Параметрические осцилляторные модели и сжатые состояния квантовых систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ОБИЕЯ ФИЗИКИ

на правах рукописи УЖ 530.143

МАНЬКО ОЛЬГА ВЛАДИМИРОВНА

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ОСЩШЯТОРНЬЕ МОДЕЛИ И СЯАТЬЕ СОСТОЯНИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1993

Работа выполнена в Институте ядерных исследований Российской Академии Наук Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент

Додонов В.В. С МФТИ, г.Жуковский) Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кузьмин В. А. СИЯИ РАН, г.Москва) доктор физико-математических наук, профессор Аллилуев С.П. (МФТИ. г.Долгопрудный) Ведущая организация: Государственный астрономический институт им. П. К. Штернберга Московского Государственного Университета С г.Москва)

/г«

Защита состоится 1993 года в часов в

конференц-зале корпуса N 3 Института общей физики РАН на заседании Специализированного совета Д.003.49.03. Москва, улица Вавилова, д.33

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института обшей физики РАН.

Автореферат разослан " 1993 г_

0БП1АЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена теоретическому описанию динамики параметрических осцилляторных моделей, основанному на методе квантовых интегралов движения, построение и исследование сяатых корел-лированных состояний данных систем и способов их возбуждения при помощи параметрической раскачки.

Актуальность проблемы

В последнее время возник большой интерес к изучению сжатых коррелированных состояний в связи с проблемой создания гравитационных антенн и развитием теории неразрушашшх квантовых измерений с одной стороны и изучением новых возможностей генерации неклассического света с другой стороны. Большое внимание стало уделяться анализу статистических свойств неклассического электромагнитного поля, рассмотрение многомерных функций распределения фотонов в многофотонных сжатых и коррелированных состояниях, эволщии статистических характеристик поля при распространении' в нестационарных и неоднородных средах, поиску оптимальной процедуры детектирования неклассических состояний поля.

Данная диссертационная работа основана на использовании метода квантовых интегралов движения для квадратичных систем, теории когерентных и сжатых коррелированных состояний. Когерентные состояния как термин и понятие были введены Глаубером в 1963 году при рассмотрении состояний осцилляторов электромагнитного поля и изучении его статистических свойств. Затем появились различные обобщения этих состояний:. статье состояния, статье коррелирован-

кые состояния. Сжатые состояния отличаются от когерентных тем, что обезразмеренные стандартные отклонения в них не равны, а, наоборот, отличаются. В силу своих специфических свойств эти состояния оказались очень полезными при решении конкретных физических вопросов, связанных в первую очередь с проблемами гравитационно-волнового эксперимента и неразрушающих квантовых измерений С регистрации гравитационных волн, изучения квантовых свойств макроскопических резонаторов), с различными задачами теории электромагнитных волн и квантовой оптики. Коррелированные состояния были введены как состояния минимизирующие соотношение неопределенностей Шредингера-Робертсона и обобщающие обычные Сглауберовские) когерентные состояния и сжатые состояния.

Задача о многомерной квантовой системе, описываемой общей неоднородной квадратичной формой по операторам координат и импульсов с зависящими от времени коэффициентам!, подробно изучалась во многих работах. Однако, динамику конкретных систем не всегда удается находить в явном виде. Специфика физически интересных квантовых систем, моделируемых многомерным осциллятором, как раз заключается в том. что для них можно решить до конца классическую задачу, тем самым получая явно ответ и для квантовой задачи. Такими интересными объектами являются квантовые цепочки осцилляторов (в пределе квантовые осцилляторные струны) с зависящими от времени параметрами, рассмотренные в данной диссертации. В ней. в частности, дан литературный обзор работ, в которых рассматривались различные виды осцилляторных цепочек и обсуждались возможности моделирования данными системами различных физических

процессов: параметрического возбуждения фононов. поведения молекулы на поверхности, • процессов в полимерах.

В связи с изучением новьк возможностей генерации неклассического света, одной из которых является параметрическое возбуждение системы, представляет интерес рассмотрение процессов, происходящих при параметрическом воздействии на осциллятор С моделирующий джозефсоновский контакт) и цепочку осцилляторов Смоделиру-DtuHX систему связанных джозефсоновских контактов) в виде очень коротких во времени импульсов, моделируемых 6-зависимостыо частот от времени. Такая зависимость, рассмотренная в диссертационной работе, позволяет точно решить классические уравнения движения и явно получить параметры сжатия и корреляции в системе связанных Квантовых осцилляторов и квантовых колебательных контуров.

Впервые возможность использования джозефсоновского перехода (моделируемого квантовым колебательным контуром) для генерации сжатого электромагнитного излучения была предложена Yurke В. в 1987 году CYurke В. J.Opt.Amer.Soc.. 1987, 4. N 10. p.1531). a в 1991 году его группой б'ьио получено 47% сжатие флуктуации вакуумного шума при помощи' параметрического джозефсоновского усилителя С Mo V s ho vich R. . Yurke В.. Kaminsky P.G. Smith A.D.. Sikver А. H. . Simon R.W. . Schneider M. V. Phys. Rev. Lett. . 1990. 65. N 12. p.1419-1422). В диссертационной работе была предложена и подробно исследована генерация коррелированных сжатых состояний электромагнитного излучения при помощи параметрической раскачки самого джозефсоновского перехода путем изменения его плазменной частоты. Указано на возможность получения аналога нестационарного эффекта

Казимира при помоои параметрического возбуждения джозефсоновского контакта и на возможность использования его в качестве вакуумного генератора электрических колебаний.

Цель диссертационной работы состоит в построении сжатых коррелированных состояний для параметрических осцилляторных моделей, изучении эффектов сжатия и корреляции в них и применении полученных результатов к распространение параксиальных пучков света в слабонеоднородных средах- и к генерации сжатых коррелированных состояний тока в системе джозефсоновских контактов.

Научная новизна работы В диссертационной работе впервые было исследовано возбуждение сжатых коррелированных состояний под действием параметрической раскачки в цепочках квантовых осцилляторов и квантовых колебательных контуроц при произвольной зависимости частот от времени, а для квантового одномерного осциллятора изучен временной аналог известной модели Кронига-Пенни. В последнем случае рассмотрена зависимость энергии квантовых флуктуации от силы 5-толчков. их периода и числа. Исследован физически допустимый■ класс уравнений Фоккера-Планка для функции Вигнера квантовой системы с заданными произвольными линейными уравнениями движения для средних значений координат и импульсов, для которого найдены условия на матрицу коэффициентов диффузии, гарантирующие сохранение во времени неотрицательной определенности матрицы плотности. Кроме того в диссертационной работе построены универсальные инварианты параксиальных оптических пучков.

Практическая ценность работы На основе моделей, изученных в диссертационной работе, представляется возможным предложить практический способ возбуждения сжатых коррелированных состояний тока в джозефсоновском контакте при помощи изменения критического тока перехода и обсудить теоретическую возможность использования джозефсоновского контакта в качестве вакуумного генератора электрических колебаний' С генерация электрических колебаний из энергии квантового вакуума, перестраиваемого са счет энергии механического воздействия).-Рассмотренные в диссертационной работе модели параметрических цепочек осцилляторов и джозефсоновских контактов могут быть использованы в теории регистрации слабых сигналов, например, в гравитационных антеннах. Полученные универсальные инварианты параксиальных оптических пучков могут быть применены при анализе распространения импульсов в световодах. Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы были доложены диссертантом и обсуждены на следующих конференциях и семинарах:

1. XVII Международньй коллоквиум "Теоретико-групповые методы в физике" СМосква. 4-9 июня 1090 г.)

2. II Международный Вигнеровский симпозиум СГослар. ФРГ. 13-20 июля 1991 г.)

3. Международный семинар "Гармонический осциллятор" СКолледж Парк. Мэриленд. США, 25-28 марта 1992 г.)

4. II Международный семинар "Сжатые состояния и соотношения неопределенностей" СМосква. 23-29 мая 1992 г.)

3. III Всесоюзное совещание "Квантовая метрология и фундаментальные физические константы" СЛенинград, 6-8 декабря 1988 г.)

6. Всесоюзное совещание "Проблемы квантовой оптики" СДубна. 13-15 декабря 1988 г.)

7. Школа-семинар "Представления групп в физике" СТамбов, 24-28 января 1989 г.)

8.IV Рабочее совещание "Рассеяние, реакции, переходы в квантовых системах и методы симметрии" СОбнинск.19-21 сентября 1990 г.)

9. Международный семинар "Сжатие и коррелированные состояния" С Москва. ФИАН, 3-7 декабря 1990 г.)

10. V Международное рабочее совещание "Методы симметрии в физике" (Обнинск. 8-12 исля 1991 г.)

11. Международный семинар "Сжатие, группы и квантовая механика" СБаку. 16-21 сентября 1991 г.)

12.Сессия Отделения ядерной физики АН СССР по физике элементарных частиц и ядерной астрофизике СМосква. МИФИ. 8-12 февраля 1990 г.)

13. в Институте ядерных исследований РАН семинары

Отдела глубоководного детектирования нейтрино С ноябрь 1988 г.) и Теоретического отдела (октябрь 1992 г.)

14. Коллоквиум физического департамента Университета Виланова (Филадельфия, США. 31 марта 1992 г.)

13. Семинары в научных центрах Республики Корея, а. именно.' в Корейском университете (Сеул, октябрь 1992); в Институте стандартов KRISS. Институте науки и технологии KAIST и Институте злоктротелекоммуникаций ETRI (г.Таеджон, октябрь-ноябрь 19923; в Университете Чонжу ( г.Чонжу. октябрь 1992)

Публикации

Основу диссертации составляют результаты, опубликованные в 14 научных статьях, указанных в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четьрех глав и заключения. Основные результаты и защищаемые положения сформулированы в заключении. Диссертационная работа изложена на 149 страницах машинописного текста. Список литературных ссылок - 210 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы цели исследования, кратко изложено содержание и актуальность работы, приведен Краткий исторический экскурс и обзор литературы по теме диссертации.

В первой главе изложена общая схема описания нестационарных систем на примере одномерного параметрического осциллятора с произвольной зависимостью частоты от времени.

В связи с изучением новых возможностей генерации неклассического света, одной из которых является параметрическое возбуждение системы, представляет интерес рассмотрение процессов, происходящих при параметрическом воздействии на осциллятор С моделирующий джозефсоновский контакт) в виде очень коротких во времени импульсов, моделируемых 5-зависимостыэ частот от времени. Такая зависимость, рассмотренная в параграфах 2 и 3, позволяет точно решить классические уравнения движения и явно получить параметры сжатия и корреляции в системе связанных квантовых осцилляторов и квантовых колебательных контуров.

В параграфе 4 подробно рассмотрено параметрическое воздейст-

вие на осциллятор со специальной временной зависимостью частоты того же типа, что в известной модели периодического пространственного потенциала Кронига-Пенни. найдены стандартные отклонения координаты и импульса, параметры сжатия и корреляции. Подробно исследована .зависимость энергии квантовых флуктуаций от силы 6-толчков. их периода и числа.

В параграфе 5 общая схема описания квадратичных квантовых систем с зависящими от времени параметрами применена к параметрическому джозефсоновскому контакту, представлен обзор литературы по этому вопросу. Указано на вэзыожность получения аналога нестационарного эффекта Казимира при помощи параметрического возбуждения джоз^фсоновского контакта и предложено использовать параметрический ажозефсоновский контакт в качестве вакуумного генератора .электрических колебаний (генерация электрических колебаний из энергии квантового вакуума, перестраиваемого за счет энергии механического воздействия). Приведены условия и получены ограничения на критический ток и емкость перехода, при которых можно моделировать джозефсоновский контакт квадратичным гамильтонианом квантового колебательного контура. Получены стандартные отклонения тока, напряжения в переходе и корреляция между ними. Кроме того показано, что, изменяя определенным обрззом критический ток перехода, можно управлять квантовыми шумами тока и напряжения, то-есть ценой увеличения квантового шума напряжения уменьшать квантовый шум тока. Отмечено, что при изменении критического тока перехода возникает два явления; сжатие квантового шума тока или напрягения и статистическая зависимость между флуктуациями

тока и напряжения.

Во второй главе рассмотрены модели различных видов парамет рических цепочек осцилляторов. 2адача о многомерной квантор-'.,; системе, описываемой обшей неоднородной квадратичной формой • гу нейными членами по операторам координат и импульсов с зависяни.-.л. от времени коэффициентами, подробно изучалась во многих работах Было показано, что решение квантовой задачи полностью задается решением классической задачи, выражаемым действительной симплек-тической матрицей А размерности 2Ых2Н СМ есть число степеней свободы) и действительным И-вектором. отвечающим сдвигу в неоднородном симплектическом преобразовании. Именно эти параметры задают 2№ независимых линейных по операторам координат и импульсов интегралов движения. Однако, параметры неоднородного снмллс-ктического преобразования С или классическую траекторию параметрического многомерного осциллятора) находить в явном виде не всегда удается. Специфика физически интересных квантовых систем, моделируемых многомерным осциллятором, как раз заключается в том. что для них можно решить классическую задачу до конца, тем самым-получая явно ответ и для квантовой задачи. Такими интересными объектами являются квантовые цепочки осцилляторов С в пределе квантовые осцилля-торные струны) с зависяакми от вргмени параметрами, рассмотрении1 в данной диссертационной работе. Надо отметить, что различные виды осцилляторных цепочек рассматривались во многих работах С обзор которых приведен в диссертации), з которых кроме -того обсуждались возможности моделирования данными системами различных Физических процессов: параметрического возбуждения фононоз, поведения моле/ул

и

на поверхности, процессов в полимерах.

В параграфе 1 приведена общая схема вычисления пропагаторов Н-мерных систем с произвольными зависящими от времени квадратичными гамильтонианами при помощи построения матрицы Л С матрицы симплектического преобразования, задающего линейные интегралы движения). В параграфах 2-5 рассмотрены цепочка квантовых осцилляторов, квантованная струна с затуханием и без него, и для этих систем найдена Л-матрица. В параграфе 6 построены сжатые коррелированные состояния параметрической цепочки осцилляторов с произвольной зависимостью частот от времени (которая может моделировать цепочку параметрических джозефсоновских контактов) без учета затухания, а в параграфе 7 затухание было учтено в рамках модели Калдирола-Канаи. В параграфе 8 исследован случай возбуждения сжатых коррелированных состояний в цепочке осцилляторов при специальной временной зависимости собственных частот осцилляторов в виде б-толчка без учета затухания. В параграфе 9 исследованы эффекты сжатия и корреляции на примере двух связанных осцилляторов с 5-толчком частоты при наличии затухания, учтенного в рамках модели Калдирола-Канаи, и обсуждено влияние затухания и параметров 5-толчков С силы б-толчков собственной частоты осцилляторов, силы 5-толчка частоты взаимодействия и величины временного промежутка между б-толчками) на даннье эффекты. Было показано, что статистическая зависимость операторов координат и импульсов в цепочке возникает благодаря двум причинам: существованию зависящей от времени части в собственных частотах и частоте взаимодействия, во-первых, и наличию затухания в системе, во-вторых. Рассмотрен-

ная модель двух взаимодействующих затухающих осцилляторов может бьггь применена к двум взаимодействуют™ параметрическим джозефсо-новским контактам конечной добротности, что позволит учесть процессы затухания в них.

Третья глава начинается с короткого введения, изложенного з параграфе 1. В параграфе 2 приведена общая схема построения универсальных инвариантов квадратичных систем. В параграфе 3 проанализировано распространение импульсов в световодах. Пользуясь формальной аналогией между уравнением Гельмгольца для компонент поля в параксиальном приближении Леонтовича-Фока и нестационарным уравнением Иредингера. найдены в явном виде универсальные инварианты параксиальных оптических пучков, сохраняющиеся по мере распространения пучка вдоль оси г и не зависящие от конкретного вида коэффициентов в квадратичной зависимости диэлектрической проницаемости от координат х. у. Универсальные инварианты найдены как в случае любой квадратичной зависимости диэлектрической проницаемости от координат, так и в случае аксиально-симметричной среды С волоконный световод), а также для планарного световода. Физический смысл простейших инвариантов состоит в том. что при распространении гауссова пучка в квадратичной среде сохраняется отношение радиуса корреляции к ширине пучка. Показано, что. так как в параксиальном приближении не только уравнение Гельмгольца. но и полное волновое уравнение моано представить в виде, аналогичном уравнению Шредингера. то в случае любой Сдостаточно плавной) зависимости показателя преломления от продольной координаты существуют универсальные инварианты, включающие в себя временные моменты

Сописывашще пучки, ограниченные не только в пространстве, но и во времени). В параграфе 4 обсуждены вопросы сохранения полученных универсальных инвариантов при неквадратичности среды. Показано, что в этом случае универсальные инварианты, вообще говоря, зависят от г. но когда ангармонические члены малы, универсальный инвариант (как функция от г) будет колебаться около начального значения. При этом для некоторых классов начальных состояний размах колебаний может быть величиной высшего порядка малости по сравнение с ангармоническими членами. Такая ситуация имеет место для гауссовых начальных состояний ( когда функция взаимной когерентности является экспонентой от квадратичной формы), поскольку в нулевом приближении гауссово состояние остается гауссовым с нулевыми средними первого порядка, если оно было таковым в начальный момент времени. Кроме того изучено поведение универсальных инвариантов в различных случаях отклонения среды от квадратичной и показано, что. изучая степень несохранения универсальных инвариантов, можно изучать степень отклонения среды от квадратичной. В параграфе 5 построен универсальный инвариант для джозефсоновского контакта, сохраняющийся во времени при любой зависимости от времени критического тока и емкости перехода. В области значений фазы, когда гамильтониан джозефсоновского контакта нельзя заменить на гамильтониан квантового колебательного контура, было получено уравнение, определяющее форму зависимости от времени универсального инварианта, и предложено изучать погрешности моделирования джозефсоновского контакта квантовым колебательным контуром в различных областях изменения фазы, исследуя степень несохранения

данного универсального инварианта.

В четвертой главе рассмотрен способ описания затухания в квантовых системах в рамках уравнения Фоккера-Планка на функцию Вигнера. Показано, во-первых, что для функции Вигнера необходимо. в отличие от классического случая, вводить коэффициенты диффузии не только по импульсам, ко и по координатам, иначе в процессе эволюции может не сохраняться неотрицательная определенность статистического оператора. С точки зрения ланжевеновского подхода это означает, что операторы шумов необходимо вводить не только в гейзенберговские уравнения, определяющие производные по времени от операторов импульсов, но и в уравнения, определяющие производные по времени от операторов координат; в противном случае не будут сохраняться ео времени канонические коммутационные соотношения. Во-вторых, показано, что равновесная функция Вигнера могет бьггь решением уравнения Фоккера-Планка только в пределе бесконечно малого затухания. Кроме того, чтобы описать релаксацию к равновесному состоянию даже в случае малого затухания необходимо в уравнения движения для средних значений координат и скоростей вводить помимо "естественных" сил трения, пропорциональных скорости, еле и силы, пропорциональные самим координатам, а также модифицировать соотношения, связывающие средние значения кинетических импульсов со средними значения!«! производных по времени от координат. При этом силы трения, зависящие от координат, должны зависеть еще и от температуры, а также от всех остальных параметров. характеризующих систему. Коэффициенты диффузии должны зависеть от всех параметров системы: собственной и циклотронной час-

тот. коэффициента затухания и температуры. Наконец, показано, что возможно единое аналитическое описание затухающего осциллятора'в магнитном поле при любых соотношениях между собственной и циклотронной частотами, коэффициентом трения и температурой. Дано квантовое описание затухающего изотропного двумерного гармонического осциллятора в однородном магнитном поле при любых соотношениях между собственной и циклотронной частотами, коэффициентом трения и температурой, а также различные предельные случаи этой задачи.

В заключении диссертации обсуждаются полученные результаты и приводятся основные выводы работы.

ВЬЕОДЫ

В диссертации решена задача возбуждения сжатых коррелированных состояний в параметрических осцилляторных моделях и исследована зависимость характеристик сжатия и корреляции от параметров воздействия. Научный вклад работы заключается в следующем;

. введен ранее неизвестный в теоретической физике класс сохраняющихся величин в параксиальной оптике - универсальные инварианты параксиальных оптических пучков;

опровергнуто бытовавшее ранее мнение о невозможности единого описания диссипативных квантовых систем в магнитном поле во всех режимах затухания и температуры;

введен ранее неизвестный тип квантовых состояний джозефсоновс-кого контакта и указаны теоретически новые способы их получения в эксперименте.

Получены следующие основные научные результаты: 1. Для квантового осциллятора, который подвергается параметрической

периодической раскачке (временной аналог модели Кронига-Пенни), аналитически определены энергия квантовых флуктуаций. коэффициенты сяатия и корреляции. Исследована их зависимость от характеристик воздействия Ссилы.3-толчков частоты, их периода и числа).

2. В результате применения известного метода квантовых интегралов движения к модели цепочки параметрических осцилляторов аналитически определены квантовые стандартные отклонения операторов- координат и импульсов, коэффициенты корреляции и сяатия как для случая произвольной зависимости частот от времени, так и для случая специальной временной зависимости частоты в виде серии 5-толчков.

3. Развитая для описанных выие моделей схема применена к анализу параметрического джозефсоновского контакта. Исследованы эффекты сжатия и корреляции в параметрическом джозефсоновском контакте (в рамках модели квантового колебательного контура). Предложен практический способ возбуждения сжатых состояний в дкозефссновском контакте путем изменения его плазменной частоты. Указано на возможность существования аналога нестационарного эффекта Казимира в параметрическом джозефсоновсксм контакте и на возможность создания на его основе квантового вакуумного генератора. Получено аналитическое выражение для универсальных инвариантов джозефсоновского контакта при произвольной зависимости параметров системы от времени.

4. Аналитически получены универсальные инварианты параксиальных оптических пучков, распространяющихся в слабонеоднородных средах. Проанализировано поведение универсальных инвариантов в случае не-квадратичности среды и указан способ проверки квадратичности среды по степени несохранения универсальных инвариантов.

5. Вычислены физически допустимые коэффициенты диффузии в уравнен! Фоккера-Планка для функции Вигнера квантовой системы .с заданны; произвольными линейными уравнениями движения для средних значен: координат и импульсов. Для квантового затухавшего изотропного дв; мерного гармонического осциллятора в однородном магнитном поле на: дены коэффициенты диффузии при любых соотношениях между собственн и циклотронной частотами, коэффициентом трения и температурой.

ПУБЛИКАЦИИ

1. V.V.Dodonov. 0.V.Man'ko "Damped oscillator in a magnetic field Physica 130A. 1985, pp.353-386.

2. B.B. Додонов, O.B.Манько "Релаксация квантовой частицы в магнит ном поле" ТМФ 65, N 1. 1985. с.93-107.

3. В.В. Додонов. 0.В.Манько "Универсальные инварианты параксиальных оптических пучков" Труды III Международного семинара по теоретико-групповым методам в физике. Юрмала, 22-24 Мая 1983, Москва: Наука. 1986. с.432-441

4. В.В. Додонов. 0. В.Манько "Универсальньв инварианты параксиальнь оптических пучков" Компьютерная оптика. Международный центр пс научной и технологической информации. Москва, 1987, с.84-90

5. V.V.Dodonov. T.F.George. O.V.Man'ko. С.I.Urn. K.H.Yeon, "Propagators for quantum oscillator chains", "Proceedings of International Workshop on Squeezed and Correlated States. Moscow. 1990" J. of Soviet Laser Research. Plenum Publ.Co.. 1991. 12. N S. pp.385-395.

6. V.V. Dodonov. O.V. Man'ko "Correlated states in quantum electro nies С resonant circuit)". Directions in Condensed Matter

Physics. 7. Singapore; World Scientific Publ., 1990. pp.319-325.

7. B.B. Додонов, В. И. Манько, 0. В.Манько "Коррелированные состояния и шумы в колебательном контуре" Измерительная техника . 1990, N 2, с. 7-8.

8. O.V. Man'ko "Correlated states of quantum chain" Proceedings of the XVIII International Colloquium on Group Theoretical Methods in Physics. Moscow, June 4-9, 1990. Lecture Notes in Physics. 332, Springer-Verlag. 1991, pp. 461-468

9. 0. V.Man'ko "Coherent states of the quantum parametric damped chain" Proceedings of the XVIII International Colloquium on Group Theoretical Methods in Physica, Moscow. June 4-9, 1990. Nova Science Publ., N.Y.. 1991. pp. 237-242

10.В. В.Додонов, В.И.Манько, 0.В.Манько "Нестационарная параметрическая цепочка осцилляторов" Труды ФИАН. Москва, Наука. 1992. 208. с.174-206

11.V.V.Dodonov. 0.V.Man'ko, V.I.Man'ko "Correlated states of quantum oscillator and quantum chain with 5-kicked frequency" J. of Soviet Laser Research, Plenum Publ.Co., 1992, 13.

N 3. pp.196-214.

12. V. V. Dodonov. T.F.George, O.V. Man'ko, C. I.Um. K.H. Yeon "Exact solutions for a mode of the electromagnetic field in resonator with time-dependent characteristics of the internal medium". Proceedings of Intern. Workshop "Squeezing, groups and quantum mechanics" Baku. 1991" J.of Soviet Laser Research. Plenum Publ. Co. .1992. 13. N4. pp.219-230.

13. V. V. Dodonov. O.V.Man'ko. V.I.Man'ko "Squeezing in quantum parametric chain" Nuovo Cim. 107Л. 1992. N5. pp.513-517

14.0. V.Man'ko "Quantum parametric chain in Wigner representation" Abstracts of Second Intern. Wigner Symposium, Gosiar. 1991. Arnold Sommerfeld Inst., Technical University of Clausthal and Department of Mathematics. Florida Atlantic University, p.63, report 17P.33.

Подписано в печать 5 февраля 1993 года Заказ № 52. Тираж 100 экз. П.л.1.2 '

Отпечатано в ВШС <ШН

Москва,В-333,Ленинский проспект,53