Квадратичные условия понтрягинского минимума для особых экстремалей в задачах оптимального управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГб ол

- ; ■ ■ ' САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.97

ДМИТРУК Андрей Венедиктович

КВАДРАТИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ПОНТРЯГИНСКОГО МИНИМУМА ДЛЯ ОСОБЫХ ЭКСТРЕМАЛЕЙ В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

01.01.j2 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физике -математических наук

1

Санкт-Петербург - 1993

Работа выполнена в отделении теоретической экономики и математических исследований Центрального экономико-математического института Российской Академии наук.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В. Г. Болтянский

доктор физико-математических наук, профессор Н. Н. Петров

доктор физико-математических наук, профессор В. М. Тихомиров

Ведущая организация: Институт проблем управления РАН

Защита состоится 1994 г. в ^Рчас.

мин. на заседании Ьпециализированного Совета Д 063.57.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, г. Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь, д. 2, математико-меха-нический факультет, зал Ученого Совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан " ; зкабря 1993 г

эи

Ученый секретарь специализированного Совета Д 063.57.30

старший научный сотрудник В.Л.Сувков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Настоящая работа посвящена получению необходимых и достаточных условий "второго порядка" для локального минимума в задаче оптимального управления, линейной по управлений, при наличии ограничений на управление, в случае, когда исследуемый, режим - полностью особый ("totally singular"). Выбор линейной по управлению задачи объясняется тем, что это наиболее характерный класс задач, в которых имеются особые экстремали. В частности, если поточечные ограничения на управление отсутствуют, то любая экстремаль является особой.

Интерес к особым ретшаа возник еще в начале 1960-х годов, главным образом в связи с началои интенсивного применения недавно доказанного принципа максимума Почгряпша к исследованию задач оптимального управления космическими и другими летательными аппаратами; затеи они стали.самостоятельным предметом чисто математического изучения. Было замечено, что экстремали в этих задачах, т.е.'траектории, удовлетворяющие принципу максимума, весьма часто содержат особые участп.Ср жида), и что такие траектории вполне могут не быть оптимальными. Поэтому возникла идея об исследован'"! особых экстремалей с помочь» условий высших порядков. За прошедшие с тех пор 30 лет в этом направлении было сделано очень много работ (как в нашей стране, так и за рубином). Это работы Г.Келли, Р.Коппа, Г.Мойера* А.Врайсойа, Г.Роббинса, Б.С.Гоха, Й.Б.Вапняр-ского, Д.Белла, Дж.Мавдакелла и Ь.Пауэреа, Дж,Спейера и Д.Джекоб-сона, Р.Габасова и Ф.И.Кирилловой, В.А.Срочко, В.В.Гороховика, В.И.Гурмана, В.А.Дихты, И.Т.Скородинского, Г.Кноблоха, А.Кренера, А.А.Аграчева и Р.В.Гаинрелвдзе, А.А.Мичюти-а, М.И.Зелнкина, »•.Ламнабхи и S.Стефани и многи других.

Однако., несмотря на такое обилие публикаций, теорию условий высших порядков для особых экстремалей до настоящего времени

нельзя было считать сколько-нибудь близкой к завершению. Причин этому несколько. Первая состоит в том, что подавляющее число работ посвящено получению лишь необходимых условий, причем условий поточечных, типа классического условия Лежавдра. Было получено очень много таких условий, но вопрос о том, насколько полна полученная система необходимых условий (и что считать полной системой) оставался открытым. С другой стороны, работ по достаточным условиям очень мало, причем-полученные условия (если не считать работ А.А.Милютина и автора) весьма далеки от необходимых как по форме, так и по предположениям и по методам их получения. Вопрос о получении полной системы квадратичных необходимых и примыкающих к ним квадратичных достаточных условий не поддавался решению стандартными общепринятыми методами.

Для систем, нелинейных по управлению, при отсутствии ограничений на управление, этот вопрос был разрешен в классическом вариационном исчислении (КВИ), а при наличии таких ограничений -в недавних работах Н.П.Осмоловского (см. [71)'. В обоих случаях существенную роль играет сильное условие Лежандра, т.е. отрицательная определенность матрицы вторых производных функции Понтря-гина по управлению. Однако для линейных по управлению сис-

тем это условие не выполняется по определению, поэтому, классические достаточные условия (в том числе условие Якоби) в принципе не могут быть применимы.

Вторая причина состоит в том, что практически во всех работах (кроме работы [6]) изучался лишь слабый минимум, и не учитывался вклад так называемых игольчатых вариаций. Как известно, в услови- = ях первого порядка именно использование Игольчатых вариаций поз- . волило Л.С.Понтрягину перейти от уравнения Эйлера к существенно более сильному необходимому условиь - принципу максимума (поэтому минигум в классе вариаций, включающем в себя как слабые, так й / игольчатые вариации . называется дантрягинским). Однако в задачах, линейных по управлению, принцип максимума и уравнение Эйлера эквивалентны, т.е. в условиях первого парядка игольчатые вариации

не дают никакой дополнительной информации по сравнению со слабыми вариациями. Квадратичные условия слабого минимума для особых экстремалей, как необходимые, так и близкие к ним достаточные были недавно получены в работах А.А.Милютина и автора. Поэтому далее естественно возник вопрос: произойдет ли какое-либо усиление этих условий, если ввести в рассмотрение также и игольчатые вариации? Ответа на него в литературе не бало.

, Третья причина состоит в том, что в работах по условиям высших порядков для особых режимов ограничения на управление фактически не рассматривались, т.е. специфика оптимального управления, по существу, отсутствовала.

Все вышесказанное, учитывая также неослабевающий интерес к данной ббласти, позволяет сделать вывод об актуальности настоящей работы.

Цель работы состояла в той, чтобы для особых экстремалей в общей задаче оптимального управления, линейной по управлению, при наличии ограничений на управление, получить как необходимые, так и достаточные условия пекоторого квадратичного порядка для понт-рягинского минимума, аналогичные условиям анализа и КВИ в том см: .еле , чтобы необходимые условия тесно примыкали к достаточным (отличались бы от них лишь усилением неравенства).

Порядок минимума рассматривался тот ке самый, который был найден ранее при получении условий слабого минимума (51. Вопрос стоял так: будут ли усилены условия, слабогс минимума, если перейти к более широкому классу вариации, включающему, в частности, т.н. игольчатые вариации. *

При этом мы не допускали никаких аг^иорных предположений на характер взаимодействия различных ограничений задачи на данной траектории, в частности, на множества нормированных наборов мно-' -кителей Лаграняа. С .о, вообще говоря, может состоять более чем из одного набора (а исключать такой сл./чай нельзя даже в конечномер-■ ' ной задаче с ограничениями), и это ивляется причиной серьезных

трудностей при исследовании. Были сделаны лишь некоторые предположения о характере контакта исследуемого управления с границей допустимого множества управлений, носящие технический характер.

В так называемой анормальном случае, когда ограничения равенства задачи на данной траектории совместно вырождены, целью исследования было получить информативные необходимые условия понтрягинского минимума того же квадратичного порядка (как известно еще из КВИ, необходимые условия, полученные для общего случая, в анормальном случае неинформативны).

Метод исследования основан на абстрактной теории условий высших порядков, построенной в работах Е.С.Левитина, А.А.Милютина, Н.П.Осмоловского [1, 2}. Эта теория позволяет для данной траектории , данного типа минимума и данного порядка минимума определить некоторую константу, знак которой указывает на наличие или отсутствие минимума. Определение этой константы на абстрактном уровне носит весьма сложный характер. Дальнейшая работа заключалась в том, чтобы максимально упростить выражение для зтой константы, так сказать, "расшифровать" его применительно к рассматри-г ваемому конкретному классу задач.

Метод такой расшифровки состоял в том, что в классе всех последовательностей понтрягинских вариаций рассматривались два,его основных подкласса - равномерно малых последовательностей и последовательностей "циклов" (т.е. вариаций, фазовая компонента, которых имеет вид цикла на малом отрезке времени). Было показано, что сумма таких последовательностей есть понтрягинская последовательность, обладающая нужными свойствами, и, с другой стороны, что-любая понтрягинская последовательность представима в виде суммы "почти" равномерно малой послеДовате. ьности и последовательности циклов. Кроме того, был выделен специальный класс понтрягинских последовательностей (названных лежандровымй последовательностями), который систематически использовался в процессе расшифровки. Именно этот класс позволил получить нужную информацию о/козффици-

- 7 -

ентах функции Лагранжа на исследуемой траектории.

В случае, когда ограничения равенства задачи совместно вырождена, использовался метод замены (ослабления) части этих равенств на некоторые неравенства, так что остающиеся ограничения равенства уже невырогвдены. Этот метод был впервые предложен А.А.Милютиным [3].

Научная новизна. Все основные результаты диссертации, а также способ юс получения являются новыми. Основные отличия результатов данной работа от ранее известных состоят в следующем:

а) Наиболее общая постановка задачи: допускаются .концевые неравенства (причем, как и равенства и функционал - зависящие от обоих концов траектории), а также ограничения на управление, при этом исследуемое управление может выходить на их границы.

б) Наименьшие предположения. В частности, мы не делаем никаких предположений о множестве наборов множителей Лагранжа, и предположений типа условия Фробевдг/са.

в) Рассматривается но только слабый {5], но и понтрягинский минимум,- (работа {5} входила в кандодатскую диссертаций автора.)

■ г) Для понтрягинского минимума получены не только необходимые условия (в той часл- ног де условия поточечного типа), но и тесно примыкающие к ним достаточные условия некоторого квадратичного порядка.

Особо следует отметить новое условие типа Леиандра, входящее как в необходимые, гак и в достаточны*, условия, формулирующееся с учетом не только второй, 'но и третьей вариации функции Лагранжа, а также с учетом множества допустимых управлений. Неполный вид этого условия для некоторого частного случая был получен также в ' работе [6], но в ней не была указана ни полная форма этого условия, ни его связь с достаточными условиями даже для рассмотренной частной постановки задачи.

д)-Для анормального случая получены информативные необходимые условия понтрягинского минимума выбранного квадратичного "орядка,

- а -

которые усиливают полученные А.А.Милютиным условия слабого минимума . {3 ].

Практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы при исследовании на минимум особых экстремалей в различных задачах оптимального управлению. Наиболее полные результаты получены для случаев, когда множество допустимых управлений представляет собой либо полосу коразмерности 1 в пространстве любой размерности, либо произвольный эллипс на плоскости. В этих случаях для проверки нового условия Лежандра (отличающего понтрягинский минимум от слабого) даются точные аналитические формулы.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции "Теория, мэтода и практика системных исследований" (Москва, 1984), на V Всесоюзной конференции по управлении в механических системах (Казань, 1985), на X Всесоюзном совещании по проблемам управления (Алма-Ата, 1986), на Всесоюзном семинаре "Динамика нелинейных процессов управления" (Таллин, 1987), на Всесоюзной летней школе по теории устойчивости и функциям Ляпунова (Иркутск, 1988), на Мездународных семинарах "Геометрические методы в нелинейных системах управления" (Шопрон, Венгрия; 1991) . и "Приложение оптимизации к задачам управлении" (Мюнхен, 1992), на 15-й Конференции ИФЙП по системному моделированию и о'птшшза-щи (Цюрих, 1991), на IV Понтрягинских чтениях "Современные методы в теории краевых задач" (Вороне®, 1993), на 2-й Европейской конференции по управлению (Гронкнген, Голландия, 1993), а также докладывались и обсуждались на семинарах кафедры общих проблем управления мехмата МГУ, оптимального управления ф-та ВМК МГУ, , теоретической кибернетики ЛГУ, исследования операций СПбУ, дифференциальных уравнений СПбУ, на семинарах во ВНИИ системных исследований, ЦЭМИ,- ВЦ, ИЛУ и ШШех РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах (9 -17]. В статье [8] соискателей предложен один из вариантов обобщения теоремы Л.А.Люстерника о касательном подпространстве, использовавшийся в диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, шести приложений и списка литературы (содержащего 72 наименования) и изложена на 391 стр. машинописного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЙЛГШЕ РАБОТЫ

Во сведении дастся общая характеристика литературы по данной тег.э, отмечаются имеющиеся проболи, излагается цель работы и ее . мотивировка.

3 гласе I дастся постановка задачи ( 1), вводятся необхо-

д«ше обозначения и понятия ( £ 2), излагаются формулировки основ, р "

кох розульгатоз I .уХ>3, 4), ппнвэяя'ся ряд примеров ш: применения ( 5), к провозит:л сравш шз получеплих результатов с ранее известные ( ^6)

В ¿> 1 -тлн!'тся следующая задача оптимального управления 'зэдачл -»). т'гслелозапли тотзрей я поспя-лзна вся диссертация:

-- ° / = <1 •£,/» -...I / " " / (2)

// С г) \ = <0 - " \.г/ 7 (3)

X — Ч- <Г се) } (4)

^ £ (5)

где р , Х^) , , , отрез-к

времени ^ро) "^iTj фиксирован, X - абсолютно непрерывная,

IXs - измеримая ограниченная функция размерностей соответственно Ш и Щ . (Размерность любого вектора 2 обозначается через ). Через W обозначается пространство всех пар

функций W*=(k,U} с нормой ¡[urjj = |V0|+|xi|£ +

Задача к охватывает очень широкий класс постановок. В частности, задачи с интегральным функционалом и интегральными концевыми ограничениями, задачи на быстродействие (если р гладкие по ~fc ) сводятся к (1)-(5) стандартным введением дополнительных фазовых переменных.

Предположения. П1) «J*7 > К двавды дифференцируемые функции конечномерного аргумента р , их вторые производные ограничены на любом ограниченном множестве.

П2) Функции , f~~ равномерно по из любого ог-

раниченного множества дважды дифференцируемы по X

ПЗ) Функции if^xf ^ j -^ХХ измеримы по "t , и на любом ограниченном множестве X-ft липыицевы по X (с общей для всех -Ь константой). у П4) Функции Fj Fx

, Fxx липшицевы по X?f\ П5) Множество выпукло, измеримо зависит от ~Ь и

равномерно телесно.

Эти предположения касаются лишь класса функций, участвующих в формулировке задачи. Кроме них делаются еще несколько предположений, касающихся свойств множества ХУпо отношению к исследуемому управлению Ю £fc) , а именно, предположений о непрерывности и многогранности. TT&z) , об особости U. fä) по отношению к ХУ(Ь) , и о "хороших" контактах

с границей

Итак, пусть - исследуемая пара. Относительно

гзе принимаются следующие предположения: U1) Ограничение (5) разбивается на два:

(7)

СЧгЧ + Щ&НО, i-1 (6)

LL <£ 2>6У,

где ft^j- - постоянные векторы размерности ^(jX^ ,

(уУ) - измеримые ограниченные скалярные функции, множество удовлетворяет предположению П5 и Ю

проходит строго внутри него.

Определение. Будем говорить, что Цу проходит строго внутри J) (jz^) . если при некотором S- 0 для всех ~Ь В - окрестность точки И? Cty содержится в

Таким образом, мы предполагаем, что там, где выходит

на границу XT'(jb) , это множество локально является многогранником, направляющие гиперплоскости которого постоянны.

U2) Траектория ЦТ" 0 является особой ("totally singular") по отношению ко всему множеству , т.е. для любого набора

множителей Лаграниа' Я- (cL > J> > Ч^) , обеспечивающих выполнение принципа максимума для пара WT° (определение таких Я. дано чуть ниже), фуькцип Понтрягииа Н (j'-^ для всех ~Ъ

постоянна по Ю на всем XX.

Другими слопают, принцип максимума в явном виде ничего не выделяет из множества (Чг) . В Прнлокегаш Л показано, что такое понятие особости совпадает с "абстрактным" определением ^ограничение особое, если в любой наборе множителей Лагршша соответствующий ему множитель равен нулю)

U3) Множество X) {^t)— непрерывно по Хаусдорфу

зависит от и , левые части неравенств (б) при непрерывны.

U4) Для каждого J- множество тех "СГ , для которых

usm

выходит на границу J. -го ограничения (6), состоит из конечного числа отрезков, которые № называем отрезкам! контакта.

Всюду в диссертации считаетеч, что предполоаения П1—П5, U1-U4 выполнены. Однако в некоторых случаях мы принимаем также два до-

полнителышх предположения.

М) Конец одного отрезка контакта ненулевой длины для ограничения ^ не монет быть началом другого отрезка контакта ненулевой длины для какого-либо ограничения 'к

02) Функции , , .на траек-

тории Х°(-Ь) и управление непрерывны.

Предположения П1-П5, 111-114, В1-Б2 - самые слабые из известных, относящихся к задаче А.

В ^ 2 вводятся необходимые обозначения и понятия. Без нарушения общности считаем, что \Л/~ 0 и 28-£ (о) ~О для всех ¿- = 0,1,... т.е. что все индексы активны.

1) Введем мноштели Лаграша _/ —-Лу г/ г/

^ ^ МЛ-у у ~ лишицева функция размерности

набор которых обозначим через % ^ ? ^ ? ^ ) ? и определим функции ' до , £е1 , . . •>

ШО- Ш, НШ^Пг^

2) Обозначим через множество всех Я. , Для которых выполнен принципа максимума для траектории (с учетом ее особости и телесности

ХГ&)

(Здесь и далее производные всех функций по X, /¿/,Р берутся на траектории Ш""'0 . , т.е. в нуле.) Множество есть

коне^гомерный компакт; мы считаем, что он непуст.

^ ' о

Определение. Будем говорить, что в точке 1дГ ограничения

(3), (4) совместно иевырощдены в первом порядке, или удовлетворяют условию Яюстерника, если линейный оператор

(а)

ur i—х-^х- FÁ-ЦО Ti г г jr>d(K) I dOO

отображает VV на все пространство X j_^ .

При выпоянешт условия Люстерника множество .Д. таково, что его выпуклая оболочка СО JL не содержит нуля; в противном те случае она содержит ноль.

3) Для каждого Я- рассмотри« функцию Лаграши

9НМ= р) + jty, *-¿-Fu.)¿t

(бсо интегралы, у которых пределы не указаны, берутся по отрезку L "Ьо ■> J ), и половину ее второго дифференциала по I\Г в иуда при фиксированном Я, :

4) Для каедого множества .¡УЬ ™ определи». функционал

JL И М - И •

Из линейности

JZ. ш

по Л. очевидно вытекает," что здесь . sup можно брать по соМ. .

5) Представим уравнение (4) в гиде

х = AX + Bil -H(ÍE?x7¿t) + (9)

где матрица /I ^ измерима и ограничена,

— ~ липшичспа, тензор fc &?) ~ (PiЛипшицев, и

при некотором 5~>0 7 \/v~y \/'х :

1-LI <

- 14 -

6) Обозначим через конус критических вариаций для задачи без ограничения (5), состоящий из всех 14Г € для которых ^

х — /4х +• Вии.

Через

обозначим лгаейное подпространство в задаваемое уравнением (11).

7) Пусть Х-, и* связаны линейным уравнением (И) с липшице-вой матрицей ■ Имеется удобная замена переменных, которую мы называем преобразованием Гоха: 1 ? ■где ^ г=5 X ~ В £ , а

¿-И.,

Из (11) вытекает, что

= /1| н-В^, где В^АВ-В, (13)

Таким образом, фазовая переменная X заменяется на две: ^ и ^ ,из которых есть просто интеграл от ¿{у , а

в уравнение для 3 управление ¿О не входит. Множество троек функций С. ^ > Й э ) Удовлетворяющих уравнениям (12), (13), обозначается той же буквой

. Далее.везде,

где встречаются одновременно функции с одинаковыми

индексами, подразумевается, что они связаны уравнениями (12), (13).

8) Рассмотрим квадратичную форму О) на подпространстве

л применим к ней преобразование. Гоха. В новых переменных получаем:

+ +

- 15 -

$ [ЛЗ - концевая квадратичная форма, матрица - симметричная измеримая ограниченная, [_Я~2 ~ косо-

симметричная лшшицева. При выполнении 02 матрица (3) Е^П непрерывна, а £Я"Д дифференцируема.

9) Условия Гоха. Для любого множества тМ ^ и любо-

го А. обозначим через ) множество всех Д €

для которых квадратичная форма (14) удовлетворяет следующим двум условиям:

почти всюду. (15)

Эти условия (при А, = 0) были впервые получены в работе Б.С.Гоха [4] в качества необходимых условий слабого минимума для задачи (1, 3, 4) в случае, когда множество ./[_ состоит из одного элемента. (При выполнении (15, а) в квадратичную форму (14) управление Ыу явно не входит, поэтому, учитывая уравнение (13), мояно принять за новое управление, а ^ - за новую фазовую переменную; при этан услопиз (15,3) с = 0 есть не что иное, как обычное необходимое условие Леяандра по новэ!*у управлению Ц. .)

10) Тип тшииуна. Ма рассматриваем минимуа двух типов - сл. Зый и понтрягик'лшп. «"«.шЛ нашшуи, согласно КВИ, есть ышяшум г норме ¡1 У- ¡[^ -Ь ¡¡'1*11 ¿ф , т.е. минимум в классе равномерно чалых вариаций. Понтряг.'гнекнй минимум есть минимум в классе вариаций, включающем в себя не только равномерно малые, но и так называемые игольчатый вариации.

А'0 и

Определение. Будем говорить, что II) ^ (с ■> / есть точка понтрягинского минимума р задаче А, если для любого /[/ существует с. > 0 такое, что V\Г0 является точкой минимума

на множестве

<&, ¡г-Я^»

7

/ ? (16)

Другими словами, \\Г° есть точка понтрягинского минимума в задаче А, если не существует последовательности

гат*',"° IIО, V

выполнены все ограничения (2) - (5), и дня всех IV

ТСр^ХТСП.

Последовательности, удовлетворяющие (17), будем называть понтрягинскюго. Множество, всех понтрягинских последовательностей обозначим через ., а сам понтрягинский минимум будем называть, такте П -минимумом.

11) Порядок минимума. Общепринятый в теории оптимального управление термин "условия второго порядка" ш является вполне точным. Дело в том, что это понятие пришло из конечномерного анализа, где оно имеет однозначный и естественный смысл: надо учитывать .. разложения всех функций с точностью до { ^ . Но в бесконечномерном пространстве положение дел иное: стандартного квадратичного функционала, т.е. функционала второй степени однородности, с точность!) до которого мошо было бы огрублять ситуацию, здесь нет (исключая случай гильбертова пространства, которой не характерен-для задач оптимального управления). Поэтому в каядом исследуемом . случае доляен быть указан конкретный квадратичный (а возможно и иной) функционал, который принимается за порядок сравнения, т.е-, тот порядок малости,, с точностью до которого огрубляется ситуация. Такоо понимание,было предложено л работах Е.С.Левитина, А.А.Милютина, К.П.Осмоловского 11, 2], в которых построена общая теория высших порядков дай локального минимума. В процессе применения этой теории выяснилось, что для каждого класса задач имеется свой, характерный для него порядок, нахождение которого иногда

может быть весьма нетривиальным вопросом. Например, с самого начала ясно, что порядок, используемый в КВИ и в общей (нелинейной по управлению) задаче оптимального управления [7], для задачи А не подходит, т.к. он содершт интеграл от квадрата вариации управления, и поэтому является слишком грубым. Как было ранее установлено автором [5], для задачи А характерным порядком является

функционал. • '

•

где, как и всюду, ^ ? II/ связаны уравнением (12). Таким образом, в ^ непосредственно входят шиь вариации фазовых переменных, но не вариация управления, поэтому дашшп порядок довольно тонкий. С шш связана следующая ванная оценка для уравнения (4).

Лемма 2.1. Пусть пара 1(Г~ у удовлетворяет уравнению

причем || X ((ю ^ у ¡11Ь Ц, С> и (Г" достаточно мало.

Тогда + ^ ¡^(ТИ + ^С),

где А/ А/ у^) не зависит от Х7 ^ •

12) Далее нам потребуется рассматривать трилинейные формы от конечномерных аргументов. . Для них по аналогии с билинейными формами употребляется запись , ,

> у • ¿/ К

Для кавдого А определим на подпространстве

кубический

функционал п Г XI /' у

^ ЕЯ] (х,^)

=Г [- щ*хИ;«>*4+

где №

- тензор из (9). Сделав преобразование Гоха, получаем в переменных ¿О : $ ВД - в£Я3+0

получается из (19)

заменой X на &!£> у тензор ^006-,) липшидев по а в 9 собраны все члены, содержащие ^ . В силу (13) на

любой понтрягинской последовательности

о (Г 6^)),

поэтому существенным здесь является функционал €-00.

13) Введем следующий функционал, который представляет собой функцию Лагранжа на линейной связи (11):

. = ЛШЮ+^Й&■) + дСЯ <2°>

где на любой понтрягинской последовательности ^ О СХ} •

Добавочный кубический член по сравнению с исходной функцией Лагранжа появился из-за перехода от нелинейного уравнения (.4) к его линеаризации (11). Смысл этого функционала объясняйся наличием следующего свойства. ,

Теорема 2.1. Пусть К/^, в (Хи, >

- понтрпгинская последовательность, связанная линейным уравнением ( 11), а ОД^ 5=3

^ - последовательность, связанная исходным нелинейным

уравкзнием (4), с тейп ее и теми вга начальными условиями

= Хи.&р) • Тогда

<? МЯЬ .Я&Я) + -СгМ-

14) Запишем гга в перекешмх Гоха с учетом (14), (19) и введем функционал ^ П^-^} ===~

в который собраны все интегральные члены, не содержащие Мы называем его лежандровой частью функционала (20).

15) Для безграничной задачи (1)-(4) введем так называемую функцию нарушения: ^ .

I кО)1 +

L—o

4-

где а = тах (0, а)

В § 3 даются формулировки результате! для случая, когда т проходит строго внутри XJ$í) ■ Сначала приводятся уже известные условия слабого минимума. Для этого случая ограничение UféTJ несущественно, его мошо отбросить. •

Определение. Следуя (1, 2] будем говорить, что в задаче Á в точке W0 имеется строгий слабый ^ -минимум, если при некоторых (L<S>0 на множестве Ц W~ Jj <£, выполняется неравенство ^H^W") ^ СЬ' frfa") •

Теорема 3.1 [3. 5]. а) Пус4ъ W0 - точка слабого минимума в задаче Л. Тогда Qo непусто, и

Л[&(Л)](иг)>0 Vvré- X. (23)

б) Пусть существует такое ¿L>0 , что непусто, и

JI í^. (Л)]6--) > \/,гё X. <2« •

- 20- - •

Тогда иГ"° - точка строгого слабого ^ -минимума (и как следствие - точка слабого минимума).

Утверждение (а) имеет следующее усиление. Для любого множества к = м обозначим через множество всех для которых квадратична^ форма __/2_ (V]) неотрицательна на некотором (своем) подпространстве в

конечной коразмерности,'

Для любого СЬ>0 справедливы включения: . - .

- Теорема 3.2 (Л.А.Милютин* [3]). Пусть - точка слабого

минимума в задаче Л. Тогда J\_ непусто, и

Л'[Л+]6.О>-0' 'УгёХ. •

Перейден к условиям понтрпгинского мшшмуыа. Здесь ограничение Ц,б\/ уне нельзя отбросить. Пусть % таково, что выполнено (15, а). Введен функционал, получаемый из (21) замораживанием его коэффщиентсЗв в точке -¿г :

М-У-Ш-..' ■

л.

Этот функционал рассматривается на.множестве всех лишицевшс функций ^ (Ъ) на отрезке [Ч^о > (впрочем, выбор отрезка

здесь не существен), у которых. ^ (Ьо ) ~ (такие функции ни называем циклами), а

т.о. множество X/" таюкэ заморожено в точке Т^, ■

Пусть £ГС &1) ■ есть ннокество всех % <== ££ , длн которых выполнено (15, а), и для любого.£рС,,^~С±\ . для

- 21 -

любого цикла ty-fä) > удовлетворяющего (27), ■ Справедливо включение: •

Условие (28) имеет поточечный характер (хотя и в несколько необычной форме) поэтому.мы относим его, как и условия (15), к условиям Леясандра. Обратим такае внимание, что в условие (28) входят не только коэффициенты второй вариации функции Лаграняа, но также и коэффициенты третьей вариации.

Определение. Будем говорить, что в задаче А в точке имеется строгий понтрягинский . Y ~ минимум, если при некотором CL-УО для любого

/V

существует £>0 такое, что на множестве (16) при IL £XJ~ выполняется неравенство

Теорема 3.3. а) Пусть UT0 - точка поитрягинского минимума в задаче А. Тогда Е0 (ßl) непусто и

л[Е0(Л)]6Г)>О Vvre. X. »,

б) Пусть существует такое что Е?^ (А^ непусто, и

Vi г б X. (зо)

Тогда ИГ"0 - точка строгого поитрягинского ^ - минимума (и как следствие - точка понтрягинского игаягмума),

Как и в случае с' теоремой 3.1, утверждение (а) мопно усилить. Для любого jyj. ~ Й обозначим

- 22 -

Теорема .3.4 / Пусть - точка понтрягинского минимума В

задаче А. Тогда Ед^^Л) непусто, и

Л[Е?{А)] (г).? о'- У^еХ. ■ ■ ' тг= Р'1^

В случае, когда 17 ,т.е. ¿¿/ неограничено, условие

(28)■распадается на два отдельных условия относительно квадратичной и кубической частей функционала (п6). Введем дифференциальную '-форму от переменного : ,

ш [Я &<з„

(Здесь выступают в качестве параметров).

Предложение 3.2. В случае неограниченного (X/ условие (28) эквивалентно тому, что выполнено условие Гоха (15, б) и одновременно при любой фиксированном ~Ь- дифференциальная форма (31) является точной: ^ СО (~Ь) ~

= 2 <»>

с; к. Чж 1 1

В 4 даются формулировки результатов для общего случая, когда • 1С может иметь контакты с границей XI . Критический конус здесь будет ■ йЯ^ ~ ^¡С С\ ^А^ где - конус в без-

граничной задаче, а - поточечный критический конус:

^{«-бИГ |

Условия Гоха (15) здесь долины рассматриваться на максимальном ' линейном подпространстве, содержащемся в конусе ДПри этой условия слабого минимума имеют следующий влд.

Теорема 4.1 (А.А.Милютин). а) Пусть (лГ0- точка слабого минимума в задаче А. Тогда Сг0 непусто, 'и

(33)

б) Пусть существует такое СЪ >0 , что (^^(сл _/]/) непусто, и .С«Л)1бг)>а,^«-;' (34)

лГ^1

минимума. '

Тогда иГ° - точка строгого слабого ^

Теорема 4.2 (А.А.Милйтин). Пусть 11Г0 - точка слабого минимума в задаче А. Тогда (с,0 _Д непусто, и

л[(со А)*] (*г) > о у«ге 31, (35)

Перейдем к полученным условиям понтрягинского минимума. Как и раньше, они имеют' такой же вид, что и условия слабого минимума (33)-(35), но множества (т^ (со .Л) заменяются на более узкие множества (со^ , которые определяются теперь следующим образом. Обозначим через множество всех понтрягин-

ских последовательностей — у которых почти

всюду \JC-b) - Пусть . П(о&7Т7) есть мно-

жество всех последовательностей из [~1 X/} , для которых •

Такие последовательности мы называем девандровыми, или пробными. Характерный пример - последовательность, имеющая (Ъ) в. виде "домика", основание.которого есть отрезок, стремящийся к некоторой точка .

- 24 - _

• Для любого числа Ои и множества обозначим через Еа, ) мяонество всех А/ таких, что для

любой последовательности ИГ1^, из [~]

■ ¿^

(3б)

• В случае, когла

проходит строго внутри Ш). это определение сводится к данному е ^ 3.

Теорема 4.3. а) Пусть ИГ"^ - точка понтряпшского минимума в задаче А, к пусть либо выполнены дополнительные предположения' 01, 02, либо состоит из одной точки.

Тогда ./1^) непусто, и

Л[Ео &>А% 6г) > О Уг е $1. т

б) Пусть существует такое О^У' 0 , что {с-0

непусто, и

Тогда иГ' - точка строгого понтряпшского ^ - минимума. Как и раньше, утверждение (а) можно усилить.

Теорема 4.4. Пусть - точка понтряпшского минимума в

задаче А, и либо выполнены Р1, 02, либо _/]_ состоит из одной

точки. Тогда (йО 11) непусто,

и

Е-й%оА)1 60 > о \/»г£<31.

Теоремы 4.1 - 4.4 для общего случая отличаются от теорем 3.1 -3.4 для случая "внутреннего" Ц,0 (Ь) лишь тем, что вместо

А ~ 25 ~ Л

множества _/1 в них фигурирует его выпуклая оболочка СО II . Для утверждений (б) этих теорем, т.е. для достаточных условий, такая замена несущественна, а для утверздоний' (а) и теорем 3.4, 4.4, т.е. для необходимых условий, она несущественна лишь ''ри выполнении условия Люстерника. Если же условие Люстернина не выполнено, то необходимые условия теорем 4.1 - 4.4 трквиализуются, ' тогда как в теоремах 3.1 - 3.4 они остаются содержательными.

Основными результатами диссертации являются теоремы 3.3, 3.4, •4.3 и 4.4 главы I, устанавливающие условия [7 - минимума.

В 5 и Приложении Д приведен ряд примеров их применения, среди них пример с билинейной управляемой системой и задача о геодезических в пространстве с субримаковой метрикой (сообщена автору Н.Н.Петрозым). В ^ 6 проводится сравнение полученных результатов с результатами других авторов.

В главе II проводится исследование нового условия типа Легкан-дра (28). Его проверка фактически сводится к ревешш для каждого вспомогательной задачи оптимального управления: для заданных а . ё> > найти максимальное ¿Ь , при котором на-всех циклах, удовлетворяющих (27), выполняется неравенство (28). В § 1 приводится решение, этой задачи для случая, когда множество \У ость полоса коразмерности 1 в пространстве любой размерности (полученное Л.АД!илгатиным), а в 2-4 - для случая, когда и есть произвольный эллипс на плоскости. В об^их случаях даются точные аналитические формулы для максимального значения СЬ .•

В § 5 анализируется связь условии (32) с известной процедурой нахождения особого режима, состоящей в последовательном дифференцировании равенства Н^ГХ!"^ ■ Установлено, что это условие эквивалентно.выполнению равенства .

- 26 -

В § 6 доказана инвариантность условий (15), (28), (32) относительно некоторой естественной замены управления, сохраняющей . множество возможных скоростей системы. Доказательство основано нг. том, ''то каждое из этих условий имеет вквивалентную трактовку в виде некоторой оценки фтавдии Лагранжа на понтрягинских последовательностях циклов.

Главы III - VI посвящены доказательству теорем 3.3, 3.4, 4.3 и 4.4 главы I. С точки зрения доказательства основной из них является теорема 1.4.3, Ее утверждение (б) эквивалентно утверждению ■ (б) теоремы 1.3.3, а из утверждения (а) н теорема А.А.Ишшткна о конечных коразмерностях 13] сразу следует теорема 1.4.4. Доказательство теоремы 1.3.3 (а) основано на теореме 1.4.3 (а) и теореме об ослаблении ограничений.равенства, которая доказана в главе VI. Теорема I.3..4 вытекает из двух последних теорем и теореш ' A.A.Милюткна о конечных коразмерностях.

Доказательство теореш 1,4.3 дается в главах III - V. Оно основано на общей теории условий высших порядкоп [1, 21. В главе III приводятся необходимые сведения из "общей теории и дается постановка задачи А в ее ныках. Нетривиальный момент этой постановки состриг в тои, что неравенства .(6) ш рассматриваем как поточечные ограничеюм не на всем отрезке у J 5

а только вблизи границы ХГ^Ь) , т.е. на множествах

Rj - № I + ^С-Ь)

при некотором . Вне этих множеств неравенства (б) рас-

, сматриваются не как ограничения, а как способ задания класса допустимых понтрягинских последовательностей. Точно так ке и включение (7) на всем отрезке рассматривается не как ограничение, а как способ задания класса последовательностей. При таком "сут/щ-ном" понимании поточечных ограничений (6), (7) предполокение U2 об их особости'обеспечивает нам некоторый-простой и эффективный

механизм, позволяющий попадать в эти ограничения с помощью поправки, норма которой оценивается через невязку этих ограничений. Возможность такой поправки играет важную роль в исследовании задачи А.

Общая теория позволяет определить константу С-^ , знак которой указывает на наличие .или отсутствие минимума в исследуемой точке ИГ"" . В этом определении участвует некоторое расширение множества _А - множество множителей Лаграша, для которых все условия стационарности выполняются "с точностью до <5-Это расширение обозначается через У1 £ , а исходное множество "точных" множителей Лагранча - через Л о • Мношество Л* представляет собой слабый-^ компакт в несепарабельном банаховом пространстве (некоторые его компоненты принадлежат ^' тогда как -Л. о ~ конечномерный компакт.

Далее задача заключается в максимальном упрощении формулы для • Процедуру такого упрощения приняло называть расшифровкой. В данном случае она состоит из нескольких этапов. Сначала делаются два предварительных иага расшифровки. Первый шаг состоит в переходе от семейства множеств "почти-множителей" Лаграниа к множеству точных множителей 0 . Правомерность такого перехода доказана в общей теории при условии, что семейство обладает некоторым свойством "финальности". Выполнение этого свойства для задачи А установлено в Приложении В. Здесь не используется предположение и2 об особости, и предположения 114 и о "хороших" контактах с границей Ш).

В результате этого первого- иага мы полугаем формулу для (__

п которой участвует множество 1\. и понтрягшекие после-

довательности, СЕЯзанныз уравнением (4). Нелинейность этого уравнения затрудняет проведение каких-либо дальнейшее операций, поэтому второй шаг расшифровки состоит в переходе от уравнения (4) к его линеаризации (11). Доказательство такого перехода приводится и Приложении Г. Оно основано на специфических свойствах уравнения

(4) и предположении 42 о особости, и не использует общей теории и предположений 1М, о "хороших" контактах.

Таким образом, в результате первых двух этапов расшифровки мы приходим л формуле для , в которой участвует множество _/1

и понтрягннские последовательности", связанше линейнш уравнением (11)- Далее проводится основная по трудности часть расшифровки. Она излагается в главах IV и V.

В главз IV доказано, что из нерав> лства (38) следует С [откуда, в свою очередь, выгекдат наличие понтрягинского .пшим^.л в точке МГ° ), и тем самим доказано утверядение (б) георемы 1.4.3. Идеи этого доказательства состоит в том, чтоби разбить произвольную допустимую понтрягинсную последовательность на супы/ двух последовательностей, одна из которых по сбоим свойствам похожа на равномерно малую последовательность (а именно,, на ней кубический функционал ^Р^-'Ч О'^ь) ~ ° СУ(УХ^У) )» а у другой компонента Ц^О^) представляет собой почти цшсл ("квазицикл"), т.о. она близка по своим свойствам к пробным жеагацдрока: последовательностям.

Здесь иыэдюл ряд нетривиальных техннческш: ксиеатав: каделс-ш;о кваз^цик^ос, иазло^глшо квазицикла из еуьиу '"чистого" цнпла и "пологой" соспг^лнв-еи, у которой интегральная порт управле«^ оцглпза'зтля сверху через интеграл управления исходного кваопцл:-ла, а тлтаа довольно тзг.г:аЯ оценка снизанного кг-адрагичаого члзна па этих дву;-; соцтавляхачх квазпцикла. Указакноз разлезанне квази-цшгла основано на следующей лзкме, которая нс-азг представлять п

саыосгоателыш;: шгтерзс

лх х tir. iUi-'ju . f-r—v

Пусть i есть Miiororpaisuî в il»— , аадзайий киг-а-

ьенствашг (6), причем 0 £ I СС") , а /л есть множество интеграле» от всеБозмоккзх измеримых виборок из \ ij^j ■

^ 'гу

Лемиа IV.2.3. Для любого "2" tr существует функция Il de) G ГCt) такая, что

где константа |У1_ зависит лишь от векторов' Л-д

и не зависит от ^ (*] ^ ? .

В главе V доказывается, что из ^^ ^ ^ следует выполнение неравенства (37), т.е. доказывается утверждение (а) теоремы 1.4.3 - необходимое условие понтрягзшекого минимума. В доказательстве имеются несколько ключевых моментов. Первый состоит в том, что если к последовательности^2-а, ИГ" добавить произвольную^легаанд-рову последовательность УГ^ , таи что £-ц, ~ У С ^^Тй") 7 то на их сумме функционал (20) с точностью до О^С) распадается. Далее, функционал (20), нормированный на у , на последовательностях из П ('^С^ХХ) и ПС^ ) порождает некоторые предельные множества линейных функционалов от % . К этим предельным множествам применяется некоторый вариант теоремы о мини-максе, который в итоге позволяет получить¿неравенство (37). Здесь имеется одна трудность, состоящая в том, что предельное множество, порожденное лежандровыии последовательностями, вообще говоря не выпукло. Поэтому вместо всего класса лежшдровых последовательностей рассматриваются два его специальных подкласса, один из которых состоит из квазициклов специального вида, равномерно стремящихся к нулю, предельное множество для которого выпукло, а другой состоит из "чистых" понтрпгикских цшитоз, и для его предельного множества 5 удается доказать . выпуклость его замыкания при рассмотрении его как множества функционалов но на всем пространстве % , а в проекции на некоторое подпространство, поронздешюе предельным шюиеством . Это оказывается достаточным, чтобы послг двукратного применения теореш о нининаксе получить требуемое неравенство (37).

Основной трудностью при доказательстве выпуклости замыкания множества 5 является неконтролируемое поведение смешанного квадратичного члена ^ (^/"О^З ^^ у который

априори не оценивается через . Однако для X из подпрост-

ранства, порожденного первым предельным множеством , уда-

лось доказать, что этот член есть О С Ун-)'. и это обстоятельство явилось р.лающик для доказательства теоремы 1.4.3 (а).

Глава- VI посвящена доказательству теорем 1.3.3 и 1.3.4. Здесь используется совершенно иная идеология и техника по сравнению с главами IV и 7. Поясним, в чем состоит отличие этих теорем от теорем 1.4.3 и 1.4.4, доказанных'методом "расшифровки" абстрактных .условий общей теории [1, 2]. Дело в тон, что в рез; тьтате расшифровки всегда получаются условия, в формулировке которых участвует, множество СО А - , а не . Если ограничения равенства (3), (4) задачи А невырождены (т.е." удовлетворяют условию Люстерника), го СО А с точностью до нормировки совпадает с А и поэтому теоремы 1.3.3 и 1.3.4 эквивалентны соответственно теоремам 1.4.3 и 1.4.4.

Однако, если условие Люстерника не выполнено (т.н. анормальный случай в терминологии вариационного исчисления), то содержит некоторый элемент вида Я= О- ""О) ^ ^) , а вместе с ним и — X , поэтому СО А содержит ноль, и тогда необходимые условия как слабого (теоремы 1.4.1, 1.4:2), так и цонтря-гинского минимума- (теоремы 1.4.3, 1.4.4) выполняются тривиально, независимо от реального наличия уши отсутствия минимума. В этом состоит определенный недостаток получения условий минимума путем расшифровки условий общей теории. Подчеркнем однако, что этот недостаток относится только к необходимым условия«. Достаточные ко условия указанных теорем остаются' содержательными и в вырожденной случае: замена Л на соА для них несущественна. Таким образом, вопрос состоит в получении содержательных необходимых условий в случае невыполнения условия'Люстерника.

Это требует дальнейших нетривиальных рассмотрений, на связанных уве с общей теорией [1, 2]. Для условий слабого минимума этот вопрос был решен А.А.Милютиным (31 путей перехода от исходной за-

- 3i - '

дачи А н некоторой другой задаче II, у которой множество множителей Лаграниа выпукло и содержится в исходном . Тогда расшифровка в новой задаче дает для исходной задачи ответ на ,

а не на СО А. . Новая задача получается из старой при замене /

части ограничений,равенства на некоторые неравенства, так что оставшиеся равенства уже невырождены. Этот метод "ослабления ограничений равенства" представляется нам совершенно новым в теории экстремальных задач. Именно этим методом (в случае когда Uf(b) проходит строго внутри XX 6Ь) ) были доказаны (3] теоремы 1.3.1 (а) я 1.3.2, и он же применяется в диссертации для доказательства теорем 1.3.3 (а) и 1.3.4. Однако для правомерности перехода, к задаче II (т.е. для сохранения минимума в точке УГ° ) требуется, чтобы у вырожденных в первом порядке ограничений равенства их вторые дифференциалы удовлетворяли некоторому условию невырожденности (для этого случая теорема об ослаблении ограничений равенства "на квадратичном уровне" излагается в §§2, 3 главы VI).

Для понтрягинского минимума это уоловф может не выполняться. Поэтому в §§4, 5 рассматривается разбиение вырожденных ограничений равенства на две группы, у одной из которых невырождены вторые дифференциалы, а у другой выроддеш и первые и вторые,, но невыроздены третьи дифференциалы. В этом случае доказана следующая теорема. об ослаблении ограничений равенства "на кубическом уровне".

Будем считать в задаче А независимыми переменными У0~ CU и LU , а вектор выражать через них в сшг> уравнения (4).

Обозначим Х^ —

Тогда задача А прю.эт следующий вид: -

~Ч>0 (cLt И) —^ .

fa u.) < 0, l -

g.^u.) =0 7 / n € xx.

который назовем задачей I. Пусть

есть упомянутое выше разбиение оператора- равенств на три компоненты, " з нотг рых невырождено в первом порядке, ^^ ~ во втором, и - в третьем. •

Теорема У1.5.1. Пусть ЦГ^ есть точка понгрягинского минимума в задаче I. Тог; а существует выпуклый замкнутый телесный конус , ¡^ d J^J*^2-) ^ определяемый квадратичным отображением Q^foj и числа. С; О такие, что UT0 есть точка понтрг"инскс о минимума в следующей задаче III:

Л т.4* ф. £, lt) -f СI && О i ?

&(*>«)€ к,

Из этой теоремы и теоремы 1.4.4 вытекают теоремы 1.3.3 (а) и 1.3.4. Доказательство теоремы VI.'5.1 дается в 6 -10 главы VI. Здесь используется ряд доволь: > тонких и -технически сложных свойств функции- ß- , основанных на невырожденности ее компонент в первом, втором и третьем порядке соответственно. Б частности, для получения равномерной оценки расстояния до нулей оператора & используется одно обобщение теоремы Люстерника о касательном подпространстве, предложенное.автором в работе [81. Доказательства некоторых вспомогательный утверждений, касающихся разложений функций f1 до третьего порядка на некоторых специальных вариациях, даются в. Приложениях Б1, Б2.

Литература

1. Левитин Е.С., Ыилютин A.A., Осмоловский Н.П. Условия высших порядков локального минимума в задачах с ограничениями. // -УЫН, 1978, т. 33, N 6, с'. 65 - 148.

2. Левитин Е.С., Милютин A.A., Осноловскйй Н.П. Теория условий высших порядков в гладких задачах на экстремум с ограничениями, // Сб. "Теоретические и прикладные вопросы оптимального управления", Новосибирск: Наука, 1985, с. 4 -40. .

3. Милютин A.A. 0 квадратичных условиях экстремума в гладких задачах с конечномерным образом. // Св.."Методы теории экстремальных задач в экономике", М.: Наука, 1981, с. 138 - 177.

4. Goh B.S.' Necessary conditions for singular extremals involving multiple control variables,- SIAM J. on Control, 1966, 4: 4, 716 - 731. 7'

5. Дмитрук A.B. Квадратичные условия слабого минимума для особых, режимов в задачах оптимального управления // ДАН СССР, 1977, т. 233, N. 4, 523-526, // Труды VIII зимней школы по мат', программированию и смежным вопросам, ЦЭШ, 1976, с. 102-119.

6. Скородицсний И.Т. Необходимые условия оптимальности особых режимов, // ЕЕИ и МФ, 1979, 19: 5, с. 1134-1140.

7. Осмоловский Н.П. . Необходимые и достаточные условия еысиэго порядка для понтрпггаского и ограниченно-сильного минимумов в задаче оптимального управления!. //ДАН СССР 1988, 303: 5,. с. 1052 - 1056.

8. Дмитрук A.B., Милютин A.A., Осмоловский Н.П. Теорема Люстер-нина и теория экстремума. // ТМ, 1930, 35 : 6, с. 1л - 46.

9. Дмитрук A.D. Квадратичные условия поктрягинского минимума в задаче оптимального управления, линзйной по управлению,

с ограничением па управление. // ДЛЯ СССР, 1933, т. 272: 2, с. 205 - 209.

10. Дмитрук А.В. Квадратичные условия понтрягинского минимума з задаче оптимального управления, линейной по управлению. I. Теорема о расшифровке. // Известия АН СССР, сер', мат., 196и, т. ЬО", N 2', с. 284 - 312.

11. Дмитрук А.В. Квадратичные условия понтрягинского минимума •в задаче оптимального управления, линейной по управлению. И'. Теоремы об ослаблении ограничений равенства. //

• там яе, 19ВТ, т. 51, N 4, с. 812 - 832.

12. Дмитрук А-В. Тонкие теоремы об ослаблении ограничений равен--ства в задачах оптимального управления, линейных по управлению. /У Сибирский маг. вурнал. 1990, 31: 2, с. 37 - 51.

13. Дмитрук А.В. Переход на множители Лагранжа в определении константы .высшего порядка для понтрягинского минимума. // Сб. ."Оптимальность управляемых динамических сийтем", -

И.: ВНИИСИ,' 1990, вып. 14, с. 42 - 52.'

14. Дмитрук А.В. Линеаризация дифференциальной связи в квадратичных' условиях для задачи оптимального управления, линейной по управлению. // Сб. "Оптимальность управляемых динамических систем", - И.: ВНИИСИ, 1986, вып. 19, с. 1-2 -20.

15. Дмитрук А.В. Квадратичные условия понтрягинского минимума для особых экстремалей в задаче с ограничениями на управление, -Депонирована в ВИНИТИ, 1992, 272 е., N 3467- В92..

16. Dmitruk A.V. Second order necessary and sufficient conditions of a Pontryagin minimua for singular regimes, - Proc. of the 15-th IFIP Conference on System Modelling and Optimization, (Zurich, 2-6 Sep.t. 1991), L§cture Notes in Control and Information Sciences, 1992, v. 1B0, p. 334 - 343.

' 17. Dditruk; A.V. Second order pptiEality conditions for singular extremals, - Proc. of the Second European Control Conference, Groningen, The Netherlands, 1993, v. 2, p. 103S - 1043.