Квазиклассические приближенные моды задачи о магнитном поле в трехмерном стационарном потоке проводящей среды со слабой магнитной диффузией тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ 'Л ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА

.Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.91

МАРТИНЕС ОЛйВЭ Виктор

КЗАЗЯКЛАССИЧЕСКИЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МОДЫ ЗАДАЧИ О МАГНИТНОМ ПОЛЕ В ТРЕХМЕРНОМ СТАЦИОНАРНОМ ПОТОКЕ ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЫ СО СЛАБОЙ МАГНИТНОЙ ДИФФУЗИЕЙ

(01.01.02 - дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1990

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета имени V .В.Ломоносова.

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук, доцент Н.Н.Нехоротев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук С.Ю.Доброхотов

кандидат физико-математических наук А.Д.Крахнов

Ведущая организация- Ленинградский государственный

университет

Защита диссертации состоится " 12," октября 1990 г. на заседании специалилированного совета Д.065.Сб.04 при Московском государственной университете имени К.В.Ломоносова по адресу: 119899,ГСП, Москва, Ленинские Горы, МГУ,механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ыеханико- ■ математического факультета МГУ (14 этаж). ^ пг/1

ЛЬгпс^е/са^ /ъ&тси^с/ /А, ш-^^-^/Се-?

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.Сб.04 при МГУ, доцент

Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация связана с проблемой магнитного динамо. Проблема следующая: возможно ли возбуждение сколь угодно больших магнитных полей движущимися заряженными средами. В последние годы возрос интерес к вопросу о том, могут ли неслучайные потоки проводящей среды поддерживать магнитные поля при больших магнитных числах Рейнольд-са R ( т.е. малых значениях магнитной вязкости J&) . Исследование этой проблемы существенно активизировалось в связи с работой [l].

Теория магнитного динамо является областью активного исследования, использующего как вычислительные, так и аналитические методы. Важный для изучения магнитного динамо класс потоков был указан Арнольдом В.И. [2]. Эти потоки заданы 2%-периодическим бездивергентным полем скоростей

У{х) =(sirt- 3C3+ws»2t smscj+cos»J, sUt»atcoi»,) . (1)

Вычислительные эксперименты, проведенные М.Эноном в 1966 г. [з] и Коркиной Е.И. в 1981 г., указывают на экспоненциальный рост магнитного поля при нулевой магнитной вязкости.

1. Арнольд В.11., Зельдович Я.Б., Рузмайкин A.A., Соколов Д.Д. Магнитное поле в стационарном течении с растяжениями в ри-мановом пространстве. ЖЭТФ, 1981, т.11, вып.6, с.2052-2058

2. Arnold V.l. С.Я. Аса.1. Sei. Paris, 1965, v. 261, 17

3. Henon M. Sur la topologte 1*3 lign?.; ii ourant Лало un газ Parti ir. C.R. Aoad. Sei. Paris, 1?66, 512-51'w

Позже Арнольд В.И. я Коркина Е.И. в 1983 г. [4] и Д.Галловей и У.Фриш [5]в 1986 г. проводили вычислительные эксперименты по действию данамо при отличных от нуля значениях магнитной вязкости для потоков о полем скоростей V (X) . Они обнаружили данамо при 9 < "R, < 17,5 и при R > 27 соответственно. Вычисления проводились до "R. 550. Наиболее быстро растущая мода сосредоточена в иглообразных областях с центрами в особых точках потока и лежащих на инвариантных кривых' поля V0C). Компьютерные методы не позволяют рассматривать достаточно большие R/ . Интересен же случай R. -»-со. Таким образом, встает проблема уточнения и развития исследований быстро растущих мод, выполненных вычислительными методами, с помощью аналитических методов. Исходя из этих вычислительных экспериментов, молено сделать вывод о том, что наиболее эффективным подходом в данной ситуации будет построение и исследование квазиклассических асимптотик собственных функций магнитного поля, сосредоточенных в окрестности инвариантных кривых поля V(3C). Построению приближенных фаз таких асимптотик и посвящена настоящая работа.

Цель -работы. Построение и исследование квазиклассических асимптотик собственных функций задачи о магнитном данамо, сосредоточенных в окрестности инвариантных кривых поля

4. Арнольд В.И., Коркина Е.И. Рост магнитного поля в трехмерном стационарном потоке несжимаемой жидкости. Вестник МГУ, сер. 1, 1983, № 3, с. 43-46.

5. Galloway D., Frlsch 0., Dynamo action in family of flows with chaotic streamlines. Geophys. Aetrophys. Fluid Dynamics, v. 31, Ho. 1, 53-35-

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основной результат состоит в построении первых двух членов приближенной фазы квазиклассических собственных функций задачи о магнитных модах, просчитанной в вычислительных экспериментах.

Приложения. Работа косит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории квазиклассических приближенных решений дифференциальных уравнений и в некоторых задачах магнитной гидродинамики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре под руководством Н.Н.Нехорошева в МГУ, на международной конференции "Дифференциальные уравнения и юс приложения" / Москва, МГУ, 1988 г./, на международной конференции "Магнитное динамо и динамические системы" / Франция, Ницца, 1989 г./, на конференции молодых ученых МГУ / 1990 г./.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в двух работах, сданных в печать.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, включающего 29 наименований. Объем диссертации - 104 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приводится краткий обзор работ по изучаемой теме, обосновывается постановка задачи, приводятся необходимые определения и формулируются основные результаты

диссертации.

Пусть £ £ Т Т 5 _ трехмерный тор, F ~

вектор-функния.

Огще^еление. Квазиклассическим формальным решением уравнения

XF-lV.P (2)

где ^V, Pj - скобки Ли полей V и F , JL-^-í, Д-оператор Лапласа, называется асимптотический ряд

$(X,JU)

Р (X,jc) = е * ё f? 4j(x),

где $ Т3 "LOJl-^U, «fj :ТЭ "R3 , удовлетворяющий уравнению (2).

Определение. Назовем вектор-функцию

fi)

F(ac.yt) » Ч(х) е J*- (з)

приближенным с точностью до ^ ^J^ ) квазиклассическим решением задачи (2) , если F удовлетворяет уравнению (2) с точностью до £}(Jff"), jjí -* О , где cL > О - некоторое число.

Определение. Будем говорить, что квазимода F сосредоточена в окрестности множэства D , если = и существуют такие С , К > 0 , что

Ке £(*) * - С JD* э

где р= ¿istia:,D).

Основной результат диссертации - построение приближен-

ной фазы приближенного квазиклассического реше-

ния (з) с точностью до О(ф) г^—^О, в окрестности инвариантной кривой Р = ^хеТ3: векторного поля V.

В первом параграфе первой главы изучается поведение поля скоростей \/(Зе) в окрестности кривой Р . Кривая О состоит из двух особых точек поля V (X) и траекторий, соединяющих эти точки.

Во втором параграфе первой главы доказывается следующая теорема.

Теорема 0.2 Пусть

является квазигаассическим формальным решением уравнения (2) , сосредоточенным в окрестности кривой Р , и Л. = ^ 0 , где А € С , Не А >0 . Тогда X = О .

В связи с этим в дальнейшем будем предполагать, что . Во второй главе построена приближенная функция с помощью вещественного ростка.

тг,21г

Определение^. Пусть яа !К задана симплектическая структура СО^ = с1р а^Ж.. Многообразие Л<- К, * называется изотропным, если сужение СО2 | ^ обращается в нуль. Изот-ропно9 многообразие максимальной размерности называют лагран-жевым.

Определение. Пусть , о;г= ¿рл^ гамильтоно-

ва система с гамильгоновым потоком . Вещественным

и.

ростком Г на изотропном, инвариантном относительно гамиль-тонова потока ^ц , многообразии X, называется отображение Г : '' Г^СУТЬ)

, сопоставляющее каждой точке ууьС Л Л- мерное вещественное подпространство (-плоскость) ¡г*' ( т^)

пространства Т^ 1R. ^ , касательного к ^pi3c в точке юг. , обладающее следующими свойствами.

а) Плоскость Г^т-) содержит касательную к JL плоскость Т^, X .

б) Латрангкевость каждой плоскости г1*" : для

2.Н

всяких ^ , 2 кососкалярное произведение в

ъ,

индуцированное симллектической структурой СО , обращается в нуль - = 0 .

в) Диссипативность ростка. Пусть (tt,U) - координаты в R л , уп с л , индуцированные координатами Ср,зс' из . Тогда для любых ииСХ и rn(m), V {<i,V), выполняется неравенство

2Z iLLVс .

г) Инвариантность ростка (иг-) . Для любого и имеет место равенство

где ~ производа^ фазового потока ^

гамильтоновой системы в точке ууо

Лемма. Функция

из квазиклассического приближенного решения (з) является решением уравнения Гамильтона-Якоби

i (4)

С уравнением (4) связана система Гамильтона с гамильтонианом

Н(р,х) = - (VW, р),

g Q

где ( р,®) £ IR-p ^ - координаты в фазовом пространстве TR-^ ^,

индуцированные координатам! [зс| . Пусть - орто-

гональная система координат в с одной осью вдоль 1)

и с началом в особой точке х = ^ , и = 1, 2, 3, поля V (¡к) . Обозначим через (р,^) координаты в ,

индуцированные координатами и связанные с (р,сс)

симплектическим преобразованием.

Теорема 0.3 Поле плоскостей -5С(-5С,

где С I ел

<0,0,0, Ь,0,0) í £

Ь*{о,о,£1(ь),о,о,<\ »ЛсеЯ,

является инвариантным вещественным ростком на инвариантном многообразии ^ , отвечающем гамильтоновой системе с Функцией Гамильтона

И(р,^) = .

С помощью теоремы 0.3 получаем приближенное решение уравнения (4). Существенно новым здесь является преодоление трудностей, связанных с наличием особых точек на «£ Основным результатом второй главы является

Теорема 0.4 а) Пусть вектор-функция

ш

е. * , где у(ТЪ , ¥ $

, при

и У (Ц) - ограниченная вектор-функция такая, что

Цу^НАл^^^К-Х^ С0Г, (6)

где 4 = Ь , ^»сЫ^, Р),

Тогда Г (удовлетворяет уравнению (2) с точностью до 0 ( ^с) ,

б) Приближенное квазиклассическое решение ^и-)

сосредоточено в окрестности кривой Т> при 6 ( '.^'Й, где Ь >0 - произвольное фиксированное.

Заметим, что по •$ функция на

полномерном торе < ро ■ 4 е , негладкая:

В третьей главе построим периодическую приближенную фазу $ ^«Р'уО 6 ^ квазимод (з) с условиями

Я « (7)

для поля скоростей

При = получим линеаризацию в окрест-

ности 13 поля скоростей (1) в ^ -координатах.

Сформулируем основной результат третьей главы. Теорема 0.6 Пусть .

Положим $ та0

о»

и второй член приближения ^ имеет вид

Функции $ + (Ц^ , С+ и константы С^ ь определены через

- 8 -

следующие выражения:

* 77Т^сй<аК) + 1Ш ф^Щ •

где Г~ 1

Пусть вектор-функция ^ ( ^ удовлетворяет уравнению первого порядка по ^ :

ирЦ-Ь-щ.-У-0.

™ /г? - О

В - -Г

V-(¡,г- (

Тогда вектор-функция Р является приближенным с точностью до

решением задачи (2), сосредоточенным в окрестности кривой О

Замечание. Пусть |£ С - любая нечетная функция, такая что

('(¡¡<) + * о , 1

для некоторой С- > 0 г где

Тогда Р будет приближенным с точностью до О(^) решением задачи (2), сосредоточенным в окрестности

радиуса ß < с 1J? , с > О , кривой Р , с полем скоростей (8).

В заключение автор выражает благодарность своему научному руководителю Нехорошеву H.H. за постановку задачи, внимание и помощь в работе.

РАБОТЫ АВТОРА. ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИЙ

1. Мартинес Оливе В. Квазиклассические собственные функции задачи о магнитном динамо. В сб.: Труды международной конференции по дифференциальным уравнениям. 1988, МГУ. В печати.

2. Мартинес Оливе В. О приближенном решении одного уравнения Гамильтона-Якоби в окрестности инвариантной для соответствующей гамильтоновой системы окружности с особыми точками. В сб.: Геометрические и алгебраические методы в нелинейных уравнениях. И., МГУ, 1989. В печати.