Нелинейные стационарные волны на сдвиговом горизонтальном течении жидкости

Руденко, Алексей Иванович

Нелинейные стационарные волны на сдвиговом горизонтальном течении жидкости тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Руденко, Алексей Иванович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Калининград МЕСТО ЗАЩИТЫ

2007 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Нелинейные стационарные волны на сдвиговом горизонтальном течении жидкости»

Автореферат диссертации на тему "Нелинейные стационарные волны на сдвиговом горизонтальном течении жидкости"

На правах рукоаиси

□03056692

Руденко Алексей Иванович

НЕЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ НА СДВИГОВОМ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ

01.04.02- теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Калининград - 2007

Работа выполнена в ФГОУ ВПО "Калининградский государственный технический университет"

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент

Зайцев Анатолий Алексеевич

Официальные доктор физико-математических наук,

оппоненты: профессор

Лебле Сергей Борисович,

кандидат физико-математических наук, доцент

Байдулов Василий Геннадьевич

Ведущая организация: Московский государственный университет

им. М.В. Ломоносова, физический факультет.

Защита диссертации состоится 7 " 2007г. в /5Г' часов

на заседании диссертационного совета К212.084.02 физического факультета Российского государственного университета имени Иммануила Канта.

по адресу: 236041, г. Калининград, ул. Ал. Невского, 14

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского государственного университета имени Иммануила Канта

Автореферат разослан ".¿V " 2007г.

Ученый секретарь

диссертационного совета / / В.А. Пахотин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Различие типов волн в природе обусловлено определяющей возвращающей силой (гравитация, поверхностное натяжение), структурой динамических уравнений и граничных условий, определяющих основную характеристику волны - дисперсионное соотношение. При рассмотрении волновых движений в несжимаемой жидкости выделяют поверхностные и внутренние волны. Оба типа волн существенно влияют на геофизические процессы, поэтому их изучению уделяют пристальное внимание.

Волны на поверхности жидкости являются одним из самых распространенных видов волнового движения в природе, которые доступны для визуального наблюдения. Характеристики волн зависят от свойств и параметров среды, в которой они распространяются. Среди поверхностных волн выделяют поверхностные гравитационные и короткие капиллярно-гравитационные волны; среди внутренних волн выделяют внутренние гравитационные волны при произвольном распределении плотности и волны относительно тонкой (по сравнению с длиной волны) границе раздела. Трудности исследования задач теории поверхностных волн связаны с существенной нелинейностью граничных условий на свободной поверхности, которая в свою очередь, также является неизвестной функцией и подлежит определению. Одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений является изучение волновых движений в жидкости при наличии сдвиговых течений. Особый интерес представляет изучение строения и характеристик нелинейных стационарных волн в жидкости, стратифицированной по плотности и течению.

Важную роль в процессе развития теории нелинейных волн сыграла задача о стационарных волнах на поверхности идеальной жидкости, впервые рассмотренная Стоксом (1847, 1880), где было предложено два метода ее решения. В дальнейшем исследования Стокса были продолжены многими учеными, в том числе Буссинеском, Кордевегом, де Вризом, Рэлеем, Митчеллом, Хавелоком, Уилтоном, Некрасовым, Леви-Чивита, Струиком, Лаврентьевым, Сретенским, Красовским, Фридрихсом, Хайерсом, Дэ, Шварцем, Уиземом и другими; эти исследования привели к появлению уравнения Кортевега-де Вриза, анализ которого породил один из важнейших разделов современной теоретической физики — теорию солитонов. Вместе с тем, задача описания вывода нелинейного дисперсионного соотношения даже для простейшего случая волн на течении с линейным профилем скорости остается открытой.

Цель работы заключается в изучении характеристик, строения профиля и вывода нелинейного дисперсионного соотношения для стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении путем решения следующих задач:

- выводу точного нелинейного уравнения для профиля стационарной волны на поверхности идеальной однородной жидкости конечной глубины, его решение в виде аналитических рядов, вывода нелинейного дисперсионного соотношения;

- в рамках эйлерова подхода и других стандартных условий изучить стационарные нелинейные волны на горизонтальном сдвиговом течении жидкости конечной глубины при условии, что профиль средней скорости линейный; при этом особое внимание уделить выводу и анализу нелинейного дисперсионного соотношения;

- усовершенствовать существующую методику анализа нелинейных волн.

Научная новизна. Для задачи о двумерных стационарных нелинейных волнах на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины при условии, что волновые движения являются потенциальными, впервые выведено точное нелинейное уравнение для профиля стационарной волны на поверхности жидкости; благодаря этому исходная двумерная нелинейная краевая задача сведена к интегро-дифференциальному уравнению для функции одной переменной.

Дан подробный анализ решения классической задачи Стокса. В частности, доказана гипотеза Уилтона (1914).

В задаче о поверхностных волнах на сдвиговом течении с линейным профилем средней скорости предложена модификация первого метода Стокса; получено и проанализировано нелинейное дисперсионное соотношение для волн, бегущих вверх и вниз по потоку.

Научная и практическая значимость. В работе исследованы стационарные нелинейные волны на горизонтальном течении идеальной однородной несжимаемой жидкости конечной и бесконечной глубины с линейным по вертикали профилем средней скорости. С учетом интегро-дифференциального уравнения (с кубической нелинейностью) для профиля стационарной волн двумерная задача сводится к одномерной, что существенно упрощает процедуру расчета приближений. Использованная в работе методика может быть применена для решения других задач теории нелинейных волн в диспергирующих средах. Полученное нелинейное дисперсионное соотношение может быть использовано для вывода модельных уравнений Кортевега - де Вриза, Кадомцева -Петвиашвили, нелинейного уравнения Шредингера, описывающих распространение длинных слаболинейных волн и их пакетов на

горизонтальном сдвиговом течении с линейным профилем средней скорости. Найденные нелинейные поправки к фазовой скорости можно использовать для изучения эффектов автомодуляции. Диссертационная работа поддержана следующими грантами:

- Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 0305-65136, №00-05-64136);

- Международного фонда фундаментальных исследований ШТАБ (проект № 460/01,2002 г.).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Вывод интегро-дифференциального уравнения с кубической нелинейностью для профиля стационарной волны на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины.

2. Определение профиля и нелинейного дисперсионного соотношения стационарных волн на поверхности жидкости конечной глубины с точностью до седьмого приближения.

3. Вывод системы одномерных уравнений, описывающих распространение стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины с линейным профилем средней скорости.

4. Обоснование корректности выбора разложений по степеням амплитуды основной гармоники для скорости профиля волны, относительной функции тока и семейства вспомогательных функций.

5. Решение систем уравнений для пяти низших приближений. Вывод и анализ нелинейных дисперсионных соотношений для волн, бегущих вверх и вниз по потоку.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием современных методов теоретической и математической физики, сравнением полученных в работе аналитических решений с теоретическими результатами, известными в литературе.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на XI Международной конференции "Потоки и структуры в жидкостях" (Москва, 2001), Всероссийской научной конференции "Физические проблемы экологии. Экологическая физика" (Москва, 2001, 2004), на 56 научно-техническом семинаре Института проблем механики РАН (Москва, 2002), XXV конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2003), XII Международной конференции "Потоки и структуры в жидкостях" (Санкт-Петербург, 2003), XIII Международной конференции "Потоки и структуры в жидкостях" (Москва, 2005), Международной конференции по избранным трудам

современной математики, приуроченной к 200 - летию со дня рождения К.Г. Якоби (Калининград, 2005).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 14 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Личный вклад автора. В процессе выполнения диссертационной работы автор принимал непосредственное участие в постановке задачи, выборе и реализации методов их решения, физическом анализе и интерпретации результатов математического исследования.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка, используемой литературы. Общий объем диссертации составляет 138 страниц и включает 12 рисунков. Библиографический список включает 132 наименования.

Благодарности. Диссертант выражает благодарность сотрудникам Атлантического отделения Института океанологии им. П.П. Ширшова РАН. Считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность за всемерную поддержку и помощь на всех этапах работы доктору физико - математических наук, профессору В.А. Гриценко, а так же доктору физико - математических наук, профессору Ю.Д. Чашечкину.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, описывается ее общенаучный контекст, сформулированы основные задачи и защищаемые положения, а так же кратко изложено содержание работы.

Одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений является изучение волновых движений в жидкости при наличии сдвиговых течений. Особый интерес представляет изучение строения и характеристик нелинейных стационарных волн в жидкости, стратифицированной по плотности и течению.

Первая глава представляет собой обзор основных публикаций, посвященных тематике диссертации. Здесь описываются теоретические методы изучения нелинейных поверхностных волн, а также дан обзор современного состояния теоретического исследования нелинейных стационарных волн на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости. Трудности исследования задач теории нелинейных поверхностных гравитационных волн связаны с существенной нелинейностью граничных условий на свободной поверхности, которая в

свою очередь также является неизвестной функцией и требует определения.

Во второй главе рассматривается классическая задача о стационарных волнах на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины. Выбранный метод решения родственен второму методу Стокса, но имеет следующие существенные отлитая:

- удалось получить одномерное интегро-дифференциальное уравнение с кубической нелинейностью для профиля стационарной волны на поверхности жидкости конечной глубины,

- решение исходной нелинейной двумерной краевой задачи сведено к решению системы двух одномерных квадратичных уравнений,

- решение поставленной задачи получено с точностью до седьмого приближения; этот результат перекрывает те, которые получены ранее.

В первом параграфе дана физическая и математическая постановка задачи. Пусть на свободной поверхности идеальной однородной несжимаемой жидкости конечной глубины сформировалась система стационарных нелинейных волн, движущихся с постоянной скоростью с. Предполагается, что волновые движения являются двумерными и потенциальными. Рассмотрения ведутся в системе координат, перемещающейся вместе с волной. Следуя второму методу Стокса область течения с помощью комплексного потенциала скорости конформно отображается на полосу (в случае жидкости конечной глубины) или полуплоскость (в случае бесконечной глубины); в случае жидкости конечной глубины образом этого отображения будет полоса 0<у/<с1, где ц/ -относительная функция тока, с! = (3/с - динамическая глубина жидкости, () - расход через вертикаль. Уравнения движения и граничные условия записываются для координат частиц жидкости, параметрически зависящих от потенциала скорости и относительной функции тока. Они удовлетворяют уравнению Лапласа и нелинейным граничным условиям на свободной поверхности и на дне; запись динамического граничного условия на сводной поверхности использует интеграл Бернулли-Коши. Отмечена роль условия нулевого среднего для профиля волны, которое обычно не формулируется, но неявно используется.

Во втором параграфе приводится решение задачи в линейном приближении; в дальнейшем на этом решении основан выбор степенных рядов, которые используются для решения нелинейной задачи методами теории возмущений.

В третьем параграфе дан вывод следующего интегро-дифференциального уравнения с кубической нелинейностью для профиля стационарной волны т]{<р) и ее характеристик:

(Р - 2т](<р))((1 + Vт](ср))2 +(т1'((р))2) = с21К, х'(ср) = 1 + Ут]Ш?](<р)) = 0.

Здесь с- скорость волны, Р - константа интегрирования, g — ускорение свободного падения, (р - значение относительного потенциала скорости частиц жидкости на свободной поверхности, х - горизонтальная декартова координата. Решение этого уравнения дает выражение для профиля стационарной волны в виде следующей параметрической зависимости: л: = х((р), г] = т](<р).

Этот результат представляет самостоятельный интерес и упрощает решение задачи.

В четвертом параграфе дается новая математическая постановка задачи о строении и характеристиках стационарных волн на поверхности жидкости. Она основана на уравнении для профиля волны. Кроме того, вводится новая функция (ее физический смысл: это есть значение обратного квадрата скорости на поверхности жидкости). С ее помощью получается система двух одномерных квадратичных уравнений. Решение этой системы позволяет определить профиль стационарной волны и нелинейное дисперсионное соотношение. Новая математическая постановка задачи такая:

Задача. Определить константы с, Р и функции г!=г\((р), И¥=Ж((р), удовлетворяющие следующим уравнениям для профиля стационарной волны и ее характеристик:

(Р - 2п(р))Щ<Р) = с2 / я, Щр) = (1 + У^ср)? + (Т7'(р))2,

а также условиям периодичности и нулевого среднего:

Т](<Р + Ь) = т](<р), Ж{(р + Ь) = Ш{<р), £ = 2я7£, (т,(<р)) = 0;

здесь к - волновое число.

Таким образом, решение исходной нелинейной двумерной краевой задачи сводится к решению системы двух одномерных квадратичных уравнений.

В пятом параграфе приводятся исходные представления для профиля волны и вспомогательной функции в виде тригонометрических многочленов седьмой степени:

!{¥) ~ Л\ со${к(р) + 772 соъ(2к(р) + Т]} соз(3к<р) + т]4 соз(4кф) + ?/5 со8(5кф) +

+ Т]6 со5(6к<р) + Т]7 С05{1к(р),

IV(гр) = 1У0 + И\ соб(к<р) + \У2 соб(2к<р) + !¥3 соъ{Ък<р) + Ж4 соб(4к<р) +

+ сов(5А:^) + 1У6 соз(6к<р) + 1¥у соъ{1к(р).

Условия периодичности и нулевого среднего выполняются автоматически.

Подстановка тригонометрических многочленов в систему квадратичных уравнений дает систему алгебраических уравнений для их коэффициентов.

В шестом параграфе даны выражения для скорости волны, константы интегрирования и коэффициентов тригонометрических многочленов в виде степенных рядов по степеням амплитуды основной гармоники в профиле волны с точностью до членов седьмого порядка малости, получены и решены системы уравнений для последовательных приближений. В частности, получено следующее выражение для нелинейного дисперсионного соотношения:

С2/£ =

= к-ЧЪ(к<1)(\ + 2~3(9Д4 - 6В2 + 5)(ка)2 +

+ 2_9(ЗЛ2 +1)(27Я8 +180Д6 + 306Л4 -108Д2 +43)(ка)* -

-215(5Д2+1)-'х

х(10935Д18 -51273Л16 -693252Д14 -1627812Л12 -1123758Д10 -215054Д8 -

39348Я6 -12180Д4 -337Л2 +143)(Ь)6), Л = с/А(М).

В седьмом параграфе дан анализ решений систем уравнений для последовательных приближений.

В третьей главе исследуется задача о стационарных волнах на горизонтальном сдвиговом течении идеальной однородной жидкости конечной глубины. Метод ее решения близок первому методу Стокса решения аналогичной задачи в отсутствии сдвигового течения, но имеет следующее отличие: благодаря введению вспомогательных функций и использованию специального линейного оператора исходная нелинейная двумерная краевая задача сводится к системе одномерных квадратичных уравнений, число которых определяется точностью выбранного приближения.

В первом параграфе дана физическая постановка задачи: пусть на свободной поверхности идеальной однородной несжимаемой жидкости конечной глубины сформировалась система стационарных нелинейных волн, движущихся с постоянной скоростью с. Ставится цель в рамках эйлерова подхода изучить случай двумерных волновых движений жидкости конечной глубины и линейного профиля средней скорости. При выполнении второго условия становится возможным, как и в отсутствие среднего течения (то есть в задаче Стокса), существование безвихревых волновых движений.

Для математической постановки задачи требуется предварительный анализ. С этой целью во втором параграфе уравнения идеальной жидкости и граничные условия преобразуются в уравнения и граничные условия для стационарных волн на сдвиговом течении. Для решения рассматриваемой задачи удобно гидродинамические характеристики выразить через функцию тока волновых движений у/= у/(х,у), которая определяется равенствами

и = у/у, У = -у/х,

где и,у— горизонтальная и вертикальная составляющие скорости. Тогда уравнение несжимаемости удовлетворяется автоматически, а условие потенциальности волнового движения сводится к уравнению Лапласа.

которое заменяет уравнения Эйлера. Его нужно дополнить граничными условиями, выраженными через у/. Это можно сделать, если воспользоваться первыми интегралами. Их вывод дается в следующем параграфе.

В третьем параграфе приведены первые интегралы рассматриваемой задачи. Предлагаемая методика решения задачи о стационарных волнах на сдвиговом течении использует два таких интеграла: постоянство функции тока на свободной поверхности в системе координат, движущейся вместе с стационарной волной, и обобщение интеграла Бернулли - Коши, который имеет следующий вид:

р/р + (и2 +у2)/2 + (-с + Ьу)и-Ьцг + & =

= ((Ю2+(¥;)2У2 + (-с + Ьг)Уу-ЬГ+8г1 = Р;

здесь Ъ - вертикальный градиент среднего течения.

Благодаря обобщенному интегралу Бернулли - Коши динамическое условие на свободной поверхности записывается в такой форме:

((О1 +{¥у)2)!2 + {-с + Ьт1Уу-ЬГ +gЛ = P,

где Р - константа интегрирования, символы у/5 ,щ5х,у/5у обозначают

значения относительной функции тока и ее производных на свободной поверхности

Граничное условие непротекания на дне, выраженное через относительную функцию тока, становится таким:

у/ = 0, у = -к

Получено решение задачи в линейном приближении: т](х) = асо5(кх),

у/(х, у) = ¿/Г1 (кк) с0а соб (кх)зк{к{у + /г)), к сЩЩс2 + Ьс0-§ = 0.

Последнее соотношение является уравнением для фазовой скорости линейных синусоидальных волн. Оно имеет два разных действительных корня:

с0 = (2 куЧк(кЬ)(-Ь ±ч]ь2 + 4 ёк ШкИ)),

первый из которых положительный, а второй отрицательный. Им соответствуют две синусоидальные волны, бегущие вниз и вверх по потоку.

а) 6 = 1.0 6) Ь = 0.75

в) Ъ = 0.5

г) Ъ = 0.25

Рисунок 1. Графики зависимости скорости волны от волнового числа для различных значений 6; нижняя кривая соответствует волне, бегущей вверх но потоку; верхняя кривая соответствует волне, бегущей вниз по потоку.

Отметим, что в длинноволновом приближении, кк «1, с0 = (-6//±

С ростом к модули обоих значений скорости монотонно убывают до О. Графики их зависимости от к изображены на рисунке 1.

Решение линейной задачи будет служить основой выбора разложений характеристик нелинейных стационарных волн в виде рядов по степеням амплитуды основной гармоники (§ 2.6).

В четвертом параграфе первые интегралы использованы для формулировки новой математической постановки задачи о строении и характеристиках стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении. С этой целью сначала разлагаются функция тока на свободной поверхности и нелинейное динамическое условие по степеням профиля волны. Затем определяются вспомогательные функции. С их помощью получается система одномерных квадратичных уравнений, число которых определяется точностью приближенного решения. В том случае, когда решение ищется с точностью до пятого порядка по степеням амплитуды основной гармоники профиля стационарной волны, возникает следующая

Задача. Требуется определить константы п, Р, и семейство функций

7/(х), у/{х), £(х), Н2{х),Нъ(х),Н4{х\\Ух{х\\¥2{х)Лз«,ад> которые подчиняются следующим условиям и соотношениям:

- функции Т](х), у/{х~) периодичны по * с периодом Ь~2п/к, Т]{х + Ь) - Т](х), ц/{х + Ь) = ц/(х),

и удовлетворяют условию нулевого среднего (17(х)) = 0,(И*)) = 0,

- все перечисленные функции связаны соотношениями 5(х) = Уу(х),

ЕП{х) - Ъ ц,{х) - с£(х) + 2-'(£2(х) + (у'(х))2) -

- фЩ(х) - 24Я2(х)1Г2(х) - б4Я3(хЩ(х) - 2~33'1//4(х)РГ4(х) -

- 2"1 ЬН2 (х)у/"(х) - З"1 ЪНъ (*)£"(*) + 2 'ъЪН4{х)ц/'у (х) = Р,

- ст](х) + у/(х) + 2'1 ЬН2(х) + Г1(х)£(х) - 2-1 Н2{х)у"(х) + + ~ б"1 Я з«<Г « = б,

Я2(х) = 1]2{х), Я3 (х) = т](х)Н2(х), Я4(х) = ц(х)Я3 (х), Г, (х) = -с у,"(х) - цг\х)^\х) +

Ж2(х) = -с£"(х) + - (£' М)2 + Чг\х)чг"\х) - (у"(х))2,

- профиль стационарный волны симметричный.

Здесь в выражении для 1У4 (х) опущены квадратичные слагаемые, поскольку их вклад в уравнение, содержащее Р, дает слагаемые 6-го порядка малости относительно амплитуды волны. Таким образом, система уравнений с точностью до 5-го приближения содержит десять уравнений для десяти неизвестных функций

ф), ¥{х), ах), я2 (х), Н3 (х), //4 (х), 1¥х (х), 1Г2 (х), Щ (х), \УА (х) и трех неизвестных констант п, Р, . Поскольку число уравнений совпадает с числом неизвестных функций, эта система совместна. В дальнейших параграфах показана разрешимость этой системы, причем значения неизвестных констант найдены с помощью условий периодичности и нулевого среднего. То же самое остается справедливым и в общем случае, когда решение ищется для произвольного приближения. Таким образом, полученная одномерная задача поставлена корректно.

Решение этой задачи позволяет определить профиль стационарной волны и нелинейное дисперсионное соотношение.

В пятом параграфе приводятся исходные представления для профиля волны и вспомогательной функции в виде тригонометрических многочленов пятой степени; для профиля волны это представление следующее:

7](х) = цх со%{кх) + 72 соз(2Ь:) + ?]3 сов(3кх) + ?74 соз(4Ь:) + ?/51 соб(5кх).

Аналогичные представления имеют остальные неизвестные функции. Условия периодичности и нулевого среднего выполняются автоматически.

Подстановка тригонометрических многочленов в систему квадратичных уравнений дает систему 58-ми алгебраических уравнений для коэффициентов этих многочленов и констант с, Р, Q (амплитуда основной гармоники а= щ считается заданной).

В шестом параграфе даны выражения для скорости волны, констант интегрирования и коэффициентов тригонометрических многочленов в виде степенных рядов по степеням амплитуды основной гармоники в профиле волны с точностью до членов пятого порядка малости, получены и решены системы уравнений для последовательных приближений.

Результатом выполненных расчетов будет следующая сводка значений для коэффициентовп1гуг30,£30,т]31,

с, =2~\кс0У\2Яксй + Ъ)~\Я{9Я4-10Д2 + 9 )(кс0)4 + + 2(9 Я4 - 2Л2 + 1)Ь(кс0)3 + ЗД(5Я2 +1 )Ь2{ксй)2 + + 2(ЗД2+1 )Ь3кс0+ЯЬ4),

= ~2~ъ(ксйу2(2Якс0 + Ьу\Я(ЗЯ4 +8Д2 -9)(кс0)ъ + + (6Я4 + 9Я2 -2)Ь(кс0)2 +4Я(Я2 +1)Ь2кс0+Я2Ь3),

= -2~3(кс0У2(2Якс0 + Ь)~1Я(Я(ЗЯ4 +8Д2-9)(кс0)3 + + (6Я4 + 9Я2 - 2)Ь(кс0 )2 + 4Д(Д2 + 1)Ь2^с0 + Я гЬ3), Ъх =2~\ксйу4Я-\Я{Ъ{ЗЯ2 -\)(ЗЯ4 +1)(Ь0)4 + + 2(ЗЙ2 +1)(9Д4 +4Л2 -1 )Ь(кс0)3 +

+ Я(5Я2 + 3)(9Я2 + 5)Ьг(кс0)2 + 2(Я2 +1)(9Я2 +\)Ъгкс0 + Я(ЗЯ2 +1 )Ь4), у/п = 2'\кс0)-4Я-\ЪЯ2 + 1)(Я(Я2 -1)(9Я2 -13)0Ц,)4 + + 2(Я2 -1)(9Я2 + \)Ъ(кс0)3 + Я(15Я2 -\)Ь2{ксй)2 + 2{ЗЯ2 + \)Ь3кс0 +ЯЬ4), $п=Ъ-2-\кс0у4{Я2 + 3)(Я(Я2 -\)(9Я2 -13)(Ь0)4 + + 2(Я2-1)(9Д2 +1 )Ъ(ксй)1 + Я(\5Я2 -1 )Ъ2(кс0)2 + + 2{ЗЯ2 +\)Ь3кс0+ЯЬ4).

Используя значение с,, найдено нелинейные дисперсионные соотношения для обоих типов волн:

с(0 = 4°(1 + 2~3(2Я + Ь0У\Я(9Я4 - ЮЛ2 +9) + + 2(9Л4 -2Я2 +1 )Ь0 + ЗЯ(5Я2 +1 )Ь2 + 2(3Я2 + 1)Ь30 + ЯЪ40)(ка)2),

где Ь0=Ь/кс0; при г' = 1- волна движется вверх по потоку, / = 2-волна движется вниз по потоку. В случае 6 = 0 они переходят в дисперсионное соотношение Стокса

с = кяу1 (1 + 2-4(9Я4 -10Д2 + 9)(ка)2).

В седьмом параграфе дан анализ решений систем уравнений для последовательных приближений.

Расчет нелинейной поправки к скорости стационарных волн на течении и сравнение с поправкой для скорости волн Стокса (результаты для случаев ¿ = 0.25, 0.5, 0.75 и 1.0 показаны на рисунке 2; там средняя линия относится к волнам Стокса, а верхняя и нижняя к волнам, бегущих вниз и вверх по потоку), позволяет сделать следующие выводы:

- в присутствии сдвигового течения скорость нелинейной правой волны возрастает, а левой - уменьшается;

- увеличение градиента течения ведет к росту скорости правой волны и уменьшению скорости левой волны;

- влияние течения увеличивается в длинноволновой области и уменьшается в коротковолновой.

6)6 = 0.75

в)Ь = 0.5 г)й = 0.25

Рисунок 2. Графики зависимости нелинейной поправки к скорости волны от волнового числа к при различных значениях градиента Ь; для волн Стокса (средняя линия) и волн на течении, бегущих вниз (верхняя линия) и вверх (нижняя линия) по потоку.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ РАБОТЫ

1. Получено интегро-дифференциальное уравнение с кубической нелинейностью для профиля стационарной волны на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины.

2. Выполнен аналитический расчет характеристик стационарных волн на поверхности жидкости конечной глубины и нелинейного дисперсионного соотношения для них с точностью до седьмого приближения.

3. Выведены системы одномерных уравнений, описывающих распространение стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины с линейным профилем средней скорости.

4. Обоснован выбор разложений по степеням амплитуды основной гармоники для скорости профиля волны, относительной функции тока и семейства вспомогательных функций.

5. Приведено решение систем уравнений для пяти низших приближений. Дан вывод и анализ нелинейных дисперсионных соотношений для воли, бегущих вверх и вниз по потоку.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Зайцев А,А, Руденко А.И. К теории стационарных волн на горизонтальном течении с линейным профилем скорости // ПМТФ Т. 47, № 3. Новосибирск. 2006. С. 43 - 49.

2. Зайцев А.А, Руденко А.И. Нелинейные стационарные волны на поверхности горизонтального течения идеальной жидкости с линейным профилем скорости // Вестник СПбГУ - Сер. 4, вып. 2. Санкт Петербург. 2005. С. 37-48.

3. Руденко А.И. Стационарные нелинейные волны на поверхности горизонтального течения идеальной жидкости конечной глубины // Сб. науч. тр. XXV конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. Москва, 2003. С. 184 - 187.

4. Зайцев А.А, Руденко А.И. Нелинейные дисперсионные соотношения для волн на поверхности горизонтального течения жидкости конечной глубины // Избранные тексты докладов. Международная конференция "Потоки и структуры в жидкостях". Москва. 2004. С. 220 -224.

5. Zaitsev А.А., Rudenko A.I. Studying of surface stationary waves by modification of the Second Stokes Method // Selected Papers of the International conférence "Fluxes and structures in fluids". Moscow, Russia, June 20 - 23,2005. Moscow . IPM RAS. 2006. P. 367 - 373.

6. Зайцев А.А, Руденко А.И„ Матвеева Т.Ю. Строение и характеристики нелинейных стационарных волн на поверхности горизонтального течения идеальной жидкости с линейным профилем скорости // Сб. науч. тр. третьей Всероссийской научной конференции "Физические проблемы экологии. Экологическая физика", том № 7, Москва, Физический факультет, МГУ, 2001, С. 60 - 69.

7. Зайцев А.А, Руденко А.И. Нелинейные стационарные волны на поверхности сдвигового горизонтального течения идеальной жидкости // Тезисы докладов на Международной конференции "Потоки и структуры в жидкостях". 20 - 22 июня, Москва, ИПМ РАН, 2001. С. 236 - 238.

8. Zaitsev A.A., Rudenko A.I. Non-linear dispersión relationships for waves on the surface of horizontally flowing fínite-depth fluid // Abst. int. conf. "Fluxes and structures in fluids". June 23-26, Sanct Petersburg. 2003. P. 128 -130.

9. Зайцев А.А, Руденко А.И. Распространение поверхностных гравитационных волн в жидкости конечной глубины // Тезисы докладов на третьей Всероссийской научной конференции "Физические проблемы экологии. Экологическая физика", Москва, Физический факультет, МГУ, 22-24 мая, 2004, С. 209-210.

10. Zaitsev А.А., Rudenko A.I. Stationary waves on the shear stream // Тезисы докладов Международной конференции по избранным трудам современной математики, приуроченной к 200-летию со дня рождения К.Г. Якоби. Калиниград. 2005. С. 267 - 268.

11. Зайцев А.А, Руденко А.И. Модификация второго метода Стокса в задаче о поверхностных волнах // Тезисы докладов на Международной конференции "Потоки и структуры в жидкостях". 20 - 22 июня, Москва, ИПМ РАН, 2005. С. 236 - 239.

12. Зайцев А.А, Руденко А.И. Стационарные нелинейные волны на поверхности горизонтального течения идеальной жидкости конечной глубины. Расчет низших приближений // Изв. КГТУ,- 2003. - Т. 3. С. 118 -125.

13. Зайцев А.А, Руденко А.И. Нелинейные стационарные волны на поверхности сдвигового горизонтального течения идеальной жидкости // Сб. науч. тр. Вып. № 44. БГА РФ "Математика и физика". Калининград, 2001. С. 50 - 55.

14. Зайцев А.А, Руденко А.И. Особенности строения нелинейных стационарных волн на поверхности горизонтального течения идеальной жидкости с линейным профилем средней скорости // Сб. науч. тр. Вып № 53. БГА РФ "Математика и физика". Калининград, 2002. С. 50 - 55.

Алексей Иванович Руденко

НЕЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ НА СДВИГОВОМ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 21. 03. 2007 г. Формат 60x90 1/16. Бумага для множительных аппаратов. Ризограф, усл. печ. л. 1,2 Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 80 экз. Заказ 35.

Издательство Российского государственного университета имени Иммануила Канта

236041, г. Калининград, ул. А. Невского, 14

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Руденко, Алексей Иванович

Введение.

Глава I. Результаты теоретических исследований волновых процессов в жидкости.

§1.1. Натурные примеры распространения поверхностных волн.

§ 1.2. Линейные поверхностные волны.

§ 1.3. Методы изучения нелинейных поверхностных волн.

§1.4. Волны Герстнера.

§ 1.5. Выводы.

Глава 2. Стационарные волны на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины. Интегро-дифференциальное уравнение с кубической нелинейностью для профиля волны.

§ 2.1. Физическая и математическая постановка задачи о строении и характеристиках стационарных волн на поверхности идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины.

§ 2.2. Линейные поверхностные волны.

§ 2.3. Интегро-дифференциальное уравнение с кубической нелинейностью для профиля стационарной поверхностной волны и ее характеристик.

§ 2.4. Одномерная задача для стационарных волн на поверхности однородной жидкости конечной глубины.

§ 2.5. Исходные тригонометрические представления для решения одномерной задачи с точностью до седьмого приближения и система алгебраических уравнений для коэффициентов тригонометрических представлений.

§ 2.6. Степенные ряды для коэффициентов тригонометрических ; многочленов. Система уравнений для коэффициентов степенных рядов и ее решение. Нелинейное дисперсионное соотношение для стационарных поверхностных волн.

§ 2.7. Анализ последовательных приближений и нелинейного дисперсионного соотношения для поверхностных волн.

Глава 3. Стационарные волны на горизонтальном сдвиговом течении однородной жидкости конечной глубины.

§3.1. Физическая постановка задачи о строении и характеристиках стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении однородной жидкости конечной глубины.

§ 3.2. Предварительный математический анализ задачи.

§ 3.3. Первые интегралы. Решение задачи в линейном приближении.

§ 3.4. Одномерная задача для стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении однородной жидкости конечной глубины.

§ 3.5. Тригонометрические представления для решения одномерной задачи и система алгебраических уравнений для их коэффициентов.

§3.6. Степенные ряды для коэффициентов тригонометрических многочленов. Система уравнений для коэффициентов степенных рядов и ее решение. Нелинейное дисперсионное соотношение для стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении однородной жидкости конечной глубины.

§ 3.7. Анализ стационарных поверхностных волн на сдвиговом течении.

Введение диссертация по физике, на тему "Нелинейные стационарные волны на сдвиговом горизонтальном течении жидкости"

Различие типов волн в природе обусловлено определяющей возвращающей силой (гравитация, поверхностное натяжение), структурой динамических уравнений и граничных условий, определяющих основную характеристику волны - дисперсионное соотношение. При рассмотрении волновых движений в несжимаемой жидкости выделяют поверхностные и внутренние волны. Оба типа волн существенно влияют на геофизические процессы, поэтому их изучению уделяют пристальное внимание.

Важную роль в процессе развития теории нелинейных волн сыграла задача о стационарных волнах на поверхности идеальной жидкости, впервые рассмотренная Стоксом (1847, 1880), где было предложено два метода ее решения. В дальнейшем исследования Стокса были продолжены многими учеными, в том числе Буссинеском, Кордевегом, де Вризом, Рэлеем, Митчеллом, Хавелоком, Уилтоном, Некрасовым, Леви-Чивита, Струиком, Лаврентьевым, Сретенским, Красовским, Фридрихсом, Хайерсом, Дэ, Шварцем, Уи-земом и другими; эти исследования привели к появлению уравнения Корте-вега-де Вриза, анализ которого породил один из важнейших разделов современной теоретической физики - теорию солитонов. Вместе с тем, задача описания вывода нелинейного дисперсионного соотношения даже для простейшего случая волн на течении с линейным профилем скорости остается открытой.

- усовершенствовать существующую методику анализа нелинейных волн.

Дан подробный анализ решения классической задачи Стокса.

Научная и практическая значимость. В работе исследованы стационарные нелинейные волны на горизонтальном течении идеальной однородной несжимаемой жидкости конечной и бесконечной глубины с линейным по вертикали профилем средней скорости. С учетом интегро-дифференциального уравнения (с кубической нелинейностью) для профиля стационарной волн двумерная задача сводится к одномерной, что существенно упрощает процедуру расчета приближений. Использованная в работе методика может быть применена для решения других задач теории нелинейных волн в диспергирующих средах. Полученное нелинейное дисперсионное соотношение может быть использовано для вывода модельных уравнений Кор-тевега - де Вриза, Кадомцева - Петвиашвили, нелинейного уравнения Шре-дингера, описывающих распространение длинных слаболинейных волн и их пакетов на горизонтальном сдвиговом течении с линейным профилем средней скорости. Найденные нелинейные поправки к фазовой скорости можно использовать для изучения эффектов автомодуляции. Диссертационная работа поддержана следующими грантами:

- Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 03-0565136, №00-05-64136);

- Международного фонда фундаментальных исследований 1ЫТА8 (проект № 460/01,2002 г.).

Основные положения, выносимые на защиту:

2. Определение профиля и нелинейного дисперсионного соотношения стационарных волн на поверхности жидкости конечной глубины с точностью до седьмого приближения включительно по амплитуде волны.

3. Вывод одномерной системы квадратичных уравнений, описывающих распространение стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины с линейным профилем средней скорости.

5. Решение одномерной системы уравнений для трех низших приближений. Вывод и анализ нелинейных дисперсионных соотношений для волн, бегущих вверх и вниз по потоку.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка, используемой литературы. Общий объем диссертации составляет 122 страниц и включает 10 рисунков. Библиографический список включает 167 наименования.

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

Заключение

3. Выведена одномерная система квадратичных уравнений, описывающих распространение стационарных волн на горизонтальном сдвиговом течении идеальной несжимаемой однородной жидкости конечной глубины с линейным профилем средней скорости.

5. Приведено решение одномерной системы уравнений для трех низших приближений. Дан вывод и анализ нелинейных дисперсионных соотношений для волн, бегущих вверх и вниз по потоку.

В заключении автор считает своим долгом выразить искреннюю признательность и глубокую благодарность своему научному руководителю Анатолию Алексеевичу Зайцеву за постоянное внимание и поддержку.

Кроме того, автор хочет поблагодарить В.А. Гриценко и Ю.Д. Чашеч-кина за полезные замечания, высказанные при обсуждении работы.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Руденко, Алексей Иванович, Калининград

1. Антипов C.B., Незлин М.В., Снежкин E.H., Трубников A.C. Экспериментальное наблюдение и исследование солитонов Россби. В сб.: Пробл. нелинейн. и турбул. процессов в физ. Тр. 2 Междунар. раб. группы, Киев, 1983. 4.2. Киев, 1985,133-138-РЖМех, 1986,4Б71.

2. Байбаков В.И., Кистович Ю.В., Тупицын B.C., Чашечкин Ю.Д. Модуляция электромагнитного поля внутренними волнами в жидкости с градиентом солености. В сб. Метрология гидрофиз. измерений. Тез. докл. 1-й Всес. конф. М., 1980, с. 216.

3. Белобров A.A., Слепышев A.A., Шамов B.C., Щербаков А.Н. Перенос массы слабонелинейными волнами. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 1989,25, № 1,64-72.

4. Бреховских Л.М., Гончаров В.В., Куртепов В.М., Наугольных К.А. О резонансном возбуждении внутренней волны при нелинейном взаимодействии поверхностных волн. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 1972, 8, № 2, 192-203 - РЖМех, 1983, 2А7.

5. Богатырев С.Д., Брайловская В.А., Коган В.Р., Таланов В.И., Феоктистов И.Ю. Принципы построения лабораторной модели стратифицированного океана. В сб. Нелинейные волны: Самоорганизация, М., 1983, 252-259 -РЖМех, 1983, 7Г512.

6. Букреев В.И., Гаврилов Н.В. Экспериментальное исследование уединенных внутренних волн в двуслойной жидкости. Ж. Прикл. мех. и техн. физ., 1983, №5, 51-56-РЖМех, 1984, 2Б87.

7. Верещагин Д.А., Лебле С.Б. Свойства внутренних волн в атмосфере, стратифицированной по числу Кнудсена. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 1987,23, № 8, 815-820-РЖМех, 1987, 12Г346.

8. Гаврилов Н.В. Плавные боры в двуслойной жидкости со сдвигом скорости между слоями Ж. Прикл. мех. и техн. физ., 1987, № 3, 45-49 - РЖМех, 1987, 10Б98.

9. Жидков Е.П., Кирчев К.П. Об устойчивости уединенных волн. В сб.: Зй Междунар. симпоз. по избран, пробл. статистич. мех., Дубна, 1984, Т.1. Дубна, 1985,298-300.

10. Зайцев А.А., Лебле С.Б. Теория нелинейных волн.: Уч. пособие.- Калининград: Калининград, ун-т, 1984, 80 с.

11. Зайцев А.А., Лебле С.Б. Новые методы в теории нелинейных волн.: Уч. пособие.- Калининград: Калининград, ун-т, 1987, 80 с.

12. Зайцев А.А, Руденко А.И. К теории стационарных волн на горизонтальном течении с линейным профилем скорости // ПМТФ Т. 47, № 3. Новосибирск. 2006. С. 43 49.

13. Зайцев А.А, Руденко А.И. Нелинейные стационарные волны на поверхности горизонтального течения идеальной жидкости с линейным профилем скорости // Вестник СПбГУ Сер. 4, вып. 2. Санкт Петербург. 2005. С. 37 -48.

14. Руденко А.И. Стационарные нелинейные волны на поверхности горизонтального течения идеальной жидкости конечной глубины // Сб. науч. тр. XXV конференции молодых ученых механико- математического факультета МГУ. Москва, 2003. С. 184 187.

15. Зайцев А.А, Руденко А.И. Нелинейные дисперсионные соотношения для волн на поверхности горизонтального течения жидкости конечной глубины // Избранные тексты докладов. Международная конференция "Потоки и структуры в жидкостях". Москва. 2004. С. 220 224.

16. Zaitsev А.А., Rudenko A.I. Non-linear dispersión relationships for waves on the surface of horizontally flowing finite-depth fluid // Abst. int. conf. "Fluxes and structures in fluids". June 23-26, Sanct Petersburg. 2003. P. 128 130.

17. Zaitsev А.А., Rudenko A.I. Stationary waves on the shear stream // Тезисы докладов Международной конференции по избранным трудам современной математики, приуроченной к 200-летию со дня рождения К.Г. Якоби. Кали-ниград. 2005. С. 267 268.

18. Зайцев А.А, Руденко А.И. Модификация второго метода Стокса в задаче о поверхностных волнах // Тезисы докладов на Международной конференции "Потоки и структуры в жидкостях". 20 22 июня, Москва, ИПМ РАН, 2005. С. 236 - 239.

19. Зайцев А.А, Руденко А.И. Стационарные нелинейные волны на поверхности горизонтального течения идеальной жидкости конечной глубины. Расчет низших приближений // Изв. КГТУ.- 2003. Т. 3. С. 118 - 125.

20. Зайцев A.A, Руденко А.И. Нелинейные стационарные волны на поверхности сдвигового горизонтального течения идеальной жидкости // Сб. науч. тр. Вып. № 44. БГА РФ "Математика и физика". Калининград, 2001. С. 50 -55.

21. Иванов A.B. Внутренние волны в ближнем поле осциллирующего цилиндра. Тез. докл. III съезда сов. океанологов, Ленинград, 1986. Л., 1987, 100-101.

22. Каменкович В.М., Монин A.C. Малые колебания в океане. В сб.: Океанология. Физика океана. Т.2. Гидродинамика океана. М., 1978, 5-48 -РЖМех, 1978, 7Б1096.

23. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973, 176 с.-РЖМех, 1973, 8Б393.

24. Кистович A.B., Чашечкин Ю.Д. Нелинейное взаимодействие пакетов двумерных монохроматических внутренних волн в глубокой экспоненциально стратифицированной жидкости. Препр. Ин-т пробл. мех. АН СССР, 1988, №354, 44 с.

25. Кшевецкий С.П., Лебле С.Б. Нелинейная дисперсия длинных внутренних волн Изв. АН СССР. мех. жидкости и газа, 1988, №3, 151-157 -РЖМех, 1988,12Б89.

26. Лебле С.Б. Волноводное распространение нелинейных волн в стратифицированных средах.-Л.: Ленинград, ун-т, 1988,198 с.

27. Лебле С.Б. Leble S.B. Theory of thermospheric waves and their ionospheric effects. Pure and Appl. Geophys., 1988, 127, №2/3,491-527.

28. Левцов В.И., Чашечкин Ю.Д. Оценка пороговой чувствительности контактного преобразователя элктропроводности Измерит, техника, 1979, №4, с. 42.

29. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. JT. Гидрометеоиздат, 1981, 302 с. - РЖМех, 1982,2Б82.

30. Миропольский Ю.З., Монин A.C. Внутренние волны. В сб. Океанология. Физика океана. Т.2. Гидромеханика океана. М., 1978, 182-228 - РЖМех, 1979, ЗБ39.

31. Неклюдов В.И., Чашечкин Ю.Д. Экспериментальное исследование генерации и взаимодействия двумерных монохроматических внутренних волн-Препр. Ин-т пробл. мех. АН СССР, 1988, № 356, 52 с.

32. Нестеров C.B. Резонансное взаимодействие поверхностных и внутренних волн. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 1972, 8, № 4, 447-452 -РЖМех, 1972,2Б496.

33. Овсянников JI.B. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука, 1985, 320 с.

34. Островский JI.A., Рабинович М.И. Нелинейные и нестационарные волны. 4-я Всес. школа-семинар, по дифрак. и распрост. волн. Рязань, 1975, 80 с.

35. Романова H.H. Обобщение уравнения Бенджамена-Оно для слабостра-тифицированной атмосферы. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 1981, 17,№2, 131-137-РЖМех, 1981, 5Б908.

36. Степанянц Ю.А. Соотношение между кинетической и потенциальной энергиями во внутренних волнах при наличии сдвиговых течений. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 1985, № 6, 671-674 - РЖМех, 1985, 12Б51.

37. Филлипс О.М. О взаимодействии внутренних и поверхностных волн. -Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 1973, 9, № 9, 954-961.

38. Чашечкин Ю.Д., Попов В.А. Цветной теневой метод. Докл. АН СССР, 1981, 261, №5,1130-1132.

39. Abarbanel H.D.I. Diffusion of action in nonlinear dynamical systems. In: Nonlinear Prop. Intern. Waves. Workshop, San Diego, Calif., 1981. New York, 1981,321-337. - РЖМех, 1982,9Б51.

40. Ablowitz M.J., Segur H. Solitons and the inverse scattering transform. -SI AM, Philadelphia, 1981. Перевод: Абловиц M., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. -М.: Мир, 1987,480 с. РЖМех, 1987,1Б96.

41. Akylas T.R. Higher order modulation effects on solitary wave envelopes in deep water. J. Fluid Mech, 1989, 198, 378-397.

42. Amen R., Maxworthy T. The gravitation collaps of a mixed regions in two and three dimensions. J. Fluid Mech., 1980, 96, pt 1, 65-80 - РЖМех, 1980, 6Б819.

43. Andow T., Hanawa K., Toha Y. Experimental study on internal waves in a stratified flow. Нихон кайё гаккайси, J. Oceanogr. Soc. Jap., 1981, 71, №4, 179-192-РЖМех, 1982, 7Б53.

44. Appleby J. C., Crighton D.G. Internal gravity waves generated by oscillations of a sphere. J. Fluid Mech., 1987, 183, 439-450.

45. Badulin S.I., Shrira V.I., Tsimring L. Sh. The trapping and vertical focusing of internal waves in a pycnocline due to the horizontal inhomogeneities of density and currents. J. Fluid Mech., 1985, 158,199-218 - РЖМех, 1986, 2Б61.

46. Barr D.I.N., Hassan A.M.M. Densimetric exchange flow in restangular channels. Houille blanche, 1967, № 7, 757.

47. Barr F.K. Energy transfer between external and internal gravity waves. J. Fluid Mech., 1964, 16,465-478.

48. Balsa T.F. Three-dimentional wave pockets and instability waves in free shear layers and their receptivity. J. Fluid Mech., 1989, 201, 77-97.

49. Benjamin T.B. Internal waves of finite amplitude and permanent form. J. Fluid Mech., 1966, 25, pt 2, 241-270.

50. Benjamin T.B., Feir J.E. The désintégration of wave trains on deep water. J. Fluid Mech., 1967, 27,417-430.

51. Benney D. Non-linear gravity wave interactions. J. Fluid Mech., 1962, 14, 577-584.

52. Bhatnagar P.L. Nonlinear waves in one-dimensional dispersive systems. -Oxford: Clarendon Press, 1979. Перевод: Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах. М.: Мир, 1983, 136 с. - РЖМех, 1983, 9Б29.

53. Bona J.L., Schonbek М.Е. Travelling wave solution to the Kortewegde Vries-Burgers equation. Proc. Roy. Sos. Edinburg, 1985, 101A, №3-4, 207-226 -РЖМех, 1986, 6Б27.

54. Booker J.R., Bretherton F.P. The critical layer for internal gravity waves in a shear flow. J. Fluid Mech., 1967,27, pt 3, 513-539.

55. Breeding R.J. A non-linear investigation of critical levels for internal atmospheric gravity waves. J. Fluid Mech., 1971, 50, pt 3, 545-563 - РЖМех, 1972, 5Б610.

56. Bretherton F.P. On the mean motion induced by internal gravity waves. J. Fluid Mech., 1969, 36, pt 4, 785-803.

57. Brewer W.H. On the subsidence of a particles in liquids Mem. USNatl. Acad. Sci., 1883,2, 165.

58. Briscoe M.G. Introduction to collection of papers on oceanic internal waves. -J. Geophys. Res., 1975,80, № 3, 289-290.

59. Broutman D. The focusing of shot internal waves by an internal wave. As-trophys. Fluid Dun., 1984, 30,199-225.

60. Brown S., Stewartson K. On the nonlinear reflection of a gravity wave at a critical layer. J. Fluid Mech., 1980, 100, 577-595 - РЖМех, 1980,4Б44.

61. Ertekin R.C., Webster W.C., Wehausen J.V. Waves coused by a moving disturbance in a shallow channal of finite width. J. Fluid Mech., 1986, 169, 275-292- P)KMex, 1987, 1E75.

62. Franklin B. Behavior of oil on water. A letter to J. Pringle, December 1, 1962.- In: Experiments and observation on electricity. London, 1769.

63. Fritts D. The nonlinear gravity-wave / critical level interaction. J. Atmos. Sci., 1978, 35, 397-413 -P)KMex, 1978, 11E24.

64. Fritts D. The excitation of radiating waves and Kelvin-Helmboltz instabilities by the gravity-wave / critical level interaction. J. Atmos. Sci., 1979, 26, 12-20.

65. Funakoshi M. Long internal waves in a two-layer fluid. J. Phys. Soc. Japan, 1985, 54, №7,2470-2476 - Mex, 1986, 2E58.

66. Funakoshi M., Oikawa M. Long internal wave of amplitude in a two-layer fluid.-J. Phys. Soc. Japan, 1986, 55, № 1, 128-144-P^CMex, 1986, 8E35.

67. Gargett A.E., Hughes B.A. On the interaction of surface and internal waves. -J. Fluid Mech., 1972, 52, pt 1, 179-191 P)KMex, 1972, 8E588.

68. Garrett C.J.R. On the interaction between internal gravity waves and a shear flow. J. Fluid Mech., 1968, 34, pt 4, 711 -720.

69. Garrett C.J.R., Munk W.H. Space-time scales of internal waves. Geophys. Fluid Dyn., 1972,3,225-264-P)KMex, 1972, 10E544.

70. Garrett C.J.R., Munk W.H. Oceanic mixing by breaking internal waves. -Deep-Sea Res., 1972,19, 823-832.

71. Garrett C.J.R., Munk W.H. Space-time scales of internal waves: A progress report.-J. Geophys. Res., 1975, 80,291-297-P)KMex, 1975, 12E512.

72. Gerasoli C.P., Orlanski I. Resonant and non-resonant wave-wave interactions for internal gravity waves. In: Comput. Meth. and Exp. Meas., Berlin, 1982, 228239.

73. Grimshaw R.H.J. Nonlinear internal gravity waves in a slowly varying medium.-J. Fluid Mech., 1972, 54, pt2, 193-207 -P)KMex, 1973, 3B547.

74. Grimshaw R.H.J. On resonant over-reflection of internal gravity waves from a Helmholtz velocity profile. J. Fluid Mech., 1979, 90, pt 1, 161-178 - P)KMex, 1979, 6E550.

75. Grimshaw R.H.J., Smyth N. Resonant flow of stratified fluid over topography.-J. Fluid Mech., 1986, 169, 429-464 P)KMex, 1987, 1B587.

76. Griscom C.A. Application of a perturbation to the nonlinear equations of internal wave motion. J. Geophys. Res., 1976, 72, № 22, 5599-5611.

77. Hasselmann K. On the non-linear energy transfer in a gravity wave spectrum. Part l.-J. Fluid Mech., 1962, 12, 481-500.

78. Hasselmann K. On the non-linear energy transfer in a gravity wave spectrum. Part 2. J. Fluid Mech., 1963, 15, 272-281.

79. Hasselmann K. On the non-linear transfer in a gravity wave spectrum. Part 3. -J. Fluid Mech., 1963,15, 385-398.

80. Hasselmann K. On the mass and momentum transfer between shot gravity waves and larger-scale motions. J. Fluid Mech., 1971, 50, pt 1, 189-205.

81. Hasselmann K. Feynmann diagrams and interaction rules of wave-wave scattering processes. Rev. Geophys., 1966, № 4, 1-32.

82. Hazel P. The effect of viscosity and heat conduction on internal gravity waves at a level. J. Fluid Mech., 1967, 30, pt 4, 775-789.

83. Henyey F.S. Hamiltonian description of stratified fluid dynamics. Phys. Fluids, 1983, 26, № 1, 40-47.

84. Henyey F.S. Comment on the use of eikonal techniques for induced diffusion. In: Nonlinear Prop. Intern. Waves. Workshop, San Diego, Calif., 1981. New York, 1981, 339-343 - P)KMex, 1982, 10B50.

85. Henyey F.S., Pomphrey N. Eikonal description of internal wave interactions: A non-diffusive picture of "induced diffusion". Dun. Atmos. Oceans, 1983, № 7, 189-208.

86. Hirt C.W. A numerical study of critical layer absorption. In: Nonlinear Prop. Intern. Waves. Workshop, San Diego, Calif., 1981. New York, 1981, 141157.

87. Holloway G. Theoretical approaches to interactions among internal waves, turbulence and finestructure. In: Nonlinear Prop. Intern. Waves. Workshop, San Diego, Calif., 1981. New York, 1981, 47-77.

88. Honji H. Solitary bottom waves. Rept Res. Inst. Appl. Mech., 1982, 30, № 94, 13-19.

89. Hughes B.A. On the interaction of surface and internal gravity waves: uniformly valid solution by extended stationary phase. J. Fluid Mech., 1976, 74, pt 4, 667-683 - P)KMex, 1976, 12B22.

90. Hughes B.A., Stewart R.W. Interaction between gravity waves and a shear flow.-J. Fluid Mech., 1961, 10, pt 3,385-400.

91. Hunt J.C.R., Snyder W.H. Experiments on stably and neutrally stratified flow over a model three-dimentional hill. J. Fluid Mech., 1980, 96, 671-704 -P)KMex, 1980, 7E964.

92. Hunter J.K., Vanden-Broeck J.M. Accurate computations for steep solitary waves.-J. Fluid Mech., 1983, 136, 63-71.

93. Jones W.L. The transport of energy by internal waves. Tellus, 1069, 21, № 2, 177-184.

94. Jones W.L. Ray tracing for internal gravity waves. J. Geophys. Res., 1969, 74, №8,2028-2033.

95. Jones W.L. Reflexion and stability of waves in stably stratified fluids with shear flow: a numerical study. J. Fluid Mech., 1986, 34, pt 3, 609-624.

96. Jones W.L. Propagation of internal gravity waves in fluids with shear flow and rotation. J. Fluid Mech., 1967, 30, pt 3, 439-448.

97. Joyce T.M. Nonlinear interactions among standing surface and internal gravity waves. J. Fluid Mech., 1974, 63, 801-825 - P)KMex, 1974, 12B567.

98. Katsis C., Akylas T.R. On the excitation of long nonlinear water waves by a moving pressure distribution. Pt 2. Three dimentional effects. J. Fluid Mech., 1987, 177, 49-65 - P)KMex, 1987, 10B66.

99. Kakutani T., Yamasaki N. Solitary waves on a two-layer fluid. J. Phys. Soc. Jap., 1978, 45, №2, 674-679.

100. Kaufmann D.W. Sodium chloride. New York; Reynhold, 1960.

101. Kenyon K.E. Wave-wave interactions of surface and internal waves. J. Marine Res., 1968,26, № 3, 208-231.

102. Keulegan G.H. Characteristics of internal solitary waves. J. Res. Nat. Bur. Stand., 1953, 51, № 3,133-140.

103. Koop C.G. A preliminary investigation of the interaction of internal gravity waves with a steady shearing motion. J. Fluid Mech., 1981, 113, 347-386 -РЖМех, 1982, 5Б47.

104. Fond E.C. The sea. V.l. New York e. a.: Intersci., 1962.

105. McComas С.Н. Non-linear interactions of internal gravity waves. J. Geo-phys. Res., 1977, 82,1397-1412.

106. McComas C.H., Bretherton F.P. Resonant interaction of oceanic internal waves. J. Geophys. Res., 1977, 82, № 9,1397-1412 - РЖМех, 1977, 12 Б32.

107. McEwan A.D. The kinematics of stratified mixing through internal wave breaking. J. Fluid Mech., 1983,128, 47-57-РЖМех, 1983,95351.

108. McGoldrick L.F. Resonant interactions among capillary-gravity waves. J. Fluid Mech., 1965,21,305-332.

109. McGoldrick L.F. An experiment on second order capillary-gravity resonant interactions. J. Fluid Mech., 1970, 40, pt 2, 251-271.

110. McGoldrick L.F. On the rippling of small waves: a harmonic nonlinear nearly resonant interaction. J. Fluid Mech., 1972, 52, pt 4, 725-751 - РЖМех, 1972, 10Б542.

111. McGoldrick L.F., Philips O.M., Huang N., Hodgson T. Mesurements on resonant waves interactions. J. Fluid Mech., 1966, 25, 437-456.

112. McKee W.D. Internal-intertia waves in a fluid of variable depth. Proc. Cambridge Phil. Soc., 1973, 73 № 1,205-213 -РЖМех, 1973, 5Б465.

113. McLaren T.I., Pierce A.D., Fohl Т., Murpy B.L. An investigation of internal gravity waves generated by a buoyantly rising fluid in a stratified medium. J. Fluid Mech, 1973, 57, pt 2,229-240.

114. Martin S., Simmons W., Wunch C. The exitation of resonant triads by single internal wave. J. Fluid Mech., 1972, 53, pt 1, 17-44-РЖМех, 1972, 11Б463.

115. Maxworthy T. On the formation of nonlinear internal waves from the gravitational collapse of mixed regions in two and tree dimentions. J. Fluid Mech.,1980, 96, pt 1,47-64 РЖМех, 1980, 6Б86.

116. Maxworthy T. Non-linear dispersive waves in the laboratory and in nature. -In: Nonlinear Prop. Intern. Waves. Workshop, San Diego, Calif., 1981. New York, 1981,11-46-РЖМех, 1982,9Б22.

117. Meiss J.D. Numerical computation of relaxation rates for the test wave model. In: Nonlinear Prop. Intern. Waves. Workshop, San Diego, Calif., 1981. New York, 1981, 129-140-РЖМех, 1982, 9Б47.

118. Meiss J.D., Watson K.M. Internal wave interactions in the induced diffusion approximation.- J. Fluid Mech., 1982, 117,315-341 РЖМех, 1982, 10Б49.

119. Meng J.C.S., Rottman J.W. Linear internal waves generated by density and velocity perturbations in a lineary stratified fluid. J. Fluid Mech., 1988, 186, 419-444.

120. Milder D.M. Towards a Hamiltonian formulation of stratified flow. In: Nonlinear Prop. Intern. Waves. Workshop, San Diego, Calif., 1981. New York,1981, 345-351 РЖМех, 1982, 10Б15.

121. Milder D.M., Box P.O. Partioning of energy, vorticity and strain in upper-ocean internal waves. In: Nonlinear Prop. Intern. Waves. Workshop, San Diego, Calif., 1981. New York, 1981, 213-235-РЖМех, 1982, 10Б51.

122. Mowbray D.E. The use of schlieren and shadowgraph technique in the study of flow patterns in density stratified liquids. J. Fluid Mech., 1967, 27, pt 3, 595.

123. Mowbray D.E., Rarity B. A theoretical and experimental investigation of the phase configuration of internal waves of small amplitude in a density stratified liquid. J. Fluid Mech., 1967,28, Pt 1, 1-16-РЖМех, 1968, 2Б445.

124. Phillips O.M. On the dynamics of unsteady gravity waves of finite amplitude. Pt 1. J. Fluid Mech., 1960, 9, 193-217.

125. Phillips O.M. On the dynamics of unsteady gravity waves of finite amplitude. Pt 2. J. Fluid Mech., 1961, 11, 143-155.

126. Phillips O.M. Theoretical and experimental studies of gravity wave interactions. Proc. Roy. Soc. London, 1967, A299, 104-119.

127. Simmons W.F. A variational method for weak resonant wave interactions. -Proc. Roy. Soc. London, 1969, A309, 551-575.

128. Stevenson T.N., Thomas N.H. Two-dimentional internal waves generated by a traveling oscillating cylinder. J. Fluid Mech., 1969, 36, № 3, 505-511 -P)KMex, 1969,11E570.

129. Stewartson K. The evolution of the critical layer of a Rossby wave. Geo-phys. and Astrophys. Fluid Dyn., 1978, 9, № 3-4, 185-200 - P)KMex, 1978, 9E1071.

130. Stockhausen P.J., Clark C.B., Kennedy J.F. Three-dimensional wakes in density stratified liquids. In: MIT. Hydrodyn. Lab. Rept, 1966, T66-6, № 93, 105.

131. Teiltelbaum H., Sidi C. Discontinuity formation due to gravity wave propagation in a shear layer. Phys. Fluids, 1979, 22, № 2, 209-213 - P)KMex, 1979, 9B37.

132. Thomas N.H., Stevenson T.N. An internal wave in a viscous ocean stratified by both salt and heat. J. Fluid Mech., 1973, 61, 301-304 - P)KMex, 1974, 4B540.

133. Thorpe S.A. On wave interaction in a stratified fluid. J. Fluid Mech., 1966, 24, pt 4, 737-751.

134. Thorpe S.A. The exitation, dissipation and interaction of internal waves in the deep ocean. J. Geophys. Res., 1975, 80, № 3, 328-338 - P)KMex, 1975, 1B27.

135. Tung K.K., Ko D.R.S., Chang J.J. Weakly nonlinear internal waves in shear. Stud. Appl. Math., 1982, 65, № 3, 189-221 - P)KMex, 1982, 9B44.

136. Vanden-Broeck J.M., Keller J.B. Surfing on solitary waves. J. Fluid Mech., 1989, 198, 115-125.

137. Van Dooren R. The three-soliton solition of the two-dimensional Korteweg-de Vries equation. In: Adv. Nonlin. Waves. V. 2. Boston e. a., 1985, 187-198.

138. Velthuizen H.G.M., Van Wijngaarden L. Gravity waves over a nonuniform flow. J. Fluid Mech., 1969, 39, pt 4, 817-829.

139. Wang Y.C. The interaction of internal waves with an unsteady nonuniform current. J. Fluid Mech., 1969, 37, pt 4, 761-771.

140. Warn Т., Warn H. The evolution of a nonlinear critical layer. Stud. Appl. Math., 1978, 59, № 1, 37-71 -РЖМех, 1980,12Б27.

141. Whitham G.B. Linear and nonlinear waves. New York, 1974. Перевод: Уи-зем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977, 622 с. - РЖМех, 1975, 11Б506.

142. Whitham G.B. Non-linear dispersive waves. Proc. Roy. Soc. London, 1965, A283, 238-261.

143. Whitham G.B. A general approach to linear and nonlinear dispersive waves using a Lagrangian. J. Fluid Mech., 1965, 22, 273-283.

144. Whitham G.B. Nonlinear dispersion of water waves. J. Fluid Mech., 1967, 27,399-412.