Магнитные свойства квантовых спиновых систем с конкурирующими взаимодействиями тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ БИОХИМИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

г. 1. ' На правах рукописи

2 э

ДМИТРИЕВ Дмитрий Владимирович

МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА КВАНТОВЫХ СПИНОВЫХ СИСТЕМ С КОНКУРИРУЮЩИМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ

01.04.02. - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1998

Работа выполнена в Институте биохимической физики Российской академии наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук В.Я.Кривцов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук И.Г.Медведов доктор физико-математических наук И.А.Мисуркин

Ведущая организация: Институт теоретической физики им. Л.Д.Ландау РАН

Защита состоится " Н " ^ОсиорЛ Н)!)8 года в " ' Д " часов на заседании Специализированного Ученого Совета Д200.53.02 при Институте биохимической физики РАН но адресу: 117334, Москва, ул.Косыгина, д.4.

С диссертацией можно ознакомит ься в библиотеке Объединенного Института химической физики РАН.

Ученый секретарь Специализированного Совета кандидат физико-математических наук

И.А.Онищук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Теоретическое исследование электронного строения низкоразмерных (квазиодпомерпых и двумерных) систем является в настоящее время одной n i наиболее важных задач физики1 твердой» тела. К числу таких систем относя гея органические полимеры с сопряженными связями, органически« ферромагнетики, высокотемпературные сверхпроводник» (ШЧЛ1). Эти соединения обладают интересными и во многом необычными магнитными свойствами. Известно, что при низких температурах в таких системах могут реализоваться состояния с несоизмеримой магнитной структурой и необычными параметрами порядка. Экспериментальным указанием наличия таких состояний является наблюдаемое расщепление анч и-ферромагнптного пика статического структурного фактора S(q). Спиновые системы, обладающие, такими магнитными свойствами, описываются квантовыми спиновыми моделями с. конкурирующими (фрустрируюшими) взаимодействиями. Теоретическое исследование фрустрированных спиновых систем представляет собой чрезвычайно сложную задачу, поэтому, несмотря па интенсивные исследования последних лет, тга задача еще далека от полного решения. Анализ фрустрированных моделей осложняется плохой сходимостью известных численных методов. Все что делает весьма актуальной задачу разработки новых теоретических методов исследования фрустрированных спиновых систем.

Цель и задачи работы. Целью настоящей работы является исследование свойств кван товых спиновых систем с конкурирующими взаимодействиями. I) работе поставлены следующие задачи:

- разработка новых тшюн вариационных волновых функций для ггсследовлния кнаизовых спиновых систем;

- определение фазовой диаграммы и исследование характера фазового перехода в двумерной фрустрировапной модели Гейзеиберга;

- поел роение новых типов точно решаемых квантовых спиновых моделей.

Научная новизна работы. Псе приставленные в диссертации результаты являются новыми и оригинальными. Предложены два новых типа вариационных функций

для двумерной антиферромагнитной модели Гейзенберга. Определены фазовая диаграмма и характер фазового перехода в двумерной фрустрированной модели Гейзенберга. Построены и исследованы три новых класса точно решаемых квантовых спиновых моделей. Все результаты опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах и получили высокую оценку специалистов.

Практическая ценность. Результаты работы могут быть использованы для интерпретации экспериментальных данных по упрутму рассеянию нейт рино» на ква-знодномерных магнетиках. Методы расчета, разработанные в диссертации, могут быть применены для исследования широкого круга квантовых спиновых моделей и сильнокоррелированных электронных систем.

Апробация работы. Часть результатов работы была представлена на международных конференциях но сильнокоррелированным электронным системам (Португалия, 1996), по синтетическим металлам (США, 1996) и на XX международной конференции по статистической физике (Франция, 1998); работа обсуждалась па семинарах Отдела электроники органических материалов Института биохимической физики РАН.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 6 печатных работ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, литературного обзора, трех глав оригинальных исследований, заключения и списка цитированной литературы из 102 наименований. Работа изложена на 96 страницах, содержит 17 рисунков и одну таблицу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Но Введении обоснована актуальность исследований, выполненных в работе, сформулированы цель работы, ее научная новизна и практическая значимость.

Глава 1. Литературный обзор.

В первой части литературного обзора кратко описаны различные методы, используемые для исследования квантовых спиновых систем. На примере двумерной модели Гейзенберга даны их сравнительные характеристики.

Вторая часть посвящена исследованиям одномерных и двумерных фрустрирован-1П.1Х типовых моделей. Описаны основные результаты этих исследований. Укачаны проблемы, возникающие при исследовании фрустрированных систем.

I) третьей части рассмотрены известные точно решаемые квантовые спиновые модели, онисаны свойства этих моделей. Укатана их особая роль в изучении фрустрированных систем.

Глава 2. Двумерная антиферромагиитная модель Гейзеиберга.

Данная глава посвящена исследованию двумерной антиферромагнитной модели Гейзеиберга (21) ИЛ Г), гамильтониан которой имеет вид

// = ,/£ Я,, Э,,. (1)

где Я,,, - оператор спина 1/2 на т центре и сумма берется по всем ближайшим соседям. Поскольку точное решение этой модели неизвестно, то для ее исследования используются различные приближенные методы. Как правило, эти методы дают близкие значения для энергии основного состояния. В то же время, в различных приближениях понедение спиновых корреляционных функций, определяющих дальний порядок, различается довольно сильно.

Одним из наиболее мощных методов исследования свойств основного состояния квантовых спиновых систем являются вариационные волновые функции (ВВФ). В данной главе предлагаются два новых типа вариационных волновых функций. Первый из них основывается на фермиевском представлении гамильтониана (1):

II

~ + /¡-с.) + 7 2 ("'Т - "а) ("л - "д)

£ <м) 4 <м>

Л (2)

где с^ - ферми-оператор, п,> = с*с|(, - оператор числа частиц со спином <т, =

1,<Т

N (А' - число центров) и оператор

I

является проектором на состояния с одним электроном на центр.

Предлагаемая ГШФ представляет собой модифнцикацию известной волновой функции Гутцвиллера, которая имеет вид

Ч- = У'Ч»о(»1, -»jv/j;»>»,, ...mN/2) • с+t • ... • c+N/jt • с+а •... ■ (И)

где Ч»0 - волновая функция основного состояния N невзаимодействующих электронов на плоской решетке (N/2 спинов вверх и А'/2 спинов вниз). Непосредственное использование гутцвиллеровской ЬВФ (3) для модели 20 HAF дает плохую оценку энергии основного состояния. Предлагаемая модификация волновой функции Гутцвиллера состоит в том, что в качестве выбирается функция, соответствующая основному состоянию системы невзаимодействующих-электронов в магнитном поле. Другими словами, '1>о является волновой функцией основного состояния гамильтониана

>! =-Т. и)

где inj- ближайшие соседи, а прыжковый интеграл

= ех])(:'у>„,„) <рпт = J A-dl

А - соответствующий вектор-потенциал.

!)нергия основного состояния гамильтониана (2) при таком выборе вариационной волновой функции будет зависеть от величин магнитных потоков Ф через элемен гарные ячейки решетки (квадраты):

ехр(|'Ф) = П ехР('^»т)

plaqvrlte

Рассматривались разные случаи выбора величин магнитных потоков. Оказалось, что наиболее низкую энергию дает случай чередующихся потоков, когда потоки через соседние ячейки одинаковы по величине, но противоположны по знаку. Произведенная минимизация энергии по величине потока привела к хорошей точности энергии основного состояния и нулевой намагниченности подрешеток, что означает отсу тствие в системе дальнего порядка. Однако, последующая модификация вариационной функции введением множителя, учитывающего локальные корреляции спинов,

(Г»)

уже даст дальним порядок и приводит к заметному понижению энергии основпого состояния. Полученные оценки энергии основного состояния Е = —0.65'¿J и намагниченности под решеток Srf/ — 0.355 находятся в очень хорошем соответствии с результатами, полученными другими методами. Использование такой вариационной волновой функции для антиферромагнитной модели Гойзенберга на квазиодномер-iioii "лестничной" системе дает высокую точность в определении энергии основного состояния и приводит к отсутствию дальнего порядка, (/'ледует отметить, что аналитическое вычисление средних значений энергии и других физических величин с волновой функцией (3) невозможно. Колее того, невозможен также и численный расчет указанных средних для достаточно больших систем. Поэтому соответствующие вычисления проводились с использованием вариационного метода Мон те-Карло. 1>ы-ли рассчитаны системы, содержащие до 400 центров (решетки размером 20 х 20) и произведена экстраполяция результатов вычислений при JV ~> оо.

Второй метод (метод бозе-ВВФ) основывается на новом бозоииом представлении операторов спина-!, отличном от представления Холстейна-Примакова

<?.__(=!£: (6) ■Л - - pr"i пг W

i V/Vi V/Vi

где - бозе-операторы , /Vi= bfbi, и операторная функция 0(N) = •

Ото преобразование сохраняет коммутационные соотношения для спиновых операторов. Состояния с разным числом бозонов на каждом центре эффективно разбиваются на эквивалентные, ие связанные пары:

( S' |2т) = — | ,9+ |2т) = |2т + 1} |2т) = 0 . .

\ .S"|2m + 1) = ^ 5+|2т + 1)=0 S~ |2т + 1) = |2т>

Для применения метода бозе-ВВФ к модели 2D HAF удобно предварительно повернуть одну из подрешеток на угол ж в XZ плоскости:

W= £ {-Sl •s*m + S» ■ S»m - S'B ■ S'm) (8)

(n,m)

U результате преобразования (6) гамильтониан (8) примет вид:

Е f - top:. 1 Шь^ы,+„,.)) (9, <«.-> V v/v„ v/v„, / J

Отот гамильтониан, эквивалентный исходному спиновому, не может быть решен точно и для его исследования использовалась вариационная волновал функция в виде:

где функция A (i — j) находится из условия минимума энергии. Вакууму в (10) соответствует состояние гамильтониана (8) со всеми спинами, направленными вниз (или нсслевской конфигурации гамильтониана (1)).

Вычисление энергии но предложенной ВВФ (10) удается свести с помощью преобразования Хаббарда-Стратановича к вычислению функционала, зависящего эффективно от одного вариационного параметра. Минимизация энергии по э тому параметру производилась численно и дала окончательный результат Е = — 0.040. Полученная оценка энергии основного состояния для модели 2D HAF (1) на 4% выше наиболее точных результатов, полученных численными методами, и находится в хорошем соответствии с энергиями, полученными при использовании других вариационных функций. Стоит от метить, что этот метод, в отличии от теории спиновых волн, позволяет учитывать квантовые поправки к классическому основному состоянию вариационным образом. Кроме того, он не. требует больших вычислительных мощностей.

Таким образом, предложенные в этой главе новые вариационные волновые функции дают достаточно хорошие оценки энергии основного состояния двумерной анти-ферромагпитной модели Гейзенберга, которые позволяют надеяться, что эти вариационные функции окажутся полезными при изучении более сложных фрустрированных спиновых систем.

Глава 3. Двумерная фрустрированная модель Гейзенберга.

Изучению фрустрированных спиновых моделей в последнее время уделяется большое внимание. Как показывают многочисленные исследования, в них могут реализоваться состояния с необычными свойствами, включая так называемые несоизмеримые фазы, состояния спиновой жидкости и другие. Большая часть исследований посвящена двумерной фрустрированной J¡ —J2 — J3 модели (11), преимущественно для случая

(10)

Рис. 1: Классическая фазовая диаграмма .!\ — J2 — Jz модели при J\ = —1. Фаза 1 означает ферромагнитное состояние; фаза 2 соответствует несоизмеримой спиральной фазе с импульсом (±Q,±Q) и eos Q = — ; фаза 3 также несоизмеримая спиральная фаза с импульсом (О, ±Q), (iQ, 0), где eos Q = ^¡jf1; фаза 4 состоит из двух независимых неелевских подрешеток. Жирная линия показывает границу устойчивости ферромагнитного состояния в классическом приближении, жирная+тонкая -в методе lióte-ПВФ.

•А, Л,-Ai > 0:

а = ./, E(SiSi+, - j) + y3£(S,S 1+d - J) + J3DS'S«+»- - j) <u> i.jk l,d i,*

где i = (i,, iy), а соединяет соседние узлы и d - соседей по диагонали. Вместе с тем, существенно менее изучен случай J\ < 0, J2, Ja > 0. Классическая фазовая диаграмма для этого случая при Т = 0 показана на рис.1. Естественно, что квантовые флуктуации могут не только изменить свойства классических фазовых состояний, но и сместить сами границы между различными фазами. Определению границы устойчивости ферромагнитной фазы и изучению характера фазового перехода J\ — ./2 — J3 модели и посвящена данная глава.

Для разрешения этих задач построена специальная теория возмущений, которая позволяет находить квантовые поправки к классической энергии вблизи фазовой границы. líe построение иллюстрируется на примере одномерной спиновой модели, которая является одномерным аналогом -A — Ji — ./3 модели:

Я = - £(S„Sn+1 - I) + S„Sn+2 - j) (12)

n " n ^

и описывает ферромагнитное взаимодействие ближайших и антиферромагни гное (J > 0) взаимодействие следующих за ближайшими спинов.

Основное состояние гамильтониана (12) является ферромагнитным при J < i. П классическом приближении при J > \ реализуется спиральное состояние с. периодом ~ 7-'/2 (7 = J — i). Спиновые корреляции при 7 <К 1 спадают очень медленно г"1) и поэтому естественно пользоваться в этой ситуации спин-волновым приближением. Ото приближение позволяет построить регулярное разложение но степеням малого параметра 7.

Повернем систему координат на каждом центре и на угол ipn в XZ плоскости, где f - утл поворота спирали в классическом приближении (cos<¿> -- -'j). 11 результате гамильтониан (12) примет вид:

Н = Я0 + V

N N1 I

Но = - сояуз) - -^(1 - cos2ip) - cos^(íníí+, - 4)

+J cos 2ip ВС?;« - J) - + <*» v) £(£C+1 + CC+,)

+ ^(1 + COs2v)Yi(tiC+2 + C&2) (13)

1/ = i(l - CO., V) + CC+i) - - eos 2v) E(£í fí« + CC+í)

тде í„ - новые операторы спина 1/2.

Волновая функция основного состояния Фа гамильтониана //о соответствует ферромагнитной конфигурации. Основываясь на функции Ф0 и рассматривая опера тор V как возмущение при tp 1 (7 1), можно производить последовательное разложение по параметру 7. 13 результате вычислений оказывается, что квантовая поправка второго порядка по V совпадает с классической энергией и суммарная энергия Е = 2Е0 = —4Аг72. Вычисления более высоких порядков теории возмущений показывают, что следующая поправка пропорциональна 72 и спектр возбуждений бесщелевой.

Исследование, состояний г. полным спином .9^0 проводи тся с помощью дополнительного поворота системы координат в YZ плоскости и аналогичной теории возмущений. Соответствующие вычисления показывают, что зависимость E(S) монотонно растет и, следовательно, переход происходит из состояния г, .9 = ,S'max в состояние с & = 0, минуя состояния с промежуточным спином. Точная диагонализация конечных цепочек также подтверждает этот вывод.

Нос/ роение подобной теории возмущений для двумерной модели (11) производится аналогичным образом. Вычисления, проведенные вблизи классической границы .устойчивости ферромагнитного состояния 2Jj + 4./3 = 1 (рис.1), показали, что построенная теория возмущений оказывается применимой до точки Ji ss 0.35. При J¡ < 0.36 ситуация полностью подобна одномерному случаю, однако при приближении к точке J¡ ез 0.30 второй порядок теории возмущений расходится. Летально исследован фазовый переход вдоль линии .Уз = 0, на которой гамильтониан J\ — ./2 — ■/> модели можно записать в виде:

//= - £(s„ • s„+. - j) + j ■ £(s„ • s„+<1 - i) (ii)

".a 1 n,cl 4

Крит ические значения обменного интеграла ./, при которых ферромагнитное состояние неустойчиво по отношению к рождению одного и двух магнопов в этой модели, равны Je(S1) = 1/2 и JC(S„i«« —2) = 0.408 соответственно. И этом отношении си |уация существенно отличается от 1D случая или от 21) случая при < 0.3G, когда критическая точка ./<• не зависит от числа рожденных магноноь и совпадает с классическим значением. Естественно ожидать, что критические значения подчиняются закону .lc(S) < ,/с(,9 + 1) и критическое значение ,7С(0), соответствующее состоянию с S — 0, является настоящей точкой фазового перехода в модели (14). Для изучения характ ера фазового перехода и для оценки Jc использовался метод бозе-ВВФ.

В классическом приближенипи при J > \ реализуется двух-подрешеточное неолев-ское основное состояние с энергией Е = —{J — j), причем это состояние бесконечно вырождено но углу ip между полрешеткамн. Спиральные состояния (фазы 3 и 4 на рис.1) при ./ > i имеют более высокую энергию Е ~ -(J - Энергии других фаз лежат значительно выше. Поэтому, естественно рассматривать двух-подрешеточное

0.35 0.40 0.45 0 50 0 55 0.60 0.65 J <

0.00

-0.05

-0.10

*0.15

-0.20

-0.25

-0.30

Е

1'пс. 2: Энергии коллинеарной (I) и спиральной (2) фаз. Кривая (I!) соответствует чнергии коллинеарной фазы в спин-волновом приближении

пстлсвское и спиральное состояния в качестве главных кандидатов на основное состояние при ./ > ./..

Энергия двух-подреше точного пеелевского состояния, вычисленная с использованием метода бозе-ВВФ, зависит от девяти вариационных параметров и угла между подрешртками 1р. После минимизации по вариационным параметрам оказалось, что минимум энергии достигается при ¡р — 0. Соответствующее состояние о тносит ся к так называемой коллинеарной сипглетной фазе. Оценка точки перехода дает значение обменного интеграла .7С = 0.405, что меньше величины Jc(Smлx — 2).

Вычисления энергии спиральной фазы по бозе-ВВФ приводят к заключению, что квантовые флуктуации не смещают точку перехода и изменяют только коэффициент при квадратичной зависимости энергии Е ~ — (Л — Следовательно, синглотная коллипеарпая фаза является основным состоянием модели (14) при ./ > ,1Г. Зависимости энергий коллинеарного и спирального состояния показаны на рис.2. Для сравнения на рис.2 также показаны результаты спин-волнового приближения (ЛТОН). Энергия ЛТОВ не является вариационной и определена только до .1 = 0.52, тле подре-шеточная намагниченность в спии-волновом приближении исчезает.

Таким образом, исследованы свойства перехода из ферромагнитного в синглет-ное состояние в 21) фрустрированной J^ — J■¡ — Jз модели (И). Было выяснено, что в этой модели имеются две фазовые, области с. существенно различным характером

перехода. Н первом случае квантовые флуктуации не меняют классической фазовой границы и для исследования области вблизи границы была построена специальная теория возмущений. Вторая область перехода характеризуется сильными квантовыми флуктуациями, которые смещают классическую фазовую границу. Для изучения поведения системы в этой области использовался новый вариационный метол бозе-НПФ.

Глава 4. Точно решаемые квантовые спиновые модели.

Поскольку исследование фрустрированных спиновых систем является чрезвычайно сложной проблемой, особую ценность представляют точно решаемые модели, которые во многих случаях являются отправными точками для последующих исследований. II настоящее время известно лишь несколько точно решаемых фрустрированных снишшых моделей. Наиболее известными являются модель Маюмдара-Гоша и сравнительно недавно открытая Аффлеком, Кеннеди, Либом и Тасаки так называемая АКЛТ модель. Данная глава посвящена конструированию новых спиновых моделей, допускающих точное решение.

Н первом разделе этой главы исследуется одномерная цепочка спинов я = | в точке фазового перехода из ферромагнитного в синглетное состояние, описываемая гамильтонианом, зависящем от одного параметра V (м > 0):

А М I М 1 V - 1 " 1

//= "Е^,-^ - т) - (•> - ОВад». - 7) + -—В^« - т) (15)

1=1 4 .=1 4 1=1 4

с периодическими граничными условиями и четным числом спинов N = 2М.

Как показано нами, точная волновая функция основного состояния гамильтониана (I.1)) имеет вид:

Ф0(А/) = Д)Фм, (10)

Фм = + + + +

где .ч,+ - повышающий оператор спина = вакуумом | 1,2,.../V) является состояние со всеми спинами направленными вниз и Г0 - проектор на синглет. Функция Ф д)

содержи!' компоненты всех возможных величин полного спина 5 (0 < Я < М) и относительная доля синглетной компоненты экспоненциально мала при больших N. Эта компонента выделяется оператором Рц.

Доказательство того, что функция Ф0(Л/) описывает основное состояние системы (15), проводится следующим образом. Гамильтониан (15) может быть представлен в виде суммы неотрицательно определенных локальных гамильтонианов //^действующих на ячейках, содержащих по три соседних спина

л м

//=£(//*-, + //«), (17)

1=1

где

11-2,-1 = — — , - -)---—(52,8^+1 - -) + (82,-1 —

II-а = — Й2д+.2 — -)---—(Э^З^-ц - -) + 21/ _

Нет рудно убеди ться в том, ч то действие каждого локального гамильтониана //„ на функцию Ф(,(Л/) дает нуль. Л это означает, что Фо(Л/) является точной синглетной волновой функцией основного состояния гамильтониана (15) с нулевой энергией для любого Л/, поскольку II есть сумма неотрицательно определенных операторов (17). Ферромагнитное состояние, коиечно, также имеет нулевую энергию.

Для гамильтониана (15) можно доказать, что основное состояние в секторе ,4 = О невырождено, а энергии основного состояния для 0 < $ < М положительны.

Вычисления нормы волновой функции и спиновых корреляторов в основном состоянии производятся с помощью специально разработанной рекуррентной процедуры, которая позволяет свести вычисление спиновой корреляционной функции Л (1, п) = (в^,,) к решению рекуррентных уравнений, которые молено использовать для численных расчетов на конечных системах. Однако, при больших Л/ рекуррентные уравнения сводятся к дифференциальным, и в этом случае выражения для корреляционной функции удается получить в аналитическом виде:

ЛГ(1,20 = |ЯоЯ(2эг(^~ - Ау), Л'(1,2/+1) Лсо3^ (18)

Последние выражения означают, что сиш летное основное состояние гамильтониана (15) в термодинамическом пределе имеет дальний порядок в виде двойной спирали. Период каждой спирали равен длине цепочки и угол между спиралями равен

K(1,n)

0.3

-0.1

-0.2

00

02

0 1

' n/N

-0.3

0.0 0.2 0.4 0.6 0 8 1.0

l'iic. Л: Спиновая корреляционная функция 1\( 1,п) для N = 21 (треугольники) и N = 100 (кружки) при v — 0.4. Пустые (заполненные) треугольники и кружки соответствуют четным (нечетным) п.

)

Д^ = Щ'^г- Ненулевой угол между спиралями отражает тот факт, что элементарная ячейка содержит два центра при и / 2. Па рис.3 приведен пример зависимости корреляционной функции от расстояния для и — 0.4.

Интересно отметить, ч то кван товое основное состояние в термодинамическом пределе подобно классическому, хотя для конечных систем квантовые флуктуации существенно меняют свойства основного состояния (рис.3).

I? модели (15) имеется ряд особых точек v = ^ (т = 1,2,...), при которых уравнения (18) не верны. При v = | функция (16) сводится к произведению независимых гинглетов. Анализ полученных рекуррентных уравнений при v = (m > 3) показывает, что в этих случаях корреляции в основном состоянии модели (15) имеют антиферромагнитный характер и экспоненциально падают с. расстоянием:

Переход между спиральным состоянием при ^ < (/ < и антиферромагнитпым при и = ^ происходит в экспоненциально малой при N 3> 1 окрестности особых точек.

(19)

и корреляционная длина равна

Но второй части главы построен класс моделей со спином 1/2, для которых точная спнглетпая волновая функция основного состояния представлена в гпинорной форме. Н одномерном случае модель описывает цепочку /V = 2М спинов 1/2, которая рачби-нагтгя на пары соседних спинов. Каждая пара спинов 1/2 описывается спинором 2-го ранга ФА", и волновая функция всей системы имеет вид произведения М спиноров 2-го ранга:

ф = Фл"(1> - ^""(г) -... - (20)

Точная синглетпая волновая функция основного состояния одномерной модели является скаляром, полученным упрощением (20):

Фа = ФА"(1)-5г„„.Г",(2)-£;(,«-...-Ч''7Г(АО-.'7гл, (21)

где (/л,, - метрический спинор

•,/А"=(-1 о)

Спинор 2-IX) ранга, описывающий пару снинов 1/2, можно представить в виде

фл" = + с.Ф*", (22)

где ФА" и ФА|' - симметричный и антисимметричный спиноры 2-го ранга соответственно, а С( и с, - произвольные константы. Отношение констант о и с, определяет соотношение весов тринлетной и синглетной компонент на паре спинов л = 1/2, и является параметром модели.

Гамильтониан этой модели представляется в виде суммы локальных гамильтонианов соседних пар спинов:

м

//=£//;,.+ , (2:)) 1=1

Н волновой функции (21) соответствующий двум парам спинов множитель является спинором 2-го ранга:

^(О-Л. •*■"(•■+1) (24)

Следовательно, в общем случае в волновой функции (24) из шести мультиплгтон, которые образуют две пары спинов 1/2, присутствуют только два - один с.инглет и

один триплет, примем их конкретный вид зависит от параметра модели с,/с(. Погрому, гели соответствующий локальный гамильтониан записать в виде суммы проекторов / 1 на отсутствующие четыре мультиплета с произвольными положительными коэффициентами А|, А2, Аз, А4:

//.-,41 = ¿А и>Г+\ ' (25)

(=1

то волновая функция (21) будет являться точной волновой функцией основного состояния локального гамильтониана //,,,+1 с. пулевой энергией, а А^А-^Аз, А4 - энергиями возбуждений соответствующих мультнплетов.

Поскольку каждый член //,_,■+] в (23), действуя на Ф, дает нуль, то и Н |Ф.) = 0. Таким образом, Ф, является точной волновой функцией основного состояния гамильтониана //, так как полный гамильтониан Н является суммой неотрицательно определенных локальных гамильтонианов и имеет нулевую энергию. Кроме того, можно строго доказать невырожденность основного состояния гамильтониана Н. Каждый локальный гамильтониан //¡,¡+1 может быть представлен в виде:

= 81 + вз84) +7,:,(3,5з + 5а84) + 7н8,84+ ./238283

+7,(8152)(8з84) + ^Э^з)^) + Л^^НвА) + С, (26)

где все обменные интегралы зависят от параметра модели и спектра возбужденных состояний ./, — Л(с,/С(, А], А2, Аз, А4). В общем случае гамильтониан (2С) содержит как билинейные, так и четырехспиновые взаимодействия. Последние можно исключить, если положить Jt = 72 = ,/з = 0 и разрешить эти уравнения относи тельно А,, А2, Ад, А4. Отличные от нуля обменные интегралы и константа (1 зависят только от параметра с,/с(. Эти величины удобно выразить через параметр

/' = Щг, (/< > 0)

(27)

, _ (2„-1НЗ-„)(,,-|)г , _ (2„-|)»(„-1) с _

■/13 - > - з(/.+ 1)2 > 1/ -

В действительности, эта модель эквивалентна лестничной системе спинов 1/2 с разными взаимодействиями, как показано на рис.4.

2 3 6 7

1

5

8

Рис. 4: ('липовая лестничная система, представленная в модели 27. Разные тины линий соответствую! различным взаимодействиям.

Интересно отмстить, что точную синглетную волновую функцию (21) можно представить в виде, подобном (16):

Ф„(М) = 1'а*м,

х(*Ь-1 + П'Ъ) |1,2,...Л0

= ^т " ^ = йт;-

Вычисление спиновых корреляционных функций в основном состоянии для M оо и / « Л/ приводит к следующим результатам

4 Ш]

А'(1,2/ + 2) = ' '' v"f' '' (—)

OllWj \tJi )

Л'( 1,2/ -f 1 ) =

3(/« + J)J /ы,

2оч

(28)

ш, = G(/.2 - /1 + 1 ), = 2(/< - 2)(2/i - I )

Корреляторы спадают экспоненциально с корреляционной длиной rc ~ 1:

'с(/0 = 21п~

W3(/i)

Подчеркнем, что спиновые корреляторы не зависят от выбора А), Лг, Ал,

при фиксированном значении параметра са/с(, поскольку волновая функция основного состояния четырехиараметрическото множества гамильтонианов одна и та же.

Гамильтониан (27) для циклической цепочки имеет синглет-триплетную щель Д(/<), для оценки которой использовалась пробная функция триплетноп» состояния. Полученная зависимость Д(/() хорошо согласуется с результатами экстраполяции ючных вычислений конечных цепочек.

Полковая функция (21) может быть обобщена на любые типы решеток. Общин принцип построения волновой функции для системы спинов 1 /2 состоит в следующем:

1) каждой связи на данной решетке ставится в соответствие два индекса, пробегающих значения 1 и 2, по одному на каждый конец связи;

2) каждой связи ставится в соответствие метрический спинор с индексами концов этой связи;

3) каждому узлу решетки из которого исходят т связей ставится в соответствие спинор ш-го ранга, с индексами прилегающих к узлу концов связей;

-1) волновая функция есть произведение всех спиноров в узлах решетки и всех метрических спиноров.

Очевидно, что каждый индекс в построенной волновой функции будет встречаться дважды, поэтому волновая функция является скалярной и, следовательно, синглетной.

Пост роенная таким образом волновая функция описывает систему, в которой каждый узел решетки содержит спины я = 1/2 в количестве, равном количест ву исходящих из узла связей. Лля полного определения волновой функции необходимо определить конкретный вид всех узельных спиноров. При этом коэффициенты, которые будут определять их вид, будут являться параметрами модели.

Гамильтониан такой модели является суммой локальных гамильтонианов, которые действуют в спиновом пространстве подсистемы, образованной спинами на двух связанных между собой узлах:

II = £ ОИ»)

<0>

Каждый локальный гамильтониан представляет собой сумму проекторов с произвольными положительными коэффициентами на все возможные в соответствующей двухузельной подсистеме мультиплеты, кроме тех, которые присутствуют в построенной волновой функции:

= £ мг (30)

*

Тогда //,, |Ф3) = 0 и, следовательно, II |Ф,) = 0.

Таким образом - есть точная синглетная волновая функция основного состояния гамильтониана (29).

Заметим, что любые два узла решетки могут быть связаны двумя, тремя и более связями, поскольку это не противоречит принципу построения волновой функции. Кроме того, общий принцип построения волновой функции верен не только для транс-ляциопно симметричных решеток, но и вообще для любого графа. П качестве примера рассмотрим систему, показанную на рис.5. Волновая функция такой системы имеет вид

Ф, = ФА'(1) • Ф^""^) • • Ч"'ЗТ2(4) • дъъймЯюЗршипгг С-з 1)

и описывает систему; содержащую 10 спинов 1/2.

В случае, если рассматриваемая решетка имеет свободные концы связен, (что имеет место для систем с открытыми граничными условиями), то построенная таким образом волновая функция будет представлять собой спинор, ранг которого равен количеству свободных концов. Следовательно, основное состояние такой системы будет' 2'-кратно вырождено (I - количество свободных концов). Для открытой одномерной цепочки, например, основному состоянию соответствуют четыре функции - синглет и три компоненты триплета. Для решеток большей размерности это вырождение зависит от размера решетки и экспоненциально растет с увеличением ее границ.

В третьем разделе данной главы подробно исследована двумерная модель данно-1о типа. В общем случае, она зависит от 14 параметров и ее гамильтониан представляется в виде суммы гамильтонианов соседних четверок спинов. Поскольку в

точной волновой функции присутствуют 20 из 70 мультиплетов двух соседних четверок, локальные гамильтонианы являются суммами проекторов с положительными коэффициентами на оставшиеся 50 мультиплетов. Детально исследован частный од-попараметрический случай этой модели, для которого проведены численные расчеты Монте-Карло спиновых корреляционных функции в основном состоянии. При всех значениях параметра спиновые корреляторы падают экспоненциально с расстоянием, хотя корреляторы ближайших спинов сложным образом зависят от параметра модели. Ксть основания ожидать, что и в общей 14-иараметрической модели спиновые корреляции падают экспоненциально.

Таким образом, в этой главе были построены и исследованы новые типы точно решаемых спиновых моделей. Гамильтонианы этих моделей представляют собой сумму локальных, некоммутирующих между собой гамильтонианов. Волновая функция основного состояния полного гамильтониана при этом является волновой функцией основного состояния каждого локального гамильтониана.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Предложено два новых типа вариационных волновых функций для исследования двумерной антиферромагнитной модели Гейзенберга, которые позволили получить достаточно точные оценки энергии основного состояния и намагниченности подреше-ток.

2. Построена фазовая диаграмма и определен характер фазового перехода в фрустрированной спиновой модели на двумерной квадратной решетке с. ферромагнитным взаимодействием ближайших соседей и антиферромагнитным взаимодействием соседей, следующих за ближайшими — — Jъ модель).

.'(. Построена точно решаемая модель, которая описывает фрустрированную цепочку спинов 5 = 1/2 в точке фазового перехода из ферромагнитного в синглотное состояние. Синглетное основное состояние имеет дальний порядок в виде двойной спирали с малым углом между ними и периодом равным длине цепочки.

4. Построена точно решаемая модель, которая описывает лестничную систему спинов = 1/2 с конкурирующими взаимодействиями. Эта модель зависит от одного параметра и имеет невырожденное синглетное основное состояние. 11 системе имеется щель в спектре возбуждений и экспоненциальное падение корреляторов с корреляционной длиной гс ~ 1.

5. Построен новый класс точно решаемых двумерных моделей со спином 1/2. Основное состояние этих моделей всегда является невырожденным синглетом, а точная волновая функция основного состояния представлена в спинорной форме. Проведены расчеты методом Монте-Карло, которые показали экспоненциальное падение спиновых корреляционных функций в основном состоянии. Произведено обобщение модели па другие тины решеток.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Д.В.Дмитрнев, В.Я.Кривнов, В.Н.Лихачев, А.Л.Овчинников, "Вариационная функция с вихрями для двумерной антиферромагнитной модели ГелЪенберга", Физика Твердого Тела, том 38 (1996) 397-400.

2. D.V.Dmitriev, V.Ya.Krivnov, A.A.Ovcliinnikov, "The transition from the ferromagnetic to the spiral ground state in frustrated models", Physics Letters A 207 (1995) 3X5-389.

3. A.A.Ovcliinnikov, V.Ya.Krivnov, I).V.Dmitiiev, "The ferromagnet-antiferromagnet transition in frustrated quantum spin models", Synthetic Metals 85 (1997) 1757-1700.

4. D.V.Dmitriev, V.Ya.Krivnov, A.A.Ovcliinnikov, "'J'wo-dimensional frustrated lleisen-berg model: Variational study", Physical Review B55 (1997) 3620-3626.

5. D.V.Dmitriev, V.Ya;Krivnov, A.A.Ovcliinnikov, "Exactly solvable ID frustrated quantum spin models", Z.Pliys. B103 (1997) 193-197.

G. D.V.Dmitriev, V.Ya.Krivnov, A.A.Ovcliinnikov, "Exact ground states for a elass of one-dimensional frustrated quantum spin models", Physical Review И56 (1997) 5985-5995.

7. Д.В.Дмитриев, В.Я.Кривнов, А.А.Овчинников, "Точно решаемые двумерные к вахтовые спиновые модели", ЖЭТФ (принято к печати).