Разложение по осцилляторному базису как метод решения одно- и многочастичного уравнения Шредингера в континууме тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ВИД КОЭФФИЦИЕНТОВ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ОСЦИЛЛЯТОРНЫМ ФУНКЦИЯМ.

1. Постановка задачи.

2. Асимптотическое приближение для осцилляторных функций в области осцилляций. Вычисление интегралов с использованием асимптотического приближения.

3. Асимптотическое приближение для осцилляторных функций в классически недоступной области. Вычисление интегралов с использованием асимптотического приближения.

4. Асимптотическое приближение для осцилляторных функций в левой окрестности точки поворота. Вычисление интегралов с использованием асимптотического приближения.

5. Общее асимптотическое выражение для коэффициентов разложения по осцилляторным функциям. Примеры

Система собственных функций гармонического осциллятора занимает особое место и имеет многочисленные приложения в современной физике [1]-[5]. Особая роль собственных функций гармонического осциллятора обусловлена рядом их важных свойств, среди которых выделим следующие: собственные функции многочастичного осциллятора допускают отделение движения общего центра масс; интегралы перекрытия многочастичных функций могут быть вычислены аналитически. Отметим также, что развиты регулярные методы построения и классификации многочастичных осцилляторных функций, а также достаточно хорошо изучены их трансформационные свойства при переходе от одного набора координат Якоби к другому (см. [1]-[6]). Это свойство особенно важно при построении антисимметричных функций кластерных каналов, поскольку операции перестановки номеров координат нуклонов, необходимые для этого, сводятся к преобразованиям координат Якоби.

Коротко рассмотрим некоторые из новых приложений собственных функций гармонического осциллятора. В работах [7], [8] был предложен новый метод изучения резонансных состояний. Этот метод основан на исследовании функции спектральной плотности. Для построения функции спектральной плотности требуется решение задачи на собственные функции и собственные значения гамильтониана рассматриваемой квантомеханической системы. В подходе, предложенном в работах [7], [8], используется некоторая ортогональная система функций j-^. При этом задача на собственные функции и собственные значения гамильтониана редуцируется к задаче диа-гонализации матрицы гамильтониана Hij = {(pi\H\(fj), i.j < N на укороченном наборе функций {(pi}i<N при достаточно большом N. Характерными чертами таких расчётов являются простота вычислительной схемы (имеющей много общего с вычислительными схемами задач на связанные состояния) и её высокая эффективность, что было продемонстрировано в [8] численными расчётами. Применение системы осцилляторных функций в таком подходе представляется весьма перспективным во многих, в том числе и многотельных задачах прежде всего вследствие тех особых свойств осцилляторных функций, которые были перечислены выше. Однако, следует отметить отсутствие строгих обоснований рассматриваемого подхода. Центральной гипотезой является предположение, что оператор

А ^ дг

Pjsi = (j*Pi| стремится к единичному при N —> оо (при этом не уточняется в каком смысле понимается это стремление к единичному оператору). Эта гипотеза является не чем иным, как гипотезой о сходимости разложения в ряд Фурье по системе функций {<£>г'}^1 (причём сходимости к разлагаемой в ряд функции). Сходимость разложений квадратично-интегрируемых функций по многим ортогональным системам хорошо изучена и сформулированы многочисленные и при том весьма общие теоремы о сходимости (см., например, [9], [10]). Ситуация существенно меняется в случае если раскладываемая в ряд функция не является квадратично-интегрируемой. Для таких функций сходимость разложений по базису пространства квадратично-интегрирунмых функций (включая осцилляторный базис) не доказана. Таким образом, доказательство сходимости разложений является первым шагом в обосновании предложенного в [7], [8] весьма перспективного метода, а также других подходов, о которых ниже будет идти речь. Ещё одним перспективным направлением, основанным на использовании осцилляторных функций является метод дискретизации непрерывного спектра [11]. Этот метод основан на построении различных операторов (например, Гриновских операторов) с использованием собственных векторов и собственных значений матрицы гамильтониана на усечённом, но тем не менее достаточно широком наборе осцилляторных функций. Такой подход открывает большие возможности в решении многих задач ядерной физики, задачи трёх и более тел. Например, вычисление интегралов перекрытия различных волновых функций в многотельной задаче связано с выполнением весьма сложных численных расчётов, в то время как интегралы перекрытия осцилляторных волновых функций вычисляются аналитически.

Рассмотрим ещё один метод, основанный на непосредственном использовании разложений по системе собственных функций гармонического осциллятора для решения уравнения Шредингера. Речь пойдёт об алгебраической версии метода резонирующих групп [12], [13]. Использовать разложение по системе осцилляторных функций для решения задач непрерывного спектра впервые было предложено в [14]. Независимо от [14] такая возможность была высказана в работе [15], а затем и более детально рассмотрена в работах [16], [17]. Неизвестная волновая функция ищется в виде разложения по осцилля-торному базису, а неизвестные коэффициенты разложения находятся из проектированных уравнений Шредингера. Такой подход оказался весьма продуктивным в ядерной физике, в задаче рассеяния и реакций с участием составных частиц. Напомним, что наиболее последовательным микроскопическим подходом в задаче рассеяния и реакций с участием составных частиц является метод резонирующих групп [18], [19]. В традиционной формулировке метода резонирующих групп волновая функция относительного движения находится из решения системы зацепляющихся интегродифференциальных уравнений [18], [19]. Решение этой системы уравнений представляет собой весьма сложную вычислительную задачу (см. например, монографию [19] и цитированную в ней литературу). Предложенная Г.Ф.Филипповым и сотрудниками алгебраическая версия метода резонирующих групп основана на разложении функции относительного движения ядер (кластеров) по системе собственных функций гармонического осциллятора. Алгебраическая версия метода резонирующих групп, будучи математически эквивалентна методу резонирующих групп в его традиционной формулировке, кардинальным образом меняет всю вычислительную схему. Следует особо отметить простоту вычислительной схемы, в отличие от классического метода резонирующих групп. Кроме того, алгоритм вычислений в алгебраической версии метода резонирующих групп включает в себя действия (например, нахождение собственных значений и собственных векторов эрмитовой матрицы, построение обратной матрицы), для которых разработаны надёжные численные методы. Высокая эффективность алгебраической версии метода резонирующих групп была продемонстрирована расчётами параметров конкретных ядерных систем [20]-[26]. В то же время рассматриваемый подход содержит в своей основе ряд положений требующих доказательства. Как уже отмечалось выше, сходимость разложений не только не была исследована детально, но и вообще не доказана для волновых функций непрерывного спектра. Ещё одним вопросом, требующим детального исследования, является вопрос об асимптотическом виде коэффициентов разложения по осцилляторному базису. Важность этого вопроса связана с тем, что асимптотики коэффициентов разложения волновой функции в алгебраической версии метода резонирующих групп играют ту же роль, что и асимптотики волновой функции в координатном представлении. Эти вопросы были поставлены и решены в достаточно общем виде в работах [27]-[29], входящих в настоящую диссертацию. Обратим внимание на один подход [30], [31], сходный с тем, который реализован в алгебраической версии метода резонирующих групп, но предназначенный для исследования S—матрицы в комплексной плоскости энергии. Этот подход позволяет находить полюса 5—матрицы, кроме того, развит приближённый метод, приводящий к аналитическому результату.

Среди дальнейших направлений развития методов, основанных на разложении искомой функции по осцилляторному базису, отметим следующие. Обобщения на трёхтельные задачи рассмотрены в работах [32]-[35]. Приближение истинно многочастичного рассеяния (учитывающее только такие состояния, когда ни одна группа частиц не выделяется в смысле образования связанных состояний) изложено в работе [36]. Рассмотрение проведено с использованием гиперсферического осцилляторного представления. Кроме того, подробно рассмотрены многие аналитические свойства. Взаимосвязь R- (Р-) матричного подхода и осцилляторного представления исследована в работе [37]. В работе [38] предложена переформулировка подхода, реализуемого в алгебраической версии метода резонирующих групп. При этом коэффициенты разложения представляются в виде суммы двух слагаемых, одно из которых является асимптотикой коэффициента разложения, а второе представляет собой отклонение от асимптотики. В результате неизвестными величинами выступают вместо коэффициентов разложения их отклонения от асимптотических значений. Это позволяет повысить эффективность вычислений. Такой подход можно рассматривать как реализацию в осциллятор-ном представлении одной из идей, предложенных в [39], [40] и заключающейся в разбиении волновой функции непрерывного спектра на два слагаемых. При этом одно из этих слагаемых представляет волновую функцию в области взаимодействия, а другое во внешней, асимптотической области, где ядерным взаимодействием можно пренебречь. Отметим также, что в некоторых задачах [41] более удобно непосредственное использование волновой функции в осциллятор-ном представлении. На этом мы заканчиваем обзор методов и задач в которых находит применение осцилляторное представление.

Целью диссертации является развитие методов исследования непрерывного спектра одно- и многочастичного уравнения Шредингера, основанных на разложении по осцилляторному базису, доказательство сходимости и исследование остаточного члена разложений по системе осцилляторных функций, нахождение асимптотического вида коэффициентов разложения и развитие методов расчёта матричных элементов на многочастичном осцилляторном базисе в алгебраической версии модели резонирующих групп и других микроскопических подходах в физике кластеров, демонстрация работоспособности методов на важных физических примерах. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и приложений, размещённых после соответствующих глав. Во введении обсуждается актуальность проблем, решаемых в диссертации, приводится обзор методов, использующих разложения по осцилляторному базису. Решение в весьма общем виде поставленных выше вопросов об асимптотическом виде коэффициентов разложения и сходимости разложений составляет содержание первых двух глав. Полученные общие результаты проиллюстрированы простейшими примерами, кроме того, во второй главе рассмотрены некоторые условия (важные с точки зрения применения к решению физических задач) при которых почленное дифференцирование ряда Фурье по осцилляторным функциям приводит к расходимости. В третьей главе рассмотрены вопросы решения уравнения Шредингера с использованием осцил-ляторного представления, а также исследована в рамках алгебраической версии метода резонирующих групп реакция 6Li(n, t)4He. Эта реакция представляет не только теоретический интерес, но и имеет важные практические применения, например, как способ получения трития [42]. Кроме того, исследование семинуклонной системы 7Li в кластерном представлении t +4 Не представляет большой теоретический интерес с точки зрения возможности наблюдения эффектов несохранения чётности [41]. В заключении кратко перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе решены следующие проблемы.

1). Для весьма широкого класса функций найден асимптотический вид коэффициентов Фурье в разложениях по системе функций осцилляторного типа. Упомянутый класс функций включает в себя волновые функции непрерывного спектра в качестве частного случая. Результат получен на основе асимптотических приближений для радиальных осцилляторных функций в трёх областях (образующих покрытие всей области значений радиальной переменной).

2). На основе точно решаемого примера показано, что найденное асимптотическое приближение для коэффициентов Фурье является наилучшим, то есть не может быть улучшено без дополнительных предположений относительно разлагаемой в ряд функции.

3). Для достаточно широкого класса функций доказана поточечная сходимость ряда Фурье по функциям осцилляторного типа к разлагаемой функции и найдена оптимальная оценка остаточного члена. Этот класс функций также включает в себя волновые функции непрерывного спектра.

4). Показано, что почленное дифференцирование может приводить к расходимости ряда Фурье по функциям осцилляторного типа, т.е. найден источник определённых трудностей при непосредственном применении рассматриваемых разложений для решения уравнения Шредингера. Сформулировано простейшее достаточное условие расходимости ряда при почленном дифференцировании. Обоснована схема вывода из уравнения Шредингера системы уравнений относительно коэффициентов разложения и рассмотрен подход к решению указанной системы с использованием асимптотического вида этих коэффициентов.

5). Рассмотрение обобщено на случай многонуклонных двухкластерных систем. Тем самым подведена твёрдая основа под алгебраическую версию метода резонирующих групп.

6). Найдено несколько типов рекуррентных соотношений, позволяющих вычислять матричные элементы на двухкластерных многочастичных функциях трансляционно-инвариантной модели оболочек. Этот набор рекуррентных соотношений позволяет вычислять матричные элементы нуклон-нуклонного взаимодействия не только гауссовского типа, но и матричные элементы реалистического потенциала Юкавы. Рассмотрены также необходимые тензорные члены нуклон-нуклонного взаимодействия.

7). В рамках алгебраической версии метода резонирующих групп исследована ядерная реакция 6Li(n,t)4He, получено хорошее согласие с экспериментом. Намечены возможные пути уточнения подхода, реализуемого в алгебраической версии метода резонирующих групп.

8). Развит метод вычисления осцилляторных функций с чрезвычайно большими значениями главного квантового числа.

1. Мошинский М. Гармонический осциллятор в современной физике: от атомов до кварков. М.:Мир. 1972. 149 с.

2. Ванагас В.В. Алгебраические методы в теории ядра. Вильнюс: Минтис. 1971. 420 с.

3. Неудачин В.Г., Смирнов Ю.Ф. Нуклонные ассоциации в лёгких ядрах. М.: Наука. 1969. 416 с.

4. Немец О.Ф., Неудачин В.Г., Рудчик А.Т., Смирнов Ю.Ф., Чувильский Ю.М. Нуклонные ассоциации в ядрах и ядерные реакции многонуклонных передач. Киев: Наукова Думка. 1988. 488 с.

5. Филиппов Г.Ф., Овчаренко В.И., Смирнов Ю.Ф. Микроскопическая теория коллективных возбуждений атомных ядер. Киев: Наукова Думка. 1981. 367 с.

6. Bargman V., Moshinsky М. Group theory of harmonic oscillators // Nucl. Phys. 1960. 18. P.697-724; 1961. 23. P.177-199;

7. Kramer P., Moshinsky M. Group theory of harmonic oscillators // Nucl. Phys. 1966. 82. P.241-274.

8. Kruppa A.T. and Arai K. Resonances and the continuum level density//Phys. Rev. 1999. A59(5). P.3556-3561.

9. Arai K. and Kruppa A.T. Continuum level density in a microscopic cluster model: Parameters of resonances // Phys. Rev. 1999. С60Г6). P.064315.

10. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. М.:Наука. 1970. 672 с.

11. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М.:Наука. 1988. 432 с.

12. Рубцова О.А., Кукулин В.И. Новый подход к решению задачи рассеяния составной частицы в поле ядра // ЯФ. 2001. 64.1. Вып. 10. С.1882-1894.

13. Filippov G.F., Vasilevsky V.S., Kovalenko Т.P. Algebraic version of resonating method. Preprint ITF-81-107E. Киев. ИТФ. 1981. 21 с;

14. Badalov S.A., Filippov G.F. Algebraic realization of the resonating group method for multichannel scattering problem in an eight nucleon system. Analitical results. Preprint ITF-83-78E. Киев. ИТФ. 1983. 20 с.

15. Okhrimenko I.P. Allowance for the Coulomb interaction in the framework of an algebraic version of the resonating group method // Nucl. Phys. 1984. A424. P.121-142.

16. Yamani H.A., Fishman L. /—matrix method: Extensions to arbitrary angular momentum and to Coulomb scattering // J. Math. Phys. 1975. 16(2). P.410-420.

17. Филиппов Г.Ф., Охрименко И.П. О возможности использования осцилляторного базиса для решения задач непрерывного спектра // ЯФ. 1980. 32. Вып.4. С.932-939.

18. Филиппов Г.Ф. Об учёте правильной асимптотики в разложениях по осцилляторному базису //ЯФ. 1981. 33- Вып.4. С.928-931.

19. Нечаев Ю.И., Смирнов Ю.Ф. О решении задачи рассеяния в осцилляторном представлении // ЯФ. 1982. 35. Вып.6. С.1385-1391.

20. Wheeler J.A. Molecular viewpoints in nuclear structure // Phys. Rev. 1937. 52(11). P.1083-1106;

21. Wheeler J.A. On the mathematical description of light nuclei by the method of resonating group structure // Phys. Rev. 1937. 52(11). P.1107-1122.

22. Вильдермут К., Тан Я. Единая теория ядра. М.:Мир. 1980. 504 с.

23. Охрименко И.П. Исследование резонансов N -f а системы в осцилляторном представлении метода резонирующих групп // ЯФ.1986. 44. Вып.2. С.320-329.

24. Василевский B.C., Гутич И.Ф., Охрименко И.П. Расчёт сечения реакции d(t,n)o; и параметров 3/2+-резонанса ядра 5Не // ЯФ.1987. 46- Вып.З. С.757-770.

25. Гутич И.Ф., Охрименко И.П. Расчёт сечения зеркальных ядерных реакций d(3H, п)а и d(3He,p)a в области подбарьерных энергий // ЯФ. 1988. 47. Вып.5. С.1238-1245.

26. Василевский B.C., Коваленко Т.П., Филиппов Г.Ф. Многоканальная теория 0+-резонанса 4Не // ЯФ. 1988. 48. Вып.2. С.346-357.

27. Тяпаев Р.Т. Расчёт полного сечения реакции d(t, п)а в области энергий налетающих дейтронов от порога до 5 МэВ // ЯФ. 1993. 56- Вып.4. С.168-183.

28. Игашов С.Ю. Исследование 5/2" резонанса системы 6Li + р в осцилляторном представлении метода резонирующих групп // Изв. РАН. Сер. физ. 1997. 61. Вып.4. С.812-816.

29. Игашов С.Ю. Об асимптотике коэффициентов Фурье в разложениях по системе осцилляторных функций. Препринт МИФИ-016-98. Москва. МИФИ. 1999. 24 с.

30. Игашов С.Ю. Об использовании разложений по системе осцилляторных функций для решения задач непрерывного спектра //

31. Изв. РАН. Сер. физ. 2001. 65. Вып.1. С.98-104.

32. Игашов С.Ю. О сходимости разложений по собственным функциям гармонического осциллятора. Научная сессия МИФИ-2000. Сб. научных трудов. 2000. Т.5. С.159-160.

33. Смирнов Ю.Ф., Стотланд Л.Я., Широков A.M. Полюса З-матри-цы в дискретном представлении // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1990. 54. Вып.5. С.897-906.

34. Filippov G.F., Kato K., Korennov S.V. 6He as a three-cluster system — investigation of the ground state and the continuum 0+ states // Prog. Theor. Phys. 1996. 96(3). P.575-595.

35. Филиппов Г.Ф. Об уравнениях динамики кластеров с открытой £>—оболочкой: базис разрешённых состояний // ЯФ. 1999. 62. Вып.7. Р.1237-1252.

36. Филиппов Г.Ф., Базавов А.Д., Като К. О резонансах 5Н и 6Ве // ЯФ. 1999. 62. Вып. 10. Р.1763-1771.

37. Filippov G.F., Rybkin I.Yu., Korennov S.V., Kato К. On the complete basis of Pauli-allowed states of three-cluster systems in the Fock-Bargmann space //J. Math. Phys. 1995. 36(9). P.4571-4589.

38. Широков A.M., Смирнов Ю.Ф., Зайцев С.А. Истинно многочастичное рассеяние в осцилляторном представлении // ТМФ. 1998. П7. Вып.2. С.227-248.

39. Bang J.M., Mazur A.I., Shirokov A.M., Smirnov Yu.F., Zaytsev S.A. P—matrix and J—matrix approaches: Coulomb asymptotics in the harmonic oscillator representation of scattering theory // Ann. Phys. 2000. 280- P.299-335.

40. Vasilevsky V.S., Arickx F. Algebraic model for quantum scattering: Reformulation, analysis, and numerical strategies // Phys. Rev. 1997. A55(l). P.265-286.

41. Захарьев Б.Н., Пустовалов В.В., Эфрос В.Д. Задача трёх тел. Метод il-гармоник в задачах непрерывного спектра // ЯФ. 1968. 8. Вып.2. С.406-414.

42. Жигунов В.П., Захарьев Б.Н. Метод сильной связи каналов в квантовой теории рассеяния. М.:Атомиздат. 1974. 223 с.

43. Весна В.А., Окунев И.С., Шульгина Е.В., ГледеновЮ.М., Лебедев-Степанов П.В., Синяков А.В., Чувильский Ю.М. Поиск эффектов нарушения пространственной чётности в 7—переходе 7Li* 7(М1) 7Li (£7=0.478 МэВ) // ЯФ. 1999. 62. Вып.З. С.565-576.

44. История Советского атомного проекта. Труды международного симпозиума ИСАП-96. Т.1. М.:Издательство по атомной науке и технике. 1997. 608 с.

45. Игашов С.Ю. Об асимптотике матричных элементов кулонов-ского взаимодействия в осцилляторном представлении в окрестности главной диагонали // ЯФ. 1997. Ш- Вып.12. С.2202-2204.

46. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. M.: Наука. 1974. 296 с.

47. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.:Наука. 1983. 832 с.

48. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. 2-е изд. М.:Наука. 1979. 415 с.

49. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.:Физматгиз. 1962. 500 с.

50. Erdelyi A. Asymptotic forms for Laguerre polynomials // J. Indian Math. Soc. 1960. 24- P235-250.

51. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.:Наука. 1990. 528 с.

52. Igashov S.Yu. Asymptotic approximation and weight estimate for the Laguerre polynomials // Int. Transf. and Spec. Funct. 1999. 8. P.209-216.

53. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.:Наука. 1983. 752 с.

54. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.:Наука. 1981. 800 с.

55. Erik A., van Doom Representation and bounds for zeros of orthogonal polynomials and eigenvalues of sign-symmetric tri-diagonal matrices // J. Approx. Theory 1987. 51(3). P.254-266.

56. Калиткин H.H. Численные методы. М.:Наука. 1978. 512 с.

57. Эль-Баз Э., Кастель Б. Графические методы алгебры спинов. М.: Мир. 1974. 356 с.

58. Filippov G.F., Kosinov A.G., Okhrimenko I.P. The asymptotics of matrix elements of gaussian potential between the basis functions of three-dimensional harmonic oscillator. Preprint ITP-93-22E. Киев. ИТФ. 1993. 13 с.

59. Fujiwara Y., Tang Y.C. Channel-coupling effects in the resonating-group study of the seven-nucleon system // Phys. Rev. 1983. C28(5). P.1869-1883.

60. Fujiwara Y., Tang Y.C. n -f6 Li system investigation with the resonating-group method. Effects of channel coupling // Phys. Rev. 1984. C29(6). P.2025-2030.

61. Fujiwara Y., Tang Y.C. Multiconfiguration resonating-group theory of the seven-nucleon system with realistic cluster wave functions // Phys. Rev. 1985. C31(2). P.342-359.

62. Филиппов Г.Ф., Поповский JI.JI., Василевский B.C. О резонан-сах 7Li в канале a + t // ЯФ. 1983. 37. Вып.4. С.839-846.

63. Филиппов Г.Ф., Василевский B.C., Нестеров А.В. О природе некоторых монопольных резонансов атомных ядер р-оболочки //

64. ЯФ. 1983. 38- Вып.з. С.584-590.

65. Филиппов Г.Ф., Василевский B.C., Нестеров А.В. О структуре монопольных резонансов лёгких атомных ядер // ЯФ. 1984. 40. Вып.6. С.1418-1429.

66. Филиппов Г.Ф., Василевский B.C., Кручинин С.П., Чоповский JI.JI. О природе резонансов, наблюдаемых в фотоядерных реакциях // ЯФ 1986. 43. Вып.4. С.843-853.

67. Филиппов Г.Ф., Василевский B.C., Чоповский JI.JI. Обобщённые когерентные состояния в задачах ядерной физики // ЭЧАЯ. 1984. 15. Вып.6. С.1338-1385.

68. Филиппов Г.Ф., Василевский B.C., Чоповский JI.JI. Решение задач микроскопической теории ядра на основе техники обобщённых когерентных состояний // ЭЧАЯ. 1984. 16. Вып.2. С.349-406.

69. Varga К., Suzuki Y., Ohbayasi Y. Microscopic multicluster description of the neutron-rich helium isotopes // Phys. Rev. 1994. C50(l). P.189-195.

70. Varga K., Suzuki Y. Precise solution of few-body problems with the stochastic variational method on a correlated Gaussian basis // Phys. Rev. 1995. C52(6). P.2885-2905.

71. Varga K., Suzuki Y., Tanihata I. Microscopic four-cluster description of the mirror nuclei 9Li and 9C // Phys. Rev. 1995. C52(6). P.3013-3025.

72. Игашов С.Ю., Тяпаев P.Т. Формула для расчёта матричных элементов спин-орбитального взаимодействия на базисных функциях алгебраической версии метода резонирующих групп // ЯФ. 1995. 58. Вып.5. С.843-848.

73. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. 4-е изд. М.:Наука. 1989. 768 с.

74. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. 4-е изд. М.:Наука. 1978. 831 с.

75. Игашов С.Ю., Чувильский Ю.М. Реалистическое NN-взаимо-действие в базисе функций алгебраической версии метода резонирующих групп. 51-е Совещание по ядерной спектроскопии и структуре атомного ядра. Сб. тезисов докладов. Саров. 2001. С.108.

76. Игашов С.Ю., Чувильский Ю.М. О рекуррентных соотношениях для матричных элементов потенциалов Юкавского типа на ос-цилляторном базисе. Научная сессия МИФИ-2001. Сб. научных трудов. 2001. Т.5. С. 140-141.

77. Эфрос В.Д., Устиньин М.Н. Метод кластерного базиса для микроскопического описания лёгких ядер и реакций // ЯФ. 1985. 42. Вып.1. С.125-133.

78. Устиньин М.Н., Эфрос В.Д. Алгебраический кластерный подход к расчётам низкоэнергетических реакций. гг4Де-рассеяние с реалистическим iViV-взаимодействиями. Неприменимость бесполяризационного приближения//ЯФ. 1989. 49. Вып.5. С.1297-1308.

79. Kanada Н., Kaneko Т., Nagata S., Nomoto М. Nuclear reactions with light nuclei // Progr. Theor. Phys. 1979. 61. P.1327-1354.

80. Evaluated Nuclear Data File (ENDF-VI). Los Alamos Scientific Laboratory (http://t2.lanl.gov/cgi-bin/nuclides).

81. Ajzenberg-Selove F. Energy levels of light nulei A=5-10 // Nucl. Phys. 1988. A490(l). P.l-225.