Квазимногообразия коммутативных луп муфанг тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РОСМЯСШ АКДДЕШ HASH СИБИРСКОЕ ОТДЛЕННЕ ШСТНТЭТ МТШТИП

Специализировали** свявт Д 002.23.61

' 11а правах рвкопясв

Ї’РС'Ї ВЙСШИЙ H3S30BH4

!1ДИ 012.57:312.ПО КВвЭИШГбПВРЛЗЙЗ ШМЯтИВВН лзп мзмвг 01.01.С9 - гпгслтичсская логика, авгебран теория чисел

(I в т о м И Р а т диссертация па соискание вчмо* степени кандидата фязккЪ-иатекатвскихкади

Работа внлолнена в Новосибирска* государственной деомрсататв и Кивиневскои поаитвкничесиои института -

Научние руководителя: кандидат фюнко-матенатячаскмх нацк,

доцент В.А. Горбунов ,

кандидат #иэнко-иатенат*ческах раук, доцент . Н.М. Сандд .

Офнциалыше оппонент*: доктор *изнко-натенат*ческ*х наук,

профессор С.С. Гончаров .

- ^

кандидат #ианко-катеиатнческвх наук, доцент' А.Д. больбот ■ . ' •

Ведудее ичеревдение: Красноярский государственный

университет . •

Задита состоится "Ц" декабря 1992 г. в /& часов на заседании специализированного совета Д 002.23.01 в Ннститц' математики СО РОК по адресу: 030090, Новосибирск-90, Упивера тетский проспект, 4,

. С диссертацией мовно ознакомиться в библиотеке Ннститц математики СО РАН. .

Автореферат разослан " ноябре 1992 г.

Ученный сенретарь специализированного совета Д 002.23.0 кандидат фиаико-иатвиатических наук

• ' -I -

В.Г. Скосврсия

. - 3 - .

г •

Основи теория шшиштгообразий алгебраических систем Сник задаясшш А.Н. Иальцсгша [1,21. В настоящее время зто интенсивно разоиппЕцаяса область ушшерсалышх алгебр, ииеицаа глубокие связи с математической я логический прогрзмшіроваїшеи.

Наиболее известной проблемой теории кпазгаишгообразий имя-. атся проблема Пиркгаоа-Иальцспа Сек,[4, 31) об описании класса всех решеток кпазшшогпабразий. Значительный прогресс в рсаении атой проблеми сдалац a.ft. Горбдиовиа и tro цченикаын В.И. Та-изнозка, П.П. Тропитш, К.В. йдарпчовой £см.15,7,8,9,10]).

Другой аакиой прибивной теории кваз5Шногообразі;й ЯБяязтса промчана ОПНС.1ПІІН дяг'Пп, инегдах конечний {независимый) базис нпс/лпоадсстп. К паї,времени проблема копвчиай базируз-масти полностью ренета дяя иопо’ших групп Cfl.U. Ольватгсняй till) и конечних ассо«:«п7:<.аних колец (В.П. Боякии [13]). П’.ггпц-ци [141 докаячл сщгстпояание конечного базиса кваэитоядссгп для конечно поррпді>і;.иг< пігрці.ііц-днстрибутіїь'ішх тштшогсоб-разиЛ, Я.II. Квсцеш’чА f ’ П3 описал пса З-зленеитішо унарніїо алгебри, имекідос irmiPM’itr'i 'ызнс кпазитосдсств. Нсрочй ирпнпп кпа-аншшгоойразии tл->»р<-..і/;міі'з.ї гоночной алгойрай), по и'гзяяого гш-зааиезшпго базиса .;аг<-ізта*д<2ст0, бил построен В.fi. I орбуноп-;;» [flj, Сейчас такие гринирн известии п класса групп СП.И. Зедараи £101), ренетск (D.H. Тцианоп ЇІ71, дистрибутивних р-алгебр и пезидобалопих алгейп СНлГ. Трошш £101). •

В кастоацей диссертации эти гс проблеми нсследцвтя d классе коаыцгатишгих луп Mmjaur (кратко КЛН).

Теория НЛУ к настсяцону праыеш: язляется одной на наиболее глубоких и тонких областей обчоД тооріш квазигрупп;к луп. Она представляет такас бользаД интерес о силу шюгочнсясшшх связей с дрогяаи ойяастяііи: недезарговаии плоскоетянн;. кубическими

Зорнаки, дистрибутиоиини квазигруппами, гриппами Айвора, трои-іпіші системами Холла Сек., иапрниер , обзор Баиотд (19) , Сайта [20]. нонографнн В.Д. Ослсцсова [23], D.H. Ианина [241, Брака 1231).

Ящга Нуфанг возникли в 30-х годах при исследовании иедеэар-гоаах плоскостей [251. Сааа Мц®апг тогда я« доказала осиошіуо

•£■ ' . . • теореиу о таких лупах: в лупе Пцфанг лхбис *за элсиски порс8-даот ассоцнативнцв подлупи- Теория КЛЕ началась в 1036 годи построение!: Цесенхаузоц первых примеров КЛН и испьльаовашши-Полой для изучения геометрического обькта (сети). .

В 40-х годах ШШ интенсивно изучалась в рабигак-Брака н его учеников. Основные результаты, подученные ииа, излегчиа в ио-нографии брака [261. Здесь содервится к гшлиай инстрционт «с-следоьания ИЛИ - теорена Орака-Слзбн: 51Л8 с. и ойр&зищщх цыШ-рально чияыюыанШиа с&упаш не, й&я.ге, п-1, Док.кгатсяьстиз атего утверадення очень громоздкое, оно основано ка офшь слизли). нл-дуитнвноы прогресс и использует несколько сотой меассацканоШаХ тождеств. В £241 В.И. Иашш гругшозщн! цетодеж доказш; йаг.ав слабое утпсрпясиис: конечная НЛП периода три центрально пк-ьпи-тентиа (его доказательство котя н иенсс вичисидтсльиос, на у.а-' депо но простоо и использует, такне глубокие оглтл 1.2 .-саран ко-ничнкх групп, как тсорзин Врауара-Сузуи: а Тоапснша-Опйта*. 0т-ывтиы такие, что совсем недавно Сиитоц 1201 получено дпеаздиа простое доказательство этого результата.

Теперь ' кратко опквеи некоторие Беаше результату па тсарим КЛН, получешша п последнее вренс, не затрагивая ш: сиазк *с другкын иатеиат.чческнин объектами (дцстркбцтншшс киазпгрцппн, СН-коазигрупппи, группи Ошзера н др.). Нда^ось доказать, что точна!! оеркная грань ступени нильпотентности ИЛИ с п ойразцзцп-Ш1 раина п-1 (Схнт, [21]); Пальба, [271; Сенегу. (2С1).

tl.ll. Санду [301 изучил КЛН с разлнчншш условшшн конечное-Ти. Доказал, что'и КПП условия иоксицольности .(ш:нишш>исстн) для подлуп, для норнаяышк подлуп, для ииассафштшшшс подлуп, . для центрально ияльпотептшие (центрально разревнних) падлуа, для ассоциатненик подлуп эквивалент::. Ноказанпо таксе, что конечно пороЕдетше КПП являнтся падаряииии прсизоедскнаии коночной 3-лупы н конечно поракденной абелевой групнн, что сводит в некоторой скисло теории конечно поровдошшк КЛН с теории коночных 3-Ш.

Изучалось строение иеассоцкапнших КЛН порядка 3 иибольвиг классов. Давно било нзиестио, что о классе централыш-шмьпо-тентностн 2 порядок конечной КЛН делится на С1. Сучесгвует роп-

по дпо КЛН порядка 01 класса 2, а аинияальиап липа класса 3 пзест г.орада;: 6561 (Бснотц, [23]). Порздок нишисальной лапы .чласса 4 и-о Г1апги 3 (Зяюсацри, С331). .

3 послсянса 3.1СКЯ .’штеясизио азцчантся зазяичнае ‘ “хаайшга-7'?5-,::;аа ида>::1.' Таи 5а:п 122) установил лпбопиггщв связь нсглд ;‘'Л:ср;гоот.т:;:1 ссшоров (тс олсмеитарныя абелевюг 3-групп) з дзсйодкой с п об^азуп^ки:! :! Зессеязшпш фзнкцнааи. 3 Г311 Л Л. ->.иду лояазал чгобгюгдаое :з дастато»аов дсдввив,. двгда ло.тглс’сссгзз етлоситпльлз ■лзабадаоЗ ’(Я!! • саободно поросдас? язсЯодтза лл/улпщ:. '

3 13-11 '!:,глс пзизс-зл ^апе'пгзть .Зззкса тождеств- ^югоой^а-лс'итпрзмгз г:оио»п10 пгропдСгшоЗ 'Ш, а э 122] Л.:1. Саидо тлст'пнл ”5::чс? ’?ГЛ а ^зсяопсчгдз! лзззлас^п -Зсзасоя тоздеств. ;7«зда сл-зд^от з’пзстзозшт зклзядзза разл:га:т заогсс'-'заззЗ 'Ш л порзз>:п:п:зс7?> п?з1гсз:! слои з МП. . •.

Ло :пс73Л'12Г0 юс*п:г;, 'л '1?л:г:п зт 7зо?:тл- ^зогооЙ:з2з:::т Ш» зспзсса яз 73орг„ч га.'яг&згоэЗрэзгЗ ГСО из 5зс:;ат?::ззг:хсь, 0 •Язгакй Д-чссг^хс:’:::! згдолпзэтся отот з?о*1пл. Т ягассз ГСЛП зсшг-Л"Л7ся п?.-з^зз^:1 т-злзп::лз згпз. • ’

3 йзссир-’зг;::! пз::у1:::::л с.:з;;*:.зс:гзз;:зз.ззза~ь7П7и:

■ - пкх!1^.'~-.псСЛа юротЛгннзй ЖЛ I. егз£Т

"л 5?с2в и На:*;» :Ьо£Ь, £ - йснугкзл в^плз;

- йЗсд^з-гЗгсЙ® оЙслйЗ» сЛо5з2пзй й£3 шзгД :• Зееяокзшай ггвзгЗ«ш-'йй 52-зйс. д^^ЬгЗзс^З-;

., - йяя-»1г2г2? гэкувоэЗре-зад ^1£Ш ргсз^яс 2а& кг етийиузлймз

лШо гоягс^чо, изтзл яснв/яя 5эъ£з о Сздшу Оиш, кмба ТТГ пэ-ЗвгЗсг^Зья хяизятй гууз&Х . ' •

- пргйо2и2&я ой&сиЕ&д&яэ сЗово&эД. (яэгмгляй) ЯШ,

.. .х&ззиС7«3сс23з йзй?,?эй /га есзаЗ п?1сЗисиххй 5со?с*; -

- & аюжобрззия Я1' *&Ш Зез- *туян рина©^- оърокшгл^яры^ Е&гВй а Гадыи? й>еЗз , ЯЕигйз Я2 пдозЗггЗ&з/лоогакгЗ .оруяпаа-,

йса аах^епжзо роадза»атз годотгса.-еоазта п ксгпт1 таорвтв-ческяа 32?е:пс? . Розилъта7гз забэто деваадавшззс&.на Зепя^нэрод-пой взвззрсздзп тг:> озгедрз а иатопатачзсяоа догнив гшпатп й.М. Внраоза, из сеаазераз *8дгеЗ?а а догкка*. “аягеврайчзсккп скс-788“. "Тоорш рвттси" Яозасвбирсвого дншзврснтота ш № СО РАН,

- о -

на сеиинаре по теории квазигрупп ИМ с ВЦ АП РИ.

По теие диссертации опубликовано 0 райаї.

Диссертации состоит из пводония, чегирох глав, списка цитируешь литературы. вклвчаичей 54 нацкшюааши. н зетшасг ?1 страницу.

Перейден и белее подробному шппяппиа дпсеиртацш.

Глава 1 ішеат нодгвтивитсяьний характер. й кой даш нее иг;— ойкодшшв определений и результат::.

Глава 2 посватана научи;;;-.; базиса і:г.аані№Г.ссгс ііопочііо па-роиденнвй ШШ. Согласии той,.;': ;: Паснш (.341, .ігийпч винзады по-раидешгад КЙН »:исет коас-:'-л^іїс ип.ч<.ст«, іі::я і:паїіігі,?.}'і.сгсі ситуации авяішгсг почти ирг,* , .

ТЕОРЕііГі 2.‘і. рси:5Іо,чіікґ.г.іищт.Рй'ии. УуЗ і. і»; л.'-цсифИ' і:оиі/та, і, і.:і~іии..-.'.І гХу'іи-

іїжііасйі ой иОП2тю'Л;' ї.ни:1;. ..

Отсюда гл-шг.нтси оскаг.яи£ раацыдзг -Д.

‘ ТЕ01»Р.ЙЙ ?.,ї. :2ацжиЛ::.сП!<, :^:и> = !о г. Г.’Л,’;

.:аіітііі.ій си-іиї .“з&зс. а ...'"-лЗ", ,, ■■

2 :іі!ЧСГТіК. СЛЄД«Л;.аЗ а'і і', і-'. "Т !';Н'Л'Г \ = - і, -'.К;

часи. п\т иїїочіч. попї-У.Іі'’ і. 'л::.,,...

-і,' *Ла']іи.;з.::иг.сіі^. ~.1сі ік:"!:;;-

'І' І, - іс:л ■ ■

'■ •’ іМС', * 'НІ і;

.• речі'ьм ~-СС і'{£; і: :■ VII.* - \umDta спл/л':;зш:і£; *:-•<■яс

Ггсатяи, что зск&чиай >’п-на;:: гсл-чисш.»**' гй£*„;;.. ..г.&м :л :і н іі; їси. тлій.

Г>:£зиии ;^8ал!>їаго'і г*:Іі з&дагтсс *:і’ц дада ’> ; -с.:»;,

“я'^СРЕВЙ £.£, .,;<с.-7г, .і;:;.:.:-, ........ .ч.:. .• ;\уу.,

•Г2)Т. : і’і' «ижа*# '• гі\а^лііистйрс^і’- • йй*?«л;>-

‘ию&эазиб Ще•?. ,ч& іншії; ',.'^иОасак:а^ к-уиі /Л^>л^-^глС^ ,

!і>гйа .шбо 1' «ї ;К. >лйго *' : й.. .. -

3 «вчсствс сле,‘;сти::2 тиадчиек, *■:••</ лайас .*п,:м«.;«8лг»аа сіи-5одиаа НіШ гіулезий азепинеитк ї а частяастк, -^ечлапго

чаа і'ГіЦ) амст 6єскоіієчі>:іі'< «сзаснснии^ їпзпе >шсзигс>йосїи.

В главе 3 расснптриваогся шюгообразив 71г всех КЛИ ступени ггальпатснткости 2 и зкспапепти 3, т. 9. шгогпобразие, заданное з к. ассс всех !ШЦ токдествани

((х,у,2),и,ч) = 1, х3 = I. и_ _

Зпггетпи, '!то Д-, - лшгалыт конечное-, кногообразие. Иетрндко тлче'з прикпрнгь, что Т%2 - ш-ггшкальпоо яеассоцкатипнио ;лшго-ойрлзпи, а 'Т -■ й {- ккикыалькое пёассоцкатквиов хва-?:"люгос!5р:1з::а, гтвроядзнаос отнссателыго свободной ИМ /-” {ЯГ). а <■>£: лй(га^"”да{. • „ " “

■.•;г.,,.г..-.;га гшпвтаряа сяойвтоа яозот! Ьа1„(Д, ) полкзазн-•;:,п1,оп«;п,;2 ■.!! имшальпста аеасссдкатяваога ш!ог5об«зазп8 71* "ЛИ .г.? л а гай \!в?рлха яукегся подтгзэтг’огсайгдоко Г ~о-?'.!йдп(-г,и-.: '.кеппо.! .(!Г1, ипорал ощспж? впцгзют щзвхтглх

гч глзгздак кеза&лсггзЗ глаагаг-звстп

^ [,г';:-з Л.'1п .и:г':;-:а \;ош ;5«3’1.п&тата

Г:1:> I --Л'.- УИ .огниЛ^:;гОго ;!Л;:,‘Г'М;а,________ -

.■'■■V,■'.:•} ■'?УМ. г; У, г;-":, .^'-гад ,4 1;.,-; Лт-

' '-.I. -Г;".--;.; ■.

V. . г;у:’5 •.« нззс<::иг.и

- V,:» 3 ’ : \ '* ---.

' ?','УУУ' Г. . ;:л -пскде'Зий &

V . _

V. л..'!-.7’г:"с< и-у.у3,12 ч ч-а-

'IV ' " , т

П 1 ;;5 ~'.2,

.. ‘-.тунг, М г-~ /Г-:-:. ?

•• • ! •хглгио';*;аз":Л -и?-

: : ■■ : -!

г" '.•п:;::::-’.. лтс'^.г -.г::'.... -та пгаг^т^сгз

V : ?:л'.';:г!С::'3 тог^а ■;г:гпп3

"1г;у: 1;::и си-з:.;г о:1й»чя:; '?ггг:п-

«I ;:яз:5с:даа2 к"^п:гг '.-;;пг;1Л г^тз£!*сзо^г1»^з’.1 ило-

п:;:1г;г;’!:п ь;гех гп^’ъ ^ ’.::1зг>пв?с;-;т;;г:з с..т.Л'игиэ

' ■ ' ' ■ - в - • ■

аппрокснкириемн. В главе 4 расскатркваптса аналогичные попроси для многообразия КЛН. Доказывается, что лвбоо цногоои'разие ИЛИ пороядается своиии конечными лцпаии (Творена 4.17). Используя эта теорсиц, од получки следивший результат §0. .

ТЕОРЕМА 4.19. 3 щоъоойрасиа Ж ?МВ £с& лупи $шиШио- апща>-ксшшрусхи ыхгйа а йоды» .йоъда, «оёйа 7П глроя£ае£зл шиутой еруппоа. .

!•», наконец, и последней параграфе доказана сдсдцЕ^ая ТЕСРЕИП *1.20. 3 песссоциаШийНом яюеоойрмзиц ( ;ькч<шюсо-айра$ии) Ш ТиШ £сс- (сойаГ&шиша.) поПк&с-зшаимсо<1рс']Ш1 л5л5Кййя мюеоойразияш ШосВа и Вомко- Езейа, аоейа Ш позоиВавЕва свободной. ШМ ранга и ' покаяаЯ&ла 2 ( соо£3сс£5 ешс», -ракеа 3 и покайашлл 3* ).

В заклвчонио евтор гараааот благодарность здкпведи-

теляи З.й. Горбцнов, П.П. Саиду са постановку яслач :: кокоць з работе, а таиае глцбоиуа признательность Д.У. Санрноза п !У1. Баяуцэ за совета и исесторошга содсряго.

- 9 -

Л !! Т Е Р А Т У Р А . .

• 1. ft.ll. Цадьцеп. Уішисуйальпа-аіссоаатнзлрцсшде подклагои локально-конечних классов моделей. -Счб. пат. п., т.О,II 0(1307), 1005-10147.

2. П.И. Мальцев. Несколько замечаний' о кпазианогообразиях алгебраических систем. -Алгебра к логика, т.О.Н 3(1908), 3-5.

3. П.!5. Мальцев. А некоторых пограничных вопросах алгебри и <мт(!1'ат"':оскс:1 логдген. -Труди Зекдлкародпого иатеиат/яшского Шігрр-сса чагекатіпіов (НоскзаЛ^ОЗ). Оир, 19G'J. 217-231.

4. Г.. ЕігїсІюГГ. Unlvcr,;~:l Algebra. Ргос, First С.-р-ЛІгп

Hath, Connrew. Montreal, of'Toronto Press, '^rcnto,

1310 (1343), p.310-323.

П. Й.Й. -Горицтш. 0 иоя'5п"гі'^птгоо(іразил. -Плгсбра ль, f-і;а. т. 13. !! :Г137П), 430-437. .

-В. В,ft. ГппЗцімв. си-: it рсноїіетх юкцм'иогоо'.' ізи? и • независимая .тг^п^атцзчруеиость. -Алгебра и лопшл, т.;0 . К 0 (1577), 507-!і4її. ‘ •

?. П.А. ropCiMW!.. П.", Tfjmiiion, Строе:п;<? рзспток кпазимно-гоп(?раз»й. -й к!.’;: Х’т’чягптосіпяг .*оп?ка п rsnpwa а-торнп/пв.. ... /Тр. ии-тп «ат. ПІ! Г.ІІ СССР, 198?.. 12-44. '

8. &.!!. Тумане?. Коиоч-шо дистрибцтшкшс рс”сті:-і квазккі:і.го-образїі'!, -Алгебра и логика, т.22, !і 2(1383), 100—131.

3. 1І.П. Тропки. Злоаішость свободной рспеткк п ренеткд ква-зншіогопОрїізнЗ дк'-туибцтішіпх пезеток с гісгвдодопояпепитш. -Алгебра н дошка, т.22, II 2(1903), 153-107.

10. 8.(1. Горбшюз, K.S. ґіДіірччопл. Строение кепочных реяеток :іівазйзпогообразнл. -Cud. иат. п., т.30, И 6(1909), 7-27.

(І. Л.0. ОльганскнА. Условна топдсства о конечных гриппах. -Сиб. иат. а., т.15, Н 0(1974), 1409-1413.

12. А.П. Одьчпнсккй. . "ногоойрпзна Qininrno апроксимирцоких групп. ПАИ СССР: Сер. нат., т.33, Н 4(1309), 315-927.

13. В.П. Болкші. Квазитоядвства конечних колец н ресоток.

-Алгебра и логика, т-. 17, R 3(1978), 247-259. -

14. 0. Plgozzi. Finite bases tlmorens for relatively congruence distributive quasivarieties. -Trans, floer. Hath. Soc., vol. 310, H 3(1908). 499-533.

15. H.II. E?eci(eimuft. Квазлтовдєства конечных уиаров. -Алгебра и логика. Т.2Й, Н 5(1989), 499-512.

16. ft.И. Федоров. О подквазшшогообразнях иильпотентиах uhiih-налышх неабелевих многообразий групп. -Снб. матсн. к., 1900, т.21. Н 36. 117-131.

17. В.У. Туманов. 0 конечных реіетках. не имєецих иезавцсыого базиса квазитохдеств, -кат. заметки, т.38, N6(1384), 025-633.

18. П.П. Тропин. 0 конечных псевдобуловых и топобудовых алгебрах, не нмепцих независиыого базиса квазитохдеств. -Алгебра и логика,т.27, N1(1988), 79-99.

19. 0. Chein, Ц.О. Pflugfelder, 3.Q.H. Salih. QuaSifiroupS and Loops: Thoory and applications. -Ueldernano Verlag Berlin, 1990.

20. 3.D.11. Snith, Coanutativo HoufangQ loops: Uto first GO yoars. - Algebras, Groups and Ceon., 1905, v.2, IS, p.203-324,

21. Л.И.1І. Scith. On the nilpotenco class m cosEutative lloufang loops. - Hath. Proc, Cassbridje' Phil. Sou.. 10713, 04,

)3, p.387-404.

22. 3.0.11, Saitli, A sccond дганнаг of .assnciators, -Hath. Proc. Caabrideo Phil. Soc. , 04, }3(1970), p.403-413. .

23. В.Д. Белоцсов. Осиовн теории ивазигрдаш к луп. -1І.: Иац-ка, 1972.

24. И.И. Папин. Кубические ©оркы. -М.: Иацка, 1372. ’

25. R,H. Bruck. A survey of binary systess. -Berlin -Ileidclbero - Nea York: Sprincer Uerlag, 1950.

26. R. Houfanc. Zur Struktur von fllternatlv Korpern. -liath. Ann., 1933,10, p.416-430.

27. G.-P, Ualbos. Sur la class dc nilpotcncc dos bauclejS coaautativos do Houfane et dec espaces aedlaux. - C. r. Scl., 1978, AB287, )9, 0691-0693.

20. L. Beneteau. Free coauutativs Moufang loops and anticoa-autlve graded rlncs. - 3. Algebra, іЗОО, 67, p.1-35, -

29. L. Bcnotoau. Ordre ninlnus deS boucles de Houfang ccanufca- tlvos de clafiSo 2 Crcsp.3), -Ann.Fac. scl. Toulouso Hath., 1981, З, H 1, p.73-88.

30. fl.!l. Саиду. 0 цеигральїіо-шльпатеїгїиах коцкутатявных луп ИуОшіг. -Пат. исследования. Кияішев, 1979, вып. Si, 145-153.

31. 11.И. Санди. Об относительно свободных когшутатквішх луп Муфакг. -Алгебра и логика, т.18, Н 2(1979), 194-20S.

32. И.И. Саядц. Бесноыечао иеприводнгаг снетева тоїдеств кал-

- It - • .

вдталвшж ««в Кмонг в приравнивав вваввгрвпв 1т»Виера. -Ш СССР: Сер. мвт., ■ 1C 1917), 17J-18B.

S3. M.Klkhoorf. Srdr* alalaal in kooela* da Noofaag coaauta-tlvas atlpotntu 4* clam 4. C. r, Acad, eel,, 198?, . Ser.l, 294. * 4. 191-1». ; V'. .

34. T. Evans. Identities aaJ lelatlon ln Coamtatlve Moufang Loopff. - J. Algebra, 1974, *.31, 308-313.

Работа ainpa ва таве диссертация

1. 5.1. Spey. О каззшшогеобраэия котутатизнш луп Ицинг.

-Сб. "Исследования во твоуаш бвварввх в п-арвах квазигрупп". Кмвмяаа: Итввыца, 1989» llt-122. . •

2. В.И. Зрей. О минича«ыт вваэвавогообразвах иоииутативних луп Муфакг ц дистрибутивах кваэвгрупа IteBaepa. -Иевдународная конференция по алгебре а иатеватическоВ логике, лосвещениаа па-иятв АЛ. 1првова (Варввзл, 20-29 августа 1991г..): теэ. докладов, Новосибирск. 1991, 149.

3. В.И. 9рсу. Некотериа свойства кваэмногообразий коииута-тавних луп йу*алг. -Ресггдбхл капская конференция: теэ. докладов, Тирасполь, 1990, 140.

4. В.И. Ирсу. 0 независима аксконатизирдеиостн квазииного-образиА коииутативних лдп Куфапг. -10-я Всвсовзная конференция па'катенатичес.юй логике: теэ. докладов, Аяиа-йта, 1990. 154.

3. В.И. Урсу. Квазнтоидвства конечно пороиденннх коииута-тивннх луп Иифанг. -Алгебра а логика, т.30, N 6(1991).

8. В.И. Нрсц. О изкоторше ввогообразиях коииутативних луп Мцфанг. -Двп. в ВИНИТИ 11277-1192, 1992, 8 стр.

7. В. II. Upca. Реиетю «одквазииногообразий иинииального нв-ассоциатввного иногообрааиа коммутативных луп Ндешг. -Дел. в ВИНИТИ И127В-И92, 1992, 2S стр. .

В. U.I. Ureu. On a criterion of Independent axloiatliability of cuaslvarletles of Moafans loops. -In the booc: International Conference on Group Theorl, Tlalsoara, 1992, 90-93,

о i ,тпт< l-l.Ii.--2 г. ±ор:ат б^;.:аги Г0:;81 и юга. и? i-ia 1ЯТ?ш;'1П!Л!ая. Псч. Л. 1,0.

IL-’-- ___________} зегапгко. Закка .'* 153.________________

Г '<•. .-'гг.шхп, ул. Студо:г|0о1г.'л, II