Квазиклассическая динамика носителей заряда в сложных зонах полупроводников тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.10 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. МЕТОД КВАЗИКЛАССИЧЕСКОГО КВАНТОВАНИЯ СИСТЕМ С МАТРИЧНЫМИ ГАМИЛЬТОНИАНАМИ ВО ВНЕШНИХ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ

ПОЛЯХ.

§ I. В в е д е н и е

§ 2. Постановка задачи и нулевое цриближение

§ 3. Метод Келлера-Рубинова

§ 4. Лучевые координаты.

§ 5. Первое цриближение квазиклассического метода по постоянной Планка.

§ 6. Изменение фазы волновой функции при переходе через каустику.

§ 7. Квазиклассическое квантование энергии.

§ 8. Уравнения первого приближения в полярных координатах.°

§ 9. Обобщение уравнений

§ 5 при наличии внешних электромагнитных полей.

Выводы к главе I.

ГЛАВА П. КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СПЕКТР ДООК КУБИЧЕСКИХ

ПОЛУПРОВОДНИКОВ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ.

§ I. В в е де н и е.*.

§ 2. Валентная зона кубических полу проводников.

§ 3. Вычисление эффективного ^ -фактора дырок с учетом непараболичности ва -лентной зоны.

§ 4. Вычисление -фактора тяжелых и легких дырок в экстремальном сечении с учетом гофра.

§ 5. Уровни Ландау тяжелой дырки валентной зоны германия с учетом гофрированности изоэнергетических поверхностей.

§ 6. Сравнение с результатами численного решения точного уравнения Шредингера.

Выводы к главе П.

ГЛАВА Ш. КВАЗИКЛАССИЧЕСКАЯ .ДИНАМИКА ДОРОК В СКРЕЩЕННЫХ МАГНИТНОМ И ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ

ПОЛЯХ.

§ I. Введение

§ 2. Классическая частица в скрещенных полях.

§ 3. Квазиклассическое квантование в скрещенных полях в сложной валентной зоне кубических полупроводников

§ 4. Смешивание состояний тяжелых и легких дьгрок в скрещенных полях.

Выводы к главе Ш.

В целом ряде задач квантовой механики гамильтониан имеет матричный характер. Сюда, в частности, относятся задачи о поведении носителей заряда в полупроводниках и металлах в сложных зонах, или в тех случаях, когда необходимо учитывать взаимодействие нескольких зон.

Целью работы является развитие квазиклассического метода для квантовых систем с матричными гамильтонианами. В качестве непосредственного цриложения метода имеется ввиду квазиклассическое описание тяжелых и легких дырок в полупроводниках типа германия, кремния, арсенида галлия.

Научная новизна работы определяется тем, что в ней впервые построена общая теория квазиклассического квантования в магнитном и электрическом полях для систем, описываемых мат -ричными гамильтонианами. Теория применена к квазиклассическому квантованию валентной зоны кубических полупроводников. Предсказан и теоретически описан новый физический эффект - переходы между орбитами тяжелых и легких дырок сложной валентной зоны кубических полупроводников в скрещенных магнитном и электрическом полях.

Практическое значение работы заключается в том, что в ней развиты относительно простые методы расчета энергетических уровней и волновых функций электронов в сложных зонах во внешних полях, позволяющие учесть такие особенности зонной структуры, как вырождение и непараболичность зон, гофрировку изоэнергети-ческих поверхностей, сильное спин-орбитальное взаимодействие. В практических применениях полупроводников эти особенности играют существенную роль и часто имеют определяющее значе ние.

Основы квазиклассической теории для электронов со слож -ным энергетическим спектром в магнитном поле были разработаны И.М.Лифшицем и его сотрудниками /1,2/. Согласно этой тео -рии условия квантования имеют вид: где ^ £ - энергия, р^ - продольный импульс, /7 - номер уровня Лаццау, $(Е/ Р площадь сечения изоэнергетической поверх -ности плоскостью р ^СОЦ^Ь > ~ Ф^тор» который сам может зависеть от £ и р .В цростейшем случае не вырожденной ъ простой зоны, если спин-орбитальным взаимодействием можно пренебречь, то ^ = 2. В целом ряде практически важных случаев существенно вырождение зон и имеется сильное спин-орбитальное взаимодействие. При этом гамильтониан имеет матричный характер /3/, и общего метода квазиклассического квантования для этих случаев до сих пор не существовало.

В работе Фальковского /4/ был вычислен ^ - фактор для электронов в висмуте. Хотя используемый в диссертации подход к решению задачи во многом аналогичен подходу, используемому в работе /4/, непосредственное расцространение методики этой работы на интересующий нас случай невозможно. Это связано с тем, что система уравнений, которой удовлетворяют волновые функции крамерсово-вырожденных без магнитного поля состояний, в висмуте расцепляется, в то время, как в общем случае (например для валентной зоны кремния) такого расцепления нет.

Диагонализация матричного гамильтониана, описывающего электрон в сложной зоне в отсутствии внешних полей, приводит к различным ветвям энергетического спектра свободных частиц подзонам. В каждой из подзон частица характеризуется зависимостью энергии Е от квазиимцульса р : Е - £.( р). Каждая из подзон предполагается дважды вырожденной, поскольку рассмат -риваются полуцроводники, обладающие центром инверсии (такие как германий и кремний) или полупроводники, в которых влия -ние отсутствия центра инверсии на энергетический спектр мало (такие как арсенид галлия). Во внешних полях, в нулевом приближении квазиклассического метода, частицы в каждой из подзон можно рассматривать как независимые классические частицы с законом дисперсии £}(р) • Динамика движения таких частиц в электрическом и магнитном полях, а также их квазиклассическое квантование, подробно изучены в работах /1-2/. Специаль -ный случай тяжелых и легких дырок кубических полупроводников изучался в работах Андронова и др. /5/. В следующих приближениях появляется расщепление вырожденных подзон ("спиновое" расщепление), которое описывается эффективным ^ -фактором ^ (£ ,р) . Зависимость ^ -фактора от Е и р^ существенно меняет поведение энергетических уровней с изменением продольного имцульса. Другой важный эффект, появляющийся в следу -ющих приближениях квазиклассического метода, заключается в том, что состояния, относящиеся к различным подзонам, смеши -ваются, так что в электрическом поле, нацример, появляются переходы между траекториями тяжелых и легких дцрок. Вероятности этих переходов особенно велики, когда классические орбита: в цространетве кинематических имцульеов р проходят вблизи точек вырождения зон (нацример, вблизи точки р = 0 в случае тяжелых и легких дырок).

Основное содержание диссертащи заключается в развитии общей схемы квазиклассического квантования для сложных зон, которая позволяет оцределить эффективный - фактор, энергетический спектр с учетом "спинового" расщепления и вероятности переходов между орбитами частиц, относящихся к разным ветвям энергетического спектра.

Диссертация состоит из трех глав, введения, заключения и приложений. Нумерация формул проводится по главам и цриложе-ниям. Рисунки приводятся в местах упоминания в тексте.

В первой главе диссертации построена теория квазиклас -сического квантования в магнитном и электрическом полях для матричных гамильтонианов. Предполагается, что полный гамильтониан^ системы состоит из двух слагаемых <}£ НМ^ * где ¿Ь - матрица, зависящая от операторов —»

- векторная матрица, описывающая прямое взаимодействие собственного магнитного момента электрона с магнитным полем Н . Векторный потенциал А определяет магнитное Н и электрическое <? поля. Волновая функция ищется в виде

-1

У = (2) где % - новая функция-столбец. Если для простоты оста -вить только одно магнитное поле ( <? = 0), то в нулевом цриближении по постоянной Планка получим систему уравнений

Шх^Ех

•>

Предполагается, что И, - первого порядка по

Здесь Е - энергия частицы, р - кинематический импульс, оцределяемый формулой: р = V5- |-А (4)

Эта система определяет волновые функции свободной частицы и их энергетический спектр без магнитного поля: Е = = £. (Р ) • Последнее уравнение после подстановки (4) превращается в классическое уравнение Гамильтона-Якобии соответствующие уравнения Гамильтона: г^-Л^Ьэ Е/ар определяют траекторию классической частицы с законом дисперсии £ ( р ) .Мы предполагаем, что матрица К(р) инвариантна по отношению к операции инверсии времени, так что каждая ветвь спектра £(Р) дважды вы рождена и соответствующие две волновые функции ^ Д Р ) и р) можно получить друг из друга с помощью преобразования инверсии времени. Рассмотрим одну ветвь спектра £ ( Р) . Волновая функция X является линейной комбинацией и г : X = С1+ С2 X 2 . Коэффициенты ^ и в нулевом цриближении по постоянной Планка Ь остаются произвольными. Они определяются из условий разрешимости уравнений первого цриближения. Введем вместо С, и С2 новые коэффициенты О и о по формулам .|/б С1 , где 6 -якобиан цреобразования от декартовых координат к лучевым (в одномерном случае это просто модуль скорости). Тогда можно по -казать, что коэффициенты и изменяются вдоль тра ектории в соответствии с системой уравнений:

К--12) (5) А

Здесь Мц = (Л к) , а оператор , который имеет смысл оператора собственного магнитного момента частицы, оцределяется формулой: л где введена матрица-вектор скорости

V = v- Jf(p) —> ' и if - Vp £ ( р ) . Коэффициенты в цравой части (5) зависят только от р и, значит, являются периодическими функциями времени. Следовательно, решение системы (5) можно записать в виде /б/:

ГЮехр^П цричем (Л (I) периодически зависит от времени, а = = -/цн ум. .в формуле (7) $ и (Л.~ - столбцы из двух компонент. Две "цравильные" функции ^ , отвечающие состояниям с цроекцией магнитного момента по и цротив поля, могут быть записаны в виде

8)

Условия квантования энергии получаются из требования однозначности волновой функции при обходе по траектории. С учетом потерь фазы на каустиках они имеют вид:

С (/С 1+ 2ттЛН екН Ни. т

Здесь 5 (Е,Р,) - площадь сечения изоэнергетической поверхности ПЛОСКОСТЬЮ в СОП^ / , ^ циклотронная частота частицы с законом дисперсии £ (р )

Сравнивая (I) и (9), получаем

7 " Ъи)с

Если кроме магнитного имеется и электрическое поле, то уравнение (5) перепишется так: имеет смысл оператора собственного дипольного момента частицы. Так как правая часть уравнения (10) зависит от кинематического имцульса р , то для оцределения поведения коэффици -ентов ¿к вдоль траектории следует найти зависимость р([) из классических уравнений движения

В общем случае V Б - многозначная функция координат. Поэтому нетривиальным является вопрос о построении квазиклассических волновых функций. Для оцределения вида волновой функции мы используем метод Келлера-Рубинова /7,8/, согласно которому классически доступная область движения расщепляется на листы так, чтобы на каждом из них действие было бы определено однозначно. Листы склеиваются вдоль каустик семейства траекторий, образуя замкнутую поверхность. Условия квантова -ния получаются из требования однозначности волновой функции при обходе по любому замкнутому контуру на этой поверхности. Полная волновая функция в некоторой точке будет содержать столько слагаемых вида (2), сколько листов содержат данную

Вторая глава диссертации посвящена применению развитой теории к квазиклассическому квантованию в магнитном поле на

И) точку. лентной зоны кубических полуцроводников. Если не учитывать спин-орбитально отщепленную зону, то гамильтониан (гамиль -тониан Латтинжера) есть матрица 4x4, которая в отсутствии внешних полей приводит к подзонам тяжелых и легких дырок. В сферическом приближении уравнения (5) решаются точно, и выражения для -фактора получаются в замкнутом виде.

В сферическом приближении задача о квантовании тяжелых и легких дырок в магнитном поле вообще решается точно /9/. Полу -ценные нами выражения для ^ -фактора совпадают с выра -жениями, полученными Биром, Бутиковым и Пикусом /10/ с помощью разложения этого точного решения по степеням I/ И В частности, для тяжелых дырок при р = О оказывается, что ^ = 6, т.е. имеет место дополнительное вырождение: уровни энергии совпадают для состояний с квантовыми числами П и проекцией магнитного момента по полю и для состояний с квантовыми числами ¡1 -3 и проекцией магнитного момента цротив поля.

Интересно выяснить, как влияет на этот результат гофрировка изоэнергетических поверхностей. В диссертации получена формула для -фактора тяже лык и легких дырок при 0 с учетом гофра, для случая НII [001] .Из этой формулы следует, что в подзоне тяжелых дырок гофр приводят к "спиновому" расщеплению уровней энергии даже при р = 0. В результате численного решения системы (5) найден у - фактор тяжелых дырок в зависимости от величины 2 Ет0/ р^ для германия с учетом гофра в случай, когда Н И[001] IIОЪ Результаты этих расчетов представлены на рис.Ю. С помощью полученных значений ^ -фактора вычислены зависимости энергии уровней Ландау тяжелых дырок от р и выполнено сравнение с результатами численного решения точного уравне -ния Щредингера с гамильтонианом Латтинжера, которое было недавно проведено Ал.Л.Эфросом и Т.В.Язевой. Это сравнение, цредставленное на рис.13, рис.14 показывает, что уровни энергии, вычисленные квазиклассическим методом, хорошо совпадают с их точными значениями уже для А?> 3.

В таких материалах, как кремний, спин-орбитальное рас -щепление валентной зоны А мало. Взаимодействие подзон тя -желых и легких дырок со спин-орбитально отщепленной подзоной цриводит к существенной непараболичности спектра /II/. Во второй главе диссертации в сферическом приближении получено вы -ражение для ^ -фактора дырок в экстремальном сечении ( Ръ = = О, Н// 02 ) с учетом этой непараболичности. На основании этого выражения на рис.7 изображен график зависимости ^ - факторов легкой дырки и дырки в спин-орбитально отщепленной зоне для германия в зависимости от величины ХгР /(^°д) . Здесь 2. 2. 2.

Р = й + Р\, * ^о - масса свободного электрона, У л У 2. параметр Латтинжера. Обращают на себя внимание немонотонность зависимости ^ - фактора легких дырок, который имеет максимум, когда ^ рг/(У^оА) ъ 0,3. При р-* для зоны легких дцрок ^ 2 ("спиновое" расщепление отсутствует), для отщепленной зоны ^ 4 +1 /(% ^ •

В третьей главе изучалось квантование энергии тяжелые и легких дырок сложной валентной зоны кубических полупроводни ков в скрещенных электрическом £ и магнитном Н полях ). Квазиклассическим методом главы Г в сферическом приближении было получено выражение, определяющее ^ - фак -тор подзоны тяжелых дырок. Из этого выражения следует, что <Х -фактор подзоны тяжелых дцрок резко меняется в области и чем меньше р^ (импульс вдоль магнитного поля Н ), тем резче это изменение. Здесь U - дрейфовая скорость в скрещенных полях, ^ - амплитуда скорости вдоль на-цравления электрического поля (см.рис.17). Бри Р = 0 имеется С конечный скачок ^ -фактора от значения ^ = 6 при U < 7Д до значения ^ = 12 при М > ^ . Резкое изменение - фактора связано с изменением характера траектории в зависимости от соотношения U и Ц, Скачок ^ - фак -тора цри р^ = 0 связан с приближенностью расчета, т.к. цри р = 0 в пространстве кинематических импульсов имеются тра -ектории тяжелых и легких дырок с одинаковыми интегралами движения сильно сближающиеся около начала координат, т.е. около точки вырождения зон. Для этих траекторий становятся существенными переходы между орбитами тяжелых и легких дырок (реализуется ситуация магнитного цробоя /1,12/.)

В третьей главе диссертации выведена система уравнений, описывающая "зацепление" состояний тяжелых и легких дырок вблизи начала координат цространства кинематических импульсов. Решение этой системы позволяет найти коэффициенты перехода между орбитами тяжелых и легких дырок. При выполнении квазиклассического условия UZ переход происходит в уз -кой области кинематических импульсов рх ^ ру ^ вблизи начала координат ( ^ = = е Н / С - циклотронная частота легкой дырки). Вне этой узкой области тяжелые и легкие дырки движутся почти незави -симо по своим классическим траекториям. Вычисленные для германия вероятности перехода между орбитами тяжелых и легких, дцрок изображены на рис.19. Вычисления проводились как в сферическом приближении, так и с учетом гофра. Учет гофра сильно влияет на вероятности переходов, т.к. для направлений ИII[001], III [100] для гофрированных изоэнергетичес-ких поверхностей ( рХ/ ру) падает с ростом Рх , а для сферических растет.

Зацепление" состояний тяжелых и легких дырок приводит к существенному изменению энергетического спектра в области =0. Здесь £ - - р Ц - закон дисперсии в системе координат, движущийся с дрейфовой скоростью Ц. . Как ✓— известно, £ является интех'ралом движения классической частицы в скрещенных полях. Интервал значений £ , вблизи нуля, в котором цроисходит существенная перестройка спектра, имеет порядок А £ -М^Ц ((¡(^¿/кП^Ы ) . Перестройку спектра иллюстрируют построенная для германия зависимость энергии £ нескольких уровней Ландау от дрейфовой скорости (рис.20). В области энергий /£/» А с вероятность переходов между орбитами дырок разных типов мала и уровни энергии £и можно расчитывать для тяжелых и легких дцрок раздельно всюду, за исключением узких областей, где эти уровни пересекаются. Учет перемешивания состояний в этих областях приводит к типичной картине антипересечения уровней.

На защиту выносятся следующие основные положения диссертации:

1. Развит метод квазиклассического квантования для ма.т -ричных гамильтонианов при наличии электрического и магнитного полей.

2. С учетом непараболичности и гофрированности валент -ной зоны в квазиклассическом цриближении получены выражения для эффективного ^ -фактора дьтрок и ^ -фактор рас -считан для кубических полупроводников в магнитное поле. Рас читана зависимость энергии уровней Ландау от цродольного импульса.

3. Получено выражение для эффективного -фактора иод-зоны тяжелых дцрок кубических полуцроводников, описываемых гамильтонианом Латтинжера в скрещенных электрическом и маг -нитном полях.

4. Предсказан и теоретически описан новый физический эффект - смешивание состояний тяжелых и легких дцрок сложной валентной зоны кубических полуцроводников в скрещенных электрическом и магнитном полях.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях /13,37,38,50/ и тезисах докладов /36/.

Хочу поблагодарить своего научного руководителя Владимира Иделевича Переля, у которого мне посчастливилось учиться в процессе работы над диссертацией. Его доброта и сердечность помогли преодолеть трудности, а постоянное ру ■ ководство и многочисленные обсуждения полностью оцределили взгляд на предмет.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные новые результаты, полученные в диссертации при рассмотрении квазиклассической динамики носителей заряда в сложных зонах полупроводников.

I. Построена общая теория квазиклассического квантования в магнитном и электрическом полях для систем, описыва -емых матричными гамильтонианами. Теория позволяет определить энергетический спектр с учетом "спинового" расщепления, эф -фективный С^ -фактор, а также вид волновых функций.

П. Построенная теория была применена к квазиклассическому квантованию в магнитном поле валентной зоны кубических полупроводников. Были получены выражения для эффективного

-фактора тяжелых и легких дырок в экстремальном сечении с учетом гофра. Из этой формулы следует, что учет гофра приводит к снятию "спинового" вырождения для уровней Ландау подзоны тяжелых дцрок, которое имеет место в сферическом при -ближении. В результате численного решения наеден -фактор тяжелой дырки для германия в зависимости от величины 2Е Уио / Р^ с учетом гофра, когда здесь — энергия дырки, и^ <> - масса свободного электрона, р^ - имцульс вдоль магнитного поля). С помо -щью полученных значений ^ -фактора вычислены зависимости энергии уровней Ландау от и проведено сравнение с ре -зультатами численного решения точного уравнения Шредингера с гамильтонианом Латтннжера. Сравнение показало, что уровни энергии, вычисленные квазиклассическим методом, хорошо со -гласуются с их точными значениями уже при И> 3.

Получены выражения для -фактора дцрок валентной зоны в экстремальном сечении с учетом непараболичности валентной зоны, обусловленной взаимодействием подзон тяжелых и легких дцрок со спин-орбитально отщепленной подзоной.

Ш. Получено выражение для эффективного ^ - фактора подзоны тяжелых дцрок кубических полуцроводников, описываемых гамильтонианом Латтинжера в скрещенных электрическом и магнитном полях.

1У. Предсказан и теоретически рассчитан новый физический эффект - смешивание состояний тяжелых и легких дцрок сложной валентной зоны кубических полуцроводников в скрещенных элект -рическом и магнитном полях. Численным интегрированием рассчи -таны вероятности перехода между орбитами тяжелых и легких ды -рок для германия как в сферическом приближении, так и с уче -том гофра.

1. ЛифшицИ.М., Азбель М.Я., Каганов М.И. Электронная теория металлов. - М.: Наука, 1971. - 416 с.

2. Лифшиц И.М., Косевич A.M. К теории восцриимчивости тонких слоев металла при низких температурах. ДАН СССР, 1953, т.91, № 4, с.795-798.

3. Цвдильковский И.М. Зонная структура полупроводников. -М.: Наука, 1978. 328 с.

4. Фальковский Л.А. Квазиклассическое квантование электронов и дьгрок в висмуте в магнитном поле. ЖЭТШ, 1965, т.49, № 2, с.609-617. '

5. Андронов А.А., Додин Е.П., Краеильник 3.®. Инвертированное распределение и одп на циклотронном резонансе тяжелых дырок германия цри стриминге (НЕМАГ на ЦР). ФТП, 1982, т.6, № 2, с.212-219.

6. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложе -ния. М.: Наука, 1972. - 720 с.

7. Keller J.В. Corrected Bohr-Sommerfeld quantum conditions for nonseparabile systems. Annals of Physics, 1958, т.4, ВТ 2, p. 180-188.

8. Keller J.B., Rubinow S.I. Asymptotic solution of eigenvalue problems.-Annals of Physics, 1960,v.9, N 1, p.24-75.

9. Luttinger J.M. Quantum theory of cyclotron resonance in semiconductors. Phys. Rev., 1956, v.102, N 4, p.1030-1036.

10. Вир Г.Л., Бутиков Е.И., Пикус Г.Е. Комбинированный резонанс на дырках в полупроводниках типа Gre и S>1, . -ФТТ, 1967, т.9, № 4, с.1068-1080.

11. Kane Е.О. Energy band structure in p-type germanium and silicon. J.Phys. Chem. Solids, 1956, v.1,N 1/2, p.82-99.

12. Слуцкин А.А. Динамика электронов цроводимости в условиях магнитного пробоя. ЮТФ, 1967, т.53, № 2, с.767-783.

13. Горбовицкий Б.М., Перель В.И. Квазиклассическое кванто -вание в магнитном поле для матричных гамильтонианов. -ЖЭТФ, 1983, т.85, № 5, с.1812-1821.

14. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.: Наука, 1974, - 752с.

15. В1ф Г.Л., Пикус Г.Е. Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках. М.: Наука, 1972. - 584 с.

16. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972. - 456 с.

17. Смирнов В.И. Курс высшей математики. 9-е изд. - Г0СТЕХ-ИЗДАТ, 1948, т.П, - 622 с.

18. Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел. М.: Наука, 1967. - 492 с.

19. Лаццау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1973. -208 с.

20. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1973, - 504 с.

21. Мигдал А.Б. Качественные методы в квантовой теории. -М.: Наука, 1975. 336 с.

22. Бязь А.И., Зельдович Я.Б., Перемолов A.M. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. -И.: Наука, 1971. 544 с.

23. Kane E.O. Band structure of indium antimonide.-J. Phys. Chem. Solids, 1957, v,1, N 1/2, p.249-261.

24. Маделунг 0. Шизика полуцроводниковых соединений элементов Ш и У групп. М.: Мрф, 1967. - 477 с.

25. Гельмонт Б.Л., Султанов С.Б. Спектр тяжелых дырок в магнитном поле. Ш1, 1978, т. 12, № 4, с.818-819.

26. Suzuki К., Hensel J.С. Quantum resonances in the valence bands of germanium. Phys. Rev., B", 1974» v.9, N 10,p.4184-4257.

27. Dresselhaus G., Kipp A.P., Kittel C. Cyclotron resonance of electrons and hols in silicon and germanium crystals.-Phys. Eev., 1955, v.98, N 2, p.368-584.

28. Эдмондс А. Угловые моменты в квантовой механике.

29. В кн.: Деформация атомных ядер/под ред.Л.А.Слива. М.: ИЛ, 1958, с.305-351.

30. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников. 2-е изд. перераб.и доп. - М.: Наука, 1978. - 615 с.

31. Дьяконов М.И., Перель В.И. О спиновой ориентации электронов при межзонном поглощении света в полуцроводниках. -ЖЭТФ, 1971, т.60, № 5, с.1954-1965.

32. Luttinger J.M., Kohn W. Motion of electrons and holes in perturbed periodic fields. Phys. Rev., 1955, v.97, N.'4, p.869-883.

33. Каган Ю.М. Циклотронный резонанс в германии и кремниии роль отрицательных эффективных масс. ЖЭТФ, I960, т.38, № 6, с.1854-1865.

34. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1978. - 832 с.

35. Справочник по специальным функциям./Под ред.М.Абрамовича, И.Стиган. М.: Наука, 1979. - 832 с.

36. Мессиа А. Квантовая механика. М.: Наука, 1978, т.1. -480 с.

37. Горбовицкий Б.М., Перель В.И. Квазиклассическое квантование для матричных гамильтонианов. Тезисы докладов. -Ужгород: УГУ, 1983, с.152-153.

38. Горбовицкий Б.М., Перель В.И. Об особенности динамики тяжелых и легких дырок в скрещенных полях на главных траекториях. Письма в ЖТФ, 1983, т.9, № 19, с.1204-1208.

39. Горбовицкий Б.М. Смешивание состояний тяжелых и легких дырок в скрещенных полях. ШТП,1984, т.18,М, с.704-711.

40. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. -М.: Наука, 1967, т.З, гл.13, с.9-72.

41. Смирнов В.И. Курс высшей математики. 9-е изд. -ГОСТЕХИЗДАТ, 1948, т.1. - 468 с.

42. Инвертированное расцределение горячих электронов в полу-цроводниках. Сб.науч.тр. Горький, Институт прикладной физики АН СССР, 1983, - 228 с.

43. Горячие электроны в полупроводниках. Стриминг и анизотропные расцределения в скрещенных полях. Сб.науч.тр. Горький, Институт прикладной физики АН СССР, 1983, - 192с.

44. Blount E.J. Bioch electrons in a magnetic field. Phys. Rev., 1962, v.126, N 5, p.1636-1653.

45. Pipard A.B. Quantization of coupled orbits in metals. -Proc. Roy. Soc., A, 1962, v.270, N 1340, p.1-13.

46. Evidence for spin-orbit splitting in the band structure of zinc and cadmium./ A.C.Joseph, W.L.Gordon, J.R.Reitz, T.G. Eck. Phys. Rev. Lett., 1961, v.7, N 9, P.334-336.

47. Pidgeon O.E., Brown R.N. Interband magneto-absoption and faraday rotation in InSb. Phys. Rev., 1966, v.146, N 2, P.575-583.

48. Roth L.M., Lax В., Zwerdling S. Theory of optical magneto absoption effects in semiconductors. Phys. Rev., 1959, v.114, N 1, p.90-104.

49. Evtuhov V. Valence bands of germanium and silicon in гш. external magnetic field. Phys. Rev., 1962, v.125, N 6, p.1869-1879.

50. Дирак П. Принципы квантовой механики. 2-е изд. - М.: Наука, 1979. - 480 с.

51. Горбовицкий Б.М., Эфрос Ал.Л., Язева Т.В. Расчет энергетических уровней Ландау тяжелых дырок в Ore ? Письма в ЖТФ, 1984, т.10. , № 6 , с.321-325.