Квантовая механика связанных состояний в осцилляторном представлении тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Р Г о Ом

2 3 Ш? Ш

4-98-30

На правах рукописи УДК 530.145.6; 539.128.2

ДИНЕЙХАН Мин ал

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ В ОСЦИЛЛЯТОРНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Дубна 1998

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики им.Н.Н.Боголюбова Объединённого института ядерных исследований.

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук,

профессор

Доктор физико-математических наук, профессор

Доктор физико-математических наук, Чл.-корр. РАН

В.Г. Багров Л.Д. Блохинцев Л.И. Пономарёв

Ведущая организация: ФИРАН им. П.Н.Лебедева, г.Москва

Защита диссертации состоится йл^&А*___1998 г. на

заседании диссертационного совета Д047.01.01 при Лаборатории теоретической физики Объединённого института ядерных исследований, г. Дубна Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИЯИ.

Автореферат разослан "_■£___" л^А^Ц^л.___1998 г.

Учёный секретарь совета

кандидат физико-математических наук

В.И.Журавлёв

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Одной из основных проблем нерелятивистской квантовой механики является задача вычисления собственных значений и собственных функций заданного гамильтониана, т.е. решение уравнения Шредингера (УШ) для различных потенциалов. Однако точные решения УШ известны только для очень узкого класса потенциалов, таких, как потенциал гармонического осциллятора, кулоновский потенциал и некоторые другие. Аналитические решения УШ для большинства интересных с физической точки зрения потенциалов неизвестны. Поэтому при исследовании реальных физических систем приходится прибегать к приближенным методам вычисления собственных значений и собственных функций заданного гамильтониана.

С развитием компьютерной техники большое значение приобрели численные методы решения задач квантовой механики, и в этом направлении достигнуты большие успехи. Однако важное место на практике по-прежнему отводится аналитическим методам, поскольку они позволяют исследовать качественные закономерности, присущие данной системе, и являются базой для создания алгоритмов численных расчетов.

Вкратце остановимся на основных аналитических методах, применяемых в случае связанных состояний, уделяя особое внимание их недостаткам, подразумевая достоинства хорошо известными .

1) Теория возмущений Рэлея-Шредингера. Этот подход является одним из наиболее известных и широко используемых. В этом подходе разложение по теории возмущений (ТВ) проводится по константе связи. Особенность состоит в использовании всего спектра невозмущенной задачи и всех матричных элементов, что вынуждает выбирать в качестве нулевого приближения точно решаемые задачи. Получаемые ряды в большинстве случаев расходятся и для применения методов суммирования необходимо вычислять поправки высоких порядков, что обычно является весьма трудоемким процессом.

2)Модифицированная теория возмущений. Наиболее популярным представителем этого метода является логарифмическая ТВ. В этом подходе, в отличие от теории Рэлея-Шредингера, используется решение невозмущенной задачи только для рассматриваемого состояния. Однако данный формализм, допуская простые рекуррентные формулы для основного состояния, становится очень громоздким и мало пригодным для вы-

числения поправок высокого порядка даже в случае первых возбужденных уровней.

3)Квазиклассическое приближение. В этом подходе, получившем название метода Вентцеля-Крамерс-Бриллюэна (ВКБ-приближения), проводится разложение по постоянной Планка. В общем случае применимость этого метода оправдана только для высоковозбужденных состояний. Исследование низколежащих уровней требует учёта поправок высокого порядка по Ь, и сопряжено с большими трудностями.

4)1/N -разложение. Для изучении спектроскопии связанных состояний был предложен и интенсивно развивался метод 1/.^-разложения. С точки зрения техники вычислений, данный метод является логарифмической ТВ но малому параметру 1/^, а потому не лишен и присущих ей недостатков. Кроме того, хотя квазиклассическая природа такого подхода и его дополнительность ВКБ-приближению достаточно ясны, до сих пор его явная полуклассическая трактовка в виде /¿-разложения не была дана.

5)Вариационный принцип и его различные модификации. Вариационной подход - единственный инструмент для решения сколько-нибудь сложных многомерных задач, в частности задач атомной физики. Основным его недостатком является отсутствие оценки точности получающихся результатов.

Таким образом, можно утверждать, что построение удобной процедуры нахождения решений квантово-механических уравнений для связанных состояний по-прежнему остается актуальной задачей.

Цель диссертации состоит в развитии нового подхода к исследованию связанных состояний в квантово-механических системах и применении этого подхода к описанию поведения двух и трехтельных систем. Акцент делается на изучении аксиально симметричных систем, математическое иследование которых представляет наибольшую сложность.

Научная новизна и практическая ценность.

Новым результатом является разработка непертурбативного метода (метод осцилляторного представления (ОП)) для аналитического вычисления спектра и волновых функций связанных состояний в малочастичных квантово-механических системах. Идея ОП состоит в следующем. В радиальном УШ делается замена переменных таким образом, чтобы преобразованная волновая функция имела, во-первых, гаус-совскую асимптотику на бесконечности и, во-вторых, была конечна и

мела максимум в нуле. Далее оказывается, что преобразованное УШ ожно отождествить с УШ для основного состояния в некотором фикти-юм вспомогательном пространстве некоторой размерности. При этом эбитальные или азимутальные квантовые числа поглощаются размер-эстыо вспомогательного пространства.

Полученный гамильтониан в этом вспомагательном пространстве приставляется в "нормальной форме", т.е. координаты и импульсы вы-ажаютсл через операторы рождения и уничтожения, и гамильтониан шисываегся в форме II = Но + Н[ + Со, причем Н0 является гамиль-энианом свободного осциллятора, а гамильтониан взаимодействия Iii редставляется в нормальной форме относительно операторов рождения уничтожения и не содержит линейных и квадратичных слагаемых, а е0 аляется энергией основного состояния в нулевом приближении. Оказы-гется, что величина е0 с высокой точностью определяет энергию осно-;юго состояния исходной задачи. Поправки могут быть вычислены по В с помощью гамильтониана взаимодействия.

Множество квантовых систем (атом во внешнем поле, деформирование атомные ядра, металлические кластеры и т.д.) описываются "со-гавными" потенциалами, являющимися суммой потенциалов, для кото-ых асимптотики волновых функций на больших расстояниях различны. Сказывается, что если провести замену переменных таким образом, что-ы размерность вспомогательного пространства соответствовала проме-уточной асимптотике, и считать эту размерность вариационным пара-етром, то удается вычислить уровни энергии в режиме слабой, силь-ой и, что существенно, промежуточной связи. Таким образом, данный етод кардинально упрощает вычисление энергетического спектра в ре-име сильной и промежуточной связи. Детально исследованы различные ежимы по константе связи для одномерного и трехмерного ангармони-еских осцилляторов.

Разработана новая схема вычисления энергетического спектра эехтелыгой кулоновской системы с полным моментом J. Установлены эаницы стабильности трехтелыюй кулоновской системы с единичными фядами в зависимости от масс частиц. В частности, расчет показал, го система (ре+е~) является нестабильной. Впервые определено зна-ение критической массы для кулоновских систем (ре~С+), (Z)e~e+), 4+Л~е+) и (рВ~е+) с полным моментом J = О, 1. Установлено, что при эзрастании величины полного орбитального момента J область стабиль-ости трехтелыюй кулоновской системы сужается, т.е. может существо-

вать такое значение полного момента Jc, при котором все трехтельнь: кулоновские системы являются несвязанными.

Впервые получена зависимость энергии связи мезомолекул (IlfiN-/ состоящих из изотопов водорода (Н = р, d, t) и ядра Nz с зарядо Z = 2,3,4,... и с массой Mz = 2Zmp, от заряда ядра Z.

Аналитически определен энергетический спектр двухэлектроной кв; нтовой точки (КТ). Впервые из синглет-триилетного и триплет-трипле-ного энергетического перехода определен размер двухэлектронной ква1 товой точки при любых значениях напряженности магнитного поля. Уст новлено, что размер КТ, определенный из синглет-триплетпого переход при сильных магнитных полях в основном определяется спиновым вза] модействием между электронами и отличается от результатов, нолуче] ных с модифицированными кулоновскими потенциалами.

Апробация работы. Материалы диссертации неоднократно доклад! вались на семинарах Лаборатории теоретической физики ОИЯИ и Т оретического отдела Института молекулярной физики РНЦ "Курчат вский институт", а также в ФИРАН, НИИЯФ МГУ, ИТФ (Киев, Укр ина), ИЯФ (Алма-Ата, Казахстан), ТГУ(Ташкент, Узбекистан). Мат риалы диссертации были представлены и докладывались на конфере циях: Sacharov Memorial Lectures in Physics, Moscow 1991. Few-Boc Problems in Physics: Kharkov-92; Алма-ата-93; Amesterdam-94; Per scola-95. Progress in current Few-Body problems, Dubna 1997. Critic Stability of Quantum Few-Body Systems, ETC, Trent о 1997. 8th Intern tional Conference on Symmetry Methods in Physics, Dubna 1997.

На защиту выдвигаются следующие результаты.

1. Разработан непертурбативный метод (метод осцилляторно: представления) для аналитического вычисления спектра и волнов! функций связанных состояний в малочастичных квантово-механическ] системах.

Метод ОП позволяет единым образом описывать основное и возбужд ные состояния для широкого класса сферически и аксиально симм тричных потенциалов, допускающих существование связанных состс ний. ОП дает возможность единообразно описывать режимы слабс сильной и промежуточной связи в случаях, когда взаимодействие оп сывается суммой потенциалов различного типа (кулон плюс осциллят' и т.д.). Метод обладает высокой точностью нулевого приближения

ошибкой менее одного процента для спектра) и содержит регулярный алгоритм вычисления поправок к этому приближению.

2. Метод применен для решения ряда актуальных задач квантовой механики связанных состояний.

• На примере ряда модельных потенциалов (степенной, логарифмический, кулоновский, потенциал Юкавы, молекулярные потенциалы и др.) продемонстрирована универсальность метода и апробирована точность вычислений.

• Детально исследованы различные режимы по константе связи для одномерного и трехмерного ангармонических осцилляторов, куло-новского и степенного потенциалов, кулоновского и юкавского потенциалов и т.д.

• Подробно рассмотрена задача об атоме водорода во внешних электрическом и магнитном полях. Уровни энергии атома и их ширины рассчитаны для произвольной напряженности электрического и магнитного поля.

• Вычислен энергетический спектр трехтельной кулоновской системы с полным моментом J = 0, 1. Установлены границы стабильности трехтельной кулоновской системы частиц с единичными зарядами в зависимости от масс частиц. Показано, что при увеличении полного орбитального момента 7 область стабильности трехтельной кулоновской системы сужается. Расчет показал, что система (ре+е~) является нестабильной. Для систем (ре~С+), (.Ое_е+), (А+А~е+) и (рВ~е+) с полным моментом 1 = 0, 1 вычислено значение критической массы.

• Вычислен спектр атома водорода с обобщенным потенциалом Ван дер Ваальса для любых значений параметра несферичности 0 <

Р < 2.

• Вычислепы эпергии основных состояний мезомолекул (IIцN г), состоящих из изотопов водорода (Н — р, (I, I) и ядра N2 с зарядом X = 2,3,4,... и с массой Мг = 2£тр. Получена зависимость энергии связи мезомолекул от заряда ядра Z.

• Рассмотрена двухэлектронная квантовал точка (КТ) в двух- и трехмерном пространстве в магнитном поле произвольной напряженности. Вычислены спектр и намагниченность КТ. Определен размер КТ из синглет-триплетного и триплет-трип летного переходов.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 18 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Она содержит 210 страниц машинописного текста, 30 таблиц и 10 рисунков. Список литературы включает 226 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении ставится задача исследования квантово-механических систем в основном и возбужденных состояниях в рамках аналитических методов и обосновывается её актуальность. Обрисовывается современная ситуация в данной области и формулируются конкретные проблемы. Кратко излагается содержание диссертации.

Первая глава посвящена изложению основной идеи ОП и техники вычисления энергетического спектра квантово-механических систем.

В §1.1 представлена основная идея ОП. Этот подход основан на методах квантовой теории скалярного поля. Одно из существенных отличий квантовой теории поля (КТП) от квантовой механики состоит в том, что в КТП квантованное поле, представляющее набор бесконечного числа осцилляторов, сохраняет при взаимодействии свою осцилляторную природу, в то время как в квантовой механике поведение собственных функций для большинства потенциалов сильно отличается от гауссовского поведения осцилляторной волновой функции. Первый шаг состоит в том, что необходимо в исходном уравнении Шредингера провести замену переменных таким образом, чтобы преобразованное уравнение обладало решениями, имеющими гауссовскую асимптотику. Далее можно воспользоваться представлениями квантовой теории поля (операторы рождения и уничтожения, упорядочение и т.д.). В квантовой теории скалярного поля в формирование основного состояния основной вклад дают так называемые диаграммы "кактусного" типа. Эти диаграммы содержат основную расходимость и их можно учесть перенормировкой массы скалярной частицы и энергии вакуума. В формализме КТП эта задача решается путем введения понятия нормального произведения, если ис-

пользовать представление полевых операторов через операторы рождения и уничтожения. Отсюда следует, что требование, чтобы гамильтониан взаимодействия, во-первых, содержал нолевые операторы в степени выше второй и, во-вторых, был записан в форме нормального произведения, эффективно приводит к учету вклада диаграмм Фейнмана "какту-сного" типа в формирование основного состояния системы, или вакуума.

Эта идея применяется к решению модифицированного уравнения Шредингера. Прежде всего необходимо выразить гамильтониан системы через операторы рождения а+ и уничтожения а осцилляторного базиса. Возникает вопрос, как наилучшим образом определить частоту этого осциллятора? На языке гамильтонова формализма квантовой механики эта задача формулируется следующим образом. Пусть гамильтониан системы задан. Из гамильтониана системы выделим чисто осциллятор-ную часть с некоторой, пока неизвестной, частотой и) и представим этот гамильтониан в форме Но = ша+а, а оставшуюся часть, т.е. гамильтониан взаимодействия, представим в форме нормального произведения по (а+, а) и потребуем, чтобы этот гамильтониан взаимодействия не содержал слагаемые, линейные и квадратичные по каноническим переменным. Это условие определяет частоту осциллятора ш и называется условием осцилляторного представления.

§1.2 посвящен изучению осциллятора в ¿-мерном пространстве. В подразделе 1.2.1 определен ¿-мерный осциллятор и его канонические переменные выражены через операторы рождения и уничтожения. В 1.2.2 различные потенциалы представлены в нормальной форме. В 1.2.3 получено нормально упорядоченное представление гамильтаниана и изложены детали вывода уравнения для частоты осциллятора, исходя из условия осцилляторного представления. В подразделе 1.2.4 приведен рецепт вычисления поправок к спектру и волновой функции, связанных с гамильтонианом взаимодействия. В 1.2.5 метод ОП сформулирован для произвольных потенциалов, допускающих существование связанного состояния.

В §1.3 ОП применен к вычислению энергетического спектра и волновой функции радиального УШ в трёхмерном пространстве. В подразделе 1.3.1 рассмотрено УШ со сферически симметричным потенциалом. Оно записывается стандартным образом:

1 / <1 \2 /(/+ 1) „, ч

Т~ -г) —+ Ш 2 г\дг) 2 г2

= Еп1фп1{г) . (1)

Пусть потенциал У{г) допускает существование связанного состояния и асимптотическое поведение волновой функции основного состояния на больших расстояниях имеет вид

Фп1{г) -> е~т° ,

где а - некоторая костанта. В 1.3.2 проведена замена переменных таким образом, чтобы преобразованная волновая функция на больших расстояниях имела гауссовское асимптотическое поведение. Такая замена имеет вид

2/з

г = д н

1

Р = ~ а

(2)

В 1.3.3 сделано другое преобразование для устранения сингулярности в нуле:

Ф(г) Ф(9) = д2"еФ{д2)

(3)

В 1.3.4 сформулирована задача нахождения спектра следующим образом. После замены (2) и (3) для модифицированного УШ имеем из (1)

НФ(д2) =

Р2 + \Viq\E)

Ф(д2) = е(Е) Ф(д2)

(4)

где £ /2^, (I = 2 + 2р + 4 • р£, и введено обозначение е(Е) = 0 .

(5)

Таким образом, задача вычисления спектра уравнения (1) свелась к вычислению энергии основного состояния гамильтониана Н в пространстве Я?. Для этого выделим чисто осцилляторную часть

ы{д2) -

(6)

где ш является пока произвольным параметром. Канонические переменные осциллятора (р, д) выражаются через операторы рождения а* и уничтожения а3 в следующем виде:

(1] =

а, + а*

Рз

и> а — а

+

1г

[а;,а+] = ¿^ . (7)

Подставим (7) в (6) и, проведя нормальное упорядочение операторов а* и аполучим:

¿(р2 + "V) = « ^ а+а,- + ^ = Ца+а) + (8)

-С" Т«' - / (#)'( - £) : е« - -£( = : ,

Потребуем, чтобы гамильтониан взаимодействия, представленный в нормально упорядоченной форме, не содержал слагаемых, квадратичных по каноническим переменным (условие осциллятпориого представления), поскольку предполагается, что квадратичные члены определяют осцилляторный характер взаимодействия и полностью включены в свободный гамильтониан и>(а+а). Это требование позволяет получить уравнение на частоту осциллятора ш:

Используя эти соотношения, перепишем гамильтониан (6) в виде:

Н = Я0 + Н1 + £о, (Ю)

где

Но = и(а+а), (И)

И, = р(-£)=^' =

£0 = ^ +

Здесь = ег — 1 — л — г2¡2 и : * : - символ нормального упорядочения. Такую запись полного гамильтониана будем назывть "правильной формой гамильтониана". Из (9) видно, что уравнение для и>, полученное из условия осцилляторного представления, совпадает с уравнением, определяющим минимум энергии е0 (И) по а;, т.е.

£„ = / I £ I . (12)

В точке минимума по ш (или, иначе говоря, на решениях уравнения (9) е0 Дает нулевое приближение для энергии основного состояния. Попра вки могут быть вычислены с помощью гамильтониана взаимодействия Подраздел 1.3.5 посвящен вычислению энергии основного состояния ] нулевом и втором порядке ТВ по гамильтониану взаимодействия. В 1.3.( радиальные возбуждения определены как высшие осцилляторные состоя ния и приведены основные формулы для спектра радиальных возбужде ний. В 1.3.7 доказано, что энергия основного состояния Ео в нулево! приближении является оценкой сверху. В 1.3.8 показано, что в общел случае параметр <1 может принимать любые положителные значения.

В §1.4 рассмотрены системы, описываемые аксиально симметрии ными потенциалами. В 1.4.1 сформулирована задача вычисления энер гетического спектра гамильтониана с аксиально симметричным потенци алом. В 1.4.2 изучено представление гамильтониана с аксиально симме тричным потенциалом в правильной форме и получены аналитические выражения для спектра.

§1.5 посвящён изложению деталей вычисления матричных элементо] и спектра в ОП. В 1.5.1 получены основные соотношения для операторот рождения и уничтожения. В 1.5.2 продемонстрированы детали вычисле ния на примере определения нормировочных коэффицентов волновы> функций радиальных возбуждений. В 1.5.3 схематизированы детали вы числения поправок, связанных с гамильтонианом взаимодействия, дл* орбитального и радиального возбуждений. Эти формулы широко ис пользуются в дальнейшем для конкретных случаев. Наконец, в 1.5/' перечислены основные выводы главы.

Во второй главе представлено обобщение ОП на случай больших возмущений для "составных" потенциалов. В §2.1 изложена основная иде; учета больших возмущений в ОП. Асимптотическое поведение волновод функции на больших расстояниях отражает характер системы. Поэтом} при переходе от одного режима взаимодействия к другому необходимс изменить асимптотическое поведение волновой функции соответственно изменению константы взаимодействия. Исходя из этого, введен новый параметр, который обеспечивает переключение от одного режима взаимодействия к другому. В 2.1.1 сравниваются различные подходы к исследованию ангармонического потенциала. В 2.1.1.1 рассмотрен одномерный ангармонический потенциал. Вычислен энергетический спектр основного состояния в нулевом и первом неисчезающем приближении ОП Результаты приведены в Таблице 1. В 2.1.1.2 рассмотрен трехмерный

1гармоиичеекий осциллятор. В 2.1.2 рассмотрен потенциал воронки

(г) =---(- ц ■ г" . Аналитически определен энергетический спектр

г

.'ионного и возбужденного состояний в нулевом приближении ОГ1.

Ё

А а Е(°> ЕМ Еск.

.02 2.02 1.015 1.015

.1 2.07 1.065 1.065

.2 2.12 1.119 1.118 1.118

.5 2.18 1/243 1.242

1. ' 2.23 1.394 1.393

1.5 2.25 1.511 1.510

2. 2.27 1.610 1.609 1.608

5. 2.31 2.022 2.020

10. 2.32 2.454 2.452

20. 2.34 3.016 3.014 3.010

100. 2.36 5.009 5.008

Таблица 1. Энергия основного состояния одномерного ангармонического осциллятора как функция параметра А.

- энергии в пулевом и втором порядках, а -Еех' - точное значение.

1 е~сг

В 2.1.3 изучен потенциал У(г) =---В •-. При различных зна-

г г

ениях параметров Вис вычислены энергетические спектры основного возбужденного состояний.

§2.2 посвящен вычислению энергетического спектра модельных по-енциалов. Степенной потенциал рассмотрен в подразделе 2.2.1, лога-1ифимический - в 2.2.2, молекулярный - в 2.2.3 и, наконец, кварковый отепциал - в 2.2.4. Результаты приведены в Таблице 2. В 2.2.5 обсу-адается точность метода. Установлено, что вторые поправки для случаев нгармонического и степенного потенциалов составляют менее одного [роцента относительно нулевого приближения. Полученные результаты уммированы в 2.2.6.

Третья глава посвящена изучению атома водорода во внешних нолях.

} §3.1 рассмотрен атом водорода без внешних полей. В 3.1.1 изучено УШ

*ля электрона в поле ядра с зарядом Z и получена стандартная формула зальмера для энергетического спектра. В 3.1.2 рассмотрена радиаль-1ая волновая функция дискретного спектра, а в 3.1.3 получена формула щя среднего значения любой степени радиуса га. В 3.1.4 получено ана-штическое выражение матричного элемента диполыюго перехода из 1Б :остояния в возбужденное состояние с прозвольными п и I для любого

типа потенциала.

Таблица 2. Энергетические спектры для различных потенциалов в нулевом приближении. Численные результаты

- в скобках.

У(г) = -21-7/Г0-2-, 2т = 1 —2,8/г0'8; 2т = 1 23'5г; 2т = 1 1п г; т = 1

п = 0 / = 0 -2.686 -1.2186 9.353 1.045

(-2.686) (-1.218) (9.35243) (1.0443)

/ = 1 -2.345 -0.5004 13.445 1.641

(-2.345) (-0.500) (1.643)

1 = 2 -2.156 -0.2947 16.993 2.014

(-2.156) (-0.295) (2.015)

п = 1 1 = 0 -2.253 -0.462 16.355 1.848

(-2.253) (-0.462) (16.3518) (1.8474)

1 = 1 -2.101 -0.281 19.540 2.151

(-2.101) (-0.281) (2.151)

1 = 2 -1.990 -0.195 22.521 2.388

(-1.990) (-0.195) (2.388)

п = 2 1 = 0 -2.044 -0.265 22.084 2.290

(-2.044) (-0.265) (22.08224) (2.290)

1 = 1 -1.951 -0.187 24.833 2.491

(-1.951) (-0.187) (2.491)

1 = 2 -1.875 -0.142 27.478 2.663

(-1.875) (-0.142) (2.663)

В 3.1.5 изучено кулоновское взаимодействие с учетом экранировки заряда и определен энергетический спектр как функция параметра экранировки. В 3.1.6 определена критическая длина экранировки для состояний с различными орбитальными возбуждениями.

В §3.2 рассмотрен атом водорода во внешнем электрическом поле. Вычисление проводилось в параболической системе координат. В 3.2.1 изученно УШ для атома водорода во внешнем электрическом поле и кратко обсуждена проблема суммирования ряда ТВ по напряженности поля. В 3.2.2 рассмотрен случай слабого электрического поля, и вычислен энергетический спектр с учётом поправки

\ . TTl=0

. _ m=l

__m=2

=V\ - : »W \ : VA __ m=3 ___m=4

у ^ / ^

г 1 , i \ ni л ; I'iKj : vVs ^ / ✓ ^ ----

Рис.1 Зависимость частоты осциллятора П(/) = const Y(f) от параметра /, пропорционального напряженности магнитного поля. Здесь т = 0,1,2,... - азимутальное квантовое число.

0.00

0.10

0.20

0.30

второго порядка. В 3.2.3 рассмотрен эффект Штарка в сильных полях и получено выражение для уровней энергии. В 3.2.4 аналитически вычислены критические значения внешнего поля и уровни энергии на классическом пороге ионизации. Зависимости частот осциллятора от внешнего поля представлены на Рис.1, откуда видно, что при проговом значении внешнего электрического поля характер зависимости резко изменяется. В 3.2.5 определены ширины уровней для слабых внешних полей. В 3.2.6 вычислен переходный матричный элемент в параболической системе координат. В 3.2.7 обсуждаются полученные результаты.

§3.3 посвящён рассмотрению атома водорода во внешнем магнитном поле. В 3.3.1 и 3.3.2 осцилляторное представление применено к вычислению энергетического спектра эффекта Зеемана. В 3.3.3 изучен квадратичный эффект Зеемана и вычислен спектр и сдвиг урвней. Определен матричный элемент перехода 15* —> п1. В 3.3.4 вычислен спектр атома водорода для основного и возбужденного состояний при любых значениях напряженности магнитного поля.

Четвёртая глава посвящена рассмотрению кулоновской трехтельной системы. В §4.1 проанализирована задача трех тел с кулоновским взаимодействием. В §4.2 рассматривается трехтельный гамильтониан с кулоновским взаимодействием и полным угловым моментом </. Формулируется задача вычисления спектра трехтельной системы в ОП.

(рре )

Рис.2

Треугольник стабильности. Граница стабильности трехтельной кулоновской системы с полным моментом 3=0,1.

В 4.2.1 гамильтониан трехтельной системы представляется в нормальной форме. §4.3 посвящёя вычислению энергии трехтельной кулоновской системы. В подразделе 4.3.1 вычислена энергия основного состояния трехтельной кулоновской системы, а в 4.3.2 определена энергия связи для 3 — Для определения точности нулевого приближения в 4.3.3 вычислены энергии связи хорошо известных трехтельных систем. §4.4 посвящен установлению границы стабильности трехтельной кулоновской системы с единичными зарядами в зависимости от масс частиц. В 4.4.1 это сделано для трехтельной системы в основном состоянии, а в 4.4.2 -в состоянии с моментом ,7 = 1. Результаты представлены на Рис.2.

В §4.5 вычислены энергии основных состояний мезомолекул (///хЛг), состоящих из изотопов водорода (р, (I, {) и ядра Иг с зарядом 2 = 2,3,4,... и с массой Мг ~ 22шР. В 4.5.1 вычислена энергия связи ме-зомолекулы, а в 4.5.2 рассмотрена стабильность мезомолекул и получена зависимость энергии связи мезомолекул от заряда ядра. В 4.5.3 представлены краткие выводы.

В пятой главе рассмотрена квантовая точка. В §5.1 проанализированы супермаленкие системы с линейными размерами порядка 10-

ОД, состоящие из нескольких электронов. §5.2 посвящен изучению ильтониана квантовой точки (К'Г), находящейся во внешнем магнит-[ поле. 13 §5.3 рассмотрена лвухэлектронная КТ. В §5.4 вычислен ргетический спектр двухэлектронной КТ. В подразделе 5.4.1 вычини собственные значения гамильтониана системы центра масс. В .2 получено модифицированное УШ для гамильтониана относитель-

0 движения и изложены детали вычисления спектра. В 5.1.3 рассмо-:на двухмерная КТ и впервые получены аналитические выраджения

1 её спектра в состояниях с пт = 0, 1:

От

+ + \т\)х2ф+^ + д* [1

' Г(1/2+|т|)\

" 2 а* у/2

+ (1 + и4<

I, т * 4 т.

4

Г(1 + |т|)

(13)

1

2

3 1о х

2 аГуД

I то*

4 те

1 + -/ 4

Г(1/2+И)/ 1 1 Г(1 +М) V 21 + \т\

е I = и>с/и!(), шс - частота Лормора, - частота 1юнфайнмеита и £д¡а" размер КТ, а параметр х равен

х —

\

Голученное выра^кеггие (14) определяет зависимость э пер гети чес кого спекла от внешних магнитных полей и линейного размера КТ. В 5.4.4 изу-с:ны энергетические переходы между уровнями. Из условия синглег-ринлетного перехода между уровнями гп и т—1 для размера КТ имеем:

е.

- 4^ Г(2+|т|) I п=о~ За: Г(1/2+Н)[1 + ^/4]^

1 Л 4

1

-а

4)

т

где использовано обозначение а — 1 — ( — 1)тд' —. При сильных в

те

шних полях, т.е. при I —* оо, в низшем порядке по д" имеем

4

8 Г(2 + |т[) n=o ~ ЗГ(1/2 + |т|)

\ 3/2 0 « / \ 1/2

\ , <5 , ит /

ыс/ 10 те \и>0

Из (15) видно, что при сильных магнитных полях основной вклад в . нейный размер КТ дает спиновое взаимодействие. В подразделе 5. рассмотрена двухэлектронная КТ в трехмерном пространстве. В 5. суммированы основные результаты главы.

В заключении перечисляются основные результаты, выдвигаемые защиту.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. M.Dineykhan, G.V.Efimov: On Bound States in the QFT. Sachar Memorial Lectures in Physics, Proceed. Mos. v.2 p.963-969 (199

2. M.Dineykhan, G.V.Efimov: The Screened Coulomb Potential in t Oscillator Representation. ЯФ, 56, c.89(1993).

3. M. Динейхан, Г.В. Ефимов: Об устойчивости трехтелъп кулоновской системы в осцилляторном представлении. ЯФ, 5 с.220-232(1994). •

4. M.Dineykhan, G.V.Efimov: The Oscillator Representation and t Stability of Three-body Coulomb Systems. Few-Body Systems 1 p.59-90(1994)

5. M.Dineykhan, G.V.Efimov: Mesic molecules of light nuclei in the с cillator representation. Jour. Mod. Phys. Lett. A9, p.2083(1994'

6. M.Dineykhan, G.V.Efimov: Anharmonic potential in the oscillat representation. Preprint JINR, E4-94-75, Dubna (1994).

7. M.Dineykhan, G.V.Efimov: Spherically symmetric potentials in ti oscillator representation. ЯФ, 58, c.1614(1995).

8. M.Динейхан Г.В. Ефимов: Квантовая механика связанных с стоячий в осцилляторном представлении. ЭЧАЯ, т26, с.65 719 (1995).

M.Dineykhan G.V.Efimov: The Schrddinger equation for the Bound State Systems in the Oscillator Representation. Reports on Mathe-mat. Phys. 36 p.287-307(1995).

M.Dineykhan G.V.Efimov: Zeeman Effect in the Oscillator Representation. ЯФ 59, c.862(1996)

M.Dineykhan G.V.Efimov G. Ganbold and S.N.Nedelko: Oscillator Representation in Quantum Physics Lecture Notes in Physics, m 26 Springer-Verlag, (1995).

M.Dineykhan G.V.Efimov: The stability of three-body Coulomb systems with J = 1 in the oscillator representation. Few-Body Systems 21, p.63(1996)

M. Dineykhan: Oscillator representation method in the theory of a hydrogen atom in an external field. Preprint JINR, E4-96-92, Dubna(1996).

M. Dineykhan: Oscillator representation and generalized van der Waals Hamiltonian. Mod. Phys. Lett. A12, р.1193(1997).

M. Dineykhan: Axially Symmetric Potentials in the Oscillator representation. Zeitschrift Fiir Physic D41, p.77-87(1997).

M.Dineykhan, R. G. Nazmitdinov: Two Electron Quantum Dot in Magnetic Field. Phys. Rev. B20, р.13707(1997).

M. Динейхан: Эффект Штарка в сильном поле в методе осцил-ляторного представления. Препринт ОИЯИ Р4-97-173, Дубна 1997.

M.Dineykhan, R. G. Nazmitdinov: On analytical solutions to the problem of the Coulomb and confining potentials. Preprint JINR, E4-97-283 Dubna 1997.

Рукопись поступила в издательский отдел 26 февраля 1998 года.