Корректность математических моделей фазовых переходов с релаксацией тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

министерство по делан науки, ЕКСШРЛ шнолн и технической псшлщ! российской федерации

новосибирск^ государственный университет им. ленинского комсомола .

тов Салтанбек Талапеденович

корректность матежгидоких модзлей фазовых переходов с ршксацией

01.01.02 -дифференциальные уравнения

а вт о ре фер а т ;

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 517.957

Новосибирск - 1992

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете имени Ленинского комсомола.

Научные руководители - доктор физико-математических наук,

члон-корреспондонт РАН В.Н.Монахов,

доктор физико-математических наук, профессор -А.М.Мейрманоз

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ш.С.Смагулов

кандидат физико-математических наук О.Б.Бочаров

Ведущая организация - ¡¿н.ститут ыатеиатики СО РАН-

Защита состоится 'О " а, 1993г. в "часов

на заседании специализированного совета К 063.98.04 по присуждению ученой степени кандидата-физико-математических' наук в- Новосибирском государственном университете пс адресу: 63С090, г.Новосибирск -.90, ул.Пирогова, 2. ' ■

С диссертацией мокно ознакомиться в библиотеке НГУ.

Автореферат разослан "_" "_ 1992г.

Учёный секретарь специа лизнровавдого совета д.ф.-ы.н.

<£. Б.В.Капитонов

ОБЩАЯ шштюншл РАБОТЫ'

Актуальность теж. В случае промерзания и оттаивания породы, корда в ной возникают внутренние псточнккл и стоки тепла /сзязаниые с замерзанием воды или таянием льда/, уравнение теплопроводности существенно усложняется. Если влага замерзает при фиксированной температуре, то задача состоят в исследова-ии динамики температурных полей в мерзлой к талой зонах породы при наличии подзишой границы раздела фаз мевду ними. Это так называемая задача Стефана. Если лромврзаяпэ пли оттаивание породы сопровождается шгграцией шаги в промзрзавщуи зону, то задача оде более усложняется за счет добавления к системе уравнения переноса влаги /задача о проморзакЕИ-отгшшагаш породы с учетом миграции влага/. Поэтому фазовый состав влага в мерзлых породах остается одной из проблем, концентрирующей в себе многие аспекты формирования структуры и свойств мерзлой породы. ч ~

Актуальность рассмотрения таких моделей обусловлена многочисленными пр;и;очсе1Шяз.й1. .Проблема исследования фазовых перо-ходов з мерзлых породах издавна привлекает внимание своеобразием методов решения. - "

Задним моментом считается разрешимость рассматриваемой модели и ее приведение к задачам стефановского типа.

На сегодняшний день получены результаты, кзучашяе физд— ко-хкмнческие и физикочлеханическне свойства мерзлего грунта. К таким результатам можно отнести работы Е.Д.Ершова, В.А.Кудрявцева, П.И.Мельникова, Е.М.Сергеева, Н.А.Цытоьлча, Л.В. Чис-тотпяова. н .рада других авторов.

Fa основе ßaöoT Ю.С.Дак^зляна, П.С.Якищсого неравновесные эффекты в процессах промерзания влазяшх грунтов Калиевым H.A. и Резниковым E.H. рассматривались как регуляризованная задача Стефана без учета миграции влаги. ' .

Целью работы является разрешимость рассматриваемой- модели, приведение ее к задачам стейановского типа, асимптотическое поведение решения рассматриваемой задачи при

неограниченной возрастании времени, а также изучение периодического по времени решения задачи и приведение ее к периодическим по времени решениям стефанозского типа.

Получены следующее основные результаты:

1. Исследована корректность одной математической модели неравновесных фаговых переходов воды в пористых средах с учетом миграции влаги.

2. С помощью предельных переходов получены задача Стефана и задача о неравновесных фазевых переходах воды в пористых средах без учета миграции влаги.

3. Изучено асимптотическое поведение по времени решения с учетом и без учета миграции влаги и осуществление предельных переходов в соответствующих стационарных задачах.

4. Исследованы периодические по времени решения задачи о неравновесных фазовых переходах воды в пористых средах с учетам и без учета миграции влаги и осуществление предельных -переходов.

Методика исследование • разрешимости задач основана' на получении априорных оценок и применении теорем-функшюнаиьно-го анализа. ...

Результаты работы докладывались на УП ¡Всесоюзной школе-' семинаре по качественной теории дцэдеренцаальных уравнений гидродинамики /г. Барнаул, 1339 г./, на ХХУ1И Всесоюзной научной студенческой конференция "Студзнт и научно-технический . прогресс" /г.Новосибирск, 1Э90 г./, на Всесоюзно!! конференции, посвященной 80- летаю чл.корр. АН РК, д.ф.-м.н., профессору. Е.И.Киму, на семинаре по математически моделям сплошной среды в Институте Гидродинамики ш. М.А.Лаврентьева СО АН СССР под руководством профессора В.Н.Монахова, на с&лин&ре по задаче Стефана в Новосибирском-государственном университете им. Ленинского комсомола под руководством д.ф.-м.н., профессора А.й.Мейрманова, на городском сешшаро по краевым задача,? математической физики под руководством чл.корр. АН РК, д.ф.-м.н. проф. Отелбаева М.О., чл.корр. АН РК, д.ф.-м.и., проф. Каль-гленова Т.Ш., д.ф.-м.н., проф. Сыатулова Ш.С., на семинаре '

лаборатории теорпй функций и функционального анатиза ИТПМ АН РК под. руководством чл.корр. АН РК, д.ф.-м.н., проф. Кчие-ва Н.К., на семинаре лаборатории теорий дифференциальных уравнений под руководством' д.ф.-м.н., проф. Умбетжанова Д.У., на .семинаре по уравнениям математической физики под руководством чл.корр. АН РК, д.ф.-м.н., проф. .Кима Е.И., Харина С.Н., Орынбасарова М.О.

Диссертация состоит из введения, трех глав и спуска литературы кз 35 наименований. Общий объем диссертации- 83 .страница машшюиисного текста.

содержание работы

Во введении дается краткий обзор литературы по задачам о неравновесных фазовых переходах и Стефана, и с:като изложены содержание и основные результаты диссертации.

Отметлгл, что нумерация теорем, испольгуемая в диссертации и автореферате, несколько отличается.

Первая глава является вспомогательной. В ней Приведены' определения основных функциональных пространств, границ и функций, заданных на этих границах, необходимые утверждения из функционального анализа и результаты по корректности математической модели неравновесных фазовых переходов воды в пористых средах без учета миграции влаги.

Во второй главе изложены основные результаты диссертации, исследуется математическая модель неравновесного перераспределения влаги при промерзании и оттаивании грунтов. Кроме фазовых переходов в данной модели учитывается миграция влаги. Под влатлостыо и льдистостью понимаются доли объема занятые водой и льдом соответственно.

Основная задача описывается следующим образом. В области От = х (О, Т) требуется найти функции 00*Д), ^(жД), 1(х,\) /те:,шературу; влатяоеть и льдистость грунта/, удовлетворяющие следующей системе уравнений:

= ХАМ - и ,

начальншл и граничным условия.!: е(х,о) = 90(=с),

&(х,<М.С*0, же Л,

Здесь функция = ^ при 0(х,-I) = О,Н-1 ,

\-\(0) —О при 0 < 0 . коэ;Т$адаенты к, X, к, с¿ считается пологлтельнши постоянными.

Используя (3) из (I) и (2), исключаем , тогда

получается система из двух уравлешй для 0 п V/4 .: .

(2)

(3)

(4)

(5)

(6) (7) СО)

к дО +ал(ллг-Ц'(0)У,

(1а) (2а)

В дальнейшем под задачей I донимается задача (1а4), (2а),

(4) - (8). ' . - •

Определение I. Решением задачи I называется пара" (функций V]" таких, что2 4 .

1.' 0, ^ еА/^' (СцУ «рС ' '■

2. Уравнения (1а) , (2а) выполняются почти всюду в СЦ . о. Начальные к краевые условия для б л V принимаются в'смысле следов функций из указанного-класса. ,

Теопе?л£ I. Пусть начальные к граничные данные б0 , 05 , , ^ таковы, что существуют функции И, удоатетЕорянше: - условия:,! (4)т(6), [/ - условиям

(5)-(В);

Тогда задача I имеет единственное решение и справедливы оценки

0-й^(Х,^¿1 для п.в. (х,г

где' Сц . С.% - положительные константы и С1 не зависит от Л . Если дополнительно истребовать условие .

то дая О выполняется также оценка

где С3 - не зависит от

М .. Т . Л

. В частности,

для задачи I 0.ъ совпадает с М .

Доказательство теоремы проведено на примере задачи I с использованием теоремк ШауЯлра о неподвилной точке.

Предельно переход по А->0 . Предельная задача формулируется так: требуется найти функции 0 , "лг , определенные в области 0Т удовлетворяющие условиям:

, ■. . (Ю)

начальным условиям (4^, (5) и гракпчиому условшэ (6). 3 дальнейшем задача (9)- (.10), (4)-(5) обозначается через 10 и данные задачи I в отличие от решений и данных задачи 10 обозначаются с индексом Л : • 0л аагд , , . Функции Ц , 0" определенные в тео:емо I . тагске снабдил индексом Л : йд , .

•Определение 2. Вводится пространство КСбЦ.) - функ-■ цнй,.определенных в . (¡Ц. с кормой

.Иуад = М«, + .

Лрпла I. Пусть для всякого Л & (.0, Л,,") выполнены условия теоремы I и

где константа Сц не зависит от А .

'Тогда для решений задачи I справедливы оценки:

'с константами С5 , С6 не зависящими от Л .

Для доказательства леммы уравнение (2а) умножается на — Ид)^ и интегрируется по области От . Утверзденпе 'леммы получается после несложных преобразований.

Теорема 2. Пусть выполнены условия лешы I и

при 1 —» О

Су- константа не зависящая от Л , Ц - функция, определенная в теореме I.

Тогда решения-задачи I Мд] сходятся к решению-

задачи 10 {9, в следующем смысле: О п.в. в (Эт,

слабо в "М/'Ч«^ ; ЛЛГЛ -—\\Г -"слабо в ^(С^) . '' ^ - слабо в .

Действительно, функции , УГ^ удовлетворяют тож-

дествам

ат ■ '

(12)

ат

для любых

Оценки в теореме I, лемма I и условия в теореме 2 позволяют впбрать подпоследовательность такую, что , сходятся к некоторым ф , УГ в смысле указанном в теореме 2. Предельный переход по в (II), (12) дает равенства

к д9' ~ ** (У- U(Q'| у ¿x d¿ = о,

ат

vr! +<¿(w'- U(9'))l ^ Aatcbfc. = о,

v

для получения которых используется неравенство Гельдера и лемма I. В силу единственности такого решения . Q' , 'W1 совпадает с 9 , W и все семейство Од . W"^ сходится к Q , W .

Предельней переход по d-ъоо . . > ■

В начале формально выпишем 'предельную'при <*—>«> 'задачу. Во-первых, для нее W"=H(9) , т.е. предельная задача''йвляет-ся равновесной. Во-вторых, домнонив (2а) на зг. . и сломив с Cía) получим:

Введем обозначения:

Между U , 8 есть связь:

гё, 9^0,

uoóo^' оз)

ёйг-

Ктак, предельная задача формируется следующим образом. Требуется найти функцию 0 (se, t) определенную в QT , удовлетворяющую уравнению:

[у се)] . а4).

начальному, условию,

7 0С«,о) = ОоСх), хеЛ, (15)

п одному из граничных условий / - '

= (хД)€$т, (16)

где зависимость \К9) дана в (13). В дальнейшем задача (14)--(16) обозначается через А, а (14), (15), (17) - через В.

Теопема 3. .Пусть 5 £ О2 , функция Г\ ¡-.^г)

удовлетворяет условиям (1°), (16)/(17) - соответственно/.

\л12' , 9 0 . Тогда существует

единственное обойденное рсшешю задач:: А /задача В/

ихьжл^ш^м. (18)

Существование и единственность решений "задач А и В доказывается так де-как в задаче Стефана. При этом можно показать единственность более слабых решений, чем (18), а шленно

Справедлива следующая ле:,сла:

Лежа 2. Для решения задачи I справедливы- оценки

МД, о* + ЬчЛ|1рг 4 С, где *><>, = х,3)>4,

а константы С. зависят от Ч , SL , Т и ИОсЛ^.сц. •

С помощью леммы 2 и по теореме о компактности доказывается следующая . __

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы I, ■ 0 -решение задачи А, и

Тогда 0, + ^Чл 0 -слабо в L^CQj-n п.в. в QT при cL—>oo .

По аналогии с теоремой доказывается следующая Тебгзема 5. Пусть выполнены условия теоремы 3 и сутсест-Еует 0] - обобщенное решение задачи Стефана.

Если .

то Q п.в. в QT и слабо в Vi^ (СЦ-) , ~~*

->и.С9) п.в. при 0^0 .

Далее рассмотрено, асимптотическое поведение решения рассматриваемой нестационарной задачи I при неограниченном возрастании времени. При этом схема исследования состоит из доказательств теоремы сравнения, построений монотонных по времени решений' задач, которые играют роль верхнего и нежного барьера, разрешимости /существование и единственность/ стационарной задачи и сходимости'розенгя нестационарной задачи I к решения соответствующей стационарной задачи при. I —> со . Eise лрквэдом" судаадудцроБКЕ основных теорем. Теопема 6. Пусть и Wl(x.,i), i = i,Z,~ два решения

задачи I л начальные и граничные данные {QoL, }' . Yi^ j таковы, что

. -wJexUwfix) • для п.в. xeil, .^(i^^M^.ti^C*^) для n.B.(x,t)eST. II

Тогда аналогичное- неравенство справедливо и для соответствующих решений задачи I:

.в. в От ^

Теорема 7Д Пусть функции 0(эс,-Ь) и ЛГ(х,-Ь) являются решениям задачи I, и при этом 0) > 0 и . 0) > О

/О^,0)<0 и Щх,0)<0\ /, и yj.Cx.-0-

не могут принимать ьжнимум, меньший нуля / и ^(хД)

не могут принимать максимум, больший нуля/ на , то

функции и ■ являются одновременно неотрица-

тельными- /неположительными/ п.в. в О.^, .

Аналогично рассматривается асимптотическое поведение по времени решения задачи о. неравновесных фазовых переходах воды в пористых средах без учета миграции влаги.

Далее осуществлены предельные переходы в стационарных задачах по X л и ' ■ •

' В третьей главе исследуется периодическое по времени решение рассматриваемой задачи. Как-следует из общей теории, возможны решения'задачи, в которых начальное,условие заменяется условие^" периодичности. -^

СхвмгГисоледования периодического решения следующая.

Доказываются теоремы существования и единственности периодического по времени обобщенного решения рассматриваемой задачи. ■'

Далее рассматривается' периодическое по времени решение задачи о неравновесных фазовых переходах воды в пористых средах без учета миграции влаги. ',.-

Затем осуществлены предельные переходы по 1 к по сб , где используются результаты второй главы.'

Список работ по теме диссертации

1. Калиез И.А., Мухамбетжанов СЛ., Разянков E.H. Коррект-пость математической модели неравновесных фаяовых переходов вода в пористых средах. - В сб. Ди аиика сплошной среды. - Новосибирск, 1989, вып. 93, 94. У ■ !

2. Калиев И.А/, ДОухаЬбетжанов С .Т., Разинков E.HV Корректность математических моделей фазовых переходов с релаксацией. - Тезисы докладов УП Всесоюзной школы- по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики.

- Барнаул, I9S9. *-• •

3. Калиев И.А., Мухамбетяанов'С.Т. Асимптотическое поведение рзияния при неограниченном возрастания времени одной задачи описывающую кинетику замерзания-(оттаивания) грунта.

- Тезисы докладов во Всесоюзной конференции, посвященной ■ 80-летию чл.-корр. АН FK, д.ф.-м.я., профессору Е.Н.Киму, 1991. - .

4. Мухамбетжанов С.Т. Периодическое по времени одной задачи типа Стефана, описывающая кинетику замерзания (оттаивания) грунта. - В сб. Динамика сялолно:! срзды, IS93.

'В'заключение автор выражает глубокую благодарность чл.-корр. РАН, д.ф.-м.н., профессору В.Н.Монахову и д.ф.-м.н., профессору А.М.Мейрманову за руководство и постоянное внимание к работе..

Подписано к печати 7.12.92

Формат бумаги 60x84 1/16. Объем 0,75 п.л., I уч.-изд.;:. Заказ № 782 ' Тираж 100 экз.

г, I ■ I I ■ -г-. ■ —.——-----,---

Ротапринт Новосибирского государственного университета 630090, Новосибирск - 90, Пирогова, 2