Контрастные структуры типа ступеньки в системах сингулярно возмущенных уравнений

Мельникова, Алина Александровна

Контрастные структуры типа ступеньки в системах сингулярно возмущенных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Мельникова, Алина Александровна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Контрастные структуры типа ступеньки в системах сингулярно возмущенных уравнений»

Автореферат диссертации на тему "Контрастные структуры типа ступеньки в системах сингулярно возмущенных уравнений"

На правах рукописи

МЕЛЬНИКОВА Алина Александровна

КОНТРАСТНЫЕ СТРУКТУРЫ ТИПА СТУПЕНЬКИ В СИСТЕМАХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 "4 I ;0Я 2013

Москва - 2013

005537987

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Научный руководитель: Бутузов Валентин Федорович

Официальные оппоненты: Нестеров Андрей Владимирович

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

Защита состоится 12 декабря 2013 г. в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д -501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова но адресу:

119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, дом 1, стр. 2, физический факультет, СФА.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан « » 20^1 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.002.10 доктор физико-математических наук.

доктор физико-математических наук, профессор

доктор физико-математических наук, профессор Московского городского педагогического университета Денисов Игорь Васильевич доктор физико-математических наук, профессор Тульского государственного педагогического университета им. Л.Н.Толстого

высшего профессионального образования образовательное учреждение «Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова»

профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В настоящей работе исследуется ряд краевых и начально-краевых :задач для систем сингулярно возмущенных уравнении с разными степенями малого параметра.

Актуальность темы

Нелинейные системы дифференциальных уравнений используются при моделировании процессов в химической кинетике, экологии, физике сверхпроводников, космической электродинамике, нейрофизиологом, задачах тепло и массонереноса и в других областях.

Разные пространственные и временные масштабы изменения компонент системы, а также учет малых факторов, существенно влияющих на процесс, приводят к появлению в уравнениях, описывающих процесс, малых параметров. Соответствующие слагаемые, содержащие малые параметры, называются возмущением системы.

Задача, решение которой нельзя равномерно приблизить решением соответствующей задачи без возмущения, называется сингулярно возмущенной.

К такому классу задач относятся дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр при старшей производной. Систематическое развитие теории сингулярных возмущений началось с классических работ А.Н. Тихонова [1|—[3]. Наиболее известными методами теории являются метод пограничных функций [4]. метод ВКБ [5] и метод сращивания [0].

Метод пограничных функций был разработан A.B. Васильевой и В.Ф. Бутузовым (см.[4]) и позволяет находить и обосновывать равномерные асимптотические разложения решений в ряды но степеням малого параметра. Коэффициенты этих рядов зависят как от исходных, так и от растянутых (ногранслойных) переменных. В дальнейшем область применения метода была расширена па задачи с внутренними переходными слоями -- так называемыми контрастными структурами. Для обоснования асимптотики таких решений H.H. Нефедов предложил асимптотический метод дифференциальных неравенств, основанный на теоремах сравнения для эллиптических и параболических задач и использующий предварительно построенную формальную асимптотику [7].

Представляемая диссертация посвящена исследованию вопросов существования и асимптотики контрастных структур тина ступеньки (КСТС).

Рассматриваемые в диссертации типы уравнений в приложениях носят название уравнений «реакция -диффузия» п описывают химические процессы, в том числе горение, биологические процессы, активные среды. В квантовой физике системы параболического типа используются в теории сверхпроводников. Волновую функцию в виде барьера можно рассматривать как решение с двумя внутренними переходными слоями, и решать уравнения с малым параметром асимптотическими методами.

К нестационарным контрастным структурам относятся волны переключения в активных средах, например фронт горения или волна концентрации в химической реакции. Асимптотический анализ актуален и при рассмотрении волн возбуждения в активных средах. Волны такого типа возникают в нервном волокне, в сердечной мышце, при свертывании кро-ви.Для моделирования волн возбуждения часто используется система двух нелинейных параболических уравнений типа ФнтцХыо-Нагумо [8] с различными модификациями, в том числе с малым параметром при старшей производной [9].

Контрастные структуры встречаются при изучении вопросов морфогенеза. Типичным пример служит полосатая окраска шкур животных. Известный специалист в области математический биологии Дж. Мюррей использует для моделирования процесса формирования окраса систему «реакция диффузия» [10].

Цель работы

1. Для некоторых классов систем сингулярно возмущенных (с.в.) уравнений (обыкновенных, эллиптических и параболических) определить условия, при которых в рассматриваемых системах существуют решения с внутренним переходным слоем (контрастные структуры).

2. Разработать алгоритм построения асимптотических разложений КСТС для рассматриваемых типов систем нелинейных дифференциальных уравнений с разными степенями малого параметра при старших производных, позволяющий определить локализацию (расположение) внутреннего иереходного слоя.

3. Доказать существование решений, обладающих построенной асимптотикой.

Научная новизна

1. На основе метода пограничных функций (с соответствующей модификацией) построены асимптотические разложения решений с внутренними слоями для нескольких новых типов с.в. задач:

- краевая задача для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на отрезке.

- краевая задача для системы эллиптических уравнений в двумерной области,

- начально-краевая задача для системы параболических уравнений в одномерном по пространственной переменной случае.

2. Для каждой задачи доказаны теоремы существования решения с построенной асимптотикой. Результаты но обоснованию получены путем развития метода дифференциальных неравенств на системы исследуемого типа.

Практическая ценность

1. Разработана методика построения асимптотических разложений решений задач, часто встречающихся в приложениях. Примером могут служить системы типа «активатор-ингибитор», в частности система ФитцХью-Нагумо. Методика позволяет проводить анализ возможных решений, а также может быть использована для разработки модельных систем с известными видами решений.

2. Развитие асимптотического метода дифференциальных неравенств для систем уравнений с определенными дополнительными условиями позволит в дальнейшем доказывать существование решений для более широкого класса систем.

3. Результаты диссертации представляют интерес для ученых, работающих в различных естественно-научных областях. В частности, в научной группе кафедры математики Физического факультета МГУ ведется работа по исследованию систем с малым параметром с использованием результатов, полученных в представляемой диссертации, совместно с кафедрой биофизики Физического факультета МГУ (моделирование урбоэкосистем, модельная задача для системы свертывания крови) и лабораторией физики неоднородных систем Физического института им. П.Н. Лебедева РАН (исследование гетеронано-структур) •

Положения, выносимые на защиту

1. Исследование некоторых новых классов с.в. задач, решения которых обладают внутренними переходными слоями.

2. Разработка алгоритма построения асимптотики таких решений. Алгоритм дает возможность получить уравнение, определяющее локализацию переходного слоя для стационарных задач и движение фронта в параболическом случае.

3. Строгое математическое обоснование результатов. Доказательство существования решений с построенной асимптотикой.

Личный вклад автора

Основные результаты, включенные в диссертационную работу, были впервые получены автором. Постановка математической задачи и анализ полученных результатов проводились под руководством профессора В.Ф. Бу-тузова. Работа по обоснованию асимптотических разложений проводилась в тесном сотрудничестве с доцентом Н.Т. Левашовой. Основное содержание и результаты достаточно полно изложены в 14 печатных работах. В материалах совместных публикаций вклад автора является определяющим.

Апробация работы

Содержание различных разделов диссертационной работы представлялось в виде докладов на международных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов 2009» (МГУ, Москва, 2009), «Ломоносов 2010» (МГУ, Москва, 2010) ; на научных конференциях «Тихоновские

чтения» (МГУ. Москва, 2010, 2011, 2012); на ежегодных математических чтениях РГСУ (Клин, 2010, 2011, 2012); на Четвертой Международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования» (РУДН. Москва, 2013). а также неоднократно обсуждались на научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ (руководители семинара профессора А.Б. Васильева и В.Ф. Бутузов). Полученные результаты были представлены на нескольких естественно-научных семинарах.

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 14 научных работ, из которых 2 статьи в рецензируемых журналах по перечню ВАК. Синеок публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка цитируемой литературы. Полный объем диссертации составляет 132 страницы. Диссертация содержит 2 рисунка. Список литературы включает 62 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении освещен круг вопросов, охваченных диссертацией, охарактеризованы актуальность и новизна работы п изложено ее краткое содержание.

В Главе 1 приведен обзор научных работ, близких к теме диссертации — исследованию решений типа контрастных структур в сингулярно возмущенных задачах. Наряду с теоретическими результатами описан ряд прикладных задач, в которых возникают контрастные структуры.

Глава 2 посвящена исследованию краевой задачи для системы сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений с разными степенями малого параметра.

Рассматривается задача:

е4и" = /(«, v, х. е), егг>" = д{и, V, х,е), 0 < х < 1, (1)

и' (0) = и' (1) = 0, с' (0) = г' (1) = 0, 6

где с — малый параметр, fug- достаточно гладкие функции в области (u,v,x,s) е /„ х I, х [0; 1] х (0;с0]: In " h - некоторые промежутки изменения переменных и и v, го > 0.

Исследуется вопрос о существовании и асимптотике при малых s решения с переходным слоем в окрестности некоторой внутренней точки х* отрезка [0;1], где происходит быстрый переход решения м(.т,е), v{x,e) рассматриваемой задачи от одного корня вырожденной системы (к которому и{х,е): v{x,s) близко при х < х*) к другому (к которому и{х,е), v{x,e) близко при х > х*). Решения такого типа называются контрастными структурами типа ступеньки (КСТС). (Вырожденной называется система уравнений, которая получается из исходной при £ = 0.) Примерный вид решения такого типа показан на рисунке 1.

Сформулируем условия, при которых рассматривается задача.

Условие А1. Уравнение /(и, V, х, 0) = 0 имеет относительно и ровно три корня и = у*^,х),. ¿ = 1,2,3, такие что <р1(ь,х) е /„, < <р2{у,х) < ч?{г>,х) всюду в области (у,х) € 10 х [0; 1], причем /„(^(и,*), «,*,()) > 0- /и(<р2(1%х)л',х;0) < 0.

Условие А2. Каждое из уравнений к'(у,х) := д(^'{ь,х),у,х,0) = 0. г = 1,3 имеет единственное решение V = у'(х) £ /,.. причем на всем отрезке [0;1| выполнены неравенства и1^) < г>3(х), ^.^'(х), х) > 0, г = 1.3.

Условие A3. (Условие квазнмонотонностп).

/,.(u, V, х, 0) < 0, д„ (и, V, х, 0) < 0

всюду в области (u,v,x) € /„ х /,. х [0; 1].

Условие A4. На множестве [х € (0; 1) ,v € (г,х (х), и3 (х))} существует единственное решение (зд, xq) системы уравнений

J0v(v,x) := Г h1(i/,x)di/ + f tf (v', х) dv' = 0, Л'1 (г)

J()u (v, х) := J f{u, v, x, 0)du = 0.

Точка х0 определяет положение переходного слоя в нулевом порядке по е, а г'о — это значение «-компоненты решения в точке перехода с точностью О (г). Считается, что для «-компоненты переход происходит через неустойчивый корень 1р-(ь,х) и выполняется равенство: г((.то,е) = ^2(ио,хо)+0(е). Условие А5. Якобиан системы из условия А4 удовлетворяет неравенству

£>( J0v, Jqh)

D(v, x)

< 0.

i;=vij.x=x(i

При условиях A1-A5 построено формальное асимптотическое разложение КСТС с переходом вблизи точки х'о из окрестности t/1(a?) в окрестность v:i(x) для

г-компоненты и из окрестности '^(ъл(х),х) в окрестность для

u-компоненты решения (н.2.2).

Формальная асимптотика тг-ro порядка U„. V„ состоит из двух частей, которые сшиваются непрерывно и гладко в точке х = Хп, которая определяет положение переходного слоя с точностью 0{гп+1) (х* = Л'„4-0(£п+1)):

Ut\ х 6 [0; Х„], = I Vt\ x е [0; Х„],

Ul+\ х 6 [Л'„; 1], " 8 \ К(+>, x е [Х„ ; 1].

Функции {/пТ\ имеют вид:

0Г] (х, с) = £ ё («|"'(1) + (т) + М!~'и (а) + СО + ,

1=0

х€[0;Хп],

и(х, е) = ¿с' (й|+)(.т) + (г) + А4(+)«(сг) + Р<+,и(+ Д<+)иЫ) , ¡=о

х € [Х„; 1],

(х,е) = ¿^ (чН (х) +д|Л-(г) + + р}~>у(С,) + Я^г'Ы)

г=о

ге+2

+ X] ^ (л//Л н + д|Л (тп)) , х 6 [0; Х„],

1=П+1

КГ» (х, г) = £ е4 (X) + (Г) + м!+)г (а) + р^у (С2) + Ы) ¿=о

77+2

+ £ £< (*) + Ы) , х 6 1].

Здесь (х), г;-т) (х) — регулярные члены асимптотики: СЦ^и (т), (¿[^ь (г), М^и (а), Л//Т,г' (сг) — функции переходного слоя в окрестности точки Х„,

x - -х^, x - х„

Г = -, <7 = -г-

£ ' Е

суть переменные переходного слоя, т < 0, а < 0 для функций с индексом «минуса, т > 0, а > 0 для функций с индексом «плюс»:

(С,). (С«): Я"1*' ('?.): г = 1,2 — функции погранич-

ных слоев в окрестностях граничных точек х = 0 и х = 1, х х 1-х 1-х

с с" с с

суть погранслоГшые переменные.

В п.2.3 доказана теорема существования КСТС с построенным асимптотическим разложением.

Теорема 1. При выполнении условий А1-А5 для достаточно малого £ > 0 существует решение и(х,е), у(х, е) задачи (1). для которого функции С/Г|(х, с), Уп(х,е) являются равпомернъш на [0; 1] асимптотическим приближением с точностью порядка 0(£"+1).

Доказательство теоремы проведено с помощью асимптотического метода дифференциальных с соответствующей модификацией на случай системы двух сингулярно возмущенных уравнений.

В конце Главы 2 (п.2.4) рассмотрен иллюстрирующий пример, для ко торого наряду с построением асимптотики нулевого порядка (с точностью О(г)) проведен численный расчет для £ = 0.05. Сравнение приближенных решений, полученных асимптотическим и численным методами, показывает высокую эффективность асимптотического метода.

В Главе 3 рассмотрена сингулярно возмущенная задача для системы эллиптических уравнений в двумерной области:

е4Дм = /(и, V, х, ¡г). е2Дг> = д(и, V, х,е), х — (ц, х2) € I? С Я2, (2)

= 0,

ди дтг

дп

дО

д о

где с > 0 — малый параметр, Д — оператор Лапласа. £) — ограниченная односвязная область с достаточно гладкой границей дБ, / и д — достаточно гладкие функции в области (м, v, х, е) € /„ х х 5 х (0;е0], 1и 11 Л- — некоторые промежутки изменения переменных и и г>, ^ — производная по нормали к 00.

Исследован вопрос о существовании и асимптотике при малых е решения с внутренним переходным слоем в окрестности некоторой замкнутой кривой С, лежащей внутри области Ю.

Задача рассмотрена при условиях:

Условие В1. Уравнение /(и.ь.х, 0) = 0 при (г\х) е /,, х £> имеет относительно и ровно три корня и = 1р'(г, .т), г — 1,2,3, такие, что <р'(у, х) 6 /„,

ц>\у,х) < ¡¿>2(г>, х) < ¡р3(и,х),

/и{Ч>1Я{у, х), v, х, 0) > 0, х), V, х, 0) < 0.

Условие В2. Каждое из уравнений к'(у, х) := д{^р'(ь, х), V, х, 0) = 0, г = 1,3 при х е В имеет относительно V единственное решение у = у'(х) е 1„. причем во всей области Й выполнены неравенства г;1 (ж) < 1л(х): к[.(ь'(х), х) > 0, г = 1,3.

Условие ВЗ. (Условие квазимонотонности).

f„(u,v,x, 0) < 0, ga(u,v,x, 0) < 0

всюду в области (и, v, х) € Iu х Ic х D.

Выберем внутри области D некоторую точку 0(х'1; ж") и в окрестности этой точки перейдем к полярной системе координат (р. в), р > 0, 0 < в < 2тт с полюсом в точке О с помощью формул

Х\ = Xi + р COS в, Х-2 = 3-2 + psin 0.

Для упрощения записи будем считать ж" = 0, = 0. Условие В4. Система уравнений относительно v и р:

V 1'Л(рсжв,рыив)

hl(ii',pcose,psm6)dv'+ J h3{v',pcos9,psine)dv' = 0,

t''(/> COS Sill 0) ''

■¿'He.pros У./) sin 0)

f{u.v.pcose,psmß)du = 0

V"1 (l'.p cos fJ.p sin в)

имеет решение v = Vq(0), p = Pq(9), 0 < 9 < 2л. причем

у\ро(в) cos0, po{0) sinO) < ro(0) < 1'3{р0(в) cos0, ро(в) smö), 0 < в < 2-х,

а функция р = ро(в), 0 < в < 2л определяет простую замкнутую гладкую кривую Со, лежащую внутри области D.

В условии В5 записано неравенство, которому должен удовлетворять определитель системы нз условия В4. Это условие сформулировано с учетом перехода к локальной системе координат в окрестности кривой Со-

Для задачи в двумерной области построена асимптотика решения с внутренним переходным слоем, получены уравнения для определения локализации переходного слоя, доказана теорема существования решения.

Теорема 2. Если выполнены условия. В1-В5, то при достаточно малом г > 0 существует решение и(х,е). v(x,e) задачи (2), для которого функции U,i(x,e), Vn(x,e) яв^гяются равномерным в области D асимптотическим приближением с точностью порядка 0(с"+1).

Как п в случае системы обыкновенных дифференциальных уравнений, функции и„(х, с), представляют собой частичные суммы асимпто-

тических рядов и состоят из регулярной части, функций переходного слоя и функций пограничного слоя. При доказательстве теоремы попользовался модифицированный для данной задачи асимптотический метод дифференциальных неравенств.

В Главе 4 исследуется начально-краевая задача для системы параболических уравнений:

Ад-и 2ди .,д2у 2ду . ,

Х-6 (0:1), ¿6(0,Т],

|(0,4,<0 = |(М, *)=<>, 4е(0,П

и(х,0,г) = ы°(х), '-'(■г,0,с) = и°(х),х € [0; 1].

где /ад- достаточно гладкие функции в области (и,у,х,е) € 1и х 1„ х [0; 1] х (0; £о]т а 1и и /,. - некоторые промежутки изменения переменных и и у, £о > 0,

Т >0.

Исследовался вопрос о существовании и асимптотике при малых е решения с переходным слоем в окрестности некоторой внутренней точки х* отрезка [0; 1]. Положение точки х* изменяется со временем. Предполагается, что в начальный момент времени уже сформирован фронт в виде КСТС. т.е. положение точки х" задано и далее исследуется ее движение. Доказано существование решения с движущимся фронтом.

Задача рассмотрена при условиях:

Условие С1. Уравнение /(и, V, х, 0) = 0 имеет относительно и ровно три корня

и = ¡р'(у, х) € 1и, г — 1,2,3. такие что ^(у, х) < <?*(г>,х) < (р3(у, х) всюду в области

(у,х) 6 /„■ х [0; 1], причем /„(^(г, х). у, х, 0) > 0, /„(¡р2(у,х),г>,х,0) < 0.

Условие С2. Каждое из уравнений Л*(г;,х) := д(<р'(у,х),у,х,0) = 0, г = 1,3 имеет единственное решение у = у'(х) € 1,„ причем на всем отрезке [0; 1] выполнены неравенства г,1(х) < уя(х): к\.(у'(х),х) > 0, г = 1,3.

Условие СЗ. (Условие квазимонотонности). /,,(гг, г>, х, 0) < О, да(и, V, х, 0) < 0 всюду в области {и, V, х) € 1и х Д. х [0; 1].

Условие С4. Существует единственное решение г'о(х) уравнения

го е3М

J /г1 (г;, х)Л- + J х)йу = 0,

г'(т) 'II

определенное на отрезке [0; 1], такое что

г1 (а:) <г'ц(х) < г-3(х)- х <= [0;1],

причем при всех х е [0; 1] выполнено неравенство

1.-„(.г) г3(х)

J /4(1-, х)гЬ + J х)Л- ^ 0.

Точка {х*Л) описывает на плоскости (х, некоторую кривую х = х*(£), которая определяет положение внутреннего переходного слоя на отрезке [0; 1] в момент времени £ £ (0;Т]. Функция х*^) представляется рядом по

степеням малого параметра г: х= хо(*) + £Х1(£) +____Функция х0(4)

определяется из дифференциального уравнения вида

'И1)-0

с начальным условием хо(0) = хш- Функция Р определяется правыми частями уравнений (3). Разрешимость уравнения обеспечивается условием С5.

Следующие приближения положения точки перехода хД^). г — 1,2,... определяются из линейных дифференциальных уравнений, разрешимость которых обеспечивается в частности условием Сб.

Получена формальная асимптотика решения произвольного порядка точности, предложен алгоритм, позволяющий определить положение внутреннего переходного слоя (т.е. точки х*) в момент времени I € (0;Т] с произвольной точностью по £, доказана теорема существования решения.

Обоснование формально!) асимптотики задачи (3) проводилось с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств. С этой целью были построены верхнее и нижнее решения задачи (3). Верхнее и нижнее решения — это функции, полученные путем модификации асимптотических разложений (п+1)-го порядка, для которых выполняются условия:

Условие 1

и<и, У<У, (Х,г) € 5Г= {[0;1] X (0;Т]}.

Условие 2

Шй, ь) := е4ихх - е-й, - / (Л, V, х, с) < 0 < Ьи{Ц: у) при ¥_< V < У, {х. € Бт.

¿2:= е2У„ - е-У, - д (и, V, х,е) < 0 < Ь2,(и,У) при и<и<и, (х,е Йт.

Условие 3

ди дх < о< ;г=0 ди дх •Г=() дУ дх <0 < .г=0 дУ дх ,т=0

дЦ дх <0< ди дх Х=1 дУ дх < 0 < х=1 дУ дх , о < г < т. х=1

Четвертое требование определяет условие на скачок производной верхнего и нижнего решений в точках сшивания. Для верхнего решения точка сшивания сдвинута влево относительно точки х = Хп+1(Ь), задающей положение фронта в момент времени I с точностью 0(е"+2), а для нижнего — вправо относительно точки х = Х„+1(<). Величина сдвига определяется специально задаваемой положительной функцией <5(£).

Условие 4

ди^-1 аи(+>

дх

> О,

.г=Л'„+,(<М(0

\ дх дх

>0, о <кт.

\ / r=A„+,(i)+<5(() \ / z=X„+,(t)+S(t)

0 <t<T.

Теорема 3. При выполнении условий С1-С6 для любых достаточно гладких начальных функций щ(х), гю(аг), лежащих между верхним Ü. V и нижним U_, V_ решениями:

Ufr, 0, s) < щ(х) < Ü(x, 0, е), V(x, О, г) < г<0(х) < V(x, 0, г)

существует решение г/.(.т,t,e), v(x,t,e) задачи (3), которое при любо.н t € [0; Т} заключено между этими верхним и нижним решениями и для которого функции U„{x, t, £■). V„{x, t, e) являются равномерным в области Dj : (х, t) S [0; 1] x (0; T] асимптотическим приближением с точностью 0(ел+г).

Здесь функции Un(x, t, г), V„(x, t, г) — это частичные суммы асимптотических рядов, состоящие из регулярной части, функций переходного слоя н функций пограничных слоев.

Список цитированной литературы:

1. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра. // Матем. сб., 1948, Т.22(64), N2, с. 193-204.

2. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры. // Матем. сб., 1950, Т.27(69), N 1, с. 147-156.

3. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры. /'/Матем. сб., 1952, Т.31(73), N3, с. 575-586.

4. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. школа. 1990.

5. Соколов А.А, Лоскутов Ю.М, Тернов ILM. Квантовая механика. М.: Просвещение, 1965.

6. Найфэ А. Методы теории возмущений. М.: Мир, 1976.

7. Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями. //Днфференц. уравнения. 1995. Т.31. N7. С. 1142-1149.

8. FitzHugh R.A. Impulses and physiological states in theoritical models of nerve membrane. // Biophys. J. 1961. p. 445-466.

9. Атауллаханов Ф.И. и др. Особый класс автоволн — автоволны с остановкой — определяет пространственную динамику свертывания крови. /,/ УФН. 2002. Т.172. NG. С. 671-690.

10. Murray -I.D. A pre-patteni formation mechanism for animal coat marking. ,//.]. Thcor. Biol. 1981. 88(1): 161-199.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Мельникова A.A. Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе эллиптических уравнений с разными степенями малого параметра. //XVI Международная конференция студентов. аспирантов п молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2009*. Секция «Физика». Сборник тезисов. М.: Фнзич. ф-т МГУ, 2009. С. 61.

2. Левашова Н.Т., Мельникова A.A. Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе дифференциальных уравнений второго порядка с разными степенями малого параметра. (Труды 20-х чтений РГСУ, 29 января — 2 февраля 2010 года). Часть I. -М.: АПКиППРО, 2010. С. 48-56.

3. Мельникова А. А. Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе уравнений. /7 Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2010». Секция «Физика». Сборник тезисов. Том 1. М.: Фнзнч. ф-т МГУ, 2010. С. 143-145.

4. Левашова Н.Т., Мельникова A.A. О контрастных структурах в системе эллиптических уравнений с разными степенями малого параметра.

//Научная конференция «Тихоновские чтения 2010». Тезисы докладов. С.54-55.

5. Левашова Н.Т.. Мельникова A.A. Условия существования контрастной структуры типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе эллиптических уравнений с различными степенями малого параметра. Математические методы и приложения (труды двадцатых математических чтений РГСУ) 2011. С.89-91.

6. Левашова Н.Т.. Мельникова A.A. Решение вида контрастных структур типа ступеньки для системы эллиптических уравнений с двумя типами функций переходного слоя. //Научная конференция «Тихоновские чтения 2011». Тезисы докладов. С.46-47.

7. Левашова Н.Т., Мельникова A.A. Двумерная контрастная структура. Математические методы и приложения (труды двадцать первых математических чтений РГСУ) с.64-69, 2012.

8. Бутузов В.Ф., Левашова Н.Т., Мельникова A.A. Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе уравнений с различными степенями малого параметра //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2012, том 52, N 11, с. 1983-2003.

9. Butuzov V. F., Levashova N. Т., MePnikova A. A. Steplike contrast structure in a singularly perturbed system of equations with different powers of small parameter //Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2012. Vol. 52. No. 11. pp. 1526-1546.

10. Левашова H.T.. Мельникова A.A. Контрастная структура типа ступеньки в системе параболических уравнений. // Материалы научной конференции «Тихоновские чтения 2012». с.52.

11. Левашова Н.Т., Мельникова A.A. Контрастная структура типа ступеньки в системе параболических уравнений. // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования: Тезисы докладов Четвертой Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения

члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л .Д. Кудрявцева). - М.:РУДН, 2013. С. 304-305.

12. Мельникова А.А. Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе уравнений с различными степенями малого параметра. В обзоре <-<0 работе НОЦ «Нелинейная динамика»». Мо-дел. и анализ информ. систем. 2013. Т.20. N 1. С. 160-168.

13. Бутузов В.Ф., Левашова Н.Т., Мельникова А.А. Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе эллиптических уравнений. //Ж. вычпсл. матем. и матем. физ. 2013. Т. 53. N 9. С. 1427-1447.

14. Butuzov V. F.. Levashova N. Т., MeFnikova A. A. Steplike contrast structure in a singularly perturbed system of elliptic equations. /'/Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2013. Vol. 53. No. 9. pp. 1239-1259.

Подписано к печати ЭД-АМ 3 Ттртж 400 Заказ {&А-

Отпсчатано в отделе оператквнон печати срнэкчеосопо факультета МГУ

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Мельникова, Алина Александровна, Москва

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова

Физический факультет

^На правах рукописи

МЕЛЬНИКОВА Алина Александровна

КОНТРАСТНЫЕ СТРУКТУРЫ ТИПА СТУПЕНЬКИ В СИСТЕМАХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.03 — математическая физика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор В.Ф. БУТУЗОВ

Москва — 2013

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 3

1 Обзор литературы 16

1.1 Краевые задачи................................................................17

1.2 Начально-краевые задачи ....................................................21

1.3 Применение с.в. систем в приложениях......................................22

2 Краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка 30

2.1 Постановка задачи..............................................................30

2.2 Построение формальной асимптотики решения в виде КСТС ..........32

2.2.1 Вид асимптотики......................................................32

2.2.2 Регулярная часть асимптотики......................................34

2.2.3 Функции переходного слоя............................................35

2.2.4 Функции пограничных слоев ........................................48

2.2.5 Формальная асимптотика гг-ого порядка............................48

2.3 Обоснование асимптотики ....................................................49

2.3.1 Построение верхнего и нижнего решений..........................50

2.3.2 Проверка выполнения условий метода дифференциальных неравенств ....................................................................55

2.4 Пример..........................................................................62

3 Краевая задача для системы эллиптических уравнений 69

3.1 Постановка задачи..............................................................69

А,

3.2 Построение формальной асимптотики ......................................72

3.2.1 Вид асимптотики ......................................................72

3.2.2 Регулярная часть асимптотики ......................................74

3.2.3 Функции переходного слоя............................................75

3.2.4 Функции пограничного слоя..........................................85

3.2.5 Формальная асимптотика п-ого порядка............................86

3.3 Обоснование асимптотики ....................................................87

3.3.1 Построение верхнего и нижнего решений............................88

3.3.2 Проверка выполнения условий метода дифференциальных неравенств ....................................................................93

4 Начально-краевая задача для системы параболических уравнений 97

4.1 Постановка задачи............................... 97

4.2 Построение формальной асимптотики в виде фронта........... 99

4.2.1 Вид асимптотики ........................... 99

4.2.2 Регулярная часть ...........................101

4.2.3 Функции переходного слоя......................102

4.2.4 Функции пограничных слоев.....................114

4.2.5 Формальная асимптотика п-ого порядка..............114

4.3 Обоснование асимптотики ..........................116

4.3.1 Построение верхнего и нижнего решений..............117

4.3.2 Проверка выполнения условий метода дифференциальных неравенств ..................................121

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 126

Введение

В настоящей работе исследуется ряд краевых и начально-краевых задач для систем сингулярно возмущенных уравнений с разными степенями малого параметра.

Актуальность темы

Нелинейные системы дифференциальных уравнений используются при моделировании процессов в химической кинетике, экологии, физике сверхпроводников, космической электродинамике, нейрофизиологии, задачах тепло и массопереноса и в других областях.

К такому классу задач относятся дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр при старшей производной. Систематическое развитие теории сингулярных возмущений началось с классических работ А.Н. Тихонова [1]—[3]. Наиболее известными методами теории являются метод пограничных функций [4], метод ВКБ [5] и метод сращивания [6].

Метод пограничных функций был разработан А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузовым (см. [4]) и позволяет строить и обосновывать равномерные асимптотические разложения решений в ряды по степеням малого параметра. Коэффициенты этих рядов зависят как от исходных, так и от растянутых (погранслойных) переменных. В дальнейшем область применения метода была расширена на задачи с внутренними пере-

ходными слоями — так называемыми контрастными структурами. Для обоснования асимптотики таких решений H.H. Нефедов предложил асимптотический метод дифференциальных неравенств, основанный на теоремах сравнения для эллиптических и параболических задач и использующий предварительно построенную формальную асимптотику [7].

Представляемая диссертация посвящена исследованию вопросов существования и асимптотики контрастных структур типа ступеньки (КСТС).

Рассматриваемые в диссертации типы уравнений в приложениях носят название уравнений «реакция-диффузия» и описывают химические процессы, в том числе горение, биологические процессы, активные среды. В квантовой физике системы параболического типа используются в теории сверхпроводников. Волновую функцию в виде барьера можно рассматривать как решение с двумя внутренними переходными слоями, и решать уравнения с малым параметром асимптотическими методами.

К нестационарным контрастным структурам относятся волны переключения в активных средах, например фронт горения или волна концентрации в химической реакции. Асимптотический анализ актуален и при рассмотрении волн возбуждения в активных средах. Волны такого типа возникают в нервном волокне, в сердечной мышце, при свертывании крови. Для моделирования волн возбуждения часто используется система двух нелинейных параболических уравнений типа ФитцХью-Нагумо [8] с различными модификациями, в том числе с малым параметром при старшей производной [9].

Контрастные структуры встречаются при изучении вопросов морфогенеза. Типичным примером является полосатая окраска шкур животных. Известный специалист в области математический биологии Дж. Мюррей использует для моделирования процесса формирования окраса систему «реакция-диффузия» [10].

Цель работы

3. Доказать существование решений, обладающих построенной асимптотикой.

Научная новизна

— краевая задача для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на отрезке,

— краевая задача для системы эллиптических уравнений в двумерной области,

— начально-краевая задача для системы параболических уравнений в одномерном по пространственной переменной случае.

2. Для каждой задачи доказаны теоремы существования решения с построенной асимптотикой. Результаты по обоснованию получены путем развития метода дифференциальных неравенств на системы исследуемого типа.

Практическая ценность

Положения, выносимые на защиту

1. Исследование некоторых новых классов с.в. задач, решения которых обладают внутренними переходными слоями.

Краткое содержание

Во Введении освещен круг вопросов, охваченных диссертацией, охарактеризованы актуальность и новизна работы и изложено ее краткое содержание.

Глава 2 посвящена исследованию краевой задачи для системы сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений с разными степенями малого

параметра.

Рассматривается задача:

с4и" = /(и,у,х,е), е2у" — д(и, у,х,е), 0 < х < 1, (1)

и' (0) = и' (1) = О, г/ (0) = у' (1) = О,

где £ — малый параметр, / и д — достаточно гладкие функции в области (и, у, х, е) € 1и х 1У х [0; 1] х (0; £о], Л* и 1У — некоторые промежутки изменения переменных и и V, £о > 0.

Исследуется вопрос о существовании и асимптотике при малых е решения с переходным слоем в окрестности некоторой внутренней точки х* отрезка [0;1], где происходит быстрый переход решения и(х, е), у(х, е) рассматриваемой задачи от одного корня вырожденной системы (к которому и(х,е), ь(х, е) близко при х < х*) к другому (к которому и(х,е), ь(х, е) близко при х > х*). Решения такого типа называются контрастными структурами типа ступеньки (КСТС). (Вырожденной называется система уравнений, которая получается из исходной при е = 0.) Примерный вид решения такого типа показан на рисунке 1.

Сформулируем условия, при которых рассматривается задача. "Условие А1. Уравнение /(и,у,х,0) = 0 имеет относительно и ровно три корня и = (рг(у,х), г = 1,2,3, такие что (рг(у,х) £ 1и,

^(у^х) < <р2(ь,х) < (р3(у,х) всюду в области (ь,х) е х [0;1], причем 0) > 0, /и(<р2(у, х),у, х, 0) < 0. Условие А2. Каждое из уравнений кг(у, х) := д((рг(у,х),у,х, 0) = 0, г = 1,3 имеет единственное решение у = уг(х) е 1У, причем на всем отрезке [0;1] выполнены неравенства уг(х) < г>3(х), /г*(г>г(х), х) > 0, г = 1,3. Условие АЗ. (Условие квазимонотонности).

/„(и, у, х, 0) < 0, ди(и,у,х, 0) < 0

всюду в области (и, у, х) Е 1и х 1У х [0; 1].

Условие А4. На множестве {х € (0; 1), у е (г;1 (х), г;3 (х))} существует единственное решение (г>о,хо) системы уравнений

ГУ ру3(х)

у(у:х) := / 1г1(у',х)(1у'+ к3 (у', х) ¿у' = 0,

4>3(у,х)

J0u(v,x) := J f(u,y,x,0)du = 0.

Точка xq определяет положение переходного слоя в нулевом порядке по е, a vq — это значение «-компоненты решения в точке перехода с точностью О (s). Считается, что для «-компоненты переход происходит через неустойчивый корень <-p2{v, х) и выполняется равенство: и(х0, s) = <p2(vo, х0) + О (с).

Условие А5. Якобиан системы из условия A4 удовлетворяет неравенству

D(J0v, J0u)

DQ :=

D(v, x)

< 0.

Х=Хо

При условиях А1-А5 построено формальное асимптотическое разложение решения в виде КСТС с переходом вблизи точки хо из окрестности г»1 (ж) в окрестность

1(х) для г>-компоненты и из окрестности <р1(у1(х), х) в окрестность <р3(у3(х), х) для

«-компоненты решения (п.2.2).

Формальная асимптотика п-го порядка £/п, Уп состоит из двух частей, которые сшиваются непрерывно и гладко в точке х = Хп, определяющей положение переходного слоя с точностью 0(еп+1) (х* = Хп + О (с™-1)):

Un (х,е) =

Ui\ x G [0]Хп],

x G [Xn-, 1],

Уп {х, £) =

Vn~\ x G [0; ,

vt\ xe[xn-,i}.

Функции Уп^ имеют вид:

ир (*, е) = £.£г (й!-) (х) + (г) + М^и (а) + Р^Сг) + Я^Ы) , ^ ^ [0; *в],

г=0 п

и<+> (х, е) = + (г) + (') + ^.(+)«(Са) + , X € [Хп-, 1],

г=0 п

(я, с) = (у^ (х) + (т) + Мг(Л (а) + Р^у (СО + Ы) +

г=0

п+2

+ £ ^(м^Ч^ + л^ы), *е[о;хп],

г=п+1

V« (*, г) = £ (г;<+) (*) + Я^у (г) + (а) + Рг(+)^ (С2) + Я^у (%)) +

г=0

п+2

+ (м^у (а) + Я(г+)у ы) , х € [Хп; 1].

1=П+1

Здесь (х), (х) — регулярные члены асимптотики; О^и (т), (^^у (т), М^и (а), М^у (а) — функции переходного слоя в окрестности точки х = Хп,

х Хц х Хл

т =-, о =--—

с е1

суть переменные переходного слоя, т < 0, а < 0 для функций с индексом «минус», т > 0, о > 0 для функций с индексом «плюс»,

Ри™ (£,), (£г), Яи^ (г]г), Яу^ (г]г), г = 1, 2 — функции пограничных слоев

в окрестностях граничных точек х = 0 и х = 1,

х х 1-х 1-х

О = VI = С2 =-■ Ш = —

£ £г £ £г

суть погранслойные переменные.

В п.2.3 доказана теорема существования КСТС с построенным асимптотическим разложением.

Теорема 1. При выполнении условий А1-А5 для достаточно малого £ > 0 существует решение и(х,с), у(х,е) задачи (1), для которого функции [/„(:г, е), Уп(х,£) являются равномерным на [0; 1] асимптотическим приближением с точностью порядка 0(еп+1).

В конце Главы 2 (п.2.4) рассмотрен иллюстрирующий пример, для которого наряду с построением асимптотики нулевого порядка (с точностью 0(е)) проведен численный расчет для е = 0.05. Сравнение приближенных решений, полученных асимптотическим и численным методами, показывает высокую эффективность асимптотического метода.

В Главе 3 рассматривается сингулярно возмущенная задача для системы эллиптических уравнений в двумерной области £>:

е4Ди = f(u,v,x,e), £2Av — g(u,v,x,s), х = (хг, х2) Е D С R2, (2)

= о,

ди дп

= 0' 7Г

dD дп

где £ > 0 — малый параметр, Д — оператор Лапласа, D — ограниченная односвязная область с достаточно гладкой границей dD, fug — достаточно гладкие функции в области (и, V, х, е) Е Iu х Iv х D х (0; со], 1и и Iv — некоторые промежутки изменения переменных и и », | - производная по нормали к 3D.

Исследуется вопрос о существовании и асимптотике при малых е решения с внутренним переходным слоем в окрестности некоторой замкнутой кривой С, лежащей внутри области D.

Задача рассматривается при условиях:

Условие В1. Уравнение f(u, v, х, 0) = 0 при {у, х) € Iv х D имеет относительно и ровно три корня и = <pl(v, х), г = 1,2,3, такие, что <pl(v, х) Е 1и,

<рг(у,х) < v2(v,x) < <p3(v, х),

fu(^'3(v, х), V, х, 0) > 0, fu(<p2(v, х), V, X, 0) < 0.

Условие В2. Каждое из уравнений hl(v, х) := g(<p'(v, х), v, х, 0) = 0, г = 1,3 при х Е D имеет относительно v единственное решение v = ьг(х) Е /„, причем во всей области D выполнены неравенства «1(х) < v3(x); hlv(vl(x), х) > 0, г = 1,3.

Условие ВЗ. (Условие квазимонотонности).

fv(u, V, х, 0) < 0, gu(u, V, х, 0) < 0 всюду в области (и, v, х) Е Iu х Iv х D.

Выберем внутри области D некоторую точку 0{х([\х°) и в окрестности этой точки перейдем к полярной системе координат (р, 9), р > 0, 0 < 9 < 2тт с полюсом в точке О с помощью формул

xi = х® + pcos9, Х2 = Х2 +psin9. (0.1)

Для упрощения записи будем считать х® = 0, х® = 0. Условие В4. Система уравнений относительно v и р\

V V3 (р cos в,р sin в)

h}(г/, рcos9, рsin$) dv' + J h3(v',pcos9,psm9)dv'= 0,

v1(pcose,psme) v

(0.2)

ip3 (v,p cos в,р sin в)

f(u,v,pcos9, psin9) du = 0

ip1 [v,p cos 6,psin в)

имеет решение v = vq(9), p = po(9), 0 < 9 < 2ir, причем

v1(po(9)cos9,po(9)sin9) < v0(9) < v3(p0{9) cos 9, p0(9) sin 9), 0 < 9 < 2тг, (0.3)

а функция p = po(9), 0 < 9 < определяет простую замкнутую гладкую кривую Со, лежащую внутри области D.

В условии В5 записано неравенство, которому должен удовлетворять определитель системы из условия В4. Это условие сформулировано с учетом перехода к локальной системе координат в окрестности кривой Со (см. стр. 71).

Для задачи в двумерной области построена асимптотика решения с внутренним переходным слоем произвольного порядка точности, получены уравнения для определения локализации переходного слоя, проведено обоснование асимптотического приближения решения методом дифференциальных неравенств. Основной результат:

Теорема 2. Если выполнены условия В1-В5, то при достаточно малом г > 0 существует решение и(х, е), v(x, е) задачи (2), для которого функции Un(:г, е), Vn(x, е) являются равномерным в области D асимптотическим приближением с точностью порядка 0(en+l).

Как и в случае системы обыкновенных дифференциальных уравнений, функции Un(x,e), Vn(x,£) представляют собой частичные суммы асимптотических рядов и состоят из регулярной части, функций переходного слоя и функций пограничного слоя. При доказательстве теоремы использовался модифицированный для данной задачи асимптотический метод дифференциа�