Конвективные течения и теплообмен в жидкостях вблизи термодинамической критической точки

Соболева, Елена Борисовна

Конвективные течения и теплообмен в жидкостях вблизи термодинамической критической точки тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Соболева, Елена Борисовна АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Конвективные течения и теплообмен в жидкостях вблизи термодинамической критической точки»

Автореферат диссертации на тему "Конвективные течения и теплообмен в жидкостях вблизи термодинамической критической точки"

На правах рукописи

Соболева Елена Борисовна

Конвективные течения и теплообмен в жидкостях вблизи термодинамической критической точки

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва-2010

2 о МАЯ 2010

004602407

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Осипцов Александр Николаевич

доктор технических наук, профессор

Поляков Анатолий Фомич

доктор физико-математических наук Цыпкин Георгий Геннадьевич

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Защита состоится «_ 03 » июня 2010 г. в 15 часов на заседании Диссертационного Совета Д 002.240.01 при Институте проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН по адресу: 119526, Москва, пр. Вернадского, 101, к. 1. '

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМех РАН Автореферат разослан « .» _2010 г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета Д 002.240.01 при ИПМех РАН

кандидат физико-математических наук ЦА^^ Сысоева Е.Я.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований. Жидкости с параметрами вблизи термодинамической критической точки в настоящее время привлекают все больше внимания как объект фундаментальных исследований и рабочая среда в современных инновационных технологиях. Около- и сверхкритические жидкости широко используются в материаловедении в качестве реактивных сред в процессах синтеза. Вблизи критической точки меняются некоторые свойства, влияющие на протекание химических реакций, например, у воды уменьшается диэлектрическая проницаемость почти в 15 раз. Поэтому, используя околокритические среды в качестве растворителя, можно синтезировать новые материалы, в частности, микрочастицы и нанокристаллы с заданными средним размером, формой, пористостью. Проблемы экологии привели с созданию современного способа переработки токсичных отходов - методу сверхкритического водного окисления, основанному на разложении вредных веществ в воде со сверхкритическими параметрами. Около- и сверхкритические жидкости участвуют и в процессах тепло- и массопереноса в гидротермальных системах, нефтяной геологии, нефтедобыче.

Интерес к околокритическим жидкостям связан с их специфическими свойствами, поэтому именно физические, термодинамические, транспортные свойства среды вблизи критической точки долгое время были фокусом научных исследований. Однако, как позднее стало понятно, нельзя пренебрегать гидродинамическими эффектами, поскольку такие среды проявляют сильную подвижность. Околокритические жидкости обладают высокой гравитационной чувствительностью, то есть, демонстрируют сильный отклик на действие силы тяжести, что порождает интенсивные конвективные течения. Эти жидкости чувствительны и к температурному фактору - действие слабого теплового источника может инициировать перемещения, вызванные расширением нагреваемой среды, что приводит к адиабатическому нагреву в удаленных зонах. Кроме того, среда подвержена заметной плотностной стратификации даже в небольших лабораторных масштабах, что усложняет интерпретацию тепловых и динамических процессов. Таким образом, исследование течений и теплопереноса в околокритических жидкостях является актуальной и сложной задачей. Гидродинамика околокритических жидкостей - новое развивающееся направление в механике сплошных сред, которое представляет как фундаментальный, так и практический интерес.

Методы исследований, достоверность и обоснованность.

Разнообразие явлений, их нелинейность, многомасштабность и сильная термо-механическая взаимозависимость требуют тонкого, детального

изучения, основанного на совмещении современных знаний из различных дисциплин: механики сплошных сред, термодинамики критических явлений, методов численного моделирования, - с широким использованием экспериментальных данных. В диссертации проводится теоретическое исследование конвективных течений и теплопереноса в околокритических жидкостях в чистом виде или внутри пористого скелета, заключенных в ограниченный объем. Исследования выполнены методом численного моделирования, некоторые вопросы изучались аналитическими методами. Математические модели, которые использовались и развивались в работе, отличаются полнотой описания явлений, что позволило учесть целый комплекс факторов, влияющих на гидродинамическое поведение околокритических жидкостей. Методический подход к решению поставленных задач состоит в совмещении сложных гидродинамических моделей, современных представлений термодинамики критических явлений с эффективными численными методами. Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается при сравнении с имеющимися в литературе аналитическими решениями, расчетами других авторов, а также с данными экспериментов,

Научная новизна. Научная новизна работы заключается в новом подходе к применению теории подобия конвективных течений в случае несовершенных сплошных сред, в частности, околокритических жидкостей. В этом случае параметры моделирования, которые входят в безразмерную полную систему уравнений, критериями подобия не являются. В работе получены калибровочные соотношения для определения критериев подобия. Используя развитую методику исследований, проведено масштабное и разностороннее изучение естественно-конвективных ламинарных течений околокритических жидкостей в различных условиях. Сравнение с конвекцией совершенного газа при одинаковых критериях подобия позволило вычленить особенности динамики околокритических жидкостей, связанные с их сильной сжимаемостью. Калибровочные соотношения использовались и при сопоставлении численных решений с экспериментальными данными, поскольку по этим соотношениям определяются критерии подобия конвекции в численном моделировании, соответствующие условиям экспериментов. Научной новизной обладают как постановки задач, так и полученные решения. Выполненные в диссертационной работе исследования, их новизна и значимость вносят заметный вклад в развитие гидродинамики околокритических жидкостей.

Цель работы. Изучение естественно-конвективных ламинарных течений и теплопереноса в однофазных околокритических жидкостях и в пористых средах, состоящих из твердого скелета и околокритической жидкой фазы, в ограниченных областях при различных типах теплоподвода. Исследование взаимодействия конвекции с адиабатическим нагревом, условий гидростатической устойчивости и эффекта стратификации. Определение влияния твердого скелета на динамику и теплоперенос околокритической жидкой фазы.

Практическая значимость работы. Результаты исследований использовались при разработке научной концепции и программы экспериментов с околокритическими жидкостями в рамках проекта «Крит», которые, как планируется, будут поставлены на Российском сегменте Международной Космической Станции. Полученные результаты могут применяться и в земных условиях в качестве теоретического базиса для создания, развития и оптимизации современных инновационных технологий, использующих среды с околокритическими параметрами.

На защиту выносятся следующие основные положения:

• развитие теории подобия тепловой гравитационной и вибрационной конвекции однофазной околокритической жидкости и тепловой гравитационной конвекции околокритической жидкой фазы внутри пористого скелета

• численное исследование естественно-конвективных ламинарных течений однофазной околокритической жидкости и околокритической жидкой фазы, заполняющей пористый скелет; определение влияния сильной сжимаемости жидкости на структуру течения и теплоперенос

• численное исследование тепловой гравитационной и вибрационной конвекции околокритической жидкости в условиях микрогравитации

• исследование влияния стратификации на устойчивость механического равновесия нагреваемого снизу слоя жидкости

• аналитическое и численное исследование поршневого эффекта в жидкой фазе внутри пористого скелета

• анализ условий, соответствующих порогу устойчивости механического равновесия в задаче Рэлея-Дарси; определение влияния критериев Рэлея-Дарси и Шварцшильда на начало конвективного движения

Апробация работы. Результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались на следующих научных конференциях и симпозиумах: • Конф. по космическому материаловедению (Калуга, 1999); • IV Минский междунар. форум по тепломассообмену (Минск, 2000); • Междунар. школа «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность» (Москва, 2000; Московская область, 2006); • First Int. Symp. on Microgravity Research & Applications in Physical Sciences & Biotechnology (Sorrento, Italy, 2000); • Int. Symp. "International Scientific Cooperation onboard MIR" (Lyon, France, 2001); • Microgravity Transport Processes in Fluid, Thermal, Biological and Materials Sciences (Banff, Canada, 2001; Davos, Switzerland, 2003); • Всероссийские съезды по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001; Нижний Новгород, 2006); • Конф. «Развитие идей Н.Е. Кочина в математике и механике» (Москва, 2001); • Seventh Int. Conf. on Advanced Computational Methods in Heat Transfer (Halkidiki, Greece, 2002); • 41st Aerospace Sciences Meeting & Exhibit (Reno, NV, 2003); • Int. Conf. on Fluxes and Structures in Fluids (St. Peterburg, 2003);

• Interdisciplinary Transport Phenomena in Microgravity and Space Sciences IV (Tomar, Portugal, 2005); • Пятый междунар. аэрокосмический конгресс IAC06 (Москва, 2006); • Interdisciplinary Transport Phenomena V: Fluid, Thermal, Biological, Materials & Space Sciences (Bansko, Bulgaria, 2007); • XVI Int. Conf. on Chemical Thermodynamics in Russia (Suzdal, Russia, 2007);

• 25th Int. Conf. on Low Temperature Physics (Amsterdam, The Netherlands, 2008); • Пятая всероссийская конф. с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2008); • Междунар. конф. «Современные проблемы газовой и волновой динамики», посвященная памяти Х.А. Рахматулина (Москва, 2009).

Публикации. Результаты по теме диссертации опубликованы в 39 работах. Список основных публикаций в ведущих рецензируемых научных журналах, учитываемых ВАК Министерства образования и науки РФ при защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук помещен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, основных результатов и выводов работы, цитируемой литературы и списка принятых обозначений. Для библиографических ссылок и рисунков использована сквозная нумерация, формулы нумеруются внутри каждой главы. Общий объем диссертации составляет 272 страницы. Работа включает 80 иллюстраций, 9 таблиц, 224 ссылки на литературные источники.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В Главе I дается обзор литературы по теме диссертации. Определяется область исследований, анализируются математические модели и методы численного решения задач о естественно-конвективных процессах. Обсуждаются особенности конвективных течений и теплопереноса в жидкостях с параметрами вблизи термодинамической критической точки, формулируются не решенные ранее проблемы.

При приближении к критической точке коэффициенты теплового расширения а'р и изотермической сжимаемости > теплоемкость при

постоянном давлении с' неограниченно растут, а коэффициент температуропроводности Л' 1{р' с' р) стремится к нулю; здесь Я' -коэффициент теплопроводности, р' - плотность. Все размерные величины отмечены штрихом, безразмерные - без штриха. Рассматриваются температуры выше критической, соответствующие значениям

_ А

температурного параметра £ = {Т'-Т'с )/Т'с > 10 , при которых среда

макроскопически однородна и применимо гидродинамическое приближение; Т' - температура, индексом «с» отмечены критические значения. Среда с параметрами из окрестности критической точки при

8 ¡> 1О-4 называется околокритической жидкостью.

При приближении к критической точке, во-первых, наблюдается интенсификация тепловой гравитационной конвекции, что в однофазной среде связано с неограниченным ростом числа Рэлея Яа

ца =-Е-— со (1)

Л'?]' v

поскольку а'р -> оо, с* —»со. Здесь 0' - характерная разность

температур, g' - вектор массовой силы, г)' - коэффициент динамической вязкости.

Во-вторых, происходит усиление влияния стратификации в поле силы тяжести, так как конвективные течения развиваются при меньших значениях ©'. В результате средний созданный источником тепла градиент температуры (приложенный градиент) Г' становится соизмерим с адиабатическим температурным градиентом Г' , а интенсивность

конвекции характеризуется модифицированным числом Рэлея Яа^:

Лз5= Яак, где к = 1 - Г'я / Г' - коэффициент стратификации \Jeffreys Н., 1930]. В общем случае, Г'а = р Г/с' [Ландау Л.Д. и др., 1986].

В-третьих, может возникать адиабатический нагрев, названный поршневым эффектом [ОпиЫ А. а а\, 1990; Воикап Н. ег а1, 1990; гарроИ В. ег а1, 1990]. В одномерном случае поршневой эффект в плоском слое, инициированный скачком температуры на величину 0' на боковой (левой) границе приводит к быстрому росту температуры ДГ'. вдали от

нагревателя (рис. 1). При нагреве около левой границы формируется температурный пограничный слой, который со временем расширяется и как поршень толкает не нагретую жидкость во внутреннем объеме. Последняя в свою очередь сжимается и адиабатически нагревается. Поршневой эффект наблюдается в нестационарных условиях в ограниченных объемах из-за сильной сжимаемости среды.

В диссертации исследуются особенности конвективных течений при влиянии стратификации и поршневого эффекта.

пограничный слой

\т

X'ef

внутренний объем

т 2 AT'

AT',

Рис. 1. Схема действия поршневого эффекта.

В Главе II описана гидродинамическая модель, которая используется для моделирования динамики и теплопереноса в однофазной. околокритической среде. Модель включает полные уравнения Навье-Стокса, уравнение энергии и уравнение состояния несовершенного газа (в большинстве задач - уравнение Ван-дер-Ваальса). Выполняется двухмасштабное расщепление давления по методике [Воронков A.B. и др., 1997; Churbanov A.G. et al, 1998], предложенной первоначально для совершенного газа. Полное давление Р' заменяется суммой среднего по

области давления (?'} и оставшегося члена р': Р'= + член с

давлением в уравнении импульсов преобразуется. Такое преобразование сохраняет систему полной, но весьма полезно при создании эффективного численного кода. Систему уравнений можно представить в следующем безразмерном виде

ф dt

+ v(pt/)=0 (2)

Р+Р-Vp + i2V(77D)-Vi~? ~glV¿/1 + Ra!> pg (3)

dt r Rel^ U ' ") ©Re2Pr0

+ ГоЬо-W2 f2ф2 _(2 _ \ Я = 1 + Л (Г-1)4" (4)

Re v U ; ;

Р = Р[р,Т), Р=(Р) + уйМ2р, i/>c/c7 = 0 (5)

Здесь t?, D - скорость и тензор скоростей деформации; f - коэффициент объемной вязкости. В качестве характерных масштабов использованы длина I', скорость £/', время l'/U\ скорость деформации U'/l', ускорение силы тяжести Земли g', плотность и температура в критической точке р' и Т'с, коэффициенты 77'0, Д'0, теплоемкость при постоянном объеме c'v0, соответствующие совершенному газу (индексом «О» отмечены значения совершенного газа). При обезразмеривании давления используются разные масштабы: В'р'сТ'с - для Р' и (Р'), p'cU{2 - для р'. Возникают безразмерные параметры - числа Рэлея, Прандтля, Рейнольдса, Маха, характерная разность температур и показатель адиабаты

у Т' 1' —' 'и 2 I '

ГсЯ0^0 Я0 ^ 0

Г/' Р)' /?'

М= , © = —, ^0=J + — (6)

V^V Гс 0 v0

Полагается, что вблизи критической точки д - 0, rj = , Я -> оо.

Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса в безразмерных переменных представляет собой равенство

Р = « = 9/8, ¿ = 1/3 (7)

1 -Ър

Излагается также гидродинамическая модель, которая описывает около1фитическую жидкую фазу внутри пористого скелета. Выполняется двухмасштабное расщепление давления. Считается, что пористость <р и проницаемость К' постоянны по пространству, сопротивление скелета линейно зависит от скорости фильтрации 0', фазы находятся в локальном тепловом равновесии. Система уравнений приводится в следующем безразмерном виде

<р&- + ч(ри)= 0 (8)

рдО _ М0 1 1 -

<Р д! в Яе 2 Па Рг0 ПаЯе К

((\-<р)р5с5+<рр)^ + р(и?)Т =

= 4/0-1)7-

™+-^-?(ЛтУТ),Ат=1 + <рЛ0А(Т-1ТЧ/ (10)

ЯеРг0

Р = Р{р,Т), Р={Р) + у0М2р, \р<1*г = 0 (11)

Здесь рв, с - плотность и теплоемкость вещества твердой фазы, Лт -

коэффициент теплопроводности системы «твердая + жидкая фазы»; нижний индекс «5» указывает на твердое вещество, индекс «т» - на пористую среду в целом. В качестве масштабов обезразмеривания используются проницаемость скелета К'ц и эффективный коэффициент теплопроводности пористой среды в целом Л' д, остальные характерные

масштабы такие же, как в системе уравнений однофазной жидкости. Безразмерными параметрами являются числа Рэлея-Дарси, Прандтля, Дарси

U Jti II I ' U JI > ,,2 v

и Re, Л/, 0, которые определяются так же, как в (6).

Получены аналитические выражения для равновесных распределений плотности и давления в поле силы тяжести (стратификация сжимаемой среды под действием ее собственного веса) в газе Ван-дер-Ваальса. Показано, что в исследуемых в диссертации задачах применимо линейное приближение для уравнений стратификации.

Созданы два численных кода для решения задач в двумерной плоской геометрии: один - для однофазной жидкости, другой - для пористой среды. Методика численного интегрирования, которая в обоих случаях сходна, предполагает дискретизацию исходных уравнений конечно-разностным методом на разнесенной сетке и последовательное решение полученных алгебраических уравнений. Уравнения движения интегрируются методом типа SIMPLE, для давления решается уравнение Пуассона. Для демонстрации возможностей созданных кодов приводится пример моделирования акустического явления - распространения одиночного малого возмущения в газе Ван-дер-Ваальса внутри плоского слоя от удара на границе области.

Полную гидродинамическую модель однофазной околокритической жидкости (или пористой среды) можно преобразовать в расширенное приближение Обербека-Буссинеска (или Буссинеска-Дарси), если изменения плотности и термодинамических коэффициентов малы. Анализ уравнений в этом приближении позволил развить теорию подобия, показывая, что сходство конвективных течений в различных средах следует искать при одинаковых реальных числах Рэлея Ra (или Рэлея-Дарси Rd) и Прандтля Рг, которые являются критериями подобия. Модельные числа Рэлея Raq (или Рэлея-Дарси RdQ) и Прандтля Рг0, присутствующие как параметры в полной безразмерной системе уравнений, критериями подобия не являются; числа Ra0, Rd0, PrQ

строятся по параметрам среды вдали от критической точки и «критичности» состояния не чувствуют. Получены калибровочные соотношения, связывающие критерии подобия с модельными параметрами. В случае однофазной среды, которая описывается уравнением состояния Ван-дер-Ваальса, калибровочные соотношения принимают вид

Яа = —Яар.е 1 3 0

{Го Го Е )

Рг = Рг,

'1 ^0-1(1 + ^ кГо Го £ ,

(1 + Л^)"1

(14)

а в случае пористои среды - другой вид

г . , .. , \

ял=-114^

1 /0-Ч1 + Ю

Го Го

Рг = Рг,

'1 ^-1(1 + ^ Го £

(14-^ЯоЛе^)"1

^(р^ке^У

(15)

(16)

При приближении к критической точке {е -> 0) из (13), (14) следует, что

ц,-2

•со.

значения Ка и Рг неограниченно растут: Ка ~ е

->оо (в большинстве практических случаев у/ < 1), и из (15),

(16) получается Яс1~ -» оо, Рг ~ оо, что соответствует

ожиданиям.

В условиях влияния стратификации критерием подобия является реальное число Рэлея (или Рэлея-Дарси)

Яак Дс/ к

(17)

(18)

Верхний индекс «5» соответствует учету стратификации. Найдена зависимость для коэффициента стратификации к в случае, если жидкость описывается уравнением состояния Ван-дер-Ваадьса; в однофазной и пористой средах она имеет одинаковый вид

5. =

2М2Го

&(£+(Го-1)(1+£)У ~ас 3Рг

(19)

Величина &ас представляет собой адиабатическую разность температур. По определению, ®ас=Г'аГ/Т'с. Число Фруда Рг в (19) связано с введенными ранее безразмерными параметрами и определяется

выражением Fí' = 0Re Рг0/ Ла0 (или F^• = 0Re ОаРг0/йй?0) в

однофазной (или пористой) среде. Влияние стратификации проявляется, если приложенный градиент температуры соизмерим с адиабатическим температурным градиентом; при этом стратификация плотности может быть незначительной.

Глава III посвящена численному моделированию конвективных течений в однофазных околокритических жидкостях в условиях, при которых даже предельно малая температурная неоднородность приводит к возникновению крупномасштабного движения. Это области с нагревом (или охлаждением) сбоку, при котором тепло испускается (или потребляется) одной или обеими боковыми поверхностями, области с нагревом снизу от источника конечного размера, занимающего лишь часть нижней границы.

Выполнено моделирование нестационарной тепловой гравитационной конвекции двуокиси углерода (СО2) в квадратной области со стороной 1 см в земных условиях. В начальный момент температура выше критической, плотность на верхней границе критическая, среда неподвижна. Затем температура левой границы быстро поднимается и фиксируется, другие границы - адиабатические. На начальных этапах (а) развивается поршневой эффект, создающий рост температуры во всем объеме, затем (б) около границы-нагревателя формируется распространяющийся вверх конвективный термик, через продолжительный промежуток времени (в) движение затухает и среда приходит в состояние равновесия. Задача имеет характерные времена (а) поршневого эффекта т*ре> (б) конвекции т^соп и (в) теплопроводности

тПроведена серия расчетов при различном приближении к критической точке и показано, что т'ре « т'соп « г1^ при е < 10 .

Ранее было обнаружено \2appoli В. ег аI, 1996], что при развитии конвективного течения возникает зона перегрева, температура которой превосходит температуру границы-нагревателя. В диссертации показано, что причина перегрева связана с термодинамическими свойствами среды. Продемонстрировано, что зона перегрева в совершенном газе не наблюдается.

Если обе боковые границы поддерживаются при постоянных, но различных температурах, то со временем конвективное движение становится стационарным. Выполнено моделирование динамики и теплопереноса в околокритической жидкости внутри квадратной области со стороной 1 см в земных условиях. В начальный момент скорость равна

нулю, температура постоянна (на 1 К выше критической), плотность на верхней границе критическая. Температура левой границы возрастает в течение 10 с на ОД К и более не меняется. Температура правой границы

равна начальной. Параметры моделирования: е- = 3,3 •Ю-3, 0 = 3,3-Ю-4,

Яа0=Ю3, Рг0=1, 11е = 3,85-104, М = Ы(Г3, у0= 1,4, | = (0,-1), Л = 0,028, ^ = 0,74; константы А, ц/ соответствуют экспериментальным данным для СО2 [ве^ек XV., 1973]. Индексом «;'» отмечаются начальные

значения. По (13), (14) вычислены критерии подобия Яа = 6,06-Ю6, Рг = 30,0, где в качестве £ взята начальная величина ег Найдены

характерные времена т'= 2,75 с и г= 4,04-104 с. Для сравнения решена задача о конвекции совершенного газа с такими же критериями подобия Ка0 = 6,06-106, Рг0 = 30,0 (в совершенном газе Ка = Ка^, Рг = Рг0).

В околокритической жидкости на временах порядка т'ре поршневой

эффект прогревает внутренний объем, температура которого равномерно увеличивается. При этом формируется температурный пограничный слой не только около левой границы, которая нагревается, но и около правой, температура которой не меняется и оказывается меньше, чем во внутреннем объеме. В погранслоях развивается конвективное движение: слева нагретая жидкость движется вверх, справа более холодная жидкость опускается вниз (рис. 2 (а)). В совершенном газе, как и ожидалось,

ит> 1

ш—

|а С^ 1 б

Рис. 2. Изотермы в газе Ван-дер-Ваальса (а) и в совершенном газе (б) в момент времени /'=34,4 с. Максимальный модуль скорости

\и'\ = 3,95-10-2 (а), 2,96-Ю'2 см/с (б). I 1тах

формируется один восходящий термин около левой границы (рис. 2 (б)). Результаты показывают, что в нестационарных условиях поршневой эффект качественно меняет картину течения.

В стационарном режиме конвекции действие поршневого эффекта сводится к нулю. Изучены различные характеристики теплообмена, проведено сравнение с совершенным газом и обнаружено подобие теплообмена в исследуемых средах (рис. 3). Здесь Nu = JIJd - число Нуссельта на левой границе, которое характеризует интенсивность

конвективного теплопереноса при тепловом потоке ,/ = -{¿А^-с/у; ./. -

дх

тепловой поток в неподвижной среде. Рассматривалось отношение максимальной разности температур в центральном вертикальном сечении к разности температур на боковых границах Ст = ДГтах(0,5, у)/0 и

приведенное отношение температур Ст / Ми. В режиме пограничного

слоя при &я>3-10 конвективный теплоперенос можно описать зависимостью, полученной ранее для совершенного газа: О 32

Ми = 0,115Яа ' [Полежаев В.И., 1968]. Найденное подобие тепловых процессов, с одной стороны, подтверждает идею калибровки и справедливость полученных калибровочных соотношений, а с другой стороны, демонстрирует сходные черты в поведении околокритической жидкости и совершенного газа.

Проведено исследование тепловой вибрационной конвекции, возникающей при высокочастотных осцилляциях массовой силы, применительно к экспериментам с околокритическими средами, которые

Рис. 3. Зависимость Ыи, Су и Ст /Ми от Яа в газе Ван-дер-Ваальса (сплошные линии) и в совершенном газе (штриховые линии).

проводились на борту космической станции «Мир» в 1995 г. [А\*с1ееу 5. V. е? а1, 1997; Polezhaev У.1. ег а1, 1998]. Экспериментально обнаружено, что область оптической неоднородности, которая возникает после подачи теплового импульса на нагревательный термистор, сначала распространяется симметрично, затем симметрия нарушается (рис. 4). В диссертации проверялось предположение, что нагретая область совершает конвективные движения теплового гравитационного и вибрационного типов в остаточном поле микроускорений, которое имеет квазистатическую и высокочастотную составляющие.

Вибрационная конвекция - это осредненное по времени течение, которое возникает в полости с неизотермической жидкостью, подверженной высокочастотным вибрациям. Конвекция этого типа наблюдается на временном интервале, который много больше периода вибраций г' . Интенсивность вибрационной конвекции характеризуется

вибрационным числом Рэлея К\', которое в общем случае имеет вид \Gershuni О.Ъ. ег а1, 1998]

(г (а а & I р ) с

=-2-Р (20)

27'Л'

(здесь г', со'=2л/т'м> - амплитуда и частота вибраций) и для которого получено калибровочное соотношение

Модельное вибрационное число Рэлея = ^

г'аЪЧ'р'

Гс

с\о+В'

ч'о^'о

строится по параметрам среды вдали от критической точки. Видно, что при приближении к критической точке (е -> 0) критерий подобия -вибрационное число Рэлея Яу - неограниченно возрастает, причем увеличивается быстрее, чем число Яа, характеризующее гравитационную

конвекцию в поле статической массовой силы: оо. Это

значит, что роль вибрационной конвекции по сравнению с гравитационной возрастает.

Получено численное решение задачи о конвекции двуокиси углерода в квадратной ячейке размером 1 см. В начальный момент температура постоянна (на 0,5 К выше критической), плотность критическая, среда неподвижна. Затем температура левой границы повышается в течение 1 с на 0,1 К и фиксируется. Остальные границы - адиабатические. Ячейка находится в условиях микрогравитации и подвергается периодическим плоско-поляризованным вибрациям вдоль вертикальной оси. В неинерциальной системе координат, движущейся вместе с ячейкой, наличие вибраций эквивалентно действию дополнительной осциллирующей массовой силы инерционной природы. Суммарное ускорение массовых сил £ = имеет компоненты: gx= 0,

gy = Асо5(со^+а, где А, а - амплитуда осциллирующей части и

статическая часть микроускорения. Безразмерные параметры:

Да£0 =1,35-105, Рг0 = 2,27, М = 1(Г3, Ке = 3,85-104, у0=1,4,

£; =1,65-Ю-2, 0 = 3,3-Ю-4, А = 0,75, ^ = 0,5; число Рэлея ЯаЕ0

определено по ускорению силы тяжести Земли. Моделирование вибрационной конвекции выполнено по полным уравнениям гидродинамики, затем проведено усреднение решения на периоде

осцилляции, который включал более 104 временных слоев. Рассмотрены три варианта массовой силы: вибрационная сила {а = 0) при А = 0,1,

со = 1,1 (рис. 5 (а)), статическая сила (А = 0) при а = -3-Ю-4 (рис. 5 (б)), сила, имеющая вибрационную и статическую составляющие, при А = 0,1, й> = 1,1, о — -3• 10-4 (рис. 5 (в)). Критерии подобия: Лу = 3,24-106,

Яа = 1,46-106, Рг = 20,2. Результаты моделирования и анализ критериев подобия показывают, что остаточные микроускорения на борту космических аппаратов могут генерировать заметные крупномасштабные движения двух рассмотренных типов в среде с околокритическими параметрами.

Анализировалось влияние уравнения состояния на поведение околокритической жидкости. Рассматривались уравнения (а) Ван-дер-Ваальса, (б) Редлиха-Квонга и (в) уравнение состояния среднего поля с коэффициентами, найденными по экспериментальным данным для двуокиси углерода при 7"-7" = 0,5-г 4 К [Мартызен В.Г. и др., 1974].

Получено, что при использовании всех трех уравнений в численном моделировании поршневого эффекта и тепловой гравитационной конвекции в квадратной полости с боковым нагревом возникают лишь незначительные количественные расхождения. Результаты показали, что

0.3 0

Рис. 5. Осредненные поля температур (изотермы) и скоростей при действии различных сил в момент времени /'=60 с. Слева показано направление сил: открытая стрелка - инерция при вибрациях, закрытая - сила тяжести. Максимальный модуль осредненной

скорости |([7')|тах= 2,14-10-3 (а), 4,55-10-3 4,41-10-3 см/С (в).

уравнение состояния Ван-дер-Ваальса обеспечивает качественно верное описание гидродинамических явлений вблизи критической точки.

Выполнено аналитическое и численное исследование поршневого эффекта, возникающего от источника постоянной мощности в условиях теоретической невесомости. Получено, что при приближении к критической точке поршневой эффект перестает зависеть от свойств жидкости, которые резко меняются, а определяется лишь характеристиками источника, то есть, становится универсальным. Такой процесс качественно отличается от поршневого эффекта, который возникает от источника постоянной температуры (температура увеличивается скачком и далее не меняется), что указывает на сильную зависимость теплообмена вблизи критической точки от типа теплоподвода.

Выполнено моделирование поршневого эффекта при действии источников различных размеров, работающих в разных режимах, исследованы пространственные эффекты.

При действии массовой силы развивается конвективное течение. На рис. 6 показаны тепловое и динамическое поля, которые формируются в земных условиях в квадратной ячейке размером 1 см; на нижней границе располагается источник тепла размером 0,06 см, выделяющий энергию постоянной мощности _/'=0,582 мВт/см2 в течение времени 7,60 с. В ячейке находится двуокись углерода, в начальный момент ее температура на 2 К выше критической, плотность на верхней границе критическая,

движения нет. Параметры моделирования: 8, = 6,58-Ю"3, 11е = 3,85-104, Да0=1Д9-105, Рг0 =1,0, М = 10~3, у0= 1,4, А = 0,028, (¿/ = 0,74.

. I 1.1Г г

лл±

1.1-1

Рис. б. Изотермы (слева) и поле скорости (справа) в момент времени <'=5,0 с.

Максимальный модуль скорости ¿7' =0,154 см/с.

I 'тах

Критерии подобия: Яа = 2,49 -10 , Рг = 20,6. При поступлении тепла от нагревателя вверх поднимается термик.

Изучено взаимное влияние поршневого эффекта и конвекции. Найдено, что при теплоподводе постоянной мощности конвективное движение дополнительно уменьшает температуру нагревателя. Поршневой эффект в свою очередь подавляет конвекцию из-за сглаживания температурных неоднородностей около нагревателя. При работе источника постоянной температуры конвективное течение в критической окрестности усиливается, хотя действие поршневого эффекта ведет к замедлению подъема термика.

В Главе IV исследовались вопросы возникновения и развития конвекции в плоском слое с однофазной околокритической жидкостью, нагреваемом снизу (задача Рэлея-Бенара). В отличие от задач предыдущей главы, здесь возникновение крупномасштабного конвективного движения носит пороговый характер. Слой теряет устойчивость лишь при создании в процессе нагрева разности температур на границах больше некоторой конкретной величины. Определены пороговые характеристики, соответствующие началу конвекции при влиянии стратификации, проанализированы закономерности течения и теплопереноса за порогом устойчивости механического равновесия в сравнении с данными экспериментов с околокритическими и обычными слабо сжимаемыми средами.

Модели- Эксперимент: .

рование: .......а

0 1 --^

п 2

+ 3

■ 4

* 5 ^ -I-1-1_

1000 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 £

Рис. 7. Пороговые числа Рэлея без учета и с учетом стратификации

Яа* и * и экспериментальные значения Кае * [Kogan А.В. е? а/,

2001] в зависимости от температурного параметра е.

1700 1800 1900 2000 До* Рис. 8. Число Нуссельта //и5 в

зависимости от числа Рэлея при г =0,1 (1), 0,08 (2), 0,06 (3), 0,04 (4), 0,02 (5) и в экспериментах: а - [KoganA.B. е? а/, 2001] (околокритический гелий), б -1'Джалурия Я, 1983] (воздух).

Рассматривался гелий (^Не) в околокритическом состоянии, для которого имеются обширные экспериментальные данные по возникновению и развитию конвекции Рэлея-Бенара в сплюснутом цилиндре высотой 1 мм и диаметром 57 мм при Т^-Т'с = l,66-f-664 мК

(соответственно, е. = 5 • Ю-4 + 0,20) [Kogan A.B. et al, 1999; Kogan A.B. et

al, 2001]. Проведен анализ физических свойств ^He вблизи критической точки и найдены параметры моделирования, соответствующие условиям экспериментов. Выполнено численное моделирование стационарной двумерной валиковой конвекции в одноячейковом приближении непосредственно за порогом устойчивости равновесия; путем линейной экстраполяции полученных результатов определены пороговые характеристики. На рис. 7 показано, что пороговое число Рэлея Ra*, вычисленное без учета стратификации, возрастает с приближением к критической точке; индексом «*» отмечены пороговые значения. В качестве £ на рис. 7, 8 берется величина £■ на верхней границе. Число Ra * увеличивается несколько медленнее, чем экспериментальная величина Rag * из-за невысокой точности уравнения состояния Ван-дер-

Ваальса. Однако пороговое число Ras *, рассчитанное по (13), (17), (19) и включающее эффект стратификации, сохраняется постоянным независимо

от близости к критической точке. Получено, что Ras* = ra* с

погрешностью в пределах 0,5 %, где га* = 1,708 -10 - пороговое число Рэлея в слабо сжимаемой среде [Busse F.H., 1978]. Последний результат соответствует теории и экспериментам, что подтверждает справедливость

калибровочного соотношения для расчета Ras и методики определения модельных параметров по экспериментальным данным.

Определена интенсивность конвективного теплопереноса при влиянии стратификации, которая характеризуется модифицированным числом

Нуссельта Nus=JsIJsd, где Js =-\\л{рТ I д у-T^dx - тепловой

поток в конвективном течении, J^ - тепловой поток в неподвижной среде.

Число Nus связано с числом Nu соотношением

Nus =\ + {Nu-\)/k (22)

где к - коэффициент стратификации (19). На рис. 8 показано, что зависимость Nus(Ras) вблизи порога устойчивости является универсальной, то есть, конвективный теплоперенос в сильно и слабо

сжимаемых средах имеет одинаковую интенсивность. Незначительное отклонение экспериментальных данных для гелия (дают зависимость

Л^м5 = 1 +1,3(1 - га* / Яа5)) от расчетных точек и данных для воздуха

(дают зависимость Л^м5 =1 + 1,44(1 -га*/Яа5)) объясняется, по-видимому, формированием при околокритических параметрах трехмерных конвективных структур.

Выполнено моделирование многоячейковой конвекции в слое с отношением сторон 1:10 и дано сравнение с конвекцией совершенного газа

при одинаковых критериях подобия Яа5 =2,44-10"' и Рг = 37,7 (рис. 9, 10); коэффициент стратификации в околокритической жидкости -_2

к =9,66-10 . Функция тока Ч7 рассчитывалась по численным решениям для скорости 0 - (и, V) и плотности р с помощью уравнения Пуассона. В обоих случаях формируется валиковая структура с одинаковым конвективным теплопереносом (М^ =1,43), однако, при приближении к критической точке возмущения температуры становятся все меньше из-за растущего коэффициента теплового расширения.

Проведено сопоставление результатов моделирования многоячейковой

и одноячейковой конвекции и получено одинаковое число , что подтверждает справедливость сведения полной задачи к приближенной задаче о конвекции одного вихря.

Исследована устойчивость слоя жидкости в условиях сильного эффекта стратификации (приложенная и адиабатическая разности температур на границах слоя © и 0 близки по значению) с использованием

ш о о о о о в в о в

аналитически найденных зависимостей Яа5 = Яа5(£).

Результаты на рис. 11, 12 соответствуют параметрам М = 10 , у0 = 1,667, = 2,892, которые дают ®ас = 3,84970-Ю-7. На рис. 11

при приближении к критической точке (£ —> 0) числа Яа5 и Л7«5 возрастают, затем, достигнув максимума, начинают уменьшаться. Это означает, что конвекция сначала усиливается, а потом уменьшается и полностью затухает благодаря стабилизирующему действию стратификации. На рис. 12 при уменьшении параметра гидростатической сжимаемости (е -» 0), то есть, при ослаблении силы тяжести от земных

условий до микрогравитационных значения Яа5 и М*5 возрастают от

Яа5 <га* и Л/м5=1 (конвекции нет) до Яа5>га* и Ыиэ >\ (конвекция есть). Это значит, что слой околокритической жидкости, находящийся в устойчивом гидростатическом равновесии на Земле, может терять устойчивость при переходе к условиям микрогравитации из-за ослабления стабилизирующего действия стратификации.

Яа?, Яа, га* 8000

Яа*, га*

3000 • /"У

2000 \ ! \ ■ У—Ч. ........ 3

1000 7! Р 7 \ 1.1 V. .

0 1 ........' ........'

0.0001 0.001 0.01 8 Рис. 11. Числа Рэлея Яа5 (1) и Нус-сельта Ш11 (2) в зависимости от £ при 0 = 3,84910-Ю-7. Пороговое число Рэлея га* = 1,70В-103 (3).

10-9 10-8 ю-7 Рис. 12. Числа Рэлея Яа* (1), Яа (2),

га* (3) и Нуссельта N11* (4) в зависимости от параметра гидростатической сжимаемости £

при б = 0,02, 0 = 3,01 -Ю-7

Глава V посвящена исследованиям поршневого эффекта и тепловой гравитационной конвекции в околокритической жидкости, находящейся внутри пористого скелета. В отличие от задач двух предыдущих глав, здесь система двухфазная и наличие твердой фазы создает определенные особенности в динамике и теплопереносе околокритической жидкости.

Выполнен анализ поршневого эффекта в жидкой фазе при тепловом стимулировании температурной ступенью (действии источника постоянной температуры) в рамках линейного термодинамического подхода. Найдено выражение для характерного времени поршневого эффекта т' ; величина т'трс - это такой момент времени, в который

достигается отношение ДГ'^/©'= 0,572 (см. рис. 1). Если жидкая фаза описывается уравнением состояния Ван-дер-Ваальса, то выражение для г' приобретает вид

где (7 = (1 -(р)р5с5+(р - константа. Величина т'тре возрастает с уменьшением пористости <р и не зависит от проницаемости твердого скелета.

Проведено численное моделирование теплообмена в пористом слое шириной 10 см, заполненном двуокисью углерода. В задачах этой главы твердый скелет состоит из вещества типа песка. Температура постоянна, жидкая фаза имеет критическую плотность и неподвижна. В начальный момент температура одной границы быстро увеличивается на 0,01 К и фиксируется, вторая граница адиабатическая. Параметры задачи:

скорости при обезразмеривании - V- 27,6 с м/с. Начальная температура

тре

р 'с (с 'У0 +В') а2е{ае + <р(у0 -1\1 + е)) Я 'т0 Г0<Р2(Г0 ~ 1)20 + + 9 Л0 Ае-Г)

(23)

т'. Т'й. тре> 1'ре> с

Рис. 13. Характерные времена

слое с пористостью (р- 0,4;

Г'(1), г'тре(2),Т^ (3) в

10 ю2

Т'(-Т'с,К

варьировалась: Т\-Т= 0,55 -И00Я" (соответствует е~ 1,81 • 10_3+ 0,329). Проницаемость К' не зависит от пористости <р. В численном решении найдена величина АТ'-п (см. рис. 1) и определен момент времени г' такой, что АТ\п/®'= 0,572. На рис. 13 приведены значения г', даны аналитические зависимости для т' (23), для характерного времени теплопроводности и для т'ре в однофазной жидкости [ОпиИ А. е( а1, 1990]. Продемонстрировано, что при 7";.-7" <3 К ($? = 0,4) и Г',—Г'с < 10 К (<р = 0,7) маркеры попадают на кривую г1 , то есть, в

близкой окрестности критической точки имеет место поршневой эффект. Время т'тре в пористой среде больше, чем т'ре в однофазной жидкости,

поскольку жидкая фаза отдает часть тепла скелету.

Исследовалось изменение отношения АТ '¡п / ©' со временем. На рис. 14 даны численные значения и зависимость

= )\, ^) = ехр(5)[1 ~ег/(47)\ (24)

ДГ/я/0'

0.6

0.4

0.2

--1

X -2

□ -3

..... 1 1 1

0 1 2 Ъ^/х'ще

Рис. 14. Зависимость АТ'. /0' от V!т*тре, полученная аналитически по (24) (1) и численно при (р = 0,А и Т)-Т'с = 0,55 К(2), <р = 0,7 и Т'ГТ'С = 1,70 К(3).

10 юо ЯсИ/Ь

Рис. 15. Зависимость числа Нуссельта Ыи от Яс11 / И в вертикальном слое (/г// =3) (1,2) и квадратной области (А//=1) (3,4). Моделирование слоя с околокритической жидкостью (1, 3), со слабо сжимаемой обычной жидкостью [Власюк М.П. и др., 1975] (4), аналитическое решение [Ве]апА., 1979] (2).

где ег/(^[Г) - интеграл ошибок. Решение (24) получено для однофазной жидкости [ОпиЫА. et а1, 1990] и здесь приведено при замене т'ре -> т\гре ■

Продемонстрировано, что рост температуры со временем за счет поршневого эффекта в однофазной жидкости и в пористом слое происходит подобным образом, но разных временных масштабах: в первом случае масштаб г' , во втором - т 'тре.

ЯсШИ в стационарном режиме при параметрах © = 1,55-Ю-4, у0= 1,29, £¿0=5,64 4 О-2, 11е = 6,65-106, 1>а = 2-10~12, Рг0= 6,50-Ю-2,

М = Ю~\ ср = 0,4, /7^=1,80, Л0 = 0,268, А = 8,72-Ю"3, у/= 0,992,

описывающих пористый слой шириной 1 м\ жидкая фаза - вода в околокритическом состоянии. Начальная температура варьировалась:

Т'ГТ'С= 2-И0 К (соответствует е. =3,09-10-3ч-1,55-10"2), число Рэлея-

Дарси Кс1 (15) менялось. Полученные результаты удовлетворительно согласуются с имеющимся численным решением и очень хорошо - с аналитическим решением, что подтверждает справедливость разработанной методики определения критериев подобия вблизи критической точки по параметрам моделирования и указывает на сходство конвективного теплопереноса в различных жидких фазах независимо от их сжимаемости.

Проведено численное исследование стационарной конвекции Рэлея-Дарси непосредственно за порогом устойчивости механического равновесия в условиях влияния стратификации. В таких условиях характеристиками течения и теплопереноса являются модифицированные

числа Рэлея-Дарси а Нуссельта Аги5, которые определяются по (15), (18), (19), (22). Рассмотрен горизонтальный слой шириной 0,1 м

проницаемостью АГ'0 = 4 • Ю-11 жидкая фаза - околокритическая двуокись углерода. Температура нижней границы Г'^©', верхней - Т'{: Т'ГТ'С = 1,65, 0,550, 0,0827 К. Параметры задачи: Рг0 =1,21-10"2,

11е = 3,97-105, М = 10"3, йа = 4-10~9, у„=1,3 3, рЛ = 8,68,

л0 =2,46-10-2, Л = 0,028, ^ = 0,74. Отношение RdQ/0 = 97,8 было

постоянным, а 0 варьировалось: 0 = 1,1607 • Ю-5 н-8,6-10~5 (чем меньше величина 0, тем более высокая точность требовалась для ее определения); таким образом менялось приближение к порогу устойчивости механического равновесия. Численные решения сравнивались с аналитической зависимостью [Nield D.A. et al, 1992]

Nu = 1 + 2(1- rd*/Rds) (25)

где rd* = 4/T = 39,48 - пороговое число Рэлея-Дарси в слое со слабо сжимаемой жидкой фазой. В условиях влияния стратификации зависимость (25) преобразуется в выражение

Nus = \ + 2(l-rd* / Rds) (26)

На рис. 16 (а) показано, что численные решения Nu(Rds) отклоняются от аналитической кривой из-за влияния стратификации. Однако численная зависимость Nus(Rds), где Nus определено с учетом стратификации (рис. 16 (б)), оказывается универсальной и совпадает с аналитической зависимостью для слоя со слабо сжимаемой жидкой фазой.

Проанализировано влияние критериев Рэлея-Дарси (связан с диссипативными процессами) и Шварцшильда (связан со стратификацией) на начало конвекции. Показано, что пороговое значение приложенной разности

Рис. 16. Числа Ыи (а) и М/ (б) в зависимости от числа Rds в слое с

околокритической жидкостью при е{ = 5,43-10 и (р =0,4 (1), 0,7 (2); при

е1 =1,81-Ю-3 и р =0,4(3), 0,7(4); при е1 =2,72-Ю-4 и ^ =0,4 (5).

0,7 (6). Сплошные линии - аналитическое решение (25) (а) и (26) (б). Закрашенные круги - слой с совершенным газом.

разности температур на границах слоя 0 * состоит из двух слагаемых: 0* = 0 *Rcl +0 *Sc, где 0 и 0 *Sc определяются критериями Рэлея-

Дарси и Шварцшильда. Получены аналитические выражения для 0 *Rd и

®*Sc* Показано, что при некотором удалении от критической точки

выполняется условие 0* 0 *Rd, то есть, определяющим является

критерий Рэлея-Дарси. При этом твердый скелет оказывает стабилизирующее действие - чем больше твердой фазы (меньше (р), тем больше © *. Значения числа Дарси Da удовлетворяли условию Da(l-<p)2/V3 = const [Nield D.A. et al, 1992], которое реализуется в пористых средах, образованных сферами равного диаметра. В близкой критической окрестности справедливо ©* -> 0 *Sc и определяющим

оказывается критерий Шварцшильда. В этих условиях 0 * перестает зависеть от свойств твердой фазы и определяется лишь адиабатическим температурным градиентом жидкой фазы.

Найдены выражения для порогового коэффициента стратификации к *

и для производных dRds/d®\

dNus/d0

При

приближении к критической точке указанные производные стремятся к бесконечности, что свидетельствует о высокой чувствительности околокритической жидкости к температурным возмущениям.

Выполнено численное моделирование поршневого эффекта и развития конвекции в двухслойном пористом скелете прямоугольной формы с

Нижний слой Верхний слой

Пористость (р 0,4 0,6

Проницаемость К' 4-10"11 м2 3,04-1

Число Дарси Ва 4-Ю-9 3,04 -10"8

Характерное время поршневого

эффекта т'тре 592 с 198 с

Характерное время тепловой

диффузии т'^ 9,78-104 с 1,38 • 105 с

Модельное число Рэлея-Дарси Яс1д 1,96-10"3 1,47 -10"2

Реальное число Рэлея-Дарси Яс1 95,6 716

Реальное число Рэлея-Дарси

с учетом стратификации Яс15 42,0 315

Таблица. Характеристики задачи в верхней и нижней частях, образующих двухслойную пористую область.

отношением длины к высоте 4:1; скелет состоит из двух горизонтальных слоев различной пористости и проницаемости, плотно соприкасающихся друг с другом. Температура постоянна (на 0,55 К выше критической), жидкая фаза (двуокись углерода) неподвижна и стратифицирована. В начальный момент температура нижней границы поднимается скачком на

6,08-10 К

и фиксируется. Верхняя граница держится при начальной температуре, боковые границы теплоизолированы. Высота области 0,1 м.

—3 —5

Безразмерные параметры: =1,81-10 , 0 = 2,00-10 , у 0 = 1,33,

11е = 3,97-105, Рг0 =1,21-10"2, Ы = Ю-3, р^=8,68, Л0 = 2,46-Ю"2, Л = 0,028, у/ = 0,74. Масштаб скорости при обезразмеривании - £/'= 27,6 см/с. Остальные характеристики задачи показаны в таблице. Получено, что на начальной стадии процесса наблюдается поршневой эффект (рис. 17 (а)), который слабо зависит от характеристик скелета. Позднее около верхней границы области зарождаются конвективные термики (рис. 17 (б)), хотя нагрев осуществляется снизу. Обнаруженное явление связано с формированием около верхней границы теплового погранслоя (из-за поршневого эффекта), который оказывается менее устойчив, чем нижний погранслой (из-за большей проницаемости твердой фазы). Приведенный пример демонстрирует, что влияние поршневого эффекта на конвекцию при наличии стратификации внутри скелета с переменными характеристиками может приводить к неожиданным явлениям, не наблюдаемым в слабо сжимаемой жидкой фазе.

Рис. 17. Поле температуры в моменты времени /'=10,1 (а), 6,65-10-3 с (б).

Максимальный модуль скорости 1£/' =2,99-10-3 см/с

I !тах

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработаны модели, методы и программные коды для численного моделирования конвективных процессов в однофазной жидкости и в пористой среде; рассматривалась сжимаемая жидкость с уравнением состояния, включающим область параметров вблизи термодинамической критической точки. Осуществлено развитие теории подобия тепловой гравитационной и вибрационной конвекции однофазной околокритической жидкости и тепловой гравитационной конвекции околокритической жидкой фазы внутри пористого скелета. Показано, что числа Рэлея (или Рэлея-Дарси) и Прандтля, которые входят как параметры в безразмерную полную систему уравнений, критериями подобия не являются. Получены калибровочные соотношения для определения критериев подобия - реальных чисел Рэлея (или Рэлея-Дарси) и Прандтля.

параметра е « Ю-3 -ИСТ4, где е = (Т'-Т* )/Т'с. При сравнении с

конвекцией совершенного газа, которая характеризуется такими же критериями подобия, показано, что в нестационарных условиях поршневой эффект может качественно менять структуру течения и теплоперенос. В стационарных режимах обнаружено подобие теплопереноса в околокритической жидкости и совершенном газе с одинаковыми критериями подобия. Численные решения задач о конвекции в горизонтальном слое с нагревом снизу в постановке Рэлея-Бенара (однофазная жидкость) и Рэлея-Дарси (пористая среда) непосредственно за порогом устойчивости механического равновесия показали, что подобие конвективного теплопереноса в сильно и слабо сжимаемых жидкостях обнаруживается и в условиях влияния стратификации. Результаты по конвекции Рэлея-Бецара согласуются с наземными экспериментами по теплопереносу в околокритическом гелии.

3. Проведено численное исследование тепловой вибрационной конвекции

околокритической жидкости в условиях микрогравитации по данным экспериментов, выполненных на борту орбитальной станции «Мир». Продемонстрировано, что остаточные микроускорения на борту космических аппаратов могут инициировать конвективные движения вибрационного и гравитационного типов, причем роль вибрационной конвекции по сравнению с гравитационной возрастает по мере приближения к критической точке.

4. В задаче Рэлея-Бенара получены аналитические выражения для чисел Рэлея и Нуссельта в зависимости от приближения к критической точке. Из найденных выражений следует, что сильное влияние стратификации может оказывать стабилизирующее действие на нагреваемый снизу слой жидкости, приводя к затуханию конвекции при приближении к критической точке или увеличении гравитационной силы. В этом случае возможна интенсификация теплообмена при микрогравитации по сравнению с земными условиями.

5. Выполнено аналитическое исследование поршневого эффекта в жидкой

фазе внутри пористого слоя при действии источника постоянной температуры. Найдено выражение для характерного времени поршневого эффекта. Впервые получено численное решение задачи о поршневом эффекте в пористом слое. Показано, что рост температуры со временем за счет поршневого эффекта в пористой среде и однофазной жидкости происходит подобным образом, но на разных временных масштабах.

6. В задаче Рэлея-Дарси проанализировано влияние критериев Рэлея и Шварцшильда на начало конвективного движения. Найдены аналитические выражения для пороговой разности температур на границах слоя и порогового коэффициента стратификации. Показано, что вдали от критической точки пороговая разность температур определяется критерием Рэлея-Дарси и зависит от свойств твердой и жидкой фаз. Вблизи критической точки эта величина определяется критерием Шварцшильда и зависит лишь от адиабатического температурного градиента жидкой фазы.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА

1. Полежаев В.И., Соболева Е.Б. Тепловая гравитационная и вибрационная конвекция околокритического газа в условиях микрогравитации // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2000. № 3. С. 70-80.

2. Зюзгин А.В., Иванов А.И., Полежаев В.И., Путин Г.Ф., Соболева Е.Б. Исследование околокритической жидкости в условиях микрогравитации: эксперименты на станции «Мир» и численное моделирование // Космонавтика и ракетостроение. 2000. № 19. С. 56-63.

3. Соболева Е.Б. О влиянии уравнения состояния на моделирование конвективного течения и теплопереноса в околокритических жидкостях // Теплофиз. высоких температур. 2000. Т. 38. № 6. С. 928-934.

4. Полежаев В.И., Соболева Е.Б. Тепловая гравитационная конвекция околокритической жидкости в замкнутой области с боковым подогревом // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2001. № 3.

С. 143-154.

5. Зюзгин А.В., Иванов А.И., Полежаев В.И., Путин Г.Ф., Соболева Е.Б. Конвективные движения околокритических жидкостей в условиях реальной невесомости // Космические исследования. 2001. Т. 39. № 2. С. 188-200.

6. Polezhaev V.I., Gorbunov А.А., Soboleva Е.В. Classical Problems of Convection Near Critical Point. Ground-based and Microgravity Applications // Advances in Space Research. 2002. V. 29. № 4. P. 581-588.

7. Полежаев В.И., Соболева Е.Б. Нестационарные эффекты тепловой гравитационной конвекции околокритической жидкости при боковом нагреве и охлаждении // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2002. № 1.С. 81-93.

8. Polezhaev V.I., Emelianov V.M., Gorbunov A.A., Soboleva Е.В. Near-critical convection in ground-based and microgravity environments // Experimental Thermal and Fluid Sci. 2002. V. 26. P. 101-108.

9. Polezhaev V.I., Gorbunov A.A., Emelianov V.M., Soboleva E. В., Sazonov

V.V., Leftov V.L., Romanov V.V., Putin G.F., Zuizgin A.V., IvanovA.I. Convection and Heat Transfer in Near-Critical Fluid: Study on MIR and Project of the Experiment Crit on ISS // AIAA Journal. 2003. V. 1305 (Suppl.). P. 1-11.

10. Polezhaev V.I., Soboleva E. B. Thermal Gravity-Driven Convection of Near-Critical Helium in Enclosures // Физика низких температур. 2003. V. 29. № 6. P. 648-652.

11. Soboleva E.B. Adiabatic Heating and Convection Caused by a Fixed-Heat-Flux Source in a Near-Critical Fluid // Physical Review E, 2003. V. 68. Paper 042201.

12. Соболева Е.Б. О влиянии теплового источника на адиабатический нагрев жидкости вблизи критической точки // Теплофиз. высоких температур. 2003. Т. 41. № 6. С. 882-888.

13.Polezhaev V.I., Gorbunov А.А., Soboleva E.B. Unsteady Near-Critical Flows in Microgravity // Annals of the New York Academy of Sciences. 2004.

V. 1027. P. 286-302.

14. Полежаев В.И., Соболева Е.Б. Конвекция Рэлея-Бенара в околокритической жидкости вблизи порога устойчивости // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2005. № 2. С. 48-61.

15 .Polezhaev V.I., Gorbunov А.А., NikitinS.A., Soboleva E.B. Hydrostatic Compressibility Phenomena: New Opportunities for Critical Research in Microgravity // Annals of the New York Academy of Sciences. 2006. V. 1077. P. 304-327.

16. Соболева Е.Б. Эффекты сильной сжимаемости в естественно-конвективных течениях в пористых средах с околокритической жидкостью // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2008. № 2. Р. 57-69.

17. Soboleva E.B. Adiabatic heating and convection in a porous medium filled with a near-critical fluid // Annals of the New York Academy of Sciences. 2009. V. 1161. P. 117-134.

18. Никитин С.А., Полежаев В.И., Соболева Е.Б. Структуры и теплообмен при тепловой гравитационной конвекции Рэлея-Бенара в гелии (^He) вблизи критической точки // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2009. № 4. С. 47-59.

Соболева Елена Борисовна

Конвективные течения и теплообмен в жидкостях вблизи термодинамической критической точки

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано к печати 1.03.2010 г. Заказ № 11 -2010 г. Тираж 100 экз.

Отпечатано на ризографе Учреждения Российской академии наук Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН

119526 Москва, пр. Вернадского, 101, кор. 1

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Соболева, Елена Борисовна

Введение.

Глава 1. Обзор моделей, численных методов и результатов исследования конвективных течений и теплопереноса в околокритических жидкостях

1.1. Физические свойства веществ вблизи критической точки.

1.2. Особенности механики околокритических сред; поршневой эффект.

1.3. Конвективные течения на Земле и в условиях космического полета.

1.4. Конвективные течения внутри пористых образований.

1.5. Модели и методы численного решения задач о конвекции.

Глава 2. Модели и метод численного моделирования динамики и теплопереноса в однофазной околокритической жидкости и в пористой среде с околокритической жидкой фазой

2.1. Гидродинамическая модель с двухмасшгабным расщеплением давления для околокритической однофазной среды.

2.2. Гидродинамическая модель с двухмасштабным расщеплением давления для пористой среды с околокритической жидкой фазой.

2.3. Стратификация околокритической жидкости.

2.4. Методика численного интегрирования.

2.5. Пример численного моделирования акустических явлений.

2.6. Приближение Обербека-Буссинеска и критерии подобия.

2.7. Приближение Буссинеска-Дарси и критерии подобия.

Введение диссертация по механике, на тему "Конвективные течения и теплообмен в жидкостях вблизи термодинамической критической точки"

Методы исследований, достоверность и обоснованность. Разнообразие явлений, их нелинейность, многомасштабность и сильная термо-механическая взаимозависимость требуют тонкого, детального изучения, основанного на совмещении современных знаний из различных дисциплин: механики сплошных сред, термодинамики критических явлений, методов численного моделирования, - с широким использованием экспериментальных данных. В диссертации проводится теоретическое исследование конвективных течений и теплопереноса в околокритических жидкостях в чистом виде или внутри пористого скелета, заключенных в ограниченный объем. Исследования выполнены методом численного моделирования, некоторые вопросы изучались аналитическими методами. Математические модели, которые использовались и развивались в работе, отличаются полнотой описания явлений, что позволило учесть целый комплекс факторов, влияющих на гидродинамическое поведение околокритических жидкостей. Методический подход к решению поставленных задач состоит в совмещении сложных гидродинамических моделей, современных представлений термодинамики критических явлений с эффективными численными методами. Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается при сравнении с имеющимися в литературе аналитическими решениями, расчетами других авторов, а также с данными экспериментов.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, основных результатов и выводов работы, цитируемой литературы и списка принятых обозначений. Для библиографических ссылок и рисунков использована сквозная нумерация, формулы нумеруются внутри каждой главы.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

Основные результаты и выводы

1. Разработаны модели, методы и программные коды для численного моделирования конвективных процессов в однофазной жидкости и в пористой среде; рассматривалась сжимаемая жидкость с уравнением состояния, включающим область параметров вблизи термодинамической критической точки. Осуществлено развитие теории подобия тепловой гравитационной и вибрационной конвекции однофазной о кол о критической жидкости и тепловой гравитационной конвекции околокритической жидкой фазы внутри пористого скелета. Показано, что числа Рэлея (или Рэлея-Дарси) и Прандтля, которые входят как параметры в безразмерную полную систему уравнений, критериями подобия не являются. Получены калибровочные соотношения для определения критериев подобия -реальных чисел Рэлея (или Рэлея-Дарси) и Прандтля.

2. Выполнено численное моделирование тепловой гравитационной конвекции однофазной околокритической жидкости, а также околокритической жидкой фазы, заполняющей пористый скелет, при различных типах теплоподвода в ограниченных областях при приближении к критической точке до значений температурного параметра £«10 ^-=-10 4, где £ = (Т'—Г1 )/Т1 . При сравнении с конвекцией совершенного газа, которая характеризуется такими же критериями подобия, показано, что в нестационарных условиях поршневой эффект может качественно менять структуру течения и теплоперенос. В стационарных режимах обнаружено подобие теплопереноса в околокритической жидкости и совершенном газе с одинаковыми критериями подобия. Численные решения задач о конвекции в горизонтальном слое с нагревом снизу в постановке Рэлея-Бенара (однофазная жидкость) и Рэлея-Дарси (пористая среда) непосредственно за порогом устойчивости механического равновесия показали, что подобие конвективного теплопереноса в сильно и слабо сжимаемых жидкостях обнаруживается и в условиях влияния стратификации. Результаты по конвекции Рэлея-Бенара согласуются с наземными экспериментами по теплопереносу в околокритическом гелии.

3. Проведено численное исследование тепловой вибрационной конвекции околокритической жидкости в условиях микрогравитации по данным экспериментов, выполненных на борту орбитальной станции «Мир». Продемонстрировано, что остаточные микроускорения на борту космических аппаратов могут инициировать конвективные движения вибрационного и гравитационного типов, причем роль вибрационной конвекции по сравнению с гравитационной возрастает по мере приближения к критической точке.

4. В задаче Рэлея-Бенара получены аналитические выражения для чисел Рэлея и

Нуссельта в зависимости от приближения к критической точке. Из найденных выражений следует, что сильное влияние стратификации может оказывать стабилизирующее действие на нагреваемый снизу слой жидкости, приводя к затуханию конвекции при приближении к критической точке или увеличении гравитационной силы. В этом случае возможна интенсификация теплообмена при микрогравитации по сравнению с земными условиями.

5. Выполнено аналитическое исследование поршневого эффекта в жидкой фазе внутри пористого слоя при действии источника постоянной температуры. Найдено выражение для характерного времени поршневого эффекта. Впервые получено численное решение задачи о поршневом эффекте в пористом слое. Показано, что рост температуры со временем за счет поршневого эффекта в пористой среде и однофазной жидкости происходит подобным образом, но на разных временных масштабах.

6. В задаче Рэлея-Дареи проанализировано влияние критериев Рэлея и Шварцшильда на начало конвективного движения. Найдены аналитические выражения для пороговой разности температур на границах слоя и порогового коэффициента стратификации. Показано, что вдали от критической точки пороговая разность температур определяется критерием Рэлея-Дарси и зависит от свойств твердой и жидкой фаз. Вблизи критической точки эта величина определяется критерием Шварцшильда и зависит лишь от адиабатического температурного градиента жидкой фазы. j

5.7. Заключение

Данная глава посвящена исследованиям поршневого эффекта и тепловой гравитационной конвекции в околокритической жидкости, находящейся внутри пористого скелета. В отличие от задач двух предыдущих глав, здесь система двухфазная и наличие твердой фазы создает определенные особенности в динамике и теплопереносе околокритической жидкости. Считается, что фазы находятся в локальном тепловом равновесии, пористость постоянна по пространству.

Выполнен анализ поршневого эффекта в жидкой фазе при действии источника постоянной температуры (температура повышается скачком и фиксируется) в рамках линейного термодинамического подхода. Получена зависимость характерного времени поршневого эффекта тре от свойств жидкой и твердой фаз. Показано, что г'тре возрастает с уменьшением пористости (уменьшением объемной доли жидкой фазы) и не зависит от проницаемости твердого скелета. Проведено численное моделирование теплообмена в пористом слое и найдено, что в близкой окрестности критической точки имеет место поршневой эффект: время нагрева совпадает с аналитической величиной т'тре• При удалении от критической точки ведущим в теплообмене становится механизм теплопроводности: время нагрева совпадает с характерным временем теплопроводности т . Продемонстрировано, что рост температуры со временем за счет поршневого эффекта в пористом слое и в однофазной жидкости происходит подобным образом, но при наличии твердого скелета - в увеличенном временном масштабе. Это значит, что решения для однофазной жидкости применимы к пористой среде при замене характерного времени поршневого эффекта. Полученный численный результат является первым численным решением задачи о поршневом эффекте в пористом слое.

Осуществлено моделирование конвективного течения и теплопереноса в вертикальных прямоугольных областях при нагреве сбоку (температура одной боковой границы поднимается на некоторую величину, второй - держится постоянной) и дано сравнение процессов в околокритической и обычной жидких фазах; критерии подобия (числа Рэлея-Дарси и Прандтля) в обоих случаях одинаковы. Показано, что в нестационарных условиях поршневой эффект вблизи критической точки качественно меняет картину течения. Однако при установлении стационарного режима определенные характеристики течения в обоих случаях становятся близки. Обнаружено, что число Нуссельта Ми зависит от реального числа Рэлея-Дарси Яс1 в сильно и слабо сжимаемых жидких фазах одинаково, что с одной стороны, подтверждает справедливость разработанной методики определения критериев подобия вблизи критической точки по параметрам моделирования, с другой стороны, указывает на сходство конвективного теплопереноса в различных жидкостях независимо от их сжимаемости.

Проведено численное исследование стационарной конвекции Рэлея-Дарси непосредственно за порогом устойчивости механического равновесия. Рассмотрены условия влияния стратификации, при которых созданный источником тепла (приложенный) и адиабатический температурные градиенты оказываются величинами одного порядка. В таких условиях характеристиками течения и теплопереноса являются модифицированные числа Рэлея-Дарси Я^ и

Нуссельта М/, которые включают разность приложенного и адиабатического температурных градиентов вместо приложенного градиента температуры.

Показано, что численная зависимость Мг^(Я^) является универсальной и совпадает с аналитической зависимостью, найденной для слоя со слабо сжимаемой жидкой фазой. Подобие конвективного теплопереноса в слое с сильно и слабо сжимаемыми жидкостями наблюдается при различных температурных полях, но близких полях скорости и плотности.

Проанализировано влияние критериев Рэлея-Дарси и Шварцшильда на начало конвекции. Показано, что пороговое значение наблюдаемой разности температур на границах слоя 0 * состоит из двух слагаемых: 0* = 0 +0 *5с, где 0 и

0*£с определяются критериями Рэлея-Дарси и Шварцшильда, соответственно.

Получены аналитические выражения для 0 * ^ и © *5с. Показано, что при удалении от критической точки выполняется условие ©* 0 , то есть, пороговая разность температур определяется критерием Рэлея-Дарси. При этом твердый скелет оказывает стабилизирующее действие - чем больше твердой фазы (меньше пористость (р), тем больше значение 0 *. В близкой критической окрестности, где 0* —» 0 *, пороговая разность температур определяется критерием Шварцшильда. В этих условиях значение 0 * перестает зависеть от свойств твердой фазы и определяется лишь адиабатическим температурным градиентом жидкой фазы. Найдены выражения для порогового коэффициента стратификации к *, который зависит от и © и для производных критической точке рассмотренные производные стремятся к бесконечности, что наглядно указывает на высокую чувствительность околокритической жидкости к температурным возмущениям.

Как обнаружено, при приближении к критической точке пороговая разность температуры на границах слоя © * стремится к конечной величине, поэтому при очень малых е условие применимости приближения Буссинеска-Дарси 0 / £ «1 будет нарушаться даже сразу за порогом устойчивости механического равновесия и в конвекции будут проявляться небуссинесковские черты. В дальнейшем планируется осуществить численное исследование небуссинесковских эффектов в конвективных течениях на основе трехмерного описания пористой среды.

Выполнено численное моделирование поршневого эффекта и развития конвекции в двухслойном пористом скелете при нагреве снизу в условиях стратификации жидкой фазы. Верхний слой обладает большей пористостью и меньшей проницаемостью, чем нижний слой. Показано, что на начальной стадии процесса наблюдается поршневой эффект, который слабо зависит от характеристик скелета; стратификация плотности в центральной зоне сохраняется. На следующей стадии около верхней границы области зарождаются конвективные термики, хотя нагрев осуществляется снизу. Обнаруженное явление связано с формированием около верхней границы теплового погранслоя (из-за поршневого эффекта), который оказывается менее устойчив, чем нижний погранслой (из-за большей проницаемости скелета). Приведенный пример демонстрирует, что влияние поршневого эффекта на конвекцию при наличии стратификации и изменении характеристик пористого скелета может приводить к неожиданным явлениям, не наблюдаемым в слабо сжимаемой жидкой фазе. дЯй8/д®

0=0* и дИи3/д® , которые зависят только от © * п ,. В 0=0*

Список источников диссертации и автореферата по механике, доктора физико-математических наук, Соболева, Елена Борисовна, Москва

1. М.А. Анисимов. Критические явления в жидкостях и жидких кристаллах. - М.:1. Наука, 1987. 270 с.

2. Г. Стенли. Фазовые переходы и критические явления. — М.: Мир, 1973. 420 с.

3. Д.Ю. Иванов. Критическое поведение неидеализированных систем. М.: Физматлиг,2003. 248 с.

4. J.J. Binney, N.J. Dowrick, A.J. Fisher, M.E.J. Newman. The Theory of Critical

5. Phenomena. Oxford: Oxford University Press, 1992. 480 p.

6. Физические величины. Справочник. Под редакцией И.С. Григорьева,

7. Е.З. Мейлихова. М: Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.

8. В.А. Рабинович, Ю.Е. Шелудяк. О значениях критических показателейиндивидуальных веществ. Теплофиз. высоких температур. 1996. Т. 34. № 6. С. 887-895.

9. В.А. Рабинович, Ю.Е. Шелудяк. Зависимости критических показателей радиусакорреляции и корреляционной функции от размерности пространства. Теплофиз. высоких температур. 1999. Т. 37. № 3. С. 513-515.

10. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Статистическая физика. Ч. 1. М.: Наука, 1976. 584 с.

11. М.П. Вукалович, И.И. Новиков. Уравнение состояния реальных газов. М., Л.:

12. Государственное энергетическое изд-во, 1948. 340 с.

13. С.Уэйлес. Фазовые равновесия в химической технологии. I том. М.: Мир, 1989. 302 с.

14. М.А. Анисимов, В.А. Рабинович, В.В. Сычев. Термодинамика критического состояния индивидуальных веществ. -М.: Энергоатомиздат, 1990. 190 с.

15. А.З. Паташинский, В.Л. Покровский. Флуктуационная теория фазовых переходов. -М.: Наука, 1975. 256 с.

16. A.A. Мигдал. Уравнение состояния вблизи критической точки. — Журнал экспер. и теор. физики. 1972. Т. 62. № 4. С. 1560-1573.

17. P. Schofield. Parametric representation of the equation of state near a critical point. — Phys. Rev. Lett. 1969. V. 22. P. 606-608.

18. П.П. Безверхий, В.Г. Мартынец, Э.В. Матизен. Неиараметрическое масштабное уравнение состояния для описания термодинамических свойств 4Не в критической области. Журнал экспер. и теор. физики. 2007. Т. 132. Вып. 1. С. 162-165.

19. С.Б. Киселев. Масштабное уравнение состояния индивидуальных веществи бинарных растворов в широкой окрестности критических точек. Обзоры по теплофизическим свойствам веществ. М.: Изд-во ИВТ АН. 1989. № 2 (76). 150 с.

20. A. Kostrowicka Wyczalkowska, J.V. Sengers, M.A. Anisimov. Critical fluctuations and the equation of state of Van der Waals. Physica A. 2004. V. 334. P. 482-512.

21. Л.Г.Лойцянский. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. 840 с.

22. J. Straub. Dichtemessungen am kritischen Punkt mit einer optischen Methode bei reinen

23. Stoffen und Gemischen (Diese Arbeit wurde am Lehrstuhl und Institut für Technische Thermodynamik an der Technischen Hochschule Münichen ausgeführt). München, 1965.98 p.

24. A.T. Берестов, М.Ш. Гитерман, С.П. Малышенко. Влияние силы тяжестина изменения теплоемкости и положение границы раздела фаз вблизи критической точки. Журнал экспер. и теор. физики. 1969. Т. 56. Вып. 2. С. 642-653.

25. А.Т. Берестов, С.П. Малышенко. О расщеплении максимума скачка теплоемкости вблизи критической точки. Журнал экспер. и теор. физики. 1970. Т. 58. Вып. 6. С. 2090-2098.

26. С.П. Малышенко, В.И. Мика. К теории гидростатического эффекта вблизи критических точек жидкостей. Теплофиз. высоких температур. 1974. Т. 12. № 4. С. 735-742.

27. M.R. Moldover, J.V. Sengers, R.W. Gammon, R.J. Hocken. Gravity effects in fluids near the gas-liquid critical point. Rev. Mod. Phys. 1979. V. 51. № 1. P. 79-99.

28. Ю.Г. Леоненко. Влияние гравитационного поля на процессы в веществе при околокритических параметрах состояния. Журнал экспер. и теор. физики. 1995. Т. 107. Вып. 3. С. 765-773.

29. Й. Джалурия. Естественная конвекция. М.: Мир, 1983. 400 с.

30. Б. Гебхарт, Й. Джалурия, Р. Махаджан, Б. Саммакия. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен. Т. 1. -М.: Мир, 1991. 678 с.

31. Б. Гебхарт, Й. Джалурия, Р. Махаджан, Б. Саммакия. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен. Т. 2. М.: Мир, 1991. 528 с.

32. Дж. Тернер. Эффекты плавучести в жидкости. М.: Мир, 1977. 432 с.

33. Theory of Laminar Flows / Ed. F.K. Moore. Princeton: Princeton University Press,1965. 886 p.

34. A.B. Зюзгин, А.И. Иванов, В.И. Полежаев, Г.Ф. Путин. О конвекции околокритической жидкости в условиях реальной невесомости на орбитальной станции "Мир". Вибрационные эффекты в гидродинамике. Пермь: ПГУ, 2000. Вып. 2. С. 100-121.

35. M.R. Moldover. Low-gravity experiments in critical phenomena. In: Opportunities for academic research in a low-gravity environment. Progress in Astronautics and Aeronautics / Eds. G.A. Hazelrigg and J.M. Reynolds. 1986. V. 108. P. 57-79.

36. R. De Bruijn, R.J.J, van Diest, T.D. Karapantsios et al. Heat transfer in pure critical fluids surrounded by finitely conducting boundaries in microgravity. Physica A. 1997. V. 242 P. 119-140.

37. R.A. Wilkinson, G.A. Zimmerli, H. Hao, M.R. Moldover, R.F. Berg, W.L. Johnson, R.A. Ferrell, R.W. Gammon. Equilibration near the liquid-w-vapor critical point in microgravity. Phys. Rev. E. 1998. V 57. № 1. P. 436-448.

38. Y.I. Polezhaev, V.M. Emelianov, A.A. Gorbunov. Near critical fluids in microgravity: Concept of research and new results of convection modeling. J. Jpn. Soc. Microgravity Appl. 1998. V. 15. Suppl. II. P. 123-129.

39. M. Barmatz, I. Hahn, J.A. Lipa, R.V. Duncan. Critical phenomena in microgravity: Past, present and future. Rev. Mod. Phys. 2007. V. 79. № 1. P. 1-52.

40. A. Onuki, H. Нао, R.A. Ferrell. Fast adiabatic equilibration in a single-component fluid near the liquid-vapor critical point. Phys. Rev. A. 1990. V. 41. № 4. P. 2256-2259.

41. A. Onuki, R.A. Ferrell. Adiabatic heating effect near the gas-liquid critical point. -Physica A. 1990. V. 164. P. 245-264.

42. H. Boukari, J.N. Shaumeyer, M.E. Briggs, R.W. Gammon. Critical speeding up in pure fluids. Phys. Rev. A. 1990. V. 41. P. 2260-2263.

43. B. Zappoli, D. Bailly, Y. Garrabos, B. Le Neindre, P. Guenoun, D. Beysens. Anomalous heat transport by the piston effect in supercritical fluids under zero gravity. Phys. Rev. A. 1990. V. 41. P. 2264-2267.

44. A. Onuki. Phase Transition Dynamics. Cambridge: Cambridge University Press. 2002. 710 p.

45. B. Zappoli, A. Durand-Daubin. Heat and mass transport in a near supercritical fluid. -Phys. Fluids. 1994. V. 6. № 5. P. 1929-1936.

46. B. Zappoli, P. Cariés. The thermo-acoustic nature of the critical speeding up. Eur. J. Mech. B. 1995. V. 14. № 1. P. 41-65.

47. M.K. Ермаков. Тепломассообмен в сверхкритических жидкостях на основе одномерных уравнений Навье-Стокса. Мат. моделирование. 1997. Т. 9. № 12. С.31-42.

48. A. Jounet, В. Zappoli, A. Mojtabi. Rapid thermal relaxation in near-critical fluids and critical speeding up: Discrepancies caused by boundary effects. Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. №15. P. 3224-3227.

49. F. Zhong, H. Meyer. Density equilibration near the liquid-vapor critical point of a pure fluid: Single phase T>TC. Phys. Rev. E. 1995. V. 51. №4. P. 3223-3241.

50. H. Boukari, R.L. Pego, R.W. Gammon. Calculation of the dynamics of gravity-induced density profiles near a liquid-vapor critical point. Phys. Rev. E. 1995. V. 52. № 2.1. P. 1614-1626.

51. Д.В. Агафонов, С.Г. Черкасов. Влияние переменности плотности на распространение тепла в газе. Теплофиз. высоких температур. 2002. Т. 40. № 4. С. 617-622.

52. Y. Miura, Sh. Yoshihara, M. Ohnishi, К. Honda, M. Matsumoto, J. Kawai, M. Ishikawa, H. Kobayashi, A. Onuki. High-speed observation of the piston effect near the gas-liquid critical point. Phys. Rev. E. 2006. V. 74. Paper 010101(R).

53. T. Maekawa, K. Ishii, S. Masuda. Temperature propagation and cluster structures ina near-critical fluid. J. Jpn. Soc. Microgravity Appl. 1998. V. 15. Suppl. II. P. 130-135.

54. V. Polezhaev, S. Nikitin. Thermoacoustics and heat transfer in an enclosure induced bya wall heating. CD-ROM Proc. of the Sixteenth International Conference on Sound and Vibration. 5-9 July, 2009, Krakow, Poland.

55. P. Cariés. Thermoacoustic waves near the liquid-vapor critical point. Phys. Fluids. 2006. V. 18. Paper 126102.

56. A. Onuki. Thermoacoustic effects in supercritical fluids near the critical point: Resonance, piston effect, and acoustic emission and reflection. Phys. Rev. E. 2007. V. 76. Paper 061126.

57. Jl.B. Астахова, Ю.А. Мазалов. Технологии сверхкритического водного окисления в целях уничтожения стойких органических загрязнений. Наукоемкие технологии. 2008. Т. 10. №9. С. 71-80.

58. Д.Ю. Залепугин, Н.А. Тилькунова, И.В. Чернышева, B.C. Поляков. Развитие технологий, основанных на использовании сверхкритических флюидов. -Сверхкритические флюиды: теория и практика. 2006. Т. 1. С. 27-51.

59. Chemical Reviews. 1999. Y. 99. № 2.

60. А.Ф. Поляков. Вынужденное течение и теплообмен в каналах в поле силы тяжести. Диссертация на соиск. уч. степени доктора техн. наук. 1981. 353 с.

61. А.Ф. Поляков. О механизме и границах возникновения режимов с ухудшенной теплоотдачей при сверхкритическом давлении теплоносителя. Теплофиз. высоких температур. 1975. Т. 13. № 6. С. 1210-1219.

62. Б.С. Петухов, А.Ф. Поляков. Границы режимов с «ухудшенной» теплоотдачей при сверхкритическом давлении теплоносителя. Теплофиз. высоких температур. 1974. Т. 12. № 1. С. 221-224.

63. В.Н. Попов, Г.Г. Яньков. Теплоотдача при ламинарной свободной конвекции около вертикальной пластины для жидкостей в сверхкритической области параметров состояния. Теплофиз. высоких температур. 1982. Т. 20. № 6. С. 1110-1118.

64. Б.С. Петухов. Теплообмен в движущейся однофазной среде. Ламинарный пограничный слой / Под ред. А.Ф. Полякова. М.: Изд-во МЭИ, 1993. 352 с.

65. В. Zappoli, S. Amiroudine, P. Cariés, J. Ouazzani. Thermoacoustic and buoyancy-driven transport in a square side-heated cavity filled with a near-critical fluid. J. Fluid Mech. 1996. V. 316. P. 53-72.

66. G. De Vahl Davis, I.P. Jones. Natural convection in a square cavity a comparison exercise. - Int. J. Numerical Methods in Fluids. 1983. V. 3. P. 227-248.

67. D.C. Wan, B.S.V. Patnaik, G.W. Wei. A new benchmark quality solution for the buoyancy-driven cavity by discrete singular convolution. Numerical Heat Transfer. 2001. V. 40. P. 199-228.

68. R. Becker, M. Braack. Solution of a stationary benchmark problem for natural convection with large temperature difference. Int. J. Therm. Sci. 2002. V. 41. P. 428-439.

69. В.И. Полежаев, A.B. Бунэ, H.A. Верезуб и др. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса. М.: Наука, 1987. 271 с.

70. B.C. Авдуевский, В.И. Полежаев. Некоторые особенности естественной конвекции жидкостей и газов. — Избранные проблемы прикладной механики. М.: ВИНИТИ, 1974. С. 11-20.

71. В.И. Полежаев. Численное решение системы двумерных нестационарных уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа в замкнутой области. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1967. № 2. С. 103-111.

72. В.И. Полежаев. Численное исследование естественной конвекции жидкостей и газов. — Некоторые применения метода сеток в газовой динамике. М: Изд-во МГУ. 1971. Вып. 4. С. 86-180.

73. Г.М. Махвиладзе, С.Б. Щербак. Численный метод исследования нестационарных пространственных движений сжимаемого газа. — Инж.-физ. ж. 1980. Т. 38. № 3. С. 528-537.

74. S. Amiroudine. Modélisation numerique des phenomenes de transport de chaleur et de masse dans les fluides supercritiques. Pour obtenir le titre de docteur de l'université de la mediterrenee. 1995. 185 p.

75. R. Arina. Numerical simulation of near-critical fluids. Appl. Num. Mathematics. 2004. V. 51. P. 409-426.

76. D.M. Anderson, G.B. McFadden. A diffusive-interface description of internal waves in a near-critical fluid. Phys. Fluids. 1997. V. 9. № 7. P. 1870-1879.

77. B. Zappoli. Influence of convection on the piston effect. Int. J. Thermophys. 1998. V. 19. № 3. P. 803-815.

78. A. Jounet. Density relaxation of a near-critical fluid in response to the local heating and low frequency vibration in microgravity. Phys. Rev. E. 2002. V. 65. Paper 037301.

79. В.И. Полежаев, A.B. Бунэ, H.A. Верезуб и др. Конвективные процессы в невесомости. М.: Наука, 1991. 240 с.

80. В.И. Полежаев. Конвекция и процессы тепло- и массообмена в условиях космического полета. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2006. № 5. С. 67-88.

81. D. Beysens. New critical phenomena observed under weightlessness. — Materialsand Fluids under Low Gravity, Lecture Notes in Physics. Berein et al.: Springer, 1996. V. 464. P. 3-25.

82. Y. Garrabos, D. Beysens, C. Lecoutre, A. Dejoan, V. Polezhaev, V. Emelianov. Thermoconvectional phenomena induced by vibrations in supercritical SF6 under weightlessness. Phys. Rev. E. 2007. V. 75. Paper 056317.

83. A.V. Zyuzgin, G.F. Putin, N.C. Ivanova et al. The heat convection of a near critical fluid in the controlled microaccelerations field under zero-gravity condition. Adv. Space Res. 2003. V. 32. №2. P. 205-210.

84. C.M. Зеньковская, И.Б. Симоненко. О влиянии вибрации высокой частоты на возникновение конвекции. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1966. № 5. С.51-55.

85. Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

86. Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий. Вибрационная тепловая конвекция в невесомости. Гидромеханика и процессы переноса в невесомости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983.С. 86-105.

87. G.Z. Gershuni, D.V. Lyubimov. Thermal Vibrational Convection. New York: John Wiley & Sons. 1998. 372 p.

88. D. Lyubimov, T. Lyubimova, A. Vorobev, A. Mojtabi, B. Zappoli. Thermal vibrational convection in near-critical fluids. Part. 1. Non-uniform heating. J. Fluid Mech. 2006. V. 564. P. 159-183.

89. D. Lyubimov, T. Lyubimova, A. Vorobev, A. Mojtabi, B. Zappoli. Thermal vibrational convection in near-critical fluids. Part. 2. Weakly non-uniform heating. J. Fluid Mech. 2006. V. 564. P. 185-196.

90. P. Cariés, В. Zappoli. The unexpected response of near-critical fluids to low-frequency vibrations. Phys. Fluids. 1995. V. 7. № 11. P. 2905-2914.

91. A. Jounet, A. Mojtabi, J. Ouazzani, B. Zappoli. Low-frequency vibrations of near-critical fluids. Phys. Fluids. 2000. V. 12. № 1. P. 197-204.

92. Д. Джозеф. Устойчивость движений жидкости. M.: Мир, 1981. 638 с.

93. P.G. Drazin, W.H. Reid. Hydrodynamic stability. Cambridge: Cambridge University Press, 1981. 527 p.

94. Ф. Дразин. Введение в теорию гидродинамической устойчивости. М.: Физматлит, 2005. 288 с.

95. F.H. Busse. Non-linear properties of thermal convection. — Rep. Prog. Phys. 1978. V. 41. P. 1929-1967.

96. E.L. Koshmieder. Benard Cells and Taylor Vortices. Cambridge: Cambridge University Press, 1993. 337 p.

97. A.B. Гстлинг. Конвекция Рэлея-Бенара. M.: Эдиториал УРСС, 1999. 247 с.

98. Е. Bodenschatz, W. Pesch, G. Ahlers. Recent developments in Rayleigh-Bénard convection. Annual Review of Fluid Mechanics. 2000. V. 32. P. 709-778.

99. В.И. Полежаев, В.П. Яремчук Численное моделирование двумерной нестационарной конвекции в горизонтальном слое конечной длины, подогреваемом снизу. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2001. № 4. С. 34-45.

100. Ф. Буссе, Д.В. Любимов, Т.П. Любимова, Г.А. Седельников. Трехмерные режимы конвекции в кубической полости. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2008. № 1. С. 3-11.

101. В.В. Колмычков, О.С. Мажорова, Ю.П. Попов, О.В. Щерица. Численное исследование устойчивости валиковой конвекции. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2009. № 4. С. 14-28.

102. F. Robinson, К. Chan. Non-Boussinesq simulations of Rayleigh-Benard convection in a perfect gas. Physics of Fluids. 2004. V. 16. № 5. P. 1321-1333.

103. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц. Гидродинамика. M.: Наука, 1986. 736 с.

104. H. Jeffreys. The stability of a compressible fluid heated from below. Proc. of the Cambr. Phil. Soc. 1930. V. 26. P. 170-172.

105. В.И. Полежаев. Течение и теплообмен при естественной конвекции газа в замкнутой области после потери устойчивости гидростатического равновесия. -Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1968. № 5. С. 124-129.

106. В.И. Полежаев, М.П. Власюк. О ячейковой конвекции в бесконечно длинном горизонтальном слое газа, подогреваемом снизу. Доклады АН СССР. 1970. Т. 195. №5. С. 1058-1061.

107. Ю.Д. Чашечкин, В.Б. Байдулов, Ю.В. Кистович, Ю.С. Ильиных, В.В. Левицкий, В.В. Миткин, В.Е. Прохоров. Моделирование внутренней структуры и динамики природных систем. Институт проблем механики РАН. Препринт № 592. Москва, 1997. 96 с.

108. В.В. Левицкий, Ю.Д. Чашечкин. Боковая термоконцентрационная конвекцияв слабо стратифицированных жидкостях. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2006. № 3. С. 87-98.

109. М.Ш. Гитерман, В.А. Штейнберг. Критерии возникновения конвекции в жидкости, находящейся вблизи критической точки. Теплофиз. высоких температур. 1970.1. Т. 8. № 4. С. 799-805.

110. М.Ш. Гитерман, В.А. Штейнберг. Критерии возникновения свободной конвекции в сжимаемой, вязкой и теплопроводной жидкости. Прикл. матем. и механика. 1970. Т. 34. С. 325-331.

111. P.Cariés, В. Ugurtas. The onset of free convection near the liquid-vapor critical point. Part I: Stationary initial state. Physica D. 1999. T. 126. P. 69-82.

112. P. Cariés. The onset of free convection near the liquid-vapor critical point. Part II: Unsteady heating. Physica D. 2000. T. 147. P. 36-58.

113. M. Gitterman. Hydrodynamics of compressible liquids: Influence of the piston effect on convection and internal gravity waves. Physica A. 2007. V. 386. P. 1-11.

114. А.А. Горбунов, С.А. Никитин, В.И. Полежаев. Об условиях возникновения конвекции Рэлея-Бенара и теплообмене в околокритической среде. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2007. № 5. С. 30-46.

115. А.А. Горбунов, В.И. Полежаев. Метод возмущений и численное моделирование конвекции для задачи Рэлея в жидкостях с произвольным уравнением состояния. -Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН. Препринт № 897. Москва, 2008. 36 с.

116. T. Maekawa, К. Ishu. Temperature propagation and convective instabilities in critical fluid. Proceed. Conference on Fundamental Physics and Chemical Physics under Microgravity. October 6-7, 2000. NASD A Conf. Publications, CON-000003E. P. 27-30.

117. M. Assenheimer, V. Steinberg. Rayleigh-Bénard convection near the gas-liquid critical point. Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. № 25. P. 3888-3891.

118. A. Roy, V. Steinberg. Reentrant hexagons in non-Boussinesq Rayleigh-Bénard convection: Effect of compressibility. Phys. Rev. Lett. 2002. V. 88. № 24. Paper 244503.

119. A.B. Kogan, D. Murphy, H. Meyer. Onset of Rayleigh-Bénard convection in a very compressible fluid: 3He near Tc. Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. P. 4635-4638.

120. A.B. Kogan, H. Meyer. Heat transfer and convection onset in a compressible fluid: 3He near the critical point. Phys. Rev. E. 2001. V. 63. Paper 056310.

121. S. Amiroudine, P. Bontoux, P. Laroude, B. Gilly, B. Zappoli. Direct numerical simulation of instabilities in a two-dimensional near-critical fluid layer heated from below. J. Fluid Mech. 2001. V. 442. P. 119-140.

122. L. El Khouri, P. Cariés. Scenarios for the onset of convection close to the critical point. -Phys. Rev. E. 2002. V. 66. Paper 066309.

123. Y. Chiwata, A. Onuki. Thermal plumes and convection in highly compressible fluids. -Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87. Paper 144301.

124. A. Furukava, A. Onuki. Convective heat transport in compressible fluids. Phys. Rev. E. 2002. V. 66. Paper 016302.

125. A. Furukava, II. Meyer, A. Onuki, А.В. Kogan. Convection in a very compressible fluid: Comparison of simulations with experiments. Phys. Rev. E. 2003. V. 68. Paper 056309.

126. S. Amiroudine, B. Zappoli. Piston-effect-induced thermal oscillations at the Rayleigh-Benard threshold in supercritical 3He. Phys. Rev. Lett. 2003. V. 90. Paper 105303.

127. H. Meyer. Onset of the convection in a supercritical fluid. Phys. Rev. E. 2006. V. 73. Paper 016311.

128. G. Hazi, A. Markus. Modeling heat transfer in supercritical fluid using the lattice Boltzmann method. Phys. Rev. E. 2008. V. 77. Paper 026305.

129. G. Accary, I. Raspo, P. Bontoux, B. Zappoli. Reverse transition to hydrodynamic stability through the Schwarzschild line in a supercritical fluid layer. Phys. Rev. E. 2005. V. 72. Paper 035301.

130. G. Accary, I. Raspo, P. Bontoux, B. Zappoli. Stability of a supercritical fluid diffusing layer with mixed boundary conditions. Phys. Fluids. 2005. V. 17. Paper 104105.

131. G. Accary, P. Bontoux, B. Zappoli. Convection in a supercritical fluid: A reduced model for geophysical flows. Phys. Fluids. 2007. V. 19. Paper 014104.

132. В.И. Полежаев. Конвективные и волновые процессы в околокритических средах. — Аналитический обзор. 2009. 27 с. (Работа выполнена по гранту РФФИ09.01-11000-ано). :

133. К.С. Басниев, П.Я. Кочина, В.М. Максимов. Подземная гидромеханика. М.: Недра, 1983.416 с.

134. Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М.: Недра, 1972, 288 с.

135. С.А. Христианович. Об основах теории фильтрации. Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 1989. № 5. С. 3-18.

136. D.A. Nield, A. Beian. Convection in Porous Media. New York: Springer-Verlag. 1992. 408 p.iи газа. 2000. №3. С. 105-112.

137. Г.Г. Цыпкин, А.Т. Ильичев. Устойчивость стационарного фронта фазовых переходов в гидротермальных системах. Доклады РАН. 2001. Т. 378. № 2. С. 197-200.

138. A.A. Афанасьев, A.A. Бармин. Нестационарные одномерные фильтрационные течения воды и пара с учетом фазовых переходов. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2007. № 4. С. 134-143.

139. Г.Г. Цыпкин. Течения с фазовыми переходами в пористых средах. — М.: Физматлит, 2009. 232 с.

140. А.И. Брусиловский. Фазовые превращения при разработке нефти и газа. М: Издательский дом "Грааль", 2002. 575 с.

141. М.П. Власюк, В.И. Полежаев. Естественная конвекция и перенос тепла в проницаемых пористых материалах. Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша АН СССР. Препринт № 77. Москва, 1975. 78 с.

142. O.A. Бессонов, В.А. Брайловская. Пространственная модель тепловой конвекции в зазоре между горизонтальными коаксиальными цилиндрами с анизотропным пористым материалом. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2001. № 1.1. С. 145-155.

143. Н.В. Короновский. Гидротермальные образования в океанах. Соросовский образовательный журнал. 1999. № 10. С. 55-62.

144. T. Jupp, A. Schultz. A thermodynamic explanation for black smoker temperature. -Nature. 2000. V. 403. P. 880-883.

145. В.И. Мальковский, A.A. Пэк. Влияние высокопроницаемого разлома на структуру тепловой конвекции растворов в зонах спрединга океанического дна. Доклады РАН. 1997. Т. 354. № 6. С. 787-791.

146. R.P. Lowell, P.A. Rona, R.P. Herzen. Seafloor hydrothermal systems. J. Geophys. Res. 1995. V.100.№B1. P.327-352.

147. D.L. Norton, B.L. Dutrow. Complex behavior of magma-hydrothermal processes: Role of supercritical fluid. Geochimica et Cosmochimica Acta. 2001. V. 65. № 21.1. P. 4009-4017.

148. М.: ГЕОС, 2004. С. 146-149.1491. Panfilova, М. Panfilov. Near-critical gas-liquid flow in porous media: Monovariant model, analytical solutions and convective mass exchange effect. Transport in Porous Media. 2004. V. 56. P. 61-85.

149. A.M. Брусиловский, A.B. Назаров, Г.В. Петров, В.А. Федотова. Свойства природных углеводородных систем в околокритическом состоянии. Разработка и эксплуатация газовых и газоконденсатных месторождений. Обз. информ. сер.

150. М.: ИРЦ Газпром, 1998. 54 с.

151. Т. Fukuda, N. Watabe, R. Whitby, Т. Maekawa. Creation of carbon onions and coils at low temperature in near-critical benzene irradiated with an ultraviolet laser. -Nanotechnology. 2007. V. 18. Paper 415604.

152. В.П. Воронов, B.M. Булейко. Экспериментальное исследование поведения теплоемкости в конечных системах в окрестности критической точки смешения. -Журнал экспер. и теор. физики. 1998. Т. 113. № 3. С. 1071-1080.

153. Y.B. Melnichenko, G.D. Wignall, D.R. Cole, H. Frielinghaus. Density fluctuations near the liquid-gas critical point of a confined fluid. Phys. Rev. E. 2004. V. 69.1. Paper 057102.

154. W. Rzysko, J.J. de Pablo, S. Sokolowski. Critical behavior of simple fluids confined by microporous materials. J. Chemical Physics. 2000. V. 113. № 21. P. 9772-9777.

155. J.K. Brennan, W. Dong. Phase transitions of one-component fluids absorbed in random porous media: Monte Carlo simulations. J. Chemical Physics. 2002. V. 116. № 20.1. P. 8948-8958.

156. J.C. Dunn, H.C. Hardee. Superconvecting geothermal zones. J. Volcanology and Geothermal Res. 1981. V. 11. P. 189-201.

157. B.L. Cox, K. Pruess. Numerical experiments on convective heat transfer in water-saturated porous media at near-critical conditions. Transport in Porous Media. 1990. V. 5. P. 299-323.

158. B. Zappoli, R. Cherrier, D. Lasseux, J. Ouazzani, Y. Garrabos. Critical slowing down and fading away of the piston effect in porous media. Condensed Matter Statistical Mechanics: eprint arXiv:cond-mat/0601196. 2006.

159. A. Bejan. On the boundary layer regime in a vertical enclosure filled with a porous media. Letters in Heat and Mass Transfer. 1979. V. 6. P. 93-102.

160. P.G. Simpkins, P.A. Blythe. Convection in a porous layer. Int. J. Heat Mass Transfer. 1980. V. 23. P. 881-887.

161. Y. Katto, T. Masuoka. Criterion for the onset of convective flow in a fluid in a porous medium. Int. J. Heat Mass Transfer. 1967. V. 10. P. 297-309.

162. D.A. Nield. Onset of convection in a porous layer saturated by an ideal gas. Int. J. Heat Mass Transfer. 1982. V. 25. № 10. P. 1605-1606.

163. В.И. Полежаев, А.Ф. Шабарчин. Разработка математических моделей и исследование конвективного теплообмена в пористой теплоизоляции. Научно-технический отчет ИПМ АН. 1979.

164. В.И. Юдович. Косимметрия, вырождение решений операторных уравнений, возникновение фильтрационной конвекции. Мат. заметки. 1991. Т. 49. № 5. С. 142-148.

165. Д.В. Любимов. О конвективных движениях в пористой среде, подогреваемой снизу. -Журнал прикл. математики и техн. физики. 1975. № 2. С. 131-137.

166. А.Ф. Глухов, Д.В. Любимов, Г.Ф. Путин. Конвективные движения в пористой среде вблизи порога неустойчивости равновесия. Доклады АН СССР. 1978. Т. 238. №35. С. 549-551.

167. D.A. Bratsun, D.V. Lyubimov, В. Roux. Co-symmetry breakdown in problems of thermal convection in porous medium. Physica D: Nonlinear Phenomena. 1995. V. 82. №4. P. 398-417.

168. H.E. Кочин, И.А. Кибель, H.B. Розе. Теоретическая гидромеханика (часть 1). -М.: Физматгиз, 1963. 595 с.

169. Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе. Теоретическая гидромеханика (часть 2). М.: Физматгиз, 1963. 728 с.

170. Л.И. Седов. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1983. 528 с.

171. Л.И. Седов. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1984. 560 с.

172. П. Роуч. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 616 с.

173. J.E. Meyer. Hydrodynamic models for the treatment of reactor thermal transients. -Nucl. Sci. Eng. 1961. V. 10. № 3. P. 269-277.

174. C.K. Forester, A.F. Emery. A computational method for low Mach number unsteady compressible free convective flows. J. Computational Phys. 1972. V. 10. № 3.1. P. 487-502.

175. J.D. Ramshaw, J. A. Trapp. A numerical technique for low-speed homogeneous two phase flow with sharp interfaces. J. Computational Phys. 1976. V. 21. № 4. P. 438-453.

176. R.G. Rehm, H.R. Baum. The equations of motion for thermally driven buoyant flows. -J. Research of National Bureau of Standarts. 1978. V. 83. № 3. P. 297-308.

177. S. Paolucci. On the filtering of sound from the Navies-Stokes equations. Sandia National Laboratories Rep. SAND82-8257. 1982. 54 c.

178. Ю.В. Лапин, M.X. Стрелец. Внутренние течения газовых смесей. М.: Наука, 1989. 368 с.

179. S. Klainerman, A. Majda. Compressible and incompressible flows. Communications on Pure Appl. Math. 1982. V. 35. P. 629-651.

180. A. Majda. Compressible fluid flow and systems of conservation laws in several space variables. Ser.: Appl. Math. Sciences. V 53. New York: Springer, 1984. 172 p.

181. H.O. Kreiss. J. Lorenz, M.J. Naughton. Convergence of the solutions of the compressible to the solutions of incompressible Navier-Stokes equations. Advances in Appl. Math. 1991. V. 12. P. 187-214.

182. D.R. Chenoweth, S. Paolucci. Natural convection in enclosed vertical air layer with large horizontal temperature difference. J. Fluid Mech. 1986. V. 169. P. 173-210.

183. S. Paolucci. Direct numerical simulation of two-dimensional turbulent natural convection in an enclosed cavity. J. Fluid Mech. 1990. V. 215. P. 229-262.

184. А.И. Жмакин. Численное моделирование гидродинамических процессов при выращивании полупроводниковых структур методами газофазной и жидкофазной эпитаксии. — Диссертация на соиск. уч. степени доктора физ.-мат. наук. С.-Петербург, 1992. 320 с.

185. О.И. Мелихов. Нестационарные термогидродинамические процессы в двухфазных средах. Диссертация на соиск. уч. степени доктора физ.-мат. наук. Электрогорск, 1996. 430 с.

186. А.В. Воронков, А.А. Ионкин, А.Н. Павлов, А.Г. Чурбанов. Моделирование течений газа при малых числах Маха (М<0.01). Институт прикладной математикиим. М.В. Келдыша РАН. Препринт № 6. Москва, 1997. 22 с.

187. А.В. Воронков, А.А. Ионкин, А.Н. Павлов, А.Г. Чурбанов. Расчет сжимаемых вязких течений при малых числах Маха. Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. Препринт № 109. Москва, 1997. 23 с.

188. A.G. Churbanov, A.N. Pavlov, A.V. Voronkov, A. A. Ionkin. Prediction of low Mach number flows: A comparison of pressure-based algorithms. Proc. 10th Intern. Conf. Swansea, U.K., 1997. V. 10. P. 1099-1110.

189. A.G. Churbanov, A.N. Pavlov. A pressure-based algorithm to solve the full Navier-Stokes equations at low Mach number. Proc. Fourth European Computational Fluid Dynamics Conf. Athens, Greece, Part II. 1998. P. 894-899.

190. И.А. Крюков. Об особеностях расчета сжимаемых течений при малых числах Маха. Доклад на заседании семинара «Механика невесомости и гравитационно-чувствительные системы» (под руководством Г.С. Глушко, В.И. Полежаева). ИПМех РАН, 5 июня 2000 г.

191. R. Klein. Semi-implicit extension of a Godunov-type scheme based on low Mach number asymptotics 1: One-dimensional flow. J. Computational Phys. 1995. V. 121. C. 213-237.

192. T. Scheneider, N. Botta, K.J. Geratz, R. Klein. Extension of finite volume compressible flow solvers to multi-dimensional, variable density zero Mach number flows.

193. J. Computational Phys. 1999. V. 155. C. 248-286.

194. C.-D. Munz, S. Roller, R. Klein, K.J. Geratz. The extension of incompressible flow solvers to the weakly compressible regime. Computers & Fluids. 2003. V. 32. № 2. P. 173-196.

195. A.A. Amsden, F.H. Harlow. A simplified MAC technique for incompressible fluid flow calculation. J. Computational Phys. 1970. V. 6. № 2. P. 322-325.

196. С. Патанкар. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М: Энергоиздат, 1984. 152 с.

197. В.И. Юдович. Конвекция изотермически несжимаемой жидкости. Деп. в ВИНИТИ, 28.05.99. № 1699-В99.

198. В.К. Андреев, Ю.А. Гапоненко, О.Н. Гончарова, В.В. Пухначев. Современные математические модели конвекции. М.: Физматлит, 2008. 368 с.

199. В.В. Пухначев. Микроконвекция в вертикальном слое. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1994. № 5. С.76-84.

200. В.В. Пухначев. Иерархия моделей в тепловой конвекции Записки научных семинаров ПОМИ. Т. 288. Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 2002. С. 152-177.

201. К.А. Надолин. О приближении Буссинеска в задаче Рэлея-Бенара. Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1995. № 5 С. 3-11.

202. К.А. Надолин. Об уравнениях конвекции изотермически несжимаемой жидкости. -Мат. моделирование. 1997. Т. 9. № 2 С. 81-84.

203. В.М. Пасконов, В.И. Полежаев, JI.A. Чудов. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. 288 с.

204. О.М. Белоцерковский. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984. 519 с.

205. Р. Пейре, Т.Д. Тейлор. Вычислительные методы в задачах механики жидкости. -Ленинград: Гидрометеоиздат, 1986. 352 с.

206. Д. Андерсон. Дж. Таннехилл, Р. Плетчер. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. Т. 1. М.: Мир, 1990. 384 с.

207. Д. Андерсон. Дж. Таннехилл, Р. Плетчер. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. Т. 2. М.: Мир, 1990. 392 с.

208. К. Флетчер. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М.: Мир, 1991. 552 с.

209. А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М.: Эдиториал УРСС, 1999. 248 с.

210. T.J. Chung. Computational Fluid Dynamics. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. 1022 p.

211. O.A. Нехамкина, Д.А. Никулин, M.X. Стрелец. Об иерархии моделей тепловой естественной конвекции совершенного газа. — Теплофиз. высоких температур. 1989. Т. 27. №6. С. 1115-1125.

212. В.И. Полежаев. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи: итоги и перспективы. Инж.-физ. журнал. 1996. Т. 69. № 6. С. 909-920.

213. S. Succi. The Lattice Boltzmann Equation for Fluid Dynamics and Beyond. Oxford: Oxford University Press, 2001. 368 p.

214. J. Ouazzani, Y. Garrabos. A new numerical algorithm for low Mach number supercritical fluids. -ArXiv:0704.3051 vlphysics.class-ph., 2007.

215. Р.И. Нигматулин. Динамика многофазных сред. Ч. 1. М.: Наука, 1987. 464 с.

216. Р.И. Нигматулин. Динамика многофазных сред. Ч. 2. М.: Наука, 1987. 360 с.

217. J.V. Sengers. Transport properties of gases and binary liquids near the critical state. In: Transport Phenomena - 1973. AIP Conference Proceedings. №. 11. Ed. J. Kestin. - New York: American Institute of Physics, 1973. P. 229-277.

218. В.И. Полежаев. Течение и теплопередача при ламинарной естественной конвекции в вертикальном слое. Тепло- и массоперенос. Т. 1. Минск: ИТМОим. A.B. Лыкова, 1968. С. 631-640.

219. М.Ю. Беляев, С.Г. Зыков, С.Б. Рябуха, В.В. Сазонов, В.А. Сарычев, В.М. Стажков. Математическое моделирование и измерение микроускорений на орбитальной станции "Мир". Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1994. № 5. С. 5-14.

220. В.В. Сазонов, М.К. Ермаков, А.И. Иванов. Измерение микроускорений на орбитальной станции Мир во время экспериментов на установке Alice. Космич. исследования. 1998. Т. 36. № 2. С. 156-166.

221. В.Г. Мартынец, Э.В. Матизен. Определение параметров уравнения состояния Мигдала. Журнал экспер. и теор. физики. 1974. Т. 67. № 2 (8). С. 607-614.

222. R.B. Grilly, R.L. Mills. Melting properties of 3He and 4He up to 3500 kg-cm-2. -Annals of Physics. 1959. V. 8. № 1. P. 1-23.

223. H. Meyer. Numerical values of the physical properties of 3He (table). Private communication.

224. A. Schlüter, D. Lortz, F. Busse. On the stability of steady finite amplitude convection. -J. Fluid Mech. 1965. V. 23 (1). P. 129-144.

225. И = характерная высота областир = плотность

226. V = скорость жидкости в порах (в модели пористой среды)

227. О = скорость жидкости (в модели однофазной жидкости), скорость фильтрации (в модели пористой среды)

228. О = тензор скоростей деформации1. Т = температура1. Р = полное давление

229. Р} = среднее по области давлениер = разность между полным и средним давлениями§ = вектор массовой силые = внутренняя энергия (единицы массы)

230. Е = полная внутренняя энергия5 = энтропия (единицы массы)5 = энтропия (единицы объема)функция тока

231. Е^ = полная кинетическая энергия

232. Ср = теплоемкость жидкости при постоянном давлении (единицы объема)

233. Су = теплоемкость жидкости при постоянном объеме (единицы объема)ар = коэффициент теплового расширения

234. Р — коэффициент изотермической сжимаемости= молекулярный вес веществаоос1ш = элемент объема О = полный объем области с1Ь — элемент границы областип = единичный вектор нормали к границе области (направлен внутрь области)

235. Яа^ = число Рэлея (параметр моделирования)

236. Яа = реальное число Рэлея (критерий подобия)

237. ЯУ0 = вибрационное число Рэлея (параметр моделирования)

238. ЯУ = реальное вибрационное число Рэлея (критерий подобия)яа0 = число Рэлея-Дарси (параметр моделирования)

239. Яс1 = реальное число Рэлея-Дарси (критерий подобия)с? II число Прандтля (параметр моделирования)