Динамика нелинейных длинных внутренних волн в стратифицированной жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ТАЛИПОВА Татьяна Георгиевна

Г

>

ДИНАМИКА

) НЕЛИНЕЙНЫХ ДЛИННЫХ ВНУТРЕННИХ ВОЛН

В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Нижний Новгород - 2004

Работа выполнена в Институте прикладной физики Российской академии

наук.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор E.H. Пелиновский

Официальные оппоненты;

Доктор физико-математических наук, профессор С. Ю. Доброхотов (Институт проблем механики РАН, Москва) Доктор физико-математических наук, профессор Д.Б. Чубаров (Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск) Доктор физико-математических наук, профессор А.Б. Езерский (Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород)

Ведущая организация - Институт океанологии Российской академии наук

/ / С/и

Защита состоится «28» октября 2004 г. в час на заседании

диссертационного совета Д 212.165.10 при Нижегородском государственном техническом университете по адресу: 603950, Нижний Новгород, ГСП - 120, ул. Минина, 24, корп. 1, ауд. ^2 £"<Г

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного технического университета.

Автореферат разослан августа 2004г.

Ученый секретарь диссертационного совета

A.A. Куркин

зчг

тык

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы и цели исследования

Интерес к внутренним волнам в стратифицированной жидкости возник достаточно давно, в начале 20-го века после открытия явления «мертвой воды» (резкое увеличение сопротивления при движении надводных кораблей в море с неглубоким пикноклином). Очень быстро стало понятно, что внутренние волны являются неотъемлемой частью динамики всех естественных водоемов (морей, озер и водохранилищ) вследствие вертикальной стратификации бассейнов по температуре, солености или течению. Внутренние волны влияют на сверхдальнее распространение акустических сигналов, на движение подводных ► аппаратов, на размывы грунтов под нефтяными и газовыми платформами

на шельфе, на продуктивность планктона, на процессы вертикального перемешивания. Многочисленные данные наблюдений внутренних волн в морях и озерах суммированы в ряде книг и обзорах [Краусс, 1968; Миропольский, 1981; Морозов, 1985; Сабинин, Коняев, 1991; Imberger, 1998]; здесь же можно найти основы теории распространения, генерации и затухания внутренних волн. Существует также большое количество работ по лабораторному и численному моделированию процессов генерации внутренних волн различными источниками, упомянем здесь только часть работ [Степанянц, Стурова, Теодорович, 1987; Кистович, Чашечкин, 1990; Арабаджи и др., 1999; Богатырев и др., 1999; Стурова, 2001; Миггкин, Чашечкин, 2000; Мотыгин, С гурова, 2002].

Наиболее сильное влияние на перечисленные выше процессы оказывают внутренние волны большой амплитуды, достигающие порой 100 м. Особый интерес здесь вызывают одиночные волны - солитоны или группы солитонов («солиборы»), которые могут распространяться на большие расстояния без потери энергии. Они повсеместно наблюдаются в прибрежной зоне морей, так что ответ на поставленный в 1989 году вопрос «существуют ли внутренние солитоны в океане?» [Ostrovsky, Stepanyants, 1989] к настоящему моменту стал утвердительным. Для детальных исследований свойств сильнонелинейных волн и их влияния на разнообразные процессы в океане в течение последних 10 лет были организованы специальные международные экспедиции и проведено несколько специализированных симпозиумов [Apel et al, 1985; Jeans, 1995; Duda and Farmer, 1999; Small et al, 1999a,b; Warn-Vamas et al, 2003]. За последние годы выполнен большой объем лабораторных исследований свойств нелинейных внутренних волн в стратифицированных бассейнах [Michalet, Barthélémy, 1998; Grue et al., 1999, 2000; Maderich et al., 2001].

PUi J "ПАЯ

¡ KA

С i pGypr 2000 PI'

Отсюда становится ясным актуальность развития гидродинамической теории для описания динамики внутренних волн большой амплитуды.

Наибольшую популярность в теории внутренних волн получило уравнение Кортевега - де Вриза, выведенное в приближении слабой нелинейности и дисперсии еще в 1966 году [Benney, 1966]. Подчеркнем, что уравнение Кортевега - де Вриза, будучи одномерным по форме, описывает двумерные волновые движения жидкости (одна из горизонтальных и вертикальная координаты). Трехмерность волновых движений приводит к модификации уравнения Кортевега - де Вриза - так называемому уравнению Кадомцева - Петвиашвили, впервые выведенному для внутренних волн в работе [Леонов, 1976]. Затем был проведен учет Кориолисовой силы, обусловленной вращением водного бассейна [Островский, 1978; Grimshaw, 1985]. Обобщение уравнения Кортевега - де Вриза для жидкости переменной глубины сделано еще в 1977-1978 годах [Пелиновский и др., 1977; Djordjevich and Redekopp, 1978]. По существу, основные идеи здесь были взяты из теории поверхностных гравитационных волн в однородной жидкости (см., например, [Miles, 1981]). Однако в отличие от поверхностных волн, ситуация для внутренних волн оказалась существенно более сложной. Так, еще в 1978 году в работе [Kakutani, Yamasaki, 1978] для случая внутренних волн в двухслойной жидкости было получено, что коэффициент квадратичной нелинейности обращается в нуль, если толщины слоев оказываются близкими. В этом случае необходимо выйти за первое приближение в асимптотической процедуре и выводить обобщения уравнения Кортевега - де Вриза. Такие обобщения были сделаны сначала для двухслойной жидкости [Коор, Butler, 1981]. Учитывая, что в естественных водоемах стратификация не сводится к двухслойной, необходимость получения расширенных уравнений Кортевега - де Вриза для жидкости с произвольной непрерывной и/или многослойной стратификацией становится актуальной Такие работы начали выполняться только за последние 10 лет, в том числе и с участием автора [Lamb, Yan, 1996; Талипова и др., 1999; Пелиновский и др., 2000; Holoway et al, 1999, 2001; Grimshaw et al., 2002a],

Другим важным направлением в теории внутренних волн является исследование стационарных уединенных волн - солитонов произвольной амплитуды без использования приближения слабой нелинейности. Первая работа здесь, основанная на нелинейной краевой задаче для функции тока, была еще сделана до войны [Dubriel-Jacotin, 1932] и эта идея затем была развита в работах Лонга [Long, 1956, 1972]. В случае жидкости с почти экспоненциальной стратификацией нелинейная волна может содержать замкнутый вихрь [Derzho, Grimshaw, 1997]. Аналитические результаты получены для сильно нелинейных внутренних волн в двухслойной

жидкости [Choi, Camassa, 1999], в частности было доказано существование «столообразных» солитонов предельных амплитуд (в приближении Буссинеска вершина солитона находится на половине полной глубины). Недавно эта работа была обобщена для так называемой 2.5 стратификации, когда скачок плотности разделяет две жидкости с экспоненциальными стратификациями [Voronovich, 2003]. Следует, однако, сказать, что во всех перечисленных работах рассматриваются только установившиеся движения. Совсем недавно феноменологически выведено эволюционное уравнение для описания сильно нелинейных внутренних волн в двухслойной жидкости [Ostrovsky, Grue, 2003].

Естественно, что аналитические решения волновых задач механики стратифицированной жидкости в рамках исходных уравнений Эйлера или Навье - Стокса существуют только в нескольких идеализированных случаях. Благодаря растущим возможностям вычислительной техники в последние двадцать лет начали развиваться численные модели, основанные на прямом решении двумерных исходных уравнений гидродинамики (см., например, [Lamb, 1994; Vlasenko et al, 2003; Grue, et al, 1997; Канарская, 2004]). По существу, созданы численные лотки, в которых можно исследовать генерацию и распространение внутренних волн в бассейнах с произвольной стратификацией. Важно подчеркнуть, что в численных моделях сейчас учитывается переменность только глубины бассейна, а не ее стратификации по горизонтали. Следует отметить также, что пока практические расчеты по этим моделям весьма трудоемки (недели непрерывного счета).

В теории внутренних волн стратификация жидкости обычно предполагается неизменной по горизонтали, что справедливо только для относительно малых экспериментальных лотков. Океанология и лимнология дает нам много примеров переменности температуры, солености и течений по горизонтали (и в диссертации частично приводятся такие данные). Их структура в теории описывается трехмерными крупномасштабными уравнениями циркуляции океана и атмосферы, в которых внутренние волны игнорируются. «Включение» внутренних волн в такие модели пока еще дело будущего. Именно поэтому первой основной целью диссертации выбрана разработка приближенных моделей нелинейных внутренних волн в горизонтально неоднородной жидкости. Как будет показано далее, эта цель достигается при использовании расширенного уравнения Кортевега - де Вриза - обобщенного уравнения Гарднера. Второй основной целью диссертации является исследование динамики внутренних волн «большой» амплитуды, когда необходимо учитывать в асимптотических разложениях члены высших порядков по нелинейности.

и

Научная новизна и основные положения, выносимые на защиту

Научная новизна диссертационной работы определяется

полученными оригинальными результатами:

1. Выведено уравнение Гарднера (расширенное уравнение Кортевега - де Вриза) с переменными коэффициентами для описания трансформации нелинейных двумерных внутренних волн в устойчиво стратифицированной жидкости переменной глубины с учетом плавной горизонтальной неоднородности полей плотности и течений. В общем случае трехмерных внутренних волн развит лучевой метод, включающий последовательность более простых задач: расчет лучевых траекторий в горизонтальной плоскости и решение обобщенного уравнения Гарднера вдоль лучей.

2. Доказано, что коэффициент кубической нелинейности в уравнении Гарднера может быть любого знака, а также равен нулю (ранее предполагалось, что он отрицателен). Приведен ряд аналитических моделей плотностной стратификации жидкости, в которых удалось рассчитать величину коэффициента кубической нелинейности в явном виде. Тем самым доказана возможность распространения в стратифицированной жидкости солитонов обеих полярностей, алгебраических солитонов и бризеров - нелинейных осцилляторных пакетов, не меняющих свои параметры при распространении.

3. Найденное решение начальной задачи (задачи Коши) для уравнения Гарднера с положительным значением коэффициента кубической нелинейности позволило описать рождение только солитонов, рождение только бризеров, и рождение стационарных импульсов обоих классов, а также дисперсионного волнового цуга, соответствующего непрерывному спектру. Эти решения получены в рамках метода обратной задачи теории рассеяния и прямым численным интегрированием.

4. Полученное асимптотическое и численное решение уравнения Гарднера с различными знаками коэффициента кубической нелинейности позволило изучить влияние диссипативных механизмов (горизонтальная диффузия, линейное и квадратичное придонное трение, а также интегральная диссипация в ламинарном пограничном слое) на трансформацию солитонов. Показано, что при отрицательном знаке коэффициента кубической нелинейности затухание «столообразных» солитонов существенно зависит от типа диссипации. При положительном знаке кубической нелинейности и диссипации любого типа солитоны «положительной» полярности (совпадающие по знаку со знаком коэффициента квадратичной нелинейности) затухают,

как и солитоны уравнения Кортевега - де Вриза, а солитоны «отрицательной» полярности разрушаются, образуя затухающий бризер.

5. Полученные решения уравнения Гарднера с проходящим через ноль коэффициентом квадратичной нелинейности дали возможность описания процессы бифуркации солитона в критической точке. В отличие от трансформации солитона Кортевега - де Вриза показано, что при больших отрицательных значениях коэффициента кубической нелинейности «столообразный» солитон одной полярности, разрушаясь в критической точке, преобразуется также в столообразный солитон противоположной полярности. Если коэффициент кубической нелинейности положительный, то существуют три возможных сценария. Волна большой амплитуды любой полярности проходит через критическую точку практически без изменения своей формы. Солитон средней амплитуды «положительной» полярности ведет себя практически как солитон уравнения Кортевега - де Вриза, преобразуясь в солитон противоположной полярности после критической точки, а солитон «отрицательной» полярности, проходя через стадию алгебраического солитона вблизи критической точки, преобразуется в бризер. Аналогичные режимы исследованы для изменяющейся по знаку кубической нелинейности.

6. Выведенное нелинейное уравнение Шредингера для волновых групп в рамках модели Гарднера дало возможность изучить процессы модуляционной неустойчивости длинных внутренних волн. Показано, что если кубический нелинейный коэффициент уравнения Гарднера отрицательный, то волновые группы всегда устойчивы, а при положительном кубическом коэффициенте устойчивость имеет место только для достаточно длинных волн. В области, где кубический нелинейный коэффициент уравнения Шредингера близок к нулю, то есть на границе области самомодуляционной неустойчивости, получено модифицированное уравнение Шредингера с точностью до следующего порядка, и найдены его стационарные решения в виде солитонов огибающих.

7. Ассоциированная спектральная задача для нелинейного уравнения Шредингера, используемая в методе обратной задачи теории рассеяния, выведена с помощью асимптотического метода из ассоциированной спектральной задачи для «фокусирующего» уравнения Гарднера. Соответствие решений уравнения Гарднера и нелинейного уравнения Шредингера показано как решением обратной задачи, так и прямым численным моделированием исходных

уравнений. На больших расстояниях (временах) результаты расчетов по разным моделям начинают расходиться между собой.

8. В рамках «демодуляционной» версии уравнения Гарднера показан существенно нелинейный характер трансформации волнового пакета: генерация свободных и вынужденных обертонов, среднего течения модулированным пакетом в воде, что сильно деформирует волновую группу, приводя к ее асимметрии и перекосу. При этом движение волнового пакета сопровождается излучением низкочастотных волн вперед и высокочастотных волн назад, так что средняя амплитуда волнового пакета уменьшается с расстоянием. Эти исследования (в рамках пространственной версии уравнения Кортевега - де Вриза) подтверждены результатами лабораторного моделирования распространения модулированных групп поверхностных волн в бассейне.

9. Создан атлас кинематических характеристик внутренних волн для Мирового океана, с помощью которого можно оценить горизонтальную изменчивость поля внутренних волн. Показано, что параметры линейной скорости распространения и дисперсии хорошо коррелируют с глубиной бассейна, в то время для параметров нелинейности такая корреляция отсутствует. Показано, что наличие сдвиговых течений может существенно изменять как линейные, так и нелинейные кинематические характеристики внутренних волн.

10. Исследован вклад нелинейности до второго порядка, вращения Земли и диссипации на распространение приливной внутренней волны на океанском шельфе. Результаты проведенных исследований показывают сопоставимую роль перечисленных выше эффектов на эволюцию приливной волны в прибрежной зоне, подтверждая практическую значимость перехода от моделей типа Кортевега - де Вриза к моделям типа Гарднера.

11. Рассчитано время жизни солитонов внутренних волн, связанное с горизонтальной изменчивостью океана. Показано, что на каждом из исследуемых шельфов существуют участки, где возможна адиабатическая трансформация солитонов; длина этих участков составляет от 6 км до 140 км, а время «адиабатической жизни» солитонов - от 1.5 часа до нескольких суток. Тем самым, подтверждается гипотеза об эволюционном характере солитоноподобных импульсов, часто наблюдаемых на снимках морской поверхности из космоса. Выполнены расчеты трансформации внутренних волн на полигоне, хорошо обеспеченном натурными данными, и получено хорошее согласие между расчетными и наблюдаемыми данными.

12. В рамках аналитической модели пограничного вязкого слоя, покрытого пленкой поверхностно-активных веществ, у поверхности раздела вода-воздух в поле внутренней волны показано, что распространенное предположение о том, что поверхностно-активная пленка не влияет на структуру поля скорости внутренних волн и может рассматриваться как пассивная примесь, справедливо только для натурных условий, когда скорости распространения внутренних волн достаточно велики, а упругость натурных пленок невелика. В условиях лабораторных лотков и бассейнов, поверхность которых обычно покрыта пленкой с большим модулем упругости, а скорость распространения внутренних волн мала, поверхностно-активная пленка меняет поле течений внутренней волны в вязком погранслое, вплоть до изменения знака поверхностного течения.

13. Получены точные и приближенные аналитические решения уравнения баланса примеси в поле нестационарных течений и внутренних волн. Показано, что учет нестационарных эффектов приводит к иной картине распределения поверхностной пленки в поле волновых возмущений (даже если последние представляют собой стационарно движущиеся волны), чем в стационарном случае, а выход на стационарное состояние могут обеспечивать только процессы горизонтальной диффузии и релаксации. Получено, что прохождение дисперсионного пакета внутренних волн сопровождается долгоживущим длинноволновым «следом» в поле поверхностной концентрации.

14. Предложен механизм образования волн аномально большой амплитуды вследствие дисперсионного сжатия нелинейных волновых пакетов. Он демонстрируется в рамках аналитических и численных решений основных эволюционных уравнений теории внутренних волн. Показано, что экстремальная волна в рамках этого механизма почти линейная, несмотря на ее большую амплитуду. Механизм нелинейно-дисперсионного сжатия объясняет короткое время жизни аномальной волны. Показано, что аномальные волны могут генерироваться и на фоне «случайных» возмущений. Выполнено сопоставление эффективности механизмов модуляционной неустойчивости и дисперсионного схлопывания периодических модулированных волновых пакетов на генерацию аномальных волн. Показано, что из слабо модулированных волновых пакетов достаточно большой интенсивности могут генерироваться одиночные импульсы большой амплитуды, в то время как из пакетов слабой интенсивности - группы экстремальных волн.

*

Практическая значимость результатов работы

Практическая значимость проведенного исследования заключается в первую очередь в создании адекватной модели трансформации внутренних волн в морях и озерах с учетом реальной горизонтальной изменчивости гидрофизических полей. Разработанная модель использовалась в следующих исследовательских проектах, выполненных под научным руководством автора диссертации:

• «Исследование трансформации внутренних волн полусуточного приливного периода на северо-западном шельфе Австралии» -(двухсторонняя Программа сотрудничества в области науки и техники между Австралией и Россией) 1995 - 1997 гг.;

• «Трансформация нелинейных внутренних волн в прибрежной зоне» -(РФФИ № 96 - 05 - 64108, № 00 - 05 - 64223), 1996 - 2002 гг.;

• «Численное моделирование динамики поверхностно-активных пленок в поле неоднородных и нестационарных течений» - (МНТЦ, № 1775р), 2000-2001гг.;

• «Extreme waves» - (INTAS-99-1637), 2000 - 2002 гг.;

• «Impact of waves and currents on oil and other surfactants transport in coastal areas» - (INTAS -01 - 0330), 2002 - 2004 гг.

а также в следующих проектах, выполняемых в настоящее время

• «Нелинейная динамика стратифицированной прибрежной зоны» -(РФФИ № 03-05-64978), 2003 - 2005 гг.,

• «Разработка рекомендаций по прогнозированию поля внутренних волн в Северном Ледовитом Океане и его морях на базе усовершенствованных математических моделей стратифицированной среды» - (подпрограмма «Исследование природы Мирового океана» федеральной целевой программы «Мировой океан»), 2003-2007 гг.;

• «Large amplitude Alfen waves in magnetic plasma» - (Royal Society, UK), 2003-2004 гг.;

• «Strongly nonlinear internal waves in lakes: generation, transformation and meromixis» - (INTAS - 03-51-3728), 2004 - 2006 гг.

Результаты, полученные в диссертационной работе, также использовались при составлении серии международных учебных пособий в рамках образовательского проекта TEMPUS - TASIS № JEP-10460-98: «Физическое и численное моделирование в инженерной экологии», «Контроль и прогнозирование загрязняющих веществ в реках», «Разработка сценариев экологических катастроф».

Результаты диссертации применялись другими исследователями при поиске бризеров и для моделирования перехода солитона в бризер в рамках полно-нелинейных моделей (Lamb, в печати), и в работе (Zhao et al, 2003) при интерпретации смены полярности наблюдаемых солитонов в океане.

Апробация работы

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-60] и докладывались на следующих международных конференциях: ежегодные сессии Научного Совета РАН по нелинейной динамике, Москва, Россия, 1994-2003; 18-й Международный конгресс по теоретической и прикладной механике (IUTAM), Хайфа, Израиль, 1992; Международная рабочая группа "Лабораторное моделирование динамических процессов в океане», Москва, Россия, 1993; международный симпозиум "Взаимодействие океана и атмосферы", Марсель, Франция, 1993; вторая Европейская конференция по механике жидкости, Варшава, Польша, 1994; международная конференция "Динамика атмосферы и океана", Москва, Россия, 1995; международная конференция по прибрежной динамике, Гданьск, Польша, 1995; конференция по динамике жидкости, Мельбурн, Австралия, 1995; Генеральные Ассамблеи Европейского геофизического общества (Гаага, Нидерланды, 1996; Вена, Австрия, 1997; Ницца, Франция, 2000-2004); международная конференция «Методы вычислений и их приложения» (СТАС97), Аделаида, Австралия, 1997; IGARSS'97 (Международное общество по геонаукам и дистанционной диагностике), Сингапур, 1997; Евромех: «Поверхностные слики и мониторинг взаимодействия между океаном и атмосферой», Ворвик, Великобритания, 1998; Генеральные ассамблеи IUGG, (Мельбурн, Австралия, 1997; Бирмингем, Великобритания, 1999); международное совещание «Солитоны внутренних волн: физика и приложение в акустике, биологии и геологии», Сидней, Канада, 1998; международное совещание «Акустика и океанография на Малин шельфе», Великобритания, 1998; 43 ежегодная конференция австралийского математического общества, 1999 (Мельбурн, Австралия); международное совещание по моделированию Северного и Средиземного морей (JONSMOD), Тулон, Франция, 2000; международная конференция по поверхностным волнам в жидкости, Ньютоновский Математический институт, Кембридж, Великобритания, 2001; девятый международный симпозиум по природным и техногенным катастрофам, Анталья, Турция, 2002; международный симпозиум «Актуальные проблемы физики нелинейных волн», Нижний Новгород, Россия, 2003; международные конференции «Рубежи нелинейной науки», Нижний Новгород, Россия, 2001,2004.

Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах ИПФ РАН, Нижегородского государственного технического университета, Института океанологии РАН, Арктического и Антарктического института, научных школ академика РАН В.И. Таланова и член-корреспондента РАН Б.В. Левина, Монашевском университете и Университете Нью Саус Вейлс (Австралия), университетах Лафборо и Шеффильда (Англия), Они также докладывались на семинарах в Институте теплофизики СО РАН, Институте водных проблем (Польша), Океанском университете (Китай), Институте неравновесных физических систем и Университете Гваделупы (Франция), Национальном Сеульском университете (Корея), Тель-авивском университете (Израиль).

Личный вклад автора

Автор принимал активное участие на всех этапах работы: обсуждение тематики, постановка задач исследований и их решение, а также практические приложения. Автором проведено большинство аналитических исследований, а также все численные эксперименты, представленные в диссертации. Автору принадлежит основной вклад в исследовании динамики импульсных возмущений внутренних волн, динамики пленок поверхностно-активных веществ, образования волн большой амплитуды в случайных полях, а также в численной реализации модели трансформации длинных нелинейных внутренних волн в реальном океане и приложении этой модели к реальным океаническим шельфам

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из Введения, шести глав и Заключения, где приведены основные результаты работы, списка литературы и изложена на 353 страницах. Список литературы содержит 252 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении освещено современное состояние исследований по теме диссертации и обоснована ее актуальность, сформулированы цели работы и основные положения, выносимые на защиту, отмечена новизна полученных результатов, кратко изложено содержание диссертации.

Первая глава посвящена развитию теоретической модели распространения внутренних волн, основанной на обобщении известного уравнения Кортевега-де Вриза для внутренних волн в жидкости с произвольной стратификацией по плотности и течению с учетом горизонтальной изменчивости параметров среды.

В параграфе 1.1, являющемся по существу вводным, дана известная схема вывода уравнения Кортевега-де Вриза, демонстрирующая основные приближения, применяемые в теории внутренних волн. Новым результатом здесь является объяснение существования различных форм нелинейного эволюционного уравнения в высших порядках (парадокс Лэмба-Яна), связанного с неоднозначностью выделения волновых переменных в высших приближениях. Здесь же обсуждается необходимость использования различных обобщений уравнения Кортевега-де Вриза для решения задач нелинейных волновых движений стратифицированной жидкости.

Специальная форма расширенного уравнения Кортевега-де Вриза, так называемое уравнение Гарднера, обсуждается в параграфе 1.2. Подчеркивается, что для многих задач достаточно учитывать в членах высших приближений только кубическую нелинейность, имеющую тот же порядок, что и квадратичная нелинейность. Впервые вычислены значения коэффициента кубической нелинейности для ряда простых геометрий, демонстрирующие, что знак кубической нелинейности может быть любым, как отрицательным, так и положительным, а также равным нулю (ранее интуитивно предполагалось, что он всегда отрицателен). Так, для трехслойной модели жидкости с двумя симметричными скачками плотности на каждой границе раздела Ар/р, где толщина верхнего слоя к равна толщине нижнего слоя, общая глубина равна Н, а сдвиговое течение отсутствует, коэффициент кубической нелинейности следующим образом зависит от соотношения толщины слоев и глубины:

то есть, меняет знак, когда толщина центрального слоя равна 4/1ЗН. Следует отметить, что ситуация смены знаков квадратичного и кубического коэффициентов обнаружена нами и при исследовании горизонтальной изменчивости стратификации воды на многих океанских шельфах, особенно в районах выноса пресных вод реками, а также в тропиках, где велика роль испарения [38, 41, 21, 11, 17-19].

Учет неоднородности стратификации бассейна по горизонтали, а также переменности глубины сделан в параграфе 1.3, где выведено обобщенное уравнение Гарднера, в том числе и вдоль лучей, если исходное волновое поле является трехмерным:

(О

| Га(/)6(/) | аЩ{1) птяе ы [ с\1) * с2 (0 )

+

1 +

где = т](5,1)/<2(1), и 7] есть смещение изопикны на горизонте

максимума линейной моды, с(1) - линейная скорость распространения длинных внутренних волн, находимая, как и линейная модальная функция Ф, то решения краевой задачи

¿Ф =

(к

(с-имУ^

аг

+ ЛГ2(г)Ф = 0

(3)

с нулевыми граничными условиями (использовано приближение твердорй крышки и приближение Буссинеска) и нормировкой Ф(гтец) = 1. Коэффициенты а(1), а,(1), и Р(1) есть коэффициенты квадратичной и кубической нелинейностей, а также дисперсии, получаемые в интегральной форме

3

в-'5

п

^(с-и)2{<ХЫ(Ь)>сЬ

'-1К-

|(с-[/)2Ф!

(4)

о о

а, = —--=-

2 ис-иМФ/екуЖ

П = а(с-и)[5{<}Ф1<12у-А<1Т1<ь\дФ1(к). (5)

Функция Т есть нелинейная поправка к модальной функции Ф; определяемая уравнением

(к

{с-иу

¿Г

сЬ

+ Ы*Т = -а-

<к

(с-Щ

аф <к

3 <1 + 2сЬ

(с-и)

Ш

(6)

с нулевыми граничными Т(-Н) = Т(0) = 0 и нормировочным Т(гтах) = О условиями.

Коэффициент линейного усиления Q(l) определяется как

<Й>

¿к

(7)

а индекс 0 определяет начальную точку на трассе распространения волны, А - ширина лучевой трубки, определяемая через эйконал г + =]_д(А/с) _ „ 1

&1+дуг)А

Ы

где (Уг)2=-

(8)

с(х,у)г '

I - координата вдоль луча и з(х,у,0 = ф,у) - г.

Уравнение (2) в совокупности с (3)-(8) представляет собой разработанную модель эволюции нелинейных длинных внутренних волн.

Численная реализация метода расчета нелинейных волновых полей в стратифицированной жидкости, основанная на решении совокупности краевых задач, лучевых траекторий и обобщенном уравнении Гарднера, обсуждается в параграфе 1.4. Здесь приведены две схемы расчета модельного уравнения, основанные на методе конечных разностей и на псевдоспектральном методе. В этом же параграфе приведено сравнение расчетов затухания солитона по обеим численным схемам.

Основные результаты первой главы суммированы в параграфе 1.5 и опубликованы в работах [15, 24, 27, 30, 37-41,43, 60, 7,53, 57].

Во второй главе основное внимание уделяется процессам генерации и трансформации солитонов и бризеров в рамках обобщенного уравнения Гарднера

^ + + + = (9)

й дх ох

где коэффициенты нелинейности в общем случае зависят от эволюционной

переменной, а последний член описывает потери в общем виде.

Сначала кратко обсуждаются известные солитонные и бризерные решения уравнения Гарднера с постоянными коэффициентами при V = 0 (параграф 2.1), а также вычисляются энергия и масса солитона. Этот параграф является по существу вводным.

Генерация солитонов и бризеров из произвольных (финитных) начальных возмущений изучается в рамках модифицированного уравнения Кортевега-де Вриза в канонической форме (параграф 2.2). Здесь получено решение соответствующей ассоциированной спектральной задачи в рамках метода обратной задачи рассеяния и исследован дискретный спектр и возможные бифуркации появления дискретных значений, в частности, для начального возмущения в форме двух разнополярных прямоугольников. Показано, что из начального знакопостоянного возмущения возможно образование только солитонов. Если же масса начального возмущения равна нулю, то из начального возмущения образуются только бризеры. Исследован случай с разнополярными треугольниками одинаковой высоты и, но разной ширины Ь. Получено, что рассматриваемые варианты при разных Ь лежат между этими двумя предельными случаями. Корни ассоциированной спектральной задачи находятся численно и представлены на рис. 1, где 5 обозначает солитон, а Ъ - бризер. На рис. 1 видна динамика преобразования солитонов в бризеры и обратно. Следует отметить образование «щели», когда солитон $2, например уже исчез на мнимой оси, а бризер Ы еще не отщепился от мнимой оси. Такая же щель возникает между исчезновением солитона б4 и появлением бризера Ъ2. Результаты,

полученные с помощью метода обратной задачи теории рассеяния, подтверждаются в рамках прямого численного моделирования модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза. Аналогичная задача для уравнения Гарднера с отрицательной кубической нелинейностью недавно была в [ОптзЬа«' й а], 2002Ь].

Ие X 1т X

Рис. 1. Дискретный спектр комплексных собственных чисел для знакопеременного прямоугольного возмущения. Здесь U\ = -С/2 = 5,1, = 1, and Li переменное. Слева: реальные части собственных чисел как функции ¿2 • Справа: соответствующие мнимые части собственных чисел.

Влияние диссипации на динамику солитонов исследовано в параграфе 2.3. Здесь применен асимптотический метод к уравнению Гарднера с постоянными коэффициентами и слабой диссипацией. Показано, что в правую часть уравнения баланса энергии возмущения входит только решение нулевого приближения. Показано, при а/ < О «толстый» солитон держит свою солитонную форму, и ее амплитуда очень хорошо описывается теорией. Численно промоделировано затухание «толстого» солитона за пределами адиабатической теории для различных видов диссипации. При at > О обнаружены новые эффекты, связанные с возможностью разрушения солитона и его перехода в бризер под действием диссипации. Рассмотрены разные виды диссипации (пограничный слой, горизонтальная диффузия). На рис. 2 представлены наиболее характерные формы волны, образующейся при затухании столообразного солитона с линейным трением и турбулентной горизонтальной диффузией.

1Л

11 П

1П

I | 1001

м* т к 12ое

а) б)

Рис. 2. Затухание «столообразного» солитона а) линейное трение; б) турбулентная горизонтальная диффузия

Трансформация солитона при изменении знака только коэффициента квадратичной нелинейности без учета диссипации представлена в параграфе 2.4. Показано, что в рамках уравнения Кортевега - де Вриза применимость адиабатической теории в окрестности критической точки зависит от ширины переходной зоны. Обнаружено, что в генерацию вторичных солитонов дает вклад не только «полочка» противоположной полярности, образующаяся за солитоном к критической точке, но и полуволна, совпадающая по знаку с начальным солитоном. Перестройка солитона при прохождении квадратичного коэффициента через критическую точку в рамках уравнения Гарднера зависит от знака и величины коэффициента кубической нелинейности. Показано, что при отрицательном и достаточно малом по абсолютной величине значении аг/ солитон трансформируется в группу вторичных солитонов почти по тому же сценарию, как и для уравнения Кортевега - де Вриза. При предельном значении коэффициента кубической нелинейности волна в критической точке становится длинной (длина больше, чем длина начального толстого солитона), и ее форма близка к треугольной форме ударной волны. За критической точкой образуется толстый солитон противоположной полярности той же амплитуды, что и начальный толстый солитон. Для положительных малых значений коэффициента кубической нелинейности процесс перестройки солитона также подобен процессу, описанному для уравнения КдВ. С ростом положительного коэффициента кубической нелинейности, когда ширина солитона мКдВ в точке а = 0 становится много меньше ширины переходной зоны, адиабатическая теория остается применимой, и солитон может адиабатически проходить через критическую точку. Однако возможен вариант, когда амплитуда солитона в критической точке или за ней, если после критической точки кубический коэффициент продолжает расти по модулю, оставаясь противоположным по знаку своему начальному значению, достигнет амплитуды

алгебраического солитона, и тогда произойдет трансформация солитона в бризер (рис. 3).

Трансформация солитона при изменении знака только коэффициента кубической нелинейности в рамках уравнения (9) без учета диссипации представлена в параграфе 2.5. Установлено, что солитоны «положительной» полярности (полярность солитона совпадает со знаком квадратичного коэффициента) могут адиабатически проходить через точку смены знака кубического коэффициента, плавно меняя свою амплитуду. Солитоны «отрицательной» полярности могут существовать только при положительном знаке коэффициента кубической нелинейности, трансформируясь в бризер в точке перехода.

а = +1

а = -1

140

х

а) б)

Рис. 3. Эволюция солитона в бризер а) волна в конце переходной зоны; б) дальнейшая эволюция волны со временем после переходной зоны

Численно исследована трансформация толстого солитона при плавном росте по модулю отрицательного коэффициента кубической нелинейности. Показано, что процесс трансформации не является адиабатическим, и толстый солитон приобретает форму скошенного прямоугольника, за которым следует почти прямоугольная полочка противоположной полярности и далее дисперсионный волновой цуг. Дано качественное объяснение этому процессу.

Результаты выполненных исследований динамики внутренних солитонов в рамках обобщенного уравнения Гарднера, приведенные в этой главе, опубликованы в работах [29, 23, 31, 32, 34, 50].

Третья глава посвящена исследованию динамики длинноволновых групп в рамках эволюционных уравнений для внутренних волн. В параграфе 3.1 из уравнения Гарднера выведено нелинейное уравнение Шредингера и его обобщение для квазипериодических длинных слабонелинейных внутренних волн. Показано, что если кубический нелинейный коэффициент уравнения Гарднера отрицательный, то волновые группы всегда устойчивы, а при положительном кубическом коэффициенте устойчивость имеет место только для достаточно длинных волн. Получено модифицированное нелинейное уравнение Шредингера для случая, когда нелинейный коэффициент 8 в нелинейном уравнении Шредингера 5 = щ - с?/60к* ~ 0, то есть на границе модуляционной неустойчивости, и найдены его стационарные решения в виде солитонов огибающих. В пределе слабой нелинейности исследованы бризерные решения уравнения Гарднера. Показано, что в этом случае бризеры уравнения Гарднера полностью соответствуют солитонам огибающих нелинейного уравнения Шредингера и их модификациям в переходной зоне. Это же соответствие справедливо для алгебраического бризера и алгебраического солитона огибающей.

В параграфе 3.2 обсуждаются основные режимы модуляционной неустойчивости волновых пакетов (для соответствующих знаков нелинейных коэффициентов в уравнении Гарднера). С помощью асимптотического метода из ассоциированной спектральной задачи для частного случая «фокусирующего» уравнения Гарднера -модифицированного уравнения Кортевега-де Вриза выведена ассоциированная спектральная задача для нелинейного уравнения Шредингера, используемая в методе обратной задачи. Соответствие решений уравнения Гарднера и нелинейного уравнения Шредингера (в слабонелинейном пределе) показано как решением спектральной задачи, так и прямым численным моделированием исходных уравнений. На больших расстояниях (временах) результаты расчетов по разным моделям начинают расходиться между собой (рис. 4). Также в этом параграфе в рамках уравнения Гарднера моделировались различные режимы эволюции волновой группы в переходной зоне 0). Возможность точного решения исходного уравнения Гарднера и нелинейного уравнения Шредингера в рамках обратной задачи теории рассеяния, а также численное интегрирование обоих уравнений позволяет оценить точность приближенных подходов для огибающих волновых пакетов.

Рис. 4. Моделирование эволюции волнового пакета в режиме модуляционной неустойчивости (слева - уравнение Гарднера, справа - НУШ)

В параграфе 3.3 рассмотрена динамика «демодуляционных» волновых пакетов, которая в рамках уравнения Гарднера, должна наблюдаться в случае, когда кубический нелинейный член мал или отрицателен. Исследование начато с динамики волновых пакетов в рамках

уравнения Кортевега-де Вриза, и в рамках пространственной версии этого уравнения подтверждено результатами лабораторного моделирования распространения модулированных групп поверхностных волн в бассейне (рис. 5).

«

I ?

§ 3

I:;

•а

-5 -

[к' 1И¥1

20 30 40 Т«пе|»)

а)

ТШеМ

б)

(а) на

Рис. 5. Экспериментальная осциллограмма волны (с) и КдВ модель расстоянии от источника а)х = 0.65 м;б)х = 3.3 м

Наблюдалась существенно нелинейная трансформация волнового пакета: генерация как свободных, так и вынужденных обертонов и среднего течения модулированным пакетом в воде, что сильно влияет на деформацию волновой группы, приводя к ее асимметрии и перекосу. При этом движение волнового пакета сопровождается излучением низкочастотных волн вперед и высокочастотных волн назад, так что средняя амплитуда волнового пакета уменьшается с расстоянием.

В параграфе 3.4. исследована динамика нелинейных периодических возмущений в рамках модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза. Численно исследован процесс рекурренции длинных периодических внутренних волн. Показано, что динамика уединенных волн значительно зависит от знака кубической нелинейности, а солитоны на длинной периодической волне появляются и исчезают при любой величине знака кубической нелинейности и могут иметь ненулевой пьедестал.

Основные результаты данной главы суммированы в параграфе 3.5 и опубликованы в [25,49, 30, 33, 35].

Четвертая глава посвящена приложению развитой выше теоретической модели к распространению длинных нелинейных внутренних волн в природных водоемах.

В параграфе 4.1 приведены расчеты кинематических характеристик длинных внутренних волн (коэффициентов уравнения Гарднера) для ряда акваторий Мирового океана (см., например, рис. 6). Подчеркивается, что коэффициенты квадратичной и кубической нелинейности меняют знаки во многих прибрежных районах, делая выполненные в главе 2 исследования трансформации солитона в критических точках актуальными. Получено, что линейные характеристики - скорость распространения длинных внутренних волн с и коэффициент дисперсии р - хорошо отслеживают изменения глубины на всех широтах Мирового океана, для северных широт, например, эти зависимости параметризуются регрессиями (Я в км; с - м/с; р - м3/с)

Фазовая скорость, м/с (ЫОАА) лето

Рис 6. Изменчивость скорости распространения линейных длинных внутренних волн в Арктике в летний период

с = 0.241п#-0.79, Д = 0.047Я18. (10)

Показано также, что влияние сдвиговых течений существенно меняет параметры модели, вплоть до изменения знаков нелинейных коэффициентов.

Параграф 4.2 посвящен адиабатическому распространению солитонов внутренних волн в горизонтально - неоднородном океане на примере ряда шельфов (Арктический шельф России, северо-западный шельф Австралии, Малин шельф Англии). Обсуждаются разрешенные адиабатические переходы солитона через критические точки смены знака нелинейных коэффициентов модели. Показано, что плавная перестройка солитона возможна на шельфе моря Лаптевых, где солитон может распространяться адиабатически на расстояние до 100 км, и, несмотря на смену знака коэффициентов, возможна на шельфе Австралии, где солитон распространяется адиабатически на расстояние около 50 км. Однако есть пример (Малин шельф Англии), где коэффициент квадратичной нелинейности не меняет знак, коэффициент кубической нелинейности меняет знак, но является малым, а тем не менее, адиабатическая перестройка возможна только на коротких расстояниях, порядка 5-6 км, а затем солитон теряет свою форму и разрушается вследствие не слишком плавного изменения параметров модели. Соответственно время жизни солитона вследствие горизонтальной неоднородности на разных шельфах меняется от 50 до 2 часов. На рис. 7 показано изменение амплитуды волны с расстоянием, рассчитанное на основе адиабатической теории (линия) и численного эксперимента (точки) для трех рассматриваемых шельфов.

Рис. 7. Изменение амплитуды солитонов с расстоянием. Сплошными линиями показаны расчеты по адиабатической теории, точками представлены численные расчеты на основе разработанной модели; а) - шельф моря Лаптевых, б) -австралийский шельф, в) Малин шельф

Здесь же обсуждается возможность образования бризера вследствие дальнейшей трансформации солитона на шельфе Австралии.

Динамика периодической волны рассматривается в параграфе 4.3 применительно к трансформации внутреннего прилива. Результаты проведенных исследований показывают сопоставимую роль квадратичной и кубической нелинейности, вращения Земли и диссипации на эволюцию приливной волны в прибрежной зоне, подтверждая практическую значимость перехода от моделей типа Кортевега-де Вриза к моделям типа Гарднера.

Интерпретация ряда натурных данных о трансформации интенсивных внутренних волн в рамках обобщенного уравнения Гарднера сделана в параграфе 4.4. На рис. 8 представлено сравнение рассчитанных по модели и натурных записей пакета внутренних волн по мере его распространения на Малин шельфе (Англия). Запись, сделанная на станции 1, бралась в качестве исходной для модели.

(М

I, час

1, час

1, час

Рис 8 Сравнение рассчитанных форм волны (символы) и наблюдаемых (линии) на Малин шельфе

Статистика внутренних волн большой амплитуды на основе экспериментальных данных представлена в параграфе 4.5. Она подтверждает распространенность появления внутренних волн достаточно большой амплитуды. Асимптотика частоты повторяемости для волн большой амплитуды имеет вид Пуассоновской кривой

V = и0 ехр

00

-о у

где уд иа0- параметры, зависящие от конкретного вида "хвостов" функции распределения внутренних волн в области больших значений амплитуды. Максимальное значение частоты повторяемости составляет для шельфа Австралии у0 = 1.3 час'1 , для тропической зоны Атлантики у0 = 10 час"1, для Мезополигона-85 у0 = \А час'1 и для Средиземного моря у0= 4 час"1.

Результаты исследований, представленные в этой главе, суммированы в параграфе 4.6 и опубликованы в [2-5, 8-11, 16-20, 22,26-28, 36,38,41,44,45,51,54, 56].

Пятая глава посвящена динамике примесей на водной поверхности. Здесь мы сосредоточимся на эффектах, связанных с влиянием внутренних волн и течений на равновесное распределение естественно существующих примесей.

В параграфе 5.1 аналитически исследуется структура пограничного волнового слоя в вязкой жидкости, покрытой пленкой поверхностно-активных веществ. Продемонстрировано, что пограничный слой в поле коротких внутренних волн в волновым числом к и частотой а и при достаточно больших значениях модуля Юнга поверхностной пленки существенно модифицируется, и скорость течения на поверхности меняется в широком диапазоне значений в зависимости от упругости пленки и даже может менять знак (см. рис. 9, где введены безразмерные параметры вязкости в = и упругости % = Рк>/рй?, Р - модуль Юнга поверхностной пленки, V - молекулярная вязкость воды). Таким образом, масштабный фактор ограничивает возможности моделирования приповерхностного слоя в относительно небольших лабораторных установках.

«1 Рис. 9. Зависимость скорости течения на поверхности от параметра упругости

пленки

В последующих параграфах 5.2, 5.3 и 5.4 даны точные, приближенные и численные решения уравнения баланса концентрации поверхностно-активных веществ в поле различных гидрофизических возмущений (течения, ленгмюровская циркуляция, стационарные и нестационарные внутренние волны). Демонстрируется важная роль диффузионных и релаксационных процессов в динамике пленок поверхностно-активных веществ. Показано, что учет нестационарных эффектов приводит к совершенно иной картине распределения

поверхностной пленки в поле волновых возмущений (даже если последние представляют собой стационарно движущиеся волны), чем в стационарном случае, а выход на стационарное состояние могут обеспечивать только процессы горизонтальной диффузии и релаксации. Один из интересных эффектов здесь - появление крупномасштабного «пленочного следа» внутренней волны в случае, если групповая скорость с^ близка к фазовой ср),. Масштаб такого следа превышает длину внутренней волны в фактор Ср>/(СрЬ-Сцг) ■

В параграфе 5.5 приведены расчеты динамики поверхностно -активных веществ в поле нелинейных внутренних волн, наблюдаемых в морских условиях.

Результаты этих исследований опубликованы в [1, 6, 13, 14, 20, 21, 46,55, 58].

В шестой главе рассмотрены процессы образования короткоживущих импульсов большой амплитуды в рамках нелинейных эволюционных уравнений, описывающих распространение волн в стратифицированных средах.

В параграфе 6.1 рассматривается механизм нелинейно-дисперсионной фокусировки в рамках уравнения Кортевега-де Вриза, справедливого для длинных волн небольшой амплитуды. Показано, что экстремальная волна в рамках этого эволюционного уравнения почти линейная, несмотря на большую величину амплитуды, и солитоны играют слабую роль в процессе дисперсионного сжатия волнового пакета даже при учете нелинейности. Механизм нелинейно-дисперсионного сжатия объясняет короткое время жизни аномальной волны. Аномальная волна оптимально генерируется из пакетов специальной формы. Их можно найти решая нелинейные эволюционные уравнения с сингулярными данными. Однако условия неоптимальности достаточно широкие. Показывается, что аномальные волны могут генерироваться и на фоне «случайных» возмущений.

Если пакеты внутренних волн оказываются модуляционно неустойчивыми, то этот эффект становится важным для формирования больших импульсов, и эти процессы описаны в параграфе 6.2 на примере нелинейного уравнения Шредингера и в параграфе 6.3 на примере модифицированного уравнения Кортевега-де Вриза. В рамках нелинейного уравнения Шредингера рассмотрено совместное действие модуляционной неустойчивости и дисперсионного схлопывания периодических модулированных волновых пакетов в форме А(х,^0) = В/7 +есоя(х/ф]ехр{IX/И2) с начальной амплитудой В = 0.03 и глубиной модуляции е = 0.1. Показано, что в этом случае усиление волны может быть почти неограниченным за счет практически линейной стадии

дисперсионного схлопывания (рис. 10). На больших временах нелинейность разрушает фазовые соотношения, и механизм дисперсионного сжатия становится не таким эффективным (рис. 11).

1

Рис. 10. Форма экстремальной Рис 11. Изменение максимальной

волны в зависимости от параметра амплитуды волны со временем

Б

В рамках модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза показано, что из слабо модулированных волновых пакетов достаточно большой интенсивности могут генерироваться одиночные импульсы большой амплитуды, в то время как из слабо интенсивных пакетов -группы экстремальных волн (рис. 12). Влияние нелинейности сказывается сильно на динамику коротко живущих аномально больших импульсов.

1-0

100

400

200 300 400 0 100 2М

X X

Рис 12 Развитие модуляционной неустойчивости волновых пакетов с возникновением одиночных больших волн

Теоретические модели свидетельствуют о большой вероятности возникновения импульсов большой амплитуды в поле внутренних волн, и их обнаружение в естественных условиях является вопросом только времени.

Результаты исследований опубликованы в работах [12, 35, 47, 48,

52, 59].

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.

1. Разработана модель слабонелинейных и слабодисперсионных волновых движений в стратифицированной жидкости, основанная на эволюционном уравнении Гарднера (расширенном уравнении Кортевега-де Вриза). Даны аналитические формулы для коэффициентов этого уравнения для произвольной стратификации жидкости по плотности и течению. Они рассчитаны в явном виде для

1 некоторых типов стратификации, а также сделаны численные расчеты для измеренных стратификации природных водоемов. Модель включает медленно меняющуюся глубину бассейна и плавную горизонтальную неоднородность вертикальных распределений полей плотности и сдвиговых течений. В модели также учтены эффекты, связанные с вращением бассейна.

2. Полученные аналитические, асимптотические и численные решения уравнения Гарднера использованы для описания разнообразных режимов динамики солитонов. Найдены условия рождения только солитонов, только бризеров и стационарных импульсов обоих классов, а также дисперсионного волнового цуга, соответствующего непрерывному спектру. Показано, что при отрицательном знаке коэффициента кубической нелинейности затухание «столообразных» солитонов существенно зависит от типа диссипации (нелинейное трение, горизонтальная диффузия). При положительном знаке кубической нелинейности и диссипации любого типа солитоны «положительной» полярности (совпадающие по знаку со знаком коэффициента квадратичной нелинейности) затухают, как и солитоны уравнения Кортевега - де Вриза, а солитоны «отрицательной» полярности разрушаются, образуя затухающий бризер. Если коэффициент квадратичной нелинейности проходит через ноль, то показано, что при больших отрицательных значениях коэффициента кубической нелинейности «столообразный» солитон, разрушаясь в критической точке, преобразуется также в столообразный солитон противоположной полярности. При положительном коэффициенте кубической нелинейности найдены три возможных сценария: волна большой амплитуды любой полярности проходит через критическую

точку адиабатически» солитон средней или малой амплитуды «положительной» полярности ведет себя практически как солитон уравнения Кортевега де Вриза, преобразуясь в солитон противоположной полярности после критической точки, а солитон средней амплитуды «отрицательной» полярности, проходя через стадию алгебраического солитона вблизи критической точки, преобразуется в бризер. Аналогичные режимы адиабатической и неадиабатической трансформации солитонов получены для изменяющейся по знаку кубической нелинейности. Выведено нелинейное уравнение Шредингера для групп внутренних волн в рамках модели Гарднера. Показано, что если кубический нелинейный коэффициент уравнения Гарднера отрицательный, то волновые группы всегда устойчивы, а при положительном кубическом коэффициенте устойчивость имеет место только для достаточно длинных волн. На границе области самомодуляционной неустойчивости, получено модифицированное уравнение Шредингера с точностью до следующего порядка, и найдены его стационарные решения в виде солитонов огибающих. Ассоциированная спектральная задача для нелинейного уравнения Шредингера, используемая в методе обратной задачи теории рассеяния, выведена с помощью асимптотического метода из ассоциированной спектральной задачи для «фокусирующего» уравнения Гарднера. Соответствие решений уравнения Гарднера и нелинейного уравнения Шредингера показано как решением спектральной задачи, так и прямым численным моделированием исходных уравнений. На больших расстояниях (временах) результаты расчетов по разным моделям начинают расходиться между собой. В динамике демодуляционных волновых пакетов показан существенно нелинейный характер трансформации волнового пакета. Движение волнового пакета сопровождается излучением низкочастотных волн вперед и высокочастотных волн назад, так что средняя амплитуда волнового пакета уменьшается с расстоянием. Эти исследования (в рамках пространственной версии уравнения Кортевега-де Вриза) подтверждены результатами лабораторного моделирования распространения модулированных групп поверхностных волн.

Развитая модель применена для описания трансформации внутренних волн в горизонтально-неоднородном океане. В частности, создан атлас кинематических характеристик внутренних волн для Мирового океана, демонстрирующий горизонтальную изменчивость кинематических характеристик внутренних волн. Показано, что параметры линейной скорости распространения и дисперсии хорошо коррелируют с

29

глубиной океана, в то время для параметров нелинейности такая корреляция отсутствует, а наличие сдвиговых течений существенно изменяет кинематические характеристики внутренних волн. Расчеты для реальных стратификаций показали сопоставимую роль квадратичной и кубической нелинейностей на эволюцию приливной волны в прибрежной зоне, подтверждая практическую значимость перехода от моделей типа Кортевега-де Вриза к моделям типа Гарднера. Рассчитано «время жизни» солитонов внутренних волн, связанное с горизонтальной неоднородностью плотностной стратификации. Показано, что на каждом из исследуемых шельфов существуют участки, где возможна адиабатическая трансформация солитонов; длина этих участков составляет от 6 км до 140 км, а время «адиабатической жизни» солитонов - от 1.5 часа до нескольких суток. Тем самым, подтверждается гипотеза об эволюционном характере солитоноподобных импульсов, часто наблюдаемых на снимках морской поверхности из космоса. Выполнены расчеты трансформации внутренних волн на полигоне, хорошо обеспеченном натурными данными, и получено хорошее согласие между расчетными и наблюдаемыми данными.

5. Аналитически исследована структура пограничного вязкого слоя, покрытого пленкой поверхностно - активных веществ, у поверхности раздела вода - воздух в поле внутренней волны. Показано, что поверхностно - активная пленка не влияет на структуру поля скорости внутренних волн только в натурных условиях, когда скорости распространения внутренних волн большие, а упругость натурных пленок невелика. В условиях лабораторных лотков и бассейнов, где существует обратная ситуация, поверхностно - активная пленка меняет поле течений внутренней волны в вязком погранслое, вплоть до изменения знака поверхностного течения. Таким образом, существуют ограничения на моделирование волновых течений в приповерхностном слое в малых стратифицированных лотках.

6. Полученные точные, приближенные и численные решения уравнения баланса примеси в поле нестационарных течений и волн подтвердили, что учет нестационарных эффектов приводит к сложной нестационарной картине распределения поверхностной пленки в поле волновых возмущений, а выход на стационарное состояние могут обеспечивать только процессы горизонтальной диффузии и релаксации. Получено, что прохождение дисперсионного пакета внутренних волн сопровождается долгоживущим длинноволновым «следом» в поле поверхностной концентрации.

7. Предложены механизмы образования внутренних волн аномально большой амплитуды в рамках модели Гарднера. Детально исследован механизм дисперсионного сжатия нелинейных волновых пакетов. Он демонстрируется в рамках аналитических и численных решений основных эволюционных уравнений теории внутренних волн. Показано, что экстремальная волна в рамках этого эволюционного уравнения почти линейная, несмотря на большую амплитуду. Механизм нелинейно-дисперсионного сжатия объясняет короткое время жизни аномальной волны. Показано, что аномальная волна генерируется из пакетов специальной формы, однако условия неоптимальности достаточно широкие. Доказывается, что аномальные волны могут генерироваться на фоне и «случайных» возмущений. Выполнено сопоставление эффективности механизмов модуляционной неустойчивости и дисперсионного схлопывания периодических модулированных волновых пакетов на генерацию аномальных волн. Показано, что из слабо модулированных волновых пакетов достаточно большой интенсивности могут генерироваться одиночные импульсы большой амплитуды, в то время как из пакетов слабой интенсивности - группы экстремальных волн.

ЦИТИРУЕМАЯ В АВТОРЕФЕРАТЕ ЛИТЕРАТУРА

Краусс В. Внутренние волны. Л.: Гидрометеоиздат, 1968,272с. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Ленинград, Гидрометеоиздат, 1981,302с. Морозов Е.Г. Океанские внутренние волны. М.: Наука, 1985,151с. Сабинин К.Д., Коняев К.В. Волны внутри океана. 1992, С-П.: Гидрометеоиздат, 272с.

Imberger J. (Ed). Physical processes in lakes and oceans. AGU, 1998, Washington DC, 668p.

Степанянц Ю.А., Стурова И.В., Теодорович Э.В. Линейная теория генерации поверхностных и внутренних волн. Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа, 1987, 21,93-179.

Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Генерация, распространение и нелинейное взаимодействие внутренних волн. Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа, 1990, 24, 129-135.

Арабаджи В.В., Богатырев С.Д., Баханов В.В., Казаков В.И., Короткое Д.П., Серии Б.В., Таланов В.И., Шишкина О.Д. Лабораторное моделирование гидрофизических процессов в верхнем слое океана (большой термостратифицированный бассейн ИПФ РАН) В сб.:

Приповерхностный слой океана. Физические процессы и дистанционное зондирование. 1999, Нижний Новгород, ИПФ РАН, 1, 231-251. Богатырев С.Д., Дружинин О.А., Заборских Д.В., Казаков В.И., Короткое Д.П., Резник С.Н., Серии Б.В., Таланов В.И., Троицкая Ю.И.

Генерация волновых возмущений в турбулентном стратифицированном потоке, наблюдаемая в большом термостратифицированном бассейне. В сб.: Приповерхностный слой океана. Физические процессы и дистанционное зондирование. 1999, Нижний Новгород, ИПФ РАН, 1, 251276.

Стурова И.В. Колебания круглого цилиндра в линейно стратифицированной жидкости. Изв. РАН Механика жидкости и газа, 2001,3, 155-164.

Миткин В.В., Ю.Д.Чашечкин. Экспериментальное исследование поля скоростей вблизи цилиндра в непрерывно стратифицированной жидкости. Изв РАН Механика жидкости и газа, 2000, 5,20-30. Мотыгин О.В., Стурова И.В. Волновые движения в двухслойной жидкости, вызванные малыми колебаниями цилиндра, пересекающего поверхность раздела. Изв. РАН Механика жидкости и газа, 2002, 4, 105119.

Apel J.R., Holbrock J.R., Kiu А.К., Tsai J.J. The Sulu Sea internal soliton experiment J. Phys.Oceanogr., 1985,15, 1625 - 1651.

Jeans D.R.G. Solitary internal waves in the ocean: A literature review completed as part of the internal wave contribution to Morena. UCES, Marine Science Labs, University of North Wales. (1995) Rep. U-95. Duda Т., Farmer D. (Eds). The 1998 WHOMOS/ONR Internal Solitary Wave Workshop: Contributed Papers. Technical report WHOl-99-07, 1999. Small J., Hallock Z., Pavey G., Scott J. Observations of large amplitude internal waves at the Malin Shelf edge during SESAME 1995. Cont. Shelf Research, 1999a, vol. 19, 1389-1436.

Small J., Sawyer T.C. Scott J. The evolution of an internal bore at the Malin Shelf break. 1999b, Annales Geop., 17, 547-565.

Warn-Varnas A. C., Chin-Bing S.A., King D.B., Hallock Z. Ocean-acoustic solitary wave studies and predictions. Surveys in Geophysics, 2003,24: 39-79. Michalet H, Barthelemy E, Experimental study of interfacial solitary waves, J. Fluid Mech. 1998,366, 159-177.

Grue J., Jensen A, Rusas P.-O. Sveen J.K. Properties of large-amplitude internal waves. J. Fluid Mech., 1999, 380, 257-278.

Grue J., Jensen A, Rusas P.-O. Sveen J.K. Breaking and broadening of internal solitary waves. J Fluid Mech., 2000,413, 181-217. Maderich V, Heijst GJ, Brandt A. Laboratory experiments on intrusive flows and internal waves in a pycnocline. J. Fluid Mech., 2001, 432, 285-311.

Benney D.J. Long nonlinear waves in fluid flows. J Math.Phys., 1966, 45, 52 -63.

Леонов А.И. О двумерных уравнениях Кортевега - де Вриза в нелинейной теории поверхностных и внутренних волн .ДАН СССР, 1976,229, 820-824. Островский Л.А. Нелинейные внутренние волны во вращающемся океане. Океанология, 1978,18, 119-125.

Grimshaw R. Evolution equation for weakly nonlinear internal waves in a rotating fluid. StudiedAppl. Math., 1985, 73, 1-33.

Пелиновский E.H., Шаврацкий C.X. Разрушение кноидальных волн в горизонтально неоднородном океане, Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1977,13,455 - 456.

Djordjevic V.D., Redekopp L.G. The fission and désintégration of internal solitary waves moving over two-dimensional topography. J. Phys. Oceanogr., 1978, 8,1016- 1024.

Miles J.W. Solitary waves. Annual Review Fluid Mech., 1981,12, 11-44. Kakutani T., Yamasaki N. Solitary waves on a two-layer fluid. J. Phys. Soc. Japan, 1978, 45, 674 - 679.

Koop C.G., Butler G. An investigation of internal solitary waves in two-fluid system. J. Fluid Mech., 1981,112,225 - 251.

Lamb K, Yan L. The evolution of internal wave undular bores: comparisons of a fully nonlinear numerical model with weakly nonlinear theory. J. Phys. Oceanography, 1996, 26, 2712-2734

Grimshaw R., Pelinovsky E., Poloukhina O. Higher-order Korteweg-de Vries models for internal solitary waves in a stratified shear flow with a free surface. Nonlinear Processes in Geophysics, 2002a, 9, 221-235. Dubriel-Jacotin L. Sur les ondes type permanent dans les liquids heterogenes. Atti della reale Academic Nationalité dci Lincei, 1932,15 (6), 44-52. Long R. R. Solitary waves in one- and two-fluids systems, Tellus, 1956, 8,460471

Long R. R. The steeping of long, internal waves. Tellus, 1972, 24, 88 - 99. Derzho O.G., Grimshaw R. Solitary waves with a vortex core in a shallow layer of stratified fluid. Phys. Fluids, 1997,9, 3378-3385. Choi W., Camassa R. Fully nonlinear internal waves in a two-fluid system, J. Fluid Mech. 1999,396, 1-36.

Voronovich A.G. Strong solitary internal waves in a 2.5-layer model. J Fluid Mech., 2003, 474, 85-94.

Ostrovsky L.A., Grue J. Evolution equations for strongly nonlinear internal waves. Phys. Fluids, 2003,15,2934- 2948.

Lamb K. Numerical experiments of internal wave generation by strong tidal flow across a finite amplitude bank edge. J. Geoph. Res., 1994, 99, CI, 843-864.

Vlasenko V. , Stashchuk N., Hutter К., Sabinin К. Nonlinear internal waves forcedby tides nearthe critical latitude. Deep-Sea Research 1,2003, 50, 317-338 Grue J., Friis A., Palm E., Rusas, P.-O. A method for computing unsteady fully nonlinear interfacial waves. J FluidMech., 1997,351,223. Канарская Ю.В. Негидростатическая модель стратифицированных течений со свободной поверхностью. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы, Киев, Украина, 2004, 126с. Zhao Z., Kleinas V.V., Zheng Q., Yan X. Satellite observation of internal solitary waves converting polarity. Geophys. Research Letters, 2003, 30, 1029/2003GL018286.

Grimshaw R., Pelinovsky D., Pelinovsky E., Slunyaev A. Generation of large-amplitude solitons in the extended Korteweg-de Vries equation. Chaos, 2002b, 12,1070-1076.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ДИССЕРТАЦИИ

1. Иванов А.В, Клеванный К.А., Козлов С.И., Красильщиков A.A., Матвеев Г.А., Пелиновский E.H., Смирнова Е.А., Солович Н.Е., Талипова Т.Г. Математическое моделирование в задачах прогноза аварийных ситуаций на реке Ока в Нижегородвской области. Водные ресурсы, 2000,27, 305-312

2. Иванов В.А., Пелиновский E.H., Степанянц Ю.А., Талипова Т.Г. Статистические оценки параметров нелинейных внутренних волн в полигонных измерениях. Изв. РАН Физика атмосферы и океана, 1992,28,61-69.

3. Иванов В. А., Пелиновский E.H., Талипова Т.Г. Частота повторяемости интенсивных внутренних волн в тропической зоне Атлантики. Доклады АН СССР, 1991,318,468- 1471

4. Иванов В.А., Пелиновский E.H., Талипова Т.Г. Частота повторяемости интенсивных внутренних волн в Средиземном море. Океанология, 1993, 33, No. 2, 180 - 184.

5. Иванов В.А., Пелиновский E.H., Талипова Т.Г., Троицкая Ю.И. Географические и статистические оценки параметров нелинейных внутренних волн на южном берегу Крыма. Морской гидрофизический журнал, 1994, 4, 9-17.

6. Козырев O.P., Красильщиков A.A., Куркин A.A., Пелиновский E.H., Петрухин, Н.Е. Солович, Т.Г. Талипова, Тишков К.Н. Контроль и прогнозирование загрязняющих веществ в реках.

}

Экологическое управление природными ресурсами, Нижний Новгород 2002,211-223.

7. Кокорина A.B., Талипова Т.Г. Применение псевдоспектрального метода для моделирования диссипации волн в рамках уравнения Гарднера. Известия АИН РФ, Прикладная математика и механика, 2002, т. 3, 62-68.

8. Морозов Е.Г., Пелиновский E.H., Талипова Т.Г. Частота повторяемости внутренних волн на Мезополигоне -85 в Атлантике. 1998, Океанология, 38,4,521-527.

9. Николаенко Е.Г., Пелиновский E.H., Талипова Т.Г. Средние профили частоты Брента - Вяйсяля и их вариации в бесприливных морях в весенне - летний гидрологический сезон. В: Гидрологические и гидрохимические исследования Черного моря, (под ред. В. Еремеева).

' Севастополь: Издательство МГИ, 1992, 80-91.

10. Пелиновский E.H., Полухин Н.В., Талипова Т.Г. Географическое и сезонное распределение фазовой скорости линейных внутрених волн в Мировом океане. Известия АИН РФ, серия: Прикладная математика и информатика, 2000,1, 133 - 143Л

11. Пелиновский E.H., Н.В. Полухин, Т.Г. Талипова, Моделирование характеристик поля внутренних волн в Арктике. Поверхностные и внутренние волны в Арктических морях. Санкт-Петербург: Гидрометеоиздат, 2002,235-279.

12. Пелиновский E.H., Слюняев A.B., Талипова Т.Г., Хариф К. Нелинейное параболическое уравнение и экстремальные волны на морской поверхности. Изв. ВУЗов Радиофизика, 2003, 46,499-512

13. Пелиновский E.H., Талипова Т.Г. Масштабные эффекты при моделировании внутренних волн в бассейне, покрытом пленкой

' поверхностно-активных веществ. Изв. РАН Физика атмосферы и

океана,, 1995,31, 701 - 704.

14. Пелиновский E.H., Талипова Т.Г. Поверхностно-активные пленки на « морской поверхности. Новосибирск: Институт теплофизики СО АН

СССР, 1990, 219,26.

15. Пелиновский E.H., Степанянц Ю.А., Талипова Т.Г. Моделирование распространения внутренних волн в горизонтально-неоднородном океане Изв. РАН, Физика атмосферы и океана, 1994, 30,79-85.

16. Полухин Н.В., Талипова Т.Г. Численное моделирование внутренних волн на шельфе Карского моря. Известия АИН РФ, Прикладная математика и механика, 2002, 3, 12-22.

17. Полухин Н.В., Талипова Т.Г., Пелиновский E.H., Лавренов И.В. Кинематические характеристики поля высокочастотных внутренних волн в Северном Ледовитом океане. Океанология, 2003, 43,333-343.

18. Полу хин Н.В., Талипова Т.Г., Пелиновский E.H., Лавренов И.В.

Моделирование трансформации солитонов внутренних волн на шельфе моря Лаптевых. Известия АИН РФ, Сер. Прикладная математика и механика, 2003, 4, 3-16.

19. Полухин Н.В., Пелиновский E.H., Талипова Т.Г., Муякшин С.И. О влиянии сдвиговых течений на вертикальную структуру и кинематические параметры внутренних волн Океанология, 2004, 44, 26-33.

20. Полухина O.E., Красильщиков A.A., Талипова Т.Г., Куркин A.A.

Уединенные внутренние волны и их поверхностные проявления на шельфе моря Лаптевых. Известия АИН, Сер Прикладная математика и механика, 2003,4, 155-169

21. Полухина O.E., Талипова Т.Г. Численное моделирование динамики пленок поверхностно-активных веществ в поле нестационарных неоднородных течений и волн. Известия АИН РФ, Прикладная математика и механика, 2002, т. 3, 3-11.

22. Талипова Т., Статистика и прогноз интенсивных внутренних волн. В сб.: Приповерхностный слой океана: физические процессы и дистанционное зондирование. 1999, Институт Прикладной физики РАН, Нижний Новгород, 204-220.

23. Талипова Т.Г., Пелиновский E.H., Гримшоу Р., Трансформация солитона через точку нулевой нелинейности. Письма в ЖЭТФ. 1997, 65,120-125.

24. Талипова Т.Г., Пелиновский Е. Н., Лэмб 1С, Гримшоу Р., Холловей П. Влияние кубической нелинейности на трансформацию интенсивных внутренних волн. Доклады РАН, 1999, 364, 824-827.

25. Талипова Т.Г., Пелиновский E.H., Кит Е., Эйтан О. Нелинейная трансформация волновых групп в слабодиспергируюшей среде. Изв ВУЗов Радиофизика, 1999, 42, 354-358.

26. Талипова Т.Г., Пелиновский E.H., Коутс Т. Кинематические характеристики поля внутренних волн в Готландской котловине. Океанология, 1998, 38, 37 - 46.

27. Талипова Т.Г., Пелиновский E.H., Холловэй П.Э. Нелинейные модели трансформации внутренних приливов на шельфе. Приповерхностный слой океана. Физические процессы и дистанционное зондирование. Н.Новгород: Институт прикладной физики РАН. 1999,1, 154- 172.

28. Талипова Т.Г., Полухин Н.В. Средние характеристики параметров распространения внутренних волн в Мировом океане. Известия АИН РФ, Прикладная математика и информатика, 2001, 2, 139-155

29. Clarke S., Grimshaw R., Miller P., Pelinovsky E., Talipova T. On the

generation of solitons and breathers in the modified Korteweg - de Vries equation. Chaos, 2000,10, 383 - 392.

30. Grimshaw R., Pelinovsky E., Talipova T. The modified Korteweg - de Vries equation in the theory of large-amplitude internal waves. Nonlinear Processes in Geophysics, 1997, 4,237 - 350.

31. Grimshaw R., Pelinovsky E., Talipova T. Solitary wave transformation due to a change in polarity. Studied of Applied Mathematics, 1998, 101, 357-388.

32. Grimshaw R., Pelinovsky E, Talipova T. Solitary wave transformation in a medium with sign-variable quadratic nonlinearity and cubic nonlinearity. Physica D, 1999,132,40-62.

33. Grimshaw R., Pelinovsky D., Pelinovsky E., Talipova T. Wave group dynamics in weakly nonlinear long - wave models. Physica D, 2001, 159, 35-57.

34. Grimshaw R., Pelinovsky E., Talipova T. Damping of large-amplitude solitaiy waves. Wave Motion, 2003, 37, 351 - 364.

35. Grimshaw R., E. Pelinovsky, T. Talipova, M. Ruderman, R. Erdely,

Short-living large-amplitude pulses in the nonlinear long-wave models described by the modified Korteweg - de Vries equation. Studied of Applied Mathematics (accepted) (Preprint Loughborough Univ., 2004, № 04-10, 32p.

36. Grimshaw R, Pelinovsky E., Talipova T., Kurkin A. Simulation of the transformation of internal solitary waves on oceanic shelves. 2003b, Jour, of Phys. Oceanography, accepted, Preprint of Loughborouh University 2003, 03-32, 40p.

37. Holloway P. Pelinovsky E., Talipova T., Barnes B. Modeling the Korteweg - de Vries Equation for the description of nonlinear internal wave transformation in the ocean. Proc 12th Australiasian Fluid Mech. Conf, 1995,371-374.

38. Holloway P., Pelinovsky E., Talipova T., Barnes B. A Nonlinear Model of Internal Tide Transformation on the Australian North West Shelf, J. Physical Oceanography, 1997,27, 871-896.

39. Holloway P., Pelinovsky E., Talipova T., Barnes B. Nonlinear models of internal tide and internal solitary wave evolution over a continental slope. Proc. of 7th Int. Offshore and Polar Engineering, (25 - 30 May 1997, Honolulu, USA), 1997,3, 130 - 137.

40. Holloway P., Pelinovsky E., Talipova T., Barnes B. The rotated-modified extended Korteweg-de Vries equation for the description of nonlinear internal wave transformation in the ocean. Computational Techniques and Applications: CTAC97, Proc 8th Biennial Conf, Adelaide, Australia, Eds:

B.J.Noye, M.D. Teubner, A.W. Gill. World Sci., Singapore, 1998, 297 -304.

41. Holloway P, Pelinovsky E., Talipova Т., A Generalized Korteweg - de Vries Model of Internal Tide Transformation in the Coastal Zone, 1999a, J. Geophys. Res., 1999,104(C8), 18333-18350.

42. Holloway P., E. Pelinovsky, T. Talipova, Modeling internal tide generation and evolution into internal solitary waves on the Australian North West Shelf. 1999, in Dynamics of Oceanic Internal Gravity Waves II : Proceedings of the Aha Huikoa Hawaiian Winter Workshop, SOEST, Univ. of Hawaii, 43-50.

43. Holloway P., Pelinovsky E., Talipova Т., Internal tide transformation and oceanic internal solitary waves. Chapter 2 in the book: Environmental Stratified Flows (Ed. By R. Grimshaw). Kluwer Acad. Publ. 2001,29-60.

44. Holloway P.H., Pelinovsky E., Talipova T. Strongly nonlinear internal waves on the Australian North West Shelf. 1999, The 1998 WHOl/IOS/ONR Internal Solitary Wave Workshop: Contributed Papers. Eds' T.Duda and D. Farmer Technical report WHOI-99-07, 197-202.

45. Ivanov V.A., Pelinovsky E.N., Talipova T.G. The long-time prediction of intense internal wave heights in the tropical region of the Atlantic. J. Physical Oceanography, 1993,23,2136 - 2142.

46. Kharif Ch., Boiron O., Rey V. Talipova T. Physical and numerical modeling in environmental engineering. Chapter 6 in series of teaching manuals: Sustainable Development and Environmental Problems of Industry. STANKIN Press, 2000, Moscow, 37-76.

47. Kharif Ch., E. Pelinovsky, T. Talipova. Nonlinear dispersive mechanism of the freak wave formation in shallow water. Physica D, 2000,147, 83-94.

48. Kharif C., Pelinovsky E., Talipova Т., Slunyaev A. Focusing of nonlinear wave groups in deep water. Письма в ЖЭТФ,, 2001, 73, 190-195.

49. Kit E., Shemer L., Pelinovsky E., Talipova Т., Eitan O., Jiao H. Nonlinear Wave Group Evolution in Shallow Water. 2000, J. Waterway, Port, Coastal Ocean Eng., 126, 221-228.

50. Nakoulima O., Zahibo N., Pelinovsky E., Talipova Т., Slunyaev A., Kurkin A. Analytical and numerical studies of the variable-coefficient Gardner equation. Applied Mathematics and Computation, 2004, 152, 449471

51. Pelinovsky E., Holloway P., Talipova T. A statistical analysis of extreme events in current variations due to internal waves from the Australian North West Shelf J. Geoph. Res., 1995,100(C12), 24831 - 24839.

52. Pelinovsky E., Kharif C., Talipova Т., Slunyaev A. Nonlinear Wave Focusing as a Mechanism of the Freak Wave Generation in the Ocean. Proc Int Conf. "Rogue Waves 2000" (Brest, France, 2000). 2001, 193-204.

53. Pelinovsky E., Stepanyants Yu., Talipova T. Nonlinear Dispersion Model of Sea Waves in the Coastal Zone. J. Korean Soc. Coastal and Ocean Engn. 1993,5,307 - 317.

54. Pelinovsky E., Talipova Т., Ivanov V. Estimations of Nonlinear Properties of Internal Wave Field off the Israel Coast Nonlinear Processes in Geophysics, 1995,2,80 - 88.

55. Pelinovsky E., Talipova Т., Kantardgi I. Developing of scenarios of environmental catastrophes. Chapter 8 in series of teaching manuals: Sustainable Development and Environmental Problems of Industry. STANKIN Press, 2000, Moscow, 60p.

56. Pelinovsky E., T. Talipova, J. Small. Numerical modelling of the internal bores and generation of internal solitons at the Malin Shelf. 1999, The 1998 WHOI/IOS/ONR Internal Solitary Wave Workshop: Contributed Papers. Eds: T.Duda and D. Farmer, Technical report WHOI-99-07,129-236.

57. Pelinovsky E., Xu Zhaoting, Talipova Т., Shen Guojin, Kurkin A., Poloukhin N.Two approaches to study nonlinear internal waves in the horizontal inhomogeneous ocean. Известия АИН, Сер. Прикладная математика и механика, 2003, 4, 92-98.

58. Shemer L., Shamesse ML, Talipova Т. On the phase velocity of gravity -capillary surface waves. In: Subsurface oceanic layer: Physical processes and remote sensing. 1999, Institute of Applied Physics Press, Nizhny Novgorod, Russia, 277-293.

59. Slunyaev A., Kharif C., Pelinovsky E., Talipova T. Nonlinear wave focusing on water of finite depth. Physica D, 2002,173. 77-96.

60. Talipova Т., Poloukhina O. The generalized Korteweg - de Vries model of surface and internal tsunami waves. NATO Advances Research Workshop "Unerwater Ground Failures on Tsunami Generation, Modeling, Risk and Mitigation", NATO ARW, Istanbul, Turkey, 2001,115 - 119.

РНБ Русский фонд

2006-4 345

Татьяна Георгиевна Талипова

ДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНЫХ Д ЛИННЫХ ВНУТРЕННИХ ВОЛН В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ

Автореферат

Подписано к печати 11.08.2004 г. Формат 60 х 90 'Лб. Бумага офсетная № 1 Усл. печ. л. 2,5. Уч.-изд. л. 2,3. Тираж 130 экз. Заказ №82. Бесплатно

Отпечатано в типографии Института прикладной физики РАН, 60Д250 Н. Новгород, ул. Ульянова, 46

17 СЕН 2004

чЛ* V

Содержание 2

Введение 4

Глава 1. Нелинейные эволюционные уравнения волновых движений стратифицированной жидкости 14

1.1. Уравнение Кортевега - де Вриза в теории волновых движений стратифицированной жидкости 15

1.2. Расширенное уравнение Кортевега-де Вриза 26

1.3. Обобщенное уравнение Гарднера для внутренних волн в горизонтально неоднородном бассейне 44

1.4. Численная модель эволюции нелинейных внутренних волн, основанная на обобщенном уравнении Гарднера 54

1.5. Выводы 66

Глава 2. Нелинейная динамика уединенных внутренних волн 68

2.1. Свойства солитонов уравнения Гарднера . 70

2.2. Генерация солитонов и бризеров из импульсных возмущений 75

2.3. Затухание солитона внутренней волны 92

2.4. Трансформация солитона в зонах с переменной по знаку квадратичной нелинейностью 107

2.5. Трансформация солитона в зонах с переменной по знаку кубической нелинейностью 128

2.6. Выводы 146

Глава 3. Нелинейная динамика пакетов внутренних волн 149

3.1. Динамика длинноволновых групп в рамках модели Гарднера 150

3.2. Самомодуляция волновых пакетов и генерация бризеров 162

3.3. Динамика «демодуляционных» волновых пакетов 176

3.4. Нелинейная эволюция периодических возмущений 184

3.5. Выводы 189

Глава 4. Трансформация нелинейных внутренних волн в горизонтальнонеоднородном океане 191

4.1. Кинематические характеристики поля внутренних волн в океане 192

4.2. Адиабатическое распространение солитонов внутренних волн в горизонтально - неоднородном океане 201

4.3. Влияние нелинейности и вращения на распространение приливной внутренней волны

4.4. Моделирование и интерпретация натурных экспериментов с внутренними волнами

4.5. Статистические методы оценки повторяемости внутренних волн большой амплитуды

4.6. Выводы

Глава 5. Динамика примесей на водной поверхности в поле волн и течений

5.1. Структура пограничного волнового слоя в жидкости, покрытой пленками поверхностно-активных веществ

5.2. Динамика пленок поверхностно-активных веществ в поле нестационарных течений

5.3. Динамика пленок поверхностно-активных веществ в поле стационарных бегущих волн

5.4. Динамика примесей в поле финитных возмущений и волновых пакетов

5.5. Численное моделирование перераспределения концентрации поверхностных пленок под действием внутренних волн

5.6. Выводы

Глава 6. Генерация короткоживущих импульсов большой амплитуды

6.1. Нелинейно-дисперсионная фокусировка волн (на примере уравнения Кортевега - де Вриза)

6.2. Влияние модуляционной неустойчивости на формирование аномально больших импульсов в рамках нелинейного уравнения

Шредингера

6.3. Формирование аномальных волн в модели модифицированного уравнения Кортевега-де Вриза

6.4. Выводы

Актуальность темы и цели исследования

Интерес к внутренним волнам в стратифицированной жидкости возник достаточно давно, в начале 20-го века после открытия явления «мертвой воды» (резкое увеличение сопротивления при движении надводных кораблей в море с неглубоким пикноклином). Очень быстро стало понятно, что внутренние волны являются неотъемлемой частью динамики всех естественных водоемов (морей, озер и водохранилищ) вследствие вертикальной стратификации бассейнов по температуре, солености или течению. Внутренние волны влияют на сверхдальнее распространение акустических сигналов, на движение подводных аппаратов, на размывы грунтов под нефтяными и газовыми платформами на шельфе, на продуктивность планктона, на процессы вертикального перемешивания. Многочисленные данные наблюдений внутренних волн в морях и озерах суммированы в ряде книг и обзорах [Краусс, 1968; Миропольский, 1981; Морозов, 1985; Сабинин, Коняев, 1991; Imberger, 1998]; здесь же можно найти основы теории распространения, генерации и затухания внутренних волн. Существует также большое количество работ по лабораторному и численному моделированию процессов генерации внутренних волн различными источниками, упомянем здесь только часть работ [Степанянц, Стурова, 1985; Стурова, 2001; Мотыгин, Стурова, 2002; Кистович, Чашечкин, 1990; Арабаджи и др., 1999; Богатырев и др., 1999].

Наиболее сильное влияние на перечисленные выше процессы оказывают внутренние волны большой амплитуды, достигающие порой 100 м. Особый интерес здесь вызывают одиночные волны — солитоны или группы солитонов (солиборы), которые могут распространяться на большие расстояния без потери энергии. Они повсеместно наблюдаются в прибрежной зоне морей, так что ответ на поставленный в 1989 году вопрос «существуют ли внутренние солитоны в океане?» [Ostrovsky, Stepanyants, 1989] к настоящему моменту стал утвердительным. Для детальных исследований свойств сильнонелинейных волн и их влияния на разнообразные процессы в океане в течение последних 10 лет были организованы специальные международные экспедиции и проведено несколько специализированных симпозиумов [Apel et al, 1985; Jeans, 1995; Duda and Farmer, 1999; Warn-Varnas et al, 2003; Small et al, 1999a,Ь]. За последние годы выполнен большой объем лабораторных исследований свойств нелинейных внутренних волн в стратифицированных бассейнах (см., например, [Michalet, Barthélémy, 1998; Maderich et al., 2001; Grue et al., 1999, 2000]). Отсюда становится ясным актуальность развития гидродинамической теории для описания динамики внутренних волн большой амплитуды.

Наибольшую популярность в теории внутренних волн получило уравнение Кортевега - де Вриза, выведенное в приближении слабой нелинейности и дисперсии еще в 1966 году [Benney, 1966]. Подчеркнем, что уравнение Кортевега -де Вриза, будучи одномерным по форме, описывает двумерные волновые движения жидкости (одна из горизонтальных и вертикальная координаты). Трехмерность волновых движений приводит к модификации уравнения Кортевега - де Вриза - так называемому уравнению Кадомцева - Петвиашвили, впервые выведенному для внутренних волн в работе [Леонов, 1976]. Затем был проведен учет Кориолисовой силы, обусловленной вращением водного бассейна [Островский, 1978; Grimshaw et al, 1998]. Обобщение уравнения Кортевега - де Вриза для жидкости переменной глубины сделано в 1978 году [Djordjevich and Redekopp, 1978]. По существу, основные идеи здесь были взяты из теории поверхностных гравитационных волн в однородной жидкости, где уравнение Кортевега — де Вриза было получено еще в 1895 году [Korteweg, de Vries, 1895]. Однако в отличие от поверхностных волн, ситуация для внутренних волн оказалась существенно более сложной. Так, еще в 1975 году в работе [Kakutani, Yamasaki, 1978] для случая внутренних волн в двухслойной жидкости было получено, что коэффициент квадратичной нелинейности обращается в нуль, если толщины слоев оказываются близкими. В этом случае необходимо выйти за первое приближение в асимптотической процедуре и выводить обобщения уравнения Кортевега - де Вриза. Такие обобщения были сделаны только для двухслойной жидкости [Koop, Butler, 1981]. Учитывая, что в естественных водоемах стратификация не сводится к двухслойной, необходимость получения расширенных уравнений Кортевега — де Вриза для жидкости с произвольной непрерывной и/или многослойной стратификацией становится актуальной. Такие работы начали выполняться только за последние 10 лет, в том числе и с участием автора [Lamb, Yan, 1996; Пелиновский и др., 2000; Grimshaw et al., 2002; Т31, Т34].

Другим важным направлением в теории внутренних волн является исследование стационарных уединенных волн — солитонов произвольной амплитуды без использования приближения слабой нелинейности. Первая работа здесь, основанная на нелинейной краевой задаче для функции тока, была еще сделана до войны [Dubriel-Jacotin, 1932] и эта идея затем была развита в работах Лонга [Long, 1956, 1972]. В случае жидкости с почти экспоненциальной стратификацией нелинейная волна может содержать замкнутый вихрь [Derzho, Grimshaw, 1997]. Аналитические результаты получены для сильно нелинейных внутренних волн в двухслойной жидкости [Choi, Camassa, 1999], в частности было доказано существование «столообразных» солитонов предельных амплитуд (в приближении Буссинеска вершина солитона находится на половине полной глубины). Недавно эта работа была обобщена для так называемой 2.5 стратификации, когда скачок плотности разделяет две жидкости с экспоненциальными стратификациями [Voronovich, 2002]. Следует, однако, сказать, что во всех перечисленных работах рассматриваются только установившиеся движения. Совсем недавно феноменологически выведено эволюционное уравнение для описания сильно нелинейных внутренних волн в двухслойной жидкости [Ostrovsky, Grue, 2003].

Естественно, что аналитические решения волновых задач механики стратифицированной жидкости в рамках исходных уравнений Эйлера или Навье - Стокса существуют только в нескольких идеализированных случаях. Благодаря растущим возможностям вычислительной техники в последние двадцать лет начали развиваться численные модели, основанные на прямом решении двумерных исходных уравнений гидродинамики (см., например, [Lamb, 1994; Vlasenko et al, 2003; Grue, et al, 1997; Канарская, 2004]). По существу, созданы численные лотки, в которых можно исследовать генерацию и распространение внутренних волн в бассейнах с произвольной стратификацией. Важно подчеркнуть, что в численных моделях сейчас учитывается переменность только глубины бассейна, а не ее стратификации по горизонтали. Следует отметить, что пока практические расчеты по этим моделям весьма трудоемки (недели непрерывного счета).

В теории внутренних волн стратификация жидкости обычно предполагается неизменной по горизонтали, что справедливо только для относительно малых экспериментальных лотков. Океанология и лимнология дает нам много примеров переменности температуры, солености и течений по горизонтали (и в диссертации частично приводятся такие данные). Их структура в теории описывается трехмерными уравнениями циркуляции океана и атмосферы, в которых внутренние волны игнорируются. «Включение» внутренних волн в такие модели пока еще дело будущего. Именно поэтому первой основной целью диссертации выбрана разработка приближенных моделей нелинейных внутренних волн в горизонтально неоднородной жидкости. Как будет показано далее, эта цель достигается при использовании обобщенного уравнения Кортевега - де Вриза. Второй основной целью диссертации является исследование динамики внутренних волн «большой» амплитуды, когда необходимо учитывать в асимптотических разложениях члены высших порядков по нелинейности.

Научная новизна работы и основные результаты

Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами:

1. Выведено уравнение Гарднера (расширенное уравнение Кортевега - де Вриза) с переменными коэффициентами для описания трансформации нелинейных двумерных внутренних волн в устойчиво стратифицированной жидкости переменной глубины с учетом плавной горизонтальной неоднородности полей плотности и течений. В общем случае трехмерных внутренних волн развит лучевой метод, включающий последовательность более простых задач: расчет лучевых траекторий в горизонтальной плоскости и решение обобщенного уравнения Гарднера вдоль лучей. Предложена численная реализация этой модели.

2. Доказано, что коэффициент кубической нелинейности в уравнении Гарднера может быть любого знака, а также равен нулю (ранее предполагалось, что он отрицателен). Приведен ряд аналитических моделей плотностной стратификации жидкости, в которых удалось рассчитать величину коэффициента кубической нелинейности в явном виде. Тем самым доказана возможность распространения в стратифицированной жидкости солитонов обеих полярностей, алгебраических солитонов и бризеров -нелинейных осцилляторных пакетов, не меняющих свои параметры при распространении.

3. Исследована начальная задача (задача Коши) генерации волн для уравнения Гарднера с положительным значением коэффициента нелинейности как с помощью метода обратной задачи рассеяния, так и с помощью прямого численного моделирования. Для трех выбранных типов начальных условий (потенциалов) различной топологии описано рождение только солитонов, рождение только бризеров, и рождение стационарных импульсов обоих классов, а также дисперсионного волнового цуга, соответствующего непрерывному спектру.

4. Исследовано затухание солитонов в рамках уравнения Гарднера с различными знаками коэффициента кубической нелинейности и различными аппроксимациями диссипативных механизмов внутренних волн (горизонтальная диффузия, линейное и квадратичное придонное трение, а также интегральная диссипация в ламинарном пограничном слое). Получено, что при отрицательном знаке коэффициента кубической нелинейности затухание «столообразных» солитонов существенно зависит от типа диссипации. При положительном знаке кубической нелинейности и диссипации любого типа солитоны «положительной» полярности (совпадающие по знаку со знаком коэффициента квадратичной нелинейности) затухают, как и солитоны уравнения Кортевега - де Вриза, а солитоны «отрицательной» полярности разрушаются, образуя затухающий бризер.

5. Рассмотрена трансформация солитонов в рамках уравнения Гарднера с проходящим через ноль коэффициентом квадратичной нелинейности. В отличие от трансформации солитона Кортевега - де Вриза показано, что при больших отрицательных значениях коэффициента кубической нелинейности «столообразный» солитон одной полярности, разрушаясь в критической точке, преобразуется также в столообразный солитон противоположной полярности. Если коэффициент кубической нелинейности положительный, то существуют три возможных сценария. Волна большой амплитуды любой полярности проходит через критическую точку практически без изменения своей формы. Солитон средней амплитуды «положительной» полярности ведет себя практически как солитон уравнения Кортевега - де Вриза, преобразуясь в солитон противоположной полярности после критической точки, а солитон «отрицательной» полярности, проходя через стадию алгебраического солитона вблизи критической точки, преобразуется в бризер. Солитоны малой амплитуды трансформируются, как и солитоны уравнения Кортевега - де Вриза. Аналогичные режимы исследованы для изменяющейся по знаку кубической нелинейности.

6. Выведено нелинейное уравнение Шредингера для волновых групп в рамках модели Гарднера для длинных внутренних волн. Показано, что если кубический нелинейный коэффициент уравнения Гарднера отрицательный, то волновые группы всегда устойчивы, а при положительном кубическом коэффициенте устойчивость имеет место только для достаточно длинных волн. В области, где кубический нелинейный коэффициент уравнения Шредингера близок к нулю, то есть на границе области самомодуляционной неустойчивости, получено модифицированное уравнение Шредингера с точностью до следующего порядка, и найдены его стационарные решения в виде солитонов огибающих.

7. Ассоциированная спектральная задача для нелинейного уравнения Шредингера, используемая в методе обратной задачи, выведена с помощью асимптотического метода из ассоциированной спектральной задачи для «фокусирующего» уравнения Гарднера. Соответствие решений уравнения Гарднера и нелинейного уравнения Шредингера показано, как решением обратной задачи, так и прямым численным моделированием исходных уравнений. На больших расстояниях (временах) результаты расчетов по разным моделям начинают расходиться между собой.

8. Динамика демодуляционных волновых пакетов рассмотрена как для уравнения Гарднера, так и для уравнения Кортевега - де Вриза. Показан существенно нелинейный характер трансформации волнового пакета: генерация свободных и вынужденных обертонов, среднего течения модулированным пакетом в воде, что сильно деформирует волновую группу, приводя к ее асимметрии и перекосу. При этом движение волнового пакета сопровождается излучением низкочастотных волн вперед и высокочастотных волн назад, так что средняя амплитуда волнового пакета уменьшается с расстоянием. Эти исследования (в рамках пространственной версии уравнения Кортевега — де Вриза) подтверждены результатами лабораторного моделирования распространения модулированных групп поверхностных волн в бассейне.

9. Создан атлас кинематических характеристик внутренних волн для Мирового океана, с помощью которого можно оценить горизонтальную изменчивость поля внутренних волн. Показано, что параметры линейной скорости распространения и дисперсии хорошо коррелируют с глубиной бассейна, в то время для параметров нелинейности такая корреляция отсутствует. Показано, что наличие сдвиговых течений может существенно изменять как линейные, так и нелинейные кинематические характеристики внутренних волн.

10. Исследован вклад нелинейности до второго порядка, вращения Земли и диссипации на распространение приливной внутренней волны на океанском шельфе. Результаты проведенных исследований показывают сопоставимую роль перечисленных выше эффектов на эволюцию приливной волны в прибрежной зоне, подтверждая практическую значимость перехода от моделей типа Кортевега - де Вриза к моделям типа Гарднера.

11. Исследовано влияние горизонтально неоднородной океанической стратификации на «время жизни» солитонов внутренних волн. Показано, что на каждом из исследуемых шельфов существуют участки, где возможна адиабатическая трансформация солитонов; длина этих участков составляет от 6 км до 140 км, а время «адиабатической жизни» солитонов - от 1.5 часа до нескольких суток. Тем самым, подтверждается гипотеза об эволюционном характере солитоноподобных импульсов, часто наблюдаемых на снимках морской поверхности из космоса. Выполнены расчеты трансформации внутренних волн на полигоне, хорошо обеспеченном натурными данными, и получено хорошее согласие между расчетными и наблюдаемыми данными.

12. Рассмотрена структура пограничного вязкого слоя, покрытого пленкой поверхностно -активных веществ, у поверхности раздела вода — воздух в поле внутренней волны. Показано, что предположение о том, что поверхностно - активная пленка не влияет на структуру поля скорости внутренних волн и может рассматриваться как пассивная примесь, справедливо только для натурных условий, когда скорости распространения внутренних волн достаточно велики, а упругость натурных пленок невелика. В условиях лабораторных лотков и бассейнов, поверхность которых обычно бывает покрыта пленкой с большим модулем упругости, а скорость распространения внутренних волн мала, поверхностно - активная пленка меняет поле течений внутренней волны в вязком погранслое, вплоть до изменения знака поверхностного течения.

13. Получены точные и приближенные аналитические решения уравнения баланса примеси в поле нестационарных течений и волн. Показано, что учет нестационарных эффектов приводит к иной картине распределения поверхностной пленки в поле волновых возмущений (даже если последние представляют собой стационарно движущиеся волны), чем в стационарном случае, а выход на стационарное состояние могут обеспечивать только процессы горизонтальной диффузии и релаксации. Получено, что прохождение дисперсионного пакета внутренних волн сопровождается долгоживущим длинноволновым «следом» в поле поверхностной концентрации.

14. Предложен механизм образования волн аномально большой амплитуды вследствие дисперсионного сжатия нелинейных волновых пакетов. Он демонстрируется в рамках аналитических и численных решений основных эволюционных уравнений теории внутренних волн. Показано, что экстремальная волна в рамках этого механизма почти линейная, несмотря на ее большую амплитуду. Механизм нелинейно -дисперсионного сжатия объясняет короткое время жизни аномальной волны. Показано, что аномальные волны могут генерироваться и на фоне «случайных» возмущений. Выполнено сопоставление эффективности механизмов модуляционной неустойчивости и дисперсионного схлопывания периодических модулированных волновых пакетов на генерацию аномальных волн. Показано, что из слабо модулированных волновых пакетов достаточно большой интенсивности могут генерироваться одиночные импульсы большой амплитуды, в то время как из пакетов слабой интенсивности - группы экстремальных волн.

Практическая значимость результатов работы

Практическая значимость проведенного исследования заключается в первую очередь в создании модели трансформации внутренних волн в морях и озерах с учетом реальной горизонтальной изменчивости гидрофизических полей. Предложенная модель использовалась в следующих исследовательских проектах, выполненных под научным руководством автора диссертации:

• «Исследование трансформации внутренних волн полусуточного приливного периода на Северо-Западном шельфе Австралии» - (двухсторонняя Программа сотрудничества в области науки и техники между Австралией и Россией) 1995 - 1997г.

• «Трансформация нелинейных внутренних волн в прибрежной зоне» - (РФФИ, № 96 -05 - 64108, № 00 - 05 - 64223), 1996 - 1998, 2000 - 2002, г.;

• «Численное моделирование динамики поверхностно-активных пленок в поле неоднородных и нестационарных течений» - (МНТЦ, № 1775р), 2000 - 2001г.;

• «Extreme waves» - (INTAS-99-1637), 2000 - 2002г.;

• «Impact of waves and currents on oil and other surfactants transport in coastal areas» -(INTAS -01 - 0330), 2002 - 2004r.; а также в следующих проектах, выполняемых в настоящее время

• «Нелинейная динамика стратифицированной прибрежной зоны» - (РФФИ, № 03-0564978), 2003 -2005г.,

• «Разработка рекомендаций по прогнозированию поля внутренних волн в Северном Ледовитом Океане и его морях на базе усовершенствованных математических моделей стратифицированной среды» - (подпрограмма «Исследование природы Мирового океана» федеральной целевой программы «Мировой океан»), 2003-2007г.;

• «Large amplitude Alfen waves in magnetic plasma» - (Royal Society, UK), 2003 - 2004r.;

• «Strongly nonlinear internal waves in lakes: generation, transformation and meromixis» -проект INTAS - 03-51-3728, 2004 - 2006r.;

Результаты, полученные в диссертационной работе, также использовались при составлении серии международных учебных пособий в рамках образовательского проекта TEMPUS - TASIS № JEP-10460-98: «Физическое и численное моделирование в инженерной экологии», «Контроль и прогнозирование загрязняющих веществ в реках», «Разработка сценариев экологических катастроф» [TI 1, Т52, Т61].

Апробация работы

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [Т4-Т8, Т10-Т20, Т22-Т27, Т29 - Т67] и докладывались на следующих международных конференциях: ежегодные сессии Научного Совета РАН по нелинейной динамике, Москва, Россия, 1994 — 2003; 18-й Международный конгресс по теоретической и прикладной механике (ШТАМ), Хайфа, Израиль, 1992; Международная рабочая группа "Лабораторное моделирование динамических процессов в океане», Москва, Россия, 1993; международный симпозиум "Взаимодействие океана и атмосферы", Марсель, Франция, 1993; вторая Европейская конференция по механике жидкости, Варшава, Польша, 1994; международная конференция "Динамика атмосферы и океана", Москва, Россия, 1995; международная конференция по прибрежной динамике' 95, Гданьск, Польша, 1995; конференция по динамике жидкости, Мельбурн, Австралия, 1995; Генеральная Ассамблея Европейского геофизического общества (Гаага, Нидерланды, 1996; Вена, Австрия, 1997; Ницца, Франция, 2000 - 2004); международная конференция «Методы вычислений и их приложение» (СТАС97), Аделаида, Австралия, 1997; ЮА1188'97, Сингапур, 1997; Евромех: «Поверхностные слики и мониторинг взаимодействия между океаном и атмосферой», Ворвик, Великобритания, 1998; Генеральная ассамблея ИЮв, (Мельбурн, Австралия, 1997; Бирмингем, Великобритания, 1999); международное совещание «Солитоны внутренних волн: физика и приложение в акустике, биологии и геологии», Сидней, Канада, 1998; международное совещание «Акустика и океанография на Малин шельфе», Великобритания, 1998; 43 ежегодная конференция австралийского математического общества, 1999 (Мельбурн, Австралия); международное совещание по моделированию Северного и Средиземного морей (ГОЫЗМСЮ), Тулон, Франция, 2000; международная конференция по поверхностным волнам в жидкости (Ньютоновский Математический институт), Кембридж, Великобритания, 2001; девятый международный симпозиум по природным и техногенным катастрофам, Анталья, Турция, 2002; международный симпозиум «Актуальные проблемы физики нелинейных волн», Нижний Новгород, Россия, 2003; международная конференция «Рубежи нелинейной науки», Нижний Новгород, Россия, 2001, 2004;

Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах ИПФ РАН, Нижегородского государственного технического университета, научных школ академика РАН В.И, Таланова и член-корреспондента РАН Б.В. Левина, Института океанологии РАН, Арктического и Антарктического института, Монашевском университете и Университете Нью Саус Вейлс (Австралия), университетах Лафборо и Шеффильда (Англия). Они также докладывались на семинарах в Институте теплофизики СО РАН,

Институте водных проблем (Польша), Океанском университете (Китай), Институте неравновесных физических систем и Университете Гваделупы (Франция), Национальном Сеульском университете (Корея), Тель-авивском университете (Израиль).

Автор выражает благодарность, прежде всего, научному консультанту профессору, лауреату Государственной премии России Ефиму Наумовичу Пелиновскому за большую помощь и безграничное терпение, проявленные им при обсуждении настоящей диссертации. Также автор выражает благодарность своим соавторам, профессору университета Лафборо Р. Гримшоу, совместно с которым было решено много интересных задач по динамике солитонов и волновых групп, д-ру К. Лэмбу, благодаря работе с которым была прояснена ситуация с неоднозначностью форм асимпотических уравнений следующих порядков, группе молодых исследователей: к.ф.-м.н. A.B. Слюняеву, к.ф.-м.н. O.E. Полухиной, Н.В. Полухину, A.B. Кокориной и A.A. Красилыцикову, без которых не были бы написаны многие работы, д.ф.-м.н. Ю.А.Степанянцу, стоявшему у истоков развиваемой модели, к.ф.-м.н. Куркину A.A. за большой вклад в вычислительную работу, профессору Средиземноморского университета г. Марселя К. Харифу, совместно с которым были сделаны работы по генерации волн аномальной амплитуды, а также написаны учебные пособия, зам. директора Морского гидрофизического института Украины профессору Иванову В.А., благодаря которому автор принимал участие в двух океанских экспедициях, посвященных исследованию внутренних волн, д.ф.-м.н. И.В. Лавренову, благодаря которому арктические моря вошли в круг интересов автора, д.ф.-м.н. Е.Г. Морозову, совместно с которым была сделана работа по статистике внутренних волн, д-рам Дж. Смоллу и Дж. Скотту, а также д-ру Т. Шервину, благодаря работе с которыми была поведена верификация модели по натурным данным, д-ру Н. Заибо, благодаря сотрудничеству с которым автор вышел на новый круг проблем. Я не могу не вспомнить своего друга, соавтора многих научных работ, рано ушедшего из жизни д-ра Питера Холловея, совместно с которым было проведено первое моделирование реальной океанской ситуации по развиваемой модели.

Также автор благодарит коллектив отдела 230 Института прикладной физики РАН, академика РАН В.И. Таланова, д.ф.-м.н. А.Г.Лучинина, д.ф.-м.н. Ю.И.Троицкую, И.А. Соустову, к.ф.-м.н. А.И. Малеханова, В.Н. Ильину, Т.Г. Звереву за создание благожелательной, творческой атмосферы в отделе и отделении Гидрофизики ИПФ РАН, позволившей автору закончить диссертацию.

6.3. Выводы

В данной главе получены следующие основные результаты:

1. Предложен механизм образования волн аномально большой амплитуды вследствие дисперсионного сжатия нелинейных волновых пакетов. Он демонстрируется в рамках точных и численных решений уравнения Кортевега - де Вриза. Показано, что экстремальная волна в рамках этого эволюционного уравнения почти линейная, несмотря на большую амплитуду. Механизм нелинейно - дисперсионного сжатия объясняет короткое время жизни аномальной волны. Показано, что аномальная волна генерируется из пакетов специальной формы, однако условия неоптимальности достаточно широкие. Показывается, что аномальные волны могут генерироваться на фоне и «случайных» возмущений.

2. В рамках нелинейного уравнения Шредингера рассмотрено совместное действие модуляционной неустойчивости и дисперсионного схлопывания периодических модулированных волновых пакетов. Показано, что в этом случае усиление волны может быть почти неограниченным за счет практически линейной стадии дисперсионного схлопывания. На больших временах нелинейность разрушает фазовые соотношения, и механизм дисперсионного сжатия становится не таким эффективным.

3. Исследован процесс возникновения аномально высоких волн в рамках модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза в случае модуляционно неустойчивого волнового поля. Показано, что из слабо модулированных волновых пакетов достаточно большой интенсивности могут генерироваться одиночные импульсы большой амплитуды, в то время как из слабо интенсивных пакетов - группы экстремальных волн. Влияние нелинейности сказывается сильно на динамику коротко живущих аномально больших импульсов.

Заключение

В диссертации представлены следующие результаты, выносимые на защиту:

1. Разработана модель слабонелинейных и слабодисперсионных волновых движений в стратифицированной жидкости, основанная на эволюционном уравнении Гарднера (расширенном уравнении Кортевега-де Вриза). Даны аналитические формулы для коэффициентов этого уравнения для произвольной стратификации жидкости по плотности и течению. Они рассчитаны в явном виде для некоторых типов стратификаций, а также сделаны численные расчеты для измеренных стратификаций природных водоемов. Модель включает медленно меняющуюся глубину бассейна и плавную горизонтальную неоднородность вертикальных распределений полей плотности и сдвиговых течений. В модели также учтены эффекты, связанные с вращением бассейна.

2. Полученные аналитические, асимптотические и численные решения уравнения Гарднера использованы для описания разнообразных режимов динамики солитонов. Найдены условия рождения только солитонов, только бризеров и стационарных импульсов обоих классов, а также дисперсионного волнового цуга, соответствующего непрерывному спектру. Показано, что при отрицательном знаке коэффициента кубической нелинейности затухание «столообразных» солитонов существенно зависит от типа диссипации (нелинейное трение, горизонтальная диффузия). При положительном знаке кубической нелинейности и диссипации любого типа солитоны «положительной» полярности (совпадающие по знаку со знаком коэффициента квадратичной нелинейности) затухают, как и солитоны уравнения Кортевега — де Вриза, а солитоны «отрицательной» полярности разрушаются, образуя затухающий бризер. Если коэффициент квадратичной нелинейности проходит через ноль, то показано, что при больших отрицательных значениях коэффициента кубической нелинейности «столообразный» солитон, разрушаясь в критической точке, преобразуется также в столообразный солитон противоположной полярности. При положительном коэффициенте кубической нелинейности найдены три возможных сценария: волна большой амплитуды любой полярности проходит через критическую точку адиабатически, солитон средней или малой амплитуды «положительной» полярности ведет себя практически как солитон уравнения Кортевега-де Вриза, преобразуясь в солитон противоположной полярности после критической точки, а солитон средней амплитуды «отрицательной» полярности, проходя через стадию алгебраического солитона вблизи критической точки, преобразуется в бризер. Аналогичные режимы адиабатической и неадиабатической трансформации солитонов получены для изменяющейся по знаку кубической нелинейности.

Выведено нелинейное уравнение Шредингера для групп внутренних волн в рамках модели Гарднера. Показано, что если кубический нелинейный коэффициент уравнения Гарднера отрицательный, то волновые группы всегда устойчивы, а при положительном кубическом коэффициенте устойчивость имеет место только для достаточно длинных волн. На границе области самомодуляционной неустойчивости, получено модифицированное уравнение Шредингера с точностью до следующего порядка, и найдены его стационарные решения в виде солитонов огибающих. Ассоциированная спектральная задача для нелинейного уравнения Шредингера, используемая в методе обратной задачи теории рассеяния, выведена с помощью асимптотического метода из ассоциированной спектральной задачи для «фокусирующего» уравнения Гарднера. Соответствие решений уравнения Гарднера и нелинейного уравнения Шредингера показано как решением спектральной задачи, так и прямым численным моделированием исходных уравнений. На больших расстояниях (временах) результаты расчетов по разным моделям начинают расходиться между собой. В динамике демодуляционных волновых пакетов показан существенно нелинейный характер трансформации волнового пакета. Движение волнового пакета сопровождается излучением низкочастотных волн вперед и высокочастотных волн назад, так что средняя амплитуда волнового пакета уменьшается с расстоянием. Эти исследования (в рамках пространственной версии уравнения Кортевега-де Вриза) подтверждены результатами лабораторного моделирования распространения модулированных групп поверхностных волн.

Развитая модель применена для описания трансформации внутренних волн в горизонтально-неоднородном океане. В частности, создан атлас кинематических характеристик внутренних волн для Мирового океана, демонстрирующий горизонтальную изменчивость кинематических характеристик внутренних волн. Показано, что параметры линейной скорости распространения и дисперсии хорошо коррелируют с глубиной океана, в то время для параметров нелинейности такая корреляция отсутствует, а наличие сдвиговых течений существенно изменяет кинематические характеристики внутренних волн. Расчеты для реальных стратификаций показали сопоставимую роль квадратичной и кубической нелинейностей на эволюцию приливной волны в прибрежной зоне, подтверждая практическую значимость перехода от моделей типа Кортевега-де Вриза к моделям типа Гарднера. Рассчитано «время жизни» солитонов внутренних волн, связанное с горизонтальной неоднородностью плотностной стратификации. Показано, что на каждом из исследуемых шельфов существуют участки, где возможна адиабатическая трансформация солитонов; длина этих участков составляет от 6 км до 140 км, а время «адиабатической жизни» солитонов - от 1.5 часа до нескольких суток. Тем самым, подтверждается гипотеза об эволюционном характере солитоноподобных импульсов, часто наблюдаемых на снимках морской поверхности из космоса. Выполнены расчеты трансформации внутренних волн на полигоне, хорошо обеспеченном натурными данными, и получено хорошее согласие между расчетными и наблюдаемыми данными.

Аналитически исследована структура пограничного вязкого слоя, покрытого пленкой поверхностно — активных веществ, у поверхности раздела вода — воздух в поле внутренней волны. Показано, что поверхностно — активная пленка не влияет на структуру поля скорости внутренних волн только в натурных условиях, когда скорости распространения внутренних волн большие, а упругость натурных пленок невелика. В условиях лабораторных лотков и бассейнов, где существует обратная ситуация, поверхностно - активная пленка меняет поле течений внутренней волны в вязком погранслое, вплоть до изменения знака поверхностного течения. Таким образом, существуют ограничения на моделирование волновых течений в приповерхностном слое в малых стратифицированных лотках. Полученные точные, приближенные и численные решения уравнения баланса примеси в поле нестационарных течений и волн подтвердили, что учет нестационарных эффектов приводит к сложной нестационарной картине распределения поверхностной пленки в поле волновых возмущений, а выход на стационарное состояние мо1ут обеспечивать только процессы горизонтальной диффузии и релаксации. Получено, что прохождение дисперсионного пакета внутренних волн сопровождается долгоживущим длинноволновым «следом» в поле поверхностной концентрации.

Предложены механизмы образования внутренних волн аномально большой амплитуды в рамках модели Гарднера. Детально исследован механизм дисперсионного сжатия нелинейных волновых пакетов. Он демонстрируется в рамках аналитических и численных решений основных эволюционных уравнений теории внутренних волн. Показано, что экстремальная волна в рамках этого эволюционного уравнения почти линейная, несмотря на большую амплитуду. Механизм нелинейно-дисперсионного сжатия объясняет короткое время жизни аномальной волны. Показано, что аномальная волна генерируется из пакетов специальной формы, однако условия неоптимальности достаточно широкие. Доказывается, что аномальные волны могут генерироваться на фоне и «случайных» возмущений. Выполнено сопоставление эффективности механизмов модуляционной неустойчивости и дисперсионного схлопывания периодических модулированных волновых пакетов на генерацию аномальных волн. Показано, что из слабо модулированных волновых пакетов достаточно большой интенсивности могут генерироваться одиночные импульсы большой амплитуды, в то время как из пакетов слабой интенсивности - группы экстремальных волн.

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987, 480 с.

2. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотическая теория коротких волн. М.: Наука, 1972.

3. Белашов В.Ю. Уравнение КП и его обобщения. Теория, приложения. 1997, Магадан, Изд-во СВНЦ ДВО РАН, 162с.

4. Березин Ю.А. Численные исследования нелинейных волн в разреженной плазме. Новосибирск: Наука, 1977.

5. Березин Ю.А. Моделирование нелинейных волновых процессов. Новосибирск: Наука, 1982.

6. Богатырев С.Д. и др. Принципы построения лабораторной модели стратифицированного океана. Препринт ИПФ АН СССР. № 26. 1981. 38 с.

7. Буренков В.И., Васильков А.П. О влиянии материкового стока на пространственное распределение гидрологических характеристик Карского моря. Океанология, 1994,34, №5, 652-661.

8. Вольцингер Н.Е., Клеванный К.А., Пелиновский E.H. Длинноволновая динамика прибрежной зоны. Л.: Гидрометеоиздат. 1989.

9. Горшков К.А., Соустова И.А. Взаимодействие солитонов как составных структур в модели Гарднера. Изв. ВУЗов Радиофизика, 2001, 44, 502-514.12.1516,17,1821