Применение методов интегралов движения и коррелированных сжатых состояний для исследования нестационарных квантовых систем и динамика выделенных подсистем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕД ¡-ЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РС^СР

МОСКОВСКИ!! ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО знамени ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

Климов а;щреа Борисович

УДК 530.145 .

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ИНТЕГРАЛОВ ДВИЖЕНИЯ И КОРРЕЛИРОВАННЫХ СЖАТЫХ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ И ДИНАМИКА ВЫДЕЛЕННЫХ ПОДСИСТЕМ

Специальность 01.04.02- теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических каук

Москва - 1990 г.

Работа выполнена в Московском ордена Трудового Красного Знамени Физико-техническом институте

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

Врдущая организация:

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник

В.И.МАНЬКО

кандидат физико-математических наук доцент

B.В.ДОДОНСВ

доктор физико-математических наук

О.П.АЛЛИЛУЕВ ((.ЙТИ)

кандидат физико-математических наук

C.Ы.ЧУМАКОВ (ЦКБ Уп АН СССР)

Куйбышевский Государственный Университет, г.Куйбышев

Защита состоится

19^1

г. в

10 часов на заседании Специализированного Совета КР.063.91.39 Московского Физико-технического института по адресу: 141700 г.Долгопрудный Московской обл..Институтский пер.,д.9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского Физико-технического института.

Автореферат разослан

Ч ¿5~ И ь/и^г

ул.

1990г.

Ученый секретарь Совета к андидат фиэ ико -г м.тем а-тических наук

С.и.КОРШУНОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований. Одной :■. интенсивно развивающихся областей квантовой физики является изучение нестандартных, специфических состояний квантовых систем. Интерес к состояниям квантовых систем, особенно физических полей (электромагнитного, акустического и т.д.-), обладающих необычными свойствами и взаимодействующих нестандартным образом, имеет не только чисто теоретический характер, но, и связан с развитием экспериментальных методов. Главным образом, изучение существенно квантовых coctoj-.шй поля и вещества подталкивается появившейся возможностью передавать и регистрировать сверхслабые сигналы, а так же наблюдать в эксперименте взаимодействие одного или нескольких атомов с квантованным полем в peí. ..атора. Одними из таких специфических состояний электромагнитного поля являются сжатые и коррелированные когерентные состояния (ККС). Эти состояния характеризуются тем, что в них дисперсия одной из канонически сопряженных переменных оказывается меньше, чем в основном состоянии и, кроме того, не равно нулю среднее значение от произведения (т.е. корреляционная функция) канонически сопряженных величин. йленно эти обстоятельства является особенно важными, поскольку появляется возможность существенно уменьшить неизбежные квантовые шумы для подходящим образом выбранной переменной, над которой производится наблюдение, и в которую, собственно, и записывается нужная информация. Это молено сделать за счет увеличения шумов канонически сопряженной переменной, не подлежащей регистрации. В качестве примера можно указать хотя бы на проблему сверхчувствительных измерений очень слабых внешних воздействий в эксперименте по поиску гравитационных волн.

Изучению сжатых состояний посвящено достаточно большое количество как теоретических, так и экспериментальных работ. Нашей задачей является исследование влияния коэффициентов корреляции и сжатия на физические эффекты в сжатых состояниях, а также анализ процессов, в которых такие состояния возникают. В качестве причин возникновения сжатых состояний могут выступать как нестационарность изучаемой системы, так и взаимодействия ее с каким-либо внешним агентом.

В последнем случае интересующую нас квантовую систему мож-

но рассматривать как некоторую подсистему, связанную с резервуаром, обладающим многими степенями свободы.

Влиян;:о такого взаимодействия на динамику выделенной подсистемы иногда можно учесть точно, например, при рассмотрении квантовых систем, описываемых лагранжианами с высшими производными, а иногда приближенно. В качестве примера можно указать эволюцию выделенной моды поля в резонаторе с подвижными стенками. Кроме того, в случае бесконечного числа степеней свободы термостата, взаимодействующего с выделенной подсистемой, возникает проблема диссипации энергии в подсистеме. Вопросы учета диссипации энергии в квантовых системах чрезвычайно важны и широко обсуждаются е литературе, поскольку тесно связаны с экспериментальными проблемами ъ сверхпроводимости (туннелирование через джозефсоновский контакт при учете квантового трения) и в квантовой радиофизике (взаимодействие поля со стенками резонатора) .

?!епъ работы состоит в теоретическом исследовании в рамках единого подхода, основанного на формализме теории когерентных состояний, функции Вигнера и интегралов движения широкого круга проблем, относящихся к описанию эволюции разнообразных подсистем, взаимодействующих с окружением.

В связи с этим ставились следующие задачи:

1. Выяснение влияния коэффициентов скатил икоррвляции на фушщию распределения квантов в коррелированном сжатом состоянии, на вероятность туннелирования сжатого пакета через потенциальный барьер, на флуктуацию эрмитового оператора фазы в сжатом состоянии.

2. Вычисление топологической фазы Берри в модели Джейнса-Каммангса и эффектов сжатия поля в однофотонном случае.

3. Рассмотрение етитплпмсскнх характеристик электромагнитного поля в резонаторе с движущимися стенками.

4. Учет обратного действия поля на движущиеся стенки резонатора и влияния нестационарной силы Казимира на сдвиг уровней эноргии гармонического осциллятора.

5. Получение квазикласслчоских пропагаторов и равновесных матриц плотности квантовомоханичоских систем при наличии идеальных границ.

6. Изучение релаксационных явлений в многомерных системах:

влияние состояния термостата ка размозэсккз дисперсии осциллятора.

7. Вычисление намагниченности идеальных болъцианозсксго

и фермиевского газов при наличии сильной и слабой связи с термостатом.

8. Получение явных точных функций Грина для систем с нестационарными квадратичными лагранжианами, содержащими высшю производные.

Согласно постгЕлзкнк»! задаче:.: на защиту выносятся научна тт0.тг/-ения I

1. Осцилляции функции распределения квантов в коррелированном сжатом состодяни (КОС), вероятность туннелирования сжатого пакета через потенциальный барьер, флуктуации оператора фазы з КСС.

2. Фаза Берри и сжатые состояния в модели Джейнса-Камминг-

са.

3. Коэффициенты снатия и корреляции электромагнитного поля в резонаторе с движущимися стенками.

4. Сдвиг уровней энергии осциллятора при учете нестационарного эффекта Казимира.

5. Квазиклассические пропагаторц квалтовомеханических систем при наличии идеальной границы.

6. Равновесные дисперсии осциллятора взаимодействующего с термостатом, находящимся в скатом состоянии.

7. Намагниченность идеальных больцмановского и фермиевского газов при наличии связи с термостатом.

8. Точные функции Грина систем, описываемых стационарными п нестационарными лагранжианами с высшими производными.

Научная новизна работы: Б диссертации изучены ряд новых свойств коррелированных сжатых состояний и влияние коэффициентов корреляции и сжатия на вид фу:нции распределения квантов в КСС, на вероятность туннелирования сжатого пакета через потенциальный барьер, на флуктуации оператора фазы в КСС. Найдена топологическая фаза Берри, возникающая при адиабатическом изменении параметров в модели Днейнса-Камг.пшгса,и рассмотрен эффект сжатия в случае однофотонного возбуждения. Теоретически рассмотрен метод генерации сжатьгс состояний в рззонаторв с даижугдмися стенками. Изучено влияние нестационарной силы Казимира на энер-

готический спектр гармо!шческого осциллятора. Найдены в кзази-классическом приближении функции Грина для осциллятора со стенкой, находящейся не в начале, координат, и для других квантовоме-ханических систем при наличии идеальной стенки. Найдена намагниченность квантовой частицы, подчиняющейся статистике Болъцма-на, в магнитном поле при наличии сильной связи с термостатом. Получены поправки, обусловленные этим ^взаимодействием, к формуле Ландау для димагнетизма, а также поправки к формуле для осцилляции магнитного момента в эффекте де Гааза-ван-Альфена.

Найдены точные явные пропагаторы для системы, списываемой нестационарным лагранжианом со второй и высшими производными.

Практическая ценность работы. Изученная в Главе I специфика функции распределения квантов в КСС ггокот быть использована для идентификации коррелированного жатого состояния. Знание влияния коэффициентов корреляции к сжатия на вероятность туннелиро-вания пакета через потенциальный барьер необходимо для выбора оптимальных схем поддержания квантовых систем в КСС. Измерение фазы Еерри в модели Джейнса-Качмингса,описывающей взаимодействие ридберговского атома с модой квантованного поля, может быть полезно в экспериментах по неразрушающим измерениям в квантовой оптике.

В Главе П показано, что учет нестационарного эффекта Казимира оказывает влияние как на спектр квантовой системы (сдвиг уровней энергии),так и на статистические характеристики (возникновение сжатых состояний).

Рассмотренное в Главе Ш влияние диссипации, то есть, взаимодействия заряженного газа с термостатом, на намагниченность может быть проверено на эксперименте, особенно в эффекте осцил-ляций магнитного момента де Гааза-ван-Альфена. Полученные в Главе 1У пропагаторы для систем, описываемых нестационарныйш лагранжианами с высшими производными, интересны, в первую очередь, тем, что все формулы можно получить в явном виде благодаря специальному виду возникающего взаимодействия. Однако, полученные функции Грина могут быть использованы в статистической физике полимеров, где естественным образом пояьляются лагранжианы со старшими прчизводными, для вычисления различных характеристик, полимерных нитей.

Апробация работн. Основные результаты диссертации доклады-

вались и обсуждались на У1 Всесоюзно;.: коляокввуш "Современный групповой анализ: методы и приложения (Баку, 1988), на Всесоюзной школе-семинаре "Представлен:: групп в c;:;-¿..:<e" (Тамбов, 1989), па Рабочем совещании "Рассеяние, реакции, перехода в квантовых системах и метода симметрии" (Обнинск, 1989, 1990), на сессии отделения ядерной физики (Москва, 1990), на 18 Международном коллоквиума "Теоретико-групповые метода в физике" (Москва, 1990), па семинарах по теоретической физике :: теоретик -групповым методам 3:!АН СССР им, le бе дева.

Структура и объем гиссептацнн. Диссертация состоит из введения, четырех глав, I приложения, списка литературы. Диссертационная работа изложена на 162 стр. машинописного текста, вклкь чает 9 рисунков, список литературных ссылок - 130 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕЕЕАНЩ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность теш, сформулирована цель, дана общая характеристика работы, приведены положения, Еыноспмке на защиту и кратко изложено содержание работы.

Глава I посвящена исследованию коррелированных сжатых состояний (КСС) гармонического осциллятора, влиянию коэффициентов корреляции и сжатия на некоторые физические эффекты. Дан обзор литературы по сжатым состояниям.

3 параграф« I рассмотрены коррелированные сжатые состояния как минимизирующие соотношения неопределенности Шредингера-Робертсона Ср è г*] , где г=

коэффициент корреляции, исследовано отличие между чисто сжатыми и коррелированными состояниями и их генерация в параметрическом осцилляторе. Выписаны основные соотношения, характеризующие КСС.

В параграфе 2 подробно исследована функция распределения квантов в КСС V„ = kn| /3, u,J2 , где | КСС, являющееся собственным для оператора уничтожения Ь , получающегося из глауберовских операторов рондония уничтожения путем преобразования Боголюбова: + va* ,

b|p,u,v> = . Рассмотрены ассимптотшси функции рас-

пределения \fjn при больших значениях коэффициентов сжатия К= ^l/бр 11 корреляции г . Показал осциллирующий характер

функции распределения в зависимости от соотношения параметров

( /ъ , К , г ).

В параграфе 3 найдены средние значения и флуктуации эрми-тового оператора фазы в КСС при различных значениях коэффициентов ( [Ь , К , ) и показана связь между флуктуациями оператора ;разы и осцилляциями функции распределения Л\гп

В параграфе 4 рассмотрено туннелирсванпе сжатого пакета через потенциальный барьер вида "V- ) ,

/л ( ) . Показано, что обратное время тушелирования сжатого пакета может быть как больше, так и меньше чем в случае туннелировання когерентного пакета той жз энергии при условии

I^ICl

I и 1

Т K-t £ V

где 20 = 2 0-«¿-у . /Ci.= cirgu, ¿'= arg

у

г

В параграфе 5 найдена топологическая фаза Еерри О в модели Джейнса-К&ммпнгса с гамильтонианом Н - co0Q.*c1 + + OJí + /i +/<*a <Г+ , описывающей взаимодейстЕио двухуровного атома с выделенной модой поля в резонаторе.

В случае циклической эволюции параметров гамильтониана состояние с первоначально ковозбужденной двухуровневой системой переходит в состояние h^f = cos£ 1¿°J,0)> +¿SinSl,J-i, í)> , fJ - полное число возбуждений в систомо, и при соответствующим образом выбранному закону эвоясции параметров пате может переходить в сжатое состояние (&р/Сро = * S

В Глачо П псслодованы квантовые эффекты в пространственно-ограниченных системах с изменяющейся геомотрией.

В параграфе I рассмотрена одномерная электродинамика резонаторов с движущейся стенкой - система описываемат уравнением ~ Wx - 0 с граничными условиями У7с>)= ¥(¿(1)) — С , где L(t) - произвольная функция времени, модовые функции для которой были получены Муром (Moore , 1970).

йшпсаш некоторые точные решения и приближенные - в ряд по параметру

В параграфе 2 найдена сила, действующая на движущуюся стен

ку резонатора пря /с ^ (нестационарный эффект Казимира) с точностью до второго порядка малости. Показано, что в розультатс действия этой силы меняется спектр квантовой систе-

мы - стенки движущейся в финитном потенциале. Для квадратичного потенциала с уровня энергии

го потенциала сдвиг уровне:; энергии пропорционален П2 - номер

£> - площадь стенки, <=! - размерность системы.

В параграфе 3 рассмотрена эволюция первоначально когерентного поля з резонаторе с движущейся стенкой. Показано, что это поле переходит в коррелированно сжатое состояние. Для гармонического закона движения сгонки, з резонансном случае (стсшса колеблется на удвоенной собство;шой частого), найдены коэффициенты корреляции и сжатия К=1+тгал/ , г--а/4 ,

л/ - число прозедЕих полупериодов, я _ амплитуда колебания с тонки ( ттаг^ « 1 ).

В параграфе 4 в квазнклассическом приближении пайдока функция Грина для норелятпвистской частицы в полупространстве, ограниченном идеально отражающей стенкой. Получен пропагатор для осциллятора со стошсой не в начале координат: в случаях I) слабого потенциала л ?,) небольшого смещения стеши от начала координат и для про:г;голького потенциала со стенкой.

Глава Г! посвящена исследованию релаксационных процессов в квантовых системах в случае сильной связи с термостатам. Дан обзор работ по прсблэме затухания в квантовой механике.

В параграфа I рассмотрен общий метод исследования квадратичных квантовых систем при наличии связи с термостатом, состоящим из набора невзаимодействующих гармонических осцилляторов. Метод основан на усреднении по пароконным термостата функции Вигнера всей системы = ^ , где

> ® -переменные подсистемы, ^ - переменные термостата, в там случае,когда в начальный момент времени функция Вигнера факторизована по поременкым & и £ и Лл70££) представляет собой гауссову экспоненту.

В параграфе 2 рассмотрен осциллятор в термостате со взаимодействием вида И Х0 Х^ . Описан последовательно

- В -

метод перехода к континуальному пределу и вознпковения диссипации в осцплляторнон системе. Найдены установившиеся Ц— диспорсип осциллятора в том случае, когда термостат находится в сглтом коррелированном состоянии.

В параграфе 3 рассмотрена двумерная система в термостате -осциллятор в магнитном поле при наличии связи с тепловой баней (термостат находится в разновесном состоянии с температурой Т). Взапмодойствие_с гзрмостатсм описывалось членом вида

„2Г о! л 7Г у°л- где тг -кинетически:! импульс.

Б случае, когда тги.^ £к = ^ ^л^ , у, У\.-«>п5{,

£к - функция спектрально:: плотности осцилляторов термостата, получена точная формула (при у < /\. ) для намагниченности осциллятора

где , £ , £пГи) ,

а уп - решение алгебраического уравнения шестой степени. В продело _П— 0 ( - частота осциллятора) для намагниченности свободной частицы (диамагнетизм Ландау) найдены поправки в случае слабой диссипации ^^^х'тХ ^ ^ ■ 3 пределе высоких температур ^/т ^ i поправка имеет универсальный характер и намагниченность в этом случае оазна

В случае низких температур поправка зависит от параметра Л и в простейшем случае Л = 1 намагниченность равна

с ( 2 4 1 * /З2)

2 4 I 2п2 р В параграфе 4 в случао слабой диссипации и слабого магнитного поля, используя метод преобразования Румера, получены поправки к формуле, описывающей осцилляции намагниченности в эффекте де Гааза-ван Альфона. В предположении, что диссипация не влияет на спиновое состояние системы, получено что в результате взаимодействия происходит увеличение как регулярной части намагниченности, так и амплитуды осцилляции.

В Глава ГУ на основе общей схемы исследования квадратичных систем (Малкин, Манько, 1979) получены пропагаторы для нестационарных лагранжианов с выспшми производными в квантовой механике. ... •

В параграфе I рассмотрена гамильтонова формулировка системы с лагранжианом

где Xln) — п - ная производная координаты по вре-

мени.

В параграфе 2 в явном виде найдена функция Грина для нестационарного квадратичного лагранжиана со второй производной в терминах ¿j -функций, являющихся решениями обыкновенного дифференциального уравнения 4-го порядка

J ^ к2 J *г Кг i

получен пропагатор для лагранжиана Калдиролы

^.-¿e^fxWxM

предложенного для описания движения излучающего электрона в квадратичном потенциале.

В параграфе 3 исследована эволюция £ -функции в случае адиабатического изменения параметра lJl= K'A<i , ч/со2- 1 в лагранжиане со второй производной

£ ~"Wifr)-Sinf JJtS(i)]

получены выражения для "W/r), S/T) в виде ряда по ¿j2-

В параграфе 4 выписана зависящая от внешнего источника часть функции Грина для лагранжиана со второй производной и коэффициентов, зависящих от времени.

В параграфе 5 исследована функция Грина для лагранжианов с /J -ой производной. Соответствующие выражения определяются решениями обыкновенного дифференциального уравнения порядка . 2fJ , начальные условия для которого находится из решения системы линейных уравнений.

В параграфа 6 получены поправки, возникающие в выражениях для эволюции координат импульсов в том случае, когда коэф-

фициент при второй производной в лагранжиане стремится к нулю.

В параграфе 7 кратко рассмотрено применение функций Грина для систем, описываемых лагранжианами с высшими производными, к исследованию статистики полимеров.

В приложении построены когерентные и фоковскиэ состояния для лагранжиана со второй производной.

В Заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные выводы к результаты диссертационной работы:

I. Показано, что функция распределения квантов в КСС имеет не регулярный вид, причем характер ео осцилчяций зависит от соотношения между параметрами состояния.

2. Найдена вероятность туннелирования сжатого пакета черег потенциальный барьер. Эта вероятность в зависимости от коэффициентов сжатия и корреляции может быть как больше, так и меньше, чем для когерентного пакета.

3. Найдены средние значения и флуктуации эрмитового оператора фазы в КСС в различных предельных случаях.

4. Вычислена фаза Берри в модели Дкейнса-Каммингса. В случае однофотонного возбуждения показано, что при соответствующе!, выборе закона эволюции параметров модели, поле может переходит! в сжатое состояние.

5. Показано, что в процессе эволюции электромагнитного поля в резонаторе с движущейся стенкой первоначально когерентное состояние становится сжатым коррелированным. Найдены коэффициег ты корреляции и сжатия для гармонического закона движения стенки.

6. Показано, что учет нестационарной силы Казимира приводи к сдвигу уровней энергии гармонического осциллятора.

7. Получены квазиклассические пропагаторы и равновесные матрицы плотности осциллятора со стенког не в начале координат и для произвольного потенциала при наличии идеальной границы.

8. Найдены равновесные дисперсии для осциллятора, взаимодействующего с термостатом, находящимся в сжатом состоянии.

9. Вычислены намагниченность заряженной частицы, подчиняющейся статистике Больцмана, в магнитном поле при наличии сильной связи с термостатам. В случае слабой дасо .нации получены поправки к формуле Ландау для диамагнетизма. В пределе высоких температур и слабой диссипации найдена поправка к формуле для намагниченности ферми-газа в эффекте де Гааза-ван Альфена.

10. Получены явные точные выражент для функций Грина систем, описывае;,их нестационарными квадратичными ::згранжианами со второй и высшими производными.

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Додонов В.В., Климов Л.Б., Манько В.И. Счет квантов для коррелированного света и звука. - Москва, 1988. - 54 с. /Препринт/ ФИЛИ игл.Лебедева.: У? 145.

2. Dodonov V.V., Klinov Л.В., lian'lco V.I. Photon number oscillation in correlated light // Phys.Lett.A.-19S9.-Vol.134.-

i; 4.-P.211-216.

3. Додонов В.В., Климов А.Б., Манько В.И. Квантовые эффекты

в коррелированных состояниях // Современный групповой анализ. Методы и приложения: Тр.Всепвзн.Коллоквиума. Baity.

1988. Элм.1989. С.81-87.

4. Dodonov V.V., Klimov.А.В., Man'ko V.I. Honatationary Casimir effect and oscillator energy level 3hift // Phys.Lett.A.-

1989.-Vol.142.-И 8.9.-P.511-513.

5. Андреев В.А., Климов А.Б., Лернер П.Б. Геометрическая фаза для модели Джейнса-Каммингса и интерференция атомных состояний // Письма КЭТ5.-1989.-Т.50.-В.?.-С.63-65.

6. Andreev V.A., Xlimov А.В., Lerner Р.В. Berry phases in the atomic interferometer // Europhuo.Lett.-1990.-Vol.12.-

II. 2.-P. 101 -106.

7. Dodonov V.V., Klimov Л.З., fuan'ko V.I. Generation of squeezed light in tho resonator v.-ith moving wall // Phys.Lett. A.-i990.-Vol. 149.-is 4.-p.225-229.

8. Додонов В.В., Климов Л.Б., Манько В.И. Генерация сжатого света в резонаторе с движущейся стенкой // КСФ ФШ1.-1990.-Ге 10. - С. 14-17.

9. Додонов B.B., Климов A.B., Манько В.И. Физические эффекты в коррелированных состояниях // Тр.SÍAH.-1990.-Ï.200.-С. £6 —Х05"

Ротапринт цсртч Зое. ^ п?и/>. M М-Р!