Критическое поведение фрустрированных спиральных магнетиков в двух и трех измерениях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Санкт-Петербургский Государственный Университет

КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ СПИРАЛЬНЫХ МАГНЕТИКОВ В ДВУХ И ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

СОРОКИН

Александр Олегович

Санкт-Петербург

2012

1 5 НОЯ 2012

005055037

005055037

Работа выполнена в Отделении теоретической физики Петербургского института ядерной физики им. Б. П. Константинова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник ПИЯФ Арсений Владиславович Сыромятников.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор,

профессор кафедры Квантовой механики Физического факультета СПбГУ Александр Иванович Соколов,

член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук,

профессор,

заведующий лабораторией Института

Физики ДНЦ РАН

Акай Курбанович Муртазаев.

Ведущая организация: Уральский федеральный университет им.

первого Президента России Б. Н. Ельцина.

Защита состоится " 6 " /2- 2012 г. в /5" часов на заседании диссертационного совета Д 212.232.24 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Средний пр., д. 41/43, ауд. 304.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В последние два десятка лет квантовые и классические фрустрирован-ные спиновые системы зарекомендовали себя как очень удобные объекты для изучения фаз нового типа (например, нематические, спин-жидкостные и топологические фазы), а также квантовых и классических фазовых переходов из новых классов. При этом свойства фрустрированных систем интересны как сами по себе, так и в контексте их связи с другими важными объектами физики конденсированного состояния, такими как высокотемпературные сверхпроводники, джозефсоновские среды, жидкий жидкие кристаллы и др. Спиральные фрустрированные магнетики составляют один из классов магнитных систем, которые привлекают сейчас большое внимание. Критическое поведение фрустрированных систем в двух и трех измерениях являлось предметом многочисленных работ и дискуссий по вопросам о количестве, последовательности и типе температурных фазовых переходов, происходящих в этих системах.

Во фрустрированных классических системах в трех измерениях происходит один переход по температуре, причем этот переход первого рода, индуцированный флуктуациями. Однако численное моделирование некоторых моделей с планарным порядком (например, антиферромагнетика на гексагональной решетке и спиральных магнетиков), экспериментальное исследование соответствующих материалов (СйМпВгз, УС12, ТЬ и др.), (4 — б)- разложение в 2-петлевом приближении, а также 5- и 6-петлевое разложения в рамках пертурбативной ренормгруппы (РГ) [1| указывали, что переход должен быть второго рода из нового класса универсальности. Тем не менее, сегодня принято считать, что переход из этого класса слабого первого рода и может имитировать скейлинговое поведение и универсальность [2]. Такая точка зрения согласуется с наблюдающимся отклонением критического поведения некоторых моделей и соединений от универсального, а также подтверждается аналитическими методами.

Численное моделирование трехмерных спиральных магнетиков на сегодняшний день представлено не очень широко. Исследовалась модель антиферромагнетика на объемноцентрированной кубической решетке с дополнительным конкурирующим обменом вдоль одной из осей кубической решетки. Результаты для планарных спинов (Лг = 2, ./V число компонент спина) указывали на переход первого рода [3], в то время как для

изотропных спинов (ЛГ = 3) результат более или менее согласовывались с гипотезой о псевдоуниверсальном поведении систем из этого класса [3, 4]. Результаты для N = 2 не подтвердились в недавнем исследовании [5], а также для другой модели спирального магнетика [6], где было найдено псевдоуниверсальное поведение.

Помимо простых спиральных магнетиков с одним киральным параметром порядка существуют также спиральные магнетики с несколькими ки-ральными параметрами порядка. Подобные системы не исследовались вовсе. Тем не менее, например, спиральный магнетик с двумя киральными параметрами порядка и изотропными спинами особо интересен. Хотя в данном случае порядок будет также планарным, как и в случае систем с одним киральным параметром порядка, по симметрийным соображениям эта система принадлежит классу магнетиков с непланарным порядком, реализующемся, например, в материалах со структурой пирохлора руг-РеС13, Са2Т1207, са23п207 и др.

В спиральных магнетиках в двух измерениях, где спонтанное нарушение непрерывной симметрии при Т ф 0 запрещено по теореме Мермина-Вагнера, критическое поведение систем кардинально отличается от случая трех измерений.

Двумерные фрустрированные системы с планарными (./V = 2) спинами (ХУ- магнетики) являются системами с одновременным непрерывным и дискретным вырождением основного состояния. В подобных системах ожидаются переходы двух типов, один из которых (по киральности) принадлежит классу универсальности модели Изинга, а другой — переход Березинского-Костерлица-Таулесса (БКТ) бесконечного рода, управляемый диссоциацией пар вихрь-антивихрь.

Существуют достаточно общие аргументы [7], применимые к системам из этого класса, согласно которым могут реализовываться две возможности: либо переход БКТ происходит при температуре меньшей температуры кирального перехода, либо эти переходы сливаются в один переход, возможно, первого рода. Этот вывод подтвердился в исследованиях ряда моделей: антиферромагнетика на треугольной решетке и модели Виллана, описывающей сетку из джозефсоновских контактов во внешнем поле. Однако предыдущие исследования спиральных магнетиков [8], включая численное моделирование в квазиодномерном случае [9], противоречат этому общему выводу.

Двумерный спиральный магнетик с изотропными (М = 3) спинами,

казалось бы, не должен демонстрировать критического поведения при конечных температурах. Однако в системах с неколлинеарным порядком, к коим относятся и спиральные магнетики, аналогично случаю ХУ-спинов существуют вихревые топологические возбуждения, т.н. йг-вихри.

Высказывалось несколько предположений относительно того, что же происходит в системах с ^-вихрями. Численное моделирование, например, для антиферромагнетика на треугольной решетке вполне согласуется с возможностью существования топологического фазового перехода (т.н. киральный БКТ переход). При этом корреляционная длина уменьшается по сравнению с предсказаниями <т-модели. Но поскольку корреляционная длина является конечной при любой ненулевой температуре, пусть даже очень большой, то данное явление может оказаться лишь кроссовером, имитацией перехода.

Тем не менее, присутствие Z2-виxpeй может объяснять аномальное поведение некоторых соединений (таких, как ЫаСгОг и №Са23.], в которых реализуется модель антиферромагнетика с треугольной решеткой), наблюдающееся экспериментально (см. обзор [10] и ссылки в нем). Для выяснения роли ^-вихрей исследование спиральных магнетиков также является важной и актуальной задачей.

Цели и задачи работы

Данная диссертационная работа имеет следующие цели.

1. Численное моделирование спиральных магнетиков в трех измерениях как с одним, так и с несколькими киральными параметрами порядка; выяснение типа перехода; поиск возможного псевдоскейлингового поведения, оценка критических индексов.

2. Исследование модели Гинзбурга-Ландау, соответствующей спиральному магнетику с двумя киральными параметрами порядка и с изотропными спинами, в рамках простейшей нетривиальной аппроксимации точных уравнений непертурбативной РГ; поиск неподвижных точек и области с медленным РГ-потоком.

3. Численное моделирование двумерного спирального ХУ-магнетика; выяснение количества, типа и последовательности фазовых переходов.

4. Численное моделирование двумерного спирального магнетика с изотропными спинами; выяснение, приводит ли взаимодействие йг-вих-рей к возникновению квазидальнего порядка и фазового перехода при конечных температурах.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту

1. В простом спиральном магнетике, реализованном на кубической решетке с дополнительным конкурирующим обменом вдоль одного направления решетки, найден переход слабого первого рода; найдены критические экспоненты, согласующиеся с численными и экспериментальными исследованиями антиферромагнетика на гексагональной решетке [11]; показано, что на решетках очень большого размера (Ь = 90 и Ь = 120 для N = 2 и N = 3, соответственно) заметна двухпиковая структура распределения по энергии при температуре перехода, что характерно для переходов первого рода.

2. В трехмерном изотропном (./V = 3) спиральном магнетике с двумя киральными параметрами порядка найден переход первого рода и псевдоскейлинговое поведение на решетках небольшого размера; рассмотрено две модели из этого класса; полученные критические индексы согласуются для обеих моделей и с результатами исследований магнетиков с непланарным порядком.

3. В трехмерных спиральных магнетиках с N = 2 и двумя киральными параметрами порядка, а также в случаях /V = 2 и ^ = 3 с тремя киральными параметрами порядка найден ярко выраженный переход первого рода.

4. Методом непертурбативной ренормгруппы в простейшей аппроксимации точных уравнений для теории, описывающей изотропные спиральные магнетики с двумя киральными параметрами порядка, найдена область, через которую проходят траектории, стартующие с обширной области начальных данных, и в которой наблюдается замедление РГ-потока; это объясняет найденные в пункте 2 псевдоскейлинг и универсальность.

5. Для простого спирального ХУ-магнетика в двух измерениях показано, что при повышении температуры происходят последовательно переход БКТ и Изинга; в диапазоне температур между переходами существует фаза киральной спиновой жидкости, характеризующаяся киральным порядком при ненарушенной вращательной и трансляционной симметрии; предложена процедура численной оценки жесткости спиновых волн и ее универсального скачка при БКТ-переходе; найдено аномальное поведение восприимчивости и теплоемкости в окрестности точки Лифшица, вызванное появлением при конечных температурах метастабильных состояний, имеющих равную энергию,

но различные значения киральности; эта аномалия не является свидетельством наличия фазового перехода, за который ее приняли в предыдущих численных расчетах, предсказывающих обратную последовательность фазовых переходов.

6. Для двумерного спирального XY-магнетика с двумя киральными параметрами порядка найден один переход первого рода; при анизотропии конкурирующих обменов, в окрестности точки Лифшица аномалия и метастабильные состояния приводят к расщеплению перехода и появлению фазы киральной спиновой жидкости.

7. В двумерном спиральном магнетике с изотропными спинами показано, что переход в фазу с дальним магнитным порядком происходит при нулевой температуре; тем не менее, образование пар Z2-Bnxpeft приводят к резкому уменьшению корреляционной длины и имитации фазового перехода типа БКТ при конечной температуре; полученные данные не исключают возможности существования перехода без нарушения непрерывной симметрии, при котором плотность вихрей является параметром порядка.

Научная новизна и практическая значимость

Все результаты, полученные в работе и выносимые на защиту, являются новыми. Полученные данные о критическом поведении спиральных магнетиков (количестве, типе, последовательности переходов, критических индексах) могут быть использованы для интерпретации результатов соответствующих экспериментальных исследований.

Апробация работы

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены и обсуждались на следующих российских и международных конференциях (Spin Waves-2011, MISM-2011, ФизикА.СПб-2011), Зимних школах ПИЯФ, а также на семинарах Отделения теоретической физики ПИЯФ.

Личный вклад автора

Все результаты опубликованы в работах с один соавтором, причем вклад диссертанта является определяющим.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дается краткий обзор по состоянию дел в исследовании критического поведения фрустрированных систем в двух и трех измерениях. Указываются особенности исследования этих систем. Дается обоснование актуальности данной работы, формулируются цели и задачи, дается характеристика научной новизны и практической ценности, а также кратко излагается основное содержание работы.

Глава 1 посвящена численному исследованию критического поведения спиральных магнетиков в трех измерениях. В параграфе 1.1 дается классификация фрустрированных систем и спиральных магнетиков, в частности, по структуре пространства параметра порядка. В параграфе 1.2 дается краткий обзор исследования фрустрированных систем в трех измерениях аналитическими методами (ренормгруппой) и моделированием, включая недавние результаты.

В параграфах 1.3 и 1.4 рассмотрен простейший спиральный магнетик на кубической решетке с дополнительным конкурирующим антиферромагнитным обменом З2 вдоль одного направления решетки для N = 2 \\ N = 3 спинов соответственно.

При соотношении конкурирующих обменов З2 < 0.25.Л основное состояние характеризуется обыкновенным неелевским упорядочением спинов. Точка Зг = 0.253\ является точкой Лифшица, из которой при повышении температуры система попадает в упорядоченную антиферромагнитную фазу. При З2 > 0.25,71 основное состояние имеет спиральный магнитный порядок с вектором спирали (<?, 0,0), где соэ^ = — J2/4J1. Когда 0.25 < Зг!< 0.36, при повышении температуры сначала происходит переход первого рода из спиральной упорядоченной фазы в антиферромагнитную, характеризующийся скачком параметра порядка в отсутствие скачка по энергии. При дальнейшем повышении температуры происходит еще один переход, но уже второго рода из класса универсальности Ат-компонентного ферромагнетика.

При больших значениях З2 в системе происходит один переход очень слабого первого рода. На рис. 1 показана двухпиковая структура распределения по энергии, указывающая на наличие скрытой теплоты перехода, характерной для переходов первого рода. Но она становится заметной лишь для решеток очень большого размера Ь = 90 и Ь = 120 для N = 2 и N = 3 случаев, соответственно. В то время как на решетках меньших

Щ Щ

Рис. 1: Гистограмма распределения по энергии вблизи критической температуры спирального магнетика с N = 2 (слева) и N = 3 (справа) и одним киральным параметром порядка. Размеры решеток Ь = 90 и Ь — 120, соответствеппо.

размеров наблюдается псевдоскейлинговое поведение. Для N = 2 найден следующий набор критических индексов для магнитного (т) и кираль-ного (к) параметров порядка:

и = 0.548(6), /3 = 0.247(8), 7= 1.16(3), (1)

= 0.556(7), рк = 0.41(2), 7к = 0.88(4), (2)

а = 0.34(3), 7] = -0.11(2), и^ = 0.623(7), £/¿ = 0.39(3), (3)

где II* — универсальное значение кумулянта Биндера (перенормированной константы связи) для решеток с периодическими граничными условиями. Данные критические показатели согласуются с результатами исследования модели антиферромагнетика на гексагональной решетке, а также с экспериментальными данными по перовскитам и тербию. Для N = 3 найдены следующие критические показатели:

и = 0.589(8), /3 = 0.282(6), 7 = 1.20(2), (4)

^к = 0.608(9), рк = 0.51(1), 'Ук = 0.80(2), (5)

а = 0.23(3), Ч =-0.04(1), ££ = 0.642(1), Щ = 0.54(1), (6)

которые также хорошо согласуются с исследованиями антиферромагнетика на гексагональной решетке и некоторыми другими моделями.

В параграфе 1.5 исследуются спиральные магнетики с N = 3 и двумя киральными параметрами порядка и нарушенной Ъ2 ® БО(3) симметрией. Для этого класса были предложены две модели, также основанные на конкуренции обменных взаимодействий и геометрической фрустрации.

Первая модель — это антиферромагнетик на слоисто-треугольной решетке с дополнительным обменом между слоями второго порядка дальности. Вторая модель (т.н. слоисто-^-7з модель) — антиферромагнетик на простой кубической решетке с дополнительным обменом третьего порядка дальности в слое.

В этих моделях найден переход первого рода, заметный на решетках размера Ь = 36. На решетках меньшего размера наблюдается псевдос-кейлинговое поведение, которое для обеих моделей в пределах погрешности оказывается одинаковым (псевдоуниверсальность). Найден следующий набор критических показателей:

и = 0.37(1), Р = 0.13(1), 7 = 0.88(3), (7)

ии = 0.38(1), Д =0.16(1), 7* =0.80(4), (8)

а = 0.89(3), г) =-0.30(3), ££ = 0.645(3), ££ = 0.54(2). (9)

Полученные экспоненты близки к значениям, характерным для перехода первого рода в теории конечномерного масштабирования а = 1, /3 = 0, 7=1 и ¡/=1/3, однако отличаются от них в пределах точности полученных данных. Более того, эти экспоненты согласуются с результатами для модели Штифеля [12] и антиферромагнетика со структурой пи-рохлора [13], с непланарным порядком.

В параграфе 1.6 кратко изложены результаты для этих же моделей, но в случае ХУ-спинов (ТУ = 2). А также рассмотрены спиральные магнетики с тремя киральными параметрами порядка при N = 2 и N = 3. Во всех моделях происходит один переход ярко выраженного первого рода. Параграф 1.7 резюмирует результаты, полученные в главе 1, по численному моделированию фрустрированных систем в трех измерениях.

В главе 2 методом непертурбативной ренормгруппы (НПРГ) исследуется критическое поведение систем из 1*2®БО(3) класса универсальности с использованием трансформированных по Лежандру точных уравнений Вильсона-Польчинского

дкТк\М] = Ц ((27г)6Г<2 ^ -д) + ад)-1, (10)

где Г/:. — эффективное действие на масштабе к, Як — обрезающая функция, замораживающая длинноволновые флуктуации с |д| < к. Данное функциональное дифференциальное уравнение аппроксимировано про-

ю

8 6

V

4 2

О

О 2 4 6 8 10

и

Рис. 2: РГ-диаграмма для О(З) = Z2 ® 50(3) теории. 0(9) — указывает па виль-соновскую неподвижную точку (6.116,0). Толстой пунктирной липией помечена область, в которой па кривых 2-5 достигается минимум РГ-потока.

стейшим нетривиальным анза.цем в форме функционала Гинзбурга-Ландау

Г, = I IV (Э„Ф)2 + _ Зк)2 + ^(тгФ* - ^Ф2)2)) ,

(И)

где Ф — матрица 3x3 (параметр порядка, соответствующий нарушенной 050(3) симметрии), Ф2 = ФГФ. — фактор перенормирующий поле, к, А и /х — константы связи. Получены РГ-уравнения на обезразмеренные константы связи р, и и V, стартующие из фазы с нарушенной симметрией, пригодные для численного интегрирования.

В секторе и > О, V < и/2, соответствующий теории с непланарным порядком, не найдено притягивающей неподвижной точки (рис. 2). Это означает, что переход с нарушением 0 30(3) симметрии является переходом первого рода. Однако на РГ-диаграмме найдена область, имитирующая неподвижную точку, в которой РГ-поток замедляется, что может объяснять найденное в параграфе 1.5 псевдоскейлинговое поведение для систем из этого класса. Более того, эта область имеет аттракторный характер для траекторий (см. траектории 2-5 на рис. 2) с широким диапазоном затравочных параметров, соответствующих значениям констант связи для моделей в приближении среднего поля. Такое поведение в теории дифференциальных уравнений носит название «эффекта большой реки». Этот эффект может объяснять найденную в 1.5 псевдоуниверсальность.

Глава 3 посвящена численному исследованию спиральных ХУ магнетиков в двух измерениях. Сначала подробно исследован спиральный магне-

У

0.0

0.9

0.62 0.64 0.66 0.68 0.70 0.72

та,

—»-1М65

0.67 0.68 0.69

0.70 0.71 0.72

та,

Рис. 3: Жесткость сшгаовых волн и кумулянт Биндера как функции температуры, используемые для определения температур БКТ- перехода Твкт^1 = 0.676(2) и изин-говского перехода Т//.71 = 0.689(1) при 32 = 0.5/х.

тик с одним киральным параметром порядка. После введения (параграф 3.1) в параграфе 3.2 строится представление кулоновского газа этой модели, вводятся топологические дефекты — вихри, диссоциация пар которых ответственна за нарушение квазидальнего (алгебраического) 50(2) порядка. Статсумма модели в низкотемпературном пределе, в фазе с определенной киральностью может быть переписана в терминах взаимодействия вихрей

где Зс% = у/ТЩ^ЩЩ), А = £ ((472 - Л2/(4^2)) V? + -

анизотропный дискретный оператор Лапласа, ду — заряд вихря, расположенного в узле у дуальной решетки, 3 — обмен между спиральными цепочками.

В параграфе 3.3 воспроизводится РГ-теория Костерлица для этой модели, показывается что критическая точка БКТ-перехода должна удовлетворять универсальному условию 2 — пТ/Т = 0, где Т = уТТТг — среднее геометрическое от жесткости спиновых волн Т,, в направлениях е^, (I = 1, 2. Даются и обосновываются формулы вычисления жесткости спиновых волн при моделировании. Эти формулы имеют некоторое отличие по сравнению с другими ХУ-системами, связанное с температурной зависимостью шага спирали.

В параграфе 3.4 приводятся результаты моделирования простого спи-

(12)

• 1 ■ '—I—

.....™,=о.з

---та,=о.35 * * *

- -ТО,=0.435 !

— та,=о.в • -

4.....\ .) и и » » и л" , А. , -

рОО

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

<к> <к>

Рис. 4: Аномальное (72 ~ 0.3171) и пормалыюе = 0.5^) распределения кпральпости при ГйГ/.

рального ХУ-магнетика. С помощью значения скачка жесткости и поправок к нему, связанных с конечномерным масштабированием, оценивается температура БКТ-перехода, которая оказывается строго ниже температуры кирального перехода (рис. 3) для ./2 > 0.36.Л, т.е. вдали от точки Лиф-шица. При этом данные для БКТ-персхода подтверждают и другое универсальное условие 1] = 0.25 в пределах погрешностей данных. Критические индексы кирального перехода и = 0.97(4), /? = 0.118(8), у = 1.70(6) согласуются с онзагеровскими индексами двумерной модели Изинга.

Параграф 3.5 посвящен моделированию системы в окрестности точки Лифшица. Показывается, что при некоторой конечной температуре ниже критических большую роль начинают играть метастабильные состояния, имеющие близкие энергии, но различные значения кирального параметра порядка. Их появление влечет за собой резкое возрастание восприимчивости системы по киральному параметру порядка, что интерпретировалось в предыдущих исследованиях как киральный переход [9]. Однако такой переход имеет скачок кирального параметра порядка, что не согласуется с теорией переходов второго рода. Предлагается способ оценки температуры кирального перехода, менее надежный, чем стандартные методы, но не использующий киральность, а основанный на анализе гистограмм для Т1 (рис. 4). Этот способ дает оценку температуры кирального перехода Г/, удовлетворяющую условию Твкт < Т1, что согласуется с достаточно общими аргументами для систем из этого класса [7]. Таким образом, фаза киральной спиновой жидкости существует в интервале температур (Твкт, Т1) при всех значениях Зч > 0.25^.

В параграфе 3.6 приводятся результаты моделирования для спираль-

Рис. 5: Жесткость спиновых волн Т, плотность вихрей V и восприимчивость по плотности вихрей XV! как функции температуры при = О.б-Л. Резкое уменьшение Т и зависимость от размера решетки V и хV указывают на топологический фазовый переход при Т/3\ = 0.4(3).

ного ХУ-магнетика с двумя киральными параметрами порядка. При ^ = где .Уз — обмены третьего порядка дальности на квадратной решетке, переходы БКТ и оба изинговских перехода сливаются в один переход первого рода. Похожая картина возникает при ф </| вдали от точек Лифшица ,/д = 0.25,Л. Однако в окрестностях точек Лифшица вновь появляются метастабильные состояния, аналогичные ситуации из параграфа 3.4, приводящие к расщеплению переходов и возникновению фаз киральной спиновой жидкости.

В главе 4 проводится анализ топологических дефектов в спиральных магнетиках. Показывается, что в двумерном спиральном магнетике с изотропными спинами должны присутствовать т.н. вихри. Данные, полученные моделированием для простого спирального магнетика, согласуются с той точкой зрения, что дальний и квазидальний 50(3) порядок отсутствует при любой конечной температуре, в согласии с теоремой Мермина-Вагнера. Однако взаимодействие вихрей приводит к появлению при конечной температуре либо кроссовера (т.н. «почти фазового перехода»), либо топологического перехода, при котором плотность вихрей является параметром порядка. При этой температуре система имитирует поведение, согласующееся с теорией Костерлица-Таулесса, и наблюдается всплеск восприимчивости системы к рождению пары вихрей (рис. 5) и теплоемкости. Это явление может объяснять экспериментальные данные для материалов, соответствующих моделям из класса 30(3) [10].

Заключение содержит основные результаты диссертации, выносимые

на защиту, а также сведения, касающиеся апробации данной работы.

В Приложении дается описание техники моделирования и оценки важнейших величин в теории конечномерного масштабирования.

Список публикаций по теме диссертации:

1. А. О. Сорокин, А. В. Сыромятников. Переход первого рода в системах с полностью нарушенной 0(3) симметрией // ЖЭТФ 139, 1148— 1157 (2011).

2. А. О. Сорокин, А. В. Сыромятников. Переходы в трехмерных XY магнетиках с двумя киральными параметрами порядка // ЖЭТФ 140, 771-776 (2011).

3. А. О. Sorokin, А. V. Syromyatnikov. Chiral Spin Liquid in two-dimensional XY Helimagnets // Phys. Rev. В 85, 174404 (2012) [10 pages]; 86, 059904(E) (2012) [2 pages],

4. А. О. Сорокин, А. В. Сыромятников. Киральная спиновая жидкость в двумерном спиральном магнетике с двумя киральными параметрами порядка // Письма ЖЭТФ 96, 449-454 (2012).

5. А. О. Sorokin, А. V. Syromyatnikov. Transitions in three-dimensional Magnets with Extra Broken Symmetry // Solid State Phenom. 190, 63-66 (2012).

6. А. О. Сорокин, А. В. Сыромятников. Переходы в трехмерных магнетиках с дополнительными нарушенными симметриями // XLV Зимняя школа ПИЯФ ФКС-2011. Сборник тезисов, с. 24.

7. А. О. Sorokin, А. V. Syromyatnikov. Transitions in three-dimensional magnets with extra order parameters // Spin Waves-2011. Abstracts, p. 122.

8. A. O. Sorokin, A. V. Syromyatnikov. Transitions in three-dimensional magnets with extra broken symmetries // MISM-2011. Abstracts, p. 468.

9. А. О. Сорокин, А. В. Сыромятников. Критическое поведение двумерного спирального XY магнетика // ФизикА.СПб - 2011. Сборник тезисов, стр. 16.

10. А. О. Сорокин, А. В. Сыромятников. Киральная спиновая жидкость в двумерном спиральном XY магнетике // XLVI Школа ПИЯФ ФКС-2012. Сборник, стр. 57.

Список литературы:

[1] СаЫгеве Р., Ратгисстг Р., апй БоШоу А.1. // РЬув. Яеу. В. — 2002.

- Уо1. 66. - Р. 180403.

[2] Бе1атоПе В., Моикаппа Б., апй Пввгег М. // РЬуэ. 11еу. В. — 2004.

- Уо1. 69. - Р. 134413.

[3] тер Н. Т. // РЬуэ. 11еу. В. - 1989. - Уо1. 39. - Р. 397.

[4] 1<шоп О. // РЬуэша А. - 2000. - Уо1. 275. - Р. 207.

[5] СЫН Р., Яеиоп А., апй СиссоЫ А. // РЬув. И,еу. В. - 2010. - Уо1. 81. - Р. 134415.

[6] Ка-шатига Н. // Рп^г. ТЪеог. РЬуБ. Зирр1. - 1990. - Уо1. 101. - Р. 545.

[7] Коршунов С.Е. // УФН. - 2006. - Т. 176. - С. 233.

[8] ваге1 Т., БотасЬ, 5. // ,1. РЬуэ. С: БоШ State РЬув. - 1980. - Уо1. 13. - Р. Ь887.

[9] СтИ Р., СиссоЫ А., апй НеЫот А. // РЬув. Иву. В. - 2011. - Уо1. 83. - Р. 174415.

[10] Кашатига Н. // ,1. РЬуэ.: Соп£. Бег. - 2011. - Уо1. 320. - Р. 012002.

[11] Муртазаев А. К. // УФН. - 2008. - Т. 178. - 2008. - С. 1001.

[12] Кипг Е., гитпЬаск в. // 3. РЬув. А: Май. Сеп. - 1993. - Уо1. 26. -Р. 3121.

[13] Яег'тегс ./. N., Сгее.йап ,/. Е., апй В]0гдтпв80п М. // РЬув. 11еу. В. — 1992. - Уо1. 45. - Р. 7295.

Подписано в печать 30.10.12 Формат 60х84'/16 Цифровая Печ. л. 1.0 Тираж 100 Заказ 15/10 печать

Отпечатано в типографии «Фалкон Принт» (197101, г. Санкт-Петербург, ул. Большая Пушкарская, д. 54, офис 2)

Введение

1. Спиральные магнетики в трех измерениях

§1.1. Пространство параметра порядка G/H.

§1.2. Краткий исторический обзор.

§1.3. Класс универсальности G/H = Ъ2® 50(2).

§1.4. Класс универсальности G/H — 50(3).

§1.5. Класс универсальности G/H = Z2 <g> 50(3).

§1.6. Некоторые другие классы универсальности

§1.7. Выводы.

2. 0(3) главные киральные поля: непертурбативный подход

§2.1. Точные уравнения РГ.

§2.2. Уравнения для 0(3) главных киральных полей.

§2.3. Проверка уравнений: 0(9)/0(8)-теория.

§2.4. 0(3)-теория и «эффект большой реки».

3. Спиральные XY магнетики в двух измерениях

§3.1. Критические явления в <8> 50(2) классе: введение.

§3.2. Представление кулоновского газа.

§3.3. Модуль кручения и РГ-анализ.

§3.4. Простой спиральный магнетик: моделирование.

§3.5. Окрестность точки Лифшица

§3.6. Два киральных параметра порядка.

4. Топологические возбуждения в спиральных магнетиках

§4.1. Метод гомотопических групп.

§4.2. Топологические дефекты в двух измерениях.

§4.3. Х2-вихри в спиральном магнетике: определение.

§4.4. Й2-вихри в спиральном магнетике: моделирование

§4.5. Топологические дефекты в трех измерениях.

Фрустрированные квантовые и классические спиновые системы интенсивно исследуются последние десятилетия [1]. При этом свойства этих систем интересны как сами по себе, так и в контексте их связи с другими важными объектами физики конденсированного состояния, такими как высокотемпературные сверхпроводники, Джозефсоновские среды, гелий-3, жидкие кристаллы и др. С точки зрения теории критического поведения фрустрированные системы зарекомендовали себя как замечательный объект для изучения фаз нового типа (нематические и топологические фазы, спиновые жидкости, спиновый лед, спиновое стекло и т.д.) и фазовых переходов из новых классов.

Для теоретической физики исследование критического поведения фрустрирован-ных спиновых систем позволило подвергнуть серьезной проверке ставшие уже классическими методы теории критического поведения как численные, так и аналитические. В трех измерениях для ферромагнетиков и антиферромагнетиков без фрустрации дают хорошо согласующиеся между собой результаты и моделирование, и различные методы счета: высокотемпературные, 4 — е, 2 + е, 1 /ТУ разложения, пертур-бативная и непертурбативная ренормгруппа (РГ) [2]. Для классов систем, которым принадлежат и спиральные магнетики, согласованность указанных методов оказалась несколько хуже. Около тридцати лет интенсивно обсуждался вопрос о количестве, последовательности и типе фазовых переходов по температуре, происходящих в системах из этих классов.

На возможность существования спиральной структуры в магнетиках указывалось относительно давно — в конце 50-х годов прошлого столетия. Спиральные структуры, образующиеся из-за наличия антисимметричного обмена Дзялошинского-Мория, — нефрустрированные, в них направление вектора спирали определяется самим обменом, и они не рассматриваются в данной работе. Фрустрированная спиральная структура может возникать по нескольким причинам, основными из которых являются конкуренция обменных взаимодействий и геометрическая фрустрация [3]-[5].

Даже с учетом того, что революция в теории фазовых переходов произошла позже, в начале 70-х годов, только совсем недавно стало возможным говорить о некоторой общепринятой точке зрения на критическое поведение спиральных магнетиков и фрустрированных магнитных систем вообще. Это в равной степени относится и к двумерным, и к трехмерным классическим системам. Отметим, что вопросов, связанных с квантовыми фазовыми переходами, мы также фактически не будем касаться в данной работе, и об общепринятой точке зрения в этом случае говорить пока преждевременно.

В трехмерных фрустрированных системах с планарными (А^ = 2) и изотропными (./V = 3) спинами происходит по температуре один индуцированный флуктуациями переход первого рода. Для многих классов систем этот факт не вызывал сомнений, но для важного класса, описывающего магнетики с планарным порядком, куда, в частности, входят и простые спиральные магнетики, это выяснилось отнюдь не сразу. Экспериментальные исследования различных соединений с планарным магнитным порядком, численное моделирование различных моделей, а также аналитические результаты, полученные с помощью тех или иных техник, давали разные ответы на вопрос о типе фазового перехода. Однако последние данные подтверждают ту точку зрения, что этот переход очень слабого первого рода с возможным псевдоскейлинго-вым поведением. Более подробно анализ различных классов и результатов исследований рассматривается в главе 1.

Планарный магнитный порядок возникает в большом количестве соединений. Среди наиболее обсуждаемых можно отметить соединения со структурой перовскита (СвМпВгз, СэМОз, СвМп1з, ЯЬМпВгз и др.), УСЬ, УВг2, которым соответствует модель антиферромагнетика на гексагональной решетке, и спиральные магнитные структуры в редкоземельных металлах ТЬ, Бу и Но. В большинстве из них наблюдается псевдоскейлинговое поведение при переходе (см. обзоры [6]-[8] и ссылки в них). Более того, в эксперименте с поляризованными нейтронами по схеме, предложенной Малеевым [9], для СэМпВгз были измерены критические показатели, относящиеся к киральному параметру порядка, согласующиеся в целом с результатами численного моделирования [10] (см., однако, данные для диспрозия и гольмия [11, 12]).

Численное моделирование трехмерных спиральных магнетиков в ранних работах представлено не очень широко. Исследовалась модель антиферромагнетика на объем-ноцентрированной кубической решетке с дополнительным конкурирующим обменом вдоль одной из осей. Результаты для N = 2 спинов указывали на переход первого рода [13], в то время как для N = 3 спинов результат более или менее согласуется с гипотезой о псевдоуниверсальном поведении систем из этого класса [13, 14]. Результаты для планарных спинов не подтвердились для другой модели спирального магнетика, описывающего, в частности, соединение ШэМпВг3, — антиферромагнетика на слоисто-треугольной (гексагональной) решетке с анизотропией обменов между соседними спинами в слое [15]. В данном случае наблюдается псевдоуниверсальное поведение.

Спиральные магнетики принадлежат особому классу структур, являющихся длин-нопериодической модуляцией простых магнитных структур — ферромагнитных или антиферромагнитных. Зачастую период модуляции непрерывно меняется с температурой, принимая несоизмеримые значения по отношению к периоду кристаллической решетки [16]. Это вносит свои особенности в технику моделирования и выбора граничных условий решетки. Возможно, именно поэтому модели спиральных магнетиков менее исследованы по сравнению с некоторыми другими системами, принадлежащих тем же классам универсальности, например, с антиферромагнетиком на треугольной и гексагональной решетках.

Интересна ситуация и для магнетиков с непланарным порядком. Пример таких магнетиков хорошо известен — это антиферромагнетики с изотропными спинами на решетках со структурой пирохлора, которым соответствуют соединения, например, руг-РеС1з или соединения вида А^В^Оу, и слоистые структуры с решеткой каго-ме. Ввиду сильной фрустрации в подобных системах могут существовать различные фазы, включая экзотические (спиновые жидкости, лед и стекло), и наблюдаться критическое поведение разных видов (см. обзор [17] и ссылки в нем). Соединениям, в которых возникает дальний порядок при конечных температурах (например, Сё2Т1207 и Сс128п207), должен соответствовать переход с нарушением симметрии вращения и отражения спинов. Этот переход первого рода, индуцированный флук-туациями, принадлежащий тому же (псевдо)классу универсальности, что и ./V = 3 спиральные магнетики с двумя киральными параметрами порядка. Этот класс мало исследован.

В двух измерениях критическое поведение систем с непрерывным вырождением основного состояния кардинально отличается от ситуации в больших размерностях. Здесь действует теорема Мермина-Вагнера, запрещающая спонтанное нарушение непрерывной симметрии при конечной температуре. Однако в случае планарных спинов возможно возникновение (алгебраического) квазидальнего порядка, характеризующегося степенным спаданием корреляционных функций при нулевой намагниченности, управляемого аннигиляцией пар вихрь-антивихрь и сопровождающегося переходом Березинского-Костерлица-Таулесса (БКТ) бесконечного рода [18]-[22].

Спиральный магнетик с планарными спинами характеризуется двумя параметрами порядка: непрерывным (намагниченность «подрешеток») и дискретным (кираль-ность). Критическое поведение систем с подобным вырождением основного состояния было предметом интенсивных исследований и дискуссий на протяжении трех десятков лет аналогично случаю трехмерных фрустрированных систем (см. обзоры [173, 24]). Здесь также обсуждался вопрос о количестве, последовательности и типе переходов.

В системах с подобным типом вырождения с повышением температуры либо происходят два последовательных перехода (сначала БКТ, потом Изинга), либо они сливаются в один переход, по-видимому, первого рода. Первый сценарий реализуется, например, в наиболее исследовавшихся моделях из этого класса: антиферромагнетик на треугольной решетке и модель Виллана [25], описывающая сетку из Джозефсо-новских контактов во внешнем поле. Для спирального магнетика предыдущие исследования давали обратную последовательность переходов [26, 27], что противоречило достаточно общим аргументам, справедливым для систем из этого класса [24].

Наконец, случай изотропных спинов для двумерного спирального магнетика, казалось бы, не должен иметь критического поведения при конечных температурах, однако и тут нет окончательной ясности. Дело в том, что в системах с неколли-неарным порядком, к коим относятся и спиральные магнетики, аналогично случаю

ХУ спинов существуют вихревые топологические возбуждения, т.н. Ж2-вихри. Логарифмически притягиваясь, аналогично обыкновенным вихрям теории Березинско-го, Х2-вихри при низких температурах начинают аннигилировать парами, создавая при этом дополнительную упорядоченность в системе. Конечно, существует большое различие с переходом БКТ, связанное с тем, что в теории БКТ низкотемпературные свойства системы, включая сам переход, могут быть описаны исключительно в терминах газа вихрей. В системах с ^-вихрями «спиновые волны» не могут быть отынтегрированы, в силу неабелевости теории.

Высказывалось несколько предположений относительно того, что же происходит в системах с Х2-вихрями. Численное моделирование, например, для антиферромагнетика на треугольной решетке вполне согласуется с возможностью существования топологического фазового перехода (т.н. киральный БКТ переход). По крайней мере, численные данные указывают на отличие от предсказаний нелинейной сг-модели. Однако корреляционная длина остается конечной при любой ненулевой температуре, пусть даже очень большой, неотличимой от бесконечной при моделировании на конечных решетках.

Тем не менее, присутствие Ж2-вихрей может объяснять аномальное поведение некоторых материалов, например, в которых реализуется модель антиферромагнетика с треугольной решеткой, таких как МаСг02 и №Са254, наблюдающееся экспериментально (см. обзор [28] и ссылки в нем). Также ^2-вихри присутствуют в сверхтекучем 3Не [29].

Резюмируя сказанное, особо подчеркнем, что изучение спиральных магнетиков, помимо проверки результатов исследований других систем и моделей из тех же классов универсальности, уже достаточно хорошо изученных, и помимо описания критического поведения реальных магнитных материалов, позволяет пролить свет на классы моделей, что изучены мало или не изучены вовсе. Поэтому исследование спиральных магнетиков является актуальной задачей.

Цели И задачи диссертационной работы. Данная диссертационная работа имеет следующие цели.

1. Численное моделирование спиральных магнетиков в трех измерениях как с одним, так и с несколькими киральными параметрами порядка; выяснение типа перехода; поиск возможного псевдоскейлингового поведения, оценка критических индексов.

2. Исследование модели Гинзбурга-Ландау, соответствующей спиральному магнетику с двумя киральными параметрами порядка и с изотропными спинами, в рамках простейшей нетривиальной аппроксимации точных уравнений непертур-бативной РГ; поиск неподвижных точек и области с медленным РГ-потоком.

3. Численное моделирование двумерного спирального ХУ-магнетика; выяснение количества, типа и последовательности фазовых переходов.

4. Численное моделирование двумерного спирального магнетика с изотропными спинами; выяснение, приводит ли взаимодействие Z2-виxpeй к возникновению квазидальнего порядка и фазового перехода при конечных температурах.

Все исследования направлены на установление свойств критического поведения различных типов спиральных магнетиков в двух и трех измерениях.

Научная новизна и практическая значимость. Все результаты, полученные в работе и выносимые на защиту, являются новыми. Полученные данные о критическом поведении спиральных магнетиков (количестве, типе, последовательности переходов, критических индексах) могут быть использованы для интерпретации результатов соответствующих экспериментальных исследований.

Краткое содержание диссертации приводится в виде аннотаций к каждой главе, а выносимые на защиту результаты приведены в заключении.

Основное содержание диссертационной работы опубликовано в работах [30]-[34].

Заключение.

В работе было исследовано критическое поведение классических фрустрированных спиральных магнетиков. Были получены следующие основные результаты, выносимые на защиту:

1. В простом спиральном магнетике, реализованном на кубической решетке с дополнительным конкурирующим обменом вдоль одного направления решетки, найден переход слабого первого рода; найдены критические экспоненты, согласующиеся с численными и экспериментальными исследованиями антиферромагнетика на гексагональной решетке [98]; показано, что на решетках очень большого размера (L = 90 и L = 120 для N — 2 и N = 3, соответственно) заметна двухпиковая структура распределения по энергии при температуре перехода, что характерно для переходов первого рода.

2. В трехмерном изотропном (N = 3) спиральном магнетике с двумя киральны-ми параметрами порядка найден переход первого рода и псевдоскейлинговое поведение на решетках небольшого размера; рассмотрено две модели из этого класса; полученные критические индексы согласуются для обеих моделей и с результатами исследований магнетиков с непланарным порядком.

3. В трехмерных спиральных магнетиках с N = 2 н двумя киральными параметрами порядка, а также в случаях N = 2 и N — Зс тремя киральными параметрами порядка найден ярко выраженный переход первого рода.

4. Методом непертурбативной ренормгруппы в простейшей аппроксимации точных уравнений для теории, описывающей изотропные спиральные магнетики с двумя киральными параметрами порядка, найдена область, через которую проходят траектории, стартующие с обширной области начальных данных, и в которой наблюдается замедление РГ-потока; это объясняет найденные в пункте 2 псевдоскейлинг и универсальность.

5. Для простого спирального XY-магнетика в двух измерениях показано, что при повышении температуры происходят последовательно переход БКТ и Изинга; в диапазоне температур между переходами существует фаза киральной спиновой жидкости, характеризующаяся киральным порядком при ненарушенной вращательной и трансляционной симметрии; предложена процедура численной оценки жесткости спиновых волн и ее универсального скачка при БКТ-переходе; найдено аномальное поведение восприимчивости и теплоемкости в окрестности точки Лифшица, вызванное появлением при конечных температурах метастабильных состояний, имеющих равную энергию, но различные значения киральности; эта аномалия не является свидетельством наличия фазового перехода, за который ее приняли в предыдущих численных расчетах, предсказывающих обратную последовательность фазовых переходов.

6. Для двумерного спирального XY-магнетика с двумя киральными параметрами порядка найден один переход первого рода; при анизотропии конкурирующих обменов, в окрестности точки Лифшица аномалия и метастабильные состояния приводят к расщеплению перехода и появлению фазы киральной спиновой жидкости.

7. В двумерном спиральном магнетике с изотропными спинами показано, что переход в фазу с дальним магнитным порядком происходит при нулевой температуре; тем не менее, образование пар 22-вихрей приводят к резкому уменьшению корреляционной длины и имитации фазового перехода типа БКТ при конечной температуре; полученные данные не исключают возможности существования перехода без нарушения непрерывной симметрии, при котором плотность вихрей является параметром порядка.

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены и обсуждались на следующих российских и международных конференциях (Spin Waves-2011, MISM-2011, ФизикА.СПб-2011), XLV и XLVI Зимних школах ПИЯФ, а также на семинарах Отделения теоретической физики ПИЯФ и на кафедре статистической физики физического факультета СПбГУ.

В заключение хочу выразить глубокую признательность Арсению Сыромятнико-ву, Сергею Владимировичу Малееву и Дмитрию Аристову за всестороннюю поддержку. Под руководством Арсения была выполнена данная работа. Я благодарен своим друзьям, которые предоставляли мне на начальном этапе работы ресурсы машинного времени: Максу Несвиту, Леше Горбатенкову , Киму Кондратовичу, Свете Гуцало и Жене Васильеву. Также я благодарен Леше Захарову за помощь в верификации алгоритма и Алексею Феликсовичу Вакуленко за техническую поддержку. Особую признательность выражаю профессору Сергею Евгениевичу Коршунову за внимание к нашей работе [32] и полезные критические замечания.

1. Н. Т. Diep (ed.), Frustrated Spin Systems. — Singapore: World Scientific, 2004.

2. A. Pelisetto, E. Vicari, Phys. Rep. 368, 549 (2002).

3. A. Yoshimori, J. Phys. Soc. Jpn. 14, 508 (1959).

4. J. Villain, J. Phys. Chem. Solids 11, 303 (1959).

5. T. A. Kaplan, Phys. Rev. 116, 888 (1959).

6. M.F. Collins, O. A. Petrenko, Canad. J. Phys. 75, 605 (1997).

7. H. Kawamura, J. Phys.: Cond. Mat. 10, 4707 (1998).

8. B. Delamotte, D. Mouhanna, and M. Tissier, Phys. Rev. В 69, 134413 (2004).

9. S.V. Maleyev, Phys. Rev. Lett. 75, 4682 (1995).

10. V.P. Plakhty et al., Phys. Rev. Lett. 85, 3942 (2000).

11. V.P. Plakhty et al., Phys. Rev. В 64, 100402R (2001).

12. С. В. Григорьев и др., Письма ЖЭТФ 83, 568 (2006).

13. Н.Т. Diep, Phys. Rev. В 39, 397 (1989).

14. D. Loison, Physica A 275, 207 (2000).

15. H. Kawamura, Progr. Theor. Phys. Suppl. 101, 545 (1990).

16. Ю. А. Изюмов, УФН 144, 439 (1984).

17. J. S. Gardner, M.J. P. Gingras, and J. E. Greedan, Rev. Mod. Phys. 82, 53 (2010).

18. В. Л. Березинский, ЖЭТФ 59, 907 (1970).

19. В. Л. Березинский, ЖЭТФ 61, 1144 (1971).

20. В. Л. Березинский, Низкотемпературные свойства двумерных систем с непрерывной группой симметрии. — М.: Физматлит, 2007.

21. J.M. Kosterlitz, D.J. Thouless, J. Phys. С: Solid State Phys. 6, 1181 (1973).

22. J.M. Kosterlitz, J. Phys. C: Solid State Phys. 7, 1046 (1974).

23. M. Hasenbusch, A. Pelissetto, and E. Vicari, J. Stat. Mech., P12002 (2005).

24. C.E. Коршунов, УФН 176, 233 (2006).

25. J. Villain, J. Phys. C: Solid State Phys. 10, 1717 (1977).

26. T. Garel, S. Doniach, J. Phys. C: Solid State Phys. 13, L887 (1980).

27. Y. Okwamoto, J. Phys. Soc. Jpn 53, 2613 (1984).

28. H. Kawamura, J. Phys.: Conf. Ser. 320, 012002 (2011).

29. M. M. Salomaa, G.E. Volovik, Rev. Mod. Phys. 59, 533 (1987).

30. А. О. Сорокин, А. В. Сыромятников, ЖЭТФ 139, 1148 (2011).

31. А. О. Сорокин, А. В. Сыромятников, ЖЭТФ 140, 771 (2011).

32. А. О. Sorokin, А. V. Syromyatnikov, Phys. Rev. В 85, 174404 (2012); 86, 059904(E) (2012).

33. А. О. Сорокин, А. В. Сыромятников, Письма ЖЭТФ 96, 449 (2012).

34. А. О. Sorokin, А. V. Syromyatnikov, Solid State Phenom. 190, 63 (2012).

35. С. L. Henley, Phys. Rev. Lett. 62, 2056 (1989).

36. M. P. Gelfand, R.R.P. Singh, and D. A. Huse, Phys. Rev. В 40, 10801 (1989).

37. E. Ф. Шендер, ЖЭТФ 83, 326 (1982).

38. S. Katsura, T. Ide, and T. Morita, J. Stat. Phys. 42, 381 (1986).

39. T. Jolicoeur et al., Phys. Rev. В 42, 4800 (1990).

40. C.L. Henley, J. Appl. Phys. 61, 3962 (1986).

41. H. Kunz, G. Zumbach, J. Phys. A: Math. Gen. 26, 3121 (1993).

42. С. А. Бразовский, И. E. Дзялошинский, Письма ЖЭТФ 21, 360 (1975).

43. D. Mukamel, Phys. Rev. Lett. 34, 481 (1975).

44. С. А. Бразовский, И.Е. Дзялошинский и Б. Г. Кухаренко, ЖЭТФ 70, 2257 (1976).

45. Т. Garel, P. Pfeuty, J. Phys. С: Solid State Phys. 9, L245 (1976).

46. D. Mukamel, S. Krinsky, Phys. Rev. В 13, 5065 (1976).

47. D. Mukamel, S. Krinsky, Phys. Rev. В 13, 5078 (1976).

48. P. Bak, D. Mukamel, Phys. Rev. В 13, 5086 (1976).

49. D. Bailin, A. Love, and M. A. Moore, J. Phys. C: Solid State Phys. 10, 1159 (1977).

50. H. Kawamura, J. Phys. Soc. Jpn. 54, 3220 (1985).

51. H. Kawamura, J. Phys. Soc. Jpn. 55, 2095 (1986).

52. H. Kawamura, Phys. Rev. В 38, 4916 (1988).

53. S. A. Antonenko, A.I. Sokolov, and K.B. Varnashev, Phys. Lett. A 208, 161 (1995).

54. A. Pelissetto, P. Rossi, and E. Vicari, Nucl. Phys. В 607, 605 (2001).

55. P. Calabrese, P. Parruccini, Nucl. Phys. В 679, 568 (2004).

56. A.I. Mudrov, K.B. Varnashev, Phys. Rev. В 57, 5704 (1998).

57. A.I. Mudrov, K.B. Varnashev, Phys. Rev. В 64, 214423 (2001).

58. J. A. Gracey, Nucl. Phys. В 644, 433 (2002).

59. J. A. Gracey, Phys. Rev. В 66, 134402 (2002).

60. S. A. Antonenko, A.I. Sokolov, Phys. Rev. В 49, 15901 (1994).

61. A. Pelissetto, P. Rossi, and E. Vicari, Phys. Rev. В 63, 140414 (2001).

62. A. Pelissetto, P. Rossi, and E. Vicari, Phys. Rev. В 65, 020403 (2001).

63. P. Calabrese, P. Parruccini, and A.I. Sokolov, Phys. Rev. В 66, 180403 (2002).

64. Р. Calabrese, Р. Parruccini, and А. I. Sokolov, Phys. Rev. В 68, 094415 (2003). Y. Holovatch, D. Ivaneyko, and B. Delamotte, J. Phys. A: Math. Gen. 37, 3569 (2004). B. Delamotte et al., Phys. Rev. В 82, 104432 (2010).

65. D. Friedan, Ann. Phys. 163, 318 (1985).

66. А. M. Polyakov, Phys. Lett. В 59, 79 (1975).

67. S. Hikami, E. Brezin, J. Phys. A: Math. Gen. 11, 1141 (1978).

68. H. Kleinert, Phys. Lett. А 264, 357 (2000).

69. W. Bernreuther, F. J. Wegner, Phys. Rev. Lett. 57, 1383 (1986).

70. Jack, D.R.T. Jones, and N. Mohammedi, Phys. Lett. В 220, 171 (1989). I. Jack, D.R.T. Jones, and N. Mohammedi, Nucl. Phys. В 322, 431 (1989). А. McKane, M. Stone, Nucl. Phys. В 163, 169 (1980).

71. S. Hikami, Phys. Lett. В 98, 208 (1981).

72. E. Brezin, S. Hikami, and J. Zinn-Justin, Nucl. Phys. В 165, 528 (1980). S. Hikami, Progr. Theor. Phys. 64, 1425 (1980).

73. G. Zumbach, Nucl. Phys. В 413, 771 (1994).

74. H. Kawamura, J. Phys. Soc. Jpn. 61, 1299 (1992).

75. D. Loison, H. T. Diep, J. Appl. Phys. 73, 5642 (1993).

76. E.H. Boubcheur, D. Loison, and H.T. Diep, Phys. Rev. В 54, 4165 (1996). A. Mailhot, M.L. Plumer, and A. Caille, Phys. Rev. В 50, 6854 (1994).

77. A. Peles, B.W. Southern, Phys. Rev. В 67, 184407 (2003).

78. А. К. Муртазаев, УФН 178, 1001 (2008).

79. М. К. Рамазанов, Письма ЖЭТФ 94, 335 (2011).

80. А. К. Муртазаев, М. К. Рамазанов и М.К.Бадиев, ЖЭТФ 142, 338 (2012). Н.Т. Diep, D. Loison, J. Appl. Phys. 76, 6350 (1994). D. Loison, K. D. Schotte, Eur. Phys. J. В 14, 125 (2000). D. Loison, Eur. Phys. J. В 15, 517 (2000).

81. J.N. Reimers, J.E. Greedan, and M. Björgvinsson, Phys. Rev. В 45, 7295 (1992).

82. C. Pinettes, В. Canals, and C. Lacroix, Phys. Rev. В 66, 024422 (2002).

83. D. Loison, H.T. Diep, Phys. Rev. В 50, 16453 (1994). J.L. Alonso et al., Phys. Rev. В 53, 2537 (1996).

84. C. Pinettes, H.T. Diep, J. Appl. Phys. 83, 6318 (1998).

85. D.-T. Hoang, Y. Magnin, and H.T. Diep, Mod. Phys. Lett. В 25, 937 (2011). H.T. Diep, H. Kawamura, Phys. Rev. В 40, 7019 (1989).

86. К. Binder, Phys. Rev. Lett. 47, 693 (1981). K. Binder, Z. Phys. В 43, 119 (1981).

87. P. Peczak, A.M. Ferrenberg, and D.P. Landau, Phys. Rev. В 43, 6087 (1991).

88. F. Cinti, A. Rettori, and A. Cuccoli, Phys. Rev. В 81, 134415 (2010). D. Loison et al., Письма ЖЭТФ 72, 487 (2000).

89. P. Kadanoff, Physics (N.Y.) 2, 263 (1966).

90. P. Kadanoff et al., Rev. Mod. Phys. 39, 395 (1967).

91. K. G. Wilson, Phys. Rev. В 4, 3174 (1971).

92. К. G. Wilson, Phys. Rev. В 4, 3184 (1971).

93. K.G Wilson, J. Kogut, Phys. Rep. 12, 75 (1974).

94. J. Polchinski, Nucl. Phys. В 231, 269 (1984).

95. С. Bagnuls, С. Bervillier, Phys. Rep. 348, 91 (2001).

96. J. Berges, N. Tetradis, and С. Wetterich, Phys. Rep. 363, 223 (2002).

97. С. Wetterich, Nucl. Phys. В 352, 529 (1991).

98. С. Wetterich, Phys. Lett. В 301, 90 (1993).

99. U. Ellwanger, L. Vergara, Nucl. Phys. В 398, 52 (1993).

100. T.R. Morris, Phys. Lett. В 329, 241 (1994).

101. G. Felder, Commun. Math. Phys. 111, 101 (1987).

102. M. Tissier, D. Mouhanna, and B. Delamotte, Phys. Rev. В 61, 15327 (2000).

103. N. Tetradis, С. Wetterich, Nucl. Phys. В 422, 541 (1994).

104. Т. R. Morris, M.D. Turner, Nucl. Phys. В 509, 637 (1998).

105. G.v. Gersdorff, C. Wetterich, Phys. Rev. В 64, 054513 (2001).

106. D. F. Litim, Nucl. Phys. В 631, 128 (2002).

107. S. A. Antonenko, A.I. Sokolov, Phys. Rev. E 51, 1894 (1995).

108. А. Э. Филиппов, Письма ЖЭТФ 60, 133 (1994).

109. A. M. Поляков, Письма ЖЭТФ 12, 538 (1970).

110. A. A. Belavin, А. М. Polyakov, А. В. Zamolodchikov, Nucl. Phys. В 241, 333 (1984).

111. H.A.Kramers, G.H.Wannier, Phys. Rev. 60, 252 (1941).

112. L. P. Kadanoff, H. Ceva, Phys. Rev. В 3, 3918 (1971).

113. A. M. Поляков, Калибровочные поля и струны. — Ижевск: Изд-во «Удмуртский университет», 1999.

114. R. Savit, Rev. Mod. Phys. 52, 453 (1980).

115. L. P. Kadanoff, J. Phys. A: Math. Gen. 11, 1399 (1978).

116. M.B.Einhorn, R. Savit, and E. Rabinovoci, Nucl. Phys. В 170, 16 (1980).

117. P. Olsson, Phys. Rev. Lett. 75, 2758 (1995).

118. S.Teitel, C. Jayaprakash, Phys. Rev. В 27, 598 (1983).

119. S.Lee, K.-C.Lee, Phys. Rev. В 49, 15184 (1994).

120. P. Olsson, Phys. Rev. В 55, 3585 (1997).

121. G.S.Jeon, S.Y.Park, and M.Y.Choi, Phys. Rev. В 55, 14088 (1997).

122. Y. Ozeki, N.Ito, Phys. Rev. В 68, 054414 (2003).

123. S. Miyashita, J.Shiba, J. Phys. Soc. Jpn. 53, 1145 (1984).

124. W. Y. Shih, D.Stroud, Phys. Rev. В 30, 6774 (1984).

125. D. H. Lee et at., Phys. Rev. В 33, 450 (1986).

126. H.-J.Xu, B. W. Southern, J. Phys. A: Math. Gen. 29, L133 (1996).

127. S.Lee, K.-C.Lee, Phys. Rev. В 57, 8472 (1998).

128. D. Loison, P.Simon, Phys. Rev. В 61, 6114 (2000).

129. G.S.Grest, Phys. Rev. В 39, 9267 (1989).

130. J.-R.Lee, Phys. Rev. В 49, 3317 (1994).

131. F. Cinti, A. Cuccoli, and A.Rettori, Phys. Rev. В 83, 174415 (2011).

132. E. Granato et al., Phys. Rev. Lett. 66, 1090 (1991).

133. J.Lee, E. Granato, J. M. Kosterlitz, Phys. Rev. В 44, 4819 (1991).

134. M. P. Nightingale, E. Granato, and J. M. Kosterlitz, Phys. Rev. В 52, 7402 (1995).

135. O.Foda, Nucl. Phys. В 300, 611 (1988).

136. P. Baseilhac, V.A.Fateev, Nucl. Phys. В 532, 567 (1998).

137. P. Baseilhac, Nucl. Phys. В 636, 465 (2002).

138. P. Calabrese, P. Parruccini, Phys. Rev. В 64, 184408 (2001).

139. P. Calabrese et al., Phys. Rev. В 67, 024413 (2003).

140. M. Hasenbusch, A. Pelissetto, and E.Vicari, Phys. Rev. В 72, 184502 (2005).

141. M. Hasenbusch, A. Pelissetto, and E.Vicari, J. Stat. Mech., P12002 (2005).

142. M. Y. Choi, S. Doniach, Phys. Rev. В 31, 4516 (1985).

143. M. Josefin, E.Domany, Phys. Rev. В 32, 1778 (1985).

144. E. Granato, J. Phys. C: Solid State Phys. 20, L215 (1987).

145. J. M. Thijssen, H.J. F. Knops, Phys. Rev. В 37, 7738 (1988).

146. P. Simon, J. Phys. A: Math. Gen. 30, 2653 (1997).

147. P. Simon, Europhys. Lett. 39, 129 (1997).

148. M.Y.Choi, D.Stroud, Phys. Rev. В 32, 5773 (1985).

149. E. Granato, J. M. Kosterlitz, Phys. Rev. В 33, 4767 (1986).

150. G. S. Jeon, S.Y.Park, and M.Y.Choi, Phys. Rev. В 55, 14088 (1997).

151. Т. С. Halsey, J. Phys. C: Solid State Phys. 18, 2437 (1985).

152. S. E. Korshunov, G. V. Uimin, J. Stat. Phys. 43, 1 (1986).

153. S.E. Korshunov, J. Stat. Phys. 43, 17 (1986).

154. S.E. Korshunov, Phys. Rev. Lett. 88, 167007 (2002).

155. S.J.Lee, J.-R.Lee, and B.Kim, Phys. Rev. E 51, R4 (1995).

156. J.-R.Lee et al., Phys. Rev. Lett 79, 2172 (1997).

157. P.Olsson, S.Teitel, Phys. Rev. В 71, 104423 (2005).

158. H. Weber, P. Minnhagen, Phys. Rev. В 37, 5986 (1988).

159. J. Villain, J. Physique 36, 581 (1975).

160. J.B.Kogut, Rev. Mod. Phys. 51, 659 (1979).

161. D.R.Nelson, J. M. Kosterlitz, Phys. Rev. Lett 39, 1201 (1977).

162. T. Ohta, D. Jasnow, Phys. Rev. В 20, 139 (1979).

163. G.Kamieniarz, H. W. J.Blote, J. Phys. A: Math. Gen. 26, 201 (1993).

164. W. Selke, Eur. Phys. J. В 51, 223 (2006).

165. A. K. Kolezhuk, Phys. Rev. В 62, R6057 (2000).

166. Т. Hikihara, M. Kaburagi, and H.Kawamura, Phys. Rev. В 63, 174430 (2001).

167. N. D. Mermin, Rev. Mod. Phys. 51, 591 (1979).

168. G.H. Derrick, J. Math. Phys. 5, 1252 (1964).

169. D. L. Stein, Phys. Rev. В 18, 2397 (1978).

170. R. H. Swedsen, Phys. Rev. Lett. 49, 1302 (1982).

171. E.Domany, M. Shriek, and R.H. Swedsen, Phys. Rev. Lett. 52, 1535 (1984).

172. С. E. Коршунов, Письма ЖЭТФ 41, 216 (1985).

173. D.H.Lee, G. Grinstein, Phys. Rev. Lett. 55, 541 (1985).

174. S. Solomon, Phys. Lett. В 100, 492 (1981).

175. H. Kawamura, S.Miyashita, J. Phys. Soc. Jpn. 53, 4138 (1984).

176. M.Wintel, H. U. Everts, and W. Apel, Europhys. Lett. 25, 711 (1994).

177. H.Kunz, G. Zumbach, Phys. Lett. В 257, 299 (1991).

178. H.Kunz, G. Zumbach, Phys. Rev. В 46, 662 (1992).

179. G. Zumbach, Phys. Lett. A 200, 257 (1995).

180. H. Kawamura, M. Kikuchi, Phys. Rev. В 47, 1134 (1993).

181. В. W. Southern, H.-J.Xu, Phys. Rev. В 52, R3836 (1995).

182. M.Wintel, H. U. Everts, and W. Apel, Phys. Rev. В 52, 13480 (1995).

183. S.Fujimoto, Phys. Rev. В 73, 184401 (2006).

184. M. Grater, C. Wetterich, Phys. Rev. Lett. 75, 378 (1995).

185. G. v. Gersdorff, C. Wetterich, Phys. Rev. В 64, 054513 (2001).

186. P. Azaria, B. Delamotte, and D.Mouhanna, Phys. Rev. Lett. 68, 1762 (1992).

187. B. W. Southern, A.P.Young, Phys. Rev. В 48, 13170 (1993).

188. M. Caffarel et al., Phys. Rev. В 64, 014412 (2001).

189. M. Hasenbusch, Phys. Rev. D 53, 3445 (1996).

190. F. Niedermayer, P. Weisz, and D.-S. Shin, Phys. Rev. D 53, 5918 (1996).

191. А. А. Белавин, A. M. Поляков, Письма ЖЭТФ 22, 503 (1975).

192. V. A. Fateev, I.V.Frolov, and A. S.Schwarz, Nucl. Phys. В 154, 1 (1979).

193. P. Azaria et al., Phys. Rev. В 45, 12612 (1992).

194. S.Solomon, Y. Stavans, and E.Domany, Phys. Lett. В 112, 373 (1981).

195. S. Caracciolo et al., Phys. Rev. Lett. 71, 3906 (1993).

196. S. M. Catterall et al. Phys. Rev. D 58, 074510 (1998).

197. J.-C. Domenge et al., Phys. Rev. В 77, 172413 (2008).

198. L. Capriotti, S. Sachdev, Phys. Rev. Lett. 93, 257206 (2004).

199. J.L. Cardy, H.W.Hamber, Phys. Rev. Lett. 45, 499 (1980).

200. T.Banks, R. Myerson, and J.Kogut, Nucl. Phys. В 129, 493 (1977).

201. D. J. Amit et al., Nucl. Phys. В 210, 69 (1982).

202. A. DiGiacomo, D.Martelli, and G. Pafluti, Phys. Rev. D 60, 094511 (1999).

203. L. D. Faddeev, Lett. Math. Phys. 1, 289 (1976).

204. А. Ф.Вакуленко, JI. В. Капитанский, ДАН 246, 840 (1979).

205. А.Богданов, Письма ЖЭТФ 62, 231 (1994).

206. К. Биндер, Д.В. Хеерман, Моделирование методом Монте-Карло в статис физике. — М.: Наука, 1995.