Квантовая динамика самодействующего электрона тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОДЕССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И. И. МЕЧНИКОВА

На правах рукописи УДК 530.145:537.8

ЖАНЬ ЯНЧЯН

КВАНТОВАЯ ДИНАМИКА САМОДЕЙСТВУЮЩЕГО ЭЛЕКТРОНА

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Одесса — 1994

РГ6 ОД

■ ■. Ш

Работа выполнена на кафедре общей и теоретической физики Киевского политехнического института.

Научные руководители: доктор физ.-мат. наук

профессор В. П. Олейник

доктор физ.-мат. наук Л. П. Годенко

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук

профессор В. С. Машкевич

доктор физ.-мат. наук В. Н. Бондарев

Ведущая организация: Институт математики

АН Украины

Защита состоится « 3.8 » 041'¡МЛ 1994 г. вМ^О

часов на заседании специализированного совета К 068.24.11 при Одесском государственном университете им. И. И. Мечникова

(270100, г. Одесса, ул. Петра Великого, 2, ОГУ)

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Одесского университета (ул. Преображенская, 24).

Автореферат разослан « 2-5 » СОД М С\ 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ.-мат. наук

А. В. ЗАТОВСКИИ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Построение последовательной квантовой механики, учитывающей кулоноваков сашдействие вдектрк-чвски заряженных частил, относится к числу важнейших задач теоретической физики, Принципиальное значение втой цроблемч соотоит в том, что ее решение позволит устранить серьезные трудности общепринятого подхода, коренящиеся в представлении о точечности.электрона, приведет к более глубокому пониманию физической природы электрона и откроет путь к детальному исследования внутриэлектронных явлений и процессов и разработке методов управления этими процессами в интересах практики.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование квантовой теории самодействующего влектрона в' нере-лятивистоком приближении. ■

Для достижения поставленной цели в работе решены следующие задачи:

— рассмотрение нерелятивистского предела основного уравнения динамика, описывающего кулэаовское самодействие электрически заряженных частиц;

— построение лагранжева и гамильтонова формализмов (Теории самодействующего электрона а вывод основных энергетических характеристик;

• —- исследование нестационарных состояний самодействующего электрона и выяснение особенностей поведения частицы во внешнем поле;

*— построение стационарной и временной теорий возмущений для решения основного уравнения динамики, которое является нелинейным и нелокальным;

— исследование особенностей поведения самодейо твужщего электрона в постоянных и однородных электрическом я магнитном

ПОЛЯХ. " '

Методы исследования. В основе работы лежит мздель неизолированной системы, описываемая лагранхавой функцией Морса - .

«ешбаха - Еайтмвна. Црк вывода основного уравнения динамики 1 внвргетичаскиг характеристик оашдействувдего алвктронного поля используются лагранжва я гамальтонов формалиамы мех«и-кж. Для получения численных решений уравнения движения самодействующего влектрона применен матод Рунге - Кутта - Мерсова. При построении теории вовцущений лопольвуются разложения вал-новой функции и потенциальной знергии в рады Фурье по офври-ческжм гармоникам.

Научная новизна работа. В настоящее время проблема ку-лововокого самодействия наряженных частиц совершенно не изучена, так что большая часть изложенных в работе результатов подучена впервые« в частности, впервые

— получено нерелятивистское уравнение движения, учитывающее ошш ж кулоновское самодейотвже электрона;

— исследованы основные внергетические характеристики полной системы, состоящей ив самодейотаующих влектрически ва-ряжеюЫг частиц и вихревого влектромагнитного повд

— дано обобщение соотношений Вренфеста и квантовых уравнений движения Ньютона на случай оамодейотвующаго елек-трона ж показано, что цевтр масс самодейотвуюдаго электрона движется так, как если бы отсутствовала оила куяоновского самодействия;

—- показано, что при движении в произвольном однородном гневней кола самодействующий влектрон не расшшвается со временем, сохраняя свои размеры и геометрическую форму: 1 ■ _— построены стационарная ж временная теории возмущений для нелинейного и нелокального уравнения динамики самодействующего олектрона.

Практическая ценность результатов работы состоит в том. что в диссертации построена последовательная квантовая теория самодействуодаго влектрона. В работе излагаются ж развивается новые фжажческже представления об олектроне как о салитоне -локализованном в ограниченной области пространства вдйьюнтар-жш возбуждении ноля заряженного вещества, размеры ж форма ко-\ ioporo определимое величиной его внутренней »нергии. Эти преде-

тавлвния имеют фундаментальной характер к могут быть использованы во многих областях науки и технике, например, в квантовой влэктроникв, в теории плазмы и т.д. как для постановки новых экспериментов, так и для правильной интерпретации известных опытных данных.

Значаниа предотпвлеиных в работе' исследований определяется и три, что нерелятивистская квантовая механика самодействующего электрона может служить простейшим примером теории самоорганизации физической системы. Развиваемые в ней представления о физических механизмах самоорганизации, а также методы решения основного уравнения динамики имеют универсальный характер и могут быть использованы при описании поведения произвольной самоорганизующейся физической системы.

Автор защищает следующие научные положения:

1. Самодействующий электрон в нерелятивиотоком приближении можно рассматривать как влемеятарное возбуждение поля электрически заряженной материи, внутренне присущим свойством которой является способность создавать в окружением пространстве кулоновское поле и испытывать его обратное воздействие. Это возбуждение можно последовательно описать в рамках гамв-Льтонова и лагранжева формализмов о помощью тензора внергии-импульоа. Свободный самодействующий электрон является оолн-тоном - локализованным в пространстве распределением заряда, геометрическая форма и размеры которого зависят от величины энергии электрона.

2. Центр масс самодействующего электрона в произвольном внешнем поле в нерелятивистском приближении движется так, как воли бы отсутствовала сила кулоновского самодействия. .

3. При движении в произвольном однородном внешнем полв самодействующий электрон не раоплывается .со временем, сохраняя свой размеры и геометрическую форму.- По своим физическим свойствам самодействующий электрон существенно отливается от "голой" частицы. - * . • . .

4. В коэффициентах рядов теории возмущений ДЛЯ волновой функции самодействующего электрона возникают нелокальные константы,' которые могут бить учтены путем,наложения на решения динамического уравнения дополнительных условий.

б, Волновые функция аамодейотвувдего мектрона, оцвоц-ваацие отационарнов Соотояние чаотицы в однородном внешнем пола, йогу* быть прадотавлецы в вяло суперпозиции оферичеаюиг гармоник, каждая из которых является солитоиом, В достаточна ' слабом внешнем ноле ооновной вклад в волновую функции внослг ¡ несколько первых гармонях. !

Апробация работы, Исследования, выполненные в диссерта- ' двойной работе, являются составной частью научно-иоеледова- . тельских работ, проведанных на ка$едрв общей к теоретической ' фивикж Киевского политехнического института. Ооновчиа результаты диссертационной работы докладывались на сессии научного совета АН УССР по проблема "Квантовая электрокика" ( Киев, № АН УССР, март 1991 г, ) , на научной конференция Отделения ядерной фивкки АН Роосии по фундаментальным взаимодействиям вдемектарныгчаотиц ( Москва, ИТ5Ф, ноябрь 1992 т. ) ¡ на мая-.дународном семинаре "Нелинейные явления в сложных риотемах" ( БеларуЪь, Полоцк, февраль 1993 t. ) , а также на научных семинарах кафедры общей Ш теоратжчеокой фнвжхж КПИ.

Дубтакадии. По теме 'диссертации опубликованы работы

/1-ЗД .

дтуктутза. g о<Нец работы» Диссертация состоит ив Введения, трех глав, Заключения, Приложений в Ореха литературы ха 4? наименований. Работа содержит 105 страниц машинописного текста, 8 рдоувков.

ооашвш 00№ШШ РАБОТЫ

Во радения ■ обсуждается акгуйльнсоп темы диссертации, кратко pao смотрев щг исследуемых в Ней проблем ш унмааы воамажкы« приложения »цучввмде р>8уль»ато»,

; В глдае ! првдадзи анализ осневцых ввергетичеомм ха- ' ра^гаркспх са*юлв1о*вуя»кГ патронного поля» вервлятввве-

'тском приближении с учетом спина электрона.

Получен нерелятивистский предел уравнения динамики самодействующего электрона, описывающего взаимодействующие между собой самодействующее электронное и.вихревое электромагнитное поля. Способ получения нерелятивистского предела такой же, как и в обычной квантовой механике; он состоит в исключении из волновой футахт в вида бисгтнора, описывающей состояние релятивистской чаотицн, малых по величине сшшоряых компонент. В нбралятивистском приближении удобно использовать такую калибровку 4-потеншала,' в которой'потенциальная составлялся 4-по-тенпиала содержит только временную компоненту.

Уравнение динамики оамодействупцего электрона в нереляти-* вистскОм приближении имеет вид:

где

K(rj) ^eySdFrr-H^tâMfàt)(я)

ШТегаиальнач энергия самодвйствия электрона; А ^А (г J t)> _ ввнтор - потенциал вихревого_электромагнитного поля; fi постоянная самодойствия; f-J_-t'cé/\ ; е и Щ - заряд Я касса, электрона, ф и ф - компоненты волновой функции • частицы. В работе используется соотношение связи ф ==■ О.Ф , а = censé , Как видно из (l) , основное уравнение дтшже- _ ния самодействующего электрона по форме совпадает с обычным уравнением Щредингера, но отличается от последнего качественно, будучи келинейным и нелокальным.

Если самодействующий электрон взаимодействует не только с вихревьм электромагнитам полем, но и о внесшем .полем, описываемым 4-потенцкалом - t то ®ra8)Bie электрона описывается уравнением .(l ) , в^котором выполнена замена

и-и- , ^ -д/+/и, ;

Ун -*$hiiïiti , Нм = [VA**].

Уравнение двюшшш (1) может бить получено из принципа дейсчная сГб' = О , 5 ~Sd.iL , где X -функция Лагранли, огысишшцал сашдаЯстауицае йлектронноа' а вихревое йлагтроиэпштноо поля в но релятивистском приближении. Эти ро-аулыаги обобщены на случай система м ( /г и 2, 3, ••• ) сыиодействучлцих частиц; в частности, с помощью принципа дэйст-виц нолучоьы уравнения движения такой системы,

Виедены обобщшшиа координаты и соответствующие им обобщайте импульсы самодеАси.ущвго ьлоктроцпого поля и с их помощь« построена гашяьтоноьа функция системы взаимодействующих полой. Показано, что гамильтоновы уравнения движения рассматриваемой системы совпадают, как а должно бить, с уравнениями Лаграоаа - Эйлера. С помощью гамильтонова Нормали яма выведен анкон сохранения ввортав полной систеш, состоящей из за-ряжзшшх самадойствущих частиц и вихревого электромагнитного ноля.

Вйвздшш как дифференциальные, так и интегральные аакони согдонышя анергии и импульса

'' гът**-о,

_ (з)

7'^ я

гаа / тензор энергии - импульса волной системы взаимодействующих полай в не1.релятивистском приближении. При выводе iopjy.au для тензора анергии - импульса учтено то обстоятельство, что плотность функции Дагранжа рассматриваемой с не га ми 0") зависит от обобщенных координат одоктронного поля не только локально, но и нелокально, причем имеется явная зависимость функции ¿¿(г, от радиуса - вектора Г .

В нестационарной состоянии, соответствунцэм движению саыоди¡}стиу мцего ежистрона в пространстве как целого о некоторой постоянной скорость»! . , роль физических энергии и импульса играит величины

а> Vа и -р . (4)

к)

Уиаачлш , и £ ими«? фляпчоский смысл соответс-г-

•в9ня0'кинетической энергии дпиршшя илектртпа пек целого, по* тегщиальнсй энергии сачюдейсгния и энергии спяаи электрона п поло потенциальной ямы, возникающей в результате кулоиор.ского самодейстпия.

С помощью компьптера получены сферически св»/!мцтричгшв решения основного уравнения диномикя для свободного самодзИст-вулщего электрона. Приведена результаты расчета вошовнх тИ электрона в основном и г первых двух возбужденных стационарных состояниях. Вычислена иарлютрг», соответствуйте указанном вышо состояниям' частицы. Согласно получением рппулъта-т а/л, свобод!!?«*; самодействующий электрон являете я солитоггам -локализованном в пространстве распределением заряда, гоометрк-часкач форма л размеры которого зависят «т величины вняргпи электрона и нэ изменяются со рромэнем. Спектр внутренняя энергии свободного электрона является дискретным.

исслядованн нестгошонарные состояния само-действугаяаго электрона во внешнем однородном электромагнитном поле.

Обобщенные соот1гопеиия Эрон^естн, учитывающие кулопопскоэ

самодэ"ствие электрона, имеют вид: ~ &

' • - - I (5)

Здесь Г и р - средние значения радиуса - лектора и пилу— льоа электрона во внешнем поле в состоянии с волновой функцией У^ ! ¿- и /7 - напряженности электрического^ц^магпитного полей, ¿г - ткратор вектора скорости; символ {7/7 .означает,-что оператор V действует только па //

Из (5.) получено квантовое, уравнение движения Ньютона, определяющее зависимость от времени квантог.омеханичоского судного зничония радиуса - вектора центра масс электрона с учетом его самодеРствия. Согласно полученным результатам, в норэлятя-вкстском приближении центр гласе само^оГ.ствукдего электрона в произвольном внешнем поле движется так", как если бы отсутотво-

вала сила кулоновского самодействия. Если визит ее пола однородно , то квантовое уравнение движения сводится к' классическому уравнению движения Ньютона для радиуса - вектора центра масс частицы. .

Получено обобщенно соотношений Эренфеста на релятивистский случай и показано, что из втих соотношений невозможно визе о ти релятивиотокое уравнение движения центра масс частицы. Приведена оценка среднего значения силы самодействия Г дейотвуюцей^на релятивистский электрон, согласно которой

Р ос ( Ы, - постоянная тонкой структуры) ; тем самым подтверждается сделанный ранее вывод о том, что в нерелятивистском приближении, учитывающем лишь поправки порядка , средняя сила самодействия отсутствует.

С помощью квантового уравнения движения Ньютона исследованы нестационарные состояния электрона однородном внешнем поло. В однородном электрическом поле £ = , Нт о

волновая функция имеет вид:

'ф(гЛ) ~СГ£ (г-$0М), (б)

гда радиус - вектор центра масс электрона, подчиняю-

' щийся классическому уравнению движения Ньютона, в котором

& » сош£ , Н яг о | УпЕ0Уг функция, которая подчиняется стационарному уравнению Шредингера для самодействующей частицы о энергией £ в отсутствие внешнего поля; О - фазовый множитель, эавиоящий от Ь и Г . Подчеркнем, что формула ( 6 ) определяв* точное решение временного уравнения для самодействующего электрона в ьоотоянном однородном электрическом поле при условии, что %га(г') - волновая функция свободного самодействующего электрона о собственным значением энергии Е ■ Проведено сравнение волновых функций самодействующего и "голого" электронов в постоянном электрическом поле и показано, что учет кулоновского самодействия электрона существенно изменяет поведение его волновой функции;.потенциальной энергией оамодайотвия нельзя пренебречь, считая ее малой величиной,

Получено выражение для волновой функции, описывающей возбуждение самодействугщего электрона под влиянием однородного «дектряческого поля, действующего в течение конечного проме-

- и -

жутка времени (0 , Т) . Показано, что после отключения электрическое) поля электрон движется как целое с постоянной скоростью Yf'T) ; геометрическая (}орма и размеры пространственного распределения электрического заряда частицы остаются при втом неизменными.

Полученные результаты обобщены на случай однородного внешнего электромагнитного поля с напряженноетями ¿Г , /7 , где 6 =(0. . £г) ; H = Со, 0, Hj = CC«i'<f ; =

= £A(i) - произвольные функции времени. В атом случае волновая функция электрона имеет вид:

ф(г, i) <?>

где Lie- - спинор: Ц( = (l) , ('О) ; - решение

классического уравнения движения даш радиуса - вектора центра масс; 1(?(г) - функция, которая подчиняется стационарное/ уравнению Шредингера для самодействующей частицы в однородном^магнитном поле; С - фазовый множитель, зависящий от с и г Отмечается, что волновая функция самодействующего электрона ь произвольном однородном внешнем поле выражается через решение стационарного уравнения Шредингера для самодейстпупцай частицы в однородном магнитном поле. Отсюда следует, что при движении в произвольном однородном внешнем поле самодействующий электрон не расплывается со временем, сохранял свои размеры и форму. В этом состоит принципиальное отличие поведения электрона с учетом его кулоновского самодействия от поведения точечного электрона, описываемого с помощью волновых пакетов.

Получен закон преобразования волновых функций самодействующего электрона в произвольном внешнем поле при пер«годе иэ одной инерциалыюй системы отсчета в другую. С его помощью получено соотношение, связывающее между собой волновые функции, описывающие стационарное и нестационарное состояния электрона в постоянном электрическом пола.

Глава 3 посвящена разработке теории возмущений для нелинейного и нелокального уравнения Шредингера, оиисывапрегб' поведение самодействующего электрона во внешнем поле Hi)Lg й' предположении, что его поле можно рассматривать как ыалуй

поправку к потвнодашюй' энергии сашдействия Ц :

ие>1 ~ е, 11 ;

При построении ршюп теории возмущений удобно исходить из сис-тзмн дИ'Мвронциальгшх уравнений,. (эквивалентной исходному ии-тегро-дн'Ииронцпалъному уравнении В'родингора. Особенность полученной системы уравнений состоит в том, чго в нив входит набор бесконэччо большого числа иелокалт-ных постоянных ,

С-ап 6ет(г), .(8)

замсщих от поведения волновой функции электрона во всем пространство I в формуле (С) 1\п- коэффициент разложения мсгулн волновой функции но с;|ер-'.чсскнм гармоникам ). Б случае сферически симметричной волновой ушш.ип этот, набор сводится к одной нелокальной константе Ссс , которая связана с потенциальной эниргпей слвдущнм образом:

С со = ШО) . ' • (9)

Подробно рассмотрены дтштап нулевого, первого и второй приближенно и указаны условия, которые следует наложить на искомые рэпения этих уравнений. Для укрощения викладок принимается, что ф.ушздш нулевого приближения (т.е. при 0 < сферически ски/.етрачны..Поэтому система уравнения нулевого приближения совпадает, как и додлю бить, с уравнениями, опи-сшзащдки сферически 'симметричный Зушсгош свободного электрона, Обкрл теория возмущений применена к электрону в постоянна} »лектрцческом к магнитном полях. В случаэ электрического поля ■ о напрпжошисть» £ = (V), 0, £') — ссчЛ рассмотрены только

поправки ш;ршго порядка по £ , где

/

/> с-(7

с ^ 1 СЮ>

- заряд электрона. а - 'боровский радиус к энергия аок»эашш атоу-а водорода. Дпя удобства, теория г-озмущанпО. нэо-•. польз» мо,п;фициру}тси, а иазшга: а разложи волновой функции

- ía -

по сферическим гармоникам сохраняются только дне шфвиа с^о-раческие гармоники, но уравнения иулгтого и первого upad ,ляга ний, не выделяются отдельно. Справедливость такой модификации видна из того, что с точностью $ Для Фурье - коаЭДкппшггон 8Ш1 разложений получается замкнутая еимамахурявневай. Поиск решения, удоп ^■■"opimnaro всем необходимым требованиям, осуществлялся сji h, варьирования нескольких постоянны*, мошщях частично в уг.шнеьля и частично в гршшчшэ условия. Число ва • рьируемых постояшшх (I зависят от порядка приблнчешш: в нулевом прибгджзши >1 =2, в дарвом приближении II - 1 « т.д. Докаои''1.., что в £ - приближении волновая функция алектрона в электрическом поле представляет собой суперпозицию двух сола-тонов, отвечающих основной и первой гармопикш.

В случае постоянного мапштн.'по поля // « (О; 0, ll) расчет выполнен с точностью до членов порядка £ . При этом в разложении волчоюй функции достаточно сохранить только два слагаемых - с коэффициентами /0со и Хо-го, где X¿ce~£Хрд> ~ & • Расчет показывает, что в £ - приближении взлдаходойствш злея-тропа с магнитным полом приводит только к. спиновому расщааленип уровня внутренней энергии частицы. В магнитном поло энергия Ь. электрона может быть записана в вида: -

Ег = Е0 +г£ ■ 0=±/)',

где £0 - значение уровня энергии свободного электрона,

e-fft.*'- <")

В этом приближении пространственная часть волновой функция электрона не нротерпевает пзмьненпй по сравнению со случаем свободного электрона. Во втором приближении расщепленные уровни анергии часты несколько смещаются, основная гармоника волновой функции деформируется и появляется, палая по веян та но (~£г) вторая гармоника.

Рассмотрена постановка задачи теории воэиущецай а случае, когда внешнее поле зависит от времени. В качества пулевого приближения рассматривается с ¡ацаонарное роионво аапачк «.отсутствие tHiw'iHdi ъсшл. В работе получена фо^шудл дм попри.^и

к волновой функция первого приближения.

В Заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации, и сформулированы научные положения, выносимые на защиту. Отмечается, что следующим тагом в исследовании физической природы электрона должно быть построение теория квантовых переходов самодействующего электрона под влиянием возмущения.

В Приложениях рассмотрены трансформационные свойства сомодейсгну шого электронного поля при галилеевых преобразованиях и приведено доказательство вещественности сферически симметричных решений нерелятивистского уравнение движения электрона.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТ» И ВЫВОДУ

' 1. Получено нерелятивистское уравнение движения, уады-ваюдее спин и кулоповское самодействие электрона, как из пряи^ тша действия, так и путем перехода к норелятивистскоыу пределу основного уравнения квантовой динамики самодействующего электрона.

2. Постро'еп тензор'энергии - импульса полной системы, состоящей из самодействующих электрически заряженных частиц

и вихревого олоктромаиттного поля,и получены законы сохранения энергии и импульса. -

3. Дано обобщение соотношений Эренфеста на случай оамо-действующего электрона. Показано,- что центр масс самодейст-вумдего электрона движется так, как если бы отсутствовала , сила кулоновского самодействия.

4. Получены формулы для волновых функхдай, описывагада; нестационарные состояния самодействутсщего электрона в произвольном однородном внешнем поле. На основании этих формул сделан вывод о том, что при дыр.энии в произвольном однородном внешнем, поле самодействующий электрон не расплывается со временем, сохраняя своп раздал и геометрическую форму.

5;. Построены стационарная и временная теории возмущений

-IS

для основного уравнения динамики самодействующего электрона, которое является нелинейным интегродифференциалышм уравнением. Показаночто коэффициенты, входящие в ряда теории возмущений, зависят от бесконечно большого числа нелокальных констант, Появление этих констант значительно усложняет поиск решений основного уравнения динамики. '

6. О помощью компьютера получены решения уравнения движения .для свободного электрона, а также, доя электрона в постоянных электрическом и магнитной полях.

Основные результаты диссертации изложены в работах:

I» Olelnlk V.P., Вал Yangqlang, Qodenko Ь.Р.'Self-acting electron In external field, - Kiers KPI, Preprint У2-93, 1993» - 31 p.

2. Olelnlk V.P., Arepjev Yu.D., Ran yangqlang, Godenko b.P. On quantum dynamics of the eelf-actlng electron. - Kieri KPI, Preprint JC 4-93, 1993. - 44 p.

3. Ran Yaogqlang, Bute A.Yu., Olelnlk 7.P. Stationary etate* of electron with the Coulonb self-action In external field // International Seminar »Bon-llnear Phenomena In

Couples. Syeterae" (Pebruary 15-17, 1993), Invited papere. - Hlnak, Belarus Onlverelty, 1994 (In print).