Краевые задачи с факторами усиления и ослабления нелинейных эффектов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА

■ о -----' ~

— съ Механико-математический факультет

су

На праьах рукописи УДК 517.956

КАЛАШНИКОВ АНАТОЛИЙ СЕРГЕЕВИЧ

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С ФАКТОРАМИ УСИЛЕНИЯ И ОСЛАБЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭФФЕКТОВ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

о

сэ

Москва - 1995

Л К

а

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.А.Дубинский;

доктор физико-математических наук, профессор В.В.Жиков;

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН С.ИЛохожаев.

Ведущая организация: Институт прикладной математики

имени М.В.Кеддыша РАН.

Защита состоится среЯ-ралЛ_хддд года

в 16 час. 05 мин. на заседании Диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу:

119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория имени И.Г.Петровского (16-24).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаяс).

Автореферат разослан " " ДК^&^Д_1996 года.

Ученый секретарь Диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ

профессор Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена качественному исследованию решений нелинейных краевых задач. Это направление является одним из основных в современной теории, дифференциальных уравнений с частными производными. Интерес к данной тематике стимулируется потребностями механики, физики, биологии, где во многих случаях для адекватного описания изучаемых процессов необходимо использовать нелинейные модели, так как линеаризация приводит к невозможности отразить те или иные реально существующие эффекты.

Ряд широко используемых нелинейных моделей связан с уравнениями вида

аЪ*(1иГ вдп. и) 4 6(Щрздп и = 0, (О

где т>0} Р>0; а>0> бе К - заданные числа,Й=И&£) - неизвестная функция. Это уравнение описывает, в частности, одномерную диффузию в нелянейяой среде. При этом через ~Ь обозначается время, через ЭС - пространственная координата, а через и.(х}Ь) - плотность диффундирующего вещества. Коэффициент диффузии пропорционален величине ¡и!"1-1 (при и.фО ).При¿¿->0 он неограниченна возрастает, если ГП< { , постоянен, если№=4, и стремится к нулю, если ПЬ> 1 . Поэтому (I) при 0<т<{ называется уравнением быстрой диффузии, при лг= I - уравнением нормальной диффузии, а при Ш>{ - уравнением медленной диффузии. Присутствие в уравнении (2) младшего члена означает наличие источников (если в< О ) или стоков (если (?>0 ).

Уравнениями вида (!) описываются также не Становившиеся течения сжимаемых жидкостей и газов в пористых пластах, движение грунтовых вод, обтекание твердого тела еязкой жидкостью, динамика биологических популяций, распространение тепла при зависимости свойств среды от температуры, процессы в ионизованных газах и плазме, образование структур в моделях синергетики и другие явления.

При 171^1 тип уравнения (I) зависит от значений решения аСх^-Ь) . Если О , то (I) является параболическим

уравнением; если же и.(Х,£)= О , то (1) вырождается в обыкновенное дифференциальное уравнение. Такие уравнения принято называть неявно вырождающимися.

К середине 50-ых годов нашего века в работах Буссинеска, Л.С.Лейбензона, П.Я.Кочиной, Я.Б.Зельдовича, А.С.Компанейца,Г.И. Баренблатта и других ученых для уравнений вида (-1) с Гп4{ и их обобщений было найдено много частных решений. Оказалось, что среди. них есть функции, финитные по X при каждом "fc (свойство конечной скорости распространения Еозмущений), а также не обладающие предписанной соответствующим уравнением гладкостью и потому фактически удовлетворяющие ему лишь в некотором обобщенном смысле.

Построение математической теория неявно вырождающихся параболических уравнений было начато работой О.А.Олейник [ij , опубликованной в 1957 г. В этой работе был введен физически мотивированный класс обобщенных решений задачи Коти для уравнения (I) с j. €= О (а также для некоторых более общих уравнений).

Было доказано, что в этом классе обобщенное реоюние единственно и существует глобально по Ь . Кроме того, было установлено, что е точках, где обобщенное решение отлично от нуля, оно является гладким и удовлетворяет уравнению в обычном смысле.

Вышедшая в i 958 г. статья О.А.Олейник, А.С.Калашникова и Чжоу Юйлиня [2] наряду с подробным изложением результатов работы ßj содержала доказательства аналогичных утверждений для первой и второй краевых задач в ограниченных и неограниченных областях, а также некоторых предложений о свойствах обобщенных решений, в частности, об условиях, гарантирующих наличие конечной скорости распространения возмущений.

В последующие годы теория уравнений с неявным вырождением получила значительное развитие. Новые теоремы о существовании, единственности, регулярности и оценках обобщенных решений краевых задач для различных классов неявно вырождающихся параболических уравнений к систем доказали Аронсон, Бамберже, Бенилан,Бер-нис, Берте, Н.М.Бокало, Брезис, Васкес, Верон, М.И.Вишик ,

р] Олейнжк O.A. Об уравнениях типа уравнений нестационарной фильтрации// ДАН СССР. 1957. Т. 113, * 6. С. I2I0-12I3. [2] Олейняк O.A., Калашников A.C., Чжоу Юйлинь. Задача Коти и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтра-ции/Изв.АН СССР. Сер.мат. 3958. Т. 22, J* 5. С. 667-704.

2

А.И. Вольперт, А.Я.Гладков, Гилдинг, Дальберг, Диас, ДиБенедетто, Ю.А.Дубинский, В.В.Жиков, А.В.Иванов, Камин, Каффарелли, Кениг, Кершнер, С.Н.Кружков, Н.В.Крылов, Крэндалл, В.В.Курта, Г.И.Лад-тев, Лионе, Н.О.Максимова, О.А.Олейник, Пелетье, Е.С.Сабинина(Со-болева), В.Н.Самохин, К.Н.Содтанов, Г.М.Фатеева, М.И.Фрейдлин, Фридман, М.И.Хазан, С.И.Худяев, Хюлсхоф, Цуцуми, Чжоу Юйлинь, Эрреро и другие. Появилось большое число работ, шэевященных качественному исследованию обобщенных решений. В частности, изучались следующие эффекты.

A) Конечная скорость распространения возмущений. Условия возникновения этого эффекта в различных ситуациях рассматривали С.Н. Антонцев, Г.И.Баренблатт, М.И.Вишик, Васкес, Верон, Гилдинг,Диас, Кершнер, Пелетье, Сон Биньхен, Су Нин, Эрреро и. другие.

Б) Задержка фронта. Впервые она отмечена A.A.Самарским и И.М. Соболем [3] для уравнения (1) с /71 >i ,6—0 . Впоследствии она изучалась в работах Лэйси, Окендона и Тэйлера, С.Н.Антонцева и С.И.Шмарева, Камин, Пелетье и Васкеса, а также других авторов.

B) Локализация решения по времена. Она открыта Е.С.Сабининой (Соболевой) в работе [4] для уравнения (I) с т<{ , S = О ; затем данное ягление для различных классов эволюционных уравнений и систем исследовали С.Н.Антонцев, Бенилан, Крэндалл, Васкес, Ве-ласкес, В.А.Галактионов, С.А.Посашков, Диас, Кершнер, Куонг, Фридман, В.В.Чистяков, С.И.Шмарев, Эрреро и другие.

Г) Локализация решения по глубине при наличии стоков. Для уравнения CD С fit >4 , в > 0 , p = i .: она впервые описана Л.К. Мартинсоном i К.Е.Павловым [5J . В дальнейшем для различных моделей ее изучали С.Н.Антонцев, М.М.Арипов, Берте, Верон, Диас, В.А. Галактионов, Н.В.Змитренко, С.П.Курдюмов, А.П.Михайлов, A.A.Самарский, И.С.Граник, Камин, Розенау, Кершнер, Л.Д.Покровский, С.Н.Та-раненко» С.И.Шмарев и другие.

[з] Самарский A.A., Соболь И.М. Примеры численного расчета температурных волн// ЖВМ и МФ. 1963. Т. 3, Л 4. С. 703-719. [43 Сабинина Е.С. Об одном классе нелинейных вырождающихся параболических уравненай/'ДАН СССР.1962. Т.143, Л 4. С. 794-7S7. [5J Мартинсон Л.К., Павлов К.Б. К вопросу о пространственной локализации тепловых возмущений в теории, нелинейной теплопроводности/ ЖВМ и МФ. 1972. Т. 12, J» 4. С. 1048-1053.

Д) Мгновенное сжатие носителя решения при наличии стоков. Для уравнения (I) с 1 , в > 0 , р< I и некоторых его обобщений это явление обнаружено ЭЕансом и Кнерром [6] . Различные случаи проявления данного эффекта и его видоизменений исследовали Брезис, Фридман, Гилдинг, Кершнер, Наталини, Тезеи, Нико-лози, Бореллл, Уги, У.Г.Абдуллаев, А.Е.Шишков и другие.

Е) Взрыв решения за конечное время при наличии источников. Этому вопросу посвятили свои работы Агирре, Бара, Болл, Вайсслер, Веласкес, Каголь, Каплан, Кершнер, С.И.Похожаев, Пьер, Фила.Фило, Фридман, Фужита. Эрреро, Эскобедо и. другие. Большое число результатов в данном направлении содержит монография А.А.Самарского, В.А.Галактионова, С.П.КурдшаЕа и А.П.Михайлова [?] , где можно найти дальнейшие ссылки.

Г) Внутренняя ограниченность решения при растущих краевых данных. Этот эффект впервые был описан В.А.Галактионовым, Н.В. Змитренно, С.П.Курдюмоеым, А.П.Михайловым и А.А.Самарскимр],[9] (см. также книгу [7J ). Позднее данной тематикой занимался У.Г.Абдуллаев.

В приложениях нередко Еозникавт задачи, при исследовании которых класс скалярных автономных и пространственно однородных уравнений вида (I) оказывается слишком узким для построения адекватной математической модели.

£б] Uvans L.C., Kherr В.P. Instantaneous shrinking of the support of non-negative solutions to certain nonlinear parabolic equations and variational inequalities// 111. J. Math. 1979. V. 25, N 1. P. 153-166. [?] Самарский А.А., Галактионов B.A., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.:Наука, 2S87.

[8] Самарский А.А., Змитренко Н.В., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Эффект метастабильной локализации тепла в среде с нелинейной теплопроводностью // ДАН СССР.1975.Т.223, J* 6. С. 1344-1347.

[9] Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдамов С.П..Михайлов А.П. Локализация процессов диффузии в средах с постоянными свойствами/ ДАН СССР. -1979. Т. 247, J* 2. С. 349-353.

Так обстоит дело, например, при описании процесса диффузии в неограниченной неоднородной среде, если скорость диффузии ила мощность источников (стоков) быстро возрастает или убывает на бесконечности. В этом случае коэффициент & или коэффициент ^ в уравнении (I) следует считать функцией от ОС , стремящейся к бесконечности или к нулю при /ОС/->-/- оо . Некоторые классы таких уравнений изучали Гранди, Камин, Кершнер, Пелетье (мл.), Ро-зенау, Эйдус и другие. Аналогичное положение создается при моделировании диффузии в среде с существенно нестационарными свойствами. В этом случае приходится внодить зависимость коэффициентов от X, а допускать их неограниченный рост или стремление к нулю при + со. В каждом из упомянутых случаев появляются новые фактору, которые могут как усиливать соответствующие нелинейные эффекты, так и противодействовать им.

Неоднородность или нестационарность среды может отражаться также в непостоянстве режимов диффузии или источников (стоков). Чтобы учесть это обстоятельство, в уравнении (1) нужно считать зависящими от ОС или от не только коэффициенты, но и показатели ПЪ или р . Некоторые классы таких уравнений рассматривались В.В.Жиковым, В.Н.Самохиным.

Следующий круг задач связан с диффузией смесей. При определенных предположениях она описывается системой

\и1~ ¥ Н-А ®

где ¡^¿зРц - положительные числа, И.^рС^) - плот-

ность (или концентрация) С -ой компоненты диффундирующей смеси.. Системы вида (2) используются также при моделировании динамики взаимодействующих биологических популяций. Зафиксируем какое-либо С & >«о п} и обозначим

Тогда с -ое уравнение в (2) можно рассматривать как уравнение вида (1) относительно плотности. С-ой компоненты с переменной мощностью стоков (?= ё(сс^-Ь) » зависящей от плотностей (Х3Ь) » I- • Характер их эволюции является новым фактором, способным усиливать или ослаблять тот или иной нелинейный эффект для плотности -ой компоненты.

Еще одна совокупность задач объединяется следующим общим признаком. В постановке задачи участвует степенная функция с показа-. тел ем, зависящим от малого параметра £>0 > причем определенное свойство, которым обладают все решения, соответствующие положительным значениям 8 , может утрачиваться в пределе при£-*0. Здесь фактором, противодействующим нелинейному эффекту, является стремление одного из показателей к критическому значению.

□ель -работы - изучение нелинейных эффектов при наличии факторов их усиления и ослабления для следующих классов объектов: I) уравнения, содержащие нелинейные функции от решения с растущими или убывающими коэффициентами; 2) уравнения, содержащие степенные функции от решения с переменными показателями; 3) системы, содержащие произведения функций от разных компонент решения; ^уравнения с малым параметром в показателях.

Методы исследования. В диссертации используются метод вспомогательных функций в сочетании с различными вариантами теорем сравнения для обобщенных решений, метод энергетических оценок, метод дифференциальных неравенств.

Научная новизна. I. Получен ряд новых неулучшаемых результатов о характере эволюции решений краевых задач для нелинейных нестационарных уравнений с существенно переменными коэффициентами. 2. Впервые проведено качественное исследование решений краевых задач для нестационарных уравнений с нелинейноетями изменяющейся формы. 3. Для широких классов нелинейных систем параболического, гиперболического и некласеаческих типов впервые изучены эффекты локализации компонент решений по времени" и по глубине, а также покомпонентной мгновенной компактификации носителей, внутренней ограниченности, внутренней положительности. 4. Впервые выделены и подвергнуты качественному анализу классы нелинейных эволюционных' и стационарных уравнений с показателями, близкими к критическим.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер. Она может представить интерес для специалистов в области дифференциальных уравнений с частными производными, а также найти применения в задачах теории диффузии и теплопроводности, подземной гидродинамики, физики плазмы, математической биофизики, синергетики.

Апробация работы. Результаты, составившие диссертацию, докладывались на совместных заседаниях семинара имени. И.Г.ПетроЕСКого и Московского математического общества (г.Москва, -1983 -_1987, 1989 - 199-1, -1993, 1994 годы), на Всесоюзных конференциях по нелинейным задачам математической физики (г. Ленинград, 1983, 1985, 1991 годы), в Международном математическом центре имени С.Банаха (г. Варшава, 1984 год), на Всесоюзном симпозиуме "Современные проблемы математической физики." (г. Тбилиси, 1987 год), на Всесоюзных конференциях "Математическое моделирование: нелинейные проблемы и вычислительная математика" (г. Звенигород, 1988, 19Э0годы), на международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений,, нелинейный анализ" (г. Москеэ, 1995 год).

Публикации. Изложенные в диссертации' результаты опубликованы е 25 работах без соавторов. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация объемом 267 машинописных страниц состоит из введения, четырех глав, разбитых на 12 параграфов, которые в свою очередь делятся на пункты, двух дополнений и списка литературы, содержащего 261 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан обзор предшествующих исследований, связанных с рассматриваемыми в диссертации вопросами, и изложено ее содержание по главам, параграфам и пунктам. Отмечено, что результаты формулируются и доказываются, как правило, не в максимальной общности, а для типичных модельных уравнений и. систем; однако во всех теоремах основные условия, определяющие действие факторов усиления и ослабления нелинейных эффектов, являются точными, что подтверждается приводимыми в тексте примерами. .; ..Первая глава посвящена уравнениям, в которые входят нелинейные функции от решения с растущими или убывающими коэффициентами.

В #1.1, состоящем из двух пунктов, изучается уравнение нормальной диффузии в неограниченной среде с неравномерно распределенными нелинейными источниками или стоками.

В пункте 1ЛЛ изучается эффект взрыва за конечное время при наличии нелинейных источников. Рассматривается задача Коши для уравнения

- Й и ■+ ^Си.) = 0 (Д)

с начальным условием

Здесь ^(Я) подчинена предположениям, которые выполняются, например, если о

УЫ^^Гзуп^; (5)

где р> 4 , /(х) и 6(Х)Ь) - непрерывные функции, причем

Ы Ях) > 0; вСъУ^ 0, в(х)^-со (1хЬ+со).

Доказывается теорема 1Л, согласно которой задача (3),(4) не имеет ограниченного решения ни в какой полосе вида Таким образом, если суперлинейные источники распределены неравномерно, а их мощность неограниченно возрастает на бесконечности (фактор, благоприятствующий взрыву), то эффект взрыва усиливается и приобретает новое качество: он возникает мгновенно.

Тема пункта 2 Л.2 - мгновенное сжатие носителя решения под действием нелинейных стоков. Рассматривается задача (3),(4), где и/(Б) имеет вид (5), причем ,.

0<р<{} \<°)

({о>0,*>0)3 (?)

сх({-р)>р. (3)

Доказывается теорема 2.2, согласно которой для всех достаточно малых Ь>0 решение иСх^Ь) финитно по X . Таким образом, эффект мгновенного сжатия носителя сохраняется и при неравномерном распределении стоков с убывающей на бесконечности мощностью (фактор, противодействующий эффекту), если, начальная функция также достаточно быстро убывает на бесконечности (фактор, благоприятствующий эффекту). Далее доказывается теорема 2.3, согласно которой при выполнении соотношений

Хх)>{0-({+1х1)-«; (в)

о < есхл) 1x0 ~р сю)

и. о( (1-р) 4 £ мгновенное сжатие носителя отсутствует.

В разбитом на два пункта, рассматривается уравнение

медленной дисЕфузии в неограниченной среде с неравномерно распределенными нелинейными стоками. В пункте 1.2.1' приводятся систематически используемые при последующем изложении определения обобщенных решений, суб- и суперрешений неявно вырождающихся параболических уравнений. Пункт 1.2.2 посвящен эффекту локализации по времени в задаче Коши с начальным условием (4) для уравнения

Т>ьа-1)*ч>(и)~{-ё(эсЛ)У(и.)=0. 01)

Здесь £ в, (р} у подчинены требованиям, которые выполняются, в частности, если

(рф^М"1 вдгьв, (П)

где 171^1 , а % в удовлетворяют соотношениям (5), (6),

(9), (10), причем о((т-р) ^р . Доказывается теорема 1.5 об отсутствии локализации по времени. Таким образом, благоприятствующий локализации по времени фактор - рост мощности стоков вблизи нулевого значения плотности (предположение (6) ) подавляется противодействующим фактором - убыванием мощности стоков при удалении точки среды на бесконечность (предположение (10) ).

В § 1.3, состоящем из пяти, пунктов, исследуется уравнение медленной диффузии в существенно нестационарной среде.

Темой пункта 1.3.1 является эффект взрыва за конечное время. Рассматривается задача Коши с начальным условием (4) для уравнения

[а&У^Ф)] + ё(х}Ь)у(1м)= 0. (15)

Здесь §& С(Ю г

оо; (14)

на Ср и ^ налагаются требования, которые выполняются, в частности, если имеют место равенства (12) с и (5) с р>{ ; О-Сху€)>0 - гладкая функция, ограниченная при ограниченных Ь ;

6(Х,Ь)<0} Ш); и СЮ, Т Ш)Н= со; (15)

^ 1/в*. ° ({0 Доказывается теорема 1.6 о глобальной разрешимости. задачи(13),(4). Таким образом, благоприятствующий взрыву фактор - рост мощности источников при увеличении, плотности (предположение (5) с р > { )

подавляется препятствующими Езрыву факторами: убыванием мощности источников при возрастании Бремени (предположение (15) ) и малостью начальных значений плотности (предположение (16) ).

В пункте 1.3.2 речь идет о локализации по времени. Сначала рассматривается задача (13),(4), где /(Ъс) удовлетворяет (14);

ж(р подчинены требования!/, которые выполняются, в частности, если эти функции заданы формулами (5),(6),(12) с 171 ^ { ; коэффициент <Х(Х^) - такой же, как в предыдущем пункте, а для коэффициента в (эс} -Ь) справедливы соотношения

в(хЛ*вСЬ)>0, = 4 00; (а)

Доказывается теорема 1.7 о наличии локализации по времени. Таким образом, противодействующий локализации по времени фактор - возможное затухание мощности стоков при возрастании времени (предположение (17) ) подавляется благоприятствующими факторами;ростом этой мощности при стремлении плотности к нулю (предположение(6)) и малостью начальных значений плотности (предположение (18) ). Затем (17) и (18) заменяются следующими соотношениями:

° (м)

Доказывается теорема 1.8 о глобальной положительности обобщенного решения задачи (13),(4) при условиях (5),(6),(12) с М.>4 , (14), (19),(20). Таким образом, в этом случае преобладает фактор, препятствующий локализации по времени.

Пункт 1.3.3 посвящен локализации по глубине. Сначала рассматривается задача (13), (4) при-.следующих предположениях: еыполня-

ется (12) С т>А ; I^С(К)[\Сг(^10\)3 Ц№)>0(Н{) №>0;

6СхД) ^ 0 -гладкая функция, ограниченная при ограниченных ~Ь ;

1£ййСфхЖде^ОЛЬ

+ 00 . 5 Ш)^<+оо- (И)

о

Кх)>0 Ух^

/Га)=0 при ¡х\>§>0 (?0>0). (22) 10

Доказывается теорема-1.9, согласно которой существует такое

9 > ?о • что

u(x}t)= 0 при. 0^±< + ос. (гъ)

Таким образом, быстрое затухание коэффициента диффузии с течением времени (предположение (21) ) является фактором, гарантирующим локализацию по глубине независимо от мощности стоков и даже в их отсутствие (т.е. в случае в(Х;Ь) = 0 ).

Затем предположения о Ц1 , в иd подвергаются изменениям. А именно: f(S) имеет вид (5) с р»4; 0<£(Xji.) £ %(t) ,

ieC(Rf)i d'^clgС(¡R*W+) (t=0;O; xDxa(x,t) ^ Oj

0<ав.)£а.(х>ьХ К о. CO 3 K=const > аеС(Щ); "T a(i) exp[-(m-i) f t(v) Лх] dt = + со.

Доказывается теорема 1.10 об отсутствии локализации по глубине. Таким образом, возможное увеличение мощности стоков с течением времени (фактор, благоприятствующий локализации по глубине) подавляется достаточно быстрым ростом коэффициента диффузии (противодействующий фактор).

В пунктах 1.3.4 и 1.3.5 рассматривается первая краевая задача для уравнений вида (13) в четверти плоскости(¿^У1, с условиями U (X; 0) = Кх); хе а(24)

и(0Л) = $(€), te-Щ. (25)

Пункт -1.3.4 посвящен эффекту внутренней ограниченности. В отличие от ситуации, рассмотренной авторами цитированных выше работ С7 J - С93 > теперь t изменяется не на полуинтервале конечной длины, а на полуоси, а функция Q(t) стремится к бесконечности при t—>-foo . В этом случае для возникновения эффекта внутренней ограниченности требуется дополнительный фактор. Устанавливается, что таким фактором может служить быстрое убывание коэффициента диффузии. Доказывается теорема 1.11, согласно которой для решения U.(Xji) задачи (13), (24),(25) в (Щ.)г

Ц)П SUp U&tX + oo t->+co °>0

при любом jo>0 , если y(S) имеет еид (5) с р>0 , (p(s) имеет

вид (12) с и выполняются следующие предположения:

гае <Х,СО удовлетворяет (21); в £

с (ТО2), g(xJt)>'-0J

д9(0)

+ 00

^>0,<Г>0. (27)

В пункте 2.3.5 речь вдет о локализации по глубине.вследствие быстрого затухания диффузии. Вновь рассматривается задача (23), (24),(25) в (К+)г при прежних предположениях, дополненных требованием (22); кроме того, теперь в (27) допускается 8*= 0 . Доказывается теорема 2.22, согласно которой для решения справедливо соотношение (23).

Вторая глава посвящена уравнениям, которые содержат степенные функции от решения с переменными показателями. Эти 'показатели зависят от X или £ , отличны от единицы при конечных значениях аргумента, но могут стремиться к единице при 1х1->-+со или при ■¿,->■ + 00 . Другими слогами, на бесконечности может происходить линеаризация рассматриваемых уравнений. Данное обстоятельство является противодействующим фактором для описанных выше нелинейных эффектов.

В § 2.2, состоящем из двух пунктов, исследуются уравнения диффузии в неограниченной среде с линеаризующимися на бесконечности источниками или стоками. В пункте 2.2.2 изучается эффект мгновенного взрыва. Рассматривается задача Коши для уравнения

])_1а-1)^и-ё(х)1и1^х)вдп.и = 0 (22)

с начальным условием (4) при следующих предположениях:

ваС(К); £00 >0;

вир [У(х)]-*1у/(х)1<-ьоо хеК

Вир [у(х)]~1 [У"(х)\ < -/-оо;

осе К

^СООл^К); Кх)>Ш, С(Ю> Я*)>О,

5 (х) не возрастает на полуоси О г? X < -ь со ; £(х) ;

со (29)

для некоторого ('О., 4 3 . Соотношение (29) связывает три фактора, влияющих на возможность взрыва: миноранту начального распределения плотности, мощность источников и скорость их линеаризации. Доказывается теорема 2Л о неразрешимости задачи (28),(4) ни в какой полосе ¡К*[0}Т]; Т> 0.

Тема пункта 2Л.2 - мгновенное сжатие носителя. Рассматривается задача Коши с начальным услоздем (4) для уравнения

(30)

Здесь 8(х) и У(Х) - такие же, как в предыдущем пункте, £(х) -непрерывная функция, удовлетворяющая неравенствам (7), и

[х[ы ^е 8(х) [т] г}1/г(х)=^оо Уг>0. (31)

Соотношение (31) связывает три фактора: мажоранту начального распределения плотности, мощность стоков и скорость их линеаризации. Доказывается теорема 2.2, согласно которой для Есех достаточно малых Ь>0 решение И(Х}Ь) задачи (30), (4) финитно по ОС

В § 2.2 речь идет о локализации по времени. В пункте 2.2Л этот-эффект исследуется для уравнения нормальной диффузии с асимптотически линейными стоками, имеющего вид

^ ц и + ё(ь)1Щ * ~ ха) и = 0. (зг)

Здесь &(€) непрерывна на

и имеет положительную нижнюю грань; непрерывна на СО^ + оо) , принимает значения из ин-

тервала (0}1) и не возрастает; кроме того,

кт. ЬШ) = -(-со. (33)

t-> + oо

Доказывается теорег/а 2.3, согласно которой решение и.(Х^) задачи Коши. (32),(4) с ограниченной положительной непрерывной начальной функцией $(х) обращается в тождественный нуль за конечное Еремя.

В пункте 2.2.2 изучается локализация по времени для уравнения быстрой диффузии вида

Ъ±(\и\1 + ХС1)59пи)-Ъ*и= 0. (34)

здесь ЛеСЧ^Л, №>0, Х'ахо,

■£ [\(Ь)2~± I Х/СО[ < + ОО и выполняется (33).Уравнение (34) рассматривается в полуполосе Д?^ с начальными и граничными условиями

при 1x1^1 ,и.(±№)=0 при (55)

где

/6С*(Ш)).Хх)ъО > = 0 . (30

Доказывается теорема 2.4, согласно которой обобщенное решение Ц(Х}±) краевой задачи (34),(35) за конечное Еремя обращается в тождественный нуль.

Третья глава посвящена системам, в которые входят произведения функций от разных компонент решения. Она состоит из трех параграфов и дополнения.

В § 3.1 даются условия отсутствия взрыва для квазилинейных вырождающихся параболических систем с членами типа источников. Исследуется задача Коша для системы

и1 ~ ^ (КГ Ф <0 - =

с начальными условиями

а={}2 ). Здесь т.<= (Ц] и (2,+ссХ

( ), а Ц?. и. 6-)^ подчинены предположениям, которые вы-

полняются, например, если

^в^^п 5, (40)

где

вл>о, в4*о9 ъ>о (¿-¿А)- Ш)

В случае, когда хотя бы один из показателей , отличен от единицы, система (37) является неявно вырождающейся. Поэтому решение задачи (37),(38) понимается в обобщенном смысле (точные определения даются в § 3.1).

Считая функцию заданной, при выполнении (40) и (42)

мы можем рассматривать (37^) как уравнение относительно и^ .описывающее диффузию при: наличии суперлинейных источников ( фактор,

(&0

(Ю (39)

благоприятный для взрыЕа), мощность которых пропорциональна

¡и^фс^)!^1 , - фактор, препятствующий взрыву, если убывает с возрастанием ~Ь . Б свою очередь, при задан-

ном можно трактовать как уравнение диффузии со стоками относительно иг . При дополнительных предположениях о данных задачи требуемое убывание может быть установлено либо как результат действия стоков, либо как следствие диффузии. В сеязи с этим § 3.1 разбит на два пункта.

В пункте 3.1.1 делаются добавочные предположения, которые при выполнении (40) сеодятся к неравенству

Ч (Ь- 0 1 < вг а + V "»"Чо ■ С42)

Доказывается теорема 3.1 о существовании глобального ограниченного обобщенного решения задачи (37),(38). Из (42) с учетом (41) следует положительность в^ . Таким образом, в данном случае отсутствие взрыЕа связано с действием стоков.

В пункте 3.1.2 налагаются предположения, которые при выполнении (40) принимают вид: +00

здесь \ >0 - постоянная, зависящая только от и

Доказывается теорема 3.2 о глобальной обобщенной разрешимости задачи (37),(38). В данном случае допускается обращение 8^ в нуль, т.е. отсутствие стокое. Причиной убывания Цг.(Ьс,£) служит диффузионный член е сочетании с конечностью нормы II £¿¡¡1 •

Проблеме существования и несуществования глобальных решений нелинейных равномерно параболических а вырождающихся систем посвящена обширная литература; укажем цитировавшуюся выше монографию [V] г где можно найти много дальнейших ссылок. Однако во всех прежних работах на рассматриваемые системы налагались условия иного характера, чем в теоремах 3.1 и 3.2.

В § 3.2, состоящем из трех пунктов, для полулинейных параболических систем изучаются эффекты мгновенного сжатия носителей, локализации по времени, внутренней ограниченности. В пункте 3.2Л рассматривается задача Коши для системы

иг° С43)

с начальными данными (38), где П.) ограниченные

положительные непрерывные функции, Рц - неотрицательные числа. Для вводятся обозначения:

Доказывается следующая

Теорема 3.3. Пусть при некотором К ^ ..<_, П.} выполняются неравенства

УШ, Ухек

0<Р<К<1; (ю

Тогда найдутся такие числа "С £ (0^] и А > 0 , что

Таким образом, носитель К-ой компоненты решения мгновенно сжимается, если ее начальные значения убывают на бесконечности (благоприятствующий фактор) не слишком медленно, а убывание начальных значений остальных компонент не слишком быстрое. Неравенство (47) дает оценку сверху для размеров носителя У-^уЬ) вблизи оси X . Следующий результат показывает, что эта оценка является точной.

Теорема 3.4. Пусть при некотором .. выполня-

ются неравенства

'(1+1x0"* Ухей? аКо>0^>0Ъ

а также (44)—(46). Тогда существуют такие числа Гб^ОТ] и А > 0 , ЧТО

г.

Далее доказывается теорема 3.5, согласно которой при замене соотношения (46) противоположным неравенством 0 найдется такое Г0>0 , что Хк(1) = + 00 \/6е/Дг0) , т.е. не происходит мгновенного сжатия носителя К -ой компоненты.

В пункте 3.2.2 рассматривается задача Коши с начальными данными (38) для системы

+

Предполагается, что /¿(х) 1 ^••у'ч) - ограниченные поло-

жительные непреывные функции, а 1У. и Св-удовлетворяют со-

С с

отношениям, которые выполняются, в частности, если, имеют место формулы;

Доказывается теорема 3.6, следствием которой является, например, формулируемый ниже результат.

Пусть (и.д(ос,,.,л lLк(XJ^i')') - решение задачи (48),

(38), причем выполняются соотношения (49) и существует такое , что: %>РК ; VL¥к ;

<%{Н-гШтгРс- ■

Тогда Ш И;(ОС^)>0 Ус¥К

хе&ио ^ г

и найдется такое Т£ (_0,-Юо) , что

В пункте 3.2.3 на множестве (К^ X [0^Т) , где Т может быть как конечным (полуполоса), так а равным +оо (четверть плоскости) , рассматривается первая краевая задача для системы

\иг К и14 ^ о (50)

( I = '\.J 2 ) с начальными и. граничными данными

и-1(Ъ0)=*1(хЪ0<х<4 60 (ЫЩ С5^ ЩОЛ) = 0 ^ < Т Сс= ¿,2;.

Здесь 4(Ьс;»0 , 12(х) >0 И $¡002 0 с ¿ = ¿2. ) -

дифференцируемые функции, согласованные в начале координат; р^ подчинены ряду ограничений, которые выполняются, в частности,если

где (¿ = 1;2) и - гладкие неотрицательные функции

своих аргументов, О ($) возрастает при 5 > 0 , Сд (3) ограничена.

'Г?

Отметим, что £¿=4,2) и- могут стремиться к бесконе-

чности при t —* Т— 0 . Ищутся условия внутренней ограниченности первой компоненты решения задачи (50) - (52). Эти усло-

вия оказываются различными в зависимости от того, конечна или нет величина Т

В случае Т^+со доказывается теорема 3.7, согласно которой внутренняя ограниченность ^(¿с,!) имеет место, если

ехр (Т-Ь)'1]^ (4о

где = СОП^ > О О' = 1, 2) .В случае Т= + СО

условие внутренней ограниченности дается теоремой 3.8, формулировка которой здесь не приводится веиду ее громоздкости.

В § 3.3 изучаются эффект внутренней ограниченности и его видоизменения для некоторых классов полулинейных систем, не принадлежащих к параболическому типу. Этот параграф делится на два пункта. В пункте З.ЗЛ рассматривается краевая задача для системы

где (и^ 3,, ^ , в четверти плоскости Ш,)2, с началь-

ными и граничными данными - , ч у

х<= /^¿Ч»^ (я) иг,(0Л) = $аЪ (55)

Здесь ^(х) (С~ /г) - непрерывные функции, удовлетворяющие (39), где /¿0 > 0 ля* 1-= П.-1 ; функция д(Ь) непрерывна, неотрицательна, согласована с и неограниченно возрастает при Ь~> + оо . Относительно делаются следующие предположения:

С0С£ С(К), ясё ШХ ¿дп ЦК ^

ШУ^УЩ^ УЫЖ (5Ф

где XéCdR71"^ AsCCW1'1), функция Х^я-Лп-О неотрицательна всюду, а пра неотрицательных значениях своих аргументов является неубывающей по каждому из них. Нетрудно установить, что при таких предположениях задача (53)-(55) имеет глобальное решение . Ищется условие внутренней ограниченности, его последней компоненты ^-^(У^Ь) при ~t—> -f со .

Вводятся функции: /L : [Q+00) ~~1> [^¿ср"^00) ' заДаваемые

равенствами » . ч \(S)

•f-

Доказывается

Теорема 3.9. Пусть $(t) ^ G(t) при t<-f oo , где G ¿С3®, Gr(s) > 1 при

всех SéR , D^ In G (s) ^ О

( 1,2,3 ) и существуют такие числа ^¿(O^i)^ ^¿(Qi), что

Р [l + (nасф №G(t)J -f [Dt tnGCt)Jz4-

Если еще /д/зО = 0 Voc ^ 0 , то

ии (ЗД = О Va > d /Тру}.

-¿-»•f oo R

Задача гида (53)-(55) возникает, в частности, при математическом моделировании взаимодействия в годоеме биологического загрязнителя с потребляющими его растениями, прикрепленными ко дну [ТО, с. 94-96J . Для такой модели, теорема 3.9 дает условия очистки на достаточном удаленна от места сброса загрязнителя.

В пункте 3.3.2 рассматривается краевая задача е четверти плоскости (R^)2 Для гиперболической системы

Ц^ + а^иrFt(u) (54)

[toJ Свирежев Е.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.:Наука, 1987.

где Ш — ^П-) ' с начальными данными (54) а граничными данными _

Здесь О. ^ &2 ^ I < < ^ - положительные постоянные;

любых ; ^ такая же, как в предыдущем пункт6; /¿(^ » ~ диФФеРенциРУеше неотрицательные функции, согласованные в начале координат; дй(I)} не убывают, не возрастает и

¿Ст да) = 0.

Ы + со

Ищется условие, Елекущее за собой строгую положительность последней компоненты решения (и1 (х, t)J . . ^ ^-п(х,~0) задачи (57),(54),(58) в какой-либо полуполосе Еида фс0(Ъ+оо), Доказывается

Теорема 3.10. Пусть существуют такие числа £>0 , 3^)>0 ,

что

где функция * ^л-0 0ПРеДелена Е Тогда

(1т и (ЗД > О Уа^ [ап;а^эе*].

■¿->+00

Установленный в теореме 3.20 эффект внутренней положительности является родственным свойству внутренней ограниченности: в обоих случаях одна из компонент решения ведет себя на внутреннем подмножестве не так, как на границе. По-видимому, ранее вопрос о внутренней положительности другими авторами не изучался.

К главе 3 имеется дополнение. В нем рассматривается первая краевая задача в полуполосе [—¿у-С] Х- (0 < I < + оа) с нулевыми граничными данными для системы

'^((^оГт и-МЬФШЬбф^М (А)

tn>2 , ilд*= <рл ,

1Ыs IIУ Hz ' Ci1CSJ6')>0 a 0.2(s^)>0 - гладкие функции. Система (59) описывает диффузию двухкомпонентной смеси при зависимости коэффициентов диффузии от средних квадратичных значений плотностей. Это соответствует наличию в среде так называемого дальнодействия. Математические модели диффузии в средах с дальнодействием обсуждались, например, в статье Гертина jjîïJ .

Система (59) является дифйеоентшадьно-функшональной: наряду со значениями компонент U->(OC3t) искомого решения и их производных в отдельных точках, она содержит также значения интегральных функционалов от . Кроме того, она принадлежит к числу неявно,

вырождающихся параболических систем, поскольку fïl -ф { . Теория дифференциально-функциональных уравнений с частными производными берет СЕое начало в работах Кирхгофа, Вольтерра, С.Н.Бернштейна. В дальнейшем этой тематикой занимались Уизем, С.И.Похожаев, С.А. Габов, А.А.Локшин, Ю.В.СуЕороЕа, П.И.Наумкин, И.А.Шишмарев, М.И. Иманалиев, Чжоу Юйлинь. Гуо Болин и другие. Нелинейные равномерно параболические и вырождающиеся уравнения с нелокальными членами исследовались в работах Нагаи и Мимуры, Д.Г.Гордезиани, Т.А.Джан-гвеладзе и Т.К.Коршия, М.И.Хазана, Г.И.Лаптева и других авторов.

Дополнение к главе 3 разбито на четыре пункта. Пункт З.Д.1 содержит постановку задачи. Рассматривается система (59) в полуполосе [-¿jtJ X fi? > с начальными а гтаничными условиями

lxl<Ul-iAl (so) u-L(±l3t)=0j t <s R+ C^iAX ^

при следующих предположениях:

i adJ é cm aij (°)= Oj д^/ФО VmJ=0J)j fi2)

I ^o^f^, azj-=const>0 (r-OJ);

Gurtin M.E'. Thermodynamics and the possibility of spatial interaction in rigid heat conductors//Arch.Eat.MectuAnal.

1956. V. 18, IT 5. p. 535-34-2

Ищется обобщенное решение I¿-(и^и^) задачи. (59)-(61), понимаемое как вектор-функция с непрерывными неотрицательными компонентами, вторая из которых во Есех внутренних точках является строго положительной и гладкой. Равенства (592), (60) и (61) должны выполняться в обычном смысле, а уравнение (59^) - в смысле соответствующего интегрального тождества.

В пункте З.Д.2 доказывается существование обобщенного решения задачи (59)-(61).

В пункте З.Д.З на данные налагается дополнительное требование: +со

< 2*1(^-0-1 шС:И Сс4)

для некоторого <Г > О . При предположениях (б2)-(64) доказывается, что существует обобщенное решение задачи (59)-(61), у которого не только вторая, но и пергая компонента во всех внутренних точках является строго положительной и гладкой. Таким образом, если выполняется (64), то отсутствует локализация по времени для первой компоненты.

Четвертая глава посвящена задачам, в постановках которых участвуют степенные функции с показателями, зависящими от малого параметра, причем его обращение в нуль является фактором, противодействующим определенному нелинейному эффекту. Это противодействие нейтрализуется, если коэффициенты упомянутых степенных функций и,быть может, другие данные задачи также зависят от малого параметра надлежащим образом. Для каждой из разбираемых задач указываются точные условия, обеспечивающие "равномерность" соответствующего нели-нейного^ффекта относительно малого параметра.

Зависимость решений нелинейных уравнений от функций, образующих эти уравнения, исследовалась многими авторами» Укажем,например, уже цитировавшуюся книгу [?] , монографию В.П.Маслова, В.Г.Данилова

и. К.А.Волосова [l2] , обзор С-Г.Крейна и М.И.Хазана jj13J , где можно найти дальнейшие ссылки, а также более поздние работы Арон-сона и Васкеса, Фридмана и Хеллига, Бенилана, Боккардо и Эрреро, О.А.Олейнак, Г.А.Иосифьяна и Темама. Однако тот круг вопросов, который обсуждается в четвертой главе настоящей диссертации, по-видимому, ранее другими исследователями не рассматривался.

Эта глава состоит из четырех параграфов и дополнения. На протяжении всей главы через £ обозначается параметр, принимающий значения из полуинтервала (0, £0 J , где 0 < £"0 < { .

В §4.1, содержащем три пункта, изучается уравнение медленной диффузии. В пункте 4.I.I исследуется эффект конечной скорости распространения возмущений. Рассматривается задача Копш. для уравнения

и - Qg (lulU£ sgn и) = О (65)

с начальным условием , .

Здесь

f£(X)=0 при «О, Сб7)

$ VxeRj (£8)

где S^q , 5ц , - положительные величины, не зависящие от

Эс. » "t и удовлетворяющие соотношению

sup // <4со. (&)

О <£ ¿о £ £i

Пусть U.~U^(Xjt) - неотрицательное: ограниченное непрерывное обобщенное решение задачи (65), (66) в полосе IRX [Oj TJ (Т > 0 ). Доказывается теорема 4Л, согласно которой

sup ? Сt ■ и/) < + оо (40)

при каждом [OjT] . где

Z(tj u) = sup [xlu(xjt)> Oj,

Соотношение (69) связывает три фактора,-влияющих на величину скорости, распространения возмущений: режим диффузии(характеризуемый

¡12 J Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. М.:Наука, 1987. КЗ] Крейн С.Г., Хазан М.И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве// Итоги науки и техники. Математический анализ. М.;Изд-во ВИНИШ, 1983. Т. 21. С. 130-264.

показателем i + E. ), коэффициент диффузии (пропорциональный (2£ ) и начальные значения плотности (не превосходящие ). Первый

фактор противодействует эффекту конечной скорости распространения возмущений, поскольку в пределе при £ 0 медленная диффузия переходит в нормальную. Из (69) вытекает, что либо второй, либо третий фактор благоприятствует этому эффекту: для справедливости (69) необходимо, чтобы произведение стремилось к нулю

Еместе с £ . Утверждение теоремы 4 Л означает, что при выполнении (69) скорость распространения возмущений остается равномерно (относительно £ ) ограниченной при £ 0 .

В пункте 4Л.2 изучается эффект задержки фронта. По-прежнему рассматривается задача (65),(66) при выполнении (67),(68), а также дополнительного предположения

^(х)^ HZM2A Vx^O,

где с у .

sup e~i q. N; < + оо. (Ю

0<i£60

Доказывается теорема 4.2, согласно которой существует такое не зависящее от £ число i*>0 , что

ZfouJ^O Vte[OA% Ve€(OAol.

Таким образом, при выполнении (71) имеет место равномерная задержка фронта.

Пункт 4.1.3 посвящен эффекту внутренней ограниченности. Рассматривается первая краевая задача в четверти плоскости(К.^)2' для уравнения

\u.-\[a.fyt)Dx (¡иГздп. и)] = 0 (72)

с условиями , Л. . - ^

U.(X,0) = fe(x)j х€ ^ (73)

ts^; (Ю

при следующих предположениях: C^R^);

>-K0Q6&t) • К>'° ; °<ae(^)^A£(M)-d-£ - f£(x) *

~ неотрицательные непрерывные функции, согласованные в начале координат; f^(x) ограничена, а £ (t) допускает оценку

9£ШМ(иф (М >0^>0Х

По теореме 2Л1 при каждом £<^(0,£0] в задаче (72)-(74) имеет место эффект внутренней ограниченности. Доказывается теорема 4.3, согласно которой для каждого фиксированного ОС>0 обобщенные решения 11= (¿¿(Х^) задачи (72)-(74) ограничены равномерно относительно 4 е {£,+ <*>) и

В § 4.2, разбитом на два пункта, изучается эффект взрыва для уравнения медленной диффузии с источниками. В пункте 4.2.2 рассматривается задача Коши с начальными данными (66) для уравнения

\и.-])х[а&тх(\и{тЧ9г1 и)]-б£(хЛ)1и1^п и= 0 05)

при следующих предположениях: $^(х) удовлетворяет (68); /7Ь>1 ;

£ У в/х^) СЮ

- гладкие ограниченные Функции;

0<Е4Е0 1 £

Доказывается теорема 4.4, согласно которой можно указать такое не зависящее от £ число С0, + оо) г что обобщенное решение Ц~и^(ХуЬ) задачи (75),(66) ни при каком не опреде-

лено для Ъ^Т . Таким образом, временной интервал разрешимости задачи (75),(66) ограничен равномерно относительно £

В пункте 4.2.2 на коэффициент в^(СС,Ь) вместо (76) налагается более слабое требование

где

1п{

е VI

¿о

>0.

Доказывается, что при таких предположениях сохраняет силу заключение теоремы 4.4.

В | 4.3 исследуются уравнения медленной и нормальной диффузии со стоками. Этот параграф делится на четыре пункта. В пункте 4.3Л

изучается эффект мгновенного сжатия носителя. Рассматривается задача Коти для уравнения

с начальными данными (66). Здесь

^-¿i Y& ) 3Zi ~ положительные величины, не зависящие от X , ~t и. удовлетворяющие следующим соотношениям:

u < с i- Cq

sup Гс^Мг'Р7'1"0^ \/К>0.

i £ EQ l

Пусть U,= U^(Xji)- ограниченное решение задачи (77),(66). Доказывается теорема 4.6, согласно которой существует такое не зависящее от £ число > 0 > что при вссправедливо неравенство (70). Таким образом, функции U.£(Xjt) обладают свойством равномерного мгновенного сжатия носителей.

Пункт 4.3.2 посвящен локализации по глубине. Рассматривается задача Коши. с начальными данными (66) для уравнения

здесь ¿¿(х) удовлетворяет соотношениям (67),(68); p = Con.st^ 1 ;

g£j f£ ± - положительные величины, не зависящие отХ, t и подчиненные требованию

sup <+оо.

0<£460 £ Е

Пусть U'■=: Цг faA) - ограниченное непрерывное обобщенное решение задачи (78),(66). Доказывается теорема 4.7, согласно которой

¿up sup S(t)U£) <+00.

0<г4£о 0Ш+<* Таким образом, функции U^(Xjt) обладают свойством равномерной локализации по глубине.

Тема пункта 4.3.3 - локализация по Бремени. Рассматривается задача Коши с начальными данными (66) для уравнения

Dtu-Dx[a^t)Dx(luim^ sgn iфM1_£ W " = (W

Здесь — гладкая ограниченная функция;для

jrc(x) выполняется (68); положительные параметры £ , и jv^ связаны соотношением

Sup <+сО.

Пусть U.= U£(oc,t) - ограниченное непрерывное обобщенное решение задачи (79),(66). Доказывается теорема 4.8, согласно которой существует такое не зависящее от £ число Т € (Oj-t coj) , что

,i)=Q V(Xjt)elRхЦЪ+<*Х VeetfUJ. (80)

Таким образом, функции обладают свойством равномерной

локализации по времени.

Видоизменение только что описанного эффекта исследуется в пункте 4.3.4, где рассматривается перьая краевая задача в четверти плоскости (J** с условиями (73),(74) для уравнения

(M^syi и) + ^ /и(и=0. (8i)

Здесь

f£(xро и 9£(Ь)2 О

- непрерывные функции, согласованные в начале координат; fj:(X)=0 при X^L ( -L > 0 );

g£(t)^ Mtt + tr01*, M>0j величины

, непрерывно зависят от £ пра О < б ^ £0 . Поскольку функция может быть всюду положительной, то в за-

даче (81 ),(73),(74), вообще говоря, отсутствует локализация по времени. Однако, как установил Р.Кершнер (/14 J .обобщенное решение U.-LL^(X,t) этой задачи при каждом фиксированном £<= ("0,J обладает следующим свойством внутренней локализации:, по времена. : для

[з^ Кершнер Р. 0 поведении температурных фронтов в средах с нелинейной теплопроводностью при-наличии поглощения// Вестн.Моск. ун-та. СерЛ.Мат.,мех. 1978. # 5. С. 44-51.

любого Х*>О найдется такое число "£* = ¿) , что

• и£(х*л) =0 УЫ [ь* +«0. (п)

В пункте 4.3.4 доказывается теорема 4.9, согласно которой при выполнении дополнительных предположений

Ш £о( >О, Ш егВ,>0

число ^ в (82) можно выбрать не зависящим от £ . Таким образом, функции обладают свойством равномерной (относительно £ ) внутренней локализации по времени.

В £ 4.4 исследуется локализация по времени для уравнения быстрой диффузии

1^(1 и|1+£ - &е1>£и = 0.

Пусть

- непрерывное обобщенное решение первой краевой задачи для этого уравнения в полуполосе [-1^1] X (0<-С<Ч-оо) с начальными и граничными данными _

Здесь а£ не зависит от Х,± ; 0 4 {¿(х) £ М (М>0);

с м1>0 ); ¿¿(±1)= 0 . Доказывается теорема 4.20, согласно которой условие

еас > О

Елечет за собой равномерную локализацию по времени, т.е. соотношение (80), где И заменяется на , а число Т по-прежнему не зависит от £ .

В дополнении к главе 4 рассматривается стационарное уравнение

-¿р X дх (¡Уи1*-%.и) + 1и1г'е5эпи= 0, (85) с=1 А с 7

где , £6Й,£0] ( 0 < £0< 1 ), а£>0 -заданные

числа, (¿= «ЭС^у) - неизвестная функция.

Уравнение (83) описывает установившееся распределение плотности вещества в нелинейной среде со стоками. Это уравнение имеет эллиптический тип в тех точках Х=(хь,..рс^) , где0 .

и вырождается там, где jVu.(x)¡= О , если <\,>í . Таким образом, (83) с ф > 1 - это неявно вырождающееся эллиптическое уравнение.

Вопросы разрешимости краевых задач для различных классов неявно вырождающихся эллиптических уравнений и систем изучались во многих работах. Среди их авторов, помимо уже упоминавшихся выше, - Браудер, Доналдсон, Н.М.Ивочкдна, Е.И.Калита, Р.И.Качуровский, А.И.Кошелев, О.А.Ладыженская, Лере, Минти, Нечас, И.В.Скрыпник, Трудангер, Н.Н.УральцеЕа, Г.Н.Яковлев и другие. Большое число литературных указаний имеется, например, в книге Ж.-Л. Лионса [*15] и обзоре Ю.А.Дубинского [16 J .

Для неявно вырождающихся эллиптических уравнений в ряде работ исследовался эффект так называемой застойной (ила "мертвой") зоны. Этому вопросу посвящена большая часть монографии Диаса [Í7j. Более поздние результаты по данной и близкой тематике содержатся в работах С.Н.АнтонцеЕа, Диаса, Верона, ван Дейна, Пелетье, В.А.Кондратьева, Е.М.Ландиса, М.ВоТуЕаева и других.

В дополнении к главе 4, разбитом на три пункта, изучается эффект застойной зоны для обобщенных решений уравнения (83), определенных в шаре Bg ={xé!Rn'l ¡OclcR] и принадлежащих Çb£) •

В пункте 4.ДЛ дается определение обобщенного решения и формулируется результат Диаса и Верона [^8 J , согласно которому для любого фиксированного J можно указать число Jli^ > 0 со

следующим свойством:

[■Ï5J Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.:Мир, Í372.

ß[6] Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения/ Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Т. 9. М.:Изд-ео ВИНИТИ, 1976. С. 5-130. |Ï7j Diaz J.I. Nonlinear partial differential.equations_and free boundaries. V. 1 ( Research Notes in Mathematics, V. 106 ). London:Pitman, 1984.

ßB] Diaz J.I., "Veron L. Local vanishing properties of solutions of elliptic and parabolic quasi-linear equations//Trans. Amer.Math.Soc. 19З5. T. 20, IT 2. P. 737-814.

) существует такое Т^ё , что если 11= (¿¿(х)-

произвольное обобщенное решение уравнения (83) в шаре В^ , удовлетворяющее неравенствам

I? &

то

1С£(х)=0 при почта всех Х^Ъъ^ • Множество принято называть застойной (или "мертвой" )

зоной.

Пусть JU.£ - верхняя грань множества чисел JU.£ , обладающих свойством (<$ ), a - верхняя грань множества значений Z^^(OjR-) , для которых справедливо равенство (84) при JU<JU^. В пунктах 4.Д.2 и 4.Д.З исследуется поведение величин ß^ и

при £ 0 (фактор, противодействующий эффекту застойной зоны). Предполагается, что "Lim. Ct£ = О (благоприятствующий фактор). £-*0

В пункте 4.Д.2 доказывается теорема 4.11, согласно которой при выполнении; условия

sup aF/e^i<too (85)

О<£460 у

существует такое не зависящее от £ число fi^ 1 , что из неравенства R.^R,^ Еытекает справедливость соотношений

Inf JU* > о, Inf t* > 0. 0<t*£o 0<E£to c

Другими словами, для любого семейства обобщенных решений,определенных в достаточно большом шаре и имеющих достаточно малую энергию, гарантируется сохранение застойной зоны, содержащей внутри себя шар фиксированного радиуса.

В пункте 4.Д.З доказывается теорема 4.12, согласно которой более сильное, чем (85), условие

¿im. (8&

£-?• О

влечет за собой справедливость соотношений

¿Im /и* = 4 оо. ¿im X* = R. i->0 6 6

Таким образом, если выполнено (86), то для любого семейства обобщенных решений » определенных в произвольном шаре, при £—»0 застойная зона в пределе заполняет весь этот шар, а ограничение на величину энергии исчезает»

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

Подробно изучен характер эволюции решений краевых задач для нелинейных нестационарных уравнений (равномерно параболических или вырождающихся) с существенно переменными коэффициентами. В частности, для моделей нелинейной теории' диффузии впервые описаны следующие явления: а) мгновенный взрыв решения при возрастающей на бесконечности мощности источников; б) локализация решения по глубине вследствие затухающей диффузии; в) внутренняя ограниченность решения на бесконечном интервале изменения времени.

2. Впервые проведено качественное исследование решений краевых задач для нестационарных уравнений, содержащих степенные функции от решения с переменными показателями. В частности, найдены точные условия наличия следующих эффектов: а) мгновенная компакти-фикация носителя решения; б) локализация решения по времени.

3. Впервые изучен ряд нелинейных эффектов для различных классов нестационарных систем, содержащих произведения функций от разных компонент решения. Для квазилинейной вырождающейся параболической системы с членами типа источников и стоков даны точные условия глобальной разрешимости: а) вследствие влияния диссипативного младшего члена; б) вследствие елияния диффузионного члена. Для решений полулинейных параболических систем найдены точные условия: а) покомпонентной мгновенной компактификации носителей с неулуч-шаемой оценкой скорости; б) покомпонентной локализации по времени и глобальной положительности. Для решений полулинейных систем гиперболического и неклассических типов получены точные условия покомпонентной внутренней ограниченности, и внутренней положительности.

4. Впервые осуществлен качественный анализ ряда нелинейных эволюционных и стационарных задач с малым параметром в показателях. В частности, для некоторых моделей нелинейной теории диффузии даны точные условия наличия следующих эффектов: а) равномерная (относительно малого парааетра) ограниченность скорости распространения возмущений; б) равномерная задержка фронта ;

в) равномерная ограниченность временно'го интервала разрешимости;

г) равномерная локализация по глубине; д) равномерная полная или внутренняя локализация по Бремени; е) сохранение и расширение застойной зоны.

Автор выражает глубокую благодарность академику О.А.Олейник за внимание к работе.

Автор признателен Российскому фонду фундаментальных исследований и Международному научному фонду за частичную финансовую поддержку исследований, описанных в четвертой главе диссертации.

СТАТЬИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Калашников A.C. Об уравнении теплопроводности в среде с неравномерно распределенными нелинейными источниками или поглотителями тепла/' Бестн. Моск. ун-та. Сер. I. Мат.,мех. 1983. J* 3. С. 20-24.

2. Калашников A.C. О зависимости свойств решений параболических уравнений в неограниченных областях от поведения коэффициентов на бесконечности// Мат. сб. 1984. T.125(I67),J* 3(11).С.398-409.

3. Калашников A.C. О характере распространения тепла в нелинейных средах с существенно нестационарными свойствами // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат.,мех. 1985. J» 4. С. 34-38.

4. Калашников A.C. О совместном влиянии нелинейности и нестапдонар-ности среды на процесс теплопередачи/' УМН. 1985. Т. 40, вып.5. С. 201-202.

5. Калашников A.C. О влиянии роста граничных данных на поведение температуры нелинейной нестационарной среды при больших значениях Бремени/' Вестн. Моск. ун-та. Сер. -1. Мат.,мех. 1986. Jt 2. С. 40-45.

6. Калашников A.C. О некоторых моделях динамики конкурирующих биологических видов/' УМН. 1986. Т. 41, вып. 5. С. 215-216.

7. Калашников A.C. О некоторых нелинейных системах, описывающих динамику конкурирующих биологических видов/'' Мат.сб. 1987. Т. 133(175), Л 1(5). С. 11-24.

8. Калашников A.C. Об условиях глобальной ограниченности обобщенных решений задачи Коши для некоторых квазилинейных вырождающихся параболических систем/' УМН. 1987. Т.42, вып.4. С. 155.

9. Калашников A.C. Об одном классе квазилинейных вырождающихся параболических систем // Современные проблемы математической физики. Том-1. Тбилиси:Изд-во Тбилисского ун-та. 1987. С. 254-261.

-10. Калашников A.C. Об одном классе систем типа "реакция - диффузия" // Труды семинара имени И.Г.Петровского. Вып. 14. 1989. С. 78-88.

11. Калашников A.C. О мгновенной комлактификации носителей компонент решений некоторых систем типа "реакция ~ диффузия"/' УМН. 1989. Т. 44, вып. 4. С. 210-211.

12. Калашников A.C. Об условиях мгновенной комлактификации носителей решений полулинейных параболических уравнений и систем // Мат. заметки. 1990. Т. 47, вып. I. С. 74-80.

13. Калашников A.C. О поведении при больших значениях времени решений некоторых нелинейных систем дифференциально-функциональных уравнений // ГОН. 1990. Т. 45, вып. 4. С. 120.

14. Калашников A.C. О диффузии смесей при наличии дальнодействия/' SEM и МЗ. 1991. T. 31, )» 3. С. 424-435.

15. Калашников A.C. О системах класса "реакция - диффузия" с неограниченными функциями в краевых условиях // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат.,мех. 1991. J* 6. С. 17-22.

16. Калашников A.C. О взаимодействии факторов роста и диссипации в нестационарных краевых задачах // УМН. 1991. Т. 46, вып. 6. С. 180-181.

17. Калашников A.C. О поведении вблизи начальной гиперплоскости; решений задачи Коши для параболических систем с нелинейной диссипацией // Труды семинара имени И.Г.Петравского. Вып. 16.1992. С. 106-113.

18. Калашников A.C. О параболических уравнениях с нелинейностями, исчезающими на бесконечности// УШ.1993.Т.48,вып.4. С. <182.

-19. Калашников A.C. О нелинейных явлениях в нестационарных процессах, описываемых асимптотически линейными уравнениями // Дифференц. уравнения. 1993. Т.29, J* 3. С. 381-391.

20.Kalashnikov A.S. On the interaction between dissipation and supply agents in some nonlinear evolution problems// J.Part'. Diff.Eq.uat. 1993. V. 6, II 2. P. 108-116.

21. Калашников A.C. О критических показателях в нелинейных задачах математической физики // УМН. 1994. Т.49,вып.4. С. 98.

22. Калашников A.C. О некоторых нелинейных математических моделях теории теплопроводности, содержащих малый параметр в показателях // Дифференц.уравнения. 1994. Т. 30, J* 6. С. 2039-1049.

23. Калашников A.C. О возмущениях критических показателей в некоторых нелинейных задачах математической физики // ДАН. 2994. Т.337, Л 3. С. 320-322.

24. Калашников-А.С. О нелинейных эффектах пр^распространении тепла в средах с источниками или стоками, близкими к линейным // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, » 2. С. 277-288.

25. Калашников A.C. О некоторых задачах нелинейной теории теплопроводности с данными, содержащими малый параметр в показателях // IBM и МЗ. 2995. Т. 35, А 7. С. 2077-4094.