Квантовая стабильность тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.16 ВАК РФ

1 Введение

1 Системы с короткодействием

2 Двухчастичные Системы

2.1 Условия для Связи

3 Кинетическая нестабильность

4 Поверхность Стабильности

5 Необходимые условия стабильности

5.1 Введение.

5.2 Трехчастичные системы

5.3 Неборромеальные системы.

II Системы с кулоновским взаимодействием

6 Классический распад.

7 Теорема Либа

8 Поверхность стабильности в пространстве масс

8,1 Стабильность Трех Зарядов.

4 Оглавление

9 Поверхность стабильности в пространстве зарядов

9.1 Поведение кривой стабильности при заданных массах.

9.2 Оценка по Вогнутости.

9.3 Зарядовая Стабильность.-.

Любому, кто знаком с нерелятивистской квантовой механикой, хорошо известно: чтобы сколь угодно долго сохраняться как целое, система двух тел должна обладать состоянием с отрицательной энергией. Это верно для общего класса взаимодействий, спадающих на бесконечности. Оператор эволюции такой системы сохраняет распределение плотности вероятности по относительной координате, и мы можем утверждать, что система стабильна. Для систем с большим числом частиц ситуация несколько иная, потому что структура спектра в таких системах более сложная. Не только должно существовать состояние с отрицательной энергией, но оно еще должно лежать ниже любого порога диссоциации в рассматриваемой системе.

Напомним, что в многочастичных системах помимо сплошного спектра, стартующего с нулевой энергии, может существовать сплошной спектр и при отрицательной энергии. Пороги таких дополнительных сплошных спектров соответствуют всем возможным разбиениям системы на кластеры, где каждый кластер представляет собой или отдельную частицу или связанную систему. Для каждого такого разложения сумма энергий основных состояний кластеров (энергия равна нулю, если кластер состоит из одной частицы) дает энергию порога ветви сплошного спектра [5]. Такие пороги сплошного спектра ниже нулевой энергии называются порогами диссоциации, и имея энергию выше некоторого порога, система действительно диссоциирует в кластеры.

Из асимптотического поведения волновых функций мы знаем, что связанные состояния не существуют в сплошной части спектра двухчастичных систем. В случае же многих частиц может быть ситуация, когда связанное состояние погружено в сплошной спектр ниже отметки нулевой энергии. Молекулярная физика дает этому многочисленные примеры, как это было указано мне профессором С.Л. Яковлевым [6]. Тем не менее, вряд ли можно считать такие состояния стабильными, поскольку малое внешнее возмущение, нарушающее некоторую симметрию, приводит к переходу в соседние состояния рассеяния. Такие состояния представляют мета- или квазистабильные состояния системы, т.е. долгоживущие резонансы.

Под стабильностью мы всегда будем понимать присутствие связанного состояния ниже любого порога сплошного спектра. Параллельное понятие в классической механике - финитное движение, когда система может бесконечно долго занимать предоставленный ей объем в фазовом пространстве. Конечно, не существует взаимно-однозначного соответствия между классической и квантованной системой. Действительно, любая притягивающая сила между двумя частицами открывает возможность для финитного движения, коль скоро взаимодействие убывает на бесконечности. Но не всегда это так в трехмерном квантовом мире: чтобы связать два тела необходима достаточная сила взаимодействия, см. главу 2. (Более подробно соответствие между классической и квантовой стабильностью обсуждается в главе 6, смотри также статью [2]).

В общем подходе появляется некоторое пространство параметров, где каждая точка представляет отдельную систему (роль параметров могут играть константы связи, массы, заряды и т.д.). В этом же пространстве вводится поверхность стабильности, которая отделяет стабильные системы от нестабильных. Иногда оказывается поразительно удобно обобщить задачу, введя и меняя некоторые параметры системы. В этом обобщенном пространстве можно найти некоторые полезные свойства поверхности стабильности, и иногда только из этих свойств можно заключить, на стабильной или нестабильной стороне лежит данная система по отношению к поверхности стабильности. Это в некоторой степени похоже на ситуацию с миром комплексных чисел в математике, изящно подмеченную Адамаром: „Кратчайший путь между двумя правдами в вещественном пространстве проходит через пространство комплексное".

Наша цель состоит в том, чтобы описать поверхность стабильности, а также указать некоторые ограничивающие ее поверхности, которые в идеале не сильно отличаются от исходной. Найти поверхность аналитически также безнадежно, как найти аналитическое выражение для энергии сложной системы. Даже в двухчастичных проблемах редко, когда удается найти аналитическое решение. (Правда в тех случаях, когда удается, это привносит упрощение в более сложные задачи, включающие это парное взаимодействие).

Ограничивающая поверхность лежит целиком либо в стабильной, либо в нестабильной части пространства параметров. Первый случай дает достаточные, а второй - необходимые условие для связи. Для большей ясности можно представить сферу, которая разделяет стабильные точки, лежащие внутри, от нестабильных точек снаружи. Если мы найдем ограничивающую поверхность внутри сферы, то мы можем утверждать лишь то, что точки внутри ограничивающей поверхности стабильны, т.е. мы получаем достаточное условие стабильности. В том же духе, любая ограничивающая поверхность, которая оборачивает сферу, дает необходимые условия стабильности, потому что строго мы предсказываем нестабильность лишь для точек вне ограничивающей сферы.

Существует принципиальная разница между необходимыми и достаточными условиями для связи. Первые гораздо легче получить относительно простыми численными методами, выражающими вариационный принцип. Дело сводится к подбору подходящей пробной функции, которая дает энергию, достаточную для связи. С приходом мощных компьютеров искусство угадывания пробной функции постепенно уходит в прошлое. Чтобы доказать, что энергии никогда не хватит для связи (невыполняемость необходимого условия стабильности), понадобятся все возможные пробные функции. Иначе говоря, простой алгоритм, основанный на вариационном принципе в этом случае не работает, и задачи, включающие необходимые условия, более интересны.

Итак, мы рассматриваем пространство параметров, а также различаем стабильные и нестабильные точки, которые разделены поверхностью стабильности. Само определение поверхности накладывает некоторые ограничения на ее топологическую форму: это должна быть двусторонняя поверхность. Поверхность стабильности не может быть представлена лентой Мебиуса, также стабильные параметры нельзя удержать в бутылке Клейна. Лучше всего представлять некоторую сферу.

Параметры могут меняться как координаты пространства, и выбор параметров важен. В разделе 4 мы найдем пример поверхности стабильности, которая становится вогнутой, когда параметры выбираются естественным образом. Это фактически означает, что между двумя точками по нестабильную сторону от поверхности, целая группа систем, располагающихся на линии между ними, также нестабильны. При другом выборе параметров могли бы возникнуть трудности с формулировкой этого интересного и важного свойства. С другой стороны существуют топологические свойства, которые не зависят от выбора параметров. В том же разделе приведен пример поверхности стабильности, которая распадается на две несвязанные части, образно говоря, понадобится две бутылки, чтобы „разлить" все стабильные параметры. Такая структура останется неизменной, если параметры менять непрерывно. Если рассматривать стабильность ядерной материи, с протонным и нейтронным числом в роли параметров, то можно увидеть и более прихотливое поведение.

В статье [1] выделены три причины, которые вызывают нестабильность квантовой системы: (i) Кинетическое движение; (ii) Отталкивающие силы; (iii) Принцип Паули. В этой работе рассматриваются все три причины. Приведем примеры того, как эти причины вызывают нестабильность.

Возьмем две частицы, для определенности два нейтрона. Для простоты уберем спин-спиновое взаимодействие (это исключение так называемого, тензорного взаимодействия). Их взаимодействие слишком слабое, чтобы содержать связанное состояние, но усилив его домножением на некоторый коэффициент, мы добьемся связи между этими частицами. Главная причина нестабильности здесь кинетическая, поскольку в области взаимодействия силы настолько слабы, что частицы попросту выпрыгивают оттуда. Отталкивающие силы, подобные кулоновскому отталкиванию между зарядами одного знака могут разорвать систему на части, нечто похожее может происходить и в классической механике. Для иллюстрации принципа Паули вернемся к случаю двух частиц, но уже будем считать их идентичными. Если взаимодействие слабое, то вполне может быть ситуация, когда в отсутствии принципа Паули будет существовать только одно связанное состояние. Безусловно, отвечающая ему волновая функция симметрична, поскольку не может иметь нулей. Но это состояние может быть занято только если частицы не фермио ны, т.е. включение принципа Паули разрушает стабильную систему. Следует отметить, что пример двух нейтронов не совсем удачен для того, чтобы выделить отдельную причину нестабильности. На самом деле, если включить истинное тензорное взаимодействие, то нестабильность будет объясняться и

Часть I Системы с короткодействием

Глава 2

Двухчастичные Системы

2.1 Условия для Связи

Хорошо известно, что в трехмерной квантовой механике даже чисто притягивающий потенциал не всегда содержит связанные состояния. Всегда нужна некоторая необходимая сила, чтобы связать частицу. Вот, к сожалению довольно часто встречающееся ошибочное объяснение этого явления. „Частица должна быть локализована в ограниченной области. Согласно принципу неопределенностей, малая неопределенность по координате влечет большую неопределенность по импульсу, и, как следствие, частица покидает объем". Во-первых, для слабых взаимодействий, неопределенность по координате, напротив, велика. Во-вторых, потенциал может быть сколь угодно протяженным, все равно отсутствие связанных состояний гарантируется малой константой связи. И самое главное, в третьих, эти аргументы обнаруживают свою несостоятельность в одном и двух измерениях, где отрицательный, сколь угодно слабый потенциал всегда содержит по крайней мере один уровень.

Взглянем на этот вопрос с точки зрения вариационного принципа. Согласно данному принципу, для связанной системы минимальная энергия Е ~

Т + V должна быть отрицательной (здесь под Г и V мы понимаем кинетическую и потенциальную энергию, усредненные на некоторой пробной функции). Кинетический член всегда положителен. Как мы видим, решающую роль здесь играет отрицательная часть поенциала. С тем, чтобы выделить отрицательную часть разобьем потенциал на две части У(х) = У+ (х)—VL (х), V± > 0. (V(x) иногда называется притягивающей частью, что несовсем верно, поскольку любое немонотонное поведение влечет за собой отталкивание). Вопрос о стабильности в слабом потенциале решается в борьбе положительного и отрицательного членов.

Любой отрицательный потенциал в виде прямоугольной ямы содержит связанное состояние [7]. Из этого разрешимого примера немедленно следует, что любой отрицательный потенциал в этих измерениях также связывает частицу. Для того, чтобы в этом убедиться, достаточно вырезать небольшую прямоугольную ямку и отбросить оставшуюся часть потенциала; из вариационного принципа немедленно следует существование связанного состояния в исходном потенциале. Так мы убеждаемся в том, что в одном и двух измерениях, борьба между положительным и отрицательным выигрывается в пользу стабильности.

Мы покажем, что для широкого класса потенциалов в трех измерениях, маленькая константа связи гарантирует отсутствие связанных уровней. Как видно из нижеследующего примера для четырех измерений, такое явление характерно и для пространств большей размерности. Распишем Гамильтониан в виде

Для каждого к с правой стороны Ур. (2.1) появляется оператор кинетической энергии для трех измерений. Предполагая V(x) ограниченным, мы мо

2.1) жем утверждать, что каждый член справа по сути является трехмерным Гамильтонианом, четвертая координата играет роль параметра. Для малых А каждый член неотрицателен, поскольку для малых констант связи система трех частиц нестабильна, и таким образом вся система четырех частиц нестабильна.

Jost и Pais [8] первыми доказали, что слабый сферически-симметричный потенциал V{r) не имеет связанных состояний. Это было следствием более содержательного результата - необходимого условия существования уровня в интегральной форме.

Л ос

J = / rU(r)dr > 1, (2.2)

Jo где U(г) = (2M/h2)V-(r). Как историческая веха Ур. (2.2) заслуживает внимательного рассмотрения, и я приведу собственное доказательство.

Доказательство. Из вариационного принципа ясно, что удаление положительной части потенциала (х) с сохранением отрицательной части — VL(x) оставляет систему стабильной. Мы интересуемся основным состоянием в потенциале, которое всегда имеет полный угловой момент равный нулю. Радиальное уравнение для нижайшего s-состояния d2 dr2 ^

X = UX, (2-3) где граничные условия таковы х(0) = %(оо) = 0. Функция Грина оператора в правой части Ур. (2.3) имеет вид 5ь(г,г') = sinh (kr)e~hr'/к при (г < г'), где <7fc(r, г') = дк(г', г). Переписанное в интегральной форме Ур. (2.3) принимает вид

•ОС

Х(г)=/ 9k(r,r')U(r')X(r')dr' (2.4)

J о

Пусть tq та точка, где х(г) достигает максимума. Мы будем иметь в виду, что x(f) неотрицательна как волновая функция основного состояния. Таким образом мы получаем

POD рОО

ХЫ= 9fc(r(b r')U(r')x(r')dr' < x(r0) I дк{пУ)и{т')йг' (2.5) Jo J 0 U о

LU!

Рис. 2.1: Кривая стабильности для сферической прямоугольной ямы в трех измерениях; глубина Щ и радиус ямы До играют роль параметров.

Из Ур.(2.5) следует

Опять же, из вариационного принципа следует, что выбирая AU(r) вместо U(г), где А < 1, приближает энергию основного состояния сколь угодно близко к нулю. Тогда в Ур. (2.6) мы можем перейти к пределу слабой связи к —У 0 для некоторого А < 1. Восстанавливая А = 1 мы только усиливаем неравенство. где я использовал явное выражение для функции Грина при к 0. Легко проверить, что функция в квадратных скобках в Ур. (2.7) имеет неотрицательную производную по г0 и таким образом ее максимум достигается при

2.6) max

ГО

2.7) г0 = оо. Это доказывает Ур. (2.2).

Если взять потенциал в Ур. (2.3) равный прямоугольной яме с глубиной U0 и радиусом Но, тогда условие для связи известно в точном виде U0RIq > -к2! А [7]. У р. (2.3) дает условие ЩЩ > 2 и ошибается на двадцать три процента. На Рис. 2.1 показана кривая стабильности для прямоугольной ямы в параметрах (Uq, Rq). Подобные кривые дают хорошее приложение интегральным неравенствам. Для потенциала, отяжеленного угловой зависимостью, численные вычисления для каждой точки могут представлять серьезную трудность, особенно при большом числе параметров. Интегральные неравенства зачастую дают аналитическую зависимость от параметров и позволяют ухватить суть в поведении поверхности стабильности.

После Jost и Pais развилось что-то вроде индустрии, и на сегодняшний день известно много самых разных условий для связи. Имя им легион, и я упомяну лишь о некоторых. F. Calogero [9] развил элегантный метод для получения различных условий связи. В частности, для сферически симметричного потенциала, содержащего хотя бы одно состояние должно выполняться

Короткий вывод этого неравенства можно найти в [10]. Это условие оказывается достаточным для прямоугольной ямы (что полностью решает вопрос об оптимальности множителя перед интегралом!). Другое интересное и очень точное условие можно найти в [11]; данное условие не требует сферической симметричности потенциала и его вывод базируется исключительно на вариационном принципе.

Тесно связан со стабильностью вопрос подсчета связанных состояний в потенциале. Число связанных состояний в потенциале V(x) мы будем обозначать как N(V). Некоторые из обсуждавшихся выше условий стабильности также являются частными случаями интегральных неравенств на число связанных состояний.

В 1966 J. Schwinger (лауреат Нобелевской премии) и петербуржец М.Ш. Бирман независимо опубликовали идентичные доказательства следующей те

2.8) оремы

Теорема 2.1. Для потенциала V(x) в трех измерениях число связанных состояний N(V) удовлетворяет неравенству

Полагая N(V) = 1 (что значит по крайней мере одно состояние) Ур. (2.9) становится необходимым условием существования уровня. Доказательство удивительно коротко и изящно.

Доказательство. Число связанных состояний станет больше, если удалить положительную часть потенциала N(V) < N(—VJ).

Замечание Это элементарное следствие минимаксного принципа для собственных значений. Но можно воспользоваться и более широко известной теоремой Фейнмана-Хеллмана. Рассмотрим Гамильтониан Н = Т + (1 — А)У4 — У-(х), у которого собственные значения отвечают связанным состояниям . По теореме Фейнмана-Хеллмана для всех Л Е [0,1] производная удовлетворяет неравенству dEi/dX = — < 0. Это значит, что при увеличении А от нуля до единицы все уровни, сохраняясь, ползут вниз, т.е. при А = 1 их число не меньше чем при А = 0.

Уравнение Шредигера для потенциала К(х) где U (х) = (2M/ft2)VL(x) и к2 — 2ME/h2. Воспользуемся методом функции Грина и превратим Ур. (2.10) в интегральное уравнение

2.9)

-Д + к2)ф = иф,

2.10)

Ф =

2.11) где Gt интегральный оператор с симметрическим ядром

G*(x, у) = (х|(—Л + к2у*\у) =

4х |х — у

2.12)

Теперь превратим Ур. (2.11) в уравнение с симметрическим ядром х — МсХ, где х — Ul/2ip, = ^^GkU1!2. Меняя U на А-1£7 мы получаем интегральное уравнение на собственные числа Mkx = Хх

Теперь зафиксируем к как „планку" вблизи порога нулевой энергии таким образом, что энергии всех связанных состояний в потенциале VL (х) лежат ниже энергии соответствующей к. Увеличивая Л в выражении А""1 У, начиная с А = 1, мы заставляем все состояния в потенциале А-1 К. двигаться вверх, в сторону непрерывного спектра. Для определенных Ai, А2, ■ ■ ■, A/v > 1 эти состояния будут касаться „планки" , т.е. их энергия будет соответствовать волновому числу к. В то же время Aj, очевидно, являются собственными числами уравнения МкХ = Все собственные числа этого уравнения вещественны и положительны (они скапливаются вблизи нуля). Из-за того что Ai,., Адг > 1 мы имеем

N{V) <Xl + \l + . + \2N< Тг{М2к) (2.13)

Переписывая в явном виде след в Ур. (2.13) мы получаем

N(r> s S5 / <2-14'

Полагая fc = 0, мы увеличиваем правую часть в Ур. (2.14) и доказываем теорему. □

Когда потенциал довольно глубокий, мы вправе ожидать, что правилен будет квази-классический подсчет состояний. Согласно квази-классическому подсчету каждое связанное состояние (т.е. состояние с отрицательной энергией) в потенциале У(х) занимает объем h3 в тех частях фазового пространства, где Н(р, х) = р2/2М + У(х) < 0. Пусть X обозначиает множество всех таких (р, х), что Н(р,х) < 0. Согласно квазиклассичечкому подсчету

1 / 4тг Г /V2MK-W dvdx = -ргJ d*j p2(1P =

20

Выводы

В данной работе были освещены разные вопросы квантовой стабильности. Ниже следует перечень результатов, отражающий вклад автора в проведенное исследование

• Для многочастичных систем с короткодействием мы получили очень общие необходимые условия стабильности (глава 5), которые весьма полезны в приложении к изучению борромеальных систем, таких как 6Не и 11 Li. В главе 3 мы систематизировали общий подход к стабильности.

• Для ядерных систем в главе 3 мы получили некоторые новые результаты о поведении кривой стабильности (в частности теорема 4.1). В этой же главе мы получили теорему о связанном графе (теорема 3.1), которая хоть и является достаточным условием стабильности, имеет фундаментальное значение для формулировки необходимых условий стабильности систем с притягивающими взаимодействиями.

• В главе 4 мы развили быстро сходящийся алгоритм расчета вогнутых кривых стабильности, который гораздо быстрее прямого подхода, состоящего в нахождении индивидуальных точек. Этот алгоритм применим как в атомной, так и в ядерной физике.

1. Necessary conditions for binding in few-body systems, D.K. Gridnev and J.S. Vaagen, Phys.Rev. C61 (2000) 54304

2. Classical Decay of Coulomb Charges, D.K. Gridnev and J.S. Vaagen, Phys.Rev. E63 (2000) 26609

3. Analysis of Stability Curve for Three Coulomb Charges, D.K. Gridnev and J.S. Vaagen, Journal of Physics G, в печати.

4. Borromean Halo Nuclei, J.S. Vaagen, D.K. Gridnev, H. Heiberg-Andersen, B.V. Danilin, S.N. Ershov, V.I. Zagrebaev, I.J. Thompson, M.V. Zhukov and J.M. Bang, Physica Scripta T88, (2000) 209-213

5. W. Hunziker, Helv. Phys. Acta 39 (1994) 451.

6. S.L. Iakovlev, частное сообщение, St.Petersburg 2001

7. S. Fltigge, Practical Quantum Mechanics, Springer Verlag, 1994

8. R. Jost and A. Pais, Phys. Rev. 82 (1951), 840

9. F. Calogero, The variable Phase Approach to Potential Scattering, Academic Press, 1967, New York.

10. B. Simon, Studies in Mathematical Physics, Princeton University Press, 1967, стр. 305

11. V. Glaser, et. al, тот же том, стр. 169

12. Е. Lieb, Bull. Amer. Math. Soc. 82 (1976), 751.

13. G. Roepstorff, Path Integral Approach to Quantum Mechanics: an Introduction, Springer-Verlag, 1996, New York.

14. A. Martin, Helv. Phys. Acta 45, (1972) 140

15. H. Tamura, Proc. Japan Acad. 50, (1974) 19

16. R. Courant and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Vol. 1, Wiley (Interscience), 1953

17. M.V. Zhukov, B.V. Danilin, D.V. Fedorov, J.M. Bang, I.J. Thompson and J.S. Vaagen, Physics Reports 231 (1993) 151

18. Isao Tanihata, J.Phys. G22 (1996) 157-198

19. P.G. Hansen, A.S. Jensen and B. Jonson, Ann.Rev.Nucl.Paxt.Sci. 45 (1995) 591-634

20. Z. Zhen and J. Macek, Phys.Rev. A38 (1988) 1193-1201

21. B.S. Pudliner, Y.R. Panharipande, J. Carlson, S.C. Pieper and R.B. Wiringa, Phys.Rev.C56 (1997) 1720

22. J. Goy, J.M. Richard and S. Fleck, Phys. Rev. A52 (1995) 3511

23. J.-L. Basdevant, A. Martin, J.M. Richard and T.T. Wu, Nucl.Phys. B393 (1993) 111

24. A. Martin, Journ. Stat. Phys. 89, (1997) 445

25. W. Thirring, Classical Dynamical Systems and Classical Field Theory, Springer Verlag (1992)

26. Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, серия Теоретическая физика, том 1, Механика, издательство Наука, Москва 1974.

27. A. Martin, J.M. Richard and Т.Т. Wu, Phys. Rev. A46 (1992) 369; Phys. Rev. A52 (1995) 2557

28. E.H. Lieb, Phys.Rev. A29, (1984) 3018

29. R. Benguria and E.H. Lieb, Phys.Rev.Lett. 50, (1989) 1771

30. R.N. Hill, J. Math.Phys. 18, (1977) 2316

31. S. Weinberg, "A Designer Universe?\ статья в New York Review of Books, смотри английский текст на www.nyu.edu/classes/neimark/design.html

32. G. Zhislin, Труды Московского Математического Общества 9 (1960) 81

33. J.-M. Richard, J. Frohlich, G.-M. Graph, and M. Seifert, Phys.Rev.Lett. 71 (1993) 1332

34. D.K. Gridnev and J.S. Vaagen, статья, готовящаяся к публикации.

35. R. Lipkin, 'The Best of SCIENCE NEWS", Ocober 14 (1995), смотри английский текст на www.sciencenews.org

36. F.J. Dyson and A. Lenard, J. Math.Phys. 8 (1967) 423

37. E. Lieb and W.E. Thirring, Phys.Rev.Lett. 35 (1975) 687

38. A. Martin, J.M. Richard, T.S. Wu, Phys. Rev. A52 (1995) 2557

39. Z. Chen, L. Spruch, Phys. Rev. A42 (1990) 133

40. A. Martin, Heavy Ion Phys. 8 4 (1998) 285

41. M. Reed and B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, vol. 4, Academic Press (1978)112 Список Литературы

42. Н. Hogreve, J. Chem. Phys. 98, (1993) 5579

43. M.B. Russkai, Lett. Math. Phys. 18, (1989) 121

44. A. Messiah, Quantum Mechanics, North Holland Publishing Co. (1964)

45. I.S. Gadshteyn and I.M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products, 4-th edition, Academic Press (1980)

46. E. Lieb and W.E. Thirring, Studies in Mathematical Physics, Princeton University Press, 1967, стр. 205

47. E.H. Lieb and B. Simon, J. Phys. Bll (1978) L537