f+ f> o. ■

Конструктивный анализ ратаний задачи (24),(£?) проводится с ircwombp мчтода палого параметра. Кивадвно соотзатствущр? рч-втталччтлое интзградшоа урчтанда. Рэшетгч строит--л в виде ря-гз, солпржаиюс далнч гтрицательныа стяпавл пэрамчтра. получи достэючтся корффицячшннэ условия однозпзчпсй рчярчвииостя и 1М1аики рчцчния звлччч, ч таккэ оценки, тарактершуготтч скорость стешмеети алгоритм.?. Изучат тк^орет ¡:трук:ур>*>гч скЛ^-гв*

р^ТОГГИЛ.

В и.'5 ртг'агрирпгчся вра^вая затэча для ¡связ’>--

u г

р * иш f|(3(f ,-т>Ит,

Oit I('J) J

О

ЛИШІНОІ СИ0Т8МН

Сіх

---- - Р(і)х * Я(і)у + ї(І,Х,у),

йі (26)

<Ц/

---- - Нґї + 8(і)у + в(і,х,у),

■ аі

а нраевшяі условиями (25).

Разработан алгоритм построения решения. С помощью этого алгоритма решение строится в виде равномерно сходящейся послэ-дователъности функций, удовлетворящих краевым условиям

(?.5). Получены достаточные ковфрициентные условия однозначной разрешимости, оценки решения, характеризуете скороогь сходимости алгоритма. В качестве Непосредственного применения полученных результатов рассмотрена линейнвя краевая задача, возникающая в теории автоматического управления.

Завершающая пятая глава посвящена исследованию вопроса устойчивости линейных периодических систем й решению на Ьойовэ полученных результатов аадачя стабилизации периодических систем управления.

В §5.1 данн конструктивные достаточные условия асймптоткчэ-ской устойчивости лийайных «еряодических систем вида

СІГ

— = Аіїіх, іе*п , (2?)

бі

('слученные на основе методов, развитых в Главах 1,4.

Наряду о системой (27) рассматриваются система о параметром

ах

— - *. А(і)Х, Х(0,Х) « Е,

/ХГ

* тлд. х(1*о) * г,

(Л

|ДО

с» Г

Р(<д; » £ * гаа> - | леи и» ,.

Ь*0 0

г

Рг(*) * ^(А(х},Рг ^('1)]бх, Р* 1,?,^.}

О , '

К - единичная матрица. ’

Теореив II. Пусть выполнит /слог-ям

^•хрГРрСю^Л < Н етр(-аа) (в > О),

1

Я е.тр (- ^ (а - У|Р(и,ц; - Р0(Ч)|]ф •' г.

О

ГД9 9,0 - некотортв ПОЛСЖИТв ЛЬЙНв постоянны«».

Тогда система (2Т) асимптотически устойчива.

Эффективно проверяете достятсчкне условия йсгмптотичэскс:* устойчивости дает

Теорема Г2. Пусть выполяены условия

О * КЕ - В(и>;Г'| <- », 1

и л

г т; | <1т /•

о » ~-

у 1-0

Тогда система (27) асимптотически устойчива.

В |5.2 на основа результатов, изложенных в предыдущем параграфе, получены аффективно проверяемые достаточные условия стабилизируемости и построены стабилизирующие уравнения непрерывного типа в линейной периодической системе управления

= [л0а) + е + агои , (28)

и г

где Н,'х,и) е К • К * К, Л0, В, Я - цьпериодачбскиэ матрицы соответствующих размерностей, в -скалярный параметр.

Стабилизирующие управления строятся по принципу линейной обратной связи

и е С(г)х (29)

где са) - ы- периодическая (г«п)-матрица.

Предполагается, Что нормированная при 1-0 (^Ндамеш’мь-ная матрица ранений Ф(10 однородной систзми

— - ,0н»

ььйерйодичйскяя.

Теорема 13. Пусть вмюлнчш условия № Я й о.

ы <

1 + ¿-пг~'

-щ-

гдя к - вевдотвэншй параметр* 0 < к ? \0.

Топи» систему (29) можчо сд9лят?з шлш+птачпскп устойтйрой Гут0« В (29) МЗТрК!^ <■’ Р РИЛ?

г т - т і

оа) -1-я а) ч ах * вР) * ра) ] ф ги,

Здесь

Т

И * я Г? , а = таг |Р(и ~ К(И ■¥ Г |, ц * таг | ЛГГЇ)М I, і *

•і)

Я - ф-' д, Р » Ф'ГВФ, | ЙГ-ирСсМт - О,

О

г

(•) - операция транспонирования матриц.

В §5.3 решается задача стабилизации вравдтольных движения динамически симметричного спутника посредством управлявших моментов непрерывного типа. Эта задача рассматривается как задочч линейного синтеза. На основэ методики, разработанной в §5.2, построены стабилизиругщла управления различной структуры. В неко-торнх ситуациях получены то'пгае решения рассматриваемой задачи.

Автор считает своїм пряятннч долгом яскренпо выразить глубокую благодэрность няутннм консультантам члену-корреспондеп-ту ИАН Укрття, доктору ©етико-математических наук, профессору

A.М.Сямейл«нку и доктору фп?ико-матчмзтическит наук, профессору

B.Н.Чаптйнокочу зп постоянное ЕПимение к рпбога, ценчч« советн

Р. ПОЛ«ЯННЯ обсуждения. 1

Содержание диссертации отракено в следующих основных публикациях:

1. Кинжебаев К. О рошепии одяоА периодической краевой задачи // Приближенные методы исследсьания нелинейные колебаний. -Киев, 1083. 'С. 76-76.

Z. Кендебаев К. К вопросу о решениях выроаден^ых краевых задач // Иэв. ЛН Ка&СОР. Сер. физ. -мат. науки. -1984, N б.-С. 73-77.

а КйнжеОйев К. О существовании,единственности И оценках решения многоточечной краевой ¡задачи для системы обыкновенны* дифференциальных уравнений.-Киев, 1984.-1Е с,-Деп. в УкрНИИН-ТИ S9. 04. 84 N 780 Ук- 84.

4. Конлрбаов К К вопросу о решениях квапшкнейных краевых задач с несвязанными (сраевыми условиями // Укр. мат. Журн. - 1984. -36. -N 4. -С. Г'4-77б.

t. Кенжебаев К. ОС одном алгоритме решения многоточечных краевых аадач // Шт. физика и нелинейная механика.-1985. -Вып.-У /37/. -0.14-17*.

5. КенкйСаев К. Построений решения одной кт.чевой задачи оптимального управления // И! Урал.регион.конф."ФДУ и их прило яения", Пермь,i-Б $*?вр. 1938 Г. :Теэ. докл. -Пэрмь.,1988. -0.170.

7. Кенжебаев К. О решении одной функциональной вадячи // Вг.всо-го. кояф. "Теория и числение методы реиепия краевых яэдач дифференциальны* уравнений'*: Тез. рогл. - Рига, 198S.-С. 73.

Я Кенжебаеп К Конструктивней метод отискачия периодических реггений сза&о не линей»!« СИС5Р« ДИфсК'рлНШ'Ч.РЬЙКХ уравнеяя" // 1Гокч. т Укпчт. ~Ш4. -N и. -с. 7-1»?.

о. геидрбэеп И. К методу преобразований í імасі [уктітюй tpcpnl периодически': репг?ний систем дифферентам! ішх уравнении Докл. АН Украины. -10Э5. - N 5. -0. 11-14.

10. Кенжебаов К. Об píihom подходе! к отысканию гк-ришигчетгик решений выротаенных систем дтЭДчренцишп них уравнений // Vine-риалы междунар. конф. "Проблем мзтежттаї я информатики"; ■ Гомель,19-22 аир. 1994 г.: Тев. покя. -Гог. пі., 193А. -0. 97.

і 1. Кенжвбзев И Об одном методе кйнетруктл&нпй теорий периогн чесіслх реиеш«! нелинеПпых систем дйффер^нтга.теннх ураврегм» /У Докл. НАН РК. -1995. - N 1. *С. P3-F8. ’

1?, Кенжебаев К. О построении периодически.* решений Вїірсждеярмт

’ * систем дифференциальных уравнений // Третії. НАН FK. -1Ш5.

-N 1. -О. 17-Р1.

1?. Кенжебаев R. 05 одном конструктивном методе отекания периодических рестэний дифференциал*них систем // Укп. мат. *?Т'*ь 1095.-47.-N 4.-0.

14. Кенжебаев IL ,Лаптинский В. Н. ,ПамоПлеііісо А. М. Кяиплеісснсе it: следование периодических систем дифференциальных ур?внеімЛ. Киев, 1995.-60 с. -([Треп р. /НАН Укракям Нн-т математики; PS.1) 16. FecntoB С. R .Кен.гзебаев К. .Пугин ЕВ. О построении периоли ческих pem°s!vrt квазилинейных систем днФФерениичлъных уравнения // Тр. 111 Мэждупер. конф.: "Лифф?'ряиш'-гчьнне урани^нии и их 1?риу?йрчия", Ту с. со, ТЗт’гпрня.-АЯ8Б, -Т. І.-Р. ! 145.

16 Сачэйлевко А. М. , Кечлеба^й Н.. Яыгтмчскл# В. Я (*5 овном метод*» построения регенті многптсчеччнх кра°чмч .?r'ím ■'/ Ткікл. AI! угг’р. сер. л. - !Г)«Я - п д. ■ с. jo-1X

- зо -

i 7. Самсйлені« A. U , Кетебаеь Я , Лантииский ЕЯ О некоторых итерационных методах отыскания периодических решений неаъто-иомяых систем дифференциал!ных уравнений // Укр. мат. журн. -1984. -36. -N а - С. £¡4(5-352.

16. СамоЙленко А. М. ,Ямюебаев К .Лаптинский 3. Я Исследование периодической краевой задачи для нелинейны* систем ди44»рен-циа«ьних уравнений. - Киев, 1С90. -28 с. -(Лреп;>. /АН УССР. Ин-f математики; 90. Jit).

IS. СамоЙленко A. М., Кен» баев Я .Лаптинский Я Я Итерационные мео/;ы построения {«шений многоточечны* краевых задач.-Киев, 1990. " 31 с.-( Пі«лр./АН УССР. Ин-т математик«; 90.62).

20. СамоЙленко А. М., Кеилгбаев Я , Лаптинский В. 11. Об одном подходе отыскания периодических решений систем дифференциальных уравнений // Тр. Мевдунар. гонф. .* "Дифференциальные уравнений

, И их приложения", Ашгабат, 11-14 мая 1993. -С. 66-89.

?1.Самойлекко А. И .Кенхебаеь Я .Лаптинский В. Я О стабилизации вращательных движений динамически симмг гричного спутники // I Укр. конф. "Автоттина-04''.-Киев, 1S94.-С. 37Б.

22.СамойленКо А.М. .Кенжебаеіі Я,Лаптинский ЕЯ Об одном Конструктивном методе отысканий периодических решений нелинейных дифференциальных систем // Междуиар. конф. по нелинейным коле баниям. ПяоВдив, 18-2? августа 1994 г. : Тез. доил. -Шов-

див. 1994. -0.192.

СЗ. СамоЙленко А. М. , Кенжеба-їв Я .Лаптинский Б. Я Некоторое »'инструктивные методы аяатаза периоиімесстіх нелинейны* систем дифференциальных уравнений. -Киев,І394. 10 г.-flîpenp./НАН Украины Ин-т мчтематикй; 94. ?Л). '

КвнмСаев К. Конструктивные метода исследования периодических и мзюготочо'шых краевых задач. Дчссерглция на оопск; ученой степени доктора іїизпхо-матгматітсаских нагл по гакциальпости 01.01.02 - диМпрештальнип уравнения. Институт математики 1ГАН Україта, Киев, 1995. Защитится 23 научнш работы. В гаи приводятся теоретические исследовав л конструктивной творит периодических решений систем дпіфе ^нчгалышх уравио т,ш, разработаны новые методы конструктивное) анализа »шшоггт краевые задач, исследованы задати об устойчивости и стабилизации пвриодичвгжнх систем управления,

КещеЬает К. Constructive methods of research of periodic and multipoint boundary-value problem.').

Doctor of Science thesis (Physics and Mathematics), specJsJl^e tion - differential equations. Institute of Mathematics, HAS of Ukraine, Kyiv, 1994.

23 scientific papers containing theoretical researches of cor.Gl-ructl7e theory of periodic solutions of systems of differentia] equations are defended. New methods of constructive analysis ol nonlinear boundary-7alue problens are developed. Stability nnii stabilization problerna of periodic control systems are invest їда-ted.

Клотєша слова:

даіференцил.лі>нне уравнения, периодические репения, птррятютшч cxnfw, асимптотическая устой'отрость. /

у