Критерии выпуклости образов квадратичных отображений в теории оптимального управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

РГ6 од

0 3 ФЕВ 1398

МАТВЕЕВ Алексей Серафимович

КРИТЕРИИ ВЫПУКЛОСТИ ОБРАЗОВ КВАДРАТИЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ В ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ, ОПИСЫВАЕМЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт Петербург 1998

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете

Официальные оппоненты:

академик РАН, доктор физико-математических наук,

профессор А.Б.Куржанский доктор физико-математических наук, профессор А.А.Милютин доктор физико-математических наук, профессор Н.Н.Петров

Ведущая организация: Математический институт имени В. А.Стеклова

Российской академии наук

Защита состоится _1998 года в /У часов на

заседании диссертационного совета Д 063.57.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Пет-родворец, Библиотечная пл., д.2, математико-механический факультет, ауд.4526.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М.Гор кого Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

10

Автореферат разослал НУ 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 063.57.30 Ю.А.Сушков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. В работе исследуется специальный класс невыпуклых задач глобальной оптимизации систем, описываемых дифференциальными уравнениями. Он включает многие задачи, получаемые из линейно-квадратичных задач оптимального управления внесением в их постановку квадратичных ограничений (вообще говоря, невыпуклых). Для иллюстрации возможностей развитой теории в смежных областях изучаются необходимые условия экстремума второго порядка в гладких задачах оптимального управления.

Выбор исследуемого класса задач объясняется его практической значимостью и вместе с тем во многом мотивирован достижениями классической линейно-квадратичной теории оптимального управления. Специализация этой теории, основы которой были заложены Р.Калманом, Н.Н.Красовским и А.М.Летовым (а в части, касающейся стохастических объектов, А.Н.Колмогоровым, Н.Винером, Е.Хопфом), — задачи оптимального управления, сводящиеся к минимизации выпуклого квадратичного функционала на аффинном пространстве. Значительный вклад в ее развитие внесли Б.Андерсон, Я.К.Виллемс, В.И.Зубов, В.М.Кунцевич, А.Б.Куржанский, Ж.Л.Лионе, А.И.Лурье, А.А.Красов-ский, В.А.Якубович и многие другие ученые. В настоящее время эта теория охватывает широкий спектр разнообразных задач. Они связаны с системами, описываемыми уравнениями разных типов: обыкновенными дифференциальными, интегро-дифференциальными, в частных производных и др. Благодаря специфике линейно-квадратичного случая для многих линейно-квадратичных задач удалось построить исчерпывающую теорию и разработать эффективные методы решения.

Для большинства тех ситуаций, где возникают линейно-квадратичные задачи оптимального управления, значительный интерес представляют и аналогичные задачи с квадратичными ограничениями, вообще говоря, невыпуклыми. К их числу относится, например, следующая задача

х — Ах + Ви7 0 < I < оо, д-(О) = а, (1.1)

|®(-)1 + |и(-)|е12(0,+оо), 01 <0,..., <дк <0, <50-*тш. (1.2)

Здесь х = а;(г) € К" — состояние, и = и(£) € Кт — управление, А к В — вещественные матрицы, <55, := — 7;, (/¡(х, и) — квадра-

тичная форма от х,и, числа 7ь...,7* и вектор а € К" заданы, 70 = 0. Допустимым считаем любое измеримое управление и(-) : [О.оо) —> Кт, удовлетворяющее включению и неравенствам из (1.2). (В (1.2) х(-) определено по «(•) из (1.1).) Задача состоит в том, чтобы найти допустимое

управление и(-) из условия 0о —* нив. Особенность этой задачи — присутствие (вообще говоря, невыпуклых) ограничений 01 < 0,..., 0 ^ < 0; отбрасывая их, получаем одну из задач, всесторонне изученных в классической линейно-квадратичной теории оптимального управления.

Квадратичные ограничения дают возможность ставить задачу более естественно и часто отражают существо проблемы. Вместе с тем теория соответствующих задач, сравнимая по эффективности предлагаемых ею методов решения с классической линейно-квадратичной теорией, долгое время отсутствовала. Это не случайно, так как внесение в постановку задачи квадратичных ограничений принципиально усложняет ситуацию. Усложнение объясняется, в частности, тем, что в результате возникает, вообще говоря, невыпуклая задача глобальной оптимизации. В общем случае такие задачи, как правило, с трудом поддаются решению. Соответствующим проблемам в последнее время уделяется много внимания. Отметим вместе с тем, что известные методы невыпуклой глобальной оптимизации в основной массе являются численными, часто основаны на эвристических идеях и не всегда сопровождаются гарантией сходимости. Более того, известно, что проблема построения универсального сходящегося метода невыпуклой глобальной оптимизации в определенном смысле неразрешима в принципе [1].

Вместе с тем в 1990х годах появились работы В.А.Якубовича ([2,3] и др.), продемонстрировавшие, что для некоторых невыпуклых линейно-квадратичных задач оптимального управления с квадратичными ограничениями соответствующие проблемы просто и изящно преодолеваются. Более того, в этих работах был предложен общий подход, позволяющий строить эффективные алгоритмы решения упомянутых задач на базе методов классической линейно-квадратичной теории оптимального управления. Эти алгоритмы основаны на математической теории, являются в наиболее существенной части аналитическими и гарантированно приводят к нахождению глобального оптимума.

Предложенный в [2, 3] подход состоит в обосновании основных соотношений теории выпуклой двойственности для рассматриваемых невыпуклых задач оптимизации и в применении основанного на них правила решения задачи. Изложим его, следуя работе [17] и применительно к общей задаче оптимизации:

0 0(г) -+ т£ в области г <Е £, 0 (г) < 0у. (1.3)

Здесь 2 - аффинное подпространство вещественного линейного пространства X, функции 0о(-) : X —^ К, 0(-) : X —> У заданы, У = {1/}

— конечномерное вещественное линейное пространство, упорядоченное непустым выпуклым (не обязательно телесным) конусом К+, т.е. у\ < Ï/2 з/2 — У\ € К+- Введем функцию Лагранжа S(t*, z) := ®o(z) + т* 0 (г), где т* £ Y* - множитель Лагранжа. Далее т* > 0 т*у > 0 Vij > 0. Упомянутое правило состоит в выполнении следующих действий.

(I) Для т* > 0 решаем задачу

5(т*, г) —► ini в области z £ Z, (1.4)

ограничиваясь нахождением величины Sq(t*) inîz^z S(r*, г). (II) Находим какое-либо решение Тд двойственной задачи

Sq(t*) -+ max в области т* > 0, (1.5)

где максимум обязательно достигается.

(III) Находим все решения г° задачи (1.4) с т* — Гц и затем отбрасываем решения г®, не удовлетворяющие хотя бы одному из следующих соотношений ©(г0) < 0, Tq0(2°) = 0. Множество оставшихся точек {г0} совпадает с множеством всех решений исходной задачи (1.3).

(IV) Пусть inf{<Ô0(z) : z е D} > -со, где D {z £ Z : 0(z) < 0}. Последовательность {zn} С Z является минимизирующей в задаче (1.3), т.е. 0o{z„) —> inf^ 65о(-г) при п -+ со и zn € D Vn, в том и только том случае, если она минимизирующая в задаче (1.4) с г* :== 7g, т.е. S(tq , zn) —► miz&z S(tq , z) при n —► oo, и при этом 0 (z„) < 0 Vn, т0* 0 (z„) ->0h-.oû.

Изложенный метод сводит решение исходной, вообще говоря, невыпуклой задачи к решению задач (1.4) и (1.5). Вторая из них, как несложно убедиться, является задачей конечномерной выпуклой оптимизации и, как правило, легко решается методами выпуклого программирования. Поэтому общая дееспособность метода в основном определяется возможностью эффективного решения задачи (1.4). Она в отличие от (1.3) не содержит нелинейного ограничения 0 (z) < 0 и в этом смысле проще. Более того, для многих линейно-квадратичных задач оптимального управления с квадратичными ограничениями (1.4) — это некоторая задача, изученная в классической линейно-квадратичной теории оптимального управления и допускающая простое решение. Этим и объясняется привлекательность метода (I)-(IV) в обсуждаемой области.

Вместе с тем вопрос о самой применимости этого метода нетривиален: известно, что во многих случаях метод некорректен, т.е. дает неправильный ответ, а сформулированные в (I)-(IV) утверждения

неверны. В [2, 3] метод (I)-(IV) был обоснован для задачи (1.1),(1.2), для аналогичной задачи с дискретным временем, стохастической задачи и задачи с периодическими коэффициентами. Следует также отметить, что корректность метода равносильна справедливости соотношения лагранжевой двойственности: maxT->oinfz67 S(r*, z) = iaf^go Öо(л), где D определено в (IV). Проблеме двойственности в задачах оптимизации посвящены многочисленные исследования (K.J.Arrow, L.Hurwicz, D.G.Lueiiberger, I.Ekeland, R.Temam, Е.Г.Голынтейн, В.Н.Соловьев, В.М.Тихомиров и многие другие.) В них, в частности, были предложены общие критерии справедливости лагранжевой двойственности, проверка которых обычно составляет отдельную и часто нетривиальную задачу, а также явно выделены некоторые типы задач, для которых эта двойственность имеет место и, значит, метод (I)-(IV) корректен. Среди них — задача (1.3) с выпуклыми функциями <&о(-) и задачи, сводимые к выпуклым посредством определенного приема, именуемого "релаксацией", а также некоторые другие. Из соответствующих фактов выделим те, что нашли применения в теории невыпуклых линейно-квадратичных задач оптимального управления с квадратичными ограничениями. В общей форме такие задачи можно записать в виде (1.3), где функции 0о(О и 0(-) квадратичны, т.е.

0о(*)= ®о(*) + 'о* + 7о, *(z) + Az + y. (1.6)

Здесь 5$о(0 — квадратичная форма, а (•) — векторная квадратичная форма (т.е. <В (г) = В(г, г), где В(-, •) : X X X Y — билинейное симметричное отображение), —> R и А: X —*Y — линейные операторы, То 6 ® >7 £ У- В случае (1.6) правило (l)-(IV) корректно, если: 1) в (1.3) dim F = 1 и X — вещественное пространство; 2) в (1.3) Y — HS.2 и X — комплексное пространство, а в (1.6) 2J(z) = [031(2), !8j(z)], 55¡(-) — эрмитовы формы и операторы Щ и Л линейны, если X рассматривать как вещественное пространство. В [2, 3] корректность метода (I)-(IV) была обоснована для задачи (1.3) с функциями (1.6) в случае пространства Y произвольной размерности, упорядоченного телесным конусом int (в приложениях телесность соответствует отсутствию ограничений в виде равенств) в предположениях, обобщающих свойства конкретных линейно-квадратичных задач оптимального управления на бесконечном интервале времени с интегральными квадратичными ограничениями и стационарными или периодическими коэффициентами.

Эффективность применения метода (I)-(IV) к актуальным задачам

"Здесь и далее считаем, что ограничения из (1.3) совместны в некотором усиленном смысле.

оптимального управления делает естественным желание расширить сферу его гарантированной применимости к невыпуклым линейно-квадратичным задачам оптимального управления с квадратичными ограничениями. В частности, в случае, когда число ограничений произвольно, естественно и важпо включить в нее задачи с ограничениями в виде не только неравенств, но и равенств, задачи с непериодическими коэффициентами, задачи с неинтегральными ограничениями, задачи на конечном интервале времени и некоторые другие.

Стоит отметить, что в случае (1.6) метод (I)-(IV) сводит невынуклую задачу глобальной оптимизации (1.3) к двум выпуклым задачам (1.4) и (1.5).^ В то же время для решения выпуклых задач развиты весьма эффективные методы. Поэтому определенный самостоятельный интерес представляет выделение задач оптимального управления (не обязательно линейно-квадратичных), для которых справедлив как метод (I)-(IV), так и отмеченная сводимость невыпуклой задачи к двум выпуклым.

Вопрос о применимости метода (I)-(IV) к линейно-квадратичным задачам с квадратичными ограничениями связан с вопросом о выпуклости образа квадратичного отображения. Дело в том, что для задачи (1.3) этот метод корректен (при неограничительных дополнительных предположениях), если выпукло множество & (Z)+ :— {у — щ + у+ : уо € 0(Z),y+ € К+}. Здесь ®(z) := [0o(z), 0(2)] и К+ {(«,») € M х Г : f > 0, у > 0}. В свою очередь выпуклость этого множества следует из выпуклости образа ©(Z). где в случае (1.6) функция & (-) квадратична.

Результаты о выпуклости образов квадратичных отображений нашли важные применения не только в теории оптимального управления, но и в других дисциплинах: теории операторов (в том числе, дифференциальных), теории устойчивости дифференциальных уравнений и теории неопределенных систем управления. Основополагающими среди этих результатов можно, по-видимому, считать следующие факты. Теорема 0.1 (Toeplitz-Hausdorff) Пусть Ъ i(-) и 33 2(-) - непрерывные эрмитовы формы, заданные па комплексном гильбертовом пространстве X — {х}. Отображение х [53i(ar), !Вг(х)] 6 К2 преобразует единичную сферу {х € X : |а;| = 1} в выпуклое множество.

Теорема 0.2 (Dines) Пусть X — вещественное линейное пространство и ©i(-), ©2(-) : X —» R - квадратичные формы. Образ пространства X при отображении х н-+ ["СВ i(дт), ©2(3")] € R2 — выпуклое множество.

'Точнее, задача (1.4) является выпуклой при г* е Т := {г" : г* > 0,So(t*) > — со}, где So (г*) определено в (I). Такими г* молодо ограничиться ввиду представимости задачи (1.5) в виде 5о(г") —- шах, г* G T. Последняя задача, как уже отмечалось, выпукла всегда.

Отметим также следующий близкий по тематике результат. Теорема 0.3 (Фрадков-Якубович) Пусть X — комплексное линейное пространство и ©i(-)5 ®2(-)i ®з(-) : X —► R - эрмитовы формы. Образ пространства X при отображении х [ ÍS j(rc), <8з(ж)] £ R3 —

выпуклое множество.

Простые примеры показывают, что ни в одной из приведенных теорем число форм в общем случае увеличить нельзя. Это можно сделать только при дополнительных предположениях. Например, Теорема 0.2 распространяется на случай трех форм, если dimX > 3 и хотя бы одна из форм строго знакоопределена (работы L.Brickman и Y.H.Au-Yeuag, где также показано, что Теорема 0.1 верна в случае вещественного пространства размерности (lira А" > 3, при атом Ш i(-), Шг(-) — квадратичные формы). Имеются также разрозненные результаты разных авторов, констатирующие выпуклость образа всего пространства или единичной сферы в случае, когда число форм произвольно. Не вдаваясь в подробное описание этих результатов, отметим, что они носят локальный характер, относятся к узким классам специальных форм, не включают в себя Теоремы 0.1-0.3 и в большинстве случаев не охватывают друг друга. Знакомство с доказательствами усиливает впечатление фрагментарности общей картины, так как различные группы результатов устанавливают выпуклость, опираясь на аргументы разной природы. Потребность в более глубоком осмыслении причин выпуклости образов квадратичных отображений отмечал еще П.Халмош в связи с классической теоремой Тешшца-Хаусдорфа. Он писал [4, с.114,115] "все известные доказательства основаны на вычислениях. Эти вычисления можно провести хорошо или плохо, но от этого они не перестают быть вычисто-ниями. Хотелось бы получить идейное доказательство, пусть даже (или особенно?) с использованием менее элементарных понятий, чем в вычислительном доказательстве."

Цель работы состояла в расширении сферы гарантированной применимости метода (I)-(IV) к невыпуклым задачам оптимального управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями, в том числе, в частных производных. В рамках принятой в работе методики указанная цель подразумевала получение различных обобщений классической теоремы Теплица-Хаусдорфа, а также Теорем 0.2 и 0.3 на случай произвольного конечного числа форм. Подобные обобщения могут представлять самостоятельный интерес. В цели работы входила также демонстрация возможностей полученных результатов об образах квадратичных отображений в общей теории необходимых условий оп-

тимальности.

Метода!. Корректность метода (I)-(IV) выводилась как следствие полученных в работе результатов о выпуклости образов квадратичных (и более общих) отображений. Точнее, для обоснования его применимости достаточно установить выпуклость не образа 0 (Zj^ отображения б (•) :JC У, а надобраза Ö(Z)+ := {у = + У+ : Уо € 0(2),»+ 6 Ä'+} (где А"+ — заданный выпуклый конус). Поэтому много внимания было уделено исследованию надобраза. Если К+ = {0}, он совпадает с образом; при К+ ф {0} его выпуклость — свойство более слабое, чем выпуклость образа, и в этом случае получены критерии выпуклости надобраза с требованиями, более слабыми, чем в случае образа.

При изучении квадратичных и более общих отображений ключевую роль играли результаты, касающиеся векторных квадратичных форм ® (•) : X —> У, в частности, результаты о выпуклости надобраза 93 (У)+ произвольной окрестности нуля V С X в заданной локально выпуклой топологии в X. Применялись два подхода к исследованию образа и надобраза векторной квадратичной формы. Один из них развивает метод, разработанный А.А.Милютиным для исследования анормальных экстремальных задач и связанный с понятием суперлежандрова конуса квадратичного отображения [14]. Другой подход основан на изучении направления от произвольной точки пространства до ближайшей к ней точки надобраза. При этом привлекались методы теории экстремальных задач, а также метод возмущений квадратичного отображения, заложенный в работах А.А.Аграчева, а утверждения о выпуклости устанавливались предельным переходом из более общих результатов, констатирующих приближенную выпуклость надобраза в смысле метрической близости к некоторому выпуклому множеству. Эти результаты, в свою очередь, опираются на установленную в работе и верную для любой формы оценку надобраза: fc_ С С Y \ к+ (второе вклю-

чение выполнено при *В(Х)+ ф У). Здесь и к+ — выпуклые конусы, для которых получено явное (в известном смысле) описание. Точнее, результаты о выпуклости надобраза опираются на оценку С 93 (Х)+. Оценка Ш(Х)+ С У \ к+ играет ключевую роль при исследовании необходимых условий оптимальности в гладкой экстремальной задаче.

В работе были также использованы методы функционального анализа и линейно-квадратичной теории оптимального управления.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Выделим среди них следующие факты. Получен новый общий критерий, гарантирующий применимость метода (I)-(IV) и сводимость

с его помощью исходной невыпуклой задачи глобальной оптимизации к двум выпуклым задачам (Теорема 2.1). Этот критерий раздвинул границы области применимости метода. В частности, с его помощью установлено, что метод применим к невыпуклым задачам оптимального управления на бесконечном интервале времени и с произвольным числом интегральных квадратичных ограничений не только, когда коэффициенты дифференциального уравнения и квадратичных форм периодичны, но и в целом ряде более общих случаев, когда коэффициенты непериодичны. Минимизируемый функциоаал и функционалы, фигурирующие в ограничениях, могут быть не интегральными, а иметь вид среднего значения почти периодической функции. Кроме того, они могут быть не квадратичными, а представлять собой суммы квадратичного и выпуклого (и даже более общего) слагаемых со специальными свойствами; рассматриваемый интервал времени может быть конечным. Эти факты установлены для задач с ограничениями в виде равенств и неравенств.

Получены обобщения указанных ранее классических теорем Теплица-Хаусдорфа и Дайнса, а также теоремы Фрадкова-Якубовича на случай, когда число форм произвольно. Эти обобщения охватывают также утверждения из [5, 6] о выпуклости образа единичной сферы комплексного гильбертова пространства X = {я} при отображении х >—> [{А1х,х) ,..., {АкХ, а:)] (где {•,•) — скалярное произведение в X и А, — эрмитово самосопряженные операторы) в случае классических или абстрактных теплицевых операторов А;, "нетривиальную" составляющую аналогичных результатов [5,7], касающихся случая, когда операторы А,-коммутируют или хотя бы почти коммутируют (т.е. = АД\А, VI, j

для некоторого симметричного положительно определенного оператора Т : X —► Л"), результаты [8] о сюръективности векторной квадратичной формы 58 (•) : X —■» У, а также результаты [2, 3] о выпуклости замыкания (В (X) для форм 2$ (■) специального вида. Объединение этих утверждений произошло не эклектически, а как естественное следствие некоторой единой точки зрения на причины выпуклости образа.

Установлен ряд технических фактов, которые могут представлять и самостоятельный интерес. Именно, получены критерии выпуклости5 не только образа ?8(Х), но и надобраза *8(Х)+ := ®(ЛГ) + К+ векторной квадратичной формы 18 (•): X —>> У в случае, когда пространство У упорядочено выпуклым конусом При этом к форме 3 (•) предъявлены более слабые требования, чем в случае, когда речь идет об образе © (X). Установлены критерии выпуклости^ надобраза множества, опи-

^ Точнее, несколько более слабого свойства почти выпуклости, определенна которого см. на с.12.

сываемого конечной системой квадратных уравнении и неравенств, а также произвольной окрестности нуля в заданной локально выпуклой топологии. Для образа единичной сферы и надобраза всего пространства получены критерии их приближенной выпуклости в смысле близости к некоторому выпуклому множеству и установлены явные оценки степени близости. Найдены критерии выпуклости^ надобраза © (Х)+ для отображений вида ©(•) = ©(-) + Ф(-), где 5В(-) — векторная квадратичная форма, а Ф(-) — функция со специальными свойствами, например, выпуклая. Для произвольной формы *В (■) установлены "оценки"

надобраза: LcS (Х)+, <В ф У » (Х)+ cY\k+. Здесь fc_, к

выпуклые конусы, описанные в известном смысле явно в двойственных терминах и с привлечением индекса инерции скалярных квадратичных форм г*5$(-),т* € Y*. Автору неизвестны прецеденты исследования вопросов выпуклости надобраза, ä Т8/КЖ6 приближенной выпуклости образа или надобраза векторной квадратичной формы, выпуклости образа произвольной окрестности нуля или выпуклости надобразов отображений вида б(-) = 93 (•) + Ф(-) с выпуклой функцией Ф(-). Результаты, охарактеризованные в данном и предыдущем абзацах, сформулированы на языке функционального анализа. Вместе с тем они относятся к ситуациям, которые возникают в связи с исследованиями, касающимися дифференциальных уравнений, и находят приложения, связанные прежде всего с такими уравнениями.

Для гладкой экстремальной задачи в общей постановке, охватывающей большинство вариационных задач и многие задачи оптимального управления, получено усиление некоторых известных необходимых условий оптимальности второго порядка.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты диссертации могут быть использованы для исследования и решения различных задач оптимального управления. Результаты о выпуклости образов квадратичных отображений и соответствующие методы исследования, развитые в диссертации, могут найти применения в теории операторов (в том числе, дифференциальных), в теории устойчивости дифференциальных уравнений и в теории неопределенных систем управления.

Апробация. Основные материалы, вошедшие в диссертацию, были представлены на American Control Conference (June 1995, Seattle, USA); на 3rd European Control Conference (September 1995, Rome, Italy); на 4th European Control Conference (July 1997, Brussels, Belgium); на 2nd Russian-

^Точнее, несколько более слабого свойства почти выпуклости, определение которого см. на с.12.

Swedish Control Conference (August 1995, Saint Petersburg, Russia); на 4th International Workshop Multiple criteria and game problems under uncertainty (September 1996, Orehovo-Zuevo, Russia); на международной конференции Дифференциальные уравнения и их приложения (декабрь 1996, Санкт-Петербург, Россия); на International Workshop Nonsmooth analysis and optimization (September 1995, Saint Petersburg, Russia); на International Workshop Nonlinear mechanics and partial differential equations (October 1996, Saint Petersburg, Russia). Результаты диссертации докладывались на Санкт-Петербургском городском семинаре по математической физике им. В.И.Смирнова (рук. акад. О.А.Ладыженская); на семинаре Нелинейный анализ и оптимизация в МГУ им. М.В.Ломоносова (рук. проф. М.И.Зеликин, А.В.Куржанский, Ю.С.Осипов, В.М.Тихомиров, А.В.Фурсиков); на семинаре на фак-те ВМК МГУ им. М.В.Ломоносова (рук. проф. А.А.Милютин); на семинаре кафедры дифференциальных уравнений СПбГУ (рук. проф. В.А.Плисс); на семинаре кафедры теоретической кибернетики СПбГУ (рук. проф. В.А.Якубович); на семинаре кафедры математического анализа СПбГПУ им. А.И.Герцена (рук. проф. В.П.Одинец); на семинаре Division of Optimization and System Theory, Department of Mathematics, Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden (рук. проф. A.Lindquist); на семинарах в University of Western Australia, Perth, Australia.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [17-32].

Объем и структура диссертации. Работа изложена на 406 страницах и состоит из введения, трех глав, разделенных на 14 параграфов, и списка литературы из 199 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении изложена цель работы, описан характер и значение ее результатов, а также приведено краткое обсуждение исследований других авторов по соответствующей тематике.

Глава 1 посвящена изучению квадратичных отображений. Она служит основой результатов, изложенных в остальных главах. В §1 гл.1 рассмотрен случай векторной квадратичной формы © (•) : X —» У. Здесь и далее X = {ж} и У = {у} — вещественные линейные пространства, dim У < оо. В п.1 §1 установлены обобщения теоремы Теплица-Хаусдорфа, а также теорем Дайнса и Фрадкова-Якубовича (т.е. Теорем 0.1-0.3). Для формулировки результатов введем ряд определений.

Подмножество С С У назовем почти выпуклым, если существует такое выпуклое множество С С У, что С С С С С, где С — замыка-

ние множества С. Символом iV_[&(-)] обозначим (отрицательный) индекс инерции квадратичной формы b : X R, т.е. JV_ [&(•)] := sup dim L. Здесь sup берется по всем таким линейным подпространствам L С X, что b(x) < OVx £ L,x ф 0. (Если их нет, А7_[6(-)] := 0.) Считаем, что пространство У упорядочено выпуклым конусом К+ Э 0. Для г* £ У* далее т* > 0 т*у > 0 Уу 6 Л'+.

Теорема 1.1 Пусть X и Y — линейные вещественные пространства, причем Y упорядочено непустым выпуклым замкнутым конусом К+ и dimy < ос. Предположим, что *В(-) : X —> Y — векторная квадратичная форма и для любого т* Е Y*, г* > 0

либо jV_[r*B(-)] = 0, либо JV_ [т* ® (•)] > dim Y - 1. (2.1)

Тогда надобраз <8(Х)+ := {t/ € Y :у > *В{х) при некотором х £ X} пространства X при отображении — почти выпуклое множество.

Очевидно, «8 (X) = <В(.Х)+ при К+ = {0}. Если к тому же dimy < 2, то (2.1) заведомо верно и Теорема 1.1 переходит в классическую Теорему 0.2. Аналогично, если X — комплексное пространство, У = R3, 58(х) = [!8i(i), Шз(г), Sj(i)] и формы ©;(•) эрмитовы, условие (2.1) также заведомо выполнено. (Действительно, в (2.1) форма г*2$(-) эрмитова и поэтому имеет комплексный отрицательный индекс инерции. Остается заметить, что ее вещественный индекс инерции равен удвоенному комплексному индексу.) Следовательно, Теорема 1.1 содержит также Теорему 0.3. (Отмеченные факты верны с точностью до незначительного ослабления заключения: Теоремы 0.2 и 0.3 констатируют выпуклость образа, а Теорема 1.1 — почти выпуклость.)

Далее рассмотрен случай, когда в Теореме 1.1 условие (2.1) выполнено приближенно. Введем в У скалярное произведение (•, •} и отождествим вектор г £ У с линейным функционалом т*у := (г, у) V?y £ У. Пусть Л С У — непустой выпуклый замкнутый конус. Положим М Я П (- Я), L {у в Y : {у, т) = OVr € М), Я := пйщфога^еЯпШ0 ¿((, у), если ЙШ^ {0}, иначе := 0. Здесь /(С,?/) € [0,тг] — угол между

векторами £ и у. Символом dist {у, Ä] обозначим расстояние от точки У € У до непустого множества AcY.

Теорема 1.2 Пусть X и Y — линейные вещественные пространства, причем У конечномерно, гильбертово и упорядочено выпуклым замкнутым конусом К+ и : X —+ У — векторная квадратичная форма. Обозначим Т+ := {г £ У : т* > 0, т* © (сг) > 0 Vre} и предположим, что

те У,г* > О, |т| = 1, JV_ [г* в (•)] < dimy - 2

=>■ dist {г,Т±} (2.2)

где число е > 0 достаточно мало: е < cos ф при ф :=

Тогда существует такой непустой выпуклый -конус К С Y, что

К С В(Х)+, (2.3)

diet {у, К} < 6-г-т\у\ Vy £ 58 (Х)+. (2.4)

cos(i/' -f агсыпе)

Здесь надобраз 58(Х)+ определен в Теореме 1.1.

Если е_= 0, то (2.2) (2.1), а (2.4) => dist {у,К} = 0 Vy € 23(Х)+ =>■ 58(Х)+ С К. Это наряду с (2.3) и выпуклостью конуса К означает, что множество 58 (Х)+ почти выпукло. Таким образом, во-первых, условие (2.2) можно рассматривать как аппроксимативный аналог условия (2.1) и, во-вторых, при е = 0 Теорема 1.2 переходит в Теорему 1.1.

Следующие две теоремы касаются образа единичной сферы. Пусть X — {ж} — вещественное гильбертово пространство, А : X X — линейный ограниченный самосопряженный оператор и P(d\) — отвечающее ему разложение единицы. Для А 6 К обозначим

МА(А) := lim dim ImP(A - е,А + е). (2.5)

£—»+0

Очевидно, Мл(А) = +оо, если А принадлежит существенному спектру <7ез3(А). В противном случае МА(А) = dim{x б X : Ах = Ах}. Теорема 1.3 Пусть X = {х} — вещественное гильбертово пространство и 581(-),..., iSfc(-) : X —► R — непрерывные квадратичные формы. Составим их линейную комбинацию 58 Т(х) т\ 58 i(x) + • • • + 58 t(x), где т = (г<)*=1 £ R*, и рассмотрим отвечающий ей Ч5Т{х) = (Атх,х) линейный самосопряженный оператор АТ : X —*■ X. (Здесь (■, ■) — скалярное произведение в X.) Предположим, что для любого т £ R*"

МАт [Л_ (г)] > к, МАт [А+(т)] > к, (2.6)

где А_(т) — минимальная, а А+(т) — максимальная точки спектра оператора АТ. Тогда образ 93(5) сферы S {х : ¡х| = 1} при отображении х 58 (х) := [58 i(x),..., 58 t(x)] £ R* — почти выпуклое множество. Пусть X — комплексное гильбертово пространство, к — 2 и 581(-), 58 г(-) — эрмитовы формы. Тогда АТ — эрмитово самосопряженный оператор для любого т £ R2. Поэтому в (2.5) ImP(A — е,А + в) — комплексное линейное подпространство; его вещественная размерность, фигурирующая в (2.5), четна, либо бесконечна. Следовательно, в (2.6) величины Мдг [А±(г)] четны, либо бесконечны. Значит, (2.6) заведомо верно и Теорема 1.3 переходит в теорему Тешшца-Хаусдорфа (с точностью до

незначительного ослабления заключения: теорема Теплица-Хаусдорфа констатирует выпуклость образа, а Теорема 1.3 — почти выпуклость.)

Условие (2.6) можно нарушить (при к > 2) сколь угодно малым возмущением форм 2} ;(•). В то же время при таком возмущении суммарная кратность точек спектра оператора Ат, расположенных в достаточной близости от минимальной (максимальной) точки спектра не меньше к при любом т. Это объясняет интерес к рассмотренному далее случаю, когда условие (2.6) выполнено приближенно: dim ImPT [A_(r), A_(r) + e] > к, dim ImPr [A+(r) - e, A+(r)] > к Vr = (tj))L, e R* : \т\ = 1. Здесь Pr(dX) — разложение единицы, отвечающее оператору Ат. число е > 0 задано и |г| := л/ t'i -|-----н т\. Теорема 1.4 показывает, что при £«0 заключение Теоремы 1.3 справедливо в естественной расширенной формулировке. Именно, найдется такое непустое выпуклое множество £ С К1, что € С (5) С С, где т) = ц(е) >0 — дифференцируемая функция переменной е > 0, причем 77(0) = 0, и €п := {у 6 К* : disfc {г/, С} < т?}. Приведено аналитическое выражение для функции г/(с), а также оценки параметра е, гарантирующие справедливость указанного вывода.

Пункт 2 параграфа 1 посвящен случаю, когда предположения Теорем 1.1 и 1.3 выполнены в усиленной форме. Применительно к Теореме 1.1 это означает, что предположение (2.1) заменяется условием

i\L[r*<8(-)] = 0, либо N- [т* S (■)] = +00 Vr* > 0, (2.7)

а применительно к Теореме 1.3 — что (2.6) заменяется требованием

МАт [А_(г)] = МАт [A+(r)] = оо Vr € R(2.8)

Оно означает, что А_(г) и А+(т) — точки существенного спектра оператора Аг при любом г. Случаям (2.7) и (2.8) целесообразно уделить внимание в связи с тем, что, с одной стороны, они имеют место для многих задач оптимального управления и, с другой стороны, в этих случаях заключение Теоремы 1.1 и, соответственно, 1.3 можно существенно дополнить. Именно, Теоремы 1.7—1.9 показывают, что в предположении (2.7) надобраз Ф(Х)+ ( соответственно, в предположении (2.8) образ S(5) единичной сферы 5 = {х : \х] = 1}) почти не меняется в смысле неизменности относительной внутренности и замыкания, если отображаемое множество X (S) подвергнуть определенному и существенному сокращению. Например, вместо X можно взять любое подпространство конечной коразмерности, а в случае, когда пространство X гильбертово, а форма *8(-) непрерывна относительно его нормы, — любую окрестность нуля в слабой топологии этого пространства. Вместо сферы

S можно взять ее пересечение с любым подпространством конечной коразмерности, а также с любой окрестностью нуля в слабой топологии.

В п.З §1 исследована возможность замены в указанных результатах слабой топологии произвольной заданной локально выпуклой топологией. Соответствующий результат играет ключевую роль при исследовании образов отображений вида © (•) = 5В(-) + Ф(-), где (•) : X —► Y — квадратичная форма, X — локально выпуклое пространство, а функция Ф(-) : X Y выпукла и непрерывна. Для его формулировки рассмотрим функцию /(•) : X —► К и обозначим liiiiinf^o f(x) sup^^ iüfiev,I7«j f(x); где О - совокупность всех окрестностей нуля. Если X — гильбертово пространство и форма S (-) : X R — непрерывна в нормированной топологии, условие (2.7) допускает следующую переформулировку (Лемма 1.5): для любого т* > О

т* <8 (х) < 0 при некотором х € X j =>- lim inf т* 58 (х) — -ос . (2.9)

(В Лемме 1.5 lim inf берется относительно слабой топологии пространства X.) Скажем, что два почти выпуклых множества почти совпадают, если совпадают их относительные внутренности и замыкания. Теорема 1.10 Пустъ X = {ж} и Y = {у} — вещественные линейные пространства, причем пространство X локально выпукло, а Y конечномерно и упорядочено непустым замкнутым выпуклым конусом К+. Рассмотрим квадратичную форму 95(-) : X —> Y и связанное с ней билинейное симметричное отображение В(-, •) : X х X —» Y. Предположим, что для любого х £ X оператор В(х, •) : X —> Y непрерывен и для любого т* € У*,т" > 0 справедлива импликация (2.9).

Тогда надобраз <8(Х)+ - почти выпуклое множество. Более того, для любой окрестности нуля V С X множество Ф {V)+ := ® (У)+/4Г+ почти выпукло и почти совпадает с надобразом 93 (Х)+ всего пространства.

В заключительной части §1 продемонстрирован ряд немедленных следствий результатов, изложенных в пп.1-3 §1." Охарактеризуем некоторые из этих следствий. Пусть X = {z}, К = {у} и Z = {г} — вещественные линейные пространства, причем сйтУ < со, dim Z < оо и пространство Z упорядочено выпуклым замкнутым конусом К+ ф 0. Пусть ® (•) : J У и й(-) : X —+ Z — векторные квадратичные формы и q 6 Z. Установлены условия, гарантирующие почти выпуклость образа © (V) множества V := {х : Q (х) < q} (и близкие по характеру условиям Теоремы 1.1). Показано также, что Теорема 1.3 охватывает

"Другие следствия, непосредственно связанные с основной темой работы, представлены в гл.2,3.

результаты [6] и [5, гл.3,§5] о выпуклости образа © (5) единичной сферы 5 пространства Харди Н+ при отображении х [ {Агх, х),..., (А^х, х) ] для произвольного набора классических, либо абстрактных теплицевых операторов А;. (С точностью до незначительного ослабления заключения: выпуклость заменяется на почти выпуклость. В случае абстрактных теплицевых операторов рассмотрен несколько более специальный, чем в [5, гл.3,§5], случай.) Обсуждаемые результаты из [5, 6] обобщены на случай теплицевых операторов, действующих в пространстве Харди не только скалярных, но и вектор-функций. В §2 и §3 гл.1 приведены доказательства результатов, изложенных в пп.1-3 §1.

Теоремы о надобразе векторной квадратичной формы Ш (•), изложенные в §1, содержат достаточно жесткие предположения и применимы не к любой форме. В §4 гл.1 получены еще два результата. Один из них (Теорема 4.2) верен для произвольной формы, предположения другого (Теоремы 4.1) существенно слабее условий любой теоремы из §1. Теорема 4.2 Пусть X = {а:} и У — {у} — линейные вещественные пространства, причем второе из них У ф {0} конечномерно, гильбертово и упорядочено непустым выпуклым замкнутым конусом К+, и ©(•) : X —> У — квадратичная форма. Обозначим {£}+ ~ тах{^, 0},

Т_2 {г € У : т* > 0, ЛГ_ [г* <В (•)] < {<КтГ - 2}+} , К:={уеУ:о{т,у) <0Ут€Т_2,г^0}§, <т = ±.

Тогда С Ъ (Х)+ и \к+ П *8(Х)+ = 8 .

Отметим, что конусы к- и к+ выпуклы. Включение с 53 (X)+ является источником результатов §1. Включение *8(Х)+ СУ\к+ играет ключевую роль в главе 3 при исследовании необходимых условий оптимальности. Теорема 4.1 уточняет Теорему 4.2 в случае, когда наименьший выпуклый замкнутый конус, содержащий := (г £ Т_2 '• (г, у) — 0 V«/ е Т+П(-Т+)} (где множество Т+ определено в Теореме 1.2), является острым. Доказательства Теорем 4.1 и 4.2 приведены в §5 гл.1.

В §6 гл.1 исследованы отображения более общие, чем квадратичные, и получен следующий результат.

Теорема 6.1 Пусть X — вещественное локально выпуклое пространство, конечномерное вещественное пространство У упорядочено непустым выпуклым замкнутым конусом К+ и ¿Г С X — аффинное подпространство. ПредположилI, что отображение <&(•) : X —► У представи-мо в виде <5(-) = ®(') причел1 выполнены следующие условия.

5 Если Т_2 — {0}, векторов г с Т_2,г / Он е существует. Считаем, что в этом случае ка У.

(A) Функция Ф(-) : X —* У непрерывна па Z, а 2$ (■) : X -+ У — векторная квадратичная форма. Для любого г* 6 Т+ := {г* € У* : т* > 0> ОУх в Ш}, где Ш := {аг € X : а; = - 22,2Ь22 <Е 2}, функция т*Ф(-) выпукла на Z.

(B) Рассмотрим билинейное симметричное отображение В(-, ■): X х X —* У, связанное с формой ©(•). Для любого л € Z линейный оператор В(г, •) непрерывен на линейном подпространстве 9Л.

(В) Для любого т" € У*,т* > 0 справедлива импликация

т* © (К) < 0 при некотором h £ SOT liminf т* 93 (h) < 0.

--Л-+0,Л£ял

Тогда надобраз 0(.£)+ '■= {у £ У ■ у > 0(г) для некоторого г £ 2} — почти выпуклое множество.

Глава 2 посвящена методу (1)-(1У) и его приложениям. В §1 этой главы приведены используемые в работе факты классической линейно-квадратичной теории. В §2 установлен общий критерий корректности метода (1)-(ГУ). Именно, рассмотрена следующая задача

0 0(г) -у Ы в области г € 2Г С X , <25 (г) < Оу. (2.10)

Здесь X, У — вещественные линейные пространства, сНтУ < оо, Z -аффинное подпространство, функции 0 о(-) : X —► К, 0 (•) : X —* У заданы, У упорядочено непустым выпуклым конусом К+. Символом п К+ обозначим относительную внутренность конуса К+, т.е. его внутренность в минимальном линейном подпространстве аИК+, содержащем К+ С У = {у}. Запись 2/1 < 2/2 и г/2 > У\ означает, что - У\ Е пЛ'+. Определение 2.1 Задачу (2.10) назовем правильной, если

(1) 0 (г,) < 0 для некоторого 2,6 2 а

(и) функционал т* ~ 0 является единственным решением системы соотношений т* > 0, г* < 0, т*0 (г) >0 Уг € Z.

В (ц) [г* > 0, т* < 0[<£-|г*г/ = 0 V у 6 лКК+\. Поэтому при а{Г К+ = У» т1 Л'+ ф 0 условие (и) заведомо верно и правильность задачи означает, что справедливо свойство (1). Далее предполагаем, что в (2,10)

0о(г)= 58о(г)+Фо(г), в(г) = ®(г)+Ф(г) Уг е (2.11)

где ЯЗо(') . X —► К и (■) : X —> У - квадратичные формы, а функции ФоО '• X —> К и Ф(-) : X —V У обладают свойствами, указанными далее. Теорема 2.1 Пусть в задаче (2.10) Z - аффинное подпространство вещественного локально выпуклого пространства X и конечномерное пространство У упорядочено непустым выпуклым замкнутым конусом К+.

Предположим, что справедливо разложение (2.11). Для в £ R,r* 6 Y*,z 6 X обозначим Ш e,T'(z) 0®о(г) + г* 58(г) и рассмотрим множество Г+ := {(в, г*) € R хУ* : В> 0, т* > О, > О V/г G ЭЛ}, где 2Я := {a: G X : а: = 2i — «2, zi, ¿2 € Z}. Предположим также, что

(A) функции Фо(-) : X —* К, Ф(-) : X —* У непрерывны на Z и 58о(г) Вй(г, г), » (2) := B{z, z), где В0(; ■) : X х X R и В(-, ■) : X х X -+Y — билинейные симметричные отображения; для любой пари (в, г*) <Е Т+ функция := 0Ф0(г) + т*Ф(г) выпукла на Z;

(B) для любого z € Z линейные операторы Во(г,-) и B(z,-) непрерывны на линейном подпространстве Ш;

(В) задача (2.10) правильна и для любых в G R,r* € У",в > 0, т* > О

liminf Sffr.(h)<0.

i. п I,/- _ ' v '

Тогда для задачи (2.10) корректен метод (1)-(ГУ). Кроме того всякий раз, когда для некоторого т* £ У*, т* > 0 лагранжиан 5(т*, г) := ©о(г) + т* © ( г) ограничен снизу на Z = {г}, см является выпуклой на Z функцией.

Требования к функциям Фо(') и Ф(-) из (А) выполнены, если эти функции непрерывны и выпуклы на Заметим, что предположения (А)-(В) не влекут выпуклости функций <9п(-)1 ® (•)• В заключительной части §2 установлен ряд удобных критериев правильности задачи (2.10).

В §§3-5 гл.2 рассмотрен целый ряд конкретных невыпуклых задач оптимального управления — частных случаев задачи (2.10) — и показано, что для каждой из них 21) выполнены предположения Теоремы 2.1,

58 ) корректен метод (1)-(ГУ),

С ) функция Лагранжа Б(т*, •) выпукла на подпространстве Z из (2.10)

всякий раз, когда т* > 0 и эта функция ограничена снизу на Z. По Теореме 2.1 21) =4» В ) & £). Утверждения 58 ) и С), как уже отмечалось, означают, что метод (1)-(1У) сводит исходную невыпуклую задачу глобальной оптимизации к двум выпуклым.** Для большинства рассмотренных задач этот вывод усилен: показано, что 2) ) первая из двух вспомогательных задач, используемых методом (I)-(IV) (именно, (1.4)относится к числу задач, изученных в классической линейно-квадратичной теории оптимального управления. Это означает, что к задаче -(1.4) применимы разработанные в этой теории эффективные методы решения.

2$0 Г.(/г) < 0 при некотором h Е

"Именно, к задачам (1.4) и (1.5). Напомним, что вторая из них конечномерна.

В первой части §3 рассмотрена следующая задача

0 о —> min при ограничениях , .

ei<O,...,0t<O,0t+i = O>...,0t+l = O, [ш '

х = A(t)x + B(t)u, х = x(t) <= R", и = u(t) € Rm, 0<t<oo, (2.13) *(<)) = «, |*(.)| +|u(-)| € Ij , (2.14)

ЛОС ЛОО

0, := / Qi(t,x,u)dt+ I <j>i{t, x, и) dt - (i ~ 0,..., fc + l) . (2.15) J 0 J 0

Здесь x = x(t) — состояние, и — u(t) — управление, A(t) и B(t) — матрицы размеров nxnи nxm соответственно,Qi(t,x,и) = x*Gj(t)x-{-2x*Qi(t)u+ u*Ti(t)u — квадратичная форма переменных жим, функция <p;(t, х, и) по меньшей мере выпукла по х,и и 71,...,7— заданные числа, 70 = 0. Матричные функции А(-),В{-),С-(-) = £?,(•)% <?,'(•), Г.-(-) = Г,-(-)* и скалярная функция cj>i{-,x,u) (при любых х,и) измеримы. Далее на £?,(■) и </>;(■) накладываются дополнительные требования, которые, в частности, обеспечивают сходимость интегралов в (2.15). Подчеркнем, что эти требования не влекут выпуклости функционалов 0;. Таким образом, рассматриваемые задачи являются, вообще говоря, невыпуклыми задачами глобальной оптимизации.

В общем случае метод (I)-(IV) к задаче (2.12)-(2.1о) неприменим. (Соответствующий контрпример приведен в п.1 §3). В диссертации показано, что метод корректен в следующих специальных случаях.

Задача с постоянными коэффициентами. Теорема 3.1 Пусть в (2.13) A(t) = A, B(t) = В и в (2.15) Gi(i) = Gi, Qi(t) = Qi, и Tj(i) = Г,- — постоянные матрицы. Предположим, что пара (А, В) стабилизируема^ и ф^,х,и) = r,(i)*x + pi(t)*u, где гД-) G ¿2([0,+оо) М "),?,(•) € Li ([0, +оо) Rm). Предположим также, что задача (2.12)-(2.15) правильна в смысле Определения 2.1. Тогда для нее справедливы утверждения 21 ) - Э ).

В частном случае, когда в (2.12) ограничения в виде равенств отсутствуют (I = 0), Теорема 3.1 была впервые доказана в [2].

Задача с почти периодическими коэффициентами и исчезающими на бесконечности выпуклыми слагаемыми в неравенствах и минимизируемом функционале. Теорема 3.2 Предположим, что

• в (2.13),(2.15) A(-),B(-),Gi(-),Qi(-) и Г,(-) — почти периодические (по Бору) функции (точнее, каждая из них допускает продолжение до почти периодической функции, заданной на вещественной оси);

"т.е. существует талая л х m-матрица С, что det [Л/ — (А + ВС*)] = 0 Re А < 0.

• в (2.15) <f>i(t,x,u) — ri{t)*x -f pi(i)*u для i = к + 1,..., к + l, где Ы-) € £2([0,+oo)- R"),/>;(■) € £2([0,+оо)-» Rm); для i = 0,..., к функция <f>i(t,x,u) выпукла no x,u для почти всех t, ¡^¡(i, x, u)| < ai(t) (jx|2 + H2)+ft(<) ([x| + |ul)+7i(i), где ao(0 > 0,.. . ,afc(-) > 0 - не-прерывные функции переменной t £ [0, оо), причем a,(i) —» 0 при t —* со ЩД(.) е£2([0,оо) К),тч(-) €£i([0,oo) — R ),$(•) > 0,7,-(-) > 0;

• система (2.13) стабилизируема, т.е. существует такая ограниченная непрерывная т х п-матричная функция C(t),0 < t < оо, что решение х(-) задачи Коши х = (А + ВС) х + f(t), 0 < t < оо, ж(0) = 0 принадлежит Ьг [[0, оо) —» Rn] для любого /(•) £ Li [[0, оо) —+ R"].

Предположим также, что задача (2.12)-(2.15) правильна в смысле Определения 2.1. Тогда для нее справедливы утверждения 21) - € ).

Бели = 0, г = 0,..., k +1 и функции A(-),B(-),G,-(-),<2;(")> П(') периодичны с общим периодом, для задачи (2.12)-(2.15) справедливо и утверждение D ). (Соответствующая теория развита, например, в [9]).

Автономное дифференциальное уравнепие. Квадратичные формы с непериодическими коэффициентами. Теорема 3.3 Предположим, что

(1) G;(t, х,и) — &?(х, u) + Q^(t, х,и), гдеб¥(х,и) и Qf(t, х,и) — квадратичные формы относительно х,и;

(2) v) > 0 для почти всех t > 0 и у, v) £ ¿^(0, +оо) при любых у £ Rm,i = 0,...,k;Q^{-)~0 для! + 1,...,к + 1;

(3) Т-1 GtH, у, v) dt — 0 при Т -> оо для любых i < к, у £ R" и v 6 Rm;

(4) A{t) — А = const, B(t) = В = const и пара (А, В) стабилизируема;

(5) <j>j(t, х, и) = ri(t)*x+pi(t)*u для всех г = 0,..., где |г.(-)1+1М')1 £ -^2-Предположим также, что задача (2.12)-(2.15) правильна в смысле Определения 2.1. Тогда для нее справедливы утверждения 21) - € ).

Условие (3) можно заменить следующим более общим требованием. (3") Для любых г < к, у £ R™ и v £ Rm существует такая последовательность {3„} интервалов Эп = С [0, +оо), что ап :=tn — sn —» оо м о^1 у, v) dt —* 0 при п —+ оо.

Распространение предыдущего примера на случаи /^-непрерывных выпуклых слагаемых в минимизируемом функционале и неравенствах.

Теорема 3.4 Пусть q £ (2, +оо). Заменим в (2.14) требование |гг(-)j + |«(-)j £ Li условием |#(-)| -f |«(-)| £ L2i~)Lq и рассмотрим людифицирован-ную таким образом задачу (2.12)-(2.15). Пусть выполнены условия (1)-

(4) Теоремы 3.3, а условие (5) верно только npui > fc+l. Предположим также, что для г = 0,..., к функция х, и) измерима по t для любых х,и и выпукла по х,и для почти всех t, причем ф^-, ж(-), u(-)] G Li для любых х(-) G Lq, и(-) 6 Lq, а рассматриваемая задача правильна в смысле Определения 2.1. Тогда для нее справедливы утверждения 21 ) - С).

Задача (2.12)-(2.15) в случае, когда коэффициенты постоянны начиная с некоторого момента времени. Предположим, что

(i) матричные функции А(-), -В(-), <?,(•), Qi(•) иГ((-) кусочно-непрерывны при t > 0 и постоянны начиная с некоторого момента t° > 0, т.е. A{t) = А, ВЦ) = В, Gi{t) = G°i: Qi{t) = Qf и 1\(<) = Г? при t > ta;

(ii) пара {А, В) стабилизируема и система (2.13) управляема на любом нетривиальном подынтервале [ii, i2] С [О, i°], т.е. для любых i2 £ [0,t°] ,t\ < и a;i,X2 G R" существует управление и{-), переводящее систему из состояния х\ в момент tj в состояние в момент ¿2-

Для в G R,t = (т,-)^/ е R*+' функция QâiT(t,x,u) := eg0(t,x,u)+ + Т&(*>х>и) = x*Gtir{t)x+2x*QgtT{t)u + u*TfiT(t)u, очевидно, не зависит от t при t > <°, т.е. х, и) = Çffr(x, и) при t > t°. (D) Символом 0 обозначим совокупность всех таких пар (в, т), в £ M, г = (т,) е что 0 > 0, т,- > 0, i = 1,..., k, Ts,r(i) > 0 для всех t > О и GfT(x,û) > 0 для любых и> G R,î € С,й G Cm, удовлетворяющих равенству icjx = Ах + Вû. Введем также множество В0, состоящее из пар (в, г) G 0, для которых I± 0) > 0 при любом t > 0 и существует такое 6 > 0, что Çfr(x,û) > ô(|î|2 + |û|2) при любых ш G С", и G Ст, связанных равенством гих = Ах + Ви.

(iii). Либо 0=0, либо 9° ф 0, т.е. 9 ф 0 =» 9° ф 0.

Пусть 0° ф 0 и (в, t) G 0°. По Теореме 1 [10] существуют такие вещественные п х n-матрица Р#г и п х m-матрица что Р#т =

2x*Pe,T(Ax + Bu) + çlT(x,u)= (u-rlTx)*TlT(u~rlTx) Vx G Rm

и система х = (А + Br#T) х асимптотически устойчива, причем пара матриц (Ре,г, г$,т) с перечисленными свойствами единственна. Обозначим

At,T(t) := A(t) - B{t)V^iT(t)~lQe,T(ty, Ve,r{t) '= B(t)Te<r(t)'lB(t)\ Ce,r(t) == Ge,,(i) - Q»,r(t)ri,r(<)-1Qflir(<)*

и определим n x n-матричные функции X(t) и Ф(<) как решение задачи

Коши (отметив предварительно, что далее I ~ единичная матрица)

Теорема 3.5 Пусть <£,•(•) = 0 для г = 0,...,к + 1, выполнены условия (¡)-(Ш), сформулированные ранее, и detЛ''eJT(<) ф € (0, , (0, г) € 0°. Предположим также, что задача (2.12)-(2.15) правильна в смысле Определения 2.1. Тогда для нее справедливы утверждения 21 ) - €.).

Задача, связанная с оптимальным гашением вынужденных колебаний в линейных системах. Рассмотрим следующую задачу

Здесь х = х(<) € К" — состояние, и ~ «(£) € К,п — управлепие, /(•) — внешнее возмущение, х,и) = + 2х*С}^)и + и*Т^)и

и 7ь •■■, 7)ь+1 ~ заданные числа, Л(-), В(-), СД-), ГД-) и /(•) — заданные почти-периодические (по Бору) матричные функции, 70 = 0. Минимум ищем на множестве всех пар [ж(-), «(•)] почти-периодических функций х(-) : К —► К", ы(-) : Ж —» Кт, удовлетворяющих (2.17) и (2.18). Теорема 3.6 Пусть существует такая почти-периодическая т хп-мат-ричная функция С(■), что уравнение х = [А(<) + В{1)С{1)] х экспоненциально дихотомично (на К). Предположим также, что рассматриваемая задача правильна в смысле Определения 2.1. Тогда для нее справедливы, утверждения 21) - €) со страницы 19.

В случае постоянных коэффициентов А(-), В(-),£?,(-),^,(-),Г;(-) близкие задачи без ограничений (2.18) были решены для гармонического возмущения /(•) — в [11] и для произвольного /(•) £ Ьоо — в [12]. Это означает, что в указанном случае справедливо и утверждение 2) ) со страницы 19.

Линейно-квадратичная задача оптимального управления на конечном временном интервале. Рассмотрим следующую задачу:

ХеЛ*) = А,г(«)ад*) + Х,,Т = 1,

ЗДО = Св,г(0*в.г(<) - Л,т(*)*Фв,т(0, Фв,г (¿°) = -Ре,Т.

(2.16)

х = + в(г)и + ¡(г), х = я(*), и = и(«), (ей, © 1 < о,..., © * < о, © ж = о,..., © = о,

© о —> нпп,

(2.17)

(2.18) (2.19)

(2.20)

0 о —> пин при ограничениях © 1 < 0,..., © к < 0, 0 к+г = 0,..., 0 к+1 = 0,

(2.21)

X = А(г)х + ВЦ)и, 1 = 1(<)ей", « = и(()ат, tcl<t<t^>, (2.22)

= а, и(-) 6 ¿2 ([¿о, <°] Мто) , (2.23)

+ + £ [|ч(*)*я + я(*)*и] Л. (2.24)

Здесь а;(<) — состояние, и(<) — управление, А(£) и В{Ь) — матрицы размеров п X п и п X ш соответственно, (?,(£, ж, и) = х*С{{1)х + 2х*()^)и + и'Г{(<)м,, а п X п-матрица Р; симметрична и 7ь ..., 7— заданные числа, то = 0. Кроме того, А(-), В(-), <?;(•) = £,(•)%<?;(•)>Г;(-) = Г,-(-)* — кусочно-непрерывные матричные функции, г;(-) € £1(^0, —1► К"),р;(-) € —»■ Мт). В общем случае метод (1)-(ГУ) к рассматриваемой задаче неприменим. В следующих двух теоремах указаны ее специальные случаи, для которых корректность метода имеет место. Отметим, что предположения этих теорем не влекут выпуклости функционалов (& ¡. Теорема 3.7 Пусть <?;(•) = 0, £,■(■) = 0,/> = 0 Уг > к + 1,ф.-(-) = 0,Р; > О,> О У£ £ = 0,..., й и задача (2.21)—(2.24) правильна в смы-

сле Определения 2.1. Тогда для нее справедливы утверждения 21) - С). Заметим, что для задачи (2.21)-(2.24) верно и утверждение 2) ) со с. 19.

Чтобы сформулировать следующий, более общий результат, для в £ К, г = £ КН1и М := Г,(?,<Э обозначим М„,г(*) вМ0{%) +

^¿=1 7'¡М{{1),Рв,г ■= бРо + Введем также два множества Е+ :=

{(0,т) : б 6 К,г = б К'+',п > 0,...,п > 0,в > 0пГв,г{*) >

0 У<},Е°+ := {(0,т) : 0 £ К,г = (г,)й £ К*+',п > 0,...,г* > 0,0 > 0иГ#|Т(< ±0) > 0 У<}. Для (0, г) £ Е® определим п х п-матричные функции Хв^) и Фо>г(<),<о < * < как решение задачи Коши (2.16). Теорема 3.8 Пусть Е+ ф %, если Е+ ф 0, система (2.22) управляема на любом подынтервале [*',«"] с [<о, и сЫЛ^С*) ф 0 V* £ ^0,г°},(в,г) £ Е® . Предположим также, что задача (2.21)-(2.24) правильна в смысле Определения 2.1. Тогда для нее справедливы утверждения 21) - С).

В §4 гл.2 вновь исследована задача (2.12) - (2.15). По сравнению с §3 рассмотрен более общий случай. Приведем соответствующий результат. Пусть выполнено условие (1) (см. с.22). Предположим, что (¡у) для всех г функция ф^,х, и) измерима по 2 для любыхх £ К",« £

и непрерывна по х, и для почти всех t> 0. Для любой пары (в, т) £ 9° (где множество В° определено в (О) на е.22 и в £ К, г = £

функция Фе,т{х,и) := вф0^, х, и) + ^ф^, х, и) выпукла по х, и для почти всех t > 0. В §3 минимальное требование к характеру зависимости функции ф^,х,и) от х и и состояло в том, что она выпукла по х,и при г < к и линейна по х, и при г > к. Это условие равносильно тому, что функ-

ция <j>e,T{t, х, u) выпукла по х, и для любой пары {в, т) 6 /С+ {(0, г) : в € [О, +оо), г = (ri)i?i € ri > 0, ...,7i > 0}. Предположение (iv) осла-

бляет указанное требование, сужая множество пар (9, т), для которых функция d>i(t,x,u) должна быть выпуклой, с /С+ до 6° С /С+.

(v) Для г = 0+ / ггрк всег г Е R",a S Rm « почти всех t > О справедлива оценка \4>i(t, х, ы)| < ^¿(i, ж) ■+■ a,-(i)|«|2 4-A(i)|u|w- Здесь 1 < М» < 2, Д-(-) 6 £_2_(0, +оо), функция qi(t, х) измерима по t для всех

х и непрерывна по х для почти всех t, J"QT шахг.|х|<с qi(t, х) dt < оо Vc £ [О, оо), Т > 0 и 0 < qi(t, х) < Tji(t)\x\2 + Ui(t) для всехх с\х\< s и почти всех t при некотором £ > 0. При этом а;(-), 7у;(-) 6 L<x(Q, +оо), !/,-(•) G bj(0, +оо), a;(i), fli(t),rii(t), i'i{t) > 0 для почти er.ext > 0.

(vi) Существует такая последовательность интервалов 3„ = С [0,-foo), что а„ := („ — sn —+ оо .a'1 o-,(i) Л —► 0 dt —> 0 при п —+ оо для есеж г. Кроме того, Q'i(t) — 0 для г — 0,..., k + I и почти всех t < t°, где ta — число из условия (i) со страницы 22.

Теорема 4.1 Пусть справедливы предположения (i)-(v), причем требованиям условия (v) можно удовлетворить так, что выполнено условие (vi). Предположим также, что задача (2.12)-(2.15) правильна в смысле Определения 2.1. Тогда для нее справедливы, утверждения 21) - С).

В заключительной части §4 с помощью Теоремы 4.1 обоснована справедливость утверждений 01) - С) для ряда конкретных невыпуклых задач оптимального управления с невыпуклыми интеграндами <?,(•).

В §5 гл.2 исследования, аналогичные проделанным в §4, выполнены для задачи оптимального управления на конечном интервале времени.

В §6 гл.2 теория, развитая в §§2 и 3, проиллюстрирована решением конкретных невыпуклых задач глобальной оптимизации. Они представляют собой линейно-квадратичные задачи оптимального управления с квадратичными ограничениями. В этих задачах требуется найти оптимальный элемент некоторого бесконечномерного пространства (пространства наборов функций). Развитая теория позволила свести каждую из этих невыпуклых задач к некоторой конечномерной задаче выпуклого программирования, в которой размерность пространства независимых переменных равна числу ограничений исходной задачи, а минимизируемый функционал и допустимая область явно описаны формулами. Поэтому для поиска решения можно использовать богатый арсенал эффективных методов конечномерной выпуклой оптимизации.

Всего было рассмотрено пять примеров. Остановимся на одном из них. Он представляет собой задачу оптимального управления систе-

мой, описываемой уравнением в частных производных, д2х д2х

ЭР дв2

9х .

+ «(¿,0) 0 < < < ОО,0 < 0 < 7Г,

(2.25)

х(0,6>) = 8ш(0), —(0, в) = 0, 0 < в < 7г, 1 хЦ, 0) = х(г, тг) = О V* > О,

О и

/»ОО |»7Г ГОО Л7Г

и2 <М<16 < г/ / х2 <Ийв < оо, Уо ./о Л

ЛОО /*ЗГ

® 0 / I (и2 + ах2) dtd9 пип. Уо /о

(2.26)

(2.27)

(2.28)

Числа I/ > 0,сг > 0 заданы, а; = х(1,в) е К и и = и(М) 6 К. Минимум ищем на множестве В всех таких пар [х(-), м(-)], что «(•) 6 £2([0,оо) х [0,7г]), выполнено (2.27) и х(-,-) — обобщенное решение начально-краевой задачи (2.25),(2.26), т.е.

^(•»•)€С[[0>оо)-»1а(0)7г)]1

■г) ее

дГ

[0, оо) (0, тг)

Л2-г

и верны равенства (2.25), (2.26), где производные понимаем как обобщенные. Ввиду ограничения (2.27) множество Р невыпукло (п.2.6.5).

Утверждение. Решение задачи (2.25)-(2.28) существует и единственно. Оно может быть получено следующим образом. Находим точку максимума г функции ¿>о(т) = (1 +11 ~ + ?-де Р — Мт) на интервале [0,а}у\. По найденному г определяем функции

Ы(в,8)

П=1

Бш(яб) • вт(пв), г = 0,1,

где ЬРп := п2, Л£ := у/2п. Оптимальный процесс задается обратной связью

г* п дх

u(t,в) = -J ho{в,s)x(t,s)ds~ J h^(9,s)-^(t,s)ds.

Все указанные в Утверждении ряды сходятся в надлежащих функциональных пространствах. Отметим также, что функция ¿?о(-) вогнута.

Остальные примеры связаны с обыкновенными дифференциальными уравнениями. В первом и втором из них рассмотрено уравнение первого

5В диссертации задача решена для начальных условий общего вида. В автореферате приведен частный случай полученного решения, отвечающий начальным условиям из (2.26). В общем случае решение отличается от изложенного далее в Утверждении только формулой для функции ¿>о(-).

и, соответственно, второго порядка и одно невыпуклое ограничение; в третьем — система дифференциальных уравнений второго порядка и четыре ограничения, из которых два — невыпуклые. В этих примерах временной интервал конечен. В последнем примере он бесконечен и присутствуют два ограничения, одно из которых невыпукло.

В §6 также показано, что метод (I)-(IV) полезен не только как вычислительная схема, но и как инструмент качественного анализа при исследовании вопроса о существовании оптимума. Для иллюстрации возникающих здесь трудностей возвратимся к задаче (2.10), считая, что пространство X гильбертово, аффинное подпространство Z замкнуто, а функции © о(') и 0 (■) непрерывны в нормированной топологии, причем 0 о(-) выпукла и коэрцитивпа на Z, т.е. 0 о(г) —> +оо при |г| —> оо.

Если множество D :— {z 6 Z : &(z) < 0} выпукло, существование оптимума часто можно обосновать, используя стандартную технику слабых предельных переходов. Именно, рассматривая последовательность {?;} С 0>, <fto(?i) —> infJ€o <5 0(2), замечаем, что ввиду коэрцитивиости sup,-1?,| < со. Поэтому можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность Zj ^ z. Так как любой выпуклый и непрерывный в нормированной топологии функционал слабо полунепрерывен снизу, имеем 0о(,г) < liminf^oc 0о(-гу) = inf^c 0о(г)- Поэтому, если 2 G D, то процесс z оптимален. Для выпуклых задач включение г £ 1 верно, так как ввиду выпуклости и замкнутости в нормированной топологии множество 0 слабо замкнуто. Однако для невыпуклых задач этот вывод неправомерен. В частности, для некоторых примеров, рассмотренных в §6, D ф Z, но замыкание D в слабой топологии совпадает с Z. Последнее означает, что при слабом предельном переходе ограничение 0 (z) <0 "исчезает". В этих примерах вопрос о существовании оптимального процесса разрешен с помощью п.(IV) метода (I)-(IV).

Глава 3 посвящена необходимым условиям экстремума второго порядка в задачах оптимального управления. Хорошо известно, что необходимые условия экстремума первого порядка далеко не всегда позволяют ответить на вопрос о наличии или отсутствии экстремума в данной точке. Дальнейший анализ часто опирается на условия второго (и более высокого) порядка. Подобным условиям посвящена обширная литература. Особо отметим исследования [13-15], так как к ним глава 3 имеет непосредственное отношение. В них, в частности, была изучена общая модель гладкой экстремальной задачи. При этом были получены необходимые условия оптимальности второго порядка, обладающие важным свойством близости к достаточным условиям локального ми-

нимума в том смысле, что замена в необходимом условии нестрого неравенства строгим превращает его в достаточное условие. Построение общей теории необходимых условий оптимальности второго порядка, близких достаточным, — важный рубеж в развитии теории экстремальных задач. Вместе с тем в общем случае такие условия формулируются достаточно сложно. Например, соответствующее условие из [13] состоит в том, что функционал, равный максимуму определенной совокупности квадратичных форм (вторых вариаций функций Лагранжа, отвечающих различным множителям Лагранжа) неотрицателен на конусе так называемых критических вариаций. Кроме того выяснилось, что в отдельных специальных случаях обсуждаемые условия могут терять содержательность. В указанной связи они последовательно дополнялись, обобщались и усиливались. К этому направлению, представленному работами [14-16], относится и глава 3. В ней показано, что Теорема 4.2 немедленно позволяет продвинуться еще дальше по пути усиления формулировки охарактеризованных условий оптимальности из [13-15].

Основные результаты главы 3 приведены в §1,а их доказательства — в §2. С целью упрощения и унификации изложения рассмотрена следующая абстрактная постановка задачи, охватывающая большинство вариационных задач и многие задачи оптимального управления,

G0(x) min, х ев, F(x) = Gv, Gy(x) < 0,.. ,,G,(x) < 0. (2.29)

Здесь © = intQ С X,X = {я:} и У = {и} — банаховы пространства, а <?„(•) : X -+ : X — R,F(-) — заданные функ-

ции. Пусть ж0 — точка локального минимума функционала в задаче (2.29), а образ ImF'(x°) замкнут и имеет конечную коразмерность. Без потери общности можно считать, что Gi(x°) = •■• = Gs(x°) = 0. Тогда в соответствии с правилом множителей Лагранжа существует набор г = (А0,..., Aä, Г), Ао,..., А, е R, /* € V*, для которого

A0>0,...,As>0, |г| := А0Н-----f As + ||Г|| = 1, ¿;(х°,т) = 0. (2.30)

Здесь и далее L(x,t) J2t= о i(x) +1* F(x) — лагранжиан. Обозначим Л := {г : верно (2.30)}. Справедливо следующее необходимое условие оптимальности второго порядка [13]

ma.xLlx(x°,t)[h,h] >0 Vft € m(x°), (2.31)

гбЛ

где GR (z0) {h € X : F'{x°)h = 0, G'0(x°)h < 0,..., G's{x°)h < 0} — конус критических вариацийи br(-) := Ь"хх(хь,т)(-,-) —вторая производная Фре-ше. В [14,15] это условие было усилено за счет замены в нем множества

Л следующими подмножествами ¿\Гш С Л [14] и A„t С ЛГш [15] А&, {г : верно (2.30) и 2V_ [ЬткгЛ'(*0)(')] < , A„t := {т : верно (2.30) и 2V_ [bT|t„í.,(loj(-)] < codim Imf^0)} . (2.32) Здесь P(x) := [Gx(x),..., G,(x), F(x)] £ E'xF. (В случае условия из [14] в (2.31) наряду с заменой А на Afin следует max заменить на sup.) Выло также показано, что А^ ф 0, Л„, ф (М1

В §1 гл.З установлено, что за исключением некоторого вырожденного случая в (2.32) оценка индекса инерции, вообще говоря, может быть немного улучшена. Перейдем к подробностям. Точку х° назовем сильно анормальной, если для любого вектора v £ V существует такой функционал I* € V*, что l*F'(x°) = 0,l*v > 0, ||Г|| = 1 и iVL^Bfl^^O] < codim 1тР'{хй), где 53F(h) ~ F"(x°)[h, h}. Если точка х° сильно анормальна, то указанные ранее необходимые условия из [15] заведомо выполнены, в том числе, после замены в (2.29) Go(-) любым другим функционалом и в этом смысле вырождаются. Обозначим J := {г = 0,...,s : G'¡(xa)h < 0 для некоторого h £ £9*(г0)} л'""'ал'- {г -0,...,s : A¿ = 0 Vr £ А}. Введем линейные пространства Oí {г = (А0,...,А 8,Г) : L'x(x°,t) = 0}, £ := {т £ : A¡ = 0 Vi £ /} и множество

А(0) (г : верно (2.30) и IV_ [MwP'íoO] < max{/,0}} . (2.33)

Здесь I := codim ImF(x°) - (1 + p), где p :— dim - dim £. Теорема 1.4 Лусть образ ImF'(x°) замкнут и имеет конечную коразмерность, точка х° не является сильно анормальной, а ядро kerF'(xü) имеет замкнутое алгебраически дополнительное подпространство, либо ImF'(x°) = V. Если х° — точка локального минимума функционала в задаче (2.29), то множество № непусто и компактно, причем

max L" (х°, r)[h, h]> 0 V/i £ СЖ (xQ). (2.34)

гел<°)

Так как £ с Oí, тор > 0. Поэтому при codim ImP'(a;0) > 1 в (2.33) оценка индекса инерции лучше оценки из (2.32) не менее, чем на единицу.

Далее показано, что (2.34) вытекает из другого необходимого условия экстремума, установленного в Теореме 1.5. Она утверждает, что в предположениях Теоремы 1.4 неравенство (2.34) остается в силе, если в нем А171' заменить следующим множеством

Л(1) := {г : верно (2.30) и AL [Ьтк,т>'(х°}(0] ^ max{m,0}} ,

^Строго говоря, в [14, 15] был рассмотрен случай, когда dimV < оо. Вд1есте с тем при неограничительных дополнительных предположениях обсуждаемые результаты легко распространяются на случай произвольного банахова пространства V. Это, в частности, продемонстрировано в §2 гл.З.

которое также непусто и компактно. Здесь m := codim lraV'(x°)—(2+p) и V{x) := [GoW,--. ,<?,(®),F(a:)] = [G0(x), P(x)] € Ks+1 x V. Другими словами, Теорема 1.5 утверждает, что для любого h £ CSH(x°) существует такой набор т, что верно (2.30), L"x(x°,r)[h,h] > 0 и iV_ [f>7-|k„p'(*°)(')] < max{m, 0}. Теорема 1.6 показывает, что при С£И(а;0) ф ker V(x°) (заметим, что всегда ker V'(x°) С С!К(ж0)) это заключение можно усилить, заменив в последнем неравенстве ксгР'(х°) более широким подпространством L(h). Именно, выберем и фиксируем вектор h £ CSR(a:0)\ker'P'(£0). Тогда для любого h S (х°) существует такой набор г, что верно (2.30), L'lx(x0,r)[h,h] > 0 и iV_ [МдЛ)0] < max{m,0}. Здесь L{h) — наименьшее линейное подпространство, содержащее ker7>'(x°) и вектор h', где h' := h, если h £ CiH(a;0) \ ker Т'(х**), и h := h в противном случае.

Литература

[1] Rinaooy Кап A.H.G., Boeader C.G.E., Timmer G.Т. Computational Mathematical Programming, ed. by K.Schittkowski, Springer-Verlag, Berlin, Germany, 1984, pp.281-308.

[2] Yakubovich V.A., Nonconvex optimization problems: the infinite-horizon linear-quadratic problems uiith quadratic constraints, Systems & Control Letters, Vol.16 (1992) pp.13-22.

[3] Якубович В.А. Об одном методе решения специальных задач глобальной оптимизации, Вестн. СПбУ, сер.1 (1992) с.58-68.

[4] Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, М., Мир, 1970.

[5] Абрамов Ю.Ш., Вариационные методы в теории операторных пучков. Спектральная оптимизация, изд-во ЛГУ, Ленинград, 1983.

[6] Dash А.Т., Joint numerical range, Glasnik Mat., Vol.7 (1972) №1, pp.75-81.

[7] Cassier G., Image numérique simultanée d'une famile d'opérateurs sur l'espace de Hilbert, С. R. Acad. Sei., Paris, Ser.I, Math., Série I, T.305 (1987) No. 15, pp.681-684.

[8] Agrachev A.A. and Sarychev A.V., Abnormal sub-Riemannian geodesies: Morse index and rigidity, Annales de l'institut Henri Poiacaré - Analys non linéare, Vol.13 (1996) No.6, pp.635-690.

[9] Якубович В.A., Частотная теорема для периодических систем и теория аналитического конструирования регуляторов, в кн. "Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем", ред. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Наука, Новосибирск, 1987, с.281-290.

[10] Megretski A., Yakubovich V., Singular stationary nonhomogeneous linear-quadratic optimal control, Amer. Math. Soc. Trans., loo (1993) pp. 129-167.

[11] Якубович В.А., Линейно-квадратичная задача оптимального гашения вынужденных колебаний при неизвестных гармонических внешних возмущениях, Доклады РАН, Т.333 (1993) с.170-172.

[12] Андреев В.А., Казаринов Ю.Ф., Якубович В.А., Синтез оптимального управления для линейной неоднородной системы в задаче минимизации среднего значения квадратичного функционала, ДАН СССР, Т.202 (1972) №6, с.1247-1250.

[13] Левитин Е.С., Милютин А.А., Осмоловский Н.П., Условия высших порядков локального минимума в задачах с ограничениями, Успехи математических наук, Т.23 (1978) вып.6, с. 85-148.

[14] Милютин А.А., О квадратичных условиях экстремума в гладких задачах с конечномерным образом, в сб. Методы теории экстремальных задач в экономике, М.: Наука (1981) с. 138-177.

[15] Арутюнов А.В., Условия второго порядка в экстремальных задачах с конечномерным образом. 2-нормальные отображения, Изв. РАН. Серия матем., Т.60 (1996) №1, с.37-62.

[16] Аграчев А.А., Еще одно условие условного экстремулш, Успехи математических наук, Т.44 (1989) вып.5, с.153-154.

Публикации по теме диссертации

[17] Матвеев А.С., Якубович В.А., Невыпуклые задачи глобальной оптимизации, Алгебра и Анализ, Т.4 (1992) с.189-219.

[18] Матвеев А.С., Лагранжева двойственность в теории невыпуклой оптимизации и модификации теоремы Теплица-Хаусдорфа, Алгебра и Анализ, Т.7 (1995) вып.5, с.126-159.

[19] Matveev A.S., Lagrange duality in the theory of multicriteria nonconvex linear-quadratic constrained optimization, Proc. of the Second Russian-Swedish Control Conference, August 1995, St.Petersburg, Russia, pp. 15-19.

[20] Matveev A.S., Duality in multicriteria nonconvex global linear-quadratic constrained optimization, Proc. of the Fourth European Control Conference, July 1997, Brussels, Belgium.

[21] Матвеев А.С., Якубович В.А., Абстрактная теория оптимального управления, Санкт-Петербург, изд-во СПбГУ, 1994, 361 с.

[22] Matveev A.S., Yakubovich V.A., Nonconvex problems of global optimization: linear-quadratic control problems with quadratic constraints, Dynamics к Control, Vol.7 (1997) №2, pp.99-134.

[23] Барабанов H.E., Гелиг A.X., Леонов Г.А., .Пихтарников A.JI., Матвеев А.С., Смирнова В.В., Фрадков А.Л., Частотная теорема (лемма Лкубовича-Калмапа) в теории управления, Автоматика и Телемеханика (1996) №10, с.3-40.

[24] Матвеев А.С., Отсутствие локальных оптимумов для одного класса невыпуклых задач оптимизации, Вестн. СПбУ, сер. матем., мех., астрон. (1994) вып.1, №1, с.47-52.

[25] Матвеев А.С., Лагранжева двойственность в специальной невыпуклой задаче глобальной оптимизации, Вестн. СПбУ, сер. матем., мех., астрон. (1996) вып.2, №. 8, с. 37-43

[26] Matveev A.S., Application of linear-quadratic control theory to the solution of special nonconvex problems of global constrained optimization, Proc. of the 1995 American Control Conference, June 1995, Seattle, Usa.

[27] Matveev A.S., Yakubovich-Kalman theory as background for methods of nonconvex global optimization, Proc. of the Third European Control Conference, September 1995, Rome, Italy, pp. 1381-1387.

[28] Matveev A.S., Yakubovich V.A., On a method of nonconvex global optimization, Proc. of the Conf. on Differential equations and their applications, 1996, December S.-Petersburg, Russia.

[29] Matveev A.S., Yakubovich V.A., On a method of nonconvex global constrained optimization, Proc. of the Fourth International Workshop "Multiple criteria and game problems under uncertainty", September 1996, Orekhovo-Zuevo, Russia.

[30] Матвеев А.С., Многомерные обобщения теорем Теплица-Хаусдорфа и Дайнса об образе квадратичного отображения, деп. в ВИНИТИ №1686 В97 от 21.05.97.

[31] Матвеев А.С., Внутренняя и внешняя оценки образа квадратичного отображения и их приложения, деп в ВИНИТИ №1814 В97 от 05.06.97.

[32] Матвеев А.С., О необходимых условиях оптимальности второго порядка в гладкой экстремальной задаче, деп в ВИНИТИ №1816 В97 от 05.06.97.