Нелинейные эффекты при распространении краевых волн в океане переменной глубины

Дубинина, Валентина Александровна

Нелинейные эффекты при распространении краевых волн в океане переменной глубины тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Дубинина, Валентина Александровна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Нелинейные эффекты при распространении краевых волн в океане переменной глубины»

Автореферат диссертации на тему "Нелинейные эффекты при распространении краевых волн в океане переменной глубины"

На правах рукописи

г 4

ДУБИНИНА ВАЛЕНТИНА АЛЕКСАНДРОВНА

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ КРАЕВЫХ ВОЛН В ОКЕАНЕ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛУБИНЫ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород - 2005

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика» Нижегородского государственного технического университета

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент, А.А. Куркин

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор, И.В. Лавренов (Арктический и антарктический научно-исследовательский институт, Санкт-Петербург)

Доктор физико-математических наук, профессор, А.Б. Езерский (Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород)

Ведущая организация - Институт океанологии РАН

Защита состоится « 23_» декабря 2005 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.165.10 при Нижегородском государственном техническом университете по адресу:

603600, г. Нижний Новгород, ул. Минина, 24, корп. 1, ауд. 1258

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного технического университета

Автореферат разослан «¿5» ноября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

к.ф.-м.н., доцент

А.А. Куркин

i- 11Ш71

IWlO

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Зона шельфа - континентального склона приобретает все большее значение в последние десятилетия. Навигация, рыболовство, добыча нефти, газа и других полезных ископаемых, строительство портовых сооружений требуют детального знания гидрофизических процессов, протекающих в этой зоне. Как известно, перепады глубины в прибрежной зоне океана способствуют захвату (концентрации) волновой энергии в ограниченных по протяженности областях и приводят к существенной трансформации длинных волн, вызывая особые типы волновых движений, распространяющихся в основном вдоль берега (захваченные волны), которые самым существенным образом определяют динамику этой зоны. Вблизи берега на захваченные волны приходится 95 - 98 % энергии, которая может передаваться вдоль берега на большие расстояния без существенных потерь. Одним из видов захваченных волн являются краевые волны. Краевыми волнами называются относительно высокочастотные волны, которые распространяются вдоль берега, и фактически не чувствуют вращения Земли. Они достигают максимальной амплитуды на границе с сушей, быстро спадая с удалением от берега. Краевые волны, даже в длинноволновом пределе, обладают сильной дисперсией, обусловленной изменением рельефа в направлении, перпендикулярном движению волны. В настоящее время имеется множество фактов, подтверждающих существование краевых волн в волновом поле прибрежной зоны океана [Huntley & Bowen, 1973; Huntley et al, 1981; Bryan et al, 1998]. Краевые волны играют определяющую роль во многих процессах береговой динамики, таких как перенос осадочного материала, формирование структуры береговой линии и прибрежного рельефа, прибойные биения [Bowen & Huntley, 1984; Рабинович, 1993; Komar, 1998; Masselink, 1999; Aagaard, 2004]. Существованием длинных краевых волн объясняется неравномерный xapaKiep распределения высот волн цунами вдоль береговой линии [Ishii & Abe, 1980; Пелиновский, 1996]. В целом до 70% энергии волн цунами переносится вдоль Курильских островов в виде краевых волн [Файн и др., 1983]. Крупномасштабные краевые волны являются важной компонентой движений воды, производимых циклонами, движущимися вдоль береговой линии [Tang & Grimshaw, 1995]. Коротко-масштабные краевые волны обычно генерируются набегающими ветровыми волнами вследствие сильной нелинейности поля ветровых волн [Guza & Davis, 1974; Blondeaux & Vittori, 1995].

Актуальность темы диссертации

Настоящее исследование посвящено изучению нелинейных аспектов динамики краевых волн. Естественно, что в первую очередь важно понимание интенсивных волн, содержащих значительную энергию. В силу нелинейных эффектов их поведение может быть достаточно сложным. Исследование краевых волн большой амплитуды необходимо для разработки прогностических моделей аномальных волн, в частности для объяснения кратковременных затоплений прибрежной зоны (аналога волн-убийц), оценки перестройки прибрежного и донного рельефа, объяснения структуры и изменчивости вдольбереговых ie-

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА |

чений. Предложенная в работе гидродинамическая теория для описания нелинейной динамики краевых волн может применяться для изучения природных явлений и интерпретации результатов натурных и лабораторных экспериментов. Поэтому исследование краевых волн большой амплитуды представляется актуальным и практически значимым.

Цели диссертационной работы

Основной целью диссертации является изучение нелинейных эффектов в поле краевых волн в рамках длинноволновых моделей гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости. В частности, предполагается:

1. Изучить дисперсионные эффекты, приводящие к образованию аномально больших краевых волн, распространяющихся над цилиндрическим рельефом. Исследовать влияние частотной отсечки в дисперсионном соотношении для краевых волн высших мод на процесс дисперсионного сжатия.

2. Вычислить нелинейные поправки к дисперсионному соотношению для краевых волн старших мод над плоским откосом. Исследовать процессы появления краевых «волн-убийц» в результате действия эффектов дисперсионного сжатия и нелинейной самомодуляции в рамках нелинейного уравнения Шредингера.

3. Определить условия резонансного трехволнового взаимодействия и вычислить коэффициенты нелинейного взаимодействия краевых волн для различных профилей шельфов. Исследовать пространственно-временную динамику резонансных триад краевых волн и оценить характерные масштабы нелинейного взаимодействия краевых волн на реальных шельфах.

Научная новизна и основные положения, выносимые на защиту

Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами:

1. Показано, что дисперсионные эффекты могут приводить к возникновению кратковременных трехмерных импульсов большой амплитуды - «краевых волн-убийц». Этот процесс продемонстрирован для краевых волн над вогнутым экспоненциальным шельфом.

2. Вычислены нелинейные поправки для первых восемнадцати мод краевых волн Стокса в рамках теории возмущений. Показано, что в отличие от наинизшей моды волны старших мод имеют более несинусоидальную форму. Выведено нелинейное уравнение Шредингера для краевых волн Стокса высших мод. Показано, что волны любой моды являются модуляционно неустойчивыми. Коэффициент нелинейности спадает с увеличением номера моды, так что нелинейные эффекты при прочих равных условиях играют меньшую роль с увеличением номера моды.

3. Численно исследованы процессы появления краевых «волн-убийц» в результате дисперсионного сжатия и нелинейной самомодуляции. Показано, что дисперсионное сжатие может приводить к большим амплитудам необычных волн, однако, они более часто появляются за счет нелинейной самомодуляции. Выполнена оценка времени жизни краевых «волн-убийц» (10 мин), и

она находится в удовлетворительном согласии с длительностью наводнения (3 мин), произошедшего на Черном море в 2000 г.

4. Определена структура коэффициентов нелинейного трехволнового взаимодействия для произвольного профиля дна. Детальные вычисления даны для краевых волн, распространяющихся над откосом постоянного уклона, шельфом-ступенькой и вогнутым экспоненциальным откосом.

5. Подтверждено, что для некоторых из триад краевых волн, распространяющихся в попутном направлении над откосом постоянного уклона, коэффициенты взаимодействия оказываются равными нулю, однако этот вывод не распространяется на все попутные волны, как это можно было заключить из предыдущих работ. Коэффициенты резонансного трехволнового взаимодействия определяются степенными функциями частоты и угла наклона; для фиксированной частоты они возрастают с уменьшением угла наклона откоса.

6. Определены условия резонансного взаимодействия и вычислены коэффициенты нелинейного взаимодействия краевых волн для шельфа-ступеньки и вогнутого экспоненциального шельфа. Показано, что наиболее сильная нерегулярность поля появляется для шельфа - ступеньки, так как поле по существу не ослабляется на мелководной части шельфа.

Практическая значимость результатов работы

Полученные теоретические результаты, показывающие возможность образования аномально больших краевых волн, могут быть использованы для прогнозирования появления больших краевых волн в океане, которые интенсифицируют процессы перераспределения донных наносов и изменяют береговую линию, а также приводят к аномальным и кратковременным наводнениям локального характера, наблюдаемым в прибрежной зоне. Ряд исследованных здесь эффектов (нелинейная самомодуляция, дисперсионное сжатие) должен проявляться в механике сжимаемого газа в приложении к динамике атмосферы в силу общности математических моделей механики жидкости и газа.

Полученные результаты используются в российских и международных исследовательских проектах (РФФИ, ИНТАС, и др.), выполняемых с участием автора диссертации.

Апробация работы

ских обществ, Монреаль, Канада, 2004; Всесоюзной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки», Н Новгород. Россия. 2004. 2005: Международной научно-технической конференции «Молодые \че-ные - науке, технологиям и профессиональному образованию» (Москва, Россия, 2003). Результаты диссертации докладывались также на семинарах Института прикладной физики РАН, Института океанологии РАН и Нижегородского государственного технического университета.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 148 наименований. Общий объем диссертации составляет 153 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность работы, сформулированы ее цели, научная новизна и основные положения, выносимые на защиту, практическая значимость результатов работы, апробация, список публикаций по теме диссертации.

Глава 1 является в основном вводной, в ней приводится ряд известных сведений из теории линейных краевых волн, необходимый для последующего исследования нелинейных эффектов. Кроме того, здесь же приведены полученные оригинальные результаты по изучению нестационарных эффектов в поле линейных краевых волн, обусловленные дисперсионным характером этих волн. В § 1.1 записаны основные уравнения, применяемые для описания краевых волн в океане. Поскольку настоящее исследование посвящено изучению энергонесущих краевых волн, имеющих большую длину, использовано приближение мелкой воды, в рамках которого имеем уравнения вида

ди Эг) . — + = 0, д1 5 йс

Зг дх

ЭУ дп — + г—= 0, д1 * ду

ду

о.

(О

(2)

где г\(х, у, I) - смещение водной поверхности, и и V - вдольбереговая и поперечная компоненты горизонтальной скорости течения, g - ускорение свободного падения, 1г(у) - глубина бассейна, у - координата, перпендикулярная линии берега и направленная от него, их- вдольбереговая координата. При этом предполагается простейшая цилиндрическая геометрия дна океана, когда глубина зависит только от одной координаты (рис. 1). Большая часть океанических шельфов действительно имеет топографию дна, близкую к цилиндрической [Ефимов и

Рис. 1 Модель цилиндрического рельефа

др., 1985; Рабинович, 1993].

Различные модели аппроксимации рельефа дна и особенности краевых волн (дисперсионные соотношения, структура мод) для различных профилей глубины описываются в § 1.2. В § 1.3 приводятся некоторые данные наблюдений краевых волн и рассматриваются различные механизмы их генерации. Качественный анализ имеющихся записей краевых волн свидетельствует о важности дисперсионных и нелинейных эффектов для объяснения наблюдаемых данных. В § 1.4 приведены результаты по исследованию эффекта дисперсионного сжатия линейных краевых волн, распространяющихся над вогнутым экспоненциальным шельфом, которое приводит к появлению аномально большой волны вблизи побережья (явление «волн-убийц»). Механизм формирования аномальных волн в результате эффекта дисперсионного сжатия был предложен в работе [Пелиновский и Хариф, 2000] для ветровых волн, и в данной работе применен к полю краевых волн. На рис. 2 показан процесс формирования аномально высокой волны для нулевой моды краевых волн (расчеты выполнены с помощью интегрального представления волнового поля методом Фурье). Аномальная волна представляет собой высокий гребень с максимумом на урезе. На большом удалении от фокальной области волновое поле есть протяженный в пространстве относительно высокочастотный дисперсионный пакет с малой амплитудой. Его структура оказывается достаточно сложной (с искривляющимися фронтами и разной степенью проникновения вдаль от берега). Свойства волновых пакетов, приводящих к образованию аномально больших волн, были изучены методом стационарной фазы.

Процесс формирования аномальных волн был рассмотрен для волн высших мод. Показано, что для волн высших мод характерная длина волны в центре пакета не зависит от номера моды. Однако скорость распространения цуга зависит от номера моды и чем больше номер моды, тем быстрее она распространяется. Проведено исследование влияния частотной отсечки в дисперсионном соотношении для краевых волн высших мод на процесс дисперсионного сжатия. Показано, что частотная отсечка принципиально не влияет на эффект дисперсионной фокусировки, и «краевая волна - убийца» может быть достаточно большой. Не исключено, что такие аномальные краевые волны ответственны за кратковременное и локальное затопление пляжей при полном штиле,

Рис. 2 Процесс формирования аномально высокой волны для нулевой моды краевых волн

отмечаемое в литературе. Основные результаты, полученные в данной главе, изложены в § 1.5.

Глава 2 посвящена выводу нелинейных поправок к дисперсионному соотношению для краевых волн Стокса произвольной моды и изучению динамики краевых волн в прибрежной зоне океана в рамках полученного нелинейного уравнения Шредингера. Для получения аналитических результатов был использован профиль в виде бесконечного откоса под углом р. В этом случае нелинейные уравнения мелкой воды имеют вид [\Vhitham, 1976]

где Ф(.г, у, /) - потенциал скорости для компонент горизонтальной скорости течения. Граничными условиями для системы (3), (4) является ограниченность г| на берегу и убывание на бесконечности.

В § 2.1 определяется структура и дисперсионное соотношение с нелинейной поправкой в предположении о слабой нелинейности краевых волн Стокса. Следуя процедуре, описанной в работе [\Vhitham, 1976], решения ищутся в виде бегущих волн постоянной формы, представляя смещение г| и потенциал Ф функциями, зависящими от переменных 9 = /ас - П/ (фаза волны вдоль берега) и у (координата поперек береговой линии). Предполагая малость амплитуд полей смещения и потенциала, г) и Ф раскладываются в ряды по степеням малого параметра ко « 1, который имеет смысл нормированной крутизны волны:

Чтобы избежать появления секулярных членов в асимптотических разложениях, вводится нелинейная поправка в закон дисперсии в виде ряда по ка:

П2 =и>2„^ + ук2а1 + ...}. (7)

Нелинейные поправки были получены для первых 18 мод краевых волн. График ¡ависимости у от номера моды п вместе с подобранной регрессионной кривой представлен на рис. 3. С увеличением номера моды значение коэффициента нелинейной поправки в дисперсионном соотношении уменьшается приблизительно как 1/(2 + 8«). Показано, что в отличие от наинизшей моды волны старших мод имеют более несинусоидальную форму. На рис. 4 приведены профили нулевой моды краевой волны Стокса на урезе (у = 0) с нелинейными поправками для параметра. Формы волнового профиля, задаваемые T|i + кат\2 и r]i + кат\2 -г k2a2r\i, преобразуются от чисто синусоидальной формы (г||) к формам с более плоскими гребнями и острыми впадинами. Основной вклад дает поправка порядка ка. Поправка порядка /г2а2 незначительно увеличивает амплитуду гребня и впадины.

(3)

(4)

(5)

(6)

Ф = аяРш„-,{Ф|(е,у)+АаФ2(е,у)+/:2я2Фз(е,у)+...}.

А / \

- у' = 2+ 8п

\ / \

О 2 4 в 8 10 12 14 16 „18

в ~ 10 12

Рис. 3 Зависимость коэффициента у от номера молы и аппроксимирующая кривая

Рис. 4 Профили краевой волны Стокса первой моды на урезе (у = 0) с нелинейными поправками для ка = 0,14:-----т^,

--Л, + ка\)г,------"П, + Лат)2 + кга%

В § 2.2 получено нелинейное уравнение Шредингера для огибающей краевых волн различных мод

ш , 1

А, + — А, ' 2 к '

и2 „ ^уык2\А\2 А = 0. (8)

Соответствие знаков при дисперсионном и нелинейном слагаемых соответствует случаю самофокусирующего нелинейного уравнения Шредингера. Ранее этот вывод был сделан для нулевой моды [\№ЪМтат, 1976; УеЬ, 1985], и он остается справедливым для краевых волн высших мод. Нелинейные эффекты, приводящие к самомодуляции волнового поля и генерации аномально высоких волн, рассмотрены в § 2.3. Рис. 5 демонстрирует результаты численного моделирования эволюции слабо модулированной волны различной амплитуды .4,, в рамках нелинейного уравнения Шредингера (рисунки построены в безразмерных переменных).

а 6 в

Рис. 5 Эволюция слабомодулированного волнового поля а - для А0 = 0.0235, 0-дляЛо = 0.0306, в - для А0 = 0.0448

I т.! ..............

0Я751 г гя-

* т т * л

» 30 75 «0 125 ?50 175 ,

агв-

Рис. 6 Процесс фокусировки вол- Рис. 7 Эволюция волнового поля с на-

нового пакета с гауссовым профи- чальным условием в виде суперпозиции лем огибающей аномальной вол- физических волновых полей трех пер-ны (а0 = 0.07, й = 5) вых мод в размерных переменных

Видно образование одного или нескольких уединенных волновых пакетов в результате самомодуляции волн. Число возможных уединенных волновых групп и временные масштабы процесса определяются амплитудой начальной волны (при фиксированном масштабе возмущения): чем больше Ао, тем быстрее происходит образование «волны-убийцы», тем большее число уединенных интенсивных волновых групп может сформироваться. Дисперсионная фокусировка волновых пакетов в рамках нелинейного уравнение Шредингера изучается в § 2.4. Рис. б иллюстрирует процесс дисперсионной фокусировки с начальным условием в форме Гауссова импульса с амплитудой Оа = 0-07 и шириной <1=5. Рассмотренный процесс образования аномальной волны будет происходить с любой модой краевых волн. Однако в размерных переменных пространственно-временные масштабы процессов и их амплитудные характеристики будут индивидуальными для волн каждой мод. Результаты численного моделирования, приведенные на рис. 7, демонстрируют дисперсионную фокусировку в много-модовом поле нелинейных краевых волн. Здесь в качестве начального условия использована суперпозиция физических волновых полей трех первых мод в размерных переменных. Отличие от одномодового случая проявляется в том, что волновой пакет, представляющий суперпозицию трех волн разных мод, уже не описывается гауссовой огибающей, а имеет более сложную структуру и содержит отдельные пики на ее фоне. Характерное время образования волны-убийцы для условий расчетов составило примерно 80 мин, ее время жизни -10 мин, а длина - несколько метров. При этом характерный период краевых волн около 5 сек. Оценка времени жизни краевых «волн-убийц» (10 мин) находится в удовлетворительном согласии с длительностью наводнения (3 мин), произошедшего на Черном море в 2000 г. В § 2.5 перечислены основные результаты, полученные в данной главе.

Глава 3 посвящена анализу возможных нелинейных эффектов при взаимодействии триад краевых волн, удовлетворяющих условиям синхронизма. В § 3.1 выводятся коэффициенты нелинейных взаимодействий для краевых волн в бассейне с цилиндрическим рельефом. В случае произвольного профиля дна

коэффициенты для суммарных +Т и разностных _Г взаимодействий содержат модовые функции и дисперсионные соотношения краевых волн

где индексы /, т, п - номера мод, р, с/, г - номера волн, участвующих во взаимодействии. В § 3.2 рассмотрены трехволновые взаимодействия краевых волн, распространяющихся как в одном, так и в противоположном направлении над линейным склоном. Показано, что для положительных волновых чисел, в зависимости от соотношения между номерами мод в триаде возможен один или два пути энергетического обмена (рис. 8). Проведенные исследования подтвердили, что для некоторых триад краевых волн, распространяющихся в попутном направлении, коэффициенты взаимодействия оказываются равными нулю (см. рис. 9), однако этот вывод не распространяется на все попутные волны, как это можно было заключить из предыдущих работ (см., например, [КлгЬу е1 а1, 1998]). Коэффициенты резонансного трехволнового взаимодействия для линейного склона определяются степенными функциями частоты и угла наклона; для фиксированной частоты они возрастают с уменьшением угла наклона откоса.

Исследование пространственной и временной структуры резонансных триад показало, что даже в случае постоянных амплитуд (равновесные значения) наблюдается сложная интерференционная структура волнового поля. Согласно проведенным оценкам, пространственные масштабы проявления нелинейных эффектов оказываются сравнимыми с размерами реальных шельфов, поэтому нелинейное взаимодействие на реальных шельфах вполне эффективно и может являться механизмом перераспределения энергии в спектре краевых волн. В § 3.3 определены условия резонансного взаимодействия краевых волн для модели шельфа-ступеньки и вычислены коэффициенты нелинейного взаимодействия в триадах краевых волн распространяющихся в одну сторону. Соотношение между номерами мод в триаде определяет возможность от одного до трех путей энергетического обмена между волнами, причем резонансные условия выполняются только в определенных областях спектра. В отличие от шельфа постоянного уклона все коэффициенты взаимодействия оказываются отличны от нуля, а волновое поле содержит значительно больше вихрей, поскольку по существу отсутствует ослабление поля до скачка глубин. Проведенное сравнение частот и волновых чисел показало близость модели шельфа-ступеньки с

областями реальной топографии, что свидетельствует о возможности взаимодействия реальных краевых волн.

Рис. 9 Геометрическая интерпретация условий синхронизма триад краевых волн, распространяющихся над плоским откосом, принадлежащих четырем низшим модам с Н\ = 0. Значками показаны точки, удовлетворяющие условиям синхронизма; при этом кружками отмечены те, для которых коэффициенты взаимодействия обращаются в ноль, а треугольниками - те, где коэффициенты взаимодействия ненулевые

Рис. 8 Геометрическая интерпретация условий синхронизма триад краевых волн, распространяющихся в одну сторону над плоским откосом: треугольником показана единственная точка, определяющая взаимодействующую триаду с п | - 1, = 0, л3 = 1; в триаде с #|| = 1, «г = 1, «1 = 2 возможны две различных ветви энергетического обмена (звездочки)

В § 3.4 определены условия синхронизма и рассчитаны коэффициенты нелинейного взаимодействия для вогнутого экспоненциального шельфа. Основные результаты данной главы приведены в § 3.5.

В Заключении перечислены основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Пока юно, что дисперсионные эффекты могут приводить к возникновению кратковременных трехмерных импульсов большой амплитуды - краевых «волн-убийц». Этот процесс продемонстрирован для краевых волн над во-I нугым экспоненциальным шельфом.

2. Вычислены нелинейные поправки для первых восемнадцати мод краевых волн Стокса в рамках теории возмущений. Показано, что волны любой моды являются модуляционно неустойчивыми. Поскольку коэффициент нелинейное! и спадает с увеличением номера моды, роль нелинейных эффектов для волн одной и той же длины ослабевает.

3 Численно исследованы процессы появления краевых «волн-убийц» в резуль-кие совместною действия эффектов дисперсионного сжатия и нелинейной самомодуляции Показано, что дисперсионное сжатие может приводить к большим амплитудам необычных волн, однако, они более часто появляются (¡1 сим нелинейной самомодуляции. Выполнена оценка времени жизни крае-

вых «волн-убийц» (10 мин), и она находится в удовлетворительном согласии с длительностью наводнения (3 мин), произошедшего на Черном море в 2000 г.

4. Выведены коэффициенты нелинейного взаимодействия краевых волн для произвольного профиля дна, соответствующие интегральные выражения содержат модовые функции и дисперсионные соотношения краевых волн.

5. Подтверждено, что для некоторых триад краевых волн, распространяющихся в попутном направлении по линейному склону, коэффициенты взаимодействия оказываются равными нулю, однако этот вывод не распространяется на все попутные моды, и в общем случае попутные моды нелинейно взаимодействуют между собой.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пелниовский Е.Н. Гидродинамика волн цунами. - Н. Новгород: Институт прикладной физики РАН, 1996. 276 с.

2. Пелиновский Е., Хариф К. Дисперсионное сжатие волновых пакетов как механизм возникновения аномально высоких волн на поверхности океана // Известия АИН РФ. 2000. Т. 1. Р. 50 - 61.

3. Рабинович А.Б. Длинные гравитационные волны в океане: захват, резонанс, излучение. - СПб.: Гидрометеоиздат, 1993. 325 с.

4. Файн И.В., Шевченко Г.В., Куликов Е.А. Исследование лучевым методом захватывающих свойств Курильского шельфа // Океанология. 1983. Т. 23. № 1.С. 23-26.

5. Aagaard Т. Multiple-bar morphodynamics and its relation to low-frequency edge waves//J. Coastal Res. 2004. V. 7. P. 801 - 813.

6. Blondeaux P., Vittori G. The nonlinear excitation of synchronous edge waves by a monochromatic wave normally approaching a plane beach // J. Fluid Mech. 1995. V. 301. P. 251 -268.

7. Bowen A.J., Huntley D.A. Waves, long waves and nearshore morphology // Marine Geology. 1984. V. 60. № 1/4. P. 1 - 13.

8. Bryan K.P., Hows P.A., Bowen A.J. Field observations of bar-trapped edge waves // J. Geoph. Research. 1998. V. 103. P. 1285 - 1305.

9. Guza R.T., Davis R.E. Excitation of edge waves by waves incident on beach // J. Geophys. Res. 1974. V. 79. P. 1285 - 1291.

10-Huntley D.A., Bowen A.J. Field observation of edge waves // Nature. 1973. V. 243. №5403. P. 160- 162.

11.Huntley D.A., Guza R.T., Thornton E.B. Field observation of surf beat. 1. Progressive edge waves//J. Geophys. Res. 1981. V. 86.№C7. P. 6451 -6466.

12.1shii H., Abe К. Propagation of tsunami on a linear slope between two flat regions. I. Eigenwave//J. Phys. Earth. 1980. V. 28. P. 531 - 541.

13.Kirby J.T., Putrevu U., Ozkan-Haller H.T. Evolution equations for edge waves and shear waves on longshore uniform beaches // Proc. 26' Int. Conf. Coastal Engineering. 1998. P. 203 - 216.

14.Komar P. Beach Processes and Sedimentation. - N.J.: Prentice-Hall. 1998.

15MasseIink G. Alongshore variation in beach cusp morphology in a coastal em-bayment // Earth Surface Processes and Landforms. 1999. V. 24. P. 335 - 347.

!6.Tang Y.M., Grimshaw R. A modal analysis of coastally trapped waves generated by tropical cyclones // J. Phys. Oceanography. 1995. V.25. P. 1577 - 1598.

17.Whitham G.B. Nonlinear effects in edge waves // J. Fluid Mech. 1976. V. 74. P. 353-368.

18 Yeh H.H. Nonlinear progressive edge waves: their instability and evolution // J. Fluid Mech. 1985. V. 152. P. 479 - 499.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Дубинина В.А., Куркин А.А., Полухина О.Е. Фокусировка краевых волн на шельфе моря // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2003. Т. 39. № 6. С. 839 - 848.

2 Дубинина В.А., Куркин А.А., Пелиновский Е.Н., Полухина О.Е. Слабонелинейные периодические краевые волны Стокса // Известия РАН. Физика a i мосферы и океана. 2004. Т. 40. № 4. С. 525 - 530.

3 Дубинина В.А., Куркин А.А., Полухина О.Е. Нелинейная динамика краевых волн над линейно наклонным дном // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2005. Т. 41. № 2. С. 124 - 128.

4 Баиына Е.К., Дубинина В.А., Куркин А.А., Полухина О.Е. Нелинейные резонансные трехволновые взаимодействия краевых волн над вогнутым экспоненциальным шельфом // Известия Академии инженерных наук им. A.M. Прохорова. Прикладная математика и механика. 2005. Т.13. С. 86 -99.

5 Дубинина В.А., Куркин А.А., Пелиновский Е.Н., Полухина О.Е. Резонансные трехволновые взаимодействия краевых волн Стокса // Известия РАМ Физика атмосферы и океана. 2006. Т. 42. (в печати).

ft. Дубинина В.А., Куркин А.А., Полухина О.Е. О нелинейных взаимодействиях в фиадах краевых волн на шельфе моря // Океанология. 2006. Т. 46. (в печати)

7 Duhinina V.A., Kurkin А.А., Poloukhina О.Е. Nonlinear properties of long edge waves abovea cylindrical shelf // Proceedings of Sixth (2004) ISOPE Pacific/Asia Offshore Mechanics Symposium. Vladivostok. Russia. 2004. P. 157 — 162

8. IVIinovskv E„ Lechuga A., Poloukhina O., Kurkin A., Dubinina V. Freak edge waves // Proceedings of Int. Conf. "Waves-2005". 2005. P. 1 - 9.

9 Дубинина B.A., Куркин A.A., Полухина О.Е. Захваченные волны над наклонной прибрежной отмелью при наличии вращения U Сборник тезисов

докладов 13 зимней школы по механике сплошных сред. Екатеринбург: УрО РАН. 2003. С. 141.

lO.Poloukhina О., Kurkin A., Dubinina V. Focusing of large-amplitude edge and Rossby waves // Geophysical Research Abstracts. 2003. V. 5. P. 1504.

11 Dubinina V., Kurkin A., Poloukhina O. Coastal trapped waves in a rotating ocean // XXXI Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics". Book of Abstracts. St. Petersburg. Russia. 2003. P. 37 - 38.

12.Dubinina V., Kurkin A., Poloukhina O. Anomalous high trapped waves above a concave exponential beach // International Conference on Fluxes and Structures in Fluids. Abstracts. St. Petersburg. 2003. P. 46 - 48.

13 Dubinina V.A., Kurkin A.A., Poloukhina O.E. Weakly nonlinear periodic Stokes edge waves // Proceedings of International Symposium "Topical Problems of Nonlinear Wave Physics". Nizhny Novgorod. Russia. 2003. P. 331 - 332.

H.Дубинина B.A., Куркин A.A., Полухина O.E. Краевые волны над шельфом: нелинейная теория // В сб. Молодые ученые - 2003 / Материалы международной научно-технической конференции "Молодые ученые - науке, технологиям и профессиональному образованию". 1 - 4 октября 2003 г., г. Москва. - М.: МИРЭА, 2003. С. 225 - 227.

15. Poloukhina О., Pelinovsky Е., Kurkin A., Dubinina V. Nonlinear instability of edge waves // Geophysical Research Abstracts. 2004. V. 6. P. 634.

16.Poloukhina O., Kurkin A., Dubinina V. Extreme Edge Waves Above a Cylindrical Shelf// Eos. Trans. AGU. 85 (17). Joint Assembly Suppl. Abstract OS33B-06. 2004.

17.Pelinovsky E.N., Poloukhina О. E., Kurkin A.A., Dubinina V.A. Nonlinear Dynamics of Stokes Edge Waves // Eos. Trans. AGU. 84 (52). Ocean Sci. Meet. Suppl. Abstract OS21F-02. 2004.

18.Бацына E.K., Дубинина B.A., Куркин A.A., Полухина O.E. Нелинейные взаимодействия краевых волн над вогнутым экспоненциальным шельфом // Сборник тезисов докладов 14 зимней школы по механике сплошных сред. Екатеринбург: УрО РАН, 2005. С. 28.

19. Poloukhina О., Pelinovsky Е., Kurkin A., Dubinina V. Nonlinear interactions of edge waves above a uniform beach // Geophysical Research Abstracts. 2005. V. 7. P. 192.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение

Глава 1. Дисперсионные свойства краевых волн

I.1 Основные уравнения

1.2 Структура и дисперсионное соотношение краевых волн в океане переменной глубины

1.2.1 Бесконечный откос

1.2.2 Шельф-ступеныса

1.2.3 Вогнутый экспоненциальный шельф

1.3 Наблюдения краевых волн

¡«20 56 1

1.4 Дисперсионные эффекты и формирование аномальных краевых волн над вогнутым экспоненциальным шельфом

1.5 Выводы

Глава 2. Слабонелинейные периодические краевые волны

2.1 Нелинейные краевые волны Стокса с различной модальной структурой

2.2 Нелинейное уравнение Шредингера для огибающей краевых волн Стокса с различной модальной структурой

2.3 Модуляционная неустойчивость краевых волн Стокса

2.4 Нелинейно-дисперсионная фокусировка краевых волн

2.5 Выводы

Глава 3. Нелинейные резонансные трехволновые взаимодействия краевых

волн

3.1 Вывод коэффициентов нелинейных трехволновых взаимодействий краевых волн

3.2 Трехволновые взаимодействия краевых волн над откосом постоянного уклона

3.3 Трехволновые взаимодействия краевых волн над шельфом-ступенькой

3.4 Трехволновые взаимодействия краевых волн над вогнутым экспоненциальным шельфом

3.5 Выводы

Валентина Александр

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ КРАЕВЫХ ВОЛН В ОКЕАНЕ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛУБИНЫ

Заключение Список литературы

РНБ Русский фонд

22070

Автореферат

Подписано в печать 21.09.2005. Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная № 1. Усл. печ. л. I. Гираж 150 экз. Заказ 1276

I ииография ННГ"У, Н. Новгород, ул. Б. Покровская. 37

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Дубинина, Валентина Александровна

Введение.

Глава 1. Дисперсионные свойства краевых волн.

1.1 Основные уравнения.

1.2 Структура и дисперсионное соотношение краевых волн в океане переменной глубины.

1.2.1 Бесконечный откос.

1.2.2 Шельф-ступенька.

1.2.3 Вогнутый экспоненциальный шельф

1.3 Наблюдения краевых волн

1.4 Дисперсионные эффекты и формирование аномальных краевых волн над вогнутым экспоненциальным шельфом

1.5 Выводы.

Глава 2. Слабонелинейные периодические краевые волны

2.1 Нелинейные краевые волны Стокса с различной модальной структурой

2.2 Нелинейное уравнение Шредингера для огибающей краевых волн Стокса с различной модальной структурой.

2.3 Модуляционная неустойчивость краевых волн Стокса.

2.4 Нелинейно дисперсионная фокусировка краевых волн.

2.5 Выводы.

Глава 3. Нелинейные резонансные трехволновые взаимодействия краевых волн.

3.1 Вывод коэффициентов нелинейных трехволновых взаимодействий краевых

3.2 Трехволновые взаимодействия краевых волн над откосом постоянного уклона

3.3 Трехволновые взаимодействия краевых волн над шельфом-ступенькой

3.4 Трехволновые взаимодействия краевых волн над вогнутым экспоненциальным шельфом.

3.5 Выводы.

Введение диссертация по механике, на тему "Нелинейные эффекты при распространении краевых волн в океане переменной глубины"

Одним из видов захваченных волн являются краевые волны. Краевыми волнами называются относительно высокочастотные волны, которые распространяются вдоль берега, и фактически не чувствуют вращения Земли. Они достигают максимальной амплитуды на границе с сушей, быстро спадая с удалением от берега. Вся энергия этих волн сосредоточена в узкой прибрежной зоне и фактически не может передаваться в открытый океан, так что происходит своеобразный "захват" волновой энергии. Захват краевых волн определяется в основном эффектом изменения глубины бассейна. Краевые волны, даже в длинноволновом пределе, обладают сильной дисперсией, обусловленной изменением рельефа в направлении, перпендикулярном движению волны.

В настоящее время имеется множество фактов, подтверждающих существование краевых волн в волновом поле прибрежной зоны океана (см., например, [Huntley & Bo-wen, 1973; Huntley et al, 1981; Bowen & Huntley, 1984; Bryan et al, 1998]). Краевые волны играют определяющую роль во многих процессах береговой динамики, таких как перенос осадочного материала, формирование структуры береговой линии и прибрежного рельефа, прибойные биения [Bowen, 1969; Bowen & Inman, 1969; Bowen & Inman, 1971; Gallagher, 1971; Huntley & Bowen, 1978; Huntley, 1980; Bauer & Greenwood, 1990; Ле Блон и Майсек, 1981; Holman & Bowen, 1982; Bowen & Huntley, 1984; Holman & Bowen, 1984; Рабинович, 1993; Masselink, 1999; Aagaard, 2004] и часто рассматриваются как onределяющий фактор эволюции береговой линии при формировании ритмических форм рельефа, таких как серповидные бары и фестоны (см., например, [Dolan & Ferm, 1968; Guza & lnman, 1975; Holman & Bowen, 1982; Masselink et al, 2004]). В книге [Komar, 1998] приведены несколько превосходных изображений структуры прибрежной линии, вызванной краевыми волнами (одно из них приведено на рис. 0.1). Лабораторные эксперименты и грубые оценки характерных масштабов находятся в хорошем соответствии с реальным наблюдением прибрежных особенностей морфологии. Краевые волны, движущиеся вдоль побережья, могут в прилегающих заливах и бухтах вызывать собственные колебания с той же частотой [Lemon, 1975; Tintore et al, 1988; Monserrat et al, 1991a; Monserrat et al, 1991b; Gomis et al, 1992]. Взаимодействие краевых волн с волнами зыби и прибоем приводит к образованию разрывных течений [Rowen, 1969; Bowen & lnman, 1969]. Существованием длинных краевых волн объясняется неравномерный характер распределения высот волн цунами вдоль береговой линии [Ishii & Abe, 1980; Пелинов-ский, 1996]. В целом до 70% энергии волн цунами переносится вдоль Курильских островов в виде краевых волн [Файн и др., 1983]. Крупномасштабные краевые волны являются важной компонентой движений воды, производимых циклонами, движущимися вдоль береговой линии [Tang & Grimshaw, 1995]. Коротко-масштабные краевые волны обычно генерируются набегающими ветровыми волнами вследствие сильной нелинейности поля ветровых волн [Guza & Davis, 1974; Foda & Mei, 1981; Agnon & Mei, 1988; Miles, 1990; Blondeaux & Vittori, 1995].

Рис. 0.1 Береговые формы, которые образуются под воздействием краевых волн

Теоретическое исследование краевых волн в океане проводится с использованием методов механики жидкости. Линейная теория краевых волн разработана к настоящему времени достаточно хорошо. Впервые аналитические решения линейных уравнений Эйлера над прямым наклонным дном были получены Стоксом в 1846 г. [Stokes, 1846] и соответствующее решение получило название краевой волны Стокса. Классическая краевая волна Стокса может распространяться в обоих направлениях вдоль побережья и экспоненциально затухает в сторону открытого океана. Примерно столетием позже Эккарт [Eckart, 1951] показал в рамках теории длинных волн, что краевая волна Стокса является одной из волн среди бесконечного множества мод, энергия которых захватывается берегом. Краевые волны имеют характер прогрессивных колебаний в направлении вдоль шельфа и стоячих - поперек него. С увеличением частоты их фазовая скорость уменьшается. Урселл [Ursell, 1952] развил точную теорию краевых волн, не обращаясь к длинноволновой аппроксимации; в частности, он показал, что существует конечное множество мод краевых волн, и это число увеличивается с уменьшением наклона дна. В дальнейшем теория краевых волн для различных профилей глубины была развита в работах [Ball, 1967; Munk et al, 1970; Buchwald & de Szoeke, 1973] и др. Фактически в этих работах используется приближение длинных волн, когда для монохроматической волны исходные уравнения идеальной несжимаемой и нестратифицированной жидкости сводятся к задаче Штурма-Лиувилля, решение которой определяют структуру и дисперсионное соотношение краевых волн для различных форм потенциала, определяемого профилем дна. В книгах [Ефимов и др., 1985; Ле Блон и Майсек, 1981; Рабинович, 1993] изучаются общие свойства решений данной задачи Штурма-Лиувилля и приводятся различные аналитические и численные решения, дающие представление о структуре краевых волн над неровным дном при различных условиях и кинематических свойствах этих волн, связанных с их дисперсионными соотношениями. Краевые волны в более полной постановке, учитывающей вращение Земли и стратификацию жидкости по плотности, исследовались в [Одуло, 1974; Музылев и Одуло, 1980]. Следует отметить, что большинство теоретических работ, посвященных изучению краевых волн, рассматривают бассейны с цилиндрической геометрией дна, т.е. случай, когда глубина жидкости является только функцией поперечной к берегу координаты. Реальная же ситуация более сложная, так как нужно учитывать двумерную изменчивость глубины жидкости, и этому посвящено только несколько работ. Например, в работе [Stoker & Johnson, 1991] изучается захват и рассеяние топографических волн устьями рек и мысами, а в работе [Baquerizo et al, 2002] были рассмотрены рассеяние краевых волн проницаемыми прибрежными структурами, которые расположены перпендикулярно к береговой линии. Кроме того, в работах [Chen & Guza, 1998; Chen & Guza, 1999] изучено резонансное рассеяние прогрессивных краевых волн вдольбереговой периодической топографией. Недавно, в работе [Kurkin & Pelinovsky, 2003] краевые волны в жидкости с двумерной топографией, когда глубина медленно изменяется во вдольбереговом направлении, были изучены для различных форм подводного рельефа. Следует также отметить работу [Liu et al, 1998] по эволюции начального импульсного возмущения, показывающего формирование отдельных диспергирующих цугов и слабодисперсионную модель краевых волн, развитую в [Sheremet & Guza, 1999].

Нелинейные аспекты теории краевых волн даже для простой геометрии бассейна изучены еще недостаточно и все имеющиеся аналитические результаты получены для случая откоса постоянного уклона. Впервые нелинейная теория краевых волн была развита в работе [Whitham, 1976], в которой было получено нелинейное дисперсионное соотношение для низшей моды. Позднее в работе [Akylas, 1983] было выведено уравнение Шредингера, описывающее динамику модуляционной неустойчивости краевых волн Стокса низшей моды. Свойства нелинейных краевых волн теоретически и экспериментально изучались в работе [Yeh, 1985] в рамках нелинейного уравнения Шредингера. Недавно были получены некоторые точные решения полных нелинейных уравнений гидродинамики, описывающие волны в невращающемся океане над шельфом с постоянным уклоном [Constantin, 2001]. Однако исследование нелинейных свойств краевых волн высших мод до настоящего времени проведено не было. В настоящей диссертации получено нелинейное дисперсионное соотношение для краевых волн старших мод, распространяющихся над плоским откосом, а также показана возможность образования краевых волн большой амплитуды в результате совместного действия эффектов модуляционной неустойчивости и дисперсионного сжатия.

При учете нелинейных членов в уравнениях движения происходит перераспределение энергии в спектре волны, что в случае резонансного взаимодействия может привести к достаточно сильному росту отдельных мод и рассматриваться как дополнительный механизм усиления краевых волн в дальней зоне. Резонансные нелинейные взаимодействия краевых волн в рамках теории слабо нелинейных волновых взаимодействий рассматривались в работах [Кочергин и Пелиновский, 1989; Kirby et al, 1995], где было показано существование резонансных триад для линейного откоса и вычислены коэффициенты взаимодействия для некоторых конкретных триад. Причем, коэффициенты, вычисленные в работе [Kirby et al, 1995] для краевых волн, распространяющиеся в одном направлении, оказались равными нулю. Поэтому возможные нелинейные эффекты при взаимодействии триад краевых волн оставались до конца неясными. В работах [Кочер-гин, 1989; Galletta & Vittori, 2004] анализировались условия резонансного взаимодействия для профилей глубины сложной формы, однако коэффициенты нелинейного взаимодействия не вычислялись. Следует отметить, что теория слабо нелинейных волновых взаимодействий ранее применялась в работах [Guza & Davis, 1974; Fuller & Mysak, 1977; Воляк и др., 1986] для рассмотрения механизма генерации краевых волн, при котором в отвечающей условиям синхронизма взаимодействующей триаде происходил обмен энергией между краевыми и приходящими из глубокой воды волнами.

Актуальность работы

Настоящее исследование посвящено изучению нелинейных аспектов динамики краевых волн. Естественно, что в первую очередь важно понимание интенсивных волн, содержащих значительную энергию. В связи с этим огромный интерес представляют краевые волны большой амплитуды, которые являются неотъемлемой частью волнового режима прибрежной зоны. В силу нелинейных эффектов их поведение может быть достаточно сложным.

Исследование краевых волн большой амплитуды необходимо для разработки прогностических моделей аномальных волн, в частности для объяснения кратковременных затоплений прибрежной зоны (аналога волн-убийц), оценки перестройки прибрежного и донного рельефа, объяснения структуры и изменчивости вдольбереговых течений. Предложенная в работе гидродинамическая теория для описания нелинейной динамики краевых волн может применяться для изучения природных явлений и интерпретации результатов натурных и лабораторных экспериментов. Поэтому исследование краевых волн большой амплитуды представляется актуальным и практически значимым.

Цели диссертации

2. Вычислить нелинейные поправки к дисперсионному соотношению для краевых волн старших мод над плоским откосом. Исследовать процессы появления краевых "волнубийц" в результате действия эффектов дисперсионного сжатия и нелинейной самомодуляции в рамках нелинейного уравнения Шредингера.

Научная новизна и основные положения, выносимые на защиту

Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами:

5. Подтверждено, что для некоторых из триад краевых волн, распространяющихся в попутном направлении над откосом постоянного уклона, коэффициенты взаимодействия оказываются равными нулю, однако этот вывод не распространяется на все по8 путные волны, как это можно было заключить из предыдущих работ. Коэффициенты резонансного трехволнового взаимодействия определяются степенными функциями частоты и угла наклона; для фиксированной частоты они возрастают с уменьшением угла наклона откоса.

Практическая значимость результатов работы

Полученные теоретические результаты, показывающие возможность образования аномально больших краевых волн, могут быть использованы для прогнозирования появления больших краевых волн в океане, которые могут интенсифицировать процессы перераспределения донных наносов и изменения береговой линии, а также приводить к аномальным и кратковременным наводнениям локального характера, наблюдаемым в прибрежной зоне. Ряд исследованных здесь эффектов (нелинейная самомодуляция, дисперсионное сжатие) должен проявляться в механике сжимаемого газа в приложении к динамике атмосферы в силу общности математических моделей механики жидкости и газа.

Апробация работы

Основные результаты диссертации представлялись на следующих международных конференциях: XXXI - XXXIII Международных летних школах «Современные проблемы механики» (Санкт Петербург, Россия, 2003 - 2005); XIII и XIV зимних школах по механике сплошных сред (Екатеринбург, Россия, 2003, 2005); Международной конференции «Потоки и структуры в жидкости» (Санкт Петербург, Россия, 2003); Шестом международном симпозиуме по прибрежной механике, Владивосток, Россия, 2004; Генеральные Ассамблеи Европейского геофизического общества (Ницца, Франция, 2003, 2004; Вена, Австрия, 2005); Международном симпозиуме «Актуальные проблемы физики нелинейных волн», Н. Новгород, Россия, 2003; Совместной ассамблеи геофизических обществ, Монреаль, Канада, 2004; Всесоюзной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки», Н. Новгород, Россия, 2004, 2005; Международной научно-технической конференции «Молодые ученые - науке, технологиям и профессиональному образованию» (Москва, Россия, 2003). Результаты диссертации докладывались также на семинарах Института прикладной физики РАН и Нижегородского государственного технического университета.

Диссертант является лауреатом стипендии Правительства РФ (2004, 2005), стипендии им. академика Г.А. Разуваева (2004) и победителем конкурса грантов Министерства образования для аспирантов (№ А04 - 2.13 - 388) 2004 г.

Список публикаций

Основные положения диссертации представлены в статьях:

2. Дубинина В.А., Куркин А.А., Пелиновский Е.Н., Полухина О.Е. Слабонелинейные периодические краевые волны Стокса // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2004. Т. 40. № 4. С. 525 - 530.

3. Дубинина В.А., Куркин А.А., Полухина О.Е. Нелинейная динамика краевых волн над линейно наклонным дном // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2005. Т. 41. №2. С. 124- 128.

4. Бацына Е.К., Дубинина В.А., Куркин А.А., Полухина О.Е. Нелинейные резонансные трехволновые взаимодействия краевых волн над вогнутым экспоненциальным шельфом // Известия Академии инженерных наук им. A.M. Прохорова. Прикладная математика и механика. 2005. Т.13. С. 86 - 99.

5. Дубинина В.А., Куркин А.А., Пелиновский Е.Н., Полухина О.Е. Резонансные трехволновые взаимодействия краевых волн Стокса // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2006. Т. 42. (в печати).

6. Дубинина В.А., Куркин А.А., Полухина О.Е. О нелинейных взаимодействиях в триадах краевых волн на шельфе моря // Океанология. 2006. Т. 46. (в печати) трудах конференций:

7. Dubinina V.A., Kurkin А.А., Poloukhina О.Е. Nonlinear properties of long edge waves abovea cylindrical shelf // Proceedings of Sixth (2004) ISOPE Pacific/Asia Offshore Mechanics Symposium. Vladivostok. Russia. 2004. P. 157 - 162.

8. Pelinovsky E., Lechuga A., Poloukhina O., Kurkin A., Dubinina V. Freak edge waves // Proceedings of Int. Conf. "Waves-2005". 2005. P. 1 - 9. а также в тезисах конференций:

9. Дубинина В.А., Куркин А.А., Полухина О.Е. Захваченные волны над наклонной прибрежной отмелью при наличии вращения // Сборник тезисов докладов 13 зимней школы по механике сплошных сред. Екатеринбург: УрО РАН. 2003. С. 141.

10. Poloukhina О., Kurkin A., Dubinina V. Focusing of large-amplitude edge and Rossby waves // Geophysical Research Abstracts. 2003. V. 5. P. 1504.

11. Dubinina V., Kurkin A., Poloukhina O. Coastal trapped waves in a rotating ocean // XXXI Summer School - Conference "Advanced Problems in Mechanics". Book of Abstracts. St. Petersburg. Russia. 2003. P. 37 - 38.

12. Dubinina V., Kurkin A., Poloukhina O. Anomalous high trapped waves above a concave exponential beach // International Conference on Fluxes and Structures in Fluids. Abstracts. St. Petersburg. 2003. P. 46 - 48.

13. Dubinina V.A., Kurkin A.A., Poloukhina O.E. Weakly nonlinear periodic Stokes edge waves // Proceedings of International Symposium "Topical Problems of Nonlinear Wave Physics". Nizhny Novgorod. Russia. 2003. P. 331 - 332.

14. Дубинина B.A., Куркин A.A., Полухина O.E. Краевые волны над шельфом: нелинейная теория // В сб. Молодые ученые - 2003 / Материалы международной научно-технической конференции "Молодые ученые - науке, технологиям и профессиональному образованию". 1 - 4 октября 2003 г., г. Москва. - М.: МИРЭА, 2003. С. 225 -227.

15. Poloukhina О., Pelinovsky Е., Kurkin A., Dubinina V. Nonlinear instability of edge waves // Geophysical Research Abstracts. 2004. V. 6. P. 634.

16. Poloukhina O., Kurkin A., Dubinina V. Extreme Edge Waves Above a Cylindrical Shelf // Eos. Trans. AGU, 85 (17), Joint Assembly Suppl., Abstract OS33B-06, 2004.

17. Pelinovsky E.N., Poloukhina О. E., Kurkin A.A., Dubinina V.A. Nonlinear Dynamics of Stokes Edge Waves // Eos. Trans. AGU, 84 (52), Ocean Sci. Meet. Suppl., Abstract OS21F-02, 2004.

18. Бацына E.K., Дубинина B.A., Куркин A.A., Полухина О.Е. Нелинейные взаимодействия краевых волн над вогнутым экспоненциальным шельфом // Сборник тезисов докладов 14 зимней школы по механике сплошных сред. Екатеринбург: УрО РАН, 2005. С. 28.

19. Poloukhina О., Pelinovsky Е., Kurkin A., Dubinina V. Nonlinear interactions of edge waves above a uniform beach // Geophysical Research Abstracts. 2005, V. 7. P. 192.

Личный вклад автора

В совместных работах научному руководителю доц. Куркину А.А. и проф. Пели-новскому Е.Н. принадлежат постановка задачи и обсуждение результатов, доц. Полухиной О.Е. - выбор методов исследования. Во всех работах автору принадлежит выполнение большинства аналитических и численных расчетов, а также непосредственное участие в обсуждении и интерпретации полученных результатов. В вычислениях, описанных в статье [4], принимала участие студ. Бацына Е.К.

Автор выражает благодарность научному руководителю доценту Куркину А.А., профессору, лауреату Государственной премии России Пелиновскому Е.Н. и доценту Полухиной О.Е. за их большую помощь и безграничное терпение, проявленные ими при обсуждении настоящей диссертации.

Также автор благодарит коллектив кафедры «Прикладная математика» Нижегородского государственного технического университета, проф. Петрухина Н.С., проф. Митякова С.Н., проф. Потапова А.И., Листопада Е.Ф. за создание благожелательной, творческой атмосферы на кафедре, позволившей автору закончить диссертацию.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

3.5 Выводы

Суммируем результаты исследований нелинейного взаимодействия краевых волн, полученные в этой главе:

1. Выведены коэффициенты нелинейного взаимодействия краевых волн для произвольного профиля дна, соответствующие интегральные выражения содержат модовые функции и дисперсионные соотношения краевых волн.

2. Подтверждено, что для некоторых триад краевых волн Стокса, распространяющихся в попутном направлении по линейному склону, коэффициенты взаимодействия оказываются равными нулю, однако этот вывод не распространяется на все попутные моды, и в общем случае попутные моды нелинейно взаимодействуют между собой. Коэффициенты резонансного трехволнового взаимодействия краевых волн определяются степенными функциями частоты и угла наклона; для фиксированной частоты они возрастают с уменьшением угла наклона откоса.

3. Определены условия резонансного взаимодействия и вычислены коэффициенты нелинейного межмодового взаимодействия для нескольких низших мод краевых волн для шельфа-ступеньки и вогнутого экспоненциального шельфа.

4. Исследована пространственная и временная структура резонансной триады; даже в случае постоянных амплитуд (равновесные значения) выявлена сложная интерференционная структура волнового поля для трех моделей шельфов. Показано, что наиболее сильная нерегулярность поля появляется для шельфа - ступеньки, так как поле по существу не ослабляется на мелководной части шельфа.

5. Выполнены оценки проявления нелинейных эффектов в поле реальных краевых волн, в частности для условий Курильских островов. Рассчитанные характерные времена и расстояния нелинейного взаимодействия позволяют сделать вывод о возможности выполнения условий синхронизма и нелинейного взаимодействия реальных краевых волн в прибрежной зоне океана.

Заключение

Сформулируем основные результаты, выносимые на защиту:

1. Показано, что дисперсионные эффекты могут приводить к возникновению кратковременных трехмерных импульсов большой амплитуды - "краевых волн-убийц". Этот процесс продемонстрирован для краевых волн над вогнутым экспоненциальным шельфом.

2. Вычислены нелинейные поправки для первых восемнадцати мод краевых волн Стокса в рамках теории возмущений. Показано, что волны любой моды являются модуляционно неустойчивыми. Поскольку коэффициент нелинейности спадает с увеличением номера моды, роль нелинейных эффектов для волн одной и той же длины ослабевает.

3. Численно исследованы процессы появления краевых "волн-убийц" в результате совместного действия эффектов дисперсионного сжатия и нелинейной самомодуляции. Показано, что дисперсионное сжатие может приводить к большим амплитудам необычных волн, однако, они более часто появляются за счет нелинейной самомодуляции. Выполнена оценка времени жизни краевых «волн-убийц» (10 мин), и она находится в удовлетворительном согласии с длительностью наводнения (3 мин), произошедшего на Черном море в 2000 г.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Дубинина, Валентина Александровна, Нижний Новгород

1. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. М.: Наука, 1979. 832 с.

2. Абузяров З.К. Морское волнение и его прогнозирование. Л.: Гидрометеоиздат, 1981. 166 с.

3. Бацына Е.К., Дубинина В.А., Куркин А.А., Полухина О.Е. Нелинейные взаимодействия краевых волн над вогнутым экспоненциальным шельфом // Сборник тезисов докладов 14 зимней школы по механике сплошных сред. Екатеринбург: УрО РАН. 20056. С. 28.

4. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория волн. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. 384 с.

5. Вольцингер Н.Е., Клеванный К.А., Пелиновский Е.Н. Длинноволновая динамика прибрежной зоны. Л.: Гидрометеоиздат, 1989.

6. Воляк К.И., Ляхов Г.А., Шуган И.В. Параметрическая генерация краевых волн // Дистанционное зондирование океана. М.: Наука, 1986. С. 114 118.

7. Глуховский Б.Х. Исследования морского волнения. JL: Гидрометеоиздат, 1966. 284 с.

8. Давидан И.Н., Лопатухин Л.И., Рожков В.А. Ветровое волнение в Мировом океане. Л.: Гидрометеоиздат, 1985. 256 с.

9. Дубинина В.А., Куркин А.А., Пелиновский Е.Н., Полухина О.Е. Слабонелинейные периодические краевые волны Стокса // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2004. Т. 40. № 4. С. 525 530.

10. П.Дубинина В.А., Куркин А.А., Пелиновский Е.Н., Полухина О.Е. Резонансные трехволновые взаимодействия краевых волн Стокса // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2006. Т. 42. (в печати).

11. Дубинина В.А., Куркин А.А., Полухина О.Е. Фокусировка краевых волн на шельфе моря // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2003а. Т. 39. № 6. С. 839 848.

12. Дубинина В.А., Куркин А.А., Полухина О.Е. Захваченные волны над наклонной прибрежной отмелью при наличии вращения // Сборник тезисов докладов 13 зимней школы по механике сплошных сред. Екатеринбург: УрО РАН, 20036. С. 141.

13. Дубинина В.А., Куркин А.А., Полухина О.Е. Нелинейная динамика краевых волн над линейно наклонным дном // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2005. Т. 41. №2. С. 124- 128.

14. Дубинина В.А., Куркин А.А., Полухина О.Е. О нелинейных взаимодействиях в триадах краевых волн на шельфе моря // Океанология. 2006. Т. 46. (в печати)

15. Ефимов В.В., Куликов Е.А., Рабинович А.Б., Файн И.В. Волны в пограничных областях океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1985. 280 с.

16. Захаров В.Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости // ПМТФ. 1968. № 2. С. 86 94.

17. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитов. Метод обратной задачи рассеяния. М.: Наука, 1980. 319 с.

18. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах // ЖЭТФ. 1971. Т. 61. С. 118 134.

19. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М: Наука, 1976. 576 с.

20. Кочергин И.Е., Пелиновский Е.Н. Нелинейное взаимодействие триады краевых волн // Океанология. 1989. Т. 29. № 6. С. 899 903.

21. Кузнецов Е.А. О солитонах в параметрически неустойчивой плазме // ДАН СССР. 1977. Т. 236. С. 575 577.

22. Куркин А.А., Пелиновский Е.Н. Волны-убийцы: факты, теория и моделирование. -Н. Новгород: НГТУ, 2004. 158 с.

23. Лавренов И.В. Математическое моделирование ветрового волнения в пространственно неоднородном океане. - СПб.: Гидрометеоиздат, 1998. 500 с.

24. Ламб Г. Гидродинамика / Пер. с англ. Л.: ГИТТЛ, 1947. 928 с.

25. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане. -М.: Мир, 1981. Ч. 1. 480 с.

26. Музылев С.В., Одуло А.Б. Волны во вращающейся стратифицированной жидкости у наклонного берега // Доклады АН СССР. 1980. Т. 250. С. 331 335.

27. Никонов А.А. Черномор выходит на берег // Знание-сила. 2001. № 9. С. 78 84.

28. Никонов А.А. Слабые цунами в Керченско-Таманской области во второй половине XX века // Фундаментальные и прикладные проблемы мониторинга и прогноза стихийных бедствий: Материалы 4-го Севастопольского международного семинара. Севастополь. 2001. С.33 37.

29. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989.

30. Одуло А.Б. Краевые волны во вращающейся стратифицированной жидкости у наклонного берега//Известия АН СССР. ФАО. 1974. Т. 10. №3. С. 310-312.

31. Островский Л.А., Потапов А.И. Введение в теорию модулированных волн. М.: Физматлит, 2003. 400 с.

32. Пелиновский Е.Н. Нелинейная динамика волн цунами. Горький: ИПФ АН СССР, 1982.

33. Пелиновский Е.Н. Гидродинамика волн цунами. Н. Новгород: Институт прикладной физики РАН, 1996. 276 с.

34. Пелиновский Е.Н., Фридман В.Е., Энгельбрехт Ю.К. Нелинейные эволюционные уравнения. Таллин: Валгус, 1984. 154 с.

35. Пелиновский Е., Хариф К. Дисперсионное сжатие волновых пакетов как механизм возникновения аномально высоких волн на поверхности океана // Известия АИН РФ. 2000. Т. 1.Р. 50-61.

36. Рабинович А.Б. Длинные гравитационные волны в океане: захват, резонанс, излучение. СПб.: Гидрометеоиздат, 1993. 325 с.

37. Таланов В.И. О самофокусирующихся волновых пучках в нелинейной среде // Письма в ЖЭТФ. 1965. Т. 2. № 5. С. 218 222.

38. Уизем Д.Б. Линейные и нелинейные волны. М: Мир, 1977.

39. Файн И.В., Шевченко Г.В., Куликов Е.А. Исследование лучевым методом захватывающих свойств Курильского шельфа // Океанология. 1983. Т. 23. № 1. С. 23 26.

40. Aagaard Т. Multiple-bar morphodynamics and its relation to low-frequency edge waves //J. Coastal Res. 2004. V. 7. P. 801 813.

41. Ablowitz M.J., Herbst B.M. On homoclinic structure and numerically induced chaos for the Nonlinear Schrodinger equation // SIAM J. Appl. Math. 1990. V. 50. P. 339 351.

42. Agnon Y., Mei C.C. Trapping and resonance of long shelf waves due to groups of short waves // J. Fluid Mech. 1988. V. 195. P. 201 -221.

43. Aida I. Water level oscillations on the continental shelf in the vicinity of Miyagi-Enoshima // Bull. Earth. Res. Inst. 1967. V. 45. Pt. 1. P. 61 78.

44. Akylas T.R. Large-scale modulation of edge waves // J. Fluid Mech. 1983. V. 132. P. 197-208.

45. Badulin S., Tomita H. Effect of vertical shear current on appearance of large-amplitude waves // PACON'99 Proceedings (June 23-25, 1999, Moscow). Moscow. 2000. P. 380 - 390.

46. Ball F.K. Edge waves in the ocean of finite depth // Deep-Sea Res. 1967. V. 14. P. 179- 188.

47. Baquerizo A., Losada M.A., Lozada I.J. Edge wave scattering by a coastal structure // Fluid Dynamics Research. 2002. V. 31. P. 275 287.

48. Bauer B.O., Greenwood B. Modification of a linear bar-trough system by a standing edge wave // Mar. Geol. 1990. V. 92. P. 177 204.

49. Beardsley R., Mofjeld H., Wimbush M. et al. Ocean tides and weather-induced bottom pressure fluctuations in the Middle Atlantic Bight // J. Geophys. Res. 1977. V. 82. № 21. P. 3175 -3182.

50. Blondeaux P., Vittori G. The nonlinear excitation of synchronous edge waves by a monochromatic wave normally approaching a plane beach // J. Fluid Mech. 1995. V. 301. P. 251 -268.

51. Bowen A.J. Rip currents. 1. Theoretical investigation // J. Geophys. Res. 1969. V. 74. № 23. P. 5467 5478.

52. Bowen A.J., Guza R.T. Edge waves and surf beat // J. Geophys. Res. 1978. V. 83. № C4. P. 1913 1920.

53. Bowen A.J., Huntley D.A. Waves, long waves and nearshore morphology // Marine Geology. 1984. V. 60. № 1/4. P. 1 13.

54. Bowen A.J., Inman D.L. Rip currents. 2. Laboratory and field observations // J. Geophys. Res. 1969. V. 74. № 23. P. 5479 5490.

55. Bowen A.J., Inman D.L. Edge waves crescentic bars // J. Geophys. Res. 1971. V. 76. №36. P. 8662-8671.

56. Bryan K.P., Hows P.A., Bowen A.J. Field observations of bar-trapped edge waves // J. Geoph. Research. 1998. V. 103. P. 1285 1305.

57. Buchwald V.T., de Szoeke R.A. The response of a continental shelf to a travelling pressure disturbance // Austral. J. Mar. Freshwater Res. 1973. V. 24. P. 143 158.

58. Chen Y., Guza R.T. Resonant scattering of edge waves by longshore periodic topography // J. Fluid Mech. 1998. V. 369. P. 91 123.

59. Chen Y., Guza R.T. Resonant scattering of edge waves by longshore periodic topography: finite beach slope // J. Fluid Mech. 1999. V. 387. P. 255 269.

60. Clauss G., Bergman J. Gaussian wave packets a new approach to seakeeping tests of ocean structures // Applied Ocean Research. 1986. V. 8. № 4. P. 18 - 33.

61. Constantin A. Edge waves along a sloping beach // J. Phys. A: Math. Gen. 2001. V. 34. P. 9723-9731.

62. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19. P. 1095 1097.

63. Guza R.T., Inman D.L. Edge waves and beach cusps // J. Geophys. Res. 1975. V. 80. №21. P. 2997-3012.

64. Dolan R., Ferm J. Crescentic landforms along the Atlantic coast of the United States // Science. 1968. V. 159. № 3815. P. 627 629.

65. Dubinina V., Kurkin A., Poloukhina O. Coastal trapped waves in a rotating ocean // XXXI Summer School Conference "Advanced Problems in Mechanics". Book of Abstracts. St. Petersburg. Russia. 2003a. P. 37 - 38.

66. Dubinina V., Kurkin A., Poloukhina O. Anomalous high trapped waves above a concave exponential beach // International Conference on Fluxes and Structures in Fluids. Abstracts. St. Petersburg. 2003b. P. 46 48.

67. Dubinina V.A., Kurkin A.A., Poloukhina O.E. Weakly nonlinear periodic Stokes edge waves // Proceedings of International Symposium "Topical Problems of Nonlinear Wave Physics". Nizhny Novgorod. Russia. 2003c. P. 331 332.

68. Dubinina V.A., Kurkin A.A., Poloukhina O.E. Nonlinear properties of long edge waves abovea cylindrical shelf // Proceedings of Sixth (2004) ISOPE Pacific/Asia Offshore Mechanics Symposium. Vladivostok. Russia. 2004. P. 157 162.

69. Dysthe К. В., Trulsen K. Note on breather type solutions of the NLS as a model for freak-waves // Physica Scripta. 1999. V. T82. P. 48 52.

70. Eckart C. Surface waves in water of variable depth // Mar. Phys. Lab., Scripps Inst. Oceanogr. 1951. Wave Rep. № Ю0. S10. Ref. 51-12. 99 p.

71. Foda M.A., Mei C.C. Nonlinear excitation of long trapped waves by a group of short swell //J. Fluid Mech. 1981. V. 111. P. 319 345.

72. Fornberg B. A practical guide to pseudospectral methods. Cambridge University Press. 1998.231 р.

73. Fuller J.D., Mysak L.A. Edge waves in presence of irregular coastline // J. Phys. Ocean-ogr. 1977. V. 7. P. 846- 855.

74. Gallagher B. Generation of surf beat by non-linear wave interaction // J. Fluid Mech. 1971. V. 49. Pt. l.P. 1 -20.

75. Galletta V., Vittori G. Nonlinear effects on edge wave development // European Journal of Mechanics B\ Fluids. 2004. V. 23. P. 861 878.

76. Gonzalez F.I., Satake K., Boss E.F., Mofjeld H.O. Edge Wave and Non-Trapped Modes of the 25 April 1992 Cape Mendocino Tsunami // Pure and Appl. Geophys. 1995. V. 144. № 3/4. P. 409 426.

77. Groen P., Groves G.W. Surges // in M.N. Hill (ed.) The sea. Chap. 7. Physical oceanography. V. 1. NY.: John Wiley @ Sons, 1962. P. 611 - 646.

78. Guza R.T., Bowen A.J. The resonant instabilities of long waves obliquely incident on a beach // J. Geophys. Res. 1975. V. 80. № 33. P. 4529 4534.

79. Guza R.T., Bowen A.J. Finite amplitude edge waves // J. Mar. Res. 1976. V. 34. № 2. P. 269 293.

80. Guza R.T., Davis R.E. Excitation of edge waves by waves incident on beach // J. Geophys. Res. 1974. V. 79. P. 1285 1291.

81. Guza R.T., Davis R.E. Excitation of edge waves on a beach // J. Geophys. Res. 1975. V. 80. № 33. P. 4529-4534.

82. Guza R.T., Inman D.L. Edge waves and beach cusps // J. Geophys. Res. 1975. V. 80. №21. P. 2997-3012.

83. Gomis D., Monserrat S., Tintore J. Pressure-forced seiches of large amplitude in inlets of the Balearic Islands // J. Geophys. Res. 1992. V. 97.

84. Hasimoto H., Ono H. Nonlinear modulation of gravity waves // J. Phys. Soc. Jpn. 1972. V. 33. P. 805 -811.

85. Haver S., Andersen O. Freak waves: rare realizations of a typical population or typical realization of rare population? // Proc. 10th Int. Offshore and Polar Engineering Conference (May 28 June 2, 2000). Seattle. 2000. P. 123 - 130.

86. Henderson K.L., Peregrine D.H., Dold J.W. Unsteady water wave modulations: fully nonlinear solutions and comparison with the nonlinear Schrodinger equation // Wave Motion. 1999. V. 29. P. 341 -361.

87. Holman R.A. Infragravity energy in the surf zone // J. Geophys. Res. 1981. V. 86. № C7. P. 6442 6450.

88. Holman R.A., Bowen A.J. Bars, bumps and holes: models for the generation of complex beach topography // J. Geophys. Res. 1982. V. 87. № CI. P. 457 468.

89. Holman R.A., Bowen A.J. Longshore structure of infragravity wave motions // J. Geophys. Res. 1984. V. 89. № C4. P. 6446 6452.

90. Huntley D.A. Edge waves in a crescentic bar system // in The coastline of Canada. Pap. 80 10. Ed. By S.B. McCann. Geol. Surv. Of Can. Dartmouth. Nova Scotia. 1980. P. 111-121.

91. Huntley D.A., Bowen A.J. Field observation of edge waves // Nature. 1973. V. 243. № 5403. P. 160- 162.

92. Huntley D.A., Bowen A.J. Beach cups and edge waves // Proc. 16th Coastal Eng. Conf. -Hamburg. 1978. P. 1378 1393.

93. Huntley D.A., Guza R.T., Thornton E.B. Field observation of surf beat. 1. Progressive edge waves // J. Geophys. Res. 1981. V. 86. № C7. P. 6451 6466.

94. Huthnance J.M. On trapped waves over a continental shelf // J. Fluid Mech. 1975. V. 69. Pt. 4. P. 689 704.

95. Ishii H., Abe K. Propagation of tsunami on a linear slope between two flat regions. I. Ei-genwave // J. Phys. Earth. 1980. V. 28. P. 531 541.

96. Johns B. Fundamental mode edge waves over a steeply sloping shelf // J. Mar. Res. 1965. V. 23. P. 200 206.

97. Kenyon K.E. A note on conservative edge wave interaction // Deep Sea Res. 1970. V. 17. P. 197-201.

98. Kharif C., Pelinovsky E., Talipova Т., Slunyaev A. Focusing of nonlinear wave group in deep water // JETP Letters. 2001. V. 73. № 4. P.190 195.

99. Kirby J.T., Putrevu U., Ozkan-Haller H.T. Evolution equations for edge waves and shear waves on longshore uniform beaches // Proc. 26th Int. Conf. Coastal Engineering. 1998. P. 203-216.

100. Komar P. Beach Processes and Sedimentation. N.J.: Prentice-Hall. 1998.

101. Kriebel D. Efficient Simulation of Extreme Waves in a Random Sea // Abstract of Workshop "Rogue Waves'2000", November 29-30, 2000. Brest, 2000. P. 25 30.

102. Kurkin A.A., Pelinovsky E.N. Shallow-water edge waves above an inclined bottom slowly varied in along-shore direction // European Journal of Mechanics B/Fluids. 2003. V. 22. P. 305-316.

103. Lake B.M., Yuen H.C., Rungaldier H., Ferguson W.E. Nonlinear deep-water waves: Theory and experiment Part 2. Evoluation of a continuous wave train // J. Fluid Mech. 1977. V. 83. P. 49 74.

104. Lavrenov I. The wave energy concentration at the Agulhas current of South Africa // Natural Hazards. 1998. V. 17. P. 117- 127.

105. Lawton G. Monsters of the deep // New Scientist. 2001. № 2297. P. 28 32.

106. Lemon D.D. Seiche excitation in a coastal bay edge waves travelling on the coastal shelf / M. Sc. Thesis. Univ. of Brit. Columbia, Vancouver, 1975. 81 p.

107. Liu P.L.F., Yeh H., Lin P., Chang K.T., Cho Y.S. Generation and evolution of edge-wave packets // Physics Flueids. 1998. V. 10. № 7. P. 1635 1657.

108. Masselink G. Alongshore variation in beach cusp morphology in a coastal embayment // Earth Surface Processes and Landforms. 1999. V. 24. P. 335 347.

109. Masselink G., Russell P., Coco G., Huntley D. Test of edge wave forcing during formation of rhythmic beach morphology // J. Geophys. Res. 2004. V. 109. C06003. doi: 10.1029/2004 JC002339.

110. Miles J.W. Parametrically excited standing edge waves // J. Fluid Mech. 1990. V. 214. P. 43 -57.

111. Monserrat S., Ibbetson A., Thorpe A. Atmospheric gravity waves and "rissaga" phenomena // Quart. J. Roy. Met. Soc. 1991a. V. 117. P. 553 570.

112. Monserrat S., Ramis C., Thorpe A. Large-amplitude pressure oscillation in the western Mediterranean // Geophys. Res. Let. 1991b. V. 18. № 2. P. 183 186.

113. Munk W.H. Long ocean waves // In: The Sea. Ideas and Observations on Progress in the Study of the Sea. New York: J. Wiley. 1962. P. 647 - 663.

114. Munk W.H., Snodgrass F.E., Carrier G.F. Edge waves on the continental shelf // Science. 1956. V. 123. № 3187. P. 127 132.

115. Munk W.H., Snodgrass F.E., Gilbert F. Long waves on the continental shelf: an experiment to separate trapped and leaky modes // J. Fluid Mech. 1964. V. 20. Pt. 4. P. 529 544.

116. Munk W.H., Snodgrass F.E., Wimbush M.H. Tides off shore: Transition from California coastal to deep sea water // Geophys. Fluid Dyn. 1970. V. 1. № 1/2. P. 161 235.

117. Oltman-Shey J., Guza R. Infragravity edge wave observations on two California beach // J. Phys. Oceanogr. 1987. V. 17. № 5. P. 644 663.

118. Osborne A., Onorato M., Serio M. The nonlinear dynamics of rogue waves and holes in deep-water gravity wave train // Phys. Letters. 2000. V. A275. P. 386 393.

119. Pelinovsky E., Lechuga A., Poloukhina O., Kurkin A., Dubinina V. Freak edge waves // Proceedings of Int. Conf. "Waves-2005". 2005. P. 1 9.

120. Pelinovsky E.N., Poloukhina О. E., Kurkin A.A., Dubinina V.A. Nonlinear Dynamics of Stokes Edge Waves // Eos. Trans. AGU, 84 (52). Ocean Sci. Meet. Suppl. Abstract OS21F-02. 2004.

121. Pelinovsky E., Talipova Т., Kharif C. Nonlinear dispersive mechanism of the freak wave formation in shallow water// Physica D. 2000. V. 147. P. 83 94.

122. Peregrine D. Interaction of water waves and currents // Adv. Appl. Mech. 1976. V. 16. P. 9-117.

123. Peregrine D.H. Water waves, nonlinear Schrodinger equations and their solutions // J. Austral. Math. Soc., Ser. B. 1983. V. 25. P. 16-43.

124. Poloukhina O., Kurkin A., Dubinina V. Focusing of large-amplitude edge and Rossby waves // Geophysical Research Abstracts. 2003. V. 5. P. 1504.

125. Poloukhina O., Kurkin A., Dubinina V. Extreme Edge Waves Above a Cylindrical Shelf// Eos. Trans. AGU, 85 (17). Joint Assembly Suppl. Abstract OS33B-06. 2004a.

126. Poloukhina O., Pelinovsky E., Kurkin A., Dubinina V. Nonlinear instability of edge waves // Geophysical Research Abstracts. 2004b. V. 6. P. 634.

127. Poloukhina O., Pelinovsky E., Kurkin A., Dubinina V. Nonlinear interactions of edge waves above a uniform beach // Geophysical Research Abstracts. 2005. V. 7. P. 192.

128. Reid R.O. Effect of Coriolis force on edge waves, I. Investigation of the normal modes // J. Mar. Res. 1958. V. 16. P. 109 144.

129. Sand S.E., Hansen N.E., Minting P., Gudmestad O.T., Sterndorf M.J. Freak wave kinematics // Water Waves Kinematics / eds. A. Torum and O.T. Gudmestad. Kluwer: Netherlands, 1990. P. 535 - 549.

130. Sezawa K., Kanai K. On shallow water waves transmitted in direction parallels to a sea coast, with special reference to Love waves in heterogeneous media // Bull. Earth. Res. Inst. 1939. V. 17. P. 685-694.

131. Sheremet A., Guza R.T. A weakly dispersive edge wave model // Coastal Engineering. 1999. V. 38. P. 47-52.

132. Short A.D. Multiple offshore bars and standing waves // J. Geophys. Res. 1975. V. 80. № 27. P. 3838 3840.

133. Slunyaev A., Kharif C., Pelinovsky E., Talipova T. Nonlinear wave focusing on water of finite depth // Physica D. V. 173. 2002. P. 77 96.

134. Smith R. Giant waves // J. Fluid Mech. 1976. V. 77. P. 417 431.

135. Stoker T.F., Johnson E.R. The trapping and scattering of topographic waves by estuaries and headlands // J. Fluid Mech. 1991. V. 222. P. 501 524.

136. Stokes G.G. Report on resent researchers in hydrodynamics. — Rep. 16th Meet. Brit.Assoc. Adv. Sci., London, Murray, 1846. P. 1-20.

137. Taha T.R., Ablowitz M.J. Analytical and Numerical Aspects of Certain Nonlinear Evolution Equations. II. Numerical. Nonlinear Schrodinger Equation // J. Сотр. Phys. 1984. V. 55. P. 203-230.

138. Tang Y.M., Grimshaw R. A modal analysis of coastally trapped waves generated by tropical cyclones // J. Phys. Oceanography. 1995. V. 25. P. 1577 1598.

139. Tintore J., Gomis D., Alonso S., Wang D. A theoretical study of large sea level oscillations in the Western Mediterranean // J. Geophys. Res. 1988. V. 93. № C9. P.10797 10803.

140. Ursell F. Edge waves on a sloping beach // Proc. Roy. Soc. London. 1952. V. A214. P. 79 97.

141. White В., Fornberg B. On the chance of freak waves at sea // J. Fluid Mech. 1998. V. 355. P. 113-138.

142. Whitham G.B. Nonlinear effects in edge waves // J. Fluid Mech. 1976. V. 74. P. 353-368.146. www.phys.ocean.dal.ca/people/po/BowenTony.html

143. Yanuma Т., Tsuji Y., Nadai A. Observation of the standing edge waves trapped in the continental shelf region in the vicinity of the Makurazaki harbor, Kagoshima Prefecture // J. Oceanogr. Soc. Japan. 1992. V. 48.

144. Yeh H.H. Nonlinear progressive edge waves: their instability and evolution // J. Fluid Mech. 1985. V. 152. P. 479-499.

145. Yuen H.C., Lake B.M. Nonlinear deep water waves: theory and experiment // Phys. Fluid. 1975. V. 18. P. 956-960.