Критические области параметров и специальные классы решений эллиптических уравнений и систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра Российской академии наук

На правах рукописи

Бобков Владимир Евгеньевич

Критические области параметров и специальные классы решений эллиптических уравнений и систем

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук д дрр

Уфа - 2015

005566987

005566987

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт математики с вычислитыьным центром Уфимского научного центра Российской академии наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Ильясов Явдат Шавкатович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент Кожевникова Лариса Михайловна, Башкирский государственный университет, Стерлитамакский филиал

доктор физико-математических наук, профессор Коньков Андрей Александрович, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учре-

ждение науки Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук Защита состоится «15» мая 2015 г. в 16:00 па заседании диссертационного совета Д 002.057.01 при Институте математики с вычислительным, центром Уфимского научного центра РАН, расположенном по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН и на сайте http://matem.anrb.ni/diss.

Автореферат разослан « 2э~» марта 2015 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.057.01,

кандидат физико-математических наук # / Попенов С В

' /

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Последние несколько десятилетий характеризуются большим вниманием к исследованию вопросов существования решений краевых задач для различных классов эллиптических уравнений и систем. Исходя из физических потребностей, а также внутренней логики развития математики, особый интерес представляют вопросы о существовании решений, наделенных специальными качественными характеристиками. Данная диссертационная работа посвящена развитию теории существования следующих специальных классов решений:

- знакопеременных решений с точным числом узловых областей,

- положительных решений наименьшей энергии (основные состояния). Эти классы решений изучаются применительно к краевым нелинейным эллиптическим задачам со "сложной" геометрией нелинейности, т.е. не монотонной, не коэрцитивной, не однородной, в которой имеется существенная зависимость от параметров. В работе данные классы решений объединяются единой методологией, применяемой к их исследованию, которая основана на развитии вариационных принципов наименьшего действия.

Рассматриваемые в диссертации задачи можно разделить на три группы, модельными представителями которых являются:

1. Эллиптическое уравнение с выпукло-вогнутой нелинейностью

- Др« = АН9"2« + М7"2«, хеП, и\дп = 0, (1)

где 1 < д < р < 7 < р* и р* - критический показатель Соболева;

2. Эллиптическое уравнение с нелинейностью неопределенного знака

-Ари = \\иГ2и + /{х)\и\''-2и, х€П, и|ан = 0, (2)

где 1 < р < 7 < р* и / € 1/°°(П) может менять знак;

3. Система слабосвязанных эллиптических уравнений с нелинейностью

неопределенного знака

( -Д„и = \\u\p-2u + af{x)\u\a-2\v\0u, хеП, и\дп = О,

{ (3)

[ -Aqv = ß\v\"-2v + ßf(x)\u\a\v\e~2v, xeí!, v\gn = 0,

где o, ß > 0, f + I > 1, f, + £ < 1, и / e L°°(fi) может менять знак.

Всюду в этих задачах Í7 С КЛ обозначает непустое открытое связное множество с границей dfl, N > 1, и А, ß £ Ж.

Изучением задач вида (1), (2). (3) в последние 15-20 лет активно занимаются многие исследователи, что характеризуется большим числом публикаций по данной тематике. Так, начиная с работы [7], изучением задач с выпукло-вогнутой нелинейностью типа (1) занимались Boccardo L., Escobedo М., Peral I-, Bartsch Т., Willem M., Garcia Azorero J., Manfredi J., Ильясов Я.Ш., Radulescu V., и др. Задача с нелинейностью неопределенного знака вида (2) рассматривалась в работах Ouyang Т.. Alama S.. Tarantello G.. Berestycki H., Capuzzo-Dolcetta I., Nirenberg L., del Pino M. A., Felmer P. L., Drábek P., Похожаева С.И.. Ильясова Я.Ш. и др. В работах этих авторов основное внимание уделялось преимущественно вопросам существования и несуществования положительных решений, существовании кратных положительных решений, множественности абстрактных решений (безотносительно качественных свойств), а также о зависимости найденных решений от параметров задачи. При этом, применялись и развивались различные вариационные и топологические методы. Из этих работ следует, что множество решений задач (1), (2) обладает сложной структурой, и на сегодняшний день можно считать, что эта структура хорошо изучена лишь в контексте положительных решений.

Вместе с тем, в последние два десятилетия возросло количество работ, посвященных существованию знакопеременных решений различных нелинейных эллиптических уравнений. Следует отдельно выделить статьи [8-10], в которых, с использованием вариационных методов, основанных на принципе наименьшего действия, изучались вопросы о существовании знакопеременных решений с

точным числом областей знакопостоянства. В то же время, имеется не так много работ, посвященных существованию знакопеременных решений для задач со сложной геометрией нелинейности типа (1), (2).

Радиальные знакопеременные решения задачи (1) изучались в работах [11, 12]. В этом случае (1) сводится к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения, которая может быть изучена с помощью хорошо развитых методов теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако, поиск нерадиальных знакопеременных решений задачи (1) оказывается значительно сложнее. Такие решения исследовались в работах [13, 14], в которых было доказано существование, соответственно, двух и одного знакопеременного решения задачи на нелокальном интервале по Л. В случае задачи (2), радиальные знакопеременные решения исследовались в работе [15], а решения общего вида - в работах [13, 16, 17]. Отметим, что в этих работах преимущественно рассматривался случай классического оператора Лапласа (р = 2). Подчеркнем также, что, в силу специфики используемых методов, информации о качественных свойствах нерадиальных знакопеременных решений, таких как число перемен знака и формирование ветвей по параметру задачи, получено не было.

Системы линейных и нелинейных эллиптических уравнений постоянно находятся в центре внимания специалистов по дифференциальным уравнениям, см. работы Бицадзе A.B., Вишика М.И., Ладыженской O.A., Уральцевой H.H., Олейник O.A., Лопатинского Я.Б., de Figueiredo D.G., Alves С.О., Takäc Р., Dräbek Р. и др. По сравнению со скалярными задачами, теория существования для систем уравнений является более сложной, и на сегодняшний день менее развита. Более того, существует не так много работ, где предпринималось бы систематическое изучение ветвей решений и анализ их асимптотического поведения для систем, зависящих от нескольких параметров, как в случае системы (3). Отметим, что задача (3) является обобщением скалярной задачи (2). Тем не менее, между структурой ветвей основных состояний задач (2) и (3) имеются существенные качественные различия. В связи с этим представляется сложным

изучение системы (3) с помощью методов, применявшихся к исследованию ее скалярного аналога (2).

По-видимому, изучение слабосвязанных параметризованных систем суперлинейных эллиптических уравнений с нелинейностью неопределенного знака вида (3) впервые было начато в работе [18], в которой доказывается существование и множественность решений задачи (3) при Л е [О, Л1), ц е [0, цх), а также при А € [Аь Ах + £Х), р. в [ци^х + £2), где Аь - первые собственные значения операторов -Ар и -Д9 в области П с нулевыми условиями Дирихле, и еь с2 > 0 - некоторые локальные значения. Главным инструментом в [18] служит метод расслоений Похожаева. Система (3) также исследовалась в работе [19], где были развиты результаты предыдущей работы. Отметим, что примененные в указанных выше работах методы являются существенно локальными по параметрам задачи, что делает их использование затруднительным для получения результатов существования на нелокальных множествах по А. ц. Еще более сложным вопросом является определение максимальных областей существования решений.

Цели и задачи диссертационной работы:

1. Исследование вопроса о существовании ветви знакопеременных решений с точным числом узловых областей для эллиптической задачи с выпукло-вогнутыми нелинейностями вида (1).

2. Исследование вопросов существования и несуществования ветви знакопеременных решений с точным числом узловых областей для эллиптической задачи с нелинейностью неопределенного знака (2).

3. Исследование вопросов существования, несуществования и асимптотического поведения ветви положительных решений наименьшей энергии для системы эллиптических уравнений с нелинейностью неопределенного знака вида (3) в нелокальных областях параметров (А, ¿и).

Научная новизна.

В диссертационной работе представлены следующие новые результаты:

б

1. Доказано существование непрерывной ветви знакопеременных решений с ровно двумя узловыми областями для эллиптической задачи с выпукло-вогнутыми нелинейностями вида (1) на нелокальном интервале (—оо, А^), где А^ задано по процедуре спектрального анализа по методу расслоений [20, 21].

2. Доказано существование непрорывной ветви знакопеременных решений с ровно двумя узловыми областями для эллиптической задачи с нелинейностью неопределенного знака (2) на нелокальном интервале (-оо, А][), где А^ задано по процедуре спектрального анализа по методу расслоений [20]. Также получены условия несуществования такой ветви.

3. Для систем эллиптических уравнений с нелинейностью неопределенного знака вида (3) найдено семейство критических значений параметров, образующее непрерывную кривую и определяющее максимальную по методу расслоений область на плоскости А х ц. В полученной области доказано существование ветви положительных решений наименьшей энергии для задачи (3). Дано полное описание геометрии данной области, а также в некоторых случаях доказано, что она является максимальной областью существования основных состояний задачи (3). Исследовано асимптотическое поведение найденной ветви на границе критической области.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы при изучении вопросов существования знакопеременных решений и решений наименьшей энергии эллиптических уравнений и систем со сложной геометрией нелинейности, а также для нахождения критических значений параметров таких задач.

Методология и методы исследования.

В диссертационной работе используются метод многообразия Нехари, метод расслоений Похожаева, метод спектрального анализа по процедуре расслоения (Ильясов Я.Ш.), лемма об общей деформации, а также классические методы функционального анализа и вариационного исчисления.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

- Международная школа-конференция «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (2012, Уфа);

- IV International Conference on differential equations and applications dedicated to Ya. Lopatinsky (2012, Донецк, Украина);

- BMS Intensive Course on Evolution Equations and their Applications (2013, Берлин, Германия);

- Международная школа-конференция «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (2013, Уфа);

- Семинар по прикладному анализу и уравнениях в частых производных Университета г. Росток (2014, Росток, Германия);

- The 10th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications (2014, Мадрид, Испания).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 6 работах, из них 4 статьи в рецензируемых журналах [1-4]. При этом, статьи [1, 3] опубликованы в российских изданиях перечня ВАК, а статьи [2, 4] - в журналах, удовлетворяющих достаточному условию для включения в перечень ВАК (индексируются базами Web of Science, MathSciNet, zbMATH), в соответствии с Приказом Ми-нсбрнауки России от 25 июля 2014 г. № 793.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Работы [1, 3, 4] выполнены самостоятельно. В статье [2] научному руководителю Я. Ш. Ильясову принадлежит постановка задачи и общее руководство работой, а диссертанту - доказательство основных результатов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка используемых обозначений, библиографии и 2 приложений. Общий объем диссертации составляет 110 страниц. Библиография включает 99 наименований.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, проведен обзор литературы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований.

В первой главе изучается вопрос существования знакопеременных решений задачи типа (1). Т.к. задача (1) имеет вариационную структуру, то доказательство существования знакопеременных решений сводится к нахождению критических точек соответствующего задаче (1) функционала энергии

ЯА(и) = -

I Уи|р с1х — — Я

7

1иР' йх,

являющихся знакопеременными функциями. Данный поиск осуществляется по следующему плану:

1. Постановка минимизационной задачи для функционалаЕ\, подходящей для нахождения знакопеременных решений.

2. Доказательство существования минимизатора, являющегося внутренней точкой множества, по которому проводилась минимизация.

3. Доказательство того, что минимизатор является критической точкой функционала Е\.

4. Доказательство качественной информации о полученном решении, а именно, определение точного числа перемен знака и доказательство формирования ветви по параметру Л.

В работе существенным является использование анализа расслоенного функционала Ех^и) по I > 0 для произвольной функции и в И''01,Р(П) (см. Рис. 1). На основе этого заключается, что критические точки функционала Е\ могут иметь любые знаки энергии.

Для постановки минимизационной задачи, рассматривается класс нату-

Рис. 1. Расслоения функционала задачи (1)

Рис. 2. Расслоения функционала задачи (2)

ральных ограничений, заданный многообразием Нехари

Ях := {« 6 :

\и\"йх -

\updx = 0}.

Для разделения видов критических точек, вводится вторая производная по Гато функционала Е\{и) в направлении и

Сх(и) := 02ииЕх(и)(щи),

которая эквивалентна второй производной Е\{Ы) по Ь в точке Ь = 1.

Далее, вводится множество, состоящее из фз'нкций, положительные и отрицательные части которых являются точками максимума по расслоению:

:= {и е : е Ях, £л(«±) < 0},

и рассматривается минимизационная задача на этом множестве:

-»• ¡М, V 6 (4)

В силу принципиальной зависимости функционала Е\ от параметра А, в общем случае невозможно доказать, что соответствующий минимизатор будет внутренней точкой N1. Чтобы преодолеть эту сложность, рассматривается точка

АХ =

<7(7 - р) [1(р-д)\у-р

нЩь)

7(р - 0) \р{7 - 0)) ^ '(ПМО} 10

впервые введенная в работе [21] с помощью процедуры спектрального анализа по методу расслоений [20]. Опираясь на свойства А3, доказан следующий результат (§1.3).

Лемма 0.1. Пусть А < А^. Тогда существует минимизатор задачи (4), принадлежащий множеству А/д.

Далее, используя лемму об общей деформации [22], доказывается, что если А < Ад, то любой минимизатор и е М\ задачи (4) является критической точкой функционала Е\, т.е.

(ОЕх(и),£)=0, е И^П),

а, следовательно, и решением задачи (1). Отметим, что использование классического метода множителей Лагранжа невозможно, т.к. функционал Н±(и) := {^^[Рйх, в общем случае, не дифференцируем по к 6 '

С другой стороны, введение точки Ац позволяет доказать (§1.4), что любой минимизатор и е Л/^ задачи (4) имеет ровно две связные области знакопо-стоянства (узловые области). Более того, доказано (§1.5), что семейство таких решений образует ветвь непрерывной энергии по параметру А на интервале (-оо,А5).

Таким образом, компонуя приведенные выше результаты, получена следующая основная теорема:

Теорема 0.2. Пусть I<9<P<7<P*. Тогда для любого А 6 (-оо, А$) существует знакопеременное решение и\ € Л/д задачи (1) с ровно двумя узловыми областями. Более того, и\ является основным состоянием наЛАд, т.е.

-оо < Е\(и\) < ЕхИ

для любого решения ги € М}; при этом, если А < 0, то их является основным состоянием среди всех знакопеременных решений задачи (1).

Результаты первой главы опубликованы в работах [1, 3] и докладывались на конференциях в Уфе (2012) и Донецке (2012).

Во второй главе изучается аналогичный вопрос существования знакопеременных решений с точным числом областей знакопостоянства для задачи (2). Соответствующий задаче (2) функционал энергии имеет вид

f{x)Hdx. ft ft ft

Поведение данного функционала также принципиально зависит от Л, и от выбора функции и е H''01,p(f]) (см. Рис. 2).

Основными критическими точками в данном случае выступают

AI:= inf i/0r)M^>ol

«^¿ЧП)\{0} [ iaWdx JM -J

и Ai, A2 - первое и второе собственные значения оператора р-Лапласиана в П с нулевыми условиями Дирихле на границе.

Пусть и(С1+) обозначает JV-мерную меру Лебега множества П+ := {х е О, : f{x) > 0}.

Ключевым функциональным множеством выступает следующее подмножество многообразия Нехари

:= {и € W0lj,(i2) : € Ях, Е^и*) > 0}.

Далее, рассматривается минимизационная задача на этом множестве:

Ex(v) inf, v е ATI. (5)

Основным результатом является следующая теорема.

Теорема 0.3. Пусть 1 < р < -у < р" и А < AJ.

1. Если v(Sl+) > 0, то существует слабое знакопеременное решение их 6 Я^ задачи (2), являющееся минимизатором задачи (5). При этом, их

12

Ех(и) := -Р.

\Vu\pdx--р.

|гг|р<£г-

имеет ровно две узловые области. Более того, и\ является основным состоянием наЫ\, т.е.

-оо < Ех(их) < Ex(w\) для любого слабого знакопеременного решения w\ G Л/д.

2. Если z/(n+) = 0, то для любого А € (-00, min{A;, А2}) не существует с.1абых знакопеременных решений задачи.

Результаты второй главы опубликованы в работе [4] и были доложены на конференции в Мадриде (2014).

Третья глава посвящена изучению вопроса о существовании положительных решений наименьшей энергии для задач типа (3). Задача (3) имеет вариационную форму с соответствующим функционалом энергии

E-X{u,v) = -РЛ(u) + -Q» - F(u, v), P Ч

определенным на W — И о'р(П) х Wo"{iî), где А := (А,/¡) и

Рх(и) :=

|Vufdx - А

\u\pdx. Q^v) := J|Vw|«da; - а*

\v\qdx,

F(u,v) : =

f(x)\u\a\v\" dx.

Вводится следующее основное семейство критических значений, параметризованное по г > 0:

inf

(«,v)eir\{o}

I /н|«|РЛг ' (11Г /

Данное семейство определяет множество Г/ = (А^(г), (¿¡(г)), г > 0, где

А}(г) := А1 а)(г), [1}(г) := ^гст}(г),

В §3.3 дано полное описание множестваГ/, а именно, доказано, что Г/ является непрерывной кривой, локально ограниченной и монотонной. Дано необходимое

13

и достаточное условие отделимости кривой от точки (Ах, фх) < 0, где

VI, фх - первые собственные функции операторов — Ар и Д? в Я Более того, исследовано асимптотическое поведение Г у при г —>• 0 и г —> +ос. Выделены два случая поведения, в зависимости от условий на 0+ := {г £ О, : /(ж) > 0} и О.0 := {.т 6 О : /(х) = 0} (см. Рис. 3, 4). А именно, если имеет непустую

внутренность, то кривая Г/ касается прямых Ах х К. и К х цх в точках

соответственно. Если же г/(П+ и П°) = 0, то Tf всегда отделена от прямых А] х К и К х но асимптотически стремится к ним при г —> +оо и г О, соответственно. Здесь V - Лг-мерная мера Лебега. Введем множество, определяемое кривой Г/:

Приведем первый основной результат третьей главы.

Теорема 0.4. Пусть а,/3>0, а + 2 > 1, р + £ <1 и / £ Ь°°(П).

1. Если > 0, то (3) имеет основное состояние {щ,у{) для всех А, таких, что А < Ах и /1 < /гх- При этом Ех(щ, г'д) > 0 и щ, > 0 в П;

2. Если Е((р1,фх) < 0, то (3) имеет основное состояние (г/.д, г,-д) для всех А е при этом Ех(и\, ух) < 0 и и\, > 0 в

Данный результат может быть уточнен, если рассмотреть свойства непрерывности основных состояний относительно А и их асимптотическое поведение на границе области Щ. Для этого мы изучим линии уровня энергии Е~х на основных состояниях задачи (3) и рассмотрим

:= и 6 : Д1 < А < АКГ)> ^ < » < А*КГ)} •

г>0

т А е к2.

Рис. 3. Г2+ и П° имеет непустую внутренность Рис. 4. и П°) = О

Теорема 0.5. Пусть условия Теоремы 0.4 выполнены.

1. Если < 0, то

a) функция £(А) непрерывна в Щ,

b) £(А) 0 при А 4- А1 и ц 4-

c) £(А) 0 при А (Ль до) для всех 6 (/д,м}(г)), г > 0 и £(А) -у 0 при А ->■ (А0,Д1) для всех А0 6 (Аь А^(г)), г > 0.

2. Пусть г > 0 такое, что А*(г) > Ах и р*(г) > щ. Тогда, если /(х) < О, р,д > 2 ы тах{р,д} > 2, то £ (А) -> -оо при А -»• (А*(г),/Г(г)).

В пункте 2 приводится условие, при котором кривая Г/ становится порогом существования и несуществования решений наименьшей энергии задачи (3).

Результаты третьей главы опубликованы в работе [2] и докладывались на конференциях в Уфе (2013) [5] и Берлине (2013). Некоторые дополнительные результаты также опубликованы в препринте [6].

В Заключении кратко резюмируются результаты диссертации. В Приложении А приводятся вспомогательные технические утверждения, используемые в Главах 1 и 2.

Приложении Б содержит вспомогательные утверждения для Главы 3, в том числе, доказательство ¿°°-оценки для произвольных слабых решений задачи (3), что является достаточным для получения С'-регулярности данных решений.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Я. Ш. Ильясову за постановку задач, плодотворные обсуждения, помощь в работе над диссертацией и всестороннюю поддержку.

Статьи автора в журналах перечня ВАК

1. Бобков В. Е. О существовании знакопеременного решения эллиптических уравнений с выпукло-вогнутыми нелинейностями // Уфимский математический журнал. 2013. Т. 5, № 2. С. 18-30.

2. Bobkov V., Il'yasov Y. Asymptotic behaviour of branches for ground states of elliptic systems // Electronic Journal of Differential Equations. 2013. Vol. 2013, no. 212. P. 1-21.

3. Бобков В. E. О существовании непрерывной ветви знакопеременных решений эллиптических уравнений с выпукло-вогнутыми нелинейностями // Дифференциальные Уравнения. 2014. Т. 50, № 06. С. 768-779.

4. Bobkov V. Least energy nodal solutions for elliptic equations with indefinite non-linearity // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations. 2014. no. 56. P. 1-15.

Другие публикации

5. Бобков В. Е. О критической спектральной кривой для эллиптических систем с нелинейностью неопределенного знака // Труды VI международной школы-конференции «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании». Уфа: РИЦ БашГУ, 2013. С. 18-21.

6. Bobkov V., Il'yasov Y. Maximal existence domains of positive solutions for two-parametric systems of elliptic equations // arXiv preprint. 2014. P. 21. 1406.5275.

Цитированная литература

7. Ambrosetti A.. Brezis II., Cerami G. Combined effects of concave and convex nonlinearities in some elliptic problems // Journal of Functional Analysis. 1994. Vol. 122. P. 519-543.

8. Castro A., Cossio J., Neuberger J. M. A sign-changing solution for a superlinear Dirichlet problem /7 Rocky Mountain Journal of Mathematics. 1997. Vol. 27, no. 4. P. 1041-1053.

9. Castro A., Clapp M. The effect of the domain topology on the number of minimal nodal solutions of an elliptic equation at critical growth in a symmetric domain // Nonlinearity. 2003. Vol. 16, no. 2. P. 579.

10. Bartsch T., Weth T., Willem M. Partial symmetry of least energy nodal solutions to some variational problems // Journal d'Analyse Mathématique. 2005. Vol. 96, no. 1. P. 1-18.

11. Ambrosetti A., Azorero J. G., Peral I. Quasilinear equations with a multiple bifurcation //Differential and Integral Equations. 1997. Vol. 10, no. 1. P. 37-50.

12. Dalbono F., Dambrosio W. Radial solutions of Dirichlet problems with concave-convex nonlinearities // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 2011. Vol. 74, no. 7. P. 2720-2738.

13. Li S., Wang Z.-Q. Mountain pass theorem in order intervals and multiple solutions for semilinear elliptic Dirichlet problems // Journal d'Analyse Mathématique. 2000. Vol. 81, no. 1. P. 373-396.

14. Motreanu D., Motreanu V. V., Papageorgiou N. S. Onp-Laplace equations with concave terms and asymmetric perturbations // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics. 2011. Vol. 141, no. 01. P. 171-192.

15. Terracini S., Verzini G. Oscillating solutions to second-order ODEs with in-

definite superlinear nonlinearities /,/ Nonlinearity. 2000. Vol. 13, no. 5. P. 1501-1514.

16. Chang K.-C., Jiang M.-Y. Dirichlet problem with indefinite nonlinearities // Calculus of Variations and Partial Differential Equations. 2004. Vol. 20, no. 3. P. 257-282.

17. Ackermann N., Bartsch Т., Kaplicky P., Quittner P. A priori bounds, nodal equilibria and connecting orbits in indefinite superlinear parabolic problems // Transactions of the American Mathematical Society. 2008. Vol. 360, no. 7. P. 3493-3539.

18. Bozhkov Y., Mitidieri E. Existence of multiple solutions for quasilinear systems via fibering method // Journal of Differential Equations. 2003. Vol. 190, no. 1. P. 239-267.

19. Yang G., Wang M. Existence of multiple positive solutions for ap-Laplacian system with sign-changing weight functions // Computers & Mathematics with Applications. 2008. Vol. 55, no. 4. P. 636-653.

20. Ильясов Я. Ш. О процедуре проективного расслоения функционалов над банаховыми пространствами //' Тр. МИАН. 2001. Т. 232. С. 156-163.

21. Il'yasov Y. On nonlocal existence results for elliptic equations with convex-concave nonlinearities /'/ Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 2005. Vol. 61, no. 1. P. 211-236.

22. Willem M. Minimax Theorems. Birkhauser Boston, 1996.

Научное издание

Бобков Владимир Евгеньевич

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук на тему:

Критические области параметров и специальные классы решений эллиптических уравнений и систем

Подписано в печать 11.03.2015. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Тираж 120 экз. Заказ 053. Гарнитура «TimesNewRoman». Отпечатано в типографии

«ПЕЧАТНЫЙ ДОМЪ» ИП ВЕРКО. Объем 1 п.л. г. Уфа, ул. Карла Маркса, д. 12, корп. 5, тел.: 8 (347) 27-27-600, 27-29-123