Квазианалитические методы анализа и синтеза электростатических полей для электронно-оптических систем физических приборов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.01 ВАК РФ

л

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК РГ §ШС$$ГУТ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

о ; На правах рукописи

ГРИНЕВА Ольга Александровна

УДК 537.533.3

КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ ДЛЯ ЭЛЕКТРОННО-ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ФИЗИЧЕСКИХ ПРИБОРОВ

Специальность 01.04.01 "Техника физического эксперимента, физика приборов, автоматизация физических исследований"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1994

Работа выполнена в Институте аналитического приборостроения РАН

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук

A.C. Бердников

Официальные оппоненты :

доктор физико-математических наук,

профессор Ю.К. Голиков;

кандидат физнко-матсматичсскнх наук

B.Ю. Коломенков.

Ведущая организация :

Санкт - Петербургский Государственный Электротехнический Университет

лу ЗО

Защита состоится " (/^ " 1994 г в часов

на заседании специализированного Совета К 003.53.01 при ИАП РАН (198103, С.-Петербург, Рижский пр., д.26)

С диссертацией можно ознакомиться в технической библиотеке ИАП РАН

Автореферат разослан " 1994 г_

Ученый секретарь специализированного Совета к.ф.-м.н.

А.Г. Каменев

КВЛЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ ДЛЯ ЭЛЕКТРОННО-ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ФИЗИЧЕСКИХ ПРИБОРОВ.

Актуальность темы. Современные электрофизические приборы и исследовательские комплексы являются, как правило, сложными мно-гометодовыми установками. Перед разработчиками таких комплексов постоянно стоит задача улучшения их основных аналитических параметров (чувствительности, разрешающей способности, информативности, быстродействия и т.п.) для обеспечения все возрастающих требований исследователей при реализации новых экспериментальных методик. Для решения этой задачи привлекаются результаты исследований в самых различных направлениях математики, физики, химии, развиваются по-вые методы и теоретические подходы.

Несмотря на большое количество работ, посвященных оптике заряженных частиц, существует целый ряд нерешенных проблем синтеза пучков с заранее заданными характеристиками при помощи электростатических полей с гармоническими потенциалами. Хорошо развитые методы параксиальной оптики оперируют достаточно узкими пучками, тогда как возросшие требования к уровню разрешения и чувствительности физической аппаратуры порождают новые проблемы динамики широких пучков, не решаемые традиционными методами.

В связи с этим разработка новых подходов и методов, позволяющих при минимальных затратах средств синтезировать электронно - оптические системы, формирующие пучки заряженных частиц с требуемыми параметрами, не перестает оставаться актуальнейшей задачей не только электронной оптики, но и электрофизического приборостроения в целом.

Целью настоящей работы явилась разработка неконформных отображений полевых структур друг в друга вместе с ансамблями траекторий на основе метода замены переменных, а также разработка принципов классификации и создание каталога электростатических полей, для которых существуют аналитические выражения и которые могут быть использованы при анализе и синтезе электронно - оптических систем физических приборов.

Научная новизна:

1.Показано существование класса замен переменных, отличного от конформных и переводящих траектории в траектории в поле с новым потенциалом, что является развитием и обобщением метода конформной

замены [1]. Получена система уравнений для определения таких замен переменных.

2.Разработаны принципы построения каталога электростатических полей, для которых существуют аналитические выражения. Предложен метод классификации полевых структур .позволяющий разбить исследуемые функции на неэквивалентные классы, порождающие существенно различные полевые структуры. Предложена полная классификация существенно различных полевых структур, порождаемых гармоническими многочленами до четвертого порядка включительно.

3.Получена квадратурная формула для представления осесимме-тричных и мультиполышх потенциалов через нлоские(двумерные) потенциалы.

4.Предложен новый подход к исследованию электронно -оптических систем физических приборов па основе аппроксимации их электростатических полей представленными в разработанном каталоге полевыми структурами.

Практическая ценность. Предложенные отображения полевых структур позволяют проводить целенаправленную трансформацию полей вместе с ансамблями траекторий движущихся в них заряженных частиц за счет выбора подходящих функций замены переменных. Это дает возможность гибко перестраивать структуру поля в соответствии с требуемыми характеристиками движения частиц.

Представленные в каталоге полевые структуры являются хорошими аппроксимациями известных технологических структур, не имеющих простых аналитических представлений, а наличие аналитически заданных полей с известными оптическими свойствами существенно облегчает поиск новых конфигураций для разработки требуемых электронно-оптических систем.

Результаты диссертационной работы могут быть использованы при разработке и модернизации электронно - оптических систем масс - спектрометров, энергоанализаторов и других электрофизических приборов.

Основные защищаемые положения диссертации:

1.Система уравнений, задающая необходимые и достаточные условия неконформного отображения электростатических полей друг в друга вместе с ансамблями траекторий с помощью метода замены переменных.

2.Метод классификации полевых структур для построения каталога электростатических полей, имеющих аналитические выражения.

3.Полная классификация существенно различных полевых струк-

тур, порождаемых гармоническими многочленами до четвертого порядка включительно.

4.Квадратурная формула, позволяющая выразить осесимметричные и мультипольные потенциалы через известные аналитические выражения для плоских полей.

5.Новый подход к исследованию электронно-оптических систем физических приборов на. основе аппроксимации реальных электростатических полей полевыми структурами, имеющими аналитические выражения.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы обсуждались и докладывались : па IV Всесоюзной конференции по масс-спектрометрии, (Сумы, 1986); на VIII, IX, X, XI Всесоюзных семинарах по методам расчета электронно - оптических систем (Ленинград, 1986; Ташкент, 1988; Львов, 1990; Алма-Ата, 1992).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 печатных работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Содержит 146 страниц, из них 98 страниц текста, 39 рисунков. Литературные ссылки содержат 73 наименования.

Содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность*темы, сформулирована цель работы, научная новизна, основные защищаемые положения.

Первая глава представляет собой обзор литературы по методам анализа, синтеза и оптимизации электронно - оптических систем, методам исследования электростатических полей. Рассматриваются достоинства и недостатки аналитических и численных методов расчета полей, области применения методов анализа и синтеза. Сформулированы задачи, подлежащие решению в диссертации.

Во второй главе рассматривается применение к задачам транспортировки заряженных частиц одного из аналитических методов синтеза систем - метода замепы переменных, позволяющего с помощью подходящей замены осуществить целенаправленную трансформацию траекторий и силового поля, в котором происходит движение.

При формировании и транспортировке пучка заряженных частиц тем или иным полем возникает важная практическая проблема оценки влияния деформаций поля на характеристики движения. Если возмущения малы, то их можно учесть в уравнениях движения методом малого

б

параметра; однако трудно предсказать поведение пучка при достаточно сильных деформациях поля, встречающихся обычно при синтезе новых электронно - оптических систем. Ю.К.Голиковым [1] развита теория аналитического преобразования одних электромагнитных полей в другие вместе с траекториями при помощи конформного преобразования переменных в уравнении Гамильтона - Якоби. В данной главе показано, что существуют и неконформные замепы переменных, переводящие траекторию в траекторию в поле с новым потенциалом.

Пусть задано плоское электростатическое поле с потенциалом U(а;, у). Траекторию движения заряженной частицы можно определить в виде неявной функции двух переменных, т.е. в виде соотношения F(x(t),y(t)) = const. Дважды продифференцировав его по времени и исключив производные от координат по времени, приходим к уравнению в частных производных относительно х, у, F:

2{Ё - eU)

02F f()F\2 d2F fc)F\2 _ d2F 3FDF

<■? \dy ) + dy2 {',

дх2 \ду ) ду2 \дх ) дхду дх ду

_+ дЦ_д1\ (^Е.)2) =0 (0 1)

V дх дх ду ду ) \ V дх ) V ду ) )

Показано, что решение его эквивалентно нахождению траекторий движения заряженных частиц с помощью уравнения движения Ньютона. Тем самым поиск новых аналитических решений для уравнений траекторий заряженных частиц в электростатических полях может быть сведен к исследованию уравнения (0.1), например, к поиску таких отображений х = д\{ы,ь),у = <72(">, и) , при которых преобразованная функция Р(ю, V) — у),д2(ю, V)) также определяла бы некоторый пучок тра-

екторий, но в других координатах (и>,г>) и в поле с повым потенциалом то есть удовлетворяла бы уравнению, аналогичному (0.1):

д2Р дРдР

дгиду ди> ду

| = 0, (0.2)

Такое требование эквивалентно тому, что уравнение (0.2) должно быть алгебраическим следствием уравнения (0.1), записанного в новых координатах. Таким образом, задача нахождения отображения, переводящего любой пучок траекторий в плоскости (х, у) в некоторый новый пучок в плоскости (и>,и) оказывается сведенной к задаче нахождения функций

<7i(tu, i>), g2(w, г), обеспечивающих алгебраическую эквивалентность двух линейных уравнений в частных производных.

Проделав ряд алгебраических преобразований и введя обозначения W = E-eU, W = Ё—e¿7, получаем систему линейных уравпений отно-

dW dW dW dW сительно ——, ——, ——, ——, то есть условия, накладываемые на функ-

дх ду ow dv ции замены переменных:

1 OW dW — [Bl—-B2—]

1 dW 1 dW

Bb

dx dW

dy

B3

Bfí

2 W dw 1 dW 2W dv

1 dW _ dW. 1 „,dW n aw,

(0.3)

где 0; зависят от функций д\ и и их производных.

Проведенный анализ этой системы выявил два возможных случая:

• Система является вырожденной тогда и только тогда, когда функции д\ (ш, г) и удовлетворяют условиям Коши — Римала, т.е. когда замена перемеппых является конформной. В этом случае, как и показано в работе [1], конформная замена переводит исходные траектории в траектории в поле с потенциалом

2 / ~ Ч 21

е

\dwJ \dv

(E-eU).

• Если система (0.4) является невырожденной, то ее можно разбить на две подсистемы:

= R\(w,v)

0W

дх dW

—— = R2 (w,V) ду

dw dW

= v)

= Rjt(w,t))

(0.4)

где функции 11], Яг, йз,Л4, выражающиеся через д\(ш,и) и ^(м;,?;) и их производные, имеют достаточно сложный вид. Если выполнены условия совместности, то при заданных функциях и дг{ю, и)

функции V/ и \\' определяются однозначно с точностью до аддитивной константы. Таким образом, существуют целые классы потенциалов 11(х,у) и £/(ш, и), связанные заменой переменных, отличной от

конформной, и переводящей траектории заряженных частиц, движущихся в поле с потепцналом U(x,y) в траектории в поле с потенциалом U(w,v). Для поиска самих функций замены переменных нужно найти решения системы уравнений (0.4).

В последнем разделе главы приведен пример построения функций замены переменных.

В третьей главе рассматриваются принципы классификации электростатических полей, имеющих аналитические выражения, и строится каталог плоских (двумерных) электростатических полей, потенциал которых U(х, у) удовлетворяет плоскому уравнению Лапласа

симметричен относительно оси ОХ, не имеет особенностей ( т.е. зарядов ) на этой оси, задается в явной или неявной форме с помощью аналитических формул и зависит не более, чем от одного свободно it) параметра.

Как известно, с плоским электростатическим полем можно однозначно связать аналитическую функцию S7(z) = U{x,y) + iV{x,y) комплексного переменного г = х + гу, так что U(х, у) = Rcil(z), а само иоле описать как совокупностью эквшютенциалей U(x,y) — const, так и совокупностью силовых линий V(x,y) = const. Более того, для симметричных плоских полей с осью симметрии CLY осуществляется взаимно-однозначное соответствие между потенциалами и аналитическими функциями, принимающими на оси ОХ вещественные значения (V(.r, 0) = 0) . Таким образом, задача классификации симметричных плоских электростатических потенциалов сводится к исследованию аналитических функций комплексного переменпого, принимающих вещественные значения на вещественной оси, не имеющих особенностей на вещественной оси, и достаточно просто выражающихся через элементарные функции.

Подробно рассматривается классификация потенциалов в случае, когда U(x, у) является многочленом заданной степени от переменных (х, у). Это означает, что соответствующий ему комплексный потенциал il{z) является многочленом от г той же степени. Таким образом, введя законченную классификацию аналитических функций комплексного переменного - многочленов некоторой степени, мы одновременно получаем классификацию полиномиальных электростатических полей.

При приведении многочлена к каноническому виду эквивалентными преобразованиями ( не меняющими существенно полевую структуру) считались следующие:

11Цх,у) = aU(x,y) + f3

2 .Ut{x,y) = U{-yx,jy)

3 .Ut(x,y) = U{x + 6,y)

4.Ut(x,y) = U(x,y + 6)

однако для симметричных потенциалов сдвиг по оси OY запрещен, так как он нарушает симметрию;

5.U,(x,y) = U(xcos(f — у sin zsinip -I- t/cosc^)

является, вообще говоря, эквивалентным преобразованием, однако для симметричпых потенциалов он запрещен, так как нарушает симметрию;

6 ,Ut(x,y)=U(x,-y) 7.Ut(x,y) = U(-x,y)

Показано, что за основу разбиения комплексных многочленов на неэквивалентные классы, порождающие существенно различные полевые структуры, можно взять положение нулей их первых производных, которые являются седловыми точками поверхности потенциала.

В результате проведенных исследований было получено следующее разбиение полиномиальных многочленов на неэквивалентные классы, порождающие существенно различные полевые структуры: O.U(x,y) = 1 1 .U(x,y) = х 2.U(x,y) = х2 — у2 3a.U{x,y) = х3 - 3ху2 3b.U(x,y) = х3 - Зху2 - Зж 3c.U(х, у) = х3 — Зху2 + Зх Aa.U(,т, у) = х4 - 6х2у2 + у4

4b.U(x,y) = (х4 - 6хУ + у4) - с(х3 - Зху2) - 2{х2 - у2) + Зсх, О <с< |

4c.U{x, у) = \х4 - 6х2у2 + у4) - с(х3 - Зху2) + 2(х2 - у2) - Зсх, О < с < +оо

Рассмотрены также потенциалы, нредставимые с помощью аналитических функций, отличных от мпогочленов( дробно - рациональные, логарифмические, комплекные экспоненты) и потенциалы, нредставимые с помощью обращения аналитических функций комплексного переменного. На рис.1 - рис.4 представлены эквипотенциальные картины некоторых из рассмотренных полевых структур, полученные с помощью разработанной для ПЭВМ программы.

В четвертой главе получена квадратурная формула, позволяющая выразить осесимметричные и мультипольные потенциалы через известные аналитические выражения для плоских полей. Под мульти-польными здесь понимаются поля , обладающие выражепной симметрией по отношению к азимутальному углу ц> в цилиндрической системе координат и удовлетворяющие уравнению Лапласа для мультипольного представления потенциала U(x, у, z) — V{z, r)rn охр (тф), в форме

d2V d2V 2n+ldV , ч

Общим для осесимметричпого и мультипольного случаев является представление уравнения Лапласа в форме •

-+— + -— - 0 (0 7)

dz2 дг2 г дг

(при надлежащем выборе параметра а > 0), которое используется дальше в качестве базового. Задача состояла в нахождении таких функций и 4>{t) и h(t), зависящих от а, чтобы функция •

U(z,r) = ±j\(z,r.<t>(t))h(t)dt,

(0.8)

С = (Ь h(i) dt

J a

удовлетворяла бы уравнению (0.7) для любых функций и(х, у), удовлетворяющих уравнению Лапласа(0.5).

В частном случае <^(£) = t квадратурная формула имеет вид:

(0.9)

+ 1 ,2\«/2-l

с = /7(1

В общем случай выведены соотношения, которым должны удовлетворять функции ф{1) и /г(<), чтобы функция 17(г, г) была решением уравнения (0.7).

С точки зрения построения каталога электростатических полей существенна взаимно - однозначная связь между осесимметричными и муль-типольными потенциалами и плоскими потенциалами, симметричными

относительно оси ОХ. Также существенно, что эти потенциальные функции могут быть выражены друг через друга с помощью полученной квадратурной формулы. Тем самым создается возможность получить полный каталог осесимметричпых и мультипольных полей, как только построен полный каталог плоских симметричных электростатических полей.

В результате реализации указанной процедуры определены следующие существенно различные классы осесимметричпых (ш = 0) и мультипольных (т > 2) электростатических потенциалов:

0. и{х,у)= 1

1. и(х,у) = х

2. и(х, у) = х2 — у2/ (2(ш + 1))

За. и(х,у) = х3- Зху2/(2(ш + 1))

ЗЬ. и{х, у) = х3 - 3ху2/ (2(т + 1)) - За;

Зс. и{х, у) = х3 - 3ху2/ (2(ш + 1)) + Зх

4а. Щх, у) = х4 - 3х2у2/((т + 1)) + 3у4/ (4(т + 2)(т + 1))

4Ь. Щх, у) = х* - 3х2у2/(т + 1) + Зу4/ (4(т + 2)(т + 1)) —*с (а:3 - Зху2/(2т + 2)) - 2 (ж2 - у2/(2т + 2)) + Зсх, 0 < с< |

4с. и(х,у) = х4 - Зх2у2/(т + 1) + 3у4/ (4(т + 2)(т + 1)) -с (х3 - Зху2/(2т + 2)) + 2 (х2 - у2/(2т + 2)) - Зсх, 0 < с < +оо

Рассмотрены также обращение соотношений типа Коши -Римапа для мультипольных потенциалов, инверсные преобразования аналитических потенциалов и мультипольные потенциалы, представимые в параметризованном виде.

В пятой главе рассмотрены возможности практического применения построенного каталога электростатических полей для анализа и синтеза электронно - оптических систем реальных приборов.

На рис.1 представлено графическое изображение полевой структуры, определяемой полиномом третьей степени

и(х, у) = х3 — 3ху2 + Зх, позволяющей проводить квазианалитическое исследование ионизационной камеры источника ионов с электронным ударом.

Выявлены и каталоге полевые структуры (рис.2), определяемые полиномом четвер гой степени

и(х,у) = (х4 - 6х2у2 + у4) - с(х3 - Зху2) - 2(х2 - у2) + Зсх,

0 < - < 5 которые могут быть использованы в качестве аппрок-

симации поля при расчете катодного узла электронной пушки и области формирования ионного пучка в газодинамическом источнике ионов.

На рис.3 приведена полевая структура, использующая в аналитическом представлении натуральный логарифм, которая может служить аппроксимацией поля фотоэлектронного прожектора.

Структура, представленная на рис.4 (и(х,у) = я4 - 6х2у2 4- у4), является плоским аналогом осесимметричной линзы Батлера.

Показана применимость каталога для аппроксимаций поля также в других электронно - оптических системах.

Основные результаты и выводы:

1.Показано существование класса неконформных замен переменных, позволяющих синтезировать новые полевые структуры и переводящих при этом траектории в траектории. Получена система уравнений для определения таких замен переменных. Проведенные исследования показали, что если отображение близко к тождественному, деформация потенциала и траекторий незначительна, а цри нелинейных функциях замены переменных структура нового поля может отличаться от старого сколь угодно сильно, что особенно интересно с точки зрения синтеза новых электронно - оптических систем. В тех случаях, когда плоскости (х, у) и (и>, и) рассматриваются как плоскости симметрии двух различных трехмерных гармонических полей, а функции и(х,у) и 0(ш, и) — как распределения потенциала в этих плоскостях, указанный способ преобразования одних полей в другие вместе с ансамблями траекторий позволяет гибко перестраивать структуру поля в окрестности плоскости симметрии, тем самым появляется возможность решения пространственных задач синтеза новых электронно- оптических систем для физических приборов.

2.Разработаны принципы построения каталога электростатических полей, для которых существуют аналитические выражения. Предложен метод классификации полевых структур, позволяющий разбить исследуемые функции на неэквивалентные классы, порождающие существенно различные полевые структуры. Разработана полная классификация существенно различных полевых структур, порождаемых гармоническими многочленами до 4-го порядка включительно. Получена квадратурная формула, позволяющая выразить осесимметричные и мультиполь-ные потенциалы через известпые плоские потенциалы. Существующая взаимно-однозначная связь между осесимметричпыми и мультипольны-ми потенциалами и плоскими (двумерными) потенциалами, симметрич-

ными относительно оси ОХ, создает возможность получения полного каталога осесимметричных и мультипольных полей, как только построен полный каталог плоских симметричных электростатических полей. Наличие аналитических полей с известными оптическими свойствами может существенно облегчить поиск новых конфигураций для разработки требуемых электронно - оптических систем.

3.Предложен новый подход к задачам анализа и синтеза электронно - оптических систем электрофизических приборов на основе аппроксимации реальных электростатических полей представленными в разработанном каталоге полевыми структурами. Рассмотренные применения аппроксимирующих полевых структур, имеющих аналитические выражения, показывают, что разработанный каталог существенно различных полевых структур позволяет:

- упростить и ускорить исследование, разработку и оптимизацию электронно оптических систем формирования и транспортировки пучков заряженных частиц за. счет простых аппроксимадий известных технологических структур;

— за счет визуализации эквипотенциальной структуры аналитически задаваемых полей выбрать конфигурацию полезадающих электродов, реализующих электронно-оптическую систему с требуемыми свойствами (отбор, фокусировка и транспортировка заряженных частиц); в случае, если выбранная потенциальная функция содержит свободный параметр, проследить за изменением структуры поля при изменении параметра;

— предложить плоские аналоги известных осесимметричных систем.

Таким образом, разработанный каталог может быть использован при

анализе и синтезе электростатических полей для электронно-оптических систем различных физических приборов.

Цитированная литература:

1.Ю.К.Голиков. Конформно-инвариаптные фокусирующие системы. Труды ЛПИ, 1975, N 345,с.82-84.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Л.Н.Галль, О.А.Гринева, А.К.Огородников. Дискриминация по массам иод действием магнитного поля в исхочнике ионов. - Современные методы расчета ЭОС. Материалы VIII Всесоюзного семинара по методам расчета ЭОС. Л.,ЛПИ, 1986, с.77.

2. О.А.Гринева, А.К.Огородников. Оптимизация ионно оптической системы совмещенного источника ионов. - Материалы IV Всесоюзной конференции по масс-снектрометрии, Сумы, 1986.

3. А.С.Бердников, О.А.Гринева. Некоторые применения метода замены переменных для решения задач движения заряженных частиц - Материалы IX Всесоюзного семинара по методам расчета ЭОС, Ташкент,

1988.

4. А.С.Бердников, О.Л.Гринева. Разработка принципов построения каталога плоских симметричных электростатических полей. - "Научное приборостроение" JI.,Наука,1989, с.40-45.

5. А.С.Бердников, О.А.Гринева. Исследования метода замены переменных для решения задач движения заряженных частиц. - "Научное приборостроение" JI.,Наука,1989, с.8 -13.

6. А.С.Бердников, Л.Г.Бородинов, Л.Н.Галль, О.А.Гринева и др. Разработка методических и инструментальных принципов исследования органических и биоорганических веществ масс-спектрометрическими методами. - Отчет по теме 156 НИР-И , N гос. регистрации 01860083740,

1989.

7. А.С.Бердников, О.А.Гринева. Сравнение расчетов электронно -оптических систем с помощью пакетов "Дельта-2" и "Пуассон-2".- Материалы X Всесоюзного семинара по методам расчета ЭОС. Львов, 1990.

8. Л.Н.Галль, О.А.Гринева. О новом подходе к оптимизации масс -спектрометра. - Материалы XI Всесоюзного семинара по методам расчета ЭОС. Алма-Ата, 1992.

9. Л.А.Баранова, А.С.Бердников, О.А.Гринева, В.Я.Иванов, С.Я.Явор. Скрещенная линза как тестовая модель для расчета трехмерных полей. - "Научное приборостроение" Л., Наука, 1992

10. А.С.Бердников, О.А.Гринева. Общая формула для осесимметрич-ных и мультипольных потенциалов, выраженных через гармонические функции двух переменных. - "Научное приборостроение", СПб, Наука, 1993.

11. А.С.Бердников, А.Г.Бородинов, О.А.Гринева и др. Разработка динамической теории транспортировки и движения ионов в статических и квазистатических электрических и магнитных полях. - Отчет по теме 194 НИР-И, N гос. регистрации 01900017196, 1992.

12. А.С.Бердников, А.Г.Бородинов, О.А.Гринева и др. Разработка методов анализа и синтеза ионно - оптических систем на основе статических и динамических полевых структур. - Отчет по теме 0159 , N госрегистрации 01930000629, 1994.

Рис. 2 fío левая структура

с - о. 1S

Рпс.З Половая структура MÍK У/fr-y^/JV

Рис. 4 Полопал структура - X*1- \

16