Корреляционные функции низкоразмерных неоднородных моделей статистической физики и их асимптотики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ
|
Малышев, Кирилл Леонидович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Санкт-Петербург
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2014
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.03
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
МАЛЫШЕВ Кирилл Леонидович
КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ НИЗКОРАЗМЕРНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ МОДЕЛЕЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ИХ АСИМПТОТИКИ
Специальность 01.01.03 - математическая физика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
005551956
Санкт-Петербург 2014
2 8 АВГ 2014
005551956
Работа выполнена в лаборатории математических проблем физики Федерального государственного бюджетного учреждения науки Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Официальные оппоненты:
Кочетов Евгений Андреевич, доктор физико-математических наук, начальник сектора Лаборатории теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова, ОИЯИ (Дубна) Матвеев Владимир Борисович, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник кафедры высшей математики Института инноватики и базовой магистерской подготовки ФГАОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения"
Решетихин Николай Юрьевич, доктор физико-математических наук, профессор, профессор математического факультета Калифорнийского Университета (Беркли), Черп-Симонс профессор математической физики (Беркли, Калифорния, США)
Ведущая организация:
ФГБОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный университет"
Защита состоится <£ 2> 2014 г> в 4 5 часов на заседании
диссертационного совета Д 002.202.01 на базе ФГБУН Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, к. 311
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ФГБУН Санкт-Петербургского отделения Математического ипститута им. В. А. Стеклова Российской академии наук
п
Автореферат разослан __3> 2014 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Д 002.202.01 доктор физико-математических наук
Зайцев А. Ю.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы
Квантовый метод обратной задачи рассеяния, разработанный в лаборатории математических проблем физики ПОМП под руководством Л. Д. Фаддеева, является основным подходом к решению интегрируемых моделей квантовой теории поля и статистической физики [А1-А6]. Вычисление корреляционных функций является актуальной задачей теории квантовых интегрируемых систем [ А7]. Квантовый метод обратной задачи позволяет находить корреляционные функции в конечном объеме и при различных граничных условиях. Большой интерес при этом вызывают точные ответы, связанные с представлениями в виде определителей, [А7], которые позволяют эффективно исследовать асимптотическое поведение корреляционных функций. Квантовый метод обратной задачи (а также его важная составляющая часть алгебраический анзац Бете) связан с такими бурно развивающимися областями современной математики и математической физики как теория квантовых групп, маломерная топология и конформная теория поля. Кроме того, возникают связи квантовой интегрируемости с теорией суперсимметричных калибровочных моделей [ А8], а также удается установить связи с перечислительной комбинаторикой, симметрическими функциями и случайными матрицами [1-4].
Функциональное интегрирование позволяет исследовать корреляционные функции систем, для которых точное решение не найдено. С помощью функционального интегрирования, в сочетании с техникой температурных функций Грина, вычисляются как статистические суммы, так и корреляционные функции. Формулировка функционального интегрирования (интегрирования по путям) восходит к Р. Фейн-ману [А9] и М. Кацу [А10]. Подход плодотворен во многих разделах теоретической физики, включая статистическую физику, квантовую теорию поля и теорию суперструн. Многочисленные современные приложения подхода отражены в монографиях [А11-А15].
В современной теоретической и математической физике особое место занимают исследования низкоразмерных моделей статистической физики. Информацию о моделях дают как точные корреляционные функции (функции Грина), так и их асимптотические оценки. При этом интерес к точнорешаемым моделям связан с достижениями в области практической реализации маломерных систем конечного размера (например, при моделировании огрубления (плавления) кристаллов). Прогресс в квантовой оптике и в нано-приборостроении стимулирует интерес к пространствен-
но неоднородным системам. При этом неоднородность может обуславливаться либо конечностью объема или внешним потенциалом, либо дефектами (дислокациями, дисклинациями). Неоднородные системы связаны, в частности, с атомными газами в магнито-оптических ловушках, а также, например, с нанотрубками и графеновыми пленками. Атомные газы в ловушках удается реализовать как квазиодномерные системы, в которых проявляются черты либо фермионного, либо бозонного поведения.
Переходя к конкретным моделям, выделим следующие проблемы и подходы к их решению. Например, вычисление температурных корреляционных функций некоторых операторов для спиновой ХХ2 цепочки Гейзенберга позволяет установить связи с перечислительной комбинаторикой. Дело в том, что при анизотропии, стремящейся к нулю (ХХО магнетик, свободные фермионы) или бесконечности (нзинговский предел, бозоны с твердой сердцевиной), бетевские векторы состояния могут быть выражены с помощью симметрических функций Шура. В результате, форм-факторы соответствующих операторов, вычисленные в так называемой ^-параметризации, выражаются через ^-биномиальные определители, которые приводят к производящим функциям как плоских разбиений в ящике, так и самоизбегающих путей на решетке. Низкотемпературные асимптотики корреляторов в случае длинных, но конечных цепочек связаны с матричными интегралами гауссовых ансамблей. Случайные блуждания недружественных пешеходов на одномерной решетке и проблема перечисления их путей также вызывают интерес как в комбинаторике, так и в статистической физике. При этом для ХХО магнетика на периодической цепочке можно построить корреляционные функции, играющие роль производящих функций путей недружественных пешеходов.
Реализация бозе-эйнштейновской конденсации для атомных газов, удерживаемых магнито-оптическими ловушками, вызвала интерес к одномерным системам, описываемым |0|4-моделыо бозе-поля во внешнем (гармоническом) потенциале. Функциональное интегрирование позволяет получить однопетлевое эффективное действие и исследовать многоточечные температурные корреляционные функции в приближении Томаса-Ферми. Для оценки корреляторов используется вариационный метод В. Н. Попова [А16]. В одномерном случае и для внешнего гармонического потенциала обобщаются результаты для квантового нелинейного уравнения Шредингера.
Возникновение топологических вихрей, калибровочных симметрии и аналогий с физикой элементарных частиц поддерживает интерес к сверхтекучим фазам гелия-3. Необычные свойства А-фазы связаны с обращением сверхпроводящей щели в нуль в полюсах сферы Ферми. Для тока частиц слабонеоднородной А-фазы получены в
лондоновском пределе ведущие члены асимптотического разложения по степеням первых производных от параметра порядка.
Топологически нетривиальные нарушения упорядоченных состояний (вихри, дислокации) имеют значение для фазовых переходов в двумерных системах (переходы Березинского-Костерлица-Таулесса-Попова). Дислокации, как нарушения кристаллического порядка, существенны для понимания структурных и электронных свойств твердых тел, а также интересны в связи с физикой нанотрубок. Поля напряжений классических дислокаций Вольтерра характеризуются вблизи линии дефекта полюсной особенностью первого порядка. Нефизическая особенность сглаживается в рамках теоретико-полевого подхода, приводящего к модифицированным дислокациям с конечным ядром. С помощью функционального интегрирования вычисляются корреляторы компонент модифицированного тензора напряжений, позволяющие затем исследовать перенормировку модулей упругости. Конечность размера ядер приводит к видоизменению закона перенормировки. Цель работы:
Вычисление температурных корреляционных функций и их асимптотик для низкоразмерных моделей статистической физики, характеризующихся пространственной неоднородностью вызванной либо конечностью объема (длиной цепочки), либо наличием внешнего потенциала или дефектов. Рассмотрены следующие конкретные проблемы:
• Развитие подхода, основанного на использовании симметрических функций Шура для представления бетевских Л'-частичных состояний спиновой X Хг/ цепочки Гейзенберга в пределах нулевой н бесконечной анизотропии. Применение подхода к вычислению температурных корреляционных функций типа выживания ферромагнитной струны и выживания доменной стенки. Установление связи форм-факторов и асимптотик корреляторов с комбинаторикой плоских разбиений в ящике и самоизбегающих решеточных путей.
• Использование функционального интегрирования для вычисления производящих функций некоторых корреляторов спиновых ХХО и ХУ цепочек Гейзенберга. В качестве приложения рассмотривается задача перечисления траекторий случайных блужданий недружественных пешеходов.
• Применение функционального интегрирования для получения и исследования корреляционных функций одномерного бозе-газа с отталкиванием в гармоническом потенциале и слабонеоднородной А-фазы гелия-3, а также для вычисления спектра коллективных возбуждений в антпферромагнитной фазе двумерной модели Хаббар-
да со слабым отталкиванием.
• Построение трансляционно-калибровочной лагранжевой модели модифицированных дислокаций в упругом континууме, в рамках которой компоненты тензора напряжений дефектов не имеют особенности на оси, а сами дефекты характеризуются областью ядра конечного размера.
• Применение функционального интегрирования для вычисления статистической суммы и температурных корреляционных функций компонент напряжений в модели, рассматривающей модифицированные дислокации в упругом цилиндре как термодинамический ансамбль. Вывод закона перенормировки упругих констант, который демонстрирует влияние конечности размера ядер дислокаций.
Методы исследования
В работе используются соотношения квантового метода обратной задачи и Бете-анзаца, применяется метод функционального интегрирования, а также активно привлекаются специальные функции и их асимптотики. Теоретическая и практическая ценность
Работа имеет чисто теоретический характер. Разработанные в ней методы и полученные результаты могут быть применены для дальнейшего изучения как указанных систем статистической физики, так и других родственных задач. Основные результаты работы и научная новизна
На основании единообразного подхода получены следующие новые научные результаты:
• Вычислены для XXX модели Гейзенберга (пределы нулевой и бесконечной анизотропии) на конечной цепочке температурные корреляционные функции типа выживания ферромагнитной струны и выживания доменной стенки. Установлено, что для достаточно длинной, но конечной цепочки и большого, но умеренного числа частиц асимптотики корреляторов связаны с матричными интегралами теории случайных матриц. Показано, что при стремящейся к нулю абсолютной температуре асимптотики корреляторов принимают вид произведения статистической суммы гауссова унитарного ансамбля на квадраты чисел плоских разбиений в ящике.
• Показано, что при специальной д-параметризации форм-факторы операторов ферромагнитной струны и доменной стенки выражаются через д-биномиальные определители. Вычисление последних приводит к производящим функциям плоских разбиений в ящике. В пределе д —» 1 возникают биномиальные определители, имеющие интерпретацию в терминах самоизбегающих путей на решетке (случайные блуждания) и возникают формулы типа формулы Мак-Магона для плоских разбиений.
• Получены асимптотические оценки для числа путей пешехода, перемещающегося в среде с переменным числом недружественных соседей из некоторого фиксированного узла в другой достаточно удаленный узел решетки ХХО модели. Для производящей функции корреляторов третьих компонент спинов XY цепочки Гейзенберга получено представление в терминах функциональных интегралов по переменным с квазипериодической зависимостью от мнимого времени.
• Показано, что двухточечная температурная корреляционная функция для слабонеоднородного бозе-газа с отталкиванием в гармоническом потенциале убывает степенным образом в случае стремящейся к нулю температуры и растущего объема. Для критического индекса, характеризующего убывание, найдена зависимость от пространственных аргументов.
• Для тока частиц в слабонеоднородной Л-фазе гелия-3 в лондоновском пределе доказано наличие поправок второй степени по градиентам параметра порядка, а также методом Лапласа получены поправки третьей степени содержащие логарифм.
• Получено новое интегральное представление николсоновского типа для произведения функций параболического цилиндра с противоположными аргументами и одинаковыми комплексными значками, вещественная часть которых отрицательна.
• Получено эффективное действие для антиферромагнитной фазы трехзонной модели Хаббарда с отталкиванием как в критической области, так и вблизи нулевой температуры. Получен спектр возбуждений квазичастиц.
• Построена трансляцнонно-калибровочная полевая модель модифицированных дислокаций, обладающих ядром конечного размера. В первом и втором порядках малости по модулю вектора Бюргерса получены компоненты тензора напряжений винтовой дислокации в цилиндре, которые определены как вне, так и внутри ядра дефекта.
• Развит подход к вычислению перенормировки упругого модуля сдвига, вызванной зарождением диполей модифицированных винтовых дислокаций. Выявлена зависимость закона перенормировки от отношения радиусов ядра дислокации и поперечного сечения цилиндра.
Апробация работы
Результаты докладывались на семинарах ПОМП, С.-Петербургского Политехнического университета, Международного центра теоретической физики в Варшаве, Лаборатории низких температур Хельсинкского технологического университета, на международных конференциях по теоретической и математической физике:
• Summer School on Geometry, Topology, and Gauging (Jablonna, Poland, 1989);
• Symposium on Vortices, Interfaces and Mesoscopic Phenomena in Quantum Systems (Jyvas-
kylá, Finland, June 4-9, 1994);
♦ Workshops on Condensed Matter Physics: ICTP (Trieste, Italy) 1994, 1995; ISI (Torino, Italy) 1995;
♦ Third International Seminar POMI-Florence on Quantum Groups and Integrable Systems (St.-Petersburg, July 2-6, 2001);
♦ The 6th International Conference "Path Integrals from peV to TeV" (Florence, Italy, August 25-29, 1998); The 8th International Conference "Path Integrals from Quantum Information to Cosmology" (Prague, Czech Republic, June 6-10, 2005); The 9th International Conference "Path Integrals - New Trends and Perspectives" (Dresden, Germany, September 23-28, 2007);
♦ International Workshops on "Classical and Quantum Integrable Systems" CQIS-08 (IHEP, Protvino, Russia, January 21-24, 2008), CQIS-11 (IHEP, Protvino, Russia, January 24-27, 2011), CQIS-12 (JINR, Dubna, Russia, January 23-27, 2012); International Conference "Conformal Field Theory, Integrable Systems, and Liouville Gravity" (Chernogolovka, Russia, June 27 -July 2, 2009);
♦ III, IV International Conferences "Models in Quantum Field Theory" (St.-Petersburg, Physical Department of St.-Petersburg State University), MQFT-2010 (October 18-22, 2010), MQFT-2012 (September 24-27, 2012);
♦ Marcel Grossmann Meeting MG13 on Recent Developments in General Relativity, Gravitation, and Relativistic Field Theory (Stockholm University, Stockholm, Sweden, July 1-7, 2012);
♦ Конференция "Квантовый и классический методы обратной задачи" (МИАН-ПОМИ, 19-21 декабря, 2012)
Публикации
В ходе исследований по теме диссертации опубликовано 30 статей в ведущих отечественных и зарубежных рецензируемых научных журналах из списка ВАК. Личный вклад автора
Все основные результаты, выносимые на защиту, принадлежат соискателю. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь материал, который был получен непосредственно соискателем. Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, четырех приложений и списка литературы. Объем диссертации - 184 страницы. Библиография включает 195 наименований.
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Введение
Во вводной части диссертации приведена общая характеристика работы, включающая актуальность исследованных тем и обзор основных методов, а также обсуждается структура работы.
Глава 1
• XXZ магнетик Гейзенберга. Корреляционные функции и комбинаторика плоских разбиений
Гамильтониан квантовой XXZ модели Гейзенберга, описывающей состояния спинов "вверх" и "вниз" на цепочке из М + 1 узлов, имеет вид:
1 М А
И = ~2 + + у Wk+i«7* - + haD ' W
fc=0
где А е R - анизотропия, h е R - магнитное поле, и спиновые операторы на узлах и* и подчиняются алгебре: [cr£,crj~] = S^jcr*, [о*, «г*] = ±2<5^<т;±. Цепочка периодична. Пусть вектор состояния u = (u1,u2, • • • отвечает N спинам "вниз". Гамильтониан (1) диагонализуется на векторах |Флг(и)), если и только если параметры uj = с'0' удовлетворяют уравнениям Бете. В работах [1-4] рассматриваются два предела XXZ модели: А —» О (ХХО магнетик) и А —> —оо (изинговский предел). В обоих пределах состояния |Ф^(и)) при произвольном и допускают представление в терминах симметрических функций Шура. Пусть координаты узлов, занятых спинами "вниз", образуют строго убывающее разбиение fi = (/¿i, /¿2, • ■ • ,/ijv), где М > ßi > Ц2 > ■ ■ ■ > ßN > 0. Тогда при А —» 0 имеем представление для
где It) = ®nio lt>- ~ состояние со всеми спинами "вверх", Sa(u2) - функция Шура, и Vjv(u2) = Ili<,<K,v("t — и1) ~ определитель Вандермонда. Суммирование в (2) идет по нестрогим разбиениям А = ¡л — ö, ö = (N — 1, TV — 2,..., 1,0), для которых М = М + 1 - ЛГ > Ai > Л2 > • • • > \n > 0. Состояние |Ф^(и)) при А -оо также задается соотношением (2), но суммирование идет по нестрогим разбиениям А = ц — 26, для которых М. = М + 2 — 2N. Представление (2) позволяет применить
теорию симметрических функций к вычислению форм-факторов и температурных корреляционных функций в пределах А —¥ 0 и Д —> —оо.
Определим температурные корреляционные функции, называемые выживанием ферромагнитной струны и выживанием доменной стенки. Выживание ферромагнитной струны связано с оператором Пп, обеспечивающим возникновение п последовательных спинов "вверх":
Т{в , п, /3) = - "»-11 2 - (3)
где У. - гамильтониан и /3 - обратная температура. В (3) приняты обозначения: | Ф„(0Е)> М ФИе?*8)) и е~2вв = где в« = -
набор "фаз", отвечающих основному состоянию. Выживание доменной стенки связано с оператором порождающим п последовательных спинов "вниз":
где - эрмитово сопряженный оператор, и | Ф^_п(08)) определяется набором "фаз"
Для ХХО модели бетевское решение задается набором "фаз" 0} = (/, — 1 < У < где Л/>/!>/, >•••>/*> О, и для нормированного форм-фактора оператора Яп (3) получаем выражение
т(0'= <Ф*(в)|Ф*(в)> " 6 ^ м + 1 51п ^ '
известное как вероятность образования пустоты, то есть вероятность того, что п спинов "вверх" оказываются последовательными. Параметры вI < j < N, основного состояния ХХО модели задаются Ц = N — ] и для коррелятора (3) получаем:
ПО*,п,Р) = ^^ А* (Е , (5)
где £лг(08) - энергия основного состояния. В представлении (5) отражается связь коррелятора Т(0Е,п,£О с производящей функцией случайных блужданий N недружественных пешеходов сМ ;(/3)) 1 <Ы<Л, (убывающие разбиения ць и М > /х* > ц* > ■■■ > /1,* > 0, отвечают начальным и конечным положениям пешеходов, # есть Ь или Л). Здесь функция
ъм ■ - -1)•
5=0
п-1
выражает амплитуду перехода ■Ц-), являющуюся производящей функ-
цией случайных блужданий между /-им и А>ым узлами периодической цепочки.
Вычисление форм-фактора (Ф(у^) | Р„ | Ф(и^-„)> оператора Яп в .VА () случае связано с суммами произведений функций Шура, для которых в [4] доказывается ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1: Пусть А есть нестрогое разбиение длины N—11, и разбиение А длины N задается \р = Хр, 1 < р < N — п, и Ар = О, N — п < р < N. Тогда имеет место формула суммирования:
где элементы матрицы (Г^) 1<^<лг имеют вид:
1_Г„2 А/+1
Тн = V1> г , l<k<N-n, 1 <j<N,
Тк, = у~ЧМ~к), N-n + l<k<^т, 1 <j<N. В доказательстве (7) используется выражение для форм-фактора:
где матрица Т задается (8), [4]. При этом вычисление коррелятора (4)
приводит к замкнутому выражению такого же типа, как и выражение (5), [2,4].
Форм-факторы (ФлгС^) | П,, | Ф^(и)) и (Ф(у^) | Рп | Ф(илг-П)), вычисленные в ^-параметризации v-2 = q = (<;, д2,..., д1*), и2 = q/q = ... ,дЛ'-1), связаны с производящими функциями плоских разбиений в ящике. Пусть д-биномиальный определитель В, задается выражением:
<*(v„) I F„ |®(u„_)> = , ^ ,
N + L + i- 1 L + j- 1
W О)
[r]! [N — г]! '
l<ij <v
где [n]! = [1] [2] ... [n] - q-факториал, [0]! = 1, и q-число [га] = есть g-аналог положительного целого п 6 Z+ [А17]. Вычисление ^-параметризованных форм-факторов использует
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2: Пусть элементы (8) вычислены в q-параметризации:
1 _ о(я+1)0+*-1)
1 - QJ+k 1 (Ю)
Jkj = gi(f-k) ^ L + 1 < k < N, l < j < N,
где j < N < P, L < N (при L = N имеем один блок). Определитель матрицы (T)i<j,k<N (10) выражается соотношением-.
^-^Шт = =йп1^? - ^^ ' <»>
где V = Р - N + 1, определитель В, задается (9), Vjv(q), Vi(q/g) - определители Вандермонда, и Zq(L, N,V) - производящая функция плоских разбиений в ящике B{L, N, V) размера Lx N xV.
В пределе q —► 1 производящая функция Zg(L,N,V) дает число разбиений в ящике (формула Мак-Магона):
L N 1 _ ¿P+i+k-í
Zg(L,N,V) = ПП i
j=ifc=i 4
A(L, N, V) = det ^ ¿ ~ 1 j j ' (12)
Биномиальный определитель в правой части (12) равен числу самоизбегающих путей на квадратной решетке между точками A¡ = (О, N + L + i — 1) и B¡ = (L + i — 1, L + i — 1), 1 < i < Р. Это число равно также числу путей, соединяющих точки C¡ = (г, N + L + i — 1) и Bi и образующих конфигурацию арбуз [А18]. Рисунок 1 демонстрирует биекцию между арбузами и плоскими разбиениями в ящике для Р = 3. Производящая функция Zq(N, N,V) связана с производящей функцией плоских
Рис. 1: Самоизбегающие решеточные пути, образующие конфигурацию арбуз, и плоское разбиение с градиентными линиями.
разбиений строгих по столбцам ^"(ЛГ, Ы, Р): 7<Ч{Ы,М,Р) = Таким образом, А^(ЛГ.ЛГ.Р) = ;ЦЛ',АГ,Р).
► Утверждение 1 Использование (11) позволяет связать форм-факторы с числами плоских разбиений. В ХХО случае для форм-фактора оператора Пп получаем:
М 1 _ „М-п+1+]-к
<<Мч"*) | пп |<Ы(ч/,)*)> = <г" ПП
к=Ц=1 4
= д^(2™+1-Л0£«РР(ЛГ,ЛГ,Л/-71) ЛС5РР(Я,]У,Л/ -п),
где АС!1рр(М, ./V, М—п) - число разбиений строгих по столбцам в ящике В(ЛГ, ЛГ, М—п). Аналогично, I I ^лг-п^ч/?)^)) есть производящая функция плоских
разбиений в ящике В{N — п, Лг, М.):
М М~п 1 _
<ыч-») I Р. |Флг-((ч/в)»)> = тЬ— (лл
к= 1 ¿=1 4
Соотношение (12) ведет к интерпретации чисел Амрр(Лг, ЛГ, М — п) и Л(ЛГ — п,Ы,М) в терминах самоизбегающих путей на квадратной решетке.
Далее, оценка корреляторов (3) и (4) при 1<Л^<Л/пТ<1 дает:
ПВ^О,^^—^-й. х (15)
Iff f -ï,£,x? тт I ,ïdxldx2...dxN
lN = m Г' 7 e П (2т)лг ' (16)
—oo—oo —со
где Zjv - интеграл Мехты, который вычисляется: Т^ = e'PN, = ¿ffi/2 •
Окончательно, для T(0g яз 0, п, ¡3) (15) и Т{в% и 0,п,/3) оценки имеют вид [4]:
T(0g « 0, п, /3) ~ (Acspp(N, N, M - п))2еф<™ , (17)
~ Л2(Лг-п,ЛГ,Л1)еФ№Л'''3), (18)
где Ф(JV, Л/, /3) = Лг2 log ^ - Ç log P + 3<pN- 4 Для A^^^N, N, M — п) приходим к оценке:
log Лгарр(./У, JV, M — п) ~ TV2 log ^В М ~ , Л/-п»ЛГ» 1,
где В - некоторая постоянная (а также А, С и D ниже). Окончательно,
1о5Т(в'«0,п,/?) - iV2log(c^^l) . (19)
Для растущих Л/, ./V и убывающей температуры Т оценка (19) описывает убывание 7~(0g « 0,п,Р) при условии соблюдения неравенства Т < ^ ■ Аналогично оцениваем число плоских разбиений в ящике A(N — n,N,M) и для (18) получаем:
log Л в« « 0, п, /3) ~ iV2 log ^А j^j +2 N(N- n) log (d ■ (20)
Из соотношения (20) также следует убывание « 0,п,/3) при росте M, N и
► Утверждение 2 В изпнговском случае, решение для основного состояния есть df = M+*_N (^^у1 — j), l <j < N. Оценки принимают вид, [3]:
lim (Ф*(Ч-*) | Пп |ФЛ((ч/9)*)> = Aspp(N,N, М - п), (21)
T(0g « 0, n, ß) ^ (Aspp(N, N, М - n))2 , (22)
где Aspp(N, N, М — n) = Yli<kj<N M~"+k-i~k ~ число строгих плоских разбиений. -4 Таким образом, возникновение д-биномиальных определителей в выражениях для ^-параметризованных форм-факторов ^¡v(v) | Пп |Ф^(и)) и | F„ |Ф(и^_„))
вскрывает связь соотношений (13) и (14) с перечислением плоских разбиений и самоизбегающих решеточных путей [2-4]. При этом корреляционные функции (3) и (4) асимптотически связаны с квадратами чисел плоских разбиений (решеточных путей). Показатели экспонент Ф(N,M,ß) в (17), (18) и (22) имеют вид свободной энергии при слабой связи некоторых решеточных калибровочных моделей, демонстрирующих фазовый переход третьего рода [А19].
• ХХО магнетик Гейзенберга и случайные блуждания недружественных пешеходов
Исследуется связь между случайными блужданиями на периодической цепочке и корреляционными функциями ХХО магнетика [1,10]. Операторные средние над ферромагнитным состоянием играют роль производящих функций для числа путей случайных блужданий недружественных пешеходов (при встрече в любом из узлов недружественные пешеходы уничтожают друг друга). А именно, пусть Т>£ - оператор /("-кратного дифференцирования по Л в точке А = 0. Тогда число траекторий из К звеньев между 1-ым и к-ым узлами \Рк{1 £)| выражается через I'\-i(ß) (6):
|PK(l - k)\ = V^[Fk;l{ß)] = щ^+щ ' (23)
где m = \l — k\<K,K + m = 0(mod 2), и L = (К - m)/2.
Парная корреляционная функция спинов над основным состоянием, вычисленная по всем собственным состояниям Л'А'О-магттетика,
Fm+i-i{ß) ее S Тг'К+1е-^аГ) , (24)
интерпретируется как производящая функция блужданий одиночного пешехода в среде с переменным числом недружественных соседей. Получена оценка для числа путей пешехода, перемещающегося между двумя узлами решетки на расстоянии ш, когда число шагов К = m + 2L велико (1< m С L и L ~ ш2). Картина блужданий в
представлении суперпозиции собственных состояний эквивалентна блужданиям исходного (основного) и одного, двух, трех, и т.д., виртуальных пешеходов. ► Утверждение 3 Во втором порядке Х>^2[^т+1;1(/3)] имеет вид:
е-т»/(2Ц (Л/ + 2тг1(т, Ь) - + 0{т~1)) , (25)
7ГХ/
о ™/2
^(ш, Ь) = -1 + ет2/<") - V е"'2^ .
ти
Первое слагаемое в (25) отвечает Л/|Рк(1 —> т + 1)|2 (см. (23)). Второе и третье слагаемые в (25) сравнимы с первым, что означает сопоставимость вкладов основного и виртуального пешеходов. М
• ХУ магнетик Гейзенберга и производящие функции корреляторов третьих компонент спинов
Развит подход функционального интегрирования к вычислению продольных корреляционных функций ХУ магнетика Гейзенберга в постоянном однородном магнитном поле [5-9]. Для корреляторов вводятся производящие функции, которые записываются в виде функциональных интегралов по антикоммутирующим переменным. Специфика функциональных интегралов состоит в том, что переменные интегрирования зависят от мнимого времени квазипериодично. Соответствующие граничные условия учитываются как связи, интегралы гауссова типа вычисляются и приводят к ответам в виде определителей. Для ХХО магнетика Гейзенберга рассматривается приложение для случая двухточечного коррелятора третьих компонет спинов с явной зависимостью от времени. Подход допускает обобщения.
Глава 2
• Сверхтекучий одномерный бозе-газ в гармоническом потенциале
В работах [11-17] рассматривается неоднородный бозе-газ со слабым отталкиванием на вещественной оси МЭхво внешнем гармоническом потенциале У(х) = уП2!2. Статистическая сумма модели записывается в виде функционального интеграла:
г = ! , (26)
= У -и)ф(х,т) - | И*,т)|4} , (27)
где 3[ф, ф] - функционал действия. Гамильтониан И в (27) имеет вид: У. = ^ ^ — + У(х), где ш - масса частиц, ц - химический потенциал, д > 0 - константа связи.
Интегрирование в (26) идет по комплекснозначным функциям ф(х, т), ф(х, г), которые квадратично интегрируемы на вещественной оси х € К и периодичны с периодом р = (квТ)~1 по г е [0,/3] (кв - постоянная Больцмана и Т - температура).
Хотя в одномерном однородном бозе-газе с дельта-образным взаимодействием отсутствует бозе-конденсация, нетривиальность основного состояния, связанная с макроскопическим заполнением низшего квантового уровня, проявляется в возникновении квази-конденсатпа (флуктуации плотности подавлены). Учет квази-конденсата для неоднородной системы (27) достигается разложением переменных интегрирования в (26): ф(х,т) = ф0(х,т) + фе(х,т) и ф{х,т) = ф0(х,т) + фе{х,т), где фа(х,т), фо(х,т) отвечают квази-конденсату и фе{х,т), фе(х,т) отвечают высокоэнергетич-ным возбуждениям. Переменные фе(х,т), фе(х,т) и фа{х,т), фа(х,т) ортогональны, и интегрирование в (26) идет сначала по фе{х,т), фе(х,т). В случае большого числа атомов в ловушке используется приближение Томаса-Ферми, состоящее в отбрасывании ^ ^ в уравнении Гросса-Питаевского для параметра порядка. Допустимость приближения Томаса-Ферми при описании бозе-газа в магнито-оптических ловушках надежно обоснована.
После интегрирования по фе(х,т), фе{х,т) статсумма 2 принимает вид:
где Seff [фо, Фо] - однопетлевое эффективное действие, зависящее только от ф0,ф0 и полученное в приближении исключенного "самодействня" полей фе(х,т), фе(х,т). Вводя переменные плотность-фаза, ф0(х,т) = р1/2{х, r)ev(x,T', ф0{х,т) = р1,2(х,т) хе-,Лт), приходим к эффективному действию 5efj[p, у]. Условие стационарности <5(Seff[p, = 0 приводит к паре уравнений типа Гросса-Питаевского:
iöT¥> + f- (4= Cv/P - (d*¥>)2) + Л - V(x) — gp = 0,
2m\y/p J (28)
iдтр--дх (рдх<р) = 0,
m
где А = p — 2gpnc(0) - перенормированный химпотенциал и p„c(0) - плотность над-конденсатных частиц. В приближении Томаса-Ферми отбрасываем , требуем
дтр = 0 = дт'р, и приходим к плотности квази-конденсата в области |х| < Rc:
= (29)
где в - функция Хевисайда, Rc = yj- граница квази-конденсата. Решение уравнений (28) может быть представлено в следующем виде: рй(х,т) — PtfOt) + Яо(х,т).
Линеаризуя (28) в окрестности решения ро = ртг(х) (29) и делая замену 7г0 = е™ти(х), получаем уравнение Лежандра:
-^м+Ш1-^^^0* (зо)
где V2 = = А _ КВадрат скорости звука. Уравнение (30) приводит к спектру
надконденсатных возбуждений: Еп = п > 0.
Двуточечная температурная корреляционная функция задается интегралом:
Г(х1,т1-х2}т2) = , (31)
где 2 - статсумма (26) и 5 - действие (27). Интегрируем в (31) сначала по гре, фе, чтобы при достаточно низких температурах выделить основной вклад за счет низ-колежащих возбуждений. Тогда в однопетлевом приближении (31) принимает вид интеграла по фа, который оценивается методом [А16]. В результате получаем:
Г(х1,т1;х2,т2) ~ ^/р(хх)р{х2) ехр(-^ (в(х1,т1;х2,т2) + в{х2,т2\х1,т1))У (32)
где р(-) = ргг(-) определяется в (29), п функция Грина г; х', т'), имеющая смысл коррелятора фаз, удовлетворяет неоднородному уравнению Стрингари:
Я2 т- т' тЛ а- я II л — Г
ПЧ2
5т2тС(х, г; *', т') + 8Х ((1 - т;х', г')) = -^¿(х - х'Щт - г'). (33)
Представление (32) оценивается для расстояний значительно меньших, чем размер области квази-конденсата. Пусть Т —> 0 и граница области Нс растет. Тогда имеет место
► Утверждение 4 При кдТ 3> Йи/Яс 3> 1 (высокотемпературный предел) соотношение (32) приводится к виду:
Г(хит1;х2,т2)~---в{хих2)^р{хих2), (34)
I при I
где V определяется в (30), Ах = — х2, А г = п — т2 и р(хих2) = ^(1 — х|д|'). В квазиоднородном пределе х\,х2 <?; Лс, |Ах| {т'д3"2, Дс}, и р(х1,х2) принимает
вид: р(х\,х2) ~ ^(1 — ^¡1), 5 = Т1дТ2. Оценка (34) имеет степенной вид в пределе
ЙЗо ' в ^ L
из« •
р/ ^ ч _ у/РЫ)р(Х2)
Г{хитих2,т2) ~ цдж| + шидгц/в(х,,х2) • (35)
В пределе 1 <С ^ <§С соотношение (34) экспоненциально убывает:
Г^.т,;*,.^) ~ у/рЫКхг) АТ|) - (36)
где введена корреляционная длина £(£1,2:2) = ^6(х\,х2).
В низкотемпературном пределе квТ <С !ч'/Нс решение (33) принимает вид:
"^ (щ) [т'*(т)+2 "■САМ (?)>
п-1 0
где Дт = г — г', д3 - тета-функция Якоби, функции Рп(х) = (п + п >0,
определены с помощью многочленов Лежандра и составляют полную ортонормаль-ную систему в Ь2 [—Яс, Яс] и В2 - многочлен Бернулли. В ведущем приближении получаем при 1 « < £ « 1о8 и. =
А N1 — х'\ + \Ку(т — т7)! , А/ Б2 \
Использование (37) в (32) снова приводит к оценке (35). При этом в{х\,хг) определяется в (34), однако р(х1,х2) в (34) только приближенно совпадает с р(х 1,12) (37). М
Таким образом, в термодинамическом пределе и при низкой температуре Г(хь т\\Х2, т2) (32) демонстрирует степенное поведение (35). • Сверхтекучая А-фаза гелия-3 и ток частиц
В работах [18-22] рассматривается сверхтекучая слабонеоднородная А-фаза и вычисляется ток частиц который определяется функциональным интегралом:
^ = 5 Е - Ф'3дф3)А3х)е^{ф'3,фа), (38)
где 5' - функционал действия нерелятивистской ферми-системы, описывающей гелий-3. Переменные интегрирования - комплекснозначные антикоммутирующие функции ф*(т, г) и ф3(т,т), где г - "мнимое" время, г 6 К3 и в =4-,Т- Кроме того, д - вектор частных производных, и ф3) - мера интегрирования. Переменные интегрирова-
ния в (38) разделяются на "быстрые" и "медленные": ф'& = ф^3 + ф3 = ф\,3 + фо,а-После интегрирования в (38) по "быстрым" переменным ф\,3 получаем:
где нормальная функция Грина дп определяется уравнением Дайсона-Горькова
грг =
У (2тг)з ^Д.(к",к) (дт + Sk„)6kk„)9K,
и интегрирование по к идет в (39) вблизи сферы Ферми. В (40) приняты обозначения: д(т, к, к') есть 2x2 матрица нормальных и аномальных двухточечных функций Грина, I - единичная матрица, = -^{к2 — к2), kF - импульс Ферми, ш - масса ферми-частиц и Д(к, к") - параметр порядка Л-фазы. Суммирование в (39) идет по фермионным мацубаровским частотам.
Для слабонеоднородной Л-фазы представляет интерес, [18-22], вычислить j (39) в лондоновском пределе в виде асимптотического разложения по степеням производных от параметра порядка. Параметр порядка принимает вид: <5_1Д(к,г) = к ■ (Ai(r) + г'Д2(г)), где к = щ, (5 - амплитуда щели, г = Г1+Гг - центр масс куперовской пары частиц в точках ri и Г2, и импульс к сопряжен ri — г2. Лондоновский предел задается соотношением 4f = <8> l\ -С 1, где £о = ~ Длина когерентности
(cF - скорость Ферми) и I = А\ х Д2. Используются сферические координаты и разложение в ряд Фурье по т. Линеаризуя Д(к,г) г» А(к, р = 0) + ар, сводим (40) к неоднородному уравнению:
(ш + H)G = e«i(QCF>-1/21, п = гуЗ^Гст3 А - ^/Б^ст.х + Д<х2, (41)
где х = + Ро), &(к,р = 0) = ар0 + гД, и гамильтониан И выражен через
матрицы Паули. При этом (39) принимает вид:
j = ldQ4^J) ' J{x) = /^"^'"'"GnM , (42)
где f <Ш означает интегрирование по единичной сфере. Одномерность уравнения (41) показывает, что трехмерная система свелась к одномерным подсистемам. Оператор Н (41) связан с квантованием электрона со спином в однородном магнитном поле. ► Утверждение 5 Использование решения уравнения (41) в соотношении (42) приводит к представлению для j при Т = 0, [18—22]:
j = jo + jcorr ! jccrr = У<1п£|^Ф(х2, Q), (43)
OO , ---Ч г
Ф(х2, Q) = J е-«« (J^ ^(.-tanh,) j di; Q = M . (44)
Ток j0 в (43) имеет известное выражение первого порядка, j0 = pvs + ¿rot(pZ) + jan , где j an = — JmCo I (I ■ rot /), vs - сверхтекучая скорость, p - плотность жидкости и Co ~ p.
Представляют интерес три случая: rot I параллелен, перпендикулярен, и произвольно ориентирован по отношению к I. Представление (44) оценивается по Лапласу
в лондоновском пределе до третьего порядка по градиентам / включительно. Получены коэффициенты при квадратичных членах, и получены новые поправки третьего порядка. В первом случае есть только логарифмическая поправка третьего порядка (квадратичная поправка пропорциональна 11 х rot 11). Во втором случае есть и квадратичная (~ (rot ¿)±| I х rot 11), и кубическая поправки. В третьем случае поправки обоих типов:
К I (л А 7 , В\
где А = 2/л/тг — 3/2, и присутствие квадратичного члена А/(£оХ4) означает возможность возникновения следующих вкладов: £0| / х rot i \ (A(v3 -I - rot //4m) + ^ (di/2 + ¿Mi)), где А и В - некоторые постоянные. Таким образом, любая компонента j (43) имеет вид:
j = const х gr(l + A&U-x rotГ| + Ctf(gr)2 log(B£ogr)) ,
где gr есть некоторая комбинация производных параметра порядка I. -4
При вычислении (43)—(44) формулируется и доказывается ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3: Для произведения двух функций параболического цилиндра Dv(x)Dv{—x), Jif < 0, х £ К, имеет место интегральное представление:
ВЛх)ВЛ-х) = exP((, + i)f-^tanh0.
• Спектр возбуждений в антиферромагнитной фазе трехзонной двумерной модели Хаббарда со слабым отталкиванием.
В работах [23-25] рассмотрены антиферромагнетизм и сверхпроводимость в двумерной трехзонной модели Хаббарда со слабым отталкиванием. Функциональное интегрирование используется в
[24,25] для построения эффективного действия и для вычисления спектра бозевских возбуждений в антиферромагнитной фазе.
Глава 3
• Калибровочный подход к дислокациям и геометрические соотношения
Представляет интерес описывать дефекты в твердом теле (дислокации и дис-клинации) с помощью лагранжева подхода, основанного на калибровочной группе Р(3) = Т(3)з SO(3). Связь соответствующих структурных уравнений Картана с геометрическими уравнениями теории дислокаций и дисклинаций Вольтерра проанализирована в [26,27], где предложена геометрическая интерпретация плотностей дефектов и плотностей петель дефектов.
Алгебра Ли р(3) группы Р(3) есть полупрямая сумма алгебр 1(3) и зо(3), где для 1(3) скобка тривиальна, а для во(3) роль скобки играет векторное умножение. Рассмотрим р(3)-значные дифференциальные формы как элементы пространств У(П>(Д/) г р(3)<8>Л"(Т*Л/), 0 < п < 3, где Л/ - открытое множество в К3 и Т'М - кокасатель-ное расслоение над М. При этом имеется расщепление: У(п'(Д/) э г/"' г гА*"'. Определим [27] внешнюю производную Шефера как гомеоморфизм с1зь : У(пЦМ) —у
Символ д в (45) означает внешнее умножение для форм и векторное - для их коэффициентов. Оператор с!31' нильпотентен, с18Ь о <1ЗЬ = 0. Пусть А = 7 Б С € У(1)(Д/) и Т = аЭ в £ 1/(2)(Д/), и пусть соблюдается Т — с^А Плотности дпсклпнацпй и дислокаций традиционного подхода [А20] трактуются в [26,27] как коэффициенты 2-форм в и а, а плотности петель дпсклпнацпй и дислокаций - как коэффициенты 1-форм С и 7. Уравнения непрерывности для плотностей дефектов в и а принимают вид условия интегрируемости с!511^ = 0. Так как 2-форма Т инвариантна относительно сдвигов Л —> А + с18ьг/0', можно сказать, что теория дислокаций и дпсклпнацпй есть абелева калибровочная модель с калибровочной группой р(3) ~ К6.
Рассмотрим Р(3) как калибровочную группу на главном расслоении Р(3)-реперов над областью трехмерного пространства. Пусть ш есть 50(3)-часть связности ф-В ш на Р(3)-расслоении. Расщепление калибровочного преобразования Р(3)-кривизны ФЭ 72. показывает, что Ф не совпадает с кручением линейной связности ш. Переход к ассоциированному 50(3)-расслоению с 3-векторным сечением £ и введение канонической 1-формы В = <£ + с1£ + и;х£ позволяет перейти от уравнения Картана на главном Р(3)-расслоении к структурным уравнениям 50(3)-расслоения с кручением:
где Т = Ф + Кх{ - кручение линейной связности из. Уравнения в левой части (46) описывают геометрию Римана-Картана, характеризуемую 2-формами кривизны V, и кручения Т. Представляя $ = х + и (где и есть малое смещение точки х исходной конфигурации), можно придти к соотношению в правой части (46), где из отождествляется с 1-формой плотности петель дпсклпнацпй (, а ^ + ш х х приобретает смысл
1-формы плотности петель дислокаций 7. Инфинптезимально и Т оказываются
2-формами плотностей дпсклпнацпй и дислокаций. Тождества Бианки переходят в
У<П+1>(Л/), где
(45)
Аиз + (1/2) из л ш = К <Ш + о) л В = 7~
(46)
уравнения непрерывности плотностей дефектов АН = О, ¿Т = И л с1х. Таким образом, для Р(3)-калибровочного подхода возникает ннфннитезимальная интерпретация в терминах дислокаций и дисклинаций.
После выбора геометрической арены необходим выбор лагранжиана. Калибровочная группа Т(3) имеет самостоятельный интерес, в связи с чем в [28] для описания статики дислокаций предложена Т(3)-калибровочная модель, основанная на калибровочном уравнении эйнштейновского типа. Рассмотрены два варианта калибровочного уравнения. В одном варианте (/), в правой части уравнения стоит тензор упругих напряжений, и в линейном подходе возникают потенциалы напряжений, совпадающие в малом с классическими потенциалами напряжений. На больших расстояниях асимптотики быстро убывают и дислокации "экранируются". Во втором варианте (II) в правой части стоит разность между полным и фоновым тензорами напряжений. В результате классические дислокации модифицируются за счет возникновения ядра, внутри которого отсутствуют особенности напряжений и деформаций. • Модифицированная винтовая дислокация и квадратичные поправки к тензору напряжений
Подход [28] развивается в [29] на примере модифицированной винтовой дислокации, для которой вычисляются квадратичные поправки к тензору напряжений. В качестве калибровочного используется уравнение типа II. Особенности компонент напряжений сглаживаются в линейном и квадратичном приближениях, и в ядре конечного размера возникает регулярное описание. При этом возникают характеристические длины, зависящие от упругих модулей второго и третьего порядков. На основе подхода, учитывающего конечность ядер, построено термодинамическое описание твердых тел с большим числом несингулярных дефектов. При этом для цилиндра с прямолинейными винтовыми дислокациями возникает эквивалентное описание в терминах двумерного кулоновского газа. Конечность ядер связана со сглаживанием
кулоновского потенциала и проявляется в перенормировке упругого модуля сдвига.
(2)
Традиционный подход [А21] дает квадратичный вклад сгЪг в тензор напряжений, но при этом возникает искусственное обрезание на расстоянии от оси дефекта порядка радиуса ядра дислокации. Подход [29] обобщает [А21] и приводит к описанию, имеющему продолжение внутрь ядра, которое возникает самосогласованно. Пусть отображение х I—У £(х) задает деформацию начального состояния, и £ — х есть смещение. Отнесем начальное и конечное состояния тела к координатным системам {¿г'} и {ха} с квадратами длин д^Лх'Ах1 и т]аЬйхайхь. Компоненты метрик связаны соотношением т]аЬ = , где Ах' = £а'<1ха. Компоненты £' ортогональ-
ны триадам е", определенным с помощью di = е"<9„, д, = д/дх'. Описание в [29] (как и в [А21]) основано на эйлеровом тензоре деформаций еаь-
VabdCde-gadx'dxi = 2eabd£adtb, 2еаЬ = Vab - gab, (47)
где Qab = gijBJBfr - тензор Кошп, и компоненты В' определяются 1-формой dz1 — Для учета дислокаций рассматриваем 1-форму с коэффициентами Ва1 = щ; — фкоторые при неоднородных Т(3)-преобразованиях х' —> х' + rj'(x) инвариантны так же, как В' = - при однородных сдвигах х' х' + г/1. При этом преобразование калибровочных потенциалов обеспечивает инвариантность ßal:
дхг dxj / ; drf \ 4 . дх> drf
~~^ W + dxi) ' Фа _у Фа + 9ё d^i'
В трансляцпонно-калибровочном подходе решения для (модифицированнывх) дислокаций связаны с компонентами ф' калибровочного поля ф.
Трансляционная часть полного 8-параметрического калибровочного лагранжиана £(ш,В,А) [А22] квадратично зависит от кручения (от плотности дислокаций) TJ = (даВь* - дьВа*)Щ (потенциалы В) двойственны Ва\ B\Bj = Sca, B«Bj = &{)■.
ß_1£(0,ß,0) = - ^Tabc(ßiTabc + ß2Tcab + /33TeVc). В = det B'. (48)
Используем (48) для описания собственной энергии ядер дислокаций. Упругую энергию выберем в следующем виде:
Е„ 1 = 72?(«т) + К 1г(а) + £Х?(<т) + МХ1{сг)Х2(СГ) + NX3(cr), (49)
где J = jg, К = — (/г - модуль сдвига и Е- модуль Юнга), в то время как L, Л/, N -коэффициенты упругости третьего порядка. Символы 1\^з(сг) означают инварианты тензора второго ранга <т в трехмерном пространстве. Определения (48) (при выборе параметров ßi = —£, ß2 = 2(, ß$ = 4С) и (49) приводят к калибровочному уравнению, предложенному в [28]:
Ge} = ^ И ~ Mf) , (50)
где £ характеризует энергию калибровочного поля ф, сг п - полный и фоновый тензоры напряжений. Тензор Эйнштейна Gef = j £eab£fcdRabcd в (50) определяется с помощью тензора Левп-Чивиты ЕаЬс и кривизны Римана-Кристоффеля RaiKli, вычисленных для метрики г]аь (47). Тензор стьг определяется заданным распределением
дислокационных особенностей, и er — erbg играет роль вынуждающей силы. Уравне-
М . (ч) ... (-)>
ния равновесия в напряжениях имеют вид: Va о ~ 0, V„ (o"bg) = 0, где V0 -
ковариантная производная в метрике т]аь-
Пусть модифицированная винтовая дислокация расположена вдоль бесконечного
цилиндра. Тензор напряжений получен в [29] в двух порядках в виде сумм клас-
(1)
сического и калибровочного вкладов. В первом порядке потенциал напряжений ф удовлетвояет калибровочному уравнению
(1) (1) (Ч
(Д - к2){ф - фЬе) = 65<2>(х), фЬе=(-Ь/2тг)^р, (51)
где Ь - длина вектора Бюргерса, играющего роль малого параметра. Решение имеет
(1) (1) _
вид в цилиндрических координатах: ф = фъ% —/я, /в = 2^К0(кр), где К0 - модифицированная функция Бесселя. Единственная ненулевая компонента напряжений, (1)
а принимает в первом порядке вид:
<*> = -цдр ф = ^ ^(1 - крК^кр)) , (сгьв)фг = (52)
Ядро характеризуется р £ к ', так как калибровочная поправка к ^ экспоненциально
мала вне указанной области. Внутри нее kp\og(Qp) при р —> 0. Во втором
(2) (2) (2)
порядке отличны от нуля компоненты арр, а фф, а2г, и вне ядра получаем:
(2) I (2) 2п { р (Р\2,п„Р*\
о-рр = -5-1--I ——) —— I.
РР № (Р- \ Р1 Р\) ,53ч
(2) I /(2) \ 2Й / р (Р\2^„РЛ
1/И>»1 (Р- \ Р\ ^Ре ' Р\ )
где ре - внешний радиус цилиндра и п ~ рЬ2. Асимптотика <тГаг отличается от решения сть& [А21] тем, что в (53) возникла длина р\ вместо искусственного радиуса ядра рс классического подхода. Параметр р\ выражается через упругие модули второго и третьего порядков (то есть определяется материалом цилиндра) [29]. При р —> О компоненты ^фф ведут себя как о(р21о&3 р). Компонента а гг также имеет на больших расстояниях классический вид, зависящий от двух новых длин р2 и р.. Таким образом в калибровочной модели ядро дислокации имеет сложное 'Устройство", характеризуемое длинами р\, рг, р., зависящими от упругих констант. • Перенормировка упругих модулей и влияние ядер дефектов
Теоретико-полевой подход [30] дает термодинамическое описание несингулярных винтовых дислокаций в упругом цилиндре. Статистическая сумма Б цилиндра, содержащего большое число дислокаций параллельных его оси, записывается в виде функционального интеграла:
-2 = ^ У е-Я"' Т>(а%, а^щ, е«), (54)
где W = Е — iEext, Е = Ее\ + iwe, и ¡3 - обратная температура Т. Функционал W состоит из вкладов:
Ea = tJ ((<т«+_ +ст")2) ^'
Есоте = /(£e„(ince)y - еу сг?.) d3x, (55)
Еем = ^ al{d,uj + dJui-2Vlj)Ai-
где (тсе)у = —еше^пдь дте¡п (ем - антисимметричный тензор). Здесь I - упругая энергия, возникающая из квадратичной части (49) (V - коэффициент Пуассона), и Е„т - собственная энергия дислокационных ядер, соответствующая (48). Кроме того, ЕеЛ задает уравнения равновесия и фиксирует распределение фоновых (сингулярных) дислокаций. При этом, <Ту - фоновый тензор напряжений, отвечающий (сть^, и напряжение (Ту есть разность полного и фонового напряжений (см. (50)). Далее, и^ - компоненты перемещения, еу - полная деформация, "Р^ - пластический "источник" [30].
Статсумма (54) оценивается методом наискорейшего спуска, требующим выполнения <517 = 0. При этом возникает уравнение (тсе)у = ¿¡Су, как линеаризация калибровочного уравнения (50). Так как Э*(тсе)у ^ 0, для набора из N дислокаций с векторами Бюргерса Ь/, 1 < I < ЛГ, получаем а^ = —цдрф (см. (52)), где
<" -1 ^ 7
* = * = V И Ь'ЫМ* ~ У/,)' Щз) = 10§(9з) + Ко{з) ■ (56)
i=i
Оценивание дает Z ~ (Det A) 'e"sw, где W есть энергия И7, вычисленная для стационарного решения (56). Условие "электро-нейтральности" bj = 0 сокращает большой вклад ~ log R (R - радиус сечения). Переходим к набору положительных и отрицательных дислокаций с единичными векторами Бюргерса, расположенных в точках {yJ"}i<7<jv" и {у7Ь<7<л', и получаем из (54) статсумму большого канонического ансамбля Zс, описывающую двумерный кулоновский газ зарядов ±1: оо 1 И . N .
= E ЩрП[ П / dV7 ехр[-2 PNX +
лг=о " i=xJ J=Ij (57)
E(w(«iy; - yj\) + "Ну? - y;i) - - yji))] .
где 2Л/" - число дислокаций и А - химпотенциал дислокации.
Определим двуточечную корреляционную функцию компонент тензора напряжений (af (xj) ст*(х2))р (где # означает b или с; кроме того, of = (i = 1,2) в
рамках плоской задачи теории упругости) с помощью следующих функциональных средних:
<а# (х:) <т#(х2))р ее ±- I а,#(х1) а*(х2) и, е,). (58)
Корреляторы определены для распределения дислокаций, заданного пластическими деформациями ef (г = 1,2). Рассмотрим большой канонический ансамбль дислокаций в приближении дипольной фазы, которое соответствует связанным парам противоположных дислокаций в х^, 1 < I < ЛГ. Статсумма (57) принимает вид:
оо -. N - я М
2*р = Е АЛ П / / ^ехрГ-гДАГА - + Еш")1 '
М=о ' 1=1 •' 1=1 /<■/
где и>(т?/) - энергия 1-ого диполя с центром = (х/ +х7)/2 и плечом т]1 = х]!~ — Х7. Далее, и<и - энергия взаимодействия 1-ого и J-oгo диполей:
рюи = (59)
где д£ означает 2-вектор (д^ ,д(2) = (щ^, и (г/,, - скалярное произведение Г)1 и . Усредняя корреляторы (58) по положениям диполей, приходим к соотношению:
(60)
{(^(Х1)<Т^Х2))) = Хй1р (<7ДХ1)стДх2))р
дыАъъШ*Iх! - + 2а"'р ^Ы^Ы е-^
где <7;(х) = сг|>(х)+(7?(х), означает суммирование по числу и положениям диполей, - статсумма в дипольиом приближении. Вычисление коорреляционной функции (60) с учетом диполь-дипольного взаимодействия (59) приближенно дает:
(ЫхО^Ы» « ^ (а(Х1)ДХ2).«(к|Дх|) +
„ я /3/х<Ш(к|Ах1) + 1о§(1 + ¡3»в) Р^0(к|Дх|)^ (61)
+ икелды)кды)1--) .
При этом суммирование по положениям было заменено интегрированием, и основным техническим средством при вычислении (61) выступило
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4: Пусть (Ок), = П!Г=о(°» + "), где 0К = и пусть д^
- 2-вектор Тогда имеет место интеграл:
где Дх 5Х!~ х2, и интегрирование идет по К2. При I = 0 считается (Ок)0 = 1.
Перенормированный модуль сдвига /jren выражается с помощью (60):
1 _ Р
Е //«-с i,fc=l,2 J J
- 2С ^ , , (62)
/'геп /' <->
где <5 - площадь сечения, ц - модуль сдвига в отсутствие дефектов. ► Утверждение 6 Подстановка (61) в (62) дает закон перенормировки:
р. _ (1 + 20рй)Сх{кЯ) -log(l +/3^)Ср(кД)
(63)
Ргеп 1 + /ЗЦС1
где С^кД), Со(кК) выражаются через функции Бесселя, п ё - средняя площадь, занимаемая всеми диполями, [30]. При к Л 3> 1 имеем: С1(к11) кз 1 — ^ + ...,
Со («Л) ~ 5лЛ — +----В перенормировке (63) учитваются корреляции между
ядрами дефектов. Зависимость ргеп от безразмерного параметра к К демонстрирует влияние конечности дислокационных ядер. Из (63) возникает перенормированный модуль сдвига вблизи температуры плавления Тс как функция температуры Т < Тс:
/¿гепСП _ , , (Т л и)д(г,и})
1+-1)л(кД,8л-й), h{z,w) =
ргеп (Т-) \ТС /' ' " ' (1+и,)(1 + 2и;)'
где Тс определяется соотношением /¿Д. = 8тт. При сравнимых размерах площадей сечения цилиндра и ядер, имеется оценка:
Ц-кп{Т~) 8л- _
Сг{кК)
8тг, d<С 1. (64)
Соотношение (64), означающее отклонение 1 от 'Универсального" значения 8п,
связано с размером ядер и может быть проверено экспериментально, [А23].
В ЗАКЛЮЧЕНИИ обсуждаются результаты.
Литература
[А1] Л. Д. Фаддеев, Л. А. Тахтаджян, Квантовый метод обратной задачи и XYZ модель Гейзенберга, Усп. матем. наук 34 No. 5 (1979), 13-63.
[А2] L. D. Faddeev, Quantum completely integrable models in field theory, Sov. Sci. Rev. Math. С 1 (1980), 107-160; In: 40 Years in Mathematical Physics, World Sci. Ser. 20th Century Math., vol. 2 (World Sci., Singapore, 1995), 187-235.
[A3] E. К. Склянин, Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев, Квантовый метод обратной задачи. I, Теор. матем. физ. 40 No. 2 (1979), 194-220.
[А4] P. P. Kulish, Е, К. Sklyanin, Quantum spectral transform method. Recent developments, Lecture Notes in Phys., vol. 151 (Springer, 1982), 61-119.
[A5] H. Ю. Решетихин, Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев, Квантование групп Ли и алгебр Ли, Алгебра п анализ 1 No. 1 (1989), 178-206.
[А6] Н. Ю. Решетихин, Квазитреугольные алгебры Хопфа и инварианты связок, Алгебра и анализ 1 No. 2 (1989), 169-188.
[А7] V. Е. Korepin, N. М. Bogoliubov, A. G. Izergin, Quantum Inverse Scattering Method and Correlation Functions (CUP, Cambridge, 1993).
[A8] JI. Д. Фаддеев, Новая жизнь полной интегрируемости, Усп. физ. наук 183 No. 5 (2013), 487-495.
[А9] R. P. Feynman, Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics, Rev. Mod. Phys. 20 No. 2 (1948), 367-387.
[A10] M. Kac, On distributions of certain Wiener functionals, Trans. AMS 65 No. 1 (1949), 1-13.
[All] В. H. Попов, Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике (Атомиздат, Москва, 1976).
[А12] А. Н. Васильев, Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике (Изд-во ЛГУ, Ленинград, 1976).
[А13] А. А. Славнов, Л. Д. Фаддеев, Введение в квантовую теорию калибровочных полей (Наука, Москва, 1978, 1988).
[А14] V. N. Popov, Functional Integrals and Collective Excitations (CUP, Cambridge, 1990).
[A15] H. Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets (World Scientific, Singapore, 2004).
[A16] В. H. Попов, Возможность нарушения закона подобия при фазовом переходе бозе-системы в сверхтекучее состояние, Зап. научн. семин. ЛОМИ 150 (1986), 87-103.
[А17] A. Klimyk, К. Schmudgen, Quantum Groups and their Representations (Springer, Berlin, 1997).
[A18] M. E. Fisher, Walks, walls, wetting, and melting, J. Statist. Phys. 34 No. 5/6 (1984), 667-729.
[A19] D. J. Gross, E. Witten, Possible third-order phase transition in the large-N lattice gauge theory, Phys. Rev. D 21 No. 2 (1980), 446-453.
[A20] R. de Wit, A view of the relation between the continuum theory of lattice defects and non-Euclidean geometry in the linear approximation, Int. J. Engng Sci. 19 No. 12 (1981), 14751506.
[A21] H. Pfleiderer, A. Seeger, E. Kroner, Non-linear elasticity theory of straight dislocations, Z. Naturforsch. 15a (1960), 758-772.
[A22] M. О. Катанаев, Геометрическая теория дефектов, Усп. физ. наук 175 No. 7 (2005), 705-733.
[А23] Н. Н. von Griinberg, P. Keim, К. Zahn, G. Maret, Elastic behavior of a two-dimensional crystal near melting, Phys. Rev. Lett. 93 (2004), 255703.
Публикации автора по теме диссертации
[1] Н. М. Боголюбов, К. Л. Малышев, Корреляционные функции ХХ-магнетика Гейзен-берга и случайные блуждания недружественных пешеходов, Теор. матем. физ. 159 No. 2 (2009), 179-193.
[2] Н. М. Боголюбов, К. Малышев, Корреляционные функции XXZ цепочки Гейзенберга для нулевой или бесконечной анизотропии и случайные блуждания недружественных пешеходов, Алгебра и анализ 22 No. 3 (2010), 32-59.
[3] Н. М. Боголюбов, К. Л. Малышев, Изинговский предел XXZ-магнетика Гейзенберга и некоторые температурные корреляционные функции, Теор. матем. физ. 169 No. 2 (2011), 179-193.
[4] N. М. Bogoliubov, С. Malyshev, Correlation functions of XX0 Heisenberg chain, q-binomial determinants, and random walks, Nucl. Phvs. В 879 (2014), 268-291.
[5] К. Малышев, Функциональное интегрирование, дзета-регуляризация и корреляторы третьих компонент спинов в ХХО-модели Гейзенберга, Зап. научн. семнн. ПОМИ 269 (2000), 269-291.
[6] К. Малышев, Функциональное интегрирование и корреляторы z-компонент локальных спинов в XY и XX магнетиках Гейзенберга, Зап. научн. семпн. ПОМП 291
(2002), 206-227.
[7] К. Малышев, Функциональное интегрирование с "автоморфным" граничным условием и корреляторы третьих компонент спинов в ХХ-модели Гейзенберга, Теор. матем. физ. 136 No. 2 (2003), 285-298.
[8] С. Malyshev, Functional integration with "automorphic" boundary conditions and correlators of z-components of spins in the XY and XX Heisenberg chains, In: New Developments in Mathematical Physics Research. Ed., Charles V. Benton (Nora Science Publishers, New York, 2004), 85-116.
[9] К. Малышев, Условие квазипериодичности no мнимому времени как связь при функциональном интегрировании и временной ZZ-коррелятор XX магнетика Гейзенберга, Зап. научн. семин. ПОМИ 317 (2004), 142-173.
[10] N. М. Bogoliubov, С. Malyshev, A path integration approach to the correlators of XY Heisenberg magnet and random walks, In: Proceedings of the 9th Intern. Conf. "Path Integrals: New Trends and Perspectives" (Dresden, Germany, September 23-28, 2007). Eds., W. Janke, A. Pelster (World Scientific, Singapore, 2008), 508-513.
[11] N. M. Bogoliubov, C. Malyshev, R. K. Bullough, V. S. Kapitonov, J. Timonen, Asymptotic behaviour of correlation functions in the trapped Bose gas, Физ. элем, частиц и атомного ядра (Физика ЭЧАЯ) 31 No. 7Б (2000), 115-121.
[12] N. М. Bogoliubov, R. К. Bullough, V. S. Kapitonov, С. Malyshev, J. Timonen, Finite-temperature correlations in the trapped Bose-Einstein gas, Europhys. Lett. 55 No. 6 (2001), 755-761.
[13] P. К. Буллоу, H. M. Боголюбов, В. С. Капитонов, К. Л. Малышев, II. Тимонен, А. В. Рыбин, Г. Г. Варзугин, М. Лпндберг, Квантовые интегрируемые и неинтегрируемые модели, основанные на нелинейном уравнении Шредингера для реализуемой конденсации Бозе-Эйнштейна в размерности d + 1 (d = 1,2,3), Теор. матем. физ. 134 No. 1
(2003), 55-73.
[14] N. М. Bogoliubov, С. Malyshev, R. К. Bullough, J. Timonen, Finite-temperature correlations in the one-dimensional trapped and untrapped Bose gases, Phys. Rev. A 69 (2004), 023619 (15 pages).
[15] H. M. Боголюбов, К. Малышев, Функциональное интегрирование и двухточечная корреляционная функция одномерного бозе-газа в гармоническом потенциале, Алгебра и анализ 17 No. 1 (2005), 84-114.
[16] С. Malyshev, N. М. Bogoliubov, The Junctional integration and the two-point correlation functions of the trapped Bose gas, Proceedings of the 8th Intern. Conf. "Path Integrals from Quantum Information to Cosmology" (Prague, Czech Republic, June 6-10, 2005). Eds., C. Burdik, O. Navratil, S. Posta (JINR, Dubna, 2005), 20 p.
[17] H. M. Боголюбов, К. Малышев, О вычислении асимптотик двухточечной корреляционной функции одномерного бозе-газа в удерживающем потенциале, Зап. научн. семпн. ПОМП 347 (2007), 56-74.
[18] К. Малышев, О двух способах вычисления сверхтекучего тока в А-фазе гелия-3, Зап. научн. семпн. ПОМИ 209 (1994), 179-193.
[19] С. Malyshev, A new representation for the supercurrent in 3He-A and its zero temperature limit, Physica В 210 No. 3/4 (1995), 359-365. Erratum: Physica B, 222 (1996), 252.
[20] C. Malyshev, Some exact representations for the mass current in 3He-A and their zero temperature implications, Зап. научн. семпн. ПОМИ 224 (1995), 250-266.
[21] С. Malyshev, Higher corrections to the mass current in weakly inhomogeneous superfluid 3He-A, Phys. Rev. В 59 No. 10 (1999), 7064-7075.
[22] C. Malyshev, A Nicholson-type integral for the product of two parabolic cylinder functions D„{x) Dv(-x) at Пи < 0, Integral Transforms Spec. Funct. 14 No. 2 (2003), 139-148.
[23] C. L. Malyshev, V. N. Popov, On superconductivity in the three-band two-dimensional repulsive Hubbard model, Теор. матем. физ. 105 No. 1 (1995), 149-162.
[24] V. Kapitonov, C. Malyshev, V. N. Popov, P. Sevastyanov, Path integration and Bose spectrum in the antiferromagnetic state of the two-dimensional weakly repulsive Hubbard model, Phys. Lett. A 236 No. 1/2 (1997), 89-96.
[25] V. Kapitonov, C. Malyshev, On the Bose-spectrum in the 2D weakly repulsive Hubbard model at half filling, In: Proceedings of the Sixth Intern. Conf. on "Path-Integrals from peV to TeV" (Florence, Italy, August 25-29, 1998). Eds., R. Casalbuoni, R. Giachetti, V. Tognetti, R. Vaia, P. Verrucchi (World Scientific, Singapore, etc., 1999), 414-417.
[26] C. Malyshev, Underlying algebraic and gauge structures of the theory of disclinations, Arch. Mech. (Warsaw) 45 No. 1 (1993), 93-105.
[27] C. Malyshev, An approach to gauge potentials in the non-Abelian \SO(3)-gauge model of defects in solids, Arch. Mech. (Warsaw) 48 No. 6 (1996), 1089-1100.
[28] C. Malyshev, The T(3)-gauge model, the Einstein-like gauge equation, and Volterra dislocations with modified asymptotics, Ann. Phys. (NY) 286 No. 2 (2000), 249-277.
[29] C. Malyshev, The Einsteinian T(3)-gauge approach and the stress tensor of the screw dislocation in the second order: avoiding the cut-off at the core, J. Phys. A: Math. Theor. 40 No. 34 (2007), 10657-10684.
[30] C. Malyshev, Non-singular screw dislocations as the Coulomb gas with smoothed out coupling and the renormalization of the shear modulus, J. Phys. A: Math. Theor. 44 No. 34 (2011), 285003 (17 pages).
