Квазигидродинамическое моделирование субмикронных полупроводниковых структур и алгоритмы его параллельной реализации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВСЕСОЮЗНЫЙ ЦЕНТР МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ АКАДЕМИИ ПАУК СССР

I ¡п правах рукописи

БИГДОКОВА-САВИЧЕВА Л Л ДА ЮРЬЕВНА

УДК 519.3.3:621.382 КВАЗИГИДРОДИПАМИЧЕСКОЕ М ОДЕЛИРОБАПИЕ

субмнкро! шых no.fi угчропод;-1ИКОВ1--;х структур

И АЛГОРИТМЫ ЕГО ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ 01.01.07 - вычислигольтгт математики

Л з г о р а ф о р а т

диссертации ил сопскапио ученой сгоггошг кандяцаг.а ^пзико-матоматичссшк наук

/

Москва ВНИИОЗНГ 1992

Работа выполнена во Всесоюзном Центре математического моделирования Академии Наук СССР.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

про<£ессор Б. Н. Четверушкин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

В. А. Федирко,

кандидат физико-математических наук ВЛ.Жуков

Ведущая организация - Физико-технологический институт

Академии наук СССР

Защита диссертации состоится " /О " 1992 г.

______ на заседании специализированного совета К 003. 91. 01

при Всесоюзном Центре Математического Моделирования АН СССР по адресу; 125047, Москва, Миусская площадь, д.4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦММ АН СССР. Автореферат разослан " с?^ " 1ЭЭ2 г.

Ученый секретарь специализированного совета К 003.91.01 при ВЦММ АН СССР,

к. ф. -м. к. с- Р' Свирщевский

Актуальность темы диссертации.

В последнее десятилетие одной из областей активного применения методов вычислительной математики становится микроэлектроника. Связано это прежде всего с тенденцией к постоянному уменьшению размеров активных элементов интегральных схем. Для улучшения функциональных характеристик последних необходимо изучение динамики внутренних процессов в таких структурах. Однако проведение экспериментов в условиях миниатюризации приборов становится все более проблематичным, в связи с чем возрастает значение математического моделирования как аппарата исследования в этой области.

Первой в этом направлении и ставшей в последующем традиционной является дрейфово-диффузионная модель С ММ), основанная на' предположении о равновесности электронно-дырочной плазмы (ЭДП) и локальной зависимости ее параметров от напряженности электрического поля. Однако с развитием технологии сверхбольших интегральных схем ССБИС) размеры отдельных элементов на кристалле уменьшаются до субмикронных и становятся сравнимыми с характерными длинами релаксации в ЭДП Спри этом нарушаются предположения, лежащие в основе как упрощенных аналитических, так и ДДМ). Для описания таких структур необходимы более подробные модели, эффективно учитывающие неравновесный и нелокальный характер ЭДП.

Одним из таких подходов, получившим распространение с начала 80-х годов, являются модели гидродинамического типа (называемые также - в отличие от ДДМ - нелокальными, или температурными). Они включают уравнения сохранения для средних макроскопических параметров плазмы Св том числе ее средней энергии или температуры), полученные в качестве следствия кинетического уравнения для функции распределения.

Среди моделей данного класса существует определенное разнообразие, что объясняется теми допущениями, которые используются при выводе макроскопических уравнений. Однако эти допущения, определяющие границы применимости моделей, не всегда учитываются при использовании последних. В связи с этим возникает необходимость сопоставления различных моделей гидродинамического типа на основе анализа их вывода из кинетического описания.

Можно отметить, что сложность интегро-дифференциального кинетического уравнения определяет и сложность получаемых из него моментов - уравнений в частных производных. Так, образуемая

ими система имеет сильную нелинейную зависимость, при этом переменные связаны не только через "источниковые" члены, но и через производные Скак первого, так и второго порядка). Однако большинство работ, в которых для изучения полупроводниковых структур используются модели гидродинамического типа, носят характер вычислительного эксперимента, проводимого специалистами в области физики полупроводников и полупроводниковых приборов. При этом во многих из этих работ пока недостаточно внимания уделяется исследованию важных проблем математического характера, которые встают при численной реализации подобных моделей и от решения которых могут существенно зависеть результаты расчетов Стакая ситуация объясняется как сложным характером задачи, так и относительной новизной ее постановки).

Для моделирования реальных полупроводниковых приборов необходимо применение пространственно-двумерных и трехмерных моделей, что связано с большими вычислительными затратами. Одним из перспективных путей решения данной проблемы является использование многопроцессорных вычислительных систем. Однако их распространение требует выбора и разработки численных алгоритмов, допускающих эффективное отображение на ЭВМ с параллельной архитектурой.

Цель работы состояла в исследовании на примере квазигидродинамической модели СКГМ) ряда проблем, связанных с постановкой и численной реализацией температурных моделей ЭДП, в том числе:

- формулировка уравнений в моделях и анализ допущений, лежащих в основе различных моделей;

- проблема построения монотонных разностных схем для уравнений непрерывности и энергии;

- вопрос о постановке граничных условий на контактах приборов;

- вопрос"о влиянии вида кинетических коэффициентов на результаты моделирования.

В качестве отдельной проблемы отметим вопрос о построении алгоритмов численного решения пространственно-двумерной КГМ, рассчитанных на эффективную параллельную реализацию.

Научная новизна.

В работе впервые разработан ряд вопросов, связанных с численным решением системы квазигидродинамических уравнений:

- построены экспоненциальные разностные схемы для уравнения непрерывности и энергии, обладающие рядом преимуществ;

- для концентраций и температур частиц на контактах предложены нелинейные граничные условия 3 рода, которые в отличие от традиционных равновесных условий соответствуют неравновесному

• характеру задачи;

- проведено численное исследование влияния вида используемых кинетических коэффициентов на результаты расчетов;

- предложен алгоритм численного решения пространственно-двумерной КГМ, предполагающий эффективную параллельную реализацию на многопроцессорных системах с распределенной памятью.

Практическое значение работы.

На основе методик, предложенных в диссертации, разработан комплекс программ для моделирования одномерных и двумерных полупроводниковых структур из различных материалов, включающий как одно-, так и двухтемпературньй варианты модели. Результаты исследований КГМ могут быть использованы в рамках и других моделей гидродинамического типа.

Использование предложенного в работе алгоритма параллельной реализации моделей гидродинамического типа даст возможность применения "настольных" вычислительных комплексов Снапример, перспективных транспьютерных систем) для серийных исследовательских расчетов полупроводниковых приборов на основе достаточно подробных моделей ЭДН.

Апробация диссертации.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на II, III и IV Всесоюзных совещаниях "Математическое моделирование физических процессов в полупроводниках и полупроводниковых приборах" Сг.Ростов, 1988 г., г.Паланга, 1989 г., г.Ростов. 1990 г.), V Всесоюзном совещании "Математическое моделирование приборов микроэлектроники" (г.Горно-Алтайск, июнь 1989 г.). Всесоюзной конференции "Нелинейные явления" Сг.Москва, сентябрь 1989 г.), II республиканской конференции "Математическое моделирование элементов и фрагментов БИС" С г.Рига, март 1990 г.), международной конференции IMACS по математическому моделированию и прикладной математике Сг. Москва, июнь 1Q90 г.), международном семинаре по моделированию приборов и технологий в микроэлектронике С г. Новосибирск, июнь 1990 г.}, XIII Всемирном Конгрессе IMACS по вычислительной и прикладной математике Сг. ДуЬлин, июль

• -3-

1991 г.), III Международной конференции по применению транспьютеров Сг.Глазго, август 1991 г.), Международной конференции "Parallel Computing Technologies" Сг. Новосибирск, сентябрь 1991 г. 3, Первой Всесоюзной конференции "Транспьютерные системы и их применение" Сг.Звенигород, октябрь 1991 г.).

Публикации.

По результатам работы имеется 12 публикаций, перечисленных в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 109 наименований. Объем составляет 137 машинописных страниц, в том числе 30 рисунков.

Содержание диссертации

Во введении показана актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы и приведено ее краткое содержание по главам.

Первая глава содержит обзор моделей гидродинамического типа, используемых в настоящее время для изучения динамики полупроводниковой плазмы. Проводится анализ различных подходов на основе их вывода из кинетического описания, что позволяет определить границы применимости моделей.

В § 1.1 рассматриваются 2 подхода к выводу моментных уравнений: первый из них основан на некоторой информации о полной функции распределения, второй - на разложении последней на изотропную и анизотропную части.

В § 1.2 подробнее представлены модели, полученные на основе первого из упомянутых подходов. Среди них . - гидродинамическая модель полупроводниковой плазмы, аналогичная системе уравнений Эйлера для идеального газа и предполагающая отсутствие вязкости и теплопроводности в системе.

В § 1.3 рассматриваются модели, полученные на основе второго подхода, В их числе квазигидродинамическая модель (КГЮ, соответствующая случаю "неполного контроля" парных столкновений,

-4-

когда в качестве параметров, усредненных внутри системы частиц, выступают их концентрация и средняя энергия. Модель включает уравнения сохранения для этих величин, которые для каждого "сорта" носителей заряда б имеют вид:

дп

31 - е Ш

ди ■♦-»■♦

+ йIV 05 = 3% -Е - Ря , С 2)

В

Л

где выражения для плотностей тока и потока энергии есть:

V ' -7(0.4,) , СЗЭ

05= г^Се^-^-п^-Е - . С4)

Кинетические коэффициенты С ..^) и "источниковые" члены ^ и Р5 представляют собой нелинейные зависимости от неизвестных функций (концентраций и энергий). Систему замыкает уравнение Пуассона для потенциала самосогласованного электрического поля:

е^-Ро) . С53

§ 1.4 посвящен обзору направлений дальнейшего развития моделей рассматриваемого класса.

В заключении к главе 1 отмечается, что модели гидродинамического типа, описывающие плазму полупроводников, имеют с математической точки зрения сходную структуру: они представляют собой сильно нелинейные системы, которые включают уравнения сохранения, решаемые совместно с уравнением Пуассона (5), Ряд проблем численной реализации являются для этих моделей общими и рассматриваются в последующих главах.

Глава 2 посвящена разработке Сна примере пространственно-одномерной задачи) проблем, возникающих при численном решении системы уравнений КГМ. При этом использование одномерного случая имеет в данной сильно нелинейной задаче особое методическое значение, поскольку позволяет со значительно меньшими затратами выявить вычислительные трудности, а также яснее представить роль особенностей, присущих модели, без дополнительного наложения пространственно-двумерных эффектов.

В § 2.1 представлены уравнения модели в пространственно-одномерном случае, проведено их обезразмеривание.

§ 2.2 посвящен проблеме построения монотонных разностных схем для уравнений непрерывности и энергии в моделях гидродинамического типа. Проведено исследование различных существующих экспоненциальных схем на основе единой методики: как в отношении метода их построения, так и свойств монотонности. При этом различные аппроксимации приводятся к записи, которая для некоторых из них отличается от приведенной авторами и при этом облегчает выявление и сравнение свойств схем. Особое внимание уделено уравнению энергии, более сложная структура которого выдвигает дополнительные требования к выбору схемы. Построена экспоненциальная разностная аппроксимация уравнений КГМ, которая является распространением на более общий случай схемы В. А. Николаевой (Препринт ИПМ им.Келдыша, N 190, 1986 г.): при выводе схемы не предполагаются обязательными выполнение соотношения Эйнштейна и а = Const в выражении для коэффициента Пельтье. В отличие от схемы Танга (Tang Т. -w., IEEE Trans., 19843 условие монотонности построенной схемы для уравнения энергии не предполагает ограничения на шаг по пространству. Показана неконсервативность линейных неявных-схем для нестационарной модели (Гарбер Г. 3., Мат. моделирование, 1990 г.). Показано также, что при использовании нелинейных неявных схем из-за наличия нелинейного "источника" в уравнении энергии - Джоулева разогрева J-E - условие монотонности схемы для этого уравнения накладывает ограничение на шаг по времени (при любом способе аппроксимации пространственных производных) .

В § 2.3 рассматривается вопрос о постановке граничных условий для уравнений КГМ. Отмечается несоответствие стандартных равновесных условий Дирихле на контактах неравновесному характеру задач, решаемых-с помощью данной модели. В качестве альтернативы предложены нелинейные граничные условия 3 рода, в которых потоки частиц и энергии на контактах предполагаются равными разностям соответствующих гермоэмиссионных потоков. Сравнение .различных постановок граничных условий проводится на примере моделирования одномерной (диодной) структуры. При этом рассматриваются как одно-, так и двухтемпературный варианты КГМ (учитывав-вше соответственно один и два "сорта" частиц). Для однотемпера-турной КГМ используется метод совместного решения уравнения Пу-

ассона с уравнениями параболического типа, впервые предложенный для задач динамики излучающего газа (Четверушкин Б.Н., ЖВМ и МФ, 1970).

На основе проведенного сравнения показано, что использование равновесных условий не позволяет учесть ряд нелинейных эффектов, а также может вести к нефизичным результатам - особенно вблизи стокового контакта, где сильнее проявляется неравновесность плазмы. Отличия в результатах с двумя вариантами условий более выражены для двухтемпературной КГМ, в которой нелинейность системы имеет более сложный' характер.

В §2.4 проводится численное исследование роли нелинейных кинетических коэффициентов в данной модели. На примере одномерной КГМ с модельными зависимостями, а также с используемыми в некоторых работах по моделирование реальных приборов Сна основе Б!) показано сильное влияние вида кинетических коэффициентов на получаемые значения концентрации и температуры - как в смысле их величины, так и структуры распределения.

Глава 3 посвящена проблеме двумерного квазигидродинамического моделирования субмикронных полупроводниковых структур и возможности его реализации на перспективных многопроцессорных вычислительных системах с распределенной памятью.

В § 3.1 представлена постановка задачи, обсуждаются общие особенности алгоритмов, предполагающих эффективное отображение на вычислительные системы с параллельной архитектурой.

В § 3. 2 представлен алгоритм параллельной реализации пространственно-двумерной кваэигидродинамической модели, рассчитанный на линейный массив процессоров. На каждом временном слое алгоритм включает два этапа.

Первый этап состоит в нахождении концентраций и температур частиц различных "сортов" с помощью решения соответствующих уравнений сохранения по явным схемам. Данный подход обладает внутренним параллелизмом действий и предполагает лишь' локальные обмены данными, что делает его особенно удобным для систем с распределенной памятью. При этом, например, в случае использования транспьютеров возможно эффективное использование одновременного выполнения вычислений и обменов данными, для чего вычисления выполняются сначала для "внутренних" точек каждой подобласти, а одновременно с этим "буферные" сопроцессы выполняют обмены

для "граничных" точек подобласти. Показано, что достаточная трудоемкость вычислений для данной задачи обеспечивает при таком "наложении" (overlapping) полное "перекрытие" времени обменов, дахе при наличии лишь одного ряда "внутренних" узлов.

На втором этапе решается уравнение Пуассона с учетом уже найденных для текущего временного слоя значений концентраций частиц. Предлагается параллельная реализация прямого метода решения, основанного на разделении переменных и сочетающего алгоритм БПФ в вертикальном С"утопленном" в процессор) направлении и алгоритм прогонки для коэффициентов Фурье в горизонтальном. Наиболее "слабым" местом для распараллеливания являются прогонки, обладающие внутренне рекурсивным характером. Однако в данном случае можно эффективно использовать их независимость и множественный характер, организуя их в форме двух "встречных волн" Сс использованием алгоритма встречной прогонки), рис.1.

I—

(1 >

Номера процессоров

(Ср/г 1 > ( [р/г ]+1 )

I

<р>

шаг 1:

шаг 2:

шаг [p/2h

шаг [р/2]+1

шаг

[р/23+2

шаг

2-[р/23:

.Рис.1. Организация решения N независимых трехдиагональных систем Спо строкам) в форме "встречных волн". Шаги 1,.. [р/2] -прямой ход прогонок, шаги С[р/2]+1),. ,2-[р/2] - обратный ход прогонок.

— о

Для возможности применения прямого метода для уравнения Пуассона и в случае смены типа граничных условий на прямолинейном участке границы области (при наличии контактов) используется аппарат матрицы емкости, что предполагает на каждом временном слое двукратное применение прямого метода для уравнения Пуассона (по принципу предиктор-корректор). В данной работе прямой метод матрицы емкости рассмотрен в общем операторном виде, в отличие от его традиционной физической интерпретации.

Оценки эффективности распараллеливания представленного алгоритма соответствуют 60-80% при использовании до 32 процессоров.

В § 3.3 приводятся примеры расчетов двумерных полупроводниковых структур Сполевого транзистора с затвором Шоттки на основе материалов и баАэ) с использованием как одно-, так и двухтем-пературной КГМ. При этом учитываются результаты исследования модели, представленные в главе 2 для пространственно-одномерного случая. Для кинетических коэффициентов используются зависимости, полученные на основе стационарного однородного кинетического моделирования. На контактах для концентрации и температуры задаются потоковые условия 3" рода, представленные в §2.3. Из результатов расчетов виден сильно неравновесный характер ЭДП, а также отсутствие локальной связи ее параметров и напряженности электрического поля - основного предположения традиционной ММ. На основе двухтемпературного моделирования для ваАз показано сильное различие в динамике Г- и Ь-электронов.

В заключении к главе 3 отмечается, что представленный алгоритм применим и для других моделей полупроводниковой плазмы, предполагающих совместное решение уравнений для моментов функции распределения и уравнения Пуассона для потенциала самосогласованного электрического поля Ск ним относятся другие нелокальные модели, а также ДДМ).

В заключении к диссертации изложены ее основные результаты:

1. На основе вывода из кинетического описания проведен анализ формулировок уравнений, составляющих различные модели гидродинамического типа для неравновесной полупроводниковой плазмы.

2. Исследована проблема построения монотонных разностных схем для уравнений непрерывности и энергии в моделях гидродинамического типа. Построены экспоненциальные разностные схемы,

монотонность которых не предполагает ограничения на шаг по пространству.

3. Рассмотрен вопрос о постановке граничных условий на контактах для концентрации и температуры. Предложены потоковые условия 3 рода, позволяющие в отличие от традиционных равновесных условий учесть ряд нелинейных и неравновесных эффектов задачи.

4. На примере пространственно-одномерной задачи проведено численное исследование влияния вида нелинейных кинетических коэффициентов на результаты моделирования.

5. Предложен алгоритм численного решения пространственно-двумерной КГМ, предполагающий эффективную параллельную реализацию на многопроцессорных системах с распределенной памятью.

6. Проведены расчеты двумерных транзисторов на основе как одно-, так и двухтемпературной КГМ. Показано, что используемый в данной работе подход позволяет выявить ряд неравновесных и нелокальных эффектов в субмикронных полупроводниковых структурах.

-ю-

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Бирюкова Л. Ю., Николаева В. А. Исследование методов численного решения квазигидродинамической модели электронной плазмы в одномерных полупроводниковых структурах// ИПМ им. Келдыша АН СССР, Препринт. - М. , 1987. - N 111.

2. Бирюкова Л. Ю. , Николаева В. А., Четверушкин Б. Н. Численное моделирование субмикронного кремниевого МОП-транзистора на основе квазигидродинамической модели// Тез. докладов II Всес. совещ. "Мат. моделирование физич. процессов в полупроводниках и полупроводниковых приборах", Ярославль, 1988 г. -Ярославль: 1988. - с. 20.

3. Бирюкова Л. Ю., Николаева В. А. , Рыгай В. И., -Четверушкин Б. Н. Алгоритмы квазигидродинамической модели для расчета процессов в электронной плазме субмикронных полупроводниковых структур// Мат. моделирование. - 1989. - т. 1, N5. - с. 11-22.

4. Бирюкова Л. Ю. , Николаева В. А., Пищалко В. Д., Рыжий В. И. Моделирование субмикронных InP- и InGaAs-ПГШ на основе двух-температурной квазигидродинамической модели// Тез. докладов III Всес.совещ. "Мат, моделирование физич. процессов в полупроводниках и полупроводниковых приборах", Паланга, 1989 г.

- Вильнюс: 1989. - с. 35-37.

5. Бирюкова Л. Ю. О . формулировке уравнений в "температурных" моделях электронно-дырочной плазмы полупроводников// ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР, Препринт. - М. , 1990. - N1.

6. Бирюкова Л. Ю., Пидалко В. Д., Рыжий В. И. Ó граничных условиях для уравнений квазигидродинаыической модели// Тез, докладов II, респ.конф. "Математическое моделирование элементов и фрагментов БИС", Рига, 1990. - Рига, ЛУ: 1990. - с. 15.

7. Birjukova L.Yu., Chetverushkin В. N. On the problems of numerical solving the system of quasi-hydrodynamic equations for the simulation of electron-hole plasma// Int. IMACS Conf. "Mathematical modelling and applied mathematics", Abstracts.

- Moscow: 1990. - p. 179-180.

8. Бирюкова Л. Ю., Четверушкин Б. Н. О проблемах реализации квазигидродинамической модели электронно-дырочной плазмы на параллельных вычислительных системах// Тез. докладов IV Всес. совещ. "Мат. моделирование физич. процессов в полупроводниках и полупроводниковых приборах", Ярославль, 1990 г. -Ярославль: 1990. - с. 15.

9. Birjukova L.Yu. , Chetverushkin B.N. On the problems of qua-si-hydrodynamic model implementation for semiconductor structures simulation on parallel computer systems// Proc. 3 Int.Conf. 011 Applications of Transputers (Glasgow, 1991V eds. T.S.Durrani, W. A. Sandham, J. J.Soraghan, S.M.Forbes. -Amsterdam: IOS Press, 1991. - pp. 359-364.

10. Бирюкова Л. Ю., Четверушкин Б. Н. О возможности реализации квазигидродинашческой модели полупроводниковой плазмы на многопроцессорных вычислительных системах// Мат.моделирование, - 1991. - т. 3, N5.-C. ti.

11. Бирюкова Л.Ю. О монотонных разностных схемах для моделей гидродинамического типа, описываюздх плазму полупроводников // ВШ АН СССР, Препринт. - М., 1991. - N 34.

12. Бирюкова Л. Ю., Пнщалко В. Л. О граничных условиях для уравнений квазнгидродинамической модели полупроводниковой плазмы// ВЦММ АН СССР, Препринт. - М., 1992. - (в печати).