Корни Артина абелевых многообразий и представления группы Вейля-Делиня тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Математический институт имени В. А Стеклова

САБИТОВА МАРИЯ НАИЛБВНА

КОРНИ АРТИНА АБЕЛЕВЫл. МНОГООБРАЗИЙ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВЕЙЛЯ-ДЕЛИНЯ

01 01 06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Российская Академия Наук

На правах рукописи УДК 512.742 7

003169145

Москва - 2008

1 5 МАМ 2000

003169145

Работа выполнена в отделе алгебры Математического института имени В А Стеклова РАН

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор Богомолов Федор Алексеевич

кандидат физико-математических наук, доцент Жуков Игорь Борисович

доктор физико-математических наук, профессор Зархин Юрий Геннадьевич

Санкт-Петербургское Отделение Математического института имени В А Стеклова РАН

Защита состоится «5» июня 2008 г в /4 часов на заседании диссертационного совета Д 002 022 03 в Математическом институте имени В А Стеклова РАН по адресу 119991, г. Москва, ул Губкина, д 8 (9 этаж)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института имени В А Стеклова РАН

Автореферат разослан «2/9* СС/Ь/Ь£^6Л2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002 022.03 в МИ РАН доктор физ -мат наук

Н П Долбилин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория ¿-функций и е-функций является обобщением классической теории дзета-функций и восходит к работам Гекке и Хассе

ИаЧаЛа ПрОШЛОГО СТОЛсгил Пи сшсшш ип и KJldbLH'ieuKuii хеириеи рациональных чисел ¿-функции вводятся при доказательстве теорем о распределении простых идеалов в полях алгебраических чисел В свою очередь, теория е-функций возникает в связи с необходимостью исследования функциональных уравнений для ¿-функций

В 20-х гг прошлого века Гекке1 обобщил классическое функциональное уравнение для обычной дзета-функции на случай ¿-функции с характерами групп идеалов полей алгебраических чисел Спустя 30 лет Тэйт в своей диссертации обобщил результаты Гекке, — он вывел функциональное уравнение для ¿-функций с мультипликативными характерами локальных полей, что позволило определить соответствующие е-функции для характеров локальных полей С развитием локальной теории полей классов оказалось возможным отождествить характеры локального поля К с одномерными (комплексными) представлениями группы Вейля W(K/K) этого поля посредством изоморфизма Артина К* = W(K/K)ab, где К* = GL^JQ и W(K/K)ab есть фактор-группа группы W(K/K) по замыканию ее коммутатора, которая естественным образом отождествляется с группой одномерных характеров группы W(K/K) Таким образом, с помощью изоморфизма Ар-тина можно определить L-функцию и е-функцию для одномерных представлений группы W(K/K) Это обстоятельство послужило толчком к дальнейшему обобщению понятия ¿-функции, теперь уже для представлений группы W(К/К) произвольной размерности2 Построение соответствующего обобщения е-функции является гораздо более сложной задачей, так как в одномерном случае определение е-функции, в отличие от ¿-функции, существенно опирается на изоморфизм Артина Пытаясь обобщить изоморфизм Артина и

'Hecke, Е Erne neue Art von Zetafunktionen und lhre Beziehungen zur Verteilung der Primzahlen / E Hecke // Math Z - 1920 - V 6, №1/2 - P 11-51

2Artm, E Zur Theorie der L-Reihen mit allgememen Gruppencharakteren / E Artin // Hamb Abh - 1930 - V 8 - P 292-306, collected papers - P 165 - 179

e-функцию на случай представлений произвольной размерности, Ленглендс в своей неопубликованной статье (1970) доказал теорему о существовании естественного обобщения e-функции для представлений группы W(K/К) произвольной размерности В 1973 г Делинь3 предложил другое, сравнительно легкое доказательство теоремы Ленглендса Он ввел понятие группы (Вейля— Делиня) W(K/K) локального поля К и построил теорию ее представлений, которая является обобщением теории представлений группы Вейля Делинь определил L- и e-функции для представлений группы W(K/K) и (совместно с Гротендиком) сконструировал естественный функтор из категории представлений группы Ga\(K/K) в векторных пространствах над Q¡ (так называемых l-адических представлений) в категорию комплексных представлений группы W(К/К) (I — простое число, отличное от характеристики поля вычетов поля К) С помощью этого функтора можно определить представления группы yV'(K/K), соответствующие естественным ¿-адическим представлениям группы Gal {К/К) в ¿-адических группах когомологий многообразий над К, и, как следствие, определить соответствующие ¿-функции, е-функции и связывающие их (гипотетические) функциональные уравнения

Существование локальных e-функций (т е e-функций для представлений групп Вейля—Делиня локальных полей) позволяет определить глобальные e-функции (т е e-функции для представлений групп Галуа глобальных полей) как произведения соответствующих локальных e-функций Глобальным (локальным) корнем Артина называется отношение глобальной (локальной) e-функции к ее абсолютному значению

В начале 60-х годов прошлого столетия Бэрч и Суиннертон-Дайер4 исследовали эллиптические кривые над Q и связанные с ними ¿-функции На основе полученных данных они выдвинули гипотезу о равенстве ранга группы E(Q) (Q-значных точек эллиптической кривой Е над Q) порядку ords=i L(E,s) L-функции L(E,s), ассоциированной с этой кривой Впоследствии гипотеза, сформулированная для эллиптических кривых, была перене-

3Dehgne, Р Les constantes des équations fonctionnelles des fonctions L / P Deligne // Modular functions of one variable - New York Springer-Verlag - 1973 - V 2 - P 501-595

4Birch, В J Notes on elliptic curves II / В J Birch, H P F Swinnerton-Dyer //J Reine Angew Math - 1965 - V 218 - P 79-108

сена на более общие объекты, в частности, на абелевы многообразия Из гипотезы Бэрча и Суиннертон-Дайера вместе с гипотетическим функциональным уравнением для функции L(A, s), ассоциированной с абелевым многообразием А над Q, следует, что корень Артина W(А), ассоциированный с А, равен (—ijr—1 "'S' Появление этой гипотетической формулы, называемой иногда гипотезой четности, стимулировало интерес к исследованию корней Артина, а сама формула оказалась богатым источником информации об абелевых многообразиях и, в частности, эллиптических кривых В этом контексте была получена явная формула для локального корня Артина, ассоциированного с эллиптической кривой5, и изучены глобальные корни Артина некоторых эллиптических кривых6

Исследование абелевых многообразий над числовыми полями привело к необходимости изучения локальных корней Артина вида W{AV, т„), где А — абелево многообразие над числовым полем F,t — неприводимое представление группы Gal(F/F), v — простой дивизор поля F, Av — AxpFv, Fv обозначает пополнение поля F относительно иит,- ограничение представления т на подгруппу Gal(Fv/Fv) M- Gal(F/F) Пусть a'v — представление группы Вейля—Делиня W'(FV/FV), ассоциированное с первой Z-адической группой когомологий многообразия Av (I — простое число, отличное от характеристики поля вычетов поля Fv) Тогда, по определению, W(AV, т„) = W(a'v®tv), где т„ рассматривается как представление группы W'{FvjFv) В 1996 г Рорлик7 вывел формулу для локального корня Артина W(E, г), ассоциированного с эллиптической кривой Е над локальным полем К и представлением т группы Gal (К/К) с вещественнозначным характером, в случае, когда характеристика р поля вычетов поля К строго больше трех, что позволило определи гь, при некоторых дополнительных условиях, глобальный корень Артина, ассоциированный с эллиптической кривой над числовым полем F и неприводимым

5Robrlich, D Е Variation of the root number m families of elliptic curves /DE Rohrlich // Compositio Math - 1993 - V 87, №2 - P 119-151

eKobayashi, S The local root number of elliptic curves with wild ramification / S Kobayashi // Math Ann

- 2002 - V 323, №3 - P 609-623

'Rohrlich, D E Galois theory, elliptic curves, and root numbers /DE Rohrlich // Compos Math -1996

- V 100 - P 311-349

представлением группы Ga\{F/F) с вещественнозначным характером Этот результат был обобщен автором диссертации на случай абелевых многообразий Известно, что для глобального корня Артина W{A, г) существует аналог гипотезы четности В работах автора диссертации показано, в частности, что этот аналог согласуется с полученными результатами, что является еще одним подтверждением гипотезы четности

Ряд работ, выполненных в рамках построения общей теории е-функций, посвящен нахождению формул для глобальных и локальных корней Артина в различных специальных случаях Было доказано, что корень Артина W(t) представления т группы Галуа Ga\{F/F) глобального поля F с веще-ственнозначным характером равен единице, если т — ортогональное представление, и приведены примеры представлений, имеющих вещественнознач-ные характеры и корень Артина, равный -I8 Хотя в общем случае явная формула для локальной e-функции отсутствует, Делинь9 дал ее описание с помощью классов Штифеля—Уитни для ортогональных представлений группы W(K/K), а спустя 19 лет была получена явная формула для локальной e-функции представления группы Ga\(K/K), индуцированного единичным характером группы Галуа Gal(L/L) конечного сепарабельного расширения L поля К, при условии, что характеристика поля вычетов поля К не равна 210 С учетом некоторых свойств e-функции последний результат дает конкретное описание поведения e-функции при индуцировании представлений подгруппы Gal{L/L) на группу Gal(K/K) Были получены также новые формулы для локальных корней Артина в случаях унитарных и ортогональных представлений Галуа с использованием "явной" версии теоремы Брауэра11 и др

Другое важное направление в исследовании корней Артина представлений Галуа связано с их применением в теории модулей Галуа Основы этой теории

'Fröhlich, A On the functional equation of the Artm ¿-function for characters of real representations / A Fröhlich, J Queyrut // Invent Math - 1973 - V 20 - P 125-138

'Deligne, P Les constantes locales de l'équation fonctionnelle de la fonction L d'Artin d'une repráentation orthogonale / P Deligne // Invent Math - 1976 - V 35 - P 299-316

10Saito, T Local constants of Ind¿ 1 / T Salto // Comment Math Helv - 1995 -V 70, №4 -P 507-515

"Snaith, V Topological methods m Galois representation theory / V Snaith - Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts A Wiley-Interscience Publication John Wiley к Sons, be , New York, 1989

были заложены Фрелихом в 70-х гг прошлого столетия в связи с изучением кольца целых элементов Ön конечного расширения Галуа N числового поля F с группой G = Gal(N/F) как модуля над кольцом Z[G] В рамках этой теории был определен аддитивный инвариант Qa(N/F), который "из-меряе!" u-струкгуру кольца Он, сформулирован и доказан ряд глубоких гипотез, связывающих аддитивный инвариант Qa(N/F) с корнями Артина симплектических представлений группы G12 В 80-х гг Чинбург13 предложил так называемый мультипликативный аналог теории Фрелиха Пусть S — достаточно большое конечное множество простых дивизоров поля N, инвариантное относительно действия группы G, и U — группа S-обратимых элементов кольца On Изучая ZfGj-модуль U, Чинбург ввел новый мультипликативный инвариант Clm(N/F), который, подобно аддитивному инварианту, "измеряет" G-структуру группы U Чинбург выдвинул и частично разрешил новые гипотезы, касающиеся, в частности, связи между мультипликативным инвариантом Пm(N/F) и корнями Артина симплектических представлений группы G В дальнейшем эта теория, развитая для расширений Галуа N/F, была перенесена на мотивы и объекты К-теории и переросла в теорию П-инвариантов14

Начиная с 1992 г, ведется работа по созданию геометрической теории модулей Галуа, т е изучению вопросов классической теории модулей Галуа числовых полей в контексте алгебраической геометрии15

Цели диссертации

Вывод явной формулы для локального корня Артина, ассоциированного с абелевым многообразием над локальным полем К и комплексным непрерывным конечномерным представлением группы Ga\{К/К) с вещественнознач-ным характером

1JFïohlich, A Classgroups and Hermitian modules / A Fröhlich, M J Taylor - Progress m Mathematics, 48 Birkhauser Boston, Inc , Boston, MA, 1984

13Chinburg, T The analytic theory of multiplicative Galois structure / T Chmburg // Mem Amer Math Soc - 1989 - V 77, №395 - 158 pp

14Chmburg, T Galois structure of if-groups of rings of integers / T Chmburg, M Kolster, G Pappas, V P Snaith // Jf-theory - 1998 - V 14, №4 - P 319-369

15Chmburg, T Duality and Hermitian Galois module structure / T Chmburg, G Pappas, M Taylor // Proc London Math Soc (3) - 2003 - V 87, ЛП - P 54-108

Применение полученных результатов к вычислению глобального корня Артина, ассоциированного с абелевым многообразием над числовым полем Р и комплексным непрерывным конечномерным неприводимым представлением группы Са\(Р/Г) с вещественнозначным характером

Описание допустимых унитарных, ортогональных и симплектических представлений группы Вейля—Делиня неархимедова локального поля

Методы исследования При получении результатов диссертации использовались методы алгебраической геометрии и гомологической алгебры, теория представлений групп, а также теория униформизации абелевых многообразий и теория Серра—Тэйта абелевых многообразий над неархимедовыми локальными полями с потенциально хорошей редукцией

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты

а) Пусть Р — числовое поле, Ь С Р — его конечное расширение Галуа, т

— комплексное неприводимое представление группы ва1 (Ь/Р) с вещественнозначным характером ид — произвольное фиксированное натуральное число Доказано, что если подгруппы (группы Са1(Ь/^)) разложения всех простых дивизоров поля Ь, делящих все простые числа < 2д + 1, абелевы и индекс Шура тпд(г) представления г равен 2, то ЦГ(А, т) = 1 для всякого абелева многообразия А размерности д над Р

б) Пусть К — локальное неархимедово поле нулевой характеристики и д

— произвольное фиксированное натуральное число В предположении, что характеристика поля вычетов поля К строго больше, чем 2д + 1, получена формула для локального корня Артина, ассоциированного с абелевым многообразием размерности д над К и комплексным непрерывным конечномерным представлением группы ва\{К/К) с вещественнозначным характером

в) Дано описание допустимых унитарных, ортогональных и симплектических представлений группы Вейля—Делиня неархимедова локального поля

г) Классифицированы неприводимые симплектические представления полупрямого произведения конечной и бесконечной циклических групп

Теоретическая и практическая значимость Полученные результаты подтверждают версию гипотезы Бэрча—Суиннертон-Дайера и могут быть ис-

пользованы в изучении рангов Морделла— Вейля абелевых многообразий

Апробация работы Результаты диссертации докладывались на международных российских и зарубежных семинарах и конференциях International Summer School "Recent Problems in Field Theory", 22 06 -02 07 2004, Казань, Россия, Семинар 1алуа, University of Pennsylvania, USA, 05 11 2004, Семинар по алгебре, Boston University, USA, 15 11 2004, Семинар по теории чисел, Caltech, USA, 02 12 2004, Семинар по алгебре, University of Southern California, USA, 06 12 2004, Семинар по алгебраической теории чисел, University of Illinois at Urbana-Champaign, USA, 27 01 2005, Семинар no теории чисел, University of California at Berkeley, USA, 15 04 2005, Special session on "Arithmetic Geometry" of the AMS Western Section Meeting, 16 04 — 17 04 2005, Santa Barbara, USA, Quebec-Vermont Number Theory Seminar, Université de Montréal, Canada, 27 10 2005, Mathematical Sciences Research Institute Seminar, MSRI, USA, 03 04 2006, Семинар по алгебре, University of Washington, USA, 24 04 2006, Семинар по алгебре, Математический институт им В А Стеклова, 22 05 2007

Публикации По теме диссертации опубликованы 4 работы, в том числе 2 — в изданиях из списка ВАК

Структура и объем работы. Диссертация, изложенная на 89 страницах, состоит из введения, трех глав, заключения, пяти приложений и списка литературы, включающего 138 наименований

Краткое содержание работы

Во введении формулируются цели и задачи диссертации, обосновывается их актуальность, описывается содержание работы, дается краткий библиографический обзор и перечисляются результаты, выносимые на защиту

Основной объект диссертационного исследования — корень Артина W(A, т), ассоциированный с абелевым многообразием А размерности g над числовым полем F и конечномерным непрерывным неприводимым комплексным представлением т группы Галуа Gal(F/F) поля F с вещественнознач-ным характером Корень Артина W{A, т) = ±1 входит в гипотетическое

уравнение для ¿-функции Ь(А,т, в), ассоциированной с Л и г

Основным результатом диссертации является следующая теорема, которая обобщает теорему Рорлика, доказанную для эллиптических кривых, на случай абелевых многообразий

Теорема 1 Пусть Р — числовое поле, ¿ С Р — его конечное расширение Галуа, т — конечномерное неприводимое комплексное представление группы Са1 (Ь/Р) с вещественнозначным характером ид— произвольное фиксированное натуральное число Если подгруппы (группы Са\(Ь/Р)) разложения всех простых дивизоров поля Ь, делящих все простые числа <2д + 1, абе-левы и индекс Шура тnQ(т) представления т равен 2, то Ш(А, т) = 1 для всякого абелева многообразия А размерности д над Р

Утверждение теоремы 1 косвенно подтверждает версию гипотезы Бэрча— Суиннертон-Дайера, согласно которой порядок ¿-функции Ь(А, т, я) при в = 1 равен кратности {аа,т) представления г в естественном представлении а а группы в С А(Е) Отсюда выводится равенство

IV (А, г) = (-1)<^'т>

Так как а а реализуемо над <0> и г неприводимо, то гтгц^т) делит {ста, т) Таким образом, если т^(т) = 2, то ИГ(А, т) = 1 для всякого абелева многообразия А над ^

При доказательстве теоремы 1 используется формула Ш(А,т) = 1[]¥(Ау,т„),

v

где V пробегает все простые дивизоры поля Р, Ау = А Хр Р„ обозначает пополнение поля Р относительно V н ть — ограничение представления г на подгруппу <-4 Са\(Р/Р) Пусть а'у — представление группы

Вейля—Делиня У\?'(Ру/Ри), ассоциированное с первой группой когомологий многообразия Ау Тогда, по определению, Ш(АУ)ть) = ® т„), где т„ рассматривается как представление группы УУ'^/^)

В диссертации показано, что справедливо более сильное утверждение, из которого следует теорема 1, а именно, имеет место

Теорема 2 (теорема А) В предположениях теоремы 1 имеем

W(Av,tv) = 1 для всех v

В первой главе диссертации изучается корень Артиня W(A._r) и случае, когда v — конечный простой дивизор поля F и т„ — конечномерное непрерывное комплексное представление группы Gal(Fv/Fv) с вещественнознач-ным характером Если v конечно, то

ипл \ ш/ ' к* \ e(a'v®rv,^v,dxv)

W(AV, tv) = W(av ® rv) = ; - '

® т-«. Фу, dxv)\

здесь Vv ~1 нетривиальный аддитивный характер поля — мера Ха-

ара на Fv п a'v — представление группы W(FV/FV), ассоциированное с естественным представлением группы Ga\(FV/FV) в первой Z-адической группе когомологий Hl(Av), где I — простое число, отличное от характеристики р = char(fc^) поля вычетов kv поля Fv

Известно, что H}(AV) и Vi(Av)* изоморфны как Са1(^/^)-модули над Qi, где Vi(Av) — Ti{Av) Qi, Ti(Av) есть Z-адический модуль Тэйта многообразия Av и Ц(АУ)* обозначает модуль, контрагредиентный модулю Vi(Av) Поэтому можно считать, что a'v — представление группы W(FV/FV), ассоциированное с V](A„)* Из свойств е-функции следует, что W(a!v($Tv) не зависит от выбора меры dxv Доказано, что Wfâ ® rv) также не зависит от выбора ■фу Более того, W(a'v ® rv) = ±1

В §1 1 приводятся необходимые общие сведения и используемые обозначения В §1 2 изучается случай, когда Av — абелево многообразие с потенциально хорошей редукцией С использованием критерия Нерона—Огга—

1 /2

Шафаревича показано, что является полупростым симплектическим

представлением группы Вейля W(FV/FV) Здесь u>v — одномерное представление группы W(FV/FV), заданное формулой

w0|/„ = l, ш„(Ф„)=д~1,

где Iv — подгруппа инерции группы Ga\(FV/FV), Ф„ — обратный элемент Фробениуса группы Gal(Fv/Fv) и qv = card(kv) Так как, по предположению,

Д, имеет потенциально хорошую редукцию, то согласно теории Серра—Тэйта

существует конечное расширение Галуа Ь С Е„ максимального неразветвлен-

ного расширения ЕЦпт С Р„ поля со следующими свойствами Ау имеет

хорошую редукцию над Ь, порядок группы Са1(£/£1""г) не делится нар, если

р > 2д +1, и группа Са1(Рь/Ь) содержится в ядре представления В силу

1/2

этого </„ и, следовательно, сх(,<Е>с<л/ могут рассматриваться как представления группы

Щь/р,) = У^(Ру/Г,}/СЩТу/Ь) = Са1(1/*Г') х <Ф„),

где (Ф„) — бесконечная циклическая группа, порожденная элементом Ф„ Если р > 2д + 1, то Е = Са\(Ь/Р™т) будет конечной циклической группой, и представление а'и ® ^У2 будет полупростым симплектическим представлением полупрямого произведения б = Е я (Ф„) конечной и бесконечной циклических групп таким, что НеБ^о^ ® ш^2) имеет О-значный характер Доказано

Предложение 1 Пусть С = (с) — бесконечная циклическая группа, порожденная элементом с, и Е — (е) — конечная циклическая группа порядка п, порожденная элементом е Пусть С = Е >4 С — полупрямое произведение с действием группы С на Е, заданным формулой с"1 ее = ек для некоторого к 6 (Ъ/пЩ* Обозначим через в порядок элемента к в группе (2/п2)х Тогда каждое неприводимое симплектическое представление А группы (7 пропускается через группу Н = (ЗДс2®) и, будучи представлением группы Н, имеет следующий вид

А = ¡т^вхгф,

где Г — подгруппа группы С/{(?3), порожденная образом элемента сх в груп-пеС/(съ), иф — одномерное представление группы ЕхГ, удовлетворяющие следующим условиям

• если 6, — порядок элемента ф(е), то в, ^ 1,2 и х — порядок элемента к в группе {$/<1Ъу,

• х четно,

• ф{<?) = -1, • 1 + кх'2 = 0 [тоО)

Обратно, каокдое представление такого вида является симплектическим и неприводимым

Если р > 2д+1, то, используя предложение 1, получим следующую формулу И^Х^с^т-Л-!)'1 У» (-1)^4 (1)

где 1\ £ Ъ, /3 — ±1, 7 = ±1, 12 — (1,т„) + т]у — неразветвленный

квадратичный характер мультипликативной группы поля Е* и г>„ — представление группы реализуемое над

В §1 3 рассматривается случай произвольного абелева многообразия Ау В соответствии с теорией униформизации абелевых многообразии существуют такие полуабелево многообразие над Е„ и дискретная подгруппа У„ группы Сь, что Аь изоморфно Здесь Уь — этальный пучок свободных

абелевых групп над Эрес(^) ранга г, а многообразие С» является элементом точной последовательности

О^Г.^^Л^^О, (2)

где Ви — абелево многообразие над ^ с потенциально хорошей редукцией и Ту — тор над ^ размерности г Для описания представления используется формула Рейно, определяющая действие подгруппы инерции группы Са1(.Р„/.Р„) на точках кручения порядка 1п абелева многообразия над ^ в случае, когда данные униформизации расщепляются С помощью этой формулы показано, что

о'в = К|>©(Х1,®4Г1®<ф(2)), (3)

где — представление группы ассоциированное с естественным

представлением группы Gв!í.{Fv|Fv) в Ц (В„)*,

х„ • Оа1(1у^) —» СЬГ(2)

— естественное представление группы Gal(Fv/Fv) в YV(FV) и sp(2) — специальное двумерное представление группы W'(FV/FV)

Так как корень Артина прямой суммы представлений группы W(FV/FV) равен произведению корней Артина этих представлений, то из (3) следует формула

wfa ® г«) = Щки ® rv) (4)

Если, в частности, char(fcl)) > 2д + 1, то к представлению kv может быть применена формула (1), т е

W(kv ® т„) = detr„(-l)!l )9dimr« 7'2 (-1)<^> (5)

Вторая глава содержит доказательство теоремы А Если v — бесконечный дивизор, то a'v ассоциировано с компонентами группы Hl{Av{С), С) в разложении Ходжа Показано, что в этом случае

W(Av,rv) = (-l)^-v (6)

Из предположений теоремы А следует, что представление г имеет четную размерность и W(AV, т„) = 1 для всех бесконечных дивизоров v по формуле (6) Если v конечно, то, по предположению, т^(т) = 2, что влечет равенство W{xv ® w"1 ® т„ ® sp(2)) = 1, и из (4) имеем

W{o'v®tv) = W{KV® Т„) (7)

Если v — конечный простой дивизор такой, что char(fc„) >2^+1, то выполняется соотношение (5), из которого в предположении t7iq(t) = 2 следует W{kv ® т„) = 1, отсюда W{a'v ® т„) = 1

Если же v — конечный простой дивизор такой, что char(&„) < 2д + 1, то из условий теоремы А вытекает, что представления т„ и к, ® шУ2 являются симплектическими Поскольку вещественные степени характера tov не меняют корень Артина, то корень

W(kv ® т„) = W(kv ® wlJ2 ® r„) = 1 (8)

равен единице как корень Артина тензорного произведения двух симплекти-ческих представлений группы W(FV/FV) Учитывая (7), (8), и в этом случае получим W{g'v ®tv) = 1 (§2 1)

В §2 2 исследуется специальный случай теоремы А, когда вычисления рассматриваемого локального корня Артина оказываются особенно простыми В этом случае кондуктор 9t(A) многообразия А и кондуктор 9t(r) представления г взаимно простые, т е каждый конечный простой дивизор v поля F не делит одновременно 01(A) и 91(т) Основным результатом §2 2 является следующее предложение

Предложение 2 Предположим, что представление т имеет четную размерность и вещественноэначный характер Если кондукторы 0Т(А) и 9Т(т) взаимно простые, то корень Артина W(AV, tv), ассоциированный с Av и tv, определяется формулой

{1, если у не делит 9Т(г) и 91(A) или v = оо,

det Tv(zjv)aia'"\ если v делит 9Т(А), det ru(—I)9, если v делит У1(т), где wv — простой элемент кольца целых элементов поля Fv и g ~ dim А

Кондуктор многообразия А и кондуктор представления г могут не быть взаимно простыми Действительно, существуют эллиптическая кривая Е над F и непрерывное четномерное неприводимое представление г группы Ga\{F/F) с вещественнозначным характером и тривиальным определителем такие, что W(E, т) = -1 (Рорлик) Из предложения 2 следует, что кондукторы таких Е и т не являются взаимно простыми

В третьей главе изучаются допустимые унитарные, ортогональные и симплектические представления группы Вейля—Делиня W'(K/K) неархимедова локального поля К Из определения допустимых представлений группы W'(K/K) непосредственно следует, что каждое допустимое представление является прямой суммой допустимых неразложимых подпредставлений В свою очередь, известно, что каждое допустимое неразложимое представление группы W'(K/K) имеет вид а ® sp(n), где а — неприводимое представление группы Вейля W(K/K) поля К, п — целое положительное число и sp(n) — специальное представление группы W(K/K) размерности п Легко показать, что a®sp(n) имеет единственное неприводимое подпредставление Дру-

гими словами, цоколь представления а ® sp(n) является неприводимым Поэтому изучение допустимых унитарных, ортогональных и симплектических представлений группы W(K/K) естественно начать с изучения унитарных, ортогональных и симплектических представлений (некоторой группы D над некоторым полем к), которые могут быть представлены в виде прямых сумм неразложимых подпредставлений с неприводимыми цоколями (§3 1) Доказана следующая теорема

Теорема 3 (теорема Б) Пусть а' — допустимое минимальное унитарное, ортогональное или симплектическое представление группы W(K/K) Пусть U — пространство представления а' и ( , } — невырожденная инвариантная форма на U Тогда либо а' = a®sp(n) для некоторого неприводимого представления а группы W(K/K) и целого положительного числа п, либо U = У ©У, где V = /3®sp(m) для некоторого неприводимого представления ß группы W(K/K) и целого положительного числа m,V = V*, если форма (•, ) билинейная, и У = V, если форма ( , ) полуторалинейная Более того, существует изоморфизм С [W (К / К)]-модулей А Уф У —> U со следующим свойством если ( , )' {у ф У j х (v © V^j —> С есть форма на У ф V, определенная равенством

(х,у)' = (\(х),\(у)), x,y£V ФУ,

то формы ( , )'\у, ( , вырожденные и { , )' У х V —> С есть стандартная форма, заданная уравнением

<«,/)' = /(«), u е У, / е У

Здесь V* = ß* ® шх~т ® sp(m) и представление

п—1

а ® ш 2

симплектическое, если а симплектическое и п нечетное,

если а симплектическое и п четное,

I

ортогональное, ортогональное, если а' ортогональное и п нечетное, симплектическое, если а' ортогональное и п четное

Под унитарным представлением понимается представление в комплексном конечномерном векторном пространстве, допускающем невырожденную инвариантную эрмитову форму (не обязательно положительно определенную), минимальное унитарное (или симплектическое, или ортогональное) представление — это представление, которое нельзя представить в виде ортогональной суммы своих ненулевых инвариантных подпредставлений, V* обозначает модуль, контрагредиентный модулю V, V есть С[(?]-модуль, который совпадает с б-модулем V*, и умножение на константы в V задается формулой

а ф = аф, а £ С, ф 6 V* Доказательство теоремы Б дается в §3 2

В §3 3 рассматривается приложение теоремы Б на ее основе дан элементарный вывод формулы (3) в частном случае, когда в (2) образ /у(Уу) конечен Приложение А содержит доказательства некоторых предложений из §12

В приложении В формулируется и доказывается лемма о представлении группы У\!'{К/К), ассоциированном с естественным ?-адическим представлением группы Оз1(К/К) в Ц(А)*

Если г — симплектическое представление, то теорема А вытекает из утверждения, что корень Артина тензорного произведения двух допустимых сим-плектических представлений группы Вейля—Делиня локального неархимедова поля равен единице (Делинь) Из симплектичности представления т следует, что mq(т) — 2, обратное в общем случае неверно, — имеются примеры неприводимых ортогональных комплексных представлений конечных групп с индексом Шура над полем рациональных чисел, равным 2

В приложении С приводится пример такого представления, а именно пусть ф — группа кватернионов и А = X я У — полупрямое произведение циклической группы X = (х) порядка 3, порожденной элементом х, и циклической группы У = (у) порядка 4, порожденной элементом у, с нетривиальным действием группы У на группе X Пусть С = X А Доказано

Предложение 3 Группа (? имеет неприводимое ортогональное комплексное представление с индексом Шура над полем рациональных чисел, равным

двум

В приложении D описывается представление группы W'(K/K), ассоциированное с естественным Z-адическим представлением группы Gal [К/К) в V¡(A)*, в случае, когда многообразие А является фактором тора по дискретной подгруппе Доказано следующее предложение

Предложение 4 Пусть А С (Кх)г — свободная дискретная подгруппа ранга s (s < г) Обозначим (КХ)Т/А через Т Пусть р' = (р, S) — представление группы W'(K/K), ассоциированное с l-адическим представлением группы Ga\(К/К) в V¡(r)*, и T¡(Г) — свободный Ъ\-модуль ранга s + r Тогда

р'^оГ1)®*'-')®^-1® sp(2))®3

Доказательство этого предложения основано на следующей лемме

Лемма 1 Пусть А С (Кх)г — свободная дискретная подгруппа ранга s (s < г) Существуют свободный базис р\, ,р3 группы А и натуральные числа nit ,п, (1 < щ < п2 < • < п3 < г) со следующими свойствами если Pk = (Pkj), 1<]<гирк}& К*, то pl7li ^ 0х для любого г и

Ры, € 0х для всех I > г

В приложении Е дается формула разложения представления sp(m) ® sp(n) группы Вейля—Делиня неархимедова локального поля на неразложимые компоненты Доказана

Лемма 2 Если т, п — целые положительные числа ит<п, то

т-1

sp(т) <В> sp(n) = ф(шг ® sp(n + т ~ 2г - 1))

1=0

Основные результаты диссертации

1 Пусть F — числовое поле, L с F — его конечное расширение Галуа, т — комплексное неприводимое представление группы Ga\(L/F) с веществен-нозначным характером и g — произвольное фиксированное натуральное число Доказано, что если подгруппы (группы Ga\(L/F)) разложения всех простых дивизоров поля L, делящих все простые числа < 25+1, абелевы и индекс

Шура гп(}(т) равен 2, то Ш(А,т) = 1 для всякого абелева многообразия А размерности д над Р

2 Пусть К — локальное неархимедово поле нулевой характеристики и д — произвольное фиксированное натуральное число В предположении, что характеристика поля вычетов поля К строго больше, чем 2<? + 1, получена формула для локального корня Артина, ассоциированного с абелевым многообразием размерности д над К и комплексным непрерывным конечномерным представлением группы Са\(К/К) с вещественнозначным характером

3 Дано описание допустимых унитарных, ортогональных и симплектиче-ских представлений группы Вейля—Делиня неархимедова локального поля

4 Дано описание неприводимых симплектических представлений полупрямого произведения конечной и бесконечной циклических групп

Список публикаций автора по теме диссертации

1 Sabitova, М Root numbers of curves of genus 2 / M Sabitova//Abstr The XVIth Intern Summer School-Seminar "Recent Problems in Theor and Math Phys ," Kazan, 22 06-2 07 04 - Kazan, 2004 - P 69

2 Сабитова, M H Корни Артина абелевых многообразий / М Н Сабитова // Успехи матем наук - 2007 - Т 62, вып 6 - С 161-162

3 Sabitova, М Root numbers of abelian varieties / M Sabitova // Trans Amer Math Soc - 2007 - V 359, №9 - P 4259-4284

4 Сабитова, MHO представлениях группы Вейля—Делиня / М Н Сабитова // Изв вузов матем - 2008 - №2(549) - С 48-52

Отпечатанно в типофафии ООО «Веда»

Заказ №732 Бумага 80гр/м2, печать ризографическая Тираж 100 экз

Введение

1 Корни Артина абелевых многообразий над локальными неархимедовыми полями нулевой характеристики

1.1 Общие факты и обозначения.

1.2 Случай абелева многообразия с потенциально хорошей редукцией

1.3 Общий случай

2 Корни Артина абелевых многообразий над числовыми полями (теорема А)

2.1 Доказательство теоремы А.

2.2 Специальный случай теоремы А.

3 Представления группы Вейля—Делиня (теорема Б)

3.1 Представления с неприводимыми цоколями.

3.2 Доказательство теоремы Б.

1. История вопроса

Теория L-функций и е-функций является обобщением классической теории дзета-функций и восходит к работам Гекке и Хассе начала прошлого столетия (см. [68], [67]). По аналогии с классической теорией рациональных чисел, L-функции вводятся при доказательстве теорем о распределении простых идеалов в полях алгебраических чисел. В свою очередь, теория е-функций возникает в связи с необходимостью исследования функциональных уравнений для L-функций.

В 20-х гг. прошлого века Гекке обобщил классическое функциональное уравнение для обычной дзета-функции на случай L-функции с характерами групп идеалов полей алгебраических чисел (см. [68]). Спустя 30 лет Тэйт в своей диссертации обобщил результаты Гекке, —• он вывел функциональное уравнение для L-функций с мультипликативными характерами локальных полей, что позволило определить соответствующие б-функции для характеров локальных полей (см. [81], гл. XIV).

С развитием локальной теории полей классов (Вейль, Артин) стало возможным отождествить характеры локального поля К с одномерными (комплексными) представлениями группы Вейля W(K/K) этого поля посредством изоморфизма Артина: Кх = W(K/К)аЬ, где Кх = GLi(i^) и W(K/K)ab есть фактор-группа группы W(K/K) по замыканию ее коммутатора, которая естественным образом отождествляется с группой одномерных характеров группы W(K/K). Таким образом, с помощью изоморфизма Артина можно определить L-функцию и б-функцию для одномерных представлений группы W(K/K). Это обстоятельство послужило толчком к дальнейшему обобщению понятия L-функции, теперь уже для представлений группы W(K/K) произвольной размерности (Артин [2], см. также [136]).

Построение соответствующего обобщения б-функции является гораздо более сложной задачей, так как в одномерном случае определение б-функции, в отличие от L-функции, существенно опирается на изоморфизм Артина. Пытаясь обобщить изоморфизм Артина и б-функцию на случай представлений произвольной размерности, Ленглендс в своей неопубликованной статье (1970) доказал теорему о существовании естественного обобщения б-функции для представлений группы W(K/K) произвольной размерности (см. также [39], [40]). В 1973 г. Делинь предложил другое, сравнительно легкое доказательство теоремы Ленглендса (см. [34], §4, а также [128]).

В своей фундаментальной статье [34] Делинь ввел понятие группы (Вейля—Делиня) W'(K/K) локального поля К, построил теорию ее представлений, которая является обобщением теории представлений группы Вейля, определил L- и б-фуикции для представлений группы W(K/K) и (совместно с Гротендиком) сконструировал естественный функтор из категории представлений группы Ga\{К/К) в векторных пространствах над Q/ (так называемых l-адических представлений в категорию комплексных представлений группы W'(K/K) (I — простое число, отличное от характеристики поля вычетов поля К). С помощью этого функтора можно определить представления группы W'(K/K), соответствующие естественным Z-адическим представлениям группы Ga\{К/К) в Z-адических группах когомологий многообразий над К, и, как следствие, определить соответствующие L-функции, б-функции и связывающие их (гипотетические) функциональные уравнения.

Существование локальных е-функций (т. е. б-функций для представлений групп Вейля—Делиня локальных полей) позволяет определить глобальные е-функции (т. е. б-функции для представлений групп Галуа глобальных полей) как произведения соответствующих локальных б-функций. Глобальным (локальным) корнем Артина называется отношение глобальной (локальной) б-функции к ее абсолютному значению.

В начале 60-х гг. прошлого столетия Бэрч и Суиннертон-Дайер исследовали эллиптические кривые над Q и связанные с ними L-функции. На основе полученных данных они выдвинули гипотезу о равенстве ранга группы E(Q) (Q-значных точек эллиптической кривой Е над Q) порядку ords=i L(E, s) L-функции L(E, s), ассоциированной с этой кривой. Впоследствии гипотеза, сформулированная для эллиптических кривых, была перенесена на более общие объекты, в частности, на абелевы многообразия.

Из гипотезы Бэрча и Суиннертон-Дайера вместе с гипотетическим функциональным уравнением для функции L(A, s), ассоциированной с абе-левым многообразием А над Q, следует, что корень Артина W(A), ассоциированный с А, равен (—i)rank^№). Появление этой гипотетической формулы, называемой иногда гипотезой четностщ стимулировало интерес к исследованию корней Артина, а сама формула оказалась богатым источником информации об абелевых многообразиях и, в частности, эллиптических кривых. В этом контексте была получена явная формула для локального корня Артина, ассоциированного с эллиптической кривой над конечным расширением поля Qp (Рорлик [107] для р > 3; С. Кобаяши [79], [80] для р = 3; Тим и Владимир Докчитсеры [36] для р = 2; см. также таблицу в [66] для случаев р = 2,3), изучены глобальные корни Артина эллиптических кривых над числовым полем F вида Ed : у2 = ж3 + D, D 6 Ъ (Ливерэнс [82] для F = Q; С. Кобаяши [79]) и поведение корней Артина в различных семействах эллиптических кривых (Касселс, Счинзел [6]; Рорлик [107]; Мэй [84]; Грант, Мандучи [85], [61]; Риззо [102], [103]; Мазур, Рубин [88]; Брайэн и Кеннет Конрады, Гельфготт [31]; Е. Кобаяши [78]).

Исследование абелевых многообразий над числовыми полями привело к необходимости изучения локальных корней Артина вида W(Av,rv), где А — абелево многообразие над числовым полем F, т — неприводимое представление группы Gal(F/F), v — простой дивизор поля F, Av = А Хр FV: Fv обозначает пополнение поля F относительно v и. rv — ограничение представления т на подгруппу Gal(Fv/Fv) м- Gal(F/F). Пусть a'v — представление группы Вейля—Делиня yV'(Fv/Fv), ассоциированное с первой I-адической группой когомологий многообразия Av (I — простое число, отличное от характеристики поля вычетов поля Fv). Тогда, по определению, W(Av,rv) = W(<j'v®tv), где tv рассматривается как представление группы W'(FV/FV).

В 1996 г. Рорлик вывел формулу для локального корня Артина W(E, т), ассоциированного с эллиптической кривой Е над локальным полем К и представлением г группы Ga\(К/К) с вещественнозначным характером, в случае, когда характеристика р поля вычетов поля К строго больше трех ([109], см. также [72] и [110]), что позволило определить, при некоторых дополнительных условиях, глобальный корень Артина, ассоциированный с эллиптической кривой над числовым полем F и неприводимым представлением группы Gdl{F/F) с вещественнозначным характером. Этот результат был обобщен автором диссертации на случай абелевых многообразий. Известно, что для глобального корня Артина W(A, г) существует аналог гипотезы четности. Можно показать, что этот аналог согласуется с полученными автором результатами, что является еще одним подтверждением гипотезы четности (см. [111], [112]). •

Ряд работ, выполненных в рамках построения общей теории ефункций, посвящен нахождению формул для глобальных и локальных корней Артина в различных специальных случаях.

В статьях Фрелиха, Серра, Киру и Эрмитажа (70-е гг. XX в.) исследовался глобальный корень Артина W(r) представления т группы Галуа Gal(F/F) глобального поля F с вещественнозначным характером. Доказано, в частности, что W(r) = 1, если т — ортогональное представление, и приведены примеры представлений, имеющих вещественнозначные характеры и корень Артина, равный —1 (см. [43]—[46], [116], [1]).

Хотя в общем случае явная формула для локальной е-функции отсутствует, Делинь дал ее описание с помощью классов Штифеля—Уитни для ортогональных представлений группы W(K/K) (см. [35]), а спустя 19 лет была получена явная формула для локальной е-функции представления группы Gal(K/К), индуцированного единичным характером группы Галуа Gal(L/L) конечного сепарабельного расширения L поля К, при условии, что характеристика поля вычетов поля К не равна 2 (Хенниарт [69], Саито [114]). С учетом некоторых свойств е-функции последний результат дает конкретное описание поведения е-функции при индуцировании представлений подгруппы Gal(L/L) на группу Ga\{К/К).

Изучались также глобальные корни Артина некоторых характеров Гек-ке (Рорлик [104], [106]), глобальные корни Артина представлений дицикли-чсских групп Галуа (Лубутин [83]), локальные корни Артина представлений групп Галуа полиномов Гильберта и Тейлора (Вила [135]), локальные е-функции квадратичных характеров конечных расширений поля Qp (Кэн [74]) и квадратичных расширений Галуа поля Qp (Морено и Вэн [90]).

Был найден ответ на вопрос, какие комплексные числа могут быть локальными корнями Артина вещественных представлений группы Gal(Q/Q) (Перлис [91]), получены новые формулы для локальных корней Артина в случаях унитарных и ортогональных представлений групп Галуа с использованием "явной" версии теоремы Брауэра (Снейт, Риттер [118]— [122], [96]). Создается база математических данных для конечных расширений поля которая, в частности, содержит локальные корни Артина этих расширений (Джоунс, Роберте [73]) и др.

Другое важное направление в исследовании корней Артина представлений Галуа связано с их применением в теории модулей Галуа. Основы этой теории были заложены Фрелихом в 70-х гг. прошлого столетия в связи с изучением кольца целых элементов О^ конечного расширения Галуа N числового поля F с группой G = Ga\{N/F) как модуля над кольцом h[G]. В рамках этой теории был определен аддитивнъш инвариант Qa(N/F), который "измеряет" ^-структуру кольца On, сформулирован и доказан ряд глубоких гипотез, связывающих аддитивный инвариант £la{N/F) с корнями Артина симплектических представлений группы G (Фрелих и др. [43]— [60], Кассу-Ноге и др. [Т]—[12], Тейлор [131]—[133], Киру [92]—[94], Мартине

86], [87], Уллом [134], Вильсон [137], [138], см. также обзорную статью Ку-ньяр [32]).

В 80-х гг. Чинбург предложил так называемый мультипликативный аналог теории Фрелиха. Пусть S — достаточно большое конечное множество простых дивизоров поля N, инвариантное относительно действия группы G, и U — группа ^-обратимых элементов кольца On- Изучая ZfGj-модуль U, Чинбург ввел новый мультипликативный инвариант Clm(N/F), который, подобно аддитивному инварианту, "измеряет" G-структуру группы U. Чинбург выдвинул и частично разрешил новые гипотезы, касающиеся, в частности, связи между мультипликативным инвариантом Q,m(N/F) и корнями Артина симплектических представлений группы G ([15]—[18]). Среди других авторов, также работающих над гипотезами Чинбурга, — Берне, Холланд, Грюнберг, Риттер, Вейсс, Ким, Снейт, Хупер, Трен, Дюбуа, Грайтер, Кучера ([3]-[5], [62]—[65], [97]-[101], [123]-[126], [70], [71], [75], [76], [38]). В дальнейшем теория, развитая для расширений Галуа N/F, была перенесена на мотивы и объекты К-теории и переросла в теорию О-инвариантов (Чинбург, Костлер, Паппас, Снейт [23], [26]—[27]).

Начиная с 1992 г., ведется работа по созданию геометрической теории модулей Галуа, т. е. изучению вопросов классической теории модулей Галуа числовых полей в контексте алгебраической геометрии (Чинбург, Эрез, Паппас, Тейлор [19]—[21], [27], [29], [30], [41]).

2. Основные результаты

Основной объект диссертационного исследования — корень Артина W(A, г), ассоциированный с абелевым многообразием А размерности д над числовым полем F и комплексным конечномерным непрерывным неприводимым представлением г группы Галуа Ga\(F/F) поля F с веществен-позначным характером. Корень Артина W(A:r) = ±1 входит в гипотетическое уравнение для L-функции L(A, т, s), ассоциированной с А и т.

Основным результатом диссертации является следующая теорема, которая обобщает теорему Рорлика ([109], с. 313, предл. Е), доказанную для эллиптических кривых, на случай абелевых многообразий:

Теорема 1. Пусть F — числовое поле, L С F — его конечное расширение Галуа, т — комплексное конечномерное неприводимое представление группы Gal(L/F) с вещественнозначным характером ид— произвольное фиксированное натуральное число. Если подгруппы (группы Gal(L/F)) разлоэюения всех простых дивизоров поля L,- делящих все простые числа < 2д + 1, абелевы и индекс Шура т<^(т) представления г равен 2, то W(A, т) = 1 для всякого абелева многообразия А размерности g над F.

Утверждение теоремы 1 косвенно подтверждает версию гипотезы Бэрча—Суиннертон-Дайера, согласно которой порядок L-функции L(A,t,s) при 5 — 1 равен кратности (сга,т) представления т в естественном представлении а а группы Ga l(F/F) в С <g>z Отсюда выводится равенство

W{A,r) = (-1)(с^'т>.

Так как а а реализуемо над Q и т неприводимо, то mq(r) делит (сг^,г). Таким образом, если т<д(т) = 2, то W(A,r) = 1 для всякого абелева многообразия А над F (ср. [109], с. 313).

При доказательстве теоремы 1 используется формула

W(A,T) = l[W(Av,rvl v где v пробегает все простые дивизоры поля F, Av = AxpFv, Fv обозначает пополнение поля F относительно v и rv — ограничение представления т на подгруппу Ga\{FvjFv) М- Ga\{F/F). Пусть <r'v — представление группы Вейля—Делиня W'(FV/FV), ассоциированное с первой группой когомоло-гий многообразия Av. Тогда, по определению, W(AV, rv) = W(cr'v ® rv), где rv рассматривается как представление группы W(FV/FV).

В диссертации показано, что справедливо более сильное утверждение, из которого следует теорема 1, а именно, имеет место

Теорема 2 (теорема А). В предположениях теоремы 1 имеем:

W(AV, rv) = 1 для всех v.

Доказательство теоремы 2 проводится в несколько этапов. Сначала дается описание локального корня W(Av,rv) в случае, когда rv — конечномерное непрерывное комплексное представление группы Gal(Fv/Fv) с ве-щественнозначным характером.

Если v — бесконечный дивизор, то a'v ассоциировано с компонентами группы H^{AV{С), С) в разложении Ходжа. В лемме 20 показано, что в этом случае

W(Av]rv) = (-iydknT\ (1)

Если v конечно, то и/ (av, tv) = w{av(& ту) =

-(cr'v <g> Tv,t/jv,dxv)y здесь фу — нетривиальный аддитивный характер поля Fv, dxv — мера Ха-ара на Fv и a'v — представление группы W{FV/FV), ассоциированное с естественным представлением группы Ga\(FV/FV) в первой /-адической группе когомологий Hj-(AV), где I — простое число, отличное от характеристики char поля вычетов kv поля Fv.

Хорошо известно, что H}{AV) и Vi(Av)* изоморфны как Gal(Fv/Fv)-модули над Qj, где Vi(Av) = Ti(Av) <g>Zj Q/, Ti(Av) есть /-адический модуль Тэйта многообразия Av и Vi{Av)* обозначает модуль, коитрагредиентный модулю Vi(Av). Таким образом, можно считать, что a'v — представление группы W{FV/FV), ассоциированное с Vi(Av)*. Из свойств б-функции следует, что W(a'v<S>Tv) не зависит от выбора меры dxv, и можно показать, что w{g'v ® rv) не зависит также от выбора iftv. Более того, w(a'v ®tv) = ±1 (см. §1.1).

В случае, когда Av — абелево многообразие с потенциально хорошей редукцией, по критерию Нерона—Огга—Шафаревича a'v является представлением группы Вейля W(FV/FV). Если char(fcv) > 2д + 1, то, используя теорию Серра—Тэйта и теорию представлений для описания класса <j'v в группе Гротендика виртуальных представлений группы W(FV/FV), получим следующую формулу:

W(a'v ® rv) = detr^C-l)'1 • /3dimr" • 7'2 ■ (-1)<^>, (2) где l\ G Z, Р — ±1, 7 = ±1, h = (1,t„) + (rjv,Tv), rjv — неразветвленный квадратичный характер мультипликативной группы поля F* и vv — представление группы Ga\(FV/Fy), реализуемое над Q (ср. [109], с. 318, теор. !)■

В случае произвольного абелева многообразия Av используется теория униформизации абелевых многообразий. В соответствии с этой теорией существуют такие полуабелево многообразие Gv над Fv и дискретная подгруппа Yv группы Gv, что Av изоморфно Gv/Yv. Здесь Yv — этальный пучок свободных абелевых групп над Spec(Fv) ранга г, а многообразие Gv является элементом точной последовательности

0 —>• Tv —> Gv By —у 0, (3) где Bv — абелево многообразие над Fv с потенциально хорошей редукцией и Ту — тор над Fv размерности г. Для описания представления a'v используется формула Рейно ([95], с. 314), определяющая действие подгруппы инерции Iv группы Gal(Fv/Fv) на точках кручения порядка 1п абелева многообразия над Fv в случае, когда данные униформизации расщепляются. С помощью этой формулы можно показать, что «и © (Xv ® ЦТ1 ® sp(2)), (4) где kv — представление группы W'(FV/FV), ассоциированное с естественным представлением группы Ga\{FV/FV) в Vi(Bv)*,

Xz; : Gal(Fv/Fv) —* GLr(Z) естественное представление группы Ga\(FV/FV) в YV(FV) и sp(2) определяется формулой (1.1) (см. предл. 14). Здесь wv — одномерное представление группы W(FV/FV), заданное формулой шу\1у = 1, ^(Ф^) = q'1, где Фу — обратный элемент Фробениуса группы Ga\{FV/FV) и qv = card(&„).

Учитывая, что корень Артина прямой суммы представлений группы W'(FV/FV) равен произведению корней Артина этих представлений, из (4) получим

W(a'v <8> rv) = W(kv <g> tv) ■ W(xv <8> w~1 <g> tv <g> sp(2)). (5)

Если, в частности, char(A;v) > 2д + 1, то к представлению ку может быть применена формула (2), т. е.

W{kv (g> tv) = detту(—1)11 ■ /3dimr" • У2 • (-1)<<^>, (6) где h G Z, /? = ±1, 7 = ±1, l2 = (1 ,tv) + {r]y,Tv), rjv — неразветвлен-ный квадратичный характер мультипликативной группы поля F* и vv — представление группы Ga\(FV/FV), реализуемое над Q.

Доказательство теоремы 2 может быть завершено аналогично доказательству Рорлика предложения Е ([109], с. 347). Действительно, из предположений теоремы 2 следует, что представление т имеет четную размерность ([109], лемма на с. 339 и лемма на с. 347). Следовательно, из (1) вытекает, что W(AV, tv) = 1 для всех бесконечных дивизоров v. Если v конечно, то, по предположению, тф(т) = 2, что влечет равенство W(xv <S> Ц71 ® Tv ® sp(2)) = 1, и из (5) имеем

W((T,V®TV) = W(KV®TV). (7)

Если v — конечный простой дивизор такой, что char(fcll) > 2g + 1, то выполняется соотношение (6), из которого в предположении т<^(т) = 2 следует равенство W(kv <g> tv) = 1, отсюда W{a'v 0 tv) = 1.

Если же v — конечный простой дивизор такой, что char(^) < 2^ + 1, то из условий теоремы 1 вытекает, что представление tv является симплек-тическим ([109], лемма на с. 347). При этом представление Куфи^2 также является симплектическим, так как kv связано с абелевым многообразием (см. §1.1). Поскольку вещественные степени характера ljv не меняют корень Артина, то корень

W{nv <g> rv) = W(kv <g> uj1J2 ® rv) = 1 (8) равен единице как корень Артина тензорного произведения двух симплек-тических представлений группы W(FV/FV) ([109], с. 319, предл. 2 и замечание после него). Учитывая (7), (8), и в этом случае имеем w{a'v (g) tv) = 1.

В диссертации изучаются также допустимые унитарные, ортогональные и симплектические представления группы Вейля—Делиня W'(K/K) неархимедова локального поля К.

Из определения допустимых представлений группы W'(K/K) непосредственно следует, что каждое допустимое представление является прямой суммой допустимых неразложимых подпредставлений. В свою очередь, известно, что каждое допустимое неразложимое представление группы W'{K/K) имеет вид a<2>sp(n), где а — неприводимое представление группы Вейля W(K/K) поля К, п — целое положительное число и представление sp(n) задается формулой (1.1). Легко показать, что а 0 sp(n) имеет единственное неприводимое подпредставление. Другими словами, цоколь представления а ® sp(n) является неприводимым. Поэтому изучение допустимых унитарных, ортогональных и симплектических представлений группы W{K/К) естественно начать с изучения унитарных, ортогональных и симплектических представлений (некоторой группы D над некоторым полем к), которые могут быть представлены в виде прямых сумм неразложимых подпредставлений с неприводимыми цоколями (см. §3.1, теор. 26). В результате получим следующую теорему.

Теорема 3 (теорема Б). Пусть а' — допустимое минимальное унитарное, ортогональное или симплектическое представление группы W'(K/K). Пусть U — пространство представления а' и (•, ■) — невырожденная инвариантная форма на U. Тогда либо а' = ex. ® sp(n) для некоторого неприводимого представления а группы W(K/K) и целого положительного числа п, либо U = V 0 V, где V = (3 <g> sp(m) для некоторого неприводимого представления (3 группы W(K/K) и целого положительного числа т, V = V*, если форма (•, •) билинейная, и V =-V, если форма (■, ■) полуторалинейная. Более того, существует изоморфизм С[W'(К/К)]-модулей А : V © V —> U со следующим свойством: если (•, •)' : (v ф yj X ^Уф^ —> С есть форма на V 0 К, определенная равенством х, у)' = (А (ж), А (?/)), x,yeV®V, n-1 a <S> ш 2 то формы (-, -)'\v и {•, выроо/сдеппые и (•, •)' : V x V —> С есть стандартная форма, заданная уравнением = /(«), uev,fev.

Здесь V* = (5* (8) и1"771 ® sp(m) и представление симплектическое, если а симплектическое и п нечетное, ортогональное, если <т' симплектическое и п четное, ортогональное, если а' ортогональное и п нечетное, симплектическое, если сг' ортогональное и п четное.

9)

Под унитарным представлением здесь и далее понимается представление в комплексном конечномерном векторном пространстве, допускающем невырожденную инвариантную эрмитову форму (не обязательно положительно определенную), минимальное унитарное (или симплектическое, или ортогональное) представление — это представление, которое нельзя представить в виде ортогональной суммы своих ненулевых инвариантных подпред-ставлений, V* обозначает модуль, контрагредиентный модулю V, V будет определено в §3.1 (см. замеч. 27).

Диссертация состоит из введения, трех глав, пяти приложений, заключения и списка литературы, включающего 138 названий.

Заключение

В диссертации исследован корень Артина W(A, т), ассоциированный с абе-левым многообразием А размерности д над числовым полем F и комплексным конечномерным непрерывным неприводимым представлением т группы Галуа Ga\{F/F) поля F с вещественнозначным характером. Метод исследования обобщает методы Рорлика, изучавшего корень Артина эллиптических кривых, и основан на теории представлений конечных групп и теории униформизации абелевых многообразий. Основным результатом диссертации является следующая теорема (теорема 1):

Пусть F — числовое поле, L С F — его конечное расширение Галуа, т — комплексное конечномерное неприводимое представление, группы Gal(L/F) с вещественнозначным характером и д — произвольное фиксированное натуральное число. Доказано, что если подгруппы (группы Ga\(L/F)) разложения всех простых дивизоров поля L, делящих все простые числа < 2(? + 1, абелевы и индекс Шура mq(r) представления т равен 2, то W(A,t) = 1 для всякого абелева многообразия А размерности д над F.

Эта теорема обобщает теорему Рорлика, доказанную для эллиптических кривых, на случай абелевых многообразий и косвенно подтверждает версию гипотезы Бэрча—Суиннертон-Дайера, согласно которой порядок L-функции L(A,t,s) при 5 = 1 равен кратности (сг^т) представления т в естественном представлении а а группы GdX(F/F) в С A(F).

Известно, что W(A,r) — ДvW(Av,rv), где v пробегает все простые дивизоры поля F, Av = А Хр Fv, Fv обозначает пополнение поля F относительно v и rv — ограничение представления г на подгруппу Ga\(FV/FV) ^ Gal(F/jF). В диссертации показано, что справедливо более сильное утверждение — теорема 2, согласно которой при условиях теоремы 1 равенство W(AV, rv) = 1 справедливо для всех v.

В предположении, что характеристика поля вычетов локального неархимедова поля К нулевой характеристики строго больше, чем 2^ + 1, получена формула для локального корня Артина, ассоциированного с абеле-вым многообразием размерности д над К и комплексным конечномерным непрерывным представлением группы Gal(K/K) с вещественнозначным характером.

В диссертации дано также описание допустимых унитарных, ортогональных и симплектических представлений группы Вейля—Делиня неархимедова локального поля. Классифицированы неприводимые симплекти-ческие представления полупрямого произведения конечной и бесконечной циклических групп и получен ряд следствий из результатов Рейно для по-луабелевых многообразий.

1. Armitage, J. V. Zeta functions with a zero at s — 1/2 / J. V. Armitage // 1.vent. Math. - 1972. - V. 15, P. 199-205.

2. Artin, E. Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren // Hamb. Abh 1930. - V. 8. - P. 292-306, collected papers. - P. 165 -179.

3. Burns, D. Chinburg's third invariant for abelian extensions of imaginary quadratic fields / D. Burns, D. Holland // Proc. London Math. Soc. -1997. V. 74, Ш. - P. 29-51.

4. Burns, D. Equivariant Tamagawa numbers and Galois module theory / D. Burns // Compositio Math. 2001. - V. 129, №2. - P. 203-237.

5. Burns, D. On the equivariant Tamagawa number conjecture for Tate motives / D. Burns, G. Greither // Invent. Math. 2003. - V. 153, №2.- P. 303-359.

6. Cassels, J. W. S. Selmer's conjecture and families of elliptic curves / J. W. S Cassels, A. Schinzel // Bull. London Math. Soc. 1982. - V. 14.- P. 345-348.

7. Cassou-Nogues, Ph. Quelques theoremes de base normale / Ph. Cassou-Nogues // Journees Arithmetiques de Caen / Univ. Caen, Caen. 1976.- P. 183-189, Asterisque No. 41-42, Soc. Math. France, Paris, 1977.

8. Cassou-Nogues, Ph. Structure galoisienne des anneaux d'entiers (French) / Ph. Cassou-Nogues // Proc. London Math. Soc. (3). 1979. - V. 38, №3. - P. 545-576.

9. Cassou-Nogues, Ph. Structure galoisienne des anneaux d'entiers d'extensions sauvagement ramifiees. II. (French) / Ph. Cassou-Nogues, J. Queyrut // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1982. - V. 32, M. - P. 7-27.

10. Cassou-Nogues, Ph. Constante de l'equation fonctionnelle de la fonction L d'Artin d'une representation symplectique et moderee. (French) / Ph. Cassou-Nogues, M. J. Taylor // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). -1983. V. 33, №2. - P. 1-17.

11. Cassou-Nogues, Ph. Local root numbers and Hermitian-Galois module structure of rings of integers / Ph. Cassou-Nogues, M. J. Taylor // Math. Ann. 1983. - V. 263, m. - P. 251-261.

12. Cassou-Nogues, Ph. Relevement galoisien d'invariant de Clifford equivariant. (French) / Ph. Cassou-Nogues, M. J. Taylor // Seminar on number theory, 1983-1984 (Talence, 1983/1984), Exp. No. 9,12 pp., Univ. Bordeaux I, Talence, 1984.

13. Chai, C. Neron models for semiabelian varieties: congruence and change of base field / C. Chai // Asian J. Math. 2000. - V. 4, №4. - P. 715-736.

14. Chevalley, C. Algebra / C. Chevalley. New York: Springer-Verlag. -1988.

15. Chinburg, T. On the Galois structure of algebraic integers and .S-units / T. Chinburg // Invent. Math. 1983. - V. 74, №3. - P. 321-349.

16. Chinburg, T. The Galois structure of S-units / T. Chinburg // Seminar on number theory, 1982-1983 (Talence, 1982/1983), Exp. No. 40, 21 pp., Univ. Bordeaux I, Talence, 1983.

17. Chinburg, T. Multiplicative Galois module structure / T. Chinburg // J. London Math. Soc. (2) 1984. - V. 29, №. ~ P. 23-33.

18. Chinburg, T. The analytic theory of multiplicative Galois structure / T. Chinburg // Mem. Amer. Math. Soc. 1989. - V. 77, №395. - 158 p.

19. Chinburg, T. Galois structure of de Rham cohomology / T. Chinburg // Sem. Theor. Nombres Bordeaux (2). 1992. - V. 4, №1. - P. 1-18.

20. Chinburg, T. Corrigendum: Galois structure of de Rham cohomology of tame covers of scheme / T. Chinburg // Ann. of Math. (2) 1994. - V. 140, №1. - P. 251.

21. Chinburg, T. Tame actions of group schemes: integrals and slices / T. Chinburg, B. Erez, G. Pappas, M. Taylor // Duke Math. J. 1996. -V. 82, №2. - P. 269-308.

22. Chinburg, Т. On the ^-constants of a variety over a finite field' / T. Chinburg, B. Erez, G. Pappas, M. Taylor // Amer. J. Math. 1997. - ' V. 119, №3. - P. 503-522.

23. Chinburg, T. Quaternionic exercises in if-theory Galois module structure / T. Chinburg, M. Kolster, G. Pappas, V. P. Snaith // Algebraic if-theory (Toronto, ON, 1996), 1-29, Fields Inst. Commun., 16, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997.

24. Chinburg, T. e-constants and the Galois structure of de Rham cohomology / T. Chinburg, B. Erez, G. Pappas, M. Taylor // Ann. of Math. 1997.- V. 146. P. 411-473.

25. Chinburg, T. On the ^-constants of arithmetic schemes / T. Chinburg, B. Erez, G. Pappas, M. Taylor // Math. Ann. 1998. - V. 311, №2. - P. 377-395.

26. Chinburg, T. Galois structure of K-groups of rings of integers / T. Chinburg, M. Kolster, G. Pappas, V. P. Snaith // if-theory. 1998-V. 14, №4. - P. 319-369.

27. Chinburg, T. Quaternionic exercises in if-theory Galois module structure. II / T. Chinburg, M. Kolster, V. P. Snaith // Algebraic K-theory and its applications (Trieste, 1997), 337-369, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1999.

28. Chinburg, T. ^-constants and the Galois structure of de Rham cohomology. II. / T. Chinburg, G. Pappas, M. Taylor //J. Reine Angew. Math. 2000. - V. 519. - P. 201-230.

29. Chinburg, T. ^-constants and equivariant Arakelov-Euler characteristics / T. Chinburg, G. Pappas, M. Taylor // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4)- 2002. V. 35, №3. - P. 307-352.

30. Chinburg, T. Duality and Hermitian Galois module structure / T. Chinburg, G. Pappas, M. Taylor // Proc. London Math. Soc. (3) -2003. V. 87, m. - P. 54-108.

31. Conrad, B. Root numbers and ranks in positive characteristic / B. Conrad, K. Conrad, H. Helfgott // Adv. Math. 2005. - V. 198, №2. - P. 684-731.

32. Deligne, P. Formes modulaires et representations de GL(2) / P. Deligne // Modular functions of one variable. New York: Springer-Verlag. - 1973.- V. 2. P. 55-105.

33. Deligne, P. Les constantes des equations fonctionnelles des fonctions L / P. Deligne // Modular functions of one variable. New York: Springer-Verlag. - 1973. - V. 2. - P. 501-595.

34. Deligne, P. Les constantes locales de Г equation fonctionnelle de la fonction L d'Artin d'une reprsentation orthogonale / P. Deligne // Invent. Math.- 1976. V. 35. - P. 299-316.

35. T. Dokchitser. Root numbers of elliptic curves in residue characteristic 2 / T. Dokchitser, V. Dokchitser // arxiv: math.NT/0612054.

36. Dokchitser, V. Root numbers of non-abelian twists of elliptic curves. With an appendix by Tom Fisher / V. Dokchitser // Proc. London Math. Soc. (3) 2005. - V. 91, №. - P. 300-324.

37. Dubois, I. S-unites et 5-groupe de classes d'un corps de nombres cyclique de degre premier / I. Dubois // J. Number Theory. 2000. - V. 85, №1.- P. 35-58.

38. Dwork, B. The local structure of the Artin root number / B. Dwork // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1955. - V. 41. - P. 754-756.

39. Dwork, B. On the Artin root number / B. Dwork // Amer. J. Math. -1956. V. 78. - P. 444-472.

40. Erez, B. Geometric trends in Galois module theory / B. Erez // Galois representaitons in arithmetic algebraic geometry (Durham, 1996): London Math. Soc. Lecture Note Ser., 254. Cambridge.: Cambridge Univ. Press, 1997. - P. 115-145.

41. Faltings, G. Degeneration of abelian varieties / G. Faltings, C. Chai // Berlin: Springer-Verlag. 1990.

42. Frohlich, A. Artin root numbers and normal integral bases for quaternion fields / A. Frohlich // Invent. Math. 1972. - V. 17. - P. 143-166.

43. Frohlich, A. On the functional equation of the Artin L-function for characters of real representations / A. Frohlich, J. Queyrut // Invent. Math. 1973. - V. 20. - P. 125-138.

44. Frohlich, A. Artin root numbers, conductors, and representations for generalized quaternion groups / A. Frohlich // Proc. London Math. Soc. (3) 1974. - V. 28. - P. 402-438.

45. Frohlich, A. Module invariants and root numbers for quaternion fields of degree 4Г / A. Frohlich // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1974. - V. 76. - P. 393-399.

46. Frohlich, A. Galois module structure and Artin L-functions / A. Frohlich // Journees Arithmetiques de Bordeaux (Conf., Univ. Bordeaux, Bordeaux, 1974), pp. 9—13. Asterisque, Nos. 24-25, Soc. Math. France, Paris, 1975.

47. Frohlich, A. Resolvents and trace form / A. Frohlich // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1975. - V. 78, №2. - P. 185-210.

48. Frohlich, A. Artin root numbers for quaternion characters. Symposia Mathematica / A. Frohlich // Vol. XV (Convegno di Strutture in Corpi Algebrici, INDAM, Rome, 1973), 353-363. Academic Press, Lodon, 1975.

49. Frohlich, A. Galois module structure and Artin L-functions / A. Frohlich // Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, В. C., 1974), Vol. 1, pp. 351-356. Canad. Math. Congress, Montreal, Que., 1975.

50. Frohlich, A. Arithmetic and Galois module structure for tame extensions / A. Frohlich // J. Reine Angew. Math. 1976. - V. 286/287. - P. 380-440.

51. Frohlich, A. Symplectic local constants and Hermitian Galois module structure / A. Frohlich // Algebraic number theory (Kyoto Internat. Sympos., Res. Inst. Math. Sci., Univ. Kyoto, Kyoto, 1976), pp. 25-42. Japan Soc. Promotion Sci., Tokyo, 1977.

52. Frohlich, A. Galois module structure / A. Frohlich // Algebraic number fields: L-functions and Galois properties (Proc. Sympos., Univ. Durham, Durham, 1975), pp. 133-191. Academic Press, London, 1977.

53. Frohlich, A. Local Hermitian group modules / A. Frohlich // Conference on Quadratic Forms—1976 (Proc. Conf., Queen's Univ., Kingston, Ont., 1976), pp. 493-514. Queen's Papers in Pure and Appl. Math., No. 46, Queen's Univ., Kingston, Ont., 1977.

54. Frohlich, A. On parity problems / A. Frohlich // Seminaire de Theorie des Nombres, 1978-1979, Exp. No. 21, 8 pp., CNRS, Talence, 1979.

55. Frohlich, A. The arithmetic theory of local Galois Gauss sums for tame characters / A. Frohlich, M. J. Taylor // Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 1980/81. - V. 298, №1437. - P. 141-181.

56. Frohlich, A. Value distributions of symplectic root numbers / A. Frohlich // Proc. London Math. Soc. (3) 1983. - V. 46, №1. - P. 83-99.

57. Frohlich, A. Galois module structure of algebraic integers / A. Frohlich // Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) Results in Mathematics and Related Areas (3)], 1. Springer-Verlag, Berlin, 1983. x+262 pp. ISBN: 3-540-11920-5.

58. Frohlich, A. Classgroups and Hermitian modules / A. Frohlich, M. J. Taylor // Progress in Mathematics, 48. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1984. xvii+226 pp. ISBN: 0-8176-3182-8.

59. Frohlich, A. Orthogonal representations of Galois groups, Stifel—Whitney classes and Hasse—Witt invariants / A. Frohlich // J. Reine Angew. Math.- 1985. V. 360. - P. 84-123.

60. Grant, G. R. Root numbers and algebraic points on elliptic surfaces with elliptic base / G. R. Grant, E. Manduchi // Duke Math. J. 1998. - V. 93, №. - P. 479-486.

61. Greither, C. The lifted root number conjecture for fields of prime degree over the rationale: an approach via trees and Euler systems / C. Greither, R. Kucera // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 2002. - V. 52, №3. - P. 735-777.

62. Gruenberg, K. W. Galois invariants for 5-units / K. W. Gruenberg, A. Weiss // Amer. J. Math. 1997. - V. 119, №5. - P. 593-983.

63. Gruenberg, K. W. On Chinburg's root number conjecture / K. W. Gruenberg, J. Ritter, A. Weiss // Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 1998. - V. 100, №1. - P. 36-44.

64. Gruenberg, K. W. A local approach to Chinburg's root number conjecture / K. W. Gruenberg, J. Ritter, A. Weiss // Proc. London Math. Soc. (3)- 1999. V. 79, №. - P. 47-80.

65. Halberstadt, E. Signes locaux des courbes elliptiques en 2 et 3 / E. Halberstadt // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 1998. - V. 326, №9. - P. 1047-1052.

66. Hasse, H. Bericht iieber neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkoerper / H. Hasse // Jber. dt. Math. Verein. 1926. - V. 35, 1927. - V. 36, .1930. - V. 39.

67. Hecke, E. Eine neue Art von Zetafunktionen und ihre Beziehungen zur Verteilung der Primzahlen / E. Hecke // Math. Z. 1920. - V. 6, №1/2.- P. 11-51.

68. Henniart, G. Galois б-factors modulo roots of unity / G. Henniart // Invent. Math. 1984. - V. 78, №1. - P. 117-126.

69. Hooper, J. J. Chinburg's second conjecture for quaternion fields / J. J. Hooper, M. V. Tran // C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada. -1996. V. 18, m. - P. 47-52.

70. Hooper, J. J. The second Chinburg conjecture for quaternion fields / J. J. Hooper, V. Snaith, M. V. Tran // Mem. Amer. Math. Soc. 2000.- V. 148, №704.

71. Howe, L. Twisted Hasse-Weil L-functions and the rank of Mordell-Weil groups / L. Howe // Canad. J. Math. 1997. - V. 49, №4. - P. 749-771.

72. Jones, J. W. A database of local fields / J. W. Jones, D. P. Roberts //J. Symbolic Comput. 2006. - V. 41, №1. - P. 80-97.

73. Kahn, B. Le groupe des classes modulo 2, d'apres Conner et Perlis / B. Kahn // Seminar on number theory, 1984-1985 (Talence, 1984/1985). Exp. No. 26, 29 pp., Univ. Bordeaux I, Talence, 1985.

74. Kim, S. A generalization of Frohlich's theorem to wildly ramified quaternion extensions of Q / S. Kim // Illinois J. Math. 1991. - V. 35, M. - P. 158-189.

75. Kim, S. The root number class and Chinburg's second invariant / S. Kim // J. Algebra. 1992. - V. 153, №1. - P. 133-202.

76. Kirillov, A. A. Elements of the theory of representations / A. A. Kirillov // Berlin-New York: Springer-Verlag. 1976.

77. Kobayashi, E. A remark on the Mordell-Weil rank of elliptic curves over the maximal abelian extension of the rational number field / E. Kobayashi // Tokyo J. Math. 2006. - V. 29, №2. - P. 295-300.

78. Kobayashi, S. The local root number of elliptic curves with wild ramification / S. Kobayashi // Math. Ann. 2002. - V. 323, №3. - P. 609-623.

79. Kobayashi, S. The local root number of elliptic curves / S. Kobayashi // Current trends in number theory (Allahabad, 2000), 73-83, Hindustan Book Agency, New Delhi, 2002.81. , Lang, S. Algebraic number theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag.- 1994.

80. Liverance, E. A formula for the root number of a family of elliptic curves / E. Liverance // J. Number Theory. 1995. - V. 51, №2. - P. 288-305.

81. Louboutin, S. Formulae for some Artin root numbers / S. Louboutin // Number theory (Liptovky Jan, 1999) Tatra Mt. Math. Publ. 20 (2000), P. 19-29.

82. Mai, L. The analytic rank of a family of elliptic curves / L. Mai // Canad. J. Math. 1993. - V. 45, Ж. - P. 847-862.

83. Manduchi, E. Root numbers of fibers of elliptic surfaces / E. Manduchi // Compositio Math. 1995. - V. 99, №1. - P. 33-58.

84. Martinet, J. Bases normales et constante de l'equation fonctionnelle des fonctions L d'Artin / Martinet, J. // Seminaire Bourbaki, Vol. 1973/1974, 26eme annee, Exp. No'. 450, pp. 273-294. Lecture Notes in Math., Vol. 431, Springer, Berlin, 1975.

85. Martinet, J. Algebraic number fields: //-functions and Galois properties / Martinet, J. // Proc. Sympos., Univ. Durham, Durham/- 1975. P. 525-538.

86. Mazur, B. Studying the growth of Mordell-Weil / B. Mazur, K. Rubin // Doc. Math. 2003. - Extra volume. - P. 585-607.

87. Milne, J. S. Abelian varieties / J. S. Milne // Arithmetic Geometry. -New York: Springer-Verlag. 1986. - P. 103-150.

88. Moreno, C. J. Unusual applications of "quadratic Gaussian sums / C. J. Moreno, A. Wan // Unusual applications of number theory, 227-264, DIMACS Ser. Discrete Math. Theoret. Comput. Sci., 64, Amer. Math. Soc., Providence, RI; 2004.

89. Perlis, R. On the analytic determination of the trace form / R. Perlis // Canad. Math. Bull. 1985. - V. 28, №4. - P. 422-430.

90. Queyrut, J. Extensions quaternioniennes g6neralisees et constante de l'equation fonctionnelle des series L d'Artin / Queyrut, J. // Publ. Math.

91. Univ. Bordeaux Annee 1972/73, no. 4, 91-119; addenda, ibid. Annee 1973/74, no. 1, 71-72.

92. Queyrut, J. Fonctions L d'Artin / Queyrut, J. // Seminaire de Theorie des Nombres, 1972-1973 (Univ. Bordeaux I, Talence), Exp. No. 1, 10 pp. Lab. Theorie des Nombres, Centre Nat. Recherche Sci., Talence, 1973.

93. Raynaud, M. 1-Motifs et monodromie geometrique / M. Raynaud // Asterisque. 1994. - V. 223. - R 295-319.

94. Ritter, J. An explicit Brauer formula for local Galois characters / J. Ritter // J, Reine Angew. Math. V. 375/376. - 1987. - R 83-103.

95. Ritter, J. L-values at zero and the Galois structrue of global units / J. Ritter // Algebra. Trends Math. Basel: Birkhauser, 1999. - R 135169.

96. Ritter, J. The lifted root number conjecture for some cyclic extensions of Q / J. Ritter // Acta Arith. 1999. - V. 90, №4. - R 313-340.

97. Ritter, J. The lifted root number conjecture and Iwasawa theory / J. Ritter, A. Weiss // Mem. Amer. Math. Soc. 2002. - V. 157, №748. -90 p.

98. Ritter, J. Toward equivariant Iwasawa theory / J. Ritter, A. Weiss // Manuscripta Math. 2002. - V. 109, №2. - R 131-146.

99. Ritter, J. Representing Qqoq) for real abelian fields / J. Ritter, A. Weiss // J. Algebra Appl. 2003. - V. 2, №3. - P. 237-276.

100. Rizzo, O. G. Average root numbers in families of elliptic curves / O. G. Rizzo // Proc. Amer. Math.' Soc. 1999. - V. 127, №6. - P. 15971603.

101. Rizzo, O. G. Average root numbers for a nonconstant family of elliptic curves / O. G. Rizzo // Compositio Math. 2003. - V. 136, №1. - P. 1-23.105106107108109110111112113114115116

102. Rohrlich, D. E. Root numbers of Hecke //-functions of CM fields / D. E. Rohrlich // Amer. J. Math. 1982. - V. 104, №3. - P. 517-543.

103. Rohrlich, D. E. The vanishing of certain Rankin-Selberg convolutions / D. E. Rohrlich // Automorphic Forms and Analytic Number Theory. Les publications CRM. Montreal. - 1990. - P. 123-133.

104. Rohrlich, D. E. Root numbers of Jacobi-sum Hecke characters / D. E. Rohrlich // Illinois J. Math. 1992. - V. 36, №1. - P. 155-176.

105. Rohrlich, D. E. Variation of the root number in families of elliptic curves / D. E. Rohrlich // Compositio Math. 1993. - V. 87, №. - P. 119-151.

106. Rohrlich, D. E. Elliptic curves and the Weil—Deligne group / D. E. Rohrlich // Elliptic Curves and Related Topics. CRM Proceedings & Lecture Notes. Providence: Amer. Math. Soc. - 1994. - V. 4. - P. 125-157.

107. Rohrlich, D. E. Galois theory, elliptic curves, and root numbers / D. E. Rohrlich // Compos. Math. 1996. - V. 100. - P. 311-349:

108. Rohrlich, D. E. Root numbers of semistable elliptic curves in division towers / D. E. Rohrlich // Math. Res. Lett. 2006. - V. 13, №2/3. - P. 359-376.

109. Sabitova, M. Root numbers of abelian varieties / M. Sabitova // Trans. Amer. Math. Soc. 2007. - V. 359, №9. - P. 4259-4284.

110. Сабитова, M. H. Корни Артина абелевых многообразий / М. Н. Сабитова // Успехи Мат. Наук. 2007. - Т. 62, вып. 6. - С. 161-162.

111. Сабитова М. Н. О представлениях группы Вейля—Делиня / Сабитова, М. Н. // Изв. Вузов. Математика. 2008. - №549.

112. Saito, Т. Local constants of Ind^-1 / Т. Saito // Comment. Math. Helv. 1995. - V. 70, Ш. - P. 507-515.

113. Serre, J.-P. Good reduction of abelian varieties / J.-P. Serre, J. Tate // Ann. Math. 1968. - V. 88. - P. 492-517.

114. Serre, J.-P. Conducteurs d'Artin des caracteres reels / J.-P. Serre // Invent. Math. 1971. - V. 14. - P. 173-183.

115. Serre, J.-P. Linear representations of finite groups / J. P. Serre. New York-Heidelberg: Springer-Verlag. - 1977.

116. Snaith, V. A presentation for the representation ring and the solution of a problem of E. Artin / V. Snaith // C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada. 1986. - V. 8, №4. - R 265-270.

117. Snaith, V. Applications of explicit Brauer induction / Snaith, V. // The Areata Conference on Representations of Finite Groups (Areata, Calif., 1986), 495-531, Proc. Sympos. Pure Math., 47, Part 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987.

118. Snaith, V. A construction of the Deligne-Langlands local root numbers of orthogonal Galois representations / V. Snaith // Topology. 1988. - V. 27, №. - P. 119-127.

119. Snaith, V. A local construction of the local root numbers / Snaith, V. // Theorie des nombres (Quebec, PQ, 1987), 823-840, de Gruyter, Berlin, 1989.

120. Snaith, V. Cyclotomic Galois module structure and the second Chinburg invariant / V. Snaith // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1995. - V. 117, №1. - P. 57-82.

121. Snaith, V. The second Chinburg invariant for cyclotomic fields- via the Hom-description / V. Snaith // C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada. -1995. V. 17, №. - P. 25-30.

122. Snaith, V. P. Algebraic K-groups as Galois modules / V. Snaith. -Progress in Mathematics, 206. Birkhauser Verlag, Basel, 2002. x+309 pp. ISBN 3-7643-6717-2

123. Snaith, V. Burns' equivariant Tamagawa invariant T^oc(n/Q, 1) for some quaternion fields / V. Snaith //J. London Math. Soc. (2) 2003. - V. 68, №. - P. 599-614.

124. Stoll, M. On the arithmetic of the curves y2 = xl + A. II. / M. Stoll // J. Number Theory. 2002. - V. 93, №. - P. 183-206.

125. Tate, J. Number theoretic background / J. Tate // Automorphic forms, Representations, and ^Functions. Proc. Symp. Pure Math. Part 2. -Providence: Amer. Math. Soc. 1979. - V. 33. - P. 3-26.

126. Tate, J. Endomorphisms of abelian varieties over finite fields / J. Tate // Invent. Math. 1996. - V. 2. - P. 134-144.

127. Taylor, M. J. Adams operations, local root numbers, and the Galois module structure of rings of integers / M. J. Taylor // Proc. London Math. Soc. (3) 1979. - V. 39, №1. - P. 147-175.

128. Taylor, M. J. On Frohlich's conjecture for rings of integers of tame extensions / M. J. Taylor // Invent. Math. 1981. - V. 63, №1. - P. 41-79.

129. Taylor, M. J. Frohlich's conjecture, logarithmic methods and Swan modules / Taylor, M. J. // Integral representations and applications (Oberwolfach, 1980), pp. 207-218, Lecture Notes in Math., 882, Springer, Berlin-New York, 1981.

130. Ullom, S. V. Galois module structure for intermediate extensions / S. V. Ullom // J. London Math. Soc. (2) 1980. - V. 22, №2. - P. 204-214.

131. Vila, N. Local Artin root numbers associated to some classical polynomials / N. Vila // J. Algebra. 1990. - V. 131, №2. - P. 678687.

132. Weil, A. Sur la theorie du corps de classes / A. Weil // J. Math. Soc. Japan. 1951. - V. 3. - P. 1-35.

133. Wilson, Stephen M. J. Galois module structure of the rings of integers in wildly ramified extensions / Stephen M. J. Wilson // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1989. - V. 39, №3. - P. 529-551.