Корреляционные функции в одномерных кинетических моделях Изинга тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ
|
Алиев, Микаил Алахвердиевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2000
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.07
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
ИНСТИТУТ ХИМИЧЕСКОИ ФИЗИКИ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
На правах рукописи
5 ОД
Алиев Микаил Алахвердиевич
Корреляционные функции в одномерных кинетических моделях
Изинга
Специальность 01.04.07 — Физика твердого тела
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени ■ кандидата физико-математических наук
Москва - 2000
Работа выполнена в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова на физическом факультете.
Научный руководитель - доктор химических наук,
ведущий научный сотрудник Кучанов С- И.
Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Маневич Л. И.
• доктор физико-математических наук, профессор Давыдов В. А.
Ведущая организация - Московский государственный инженерно-
физический институт (Технический университет)
сертационного совета Д 002.26.04 при Институте химической физики им. Н. Н. Семенова РАН по адресу: 117977, Москва, ул. Косыгина 4, ИХФ РАН (тел'. (095)-939-72-62).
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института химической физики им. Н. Н. Семенова РАН
Защита состоится
часов на заседании дис-
Автореферат разослал
2000 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета,
кандидат химических наук
Волынская А. В.
ьъп.зи/хоз
/
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. Модель Изинга, будучи простейшей среди использующихся при изучении кооперативных явлений, занимает в теоретической физике особое положение. В терминах этой решеточной модели могут быть описаны как равновесные состояния, так и релаксационные процессы в самых различных физических системах. В ее оригинальной формулировке модель Изинга была предложена для описания равновесного магнетика, чье микросостояние характеризуется конфигурацией спинов на одномерной решетке, каждых! из которых имеет две ориентации — по внешнему магнитному полю или против него. В рамках этой модели энергия взаимодействия спинов в произвольной конфигурации равна сумме энергий взаимодействий пар соседних спинов. При расширении области применимости модели Изинга на неравновесные системы она будет характеризоваться тем, что вероятность переворота каждого из спинов на решетке зависит только от ориентации его ближайших соседей. Как в равновесной, так и в неравновесной модели Изинга задачей теории является вычисление не только намагниченности, но и корреляционных функций.
Одномерная модель Изинга, представлявшая вначале лишь академический интерес, затем с успехом использовалась для решения многих задач физики (вычисление невозмущенных размеров и дипольных моментов линейных макромолекул), нахождение их релаксационных характеристик, биофизики (описание перехода спираль-клубок в биополимерах) и химической физики (расчет равновесия и кинетики адсорбции или химической реакции малых молекул на макромолекулах полимеров, описание процессов диффузии-аннигиляции частиц на одномерной решетке).
В настоящее время точное аналитическое решение общей одно-
меркой кинетической модели йзинга, в отличии от равновесного ее варианта, не известно. Поэтому возможны два направления исследований, как-то: компьютерное моделирование динамики изинговских магнетиков или поиски частных случаев общей кинетической модели Изинга, в которых удается найти точные решения.
Цель работы состоит в нахождении точных решений для спиновых корреляционных функций в некоторых частных случаях (модель Келлера и модель Глаубера) общей кинетической модели Изинга на одномерной решетке. •
В задачи работы включены:
- вывод, в рамках модели Келлера как неразбавленного так и разбавленного изинговского магнетика замкнутых, допускающих аналитическое решение в квадратурах, систем уравнений, описывающих эволюцию во времени спиновых корреляционных функций произвольного порядка;
- разработка метода решения основного кинетического уравнения с использованием Грассмановой алгебры для нахождения производящих функций спиновых корреляторов и его применение для описания глауберовой динамики одномерной модели Изинга с "произвольными обменными взаимодействиями между ближайшими соседями;
Научная новизна.
В диссертации впервые получены следующие новые научные результаты, которые выносятся на защиту:
1. В рамках модели Келлера выведены замкнутая система из обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, описыва-
югцих изменение во времени спиновых корреляционных функций, а также для соответствующих им производящих функций, допускающие аналитическое решение в квадратурах.
2. Для описания временной эволюции вероятностей доменов в случае модели Келлера выведена замкнутая система уравнений в частных производных первого порядка и найдено ее аналитическое решение в некоторых частных случаях.
3. В рамках модели Келлера для разбавленного изинговского магнетика выведены замкнутые системы из обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, описывающие эволюцию во времени спиновых корреляционных функций произвольного порядка, и соответствующих им производящих функций, допускающие аналитическое решение в квадратурах.
4. Предложен новый подход для нахождения производящих функций (ПФ) спиновых корреляторов, основанный на использовании Грас-смановых переменных.
5. С помощью этого подхода были получены формальные аналитические решения для указанных ПФ, использующихся для описания глауберовой динамики изинговского магнетика с произвольными обменными взаимодействиями между ближайшими соседями.
О достоверности полученных результатов свидетельствует совпадение в предельных случаях окончательных результатов для некоторых спиновых корреляционных функций с выведенными ранее другими авторами на основе методов, отличных от используемых в диссертации.
Научная и практическая значимость.
Рассматриваемая кинетическая модель Изинга является одной из
базовых моделей теоретической физики и физики твердого тела, так что получение любых точных результатов в рамках этой модели имеет фундаментальное значение. Практическая ценность обусловливается возможностью использования результатов, полученных в диссертации, при описании данных экспериментальных исследований физико-химии синтетических и биологических полимеров.
Апробация результатов. Основные результаты, представленные в диссертации, были доложены и обсуждены на конференции по химии и физике полимеров и тонких органических пленок (Пущино, 1999), семинарах Отдела кинетики и катализа ИХФ РАН и кафедры теоретической физики МИФИ.
Публикации. По теме диссертации опубликованы 3 научные работы.
Структура и объем работы. Диссертация, изложенная на 115 страницах, текста, состоит из введения, четырех глав, заключения, десяти приложений и, списка цитированной литературы из 158 наименований.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Введение
Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель, охарактеризованы научная новизна и практическая ценность полученных результатов.
Глава 1. Общая одномерная кинетическая модель Изинга
Кинетическая модель Изинга описывает стохастическую динамику одномерной решетки в каждом узле которой находится магнитный атом со спином, имеющим две возможные ориентации — вдоль и против магнитного поля, которые могут быть условно представлены как и* = ±1. За счет взаимодействия с тепловым резервуаром каждый спин может совершать случайные переходы из состояния щ в — с^ с вероятностями, зависящими от состояния ближайших соседей. В результате этих переходов система может изменять спиновую конфигурацию {<т}, которая задается набором ориентации спинов во всех узлах решетки. Для того чтобы дать исчерпывающее статистическое описание системы требуется задать вероятность Р({а};£) найти систему в микросостоянии {<т} в момент времени t. Однако значительная часть информации о рассматриваемой системе может быть получена из спиновых корреляционных функций, являющихся моментами Р({сг};£) и определяемых следующим образом
где суммирование проводится по всем возможными спиновым конфигурациям {а}. Экспериментально наблюдаемые макроскопические величины системы как,например, намагниченность М могут быть найдены с помощью моментов первого порядка (1), представляющих собой локальную намагниченность
Эквивалентная формулировка кинетической модели Изинга может быть дана в терминах динамики бесконечных двухсимвольных последовательностей. Символы, образующие эти последовательности, превращаются друг в друга с вероятностями, зависящими от состо-
{аца12... а1п) £ ачач ... а1пР({а}; £) М
(1)
М =
(2)
яния соседних символов. В этой формулировке аналогом спиновой конфигурации служит бесконечное слово (последовательность) {[/} в двухсимвольном алфавите, значению cr¿ = 1 соответствует, например, символ А, значению cr¿ = — 1 — символ В. Рассматриваемая модель, описывает обратимую кооперативную реакцию превращения звеньев А В на бесконечных полимерных молекулах. Соответствующая схема элементарных реакций выглядит следующим образом
ААА ААВ ВАВ fco lt h h !t h k2 4-t ко
ABA ABB BBJß (3)
Звенья, расположенные в серединах триад, реагируют с различными константами, зависящими от типов звеньев ближайших соседей. В терминах магнетиков константы элементарных реакций A;¿,A:¿,i = 0,1,2 представляют собой инфинитбзимальную вероятность переворота г-го спина в единицу времени при различных ориентациях соседних спинов. В зависимости от придания конкретного смысла двум возможным ориентациям спина (либо соответствующим им символам А ж В), данная кинетическая модель может описывать, различные физические задачи: процессы адсорбции/десорбции, диффузию и аннигиляцию частиц на одномерной решетке, динамику полимеров и т. д.
Математическое описание системы достигается использованием основного кинетического уравнения для вероятности P({a}]t)
+ Ew,({...,-<Tll...})P({...,-al)...};í) (4) »
где вероятность переворота г-ого спина а;,({сг}), отвечающая схеме (3) (при условии, что ориентация всех остальных спинов фиксирована),
записывается в виде
... .ctf{ÄWiti^+i + Mti^+i + ha^a^ + k2a^cr^i}
+ tff + hot-iCi+i + ^KV-i^+i + (5)
где af - (l±<rt)/2.
Естественным расширением области применимости кинетических моделей Изинга является рассмотрение динамики разбавленных магнетиков, когда в каждом узле одномерной бесконечной решетки может находиться либо магнитный атом, обладающий спилом а либо немагнитная примесь. Соответственно микроскопическое состояние системы определяется заданием как чисел заполнения пи принимающих значения 1 если в г-ом узле находится магнитный атом и 0 — в противном случае, -так и ориентацией спинов cr¿ магнитных атомов. Распределение магнитных атомов и немагнитных примесей в одномерной решетке не меняется со временем ("замороженный" беспорядок) и описывается вероятностной мерой Pd({n}) на множестве наборов чисел заполнения {п}. Данная модель простейшим образом описывает кооперативные реакции на полимерных молекулах, содержащие инертные звенья С, не участвующие в химических превращениях А ^ В. Расчет СИиновых корреляционных функций в данной модели представляет собой типичную задачу теории неупорядоченных систем. Общая схема реакций в подобной неупорядоченной системе может быть представлена в следующем виде
ААА 'А AB В AB А АС ВАС С АС ко 4-Т h ki !f ki k2 ¿f k0 k¡ !t h k4 k3 fe || ■ ■ (6) ABA ABB BBB ABC BBC CBC где звенья A (n¿cr¿ = 1) и В (n¿a¿ -- —1) соответствуют двум возможным ориентациям спина магнитного атома, а звено С (n¿ = 0) — немагнитной примеси. Полное микроскопическое описание системы
дается условной вероятностью Р({ст}|{п};/I) найти спиновую конфигурацию {сг} в момент времени £ при фиксированной конфигурации чисел заполнения {п}.
Эволюция во времени функции Р({сг}|{п}; описывается основным кинетическим уравнением
+ ][>,({..., -а,,.. .}1{п})Р({..}|{п}; ¿) (7)
г
где вероятность переворота г-ого спина, соответствующая схеме (6) записывается в виде
^¿({а}|{п}) = сг+п1|пг-1Т14+1[А;оаг+_1ст++1 + к^а^м + ^-Лчх) +к2а~_1сг~+1} + Пг-а(1 -- Щ+^кзсг^ + к4ст1~_1] + (1 - щ-1)тц+1[кго++А + кца~+1} + к5( 1 - - пт)}
+кцеГ- 1^+1} + п,-!(1 - п!+1)[^4а!+_1 + fc3CT~.1l + (1 - щ^)п1+г[кАСг++1 + й3ст,"+1] + к5{1 - 1 - пг+1)| (8)
Нахождение физических величин в рамках данной модели требует выполнения двух типов усреднений — во-первых, по спиновым переменным при фиксированном наборе {п}, во-вторых, по распределению конфигураций чисел заполнения Р^п}). Спиновые корреляционные функции могут быть определены следующим образом
1.1 "¿1 • ■ • пгт(« • • • О = Е Рй{{п})щ,п1г... Щп{а+а^ ... <7+ ){п}
{п}
(«■••<){»} = Е«-..<ЛМ1{п};*) (9)
М
причем суммирование по спиновым переменным {сг} во втором из выражений в (9) выполняется при фиксированной конфигурации чисел
заполнения {п}. Угловые скобки обозначают усреднение по спиновым конфигурациям {а}, черта сверху — усреднение по реализациям беспорядка {п}. 1 '
Общее нестационарное решение основного кинетического уравнения (4,7), в отличие от стационарного, в настоящее время неизвестно. Что касается статистических моментов этого распределения, то принципиальной трудностью, возникающей при их нахождении в рамках общей кинетической модели Изинга (3), является нёрасцепляе-мость бесконечной цепочки дифференциально-разностных уравнений, описывающих эволюцию во времени этих спиновых корреляционных функций. При нахождении корреляционных функций в рамках моделей неупорядоченных систем (6) возникают дополнительные трудности, связанные с необходимостью проведения дополнительного усреднения по "замороженному" беспорядку. Обстоятельства, указанные выше, вынуждают либо искать модели (3,6), допускающие точные решения, либо, пользуясь неконтролируемыми допущениями, производить обрыв или расцепление соответствующей бесконечной цепочки. В диссертации рассматриваются задачи первого типа, связанные с нахождением точных решений для спиновых корреляторов в рамках двух известных вариантов общей кинетической модели Изинга — моделей Келлера и Глаубера.
Вариант Келлера общей кинетической модели модели Изинга описывает динамику необратимых переворотов спинов, изначально ориентированных против магнитного поля, когда величина его асимптотически велика. В терминах химических реакций на полимерных молекулах данный вариант соответствует тому, что превращения звеньев А в В происходят необратимо, так что все кг, г = 0,1,2 (3) равны нулю. В рамках этой модели к настоящему времени были найдены одноточечные и двухточечные спиновые корреляционные
функции, а также вероятности доменов из спинов, ориентированных против магнитного поля.
Вариант келлеровой динамики для разбавленного изинговского магнетика соответствует случаю общей кинетической модели (6) при равных нулю константах скоростей обратных реакций — 0, при всех г. При решении задач, возникающих в теории неупорядоченных систем с "замороженным" беспорядком, последний, как правило, считается нескоррелированным. В диссертации был рассмотрен случай скоррелированного "замороженного" беспорядка, описываемого Марковской статистикой чередования магнитных и немагнитных атомов в одномерной решетке. В рамках этого варианта модели Келлера для неупорядоченного изинговского магнетика ранее было найдено точное решение лишь для средней намагниченности системы.
Вариант Глаубера является частным случаем общей кинетической модели Изинга и соответствует следующим соотношениям между кинетическими параметрами:
2ki - kQ - к2 = 0, 2кг -к0-к2 0, kik0 = к0кi (Ю)
Условия (Ю), накладываемые на кинетические параметры модели (3), оставляют независимыми только три из них, выбор которых произволен. Исключая параметры к2 и к2 с помощью соотношений (10) в вероятности перехода (5), получим для нее следующее выражение
W»(M) = \а11 - Ра> ~ + о-.+х) + -л + сгг+х)] (11)
где параметры а,р,.-у связаны с константами элементарных реакций схемы (3) следующими соотношениями
а = fci + ku p = ?-7 ==-=--- (12)
«1 + «1 Kl -f Kl
На языке магнетиков параметры в выражении (11) имеют простой смысл. Кинетический параметр а равен средней частоте переворота спина, в то время как остальные два — р и 7 — характеризуют равновесие. Термодинамический параметр р = 1апЬ(/?/г) зависит от отношения энергии (р,К) спина с магнитным моментом ¡1 = 1 в поле /г к температуре Т в энергетических единицах (/3 = 1 /Т), тогда как второй термодинамический параметр 7 = tanh(2/37) — определяется разностью 27 энергий взаимодействия параллельной и антипараллельной конфигураций соседних спинов. Параметры 7 и к входят в стандартный Гамильтониан равновесной модели Изинга Н = — 7 Е, сг,<7г+1 ~ аг. В рамках модели Глаубера без магнитного поля (р = 0) ранее были найдены спиновые корреляционные функции первого и второго порядков, а также предложены алгоритмы для получения корреляторов высших порядков.
Обобщением простейшего варианта модели Глаубера (11) служит одномерный изинговский магнетик в котором обменные интегралы 7! между ближайшими парами соседних спинов зависят от их расположения в цепочке г. Во всех известных задачах такого рода рассматривались корреляторы порядка не выше второго в случае нулевого магнитного поля (р = 0), когда вероятность переворота спина имеет вид
и}) = 2 Г1 ~ 2СГ,(Сг<7г"1 + (13)
где коэффициенты с, и ¿г имеют следующий вид
с _ _2зшЬ(2/3,/,_!) _ 2БтЬ(2/Д)
~ соэЬ(2/37^7)'+ соэЬ(2¿77.)' г ~ соз)^27ц71У +аЩ2Дл)
(14)
При одинаковых обменных интегралах 7г = 7, коэффициенты с, = <1г — 7 (11). Ранее рассматривались частные случаи этой модели в
которых функция Jг может принимать два значения, периодически изменяющихся вдоль цепочки. .
Таким образом хотя в рамках упомянутых варантов кинетической модели Изинга был найден ряд точных решений, но тем не менее некоторые статистические характеристики не были получены..Целью данной работы являлось получение новых точных аналитических результатов для спиновых корреляционных функций в рамках упомянутых вариантов общей кинетической модели Изинга. . ,
Глава 2. Корреляционные функции в модели Келлера
Вторая глава посвящена выводу замкнутой системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, описывающей изменение во времени спиновых корреляционных функций произвольного порядка в варианте Келлера кинетической модели Изинга.
Спиновые корреляционные функции, определяемые следующим образом
" РШ = Р(АХЬАХЬ ... АХ*«А) = (« ... <),
Л - 1к - 1к-1 ~ 1, Л > о, к = 1,..., п (15)
где X — А + В, имеют смысл вероятности найти последовательность из (п + 1) спина, направленного вверх (символа А) находящихся на расстояниях /1:..., /„ друг от друга. Все прочие корреляторы (т+1)-го порядка могут быть получены с помощью функций (15) и аналогичных им корреляторов более низкого порядка из условий стехиометрии. Получающаяся бесконечная цепочка незамкнутых уравнений для корреляционных функций (15) может быть расцеплена при помощи теоремы Митюшина, согласно которой в модели Келлера при условии наличия в момент времени £ = О только символов типа А любые, последовательности символов II' и V, разделенные диадой из
символов АА являются статистически независимыми. Это означает, что при любых последовательностях II и V выполняется равенство
где Р(]¥) обозначает вероятность соответствующей последовательности Ш. В п. 2,1 рассмотрена процедура расцепления цепочки уравнений для спиновых корреляционных функций с применением теоремы Митющина и показано, что замкнутую систему уравнений для корреляторов произвольного порядка (15) образуют корреляционные функции
Р{ЬКкАХ!г... АХ1"К) (17)
где крайние левые (£) и крайние правые (7?) последовательности символов (обкладки) могут быть равны либо А либо А2. Четыре функции (17) могут рассматриваться как элементы матрицы Р^т), которая находится из решения следующего простого уравнения
¿Р^т) = НР^) + Р(^п)НГ а£
-I- СЭР^-е^РО^-е^С/ч-В (18)
где вектор е; имеет отличной от нуля и равной единице только ¿-ую компоненту. Здесь матрица коэффициентов Н, имеющая размерность 2x2, является верхней треугольной, а неоднородный член в уравнении (18) содержит нелинейные комбинации из корреляторов более низких порядков чем (т + 1). Это обстоятельство позволяет записать выражения для элементов матрицы Р(1Гт) (17) в квадратурах для произвольного т. В п. 2.1 также приведен явный вид уравнений для цроизводящих функций корреляторов (15), определяемых следующим образом
171 г
СЫ-ЕРОУ ГЫ* (19)
Г к=1
которые допускают аналитическое решение в квадратурах. Функции С(1Хт) представляют самостоятельный интерес в статистической термодинамке гетерополимеров, где они определяют в импульсном представлении коэффициенты разложения свободной энергии Ландау раствора макромолекул, полученных в результате кооперативной химической реакции, протекающей согласно схеме (3).
В п.-2.2 в рамках'модели Келлера исследовалась задача о нахождении; .вероятностей кластеров Р(АВпА), т. е. доменов из спинов, имеющих ориентацию по магнитному полю. В отличие от нахождения вероятностей кластеров звеньев А, данная задача является существенно более сложной. В п. 2.2 показано, как, пользуясь стехиометри-ческими соотношениями, позволяющими выразить вероятности этих доменов через корреляционные функции (15),(17) можно построить некоторые производящие функции, через которые могут быть выражены производящие функции вероятностей доменов
оо
Овья{х) = ЕхпР(ЬВпН) (20)
п—0
где обкладки Ь,К могут быть равны А, А2. Для указанных производящих функций была получена замкнутая система уравнений в частных производных первого порядка и были найдены ее точные решения в частных случаях к2 — 0 и 2к\ — ко — к2 ~ 0.
Глава 3. Корреляционные функции в модели Келлера разбавленного изинговского магнетика
В третьей главе выведена интегрируемая в квадратурах система уравнений, описывающая эволюцию,¡во времени спиновых корреляторов произвольного порядка, в рамках модели Келлера разбавленного изинговского магнетика с Марковской статистикой чередования магнитных (М) и немагнитных (С) атомов. Данная модель характе-
ризуется тем, что вероятность любой конфигурации этих атомов на одномерной решетке задается регулярной цепью Маркова со следующей матрицей переходных вероятностей
V =
( \ Уим Vмс
^мм + ^мс= 1, "см + УСС - 1 (21)
\ У СМ Vс с у
Важнейшим свойством Марковской статистики чередования магнитных и немагнитных атомов является статистическая независимость любых последовательностей и та V символов А, В, С, разделенных символом С
В п. 3.1 рассматриваются двухточечные корреляционные функции, определяемые следующим образом
Р(АХтА) = п1пг+т+1(а!+а!+т+1){п}
Р(АХтС) = п1(1-п1+т+1)(о-1+>{п} (23)
где X = А4 В + С, а угловые скобки соответствуют усреднению по {ст} при фиксированной конфигурации {п}, черта сверху означает усреднение по распределению чисел заполнения Р^({п}). Корреляционные функции (23) имеют смысл вероятности найти два звена А или звенья А й1 С на расстоянии т друг от друга. Все остальные, представляющие интерес двухточечные корреляторы, могут быть получены из корреляторов (23) благодаря стехиометрическим соотношениям, например :
Р{АХтВ) = Р(А) - Р(АХтА) ~ Р(АХтС) (24)
В диссертации приведено доказательство обобщения теоремы Ми-тюшина на случай модели Келлера разбавленного изинговского магнетика. Используя эту теорему (16), а также Марковское свойство
(22) в разделе 3.1 выведена замкнутая система уравнений для кор-¡реляторов второго порядка (23). В п. 3.1 показано, что замкнутая система уравнений включает в себя уравнения для корреляционных функций вида P(LXmR), где последовательности L и Я образуются соответственно символами L = А, С А, А2, С и R = А, АС, А2, С. Учитывая изотропию рассматриваемой системы, указанные корреляционные функции могут быть представлены как элементы матрицы Р(т) размерности 4x4, определяемые соответствующими последовательностями L и R. Поскольку матрицы коэффициентов Н и Q, уравнения, описывающего эволюцию во времени корреляторов Р(т) (т > 0)
^Р(т) = НР(т) + Р(т)НТ + QP(т - 1) + Р(то - 1)QT (25)
являются верхними треугольными, то решения для корреляторов произвольного порядка могут быть найдены в квадратурах. В п. 3.1 приведена замкнутая система уравнений для производящих функций двухточечных корреляторов
со
G(z) = Е Р(rn)zm (26)
771=0
также допускающая точное аналитическое решение в квадратурах.
В п. 3.2 в рамках келлеровой динамики для разбавленного изин-говского магнетика выведена замкнутая система уравнений для спиновых корреляционных функций произвольного порядка. Исходя из условий стехиометрии и Марковского свойства (22), все корреляционные функции т+1 порядка могут быть выражены через корреляторы следующего вида
Р{АХ^АХ^...АХ^А) -
Р(АХ^АХ^...АХ^С) = ntonn ... ntmJl - n,J«< ... < J{n} ft > 0, г = l,2,...,m (27)
и аналогичные им корреляционные функции более низкого порядка. Уравнения для корреляторов (27) не образуют замкнутой системы. Как показано в диссертации, замкнутая система уравнений для корреляционных функций (27) получается путем добавления уравнений для корреляторов Р{ЬХ^АХ*2... где последовательности
символов Ь и Л те же, что и в случае двухточечного коррелятора. Функции Р{ЬХ^АХ*г... АХ^тВ) могут рассматриваться как элементы матрицы Р(1.£т), определяемые своими последовательностями Ь и К. Матрица Р(хГт) может быть найдена из решения следующего уравнения
^Р(^т) = НР^-ЬР^)!!7
ас
.,+ «ЗР^т-еО + Р^-е^С^ + В , (28)
где верхние треугольные матрицы Н и О совпадают с использовавшимися в уравнении для двухточечного коррелятора (25). Неоднородный член В содержит нелинейные комбинации спиновых корреляторов более низкого порядка чем (т + 1). Решение матричных уравнений (28) может быть найдено в квадратурах. В разделе 3.2 также приведены уравнения для производящих функций вида
т
С(1Хт) = £Р(1Гт)П*,Л (29)
[ 1=1
также допускающие интегрирование в квадратурах.
Глава 4. Производящие функции спиновых корреляторов в модели Глаубера
Четвертая глава посвящена применению нового метода для решения задач, описываемых основным кинетическим уравнением, к модели Глаубера. Идея предложенного метода основывается на переходе
от основного кинетического уравнения к эквивалентному ему уравнению, для производящей функции (ПФ) распределения вероятностей Р({а};£) различных микросостояний в момент времени ¿. Использование традиционных ПФ с вещественными переменными приводит к дифференциальным уравнениям в частных производных вторго порядка для ПФ от бесконечного числа переменных. Решение этих уравнений к настоящему времени неизвестно. В разделе 4.1 диссертации предложено использовать ПФ
оо
ЩШ) = £-Р(Ы;0ехр( Е таг) (30)
{о} г=-оо
от Грассмановых переменных {%}, антикоммутатор которых равен нулю т. е. г?г773 +г]3г]г — 0. Согласно (30) корреляционные функции (1) могут быть получены из ПФ Ф({?]};£) посредством дифференцирования по соответствующим Грассмановым переменным
{ачагг. .. агп) = --д . , п, (¿1 < »2 < ■ • • < гп 31
дг]гп ... дг]г2дг]н 1{17}=0
также как и в случае обычной ПФ.
В п. 4.2 показано, что для модели Глаубера на бесконечной решетке в отсутствие магнитного поля основное кинетическое уравнение (4) сводится к эквивалентному уравнению для ПФ (30) в частных производных. Поскольку это уравнение первого порядка, то оно допускает аналитическое решение, найденное в диссертации при произвольных начальных условиях Р({ст};0)
' ' : - , СО СО X
= <?(М;*)ехр{ Е (32)
к=-со]>к
где использованы следующие обозначения
СО , ОО ч
(Ж-п}^) = £Р(Ы;0) п (х + ^е-04 £
{ст} »=-со ; = -оо
СО оо
\Ук]{г) = г]~к-е~2аг £ £ г"2'"1 х
П1 — -оо П2>П]
х -к{1оЛ) 1П2(70^) - /П1-;(7аО/Пг_А;(7а4))1 г = (1 — — 72)/7 = 1апЬ(/?7) (33)
В (33) /п — модифицированные функции Бесселя порядка п.
Коррёггяторы двух первых порядков, получаемые дифференцированием ПФ (32) по соответствующим переменным (31), совпадают с найденными ранее Глаубером. Аналогичным дифференцированием по формуле (31) могут быть найдены корреляторы произвольного порядка. Эта рутинная процедура существенно проще, чем известные ранее громоздкие алгоритмы нахождения высших корреляторов. В пределе Ь —> оо функция Ф({г]};^) переходит в производящую функцию равновесных корреляторов в одномерной модели Изинга.
В п. 4.3 рассмотрена глауберова динамика одномерной цепочки из N изипговских спинов с произвольными обменными взаимодействиями между ближайшими соседями. Для описания данной модели в п. 4.3 диссертации определены следующие две ПФ спиновых корреляторов
{•/};*) = Е^(М!У};0ехр(±£^г) (34)
ы «=1
при í — вероятность найти спиновую конфигурацию {а}
для заданной конфигурации обменных взаимодействий {J} в момент времени В п. 4.3 указано преобразование, обратное к (34), что позволяет выразить вероятность Рдг({ст}|{,/}; ;£ через соответствующие ПФ. В рамках модели Глаубера с нулевым магнитным полем и произвольными взаимодействиями между ближайшими соседями в решетке для ПФ £) получена замкнутая система дифференциаль-
ных уравнений в частных производных первого порядка и найдены
формальные аналитические решения для указанных ПФ. Эти решения позволяют, в частности, найти с помощью (31) выражения для спиновых корреляторов любого порядка. В качестве примера в п. 4.3 выведены формулы для корреляторов первого и второго порядков, которые при Ji = J ,г = 1,2,..., N переходят в выражения, полученные ранее Глаубером.
В п. 4.4 рассматриваются некоторые частные случаи применения общих формул, найденных в п. 4.3 при различных зависимостях ^ от номера узла г. В качестве примера рассмотрены однородный случай (/; = ,7) и случай, когда ^ принимает два различных значения соответственно для узлов с четными и нечетными номерами. Показано, что в пределе í —>• со обе ПФ переходят в соответствующие ПФ равновесных корреляторов для модели Изинга на замкнутой решетке.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключении изложены основные результаты выполненной работы: - •
1. В рамках модели Келлера выведена замкнутые системы уравне-
с
ний для спиновых корреляционных функций произвольного порядка и соответствующих им производящих функций, допускающие точное аналитическое решение в квадратурах.
2. В рамках модели Келлера выведена замкнутая система уравнений в частных производных первого порядка для производящих функций вероятностей доменов из спинов, ориентированных по магнитному полю, и найдено ее точное решение в некоторых частных случаях.
3. В рамках модели Келлера разбавленного изинговского магнетика выведены замкнутые системы уравнений для корреляторов произвольного порядка и соответствующих производящих функций, допускающие точное аналитическое решение в квадратурах.
4. Предложен новый метод для исследования решений основного кинетического уравнения, базирующийся на применении производящих функций (ПФ) спиновых корреляторов с Гра-есмановыми переменными. Корреляционные функции произвольного порядка находятся тривиальным образом при известной ПФ дифференцированием по ее аргументам.
5. С помощью этого метода были получены формальные аналитические решения указанных ПФ в случае модели Глаубера с произвольными обменными взаимодействиями между соседними спинами. В качестве примеров применения выведенных общих формул был найден явный аналитический вид ПФ спиновых корреляторов для моделей с однородными и двумя регулярно чередующимися обменными взаимодействиями.
Список публикаций по теме диссертации:
l.S. I. Kuchariov, М. A. Aliev / Correlation functions in a one-dimensional kinetic Ising model // Journal of Physics A, 1997, 30,- 8479
2.M. A. Aliev / The generating function of correlators of the Glauber -Ising model ¡J Physics Letters A, 1998, 241, 19
3.M. A. Aliev / On the description of the Glauber dynamics of one dimensional disordered Ising chain // Physica A, 2000, 277, 261
4.M. А. Алиев / Производящая функция спиновых корреляторов в модели Глаубера-Изинга'// Тезисы конференции по химии и физике полимеров и тонких органических пленок, Пущино, 1999, 10
"ПРИНТ" Заказ 215 Тираж 100 2000 г.
Введение
1 Общая одномерная кинетическая модель Изинга
1.1 Классические варианты кинетической модели Изинга
1.1.1 Модель Глаубера.
1.1.2 Модель Келлера.
1.1.3 Модели с одновременным переворотом нескольких спинов.
1.1.4 Модели с динамическими ограничениями
1.1.5 Модели с взаимодействием спинов, следующими за ближайшими.
1.1.6 Модель Кимболла.
1.2 Обобщеннные варианты кинетических моделей Изинга
1.2.1 Модели с периодическим упорядочением обменных взаимодействий
1.2.2 Двухтемпературные модели.
1.3 Кинетическая модель Изинга с "замороженным" беспорядком
1.3.1 Модели со случайными обменными взаимодействиями
1.3.2 Модели разбавленных магнетиков
1.3.3 Кинетические модели Изинга с "расплавленным" беспорядком.
Актуальность работы.
Модель Изинга, будучи простейшей среди использующихся при изучении кооперативных явлений, занимает в теоретической физике особое положение [1, 2, 3, 4]. В терминах этой решеточной модели могут быть описаны как равновесные состояния, так и релаксационные процессы в самых различных физических системах [5, 6, 7, 8]. В ее оригинальной формулировке [9] модель Изинга была предложена для описания равновесного магнетика, чье микросостояние характеризуется конфигурацией спинов на одномерной решетке, каждый из которых имеет две ориентации — по внешнему магнитному полю или против него. В рамках этой модели энергия взаимодействия спинов в произвольной конфигурации равна сумме энергий взаимодействий пар соседних спинов. Соответствующий Гамильтониан модели Изинга имеет следующий вид [4, 8]
Я(М, {J}, {/г}) = - £ Ji<Ti(Ti+l - £ Ы<Тг (0.1) i i где Ji - обменный интеграл, описывающий взаимодействие между спинами о i и <t¿+i, h¡ — магнитное поле, действующее на спин в г-ом узле. При расширениии области применимости модели Изинга на неравновесные системы она будет характеризоваться тем, что вероятность переворота каждого из спинов на решетке зависит только от ориентации его ближайших соседей. Как в равновесной, так и в неравновесной модели Изинга задачей теории является вычисление не только намагниченности, но и корреляционных функций [2, 4, 7, 8]. Формализм модели Изинга находит широкое применение при описании адсорбции, неидеальных газов, бинарных сплавов и т.д. [2, 4, 5, 6]. Одномерная модель Изинга, представлявшая вначале лишь академический интерес [8], затем с успехом использовалась для решения многих задач физики (вычисление невозмущенных размеров и дипольных моментов линейных макромолекул, нахождение их релаксационных характеристик [10, 11, 12, 13], биофизики (описание перехода спираль-клубок в биополимерах [14, 15, 16, 17] и химической физики (расчет равновесия и кинетики адсорбции или химической реакции малых молекул на макромолекулах полимеров [18, 34, 19, 20, 21]. В настоящее время решение общей одномерной кинетической модели Изинга не известно. Существуют, однако, два частных случая, в которых удается продвинуться в нахождении спиновых корреляционных функций высших порядков — модели Глаубера и Келлера.
Цель работы состоит в нахождении точных решений для корреляционных функций в частных случаях общей кинетической модели Изинга на одномерной решетке.
В задачи работы включены:
- вывод, в рамках модели Келлера как для неразбавленного так разбавленного изинговского магнетика замкнутых систем уравнений, описывающих эволюцию во времени спиновых корреляционных функций произвольного порядка, допускающих аналитическое решение в квадратурах;
- разработка метода решения основного кинетического уравнения с использованием Грассмановой алгебры для нахождения производящих функций спиновых корреляторов и его применение для описания глауберовой динамики одномерной неупорядоченной модели Изинга с произвольными обменными взаимодействиями;
Научная новизна.
В диссертации впервые получены следующие новые научные результаты, которые выносятся на защиту:
1. В рамках модели Келлера выведены замкнутая система из обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, описывающих изменение во времени спиновых корреляционных функций, а также для соответствующих им производящих функций, допускающие аналитическое решение в квадратурах.
2. Для описания временной эволюции вероятностей доменов в случае модели Келлера выведена замкнутая система уравнений в частных производных первого порядка и найдено ее аналитическое решение в некоторых частных случаях.
3. В рамках модели Келлера для разбавленного изинговского магнетика выведены замкнутые системы из обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, описывающие эволюцию во времени спиновых корреляционных функций произвольного порядка, и соответствующих им производящих функций, допускающие аналитическое решение в квадратурах.
4. Предложен новый подход для нахождения производящих функций (ПФ) спиновых корреляторов, основанный на использовании Грас-смановых переменных.
5. С помощью этого подхода были получены формальные аналитические решения для указанных ПФ, использующихся для описания глауберовой динамики неупорядоченной модели Изинга с произвольными обменными взаимодействиями.
О достоверности полученных результатов свидетельствует совпадение в предельных случаях окончательных результатов для некоторых корреляционных функций с опубликованными ранее другими авторами и выведенными иными методами.
Научная и практическая значимость.
Рассматриваемая кинетическая модель Изинга является одной из наиболее широко используемых в теоретической физике и получение точных результатов в рамках этой модели имеет фундаментальное значение. Практическая ценность обусловливается использованием данной модели при описании результатов экспериментальных исследований физико-химии синтетических и биологических полимеров.
Публикации. По теме диссертации опубликованы 3 научные работы.
Структура и объем работы. Диссертация, изложенная на 145 страницах текста, состоит из введения, четырех глав, заключения, десяти приложений и списка цитированной литературы из 158 наименований.
Заключение
В диссертационной работе в результате выполненных аналитических исследований получены новые точные результаты для спиновых корреляционных функций в рамках некоторых вариантов общей кинетической модели Изинга.
В диссертационной работе получены следующие новые результаты:
1. Выведена замкнутая система уравнений для спиновых корреляционных функций произвольного порядка, а также соответствующих производящих функций в модели Келлера, допускающая точное аналитическое решение в квадратурах
2. В рамках модели Келлера выведена замкнутая система уравнений в частных производных первого порядка для производящих функций вероятностей доменов из прореагировавших звеньев и найдено ее точное решение в некоторых частных случаях.
3. В рамках модели Келлера разбавленного изинговского магнетика выведена замкнутая система уравнений для корреляторов произвольного порядка и соответствующих производящих функций, допускающая точное аналитическое решение в квадратурах.
4. Предложен новый метод для исследования основного кинетического уравнения, базирующийся на применении ПФ спиновых корреляторов с Грассмановыми переменными.
5. С помощью этого метода были получены формальные аналитические решения указанных ПФ для модели Глаубера с произвольными обменными взаимодействиями с нулевым магнитным полем, а также точные аналитические решения для ПФ в случае однородных и чередующихся взаимодействий между ближайшими соседями в одномерной решетке.
Глава 6
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика (М.: Наука, 1976), 584 с.
2. Фейнман Р., Статистическая механика (М.: Мир, 1978), 407 с.
3. Займан Дж., Модели беспорядка (М.: Мир, 1982) 591 с.
4. Бэкстер Р., Точно решаемые модели в статистической механике (М.: Мир, 1985) 488 с.
5. Хилл Т. Статистическая механика (М.: ИЛ, 1960) 485 с.
6. Хуанг К., Статистическая механика (М.: Мир, 1966) 520 с.
7. Kawasaki К., Kinetics of Ising models // Phase Transitions and Critical Phenomena ed Domb C., Green M. S. (New York: Academic,1972) V.2 p.443-504
8. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления (М.: Мир,1973) 289 с.
9. Ising Е. Beitrag zur theorie des ferromagnetismus // Z. Phys. (1925) v. 31 p.253-258
10. Волькенштейн M. В., Конфигурационная статистика полимерных цепей (М. Изд-во АН СССР, 19.59) 466 с.
11. Flory P. J. Statistical Mechanics of Chain Molecules (New York: Wiley, 1969)
12. Cerf R. Cooperative conformational kinetics of synthetic and biological chain molecules // Adv. Chem. Phys. (1975) v. 33 p.73-152
13. Lacombe R. H., Elementary model for polymer chain dynamics // J. Macromol. Sci. v. В 18 (1980) P.697
14. D. Poland., H. Sheraga, // Theory of Helix-Coil Transitions in Biopolymers (New York: Academic, 1970)
15. Wartell R. M., Montroll E. W., Equilibrium denaturation of natural and of periodic synthetic DNA molecules // Adv. Chem. Phys. (1972) v. 22 p.129-203
16. Веденов А. А., Дыхне A. M., Франк-Каменецкий M. Д. Переход спираль-клубок в ДНК // УФН (1971) V. 105 р.479-503
17. Majumdar В., Pathria R. К. Cooperative transitions in hydrogen-bonded Macromolecules: Polypeptides and Polynucleotides // J. Macromol. Sci. (1985) v. С 25 p.191-225
18. Rabinowitz P., Silberberg A., Simha R., Loftus E. // Adv. Chem. Phys. (1969) v. 15 p.281-298
19. Kuchanov S. I., Kinetics and statistics of reactions on macromolecules / / Mathematical Methods of Contemporary Chemistry ed Kuchanov S. I. (New York: Gordon and Breach, 1996) 456 c.
20. Ewans J. W. Cooperative adsorption processes // Rev.Mod.Phys. (1993) v. 65 p.1281-1343
21. Njus D. L., Stanley H. E. // Dynamical Aspects of Critical Phenomena eds. J. P. Budnick., M. P. Kawatra (New York: Gordon and Breach, 1972)
22. Glauber R. J. Time dependent statistics of the Ising model // J.Math.Phys. (1963) v. 4 p.495-508
23. Bedeaux D., Shuler К. E., Oppenheim I. Decay of correlations III. Relaxation of spin correlations and distribution functions in the ID Ising lattice //J. Stat. Phys. (1970) v. 2 p. 1-23
24. Felderhof В. U. Spin relaxation of the Ising chain // Rep. Math. Phys. (1970) v. 1 p.215-234
25. Oppenheim I., Shuler К. E., Weiss H. // Stochastic Processes in Chemical Physics: The Master Equation (Cambridge, MA: MIT, 1977)
26. Лифшиц И. M., Ередескул С. А., Пастур JI. А., // Введение в физику неупорядоченных систем (М., Наука, 1982) 387 с.
27. Keller J. В. Reaction kinetics of a long chain molecules // J.Chem.Phys. (1962) v. 37 p.2584-2586
28. Keller J. B. Reaction kinetics of a long chain molecules II. Arends' solution // J.Chem.Phys. (1963) v. 38 p.325-326
29. Arends С. B. General solution to the problem of the effect of neighbouring groups in polymer reactions // J.Chem.Phys. (1963) v. 38 p.322-324
30. McQuarrie D. A., Stochastic theory of chemical rate processes // Adv. Chem. Phys. (1969) v. 15 p.149-183
31. Plate N. A. et al. Effect of neighbouring groups in macromolecular reactions: distribution of units //J- Polymer. Sci. (1974) v. 12 p.2165-2173
32. Платэ H. А., Литманович А. Д., Hoa О. В. Макромолекулярные реакции (M.: Наука) 1977
33. Hoa О. В. и др., Распределение звеньев в продуктах полимерана-логичных реакций // Высокомолекулярные соединения (1973) v. А15 р.877-887
34. Кучанов С. И., Методы кинетических расчетов в химии полимеров (М., Наука, 1978) 367 с.
35. Felderhof В. U., Suzuki М. Time-correlation functions and critical relaxation in a class of ID stochastic spin systems // Physica (1971) v. 56 p.4-18
36. Mattis D. C., Glasser M. L. The uses of quantum field theory in diffusion-limited reactions // Rev. Mod. Phys. (1998) v. 70 p.979-1001
37. Hilhorst H. J., M. Suzuki., Felderhof B. U. Kinetics of the stochastic Ising chain in a two-flip model // Physica (1972) v. 60 p.199-214
38. Chaos and order in symbolic sequences // Chaos, Solitons and Fractals ed Ebeling W., El Naschie M. S. (1994) v. 4 no.l
39. McQuarrie D. A., McTague J. P., Reiss H. Kinetics of polypeptide denaturation // Biopolymtrs (1965) v. 3 p.657-664
40. Ewans J. W., Burgess D. R., Hoffman D. K. Irreversible random and cooperative processes on lattices: spatial correlations // J.Math.Phys. (1984) v. 25 p.3051-3061
41. Митюшин JI. Г. Об одном марковском процессе с локальными взаимодействиями // Проблемы передачи информации (1973) v. 9 р.81-87
42. Ewans J. W., Burgess D. R., Hoffman D. K. // J.Chem.Phys. (1983) v. 79 p.5011-5020
43. Добрушин P. JI. Марковские процессы с большим числом локально взаимодействующих компонент I // Проблемы передачи информации (1973) v. 7 р. 149-157
44. Добрушин P. JI. Марковские процессы с большим числом локально взаимодействующих компонент II // Проблемы передачи информации (1973) v. 7 р.235-246
45. Лиггетт Т. Марковские процессы с локальными взаимодействием (М.: Мир, 1989) 550 с.
46. Brey J. J., Prados A., Stochastic resonance in a ID Ising model // Phys. Lett. v. A216 (1996) P.240-244
47. Fredrickson G. H., Andersen H. C., Facilitated kinetic Ising model and the glass transition // Phys. Rev. Lett. (1984) v. 53 p.1244
48. Follana E., Ritort F. Evidence of a critical time in constrained kinetic Ising model // Phys. Rev. (1996) v. B54 p.930-937
49. Jackie J., Eisinger S., A hierarchically constrained kinetic Ising chain // Z. Phys. (1991) v. B84 p.115-124
50. Eisinger S., Jackie J., Analytical approximation for the hierarchically constrained kinetic Ising chain //J. Stat. Phys. (1993) v. 73 p.643-670
51. Yang Z. R., Glauber dynamics of the kinetic Ising model // Phys. Rev. (1992) v. B46 p.11578-11584
52. Gonzalez J. J., Hemmer P. C., Hoye J. S. Cooperative effects in random sequential adsorption reactions // Chem. Phys. (1973) v. 2 p.231-240
53. Martins J. A., Stilck J. F., Kinetic model for a polymer in ID // Phys. Rev. (1995) v. E52 p.6508-6515
54. Orwoll R. A., Stockmayer W. H. Stochastic models for chain dynamics // Adv. Chem. Phys. (1969) v. 15 p.305-347
55. Racz Z., Zia R. K. P., Two-temperature kinetic Ising model in ID: steady state correlations in terms of energy and energy flux // Phys. Rev. (1994) v. E49 p.139-144
56. Bassler K. E., Zia R. K. P. Phase transitions in a driven lattice gas at 2 temperatures //J. Stat. Phys. (1995) 80 p.499-515
57. Anderson J. E. Model calculations of cooperative motions in chain molecules //J. Chem. Phys. (1970) v. 52 p.2821-2830
58. Racz Z. Diffusion-controlled ahhihilation in the presence of particle sources // Phys. Rev. Lett. (1985) v. 55 p.1707-1710
59. Amar J., Family F. Diffusion-annihilation in one dimension and the kinetics of the Ising model at zero temperature // Phys. Rev. (1990) v. A41 p.3258-3262
60. Family F., Amar J. Diffusion-annihilation and the kinetics of the Ising model in one dimension //J. Stat. Phys (1991) v. 65 p.1235-1247
61. Лушников А. А. Бинарная реакция 1 + 1 —> 0 в одном измерении // ЖЭТФ (1986) V. 91 р.1376-1385
62. Spouge J. L., Diffusion-annililation in a one dimension // Phys. Rev. Lett. (1988) v. 60 p.871-875
63. Santos J. E., The duality relation between Glauber dynamics and the diffusion annihilation model as a similarity transformation //J. Phys (1997) v. A30 p.3249-3259
64. Krapivsky P. L., Ben-Naim E., Domain statistics in coarsening systems // Phys. Rev. (1997) v. E56 p.3788-3799
65. Ben-Naim E., Krapivsky P. L., Domain number distribution in the nonequilibrium Ising model J. Stat. Phys. (1998) v. 93 p.583-601
66. Kawasaki K., Diffusion constants near the critical point for the time-dependent Ising models // Phys. Rev. v. 145 (1966) P.224-236
67. Santos J. E. , Schiitz G. M., Stinchcombe R. В., Diffusionannihilation dynamics in one spatial dimension // J. Chem. Phys. (1996) v. 105 p.2399-2412
68. Henkel M., Orlandini E., Schiitz G. M., Equivalences between stochastic systems //J. Phys. (1995) v. A28 p.6335-6344
69. Simon H., Concentration for one and two-species one-dimensional reaction-diffusion systems //J. Phys. (1995) v. A28 p.6585-6603
70. Reiss H., Structures produced by rapid quench: a solvable model // Chem. Phys. (1980) v. 47 p.15-23
71. Mazenko G. F., Widom M., Structure pulses in a simple non-equilibrium system // Phys. Rev. (1982) v. B25 p.1860-1868
72. Nemeth R. On the relaxational processes in the ID kinetic Ising model // J. Phys. (1993) v. A26 p.229-236
73. Kimball J. C., The kinetic Ising model: exact susceptibilities of two simple examples //J. Stat. Phys. (1979) v. 21 p.289-300
74. Isbister D. J., McQuarrie D. A., Application of the time-dependent Ising model to chain motions //J. Chem. Phys. (1974) v. 60 p. 19371942
75. Skinner J. L., Kinetic Ising model for polymer dynamics: application to dielectric relaxation and dynamic depolarized light scattering // J. Chem. Phys. (1983) v. 79 p.1955-1964
76. Budimir J., Skinner J. L., Kinetic Ising model for polymer dynamics II. Generalised transition rates and the Williams-Watts nonexponential function //J. Chem. Phys. (1985) v. 82 p.5232-5241
77. Haake F., Thol K. Universality classes for ID kinetic Ising models // Z. Phys. (1980) v. B40 p.219-228
78. Geldart D. J. W., Kreuzer H. J., Rys F. S., Kinetic Ising model for desorption from chain // Surf. Sei. (1986) v. 176 p.284-294
79. Kreuzer H. J., Zhang J. Kinetic lattice gas model: Langmuir, Ising and interaction kinetics // Appl. Phys. (1990) v. A51 p.183-190
80. Poland D., Song S. Cooperative diffusion in one-dimensional lattice gases //J. Stat. Phys. (1993) v. 71 p.1133-1155
81. Droz M. , da Silva J. K. L., Malaspinas A. On the critical dynamics of ID Ising models // Phys. Lett (1986) v. A115 p.448-450
82. Luscombe J. H., Non-universal critical dynamics of the alternating-bond Ising chain: relaxational and diffusion kinetics // Phys. Rev. (1987) v. B36 p.501-509
83. Ashroff J. A., Stinchcombe R. B., Real space renormalization group calculations for the ID kinetic Ising model // Phys. Rev. (1989) v. B40 p.2278
84. Stinchcombe R. B., Santos J. E., Grynberg M. D., Non-universal dynamics of staggered non-equilibrium particle systems and Ising chains //J. Phys. (1998) v. A31 p.541-549
85. Tong P., Critical dynamics of nonperiodic Ising chain // Phys. Rev. (1997) v. E56 p.1371-1385
86. Lage E. J. S., Non-universal critical dynamical behaviour in ID spin systems // J. Phys. (1987) v. C20 p.3969
87. Nunes da Silva J. M., Lage E. J. S., Anomalous dynamics in the Ising chain //J. Stat. Phys. (1990) v. 58 p. 115-129
88. Kutasov D., Aharony M., Domany E., Kinzel E., Dynamic transitions in a hierarchical Ising system // Phys. Rev. Lett. (1986) v. 56 p.2229-2231
89. Goncales L. L., de Oliveira N. Т., Kinetic Ising model on alternating linear chains // Can. J. Phys. (1985) v. 63 p. 1215-1219
90. Huang Z.-F., Gu B.-L. Analytic study of domain growth in the Ising model with quenched impurities // Phys. Rev. (1997) v. E55 P.R4841-R4844
91. Coolen A.C.C., Laughton S.N., Sherrington D. Dynamical replica theory for disordered spin systems // Phys. Rev. (1996) v. B53 p.8184-8187
92. Szamel G., Glauber dynamics of the SK model: theory and simulations in the high-temperature phase //J. Phys. (1998) v. A31 p.10045-10052
93. Achiam Y., An energy conserving relaxation of a ID Ising spin system // Phys. Lett (1979) v. A74 p.247
94. Krapivsky P. L., Zero-temperature dynamics of a spin glass chain // J. Phys. I (1991) v. 1 p.1013-1021
95. Fernández J. F., Medina R., Remanence and non-exponential relaxation in an Ising chain with random bonds // Phys. Rev. (1979) v. B19 p.3561-3568
96. Sherrington D., Relaxation of a kinetic Ising chain with randomly signed excange // Phys. Lett. (1980) v. A77 p.49-50
97. Dhar D., Barma M., Effect of disorder on relaxation in the ID Glauber model //J. Stat. Phys. (1980) v. 22 p.259
98. Chen H. H., Ma S. Low temperature behaviour of ID random Ising chain //J. Stat. Phys. (1982) v. 29 p.717
99. Droz M., da Silva J. K. L., Malaspinas A., Stella A. L. On the critical dynamics of a disordered Ising models //J. Phys. (1987) v. A20 p.L387-L392
100. Koper G. M., Hilhorst H. J., Non-equilinrium dynamics and aging in a one-dimensional Ising spin glass // Physica (1988) v. A155 p.431-459
101. Colborne S. G. W., Remanence, irreversibility and non-exponential relaxation in the ID spin glass //J. Phys. (1986) v. C19 p.3669
102. Hentschel H. G. E., Dynamics of the ID ideal spin glass // Z. Phys. (1980) v. B37 p.243
103. Rieger H., Kisker J., Schreckenberg M. Nonequilibrium dynamics in the random bond Ising chain // Physica (1994) v. A210 p.326-340
104. Garrido P. L., Marro J., Kinetic lattice models of disorder //J. Stat. Phys. (1994) v. 74 p.663-686
105. Torres J. J., Garrido P. L., Marro J. Modeling ionic diffusion in magnetic systems // Phys. Rev. (1998) v. B58 p.11488-11492
106. Kadanoff L. P., Swift J. Transport coefficients near the critical point: a master equation approach // Phys. Rev. (1968) v. 165 p.310-322
107. Doi M., Second quantization representation for classical many-particle system //J. Phys. (1976) v. A9 p.1465-1479
108. Зельдович Я. Б., Овчинников А. А. Закон действующих масс и кинетика химических реакций с учетом термодинамических флуктуаций плотности // ЖЭТФ (1978) v. 74 р.1588-1599
109. Aliev М. A., Exact solution for the generating function of correlators of the kinetic Glauber-Ising model // Phys. Lett. (1998) v. A241 p.19-24
110. Изюмов Ю. А., Скрябин Ю. H. Статистическая механика маг-нитоупорядоченных систем (М.: Наука, 1987) 263 с.
111. Grynberg М. D., Newman Т. J., Stinchcombe R. В., Exact solutions for stochastic adsorption-desorption models and catalytic surface processes // Phys. Rev. (1994) v. E50 p.957-971
112. Grynberg M. D., Stinchcombe R. В., Dynamics of adsorption-desorption processes as soluble problem of many fermions // Phys. Rev. (1995) v. E52 p.6013-6024
113. Schiitz G. M., Reaction-diffusion processes of hard-core particles // J. Stat. Phys. (1995) v. 79 p.243
114. Stinchcombe R. В., Stochastic non-equilibrium systems and quantum spin models // Physica (1996) v. A224 p.248
115. Gwa L.-H., Spohn H., // Phys. Rev. (1992) v. A46 p.844
116. Peliti L., Path integral approach to birth-death processes on a lattice // J. Phys. (1985) v. 46 p.1469-1474
117. Peliti L., Renormalisation of fluctuation effects in the A+A to A reaction // J. Phys. (1985) v. A19 p.L365-L367
118. Derrida В., An exactly soluble non-equilibrium system: The asymmetric simple exclusion process Probabilites et Statistiques // Phys. Rep. (1998) v. 301 p.65-83
119. Schiitz G. M. Dynamic matrix ansatz for integrable reaction-diffusion processes // Eur. Phys. J. (1998) v. B5 p.589-597
120. Felderhof B. U., Time-dependent statistics of binary linear lattices // J. Stat. Phys. (1972) v. 6 p.21-34
121. Hilhorst H. J., Kinetics of clusters in a binary linear system // Physica (1975) v, A-79 p. 171 - - - - - -
122. Березин Ф. А., Метод вторичного квантования (M., Наука, 1986) 320 с.
123. Garabedian P. R. 1964 Partial Differential Equations (New York: Wiley)
124. Ланкастер П., Теория матриц (М.: Наука, 1982) 269 с.
125. Владимиров В. С., Уравнения математической физики (М., Наука, 1976) 528 с.
126. Kuchanov S. I., Aliev М. A., Correlation functions in one dimensional kinetic Ising model //J. Phys. (1997) v. A30 p.8479-8496
127. Panyukov S. V., Kuchanov S. I. New statistical approach to the description of spatial inhomogeneous states in heteropolymer solutions // J.Phys II (1992) v. 2 p.1973-1993
128. Nord R S, Hoffman D K., Ewans J. W. Cluster-size distributions for irreversible cooperative filling of lattices. Exact one-dimensional results for noncoalescing clusters // Phys.Rev (1985) v. A 31 38203830
129. Ewans J. W., Nord R. S. Cluster-size distributions for irreversible cooperative filling of lattices. Exact one-dimensional results for coalescing clusters // Phys.Rev (1985) v. A 31 p.3831-3842
130. Ewans J. W., Burgess D. R. and D. K. Hoffman, Irreversible random and cooperative processes on lattices: exact and approximation hierarchy truncation and solution //J.Chem.Phys (1983) v. 79p.5011-5022
131. Wolf N. O., Burgess D. R., Hoffman D. K. // Surf. Sci. (1980) v. 100 p.453-462
132. Ewans J. W., Burgess D. R. Irreversible reaction on a polymer chain with range two cooperative effects // J.Chem.Phys (1983) v. 79 p.5023-5028
133. Брун Е. Б., Кучанов С. И. // ЖПХ (1977) v. 50 р.1065
134. Derrida В., Hakim V., Pasquier V. // Phys. Rev. Lett. (1995) v. 75 p.751-754
135. Menyhard N., ID non-equilibrium kinetic Ising models with branching annihilating random walks // J. Phys. (1994) v. A27 p.6139-6146
136. Melin R., Glauber dynamics in a zero magnetic field and eigenvalue spacing statistics //J. Phys. I (1996) v. 6 p.469
137. Watson G. N., Bessel Functions ( Cambridge, Cambridge University Press, 1958)
138. Овчинников А. А., Тимашев С. Ф., Белый А. А., Кинетика диффузионно-контролируемых химических процессов ( М., Химия, 1986)
139. Aliev М. A., On the description of the Glauber dynamics of the disordered kinetic Ising model // Physica (2000) v. A277 p.261-270
140. Rieger H., Kisker J., Schreckenberg M. Escape from metastability via aging: non-equilibrium dynamics in a one-dimensional Ising model // J. Phys. (1994) v. A20 p.L853-L860
141. Schreckenberg M., Rieger H., Remanence effects in symmetric and asymmetric spin glass models // Z. Phys. (1992) v. B86 p.443-451
142. Silberberg A., Simha R. // Biopolymers (1968) v. 6 p.479
143. Lacombe R. H., Simha R. ID Ising model: kinetic studies //J. Chem. Phys. (1974) v. 61 p.1899-1911
144. Ninham В., Nostal R., Zwanzig R., Kinetics of a sequence of firstorder reactions //J. Chem. Phys. (1969) v. 51 p.5028-5032
145. Huang H. W., Time-dependent statistics of the Ising model in a magnetic field // Phys. Rev. (1973) v. A8 p.2553-2560
146. Suzuki M., Kubo R., Dynamics of the Ising model near the critical point //J. Phys. Soc. Jap. (1968) v. 24 p.51-56
147. Tanaka Т., Wada A., Suzuki M., Dynamical aspects of helix-coil transitions in biopolymers //J. Chem. Phys. (1973) v. 59 p.3799-3805
148. Baumgartner A., Binder K., Dynamics of the generalized GlauberIsing chain in a magnetic field //J. Stat. Phys. (1978) v. 18 p.423-447
149. Binder K., Stauffer D., Miiller-Krumbhaar H., Theory for the dynamics of clusters near the critical point. I. Relaxation of the Glauber kinetic Ising model // Phys. Rev. (1975) v. B12 p.5261-5287
150. Готлиб Ю. Я. Температурная зависимость релаксационных свойств простейших кооперативных систем // Физ. Тверд. Тела (1961) v. 3 р.2170-2182
151. Маттис Д. Теория магнетизма (М.: Мир, 1967) 407 с.
152. Феллер В., Теория вероятностей и ее приложения, т.2, (М.: Мир, 1984) 738 с.
153. Van Kampen N. G. Stochastic processes in physics and chemistry (Amsterdam.: North-Holland, 1981) 419 c.* *
