Квантовогрупповые методы в теории точно-решаемых двумерных статистических систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

$1129 2

ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ

92-152 На правах рукописи

Сергеев Сергей Михайлович

КВАНТОВОГРУППОВЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ТОЧНО РЕШАЕМЫХ ДВУМЕРНЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Протвино 1992

М-24

Работа выполнена в Институте физики высоких энергий (г. Протвино, Московской обл.)

Научные руководители — доктор физико-математических наук Б.А. Арбузов, кандидат физико-математических наук Ю.Г. Строганов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук А.В.Разумов, доктор физико-математических наук H.A. Свешников.

Ведущая организация - Научно-исследойательский .институт ядерной физики (г. Москва). ,' .: . ' . :

Защита диссертации состоится "_" _ 1992 г.

в _ часов на заседании специализированного совета ИФВЭ при

Институте физики высоких энергий (142284, г.Протвино Московской обл.).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИФВЭ.

Автореферат разослан "__" _,----- 1992 г.

Ученый секретарь

специализированного совета ИФВЭ Ю.Г. Рябов

© Институт физики высоких энергий, 1992.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория двумерных точно решаемых моделей является одной из наиболее популярных областей современной математической физики. Притягательность таких моделей объясняется тем, что наиболее интересные физические явления, а именно неаналитические свойства статистической суммы и спонтанная намагниченность, недоступны исследованию привычными методами теории возмущений. Исторически классические точно решаемые задачи были сформулированы еще в двадцатых годах нашего века в работах Изинга и Гейзенберга, однако универсальный метод для их решения был предложен Р. Бакстером в 1972 году. Этот метод, получивший название метода трансфер-матриц, позволяет вычислять статистическую сумму и спонтанные намагниченности для статистических моделей, больцмановские веса которых удовлетворяют уравнению Янга - Бакстера (уравнению треугольников) — системе алгебраических уравнений третьей степени.

Уравнение Янга - Бакстера оказалось необычайно богатым на решения, применения и на интерпретации:. Техника уравнения треугольников оказала детонирующее воздействие на квантовый метод обратной задачи' и квантовую систему Тоды. Из уравнения треугольников возникла концепция квантовых групп, бурное развитие которой в свою очередь оказало влияние на двумерные конформные теории поля и бумерангом пролпло свет на связь точно решаемых моделех! и простых алгебр Ли.

Несмотря на вышеизложенные успехи, современные точно интегрируемые системы вызывают недоумение своей двумерностью. С 1980 года была известна только одна трехмерная интегрируемая модель - модель Замолодчпкова. Однако недавно было замечено, что так называемое Ап-\ обобщение кпральной модели Поттса (модель Важанова - Катаева - Ман-газеева - Строганова) имеет естественную трехмерную интерпретацию,

являющуюся обобщением модели Замолодчикова (модель Бажанова - Бак-стера) .

Цель диссертационной работы:

1. Завершение списка тригонометрических й-матриц с диагональным' спектральным разложенном.

2. Построение статистической модели с тремя спиновыми состояниями, -ассоциированной с алгеброй Ец.

3. Построение и к.'следование температурной внектритической деформации БКМС ъм^гли и модели Бажанова - Бакстера.

Научные результаты и новизна работы

1. Построены тригонометрические Д-матрицы для исключительных алгебр Ли Е^, £7, Е<, завершающие список Д-магриц с диагонализуемым спектральным разложением. Показано, что для алгебры Е$ диагонального спектрального разложения не существует. Для спектральных функций произвольной .'¿-матрицы получена система линейных функциональных уравнений, охг/ одел;» аная спектральные функции однозначно.

2. Построена регулярна: процедура восстановления тригонометрической ШГ модели по исходной /¿-матрице. Приводится полный список трёхцветных эллиптических решений уравнения Янга - Бакстера, ассоциированных с матрицей инцидентности типа т = 2. Для примера исследуется одно из возникших решений. Выписана также пара неэл-липтизируемых тригонометрических решений, одно из которых является кандидатом на ИВОЭ модель.

3. С помощью метода ^-векторов, и стартуя с эллиптической Я-матрицы Белавина построена эллиптическая деформация модели свободных парафермионов. Модель определяется с точностью до п — 1 дискретных комплексных параметров, связанных соотношением инвариантности аналогично с обобщением киральноп модели Поттса. В случае п — 2 получившаяся модель оказывается шире, чем изучавшаяся ранее модель Кащивари - Мивы. Для простого выбора параметров дгп ^ эллиптической модели получена статистическая сумма п описано представление для спонтанной намагниченности в виде одномерной конфигурационной суммы:

Практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты имеют приложение как к статистической механике, так и к точно интегрируемым задачам квантовой механики. В частности, резуль-

гаты первой главы необходимы для получения коммутационных соотношений для матричных элементов матриц монодромии системы типа ^ше - Гордон", ассоциированной с исключительными алгебрами. Результаты первой к второй глав позволяют быстро и эффективно получать :татистико-механические системы, связанные с исключительными алге-эрами, среди которых есть, например, трикрптпческая модель Изинга и грехпозиционная модель Поттса. Результаты третьей же главы позволяют исследовать намагниченность и корреляционные свойства трехмерной "модели свободных анионов"'.

Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-4] и докладывались на рабочем семинаре международного математического института им. Леонарда Эйлера в С. Петербурге (1990г.) и на :еминарах Отдела теоретической физики ИФВЭ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех "лав основного текста и заключения. Список литературы содержит 48 наименований. Объем диссертации 70 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации. Дается храткий обзор задач, результатов и методов теорпп точно интегрируемых шетем и определяется круг задач, решаемых в диссертации.

В первой главе описывается алгоритм получения квантовых коэффициентов Клебша - Гордона, допускающий простое программное воплощение. Исследуя вопрос о построении представления д-деформированного эазпеа Шевалье афинной алгебры над конечномерным модулем простой шгебры, воспроизведен результат Дрпнфельда о фундаментальных представлениях простых алгебр, допускающих построение тригонометрпче-:кой Д-матрицы с диагональным спектральным разложением. На основании результатов, полученных при исследовании коэффициентов Клебша -Гордона, выписываются старшие векторы неприводимых модулей, содержащихся в тензорном произведении векторных представлений алгебр

Ет. Кроме того, выписываются свойства деформированных б — ./ лшволов • для произвольных алгебр Ли. Далее приводятся спектральные функции для Д-матриц исключительных алгебр Ли. В последнем разде-пе первой главы построена матрица кроссинг-симметрии Л-матрпцы для произвольной алгебры Ли и построена система однородных функциональ-

ных уравнений для спектральных функций ií-матрицы для самосопряженных представлений произвольной алгебры Ли.

Во второй главе приводится регулярная процедура восстановления тригонометрической IRF модели по исходной Д-матрице, использующая свойства квантовых коэффициентов Клебша - Гордона. Приводится полный список трёхцветных эллиптических решений уравнения Янга - Бак-стера, ассоциированных с матрицей инцидентности типа т = 2. Для примера исследуется одно из возникших решений. Выписана также пара неэллиптизируемых тригонометрических решений, одно из которых является наиболее вероятным кандидатом на Е% RSOS модель для афинного уровня два.

В третьей главе с помощью метода ^-векторов, стартуя с эллиптической Jí-матрицы Белавина, строится эллиптическая деформация i обобщенной киральной модели Поттса. Модель определяется с точностью до п — 1 дискретных комплексных параметров, связанных соотношением ZN инвариантности аналогично модели БКМС. В случае п = 2 получившаяся модель оказывается шире, чем изучавшаяся ранее модель Кашивары - Мивы. Для простого выбора параметров Zf¿"~1 эллиптической модели и двух различных тригонометрических пределов получена статистическая сумма. Описано представление для спонтанной намагниченности в виде одномерной конфигурационной суммы.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Sergeev S.M. Spectral Decomposition of R - Matrices for Exceptional Lie

Algebras. // Modern Phys. Lett.A. 1991. V. 6. P. 923 - 927.

2. Sergeev S.M. Еъ Level 2 RSOS Model.// Modern Phys. Lett. A. V.6. P.

'2335 - 2344 .

3. Sergeev S.M. Z%n~l Broken Model.: Preprint IHEP 92-7. Protvmo,1992.

(to appear in Mod. Phys. Let. A.)

4. Sergeev S.M. Statistical Mechanics for Zf¡n~l Broken Model.: Preprint IHEP

92 - 46. Protvino,1992. ( to appear in Mod. Phys. Let. A.)

Рукопись поступила 4 ноября 1992 года.