Квазимногообразия и предмногообразия представлений групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

московский педагогический государственный университет имени в. и. ленина

Специализированный совет К 113.08.18

Па правах рукописи МАТВЕЕВ Александр Александрович

УДК 5Î2.547

КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ И ПРЕДМНОГООБРАЗИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации иа соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

■ /

Москва 1990

Работа выполнена в Рижском ордена Трудового Красного Знамени политехническом институте.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ПЛОТКИН Б. И.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ШЕВРИН Л. II

кандидат физико-математических наук, доцент КРАСИЛЬНИКОВ А. И.

Ведущая организация — Ленинградский государственный педагогический институт имени А. И. Герцена.

Защита состоится ......................................в час.

в аудитории 301 па заседании специализированного совета К 113.08.18 по присуждению ученой степени кандидата паук в Московском педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина, по адресу: 107140, Москва, Давыдовский пер., 4, МП ГУ им. В. И. Ленина.

' С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ имени В. И. Ленина (119435, Москва, Малая Пироговская, 1, МПГУ имени В. И. Ленина).

Автореферат разослан «..*?.$...» . ..... 1!Ю0 г.

Ученый ссщштар^ специализированного совета [ / КАРАСЕВ Г. А.

указанной А. Н. Федоровым^ при решении аналогичной задачи для нвазимногообразий абстрактных групп. С этой целью ка „таьие квазитоздеств представлений групп приводится описание строения Э£-корадикальной функции от произвольного представления по квазишогообразгео % представлений групп,

ТЕОРйАА. 1.3. Пусть { ( а1) I ¿<ьХ ^ - совокупность всех квазитовдеств, истинных в кваэимногообразии Эс . Тогда

для лпбого представления его 3: -корадикал. С

и ■ \

сойтоит ко всех значений слов н£- при тех гомоморфизмах

(V, Р)-—. (А,С )> которые аннулируют ^ . Исходя из этл'о, квазитождества произведения квазжиого-"бразий представлений гр>гш получаются как суперпозиция к^а-зитождестз сомножителей (теорема 1.4).

В § 2 диссертации изучается полугруппа ьзазимюгообра-зий представлёний групп над произвольным полем. Кзазимногооб-разие представлений групп называется ограниченна Осса-зимно-гообразием с тождеством), если порожденное ш многообразие не является классом всех представлений групп. Кзазимногообразне называется вполне разложимым, если оно раскладывается в произведение конечного числа' неразложимых квазимногообразиП. Построзни нетривиальные протеры иломпотен-тшх и, следователь" по, но являющихся вполне разложимыми, квазикногосбразпй представлений групп. Таковым будет, например, квазимногсс-брлзи з представлений групп, задаваемое набором квазиш-гдастг.

уо -=>. С*--1)-о , /.2,...

О локально конечных к»а.з?й:ног')о5| 'чмж а Е'.ШТИ Г

П О?доро:) Л.Н. Г;- пч//"'^. -соиио.ь доп.

Основным результатом этого параграфа является

ТЕОРЕМА 2.1. Над любым полем полугруппа вполне разложимых квазишогообразий представлений групп свободна.

Отметим, что эгсЯг результат идет дальше соотьетствутсщих '' результатов для квазишогообразий абстрактных групп. А.Ю.Ольшанским^ в Коуровской тетради был поставлен вопрос о том, будет ли полугруппа ограниченных квазишогообразий групп свободна (каждое ограниченное квазимногообразие является вполне разложимым). А.Н.Шедоров^ получил частичное решение этой за-дачи7 однако в общей случае для групп этот вопрос пока остается открытым.

В § 3 главы I изучаются операции на квазимногообразиях представлений групп,'вытекающие из связей квазишогообразий представлений с квазймногообразияш абстрактных групп. Э'^о операции и -.со" ; для заданного класса

представлений групп и класса групп @ через 3. * О обозначается класс всех представлений ('^¡Ск') , У которых в С есть нормальная подгруппа Н такая, что (^н)<= ЭГ и %еб)', , через обозначается класс всех представлений (Ч^ для .

которых ^/кек. Доказывается (предложение 3.1), что

если 3: ' есть квазкшогообразиз представлений груш, а 0 -многообразие групп, то класс ОТ*© является ивазишогообраск-еы представлений групп. 'Теорема. 3.3 описдоает кгазитоздвства квазимногообразия по'квазитовдестваы кваз^югообра-

зия ЭГ и тождествам многообразия групп . Оперсасш .х*

-^Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп).с-' Новосибирск.- 1982.- Вып. 8.- 55 с.

^Федоров А.Н. О произведениях квазшногообразий групп// Изв. ВУЗов. Математика. -' 1987.- 1Р I.- С. 41-48.

показывает, что полугруппа групповых многообразий ^ естественный образом действует в полугруппа О квазимногообразий представлений групп: проверяется (предложение 3.4), что задает представление полугруппы Л/ в качества полугруппы эндоморфизмов полугруппы О . В отличие от известного результата для многообразий представлений груш, доказано, что кчасс представлений (и вообще, <3* х О для любого л ) не • является квазгавгогообразием представлений груш при тобой квазимногообразии: <[(9 многообразии) групп О . В связи с этим описано строение максимальных квазимногообразий в для некоторых нвазишогообразий групп & .

§ 4. посвящен изучению квазимногообразий представлений групп, задавае'шх квазитождествами вида

I) «О' у» ^"1-!)^. . Эти квазимгагообрззия дают многочисленные примеры квазимкого-образий представлений груш как элементов полугруппи О : идешотентных, неразложимых. Так, из полученных результатов следует, в частности, что над полем характеристики р ква-зигаюгообразпе представлений групп, определяемое квазитоздес- , ТЕСМ

О*0"-^ =0 -4»

керазлояшо. _ '

В главе П изучается полугруппа предмногообразий 9 представлений групп над произвольным полем К, Иссле-

дование этой полугруппи било впервые начато в работе С.М.Вов-сп^. Полугруппа предмногообразий. представлений групп даеот'

^Еогсп СЛ.!. Полугруппа предмногообразий линейных представлений групп // Гаг. сб.- 1974.- т. 93.- Я 3.- С. 405-421.

ряд свойств; упомянем здесь только два из них:

Г—ч

(а) полугруппа У замкнута относительно бесконечных произведений предмногообразий представлений груш;

(б) каждое многообразие представлений групп является предмногообраэием и множество всех многообразий представлений групп над К образует•подполугруппу в ^ ,

Абстрактное строение полугруппы многообразий

м полностью описывается следующей теоремой*^ (которая аналогична хорошо известной теореме НейлаиовЧНмелькина):

м есть свободная полугруппа ранга та.х(1&[, где $ - поле действительных чисел.' Строение полугруппы ^ сравнительно более сложное. Во-первых, & 'является, классом, а не множеством. Во-вторых, в О3 'имеются идемпотенгы, приводящие к различного рода "сокращениям", "поглощениям" й другим "плохим соотношениям" в ^ . Наконец, полугруппа предмногообразий представлений групп но порождается своими неразложимыми элементам. Все с™" показывает, что проблема описания абстрактного строения г «ту-грушы

практически неразрешима,. Поэтому возможно о кидать получение абстрактного описания лишь некоторых подполугрупп п 5я , Один результат такого рода был получен ранее''"'*: подполугруппа В 9 , порожденная неразлокиммли цредмногооб-разиши представлений групп, свободна. Глава П продолжает пс-

^Плоткпн Б.й., Гринберг А.С, 0 грлу группах нногообуплий о|н.'1п:1[1шк с, гцюдеп'аглениямн групп // Сиб, мат. жури.-"1С'7У, - ■ Т. 1П,- Л, - С. 841-0X3,

" 'В-иои 0. ,1. 'грбугольинб ■ п.оимврдршин, Ирсд'. ио1Ч'ю«>| .смс и ¡--д. ;и и;ь!Г:1 - кппсси л;;яеЙш*; т'нпч ггупп ,7 ,!ЛН '' ,;и\

т. 1.-е. ¡г.хг..

следование строения полугруппы ЯР . В § 5 рассматривается вопрос о том, может ли ^бесконечное произведение предмного-образий .представлений групп быть вполне разложимым (т.е. раскладываться в произведение конечного числа-неразложимых пред-многообразий). Из полученных результатов следует, что имеется сколь угодно много неидемпотентных предмногообразий представлений групп, не являкщихся вполне разложимыми: совокупность таких предмногообразий не образует множества.

Так как неразложимые элементы любой полугруппы являются, в некотором смысле,.ее "простейшими" элементами, можно сказать, что полугруппа ^ есть подполугруппа, порожденная простай-шими элементами в ^ , Обозначим далее через подполугруппу в ^ , порожденную'Колее сложными" элемента!®, а именно, идемпотентными предмного.образиями. В § 6 изучается строение полугруппы и дается ее полное описание в терминах обра-

зующих' и определяжцих соотношений. В частности, если исходнш идомпотенты попарно несравнимы по включению, то получаем

СЛЕДСТВИЕ 6.3. Полугруппа, породненная произвольна! набором несравнимых идемпотентов, есть свободное произведения <$д-нозлементшлх полугрупп.

Это следствие параллельно основному результату, раоотм В.Б.Левдера^ о прод^чогЬобразгозгх рзгедаис. Оггтезш,, что в нагой случае доказательно еуцостгснтго процр-.

'■Ъг.гш'л пр~дп:;огообраяцц ргздтгаБлзннй групп позволяет '! с'с.т' и сС.~хъ1 пспшгиЛ гг<у...од;:гь - яселбдокшта нрг.оюрпк на-задач тсорш прпделглений, пртет та;; ют пигсз

вендор В.З. 06 улюге;:-.! пр^гогообртзвй структур // ■ ПссЛ'.у-рпипп-'пэ_ссгрс::синои елгэбро. - Сг^дплеск,- К8Г,-г, г/.;-7а.

не связанные с рассматриваемыми вопросами, но иыашраш прило-кения в теории групп. § 1 посвящен одной из таких задач. Речь идет об отображении ЭГ ь» ЗС : для любого класса 3F представлений групп через ' ЭГ обозначается класс всех групп, допускающих точное представление в зг . Рассматривается задача: монет ли для некоторого нвидеыпотентного п редоно го о браз ия 11 представлений групп последовательность зслаосов групп

ЭГ С -ЗСг «Г - SS ЭГ* с а^1 с ... (I)

стабилизироваться на некотором месте с< ? Не вдаваясь здесь в подробности, отметим, что атот вопрос имеет отношение к задаче о существовании терминалов б группах. Основным результатом § 7 является

ТЕОРЕМА 7.1. Последовательность классов групп (I) не стабилизируется в каждом из следующих случаев:

1) Основное поле К имеет простую характеристику и прод-шогообразие . -ЭГ является ограниченным, т.е. удовлетворяет некоторому нетривиальному тождеству,

2) Предмногообразиэ 3: удовлетворяет так. называемому . "груЬповому" тождеству, т.е. тождеству вида -f-d. , где >f -элемент свободной группы. :

Из этой теоремы в качестве следствия получается решения одной задачи теории многообразий представлений групп^ в простой характеристике. - ..

■^Илоткин Б.И, - Многообразия представлений групп // Успехи ма/ем. иа"к.- ГЭ?7.- Т. 32.- !>' 5.- С. 3-68.

н

Глава Ш диссертации посвящена изучению предмного-образий представлений групп, облздаюних теми или иными свойствами локальности. Бри этом предмногообразие представлений групп называется локальным, если из того, что все конечно по-роядекные подпредставления некоторого представления принадлежат" 36 , следует, что ОЛСЗ^ЗГ. Естественно вводится и понятие ^-локального предмногообразия для любого кар- ■ динального числа и* . Локальные предмногообразия представлений групп могут быть охарактеризованы импликациями бесконечной длины и, следовательно, наряда' с квазимногообразиями представлений групп, они также являются аксиоматизируемыми классами представлений групп. Об этом говорят следующие результаты, доказанные в § 9.

ТЕОРЕМА 9.Г, Всякое Н-локальное предмногообразие представлений групп является «ад ( п>7 ) -импликативным классом представлений.

ТЕОРЕМА 9.3. Класс представлений групп является локальным предмногообразием тогда и только тогда, когда он определяется импликациями от конечного числа переменных.

В § 10 рассматриваются'замкнутые (= идемпотентные) локальные предмногообразия представлений груш. Доказывается, . что каждое замкнутое локальное предмногообразие ЗГ •является сзпозашскутым, т.е. для каждого со бсгвенного подпредмногообра-гл;я из ЭГ его замыкание ^ такие является собствен-нш подяредшогсобразием в л" , В качестве следствия .отсюда получаем, что "решетка замкнутых подпредкпогообразий в таком . не имеет коатомов и содержит цепи произвольной бесконечной длины. .

• В § II исследуются локальные- свойства бесконечных степеней многообразий представлений груш. доказывается, что для

№

любого многообразия ЭС представлений групп предмногообра-зие ЗС^ , где - бесконечный ординал, является Н--ло-кальным для , но не является М-локальннм. В

то же время показано, что замыкание ЭС = U ЭС* многообразия- является счетно-локальным предмногообразием представлений групп.

Полученные в 10 - II результаты в основном аналогичны соответствующим результатам для несколько иных объектов, а именно, для радикальных классов представлений групп Отметим, что подход к исследованию преданогообразий представлений групп, основанный на идее локальности, позволяет строить пред-многообразия представлений групп с дополнительными'свойствами.

. В заключении автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Б.И.Плоткину за постановку задач и внимание к работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ I, Матвеев Ал.А. О полугруппе предмногообразий решеточно упорядоченных групп // Латв. мат. ежегодник,- 1986.г Вып. 30.-С. 131-135. • -

.2. Матвеев Ал.А, 0 полугруппе предмногообразий представлений групп // XIX Всесоюзная алгебраическая конф. Тезисы докладов.- Львов, 1987.- Т. 2.- С, 180-182.

3. Матвеев Ал.А. Локальные предмногообравия представлений групп //Риж. политехи, ин-т.- Рига, 1983.-14 с. (Рукопись деп. ,в ЛатШШТИ 23.09.88 йм 140-Ла),

^^Vovsl S.U. Local radicals In group ropreseiitatioaa // Сосшип. In Algebra.- I9ß5.~ V.I3.- 116.- I'. 1527-1357,

4. Матвеев Ал. А. О полугруппе иредмпогообразий представлений групп // Латв. мат. ежегодник. — 1989. — Вып. 33.— С. 92-98.

5. Матвеев Ал. А. О квазимногообразиях представлений групп // Изв. ВУЗов. Математика. — 1990.

6. Матвеев Ал. А. Степени предмногообразнй и точные представления групп // Международная конф. по алгебре. Тезисы докладов. — Новосибирск. — 1989. — Т. 3. — С. 35.

7. Вовси С. М., Матвеев Ал. А. Относительные радикалы п корадикалы мультиоператорных групп//Алгебра и дискретная математика. — Рига, 1984. — С. 27—32.

8. Вовсп С. М., Матвеев Ал. А. Некоторые подполугруппы в полугруппе предмногообразнй представлений групп // V Все-союзн. школа по теории многообразии алгебраических систем. Тезисы докладов. — Барнаул, 1988. — С. 17—19.

Поди, к иеч. ll.io.iK). ()Г>-Ш1 (),?£> п, Л. йа««:) 'Тирги: 100

Типография МИГУ в.«, П. И, Лркшм