Квантовые флуктуации в системах квазиклассических джозефсоновских контактов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Российская Академия Наук Институт Теоретической физики им Л Д Ландау

На правах рукописи ПРОТОПОПОВ Иван Владимирович

Квантовые флуктуации в системах квазиклассических джозефсоновских контактов

01 04 02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2007

003071752

Работа выполнена в Институте теоретической физики им Л Д Ландау Российской Академии Наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук

Фейгелъман М В Официальные оппоненты доктор физико-математических наук

Рязанов В В

кандидат физико-математических наук Иоффе Л Б

Ведущая организация Научно-исследовательский институт ядерной

физики им Д Б Скобельцына (НИИЯФ МГУ), г Москва

Защита состоится % 2007 г в I часов на засе-

дании диссертационного совета Д 002 207 01 при Институте теоретической физики им Л Д Ландау РАН, расположенном по адресу Ц2432, Московская обл, Ногинский р-н , поселок Черноголовка, Институт физики твердого тела РАН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им Л Д Ландау РАН

Автореферат разослан « ^ » К&Я . 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

Гриневич П Г

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Первые искусственные сетки джозефсоновских контактов были получены авторами работы [1] как часть проекта по разработке сверхпроводящих электронных устройств Это достижение положило начало интенсивному изучению джозефсоновских сеток, интерес к которым не ослабевает на протяжении уже более чем четверти века

Джозефсоновские сетки идеально подходят для исследования широкого круга явлений классических и квантовых фазовых переходов, эффектов фрустрации, динамики вихрей Первые системы этого типа строились на основе классических контактов с сопротивлением заметно меньше квантового спротивления Яд = /г/4е2 и джозефсоновской энергией Е] значительно превосходящей зарядовую энергию Ее При выполнении этих условий квантовые флуктуации фазы сверхпроводящего параметра порядка несущественны и джозефсоновская сетка представляет собой экспериментальную реализацию классической ХУ-модели В частности, в двумерной сетке имеет место переход типа Березинского-Костерлица-Таулеса [2, 3], экспериментально обнаруженный в [4] При температуре выше Такт флуктуации фазы разрушают глобальную фазовую когерентность и переводят сетку из сверхпроводящего состояния в металлическое К концу 1980-х годов развитие технологии изготовления мезоскопи-ческих структур привело к появлению джозефсоновских сеток с контактами субмикронного размера При этом^. зарядовая энергия контактов сравнима с джозефсоновской, или даже превосходит ее Соответственно в таких структурах важную роль играют квантовые флуктуации фазы сверхпроводящего параметра порядка, наиболее радикальным эффектом которых является существование квантового перехода сверхпроводник-изолятор по параметру EJ/Ec [5, 6] в двумерных решетках Несмотря

на значительный прогресс в изучении перехода сверхпроводник-изолятор, количественное описание этого явления сталкивается с серьезными трудностями, вызванными тем обстоятельством, что в точке перехода как правило джозефсоновская и зарядовая энергии порядка величины сверхпроводящей щели EJ ~ Ее ~ А Соответственно, стандартный локальный по времени джозефсоновский гамильтониан, содержащий лишь сверхпроводящие фазы, не дает адекватного описания

Особый интерес в последние годы вызывает влияние квантовых флук-туаций на системы, классическое основное состояние которых многократно вырождено [7-9] При учете квантовых флуктуации, такое вырождение может приводить к формированию новых нетривиальных квантовых фаз [10, 11] Простейшим примером подобной системы является цепочка джозефсоновских ромбиков с магнитной фрустрацией В цепочке ромбиков при максимальной фрустрации (поток через каждый ромбик Фг равен половине сверхпроводящего кванта потока Фо) локальная 2ч симметрия стабилизирует нематическую жидкость Латинжера, построенную из пар куперовских пар с зарядом 4е [10] При этом перенос заряда по цепочке возможен только парами куперовских пар (4е-сверхток) Для экспериментального обнаружения этого явления необходимо знать, насколько оно чувствительно к отклонению потоков в ромбиках от половины кванта В работе [10] анализ системы производился в предположении, что емкость сверхпроводящих гранул доминирует над емкостью контактов В тоже время, в реальных цепочках имеет место обратная ситуация

Цель работы состоит в изучение развитых квантовых флуктуаций в сетках квазиклассических джозефсоновских контактов В том числе в работе рассматриваются а) когерентный транспорт в фрустрированной цепочке джозефсоновских ромбиков без беспорядка и при его наличии,

б) фазовый переход сверхпроводник-изолятор в сетке джозефсоновских проволочек

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем

1 Изучен когерентный транспорт во фрустрированной цепочке джозефсоновских ромбиков в важном с точки зрения эксперимента случае, когда емкость джозефсоновских контактов С велика по сравнению с емкостью сверхпроводящих островков Со Вычислены амплитуды 4е- и 2е-сверхтоков в цепочке при конечном отклонении от точки максимальной фрустрации Найдено критическое отклонение 5ФС = |ФГ — Фо/2|, при котором 2е-сверхток начинает доминировать над 4е-сверхтоком

2 Исследовано влияние зарядового (случайные заряды в подложке) вмороженного беспорядка на свойства цепочки ромбиков Получено явное выражение для вероятности (в зависимости от реализации беспорядка) обнаружить систему в режиме с доминирующим 4е-сверхтоком Определено типичное значение критического отклонения от максимальной фрустрации, разрушающего 4е сверхток Показано, что достаточно слабый магнитный беспорядок (разброс потоков в ромбиках не превосходящий <5ФС) не оказывает существенного влияния на спаривание куперовских пар

3 Предложена новая модельная система удобная для экспериментального и теоретического изучения квантового перехода сверхпровод-пик-изолятор и связанных с ним явлений Предлагаемая система представляет собой сетку джозефсоновских проволочек в виде квадратной решетки, каждое ребро которой состоит из большого числа квазиклассических джозефсоновских контактов Для такой модели

найдено точное дуальное преобразование, переводящее ее гамильтониан в стандартный гамильтониан джозефсоновской сетки, и вычислена точка нультемпературного перехода сверхпроводник-изолятор при значениях параметра магнитной фрустрации / = 0, 1/2 Определены температуры переходов сверхпроводник-металл и металл-изолятор с учетом квантовых флуктуации

Научная новизна и достоверность. Результаты диссертационной работы получены впервые, ее выводы обоснованы надежностью применявшихся при исследовании современных методов теоретической физики и подтверждаются результатами апробации работы

Научная и практическая ценность. Полученные в работе результаты расширяют и углубляют понимание влияния квантовых флуктуа-ций на свойства джозефсоновских сеток Они допускают прямую экспериментальную проверку, а также указывают направление новых экспериментов

Апробация работы. Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на международной конференции в Санкт-Перербурге (Fundamentals of electronic nanosystems, Санкт-Перербург, 2005), на коференции ESF Research Conference on Fundamental Problems of Mesoscopic Physics (Аквафреда ди Маратеа, Италия, 2005), на летней школе по физике конденсированного состояния в Виндзоре (Англия, 2004), на семинарах в ИТФ им JI Д Ландау и в Институте низкотемпературных исследований (CRTBT CNRS) в Гренобле, Франция

Публикации. По материалам диссертации опубликованы 3 научные работы, список которых приведен в конце реферата

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введе-

ния, трех глав, заключения и списка литературы Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения

Глава 1 посвящена изучению когерентного транспорта в цепочке джозефсоновских ромбиков (рис 1) При этом предполагается, что а) емкость контактов С значительно превосходит емкость сверхпроводящих гранул Со и определяет зарядовую энергию Ее = е2/2С, б) флуктуации фазы в каждом контакте в отдельности слабы и джозефсоновская энергия доминирует над зарядовой Е] Ее, с) цепочка состоит из N 1 ромбиков и поток через каждый ромбик Ф близок к половине кванта потока Изучается характеристика ток-фаза для этой системы при нулевой температуре

При выполнении вышеперечисленных условий для отыскания квантового основного состояния системы может быть применен метод, предложенный в работе [12] для обычного цепочки джозефсоновских переходов Отправной точкой при этом служат классические состояния цепочки ромбиков Вблизи точки максимальной фрустрации, каждый отдельно взятый ромбик обладает двумя классическими состояниями, отличающимися направлением сверхтока При макимальной фрустрации энергии этих состояний совпадают Таким образом, классические состояния ромбика нумеруются двоичной переменной (¿-проекцией спина 1/2), определяющей направление тока в нем

Классическое состояние всей цепочки определяется набором спино-

7

Рис 1 Цепочка ромбиков с наложенной разностью фаз 7

вых переменных (одна переменная на каждый ромбик) и целочисленной переменной т, задающей величину тока в ней Энергии классических состояний имеют вид

Здесь 7 — приложенная к цепочке разность фаз, 8х — полный спин цепочки, а 5Ф = Ф — Фо/2

Квантовые флуктуации включаются в модель в виде проскоков фазы в контактах, перебрасывающих систему из одного классического состояния в другое При большом числе ромбиков в цепочке каждый такой проскок затрагивает только фазы внутри одного ромбика и соответствующий матричный элемент имеет вид

Здесь численный коэффициент к меняется от 1 3 до 1 44 при изменении отношения EJ/Ec от 10 до бесконечности

В приближении сильной связи рассматриваемая задача может быть сведена к задаче о нахождении основного состояния частицы со спином N/2 , движущейся в периодическом магнитном поле и описываемой урав-

Ет,а = Щ^Ь - тгЛУ2 - 7г5г - 2тгт)2 - 2^тг^Е^-

6Ф

>2

(1)

пением Шредингера

дЧ ~ ~

-^ + (E-2wcos2x Sx + 2hSz)ip = О, (3)

~ 16 NE 6Œv , 16ЛГ5Ф

Е = —=-, w = —=-, h = —-— (4)

V2Ej7г2 y/2Ejir2 тгФо

В этом уравнении член пропорциональный Sx описывает флуктуации

фазы, в то время как член с Sz описывает снятие вырождения уровней

ромбика при отклонении от максимальной фрустрации Наложенная на

систему разность фаз определяет накладываемое на волновую функцию

граничное условие

g^+игАГ/ ^ + а) = а) (5)

Энергия основного состояния может быть найдена точно при 5Ф = О, когда оператор Sx коммутирует с гамильтонианом и задача сводится к уравнению Матье В наиболее интересном случае сильных квантовых флуктуаций потенциал в уравнении Шредингера (3) является квазиклассическим и соотношение ток-фаза имеет вид

7(7) =32 2^sI0c(v/Ejf4VÑexp^-^-^N]j^-ym21 (6)

Здесь 1° — критический ток одного контакта Необходимо отметить два обстоятельства а) характеристика ток-фаза имеет период 7Г, что является прямым следствием переноса заряда единицами 4е, б) эффект флуктуаций контролируется параметром N2v/Ej и даже при маленьком v, но достаточно большом N оказывается значительным

Квазиклассический метод может быть применен в области сильных квантовых флуктуаций и при ненулевом <$Ф При этом характеристика ток-фаза имеет вид

1(7) = he sin 7 + he sin 27, he = Me exp(-S,4e), he = Me exp(-¿>2e) , (7)

9

S2e i &le

Л _ 1__

" lij

Рис 2 а) Действия S2e и S'v, определяющие амплитуды 2е- и 4е-сверхтоков б) Зависимость критического отклонения <5ФС отношения Ej/Eq для цепочки ромбиков без беспорядка

Величины S2e и Sie (имеющие смысл классического действия) пропорциональны числу ромбиков N и, кроме того, являются функциями Ej/Ec и 6 Критическое отклонение <5ФС, при котором происходит кросовер от режима с доминирующим 4е-током к режиму с доминирующим 2е-током определяется уравнением Sie — S<ie

Действия Sie и S4e могут быть рассчитаны численно Расчет упрощается тем обстоятельством, что при Ej Ее кроссовер между 2е- и 4е-режимами происходит при таких <5Ф, что параметры уравнения (3) удовлетворяют неравенству h w В этом пределе ¿>2е,4е = hS2e,4e(d), где функции S2e,4e(d) зависят уже от единственного параметра

1 v

d =

w2N

(8)

2 /I3 2у/я:5Ф3/2 Е] Результаты расчета Б2е,4е{д) представлены на рисунке 2а Из того же расчета следует центральный результат главы 1

2/3

0фс = 02(£_у ф()

(9)

Зависимость критического отклонения 6ФС от Ej/Ec представлена

10

на рисунке 26 Необходимо отметить два обстоятельства а) <5ФС не зависит от числа ромбиков, б) хотя ¿Фс мало, современные технологии изготовления джозефсоновских структур позволяют контролировать поток в ромбиках с точностью лучше ¿Фс, что означает принципиальную возможность экспериментального наблюдения 4е-сверхтока

В Главе 2 рассматривается влияние вмороженного беспорядка на спаривание куперовских пар в цепочке ромбиков Изучаются два типа беспорядка — зарядовый и магнитный

Метод аналогичный описанному в главе 1 позволяет в самом общем виде свести разупорядоченную задачу к решению уравнения Шрединге-ра

д2ф дх2

/ n n n \

+ соб(2х - тг кп) - 2т ^ Ьп§уп Бт(2а; - тгк„) + 2 ^ КБ* 1-0 = 0, (10)

\ П=1 71=1 П=1 /

СОЭ 7ГяР + СОЭ 7Гя13' , СОЭ КП^ — СОЭ 7Г<^3' О-п = -т-, Ьп = ---, (11)

Кп — -~-

■Е^М'+??>). (12)

к=1

р 1СЛГ£ СЛЫу , 16ЛМФП ,10,

Е — -^ > ю = —т=-^ > пп =----(13)

ч/2£^тг2 Л/2£^тг2 ТГФО

Параметры представляют собой заряды (в единицах 2е), индуцированные на сверхпроводящих островках из-за наличия случайных заряженных примесей в подложке или изолирующих прослойках джозефсоновских контактов (рис 1) Они описывают так называемй зарядовый беспорядок Параметры 6Фп = Ф„ —Фо/2 являются случайными отклонениями потоков в ромбиках от половины кванта и описывают магнитный беспорядок

Наличие беспорядка значительно усложняет анализ свойств системы В частности, уравнение Шредингера (10) содержит уже не полный спин цепочки, как это было в регулярном случае, а спины отдельных ромбиков, что резко расширяет пространство состояний системы

Поскольку критическое отклонение в цепочке без беспорядка не зависит от числа ромбиков, можно ожидать, что магнитный беспорядок не оказывает существенного влияния на эффект спаривания, по крайней мере, до тех пор, пока разброс потоков не превосходит критического отклонения Это влияние может быть проанализировано количественно в следующей простой модели мы предполагаем что ¿Ф„ = 6Ф + и являются малыми случайными величинами с дисперсией а Критическое отклонение определяется по среднему значению потока <М> Анализ такой модели в рамках теории возмущений показывает, что критическое отклонение не только мало чувствительно к дисперсии а, но и растет с ее увеличением Физической причиной такого поведения является тот факт, что при наличии магнитного беспорядка поток в части ромбиков цепочки оказывается ближе к Фо/2, чем средний поток Ф Такие ромбики блокируют 2е-сверхток во всей цепочке

Воздействие на систему зарядового беспорядка гораздо менее тривиально Из-за эффекта Аронова-Кэшера случайные заряды ослабляют квантовые флуктуации в цепочке Более того, в присутствии случайных зарядов 2е-сверхток не запрещен даже при потоке через ромбик, равном половине кванта, так как несимметричные реализации беспорядка с <7^ ф разрушают соответствующую симметрию квантового гамильтониана

Уравнение Шредингера (10) можно проанализировать в той же области параметров Н и>, которая рассматривалась для регулярной цепочки В этом предельном случае вычисление статистической суммы для уравнения (10) сводится к вычислению статистической суммы для части-

цы с действием

с ,.5 ь Г (x2 + y2 + z2 , y2 + z2 OTT I (А_ С^Г

<У = Л5 = ЛД--- 2 V iV ^cos у лг/Ц"/ 2 sm

Cd о ^C2 +г .... : у sin 2x — ———;— sin 2x ат

n

^ n n n

Ai = 2 X К+- = ZI К - bl)cos 27rK«' Аз = XIК ~ bn)sm 27гк"

n=l

Важнейшим свойством выписанного выше действия является то, что случайный потенциал в нем задается набором всего трех случайных параметров А+, А_ и С Более того, будучи суммами большого числа независимых случайных слагаемых, А+, Л_ и С обладают гауссовой статистикой Это дает возможность найти все интересующие нас характеристики системы при заданной реализации беспорядка и лишь затем выполнить усреднение В частности, в режиме сильных фазовых флуктуациий соотношение ток-фаза по-прежнему имеет вид (7) Действия 5ге и Sie являются теперь функциями параметров d, А+, А_ и С Для типичных реализаций беспорядка параметр О ~ y/N и как легко видеть не влияет на величину действия Расчет величин S^e может быть выполнен аналитически в некоторых предельных случаях и численно в ситуации общего положения Их последующее сравнение позволяет определить "фазовую диаграмму" цепочки, показанную на рисунке За Отметим, что линии на представленной фазовой диаграмме не соответствуют какому-либо фазовому переходу, а предстиавляют собой линии кроссовера между 2е-и 4е-режимами В то же время, при больших N этот кроссовер является очень резким, так как и Ste пропорциональны числу ромбиков

Полученная фазовая диаграмма и известная статистика величин А± дают возможность определить вероятность Vie{Ej/Ec,N,5&) того, что

Рис 3 а)Фазовая диаграмма цепочки ромбиков Линии отвечают кроссоверу между 2е и 4е режимами Величины А± = описывают реализации беспорядка б)

Вероятность Р4е как функция отклонения от максимально фрустрированной точки для цепочки из 70 ромбиков Сплошные линии и пунктирные линии 1,2,3 соответствуют различным Е]/Ес = 12,15,20 Сплошные линии демонстрируют результаты численного расчета, в то время как пунктирные линии отвечают приближенному выражению (17) Штриховая и штрих-пунктирная линии отмечают границу области применимости расчета (сильные квантовые флуктуации, условие К 3> ги) Излагаемые результаты надежны в области между двумя этими линиями

цепочка ромбиков находится в состоянии с доминирующим 4е-сверхтоком В общем виде это делается численно, а в пределе сР 1 получается аналитический ответ

«П /Е. /О дГ мл ( 64ЛЛ ( 1024тг27У5Ф6\ РьМ/Ес, М, 5Ф) = ехр (-_ j = ехр ^--(17)

Результат численного расчета вероятности Р^ХЕ^/Ес, N, 5Ф) для 70 ромбиков показан на рисунке 36

Определение критического отклонения в системе с зарядовым беспорядком должно носить вероятностный характер Чтобы его сформулировать, необходимо ввести в рассмотрение число 0 5 < к < 1 По определению, мы будем называть критическим такое отклонение <5Ф = <$ФС, при котором Т>4е(Е}/Ес, ЛГ, 6ФС) = к Равенство (17) позволяет написать

явное выражение для 5ФС

¿Фс [1п1]1/6 1 Ф0 25/3^1/3 ДГ1/6

2/3

Численный коэффициент в уравнении (18) очень слабо зависит от к при изменении к от 0 5 до 0 9 он изменяется от 0 2 до 0 15 Таким образом, критическое отклонение является хорошо определенной величиной Сравнение уравнения (18) с аналогичным результатом для чистого случая показывает, что при любом разумном числе ромбиков в цепочке эффект спаривания куперовских пар устойчив по отношению к зарядовому беспорядку

Глава 3 посвящена изучению свойств сетки джозефсоновских проволочек Эта система представляет собой модифицированную версию обычной джозефсоновской сетки на квадратной решетке, в которой каждое ребро решетки состоит из N 1 джозефсоновских контактов (рис 4) В отличие от обычной сетки, где переход сверхпроводник-изолятор имеет место при Е] ~ Ее-, в сетке джозефсоновских проволочек разрушение фазовой когерентности происходит уже при Е] Ее, то есть в той области параметров, где каждый отдельный контакт все еще является квазиклассическим Этот факт значительно упрощает теоретический анализ рассматриваемой модели, так как позволяет использовать для ее описания локальный по времени фазовый гамильтониан и пренебречь диссипацией С точки зрения эксперимента сетки джозефсоновских проволочек также более удобны как будет показано ниже, переход сверхпроводник изолятор в них может быть изучен с использованием набора сеток с одинаковыми Е] и Ее, но разными N

Центральным результатом главы 3 является построение дуального преобразования, переводящего гамильтониан исходной системы в стан-

х + а-г

X » X Ш -Х-

Т ч>г

< Ш.....

-X > X—

Vr+i, #

л — o-i è х ».....* • л ( ► > * .* • х , |

h------)Î......I

Рис. 4. Сетка Джозеф ооновских проволочек (N - 3). Центральные узлы исходной решетки нумеруются переменной х. Узлы дуальной решетки обозначены жирными кружками и нумеруются переменной г.

дартный гамильтониан джозеф со i го веко й сетки с перенорм ированными джозефе о но веко й и зарядовой энергиями

tf,iual = №с ~f)GrAÛr>+ u.c.]

Г,Г [f ,Pj

(19)

Здесь г и г' нумеруют узлы дуальной решетки, изображенные жирными кружками на рисунке 4. В этих узлах определены дуальные фазы <рт и канонически сопряженные к ним дуальные заряды Nr. Зарядовая энергия Ее = tt2Bj/'2N, а матрица &*,■.,< представляет собой функцию Грина решеточного оператора Лапласа. Параметр f = Ф/Фн является величиной магнитной фрустрации исходной решетки. Таким образом, первое слагаемое к Я'"лл[ представляет собой кулоновскую энергию для джо-зсфсоновской сетки, в емкостной матрице ко торой присутствуют только емкости контактов.

Дуальная джозефсоновекая матрица Тг г/ = jT^je**'.*' существенно

зависит от наличия или отсутствия в исходной системе зарядовой фрустрации При ее отсутствии Тгу = где = 1, если гиг' являются ближайшими соседями и 7Г)Г» = 0 в противном случае Это соответствует дуальной джозефсоновской энергии Д/ = и нулевой магнитной фрустрации для дуальной решетки Величина V представляет собой амплитуду квантового проскока фазы в одном контакте

2"" Ш:;^)1".«,,

(20)

уШ

Если же в исходной сетке имеется случайная зарядовая фрустрация,

то

ТгУ = Ё$ 7$ Ъг, Щ = (21)

Здесь ггу — независимые комплексные случайные величины с гауссовым распределением и единичной дисперсией Поскольку матричные элементы Тгг> являются комплексными, в дуальной системе присутствует случайное магнитное поле, причем его поток через дуальную ячейку с центром в х задастся выражением Гж = ^ ХгУ Кроме того, случайные заряды уменьшают типичное значение дуальной джозефсоновской энергии

Завершающей частью дуального преобразования является установления соотношений между функциями отклика исходной и дуальной сеток Эти соотношения имеют вид

Р. = |г Ч1 (22)

Здесь р3 — сверхтекучая плотность, а е — диэлектрическая проницаемость сетки, индексом Б отмечены соответствующие величины в дуальной сетке Из выписанных соотношений следует, что вихревые переменные исходной системы при дуальном описании соответствуют зарядовым

степеням свободы При этом диэлетрическая фаза исходной сетки отвечает сверхпроводящей фазе дуальной системы и наоборот

Дуальность такого типа в джозефсоновских сетках известна уже достаточно давно [6,13] Важно однако, что в случае стандартной сетки она устанавливается на основе нескольких плохо контролируемых приближений и часто не пригодна для количественного описания свойств системы В то же время, в сетке джозефсоновских проволочек точность описанного выше дуального преобразования контролируется параметром iV-1

Дуальный гамильтониан (19) дает возможность установить параметр, контролирующий свойства сетки проволочек Для чистой системы таковым является отношение

q = Ej/Ёс = 4 N2v/k2Ej, (24)

в то время как при наличии случайных зарядов

q = Щ/Ёс = ANz/2v/ii2Ej (25)

Квантовый переход сверхпроводник-изолятор происходит при значении параметра q (qd для грязной системы) равном cf ~ 1 Для чистой системы этот критерий может быть уточнен с помощь фейнмановского вариационного метода [14], который дает

qc = i for / = 0 qc = | for / = | (26)

Нультемпературная сверхтекучая плотность ps может быть вычислена в рамках теории возмущений по параметру q ~ Ej В отсутствие магнитного поля

Ps = ^-[l~q2-(ap + ar)qi + 0(q6)], ар = 0 84 аг = 2 42 (27)

Коэффициенты ар и аг описывают вклад в свертекучую плонтость двух различных типов диаграмм Диаграммы первого типа содержат лишь

18

Рис. 5 Температуры различных фазовых переходов в системе джозефсоновских проволочек Сплошная линия со звездочками изображает нормированну температуру перехода металл-изолятор (правая ось) в зависимости от = ^ Е]/Ее (верхняя ось) в пределе больших див отсутствие случайных зарядов Все остальные линии на рисунке относятся к нижней и левой осям Опи показывают нормированную сверхтекучую плотность и температуру перехода сверхпроводник-металл в зависимости от 5 = Е}1Ес = 4N2v/v2EJ Сплошная линия без дополнительных значков изображает /э3(д) в отсутствие магнитного поля с учетом поправки четвертого порядка по д (уравнение (28)) Для сравнения, пунктирная линия без значков показывает то же самое р„ с учетом поправки только второго порядка Сплошная линия с крестиками изображает р3 (с/) в присутствии магнитной фрустрации / = 1/2 Наконец, линия с ромбиками показывает р3{ф в присутствии сильного зарядового беспорядка Линии из точек показывают экстраполяцию сплошных точек в область больших г/, где поправки к р3 не малы Круг и квадратик на нижней оси отмечают точки нультемпературных фазовых переходов при / = 0и/ = 1/2 соответственно

квадраты модулей элементов дуальной джозефеоновской матрицы Тгу и не чувствительны к дуальным магнитным потокам Диаграммы второго типа содержат произведения четырех элементов матрицы Тг,г', взятые вдоль сторон элементарной ячейки Усреднение таких диаграмм по случайному магнитному полю (случайным зарядам в исходных переменных) дает ноль Поэтому при наличии случайных зарядов

= + (28)

При максимальной магнитной фрустрации (/ = 1/2) ответ для р8 удается получить только до второго порядка по д

Ej

1 +

(29)

Полученные результаты позволяют найти температуру перехода металл-сверхпроводник (типа Березинского-Костерлица-Таулеса) в системе проволочек Она определяется соотношением

Tsup = A^ps(T = 0) (30)

Коэффициент А описывают перенормировку сверхтекучей плотности тепловыми флуктуациями Он был получен в работах [15-17] на основе численного моделирования

А = 0 87 for / = 0 А = 0 52 for / = i (31)

Зависимость температуры перехода металл-сверхпроводник от параметра q показана на рис 5

При q > qc и нулевой температуре сетка проволочек находится в диэлектрическом состояниии Ее обратная диэлектрическая проницаемость при больших q дается уравнением

= у (32)

Она определяет температуру перехода металл-изолятор, происходящего с повышением температуры [6]

Тшз = 0 ЫЫЕс/'ке (33)

Линия со звездочками на рисунке 5 изображает зависимость Т^с?)

В Заключении сформулированы основные результаты работы

Выводы

1 Сверхпроводящий транспорт через фрустрированпую цепочку джо-зефсоновских ромбиков (в важном с точки зрения эксперимента случае, когда емкость джозефсоновских контактов С велика по сравнению с емкостью сверхпроводящих островков Со) обладает как 2е- так и 4е-периодичной компонентой ток-фазового соотношения, причем при максимальной фрустрации амплитуда 2е компоненты зануляется Критическое отклонение <5ФС = |ФГ — Фо/2|,при котором 2е-сверхток начинает доминировать над 4е-сверхтоком, определяется формулой (9) и не зависит (в отсутствии беспорядка) от числа ромбиков в цепочке Полученная величина критического отклонения допускает экспериментальную реализацию системы с 7г- периодичностью ток-фазового соотношения

2 Зарядовый беспорядок (случайные заряды в подложке) и магнитный беспорядок (случайный разброс магнитных потоков проходящих через ромбики) не оказывают принципиального влияния на возможность наблюдения 4е сверхпроводящего тока Полученное явное выражение для вероятности (в зависимости от реализации беспорядка) обнаружить систему в режиме с доминирующим 4е-сверхтоком позволило определить типичное значение критического отклонения от максимальной фрустрации, разрушающего 4е

сверхток При сильном зарядовом беспорядке величина этого критического отклонения крайне медленно (как l/TV-1/6) убывает с увеличением длины цепочки Магнитный беспорядок (разброс потоков в ромбиках не превосходящий <5ФС) не оказывает существенного влияния на спаривание куперовских пар

3 Предложена новая модельная система для экспериментального и теоретического изучения квантового перехода сверхпроводник-изолятор и связанных с ним явлений Для такой системы найдено точное дуальное преобразование, переводящее ее гамильтониан в стандартный гамильтониан джозефсоновской сетки При значениях параметра магнитной фрустрации / = 0, 1/2 найдено положение квантового фазового перехода сверхпроводник-изолятор Определены температуры переходов сверхпроводник-металл и металл-изолятор с учетом квантовых флуктуации

Публикации по теме диссертации

1 IV Protopopov, М V Feigel'man, Anamalous periodicity of supercurrent m long frustrated Josephson-junction rhombi chain , Phys Rev В 70, 184519, (2004)

2 I V Protopopov, M V Feigel'man, Coherent transport m Josephson-junction rhombi chain with quenched disorder, Phys Rev В 74,064516, (2006)

3 IV Protopopov, M V Feigel'man, Superconductor-insulator duality for the array of Josephson wires, Письма в ЖЭТФ 85, 621-626, (2007)

Литература

[1] Voss R F, Webb RA// Phys Rev В - 1982 - Vol 25 - P 3446

[2] Березинский В Л // ЖЭТФ - 1970 - Т 59 - С 907

[3] Kosterhtz J, Thouless D // J Phys С - 1973 - Vol 6 - P 1181

[4] J Resnick, J Garland, J Boyd et al // Phys Rev Lett — 1987 — Vol 47 - P 1542

[5] Goldman A , Markovic N // Physics Today November issue — 1998 — P 39

[6] Fazio R , van der Zant H // Phys Rep - 2001 - Vol 355 - P 235

[7] Korshunov S E // Phys Rev В - 2001 - Vol 63 - P 134503

[8] Vidal J, Moss en R , Dougot ВЦ Phys Rev Let - 1998 - Vol 81 -P 5888

[9] J Vidal, P Butaud, В Dougot, R Mossen // Phys Rev В - 2001 -Vol 64 - P 155306

[10] Dougot В , Vidal J // Phys Rev Lett - 2002 - Vol 88 - P 227005

[11] Ioffe L В, Feigel'man M V // Phys Rev В - 2002 - Vol 66 -P 224503

[12] Matveev К A , Larhn A I, Glazman L I // Phys Rev Lett — 2002 - Vol 89 - P 096802

[13] Fazio R , Schon G // Phys Rev В - 1991 - Vol 43 -P 5307

[14] Kissner J G, Eckern U // Z Phys В - 1993 - Vol 91 - P 155

[15] Saito Y, Mueller-Krumbhaar H // Phys Rev В - 1981 - Vol 23 -Р 308

[16] Grest GS// Phys Rev В - 1989 - Vol 39 - P 9267

[17] Olsson P // Phys Rev В - 1997 - Vol 55 - P 3585

Введение

Глава 1. Когерентный транспорт в цепочке джозефсоновских ромбиков

1.1. Модель и ее классические состояния

1.2. Квантовые флуктуации ромбиков и сверхток

1.3. Состояния с малым напряжением

1.4. Обсуждение результатов

Глава 2. Цепочка ромбиков с беспорядком

2.1. Постановка вопроса.

2.2. Эффективный гамильтониан цепочки ромбиков в присутствии беспорядка

2.3. Модуляция сверхтока емкостным затвором.

2.4. Влияние случайных зарядов на точку кроссовера.

2.5. Модуляция сверхтока емкостным затвором в цепочке с зарядовым беспорядком

2.6. Влияние магнитного беспорядка на точку кроссовера.

Первые искусственные сетки джозефсоновских контактов были получены авторами работы [1] как часть проекта по разработке сверхпроводящих электронных устройств. Это достижение положило начало интенсивному изучению джозефсоновских сеток, интерес к которым не ослабевает на протяжении уже более чем четверти века.

Джозефсоновские сетки идеально подходят для исследования широкого круга явлений: классических и квантовых фазовых переходов, эффектов фрустрации, динамики вихрей. Первые системы этого типа строились на основе классических контактов с сопротивлением заметно меньше квантового сопротивления = Н/Ае2 и джозефсоновской энергией EJ значительно превосходящей зарядовую энергию Ее- При выполнении этих условий квантовые флуктуации фазы сверхпроводящего параметра порядка несущественны и джозефсоновская сетка представляет собой экспериментальную реализацию классической ХУ-модели. В частности, в двумерной сетке имеет место переход типа БерезинскогоКостерлица-Таулеса [2, 3], экспериментально обнаруженный в [4]. При температуре выше Твкт флуктуации фазы разрушают глобальную фазовую когерентность и переводят сетку из сверхпроводящего состояния в металлическое.

К концу 1980-х годов развитие технологии изготовления мезоскопических структур привело к появлению джозефсоновских сеток с контактами субмикронного размера. При этом зарядовая энергия контактов сравнима с джозефсоновской, или даже превосходит ее. Соответственно в таких структурах важную роль играют квантовые флуктуации фазы сверхпроводящего параметра порядка, наиболее радикальным эффектом которых является существование квантового перехода сверхпроводник-изолятор по параметру Е]/Ес [5, 6] в двумерных решетках.

Несмотря на значительный прогресс в изучении квантовых сеток контактов, количественное описание таких систем сталкивается с серьезными трудностями,

1 2 N - >

Рис. 1. Цепочка джозефсоновских ромбиков. Джозефсоновские контакты (четыре в каждом ромбике) отмечены крестиками. К концам цепочки приложена разность фаз 7. Пунктирными линиями показаны две траектории туннелирования куперовской пары в ромбике. вызванными тем обстоятельством, что в точке перехода как правило джозефсонов-ская и зарядовая энергии порядка величины сверхпроводящей щели: ^ ~ ~ А. Соответственно, стандартный локальный по времени джозефсоновский гамильтониан, содержащий лишь сверхпроводящие фазы, не дает адекватного описания.

В настоящей диссертации изучаются квантовые флуктуации в системах квазиклассических контактов о, EJS^> Ее- Это условие приводит к малости фазовых флуктуаций в каждом отдельном контакте и дает возможность построения количественной теории. Подчеркнем однако, что, несмотря на квазиклассичность контактов, флуктуации во всей системе могут быть весьма сильными.

Мы рассмотрим две системы: одномерную цепочку ромбиков джозефсоновских контактов и двумерную сетке джозефсоновских проволочек на квадратной решетке.

Фрустрированная цепочка ромбиков, впервые описанная в работе [7], изображена на рис. 1. Она состоит из N > 1 ромбиков (каждый из которых — кольцо из четырех сверхпроводящих островков, соединенных четырьмя джозефсоновскими контактами), помещенных в поперечное магнитное поле. Магнитный поток через каждый ромбик Фг близок с половине сверхпроводящего кванта потока Фо = ^.

Особые свойства описанной системы обусловлены тем обстоятельством, что при Фг - Фо/2 (максимально фрустрированная точка), каждый ромбик обладает двумя "классическими" (с определенными разностями фаз на контактах) состояниями, обладающими одинаковой энергией и отличающимися только направлением тока в ромбике. Соответственно, основное состояние классической, максимально фрустрированной цепочки многократно вырождено. Квантовые флуктуации в подобных системах интенсивно изучались в последние годы [8-14] (см. также экспериментальные работы [15-17]). Было установлено, что они могут приводить к формированию новых нетривиальных квантовых фаз [7, 18, 19]. В частности, в работе [7] Doucot и Vidal показали, что вблизи точки максимальной фрустрации в цепочке ромбиков существует "нематическая" жидкость Латтинжера, построенная из пар куперовских пар. Она характеризуется наличием квазидальнего порядка в корреляторах ехр[2г{ф{ — (¡>j)], где ф{ — фаза г-того островка в цепочке. При этом в обычном сверхпроводящем корреляторе ехр [г{фг — ф^)} квазидальнего порядка нет (см. по этому поводу также работу [20], содержащую результаты численного моделирования). В нематической фазе заряд по цепочке может переноситься только парами куперовских пар с зарядом 4е. Отметим, что квантовые флуктуации стабилизируют нематическое состояние, в том смысле, что разрушающее его отклонение потока в ромбиках от половины кванта стремится к нулю с уменьшением квантовых флуктуаций.

Качественно это явление может также быть понято из следующих соображений. Внутри каждого ромбика имеются две траектории туннелирования куперов-ской пары с одного из "диагональных" островков на другой (см. рис. 1). При потоке в ромбике равном половине кванта, фазы набираемые куперовской парой на этих двух траекториях отличаются на 7Г и полный матричный элемент туннелирования зануляется. В то же время, когерентный перенос пары куперовских пар не запрещается.

Для экспериментального обнаружения явления 4е-транспорта необходимо знать, насколько он чувствителен к отклонению потоков в ромбиках от половины кванта. В работе [7] анализ системы производился в предположении, что емкость сверхпроводящих гранул Со доминирует над емкостью контактов С. В тоже время, в реальных цепочках имеет место обратная ситуация, прием С/Со > 100 [21]. В настоящей диссертации произведено детальное исследование свойств цепочки именно в этом, важном для эксперимента случае. В силу этого обстоятельства, везде ниже под зарядовой энергией мы понимаем величину Ее = е2/2С.

На экспериментальном уровне, простейший способ обнаружения спаривания куперовских пар состоит в измерении соотношения ток-фаза для цепочки (например, если цепочка реализована в виде кольца, разность фаз 7 на ее концах контролируется пропущенным в кольцо магнитным потоком 7 = 27гФс/Фо). Поскольку при Фг = Фо/2 ток в цепочке осуществляется зарядами 4е, мы ожидаем, что в этом случае зависимость тока по цепочке от внешнего потока Фс является периодической с периодом Фо/2. Ниже мы вычислим Фо/2-периодичный ток при <5Ф = |ФГ — Фо/2| = 0. Мы также покажем, что при малых £Ф ток состоит из двух компонент Де и /2е с периодами Фо/2 и Фо соответственно. Первая компонента соответствует току пар куперовских пар, а вторая — току отдельных куперовских пар. При самых маленьких 5Ф ток преобладает над /2е. В дальнейшем мы будем называть этот случай 4е-режимом. При достаточно больших <5Ф реализуется противоположная ситуация (2е-режим). Ниже мы определим точку кроссовера 5ФС между указанными двумя режимами.

Отметим сразу следующее обстоятельство. В этой диссертации мы рассматриваем модель цепочки, в которой емкость островков Со точно равна нулю. Строго говоря, бесконечная цепочка такого типа всегда находится в диэлектрическом состоянии и фазовые корреляционные функции экспоненциально спадают на больших расстояниях. Это означает, что для полного описания свойств реальной системы, емкость Со должна быть учтена, несмотря на свою малость по сравнению с С. Физически это происходит из-за того, что ненулевая емкость островков обеспечивает обрезание взаимодействия зарядов в цепочке, которое в отсутствие Со линейно росло бы с расстоянием. В простейшей модели, когда емкостная матрица системы содержит только собственные емкости островков и взаимные емкости ближайших соседей, масштаб обрезания Л ~ у/С /С0 (в единицах решетки). Однако в реальных системах из-за трехмерности электрического поля, емкости между островками, не являющимися ближайшими соседями, оказываются не малыми. В этих условиях, даже в двумерной решетке контактов Л ~ С/Со и является весьма большой величиной [21]. Подчеркнем еще раз, что именно обрезание взаимодействия (и соответственно подавление флуктуаций) на масштабе А приводит к возможности существования квантовых фаз с квазидальним порядком. Тем не менее, на масшатабах меньше А влияние емкости Со пренебрежимо мало.

В связи со всем выше перечисленным становится ясно, что результаты анализа цепочки ромбиков приведенного в этой диссертации, применимы к не очень большим конечным системам. В этом смысле описанная выше точка перехода между 2е- и 4е-режимами не соответствует какому-либо настоящему фазовому переходу, а представляет собой точку кроссовера. Кроссовер этот однако является весьма резким в большой системе (подробнее см. главу 1). С точки зрения бесконечных систем, результаты диссертации могут быть применены для описания корреляционных сверхпроводящих фаз на масштабах меньших А.

Вторым объектом исследования в настоящей диссертации является сетка джо-зефсоновских проволочек на квадратной решетке, изображенная на рисунке 2. Она отличается от обычной джозефсоновской сетки тем, что что каждое ее ребро состоит из N > 1 джозефсоновских контактов. Везде ниже мы будем предполагать, что параметры системы удовлетворяют тем же основным требованиям, что и параметры цепочки ромбиков: С > Со и Ез > Ее = е2/2С. Нас будет интересовать точка квантового нультемпературного перехода сверхпроводник-изолятор в сетке проволочек, а также переходов из сверхпроводящего и изолирующего состояний в металлическую фазу.

Рис. 2. Сетка джозефсоновских проволочек. Маленькие кружки изображают сверхпроводящие островки, соединенные джозефсоновскими контактами (крестики). Каждая ячейка решетки пронизана магнитным потоком Ф.

Квантовый фазовый переход сверхпроводник-изолятор в обычных сетках джозефсоновских контактов активно изучался в последние годы [5]. Теоретическое исследование этого вопроса в значительной мере основывается на дуальности между куперовскими парами и вихрями, существующими в сетке [22]. При этом подходе возникают однако две значительные трудности: а)для стандартного гамильтониана джозефсоновской решетки дуальное преобразование от куперовских пар к вихрям не может быть осуществлено точно и требует применения плохо контролируемых приближений (таких как приближение Виллэна [23, 24]); б) сравнение теории с экспериментом осложняется тем уже упоминавшимся обстоятельством, что в точке перехода ~ ^ ~ Д и описание системы в терминах локального по времени фазового гамильтониана вообще говоря незаконно; в) во всех реальных джозефсоновских сетках имеется случайная зарядовая фрустрация, вызванная заряженными примесями, локализованными в подложке или в диэлектрических прослойках контактов; об их влияние на переход сверхпроводник-изолятор известно очень мало.

Наиболее важным преимуществом предлагаемой в этой диссертации решетки проволочек с точки зрения изучения перехода сверхпроводник-изолятор является то, что при N > 1 искомый переход имеет место в области параметров Д/ > Ее (при этом положение перехода существенно зависит от Ы, подробнее об этом в главе 3). Поэтому при его описании можно пренебречь квазичастичными эффектами (по крайней мере при достаточно низких температурах Т < Д ) и более того, трактовать флуктуации фазы в каждом отдельном контакте в квазиклассическом приближении. С точки зрения эксперимента, достоинством сетки проволочек является тот факт, что исследование ее свойств можно производить при фиксированных параметрах контактов EJ и Ее, меняя только N.

Как мы видим физические свойства цепочки ромбиков и сетки проволочек весьма различны. Имеются однако три обстоятельства, объединяющих эти системы и обуславливающие схожесть их теоретического описания: а) квазиклассичность контактов; б) сделанное нами предположение о форме емкостной матрицы систем; в) тот факт, что в обоих обсуждаемых случаях из-за наличия большого числа N соединенных параллельно контактов типичная разность АЕ между энергиями двух классических состояний системы (разность двух локальных минимумов полной джозефсоновской энергии) имеет порядок EJ/N. Как легко проверить, в рассматриваемом пределе, когда емкостная матрица системы содержит только емкости контактов, спектр спиновых волн в решетке является бездисперсионным и обладает щелью ир = \Z8EjEc- В дальнейшем, мы будем предполагать выполненным условие Ез/Ес №. При этом АЕ оказывается значительно меньше частоты ир = \ZSEjEc- Это означает что наиболее "мягкими" (и соответственно важными) флуктуациями в системе являются квантовые проскоки фазы, смешивающие различные классические состояния. В действительности исследованию именно этого типа флуктуаций и посвящена данная диссертация. Отметим, что условие Ез/Ее -С А7'2 является в действительности весьма мягким: как будет очевидно из дальнейшего, его невыполнение заведомо означает малость флуктуационных эффектов. Важность проскоков фазы для подобных систем была осознана Матвеевым, Ларкиным и Глазманом в работе [25].

Опишем теперь структуру диссертации.

Заключение

Перечислим основные результаты работы.

1. Изучен когерентный транспорт во фрустрированной цепочке джозефсонов-ских ромбиков в важном с точки зрения эксперимента случае, когда емкость джозефсоновских контактов С велика по сравнению с емкостью сверхпроводящих островков Со- Вычислены амплитуды 4е- и 2е-сверхтоков в цепочке при конечном отклонении от точки максимальной фрустрации. Найдено критическое отклонение 5ФС = |ФГ — Фо/2|, при котором 2е-сверхток начинает доминировать над 4е-сверхтоком.

2. Исследовано влияние зарядового (случайные заряды в подложке) вмороженного беспорядка на свойства цепочки ромбиков. Получено явное выражение для вероятности (в зависимости от реализации беспорядка) обнаружить систему в режиме с доминирующим 4е-сверхтоком. Определено типичное значение критического отклонения от максимальной фрустрации, разрушающего 4е сверхток. Показано, что достаточно слабый магнитный беспорядок (разброс потоков в ромбиках не превосходящий 5ФС) не оказывает существенного влияния на спаривание куперовских пар.

3. Предложена новая модельная система удобная для экспериментального и теоретического изучения квантового перехода сверхпроводник-изолятор и связанных с ним явлений. Предлагаемая система представляет собой сетку джозефсоновских проволочек в виде квадратной решетки, каждое ребро которой состоит из большого числа квазиклассических джозефсоновских контактов. Для такой модели найдено точное дуальное преобразование, переводящее ее гамильтониан в стандартный гамильтониан джозефсоновской сетки, и вычислена точка нультемпературного перехода сверхпроводник-изолятор при значениях параметра магнитной фрустрации / = 0, 1 /2. Опреде

85 лены температуры переходов сверхпроводник-металл и металл-изолятор с учетом квантовых флуктуации.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:

1. I.V. Protopopov, M.V. Feigel'man, Anamalous periodicity of supercurrent in long frustrated Josephson-junction rhombi chain., Phys. Rev. В 70, 184519, (2004).

2. I.V. Protopopov, M.V. Feigel'man, Coherent transport in Josephson-junction rhombi chain with quenched disorder., Phys. Rev. В 74, 064516, (2006).

3. I.V. Protopopov, M.V. Feigel'man, Superconductor-insulator duality for the array of J osephson wires., Письма в ЖЭТФ 85, 621-626, (2007).

1. Voss R. F., Webb R. A. // Phys. Rev. B. - 1982. - Vol. 25. - P. 3446.

2. Березинский В. Л. // ЖЭТФ. 1970. - Т. 59. - С. 907.

3. Kosterlitz J., Thouless D. // J. Phys. C.- 1973.- Vol. 6.- P. 1181.

4. J. Resnick, J. Garland, J. Boyd et al // Phys. Rev. Lett. 1987.- Vol. 47.-P. 1542.

5. Fazio R., van der Zant H. // Phys. Rep. 2001. - Vol. 355. - P. 235.

6. Christiansen C., Hernandez L., Goldman A. // Phys. Rev. Lett— 2002.— Vol. 88. P. 037004.

7. Dougot В., Vidal J. // Phys. Rev. Lett. 2002. - Vol. 88.- P. 227005.

8. Cataudella V., Fazio R. // Europhys. Lett. 2003. - Vol. 61.- P. 341.

9. Korshunov S. E. // Phys. Rev. B. 2001. - Vol. 63. - P. 134503.

10. Korshunov S. E. // Phys. Rev. B. 2002. - Vol. 65. - P. 054416.

11. Korshunov S. E., Dougot В. 11 Phys. Rev. Lett. 2004. - Vol. 93.- P. 097003.

12. Rizzi M., Cataudella V., Fazio R. // Phys. Rev. B. 2006. - Vol. 73. - P. 144511.

13. Vidal J., Mosseri R., Dougot B. // Phys. Rev. Let. 1998. - Vol. 81. - P. 5888.

14. J. Vidal, P. Butaud, B. Dougot, R. Mosseri // Phys. Rev. B. 2001. - Vol. 64. -P. 155306.

15. Serret E., Butaund P., Pannetier B. // Europhys. Lett.— 2003.— Vol. 59.— P. 225.

16. Tesei M., Theron R., Martinoli P. // Physica C- 2006.- Vol. 437.- P. 328.

17. C. C. Abilio, P. Butaud, T. Fournier et al // Phys. Rev. Lett 1999.-Vol. 83. - P. 5102.

18. Dougot B., Feigel'man M., Ioffe L. // Phys. Rev. Lett.- 2003.- Vol. 90.-P. 107003.

19. Ioffe L. B., Feigel'man M. V. // Phys. Rev. B. 2002. - Vol. 66. - P. 224503.

20. Rizzi M., Cataudella V., Fazio R. // Phys. Rev. B.- 2006.- Vol. 73.-P. 100502(R).

21. P. Delsing, C. Chen, D. Halivald et al. // Phys. Rev. B. 1994. - Vol. 50. -P. 3959.

22. Fisher M. // Phys. Rev. Lett. 1990. - Vol. 65. - P. 923.

23. Villian J. // J. Phys. 1975. - Vol. 36. - P. 581.

24. J. Jose, L. P. Kadanoff, S. Kirkpatrick, D. Nelson // Phys. Rev. B.- 1977. — Vol. 1217. P. 16.

25. Matveev K. A., Larkin A. I., Glazman L. I. // Phys. Rev. Lett.— 2002.— Vol. 89. P. 096802.

26. Abramowitz M., Stegun I. Handbook of Mathematical Functions. — Dover, New York, 1974.

27. Klauder J. R. // Phys. Rev. D.— 1979.- Vol. 19,- P. 2349.

28. Callan C., Coleman S. 11 Phys. Rev. D. 1977. - Vol. 19.- P. 2349.

29. Larkin A. I., Ovchinnikov U.N.// Sov. Phys. JETP. 1984. - Vol. 59. - P. 420.

30. R. Fazio, A. van Otterlo, G. Schön et al // Helv. Phys. Acta. 1992. - Vol. 65. -P. 228.3132 33 [34 [35 [36 [37 [38 [39 [40 [41 [42 [43

31. Minhagen R // Rev. Mod. Phys.- 1987,- Vol. 59.- P. 1001.

32. Fazio R., Schön G. // Phys. Rev. B. 1991. - Vol. 43. - P. 5307.

33. Nelson D., Kosterlitz J. // Phys. Rev. Lett.- 1977.- Vol. 39.- P. 1201.

34. Grest G. S. // Phys. Rev. B. 1989.- Vol. 39. - P. 9267.

35. Olsson P. // Phys. Rev. B. 1997. - Vol. 55. - P. 3585.

36. Saito Y., Mueller-Krumbhaar H. // Phys. Rev. B.— 1981.- Vol. 23,- P. 308.

37. Kissner J., Eckern U. // Z. Phys. B.— 1993.- Vol. 91.- P. 155.

38. Rojas C., Jose J. // Phys. Rev. B. — 1996. — Vol. 54.- P. 12361.van Otterlo A., Fazio R., Schön G. // Physica B. 1994.- Vol. 203.- P. 504.

39. Feigel'man M., Ioffe L. B. // Phys. Rev. Lett. 1995. - Vol. 74.- P. 3447.

40. Katzgraber H. G. // Phys. Rev. B. — 2003. — Vol. 67.- P. 180402.

41. Nikolaou M., Wallin M. // Phys. Rev. B. 2004. - Vol. 69.- P. 184512.

42. Gradstein I., Ryzhik I. Table of Integrals, Series, and Products. — Academic Press, New York, 1980.