Квазирефлекторные группы движений пространств Лобачевского тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

. лмдак жук ссс?

СИБИРСКОЕ ОТДЕШШ

Кнститз? ШТОШТ1.ЯЯ

На правах рукописи

РУЭ/АНОБ Олег Петрович

Уда 512.517

КЕАЗИРЕФЛЕКТШ-ЩЕ ГРГСШ ДЖЖЙЙ ПРОСТРАНСТВ ЛОБЛЧЕЕСКОГО

01.01.04 - гбскетшя и токология

Автореферат .

диссертации на соискание ученой степени кандасата .^.зико-гюссмаиивогаа наух

КОБОС'^ИГСК 1951

Работа выполнена ка кафедре алгебры и геометрии Кемеровского государственного унишрсктвг-а

Научный руководитель

Официальное оппоненты

кандидат физико-математических наук, доцент Г.А.Сойфер

док-гор физико-математических наук А.Д.Медннх

кандидат ф'-шко-штоматических наук, о.н.с. К.А.Гусевский

Ведущая организация - Московский государственный

университет

Зашита диссертации состоится "_" ___1991 г.

в _ часов на заседании специализированного совета

К 002.23.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте математики СО АН СССР. (630090, Новосибирск-90, Университетский проспект, 4).

О диссертацией можно ознакомиться б библиотеке Института математики СО Ш СССР.

Автореферат разослан "

1991 г.

,Ученый секретарь . специализированного совета кандидат фязико-математически: наук, доцент

.Е.Иванов

ОБЩАЯ ХЛРАКГЕШЛЖА РАШШ

Актуальность теш. Геометрический матодн изучения дискрот-ншс групп двияен"! прос ^.¡анств Лобачевского, восходяеез к классическим работам Ф.Клейка и А.Пуанкаре, основываются на построении фундаментального многогранника заданной группы и порождающих ее'дзшений, яоторие попарно совмещают грани максимальной размерности фундаментального многогранника;. В частности, хорошо известная теорега Пуанкаре к ее обобщения позволяют най- -ти ^представление- рассматриваемой. грунта, зная комбинаторное строение и взличиян двуграшяах углов ее фундаментального многогранника. Однако, построение фундаментального шогограшгака дискротноГ: группы движений. пространств Лобачевского, почти ' всегда сложная задача, за исключением иезогорюс специальных случаев, один из которых - группы, исрогдзшше отражениями относительно гиперплоскостей. -

Широко употрзбитзяьпый метод исследования дискретных групп.-переход к юс подгруппам-конечного шгдэкса или даже к соизмери-. ти с ними группам. Дискретную группу движений пространства Лобачевского называют рефяоксквной, осла онз'оодерка? подгруппу конечного индекса, норовдбняу» отражвкгяки. '

Классический источник придаров даозфетйнх -групп; движений ■ пространств Лобачевского - изучение•.гдепп. автоморфизмов дели-'численннх квадратичных форм сигнатура {'Л. ,1)', Подгруппа индекса 2 такой группы мелет быта рассмотрена-как дискретная группа движений 'Л-мернох-о 'проотраноттаа Лобаче'воного; в дальнейшем, говоря о группе автоморфизмов квадратичной форми сигнатуры (, I), мы, будем "иметь ввиду именно' эту еэ йодгругаху'.

Огдал. , |

ссвртг-'^'и

Еще в конца прошлого века Р.Фряке ^ показал, что группы авто-могЛжзмоб некоторых целочисленных квадратичных форм сигнатура ¡,2, I) рефлактаьш, а нашел фундаменте льние многоугольники их подгрупп, пороздвнннх отражении,®.

Отметим еще один класс примерок даскрэтных грушх движений пространств Лобачевского - группы Бъянки. Напомним, что группой Бьянкн BiLm) намьгегся группа PQl3/Ат) X . тле /L - кольцо целых элементов мнимого квадратичного поля Q (fü?) Е Т - элемент порядка 2 , действующий; на А Я,

о\

как кошяекспое сопряженно. Л.Бьянки ' показал, что группа Bit«) может быть рассмотрена как дискретная ¡группа дваяе-ний трехмерного пространства Лойачезского и , при -i 19, \Yl г 14, 17, содерлсит подгруппу индекса 2 нли I, поровденную отражениями. Он также явно описал фундаментальнее многогранники полусонных даскратшпс групп, порожденных отражениями.

. Для некоторых Vtt , удовлетворяющих условиям Бьянки, Р. Суон ^построил фундаментальные многогранники групп Pü>L2 (подгрупп коночного индекса в группах Bi im) ) и нашел ко-представления групп £ (/О и GL2 (А^ ..

Существенное развитие теория рефлективных групп получила

i) Pride Ü4-CS- eine, ßeäondere. K^aäiie diäconll-nnier£utier Gruppe« nttien ¿Warer- Sußsliluticmeu// Waib. A*». -iSSi. - y.38. - р. Ч61-Н1-С.

^ ВUnciu A. Sui ^rwppl p/e soiiiiu'iioyii limari . сои coej^^e,^ apportenenil a corpi q.uaolraücL

. // Am.-ISK.-V.W.-P. ггг-чи.

ß. .GeoercvfcorS-¿W re&rfc ¿ow.fi Jor ceriaiu -V.C.-A/l.-P, f.jj

з работах Э.Б.Винберга и В.Е.Кикулина (смотри обзор1)). В частности, Э.Б.Винбергом доказано, что если Г - дискретная группа движений пространства Лобачевского» Р«т. - ее подгруппа, порожденная всеми отражениями, содержащимися в группа Г , 2) -выпуклый фундаментальный многогранник группу Г^ , то

Г г >3 Д , где А - подгруппа группы сишзтрий многогранника . Группу. т будем называть нерафдбкгивной частью группы Г , она определена с точностью до внутренних автоморфизмов группа I . Ясно, что в наших обозначениях рефлективность группы Г аквивалекгна конечности группы А • В случае, если Р - рефлективная группа автоморфизмов целочисленной квадратичной формы сигнатуры , I), з указанной работе З.Е.Вннберга предложен алгоритм пострсоння фундаггантального многогранника группы Р^ , т.е. решена- задача описания самой группы Г . . в частности, с помещьм этого алгоритма исследована группы автоморфизмов унимодулярних иело^колелкы,. квадратичных форм (форм, определители матриц.которях рзвнк -I ). Оказалось,

что эти группы рефлоктиыш, если и только если ранг формы не о -и

превосходит 20 /

Группа автоморфизмов четной уншедуляргтой целочисленной квадратичной Форш сигнатуры (25, I) не рефлективна, ода ко

^ Еинбсрг Э.Б., Шзартдан О.В. йккрзт.-ше группы движений пространств постоянной кривизны /У Совршенные проблею математика. Еундамвнталыше направления. Т.29. (Итоги наука и техн. ЕИШТЯ Ш СССР). - М., 1388. - С.147-253. >\

"'Бинберг Э.Б. Об унядадуля^чше целочисленных квадратичных фордах !' Функц. анализ. - 1972. - Т.б. - С.25-22. . • •

^ Еанберг З.Б., Каялинскэя'ИЛй. О группах 0-,21С2) , и С^ ¡_ ('Е) '/ Докл. АН СССР. - 1978. - Т.233. - С. 1273-1 75.

Й?..Копией^ спасал г ту группу, ясиоякотв ее разложение в полу-пршое произведено подгруппы отракепий д нерефлективкой части. В этом случае фундаментальный многогранник подгруппы» лорсзден-ной отражениями, кше: бесконечное число граней, которые касаются некоторой орксйэря гиахсхма.чънсй размерности; нерефдекткв-цгя часть группы бесконечна к действует на *?той орисфере, оставляя неподБлмнш ее центр - бесконечно удалекну?) точку пространства Лобачевского. Учмггюя, час всякая конечная груша двкженяй пространств Ло(5апйиского имеет неподвижную точку, и cxrapi: с центром в этой точке кнварианиш относительно действия рассматриваемой группы, кожко сказать, что нерзсулективкая часть груши, исодедованой Хж.Когао&м, относится к простершим бесконечным лчокретжшл группам дашеений пространств Лобачзгского, а сама группа - к простеГзтш нерефлектиззнкм группам.

Ввиду сказанного яше, нам представляется естественным исследование дискретных групп движений пространств Лобачевского, нерефлективные части которых имеют неподвижные бесконечно удаленные точки и инвариантно действуют на орисфердх с центрами в этих' точках, Мы будем рассматривать только, .кристаллографические -руппк, то есть дискретные группы, фундаментальные многогранники которых имеют конечный объем. Отмочим, что группы Бьянки, группы автоморфизмов целочисленных квадратичных форм. ' и другие наиболее интересные примеры дискретных груш движений пространств Лобачевского являются кристаллографическими группа-' ми.

Cwwajj The йи-iowor pkism ^roup oj 41te ; 26-dimensional ei/en uytiwodufar LoreniiiaH iaiiiee// } - 1, S3. - V. 30. - 1S3-H3.

Цэль работа. I. Изучение гоомотрш действия кристаллографических* групп движений пространств Лобачевского, нерофЕкс-тивнне части которых имеют неподаиАШО (5ес;конечно удаленные точки и инвариантно действуют на орисДюрах с центрами в этих точках; 2. Построение примеров клэссичоохах дискретах групп двкжаний"пространств Зс^ачедмшго, яринадлежи'щх отасошому в пункте I классу дискретных грумт; 3. Вичиелзнке копрвдетазле-нпй некоторых дискретных групл движений пространств Лобачевского е связанных с ни: лмдоЗных групп. ' .

Научная новизна. , В работе определен нозый класс дискретных групп движений пространств Лобачевского - квазирефлектав--1ше группа. Получен ирхторяй юзазлрефлекгивкоотн кристаллографической группы ка ямке геометрии фундаментального многогранника подгруппы отражений дэтио"; группы, доказана квазирефлек-тивкость пяти групп Бьянки н некоторых Групп «вготюрЗмжов целочисленных тсеадратичшх <$орм. Продлял»» . модификация' алгоритма Зяпо'ерга построен:« фундаментального ш:огохра:..ШЕа подгруп-лк отраягакй .группы евмшрфизмоз квадратичной форме, в случае зели эта группа квазлр«1локтк.-зка. НаДдонк непредставления некоторых групп Бьялкп к связанных с иквйшх групп.

Прйдо:г.онйй. Получс-яние розуяхтатн погут кайги лридшенкб з геоглзтряи Лобачевского," геомзтраи трэжоршз многообразий,' :еораи чйсел и алгебре. -

Апро^аш'я. Основные результата 2)йботьг докладывались на 'еядународкоя конференции по глгебро .(Новосибирск, 1589), се-а»нарс кафадры алгобра и геометрии Кемеровского гсеударотвон-ого университета, согажрё отдела анализа я гео-

етрци института иатокаккл СО ДК СССР. • • .'

Публикации. Результаты диссертации частично опубликована в работах I и 2 , список которых приведен в конце автореферата.

Структура и. объем работа. Диссертация состоит из введения, трах глав и приложения. Общай объем составляет 83 страниц машинописного текста. Список литераторы содержит 30 наименований.

ОБЗОР СОДЕШЕШ РАБОШ

Б первой главе настоящей работы дано следующее

ОПЕЕДЕЛШШ 1.1. Кристаллографическую группу Г движений пространства Еобачзаского Л кэзовем квазярефлективной, если ее нерофлекмшая чапть Д шее™ неподвижную бесконечно удаяевнуп точку о. и содержит параболическое двигоние про-

.п 6 стракотва Л

Это определение эквивалентно тому, что нерефлективная часть А грушш Г7 бесконечна и инвариантно действует на любой орясфера максимальной размерности с центром в точке . В предложении 1.1 доказано, что точка является единствен-

•ной с точностью до Г-эквивалентности параболической точкой г*

группы I такой, что фактор-группа стабилизатора точки в группе Г по подгруппе отражений бесконечна. При этом указанная фактор-группа изоморфна группе Д -нерефлективной части грушш Г (следствие 1.2).

Кристаллографическая группа Т рефлективна тогда и только тогда, когда фундаментальный многогранник ее подгруппы отражений имеет конечный объем, в частности,вое бесконечно удаленные точки этого многогранника являются его вершинами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Пусть Р - н-куклый многогранник в пространство Л . Будем говорить, что Р - кзазиогоаниу .'ягай многогранник, если существует е^ансгвекная бесконечно удале«-ная точка С^ многогранника Р , не являющегося его верпнной.

ТЕОРЕМА I.I. Пусть Р - кристаллографическая группа движений пространства Л , 2).г - выпуклый фундаментальный многогранник группы Гг, - подгруппы отрккениЗ группы Г . Группа Г7 - квазирефлективна, если и только если шогогрон-ник - квазиограниченг'й.

Основной предает изучения главы 2 - группы автоморфизмов гиперболических квадратичных решеток или, что эквивалентно, группу авгомс;:фазмов целочисленных квадргтиннх форм.

Квадратичной решеткой mi будем называть свободную абеле-ву группу конечного ранга, снабженную целозначной симметрической билинейной функцией - "скалярный произведением". Если А - симметричная целочисленная матрица, то через С А 1 обозначим квадратичную решетку, матрица Граьа некоторого базиса которой совпадает с матрицей Al . Через им обозначил квадратичную решетку - ортогональную прямую сушу решеток L и М .

Решетка L называется евклидовой (гиперболической),если векторное пространство евклидово (имеет сигнатуру (YL, I) ).

Обозначим через О ( L.) группу автоморфизмов квадратичной гиле-болической решатая L, , сохраняющих полн конуса векторов с отрицательны]! скалярным квадратом при действии в псевдоевклидовом пространство ¿, О . Известно, что ощ - кристаллографическая группа движений пространст- '

вг Лоб&че-оког-с, аоиохдагро зонного с псовдоевклкдошм простран-ранством ® IR - ГЕПерболичоскув решетку L, будем на-з. зам, кпззэрефлокга^вой, воля группа О кваз/рефлех-

тиша. В этом случае гиперболическая решат:-са L необходимо йвдяеия иэотроотой, то есть ссдсретт ненулевой вактор, сга-ляркый кзадрзг которого равен. 0 . .

Кау.бельгдй интерес крадегаатает изучение раиток, группы бвтомор&кздав котоиас агяоядояьни среди групп аатоморфизаоа реиоток заданной резшрнооти. Следующая георама, которая льта-агся сбоб'изпязм" i: »опубликованного р&зульгата Р.Еарлау, дозво-дабт ограничить наш исследования решетками специального вида.

ТЕОРЕ'.'л 2.1. Пусть Л*) изотропная гиперболическая рзшет-кг.рерглерноогп большэа 2. Тогда найдется гиперболическая решетка £ то1г кй рвзг.рркостй, такая, «со 0(/М) Of/..) и

/ гг-. -г "i 1

L. — <L> JL I х 0 j ' гдз ~ - четкая евклидова реаетка.

"эореж 2.2 и 2.3 уточняют Длрщ-лпрсвку теоремы 2.1 для решеток раз^ряоетей 3 и 4 соотгех твенно. Лсяазаттьоия. теорем 2.1 - '¿.3 опираются на методы теории чисел, ко характерные для денной работы, и приведены а ярило-лзнии к настоящей работе. ■

Так кж гяпорболачееккэ решет-ки одного рода почти хсегд. аоомохфгы, то язучеиае гиперболической ре-легки вида

9* / Го т 7 ■ - ' -.'.-'

¿^ — ¿^ ii 5 j означает изучение т да евкиц-езо;-: решетки L • -

ПШЩСЕЕШ2 2.2. Дусгз / /, ; I V' /'. { -' - кзазироак -

„тектквная гиперболическая решетка, причем " --с рыготикрода '7"

ревет ¿w изоморфны. Тогда в роде ег.-г .свой' г.охс:-:: Д со-

держится не более одной нерейлекткшой репетки.

fleca ближайжая задача - описание группы автоморф-и^в квазирп^лвктивной гиперболической решетки i [i qJ»

где L - нерефлекткшая евклидова решетка.

ПРЕД10ШШЕ 2.4. Если четкая евклидова решетка l* но- . рефлектйвка, гиперболическая рэсетка. /, J. j. I о "i

квазирефлектавна и Д иэрефдехтигиая часть группы О .(С), то группа Д изоморфна .акторгруппе группы афгиилзх автоморфизмов решетки L по ее подгруппе отражений.

В § 2 главы 2 предложена несложная модификация алгоритма Винберга, позволяющая построить фундаментальный мкогогран-

ник подгруппы отражений группы автоморфизмов т>еи.^тки Д , о-

в случае, если ц ~ квазярефлектяша.

Использовав описанную выше процедуру, мы доказали ква-зирефлектявность следукщих решеток сигнатуры (3, I) (примеры 2.1-2.6):

= [i fil 1 [l в] - [¡ ull fl О J

Ц - [1111 [J i]

a)

(2)

Глава -i посвящена изучении групп Бьянки и связанных с нк-.ля линейных групп. Известно, что группа Бьянки В с {Уп) макет быть ззлояока в качестве подгруппы конечного индекса в rpynuy О {.L„) > гле

С [ 2 О 1 г о 1 1 i .

/ ^ 7 L° гги-< i- Li О J, вели 1 ми 2 (умаН)

\ гг i i г°г! / «

I. Ll ^J 1 Lí OJ. hi S¿ (№irj(i¿/)

Группу O (¿ J обсзнаиш через Be Cm) к будем называть расширенной группой Еьянкн.

Обозначим через С (Дт) группу классов идеалов поля О (V-i«') - В работе"1' доказано, чти ocra группа Bi (m) рефлективна, то группа С (/W) - 2-и*риодечна.

!IPE©ÍQESK£ 3.1. Если группа Bi (»и) квазирейлветивна, то С ÍA,,} - циклическая группа третьего или четвертого ПОРЯДКОВ. *

Б случае, если С(АЛ1) имеет порядок 3, группа ВЦги) совладеет с группой ¿

8l(¡m) , в част ¡госта, В; (£3) = Si(Z5) = = 0(1',} « . '8c (3«> = ÎÏi 'lZi) = О С2г,} (с-го три

I и 2), так что группы Бьяикк B¿ (lí) j; Bi (31) - кбр-зирофлекнаыш.

СЛЗДТШЕ 3 ?.. Если грутп.-а Bt(Vi) квазние^л&кгагяа к группа С- {Дт) - вдкагсоская группа четвертого порядка, то группа B¿ (m) рефлекячнз.

Еанберг о.Б. Подгруппы отражений в гр/иг дХ Бьякка. Вопросы теории групп к гомолог/,чоской алгебр;. С. . научных трудов. -Явославиь, 1987. - СЛ21-12е.

Б предложении 3,2 доказал, что группа В'£ {№) , 64 '1?) и В ¿ С 53) суть квазирефлэктивнне подгруппы групп автоморфизмов рефлективных ршеток.

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть УП 5 1 или 1 (поЯЧ; или

М £ . Тогда группа Вс (м) гаазирефлектнвна только для Ы = 14, 17, 23, 31, ЗЭ .

ТЕОРЕМА 3.1 является аналогом соответствующего результата

т)

для рефлективных групп Вышки11'.

Описанные выше результата главы 2 позволяют найти г.о-представление группы автоморфизмов квазирефлективной гкпер-бтлической решетки сигнатуры (3, I) . В § 2 главы 3 ш находим копрэдставленне группы В с (?<0 — О ( ¿,4) . Основываясь на том, что группа РС£г(Ат) изоморфна подгруппе собственных нзомогрий группы (м) ,ш такта находим копредставления групп РбС2 (А23) л О¿г .

Аналогичные вычисления проделаны дал т =39: группа Вс (39) ювазарефлектишйя подгруппа группы автоморфизмов рефлективной решетка. ■

Приведем конечное результаты наших вычислений:

Шварцман О.В. Подгруппы отражений в грушах Бьяюси // Вопросы теории групп и гомологической алгебры. Сб. научных трудов. - Ярославль, 198?. - С.134-139.

П/ /Д ) с / F Р ¡7 р р Ф Ф ф 1 г rf гРЛ Г5г с ф;2 г ¿р; :и2 i ;

*)* = (fj f: f г ( F; Г;У=( Гг FI. )г -- (Г3 г (fl ,;)3r i ;

3 - J fv ; Ф^.-ЗФ.; ФЗг ЗФ>

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕДЕ Д'!ССЕРТ-'"ДЩ:

1. Рузютов О.П. Подгрупян- отражений в группах Бьянка Ц i't-TiVi. /сон}. ' аягобро ( Новосибирск, 21-26 августа IS83 г. ): Тез. докл. по теории групп.- НовосибарЬк,1983.- С. 104.

2, 0.П, Подгруплн отргзлекий в группах Бьянки (j Успехи wit. наук.- 7.390.- Т.45.- С. 189-190.