Квазиклассическая асимптотика решений псевдодифференциальных уравнений при наличии каустик произвольного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ ЛУЧЕВОГО ТИПА С КОМПЛЕКСНЫМ

ЭЙКОНАЛОМ.

§ I. Исходные формулы лучевого метода в трехмерном случае

§ 2. Комплексные лучевые решения на римановом многообразии.

§ 3. Окрестность замкнутой геодезической.

Глава П. КОМПЛЕКСНЫЙ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ЛУЧЕВОЙ МЕТОД да ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ

ПРОИЗВОДНЫМИ.

§ 4. Трехмерные квазифотоны.

§ 5. Уравнения Максвелла.

Глава Ш. ГАУССОВЫ ПУЧКИ В ТЕОРИИ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

ОПЕРАТОРОВ.

§ 6. Некоторые классы псевдодифференциальных операторов.

§ 7. Квазифотонная асимптотика решений уравнения с псевдодиф^еренциальным оператором.

§ 8. Система псевдо,дифференциальных уравнений с

1фатными характеристиками.

Глава 1У.МЕТ0Д СУММИРОВАНИЯ ГАУССОВЫХ ПУЧКОВ.

§ 9. Суммирование решений псевдодифференциального уравнения по лучам.

ДОПОЛНЕНИЕ. Некоторые сведения из теории матриц.

В диссертации рассматриваются некоторые аспекты комплексного варианта лучевого метода и метода суммирования гауссовых пучков.

Как классический стационарный вариант лучевого метода (см. [1-9] и указанную там литературу), так и пространственно-временной лучевой метод (см. [10-15] ) сталкиваются со значительными трудностями в окрестностях каустик - тех точек, где соответствующее поле лучей теряет регулярность.

В.П.Масловым разработан ныне широко известный метод канонического оператора (см., нацример, [9, 16-19] ), позволяющий описывать волновое поле в окрестности сколь угодно сложных особенностей лучевого поля, т.-'е. вблизи любых каустик.

Существует подход к проблемам описания волнового поля в сингулярной ситуации, основанный совсем на других идеях - метод суммирования гауссовых пучков. В случае волнового уравнения этот метод был предложен В.М.Бабичем и применен им и его ученицей Т.Ф. Панкратовой в работе [20] , вышедшей в 1973 году, .для рассмотрения одной задачи, поставленной А.Я.Повзнером. М.М.Попову принадлежит идея использовать суммирование гауссовых пучков для численных расчетов акустических и упругих волновых полей. В настоящее время эта методика получила довольно широкое распространение (см. работы [21-23]).

В диссертации метод суммирования гауссовых пучков обобщается на широкий класс дифференциальных и псевдодифференциальных операторов. Таким образом, оказалось, что области црименимости как метода канонического оператора, так и метода суммирования гауссовых пучков практически совпадают. В отличие от метода канонического оператора, метод суммирования гауссовых цучков глобален и не требует разбиения лагранжева многообразия, связанного с лучевым полем, на отдельные карты.

Остановимся коротко на идеях, лежащих в основе метода суммирования гауссовых пучков. Каждый индивидуальный луч, - как пространственно-временной, так и луч стационарного типа, - можно окружить волновым полем, экспоненциально убывающим по мере удаления от этого луча. Под "окружением" понимается построение формального асимптотического решения рассматриваемого дифференциального или псевдодифференциального уравнения или системы таких уравнений, причем речь идет о решении, имеющем вид разложения, частные суммы которого осциллируют в малой окрестности луча и оцениваются выражением ехр(-и> о| соиИ:) , где >0 , со - большой параметр задачи, а о! - расстояние до луча. Такие решения называются гауссовыми пучками. Некоторые авторы под словом "гауссов пучок" понимают не само решение, а результат его умножения на гладкую срезащую функцию, равную единице в окрестности луча. Мы в дальнейшем будем следовать именно этому, последнему определению гауссова пучка. Гауссовы пучки (как доказал еще в конце 60-х годов В.Ф.Лазуткин на примере уравнения Гельмгольца для неоднородной среда) обладают замечательным свойством: они не приобретают син-гулярностей при неограниченном цродолжении вдоль луча. Если есть лучевое поле, имеющее в некоторых точках каустические особенности, то можно построить гауссов пучок, соответствувдий каждому лучу, и просуммировать все гауссовы пучки. Суммируя формальные решения, мы опять получим формальное решение, не теряющее смысл в окрестности каустик. Полученный интеграл по гауссовым пучкам и дает то описание волнового поля вблизи каустик, о котором говорилооь выше.

Много внимания в диссертации уделяется построению самих гауссовых пучков. Весьма естественным и первым по времени способом вывода аналитических выражений .для них был метод параболического уравнения (см. монографию [4] и цитированную в ней литературу). В.П.Маслов предложил .другой подход к этой задаче - так называемый метод комплексного ростка [243 . Это весьма общий метод, позволяющий отроить формальные асимптотические решения гораздо более общего характера, чем гауссовы пучки. Методика В.П.Маслова опирается на довольно сложное понятие лагранжева многообразия с комплексным ростком. В диссертации - правда, только для случая гауссовых пучков - цредложен новый вариант метода комплексного ростка. (Следует заметить, что здесь мы базируемся на работах [69, 70] . Одновременно с работой [69] была опубликована работа В.Е.Номофилова [25] , содержащая близкие идеи.) Этот вариант мы называем комплексным лучевым методом, а в цространственно- временном случае, основываясь на некоторых специальных свойствах построенных решений, будем пользоваться термином "квазифотонная асимптотика". Построения разложений комплексного лучевого метода не требуют введения комплексного лагранжева многообразия и представляются нам более элементарными, чем построение комплексных ростков по методике В.П.Маслова.

1. Luneburg R.K. Mathematical theory of optics. Berkeley-Los Ang., Univ. of California Press, 1964, 448 p.

2. Kline M./ Kay I.W. Electromagnetic theory and geometrical optics. N.Y., Intersc.Publ., 1965, 527 p.

3. Бабич B.M., Булдырев B.C. Асиглгстотические методы в задачах ,дифракции коротких волн. М., 1972, 456 с.

4. Born М., Wolf Е. Principles of optics. London, Pergamon Press, 1975, 808 p.

5. James G.L. Geometrical theory of diffraction for electromagnetic waves. IEE Electromagn. Waves Ser. no.1, 1976, 253 p.

6. УиземДж. Линейные и нелинейные волны. М., 1977, 622 с.

7. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.й. Геометрическая оптика неоднородных сред. М., 1980, 304 с.

8. Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М., 1982, 296 с.

9. Woodhouse J.H. Surface waves in a laterally varying layered structure. The Quat.Journ. of the Royal Astron.Soc., 1974, vol.37, p.461-490.

10. Бабич B.M. 0 пространственно-временном лучевом методе в теории упругих волн. Изв. АН СССР, Физика Земли, 1979, № 2,с.3-13.

11. Бабич В.М., Григорьева Н.С. Пространственно-временной метод расчета волн в слабо неоднородной слоистой среде. Зап.научн.семин. ЛОМИ, 1980, т.99, с.5-18.

12. Кирпичникова H.H. Пространственно-временная каустика упругого коротковолнового поля. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1981, т.117,с.I47-I6I.

13. Качалов А.П. Слабо нерегулярный световод. Зап.научн.семин. ЛОМИ, 1981, т.117, с.134-146.

14. Орлов Ю.И. Пространственно-временная дифракция импульсов. -В кн.: Прямы,е и обратные задачи теории дифракции., М., 1979, с.5-114.

15. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. М., 1965, 553 с.

16. Маслов В.П. Операторные методы. М., 1973, 543 с.

17. Могилевский Д.Ш. Об аналитическом характере функции Грина внутренней задачи для гиперболического уравнения. Вопр.динам. теор. распр. сейсм. волн, Л., изд-во ЛГУ, 1974/ В 14, с.121 - 139.

18. Мищенко A.C., Стернин В.Ю., Шаталов В.Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора. М., 1978, 352 с.

19. Бабич В.М., Панкратова Т.Ф. 0 разрывах функции Грина смешанной задачи для волнового уравнения с переменным коэффициентом. В сб.: Проблемы мат. физики., Л., изд-во ЛГУ, 1973, J5 6,с.9-26.

20. Popov М.М., Psencik I., 6erveny V. Uniform ray asymptotic for seismic wave fields in laterally inhomogeneous media.- 17-th Gen.Ass. of Europ.Seism.Comm., Budapest, 1980, p.143-144.

21. Качалов А.П., Попов M.M. Применение метода суммирования гауссовых пучков для расчета высокочастотных волновых полей.- Докл. АН СССР, 1981, т.258, II 5, с.1097-1100.

22. Попов М.М. Новый метод расчета волновых полей в высокочастотном приближении. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1981, т.104, с.195-216.

23. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М., 1977, 384 с.

24. Номофгоюв В.Е. Асимптотические решения системы уравнений второго порядка, сосредоточенные в окрестности луча. Зап.научн. семин.Л^-М, 1981, т.104, с.170-179.

25. Попов М.М. Собственные колебания многозеркальных резонаторов. Вестн.ЛГУ, 1969. № 22, с.42-54.

26. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М., 1978, 280 с.

27. Кучеренко В.В. Формула коммутации & -псевдо,дифференциального оператора с быстро осциллирующей экспонентой в случае комплексной фазы. Матем. сборн., 1974, т.94(136), 11(5), с.89-113.

28. Melin А., Sjöstrand J. Fourier integral operators with complex-valued phase functions.- Lect.Notes in Math., 1975, N 459,p.121-223.

29. Улин B.B. Комплексная пространственно-временная лучевая асимптотика .для системы псевдодифференциальных уравнений первого порядка с кратными характерно тиками. Вестн.ЛГУ, 1984, В 19, с.23-29.

30. Буслаев B.C., Скриганов М.Н. Координатная асимптотика решения задачи рассеяния для уравнения Шредингера. Теор. и мат.физ., 1974, т.19, 2, с.217-232.

31. Математическая энциклопедия, т.1, М., 1977, 1152 стзб ,

32. Кучеренко В.В., Осипов Ю.В. Обоснование формальных асимптотичес- 135 ких решений для обыкновенных дифференциальных уравнений с вырождающимся символом. -Матем. сборн., 1983, т. 121(163), )! 2(6), с.156-175.

33. Бабич В.М., Булдырев B.C. Искусство асиглитотики. Вестн.ЛГУ, 1977, № 13, с.5-12.

34. Билый И.Я. Полутеневая .дифракция нерегулярной короткой волны на гладком выпуклом теле. Зап.научн. семин. ЛОМИ, 1981, т. 117, с.13-26.

35. Ludwig D. Uniform asymptotic expansions at a caustic. Comm. on Pure and Appl.Math., 1966, vol.19, p.215-250.

36. Ma слов В.П., Федоргок M.B. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. M., 1976, 292 с.

37. Bruns H. Das Eikonal.- Abh. der Math.-Phys.Classe der Königl. Sächs.Ges. der Wiss., 1895, Bd.21, N 5, S.323-436.

38. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. M., 1981,512c.

39. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.ЗУ. M., 1958, 8të- с.

40. Адамар I. Задача Кош для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. M., 1978, 352 с.

41. Курант Р. Уравнения с частными производными. M., 1964, 830 с.

42. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М., 1967, 664 с.

43. Булдырев B.C. Распространение модулированных колебаний. -Вестн.ЛГУ, 1958, Ш 4, с.45-52.

44. Кучеренко В.В. Асимптотические решения уравнений с комплексными характеристиками. -Матем. сборн., 1974, т.95(137). JS 2(10), с.163-213.

45. Бабич В.М. Собственные функции, сосредоточенные в окрестности замкнутой геодезической. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1968, т.9,с.15-63.

46. Бабич В.М., Булдырев B.C., Номофилов В.Е. Гауссовы пучки и лучевые решения с комплексным эйконалом. Кр.тез.докл.УШ Всесоюзного симпозиума по .дифракции и распространению волн., М.,1981, т.2, с.236-239.

47. Игнатовский B.C. Связь меяду геометрической и волновой оптикою и диффракция гомоцентрического пучка. Тр. ГОИ, 1920, т.1, вып.З, с.1-30.

48. Рытов С.М. О переходе от волновой к геометрической оптике.-Докл.АН СССР, 1938, т.18, $ 4-5, с.263-266.

49. Friedlander F.G. Geometrical optics and Maxwell's equations.-Proc. of the Cambr. Phil.Soc., 1947, vol.43, pt.2,p.284-286.

50. Kline M. An asymptotic solution of Maxwell equations.- Comm. on Pure and Appl.Math., 1951, vol.4, N 2-3, p.225-263.

51. Панкратова Т.Ф. 0 собственных колебаниях в кольцевом резонаторе. Векторная задача. Зап.научн.семин.ЛШИ, 1969. т.15, с.122-141.

52. Friedrichs К.О., Lax P.D. Boundary value problems for first order operators.- Comm. on Pure and Appl.Math., 1965, vol.18, N 1-2, p.355-388-.

53. Kohn J.J., Nirenberg L. An algebra of pseudo-differential operators.- Comm on Pure and Appl.Math., 1965, vol.18, N 1-2,p.269-305.

54. Грушин В.В. Псевдодифференциальные операторы в JR с ограниченным символом. Функц. анализ и его прилож., 1970, т.4, вып.З, с.37-50.

55. Kumano-go H. Algebras of pseudo-differential operators.- Journ. of the Fac. of Science of the Univ. of Tokyo, 1970, vol.17,N 1-3, p.31-50.

56. Parenti С. Operatori pseudo-differenziali in IR.*1" e applicazi-oni.- Ann.di math, pura ed applic., 1972, vol.93, pag.359-389.

57. Beals R. A general calculus of pseudodifferential operators.-Duke Math.Journ.,1975, vol.42, N 1, p.1-42.

58. Фейгин В.И. Новые классы псевдодифференциальных операторов вR"-n некоторые приложения. Тр.ММО, 1978, т.36, с. 155-194.

59. Левендорский С.З. Алгебра пседдодифференциальных операторов с разрывными символами. Докл.АН СССР, 1979, т. 248, В 4, с.777-779.

60. Hormander L. The Weyl calculus of pseudo-differential operators. Comm. on Pure and Appl.Math., 1979, vol.32, p.359-443. .

61. Левендорский С.З. Общее исчисление псевдо,дифференциальных операторов и асимптотические свойства спектра. Функц. анализ и его прилож., 1981, т.15, вып.2, с.79-80.

62. Bony J.M. Calcul symbolique et propagation des singularities pour les equations aux derivees partielles nonlinearies.-Ann.scien. de l'Ecole norm, sup., 1981, vol14, p.209-246.

63. Левендорский С.З. Общее исчисление псевдодифференциальных операторов с символами степенного роста. Дифференц. уравнения, 1983, т.19, № 10, с.1796-1797.

64. Федорток М.В. Метод перевала. М., 1977, 368 с.

65. Рунд X. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств. М., 1981, 504 с.

66. Громол Л., Клингенберг В., Меиер В. Риманова геометрия в целом. М., I97I, 344 с.

67. Бурбаки Н. Функции действительного переменного. М., 1965,424 с.

68. Бабич В.М., Улин В.В. Комплексные лучевые решения и собственные функции, сосредоточенные в окрестности замкнутой геодезической. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1981, т.104, с.6-13.

69. Бабич. В.М., Улин Б.В. Комплексный пространственно-временной лучевой метод и "квазифотоны". Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1981, т.117, с.5-11.

70. Улин В.В. Комплексный вариант лучевого метода для псевдодифференциальных операторов. В сб.: Иссл. по матем., физике,механике и проц. управл., тезисы докл., Уфа, изд-во Башк.фил. АН СССР, 1983, с.52-53.

71. Улин В.В. Об одном глобальном аналоге метода канонического оператора Маслова. Вестн.ЛГУ, 1984, ¡Ь I, с.48-53.