Корректность задач тепломассопереноса в неоднородных средах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Петрова Анна Георгиевна

КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 7 МАР 2011

Красноярск 2011

4840869

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений ГОУ ВПО "Алтайский государственный университет" (г. Барнаул).

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Белов Юрий Яковлевич;

доктор физико-математических наук, профессор Алексеев Геннадий Валентинович;

доктор физико-математических наук, профессор Кабанихин Сергей Игоревич.

Ведущая организация:

Учреждение Российской академии наук Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук.

Защита диссертации состоится " 2011 г. ъ/9 ~~ на заседа-

нии диссертационного совета ДМ 212.099.18 при Сибирском федеральном университете по адресу: 660074, Красноярск, ул. Киренского, 26, ИКИТ СФУ, ауд. 115 (УЛК).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета.

Автореферат разослан О 2 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

К.А. Кириллов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Практически все материалы, встречающиеся в повседневной жизни, как естественные, так и полученные в результате технологических процессов, неоднородны и многокомпонентны и являются смесями твердых, жидких газообразных веществ с различными механическими и физико-химическими свойствами. Соответственно большинство естественных и технологических процессов описываются моделями динамики неоднородных сред. Разнообразие природы процессов и явлений делает невозможным использование единого подхода к построению математических моделей. Проблеме моделирования динамики неоднородных сред посвящены монографии Р.И. Нигматулина (1987), K.L. Rajogopal и L.Tao (1995), В.Н. Николаевского (1996), R. S. Subramanian и R. Balasubramanian (2001) и многие другие. Постановка корректных начально -краевых задач для моделей движения неоднородных сред занимает центральное место в их математическом исследовании.

Тепломассоперенос в неоднородных средах имеет свои особенности по сравнению с однородными средами, находящие отражение в математическом описании своих основных механизмов. Проблема моделирования фазовых переходов в неоднородных средах актуальна как для природных, в том числе и биологических и экологических, так и для технологических процессов, таких, как выращивание кристаллов, наращивание пленок, расчет течения парафинированной нефти и осаждения парафинов на стенках нефтепроводов. Наиболее характерной особенностью таких процессов, из-за которой соответствующие математические модели нелинейны, является наличие неизвестной заранее поверхности раздела фаз или целой многофазной области. Построению и исследованию моделей фазовых переходов в неоднородных средах, как неподвижных, так и учитывающих движение, посвящено огромное количество работ, среди авторов которых отметим А.М. Мейрманова, А.В. Кажихова и И.А. Калиева, A. Fasano и М. Primicerio.

Из возможных гетерогенных смесей дисперсные смеси, к которым относятся эмульсии, наиболее подробно изучены благодаря своей сравнительно регулярной структуре. При этом существует множество моделей их поведения, приводящих к разным классам нелинейных задач. Модель термокапиллярного движения эмульсии как двухфазного континуума под действием микроускорений и термокапиллярных сил была предложенная В.В.

Пухначевым и O.B. Воиновым в 1995 году. Особенность модели состоит в форме замыкающего уравнения системы, выражающего разность скоростей несущей и дисперсной фаз в виде суммы двух слагаемых - скорости, вызванной термокапиллярным эффектом, пропорциональной градиенту температуры, и скорости, вызванной микрогравитацией. Вид этого условия приводит к нетривиальной проблеме постановки корректных начально-краевых задач, причем не только в многомерном, но и в одномерном случае движения эмульсии с плоскими волнами.

Особый интерес в последнее время привлекают к себе обратные задачи и задачи управления процессами тепломассопереноса. Разнообразные обратные задачи теплопроводности, в том числе и с фазовыми переходами рассматривались О.М. Алифановым, A.A. Самарским и П.Н. Вабищеви-чем, Г.В. Алексеевым, Ю.Я. Беловым, Н.Л. Гольдман, С.И. Кабанихиным, D. N. Нао, H.-J. Reihardt, N. Zabaras и др. Метод зонной плавки, предложенный У. Пфанном (W. Pfann) в 1950 году, широко применяется для очистки сплава от примесей. Исследование задачи управления составом вещества, получаемого в процессе затвердевания, обеспечивает теоретическую основу применения таких методов и позволяет выбрать режимы управления с необходимой точностью. Аналогичная задача для термокапиллярного движения эмульсии дает теоретические предпосылки получения в условиях орбитальных станций композитных материалов, характеризующихся значительным отличием плотности компонент. С этой задачей связана также проблема очистки смесей от газовых и жидких включений.

Исследуемые в диссертации модели нелинейны и представляют собой сложные системы дифференциальных уравнений в частных производных. В случае моделирования фазовых переходов в неподвижных средах это параболические системы общего вида со свободной границей для которых при исследовании корректности начально-краевых задач необходима проверка условия дополнительности Лопатинского. В модели термокапиллярного движения эмульсии система нелинейных управляющих уравнений не имеет определенного типа, при этом "параболическое" уравнение сохранения энергии и импульса и "гиперболические" уравнения, являющиеся следствиями закона сохранения массы, "перевязаны" в главных членах, что существенно усложняет постановку корректных начально-краевых задач и затрудняет использование известных результатов по исследованию моделей движения гетерогенных сред.

Найденные и исследованные в диссертации автомодельные решения имеют ясный физический смысл, они являются аттракторами для других решений и применяются при тестировании численных алгоритмов.

Диссертация посвящена исследованию вопросов существования и единственности решений краевых задач и задач оптимального управления для некоторых моделей тепломассопереноса в неоднородных средах.

Методы исследования. Основными методами исследования явлют-ся методы функционального анализа и дифференциальных уравнений в частных производных, в частности, теоремы вложения, теоремы о неподвижных точках, методы теории линейных и квазилинейных параболических уравнений, априорные оценки, преобразование Фурье, а также методы теории оптимального управления.

Цель работы. Исследование корректности неклассических одномерных задач со свободными границами, возникающих при моделировании фазовых переходов в неоднородных средах; постановка начально-краевых задач для модели движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил и доказательство их классической разрешимости; построение и исследование корректности модели затвердевания эмульсии; постановка и исследование задач управления составом материала в процессах с фазовым переходом.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются оригинальными как в теоретическом, так и в прикладном аспектах.

Исследованы вопросы разрешимости на произвольном интервале времени для задачи Стефана с переохлаждением и условием 1-го рода на известной границе и задачи жидкостной эпитаксии из тройного раствора. Впервые доказано существование классического решения в малом по времени для задачи со свободной границей для системы уравнений, описывающей перенос примеси в парафинированной нефти и для задачи управления составом пленки в процессе ее роста из тройного раствора. Построены автомодельные решения этих задач. Впервые проведено исследование корректности начально-краевых задач для системы уравнений, описывающей движение эмульсии в поле термокапиллярных сил и микрогравитации. Впервые сформулированы задачи управления составом эмульсии в процессе затвердевания; для задачи граничного управления составом бинарной смеси при затвердевании предложен способ редукции к серии хорошо изученных задач.

Теоретическая и практическая значимость результатов. Теоретическая и практическая ценность работы заключается в том, что:

- исследованы вопросы разрешимости на произвольном интервале времени задачи жидкостной эпитаксии из тройного раствора;

- доказано существование классического решения в малом по времени для моделей переноса примеси в парафинированной нефти;

—предложены постановки начально-краевых задач для модели движения эмульсии под действием термокапиллярных сил и микрогравитации и найдены классы их корректности;

—сформулированы задачи управления составом материала в процессе фазового перехода (рост пленки, затвердевание бинарной смеси и затвердевание эмульсии) и исследована их разрешимость как в точной, так и в вариационной постановке;

- для всех рассмотренных задач построен ряд новых точных решений, имеющих физическую интерпретацию.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на следующих международных и Всероссийских конференциях:

- V-th International Conference on numerical Analysis of Semiconductor Devices and Integrated Cicuits (Dublin, 1987);

- УПВсесоюзной школе по качественной теории дифференциальных уравнений (Барнаул, 1989);

- международной конференции "Лаврентьевские чтения" (Новосибирск, 1990, 2005, 2010);

- Сибирском конгрессе "ИНПРИМ-98" (Новосибирск, 1998);

- международной конференции "Nonlinear Partial Differential Equations"(Lviv, 1999);

- Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения" (Бийск, 2002, 2005, 2008);

- международной конференции "Обратные и некорректные задачи математической физики" (Новосибирск, 2007);

- International Conference on 21st Century Mathematics (Lahore -Pakistan, 2007);

- международной конференции "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений"(Новосибирск, 2008);

- Всероссийской конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение" (Новосибирск, 2009);

- Всероссийской конференции "Успехи механики сплошных сред", (Владивосток, 2009);

- международной конференции "IV International Topical Team Workshop on two-phase systems for ground and space applications" (Новосибирск, 2009);

а также на следующих научных семинарах:

-семинаре Института математики "Uliss Dini "университета Флоренции (1991, 2001);

-семинаре Института математики Римского университета (2003); -семинарах Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск) под руководством чл.-корр. РАН профессора В.В. Пухначева (неоднократно);

- семинаре Института математики СО РАН (Новосибирск) под руководством чл.-корр. РАН профессора В.Г. Романова (2010);

- семинаре Института математики СО РАН (Новосибирск) под руководством профессора B.C. Белоносова и д.ф.-м.н. М.В. Фокина (2010);

- семинаре Университета Восточной Англии (Норидж) 2010;

- городском семинаре "Задачи индустриальной и прикладной математики" (Барнаул) 2009, 2010;

- семинарах кафедры дифференциальных уравнений Алтайского государственного университета, (Барнаул).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 22 работах, включая монографию и публикацию в Lecture Notes on Physics (Springer). 10 статей опубликованы в журналах их списка ВАК (2010).

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения и трех частей, завершающихся перечнем основных результатов и разделенных на 12 глав. Текст изложен на 240 страницах, включая рисунки. В списке литературы содержится 147 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается тема диссертации, дается обзор современного состояния изучаемых проблем и приводится краткое изложение диссертации.

Первая часть диссертации посвящена корректности некоторых моделей с фазовым переходом в неоднородных средах.

В Главе 1 приведены сведения об основных одномерных моделях, которые используются в следующих главах.

В параграфе 1.1 приводятся и обсуждаются варианты постановки задачи затвердевания бинарной смеси. Рассматриваются такие физико-химические системы (используемые во многих технологических процессах, таких как производство полупроводников, кристаллизационная очистка методом направленной кристаллизации), компоненты А и В которых неограничено растворимы как в жидком, так и в твердом состоянии. Диаграммы фазового равновесия таких систем имеют вид:

а) Ь)

Рис. 1:

Ь - линия ликвидуса, выше которой система находится в однофазном жидком состоянии, ниже - в двухфазном, представляющем смесь кристаллов и жидкости. Б - линия солидуса, ниже которой система находится в твердом состоянии. В этих диаграммах наличие примеси либо понижает (рис. 1. а, например, германий, легированный галлием, кремний, легированный алюминием), либо повышает (рис. 1. Ь, например, медь с примесью железа) температуру плавления чистого вещества.

Существует два основных подхода к моделированию фазовых переходов в бинарных системах: классический, предполагающий существование

гладкой границы раздела жидкой и твердой фаз, и обобщенный, допускающий существование целой области, где температура равна температуре плавления. В диссертации всюду, если не оговорено противное, будет рассматриваться классический подход.

Равновесная модель. Предполагается, что теплопередача в жидкости описывается законом Фурье, тепловые потоки за счет конвекции отсутствуют. Температурное поле в жидкой и твердой Î2S фазах описывается уравнением теплопроводности dO/dt = div(a2V6), где а = a(x,t,,9) - коэффициент температуропроводности. Концентрация удовлетворяет уравнению диффузии dc/dt = div(DVc), где D = D(x,t,c,6) - коэффициент диффузии. На искомой границе фазового перехода, называемой свободной границей, задаются два условия Стефана, являющиеся следствиями законов сохранения энергии и массы:

.дс 1

где ¥„ - скорость перемещения поверхности раздела фаз в направлении нормали к этой поверхности; [/]; - разность пределов / со стороны твердой и жидкой фаз. Равновесная модель предполагает, что характеристики фаз на свободной границе удовлетворяют условиям термодинамического равновесия

ег = 01 = 0* + ф,(св)=0* + ф1(с1), (1)

где в = ф8(с) - линия солидуса; в — ф1(с) - линия ликвидуса; в* - температура плавления чистого вещества. Значения концентрации с3 и с; на границе фазового перехода со стороны твердой и жидкой фаз соответственно определяются из диаграммы фазового состояния.

Математическая модель замыкается заданием начальных условий и условий на известных границах для температуры и концентрации, а также начального положения границы раздела фаз. Если для 0 и с выполнены неравенства

е(х,ь)<фг(с(х,г)), (х,г)епв; в(х,г) > е^ь (2)

т.е. в твердой фазе температура ниже равновесной, а в жидкой - выше, то такое решение называют классическим решением равновесной модели.

Учет поверхностного натяжения и кинетики. Условие термодинамического равновесия на поверхности раздела фаз примет вид

в3 = в1 = в* + фе{с3) — аК + Упр = в* + ф1(ц) — <тК + У„р,

где ß - кинетический коэффициент, характеризующий скорость обмена атомами между твердой и жидкой фазами, а— коэффициент поверхностного натяжения, К— кривизна.

Перечисленные задачи имеют классическое решение в малом по времени. Доказательство теоремы о разрешимости задачи затвердевания бинарного сплава (А.Г. Петрова, 1984) приведено в параграфе 1.1 (теорема 1.1.1).

Для численного решения задач затвердевания бинарного сплава (параграф 1.2) автором разработан метод, основанный на преобразовании Риккати (дифференциальной прогонки), ранее примененный Г. Мейером для решения задачи стефановского типа, в которой свободная граница не являлась линией уровня. Суть метода состоит в том, что система одномерных уравнений диффузии и теплопроводности, связанных условием на свободной границе, сводится к последовательному решению задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. При этом свободная граница находится как корень некоторого алгебраического уравнения без дополнительных итераций. Этот метод пригоден для решения задач с непостоянными коэффициентами диффузии и теплопроводности и с весьма сложными условиями на свободной границе, учитывающими кинетику, поверхностное натяжение и другие факты. Результаты, относящиеся к численному решению, получены совместно Ю.В. Гурковым и E.H. Журавлевой.

В параграфе 1.3 в теореме 1.3.1 приведены полученные автором в 1984 году условия на входные данные классической одномерной двухфазной задачи Стефана, достаточные для монотонности свободной границы, т.е. обеспечивающие процесс направленной кристаллизации. Эти условия достаточно просты, они состоят в требовании понижения температуры на известных границах твердой и жидкой фаз и выпуклости начальных профилей для температуры. Условия монотонности существенно используется в задачах управления составом материала в процессе затвердевания (раздел III).

Вторая глава посвящена "переохлажденной" задаче Стефана иХх — Щ = 0,0 < х < s(t); u(s(t),t) = 0, ux(s(t), t) = -s'(t);

s(0) = l,u(x, 0) = h(x), 0 < x < 1; u(0, t) = f(t)(ux(0, t) = 0) (3) с неположительным начальным распределением h(х) функции u(x,t). Для

такого варианта задачи в зависимости от начальных и граничных условий для классического решения, если оно существует, возможно как продолжение на произвольный интервал времени, так и градиентная катастрофа. Задачи "с переохлаждением" встречаются в многочисленных приложениях, в частности, одна из первых работ в этом направлении, принадлежащая В.В. Пухначеву (1976), относится к возникновению особенности в одной модели электрического взрыва проводников. В диссертации к задачам такого класса приводит моделирование роста пленки из тройного раствора и изучение обратных задач фазового перехода. Задача (3) в случае нулевого потока на известной границе была исследована А. Фазано и М. Примичерио.

В диссертации проведено исследование задачи (3) с неположительными функциями f(t) и h(x). Эти результаты получены автором совместно с D.A. Tarzia и C.V. Turner. Анализируются следующие возможности для решения задачи с условием 1-го рода на известной границе на произвольном интервале времени в зависимости от начальной температуры и температурного режима на известной границе:

(A) задача имеет решение на произвольном интервале времени;

(B) существует Тд > 0 такое, что lim s(t) = 0;

t->Ta-

(C) существует Тс >0 такое, что lim s(t) > 0 и lim s'(t) = —оо;

t-»Tc- t->Tc~

(D) не существует решения задачи.

Достаточное условие для случая (D) состоит в выполнении неравенства

h < — 1 в левой полуокрестности точки х = 1. Реализация остальных слу-

1 t

чаев зависит от знака величины R(t) = 1/2 + f xh{x)dx + f f(t)dt.

В утверждениях главы 2 приведены свойства классического решения, оценки для градиента температуры и скорости свободной границы, а также условия реализации случаев (А)-(О). Кроме того, построено семейство решений

задачи (3), зависящие от положительного параметра /3, иллюстрирующее реализацию случая (В).

Глава 3 посвящена исследованию модели жидкостной эпитаксии из тройного раствора (В.В.Пухначев, Л.Г. Бадратинова, В.В. Кузнецов, 1986).

о

о

W'[1)

о

Приводятся постановки задач для случаев ограниченной и неограниченной области решения. В случае роста пленки из раствора, занимающего область (О, s(t)) процесс описывается следующей начально-краевой задачей с искомыми функциями Ci(x,t), pi(x), (i = 1,2),s(t),y(x), заданными положительными функциями Цг(9),Cjo(í), <Pi{x) и постоянными Di,Ki,p\,i = 1,2 :

dcí д2а

_| = д_ 0 < ж < s(í);

dci

Di— = s'{t){KiPi - c¿),c¿ = A¿(í) = m{0(t)), x = s(í);

P\ + P2 = УР\ + (1 - y)p*2, У = PÁP\ + IPiY1', s(0) = l,í = 0, c¿ = ifii(x), 0 < ж < 1; c¿(0,í) = c¿0; (4)

В этой задаче область решения сужается со временем, она относится к классу задач Стефана с переохлаждением. При этом в области с неизвестной границей решается система двух уравнений диффузии, а условия на свободной границе, помимо условий стефановского типа, содержат систему алгебраических уравнений. Локальная по времени теорема о разрешимости доказывается при помощи теоремы Шаудера о неподвижной точке.

Исследованы задачи как в ограниченной, так и неограниченной области. Для случая ограниченной области имеют место теорема 3.2.1, дающая достаточные условия существования классического решения на интервале

(О,Т), где Т— время окончания процесса, и теорема 3.2.2, утверждающая,

i

что при выполнении неравенства Jx(ipi(x) + <p2(x))dx > maxl/^,/^} имеет

о

место градиентная катастрофа.

Исследование задачи эпитаксии для случая, когда жидкий раствор занимает область (s(t), со) завершается также доказательством двух теорем 3.3.1 и 3.3.2 аналогичных теоремам 3.2.1 и 3.2.2.

Кроме того, во второй главе построены семейства автомодельных решений задач как для ограниченного, так и для полубесконечного интервалов. Условия их существования сформулированы в двух теорема 3.2.3 и 3.3.3.

В главе 4 исследуется модель тепломассопереноса в неизотермическом частично насыщенном растворе нефть-парафин (A.Fasano, М.Primicerio). В модели учитывается тепломассоперенос в насыщенной и ненасыщенной областях, а также процесс сегрегации (или растворения) парафина и его отложение на границе. Рассматривается ограниченная область Q С R3

с гладкой границей, заполненная нефтью с растворенным в ней парафином. Пусть 0(х,£) — температура смеси; С^о^х, £) — полная концентрация парафина; С'3(0) - концентрация насыщения. Определяется функция и = Си,1(х, Ь) — С$ (0), которая характеризует концентрацию твердой сегрегированной фазы в насыщенной области где и > 0. Определяется также поверхность Г - граница между насыщенной и ненасыщенной областями: Ги = д(0,\£1д) П 80. - внешняя граница ненасыщенной области; Г.5 = дПц Г) дП - внешняя граница насыщенной области, в которой выделяется "теплая" часть Г8Ш , где • ~п > 0, и "холодная" часть Ги, где г? < 0. Вводится в рассмотрение \{и) - доля растворенного парафина, который необратимо превращается в слой твердого осадка. Функция х(и)> принимает значения в промежутке [0,1], при и < 0 обращается в ноль и является гладкой монотонно возрастающей функцией с ограниченной первой производной при положительных аргументах. Выпишем уравнения для функции и:

щ - ^Аи = -<3, (х, £) 6 П«; щ - ИАи = -ф, (х, Ь) €

Здесь С} выражается следующим образом: £}(х, £) = — и в области

имеет смысл объемной скорости, с которой сегрегированный парафин растворяется {С} > 0) или выделяется (<3 < 0); положительные постоянные имеют смысл коэффициентов диффузии.

Задаются граничные условия:

, „ „ ди. пди. ди дС3 _ ^ ди , . „ дС. „ „ ди „ дС, „

°дп = ~ Х)' &Г' Х 6 = ~ Ж' Х 6

Заметим, что существование обобщенного решения для многомерной задачи, определяемого как функция и, принадлежащая Н*3,2(<5Г)0 И^'^фт) и удовлетворяющая интегральному тождеству

т т

! J (иф1 - ЧфЩи) - С}ф) сшг = - J иофс1х + У У Оф~ф(и)йз(И о п п о да

для любой функции ф е И^1'1^,-), такой, что ф(х,т) = 0,1 6 !), удалось доказать лишь при известном распределении температуры и условии охлаждения всей границы (М.А. Потапенко).

Далее рассматривается одномерная задача в классической постановке. Требуется найти функции щ(х,£),(г = 1,2), такие, что

дщ д2щ . . двх д2в1 , . .

= 2"-Рц®.0» ^-=а1^2--7<31(х,г),0<ж<в(<); (5)

ды2 „д2и2 _ , .. 902 <9202 . .

-дГ = 1)-Ж- = «^.«Ю < * < 1. (6)

удовлетворяющие граничным условиям на поверхности раздела

... 301

и1 = и2 = 0; 0х = в2\ = а2х = й(£);

"<0; (7)

условиям на известных границах

^ - <* - • »■ = «0. ("-'£ - '* - «0, С = и,

(8)

и начальным условиям

в(0) = в0, ^(ж, 0) = И1,о(а?), вх{х, 0) = 61,0(2;), 0 < х < й0;

и2(х, 0) = и2< о (ж), в2(х, 0) = 02,о(х), < х < 1. (9)

Здесь (2{{х,{) = с'^дО./дЬ - Од%/дх2 - 0%(0{){дв{/дх)2; с,(«)- заданная возрастающая достаточно гладкая функция; £), Дз, «1, а2,7, х - положительные константы и х < 1-

Формулируется и доказывается теорема 4.3.1. о существовании значения I* < Т такого, что задача (5)-(9), при выполнении соответствующих условий на гладкость входных данных, условий согласования начальных и граничных данных, необходимых для разрешимости в указанных классах, а также алгебраического условия дополнительности для краевых задач для систем параболического типа (условия Лопатинского), имеет решение

в!(хЛ «1(м)ея3+^([0,5о]х[0,Г]), в2(хЛ и2(хл) е Я3+а'^([5о,1] х М).

Доказательство основано на применении теоремы Шаудера к оператору, построенному по задаче. В последнем параграфе главы строится и исследуется автомодельное решение задачи.

Вторая часть посвящена исследованию модели О.В. Воинова и В.В. Пухначева движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил.

Глава 5 носит вспомогательный для второй части характер. В ней приводятся и обсуждаются определяющие уравнения модели, простейшие решения и их устойчивость. Также рассматривается система уравнений, соответствующая одномерному движению с плоскими волнами.

Определяющие уравнения модели:

Неизвестными функциями являются скорости и и V дисперсной (индекс "<£") и несущей (индекс "ш") фаз соответственно, общая температура О, общее давление р и концентрация дисперсной фазы с. Заданные величины: р - плотность; ц - динамическая вязкость; А - теплоемкость; коэффициент теплопроводности смеси к(с) в первом приближении можно взять, вследствие формулы Максвелла, равным 1 — Мс, М = 3(А"т — к^)/(2кт + к^);

где Я— радиусы включений, а производная коэффициента поверхностного натяжения по температуре с обратным знаком.

Простейшее решение с ненулевой среднеобъемной скоростью имеет вид:

с = с0, u = u0, v = 0, р = р0 = Vp0 -х, в = 0О = V0O • х + eott, (И)

где со, V0O = const, Vp0 = [pdCo + рт{ 1 ~ co)]g = const; V0O = (G, 0,0), g= (01,02.0); eot =-(pdXdco(Kgi+LG)G)/{pdXdco+pmXm(l-co)), u0 = (Kgi+LG,Kg2,0).

N =

Hm + 2.5pd _ 2R2{pd-pm)(pm +pd) _ Urn + Aid ' 3/Лт(2дт + 3Hi)

L =

(2/i m

2RkmaT

Решение (11) исследовалось на устойчивость в первом приближении по малой концентрации В.В. Пухначевым и O.A. Гудзь. В случае, когда термокапиллярные силы уравновешивают силы плавучести, устойчивость исследовалась другими методами автором диссертации и ОА. Мироновой. В главе 8 диссертации изучается задача Коши для системы (10), линеаризованная на этих решениях.

В случае одномерного движения с плоскими волнами система (10) сводится к системе двух уравнений для определения функций бис:

(pdXdc + РтЛт(1 ~ с)) ^ + {(Pdh - РтАт)с(1 - с) (Kg + L^j +

+(PdXdc + ртхт( 1 - c))/(t)) = ~ (Кс)^), (12)

где g = |д|>/ = î{t)-

В главе 6 исследуется система (12) в автомодельной постановке при Kg — 0, f(t) = 0, £ = ж/VÎ; с = с(£); 0 = 0(£). При этих предположениях она приобретает вид:

-|с€ + ((1 - 2с)Щ - 7)се + с(1 - c)L% = 0;

—{PdXdC+ pm\m{l-c))e( + c{l-c){pd\d-pm\m){L9if = {к{сЩ(. (13)

Наиболее естественная краевая задача для этой системы возникает в случае граничных условий

с(оо) = Соо, 0(0) = 0О, б(оо) = 0оо, 0о>0оо (14)

и соответствует скачкообразному повышению температуры на левой границе. Характер решения автомодельной задачи (13), (14) существенно зависит от знака разности pdXd — ртХт. Результаты аналитического исследования автомодельной задачи сформулированы в виде теорем 6.3.1 и 6.3.2.

В последнем параграфе главы 6 приведена численная иллюстрация поведения решения автомодельной задачи для двух эмульсий: свинец - несущая, алюминий - дисперсная фазы (pdXd—pmXm > 0), для которой профиль концентрации монотонней, и алюминий - несущая, свинец - дисперсная

Л*А<г — РтКп < 0 с немонотонным профилем, имеющим минимум вблизи нуля.

Глава 7 посвящена постановке и исследованию разрешимости начально-краевых задач для одномерной системы (12). Изучение начинается с постановки простейшей начально-краевой задачи, когда область течения эмульсии имеет непроницаемые для обеих компонент стенки. Назовем эту задачу основной. Подобная начально-краевая задача для газожидкостной смеси в случае отсутствия силы тяжести и независимости коэффициента теплопроводности от концентрации исследовалась О. В. Воиновым и В.В. Пухначе-вым в 1985 году.

В рассматриваемом случае среднеобъемная скорость /(¿) в системе (12) равна нулю и условия, соответствующие нулевым скоростям обеих фаз на границах области, принимают вид:

§(*.>-£<«,)--£ С)

Задача дополняется начальными условиями

с(х, 0) = со(х), 0 < с0{х) < 1 в(х, 0) = в0(х). (16)

Если к'{с) • Кд ^ 0, помимо условий равенства нулю скоростей на границе рассматриваемого интервала, следует задавать краевое условие для концентрации. Вид этого условия, так же как и точка, в которой оно должно быть задано, зависят от наклона характеристик в уравнении для вспомогательной функции В,(х,Ь) = сх + и(х,{) ■ Р(с), где

пи л (тал Кглил. тг/ ч • с + рт Ат(1 - с))с(1 - с)

и{х,1) = {Ь-вх + Кд)к{с)\ ^(с) =-(к(с))2-'

Функции Я и и введены с целью исключить вторые производные из "гиперболических" уравнений. Ограничимся рассмотрением случая к'(с)-Кд > 0. В этом случае следует задать краевое условие на левой границе области. Рассмотрим задачу с условием Л(0,£) = 0. Принимая во внимание вид вспомогательной функции Л, заключаем, что при к'(с) • Кд > 0 задача (15), (16) дополняется заданием потока концентрации

сх(0,«) = 0. (17)

Доказательство локальной по времени разрешимости в гельдеровских классах функций основной начально-краевой задачи (теорема 7.1.1.) основано на применении теоремы Тихонова-Шаудера о неподвижной точке к

оператору, построенному по задаче для системы, записанной в терминах функций с, Я и и, после чего восстанавливается функция в.

Единственность классического решения на всем промежутке времени его существования (теорема 7.1.2) доказывается про помощи неравенства Гронуолла для функции 2(4) = ||Е/(£)||2 + \\Щ)\\2 + ||с(г)||2, где || • || обозначена норма в Ь2(0,1), а под знаком норм стоят разности двух решений задачи.

В этой же главе рассмотрены начально-краевые задачи в случае границы области, непроницаемой для одной из фаз. Пусть, например, граница области является непроницаемой для дисперсной фазы. Тогда и(х, £) = /(1)+(1—с){Ьвх+Кд) =0, х = 0, х = 1. Зададим значения скорости несущей фазы на границе области: и(0, £) = — (Ьвх(0, Ь) + Кд) = №о(£), и(1, ¿) = — (£0Х(1,£) + Кд) = ъз\{1). Кроме того, как и в случае непротекания для обеих фаз, необходимо задать условие для сх на левой границе х = 0 в случае Кд ■ к'(с) > 0 (на правой границе в случае Кд ■ к'(с) < 0). Заметим, что среднеобъемная скорость уже не равна нулю, а является неизвестной функцией, подлежащей определению из условия непротекания дисперсной фазы:

Я0 = -«Ы0(1-с((М)). (18)

Сформулируем одномерную начально-краевую задачу в терминах функций с(х,£),0(ж,{),/(4). Она состоит из уравнений (12), (18), начальных условий (16) и краевых условий для температуры и для концентрации

-Ьвх{0,1)-Кд = 'Шо(1), -Ьвх(1,1)-Кд = ь}1(г), (19)

^(0,0=0. (20)

В теореме 7.2.1 доказывается локальная по времени разрешимость в гельдеровских классах задачи (12), (15), (16), (18)—(20), в теореме 7.2.2 -единственность классического решения этой задачи на всем промежутке времени существования.

В Главе 8 рассматривается линеаризованная на решении (11) задача Коши, уравнения которой имеют вид:

^ + СосНьи + и0 • Ус = 0; ^ с) + (1 - со)(1т\ = 0; и - V = 1Мв\

ОТ 01

Рс1Со + ио • + рт( 1 - со)^ = -Ур+

11т ( 1+CoN) A v- Co/im ( 1 + CoN)LA'V6-( 1+cqN) (u0 • V)'Vc+ (pd - pra)cg;

Pd^dCo ^ + u0 • V0 + u • Wo j + pmAm(l - со) + v ■ +

+PdXdc ^ + u0 ■ V0O j - pm\mc^ = к(со)Ав + k'(c0) V0O • Vc. (21)

Рассмотрим задачу Коши для системы (21) в пространстве R3. Вводя со-леноидальное поле скоростей w = cqu + (1 —co)v, а также вспомогательные функции R и U аналогично тому, как это было сделано в предыдущей главе, и применяя преобразование Фурье по пространственным переменным и времени, установим разрешимость задачи. Единственность доказывается тем же способом, что и для одномерной начально-краевой задачи.

В итоге справедлива теорема 8.4.1, утверждающая, что если начальные данные c(x,0), u(a;,0), v(x,0) являются элементами W^-R3), a V90(x) G W'^ fi3), то задача Коши для линейной системы (21) имеет единственное решение такое, что с, сг, сх, схх, в,вх,9хх, вххх, 9t, Р, Рх, и, их, ихх, ut, v> vx> vxx, Vt принадлежат Ьг(Л3 x (0, T)) для произвольного Т G (0, оо).

Глава 9 посвящена простейшей начально-краевой задаче термокапиллярного движения эмульсии в отсутствие силы тяжести в замкнутой ограниченной области трехмерного пространства с достаточно гладкой границей.

Введем соленоидальное поле среднеобъемной скорости w = cu+ (1 — c)v и рассмотрим следующую начально-краевую задачу для системы (10):

w = 0, 49 ■ п = 0 на ST, (22)

где л— нормаль к границе St, и начальными условиями

и(х, 0) = uo(x), v(®, 0) = v0(x), в(х, 0) = в0(х), с(х, 0) = с0(х). (23)

Классическим решением задачи (10), (22), (23) будем называть функции с, 0,u,v такие, что компоненты Vc непрерывно дифференцируемы на Qt', компоненты V0 непрерывно дифференцируемы по времени и дважды непрерывно дифференцируемы по пространственным переменным; u, v непрерывно дифференцируемы по времени и дважды непрерывно дифференцируемы по пространственным переменным на Qt-

При помощи метода характеристик доказывается лемма 9.1.1, утверждающая, что при выполнении условия 0 < со(х) <1 (х £ Я) для классического решения задачи (10), (22) справедлива оценка 0 < c(x,t) < 1.

Доказательство единственности решения принципиально не отличается от одномерного случая и проводится сначала для вспомогательной задачи в терминах концентрации, модифицированного соленоидального поля скоростей w = cu + (1 — c)v и вектор-функций U = LV0, R = Vc + F(c)U.

Доказательство локальной по времени разрешимости задачи в гельде-ровских классах функций основано на применении теоремы Тихонова- Ша-удера о неподвижной точке к непрерывному оператору, построенному для вспомогательной задачи для функций c,R,w,p и в. Оператор строится таким образом, что образ набора функций в, w, R, с из некоторого выпуклого замкнутого множества в пространстве

X (я1+а"^ш)3 X X

где c*i = а + е и таких, что нормы функций в соответствующих классах, а также (Riограничены некоторыми константами, находится в результате последовательного решения линейных задач. Первая является начально-краевой задачей для уравнения теплопроводности, вторая -начально-краевая задача для системы Стокса с непостоянными коэффициентами, третья - задача Коши для системы уравнений 1-го порядка и последняя - задача Коши для обыкновенного уравнения 1-го порядка.

В качестве банахова пространства, в котором действует оператор, рассматривается пространство

Н^'Ш.) X (я^Ш)3 X X Н^Ш

скалярных функций в, вектор-функций w, R и скалярных функций с, с ß G (0, а) и t* 6 (0,Т).

Для получения априорных оценок используются результаты O.A. Ладыженской и В.А. Солонникова для вязких несжимаемых неоднородных жидкостей и В.А. Солонникова о дифференциальных свойствах решений первой краевой задачи для нестационарной системы уравнений Навье-Стокса.

Основным результатом этой главы является теорема 9.5.1 о существовании решения

такого, что 6 < с < 1 — <5 для достаточно малого Г е (О, Т) задачи (10), (22), (23) в которой в0 6 Н3+а, и0 6 (Н2+а'(Щ3, у0 € (//2+а'(«))'\с0 е Я2+а(П), 25 < со < 1 — 25 где 0 < а < а1 < 1, малое положительное число и выполнены необходимые условия согласования. При этом классическое решение задачи (10), (22), (23) единственно на всем интервале времени существования.

В третьей части рассматриваются некоторые задачи управления составом материала в процессах с фазовым переходом.

Глава 10 посвящена задачам управления составом растущей пленки. Управляющие уравнения модели имеют вид (4). В отличие от "прямых" задач, рассмотренных в главе 3, теперь функция у(х), характеризующая состав растущей пленки, считается заданной. Определению подлежит функция в, т.е. температурный режим, который необходимо поддерживать для обеспечения нужного состава. Отметим, что, в отличие от остальных задач этого раздела, задачи управления составом пленки посредством выбора температурного режима не принадлежат к классу некорректных. Математически они близки к задаче затвердевания бинарного сплава. Локальная по времени разрешимость в гельдеровских классах функций (теоремы 10.2.1 и 10.2.2) устанавливается с использованием теоремы Шаудера. Поскольку приходится иметь дело с параболической системой уравнений, "перевязанных" условиями на границе области решения, возникает, как и задачах раздела I, алгебраическое условие дополнительности.

При разумных ограничениях на входные данные строятся автомодельные решения обратных задач в ограниченной и неограниченной областях с постоянной температурой процесса, соответствующее постоянному составу растущей пленки. Теоремы 10.3.1 и 10.3.2 дают достаточные условия существования автомодельного решения.

В главе 11 рассматриваются задачи управления составом бинарного сплава в процессе затвердевания. Параграф 11.1 посвящен задаче нахождения начального распределения концентрации в жидкой фазе по заданному распределению концентрации в затвердевшей части в конце процесса (задача 1) при отсутствии диффузии в твердой фазе и при входных данных, обеспечивающих направленную кристаллизацию (см. параграф 1.3).

Искомая концентрации находится из условия минимизации функционала

т

/(с0) = I(ч(з(*)«) - с4(а(0, ¿) • т$/гтц)2Л, (24)

о

где са и с/ обозначают концентрации примеси в твердой и жидкой фазе соответственно, а тп3 и т/— наклоны солидуса и ликвидуса (в условии (1) функции ф3,4>1 предполагаются линейными, см. рис.1).

Функции с3 и с;, стоящие под знаком интеграла в формуле (24) находятся следующим образом. Сначала решается классическая двухфазная задача Стефана для определения температур и положения свободной границы. После этого распределение концентрации примеси в жидкой фазе находится из решения уравнения диффузии в области с известной подвижной границей. При определенных ограничениях на задаваемую концентрацию с${х,Т) в конце процесса доказано существование решения со(х) € ¿оо(®0; 1) такое, что 0 < Со(ж) < 1 почти всюду (теорема 11.1.1). Кроме того, найдены условия существования автомодельного решения (теорема 11.1.2).

В параграфе 11.2 рассматривается задача управления составом затвердевшего вещества посредством задания температурного режима на известной границе твердой фазы (задача 2). Требуется обеспечить нужное распределение концентрации с3(х,Т) в затвердевшей части в конце процесса, которое будем считать постоянным: с3(х,Т) ^ с. Для определенности рассмотрим случай К = т;/ш5 < 1. В такой постановке задача сводится к последовательному решению следующих трех задач.

(а): Функция находится из решения однофазной задачи Стефана с переохлаждением для концентрации примеси в жидкой фазе:

с,(М)=с?(«) (Сх(0,«) = 0), г€[0,Г];

с;(х,0) = со(х),х € Щ0),я(0) = 80, а0 6 (0,1).

(b): Функция 0[(х, £) находится из решения начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в области с уже известной границей з(£) :

На этом же этапе определяется и функция Ф(£) —

(c): Наконец, функция вв(х,1), а следовательно, и функция /«(¿)> определяется из решения нехарактеристической задачи Коши для уравнения теплопроводности:

ВО гРй г)й

^ = а2^, 0 < ж < 6 {0,Т)] 0,(з№) = гпА = Ф(<).

Отметим, что здесь нет необходимости задавать начальное распределение температуры, оно определяется вместе с граничным после нахождения решения в3(х,Ь) задачи (с). Найденное таким способом решение /¿(1),1р3(х) будем называть "точным " решением. Очевидно, задача (с) является некорректной в смысле Адамара.

Для задачи с условием 1-го рода единственность "точного" классического решения с доказана при условиях со(во) = с/К;со(1) = С;(0);Со(во) < 0;с < со(1);с}(4) < с/К;тас < /,(«) < т3с + Ь( 1 € (0,Т);т,с <

<р;(а;) < ш6с + Ь(х — йо^ Ь > 0— константа (теорема 11.2.1) Строится точное решение в вида

оо

= £ ап(1)( 1 - О"; ао(<) = Ш8с, 01(4) = -8(*)Ф(0-

п=0

Функции ап{1),п > 1 определяются последовательно как решения алгебраических уравнений.

В этом же параграфе изучается обратная задача в вариационной постановке: в3(х, 0) и 0,(0, £) рассматриваются в качестве управляющих параметров и задача состоит в минимизации функционала

т

НУ) = У"(0в(8(«),<) - т,с)2М (25)

о

на множестве V = (И), 14) С ¿2(0,1) х Ь2(0,Т), где v = контроль, а й'(£) и ¿) определяются следующим образом. Решая последовательно задачи (а) и (Ь), определяем и Ф(/). Далее, находим

из решения следующей начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в области с известными границами х = 0 и х = s(t):

Яй

^l = a2s^,0<x<s(t), t 6 (О, Т), 0(O,t) = fs(t),te(O,T), дв

= $(t),i € (О,Г), 0в(аг,о) = <р,{х),х 6 (0,So).

Решение этой задачи понимается в слабом смысле как элемент пространства C([0,T];L2(0,S(i))) х L2((0, t); W^O, s(t))).

Устанавливается строгая выпуклость функционала, следствием которой является единственность минимума на любом замкнутом выпуклом множестве V = {у0, Vi) С Ь2{О,1) х ¿г(0, Г) (теорема 11.2.2).

Из результатов Ding Nho Нао и H.-J. Reinhardt следует теорема 11.2.3, утверждающая, что граничная задача оптимального управления имеет решение на любом замкнутом выпуклом множестве V = (Vo, Vi) из пространства ¿2(0,1) х ¿2(0, Т) и любая минимизирующая последовательность сходится слабо к минимуму функционала (25).

Параграф 11.2 завершается построением автомодельного решения с ав-томодельностью вида £ = х/y/t, s(t) = ß\ft и доказательством необходимого и достаточного условия существования и единственности автомодельного решения, которое заключается в выполнении неравенства

min {с, с/К} < со < шах{с, с/К}. Более того, при выполнении условия 0ю > msc это решение удовлетворяет условию (2) (теорема 11.2.4).

а) Ъ)

Рис. 2

На рисунке 2 показаны типичные профили концентрации в автомодельной задаче: а) для случая "очистки" сплава от примеси в результате кристал-

лизации (К < 1, концентрация в затвердевшей части ниже исходной постоянной Соо ); Ь) для случая "обогащения"(К > 1, концентрация в твердой фазе выше исходной).

В главе 12 изучается задача управления составом эмульсии в процессе затвердевания. Параграф 12.1 посвящен постановке и исследованию асимптотической модели затвердевания эмульсии, построенной совместно с В.В. Пухначевым при следующих предположениях: скачком плотности при затвердевании пренебрегаем; затвердевшая матрица неподвижна, следовательно, среднеобъемная скорость движения смеси равна нулю; в жидкой матрице с твердыми включениями отсутствует термокапиллярный эффект, следовательно, Ь = 0; наконец, в затвердевшей матрице нет ни термокапиллярного эффекта, ни архимедовых сил, следовательно, Ь = Кд = 0.

Условия на линии сильного разрыва имеют вид:

[с]0={с{1<д + Ь~^(1~с)\ [в]=0;

[ЩО = [(рА, - ртАга)с(1 - с) (Кд + Ь^в] - [кт (1 - Мс) . (26)

Здесь скачок внутренней энергии [{/] считается постоянным и равным 7, а О - скорость границы раздела фаз.

Дополнительные предположения. Предположение о малой концентрации дисперсной фазы дает основание для асимптотического разложения по малой концентрации. Поскольку процесс теплопроводности в первом приближении определяется параметрами несущей фазы (матрицы), предположим, что: граница затвердевания матрицы х = з,п(£) является стефанов-ской границей для тепловой задачи, и на этой границе выполнены условия сильного разрыва для температуры и концентрации; изотерма в = в'\ где О'1 есть температура затвердевания дисперсной фазы, может быть линией сильного разрыва только для концентрации дисперсной фазы, обозначим эту изотерму как х = тепловой поток направлен в сторону возрастания координаты х.

Задача затвердевания эмульсии изучается в двух случаях: вт < вd и вт > О'1. Приведем здесь основные результаты для случая вт > О'1. Задача определения концентрации дисперсной фазы в затвердевшей матрице С8{х,€) и концентрации в жидкой матрице С1{х, ¿) имеет вид

т

С1 + &с(С1(Ьд^ + К9)) = °' Х>3^У,^С3 = о, ®<вт(0, (27)

Функции в1(х,Ь) и являются решениями классической двухфазной

задачи Стефана, о которой говорилось выше. Задача рассматривается в условиях направленной кристаллизации (глава 1, параграф 1.2).

Условия вытеснения примеси

а)

Ь)

Рис. 3

Необходимым условием однозначной разрешимости задачи является выполнение неравенства

дв1

Кд,

£ > 0.

(29)

Неравенство (29) обеспечивает нужный наклон характеристик и неотрицательность концентрации на границе затвердевания, а также означает, что скорость переноса примеси в жидкости вследствие термокапиллярного эффекта и микрогравитации не может превышать скорость движения границы затвердевания. Тогда, в случае выполнения неравенства Ьв1х{зт{Ь),{) + Кд > 0 (рис. 3, а) имеем С8(х) < С1(х,8^(х)), т.е. дисперсные включения "вытесняются" в жидкую часть, происходит очистка твердой фазы. В случае £) + Кд < 0 (рис. 3, Ь) имеем Св(х) > С1(х,з^(х)), т.е.

концентрация примеси на фронте со стороны затвердевшей части выше, чем со стороны жидкости. Если й'т(£) = Ьв1х(зт(Ь),Ь) + Кд, задача может иметь только тривиальное решение.

В этом параграфе приведены также результаты о разрешимости задач и построены некоторые точные решения (бегущей волны и автомодельное), а также рассмотрена задача затвердевания в случае сферической симметрии и найдено ее автомодельное решение.

В параграфе 12.2 сформулированы две обратные задачи затвердевания эмульсии: задача нахождения начального распределения дисперсной фазы в жидком веществе при заданном распределении дисперсных включений в твердой части (задача 1) и задача определения граничного температурного режима охлаждения, обеспечивающего заданное постоянное распределение дисперсной фазы в затвердевшей части (задача 2). Изучение обратной задачи 1 проводится по той же схеме, что и в модели затвердевания бинарной смеси. Отличие состоит в том, что, вместо уравнения диффузии для примеси в жидкой фазе теперь мы имеем дело с уравнением 1-го порядка (первое уравнение из(27)). При выполнении условий (29) уравнение для С1 с заданными начальными условиями и граничными условиями (28) на правой границе имеет классическое решение на заданном интервале времени при гладких профилях температуры (теоремы 12.2.1 и 12.2.2), что обеспечивается известными условиями разрешимости одномерной задачи Стефана.

Параграф 12.3 посвящен автомодельным решениям обратной задачи 1.

В параграфе 12.4 исследована автомодельная постановка задачи 2 и определены условия существования и единственности автомодельного решения (теорема 12.4.1).

Каждая часть завершается перечнем основных результатов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Исследована разрешимость на произвольном интервале времени:

- для одномерной однофазной задачи Стефана с начальным переохлаждением и условием первого рода на известной границе;

—для задач жидкостной эпитаксии из тройного раствора.

2. Доказано существование классического решения в малом по времени для системы уравнений, описывающей тепломассоперенос в парафинированной нефти.

3. Сформулированы обратные задачи управления составом бинарного сплава в процессе фазового перехода посредством выбора начальной концентрации примеси или выбора граничного температурного режима в "точной"и вариационной постановках и исследована их разрешимость. Предложен способ сведения задачи граничного управления

составом бинарной смеси в процессе затвердевания к последовательному решению трех хорошо изученных задач.

4. Исследована корректность начально-краевых задачи для одномерного движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил; доказаны теоремы о локальной по времени разрешимости в гельде-ровских классах функций и о единственности классического решения на всем промежутке времени существования для основной начально-краевой задачи термокапиллярного движения эмульсии в пространстве при отсутствии силы тяжести.

5. Доказано существование и единственность решения задача Коши для линеаризованной системы уравнений движения эмульсии в пространстве под действием термокапиллярных сил и микроускорений.

6. Предложена модель затвердевания эмульсии, движущейся под действием микрогравитации и термокапиллярных сил, исследована одномерная задач затвердевания, сформулированы и исследованы обратные задачи управления составом эмульсии в процессе затвердевания посредством выбора начальной концентрации дисперсных включений или выбора граничного температурного режима.

7. Построены и исследованы автомодельные решения всех рассмотренных одномерных прямых и обратных задач.

Автор искренне благодарен члену- корреспонденту РАН профессору В.В.

Пухначеву за внимание к работе и плодотворное сотрудничество.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в журналах из списка ВАК:

1. Гурков Ю.В., Петрова А.Г. Численное решение задачи Стефана с непостоянной температурой фазового перехода // ПМТФ - 1996. Т. 37. Ж4- С. 105-112.

2. Петрова А.Г., Пухначев В.В. Одномерное движение эмульсии с затвердеванием// ПМТФ- 1999. т.40. № 3 - С. 128-136.

3. Gianni R. Petrova A. G. One -dimensional problem for heat and mass transport in oil- wax solution // Rendiconti Lincei: Matematica e Applicazi-one- 2005. V. 16. Part 3. - P. 181-196.

4. Петрова А.Г. Задача непротекания для одномерного движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил // СибЖим.-2007. Т.10. 3(31).- С. 128-137.

5. Петрова А.Г. Автомодельное решение одномерной задачи термокапиллярного движения эмульсии // ПМТФ - 2007. Т.48. № 5 - С. 61-70.

6. Петрова А.Г. О начально-краевой задаче для одномерного движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил // СибЖим - 2007. Том 12. № 2(38).- С. 111-119.

7. Petrova A.G., Pukhnachev V. V. Thermocapillary motion in an emulsion// Microgravity science and technology.- 2009. 21. s 227-s 232.

8. Петрова А.Г. О математической модели жидкостной эпитаксии из тройного раствора// Известия АлтГУ- 2010. №1(65).- С.56-61.

9. Petrova A.G. On the problem of control the composition of material in the binary alloy solidification process // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. - 2010. V. 18 Issue 3.- P.307-320.

10. Петрова А.Г. О задаче Коши движения эмульсии в пространстве под действием микроускорений и термокапиллярных сил// Известия АлтГУ,- 2010. №1/2(65).- С.52-62.

Прочие публикации

11. Бадратинова J1.Г.,Кузнецов В.В., Петрова А.Г., Пухначев В.В. О задачах со свободными границами, моделирующих процесс жидкофаз-ной эпитаксии из тройных растворов // Динамика сплошной среды,-1986. Вып. 78.- С. 38-41.

12. Badratinova L.G., Kuznetsov V.V.,Petrova A.G., Pukhnachov. Direct and inverse problem of liquid - phase epitaxy// Proceedings of the V-th Int. Conf.on the Numerical Analysis of Semiconductor Devices and Integrated Cicuits.- Dublin, 1987.

13. Зальцман Б.Б., Петрова А.Г. Задача управления составом материала, получаемого методом жидкостной эпитаксии в условиях невесомости// Космическая наука и техника.- Киев, 1989. Вып. 4.- С. 57-60.

14. Петрова А.Г. О задаче со свободной границей с "неправильным" знаком в условии Стефана// "Динамика сплошной среды".- Новосибирск. 1990. Вып. 95. - С. 94-101.

15. Petrova A.G. On the Stefan problems for the systems of equations, arising in the modelling of liquid - phase processes // Ser. of Num. Math.- Basel, 1992. Vol. 106,- P. 253-262.

16. Petrova A.G., Tarzia D.A., Turner С. V. The one-phase supercooled Stefan problem with temperature boundary condition // Advances in Math. Sci. and Appl - Gakkotosho, Tokyo, 1994. Vol.4. No. 1- P. 35-50.

17. Petrova A.G.,Pukhnachov V. V.,Zhuravleva E.N. Solidification of emulsion moving under the action of thermocapillary forces and microgravity// Нелинейные граничные задачи.- Донецк, 2000. Вып. 10.- С. 142-150.

18. Журавлева Е.Н., Петрова А.Г. Асимптотическая модель управления составом материала, получаемого в результате затвердевания эмульсии // Известия АлтГУ,- 2001. № 1(19).- С. 16-19.

19. V.V. Pukhnachov , О. V. Voinov , A.G. Petrova, E.N. Zhuravleva, О.A. Gudz. Dynamics, stability and solidification of emulsion under the action of thermocapillary forces and microacceleration// Interfacial Fluid Dynamics and Transport Processes - Lecture Notes on Physics, Springer, 2003 - P. 325-354.

20. Миронова О.А., Петрова А.Г. Исследование устойчивости равновесия однородной эмульсии в поле микрогравитации и термокапиллярных сил // Известия АлтГУ- Барнаул. 2005. №1(45).- С. 15-19.

21. Петрова А.Г. Математические модели фазовых переходов в гетерогенных средах.- Барнаул, изд-во АлтГУ, 2009.- 160 с.

22. Петрова А.Г. Обратная задача затвердевания бинарной смеси// Известия АлтГУ. 2009. №1(61).- С.40-45.

Подписано в печать 2.02.2011. Формат 60x84 1/16. Печать - цифровая. Усл.пл. 1,86. Тираж 120 экз. Заказ 2011 - 65

Отпечатано в типографии АлтГТУ, 656038, г. Барнаул, пр-т Ленина, 46 тел.: (8-3852) 29-09-48

Лицензия на полиграфическую деятельность ПЛД №28-35 от 15.07.97 г.

Введение

ЧАСТЬ I. КОРРЕКТНОСТЬ МОДЕЛЕЙ С ФАЗОВЫМ ПЕРЕХОДОМ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

1 Основные сведения о базовых одномерных моделях

1.1 Задача затвердевания бинарной смеси.

1.1.1 Построение модели.

1.1.2 Теорема о существовании решения задачи затвердевания бинарного сплава.

1.2 Об алгоритме численного решения задачи затвердевания бинарного сплава.

1.3 Монотонность свободной границы в двухфазной задаче Стефана

2 Задача Стефана с переохлаждением

2.1 "Переохлажденная"задача Стефана с нулевым потоком на известной границе.

2.2 "Переохлажденная" задача Стефана с условием

1-го рода на известной границе.

3 Модель жидкостной эпитаксии

3.1 Построение модели и постановка задач

3.2 Прямая задача в ограниченной области.

3.3 Прямая задача на полубесконечном интервале.

4 Модель тепломассопереноса в парафинонефтяной смеси

4.1 Постановка задачи.

4.2 Классическое решение одномерной задачи.

4.2.1 Формулировка теоремы.

4.2.2 Формулировка модифицированной задачи.

4.2.3 Формулировка вспомогательной задачи.

4.2.4 Разрешимость вспомогательной задачи и построение оператора.

4.2.5 Разрешимость модифицированной задачи.

4.2.6 Доказательство теоремы 4.2.1.

4.3 Автомодельное решение.

4.3.1 Постановка задачи.

4.3.2 Простейший случай .".

4.3.3 Общий случай

Основные результаты части I

ЧАСТЬ II. ДВИЖЕНИЕ ЭМУЛЬСИИ В ПОЛЕ МИКРОУСКОРЕНИЙ И ТЕРМОКАПИЛЛЯРНЫХ СИЛ

5 Постановка задачи и ее простейшие решения

5.1 Уравнения модели.

5.2 О простейших решениях.

6 Автомодельное решение одномерной задачи

6.1 Постановка автомодельной задачи и решение асимптотической автомодельной задачи

6.1.1 Постановка задачи.

6.1.2 Автомодельное решение асимптотической задачи

6.2 Вспомогательная краевая задача.

6.3 Существование автомодельного решения основной задачи

6.4 Примеры численных расчетов.

7 Корректность начально-краевых задач одномерного движения эмульсии

7.1 Основная начально-краевая задача.

7.1.1 Постановка задачи.

7.1.2 Построение оператора.".

7.1.3 Доказательство локальной разрешимости задачи

7.1.4 Единственность решения

7.2 Другие краевые задачи.

8 Линеаризованная задача Коши для движения эмульсии в пространстве

8.1 Постановка задач.

8.2 Единственности решения задачи Коши для линейной системы 1.

8.3 Существование решения задачи Коши для линейной системы

8.4 Существование и единственность решения задачи Коши для линейной системы 2.

9 Начально-краевая задача движения эмульсии в пространстве

9.1 Постановка задачи.

9.2 Единственность классического решения задачи.

9.3 Построение оператора.

9.4 Разрешимость задачи (9.3.1)-(9.3.7).

9.5 Основной результат

Основные результаты части II

ЧАСТЬ III. ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ СОСТАВОМ МАТЕРИАЛА В ПРОЦЕССАХ С ФАЗОВЫМ ПЕРЕХОДОМ

10 Управление составом растущей пленки

10.1 Постановка задачи.

10.2 Теоремы о разрешимости обратных задач 1 и 2.

10.3 Автомодельные решения обратных задач жидкостной эпи-таксии.

10.3.1 Автомодельное решение задачи 1.

10.3.2 Автомодельное решение задачи 2.

11 Задачи управления составом бинарного сплава 186 11.1 Задача определения начальной концентрации примеси (обратная задача I)

11.1.1 Постановка задачи.

11.1.2 Разрешимость задачи I

11.1.3 Автомодельная обратная задача I

11.2 Задача определения граничного температурного режима (обратная задача II).

11.2.1 Постановка задачи.

11.2.2 О "точном" решении задачи II.

11.2.3 Экстремальная формулировка задачи II.

11.2.4 Автомодельная задача определения граничного температурного режима.

12 Задача управления составом эмульсии в процессе затвердевания

12.1 Модель затвердевания эмульсии.

12.2 Условия разрешимости прямой и обратной задач.

12.3 Специальные решения прямой и обратной задач.

12.3.1 Случай теплового режима в виде бегущей волны

12.3.2 Автомодельное решение.

12.4 Задача управления составом затвердевшей эмульсии посредством выбора температурного режима.

Основные результаты части III

Общеизвестно, что практически все материалы, встречающиеся в повседневной жизни, как естественные (почвы, камни и биологические ткани), так и полученные в результате некоторого технологического процесса, неоднородны и многокомпонентны и являются смесями твердых, жидких газообразных веществ с различными механическими и физико-химическими свойствами. Соответственно большинство естественных и технологических процессов, таких как движение суспензий и пузырьков в жидкостях, растворения и осаждения, горения топлива, образование кокса, сажи и дыма, поведение зерновой и угольной пыли, движение нефти, эмульсий и аэрозолей описываются моделями динамики неоднородных сред.

Разнообразная природа процессов и явлений затрудняет выработку единого подхода к многофазному моделированию. В настоящее время разработаны и используется большое количество моделей многофазных смесей. Проблеме моделирования динамики неоднородных сред посвящены монографии Р.И. Нигматулина (1987), K.L. Rajogopal и L.Tao (1995), R. S. Subramanian и R. Balasubramanian (2001) и многие другие.

Р.И. Нигматулин в своей монографии пишет, что изучение движения гетерогенный смесей с учетом исходной структуры и физических свойств фаз связано с привлечением новых параметров и решением уравнений более сложных, чем те, с которыми приходится иметь дело механике однородных сред, поэтому необходимы рациональные схематизации, приводящие к обозримым и решаемым уравнениям.

Тем не менее, существующие модели многофазных сред являются весьма сложными не только с теоретической точки зрения, но и в отношении использования для решения конкретных задач. Имеется огромное число прикладных задач для этих моделей. ("International Journal of multiphase flow" и.т.д) Постановка корректных начально -краевых задач для моделей движения гетерогенных сред занимает центральное место в математических исследованиях таких моделей.

Тепломассоперенос в неоднородных средах имеет свои особенности по сравнению с однородными средами, находящие отражение и в математическом описании основных механизмов - диффузионном и конвективном. Процессы с фазовым переходом в неоднородных средах заслуживают особого внимания, что было отмечено В.И. Юдовичем в статье "Одиннадцать великих проблем гидродинамики" [90].

Проблема моделирования фазовых переходов актуальна как для природных, в том числе и биологических и экологических, так и для технологических процессов, таких, как выращивание кристаллов, наращивание пленок, расчет течения парафинированной нефти и осаждения парафинов на стенках нефтепроводов. Базовой моделью здесь является задача Стефана. Под задачей Стефана, возникновение которой относится к 1889, когда появились работы И. Стефана о фазовых превращениях, "в широком смысле понимают сейчас класс математических моделей, описывающих тепловые, диффузионные, и даже термодиффузионные процессы, сопровождающиеся фазовыми превращениями среды и поглощением или выделением скрытой теплоты "([21]). Наиболее характерной особенностью таких процессов, из-за которой соответствующие математические модели нелинейны, является наличие неизвестной заранее поверхности раздела фаз или целой многофазной области.

Построению и исследованию моделей фазовых переходов в неоднородных средах, как неподвижных, так и учитывающих движение, посвящено огромное количество работ, из которых отметим [13, 23, 32, 41, 102, 104-106, 109, 120, 121].

Из возможных гетерогенных смесей дисперсные смеси, к которым относятся эмульсии, наиболее подробно изучены благодаря своей сравнительно регулярной структуре; при этом существует множество моделей их поведения, приводящих к разным классам нелинейных задач.

Термокапиллярное движение является одной из наиболее важных форм движения капель и пузырьков в слабых силовых полях. Модель термокапиллярного движения эмульсии как двухфазного континуума под действием микроускорений и термокапиллярных сил была предложенная В.В. Пухначевым и О.В. Воиновым в 1995 году ([132, 133]). В отличие от обычной гидродинамики двухфазных сред, такое движение характеризуется отсутствием межфазного взаимодействия при относительном движении фаз.

Изучение двухфазного коитинуума такого рода началось в 1980 г., когда была предложена модель термокапиллярного движения газожидкостной смеси [15]. Авторы модели газожидкостной смеси пренебрегали массой, теплопроводностью и теплоемкостью газа. Одномерное движение и вопросы устойчивости простейших решений для газожидкостной смеси изучались в [15, 36]. Картина поведения среды становится значительно богаче в случае эмульсии. Модель термокапиллярного движения эмульсии была сформулирована в [132, 133] и уточнена в [16].

Своеобразие модели термокапиллярного движения эмульсии заключено в виде замыкающего уравнения системы, выражающего относительную скорость движения дисперсной фазы в виде суммы двух слагаемых - скорости, вызванной термокапиллярным эффектом и пропорциональной градиенту температуры, и скорости, вызванной микрогравитацией. Это уравнение является суперпозицией формулы Адамара-Рыбчинского для относительной скорости движения капли в гравитационном поле и формулы Янга-Голыптейна-Блока [146] движения капли в неоднородном температурном поле. Следствием замыкающего уравнения является тот факт, что система нелинейных управляющих уравнений не имеет определенного типа, при этом "параболические"уравнения сохранения энергии и импульса и "гиперболические"уравнения, являющиеся следствиями закона сохранения массы, связаны в главных членах. Это затрудняет использование известных результатов по исследованию моделей движения гетерогенных сред, например, теорем А.И. Вольперта и С.И. Худяева [17] и существенно усложняет постановку корректных начально-краевых задач, причем, не только в многомерном, но и в одномерном случае движения эмульсии с плоскими волнами.

Особый интерес в последнее время привлекают к себе обратные задачи и задачи управления процессами тепломассопереноса. Отметим, что A.A. Самарский и П.Н.Вабищевич в книге [76] среди важнейших классов прикладных задач выделили именно эти задачи. Разнообразные обратные задачи теплопроводности, в том числе и с фазовыми переходами рассматривались, в частности, в книгах [5, 18, 37, 76] и статьях [3, 4, 19, 93, 145, 147].

Обратным задачам затвердевания бинарного сплава посвящено значительное число публикаций как в математических, так и в физико-технических журналах [83, 84, 115, 116, 147]. К этому классу относится целый ряд разнообразных проблем, наиболее популярные из которых - это задачи управления формой фронта затвердевания и скоростью его продвижения [115, 116, 147] при помощи различных параметров. Заметим, что постановка и решение задачи, которую можно назвать простейшей обратной задачей Стефана, принадлежит самому И.Стефану [140].

Метод зонной плавки, предложенный У. Пфанном в 1952 году [74] для получения германия высокой степени чистоты в специальном контейнере, широко применяется для очистки сплава от примесей. Эффективность этого метода в первую очередь зависит от коэффициента распределения примеси, определяемого фазовой диаграммой двухкомпонентного вещества.

Исследование задачи управления составом вещества, получаемого в процессе затвердевания обеспечивает теоретическую основу применения подобных методов и позволяет выбрать режимы управления с необходимой точностью. Аналогичная задача для термокапиллярного движения эмульсии дает теоретические предпосылки получения в условиях орбитальных станций композитных материалов, характеризующихся значительным отличием плотности компонент. С этой задачей связана также проблема очистки смесей от газовых и жидких включений. Поскольку лабораторные эксперименты со смесями, плотности которых существенно различаются, весьма ограничены, возрастает роль аналитического и численного исследования задач движения эмульсии.

Проблема управления составом вещества при помощи температурного режима в ряде случаев сводится к задаче граничного управления в виде нехарактеристической задачи Коши. Теоретическому и численному исследованию задач граничного управления для параболических уравнений посвящена обширная литература (например: [3, 4, 5,115-118, 139]), и сведение задачи управления составом материала к изученному типу задач позволяет использовать разработанные в литературе методы решения.

В первой работе, посвященной задаче Стефана - статье Г. Ламе и Б.П. Клайперона (1831) было установлено, что толщина твердой фазы пропорциональна корню квадратному от времени, последующие в 1889 г. работы И. Стефана также были посвящены автомодельным постановкам, как с автомодельностыо вида х/у/1, так и типа "бегущая волна". Автомодельное решение задачи затвердевания бинарного сплава можно найти в работах [2, 32].

Автомодельные решения имеют ясный физический смысл, они являются аттракторами для других решений и применяются при тестировании численных алгоритмов. Кроме того, нахождение точных решений в задачах темломассопереноса в неоднородных средах является интересной и нетривиальной задачей теории нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Исследуемые в диссертации модели нелинейны и представляют собой сложные системы дифференциальных уравнений в частных производных. В случае моделирования фазовых переходов в неподвижных средах это параболические системы со свободной границей для которых при исследовании корректности начально-краевых задач существенно используются результаты о разрешимости начально-краевых задач для параболических систем общего вида (отметим в этой связи работы [10, 81, 89]) и необходима проверка условия дополнительности Лопатинского.

В модели термокапиллярного движения эмульсии система нелинейных управляющих уравнений не имеет определенного типа, при этом "параболическое" уравнение сохранения энергии и импульса и "гиперболические" уравнения, являющиеся следствиями закона сохранения массы, связаны в главных членах, что существенно усложняет постановку корректных начально-краевых задач и затрудняет использование известных результатов по исследованию моделей движения гетерогенных сред.

Найденные и исследованные в диссертации автомодельные решения имеют ясный физический смысл, они являются аттракторами для других решений и применяются при тестировании численных алгоритмов.

Целями диссертационной работы являются: исследование корректности неклассических одномерных задач со свободными границами, возникающих при моделировании фазовых переходов в неоднородных средах; постановка начально-краевых задач для модели движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил и доказательство их классической разрешимости; построение и исследование корректности модели затвердевания эмульсии; постановка и исследование задач управления составом материала в процессах с фазовым переходом.

Методы исследования. Используются методы функционального анализа и дифференциальных уравнений в частных производных, в частности априорные оценки, теоремы вложения, теоремы о неподвижных точках, преобразование Фурье, а также методы теории оптимального управления.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются оригинальными как в теоретическом, так и в прикладном аспектах.

Исследованы вопросы разрешимости на произвольном интервале времени для задачи Стефана с переохлаждением и условием 1-го рода на известной границе и задачи жидкостной эпитаксии из тройного раствора. Впервые доказано существование классического решения в малом по времени для задачи со свободной границей для системы уравнений, описывающей перенос примеси в парафинированной нефти и для задачи управления составом пленки в процессе ее роста из тройного раствора. Построены автомодельные решения этих задач. Впервые проведено исследование корректности начально-краевых задач для системы уравнений, описывающей движение эмульсии в поле термокапиллярных сил и микрогравитации. Впервые сформулированы задачи управления составом эмульсии в процессе затвердевания; для задачи граничного управления составом бинарной смеси при затвердевании предложен способ редукции к серии хорошо изученных задач.

Теоретическая и практическая значимость результатов. Теоретическая и практическая ценность работы заключается в том, что: исследованы вопросы разрешимости на произвольном интервале времени задачи жидкостной эпитаксии из тройного раствора; доказано существование классического решения в малом по времени для моделей переноса примеси в парафинированной нефти; предложены постановки начально-краевых задач для модели движения эмульсии под действием термокапиллярных сил и микрогравитации и найдены классы их корректности; сформулированы задачи управления составом материала в процессе фазового перехода (рост пленки, затвердевание бинарной смеси и затвердевание эмульсии) и исследована их разрешимость как в точной, так и в вариационной постановках; для всех рассмотренных задач построен ряд новых точных решений, имеющих физическую интерпретацию.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на следующих международных и Всероссийских конференциях:

V-th International Conference on numerical Analysis of Semiconductor Devices and Integrated Cicuits (Dublin, 1987);

- Vil Всесоюзной школе по качественной теории дифференциальных уравнений (Барнаул, 1989);

- международной конференции "Лаврентьевские чтения" (Новосибирск, 1990, 2005, 2010);

- Сибирском конгрессе "ИНПРИМ-98" (Новосибирск, 1998);

- международной конференции "Nonlinear Partial Differential Equations"(Lviv, 1999);

- Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения" (Бийск, 2002, 2005, 2008);

- международной конференции "Обратные и некорректные задачи математической физики" (Новосибирск, 2007);

- International Conference on 21st Century Mathematics (Lahore -Pakistan, 2007);

- международной конференции "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений"(Новосибирск, 2008);

- Всероссийской конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение" (Новосибирск, 2009);

- Всероссийской конференции "Успехи механики сплошных сред", (Владивосток, 2009);

- международной конференции "IV International Topical Team Workshop on two-phase systems for ground and space applications" (Новосибирск, 2009); а также на следующих научных семинарах:

-семинаре Института математики "Uliss Dini" университета Флоренции (1991, 2001);

-семинаре Института математики Римского университета (2003); -семинарах Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск) под руководством чл.-корр. РАН профессора В.В. Пухначева (неоднократно);

- семинаре Института математики СО РАН (Новосибирск) под руководством чл.-корр. РАН профессора В.Г. Романова (2010);

- семинаре Института математики СО РАН (Новосибирск) под руководством профессора B.C. Белоносова и д.ф.-м.н. М.В. Фокина (2010);

- семинаре Университета Восточной Англии (Норидж) 2010;

- городском семинаре "Задачи индустриальной и прикладной математики" (Барнаул) 2009, 2010;

- семинарах кафедры дифференциальных уравнений Алтайского государственного университета, (Барнаул).

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех частей, разделенных на 12 глав и списка литературы. Текст изложен на 240 страницах, включая рисунки. В списке литературы содержится 147 наименований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ЧАСТИ III

1. Сформулирована и исследована задача управления посредством выбора температурного режима составом пленки, выращиваемой методом жидкостной эпитаксии из тройного раствора.

2. Сформулированы и исследованы обратные задачи управления составом бинарного сплава в процессе фазового перехода посредством выбора начальной концентрации примеси или выбора граничного температурного режима в 11 точной"и вариационной постановках. Предложен способ сведения задачи управления составом бинарной смеси посредством выбора граничного температурного режима в процессе затвердевания к последовательному решению трех известных задач.

3. Предложена модель затвердевания эмульсии, движущейся под действием микрогравитации и термокапиллярных сил, исследована одномерная задач затвердевания, сформулированы и исследованы обратные задачи управления составом эмульсии в процессе затвердевания посредством выбора начальной концентрации дисперсных включений или выбора граничного температурного режима.

4. Построены автомодельные решения всех рассмотренных задач.

1. Абрашин В.Н., Якубеня А.Н. Экономичные схемы с явным выделением фронта для многомерных задач со свободными границами// Дифференциальные уравнения. - 1990. Т.26. № 6. - С. 1055-1066.

2. Авдонин H.A. Математическое описание процессов кристаллизации. -Рига, 1980. 180 с.

3. Алексеев Г.В. Разрешимость стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции// Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39. № 5,- С. 982-998.

4. Алексеев Г.В. Разрешимость обратных экстремальных задач для стационарных уравнений тепломассопереноса// Сиб. мат. журн.- 2001. Т. 42. № 5. С,- 971-991.

5. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы некорректных задач и их приложения к обратным задачам теплообмена М., 1988 - 288 с.

6. Антановский Л.К., Копбосынов Б.К. Нестационарный дрейф капли в вязкой жидкости// Прикладная механика и техническая физика.-1986. Т. 27. № 2,- С. 59-64.

7. Антонцев С.Н., Каэюихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей.- Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1983. 319 с.

8. Вадратинова Л.Г., Кузнецов В.В., Петрова А.Г., Пухначев В.В. О задачах со свободными границами, моделирующих процесс жидкофаз-ной эпитаксии из тройных растворов// Динамика сплошной среды.-Новосибирск, 1986. Вып. 78,- С. 137-141.

9. Белопосов В.С. Оценки решений параболических систем в весовых классах Гёльдера и некоторые их приложения//Математический сборник. 1979. Т. 110(1.52), №2(10)- С. 163-188.

10. Брату хин Ю.К. Термокапиллярный дрейф вязкой капли// Изв. Акад. наук СССР, Механика жидкости и газа 1975. № 5 - С. 156-161.

11. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей М. Изд-во МГУ. 1987 - 164 с.

12. Васильев В.И., Максимов А.М., Петров Е.Е., Цыпкин Г.Г. Тепломас-соперенос в промерзающих и протаивающих грунтах М., 1997.224 с.

13. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Методы решений одномерных эволюционных систем Новосибирск, 1993. - 365 с.

14. Воинов О.В., Пухначев В.В. Термокапиллярное движение в газожидкостной смеси// Прикладная механика и техническая физика.- 1980. Т. 21. № 5.- С. 38-45.

15. Воинов О.В., Пухначев В.В. Модель термокапиллярного движения эмульсии// Доклады Академии наук 2005. Т. 402. № 2. - С. 270-273.

16. Вольперт А.И., Худяев А.И. О задаче Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений// Мат. сб.- 1972. Т. 87. Ш. С. 27-37.

17. Гольдман П. Л. Обратные задачи Стефана. Теория и методы решения.-М., 1999 294 с.

18. Гольдман П.Л. Классическое и обобщенное решение двухфазной граничной обратной задачи Стефана// Вычислительные методы и программирование 2002. Т.З. № 1- С. 133-143.

19. Гурков Ю.В., Петрова А.Г. Численное решение задачи Стефана с непостоянной температурой фазового перехода// Прикладная механика и техническая физика 1996. Т. 37. № 4 - С. 105-112.

20. Данилюк И.И. О задаче Стефана. Успехи математических наук.- 1985. Т.40. Вып.5(245)-С. 133-185.

21. Н. Данфорд и Дж. Т. Шварц. Линейные операторы. Общая теория.-М., 1962.- 455 с.

22. Еникеева Э.Х. О кристаллизации бинарного сплава, образующего твердый раствор // Латвийский математический ежегодник.- Рига. 1968. Т. 4. № 21.

23. Журавлева E.H. Локальная разрешимость сферически симметричной термодиффузионной задачи// Известия АлтГУ.- Барнаул, 2000. № 1 (15).- С. 7-11.

24. Журавлева E.H. Численное решение задач плавления и кристаллизации бинарного сплава// Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1998. Вып. 113.- С. 70-73.

25. Журавлева E.H., Петрова, А.Г. Асимптотическая модель управления составом материала, получаемого в результате затвердевания эмульсии// Известия АлтГУ- Барнаул, 2001. № 1(19).- С. 16-19.

26. Журавлева E.H., Петрова, А.Г. Аналитическое и численное исследование задач затвердевания эмульсии// Тезисы докладов международной конференции ИМПРИМ-98 Новосибирск - С. 15.

27. Журавлева E.H., Петрова, А.Г. Сферически симметричная задача затвердевания эмульсии// Материалы докладов международной конференции "Математические модели и методы их исследования".- Красноярск, 1999.

28. Журавлева E.H., Петрова, А.Г. Асимптотические методы в задачах затвердевания бинарного сплава// Материалы 3 краевой конференции по математике Барнаул, 2000.- С. 20-21.

29. Зальцман Б.В., Петрова А.Г. Задача управления составом материала, получаемого методом жидкостной эпитаксии в условиях невесомо-сти//Космическая наука и техника Киев, 1990. Вып. 4.- С. 57-60.

30. Ивапцов Г.П. "Диффузионное" переохлаждение при кристаллизации бинарного сплава// Докл. АН СССР.- 1951. Т. 81. №2,- С. 179-182.

31. Кабанихин С.И., Хасанов А., Пененко A.B. Метод градиентного спуска для решения обратной коэффициентной задачи теплопроводности// Сибирский журнал вычислительной математики 2008:11(1).-С. 41-54.

32. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи- Новосибирск, 2009 460 с.

33. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям М., 1976. - 576 с.

34. Копбосынов В.К. Одномерное термокапиллярное движение в газожидкостной смеси// Динамика сплошной среды.- Новосибирск, 1986. Вып. 74.- С. 25-37.

35. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М. 1980.- 280 с.

36. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости М. 1970 - 288 с.

37. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа М., 1967 - 736 с.

38. Ладыженская O.A., Солонников В.А. Об однозначной разрешимости начально-краевой задачи для вязких несжимаемых неоднородных жидкостей// Записки научного семинара ЛОМИ АН СССР.- 1975. Т.52 С. 52-109.

39. Любое Б.Я. Теория кристаллизации в больших объемах.-'М. 1975.256 с.

40. Мейрманов A.M. Задача Стефана- Новосибирск 1986- 240 с.

41. Миронова O.A., Петрова А.Г. Исследование устойчивости равновесия однородной эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил// Известия АлтГУ Барнаул, 2005. № 1(45).- С. 15-19.

42. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред М. 1987. 4.1 - 464 с. 4.2 - 360 с.

43. Овсянников JI.B. Лекции по основам газовой динамики М. 1981. - 368 с.

44. Папин A.A. Разрешимость "в малом"по времени уравнений одномерного движения двух взаимопроникающих вязких несжимаемых жидкостей// Динамика сплошной среды Новосибирск, 2000. Выи. 116. С,- 64-70.

45. Папин A.A. Об единственности решений одной задачи для уравнений движения двухфазной смеси// Известия АлтГУ.- Барнаул, 2005. № 1(45).- С. 20-24.

46. Папин A.A. Разрешимость модельной задачи тепломассопереноса в тающем снеге// Прикладная механика и техническая физика 2008. Т. 49. № 4. С.- 13-23.

47. Петрова А.Г. Локальная разрешимость термодиффузионной задачи Стефана/ / Динамика сплошной среды Новосибирск, 1982. Вып. 58-С. 156-163.

48. Петрова А.Г. Монотонность свободной границы в двухфазной задаче Стефана// Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1984. Вып. 67.-С. 97-99.

49. Петрова А.Г. Термодиффузионная задача с малой начальной концентрацией примеси //Деп. ВИНИТИ 24.04.85. N2753-85 деп.

50. Петрова А.Г. О задаче со свободной границей с "неправиль-ным"знаком в условии Стефана// Динамика сплошной среды Новосибирск, 1990. Вып. 95,- С. 94-101.

51. Петрова А.Г. Задача непротекания для одномерного движения эмульсии// СибЖим 2007. Т. X, 3(31).- С. 128-137.

52. Петрова А.Г. Автомодельное решение одномерной задачи термокапиллярного движения эмульсии// ПМТФ 2007. Т.48, № 5. С. - 61-70.

53. Петрова А.Г. О начально-краевой задаче для одномерного движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил// СибЖим.- 2009. Т. XII, 2(38).- С. 111-119.

54. Петрова А.Г. Математические модели фазовых переходов в гетерогенных средах.- Барнаул: изд-во АлтГУ, 2009,- 160 С.

55. Петрова А.Г. Обратная задача затвердевания бинарной смеси// Известия АлтГУ,- 2009, Вып. 1(61).- с.40-45.

56. Петрова А.Г. О математической модели жидкостной эпитаксии из тройного раствора// Известия АлтГУ.- 2010. Вып. 1(65).- С.56-61.

57. Петрова А.Г. О задаче Коши движения эмульсии в пространстве под действием микроускорений и термокапиллярных сил// Известия АлтГУ,- 2010. Вып. 1/2(65).- С.52-62.

58. Петрова А.Г. Одномерное движение эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил// Международная конференция "Лаврен-тьевские чтения по математике, механике и физике",- Новосибирск, 27-31 мая 2005 г. Тезисы докладов,- С. 161-162.

59. Петрова А.Г. О корректности начально-краевых задач одномерного движения эмульсии// Всероссийская конференция "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение".-Новосибирск, 23-28 апреля 2009. Тезисы докладов С. 113.

60. Петрова А.Г. Задача управления составом материала в процессе затвердевания бинарной смеси// Всероссийская конференция "Успехимеханики сплошных сред".- Владивосток, 29 сентября 5 октября 2009. Тезисы докладов - С. 136.

61. Петрова А.Г. О корректности задач движения эмульсии в пространстве под действием термокапиллярных сил и микроускорений. Международная конференция "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике".- Новосибирск, 2010. Тезисы докладов.- С. 145.

62. Петрова А.Г., Потапенко М.А. Корректность математической модели тепломассопереноса в парафинонефтяной смеси// Материалы Седьмой региональной конференции по математике МАК 2004 Барнаул. С.- 27.

63. Петрова А.Г., Пухначев В.В. Одномерное движение эмульсии с затвердеванием// Прикладная механика и техническая физика 1999. Т. 40. № 3. С,- 128-136.

64. Петровский И.Г. О проблеме Коши для систем линейных уравнений с частными производными в области неаналитических функций // Бюлл. МГУ (А).- 1938. 1. Вып. 7.- С. 1-72.

65. Плотников П.П., Старовойтов В.П. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля // Дифференциальные уравнения.- 1993. Т. 23. № 3 С. 461-471.

66. Пухначев В. В. О задаче Стефана, возникающей в одной модели электрического взрыва проводников// Дифференциальные уравнения с частными производными. Труды семинара СЛ. Соболева, изд. Института математики СО АН СССР.- Новосибирск. 1976. № 2 С. 69-82.

67. Пухначев В. В. Возникновение особенности в решении задачи стефа-новского типа// Дифференциальные уравнения.- 1980. Т.ХУ1. № 3. -С. 492-500.

68. Пухначев В. В. Две обратные задачи механики сплошной среды // Некорректные задачи математической физики и анализа.- Новосибирск, 1984,- С 113-118.

69. Пфанн В. Зонная плавка М. 1960 - 272 с.

70. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана Рига, 1967,- 457 с.

71. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача.-М. 2003.- 784 с.

72. Самарский А.А., Моисеенко Б.Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана// Журнал вычислительной математики и математической физики 1965. № 5. С.- 816-827.

73. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1.- М. 1970 492 с.

74. Соболев С. Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций М. 1989 - 270 с.

75. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.- Новосибирск, 1988.- 333 с.

76. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида// Труды МИАН СССР- 1965. Т. 83,- С. 3-162.

77. Солонников В.А. О дифференциальных свойствах решений первой краевой задачи для нестационарной системы уравнений Навье-Стокса// Тр. МИАН СССР.- 1964. Т. 73.- С. 221-291.

78. Тагиров В.И., Дэюафаров Т.Г., Гахраманов Э.Н. Управление составом бинарных твердых растворов при вытягивании монокристаллов из усеченного конусообразного тигля с применением подпитки// Прикладная физика 2006. Вып. 2- С. 86-90.

79. Тагиров В.И., Гахраманов Н. Ф., Ибрагимова А.Р. Получение монокристаллов бинарных твердых растворов со ступенчатым распределением состава и примеси// Прикладная физика.- 2006. Вып. 2,- С. 91-95.

80. Треногин В.А. Функциональный анализ М. 1980 - 494 с.

81. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа М. 1968 - 427 с.

82. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения- М. 1970.- 270 с.

83. Эдварде Э. Функциональный анализ М., 1969.- 1071 с.

84. С. Д. Эйдельман, С. Д. Ивасишен Исследование матрицы Грина однородной параболической граничной задачи// Труды Моск. матем. об-ва, 1970. Т. 23.-С. 179-234.

85. Юдович В.И. Одиннадцать великих проблем математической гидродинамики// Вестник молодых ученых. Серия: Прикладная математика и механика 2'2003.- С. 3-18.

86. Acrivos A., Jeffrey D.J., Saville D.A. Particle migration in suspensions by thermocapillary or electrophoretic motion// J. Fluid Mech.- 1990. V. 212.- P. 95-110.

87. Badratinova L.G., Kuznetsov V. V.,Petrova A.G., Pukhnachov. Direct and inverse problem of liquid phase epitaxy// Proceedings of the V-th Int. Conf.on the Numerical Analysis of Semiconductor Devices and Integrated Circuits.- Dublin. 1987,- P. 136-141.

88. Belov Yu. Ya. Inverse problems for parabolic equations // Journal of Inverse and Ill-posed Problems.- 1993. V.l, Is.4P. 283-305.

89. Bonnerot R., Jamet P. Numerical computation of the free boundary for the two-dimensional Stefan problem by spacetime finite elements// J.Comp.Physics.- 1977. V. 25.- P. 163-181.

90. Cannon J.R. The one-dimensional heat equation Cambridge University Press, NY, 1984,- 483 p.

91. Cannon J.R., Fasano A. Boundary value multidimensional problems in fast chemical reactions// Arch.Rational Mech. Anal- 1973. V. 53 P. 1-3.

92. Cannon J.R., Hill C.D. On the movement of a classical reaction interface// Indiana Math. J 1970. V.20. - P. 429-454.

93. Dewynne J.N., Howison S.D., Ockendon J.R., Weiqing Xie. Asymptotic behavior of solutions to the Stefan problem with a kinetic condition at the free boundary// J.Austral.Math.Soc.Ser.B- 1989. V. 31. LI P. 81-96.

94. Elliot C.M., Ockendon J.R. Weak and variational methods for moving boundary problems Pitman, London, 1982 - 213 p.

95. Fasano A., Primicerio M. General free-boundary problems for the heat equation// J. Math. Anal. Appl. 1977. V. 57.- P. 694-723.

96. Fasano A., Primicerio M. New results on some classical parabolic free-boundary problems// Quart. Appl. Math 1981. V. 38 - P. 439-460.

97. Fasano A., Primicerio M. Heat and mass transport in non-isothermal partially saturated oil-wax solution// New Trends In Mathematical Physics. Proceedings of International Meeting Naples, Italy, 2003 - P. 34-44.

98. Fasano A., Primicerio M. Classical solution of general two-phase parabolic free boundary problem in one dimension// In: Fasano A., Primicerio M.(Eds.) Research Notes in Mathematics. V. 79/IL- Pitman, Boston 1983,- P. 644-657.

99. Fasano A., Primicerio M. Temperature driven mass transport in concentrated saturated solution// Prog. Nonlinear Differ.Equ. Appl. -2005. V. 61- P. 91-108.

100. Fasano A., Fusi L, Correrá S. Mathematical models for waxy crude oils// Meccanica.- 2004. V. 39. № 5.- P. 441-482.

101. Fasano A., Fusi L, Ockendon J.R., Primicerio M. Gelification and mass transport in a static non-isothermal waxy solution// Euro. Journal of Applied Mathematics 2009. V. 20. 1.01 - P. 93-122.

102. Friedman A. Analiticity of the free boundary for the Stefan problem //Arch. Rat. Mech. Anal.- 1976. V. 61. P. 97-125.

103. Frolovskaya O., Nir A., Lavrenteva O.M. Stationary regimes of axisymmetric thermal wake interaction of two buoyant drops at low Reynolds and high Peclet number// Physics of Fluids.- 2006. V. 18. 073103.

104. Fusi L. Oil the stationary flow of waxy crude oil in a loop// Nonlinear Analysis.- 2003. V. 53. № 3-4,- P.507-526.

105. Gianni R., Petrova A.G. One-dimensional problem for heat and mass transport in oil- wax solution// Rend. Mat. Acc. Lincei 2005. S. 9. V. 16.-P. 181-196.

106. Golovin A.A., Nir A., Pismen L.M. Spontaneous motion of two droplets caused by mass transfer// Ind. Eng. Chem. Res., 1995. V. 34. P. 3278-3288.

107. Goz, M. Existence and Unique ness of Time-dependent Spatially periodic Solutions of Fluidized Bed Equation// ZAMM.- 1991. V. 71. № 6.- P. 750-751.

108. Gronwall N.N. Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations // Ann. Math.- 1919. V. 20.- P. 292-296.

109. Gunsburger M.D., Hou L., Svobodny T.P. The apptoximation of boundary control problems for fluid flows with an application to control by heating and cooling// Comput. Fluids.- 1993. V. 22. I. 2-3.- P. 239-251.

110. Gunsburger M.D, Lee E.G. Analysis, approximation and computation of a coupled solid/fluid temperature control problem // Сотр. Methods Appl. Mech. Engr.- 1994. V. 118. I. 1-2.- P. 133-152.

111. Hao D.N. A non-characteristic Cauchy problem for linear parabolic equations ¡.'Solvability// Math.Nachr.- 1995. V. 171. 1.1.- P. 171-206.

112. Hao D.H., Reinhardt, H.-J. A Generalization of Beck's Method for Inverse Heat Conduction Problems// Abstract and Applied Analysis. Proceedings of International Conference. World Scientific 2004 - P. 287- -305.

113. Holmgren E. Sur l'extension de la methode d'intégration de Riemann // Arhiv for Math.Band. 1904. V. 1.- P. 315-326.

114. Kaliev I.A., Kazhikhov A.V. Well-posedness of gas solid transition problem// Journal of Mathematical Fluid Mechanics - 1999. V. 1. № 3-P. 282-308.

115. Meirmanov A.M. The Stefan problem with surface tension in the three dimensional case with spherical symmetry: nonexistence of the classical solution// Euro. Jnl.Appl.Math 1994. V. 5.- P. 1-19.

116. Meyer G.H. On computing free boundaries which are not level sets// In: Free Boundary problems: Theory Applications. V. 1. Pitman Reasearch Notes in Mathematics 185 1990.

117. Papin A.A., Akhmerova I.G. Solvability of the System of Equations of One-Dimensional Motion of a Heat-Conducting Two-Phase Mixture// Mathevftical Notes.- 2010. Vol. 87, No 2.-P. 262-266.

118. Petrova A.G. On the Stefan problems for the systems of equations, arising in the modeling of liquid phase proc// Ser. Of Num. Math.- Basel, 1992. V. 106,- P. 253-262.

119. Petrova A.G. On the problem of control the composition of material in the binary alloy solidification process// Journal of Inverse and Ill-posed Problems.- 2010. V.18, Is.3.- P.307-320.

120. Petrova A.G. One-Dimensional Motion of Emulsion Under the Action of Microgravity and Thermocapillary Forces// Abstracts of 3rd International Conference on 21st Century Mathematics- March 2007, Lahore, Pakistan.- P. 10.

121. Petrova A.G., Tarzia D.A., Turner C.V. The one phase supercooled Stefan problem with temperature boundary condition// Advances in Math. Sciences and Applications - 1994. V. 4. № 1. P. 35-50.

122. Petrova A.G., Pukhnaehev V.V., Zhuravleva E,N. Solidification of emulsion moving under the action of thermocapillary forces and microgravity// Nonlinear Boundary Value Problems- Donetsk, 2000. 1.10.- P. 142-150.

123. Petrova A.G., Pukhnaehev V. V Thermocapillary motion in an emulsion// IV International Topical Team Workshop on Two-Phase Systems for

124. Ground and Space Applications Novosibirsk, 2009. Book of abstracts — P. 93.

125. Petrova A.G., Pukhnachev V. V. Thermocapillary motion in an emulsion// Microgravity science and technology- 2009. V.21 S.l. P.227- 232.

126. Primicerio M. Qualitative properties of some one-dimensional p arabolic free boundary problem// Free Boundary Problems. Proc. Sem. (Pavia), I-st. Naz. Alta Mat Roma, 1980. V. 1- P. 451-480.

127. Pukhnachov V. V., Voinov O. V. Mathematical model of motion of emulsion under effect of thermocapillary forces and microacceleration// Abstracts of Ninth European Symposium on Gravity Dependent Phenomena in Physical Sciences Berlin, 1995 - P. 32-33.

128. Pukhnachov V.V., Voinov O.V. Thermocapillary motion in an emulsion// In: Proceedings of the Third Conference on Fluid Physics in Microgravity-Cleveland, Ohio, 1996,- P. 347-342.

129. Rajogopal K.L., Tao L. Mechanics of mixtures- L. World Scientific Publishing. 1995.- 195 p.

130. Subramanian R.S., Balasubramaniam R. The Motion of Bubbles and Drops in Reduced Gravity.- Cambrige University Press, Cambrige, 2001.

131. Shauder J. Der Fixpunktsatz in Funktionairaumen// Studia Math 1930. V. 2,- P. 171-180.

132. Sherman A. General one-phase Stefan problems and free boundary problem for the heat equation with Cauchy data prescribed on the free boundary// SIAM J. Appl. Math 1971. V. 20.- P. 319-327.

133. Seidmdn T.I. Two Rezults on Exact Boundary Control of Parabolic Equations.//Appl. Math. Optim.- 1984. 11. P. 145-152.

134. Stefan J. Uber die Thjerie der Eisbildung insbesondere über die Eisbildung in Polarmeere// S.B. Wein Akad. Math. Natur.- 1889. Bd.89 S.965-983.

135. Tao L.N. The analyticity of solution of the Stefan problem// Arch. Rat. Mech.and Anal.- 1986. V.72.- P. 285-301.

136. Tarzia D.A. Sobre el problema de Stefan unidimensional a una fase corespondiente al liquido sobreenfriado// Encuentro 1982 de Ecuaciones Diferenciales, J.E. Boillet (Ed.), Trabajos de Matematica № 53 IAM -CONICET, Buenos Aires, 1983.- P. 71-100.

137. Valli A. Periodic and stationary solutions for compressible Navier-Stoekes equations via a stability method// Ann. Scuola Norm. Sup Pisa. 1983. V. 10. № 4 - P. 607-747.

138. Visintin A.A. new model for supercooling and superheating effects// IMA J. Appl. Math.- 1986. V. 36. P.- 141-157.

139. Yang G.Z., Zabaras N. The adjoint Method for an Inverse Design Problem in the Directional Solidification of Binary Alloys// Journal of Computational Physics.- 1998. V. 140 P. 432-452.

140. Young N. O., Goldstein J.S., Block M. J. The motion of bubbles in a vertical temperature gradient// J. Fluid Mech 1959. V. 6,- P. 350-356.

141. Zabaras N., Rúan Y., Richmond O. On the design of two-dimensional Stefan process with desired freezing front motion// Numer. Heat Transfer.- 1992. V. 21(B).- P. 307-325.