Квантовая механика и случайные канонические преобразования тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

С:.

/

На правах рукописи

ЧОФФО Мартнн

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И СЛУЧАЙНЫЕ КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

(01.04.02 -Теоретическая физика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата ' физико-математических наук

МОСКВА - 1996

ч

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Российского университета дружбы народов.

Научный руководитель: Кандидат физико-математических наук, доцент А.А.Бейлинсон.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор К).Л. Климонтович.

кандидат физико-математических наук, ст.н.с. В.П. Кзрасёв.

Ведущая организация: Московский Физико-технический институт.

Защита диссертации состоится ^у^АсЛ* 1996г. в

часов иа заседании специализированного совета К 053.22.01 в Российском унивреситете дружбы народов по адресу 117198, Москва ул.Орджоникидзе, д.З. ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в научно" библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г.Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.б..

Автореферат разослан «

яг

* 1996 года.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физнко-математнчееккх наук,

доцент В. И. Санюк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ

Хотя квантовая механика сформировалась как фундаментальна)! физическая теория в середине 20-х годов (несколько позже, в работах Иордана и Фон-Неймана были изучены её трансформационные закономерности), однако, по-видимому, никем не были предложены преобразования, осуществляющие перенос квантовой частицы из одного поля в- другое. Изучение таких преобразований, имеет важное применение, так как в частности, приводит к уточнению процедуры квантования нестационарных классических систем.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ.

Изучение преобразований, осуществляющих перенос квантовой частицы из одного поля в другое.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА.

Построение математической теории канонических преобразований квантовой теории я обнаружение её связи с теорией стохастических уравнений в евклидовом варианте теории является новым результатом.

НАУЧНАЯ ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ.

Полученные результаты данной диссертационной работы позволяют поставить вопрос об уточнении процедуры квантования нестационарных классических задач, а также по-новому поставить вопрос о квантовой природе классических приборов в квантовой физике.

АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 печатных работах и были доложены и обсуждены на ежегодных научных

конференциях факультета физико-математических и естственных наук РУДН (1992-1995г.г.). а также на научных семинарах кафедры теоретической физики РУДН (1992-1995).

СТРУКТУРА И ОБЬЁМ ДИССЕРТАЦИИ Диссертация содержит введение, три главы' основного текста, заключение н список литературы, включающего 4Z, наименований. Полный объём диссертации составляет Т-i страниц компьютерного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цели диссертации. Кроме того, описана структура диссертационой работы и её краткое содержание.

Первая глава состоит из трёх параграфов , посвящена теореме о факторизации решения "равнения Фоккера-Планка.

В §.( напоминается взаимосвязь стохастических уравнений и уравнения Фоккера-Планка. Для простоты рассматривается следующее одномерное стохастическое уравнение:

х + f(x) - С , . (1)

где справ.1 стоит некоторый случайный во времени процесс, свойства которого уточнены в работах. Ясно, что в этом случае имеет смысл понимать под состоянием системы. (1) распределение вероятности W(x,t), которое к моменту времени t однозначно определяется состояние» в начальный момент W{x,0). В частности, естественно ввести tsk называемую переходнуювероятность V/(xo,0,x,t), обладающую следующими свойствами:

■ - 1? I ч*n.0;x.t)dx = Г .

-со 0 .

2? lim W(x.,0;x.t) = <5(x-x ) (2)

t-Ю 0

■ют

3? W(x ,0;x,t) = J ¥(хо>0,хгт) .W(xr,t,x,t)dxT -00

для любого r ,(C < T ^ t).

Подчиним переходную вероятность W(xo,0;x,L) следующим условиям

l! lim . —г—0 = A(xn,0) t-»0 1 0

(x - r)J 2? lim i 0 = 2B(x ,0)

L*0 1 0 (3)

(x " xj3

3° lim —p-*- = 0 .,

t-KJ

где использовано обозначение

•ив

ГШ = 1 f(x).W(x)dx . -оо

Отсюда легко получить, что переходная вероятность №(хо,0;х,1) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению

в частных производных:

Чхо,0;хЛ) + ^(Цхо,0;хЛМхЛ)) -

= ~ {у(хо Д?Д)В(хД)] , (4)

т.е. уравнению Фоккера-Планка-Колмогорова.

• В §2 рассмотрен вопрос о замене переменных в интеграле Винера, порождаемой интегральным уравнением Фредгольма типа Вольтерра, которое может быть и нелинейным:

х(т) + / К!»«).^ = у(т) (5)

о

Эти преобразования невырождены, так как их якобиан (знаменатель Фредгольма) есть

ехр<| / К (ж и .б^).

В §3 строится решение уравнения Фоккера-Планка и устанавливается его связь с уранениями Блоха. При этом рассматривается следующая система стохастических уравиеий:

х.< т) - ЪАЬг) ,т) = р (т) , J ^ . ' Ч (7)

J =1.....п , 0<т<1 ,

где <уг> - п независимых винеровских процессов, причём мера

каждого есть

I .. t й<рА Г)

дурАт> = ехр{-/ р,<т»ат)п —г— • (8) * 11 ' о т=о Viía?

Предположим, что поле средних скоростей в (7) потенциально, так что

В^&о Д) = |г Л)

Этой системе стохастических уравнений отвечает следующее уравнение Фоккера-Планка

^М* сИу[И7 0) = } ДУ

(9)

Фундаментальное решение (9) можно получить методом замены переменных в интеграле Винера в результате получается

1$в.0;5Ц) = Jexpj-.fi (} - + ^А01с1г п • (Ю)

т=о (тЩт]п

Раскрывая скобки в показателе экспоненты в подынтегральном выражении н пользуясь определением полной производной по времени

0(х! т> ,т),(10) преобразуется к виду

ехр(2<ХШ)]

«(Ь0;5Ц) --т—1—V 1(1,0;ЗЛ) ,

ехр[2($о,0))

(И)

где

|(0)=?

является фундаментальным решением уравнения Блоха

^ г = - н г, н = л * [(70)а + ^о +г|оз (12)

и определяется известной формулой Каца-Фейнмана.

Легко видеть, что ехр{20$,1)) удовлетворяет сопряжённому уравнению Блоха с тем же оператором Гамильтона, что и в (12):

ехр(20(х,1)> = Н ехр(20(5Ц)> . (13)

Вторая глава полностью посвящена кинематическому броуновскому движению. Другими словами, рассматривается броуновское движение, возникающее при случайном каноническом преобразовании. Такое случайное каноническое преобразование возникает при стохастизации сопряжённого равенства Якоби классической механики гауссовыми белыми шумами (производной по времени от винеровскнх процессов); при зтом возникает стохастическое уравнение или их система вида (7). Легко видеть, что стохастизация именно сопряжённого равенства Якоби характеризуется невырожденностью якобиана преобразования (знаменателя Фредгольма соответствующего интегрального уравнения). Именно благодаря этому можно осуществить перенос частицы заданной массы с фиксированным числом степеней свободы из одного произвольного поля в любое другое.

Таким образом, в основании лежит стохастическое равнение

$г> + ¡¡т^ (х<т> ,т;>Ц) = &т> , (14)

где Бс1()!; т> и есть эйконал для частицы в заданом поле а ф) - винеровскнй процесс с мерой

<дЬ о = ехр{-^ ?.) с15>П , " „. (15)

где Ь характеризует интенсивность (температуру) ванеровского процесса.

Отметим, что (И) представляет собой набор равенств с одинаковой правой частью; все они тождественно могут бить переписаны в виде

5Ь> ♦ £ ^зЦ) -ш(5«п )|1г:а] = 0 . (15')

Это же уравнение определяет каноническое преобразование, с производящей функцией

-¿¡г т(5Ьг>,&г> ) . (16)

которая очевидно случайна. Именно по этой причине в принципе нельзя откалибровать это каноническое преобразование.

Отметим, что при таком преобразовании координаты становятся

случайными, а импульс становится Р- так что полностью теряет свою определённость (напомним, что р< п иедифференцируемая

функция)'. Новое действие • принимает вид 5'= $(Х,г;ХЛ)-тХ$'г), а импульс переходит из Р в Р'=Р-шр, что позволяет употребить термин "случайное миротрясение",поскольку правая часть в урзвненях (14) едина для всех частиц в прозвольных полях.

В третьей главе исследуется взаимосвязь евклидовой квантовой теории и случайных канонических преобразований в евклидовом варианте классической механики. В настоящем разделе так же широко использована теорема о факторизации, касающаяся структуры решения уравнения Фоккера-Планка и устанавливающая взаимосвязь этого уравнения с оператором Гамильтона квантовой теории. Здесь же рассматриваются стохастические уравнения вида

»«> " ЙЖ7,1п2(Х($) ,З;ХЛ) =. *«). (17)

Здесь - случайный винеровский процесс ,т.е. процесс, для которого вероятность находиться в бесконечно узкой трубке около заданной кривой есть

А* т> =ехр(-|Л?«> ёЛ П , ■, . (18) а 2(кт) есть функция Грина прямого уравнения Блоха

= -V • <!9>

Помимо уравнения (17), автором исследовано уравнение

»«> + &ТГ К()С(«) ^¡хЛ) = (х*> , (20)

где Н связано с аналитическим продолжением по времени классического действия как эйконала с действительной оси на чнсто мнимую ось; мы считаем при этом, что лагранжиан задачи стационарен (явно не зависит от времени); мы полагаем, что это требование физически достаточно обосновано, равно как и требование уточнения структуры нестационарных операторов Гамильтона в квантовой теорнн, чья зависимость от времени обычно автоматически переносится в квантовую теорию из классических задач . В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Показано, что при стохастнзацин сопряжённого равенства Якоби в случае стационарного лагранжиана возникает квантовая механика в квазиклассическом приближении в её евклидовом варианте.

2. Показано также, что в случае квадратичных лагранжианов

и

квантование в евклидовом варианте в точности сводится к случайному каноническому преобразованию.

3. Нами была получена эффективная квантово-механнческая потенциальная энергия,каторая напоминает потенциал Маделунга

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Бейлннсон A.A., Чоффо М. Броуновское движение, возникающее при случайном каноническом преобразовании //Тезисы докладов 29-й научной ■ конф.ф-та физнко-мат. и ест.наук.-М.:Изд-во РУДН.-1993.-с.70.

2. Бейлннсон A.A., Чоффо М. О природе стохастических уравнений, порождающих евклидову квантовую механику //Тезисы докладов 30-Й научной конф.ф-та физнко-мат. и ест.наук.-М.:Изд-р,о РУДН.-1994.-с.27.

3. Чоффо М., Массу С., Абу-Днаб М. Об интерпретации уравнении евклидовой квантовой механики //Тезисы докладов 31-й научной конф. ф-та физико-мат. и ест. наук.-М.;Изд-во РУДН .-1995.-е.47.

4.БеЙлинсон A.A., Чоффо М„ Хасан Н.Ш. Квантовая механика осциллятора с меняющейся во времени частотой //Тезисы докладов 31-й научной конф. ф-та физнко-мат.» ест. наук.-М.:Изд-во РУДН.-1995.-с.46.

5. Бейлннсон A.A., Мае су С., Чоффо М. Георема о факторизшин для квантовых осцилляторов, взаимодействующих через пространство-время //Тезисы докладов 31-й научной конф. ф-та физико-мат. и ест. наук. -М.:Изд-во РУДН.-1995.-с.44.

6. Бейлннсон A.A. Чоффо М. Случайные канонические преобразования н кинематическое броуновское движение. //ВЕСТНИК РУДН, сер. Физика 1996

ЧОФФО Мартин (Камерун)

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА И СЛУЧАЙНЫЕ КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

В диссертацноной работе изучена стохастизация сопряжённого равенства Якобн классической механики гауссовыми белыми шумаи для частниь! в произвольных полях. В результате получается, что это эквивалентно процедуре квантования в квазиклассическом приближении.

TCHOFFO Martin (Cameroon)

QUANTUM MECHANICS AND RANDOM CANONICAL TRANSFORMATIONS

In this paper ve are stochatizating the Jacobi's second equalities, of the classical mechanics by gaussian white noise for the Lagrangian of particle in any field. We show that it is equivalent to the procedure of quantification in quasiclassical approximation.

Ve also show the relationship between the kinematic Brownian motion and the problems of euclidean quantum theory.

I3.C5.9or. иоънм o,7o п.л. Tup.IuO Ьак.193

Tun.F/jii, GonxouuKiuuse.3