Метод канонических преобразований в теории сжатых состояний тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

на правах рукописи

С

Тлячев Тимур Вячеславович

Метод канонических преобразований в теории сжатых

состояний

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2014

005557058

005557058

Работа выполнена на кафедре квантовой статистики и теории поля Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: Чеботарев Александр Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор кафедры квантовой статистики и теории поля физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова

Официальные оппоненты: Манько Владимир Иванович

доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Физического института им. П.Н.Лебедева Российской академии наук

Башаров Асхат Масхудович

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник НИЦ "Курчатовский институт"

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Математический Институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук

Защита диссертации состоится ¿^у^ 2014 года в

часов на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2, физический факультет МГУ, СФА.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова (г. Москва, Ломоносовский проспект, д. 27) и на сайте www.phys.msu.ru.

Автореферат разослан " 2014 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.002.10, доктор физико-математических наук, '

профессор П.А. Поляков

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

Исследования неклассических состояний света связаны с развитием теории квантовой информации, методов квантовой криптографии и квантовой оптики, изучением новых возможностей генерации неклассического света.

Одним из центральных объектов квантовой теории информации являются гауссовы состояния, к которым относятся сжатые состояния. Важным свойством гауссовых и, в частности, сжатых состояний является то, что их можно получить экспериментально в нелинейных оптических параметрических процессах. Эти состояния обладают рядом полезных свойств, в частности, минимизируют соотношение неопределенности Гейзенберга, а также могут являться естественным источником сцепленных (перепутанных) состояний, необходимых для процессов квантовой криптографии и квантовых коммуникаций.

Методы, используемые в диссертации для этих целей, основаны на теории канонических преобразований, позволившей нам выразить в алгебраических терминах решение задачи о нормальной факторизации сжатий, вычисление композиции сжатий и скалярного произведения сжатий и определить индекс сжатого состояния, аналогичный индексу Маслова. В диссертации также рассматриваются два примера обобщенных сжатых состояний, интерес к которым связан с их возможной практической реализацией в апериодических нелинейных фотонных кристаллах.

Использование теории многофотонных коррелированных состояний электромагнитного поля важно в практическом плане. В частности, в оптических системах осуществлены квантовые коммуникационные схемы по передаче секретного кода и квантовому телепортированию фотонных состояний, открывающие новые перспективы в технологиях передачи информации, а также созданы квантовые генераторы случайных чисел, применяющиеся в криптографии.

Известно, что помимо информационных процессов сжатые состояния позволяют увеличивать чувствительность некоторых квантовых измерительных приборов. Примером такого рода приборов является квантовый интерферометр гравитационных волн (например, LIGO и его модификации).

Сжатые состояния играют важную роль не только в процессах, связанных с квантовой оптикой или квантовой теорией информации, но и в таких разделах физики, как физика конденсированного состояния вещества и астрофизика. В связи с этим, изучение свойств сжатых состояний также представляет у

значительный практический интерес.

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является описание динамики и анализа свойств многомодовых сжатых состояний с использованием в качестве математического аппарата метода канонических преобразований для конечного числа взаимодействующих бозе-частиц между собой, а также анализ многомодовых связанных квантово-оптических параметрических взаимодействий: вычисление явного вида волновой функции в представлении взаимодействия, ковариационных матриц и анализ энтропийно-информационных характеристик.

Научная новизна диссертационной работы

В диссертационной работе построено корректное нормально упорядоченное разложение оператора эволюции многочастичной квадратичной бозе-системы с использованием матриц канонических преобразований в аналитическом виде. Уточнены алгебраические выражения амплитуды и фазы нормальной факторизации для случаев вырожденной и невырожденной матрицы, задающей каноническое преобразование. Для этих целей введено понятие индекса нормальной формы сжатого состояния (аналог индекса' Маслова) и исправлены неточности в формуле Березина для скалярного множителя в формуле нормальной факторизации.

На основе полученных формул найдены алгебраические выражения для скалярного произведения сжатых состояний и нормального символа сжатия. Указан класс задач, точно решаемых для произвольного числа мод.

В приближении поля классической накачки, опирающейся на теорию канонических преобразований, проведен анализ нелинейных оптических параметрических процессов, происходящих в апериодическом нелинейном фотонном кристалле. Вычислен явный вид волновых функций в случае генерации трех и четырех мод в кристалле. Найдены энтропийные и информационные характеристики оптических параметрических процессов и на их основе проведен анализ сцепленности (перепутанности) состояний, генерируемых в этих процессах.

Теоретическая и практическая значимость диссертационной работы

Теоретическая и практическая ценность диссертации определяется тем, что развитая теория позволяет корректным образом связать различные представления обобщенных многомерных сжатых состояний, вычислять частич-

ный след и композиции сжатых состояний, средние значения наблюдаемых, их дисперсии и, как следствие, ковариационные матрицы в терминах матриц канонических преобразований. Данный подход численно устойчив и удобен для описания многочастотных нелинейных оптических взаимодействий, происходящих в поле классической накачки.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы являются обоснованными и достоверными, так как получены с помощью строгих методов теоретической и математической физики и в частных случаях воспроизводят результаты, полученные ранее другими авторами. Содержание различных разделов диссертационной работы представлялось в виде докладов и тезисов на следующих ведущих отечественных и международных конференциях по тематике исследования:

1. Вторая международная конференция "Математическая физика и ее приложения" (Самара, 2010)

2. Научная конференция "Ломоносовские чтения" (Москва, 2011)

3. The 19th Central European Workshop on Quantum Optics (CEWQO-2012) (Sinaia, Romania, 2012)

4. Восьмой семинар памяти Д.Н. Клышко (Москва, 2013)

5. The 20th Central European Workshop on Quantum Optics (CEWQO-2013) (Stockholm, Sweden, 2013)

6. 13th International Conference on Squeezed States and Uncertainty Relations (Nuremberg, Germany, 2013)

7. ICONO/LAT (Moscow, Russia 2013)

8. 34th International Conference on Quantum Probability and Related Topics (Moscow, Russia, 2013)

9. The 21th Central European Workshop on Quantum Optics (CEWQO-2014) (Brussels, Belgium, 2014)

Публикации

В диссертации приведены результаты, полученные непосредственно автором или при его активном участии. Результаты диссертации опубликованы в 11 работах, в том числе в 5 статьях в научных журналах из списка ВАК.

Структура и объем диссертационной работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Объем диссертации 103 страницы, включая 5 рисунков. Список литературы состоит из 117 наименований.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи работы, а также излагается краткое содержание работы.

В первой главе метод канонических преобразований иллюстрируется на примере многомодовых сжатий и сжатых состояний

Ut = 5л,t = e-iK-WbM')), \д,А) ЗД0),

5л = 1, Тд ^ е^И-л).

Основными результатами первой главы являются утверждение леммы 2 в разделе 1.4, а также диагонализация сжатий с помощью факторизации Та-каги в разделе 1.9.

С этой целью в разделе 1.1 приводятся формулы канонических преобразованиях операторов рождения-уничтожения at = 5л,t aS*At и а\ = 5л,t a' S*A t в терминах полярного разложения симметричной матрицы А:

( аЛ def gtf _ ( «Mi) Фл(4) \ { г- f° л с>\

где матричные коэффициенты вычисляются по формулам

Фл(0 = Ua cosh |A\t U*A, ФAit) = Ua sinh\A\t,

Фл(4) = cosh\A\t, = sinh \A\t U*A,

в этом случае:

ФAit) = Ф*A(t) = ФAi-t) > Флй = Фlit) = -ФAi~t). (3)

В разделе 1.2 проверено свойство симплектичности канонических преобразований

и вычислена композиция сжатий. Показано, что композиция операторов сжатий не является в общем случае сжатием в смысле, определенном формулой

В разделе 1.3 вычислены ковариационные матрицы квадратурных компонент х и р в сжатых состояниях, через матрицы канонических преобразова-

нии.

В разделе 1.4 получены формула нормального упорядочивания оператора сжатия и его нормальный символ, которые сформулированы и доказаны в виде следующей леммы: Лемма

1. Оператор сжатия может быть приведен к нормально упорядоченной форме

SA(t) = е-5(atAa1)e(at,Cta)(а,Д,а)gst = e~\{a!,R,a1) • е(а*,(ес«-/)а) . e\(afita)e»t_

(5)

Матрицы, входящие в разложение (5), выражаются через матрицы канонических преобразований по формулам

Rt = UAth\A\t = <5>~a1'i>a = n?, \Rt\<I, а = = (6)

а скалярная функция st определяется по формуле

st = --Тг In cosh \A\t = Тг In ФА* = - ^ In y/coshXkt, 9 k

где {Л|} - спектр матрицы А'А > 0, {cosh Afct} - спектр матрицы ФА, скобки : : устанавливают нормальный порядок операторов рождения-уничтожения (операторы рождения действуют после операторов уничтожения).

2. Для сжатий вида (1) Ct, Ct, Cs, Cs коммутируют при любых t,s е R.

3. Нормальный символ оператора сжатия равен

SymbSA(í,x) - - ^/g^6 - W

где состояния = Г{|0), |х) = ^1°) - произвольные когерентные состояния, а в выражении л/det ФА -берется положительная ветвь корня, т.к. Ф а> I для сжатий (1).

В качестве следствия этих формул в терминах матриц канонических преобразований независимым образом от общеизвестного метода Вея-Нормана1

i см., например, Shumaker, В. L. New formalism for two-photon quantum optics. II. Mathematical foundation and compact notation / B. L. Shumaker, С. M. Caves // Phys. Rev. A - 1985. - V. 31. - P. 3093-3111.

вычислена нормально упорядоченная форма оператора двухмодового сжатия. В квантовой оптике этот оператор описывает невырожденное параметрическое преобразование частоты вниз и играет важную роль в задачах генерации сцепленных состояний.

Следующие два раздела посвящены различным формам и нормировке сжатых состояний, а также о координатному и импульсному представлениям сжатого состояния | д, А)

ФяАХ) = тг^еЦФл-Фл) ' (8)

-1&.Л)

где ft — 9 + Rig и ветвь корня в знаменателе выбирается в правой полуплоскости, так как Фд ^ I и |Фл| ^ Фа-

Формулы (8), в частности, позволяют вычислить скалярное произведение двух сжатых состояний

■\J det(7 — QR)

где

Я = илИй\А\г = Ф^л, f = g + Rg, Q = UBth\B\t = Ф^Фв, p = q + Qq, nQ>R = (I-Q)~1 + (I-R)-,1-I = ^R.

В заключение главы описана процедура построения ортонормированных систем сжатых состояний с помощью формулы скалярного произведения (9). В разделе 1.9 приведена процедура диагонализации многомодовых сжатий, основанная на факторизация Такаги симметричных матриц:

A = UAAU%, UA = U(U*V)K

где Л > 0—диагональная матрица, a U и V унитарные матрицы такие , что

А = UAV*

— разложение матрицы А по сингулярным числам (т. н. singular value decomposition или SVD). Показано, что если известна факторизация Такаги симметричной матрицы А, то многомодовый оператор сжатия унитарно эквивалентен суперпозиции коммутирующих сжатий:

n

n=1

где

иА = е'ь, (1 =

Во второй главе рассматриваются многомодовые гамильтонианы вида

% = %-{а\Аа!) + (а\Ва) - 1-{а,Аа)+г(а\к)-г{а,Й). (И)

Канонические преобразования в этом случае имеют вид

В лемме 4 доказана формула нормального упорядоченного разложения оператора = е'т выражается через Ф(, Ф(, ^ и Л4:

Щ = е1"е~*(а'"й"1,)~(о''|") : е^'{еС'~1)а) : (13)

где

% = е-с<Щ, Ф( = е-С', Я, = Ф4"1Ф4 = Я^,

р( = е~с' = Ф(Ф(-1 = л = Ф^Лх, = Тц - рЛ-

Скалярная функция определяющая нормировку и фазу, вычислена тремя разными способами. Первый способ - дифференцирование нормальной упорядоченной формы егШ и вывод матричных уравнений Риккати для матриц Си

= А + гр(В + гВрг - ргАрь е~с'Я£е~с'Т = Д % = {гВ - -ргА)11 +Й- р(к, -к = - е"^, ^

= " / Й ~РтА + (7т'л7т))+ (7г'

Трудности, связанные с выводом обыкновенных дифференциальных уравнений для матриц & возникают в следствии некоммутативности операторов (а*,С(а) и (а+, С(а) в случае В/О, что является существенным отличием формулы (13) от формулы (5), что отражено в доказательстве теоремы 6.

В разделе 2.4 рассмотрены обратные канонические преобразования, задаваемые оператором [/_4 = е~1Ш

(5М£)'У СО ЧУ' (15>

которые связанны с каноническими преобразованиями (12) следующим образом

ф-« = Ф;, Ф_« = -ФГ

Для них приведены формулы нормального упорядоченных разложений аналогичные формулам (13) и (14).

В разделе 2.5 обоснованы два альтернативных способа построения скалярного члена st в разложении (13). Первый способ основывается на равенстве ен = (0|е,ш|0) и приводит к равенству, согласующемуся с (14).

Недостатком формулы (14) в многомерном случае является низкая скорость численного интегрирования следа при компьютерных вычислениях, поэтому в диссертации уделено внимание выводу алгебраических формул, быстро исполняемых для матриц й общего вида.

В случае Л. = 0 выражение для е3' может быть записано в упрощенной форме

/ Тг ргА6т = [ Тг ЯгАйт = Тг(гВг-С(), Jo Jo

(16)

/о

= (17)

——тг в

'е -е 1 (18)

Н2 = %-{а1Аа^) + {а\Ва) - а,Аа).

Знак (±) выбирается с учетом непрерывности выражений (17)-(18) по t. Для этой цели введено определение индекса нормальной формы сжатия.

Определим 1р(Ь) = 6 (—7Г, 7г], где аргументы собственных

значений матрицы Щ. Пусть {21} : 0 < Тх < Т2 < ■ ■ ■ < Тп(() < Ь мо-

менты времени 27г-скачков величины 1р(Ь) из одной части (—ж, п] в другую за время Если <р({) уменьшается, то скачок из — тг в 7Г положителен, если <р{Ь) увеличивается, то скачок аргумента отрицателен. Тогда целесообразно ввести понятие индекса 1п<1 и переписать выражение для нормально упорядоченной формы оператора ег11г1

ЬхсКя,*)^- £ *Ы<Р(Т« + 0)-Ч>{Тп-0)), (19)

„-Цтгвн л-ьаш) , ,

егЯ2< = е . е(а»,(ФГ1-Ло) : е|(0Да)_ (20)

х/ЗёГФ^

Таким образом, обеспечивается непрерывность скалярного члена разложения (20). Примеры непрерывной реконструкции функции фазы показаны на Рис. 1.

-4 -3 -2 -1

Рис. 1: Рисунки демонстрируют реконструкцию непрерывной фазовой функции методом, осиовапным на условии непрерывности по (тос!2я-) (см. (19) и реализацию алгоритма в http://statphys.nm.ru/biblioteka/Demo/FactorS.nb).

В разделе 2.6 при условии с^ б ф 0 и Л ф О, выведен алгебраический вариант формулы (14), позволяющий сократить время вычисления в тысячи раз:

е8' = (0|е |0) = е °

/1 Тг р^т+Я, е-|ТгВ+0,

Яг = (Л - - № ~ АЩ + (г, (Ф;1 - I - гВДЦл,

У35Гф;' ЦлД)'

^(Л, Л) у иУ'

Раздел 2.7 посвящен аналитическому вычислению для вырожденных в об-

щем случае матриц й матричных экспонент, входящих в (12) ё

01 е —I

ept_^-Gt

—, с помощью Жорданова разложения. В разделе 2.8 вычислен явный вид ковариационной матрицы V в терминах

матриц канонических преобразований

1,

V

_(Ф< + Ф4)№ + ФП г[(Ф1_+Фг)(ФГ-Ф Г)-/]\

(21) (22)

где С} = {хх,х2,... ,хп,р1,р2,.. .Рп)г, а средние берутся в состояниях е %ш. Основываясь на теореме Вилльямсона, построено симплектическое разложе-

ние ковариационной матрицы V

1/Х -XV 1Г (XV* -УХЧ*\

\-УХ УХУ + Х^) ~2Ь*Ь2' .Х-1")' (23)

X = (Ф4 + ф4)(ф; + ФП. у = - № + ФП_1(Ф? -

Симплектичность матриц понимается в обычном смысле

Эти формулы в дальнейшем играют существенную роль при вычислении энтропии и других характеристик, позволяющих анализировать сцепленность состояний, генерируемых в нелинейных оптических параметрических процессах, рассматриваемых в Главе 3 диссертации.

По аналогии с первой главой в разделе 2.9 введено понятие приведенного сжатого состояния

е<ТЙ|2) =е*-(«,.бН(«,Аа')|о)] (24)

где & = <?г — ФГ1-2! = + (/г!+ К2' ~Рьг) ~ и вычислено скалярное произведение, нормальные символы композиций обобщенных сжатых состояний:

>к=е^ [ -—

7Г2 л/|

/с!е1;(/- Д^е^/- Д2) Д^)'

Пи = = (I - ДО"1 + (/ - Й2)"1 -/ = (/- ЛО'Ч-Г - Д1Ла)(/ - Дз)-1, <Т12 = + - 1((еь (/ - ДгГ1^) - |((б?2, (/ - Д2)-1С2) + ±(У,П 12У),

где П12 = П12(01 ст12 = сг12(0> а = = ^¿(О являются элементами

приведенных форм (24), соответствующим сжатым состояниям и т/>2, а также введены матрицы (3; = — Ф,"1^.

В последнем разделе главы 2 в случае, когда матрица £) = ЛЛ — Д2 не вырождена и выполнено коммутационное соотношение В А = ЛД, построены точные аналитические выражения матриц канонических преобразований Ф£, Ф( через спектральное разложение эрмитовой матрицы £>.

Глава 3 посвящена задачам квантовой оптики, связанным с оптическими параметрическими процессами и допускающим точные решения с помощью метода канонических преобразований. На базе метода канонических преобразований, описанного в предыдущих главах, вычисляется вектор состояния в представлении взаимодействия квантовых оптических взаимодействий, их статистические, энтропийные и информационные характеристики, которые

дают возможность проанализировать свойства сцепленности (перепутанности) состояний, генерируемых в этих процессах.

Первое взаимодействие описывает два процесса параметрического преобразования частоты вниз и один процесс смешение частот

wp = wi + w2, ш2р = 2шр = и>2 + wi + UJP = w3, (25)

где iop, Ш2p ~ частоты накачки, а частоты wi, и>2, 0J3 генерируются в ходе взаимодействия. Этот процесс может быть, в частности, реализован в нелинейном фотонном кристалле.

В приближении медленно-меняющихся амплитуд полей и предположении классической накачки, гамильтониан взаимодействия рассматриваемой системы, может быть записан в виде2

Hint = ih[Pi{a\a\ - aia2) + &(44 ~ а2аз) + 7(oi4 ~ а1аз)], (26)

где a]-, a,j, (j = 1,2,3) операторы рождения и уничтожения фотонов с частотами LOj ; /3i,2 - нелинейные коэффициенты связи соответствующие процессам преобразования частоты вниз, 7 - нелинейный коэффициент связи соответствующий преобразованию частоты вверх.

Предполагая, что в начальный момент система находилась в вакуумном состоянии ЩО)) = |0)i® |0)2®|0)3, вычислен явный вид компонент волновой функции взаимодействия \ip{t)) € if3 в зависимости от времени

где параметры ^ = <î;(i) выражаются аналитически через канонические преобразования, порождаемые гамильтонианом (26), которые из-за громоздкости опущены в автореферате, а С„ = ¡¡\(п-ку.-

Второе взаимодействие рассмотрено в разделе 3.2.2 и включает в себя один параметрический процесс преобразования частоты вниз и два процесса смешения частот:

ыр = иj + uj2, uii + ùjp = ш3, w2 + uip = (27)

Аналогично взаимодействию (25) гамильтониан, описывающий процессы (27), можно записать в виде3

Нм = ih[P{a\a\ - + 7i(4ai ~ а1аз) + 7г(4а2 ~ 4a-i)]- (28)

2Chirkin, A. S. Statistic and information characterization of tripartite entangled states / A. S. Chirkin, M. Yu. Saigin // J. Russian Laser Research - 2007. - V. 28. - P. 505-515.

3Chirkin, A. S. Parametric amplification at low-frequency pumping and generation of four-mode entangled states / A. S. Chirkin, M. Yu. Saigin, I.V. Shutov // J. Russian Laser Research - 2008. - V. 29. - P. 336-346.

Аналитическим образом вычислены матрицы канонических преобразований и показано, что эффективный энергетический обмен между взаимодействующими волнами в (27) существуют при условии

Р >71 + 72- (29)

Аналогично разделу 3.2.1 вычислена зависимость волновой функции от времени, при условии начального вакуумного состояния:

№)) = е-ж|^(0)> = (О) |0)4

v/dët^

1 У^ F(m,n, k,l)\m + ® \m + l)2 ® |п-И)з О |п + Л)4 V i m.n,ktl

(30)

где

F(m,n,k,l) = (fii2(i))m(iÎ34(i))"(JRi4(i))':(iÎ23(i))VC^Cn+^n"+;C-+i.

В конце этого раздела приведены вычисления информационно-этропий-ных характеристик процесса (27), следующие из симплектических раложений ковариационных матриц. Графики зависимости энтропий 5(1), 5(2), 5(3), 5(4), S(pl2) = S(p34), S(pi3) = S(p2i), S (pu) = Б(р2з) ОТ времени приведены на Рис. 2 а), б). Интенсивный рост энтропий объясняется взаимодействием между модами и соблюдением условия эффективного энергетического обмена (29). Помимо энтропий процесса вычислены условные энтропии и взаимные информации процесса (см. Рис. 2 в), г)), определяемые по формулам

S(A\B) = S(pAB) - S(pB), Црлв) = S (pa) + S(pB) - S(PAB).

Важным свойством квантовой условной энтропии в отличие от классической условной энтропии является то, что она может принимать отрицательные значения. Для произвольного состояния рлв отрицательность условной энтропии 5(Л|В) является достаточным, но не необходимым условием сцеп-ленности. Таким образом, условная энтропия может служить индикатором сцепленности. Отсюда следует (Рис. 2 в), г)), что при смешивание частот (27) происходит блочное перепутывание: моды 1 и 2 сцепленны, моды 3, 4 также оказываются сцепленными, и подсистемы А = 12 и В = 34 сцепленны, поскольку 5(12|34) = —5(34) = 5(12) < 0. Найденный эффект представляет интерес для осуществления квантовой передачи информации, в частности, для state-merging протокола4.

4см. Horodecki, M. Quantum state merging and negative information / M. Horodecki, J. Oppenheim, A. Winter, // Communications of Mathematical Physics. - 2005. - V. 269. - P. 107-136. или Wilde, M. Quantum Information Theory / M. Wilde -Cambridge University Press, 2013. - 655 p.

а) 6)

1 1 в) .г)

Рис. 2: а) Зависимость энтропий = 5(г), (г = 1,2,3,4) от безразмерного времени взаимодействия 7? = /34 при 71 = 72. 6) Зависимость энтропий ¿'(ру) = 5(г^'), (г,; = 1,2,3,4) от безразмерного времени взаимодействия т] = /34 при 71 = 72 в) Зависимость условных энтропий 5(1|2), 5(1|3), 5(2|4), 5(3|4) от безразмерного времени взаимодействия т] = /ЗЬ при 7! = 72. г) Зависимость взаимных информаций /(12), /(23), /(34) от безразмерного времени взаимодействия 77 = /3£ при 71 = 72.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

В приложении приведены краткие сведения о гауссовых состояниях.

Защищаемые положения

В диссертации получены следующие основные результаты:

• Построено корректное нормально упорядоченное разложение оператора эволюции многочастичной квадратичной бозе-системы с использованием матриц канонических преобразований.

• Предложено корректное определение интегрального выражения для скалярного члена нормально упорядоченного разложения оператора эволюции квадратичной системы, а также его алгебраическое выражение как

для случая вырожденной, так и невырожденной матрицы, задающей каноническое преобразование.

• Введено понятие индекса (аналога индекса Маслова в квазиклассической квантовой теории) для корректного определения скалярного члена нормально упорядоченного разложения оператора эволюции квадратичной системы.

• Вычислены скалярные произведения сжатых состояний и нормальный символ сжатия в терминах матриц канонических преобразований.

• На основе метода канонических преобразований проведен анализ нелинейных оптических параметрических процессов, происходящих в апериодическом нелинейном фотонном кристалле, в приближении поля классической накачки. Вычислен явный вид волновых функций в случае генерации трех и четырех мод в кристалле. Найдены энтропийные и информационные характеристики оптических параметрических процессов и на их основе проведен анализ сцепленности (перепутанности) генерируемых в процессах состояний.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. А.М Чеботарев, Т.В. Тлячев, A.A. Радионов, Сжатые состояния и их применение в задачах квантовой эволюции// Математические Заметки, том 89 (2011), с. 614-634.

2. А.М Чеботарев, Т.В. Тлячев, A.A. Радионов, Сжатые состояния и их применение в задачах квантовой эволюции // Вторая международная конференция "Математическая физика и ее приложения Самара, 29 августа - 4 сентября 2010 с. 274—276.

3. A.M. Чеботарев, Т.В. Тлячев , A.A. Радионов, Обобщенные сжатые состояния и многомерная формула факторизации// Математические Заметки, том 92 (2012), с. 762-777.

4. A.M. Чеботарев, Т.В. Тлячев, Многомерные формулы факторизации не-коммутирующих семейств операторов и их применение в задачах квантовой эволюции// Ломоносовские чтения, 16 - 25 апреля, 2012, Москва, с. 62-65.

5. T.V. Tlyachev, A.S. Chirkin, General approach to the quantum theory of multipartite coupled parametric processes// The 19th Central European Work-

shop on Quantum Optics (CEWQO-2012), 2 - 6 July 2012 , Sinaia, Romania, p.77—78.

6. T.V. Tlyachev, A.M. Chebotarev and A.S. Chirkin, A new approach to quantum theory ofmultimode coupled parametric processes// Physica Scripta, T153 (2013).

7. T.V. Tlyachev, Multipartite coupled parametric processes and uncertainty relations// 20th Central European Workshop on Quantum Optics (CEWQO-2013), 16-20 June 2013, Stocholm, Sweden p. 188.

8. A.S. Chirkin, A.M. Chebotarev, T.V. Tlyachev, Quantum theory of coupled three-frequency optical parametric interactions, multipartite entangled states// 13th International Conference on Squeezed States and Uncertainty Relations, 24-28 June, 2013, Nuremberg, Germany p. 43.

9. A.S. Chirkin, A.M. Chebotarev, T.V. Tlyachev, Complete quantum theory of nondegenerate optical parametric amplification at low frequency pumping// ICONO/LAT, 18-22 June 2013, Moscow, Russia, p. 29.

10. T.V. Tlyachev, A.M. Chebotarev and A.S. Chirkin, Canonical transformations and multipartite coupled parametric processes// Physica Scripta, T160(2014).

11. A.M. Chebotarev, T.V. Tlyachev, Normal Forms, Inner Products, and Maslov Indices of General Multimode Squeezings// Mathematical Notes, 2014, Vol. 95, No. 5, pp. 721-737 .

Подписано к печати ^4-Л0АА Тхфвак ЮО Заказ 4(\4

Отпсчалтшо н отделе оперативной печатях

фнзкческогта факультета МГУ